Наш КЛАССНЫЙ блог IV»В» : МАТЕМАТИКА
2021/2022 УЧЕБНЫЙ ГОД
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(апрель)
ЗДЕСЬ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(март)
ЗДЕСЬ
28.02
Решение задач на движение
Расстояние (S) – это длина от одного пункта до другого.
Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения: S = v ∙ t
Скорость (V)– это расстояние, пройденное телом за единицу времени.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения: v = S : t
Время (t)– это продолжительность каких-то действий, событий.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения: t = S : v
21.02
Решение задач на нахождение
Цены, количества, стоимости
Цена (Ц) – это количество денег, которое нужно заплатить за 1 предмет (1 кг), то есть за единицу товара.
Количество (К) – это число которое показывает сколько куплено единиц товара.
Например: 3 тетради, 4 кг сахара, 2 десятка яиц
Стоимость (С) – это количество денег затраченных на всю покупку.
Деление с остатком
Проверка деления с остатком
10.01
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(январь)
ЗДЕСЬ
10.01
Необходимо повторить названия компонентов сложения, вычитания, умножения, деления, а также
выучить наизусть следующие правила:
(17.01 в понедельник будет письменный опрос по данным правилам)
слагаемое + слагаемое = сумма
часть + часть = целое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно от суммы ОТНЯТЬ известное слагаемое. (потому что часть находится вычитанием)
уменьшаемое – вычитаемое = разность
целое – часть = часть
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ПРИБАВИТЬ вычитаемое. (потому что целое находится сложением)
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно от уменьшаемого ОТНЯТЬ разность.
(потому что часть находится вычитанием)
множитель * множитель = произведение
часть * часть = целое
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение РАЗДЕЛИТЬ на известный множитель. (потому что часть находится делением)
делимое : делитель = частное
целое : часть = часть
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное УМНОЖИТЬ на делитель. (потому что целое находится умножением)
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое РАЗДЕЛИТЬ на частное. (потому что часть находится делением)
02.12
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(декабрь)
ЗДЕСЬ
07.11
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(ноябрь)
ЗДЕСЬ
10.10
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(октябрь)
ЗДЕСЬ
19.09
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(Повторение за 2 класс)
ЗДЕСЬ
06.09.
Необходимо повторить названия компонентов сложения, вычитания, умножения, деления, а также выучить наизусть следующие правила:
(в понедельник (13.
09) будет письменный опрос по данным правилам)
слагаемое + слагаемое = сумма
часть + часть = целое
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, нужно от суммы ОТНЯТЬ известное слагаемое. (потому что часть находится вычитанием)
уменьшаемое – вычитаемое = разность
целое – часть = часть
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ПРИБАВИТЬ вычитаемое. (потому что целое находится сложением)
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно от уменьшаемого ОТНЯТЬ разность. (потому что часть находится вычитанием)
множитель * множитель = произведение
часть * часть = целое
делимое : делитель = частное
целое : часть = часть
2020/2021 УЧЕБНЫЙ ГОД
09.
04
29.04 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ (Проверка навыков устного счёта) — одно из наиболее сложных испытаний для учащихся.
Повторяем приёмы УСТНЫХ вычислений (в уме, не столбиком) ЗДЕСЬ.
Распечатать и выполнить все три работы, ПРИНЕСТИ ДО 20.04
02.03-12.03
Необходимо повторить названия компонентов сложения и вычитания, а также выучить наизусть следующие правила
(в пятницу письменный опрос по данным правилам)
слагаемое + слагаемое = сумма
часть + часть = целое
Чтобы
найти неизвестное слагаемое, нужно от суммы ОТНЯТЬ известное слагаемое. (потому что часть находится вычитанием)
уменьшаемое – вычитаемое = разность
целое – часть = часть
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ПРИБАВИТЬ вычитаемое.
(потому что целое находится сложением)
Чтобы
найти неизвестное вычитаемое, нужно от уменьшаемого ОТНЯТЬ разность. (потому что часть находится вычитанием)
01.03Устные приёмы вычислений
ЖМИ СЮДА
(интерактивный лист)
Каждому, кто пришлёт до понедельника (08.03) интерактивный лист с правильными ответами — 2 балла.
Тем, кто принесёт выполненное дополнительное задание по математике в понедельник — 3 балла.
Перед выполнением задания не забудьте создать Копию. Выполнять задание можно в несколько приёмов, в течение нескольких дней. Где же искать созданную вами Копию, которая теперь стала вашей собственной?
Подсказка.
1) Заходим на свой Google-диск (сначала на 9 точек справа вверху, потом цветной треугольник Диск).
2) Слева в столбце находим «Мой диск». Нажимаем. В середине должны появится все ваши документы, таблицы, рисунки. Там же находятся и все копии, которые были когда-либо вами созданы.
3) Все изменения сохраняются автоматически. Вы можете изменять этот документ. Доступ классному руководителю лучше дать после окончания работы.
26.02
На образовательной платформе «Учи ру» сформированы задания по математике.
07.02РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
(ФЕВРАЛЬ)
ЗДЕСЬ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК
ЗДЕСЬ
Приёмы решения составных задач
Простые задачи – это задачи в одно действие.
Их обязательно нужно отработать, чтобы решение ученик мог находить сразу. Потому что, подобно матрёшкам, задачи в два и более действий (их называют составными) состоят именно из таких простых задач. И если ученик не научился решать простые задачи, то решение составных однозначно будет вызывать у такого ученика серьёзные трудности.
Итак, как решать составные задачи?
Во-первых, не нужно пренебрегать краткой записью.
Даже если учитель не требует ее, на черновике крайне желательно записать все данные из задачи.
Сложность в решении задач часто вызывает то, что второклассник не умеет вычленять из литературной формы изложения задачи то главное, с чем нужно работать в поиске решения. То есть нужно научить ребенка убирать всю “лирику”, оставляя только математические данные из условия.
Разумеется, краткую запись на черновике вы можете делать так, как это удобно ученику, и это не всегда соответствует тем требованиям, какие выдвигает школа к оформлению краткой записи задачи.
Карлсон за один день съел 10 банок варенья, а за второй день съел на 3 банки меньше. Сколько всего банок варенья съел Карлсон за два дня вместе?
По условию составим запись и выработаем план решения:
1 день −10 банок 2 день −? на 3 банки меньше, чем в 1 день }− за 2 дня вместе?
Обрати внимание!
Анализируя эту схему, делаем вывод, что задача решается двумя действиями.
Сначала найдём ответ на вопрос:
1) сколько банок варенья съел Карлсон за второй день?
На 3 банки меньше — это значит, следует отнять 3!
10−3=7 (б.) — столько банок варенья съел Карлсон за второй день.
Теперь знаем количество банок варенья, которое съел Карлсон за первый день и за второй день. Поэтому можно ответить на вопрос задачи.
2) Сколько всего банок варенья съел Карлсон за два дня вместе?
Вместе — это значит, следует сложить!
10+7=17 — столько банок варенья съел Карлсон за два дня вместе.
Ответ: за 2 дня Карлсон съел 17 банок варенья.
На первый взгляд всё это очень сложно. Но помните: математика – не литература, ее обязательно нужно решать с карандашом в руке. При этом картины писать не нужно, все должно быть схематично и максимально наглядно.
Решение задач
(январь)
ЗДЕСЬ
Таблицы сложения и вычитания в пределах 20.
Их нужно ХОРОШО знать. Потом к таблицам сложения и вычитания добавятся таблицы умножения и деления. Это — база математики. Знание сложения однозначных чисел очень важно. Например, при сложении в столбик мы складываем именно однозначные числа. И именно тут совершаются ошибки и происходит основная потеря времени, если ученик не знает таблицу сложения.
Что значит «хорошо знать»? Это значит ученики должны быстро, не задумываясь, не тратя время на вычисления, давать правильный ответ. Например, если спросить любого из нас, сколько будет 2 + 2, мы отвечаем моментально, ни секунды не думая, что будет 4.
Вот такая быстрота должна быть при ответе на любой пример при сложении (вычитании).
Чтобы добиться хорошего знания таблиц, их нужно оттренировать, выучить наизусть. Других способов нет.
Как проводить тренировки?
1 шаг. Дайте ребёнку таблицу сложения и попросите его просмотреть всё сложение на 2. (Прибавлять 1 обычно умеют отлично, но если с этим проблемы, то начинайте с таблицы сложения на 1). Попросите рассказать её подряд вслух. Если он задумывается, ошибается, не уверен — пусть он её несколько раз повторит всю. Вслух или про себя. Пусть расскажет ещё раз вслух. Небольшие задержки просто заметьте для себя — для следующей части тренировки. Если всё рассказал хорошо, подтвердите это — «молодец», «прекрасно» или ещё как-то.
2 шаг. Теперь начинайте спрашивать вразброс. Начинайте с самых первых примеров (2+3) и потихоньку двигайтесь к последним (2+9). Примеры, которые ребёнок отвечает так же быстро, как 2+2, можно не спрашивать. Если же он ошибается или задумывается, то этот пример надо спрашивать несколько раз, пока задержка с ответом не сократится.
Можно спрашивать даже несколько раз. При тренировке надо всё время давать подтверждения ВСЕМ ответам ученика и поддерживать хорошее настроение.
Когда таблица сложения с числом 2, будет выучена, переходим к следующему числу.
«Решение задач»
(Декабрь)
ЗДЕСЬ
Для отработки навыка сложения и вычитания двузначных чисел предлагаю вашему вниманию
ИНТЕРАКТИВНЫЙ ЛИСТ ЗДЕСЬ.
11.11«Решение задач»(Ноябрь)
ЗДЕСЬ
Отработать навык решения примеров можно и самостоятельно, сгенерировав примеры на сайте
ЗДЕСЬ(после нажатия слов «Сделать примеры» выдаёт новый лист)«Решение задач»(сентябрь)
Уважаемые родители! Дорогие дети!
На данной странице будут размещаться задания, тренажёры и другие полезные ссылки для изучения математики.
Памятка по работе над ошибками
ЗДЕСЬ
Ученик должен записать и решить без ошибок тот пример
(выражение, задачу), в котором была допущена ошибка.
Учитель может предложить ряд подобных заданий для отработки.
Задание нужно выполнить до 19 апреля.
Ключевое слово присылаем учителю. Стоимость — 1 балл
Задание нужно выполнить
Ключевое слово присылаем учителю. Стоимость — 1 балл.
Выполняем математический диктант на интерактивном листе. (инструкция по работе с интерактивным листом смотрите на странице блога ИЗУЧАЕМ СЕРВИСЫ). Перед выполнением задания не забудьте создать Копию.
(В классе мы составляем краткую запись, будет не плохо дома в этом поупражняться!)
Общие требования к оформлению письменных работ по математике
КОМПОНЕНТЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
ЗДЕСЬ
ТРЕНАЖЁР УСТНОГО СЧЁТА
ЗДЕСЬ
СЛОЖЕНИЕ ДО 20 БЕЗ ПЕРЕХОДА
ЗДЕСЬ
ВЫЧИТАНИЕ ДО 20 БЕЗ ПЕРЕХОДА
ЗДЕСЬ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРА 1
ЗДЕСЬ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРА 2
ЗДЕСЬ
ГЕНЕРАТОР ПРИМЕРОВ
(после нажатия слов «Сделать примеры» выдаёт новый лист
ЗДЕСЬ
Онлайн тренажер по математике «Вставь пропущенное число (сложение чисел 1-10)»
ЗДЕСЬ
Онлайн тренажер по математике «Вставь пропущенное число (вычитание чисел 1-10)»
ЗДЕСЬ
ЧИСЛОВЫЕ ДОМИКИ + ПРИМЕРЫ 4-10 + СРАВНЕНИЯ
(кроме задач)
ЗДЕСЬ
|
Меню сайта Наш опрос Сайт посетили |
ПАМЯТКА ПО МАТЕМАТИКЕ Компоненты сложения и
вычитания, их взаимосвязь.
47+39=86 Сорок семь плюс тридцать девять получится восемьдесят шесть. К сорока семи прибавить тридцать девять получится восемьдесят шесть. Первое слагаемое – 47, второе слагаемое – 39, сумма равна восьмидесяти шести. Сумма чисел сорока семи и тридцати девяти равна восьмидесяти шести. 47 увеличить на 39 получится 86. Чтобы найти неизвестное слагаемое (часть), надо из суммы (целого) вычесть известное слагаемое (часть).
86-47=39 Восемьдесят
шесть минус сорок семь получится тридцать девять. Из восьмидесяти шести вычесть сорок семь получится тридцать девять. Уменьшаемое – 86, вычитаемое – 47, разность равна тридцати девяти. Разность чисел восьмидесяти шести и сорока семи равна тридцати девяти. 86 уменьшить на 47 получится 39. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (целое), надо к разности прибавить вычитаемое (сложить части). Чтобы найти неизвестное вычитаемое (часть), надо из уменьшаемого (целого) вычесть разность (часть).
Переместительное свойство сложения: а+в = в+а (От перестановки слагаемых сумма не изменяется) Сочетательное свойство сложения: (а+в)+с = а+(в+с) (Чтобы к сумме чисел а и в прибавить число с, можно к числу а прибавить сумму чисел в и с) (397+51)+(249+3) = (397+3)+(51+249) = 700 Вычитание суммы из числа: а-(в+с) = (а-в)-с = (а-с)-в (Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть одно слагаемое, а потом другое) 128-(28+4) = (128-28)-4 = 96 Вычитание числа из суммы: (а+в)-с = (а-с)+в = а+(в-с) (Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить второе слагаемое) (364+415)-264 = (364-264)+415 = 515
Компоненты умножения
и деления, их взаимосвязь.
3х4=12 (письменный знак умножения – точка) Три умножить на четыре получится двенадцать. По три взять четыре раза получится двенадцать. Первый множитель – 3, второй множитель – 4, произведение равно двенадцати. Произведение чисел трёх и четырёх равно двенадцати. Три увеличить в четыре раза получится двенадцать. 3 – это часть, 4 – это часть, умножаем части, получаем целое – 12. 3х5=15 3х6=18 При увеличении множителей произведение увеличивается. Чтобы найти неизвестный множитель (часть), надо произведение (целое) разделить на известный множитель (часть).
12:3=4 Двенадцать
разделить на три получится четыре. Делимое – 12, делитель – 3, частное равно четырём. Частное чисел двенадцати и трёх равно четырём. Двенадцать уменьшить в три раза получится четыре. 12 – это целое, 3 – это часть, целое делим на одну часть, получаем другую часть – 4. 15:3=5 18:3=6 При увеличении делимого частное тоже увеличивается. 12:4=3 12:6=2 При увеличении делителя частное, наоборот, уменьшается. Чтобы найти неизвестное делимое (целое), надо частное (часть) умножить на делитель (часть). Чтобы найти неизвестный делитель (часть), надо делимое (целое) разделить на частное (часть).
Свойства умножения и
деления. Переместительное свойство умножения: а х в = в х а (От перестановки множителей произведение не изменяется) Сочетательное свойство умножения: (а х в) х с = а х (в х с) (Чтобы произведение чисел а и в умножить на с, можно число а умножить на произведение чисел в и с) 2х(7х5)=(2х5)х7=10х7=70 Распределительное свойство умножения (умножение суммы на число) (а+в) х с = а х с + в х с (Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить) (10+4) х 6 = 10 х 6 + 6 х 6 = 60 + 24 = 84 Деление суммы на число: (а + в) : с = а : с + в : с (Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить) (40+8):4 = 40:4 + 8:4 = 10 + 2 = 12
Умножение и деление
с 0 и 1. а х 1 = 1 х а = а При умножении числа на 1 получается то же самое число. а х 0 = 0 х а = 0 При умножении числа на 0 получается 0. а : а = 1 При делении числа на себя получается 1. а : 1 = а При делении числа на 1 получается то же самое число. 0 : а = 0 При делении нуля на любое число получается нуль. Делить на 0 нельзя!
Соотношения между единицами измерения длины.
1 км ____ 1 м ____ 1 дм ____ 1 см ____ 1 мм 1000 10 10 10
Периметр (P) и площадь (S) прямоугольника и квадрата. а в P = (а+в) х 2 P = а х 2 + в х 2 а = P : 2 – в в = P : 2 – а
а S = а х а P = а х 4 а = P : 4
|
Вход на сайт Календарь
Календарь дня |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сложение векторов, вычитание и скалярное умножение
Перейти к основному содержанию
Домашняя страница Технологического института Онтарио
nool
Пример:
youtube.com/embed/jvdu7J3iLCE»> Объяснение урока: Операции с векторами в 3D
В этом объяснении мы узнаем, как выполнять операции с векторами в 3D, такие как сложение, вычитание и скалярное умножение.
Векторные операции сложения, вычитания и скалярного умножения работают в трех и более измерениях точно так же, как и в двух измерениях. Начнем с того, что вспомним, как выглядит вектор, записанный в трех измерениях.
Вектор, нарисованный в трех измерениях, имеет хвост (начальную точку) и голову (конечную точку). Направление вектора обозначено стрелкой, а длина вектора называется его величиной. Мы можем записать вектор в терминах его единичных векторов ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘 или в виде компонентов.
Определение: единичные векторы
Единичный вектор — это вектор длины (величины), равной 1. Единичные векторы в 𝑥, 𝑦 и 𝑧 направления обозначаются ⃑𝑖, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 соответственно.
Любой вектор можно записать в виде 𝑥⃑𝑖 + 𝑦⃑𝑗 + 𝑧⃑𝑘. Альтернативно они могут быть представлены как (𝑥,𝑦,𝑧) и 𝑥𝑦𝑧.
Теперь рассмотрим формат любого вектора в пространстве, начальная точка которого находится в начале координат.
На диаграмме ниже точка 𝐴 имеет координаты (2,5,3) и вектор ⃑𝐴 (иногда
обозначается как 𝑂𝐴) — это отрезок прямой от начала координат до точки 𝐴.
Из исходной точки мы перемещаемся на 2 единицы в 𝑥-направлении, на 5 единиц в 𝑦-направлении и на 3 единицы в 𝑧-направлении такой, что вектор ⃑𝐴=(2,5,3).
Давайте теперь вспомним некоторые ключевые определения векторов.
Определение: векторы положения
Если точка 𝐴 имеет координаты (𝑥,𝑦,𝑧), как показано на диаграмме, то вектор ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧), где компоненты 𝑥, 𝑦 и 𝑧 — перемещения точки 𝐴 в 𝑥-, 𝑦- и 𝑧- направление от начала координат называется вектором положения.
Определение: сложение и вычитание векторов
Мы можем складывать или вычитать любые два вектора, складывая или вычитая их соответствующие компоненты.
Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧) и ⃑𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧), тогда ⃑𝐴+⃑𝐵=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦,𝑧+𝑧).
Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧) и ⃑𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧), тогда ⃑𝐴−⃑𝐵=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦,𝑧−𝑧).
В нашем первом примере мы покажем, как вычесть один вектор из другого, когда они оба заданы в терминах своих единичных векторов.
Пример 1: вычитание векторов в 3D
Если ⃑𝐴=−5⃑𝑖−8⃑𝑗+6⃑𝑘 и ⃑𝐵=4⃑𝑖−3⃑𝑗+13⃑𝑘, найти ⃑𝐴−⃑𝐵.
Ответ
Мы знаем, что для того, чтобы вычесть два вектора в трех измерениях, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности. Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧) и ⃑𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧), тогда ⃑𝐴−⃑𝐵=(𝑥−𝑥,𝑦−𝑦,𝑧−𝑧).
В этом вопросе нам нужно вычесть ⃑𝑖, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 компоненты отдельно, чтобы получить ⃑𝐴−⃑𝐵=(−5,−8,6)−(4,−3,13)=(−5−4,−8−(−3),6−13)=(−9,−5,−7).
Следовательно, ⃑𝐴−⃑𝐵=−9⃑𝑖−5⃑𝑗−7⃑𝑘.
Давайте теперь рассмотрим, как мы можем сложить два вектора в трех измерениях.
Пример 2. Добавление векторов в 3D
Учитывая два вектора ⃑𝐴=(−2,−3,0) и ⃑𝐵=(−3,3,−2), найти ⃑𝐴+⃑𝐵.
Ответ
Мы знаем, что для сложения двух векторов в трех измерениях мы складываем
соответствующие компоненты по отдельности. Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧) и
⃑𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧), тогда
⃑𝐴+⃑𝐵=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦,𝑧+𝑧).
Это означает, что ⃑𝐴+⃑𝐵=(−2+(−3),−3+3,0+(−2)).
Следовательно, ⃑𝐴+⃑𝐵=(−5,0,−2).
Мы можем распространить правило сложения и вычитания векторов в трех измерениях на вектора в 𝑛-измерениях.
Если ⃑𝐴=(𝑎,𝑎,𝑎,…,𝑎,𝑎) и ⃑𝐵=(𝑏,𝑏,𝑏,…,𝑏,𝑏), тогда ⃑𝐴+⃑𝐵=(𝑎+𝑏,𝑎+𝑏,𝑎+𝑏,…,𝑎+𝑏,𝑎+𝑏), и ⃑𝐴−⃑𝐵=(𝑎−𝑏,𝑎−𝑏,𝑎−𝑏,…,𝑎−𝑏,𝑎−𝑏).
Определение: умножение вектора на скаляр
Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.
Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧), то 𝑘⃑𝐴=(𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧), для всех вещественных констант 𝑘.
Это также можно распространить на 𝑛-мерный случай. Если ⃑𝐴=(𝑎,𝑎,𝑎,…,𝑎,𝑎), тогда 𝑘⃑𝐴=(𝑘𝑎,𝑘𝑎,𝑘𝑎,…,𝑘𝑎,𝑘𝑎).
В следующем примере мы покажем, как можно умножить вектор на скалярную величину.
Пример 3. Масштабирование трехмерного вектора
Какой вектор получится в результате масштабирования вектора ⃑𝐴=(−6,−3,−1) с коэффициентом −6?
Ответить
Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.
Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧),
тогда 𝑘⃑𝐴=(𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧).
В этом вопросе нам нужно умножить -6, -3 и -1 на -6. Напомним, что умножение два отрицательных числа дают положительный ответ: −6×−6=36,−3×−6=18,−1×−6=6.
Итак, умножение (−6,−3,−1) на коэффициент −6 дает нам вектор (36,18,6).
В четвертом примере мы объединим умножение вектора на скаляр с вычитанием векторов.
Пример 4. Вычитание скалярных кратных векторов
Если ⃑𝐴=(−8,9,9) и ⃑𝐵=(−6,4,9), найти 25⃑𝐴−45⃑𝐵.
Ответ
Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.
Так как ⃑𝐴=(−8,9,9), то 25⃑𝐴=25(−8,9,9)=−165 185 185.
Поскольку ⃑𝐵=(−6,4,9), тогда 45⃑𝐵=45(−6,4,9)=−245 165 365.
Чтобы вычесть два вектора в трех измерениях, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности:
25⃑𝐴−45⃑𝐵=−165 185 185−−245 165 365=−165−−245,185−165,185−365=85,25,−185.
Следовательно, 25⃑𝐴−45⃑𝐵=85,25,−185.
В нашем следующем примере мы найдем недостающий вектор в векторном выражении.
Пример 5. Поиск неизвестного вектора по векторному выражению
Если ⃑𝐴=(−1,1,1) и ⃑𝐵=(1,1,−2), определить вектор ⃑𝐶 для которого 2⃑𝐶+5⃑𝐴=5⃑𝐵.
Ответ
В вопросе сказано, что 2⃑𝐶+5⃑𝐴=5⃑𝐵, поэтому мы можем начать с переставляя и вычитая 5⃑𝐴 из обеих частей уравнения. Это дает нам уравнение 2⃑𝐶=5⃑𝐵−5⃑𝐴.
Далее вычисляем 5⃑𝐴 и 5⃑𝐵. Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.
Если ⃑𝐴=(−1,1,1), то 5⃑𝐴=(−5,5,5).
Если ⃑𝐵=(1,1,−2), то 5⃑𝐵=(5,5,−10).
Чтобы вычесть два вектора в трех измерениях, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности.
Итак, 5⃑𝐵−5⃑𝐴=(5,5,−10)−(−5,5,5)=(10,0,−15).
Поскольку 2⃑𝐶=(10,0,−15), мы можем разделить каждый компонент на 2, чтобы вычислить вектор
⃑𝐶.
Следовательно, ⃑𝐶=5,0,−152.
Имея две точки в пространстве, мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти расстояние между ними. Это вариант теоремы Пифагора. Данный две точки (𝑥,𝑦) и (𝑥,𝑦), расстояние 𝑑 между ними определяется выражением 𝑑=(𝑥−𝑥)+(𝑦−𝑦).
Это можно обобщить еще больше, чтобы дать нам расстояние между точкой в трехмерном пространстве и началом координат. В векторном выражении это означает, что мы можем найти длину вектора, которую мы называем величиной вектора.
Определение: Величина вектора
Величина вектора говорит нам о его длине и обозначается ‖‖⃑𝐴‖‖.
Если ⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧), то ‖‖⃑𝐴‖‖=√𝑥+𝑦+𝑧.
В нашем следующем примере мы вычислим величину векторов в трех измерениях.
Пример 6. Сравнение модулей векторных выражений
⃑𝑉 и 𝑊 — два вектора, где ⃑𝑉=(−1,5,−2) и 𝑊=(3,1,1). Сравнивая ‖‖⃑𝑉−𝑊‖‖ и ‖‖⃑𝑉‖‖−‖‖𝑊‖‖, какое количество больше?
Ответ
Чтобы вычислить величину любого вектора, мы вычисляем квадратный корень из суммы квадратов отдельных компонентов.
Если
⃑𝐴=(𝑥,𝑦,𝑧), то
‖‖⃑𝐴‖‖=√𝑥+𝑦+𝑧.
Нам говорят, что ⃑𝑉=(−1,5,−2).
Итак, ‖‖⃑𝑉‖‖=(−1)+(5)+(−2)=√30.
Нам также говорят, что 𝑊=(3,1,1).
Итак, ‖‖𝑊‖‖=(3)+(1)+(1)=√11.
Это означает, что ‖‖⃑𝑉‖‖−‖‖𝑊‖‖=√30−√11≈2,1606.
Чтобы вычесть два вектора, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности: ⃑𝑉−𝑊=(−1,5,−2)−(3,1,1)=(−4,4,−3).
Итак, ‖‖⃑𝑉−𝑊‖‖=(−4)+(4)+(−3)=√41.
Итак, √41≈6,4031, что больше 2,1606.
Следовательно, ‖‖⃑𝑉−𝑊‖‖ больше, чем ‖‖⃑𝑉‖‖−‖‖𝑊‖‖.
В нашем последнем примере мы продемонстрировали, что величина разности двух векторов не равна разнице между их соответствующими величины. Важно понимать, что, хотя мы можем довольно легко найти сумму или разность двух или более векторов, мы не можем применить аналогичный метод. понятие к сумме или разности их величин.
В нашем последнем примере мы вычислим возможные пропущенные значения в векторной задаче.
Пример 7. Решение векторной задачи с использованием единичных векторов
Учитывая, что ⃑𝐴=3⃑𝑖+⃑𝑗+𝑚⃑𝑘 и ⃑𝐵 — единичный вектор, равный 15⃑𝐴, определить возможные значения 𝑚.
Ответ
Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.
Поскольку ⃑𝐵=15⃑𝐴, тогда ⃑𝐵=153⃑𝑖+⃑𝑗+𝑚⃑𝑘=35⃑𝑖+15⃑𝑗+𝑚5⃑𝑘.
Нам сказали, что ⃑𝐵 — единичный вектор, и мы знаем, что любой единичный вектор имеет модуль, равный 1, где ‖‖⃑𝐵‖‖=√𝑥+𝑦+𝑧, если ⃑𝐵=(𝑥,𝑦,𝑧): 35+15+𝑚5=1.
Возводя в квадрат обе части уравнения, 35+15+𝑚5=1,925+125+𝑚25=1.
Умножая на 25 и собирая подобные члены, 10+𝑚=25,𝑚=25−10,𝑚=15.
Если найти квадратный корень из обеих сторон, 𝑚 может быть равно √15 или −√15.
Мы закончим это объяснение повторением некоторых ключевых моментов.
Ключевые точки
- Единичный вектор имеет величину 1, а орты параллельны осям 𝑥-, 𝑦- и 𝑧
обозначаются ⃑𝑖, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 соответственно.
