Состав чисел 11, 12, 13, 14, 15 для 1 класса
Скачать
143.33 КБ, 618872.pptx Автор: Ракова Ирина Анатольевна, 30 Мар 2015
Данная презентация «Состав чисел 11, 12, 13, 14, 15» составлена для 1 класса.
Можно применять при изучении темы «Состав числа второго десятка»(устный счет) .
Использовала технологический приём Аствацатурова Г.О «Анимированная сорбонка» и шаблон
Цауните И. В ., учителя начальных классов МБОУ Петровская СОШ Гурьевского муниципального района Калининградской области.
Инструкция:
Эта презентация поможет тебе повторить состав чисел второго десятка: 11,12,13,14,15.
Нужно назвать другое число при сложении которого получается число, написанное на крыше домика.
Кликнув левой кнопкой мышки по пустой карточке, можно проверить себя.
Автор: Ракова Ирина Анатольевна
| Тип | Название материала | Автор | Опубликован |
|---|---|---|---|
| презентация | Состав чисел 11, 12, 13, 14, 15 для 1 класса | Ракова Ирина Анатольевна | 30 Мар 2015 |
| разное | Игра-тренажер 1 класс «Состав чисел 11, 12, 13 , примеры» | Ванцовская Елена Алексеевна | 3 Мая 2015 |
| разное | Отрабатываем знание состава чисел 11, 12, 13, 15. | Нуждова Надежда Ивановна | 30 Мар 2015 |
| документ | памятка для ученика 1 класса (состав чисел) | Алиферец Галина Леонидовна | 30 Мар 2015 |
| разное | Тест»Состав чисел 11-15″ | Родина Галина Евгеньевна | 30 Мар 2015 |
| документ | календарно-тематическое планирование по немецкому языку 5кл. 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 | старовойтова татьяна владимировна | 21 Мар 2015 |
| разное | карточки по математике для 1 класса «Состав чисел 1 — 5» | Кузьмина Ирина Владимировна | 30 Июн 2015 |
| презентация, документ | тренажер по математике для 1 класса по теме «Состав чисел первого десятка» | Колпакова Валентина Николаевна | 17 Дек 2015 |
| разное | «Состав однозначных чисел » (КИМ 1 класс) | Хохлова Ирина Борисовна | 14 Ноя 2015 |
| документ | тренировочная работа по подготовке к ЕГЭ. математика. Варианты для 10-11 классов. темы: показательные уравнения.Задания типа В-1, В-4, В-5, В-7, В-12, В-13, С-1. | Зайцева Вера Викторовна | 31 Мар 2015 |
| презентация | Презентация по математике для 1 класса «Состав числа 7». | Антипова Александра Леонидовна | 14 Сен 2015 |
| разное | Игра-тренажер 1 класс «Состав чисел 14-18 , примеры» | Ванцовская Елена Алексеевна | 3 Мая 2015 |
| документ | 11-20 занятие на развитие внимания Занятие 11. Внимание. Правила самоорганизации внимания. | Моськина Елена Николаевна | 14 Янв 2016 |
| документ | Задание для 3 класса 1 группы от 17.12.14 | Ефремова Екатерина Анатольевна | 30 Мар 2015 |
| документ | Рабочая программа по математике 3 кл УМК Занков Внетабличное умножение и деление Числовой (координатный) луч Дробные числа Сложение и вычитание трехзначных чисел без перехода через десяток 12.11 14.11 15.11 18.11 Определение площади фигуры сложной | Тверитина Светлана Николаевна | 30 Мар 2015 |
| документ | урок математики «Состав чисел» 1 класс (совместно с родителями) | Петрова Ольга Александровна | 14 Сен 2015 |
| документ | Проект урока по математике в 1 классе. Тема: «Состав чисел». | Шувалова Светлана Александровна | 15 Апр 2015 |
| документ | Урок по математике в 1 классе «Состав чисел в пределах 10» | Богданова Ильгиза Мустакимовна | 15 Окт 2015 |
| презентация, документ | Урок математики в 1 классе по теме» Состав однозначных чисел» | Васильева Надежда Валерьевна | 15 Окт 2015 |
| документ | конспект урока по математике в 1 классе «Состав чисел до десяти. Закрепление». | Карасева Екатерина Викторовна | 15 Окт 2015 |
| разное | Карточки по математики для 1 класса. Состав числа (2). | Бычкова Лидия Владимировна | 4 Апр 2015 |
| презентация | Наглядность для 1-2 классов по математике «Числовы домики» (состав чисел). Авторская разработка | Евтеева Светлана Викторовна | 30 Июн 2015 |
| документ | Рабочая программа. Окружающий мир. № Тема Количество часов Дата 1 Пришла пора учиться 13 03.09 – 15.10 2 Человек 13 17.10 – 05.12 3 Природа в жизни человека 21 10.12 – 11.03 4 Человек среди людей 19 13.03 – 22.05 Итого 66 ч Календ | Стельмашова Людмила Петровна | 15 Сен 2015 |
| разное | Состав чисел 11 — 18 | Ванцовская Елена Алексеевна | 3 Мая 2015 |
| документ | Урок математики в 1 классе по развивающей дидактической системе Л. В. Занкова по теме «Состав чисел второго десятка» Урок математики Ход урока | Кузнецова Ольга Ивановна | 11 Апр 2016 |
| документ | Уроки по Власенкову для 11 класса с №1 по №14 | Малинина Нина Владимировна | 26 Янв 2016 |
| документ | состав числа 14 | Якушева Надежда Владимировна | 11 Апр 2015 |
| документ | Карточки по математике. 1 класс. Состав чисел 1-10. | Безденежных Марина Николаевна | 26 Окт 2015 |
| документ | Контрольные и проверочные работы по русскому языку для 8 класса. 5.ФРАЗЕОЛОГИЯ ВАРИАНТ I 11.ДВУСОСТАВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ. 12.Простое предложение. Главные и второстепенные члены предложения | Кожарова Ольга Ивановна | |
| разное | Протокол испытаний 11 класса. (09.12.15 г.) | Кожевникова Мария Алексеевна | 24 Дек 2015 |
| презентация | «Состав чисел от 10 до 19» | Филипенко Юлия Олеговна | 14 Сен 2015 |
| документ | состав чисел первого десятка | Демиденко Валентина Петровна | 14 Ноя 2015 |
| разное | Урок-путешествие. Состав чисел в пределах 10. | Смирнова Елена Викторовна | 14 Янв 2016 |
| документ | 2013-2014 уч.г.Задание для 3 класса 1 гр 12.11.2013 | Ефремова Екатерина Анатольевна | 18 Ноя 2015 |
| презентация | Состав чисел 1 класс | Иванова Марина Владимировна | 30 Мар 2015 |
| разное | Презентации «Состав чисел от 1 до 10» | Комарова Светлана Васильевна | 31 Мар 2015 |
| документ | Карточки по математике 1 класс «Состав чисел» | Мастранская Ольга Николаевна | 8 Апр 2015 |
| разное | Онлайн тест «Состав чисел первого десятка», 1 класс | Коломенская Виктория Григорьевна | 24 Апр 2015 |
| разное | Тренажер «Состав чисел первого десятка» (1 класс) | Коломенская Виктория Григорьевна | 20 Апр 2015 |
| разное | Состав чисел первого десятка. Анимированный плакат. 1 класс | Чулихина Елена Александровна | 28 Мая 2015 |
Состав чисел от 11 до 18. Засели домики (игра-тренажёр) 1 класс презентация, доклад
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Страхование
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Презентация на тему Презентация на тему Состав чисел от 11 до 18.
Засели домики (игра-тренажёр) 1 класс, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 23 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!
Засели домики
(игра-тренажёр)
1 класс
Состав чисел от 11 до 18
11
12
13
14
15
16
17
18
8
7
9
9
4
2
3
3
3
5
4
4
4
6
5
5
3
5
4
4
2
4
3
3
6
8
7
7
7
5
6
6
9
7
8
8
8
7
6
6
8
7
9
9
8
7
9
9
8
6
7
7
7
9
8
8
7
8
9
9
6
8
7
7
6
8
7
7
7
9
8
8
9
7
8
8
8
7
9
9
http://terrikon.
com/i/000/h/th-165-karlsson.jpg — Карлсон
http://www.naslednick.ru/netcat_files/25/25/h_9bb6b628046c9545852f418806df3ba1 — картинка Леопольд с мышами
http://s15.radikal.ru/i189/1107/0b/a86e930e06df.jpg — Чебурашка
http://pics.livejournal.com/olga74ru/pic/0005xayr — крокодил Гена
http://www.uralstudent.ru/images/stories/boltun.jpg — удав
Используемые ресурсы
http://s3.afisha.net/Afisha7Files/UGPhotos/090117174530/090401135341/p_f.jpg — мартышка
Мультфильмы:
http://multiki.arjlover.net/multiki/38.a.vdrug.poluchitsya.avi
http://multiki.arjlover.net/multiki/leopold.den.rozhdenia.kota.leopolda.avi
http://www.youtube.com/watch?v=iC6IgleKfX4
http://www.youtube.com/watch?v=kBVK8afO5Fo
Скачать презентацию
Обратная связь
Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть
Что такое ThePresentation.
ru?Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.
Для правообладателей
Решенные задачи вероятности 11
В этой статье мы решим несколько примеров, связанных с вероятностью. Итак, давайте начнем.
Пример 1
Одновременно подбрасываются две кости и две монеты. Какова вероятность того, что на всех трех костях выпадет цифра 6, а на всех трех монетах выпадет решка?
Решение
Общее количество исходов для первого кубика = 6
Количество благоприятных исходов (получение числа 6) = 1
Вероятность выпадения 6 на одном кубике =
Общее количество исходов для второго кубика = 6
Количество благоприятных исходов (получение числа 6) = 1
Вероятность выпадения 6 на одном кубике =
Общее количество исходов для третьего кубика = 6
Число благоприятных результатов (получение числа 6) = 1
Вероятность получить 6 на одну матрицу =
Вероятность получения 6 на всех трех кубиках =
=
Общее количество исходов для монеты = 2
Количество благоприятных исходов (выпадение орла) на первой монете = 1
Вероятность выпадения орла P(H) =
Общее количество исходов для монеты = 2
Количество благоприятных исходов (выпадение орла) на второй монете = 1
Вероятность выпадения орла P(H) =
Общее количество исходов для монеты = 2
Количество благоприятных исходов (выпадение орла) на третьей монете = 1
Вероятность выпадения орла P(H) =
Вероятность получения головок на всех трех монетах =
=
Вероятность получить 6 на всех трех кубиках и головках на трех монетах =
Лучшие репетиторы по математике, доступные
Let’s Go
Пример 2
Найти вероятность того, что из колоды, состоящей из 52 карт, будут выбраны три карты с составными числами.
Решение
Сначала посмотрим, как распределяется колода из 52 карт. В колоде из 52 карт у нас есть:
- Четыре масти (в каждой по 13 карт)
- Две черные масти и две красные
- В каждой масти есть король, дама, валет, туз, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 и 10.
В каждой масти по 5 составных чисел 4, 6, 8, 9 и 10. Следовательно, в четырех мастях 20 составных чисел.
Количество карт с составными числами в колоде = 20
Общее количество карт в колоде = 52
Вероятность выбора карты с составными числами из колоды =
На втором шаге мы найдем вероятность подобрать из колоды вторую карту с составными числами.
Количество карт с составными числами, оставшихся в колоде = 20 — 1 = 19
Общее количество карт, оставшихся в колоде = 51
Вероятность выбора карты с составными числами, учитывая, что карта с составными числами уже вытянута =
На третьем шаге мы рассчитаем вероятность выбора карты с третьим составным числом из колоды.
Количество карт с составными числами, оставшихся в колоде = 19 — 1 = 18
Общее количество карт, оставшихся в колоде = 51 — 1 = 50
Вероятность выбора третьей карты с составными числами из колоды =
В этой задаче нам нужно вычислить вероятность выбора трех карт с составными числами из колоды из 52 карт. Следовательно, мы перемножим все вероятности вместе следующим образом:
P (3 карты с составными номерами) =
0003
Пример 3
В классе из 25 учеников 15 девочек и 10 мальчиков. 7 из 15 девочек и 3 из 10 мальчиков говорят по-немецки. Если студент выбран случайным образом, найдите вероятность того, что выбранный студент:
а) может говорить по-немецки
б) является девочкой или мальчиком, говорящим по-немецки
Решение
Часть А
Количество девочек, которые могут говорить Немецкий = 7
Количество мальчиков, говорящих по-немецки = 3
Общее количество учеников в классе = 25
Вероятность того, что случайно выбранный ученик будет говорить по-немецки =
Часть b
Количество мальчиков, говорящих по-немецки = 3
Общее количество учеников в классе = 30
Вероятность выбора мальчика, говорящего по-немецки =
Количество девочек, говорящих по-немецки = 7
Общее количество учеников в классе = 30
Вероятность выбора девочки, говорящей по-немецки =
Вероятность выбора девочки или мальчика, говорящих по-немецки =
=
Пример 4
Сэм случайно перепутал восемь исправных ламп и четыре предохранителя.
Чтобы найти неисправные лампочки, он проверяет каждую лампочку одну за другой без замены. Какова вероятность того, что он найдет неисправные лампочки в первых трех опытах?
Решение
Предположим , , и события, что он находит лампочки предохранителя.
Вероятность выбора первой лампочки предохранителя = =
Вероятность выбора второй лампочки предохранителя при условии, что первая тоже была предохранителем = =
Вероятность выбора третьей лампочки с предохранителем при условии, что первые две лампочки также были с предохранителем = =
Вероятность нахождения лампочки с предохранителем в первых трех опытах = =
=
Пример 5
Фабрика рабочие производят продукцию либо отличного качества (77%), либо с небольшими дефектами (13%), либо с полным браком (10%). Все детали проходят плановый осмотр. Из произведенной продукции полностью бракованная продукция выбраковывается. Какова вероятность того, что товар отличный, если он прошел проверку?
Решение
Пусть E, S.
D и C.D будут событиями, согласно которым случайно выбранный товар является отличным, слегка дефектным и полностью дефектным соответственно.
Вероятность выбора отличного товара = P(E) = 0,77
Вероятность выбора товара с незначительными дефектами = P(S.D) = 0,13
Вероятность выбора полностью дефектного товара = P(C.D) = 0,10
We должны вычислить вероятность того, что продукт является превосходным, при условии, что он прошел плановую проверку.
Пример 6
Монета подбрасывается четыре раза. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна решка?
Решение
Общее количество попыток = 4
Общее количество возможных исходов = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
При подбрасывании монеты мы можем получить решку все четыре раза. Кроме этого, каждый возможный исход может иметь по крайней мере одну решку. Следовательно, количество возможных исходов, в которых может быть хотя бы одна решка, равно 15.
Вероятность получить (как минимум) 1 решку =
Пример 7
В классе 65% учеников сдали экзамен по математике, 20% сдали экзамен по естественным наукам и 50% сдали экзамен по математике и естественным наукам.
Предположим, студент выбран случайно. Если он/она сдал экзамен по математике, какова вероятность того, что он/она также сдал экзамен по естественным наукам?
Решение
Вероятность сдачи экзамена по математике = P(M) = 0,65
Вероятность сдачи экзамена по естествознанию = P(S) = 0,20
Вероятность сдачи экзамена по математике и естественным наукам = = 0,50
P (Наука|Математика) =
=
3 · Frontiers for Young Minds
Abstract
Простые числа привлекали внимание человечества с первых дней существования цивилизации. Мы объясняем, что они из себя представляют, почему их изучение волнует как математиков, так и любителей, а по пути открываем окно в мир математики.
С самого начала человеческой истории простые числа вызывали человеческое любопытство. Кто они такие? Почему вопросы, связанные с ними, такие сложные? Одна из самых интересных вещей, связанных с простыми числами, — это их распределение среди натуральных чисел.
В малом масштабе появление простых чисел кажется случайным, но в большом масштабе появляется закономерность, которая до сих пор не до конца изучена. В этой короткой статье мы попытаемся проследить историю простых чисел с древних времен и использовать эту возможность, чтобы погрузиться и лучше понять мир математики.
Составные числа и простые числа
Вы когда-нибудь задумывались, почему сутки делятся ровно на 24 часа, а окружность на 360 градусов? У числа 24 есть интересное свойство: его можно разделить на целых равных частей относительно большим числом способов. Например, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6 и т. д. (остальные варианты заполните сами!). Это означает, что сутки можно разделить на две равные части по 12 часов каждая, дневную и ночную. На фабрике, которая работает без остановок в 8-часовые смены, каждый день делится ровно на три смены.
По этой же причине окружность была разделена на 360°. Если круг разделить на две, три, четыре, десять, двенадцать или тридцать равных частей, каждая часть будет содержать целое число степеней; и есть дополнительные способы деления круга, которые мы не упомянули.
В древности деление круга на равные по размеру сектора с высокой точностью было необходимо для различных художественных, астрономических и инженерных целей. С компасом и транспортиром как единственными доступными инструментами деление круга на равные сектора имело большое практическое значение. 1
Целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, называется составным числом . Например, уравнения 24 = 4 × 6 и 33 = 3 × 11 показывают, что 24 и 33 — составные числа. Число, которое нельзя разбить таким образом, называется простым числом . Числа
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29
являются простыми числами. На самом деле это первые 10 простых чисел (при желании можете проверить это сами!).
Глядя на этот краткий список простых чисел, уже можно сделать несколько интересных наблюдений. Во-первых, кроме числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным.
Таким образом, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке (называемое последовательных простых чисел) не меньше 2. В нашем списке мы находим последовательные простые числа, разница которых ровно 2 (например, пары 3,5 и 17, 19). Существуют также большие промежутки между последовательными простыми числами, например, разрыв в шесть чисел между 23 и 29.; каждое из чисел 24, 25, 26, 27 и 28 является составным числом. Еще одно интересное наблюдение состоит в том, что в каждой из первой и второй групп из 10 чисел (имеется в виду между 1–10 и 11–20) есть четыре простых числа, а в третьей группе из 10 (21–30) только два. Что это значит? Становятся ли простые числа реже по мере их роста? Может ли кто-нибудь пообещать нам, что мы сможем бесконечно находить все больше и больше простых чисел?
Если на этом этапе вас что-то волнует и вы хотите продолжить изучение списка простых чисел и поднятых нами вопросов, значит, у вас есть математическая душа. Останавливаться! Не продолжайте читать! 2 Возьмите карандаш и лист бумаги.
Запишите все числа до 100 и отметьте простые числа. Проверьте, сколько существует пар с разницей в два. Проверьте, сколько простых чисел в каждой группе из 10. Сможете ли вы найти закономерности? Или список простых чисел до 100 кажется вам случайным?
Немного истории и концепция теоремы
Простые числа привлекали внимание человека с древних времен и даже ассоциировались со сверхъестественным. Даже сегодня, в наше время, есть люди, пытающиеся составить простые числа с числом 9.0247 мистических свойств. Известный астроном и писатель Карл Саган в 1985 году написал книгу под названием «Контакт», посвященную инопланетянам (человекоподобной культуре за пределами Земли), пытающимся общаться с людьми, используя простые числа в качестве сигналов. Идея о том, что сигналы, основанные на простых числах, могут служить основой для связи с внеземными культурами, до сих пор будоражит воображение многих людей.
Принято считать, что серьезный интерес к простым числам начался еще во времена Пифагора.
Пифагор был древнегреческим математиком. Его ученики, пифагорейцы, частично ученые, частично мистики, жили в шестом веке до нашей эры. Они не оставили письменных свидетельств, и то, что мы знаем о них, исходит из историй, которые передавались устно. Триста лет спустя, в третьем веке до нашей эры, Александрия (в современном Египте) была культурной столицей греческого мира. Евклид (рис. 1), живший в Александрии во времена Птолемея Первого, может быть известен вам по евклидовой геометрии, названной его именем. Евклидова геометрия преподается в школах более 2000 лет. Но Евклида также интересовали числа. В девятой книге его сочинения «Начала» в предложении 20 впервые появляется математическое доказательство теоремы о том, что существует бесконечно много простых чисел.
- Рисунок 1
- Люди, создавшие простые числа.
Это хорошее место, чтобы сказать несколько слов о концепции теоремы и математического доказательства. Теорема — это утверждение, выраженное на математическом языке, и можно с уверенностью сказать, что оно либо верно, либо неверно. Например, теорема «бесконечно много простых чисел» утверждает, что в системе натуральных чисел (1,2,3…) список простых чисел бесконечен. Точнее говоря, эта теорема утверждает, что если мы напишем конечный список простых чисел, то всегда сможем найти другое простое число, которого нет в этом списке. Чтобы доказать эту теорему, недостаточно указать дополнительное простое число для конкретного заданного списка. Например, если мы укажем 31 как простое число вне списка первых 10 простых чисел, упомянутого ранее, мы действительно покажем, что этот список не включает все простые числа. Но, может быть, прибавив 31, мы нашли все простые числа, и больше их нет? Что нам нужно сделать, и что Евклид сделал 2300 лет назад, так это представить убедительный аргумент, почему для любой конечный список, каким бы длинным он ни был, мы можем найти простое число, не входящее в него. В следующем разделе мы представим доказательство Евклида, не обременяя вас излишними подробностями.
Доказательство Евклида существования бесконечного множества простых чисел
Чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, Евклид использовал другую известную ему основную теорему, а именно: « каждое натуральное число можно записать в виде произведение простых чисел ». Легко убедиться в истинности этого последнего утверждения. Если вы выберете число, которое не является составным, то оно само будет простым. В противном случае вы можете записать выбранное вами число как произведение двух меньших чисел. Если каждое из меньших чисел является простым, вы представили свое число как произведение простых чисел. Если нет, запишите меньшие составные числа как произведения еще меньших чисел и так далее. В этом процессе вы продолжаете заменять любые составные числа произведениями меньших чисел. Поскольку невозможно делать это вечно, этот процесс должен закончиться, и все меньшие числа, которые у вас получатся, больше нельзя будет разбить, то есть они будут простыми числами.
В качестве примера, давайте разобьем число 72 на его простые делители:
72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.
Основываясь на этом основном факте, теперь мы можем объяснить прекрасное доказательство бесконечности Евклида. множества простых чисел. Мы продемонстрируем эту идею, используя список первых 10 простых чисел, но заметим, что эта же идея работает для любого конечного списка простых чисел. Перемножим все числа в списке и добавим к результату единицу. Присвоим получившемуся числу имя N . (значение N на самом деле не имеет значения, так как аргумент должен быть действителен для любого списка.)
N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29)+1.
Число N , как и любое другое натуральное число, можно записать в виде произведения простых чисел. Кто эти простые числа, простые делители N ? Мы не знаем, потому что мы их не вычисляли, но одно мы знаем точно: все они делят N .
А вот номер N оставляет остаток единицы при делении на любое из простых чисел в нашем списке 2, 3, 5, 7,…, 23, 29. Предполагается, что это полный список наших простых чисел, но ни одно из них не делит N . Таким образом, простые делители N не входят в этот список, и, в частности, должны быть новые простые числа после 29.
Решето Эратосфена
Вы нашли все простые числа, меньшие 100? Какой метод вы использовали? Вы проверяли каждое число по отдельности, чтобы увидеть, делится ли оно на меньшие числа? Если вы выбрали именно этот путь, вы определенно потратили много времени. Эратосфен (рис. 1), один из величайших ученых эллинистического периода, жил через несколько десятилетий после Евклида. Работал главным библиотекарем в библиотеке № 9.0247 Александрия , первая библиотека в истории и самая большая в древнем мире. Он интересовался не только математикой, но и астрономией, музыкой и географией и первым вычислил окружность Земли с впечатляющей для своего времени точностью.
Среди прочего, он придумал хитрый способ найти все простые числа до заданного числа. Поскольку этот метод основан на идее просеивания (просеивания) составных чисел, он называется Решетом Эратосфена .
Мы продемонстрируем решето Эратосфена на списке простых чисел меньше 100, который, надеюсь, еще перед вами (рис. 2). Обведите число 2, так как оно является первым простым числом, а затем сотрите все его старшие кратные, а именно все составные четные числа. Перейдем к следующему нестертому числу, числу 3. Поскольку оно не было стерто, оно не является произведением меньших чисел, и мы можем обвести его, зная, что оно простое. Снова сотрите все его более высокие кратные. Обратите внимание, что некоторые из них, например 6, уже удалены, а другие, например 9, будет стерта сейчас. Следующее нестертое число — 5 — будет обведено кружком. Опять же, сотрите все его старшие кратные: 10, 15 и 20 уже удалены, но, например, 25 и 35 должны быть стерты сейчас. Продолжайте в том же духе.
До тех пор, пока не? Попробуйте подумать, почему после прохождения 10=100 нам не нужно продолжать процесс. Все числа меньше 100, которые не были стерты, являются простыми числами и их можно смело обводить!
- Рисунок 2 – Сито Эратосфена.
- Составные числа зачеркнуты, а простые обведены.
Частота простых чисел
Какова частота простых чисел? Сколько примерно простых чисел находится между 1 000 000 и 1 001 000 (один миллион и один миллион плюс одна тысяча) и сколько между 1 000 000 000 и 1 000 001 000 (один миллиард и один миллиард плюс одна тысяча)? Можем ли мы оценить количество простых чисел от одного триллиона (1 000 000 000 000) до одного триллиона плюс одна тысяча?
Расчеты показывают, что простые числа становятся все более и более редкими по мере того, как числа становятся больше. Но можно ли сформулировать точную теорему, которая точно выразит, насколько они редки? Такая теорема впервые была сформулирована как гипотеза великого математика Карла Фридриха Гаусса в 1793 году, в возрасте 16 лет.
разобраться с этим. Но формальное доказательство теоремы было дано лишь в 1896 г., через столетие после того, как она была сформулирована. Удивительно, но два независимых доказательства были предоставлены в том же году французом Жаком Адамаром и бельгийцем де ла Валле-Пуссен (рис. 1). Интересно отметить, что оба мужчины родились примерно во время смерти Римана. Доказанная ими теорема получила название « теорема о простых числах ”из-за ее важности.
Точная формулировка теоремы о простых числах, а тем более детали ее доказательства, требуют продвинутой математики, которую мы не можем обсуждать здесь. Но, выражаясь менее точно, теорема о простых числах утверждает, что частота встречаемости простых чисел вокруг х обратно пропорциональна количеству цифр в х . В приведенном выше примере количество простых чисел в «окне» длиной 1000 около одного миллиона (под которым мы подразумеваем интервал между одним миллионом и одним миллионом и одной тысячей) будет на 50% больше, чем количество простых чисел в том же самом окне.
«окно» около миллиарда (соотношение 9:6, точно так же, как соотношение между количеством нулей в одном миллиарде и одном миллионе), и примерно в два раза больше, чем количество простых чисел в том же окне около одного триллиона (где соотношение количества нулей составляет 12:6). ). Действительно, компьютерные расчеты показывают, что в первом окне 75 простых чисел, во втором — 49, а в третьем — только 37, от одного триллиона до одного триллиона плюс тысяча.
Эту же информацию можно изобразить в виде графика, показанного ниже (Рисунок 3). Вы можете видеть, как число π( x ) простых чисел до x изменяется в диапазоне x ≤ 100, и снова для x ≤ 1000. Обратите внимание, что каждый раз, когда мы встречаем новое простое число вдоль оси x , график увеличивается на 1, поэтому график принимает форму ступенек (рис. 3А). В небольшом масштабе сложно обнаружить закономерность на графике. Довольно легко доказать, что мы можем найти сколь угодно большие интервалы, в которых нет простых чисел, то есть интервалы, в которых граф не поднимается.
С другой стороны, известная гипотеза (см. ниже) утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов , то есть пары простых чисел с разницей в 2 между ними, что переводило бы на «шаг» ширины 2 в графе. Однако в более крупном масштабе график выглядит гладким (рис. 3В). Эта гладкая кривая, видимая в большом масштабе, демонстрирует теорему о простых числах.
- Рисунок 3 – Частота простых чисел.
- Графики, показывающие π( x ), количество простых чисел до числа x . В панели А. х колеблется от 0 до 100, а график имеет ступенчатый вид. На панели B. x находится в диапазоне от 0 до 1000, поэтому масштаб больше, а график выглядит более плавным.
Тот факт, что математическое явление кажется случайным в одном масштабе, но демонстрирует регулярность (гладкость) в другом/более крупном масштабе — регулярность, которая становится все более и более точной по мере увеличения масштаба, — не нов для математики.
Вероятностные системы, такие как подбрасывание монет, ведут себя именно так. Невозможно предсказать результат одного подбрасывания монеты, но со временем, если монета беспристрастна, она будет выпадать орлом в половине случаев. Что удивительно, так это то, что система простых чисел не является вероятностной, но во многих отношениях она все же ведет себя так, как если бы она была выбрана случайным образом.
Описание: Кто хочет стать миллионером?
Теория чисел, включающая изучение простых чисел, богата нерешенными проблемами, безуспешно решавшимися величайшими умами на протяжении сотен лет. Некоторые из этих открытых проблем представляют собой математические утверждения, которые еще не доказаны, но в правильность которых мы твердо верим. Такие недоказанные теоремы называются «гипотезами» или «гипотезами». Мы уже упоминали гипотезу о существовании бесконечно многих простые числа-близнецы — пары простых чисел на расстоянии двух друг от друга. Другая известная гипотеза, называемая гипотезой Гольдбаха, утверждает, что каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Например: 16 = 13 + 3, 54 = 47 + 7. Если вам удастся доказать любое из них, вы обретете вечную славу. 3
Вероятно, самая известная нерешенная проблема в математике, Гипотеза Римана , была предложена тем же Бернхардом Риманом, о котором упоминалось ранее. В единственной исследовательской работе Римана о простых числах, опубликованной в 1859 г., Риман сформулировал гипотезу, которая предсказала, насколько далеко от истинного значения π ( x ), количество простых чисел до x , было приближением, данным теоремой о простых числах. Другими словами, что можно сказать об «ошибочном члене» в теореме о простых числах — разнице между реальной величиной и предложенной формулой? Фонд Клэя назвал эту проблему одной из семи задач, за решение которых он выплатит приз в размере 1 000 000 долларов! Если вы до сих пор не были заинтригованы, возможно, этот приз вас мотивирует…
Почему это важно? Кого это интересует? Математики судят о своих задачах прежде всего по их сложности и внутренней красоте.
Простые числа набирают высокие баллы по обоим этим критериям. Однако простые числа также полезны на практике. Исследования простых чисел нашли важное применение в шифровании (науке кодирования секретных сообщений) за последние несколько десятилетий. Ранее мы упоминали вымышленную книгу Карла Сагана о внеземной культуре, общающейся с человечеством с помощью простых чисел. Но есть гораздо более «горячая» область, вовсе не вымышленная, где простые числа используются как в гражданских, так и в военных целях; то есть зашифрованные передачи. Когда мы снимаем деньги в банкомате, мы используем дебетовую карту, и связь между нами и банкоматом зашифрована. Как и многие другие коды для шифрования, тот, что есть почти на каждой дебетовой карте, называется RSA (назван в честь его изобретателей — Ривеста, Шамира и Адлемана) и основан на свойствах простых чисел.
История простых чисел до сих пор окружена тайной. Итак, их история еще не закончена и не закончена с…
Глоссарий
Составное число : ↑ целое число, которое можно записать как произведение двух меньших чисел, например, 24 = 3 × 8.
Простое число (несоставное) : ↑ целое число, которое нельзя записать в виде произведения двух меньших чисел, например 7 или 23.
Математическое доказательство : ↑ ряд логических аргументов, предназначенных для доказательства истинности математической теоремы. Доказательство основано на основных предположениях, которые были проверены, или на других ранее доказанных теоремах.
Математическая теорема : ↑ утверждение, выраженное на языке математики, о котором можно определенно сказать, что оно справедливо или недействительно в определенной системе.
Математическая гипотеза : ↑ (также называемая гипотезой) — математическое утверждение, которое считается верным, но еще не доказано. «Вера в достоверность» может быть результатом проверки особых случаев, вычислительных доказательств или математической интуиции. Существуют математические гипотезы, по поводу которых люди до сих пор расходятся во мнениях.
Twin Primes : ↑ пара простых чисел с разницей в два, например 5, 7 или 41, 43.
Заявление о конфликте интересов
Автор заявляет, что исследование проводилось в отсутствие любых коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.
Дополнительная литература
[1] ↑ Дю Сотой, М. 2003. Музыка простых чисел . ХарперКоллинз.
[2] ↑ Доксиадис, А. 1992. Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха . Блумсбери.
[3] ↑ Pomerance, C. 2004. «Простые числа и поиск внеземного разума», в «Математические приключения для студентов и любителей» , под редакцией Д. Хейса и Т. Шубина (MAA), 1–4.
[4] ↑ Сингх, С. 1999. Кодовая книга . Лондон, Четвертое сословие.
Сноски
[1] ↑ Деление круга на 360 впервые появляется в трудах греческих и египетских астрономов, но основано на более раннем делении часа на 60 минут вавилонянами.