Сложение и вычитание

Перестановка слагаемых

Ещё один важный момент, который мы хотим рассмотреть в отношении сложения. Взгляните на два числовых выражения:

3 + 2 = 5

2 + 3 = 5

Мы видим, сумма в обоих случаях одинакова. Да и слагаемые одни и те же — 3 и 2, только в первом случае число 3 является первым слагаемым, а число 2 — вторым. А во втором примере: 2 — это первое слагаемое, а 3 — второе. Однако очерёдность слагаемых на результат не повлияла, из чего мы можем сделать вывод и сформулировать переместительный закон сложения, который гласит: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вот ещё примеры. Найдите суммы в каждой паре числовых выражений и сравните результаты. Доказывают ли они переместительный закон сложения?

4 + 5 = 12 + 7 = 2 + 8 = 6 + 9 =
5 + 4 = 7 + 12 = 8 + 2 = 9 + 6 =

Азы сложения изучили, теперь давайте разберёмся с действием, ему противоположным. Называется оно вычитание.

Вычитанием — это арифметическое действие, в ходе которого одно число уменьшается на количество единиц, содержащееся в вычитаемом числе.

Графический символ вычитания — знак «-» (минус). Компоненты вычитания называются:

7 — 3 = 4

7 — уменьшаемое
3 — вычитаемое
4 — разность

Так же, как и в сложении, вычитание может быть

• Без перехода через десяток

Рассматриваемый выше пример как раз таковым случаем и является:

7 — 3 = 4

Число 7 относится к первому десятку. Уменьшив его на 3 единицы, мы получили число 4, которое также стоит в числовом ряду от 0 до 10. Следовательно, перехода через десяток не было.

Или другой пример:

15 — 2 = 13

Число 15 относится ко второму десятку (от 11 до 20). Уменьшим 15 на 2 единицы, мы получили 13 и по-прежнему остались во втором десятке.

А если от 13 отнять 6, то это уже будет

• Вычитание с переходом через десяток

Ведь 13 — 6 = 7

13 — число, относящееся ко второму десятку, тогда как 7 — число первого десятка.

Если вычисление разности требует перехода через десяток, для удобства вычитаемое можно разложить по составу так, чтобы сначала дойти до круглого числа, и потом из него вычесть оставшиеся единицы. Вот таким образом:

В нашем примере 6 удобно представить в виде суммы 3 + 3. И тогда:

13 — 3 = 10

10 — 3 = 7

Закрепите на следующих примерах:

14 — 5 = 12 — 6 = 13 — 8 =
17 — 9 = 15 — 5 = 16 — 7 =

Подытоживая темы сложения и вычитания, рассмотрим примеры на сложение и вычитание в несколько действий.

8 — 2 + 7 =

Видим, что в данном числовом выражении есть сразу и вычитание, и сложение. Как такое решать? Постепенно!

1. 8 — 2 = 6
2. 6 + 7 = 13

Чтобы найти ответ, мы сначала от 8 отняли 2, а потом к полученной разности прибавили оставшееся число. Всё очень просто!

Попробуйте и убедитесь:

12 — 5 + 3 = 17 + 2 — 8 =
4 — 1 + 5 = 5 — 4 + 13 =
7 + 6 — 3 = 15 — 7 + 5 =

В одной статье мы узнали. ..

• Что такое сложение. Как называются компоненты сложения.
• Чем отличается сложение без перехода через десяток от сложения с переходом через десяток.
• Что такое вычитание. Вычитание без перехода через десяток и вычитание с переходом через десяток — как выполняется.
• Сложение и вычитание в одном числовом выражении — как решать примеры в несколько действий.

Ещё подробнее о каждой подтеме мы будем рассказывать в наших коротких статьях, затрагивающих узкое направление.

Действия какой ступени выполняются в первую очередь?

Меню раздела

Математика

Пожалуйста, оцените Оценка 1Оценка 2Оценка 3Оценка 4Оценка 5  

Ответьте на вопрос: —

Какой порядок действий при решении длинного выражения?

Порядок выполнения действий при решении выражения.

В математике последовательность выполнения действий разделена на две ступени:
к первой ступени относятся действия — сложение и вычитание, ко второй ступени — умножение и деление.
При нахождении значения выражения в первую очередь выполняются действия заключённые в скобки (если имеются), далее выполняются действия второй ступени и в последнюю очередь действия первой ступени.
Порядок действий обозначается слева направо.

Пример:

1. Слева направо обозначим действия в скобках.

2. Вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия второй ступени.
Действия второй ступени — умножение и деление.

3. Вновь вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия первой ступени.
Действия первой ступени — сложение и вычитание.

Всего 10 действий. Выполняем их по проставленному порядку.

Выполним действия в скобках:

18 + 8 : (27 — 25) — 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8

1. 27 — 25 = 2
2. 6 + 4 = 10

   После выполнения действий в скобках выражение стало выглядеть так:

   18 + 8 : 2 — 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8

   Теперь выполним все действия второй ступени — умножение и деление:

   18 + 8 : 2 — 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8

3. 8 : 2 = 4
4. 2 · 8 = 16
5. 4 · 10 = 40
6. 16 : 8 = 2

   После выполнения действий второй ступени выражение стало выглядеть так:

   18 + 4 — 16 + 40 + 2

   Теперь выполним все действия первой ступени — сложение и вычитание:

   18 + 4 — 16 + 40 + 2

7. 18 + 4 = 22
8. 22 — 16 = 6
9. 6 + 40 = 46
10. 46 + 2 = 48

    18 + 8 : (27 — 25) — 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8 = 48

Коротко:

Известные и великие математики

ученые средневековья и современности, и их вклад в мировую науку

Пафнутий Чебышёв

Русский математик и механик
Дата рождения: 16 мая 1821
Место рождения: Акатово, Боровский уезд, Калужская губерния, Российская империя
Дата смерти: 8 декабря 1894 (73 года)

Биография

Первоначальное воспитание и образование получил дома: грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна. Арифметике, французскому языку и музыке обучала двоюродная сестра Авдотья Квинтилиановна Сухарёва. Одним из детских увлечений будущего учёного было изучение механизмов игрушек и автоматов, которые сам придумывал и изготовлял их.

В 1832 году семья переехала в Москву. В Москве с Пафнутием математикой и физикой занимался П. Н. Погорельский — один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился, в пансионе Вейденгаммера, и И. С. Тургенев. Латынь Пафнутию Чебышёву преподавал в то время студент-медик, а в будущем главный врач Шереметевской больницы А. Т. Тарасенков.

Летом 1837 года Чебышёв поступил в Императорский Московский университет на вторе физико- математическе отделение философского факультета и начал изучение математики . Существенное влияние на формирование круга научных интересов молодого Чебышёва оказал его учитель — профессор прикладной математики и механики Московского университета Николай Дмитриевич Брашман.

В 1841 году Пафнутий Чебышёв его окончил.

В 1846 году он успешно защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В 1847 году Чебышёв был утверждён в звании адъюнкт-профессора Петербургского университета. Чтобы получить право чтения лекций в университете, он защитил ещё одну диссертацию — на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов», после чего читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, геометрии, теории эллиптических функций и практической механике.

В 1846 году он успешно защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В 1847 году Чебышёв был утверждён в звании адъюнкт-профессора Петербургского университета. Чтобы получить право чтения лекций в университете, он защитил ещё одну диссертацию — на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов», после чего читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, геометрии, теории эллиптических функций и практической механике.

В 1849 году Чебышёв защитил в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», после чего в 1850 году он стал профессором Петербургского университета; данную должность он занимал до 1882 года. Работая в Петербургском университете, Чебышёв близко сошёлся с профессором прикладной математики О. И. Сомовым, который тоже был учеником Н. Д. Брашмана, и эти отношения переросли в глубокую дружбу. В семейном плане Чебышёв был одинок, и это обстоятельство также способствовало его сближению с большой семьёй Сомова.

Интерес к механизмам сохранялся у Чебышёва и в зрелые годы. В 1852 году Чебышёв совершил научную командировку в Великобританию, Францию и Бельгию, в ходе которой он ознакомился с практикой зарубежного машиностроения, с музейными коллекциями машин и механизмов, с работой заводов и фабрик, а также встречался с крупнейшими математиками и механиками: О. Коши, Ж. Лиувиллем, Ж. -А. Серре, Л. Фуко, Ш. Эрмитом, Дж. Сильвестром, А. Кэли, Т. Грегори. После этого он некоторое время преподавал практическую механику в Петербургском университете и Александровском лицее.

В 1853 году академики П. Н. Фусс, В. Я. Струве, Б. С. Якоби, В. Я. Буняковский представили Чебышёва к избранию в адъюнкты Петербургской академии наук, особо отметив важность его работ в области практической механики. В том же году он был избран в адъюнкты, а в 1856 году стал экстраординарным академиком.

В 1858 году в связи с его работами по теории шарнирных параллелограммов и теории приближения функций академики В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский, Э. Х. Ленц, Б. С. Якоби, А. Я. Купфер, О. В. Струве подписали представление к избранию Чебышёва ординарным академиком. И 1859 году Чебышёв избран ординарным академиком. Стал почётным членом Московского университета.

С 22 февраля 1860 года — ординарный профессор.

С 10 июля 1863 года — член Учёного комитета Министерства народного просвещения.

С 30 августа 1863 года — действительный статский советник.

Чем знаменит:

• В 1840/1841 учебном году, участвуя в студенческом конкурсе Императорского Московского университета, Пафнутий Чебышёв получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-й степени которую написал ещё в 1838 году и сделаную на основе алгоритма Ньютона
• Работы по теории вероятностей — изъяв из неё расплывчатые формулировки и неправомерные утверждения и превратив её в строгую математическую дисциплину
• Работы по теории чисел
• Работы по математическому анализу
• Работы по прикладной математике и механике
• Работы по «стопоходящей машины»
• Создатель автоматического арифмометра
• оздатель модели инвалидной коляски
• оздатель
• Работы по

• Назад
• Вперед

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Рейтинг: ( 0 Рейтинг )

Wildberries начал увольнять сотрудников, кроме штрейкбрехеров Дача за 225 миллионов Банковская система США начала давать сбои Wildberries утонула в бесконечных скандалах Над Москвой барражировали неизвестные беспилотники Воин сам решает возникающие проблемы Закон о повышении призывного возраста Рак простаты Видео побега по проводам Спас аварийный парашют самолета Выявлен ранний признак деменции Буду баллотироваться в президенты Украины в 2024 году Контрпредложение Медведева Binance перекрыла «умным россиянам» кислород Переход на электронную платёжку ЖКХ Ликвидация партии «Яблоко»

Запомнить меня

Регистрация

 

абстрактная алгебра — определение группового действия

спросил 10 лет, 11 месяцев назад

Изменено 7 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

В настоящее время я прохожу курс абстрактной алгебры, и мы используем учебник Теда Шифрина «Абстрактная алгебра: геометрический подход». В главе о групповых действиях и симметрии он определяет групповые действия следующим образом.0005

$$\phi: G \mapsto \operatorname{Perm}(S)$$

где $G$ — группа, действующая на множестве $S$. Тем не менее, большинство интернет-источников, с которыми я сталкивался, определяют групповое действие как

$$\phi: G \times S \to S$$

. являются чрезмерно краткими. Может ли кто-нибудь помочь мне согласовать эти два определения?

• абстрактная алгебра
• теория групп
• симметрия

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Первое определение предполагает, что отображение $\phi: G \to \mbox{Perm}S$ является гомоморфизмом групп, т. е. что отображение сохраняет умножение. Теперь уже элементы $\mbox{Perm}(S)$ являются просто биекциями $p: S \to S.$ Итак, для любого $g \in G $\phi(g): S \to S$ будет такая биекция. Возможно, стоит подчеркнуть, что $\phi$ переводит элемент из $g$ в функцию на $S.$ Иногда мы записываем эту функцию как $\phi_g.$ Это делает запись более удобной; лучше написать $\phi_g(s)$ для образа элемента $s \in S$ под действием функции $\phi(g) \in \mbox{Perm}(S)$, чем $ \фи(г)(с).$

В любом случае соответствующее отображение $\psi: G \times S \to S$ есть просто $\psi(g,s) = \phi_g(s),$, т.е. образ $s$ при $\phi (g).$ Эта карта на самом деле дает групповое действие, поскольку $\phi_{g h} = \phi(g h) = \phi(g) \circ \phi(h)= \phi_g \circ \phi_h$, поэтому $\ psi(g h,s) = \phi_{g h}(s) = \phi_g(\phi_h(s)) = \psi(g,\psi(h,s)),$, что требуется для отображения быть групповым действием (см. комментарий @Dylan Moreland).

И наоборот, если бы мы начали с такого группового действия $\psi: G \times S \to S$, удовлетворяющего $\psi(g h, s) = \psi(g, \psi(h,s)) , $, то мы можем определить $\phi: G \to \mbox{Perm}(S)$ по тому, как образ элемента g при $\phi$ действует на элементы $s. $ То есть мы определяем $ \phi(g)$ должен быть таким элементом $f:S\to S$ $\mbox{Perm}{S}$, что $f(s) = \psi(g,s).$ Тогда вы можете проверить что это дает гомоморфизм $G$ в $\mbox{Perm}{S}.$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Ваше авторское определение — это представление перестановки , которое эквивалентно групповому действию.

Если $\varphi:G \to \mathrm{Perm}(S)$, то при наличии $g \in G$, $\varphi(g) \in \mathrm{Perm}(S)$ (перестановка $С$). Предположим, что $s\in S$, тогда можно определить $g \cdot s = (\varphi(g))(s)$. Нетрудно показать, что это групповое действие.

И наоборот, если имеется групповое действие, нетрудно показать, что $s \mapsto g\cdot s$ является перестановкой, назовем ее $\varphi(g)$. Тогда имеется отображение $\varphi:G\to \mathrm{Perm}(S)$, которое является групповым гомоморфизмом.

Итак, вы можете рассмотреть гомоморфизм вашей группы в группу перестановок на $S$ или вы можете рассмотреть свою группу, действующую на $S$. Они как бы две стороны одной медали.

Такие вещи появляются во многих контекстах, обычно под именами представление 9СС}$. Второе определение похоже на карту $f$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Это не совсем одно и то же, поскольку перестановки биективны. Но если мы позволим себе карту

$$ G\longrightarrow \operatorname{End}(S)$$

, где $\operatorname{End}$ просто функции $S\rightarrow S$, то между два определения. Для заданной карты $\sigma:G\times S\rightarrow S$ мы получаем другую карту, посылая $g\in G$ функции $f_g$, которая переводит $s\in S$ в $f_g(s)=\sigma (г,с)$.

И наоборот, если у нас есть карта $\phi:G\стрелка вправо \operatorname{End}(S)$. Затем мы переводим $(g,s)\in G\times S$ в $\phi(g)(s)$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

В первом определении $g \in G$ отправляется в некоторую перестановку $S$, назовем ее $\phi_g$. Отображение $\phi \colon G \to \text{Perm}(S)$ удовлетворяет некоторым свойствам (в основном, $\phi_g\circ\phi_h=\phi_{gh}$). С другой стороны, второе определение дает отображение $G \times S \to S$. Что это за карта? Это карта, которая отправляет $(g,s) \maps в \phi_g(s)$.

$\endgroup$

U-P Почему нам нужно прежде всего понимание, а затем подход к обучению математике

Большинство учителей согласны с тем, что для достижения успехов в математике учащимся необходимы процедурные знания. Тем не менее, эта статья объяснит, почему возникает проблема чрезмерного акцента на процедурном обучении.

Объяснение традиционного мышления, ориентированного на процедуры. В первые годы преподавания я был учителем процедур. Позвольте мне объяснить … Как учитель, ориентированный на процедуры, я приходил в класс, имея в качестве главного приоритета обучение следующей серии процедур текущей единицы работы и получение учениками достаточной практики с этими процедурами. . Конечно, я время от времени добавлял какие-то альтернативные занятия и исследования. Однако моим приоритетом по умолчанию и приоритетом номер один было обучение процедурам. На самом деле, я даже не считал это приоритетом, потому что методы обучения были тем, чем я считал преподавание математики. У меня есть основания полагать, что, хотя никто не обучает ТОЛЬКО с помощью процедур, подход «сначала процедуры» остается доминирующим подходом, используемым сегодня на уроках математики.

Наши онлайн-курсы влияют на классы Концептуальная математика Вовлечение студентов GeoGebra Proficiency Перевернутое обучение Меню курса

Как учитель процедур, я считаю, что ученики приобретают математическое понимание через практику процедур. При условии, что учащиеся ответили на достаточное количество вопросов, основанных на определенной рутине или процедуре, они приобрели бы необходимое математическое понимание.

Этот взгляд проповедовали мне, когда я был студентом, и это, безусловно, была мантра, которую я проповедовал своим ученикам, когда начинал преподавать.

Но как учитель процедур, я знал, что многие ученики так и не пришли к настоящему пониманию — для многих приобретенное понимание было не более чем смутным представлением о том, какую процедуру использовать в той или иной ситуации.

«Настоящее понимание», о котором я говорил выше, происходит, когда учащиеся понимают концепцию, на которой основана данная процедура или процедура.

Вот почему мы могли бы обозначить подход (или образ мышления) как сначала Процедуры, а затем Понимание; то есть акцент делается на обучении процедурам в НАДЕЖДЕ, что последует понимание. Основное внимание уделяется не математическому пониманию, а обучению процедурам.

Обратите внимание, что я не критикую учителей. Мы все делаем все возможное с тем, что знаем. Но дело в том, что мы знаем только то, что знаем, и не знаем того, чего не знаем. И одна вещь, о которой многие выдающиеся процедуралисты, кажется, не подозревают, заключается в том, что подход, основанный на процедурах, имеет серьезный недостаток.

Если мы придем на уроки математики с мышлением, ориентированным на процедуры; затем, по умолчанию, мы значительно уменьшаем вероятность того, что учащиеся поймут концепцию, на которой основана та или иная процедура.

Предположим, это проявляется во многих подпрограммах и процедурах. Затем мы получаем, что потенциально многие ученики НЕ понимают математические задачи, над которыми они работают в течение большого количества времени на большом количестве уроков. Затем эти студенты не могут установить связи между процедурами из-за отсутствия у них концептуального понимания. Школьная математика становится для многих из этих учеников не более чем кошмарной тратой времени.

Обучение процедурам должно оставаться приоритетом. Тем не менее, я предлагаю, чтобы учащиеся поняли концепцию, на которой основана данная процедура, является наивысшим приоритетом, за которым следует изучение процедур.

Комитет по развитию науки об обучении (2000, стр. 8) назвал «обучение с пониманием (как) одним из отличительных признаков новой науки об обучении». Другими словами, для того, чтобы произошло обучение, необходимо наличие понимания.

То, что понимание должно присутствовать, чтобы происходило обучение, настолько очевидно, что я понятия не имею, зачем его нужно исследовать. (Когда в последний раз вы успешно изучали что-то сложное, в чем у вас не было никакого понимания?) Но вот оно — утверждение, подтвержденное исследованиями — для обучения необходимо наличие понимания!

Я слышу возражения… но Ричард, студенты ДОЛЖНЫ разобраться с концепциями, прежде чем по-настоящему понять их. Верить в то, что студенты каждый раз поймут концепцию с первого раза, смешно!

Я согласен с тем, что изучение математики повышает устойчивость. Однако все мы знаем, что когда ученики не понимают математику, над которой они работают в течение длительного периода времени, они начинают не любить — даже ненавидеть — математику; они выключаются, и дверь к осмысленному обучению закрывается.

Кроме того, и это мой ключевой момент, существует огромная разница между учащимися, сталкивающимися с некоторой математикой (с определенной степенью уверенности, что они в конечном итоге ее поймут), и учащимися, которые мало что понимают в большинстве математических задач, которые мы им даем. делать.

В заключение я полагаю, что установка «Сначала Процедуры, а затем на Понимание» приводит к тому, что слишком много учащихся тратят ненужное количество времени, не понимая задачи, которые им поручено выполнить. А это приводит к отчуждению, что, в свою очередь, блокирует их обучение и формирует мышление «я неудачник в математике».

Последующий вопрос, который следует задать, звучит так:
Как сделать так, чтобы больше учащихся лучше понимали, над чем они работают, и уделяли больше времени на большем количестве уроков?

Вместо того, чтобы работать с мышлением, ориентированным на процедуры, почему бы не подготовить учащихся к предстоящим процедурам, представив им хорошо структурированные исследовательские действия, которые способствуют пониманию самих концепций, на которых основаны предстоящие процедуры?

Учителя, которые приходят на уроки математики с мышлением, ориентированным прежде всего на понимание, а затем на процедуры, осознают важность процедур и процедурных знаний. Тем не менее, они осознают, что ключевой целью является то, чтобы учащиеся понимали, над чем они работают большую часть времени урока. И они понимают, что для достижения этой цели им необходимо дать возможность своим ученикам понять концепции, на которых основаны процедуры и процедуры.

Следующие пункты являются общими для любого подхода, основанного на понимании. Можно было бы добавить больше.

• Используйте задания, которые требуют от учащихся использования собственного мышления для изучения понятий, лежащих в основе процедур, которым скоро предстоит научиться.
  
• (Поэтому) используйте хорошо структурированные задания, которые имеют определенную степень открытости и ориентированности на учащихся.
• Где возможно и когда это уместно, пусть учащиеся совместно определят связанные процедуры и отработают эти открытия всем классом.
  
• Как правило, старайтесь, чтобы учащиеся понимали математику, над которой они работают, большую часть времени урока.