Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз. 4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

 

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо. Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

 

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Урок 10. порядок выполнения действий в числовых выражениях — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №10. Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях без скобок?

— В какой последовательности выполняются действия в выражениях со скобками?

Глоссарий по теме:

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку: слева направо.

Если в выражение без скобок входят не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то сначала выполняются по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание также по порядку.

Если в выражение есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а затем в установленном порядке сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 24.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 15.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выполним вычисления устно и расставим значения выражений в порядке возрастания.

Подсказка: Он должен быть в доме, в шкафу, на столе и даже в портфеле ученика.

В результате вычислений получилось:

Действительно во всём должен быть порядок и в математике тоже.

Выполняя задания, мы пользуемся законами и правилами математики. Эти правила и законы и поддерживают математический порядок.

Выполняя устные вычисления, мы выполняли действия по порядку. В выражениях использовали действия умножения и деления.

Рассмотрим выражения:

6 ∙ 3 + 4 : 2; 27 : 3 — 2 ∙ 2; 2 ∙ (5 + 4).

Это числовые выражения. Для их составления использовали числа и знаки действий.

Использовали не только умножение и деление, но и сложение, вычитание. В каком порядке будем выполнять действия?

В выражении 76 – 27 + 9 – 10 использовали знаки сложения и вычитания. Выполнять действия нужно по порядку: слева направо.

В выражении 80 : 8 ∙ 2 использовали знаки умножения и деления. Выполнять действия нужно также по порядку: слева направо.

Вывод: Если в выражениях только сложение и вычитание или умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

Выражения могут содержать сложение и вычитание, и умножение, и деление. В этом случае сначала выполняются деление и умножение по порядку. В математике эти действия считаются сильными. А затем сложение и вычитание тоже по порядку.

В математике есть способ, который позволяет выделить какое-то действие. Это постановка скобок. Скобки показывают, что действие внутри них, выполняется в первую очередь.

Действия в числовых выражениях выполняются в следующем порядке:

1. Действия записанные в скобках;
2. Умножение иделение по порядку: слева направо;
3. Сложение и вычитание по порядку: слева направо.

Знания этих математических правил позволит правильно находить значения выражений и не нарушать порядок.

Порядок действий в выражениях особый. 
И в каждом случае, помните, он свой. 
В порядке все действия выполняйте.

Сначала в скобках все посчитайте.

Потом чередом, умножайте или делите.

И, наконец, вычитайте или сложите.

Тренировочные задания.

1. Выберите действие, которое будет в выражение первым.

38 + 4 ∙ 7 + 19

Правильный ответ: умножение.

2. Выберите действие, которое в выражение будет последним.

40 : 5 + 12 – 8 : 2

Правильный ответ: вычитание.

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

38 – (10 + 6) = 22;

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1)      действия, заключенные в скобках;

2)      умножение и деление;

3)      сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Порядок выполнения действий без скобок и со скобками

Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

1. Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:

2. Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:

3. Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Дробная черта

Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:

13 + 2	= (13 + 2) : (10 — 7).
10 — 7

Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

20 : 4(2 + 3)

нельзя заменить на

потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.

20 : 4(2 + 3) ≠	20	;
	4(2 + 3)

20	= 20 : (4(2 + 3)).
4(2 + 3)

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.

Порядок выполнения действий: правила, примеры.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6:2·8:3?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·2:2=5+2:2=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

(3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Что сперва умножение или деление

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами &#128578;

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 – 9 = 1

Сначала выполняем действия в скобках:
16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6
2 + 5 = 7

Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 – 2 · 6 + 6 · 7 =
= 9 + 4 – 12 + 42 =
= 43

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
8 – 6 = 2
10 – 2 · 3 = 10 – 6 = 4

действия в квадратных скобках дают:
14 – 3 · 2 = 8

выполняя остающиеся действия скобках находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

Порядок действий:
30 – 20 = 10
35 – 10 = 25
100 – 25 = 75
75 · 2 = 150

Порядок действий

В уроке выражения мы узнали, что они бывают числовые и буквенные. Мы рассмотрели несколько числовых и буквенных выражений. Это были самые простейшие выражения.

Настало время сдвинуться с мёртвой точки и рассмотреть более сложные выражения. В данном уроке мы познакомимся с порядком выполнения действий.

Выражения могут состоять из нескольких чисел. Таковыми к примеру являются следующие выражения:

10 − 1 + 2 + 3
(3 + 5) + 2 × 3
5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Такие выражения нельзя вычислить сразу, то есть поставить знак равенства и записать значение выражения. Да и выглядят они не так просто, как 2 + 2 или 9 − 3.

Для подобных выражений принято соблюдать так называемый порядок действий. Суть в том, что выражение вычисляется кусочками по определённому порядку.

Когда нам требуется решить подобные примеры, мы сразу должны мысленно прочитать следующее правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение 10 − 1 + 2 + 3. Видим, что в нём нет никаких скобок. Тогда переходим к следующему правилу, которое выглядит так:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Видим, что в нём нет никакого умножения или деления. Тогда переходим к следующему правилу:

Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же выполняем эту операцию!

Читаем наше выражение 10 − 1 + 2 + 3 слева направо. Встречаем вычитание 10 − 1. Сразу выполняем эту операцию: 10 − 1 = 9. Полученную девятку запишем в главном выражении вместо 10 − 1

Затем снова читаем те, правила, которые мы прочитали выше. Читать их нужно в следующем порядке:

1. Сначала вычислить то, что находится в скобках!

2. Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же применяем эту операцию!

3. Читаем выражение слева направо. Если встретится сложение или вычитание, то сразу же применяем эту операцию!

Сейчас у нас имеется выражение 9 + 2 + 3 Читаем его слева направо и встречаем сложение 9 + 2. Выполняем эту операцию: 9 + 2 = 11. Запишем число 11 в главном выражении вместо 9 + 2:

Осталось простейшее выражение 11 + 3, которое вычисляется легко:

11 + 3 = 14

Таким образом, значение выражения 10 − 1 + 2 + 3 равно 14

10 − 1 + 2 + 3 = 14

Иногда удобно расставить порядок действий над самим выражением. Для этого над операцией, которую необходимо выполнить, указывают её очередь. К примеру, в выражении 10 − 1 + 2 + 3 все действия выполняются последовательно слева направо, поэтому для него можно определить следующий порядок:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  10 − 1 = 9

2)   9 + 2 = 11

3)  11 + 3 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий. Например, решение для выражения 10 − 1 + 2 + 3 можно записать следующим образом:

Но если человек не научился быстро считать в уме, то не рекомендуется использовать такой способ.

---

Пример 2. Найти значение выражения (3 + 5) + 2 × 3

Применим правила порядка действий. Прочитаем правила в порядке их приоритета.

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Посмотрим на выражение (3 + 5) + 2 × 3. Видим, что в нём есть выражение в скобках (3 + 5). Вычислим то, что в этих скобках: 3 + 5 = 8. Запишем полученную восьмёрку в главном выражении вместо выражения в скобках:

8 + 2 × 3

Снова читаем первое правило:

Сначала вычислить то, что находится в скобках!

Видим, что в выражении 8 + 2 × 3 нет никаких скобок. Тогда читаем следующее правило:

Читаем выражение слева направо. Если встретится умножение или деление, то сразу же выполняем эту операцию!

Посмотрим на наше выражение 8 + 2 × 3. Видим, что в нём есть умножение 2 × 3. Выполним эту операцию: 2 × 3 = 6. Запишем полученную шестёрку в главном выражении вместо 2 × 3

8 + 6

Осталось простейшее выражение 8 + 6, которое вычисляется легко:

8 + 6 = 14

Таким образом, значение выражения (3 + 5) + 2 × 3 равно 14

(3 + 5) + 2 × 3 = 14

Также, этот пример можно решить, расставив порядок действий над самим выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, а сумма — третьим:

И далее можно выполнить действия по отдельности, что очень удобно:

1)  3 + 5 = 8

2)   2 × 3 = 6

3)  8 + 6 = 14

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Но опять же, используя такой способ, нужно быть очень внимательным.

---

Пример 3. Найти значение выражения 5 × 2 + (5 − 3) : 2 + 1

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, умножение — вторым действием, деление — третьим действием,  четвёртое и пятое действие являются суммами и они будут выполнены в порядке их следования:

1)  5 − 3 = 2

2)  5 × 2 = 10

3)  2 : 2 = 1

4)  10 + 1 = 11

5)  11 + 1 = 12

Также, можно поставить знак равенства и сразу начать вычислять выражение в порядке приоритета действий:

Четвёртое и пятое действие заключалось в том, чтобы вычислить оставшееся простейшее выражение 10 + 1 + 1. Мы не стали тратить время на выполнение каждого из этих действий, а поставили знак равенства и записали ответ 12.

---

Пример 4. Найти значение выражения (3250 − 2905) : 5

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, а деление — вторым

1)  3250 − 2905 = 345

2)  345 : 5 = 69

В скобках могут выполняться два и более действия. Бывает даже так, что в скобках встречаются другие скобки. В таких случаях нужно применять те же правила, которые мы изучили ранее.

Пример 5. Найти значение выражения (6 411 × 8 − 40799) × 6

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется умножение и вычитание. Согласно порядку действий, умножение выполняется раньше вычитания.

В данном случае сначала нужно 6 411 умножить на 8, и из полученного результата вычесть 40 799. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат будет умножен на 6.

В результате будем иметь следующий порядок:

1)  6 411 × 8 = 51 288

2)  51 288 − 40 799 = 10 489

3)  10 489 × 6 = 62 934

---

Пример 6. Найти значение выражения: 1 657 974 : 822 × 106 − (50 377 + 20 338)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием, деление будет вторым действием, умножение — третьим, вычитание — четвёртым.

1) 50 377 + 20 338 = 70 715

2) 1 657 974 : 822 = 2 017

3) 2 017 × 106 = 213 802

4) 213 802−70 715 = 143 087

---

Пример 7. Найти значение выражения: 14 026 − (96 : 4 + 3680)

Расставим порядок действий над выражением. Действие в скобках будет первым действием. При этом в скобках выполняется деление и сложение. Согласно порядку действий деление выполняется раньше сложения.

В данном случае сначала нужно 96 разделить на 4, и полученный результат сложить с 3 680. Полученный результат будет значением выражения, содержащегося в скобках. Этот результат нужно вычесть из 14 026. В результате будем иметь следующий порядок:

1) 96 : 4 = 24

2) 24 + 3 680 = 3 704

3) 14026 − 3 704 = 10 322

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

5 + 2 − 2 − 1

Решение

Задание 2. Найдите значение выражения:

14 + (6 + 2 × 3) − 6

Решение

Задание 3. Найдите значение выражения:

486 : 9 − 288 : 9

Решение

Задание 4. Найдите значение выражения:

756 : 3 : 4 × 28

Решение

Задание 5. Найдите значение выражения:

807 : 3 − (500 − 58 × 4)

Решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Порядок операций

Когда у вас есть математическая задача, которая включает более одной операции, например, сложение и вычитание или вычитание и умножение ? Что вы делаете в первую очередь?

Пример № 1 : 6? 3 х 2 =?

• Вы делаете сначала вычитание (6? 3 = 3), а затем умножение (3 x 2 = 6 )?
• Или вы начнете с умножения (3 x 2 = 6), а затем вычтите (6? 6 = 0 )?

PEMDAS

В подобных случаях мы следуем порядку операций . Порядок, в котором должны выполняться операции, сокращен до PEMDAS :

1. P arentheses
2. E xponents
3. M ultiplication и D ivision (слева направо)
4. A ddition и S ubtraction (слева направо)

(Один из способов запомнить это — вспомнить фразу P lease E xcuse M y D ear A Unt S союзник.)

• В приведенном выше примере мы имеем дело с умножением и вычитанием. Ультипликация M идет на шаг перед убиранием S , поэтому сначала мы умножаем 3 x 2, а затем вычитаем сумму из 6, получая 0.

Пример № 2 : 30 5 x 2 + 1 =?

• Нет арентезов P .
• Нет компонентов E .
• Начнем с ultiplication M и ivision D , работая слева направо.
  ПРИМЕЧАНИЕ: Несмотря на то, что умножение предшествует делению в PEMDAS, они выполняются в одном шаге слева направо. Сложение и вычитание также выполняются на одном этапе.
• 30 5 = 6 , в результате чего 6 x 2 + 1 =?
• 6 x 2 = 12 , в результате чего 12 + 1 =?
• Затем мы выполняем A ddition: 12 + 1 = 13

Обратите внимание, что если бы мы выполняли умножение до деления, то получили бы неправильный ответ:

• 5 x 2 = 10 , оставляя 30 10 + 1 =?
• 30 10 = 3 , оставляя 3 + 1 =?
• 3 + 1 = 4 (на 9! Меньше!)

Последний пример для продвинутых студентов, использующий все шесть операций:

Пример № 3 : 5 + (4? 2) ² х 3 6? 1 =?

• Начать с P арентезов: 4? 2 = 2 .(Хотя вычитание обычно выполняется на последнем шаге, потому что оно указано в скобках, мы делаем это в первую очередь.) Остается 5 + 2 ² x 3 6? 1 =?
• Тогда E xponents: 2 ² = 4 . Теперь у нас 5 + 4 x 3 6? 1 =?
• Затем M ultiplication и D ivision, начиная слева: 4 x 3 = 12 , оставляя нас с 5 + 12 6? 1 =?
• Затем двигаемся вправо: 12 6 = 2 , что делает задачу 5 + 2? 1 =?
• Затем A ddition и S ubtraction, начиная слева: 5 + 2 = 7 , оставляя 7? 1 =?
• И, наконец, вправо: 7? 1 = 6

(Для большей практики попробуйте нашу игру Operation Order!)

Десятичные эквиваленты обыкновенных дробей

Числа и формулы

Десятичные эквиваленты обыкновенных дробей

.com / ipa / 0/9/3/3/3/4 / A0933340.html

Порядок действий: PEMDAS

Purplemath

Если вас просят упростить что-то вроде «4 + 2 × 3», естественно возникает вопрос: «Как мне это сделать? Потому что есть два варианта!» Я мог бы добавить первым:

4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18

…или я мог сначала умножить:

4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10

Какой ответ правильный?

MathHelp.com

Кажется, ответ зависит от того, как вы смотрите на проблему.Но у нас не может быть такой гибкости в математике; математика не сработает, если вы не можете быть уверены в ответе или если можно вычислить одно и то же выражение, чтобы вы могли прийти к двум или более различным ответам.

Чтобы устранить эту путаницу, у нас есть некоторые правила приоритета, установленные, по крайней мере, еще в 1500-х годах, которые называются «порядком операций». «Операциями» являются сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и группирование; «порядок» этих операций указывает, какие операции имеют приоритет (о которых позаботятся) перед другими операциями.

Распространенным методом запоминания порядка действий является сокращение (или, точнее, «акроним») «PEMDAS», которое превращается в мнемоническую фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли». Эта фраза означает «круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание» и помогает запомнить их порядок. В этом списке указаны ранги операций: скобки опережают показатели, которые превосходят умножение и деление (но умножение и деление находятся в одном ранге), а умножение и деление превосходят сложение и вычитание (которые вместе находятся в нижнем ранге).Другими словами, приоритет:

1. Круглые скобки (внутри них упростить)
2. Экспоненты
3. Умножение и деление (слева направо)
4. Сложение и вычитание (слева направо)

Когда у вас есть несколько операций одного ранга, вы просто действуете слева направо. Например, 15 ÷ 3 × 4 не 15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12, а скорее (15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4, потому что, идя слева направо, вы попадаете в разделение подпишитесь первым.

Если вы не уверены в этом, проверьте это на своем калькуляторе, который был запрограммирован с иерархией порядка операций. Например, набрав это выражение в графическом калькуляторе, вы получите:

Используя приведенную выше иерархию, мы видим, что в вопросе «4 + 2 × 3» в начале этой статьи, вариант 2 был правильным ответом, потому что мы должны выполнить умножение, прежде чем выполнять сложение.

---

(Примечание: носители британского английского часто вместо этого используют аббревиатуру «BODMAS», а не «PEMDAS». BODMAS означает «скобки, порядки, деление и умножение, а также сложение и вычитание». и «порядки» совпадают с показателями, два акронима означают одно и то же. Кроме того, вы можете видеть, что буквы «M» и «D» перевернуты в британо-английской версии; это подтверждает, что умножение и деление того же «звания» или «уровня».Канадцы, говорящие по-английски, разделяют разницу, используя BEDMAS.)

Порядок операций был определен, чтобы предотвратить недопонимание, но PEMDAS может создать свою собственную путаницу; некоторые студенты иногда склонны применять иерархию, как будто все операции в задаче находятся на одном «уровне» (просто идут слева направо), но часто эти операции не «равны». Во многих случаях это помогает решать проблемы изнутри, а не слева направо, потому что часто некоторые части проблемы находятся «глубже», чем другие части.Лучший способ объяснить это — привести несколько примеров:

Мне нужно упростить термин с показателем, прежде чем пытаться добавить 4:

Я должен упростить в круглых скобках, прежде чем я смогу провести экспоненту. Только после этого я смогу добавить 4.

4 + (2 + 1) ² = 4 + (3) ² = 4 + 9 = 13

• Упростить 4 + [–1 (–2 — 1)]

  ² .

Я не должен пытаться делать эти вложенные круглые скобки слева направо; этот метод слишком подвержен ошибкам. Вместо этого я постараюсь работать изнутри. Сначала я упрощу внутри фигурных скобок, затем упрощу внутри квадратных скобок и только потом займусь квадратом. После этого я наконец могу добавить 4:

4 + [–1 (–2 — 1)] ²

= 4 + [–1 (–3)] ²

= 4 + [3] ²

= 4 + 9

= 13

---

Использование квадратных скобок («[» и «]» выше) вместо скобок не имеет особого значения.Скобки и фигурные скобки (символы «{» и «}») используются, когда есть вложенные круглые скобки, как помощь в отслеживании того, какие круглые скобки к которым идут. Различные символы группировки используются только для удобства. Это похоже на то, что происходит в электронной таблице Excel, когда вы вводите формулу, используя круглые скобки: каждый набор скобок имеет цветовую кодировку, поэтому вы можете определить пары:

---

• Упростить 4 (

  ^–2 / ₃ + ⁴ / ₃ ).

Сначала я упрощу внутри скобок:

Итак, мой упрощенный ответ

⁸ / ₃

На следующей странице есть еще примеры отработанных примеров ….

---

URL: https: // www.purplemath.com/modules/orderops.htm

Порядок операций — PEMDAS

Операции

«Операции» означают такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д. Если это не число, это, вероятно, операция.

Но, когда вы видите что-то вроде …

7 + (6 × 5 ² + 3)

… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?

Начать слева и пойти направо?
Или идти справа налево?

Предупреждение: вычислите их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!

Итак, давным-давно люди согласились следовать правилам при расчетах, а это:

Порядок действий

Действия, указанные в скобках, сначала

		4 × (5 + 3)	=	4 × 8	=	32
		4 × (5 + 3)	=	20 + 3	=	23	(неверно)

Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием

		5 × 2 2	=	5 × 4	=	20
		5 × 2 2	=	10 2	=	100	(неверно)

Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(неверно)

В противном случае просто идите слева направо

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(неверно)

Как я все это помню…? ПЕМДАС!

пол	P первые скобки
E	E xponents (т.е. степени, квадратные корни и т. Д.)
MD	M ultiplication и D ivision (слева направо)
AS	A ddition и S ubtraction (слева направо)

Разделение и Умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).

Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)

Так сделай так:

После того, как вы сделали «P» и «E», просто идите слева направо, выполняя любые «M» или «D», как вы их найдете.

Затем идите слева направо, выполняя любые «A» или «S», когда найдете их.

	Вы можете вспомнить, сказав: « P lease E xcuse M y D ear A unt S ally».
Или …	Пухлые эльфы могут потребовать перекус Попкорн Каждый понедельник Пончики Всегда воскресенье Ешьте, пожалуйста, вкусные яблочные штрудели мамы человек повсюду приняли решения по суммам

Примечание: в Великобритании говорят BODMAS (скобки, заказы, деление, умножение, сложение, вычитание), а в Канаде говорят BEDMAS (скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание). Все это означает одно и то же! Неважно, как вы это запомните, главное, чтобы вы все поняли правильно.

Примеры

Пример: как вы работаете с

3 + 6 × 2 ?

M Ультипликация до A ddition:

Сначала 6 × 2 = 12 , затем 3 + 12 = 15

Пример: как вычислить

(3 + 6) × 2 ?

P первые скобки:

Сначала (3 + 6) = 9 , затем 9 × 2 = 18

Пример: Как вы работаете с

12/6 × 3/2 ?

M ultiplication и D ivision ранжируются одинаково, поэтому просто идите слева направо:

Сначала 12/6 = 2 , затем 2 × 3 = 6 , затем 6/2 = 3

Практический пример:

Пример: Сэм бросил мяч прямо вверх со скоростью 20 метров в секунду, как далеко он улетел за 2 секунды?

Сэм использует эту особую формулу, которая включает эффекты гравитации:

высота = скорость × время — (1/2) × 9.8 × время ²

Сэм устанавливает скорость 20 метров в секунду и время 2 секунды:

высота = 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Теперь о расчетах!

Начать с: 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Сначала скобки: 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 2 ²

Тогда экспоненты (2 ² = 4): 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 4

Затем умножается: 40 — 19,6

Вычесть и СДЕЛАНО! 20.4

Мяч достигает 20,4 метра за 2 секунды

Показатели степени …

А как насчет этого примера?

4 ^{3 2}

Показатели — особые: идут сверху вниз, (сначала экспонента вверху). Итак, вычисляем так:

Начать с:		4 3 2
3 2 = 3 × 3:		4 9
4 9 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4:		262144

Итак 4 ^{3 2} = 4 ^{(3 2 )} , а не (4 ³ ) ²

И, наконец, как насчет примера с самого начала?

Начать с: 7 + (6 × 5 ² + 3)

Скобки сначала , а затем Показатели : 7 + (6 × 25 + 3)

Затем Умножаем : 7 + (150 + 3)

Затем Добавьте : 7 + (153)

Скобки завершены: 7 + 153

Последняя операция — Добавить : 160

Каков порядок действий? [Видео и практика]

Порядок действий

«Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли.

Теперь я знаю, о чем вы думаете: «Что на самом деле означает эта фраза?» Совсем немного, потому что это высказывание дает ключ к запоминанию важной математической концепции: порядка операций.

Порядок операций — одно из наиболее важных математических понятий, которые вам предстоит изучить, поскольку он определяет способ вычисления проблем. Это дает нам шаблон, чтобы все решали математические задачи одинаково.

Давайте начнем с простого вопроса. Что такое операция?

Операция — это математическое действие.Сложение, вычитание, умножение, деление и вычисление корня — все это примеры математической операции. Давайте посмотрим на эту проблему:

\ (7 \ times 4-6 =? \)

Выглядит просто, правда? Что ж, это было бы не так просто, если бы мы не понимали порядок, в котором происходит математическая операция. Если бы у нас не было правил, определяющих, какие вычисления мы должны произвести в первую очередь, мы бы пришли к другим ответам.

Следует ли начать с вычитания 4 минус 6, а затем умножения на 7?

№Порядок операций говорит нам, как решить математическую задачу. И это возвращает нас к тете Салли.

Операции имеют особый порядок, и это то, что нам помогает понять фраза «Прошу прощения, дорогая тетя Салли». Это аббревиатура, которая говорит нам, в каком порядке мы должны решать математическую задачу.

«Пожалуйста» означает « скобки », поэтому сначала мы решаем все, что находится внутри скобок.

Затем «Excuse», что означает « Exponents ». Мы решаем это после того, как решим все в скобках.

Умножение , которое является «Моим», и это происходит слева направо.

И затем деление , то есть «Уважаемый», что также происходит слева направо.

И затем у нас есть сложение и вычитание , что также происходит слева направо, и это «Тетя» и «Салли».

Хорошо, теперь, когда мы знаем порядок операций, давайте применим его к нашей проблеме и решим.

\ (7 \ times 4-6 =? \)

У нас нет скобок и показателей, но у нас есть умножение, поэтому мы делаем это до того, как будем выполнять какое-либо сложение или вычитание.Давайте умножим \ (7 \ на 4 \). Это дает нам 28.

\ (28-6 \)

И теперь мы вычитаем 6, что дает нам 22.

\ (28-6 = 22 \)

Теперь давайте посмотрим по другой проблеме.

\ (7 + 7 \ times 3 \)

Без операций вы могли бы вычислить эту задачу как \ (7 + 7 = 14 \ times 3 = 42 \).

А это было бы неправильно!

Помните, вы умножаете, прежде чем складывать. Следовательно, уравнение должно выглядеть так:

\ (7+ (7 \ times 3) \)

\ (= 7 + 21 \)

\ (= 28 \)

Итак, когда мы решаем проблемы таким образом, мы можем использовать круглые скобки, чтобы сгруппировать наши числа, которые будут занимать первые места.{2}) \)

\ (= 6 \ times 9 \)

\ (= 54 \)

Видите? Решение уравнения в правильном порядке дает правильный ответ.

Давайте попробуем еще одну задачу. Этот немного сложнее, но он прекрасно иллюстрирует порядок операций.

\ (5 \ times 10- (8 \ times 6-15) +4 \ times 20 \ div 4 \)

Запомните порядок. Что нам делать в первую очередь? Цифры в скобках. Итак, \ (8 \ times 6 = 48 \), затем мы вычитаем 15 и получаем 33.Вот как теперь выглядит проблема:

\ (5 \ times 10-33 + 4 \ times 20 \ div 4 \)

Итак, наш следующий шаг — умножение и деление, поэтому давайте выполним все наши задачи умножения и деления и тогда посмотрим, что у нас осталось.

\ (50-33 + 80 \ div 4 \)

\ (50-33 + 20 \)

Теперь мы заканчиваем сложение и вычитание, и вот что у нас есть:

\ (50- 33 + 20 \)

\ (= 50-13 \)

\ (= 37 \)

И наш ответ — 37!

Есть исключение.Если в уравнении есть только одно выражение, вам не нужно соблюдать порядок операций.

Вот несколько примеров отдельных выражений.

\ (10 ​​+ 10 \): Что ж, других операций нет, так что вы просто должны пойти дальше и сложить их вместе, и вы получите 20. То же самое с вычитанием, умножением и делением. Все это отдельные выражения.

Хорошо, ребята, это наше видео о порядке операций. Я надеюсь, что это было полезно!

Увидимся в следующий раз!

Темы алгебры: Порядок операций

Урок 1: Порядок действий

Введение в порядок работы

Как бы вы решили эту проблему?

12–2 ⋅ 5 + 1

Ответ, который вы получите, будет во многом зависеть от порядка , в котором вы решаете проблему.Например, если вы решите задачу от слева до справа —12-2, затем 10⋅5, затем прибавьте 1, вы получите 51.

12-2 ⋅ 5 + 1
10 5 + 1
50 + 1
51

С другой стороны, если вы решите задачу в направлении , противоположном направлению — от вправо до слева — ответ будет 0.

12–2 ⋅ 5 + 1
12–2 ⋅ 6
12–12
0

Наконец, что, если бы вы выполняли вычисления в несколько другом порядке? Если вы сначала умножите на , а затем на прибавите , ответ будет 3.

12-2 ⋅ 5 + 1
12-10 + 1
2 + 1
3

Оказывается, 3 на самом деле — это правильный ответ, потому что это ответ, который вы получите, если будете следовать стандартному порядку операций . Порядок операций — это правило, которое сообщает вам правильный порядок для решения различных частей математической задачи. ( Операция — это просто другой способ сказать вычисление . Вычитание, умножение и деление — все это примеры операций.)

Порядок операций важен, потому что он гарантирует, что все люди могут читать и решать проблему одинаково. Без стандартного порядка операций формулы для реальных расчетов в финансах и науке были бы бесполезны — и было бы трудно понять, правильно ли вы получили ответ на тесте по математике!

Использование порядка операций

Стандартный порядок операций:

1. Круглые скобки
2. Показатели
3. Умножение и деление
4. Сложение и вычитание

Другими словами, в любую математическую задачу вы должны начать с вычисления скобок , затем показателей , затем умножения и деление , затем сложение и вычитание .Для операций на том же уровне решите от слева до справа . Например, если ваша задача содержит более одного показателя степени, вы должны сначала решить крайнюю левую, а затем работать вправо.

Давайте более внимательно посмотрим на порядок операций и попробуем другую задачу. Это может показаться сложным, но в основном это простая арифметика. Вы можете решить ее, используя порядок действий и некоторые навыки, которые у вас уже есть.

4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8

Круглые скобки

Всегда начинайте с операций, заключенных в круглые скобки.Скобки используются для группировки частей выражения.

Если скобок несколько, сначала найдите те, которые указаны слева. В этой задаче у нас только один набор:

4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8

В любых скобках вы следуете порядку операций, как и в любой другой части математической задачи.

Здесь у нас есть две операции: сложение и умножение . Поскольку умножение всегда идет первым, мы начнем с умножения 6 2.

4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8

6 ⋅2 равно 12. Затем мы прибавим 4 .

4/2 ⋅ 3 + (4 + 12) + 18/3 ² — 8

4 + 12 равно 16. Итак, мы упростили скобки до 16 . Поскольку у нас в скобках всего одно число, мы можем избавиться от них всех вместе — теперь они не , объединяющие в одну группу.

4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/3 ² — 8

Показатели

Во-вторых, решите любые показатель степени .Экспоненты — это способ умножить на само число. Например, 2 ³ равно 2 , умноженному на себя три раза по , поэтому вы можете решить его, умножив 2 ⋅2 ⋅2 . (Чтобы узнать больше об экспонентах, просмотрите наш урок здесь).

В этой задаче только один показатель степени : 3 ² . 3 ² — это 3 , умноженное на себя дважды , другими словами, 3 ⋅ 3 .

4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/3 ² — 8

3 ⋅ 3 равно 9, поэтому 3 ² можно упростить как 9 .

4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8

Умножение и деление

Затем найдите любые операции умножения или деление операций. Помните, что умножение не обязательно предшествует делению — вместо этого эти операции решаются от слева до справа .

Начало слева означает, что нам нужно сначала решить 4/2 .

4/2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8

4 разделить на 2 равно 2. Таким образом, наша следующая задача составляет 2 ⋅ 3 .

2 ⋅ 3 + 16 + 18/9 — 8

2 ⋅ 3 равно 6. Наконец, осталась только одна задача умножения или деления: 18/9 .

6 + 16 + 18/9 — 8

18/9 равно 2. Нечего умножать или делить, поэтому мы можем перейти к следующей и последней части Порядка операций: сложение и вычитание .

6 + 16 + 2 — 8

Сложение и вычитание

Теперь решить нашу проблему стало намного проще. Осталось только сложение и вычитание.

Так же, как мы делали с умножением и делением, мы будем складывать и вычитать от слева до справа . Это означает, что сначала мы добавим 6 и 16.

6 + 16 + 2 — 8

6 + 16 равно 22. Затем нам нужно добавить 22 к 2.

22 + 2 — 8

22 + 2 это 24.Осталась всего одна операция: 24 — 8.

24–8

24-8 это 16. Вот и все!

16

Готово! Мы решили всю проблему, и ответ — 16 . Другими словами, 4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 ⋅ 2) + 18/3 ² — 8 равно 16.

4/2 ⋅ 3 + (4 + 6 2) + 18/3 ² — 8 = 16

Уф! Сказать было много, но как только мы разложили его в правильном порядке, решить уже не так сложно.Когда вы впервые изучаете порядок операций, вам может потребоваться некоторое время, чтобы решить подобную проблему. Однако при достаточной практике вы привыкнете решать проблемы в правильном порядке.

Запоминание порядка операций

Если вы будете его часто использовать, то со временем разберетесь с порядком операций. А до тех пор может быть полезно запомнить слово или фразу. Двумя популярными из них являются бессмысленное слово PEMDAS (круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание) и фраза , пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли .

/ ru / algebra-themes / exponents / content /

Упрощение выражений с помощью порядка операций

Результаты обучения

• Используйте порядок операций для упрощения математических выражений
• Упростите математические выражения, включающие сложение, вычитание, умножение, деление и экспоненты

Упростите выражения, используя порядок операций

Мы ввели большинство символов и обозначений, используемых в алгебре, но теперь нам нужно уточнить порядок операций.В противном случае выражения могут иметь разное значение и давать разные значения.

Например, рассмотрим выражение:

[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 49.} \ Hfill & & & & \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 25.} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Поскольку} 4 + 3 \ text {дает 7.} \ hfill & & \ hfill 7 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {And} 7 \ ​​cdot 7 \ text {равно 49.} \ hfill & & \ hfill 49 \ hfill \ end {array} & & & \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Since} 3 \ cdot 7 \ text {равно 21.} \ hfill & & \ hfill 4 + 21 \ hfill \\ \ text {And} 21 + 4 \ text {составляет 25.} \ hfill & & \ hfill 25 \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Представьте себе путаницу, которая могла бы возникнуть, если бы для каждой проблемы было несколько разных правильных ответов. Одно и то же выражение должно дать такой же результат. Таким образом, математики установили некоторые правила, называемые порядком операций, которые определяют порядок, в котором части выражения должны быть упрощены.

Порядок действий

При упрощении математических выражений выполняйте операции в следующем порядке:
1. P аренсы и другие символы группировки

• Упростите все выражения внутри скобок или других символов группировки, работая в первую очередь с самыми внутренними скобками.

2. E xponents

• Упростите все выражения с помощью показателей степени.

3. M ultiplication и D ivision

• Выполняйте все операции умножения и деления слева направо.Эти операции имеют равный приоритет.

4. A ddition и S ubtraction

• Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направо. Эти операции имеют равный приоритет.

Студенты часто спрашивают: «Как мне запомнить заказ?» Вот способ помочь вам запомнить: возьмите первую букву каждого ключевого слова и замените глупую фразу. P аренда E xcuse M y D ear A Unt S союзник.

Порядок работы
P аренда	P арентезов
E xcuse	E xponents
M y D ухо	M ultiplication и D ivision
A Unt S союзник	A ddition и S ubtraction

Хорошо, что « M y D ear» идет вместе, поскольку это напоминает нам, что m ultiplication и d ivision имеют равный приоритет.Мы не всегда выполняем умножение перед делением или всегда делаем деление перед умножением. Делаем их слева направо.
Аналогичным образом, « A Unt S союзник» идет вместе и напоминает нам, что ddition и s ubtraction также имеют равный приоритет, и мы выполняем их в порядке слева направо.

пример

Упростите выражения:

1. [латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
2. [латекс] \ влево (4 + 3 \ вправо) \ cdot 7 [/ латекс]

Решение:

1.
	[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
Есть ли какие-нибудь скобки p ? №
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Сначала умножить.	[латекс] 4+ \ color {красный} {3 \ cdot 7} [/ латекс]
Доп.	[латекс] 4 + 21 [/ латекс]
	[латекс] 25 [/ латекс]

2.
	[латекс] (4 + 3) \ cdot 7 [/ латекс]
Есть ли какие-нибудь скобки p ? Да.	[латекс] \ color {красный} {(4 + 3)} \ cdot 7 [/ латекс]
Упростите в скобках.	[латекс] (7) 7 [/ латекс]
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножить.	[латекс] 49 [/ латекс]

пример

Упростить:

1. [латекс] \ text {18} \ div \ text {9} \ cdot \ text {2} [/ latex]
2. [латекс] \ text {18} \ cdot \ text {9} \ div \ text {2} [/ latex]

Показать решение

Решение:

1.
	[латекс] 18 \ div 9 \ cdot 2 [/ латекс]
Есть ли какие-нибудь скобки p ? Нет.
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножайте и делите слева направо. Делить.	[латекс] \ color {красный} {2} \ cdot 2 [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 4 [/ латекс]

2.
	[латекс] 18 \ cdot 9 \ div 2 [/ латекс]
Есть ли какие-нибудь скобки p ? Нет.
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножайте и делите слева направо.
Умножить.	[латекс] \ color {красный} {162} \ div 2 [/ латекс]
Разделить.	[латекс] 81 [/ латекс]

пример

Упростить: [латекс] 18 \ div 6 + 4 \ left (5-2 \ right) [/ latex].

Показать решение

Решение:

	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (5-2) [/ латекс]
Круглые скобки? Да, сначала вычтите.	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (\ color {red} {3}) [/ латекс]
Показатели? №
Умножение или деление? Да.
Сначала разделите, потому что мы умножаем и делим слева направо.	[латекс] \ color {красный} {3} +4 (3) [/ латекс]
Любое другое умножение или деление? Да.
Умножить.	[латекс] 3+ \ color {red} {12} [/ latex]
Любое другое умножение или деление? №
Любое сложение или вычитание? Да.	[латекс] 15 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения математического выражения.

Когда имеется несколько символов группировки, мы сначала упрощаем самые внутренние круглые скобки и работаем наружу.{3}} + 3 [0] [/ латекс] Есть ли умножение или деление? Да. Умножить. [латекс] 5 + 8 + \ color {красный} {3 [0]} [/ латекс] Есть ли сложение или вычитание? Да. Доп. [латекс] \ color {красный} {5 + 8} +0 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {13 + 0} [/ латекс] [латекс] 13 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего экспоненты и символы группировки.{2}} [/ латекс] Разделить. [латекс] 8+ \ color {красный} {82 \ div 3} -25 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {8 + 27} -25 [/ латекс] Вычесть. [латекс] \ color {красный} {35-25} [/ латекс] [латекс] 10 [/ латекс]

Порядок операций

— ChiliMath

Фундаментальная концепция порядка операций — выполнять арифметические операции в «правильном» порядке или последовательности.Давайте посмотрим, как Роб и Пэтти пытались упростить данное числовое выражение, применяя порядок или правило операций.

В чем ошибка Роба?

• Он небрежно упростил числовые выражения, применив арифметические операции слева направо.

Пэтти получила правильный ответ, потому что она правильно применила правила порядка операций.

• Сначала она выполнила умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

---

Каков порядок действий?

Порядок операций — это просто набор правил, устанавливающих приоритет последовательности операций , начиная от наиболее важных до наименее важных.

Это правило о том, как правильно упрощать числовые выражения, также известно как правило PEMDAS (аббревиатура от P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally).

Шаг 1: Сделайте все возможное, чтобы упростить все, что находится внутри скобок или символа группировки.

Шаг 2: По возможности упрощайте экспоненциальные числа в числовом выражении.

Шаг 3: Умножение и деление слева направо в зависимости от того, что наступит раньше.

Шаг 4: Сложите и вычтите, в зависимости от того, что наступит раньше, слева направо

---

Примеры применения порядка операций для упрощения числовых выражений

Пример 1: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Рассматривая числовые выражения с несколькими операциями слева направо, мы видим, что сначала мы должны выполнить деление, что составляет 5 \ div 5 = 1.

• На данный момент у меня есть три (3) возможных операции. В Порядке операций умножение имеет приоритет перед сложением и вычитанием. Следовательно, мы должны дальше размножаться. У нас 6 \ умножить на 2 = 12.

• Что нам делать дальше, складывать или вычитать? В зависимости от порядка операций сложение и вычитание имеют одинаковое значение.Чтобы определить, какую операцию выполнить в первую очередь, мы добавляем или вычитаем слева направо в зависимости от того, что идет первым, что в этой ситуации должно сложить, 1 + 3 = 4.

• Осталась одна операция — вычитание. На первый взгляд сложное числовое выражение сводится к окончательному ответу — 8.

---

Пример 2: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

---

В следующих примерах будет задействовано скобка .Помните, что вам нужно сначала упростить все, что указано в скобках, прежде чем двигаться дальше.

Пример 3: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Обратите внимание на выражения в скобках. Правило говорит нам сначала делить, а затем вычитать.

• Мы можем избавиться от скобок, вычтя 7 на 2.

• Умножение — это гораздо более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому мы должны сначала умножить 5 и 4.

• Завершите вычитанием 25 на 20.

---

Пример 4: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Сначала упростите выражения в круглых скобках. Умножьте на первую скобку и разделите на вторую.

• Сложите числа в первой скобке, затем вычтите числа внутри второй.

• Здесь есть умножение и деление.Поскольку умножение предшествует делению, мы собираемся сначала умножить.

• Между вычитанием и делением приоритет имеет деление, поэтому мы делим 5 на 5, чтобы получить 1.

• Последняя оставшаяся операция — вычитание, поэтому мы и займемся этим.

---

Последние примеры будут включать экспоненты, поэтому будьте осторожны на каждом шаге, потому что в них происходит очень много всего. Пока вы сосредотачиваетесь на соблюдении правил, регулирующих порядок действий, это не должно быть так сложно! Поехали…

Пример 5: Упростите числовое выражение ниже, используя правила Порядка операций.

• Упростите выражения в скобках. Но, в частности, упростите числа с помощью показателей.

• Для упрощения заключены две круглые скобки. Мы упростим второй, \ left ({30 — 27} \ right), потому что он намного проще. Здесь разница 30 и 27 составляет 3.

• Теперь обратим внимание на другую скобку. Порядок действий говорит нам делить, прежде чем вычитать.

• Наконец, мы можем избавиться от скобок, выполнив вычитание, потому что больше нечего делать.

• Глядя на то, что мы оставили, упрощение экспоненциальных чисел имеет приоритет перед операциями умножения, сложения и вычитания.

• Просматривая слева направо, очевидно, что мы должны умножать перед сложением и / или вычитанием.

• В зависимости от порядка операций сложение и вычитание имеют одинаковое значение. Сначала мы должны вычесть, потому что операция вычитания предшествует сложению, если смотреть слева направо.3} первый.

• Заглянув в круглые скобки, мы должны сначала разделить, прежде чем умножать и вычитать.

• Сохраняя внимание в круглых скобках, порядок операций говорит нам умножать, прежде чем мы будем вычитать.

• Последняя операция внутри скобок — вычитание. Давай сделаем это!

• Здесь сделаем паузу. На данный момент ясно, что мы можем выполнить три (3) упрощения одновременно.2}.

• Кажущаяся сложной проблема теперь сведена к чему-то, что очень легко упростить. Если смотреть слева направо, деление имеет приоритет перед вычитанием и сложением.

• Потому что вычитание и умножение находятся на одном уровне в иерархии операций. Способ, которым мы разрываем связь, как вы уже должны были знать, — это выполнять ту, которая идет первой, если смотреть слева направо.