Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

 

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо. Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Какое действие в полученном выражении делается первым, умножение или деление? Выполняем слева направо: умножение, деление, затем — вычитание. Получилось:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 18 : 2 = 10 + 6 = 16.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (7 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 16.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 24, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

 

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Еще больше практики — в детской школе Skysmart. Ученики занимаются на интерактивной платформе, в комфортном темпе и с поддержкой внимательных учителей.

Чтобы ребенок занимался математикой в удовольствие и чувствовал себя увереннее в школе, запишите его на бесплатный вводный урок. Познакомим с форматом и вдохновим на учебу!

Примеры со скобками, урок с тренажерами. — Kid-mama

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий  в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

Запомните правило: Если в примере нет скобок, мы выполняем все действия по порядку, слева направо. Если  в примере есть скобки, то сначала мы выполняем действия в скобках, и лишь потом все остальные действия, начиная слева направо.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи. 

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем  все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

Перейти на страницу  с тренажером

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

Перейти на страницу  с тренажером

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Запомните правило: Если в примере нет скобок, сначала выполняем действия умножения и деления по порядку, слева направо. Затем — действия сложения и вычитания по порядку, слева направо. Если  в примере есть скобки, то сначала мы выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и затем — сложение и вычитание начиная слева направо.

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий  полученные результаты.  Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

 Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

Перейти на страницу  с тренажером

Перейти на страницу  с тренажером

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Перейти на страницу  с тренажером

Тест по математике «Порядок выполнения действий» (3 класс)

Тест

Порядок выполнения действий

3 класс

К учебнику: Математика. 3 класс. В 2 ч. Моро М.И. и др.

Тема в учебнике: Порядок выполнения действий

Фамилия, имя________________________

1 вариант

1. Какое действие надо выполнить первым? 35 + 81 : 9 Х 7

сложение

деление

умножение

2. Укажите выражение, в котором действия выполняются так, как записаны.

79 + 35 : 5 — 19

40:5 + 68 — 27

23 + 17 — 10 Х 2

3. В каком выражении первым выполняется деление?

(36 + 8 Х 4) : 4

( 120 + 48 : 4) Х 3

75 : 5 + (12 Х 2)

4. Какое действие выполняется первым? ( 47 — 22 ) : 5 + 16

деление

вычитание

сложение

5. Каое действие выполняется последним? (56 : 8 + 43) — 6 Х 4

сложение

умножение

вычитание

6. Какое действие в выражении будет вторым? 110 – ( 60 +40) :10 х 8 ?

вычитание

умножение

деление

7. В выражении без скобок действия выполняются:

по порядку

сначала умножение и деление, затем по порядку

8. В выражении со скобками действия выполняются:

по порядку

сначала в скобках

9. Какое действие выполняется последним ? (52 – 35) · 6 + 30 : 2

умножение

деление

сложение

10. Какое действие будет вторым? 420 : 7 + 54 — 20 · 5

деление

умножение

сложение

11. Укажите порядок действий 50 + 12 Х 3 — 40

сложение, умножение, вычитание

умножение, вычитание, сложение

умножение, сложение, вычитание

Тест

Порядок выполнения действий

3 класс

Фамилия, имя________________________

2 вариант

1. Какое действие надо выполнить вторым? 43 + 21 : 3 Х 7

сложение

деление

умножение

2. Укажите выражение, в котором действия выполняются так, как записаны.

91 + 28 : 4 — 19

35 : 5 + 87 — 49

23 + 17 — 10 Х 2

3. В каком выражении последним выполняется деление?

(36 + 8 Х 4) : 4

( 120 + 48 : 4) Х 3

75 : 5 + (12 Х 2)

4. Какое действие выполняется последним? ( 67 — 42 ) : 5 + 14

деление

вычитание

сложение

5. Какое действие выполняется последним? (56 : 8 + 43) — 6 Х 4

сложение

умножение

вычитание

6. Какое действие в выражении будет вторым? 110 – ( 60 +40) :10 х 8 ?

вычитание

умножение

деление

7. В выражении без скобок действия выполняются:

по порядку

сначала умножение и деление, затем по порядку

8. В выражении со скобками действия выполняются:

по порядку

сначала в скобках

9. Какое действие выполняется первым ? (42 – 25) · 4 + 20 : 2

умножение

деление

сложение

вычитание

10. Какое действие будет вторым? 420 : 7 + 54 — 20 · 5

деление

умножение

сложение

вычитание

11. Укажите порядок действий 40 + 15 · 3 — 30

сложение, умножение, вычитание

умножение, вычитание, сложение

умножение, сложение, вычитание

Примеры по математике со скобками

 

Выполнение тех или иных операций предполагает определённый порядок действий.

4 – 2 + 1 = 3

Если производить действия в порядке их записи, четыре минус два плюс один, результат будет равен трём. Если же вначале сложить 2 и 1 и вычесть данную сумму из 4, то получится цифра 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия применяют скобки.

Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других.

Пример:

(4 – 2) + 1 = 3

5 – (3 + 1) = 1

(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35

4 + (4 × 5) = 4 + 20 = 24

Скобки не ставятся в тех случаях если:

1. действия сложения и вычитания, исполняются в последовательности, как они записаны:

вместо (6 – 2) + 1 = 5 пишут 6 – 2 + 1 = 5

2. внутри скобок совершаются операции умножения или деления:

вместо 2 + (2 × 8) = 18 пишут 2 + 2 × 8 = 18

При расчёте таких выражений, которые либо вовсе не содержат разделительных скобок, либо имеют такие скобки, внутри которых не содержится других скобок, следует производить действия в следующем порядке:

1. вначале выполняются операции с цифрами заключенными в скобки, при этом действия умножения и деления делаются в порядке их следования, но ранее, чем сложение и вычитание.

2. Затем, исполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление производятся в порядке их следования, но ранее сложения и вычитания.

Пример:

2 × 5 – 3 × 3

сначала выполняется умножения

2 × 5 = 10

3 × 3 = 9

затем выполняется вычитание

10 – 9 = 1

Пример:

22 + 16 : 4 – 4 × (17 – 2 × 7 + 3) + 7 × (3 + 4)

выполнение действий в скобках:

17 – 2 × 7 + 4 = 17 – 14 + 3 = 6

3 + 4 = 7

выполнение остающихся действий:

22 + 16 : 4 – 4 × 6 + 7 × 7 = 22 + 4 – 24 + 49 = 51

Зачастую для указания порядка действий, необходимо применять дополнительные скобки.

Тогда, кроме простых круглых скобок, используют скобки иной формы:

[ ] – квадратные скобки

{ } – фигурные скобки

Вычисление этих выражений реализуется в следующем порядке:

Вначале операции вычисления производятся внутри всех круглых скобок

затем – вычисления внутри всех квадратных скобок

далее – вычисления внутри фигурных скобок

после выполняются остающиеся действия

Пример:

5 + 2 × [14 – 4 × (7 – 5) ] + 36 : (12 – 2 × 3)

выполнение действий в круглых скобках:

7 – 5 = 2

12 – 2 × 3 = 12 – 6 = 6

действия в квадратных скобках:

14 – 4 × 2 = 6

выполнение остающихся действий:

5 + 2 × 6 + 36 : 6 = 5 + 12 + 6 = 23

Пример:

{100 – [40 – (35 – 25)]} × 2

Порядок действий:

35 – 25 = 10

40 – 10 = 30

100 – 30 = 70

70 × 2 = 140

Что сначала плюс или минус

Любой автомобилист хотя бы раз в жизни попадал в ситуацию, когда нужно снять аккумулятор, например, для проведения ремонтных работ в машине. Опытные водители делают это с закрытыми глазами. А начинающие автолюбители, попав в такую ситуацию впервые, ломают голову: что же правильно — первым отключить «плюс» или минус»?

Так с какой клеммы начать? Специалисты советуют сперва снять минусовую клемму, а потом плюсовую. Если вы допустите, что клеммы соприкоснутся, то произойдет короткое замыкание, а вы получите удар током, что опасно для вашего здоровья. Да и в машине можно электронику спалить.

Если вы будете снимать сначала плюсовую клемму, вы нечаянно можете задеть ключом кузов или другую металлическую часть автомобиля, и опять же может замкнуть.

Если снимаете минусовую клемму первой, то вероятность короткого замыкания стремится к нулю, поэтому именно этот вариант — самый безопасный. Если вы снимаете «минус» первым, масса лишается потенциала. Масса в данном случае — это весь кузов авто, который соединяется к АКБ минусовой клеммой.

И пусть обычно снятие батареи не вызывает больших затруднений, все же стоит соблюдать правила безопасности. Например, если вы сняли клеммы, а аккумулятор не снимается, проверьте, весь ли крепеж отсоединили. И не допускайте, чтобы АКБ упал, не переворачивайте его!

Как быть, когда вам нужно вернуть аккумулятор на место? Делаем всё в обратном порядке — сначала «плюс», потом «минус».

Кстати, на автомобильных форумах часто встречаются рассказы водителей, как при снятии аккумулятора люди устраивают короткое замыкание. И если не получил сам водитель удар током, то для машины это оказалось ощутимо — например, перестал заводиться двигатель, какая-то деталь перегорела, перестала откликаться сигнализация. Так что будьте осторожны!

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо,
• причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 – значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание – следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2 :3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

Ответ

Проверено экспертом

Ответ:

Если в выражении встречается только +, -, *, /, то вначале делается умножение и деление (по порядку, слева направо), а потом – сложение и вычитание (тоже, по порядку, слева направо).

Примечание:

Если присутствуют еще скобки, то выполняется первым, то, что находится в скобках, по таким же правилам.

Если присутствуют степени, логарифмы, корни, тригонометрические функции и т. д., то они тоже выполняются самыми первыми.

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)		Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)		Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)		Упрощаем получившееся выражение…
\(=7x+10-6x-2y=\)		…и приводим подобные.
\(=x+10-2y\)		Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)		Вновь приводим подобные.
\(=-(10x-18)=\)		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
\(=-10x+18\)		Готово.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Онлайн калькулятор: Сложность вычисления школьных примеров

Данный калькулятор пытается оценить сложность вычисления без калькулятора (на листочке) задач с использованием арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления.
Калькулятор определяет количество элементарных операций в примере, дает условную сложность выраженную в миллисекундах, требуемых для вычисления примера. Сложность складывается из суммы элементарных операций, помноженных на коэффициент сложности (время в миллисекундах, требуемое для выполнение операции). Расшифровка элементарных операций дается в таблице в нижней части калькулятора.

Оценка сложности арифметических операций

Результат вычисления

 

Количество элементарных операций

 

Сложность (время вычисления)

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Расшифровка операций с указанием сложности.
++ сложность 200, увеличение на единицу, например, при умножении 2003000 — будет одно умножение 23 и 5 раз выполнится подсчет нулей
+ сложность 500, элементарное сложение например 5+4
— сложность 500, элементарное вычитание, например 3-2
* сложность 1000, элементарное умножение, например 2*2
/ сложность 1000, деление — операция деления сводится к последовательном выполнении операций умножения и вычитания, при этом мы прикидываем всякий раз какой множитель необходимо выбрать, чтобы произведение получилось чуть меньше или равно текущего делимого. Эта элементарная операция подсчитывается в данной колонке. Необходимые умножения и вычитания подсчитываются дополнительно.
0+ сложность 100, сложение с нулем — частный случай выделен отдельно, так как это более простая операция чем сложение.
0 сложность 100, подстановка нулей
°+ сложность 700, сложение с переносом единицы, например 16+7 — содержит две операции — элементарное сложение и перенос единицы в следующий разряд.
=0 сложность 200, сокращение — операции вычитания равных величин, например 100-100
°- сложность 600, заем единицы при вычитании, например при вычитании 11-9 будет выполнен один заем и одна операция вычитания.
** сложность 400, повторное умножение. часто случается, что при выполнении элементарных ( и не только ) операций умножения выполняются одни и те же операции. Например 2533 будет содержать два элементарных умножения и один повтор, мы просто можем переписать результат умножения 253 еще один раз.
*0 сложность 100, частный случай умножения на ноль
*1 сложность 200, частный случай умножения на единицу
°* сложность 700, перенос при умножении, например 234 — два элементарных умножения плюс один перенос (1) при умножении 34
+- сложность 300, смена знака
<> сложность 500, перестановка вычитаемых, выполняется если мы пытаемся вычесть из меньшего большее
. сложность 500, операций с плавающей точкой

Рассмотрим вычисление сложности на примере (4567+987-8354)*32/25:
Пример содержит все четыре арифметических операции.

Сначала выполняется сложение 4567+987=5554

Запись сложения в столбик

Как видим, в этом примере имеется три элементарных сложения: 7+7, 6+8, 5+9, при выполнении каждого из которых осуществляется перенос единицы в старший разряд.

Затем вычитание 5554-8354=-2800

Запись вычитания в столбик

Так как из меньшего вычитается большее число, результат получается отрицательным, перед вычитанием выполняется перестановка операндов. Первые два разряда 5,4 сокращаются, затем при вычислении 3-5 осуществляется элементарное вычитание с займом единицы, затем просто вычитание 8-1-5=2.

Третьим действием выполняем умножение -2800*32=-89600

Запись умножения в столбик

Так как первый множитель заканчивается нулями, выполняем подсчет их количества, чтобы в конце умножения приписать нули к результату. Затем умножаем 2832. При умножении на 38 и 28 выполняется перенос в след. разряд. 22 и 2*3 — просто элементарные умножения. Итого 4 элементарных умножения, 2 переноса, 2 подсчета.

Последнее действие — деление -89600/25=-3584

-89600/25=-3584

На каждом шаге деления осуществляется подбор множителя таким образом, чтобы произведение его на делитель было близко к числу, составляемому первыми разрядами текущего остатка от деления. Эта операция засчитывается как элементарное деление, после чего выполняется умножение и вычитание, сложность которых рассчитывается по аналогии с предыдущими шагами.
В частности при делении первых разрядов (86) на 25 выбираем множитель = 3. Далее производится умножение 25*3-75, далее вычитание 89-75=14.
Итого при вычислении 89600/25 имеем: 4 деления и 4 вычитания, 8 произведений, 3 сокращения, два умножения с переносом, при умножении с переносом осуществляется одно сложение.

В конечном итоге в ходе вычисления всего примера произведено 52 элементарные операции — с учетом обозначенных весовых коэффициентов, общая сложность составляет 28500. Таким образом для решения данного примера понадобится примерно полминуты (28.5 секунды).

P.S. Все временные оценки и сам алгоритм вычисления сложности сделаны на основе субъективных предположений автора, комментарии и замечания приветствуются.

Порядок операций — BODMAS

Операции

«Операции» означает такие вещи, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и т. Д. Если это не число, это, вероятно, операция.

Но, когда вы видите что-то вроде …

7 + (6 × 5 ² + 3)

… какую часть нужно рассчитать в первую очередь?

Начать слева и пойти направо?
Или идти справа налево?

Предупреждение: вычисляйте их в неправильном порядке, и вы можете получить неправильный ответ!

Итак, давным-давно люди согласились соблюдать правила при расчетах, а это:

Порядок действий

Сначала делайте что-то в скобках

		4 × (5 + 3)	=	4 × 8	=	32
		4 × (5 + 3)	=	20 + 3	=	23	(неверно)

Показатели (степени, корни) перед умножением, делением, сложением или вычитанием

		5 × 2 2	=	5 × 4	=	20
		5 × 2 2	=	10 2	=	100	(неверно)

Умножьте или разделите перед сложением или вычитанием

		2 + 5 × 3	=	2 + 15	=	17
		2 + 5 × 3	=	7 × 3	=	21	(неверно)

В противном случае просто идите слева направо

		30 ÷ 5 × 3	=	6 × 3	=	18
		30 ÷ 5 × 3	=	30 ÷ 15	=	2	(неверно)

Как я все это помню.

..? БОДМЫ!

Б	B ракетки первые
О	O rders (т. Е. Степени, квадратные корни и т. Д.)
DM	D ivision и M ultiplication (слева направо)
AS	A ddition и S ubtraction (слева направо)

Разделение и умножение ранжируются одинаково (и идут слева направо).

Сложить и вычесть ранг одинаково (и идти слева направо)

Так сделай так:

После того, как вы сделали «B» и «O», просто идите слева направо, выполняя любые «D» или «M», как вы их найдете.

Затем идите слева направо, выполняя любую «A» или «S», когда найдете их.

Примечание: единственное странное название — «Заказы». «Экспоненты» используется в Канаде, поэтому вы можете предпочесть «БЕДМЫ».Также есть «Индексы», что делает его «БИДМАС». В США вместо скобок пишут «круглые скобки», поэтому это «PEMDAS»

.

Примеры

Пример: как вычислить

3 + 6 × 2 ?

M Ультипликация до A ddition:

Сначала 6 × 2 = 12 , затем 3 + 12 = 15

Пример: как вычислить

(3 + 6) × 2 ?

B первые ракетки:

Сначала (3 + 6) = 9 , затем 9 × 2 = 18

Пример: Как вы работаете с

12/6 × 3/2 ?

M ultiplication и D ivision ранжируются одинаково, поэтому просто идите слева направо:

Сначала 12/6 = 2 , затем 2 × 3 = 6 , затем 6/2 = 3

Практический пример:

Пример: Сэм бросил мяч прямо вверх со скоростью 20 метров в секунду, как далеко он улетел за 2 секунды?

Сэм использует эту особую формулу, которая включает гравитацию:

высота = скорость × время — (1/2) × 9. 8 × время ²

Сэм устанавливает скорость 20 метров в секунду и время 2 секунды:

высота = 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Теперь о расчетах!

Начать с: 20 × 2 — (1/2) × 9,8 × 2 ²

Кронштейны сначала: 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 2 ²

Тогда Заказы (2 ² = 4): 20 × 2 — 0,5 × 9,8 × 4

Затем умножается: 40 — 19,6

Вычесть и СДЕЛАНО! 20.4

Мяч достигает 20,4 метра за 2 секунды

Показатели экспоненты …

А как насчет этого примера?

4 ^{3 2}

Экспоненты особые: идут сверху вниз (сначала экспонента сверху). Итак, вычисляем так:

Начать с:		4 3 2
3 2 = 3 × 3:		4 9
4 9 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4:		262144

Так 4 ^{3 2} = 4 ^{(3 2 )} , а не (4 ³ ) ²

И, наконец, как насчет примера с самого начала?

Начать с: 7 + (6 × 5 ² + 3)

Кронштейны сначала , а затем «Заказы» : 7 + (6 × 25 + 3)

Затем Умножить : 7 + (150 + 3)

Затем Добавьте : 7 + (153)

Кронштейны завершено: 7 + 153

Последняя операция — Добавить : 160

безотказных стратегий, которые действительно работают!

Обучение порядку операций может быть неприятным, но это не обязательно.Нет никаких сомнений в том, что это чрезвычайно сложная тема для учеников начальной школы. К счастью, существует множество увлекательных и эффективных стратегий обучения порядку действий.

Одна из причин, по которой дети борются с этой концепцией, заключается в том, что есть так много правил, которым нужно учиться и следовать им. Хуже того, правила, которые кажутся простыми, часто оказываются обманчиво сложными.

Например, большинство детей могут легко запомнить, что умножение и деление всегда выполняются перед сложением и вычитанием, особенно после того, как они научатся следовать порядку, описанному в «PEMDAS.”

Однако они имеют тенденцию застревать, когда уравнение включает как умножение, так и деление. Большинство детей перед делением автоматически умножаются, но порядок операций подсказывает нам выполнить операцию, которая будет первой при чтении задачи слева направо. Неудивительно, что дети находят порядок операций очень запутанным!

Еще одна причина, по которой дети борются, заключается в том, что даже когда они понимают, как правильно использовать порядок операций, они не применяют правила систематически. Поскольку задачи кажутся простыми, учащиеся пытаются полагаться только на мысленную математику для их решения. Это может работать с простыми задачами, но мысленная математика неэффективна с более сложными задачами, которые включают в себя несколько операций, круглые скобки, экспоненты.

Наблюдая за тем, как мои ученики борются с порядком действий, я разработал простой урок, который каждый раз работал. В результате мои ученики действительно запомнили правила и могли легко применить их к любой задаче. Я хотел бы поделиться с вами этими безошибочными стратегиями, а также двумя печатными формами бесплатного порядка операций, которые вы можете использовать, чтобы помочь своим ученикам усвоить эти концепции.

Порядок действий Урок

Урок начинается с быстрого задания, чтобы учащиеся задумались о том, зачем нам нужны правила для решения уравнений. За этим «крючком» урока следует мини-урок по порядку действий, практическое занятие с гидом и динамичная игра, которая также служит формирующей оценочной деятельностью.

Чтобы получить максимальную отдачу от занятий, каждому учащемуся понадобится доска для сухого стирания или планшет, на котором они смогут решать задачи. Вам также понадобится по крайней мере один калькулятор для класса, который правильно использует порядок операций.Физический калькулятор подойдет, если он отображается под документ-камерой, или вы можете использовать онлайн-калькулятор. Обязательно протестируйте калькулятор перед уроком, чтобы убедиться, что он может справиться с проблемами порядка операций. Чтобы узнать, введите 1 + 2 x 3 и нажмите знак =. Правильный ответ — 7, поэтому, если ваш калькулятор отображает 9 в качестве ответа, он НЕ использует правильный порядок операций.

1. Подсказка урока: решите непростое уравнение

Перед тем, как преподавать PEMDAS или любую другую стратегию, предложите своим ученикам решить простое уравнение, например, это: 3 + 8 x 2 =? Попросите учащихся написать уравнение на доске или планшете для сухого стирания, а затем решите его и покажите вам ответ.

Скорее всего, вы увидите два разных ответа, но пока не поддавайтесь желанию дать правильный ответ. Большинство студентов скажут, что ответ — 22, потому что они сложили 3 и 8, а затем умножили полученную сумму на 2. Однако те, кто изучал порядок операций в прошлом, скажут, что ответ — 19, потому что они умножили 8 на 2 и прибавили 3 к результату. товар. Ваши ученики могут быть немного сбиты с толку, когда заметят, что у некоторых из их одноклассников разные ответы, но они скоро запутаются еще больше!

Сообщите учащимся, что вы собираетесь использовать калькулятор, чтобы проверить ответ, и, пока они смотрят, введите задачу, указанную выше.Когда калькулятор отображает 19 в качестве ответа, удивитесь и скажите, что вы, должно быть, неправильно ввели задачу. Введите его еще раз внимательно, а когда получите тот же ответ, попробуйте другой калькулятор. Когда вы снова получите тот же ответ, попросите своих учеников объединиться с партнером, чтобы обсудить, почему калькулятор продолжает давать «неправильный» ответ. После того, как они обсудят это в течение нескольких минут, скажите им, что 19 на самом деле правильный ответ, и что вы собираетесь научить их некоторым важным правилам решения проблем, требующих более одной операции.

Это задание — отличный способ начать урок по порядку действий, потому что оно создает ощущение «когнитивного диссонанса», состояние ума, в котором мы изо всех сил пытаемся усвоить новые факты, которые не соответствуют тому, что, как мы думали, мы знали о тема. Когда учащиеся испытывают когнитивный диссонанс, они стремятся учиться и открываться новым идеям, так что это идеальное время для начала фактического обучения.

2. Прямое обучение: введение порядка операций

То, как вы вводите порядок операций, будет зависеть от готовности ваших учеников и их предыдущего опыта работы с алгебраическими понятиями.Возможно, вы захотите начать с обучения своих учеников тому, как использовать круглые скобки, чтобы указать, какая часть уравнения должна быть решена в первую очередь. Напишите уравнение двумя разными способами, сохраняя числа одинаковыми, но заключая в круглые скобки разные пары чисел, например: (5 + 3) x 2 =? и 5 + (3 x 2) =?

Покажите своим ученикам, как решать обе задачи, и укажите, что, хотя числа, используемые в уравнениях, одинаковы, решения разные. Предложите учащимся еще несколько пар задач с одинаковыми номерами и круглыми скобками в разных местах.Останавливайтесь после каждой проблемы, чтобы обсудить решение и устранить недоразумения.

Затем отобразите уравнение без скобок, например 15 — 5 x 2 = x. Укажите, что неясно, какая часть проблемы должна быть решена в первую очередь, и, как они видели в предыдущем примере, порядок, в котором вы выполняете операции, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО имеет значение.

Сообщите своим ученикам, что математики согласовали набор правил, называемых «порядком операций», которым необходимо следовать при решении задач.Если ваши ученики уже изучали экспоненты, вы можете преподавать аббревиатуру PEMDAS, которая означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. Фраза «Прошу прощения, дорогая тетя Салли» поможет им запомнить порядок этих букв. Если ваши ученики не изучали экспоненты, вы можете заменить аббревиатуру PMDAS фразой «Передайте моему папе бутерброд».

3. Практика с инструкциями: обучение пошаговому методу решения проблем

Для следующей части урока вам нужно будет загрузить халяву для порядка операций, показанную выше.Этот бесплатный подарок состоит из трех страниц из Порядка операций Bingo Level 1. На этих страницах не упоминаются экспоненты, а вместо PEMDAS используется аббревиатура PMDAS.

После использования обзора порядка операций для объяснения аббревиатуры PMDAS, покажите копию страницы практики или раздайте каждому студенту бумажную копию. Представьте пошаговый метод вычисления алгебраических выражений, объясняя пример в верхней части страницы. При использовании этой стратегии каждый шаг записывается в отдельной строке.

Помогите своим ученикам решить 6 практических задач по очереди. Проверяйте и обсуждайте решения после каждой проблемы, и обязательно попросите их показать вам свою работу. При необходимости обратитесь к ключу ответа на странице 3 бесплатного предложения для получения пошаговых решений.

Если вы не учили этому пошаговому методу решения задач порядка операций, у вас может возникнуть соблазн пропустить его и позволить своим ученикам использовать мысленную математику. Большинство задач настолько просты, что ваши ученики могут решить их, не записывая каждый шаг.

Однако, полагаясь на мысленную математику для решения более сложных задач, вы совершаете множество ошибок по неосторожности, поэтому я рекомендую научить ваших учеников следовать этой пошаговой стратегии для КАЖДОЙ проблемы. Если они приобретут привычку использовать этот систематический подход, они смогут с легкостью решать более сложные проблемы позже. Поверьте мне в этом!

4. Сыграйте в игру «Порядок операций»

После того, как ваши ученики поймут, как решать задачи, связанные с порядком операций, им потребуется много практики, пока концепции еще свежи в их памяти. Игры гораздо более эффективны для практики, чем рабочие листы, потому что они быстры и увлекательны, мотивируя учащихся решать десятки задач за короткое время.

Если вы играете в игру всем классом и обсуждаете ответы после каждой задачи, ваши ученики узнают в течение нескольких раундов игры, правильно ли они решают задачи. В противном случае они будут заинтересованы в том, чтобы задавать вопросы и искать помощи для улучшения. Кроме того, многие игры могут служить в качестве формирующих оценочных заданий, если вы будете ходить, пока учащиеся решают каждую задачу, наблюдая за своей работой.Без проведения формального теста вы сможете увидеть, кто понимает концепции, а кому нужна дополнительная помощь.

Порядок операций Бинго — мое любимое занятие для отработки этого навыка, потому что игроки не могут выиграть без правильного использования порядка операций. Чтобы способствовать развитию математических навыков, попросите своих учеников решить каждую задачу на доске для сухого стирания или планшете, используя пошаговый метод. Останавливайтесь после каждой проблемы, чтобы обсудить каждое решение, прежде чем представлять следующую карточку задачи.Напомните своим ученикам, что они могут покрыть ответ на своих досках бинго чипом только в том случае, если у них был правильный ответ ДО того, как вы раскрыли решение классу. Если вы соблюдаете это правило, я могу гарантировать, что после первого раунда игры будет значительно меньше ошибок по неосторожности!

5. Обзор и практика с картами задач порядка операций или цифровыми картами Boom

Первые четыре стратегии чрезвычайно эффективны для обучения детей правильному использованию порядка операций.Однако для того, чтобы закрепить то, что они узнали, вашим ученикам потребуются возможности для большего повторения и практики в течение года.

Если вы обучаете студентов удаленно, то приведенный ниже порядок оперативных карт полностью удовлетворит эту потребность! Boom Cards — это интерактивные электронные карточки с заданиями с самопроверкой, которые можно использовать в классе или дома для дистанционного обучения. В карты Boom Cards можно играть практически на любом устройстве с доступом в Интернет. Они размещены на платформе Boom Learning, но доступны бесплатные учетные записи.Детям нравятся эти интерактивные карточки с заданиями, потому что они веселые, а учителям они нравятся, потому что они такие эффективные!

Как и в других моих продуктах Order of Operations, есть два уровня карт Boom. Порядок операций Уровень 1 включает некоторые проблемы со скобками, но ни у одной из них нет показателей. Порядок операций с картами 2-го уровня сложнее, потому что на большинстве карт есть круглые скобки и / или показатели.

Если вы преподаете лично, то приведенные ниже карточки задач помогут вашим ученикам сохранить эти навыки в актуальном состоянии.Вы можете использовать эти распечатанные карточки задач в математических центрах и в совместных учебных мероприятиях, таких как Showdown или Team Scoot. Оба набора включают изображения для Plickers, поэтому их также можно использовать для формирующего оценивания всего класса.

Дифференцировать инструкции легко

Дифференцировать инструкции легко, потому что есть два уровня учебных материалов, включая карточки заданий, игру в бинго и оценки. Уровень 1 включает в себя основные проблемы, подобные тем, которые используются в халяве.В материалах для Уровня 2 есть более сложные задачи, и некоторые из них включают экспоненты. Оба набора бинго-игр, карточек задач и оценок включены в один экономичный комплект. Если ваш учебный план включает в себя экспонентов, вам лучше всего подойдет комплект «Игры и тесты». Если вы используете оба уровня в своем классе, вы можете распечатать карточки задач и игровые материалы для каждого уровня на карточках разного цвета, чтобы держать их отдельно. (Карты Boom Card приобретаются отдельно.)

Проверено в классе: одобрено учителем и учеником

Мне нравится, когда учителя тестируют мои продукты вместе со своими учениками. Несколько учителей протестировали Order of Operations Bingo со своими учениками, и двое из них прислали фотографии своих учеников, играющих в эту игру. Мне нравится видеть фотографии детей, использующих мои уроки и занятия, и я не мог удержаться от того, чтобы поделиться с вами некоторыми из них!

Учительница четвертого класса Кристина Эшберн проверила Порядок операций Bingo и попросила своих учеников решить задачи на досках для сухого стирания, как описано в уроке.У нее не было фишек для игры в бинго, поэтому она ламинировала игровые доски и попросила учеников раскрасить ответы маркерами для сухого стирания. Честно говоря, я никогда не думал об этом, но это блестящая идея! Во-первых, если дети решают задачи на досках для сухого стирания, их маркеры должны быть под рукой. Кроме того, вам не нужно беспокоиться о том, что пластиковые фишки для бинго окажутся повсюду в классе!

Учительница пятого класса Шерил Николас также опробовала игру в своем классе. Наблюдая за тем, как ее ученики играют в Order of Operations Bingo , она обнаружила неожиданную выгоду.Шерил объяснила: «Больше всего мне понравилось то, как мои люди, не говорящие по-английски, сразу же почувствовали себя причастными к обзору. В последнее время так много «упражнений и тестов», но это сделало их намного интереснее для студентов. Все были вовлечены в эту деятельность, и было немало разговоров по математике, а также индивидуальной отработки навыков ».

После того, как они поиграли в игру, Шерил взяла интервью у своих учеников, чтобы получить их отзывы, и поделилась некоторыми своими комментариями со мной. Мне особенно понравилось читать два комментария о том, что нужно писать шаги для каждой проблемы.Один студент сказал: «Мне понравилось, что вы не позволили мне решать их в голове, но заставили меня записывать задачи на iPad и решать их». Другой студент не был в восторге от этой части урока, заявив: «Я бы хотел, чтобы вы позволили мне решать эти задачи в уме. Но, опять же, я всегда работаю слишком быстро, так что, наверное, у меня получилось лучше, так как мне пришлось их записывать ».

Я просто рассмеялся, когда прочитал этот последний комментарий, потому что это именно то, что сказали бы некоторые из моих учеников! Этот урок, посвященный порядку действий без сбоев, доставляет удовольствие учащимся, а пошаговые стратегии также делают его очень эффективным. После игры даже дети осознают важность написания шагов при решении задач порядка операций, нравится им это или нет!

Интерактивный урок математики | Порядок операций

Интерактивное математическое упражнение — Порядок операций со сложением, вычитанием, умножением и делением

Помогите своим ученикам стать экспертами в решении математических задач, используя порядок операций! Этот интерактивный урок математики даст вашим ученикам необходимую им практику, чтобы развить уверенность в себе и овладеть этой математической концепцией четвертого класса.Студентам будет предложено множество математических задач, которые им нужно будет решить, используя свои знания о порядке выполнения операций. Эта базовая математическая игра по алгебре позволит им развить навыки сложения, вычитания, умножения и деления.

Этот онлайн-урок математики включает в себя несколько разных типов вопросов, в том числе множественный выбор, перетаскивание и заполнение пустых полей. Вот примерный вопрос, который могут спросить ваши ученики: «Как бы вы решили следующее выражение? 30 — (9 x 8) / 4.«Несколько вариантов выбора включают:« Сначала вычесть, затем умножить, затем разделить; »« Сначала умножить, затем разделить, затем вычесть »и« Сначала умножить, затем вычесть, затем разделить ». Вот еще один примерный вопрос:« Какое уравнение правда? 3 + (2 x 8) — 7 = 12 или (3 + 2) x 8 — 7 = 12. «В каждом вопросе учащиеся будут проверять свои навыки выполнения операций.

Наши интерактивные уроки математики, в том числе Эта математическая игра для четвертого класса предлагает несколько функций, которые помогают учащимся максимально эффективно использовать время на математической практике.Например, если вашим ученикам нужна небольшая дополнительная помощь в решении математической задачи, они могут использовать опцию «Подсказка» на экране практики. Когда они нажимают кнопку «Подсказка», им будет показана соответствующая графическая или письменная подсказка, которая поможет им решить проблему. Когда учащиеся ответят на вопрос неправильно, на экране появится подробное объяснение, которое поможет им понять, в чем они ошиблись. Каждое объяснение вопроса имеет индивидуальную иллюстрацию, чтобы шаг за шагом показать учащимся, как следует решать проблему.Учащиеся пройдут через урок, извлекая уроки из своих ошибок.

Дополнительные компоненты всех интерактивных уроков математики на iKnowIt.com включают счетчик прогресса, который показывает учащимся, сколько вопросов они уже ответили на уроке, счетчик баллов, позволяющий им узнать, на сколько вопросов они ответили правильно, и значок динамика, который указывает на нашу полезную функцию чтения вслух, которая является отличным вариантом для студентов ESL / ELL или студентов, которые преуспевают в слуховом обучении.

Преимущества математической программы «Я знаю»

Учителя, родители и ученики одинаково любят использовать математическую программу «Я знаю» вместе с обычным учебным планом по математике. Учителя и родители ценят широкий спектр математических тем, которые мы освещаем в нашей постоянно растущей коллекции уроков, а также качество и объем каждого отдельного урока математики. Наши интерактивные математические задания соответствуют Общему базовому стандарту и соответствующим образом обозначены на нашем веб-сайте. Учащимся нравится интерактивная и увлекательная презентация наших практических материалов по математике, в том числе яркие цвета, большие значки, удобный для детей макет, глупые анимированные персонажи, соответствующие возрасту смайлики и баннеры с положительными отзывами, которые отображаются каждый раз, когда они правильно отвечают на вопрос.Студенты могут получать награды за каждую новую концепцию, которую они изучают, с помощью «Я знаю это» и добавлять эти награды в свой собственный «трофейный ящик».

Мы надеемся, что вы сегодня опробуете этот урок по порядку работы! Не забудьте также просмотреть сотни других уроков математики в нашей коллекции!

Бесплатная пробная версия и варианты членства

Воспользуйтесь нашей бесплатной шестидесятидневной пробной версией, чтобы вы могли изучить все, что «Я знаю» может предложить! Мы уверены, что вам абсолютно понравится наша математическая программа, поэтому, как только у вас будет возможность все попробовать, убедитесь, что вы подписались на членство «Я знаю это», чтобы ваш класс мог и дальше пользоваться многими преимуществами использования наша программа.

Как только вы действительно начнете работать с «Я знаю это», вы увидите, насколько легко отслеживать успехи ваших учеников в программе. Для этого были созданы наши удобные административные функции. Инструменты администрирования позволяют создавать список классов и добавлять в него учащихся, назначать уникальные имена пользователей и пароли всем учащимся, назначать разные уроки математики отдельным учащимся, изменять настройки урока, распечатывать, сохранять и отправлять отчеты об успеваемости учащихся по электронной почте. , и многое другое!

Когда ваши ученики входят на веб-сайт со своим уникальным именем пользователя и паролем, они попадают на удобную для детей домашнюю страницу, с которой они могут получить доступ к урокам математики, которые вы им назначили.У них также есть возможность попробовать другие уроки на своем уровне или уровне способностей или даже изучить уроки математики на другом уровне или уровне способностей, если вы разрешите эту опцию в общих настройках урока.

Уровни успеваемости в программе «Я знаю» обозначаются буквами вместо цифр (например, «Уровень А» для первого класса и т. Д.), Что упрощает назначение уроков математики в зависимости от уровня навыков отдельного ученика. .

Уровень

Этот онлайн-урок математики относится к Уровню D.Возможно, это идеальный вариант для четвертого класса.

Common Core Standard

5.OA.1
Операции и алгебраическое мышление
Учащиеся будут использовать круглые, квадратные или фигурные скобки в числовых выражениях и оценивать выражения с помощью этих символов.

Возможно, вас также заинтересует …

Написание алгебраических выражений (уровень D)
На этом уроке математики четвертого класса учащиеся будут практиковаться в написании алгебраических выражений. Вопросы представлены в формате множественного выбора.

Оценка алгебраических выражений (уровень D)
На этом уроке математики, предназначенном для четвертого класса, ученики будут практиковаться в оценке алгебраических выражений. Вопросы представлены в формате заполнения пустых полей и в виде таблиц ввода / вывода.

Распределительное свойство: 5 четких примеров для использования в классе

Распределительное свойство: 5 четких примеров для использования в классе | Prodigy Education

Категория

• Ресурсы для учителей
• Учебные занятия
• Учебные инструменты

Что такое распределительное свойство ? Это одно из наиболее часто используемых свойств в математике, также известное как распределительный закон умножения.Распространяя что-то, вы делите это на части. В математике свойство распределения помогает упростить сложные задачи, поскольку оно разбивает выражения на сумму или разность двух чисел. Ищете конкретную операцию? Щелкните выделенные вкладки и перейдите вправо к:

Определение распределительного свойства Для выражений в форме a (b + c) распределительное свойство показывает нам, как их решить:

• Умножение число сразу за скобками с числами внутри
• Сложение продуктов

А как насчет PEMDAS? Что случилось с первой оценкой того, что заключено в круглые скобки? Если ваши ученики задаются вопросом, почему вы не следуете порядку действий, которому их учили раньше, они не ошибаются.Однако, когда в алгебраических выражениях есть круглые скобки, содержащие переменные — величину, которая может изменяться в контексте математической задачи, обычно представленной одной буквой, — выполнение этой операции невозможно.

Распределительное свойство умножения над сложением Независимо от того, используете ли вы свойство распределения или следуете порядку операций, вы получите один и тот же ответ. В первом примере ниже мы просто оцениваем выражение в соответствии с порядком операций, упрощая сначала то, что было в скобках.Используя закон распределения, мы:

1. Умножаем или распределяем внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Решите уравнение.

Давайте рассмотрим сценарий из реальной жизни, чтобы прояснить это. Представьте, что у одной студентки и двух ее друзей по семь клубники и четыре клементина. Сколько всего фруктов есть у всех трех учеников? В пакетиках для завтрака — или в скобках — по 7 клубники и 4 клементина.Чтобы узнать общее количество кусочков фруктов, им нужно все это умножить на 3. Когда вы разбиваете его, вы умножаете 7 клубники и 4 клементина на 3 ученика. Итак, у вас есть 21 клубника и 12 клементинов, в общей сложности 33 кусочка фруктов.

Распределительное свойство умножения над вычитанием Как и в описанной выше операции, выполнение распределительного свойства с вычитанием следует тем же правилам, за исключением того, что вы находите разницу вместо суммы. Примечание : не имеет значения, положительная или отрицательная операция. Оставьте то, что указано в скобках.

Распределительное свойство с переменными Помните, что мы говорили об алгебраических выражениях и переменных? Распределительное свойство позволяет нам упростить уравнения при работе с неизвестными значениями. . Используя закон распределения с задействованными переменными, мы можем выделить x :

1. Умножить или распределить внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Расположите члены так, чтобы константы и переменные находились по разные стороны от знака равенства.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : при изоляции переменных (см. Шаг 3) то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать с другой. Чтобы исключить 12 с левой стороны, вы должны добавить по 12 к левой и правой сторонам. То же самое касается умножения и деления: чтобы выделить x , разделите каждую сторону на 4.

Распределительное свойство с показателями Показатель — это сокращенное обозначение, показывающее, сколько раз число умножается само на себя. Когда используются круглые скобки и степени, использование свойства распределения может значительно упростить выражение.

1. Разверните уравнение.
2. Умножьте (распределите) первые числа каждого набора, внешние числа каждого набора, внутренние числа каждого набора и последние числа каждого набора.
3. Объедините похожие термины.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : Для второго шага используйте метод FOIL (first, external, inner, last) для распределения каждого выражения.

Распределительное свойство с дробями Решение алгебраических выражений с дробями выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Следуйте инструкциям ниже, чтобы увидеть, как это делается. Надеюсь, этот пошаговый процесс поможет вашим ученикам понять, как и почему свойство распределения может пригодиться при упрощении дробей.

1. Определите дроби. Используя свойство distributive, вы в конечном итоге превратите их в целые числа.
2. Для всех дробей найдите наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее число, в которое могут точно поместиться оба знаменателя. Это позволит вам добавлять дроби.
3. Умножьте каждый член уравнения на НОК.
4. Изолируйте переменные, добавляя или вычитая одинаковые члены по обе стороны от знака равенства.
5. Объедините похожие термины.
6. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : На втором и третьем шагах мы находим НОК и используем его для умножения дробей, чтобы упростить и избавиться от них. Нужно быстро освежиться? См. Сообщение в нашем блоге о том, как умножать дроби.

Различные способы изучения распределительной собственности

1. Prodigy Prodigy — это бесплатная адаптивная математическая платформа, которую любят 1,5 миллиона учителей и более 50 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает согласованный с учебной программой контент по каждой основной математической теме с 1-го по 8-й классы, в том числе инструкции:

• Используйте свойство распределения для раскрытия и решения выражений
• Заполните недостающие числа в эквивалентных выражениях, используя свойство распределения

Использование Prodigy поможет учащимся изучать и практиковать математику, помимо беглости фактов, и на втором и третьем уровнях DoK. С вопросами, подобными приведенному выше, учащиеся быстро овладеют распределительным свойством. Нажмите синюю кнопку ниже, если вы хотите дополнить уроки математики увлекательной игровой платформой для обучения!

2. Проблемы со словами Свойство распределения, возможно, неприменимо к повседневной жизни, но давайте посмотрим, как оно работает, решив некоторые проблемы со словами! У Лиама разный музыкальный вкус. Просматривая музыку на его телефоне, друзья Лиама находят песни трех разных жанров: поп, металл и кантри.Металл-песен в шесть раз больше, чем поп-песен, и в 11 раз больше кантри, чем поп-песен. Если x представляет количество поп-песен, какое общее количество песен у Лиама на телефоне? Напишите выражение. Упростите: чтобы получить количество металлических песен, умножьте количество поп-песен на пять — 5x . Чтобы получить количество песен в стиле кантри, умножьте количество популярных песен на 11 — 11x . Поскольку вы знаете, что x — это количество поп-песен, вы можете записать это выражение следующим образом: школьный футбольный тренер предоставляет своей команде новую форму: майку, шорты и щитки на голенях.Одна футболка стоит 15 долларов, одна пара шорт стоит 11 долларов, а комплект щитков для голени стоит 8 долларов. Сколько стоит каждая униформа на одного товарища по команде? Напишите выражение и упростите: сколько это будет стоить, если в команде будет 11 игроков? Напишите выражение и упростите.

3. Массивы Визуальные или практические манипуляторы помогают учащимся разобраться в математике и конкретизировать абстрактные концепции. Они особенно полезны для более глубокого понимания учащимися распределительного свойства. Используйте предметы, изображения, числа — что угодно! — в строках и столбцах как удобный способ представления математических выражений, таких как 45 и 59.Взгляните на приведенный ниже пример Indulgy: разбивая выражения на небольшие части, учащиеся могут решать более крупные и сложные математические задачи. Здесь помогает распределительное свойство. Если ребенок не может ответить на 45, используйте меньшие массивы и перепишите выражение как 4 (3 + 2) или (43) + (42). Это четыре строки по три плюс четыре строки по два , что аналогично массиву из четырех строк по пять .

Заключительные мысли о распределительном свойстве Поскольку это одно из наиболее часто используемых свойств, важно научиться выполнять и применять распределительное свойство.Без него очистить круглые скобки было бы невозможно! Включая ресурсы EdTech, массивы или математические текстовые задачи, учащиеся должны увидеть практическое применение распределительного свойства. Дайте им попробовать. Сработал ли один пример более эффективно для вовлечения студентов и углубления их понимания? Дайте нам знать об этом в комментариях!

---

Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — бесплатной игровой платформе для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и ученикам.Соответствующий учебным планам англоязычный мир, его любят 1,5 миллиона учителей и более 50 миллионов студентов!

Базовый номер Факты и операции

Очень важно, чтобы учащиеся видели математику и выполняемые ими вычисления как часть своей повседневной жизни. Предоставление возможностей применять основные концепции и операции в повседневной деятельности укрепит навыки учащихся и мотивирует их к прогрессу в математике. Они могут использовать сложение, чтобы подсчитать общее количество игрушек или закусок, а также отслеживать свои банковские счета или командное снаряжение.Учащиеся могут использовать вычитание, чтобы сравнивать то, что у них есть, и то, что им нужно для игры или другого занятия, с бюджетом и для расчета оставшихся предметов по мере их использования или для расчета изменений при совершении покупки. Их можно умножать, чтобы вычислять большие итоги и преобразовывать единицы измерения из одного показателя в другой. Они могут делить, чтобы определить равные части элементов, или вычислить среднесуточные значения спортивных результатов или процентные оценки для викторин или игр.

Чтобы ученики могли производить вычисления с использованием этих четырех основных операций, они должны сначала разработать базовые концепции (включая больше, меньше, много и т. Д.).), взаимно однозначное соответствие, понятие множеств и основной смысл чисел. По мере того как учащиеся начинают учиться вычислять, следует учитывать следующие учебные соображения:

• Делайте упор на развитие концепции, а не на процесс или механическое запоминание.
• Применяйте операции к реальным жизненным ситуациям, которые представляют интерес для учащегося (например, предоставьте учащимся возможность определить количество материалов, необходимых для игры или завершения проекта, и оценить цену на приобретение этих материалов).Сначала предоставьте ученику примеры, а затем попросите ученика привести свои собственные примеры, которые он или она считает уместным использованием различных операций.
• Когда учащиеся используют манипуляторы, предложите им обыскать все «поле», чтобы убедиться, что они осведомлены обо всех объектах, с которыми они должны работать. Использование подносов или циновок может помочь определить это поле и область, в которой они должны искать.
• Задачи со словом очень эффективны, поскольку предполагают практическое применение навыков.Чтобы помочь учащимся развить навыки, необходимые для решения текстовых задач, может быть полезно предоставить модель решения проблемы. Во-первых, определите конкретные виды информации, необходимые для решения конкретной проблемы; затем предоставьте два или три варианта действий для решения проблемы. Со временем студенты смогут самостоятельно определять подходящие операции.
• Обучайте концепции дополнений или партнеров для сложения, вычитания, умножения и деления. Например, число 5 состоит из 2 и 3, 1 и 4; 24 состоит из множителей 8 и 3 или 2 и 12 и т. Д.Эта концепция не только упрощает студентам работу с числовыми фактами; это также облегчает умственную математику.
• Изучая факты, сосредоточьтесь на двух или трех связанных фактах одновременно. Сделайте акцент в первую очередь на точности, а затем на скорости. Составьте таблицу усвоенных фактов, чтобы помочь ученику осознать прогресс.
• Маленькие флип-чарты могут быть предоставлены за столом учащегося с указаниями для шагов по конкретным типам задач в качестве справочника или напоминания.

Деятельность по обучению основным операциям

• Числовая строка (APH) может использоваться для работы с операциями, связями, дробями и десятичными знаками.Числовые линии особенно полезны, когда они растянуты по верхней части стола ученика, менее полезны, когда они ограничены размерами страницы Брайля. Строка с цифрами, прикрепленная к столу ученика, особенно полезна, когда ученик использует шрифт Брайля. Учащиеся могут найти большее число, считать вперед для сложения и отсчитать назад для вычитания. Студенты могут использовать числовые линии для работы с положительными и отрицательными числами. Термометры также могут быть полезны при обучении положительным и отрицательным числам.
• Flashcards можно использовать вместе с манипуляторами для работы с основными фактами операций и Кодексом Немета; позже студенты могут составлять свои собственные математические предложения по азбуке Брайля.
• Учащиеся, испытывающие трудности с изучением фактов сложения, вычитания, умножения или деления, могут составить карточки из тех фактов, с которыми у них больше всего проблем. Напишите проблему на одной стороне карточки и ответ на обратной стороне. Учителя могут использовать творческий подход и соответствующие примеры, царапать и нюхать наклейки и т. Д.сделать эти учебные пособия интересными. Многие модели этих вспомогательных средств можно найти в магазинах для учителей.
• Чтобы попрактиковаться в математике, ученики могут бросать кости, а затем складывать, вычитать, умножать или делить выпавшие числа. Разнообразие правил может превратить это в игру. Например, первый учащийся, чьи совокупные числа в сумме составляют до 100 побед, или учащиеся начинают со 100 и вычитают полученные числа, а первый, достигающий нуля, выигрывает, или учащиеся умножают два выданных числа, а затем складывают эти числа.Студенты также могут переименовывать дроби, образованные путем объединения двух брошенных чисел.
• «Начни здесь. .. Кончай там!» (Петрешене, 1985): дайте студенту листок с парой цифр в первой строке. Затем ученик определяет по крайней мере 3 способа перехода от первого числа ко второму, записывая каждую серию вычислений под парой чисел. Он или она может использовать любую комбинацию сложения, вычитания, умножения и деления. Например, если обозначены числа 3 и 24, возможны следующие варианты:

  3×8 = 24
  3×9-3 = 24
  3 + 10 + 10 + 1 = 24
  

• Mad Minute, доступный на диске, может быть мотивирующим способом для студентов попрактиковаться в основных операциях.

Рекомендации по обучению сложению и вычитанию

Хотя приведенные выше советы относятся к обучению любым основным арифметическим фактам, следующие советы могут быть особенно полезны для работы над сложением и вычитанием:

• Для студентов, которым очень трудно запоминать числовые факты, может быть полезен принцип сложения. Например, учите «двойникам» (2 + 2, 3 + 3) для всех фактов до 10. Они могут служить в качестве основных фактов, из которых могут быть выведены другие факты (как в задаче «2 + 2 + 1» или «на единицу меньше 4 + 4»).
• Магниты можно использовать на небольшом противне для печенья или магнитной доске для формирования групп для задач сложения или вычитания. В отличие от манипуляторов, обычно используемых в классах начальной школы, отдельные магниты можно легко перемещать, не падая с поверхности. На более продвинутом уровне противень для печенья или магнитная доска могут быть использованы в качестве личной «классной доски», где отдельные плитки, помеченные номерами кода Немета и знаками действия (и прикрепленные к магнитной ленте), могут быть расположены для создания множества проблем. Wikki Stix можно использовать для разделительных линий. Студент может работать над множеством задач за своей партой, в то время как учитель решает задачи за доской. Классные учителя должны сотрудничать, четко формулируя проблемы!
• Рабочий поднос от Американской типографии для слепых может служить хорошим органайзером для простых операций сложения и вычитания. Например, набор небольших манипуляторов можно разместить в большей части слева от лотка.Четыре из этих объектов можно разместить в первой из трех меньших секций, а еще 2 — во второй секции. Затем ученик мог взять предметы из обоих разделов и поместить их в третью часть, посчитав их в сумме 6. Та же процедура может использоваться для операторов вычитания. Задачи, связанные со сложением или вычитанием нулей, также могут быть решены очень конкретным образом с использованием этого подхода.
• Для обучения сложению маленьких детей кубики, которые прикрепляются друг к другу (например,g., Unifix cubes) может быть эффективным подспорьем. Студенту можно дать определенное количество кубиков и попросить их сосчитать; затем ученику можно дать вторую группу кубиков, которые подсчитываются и присоединяются к первой группе. Затем можно подсчитать общее количество кубиков. Также можно использовать бусинки на нитке, дав ребенку нитку из первых двух бусинок одной формы (кружочки), затем трех бусинок другой формы (квадраты). Студент читает задачу слева направо (2 + 3 = 5). Вычитание можно также практиковать, сначала представив объединенные суммы, а затем попросив учащегося удалить определенное количество кубиков или бусинок (5–3 = 2).
• При настройке пространственного расположения, включающем перегруппировку (т. Е. Перенос и заимствование) или отмену, в качестве вспомогательного средства может использоваться рамка с 9 кубиками, расположенными по вертикальной линии. Когда ученик заполняет рамку счетчиками, он или она может видеть, что если требуется другое место для суммы, превышающей 9 имеющихся, он или она должны разместить его над рамкой. Отдельный раздел над рамкой может быть добавлен для хранения переходящего числа.
• Студенты могут работать над понятиями «больше чем» и «меньше чем», работая над сложением и вычитанием.Например, два числа (8,13) могут быть даны ученику в определенной последовательности, и ученик должен будет указать отношение первого числа ко второму (8 меньше 13). Затем ученик может использовать операции сложения или вычитания для решения задач (например, насколько меньше 8, чем 13? Какое число мы должны прибавить к 8, чтобы получилось 13? Какое число мы должны добавить к 8, чтобы получилось больше 13?).
• Игра «Mystery Coins» (Petreshene, 1985) дает возможность попрактиковаться в основных математических фактах и ​​денежных навыках.Поместите различные монеты в бумажный пакет и объявите общую стоимость и количество монет (например, 35 центов; 8 монет). Ученик угадывает, какие именно монеты в сумке. Когда он или она заявляет правильный ответ (в этом примере это 3 цента и 5 пенни), он или она считает реальные монеты для проверки.

Рекомендации по обучению умножению и делению

Ниже приведены несколько советов, которые могут быть особенно полезны при обучении умножению и делению:

• Напомните учащимся об этих «приемах», которые могут помочь им запомнить факты умножения:

  Ноль умноженное на любое число равно нулю.
  Один раз любое число — это само число.
  Девятки «волшебны»: ответ на девять фактов всегда дает
  девять (например, 9×8 = 72; 7 + 2 = 9).
  

• Создайте список с числами 0–9 в левом столбце и числами 9–0 в правом столбце. Полученные числовые комбинации будут ответами на факты от 9×1 до 9×1:

  x1: 09
  x2: 18
  x3: 27
  х4: 36
  x5: 45
  x6: 54
  x7: 63
  x8: 72
  x9: 81
  х10: 90
  

• Начните с аддитивного подхода, используя группы манипуляторов (например,г., 2 + 2 + 2 = 3х2, 4 + 4 + 4 + 4 = 4х4 и т. д.).
• Подчеркните ассоциативный принцип, предлагая учащимся делать и переделывать утверждения относительно различного расположения предметов (например, используя картонную коробку для яиц, учащиеся могут видеть, что 6×2 = 12 и что 2×6 = 12).
• Учащиеся могут использовать карточные игры с множителями (3×8) на одной карте и продуктами (24) на другой, чтобы составить подходящую пару.
• Умножая разные числа на коэффициент 9, учащиеся могут использовать «пальчиковый трюк». Сначала ученик кладет обе руки перед собой ладонями вниз и считает пальцы от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки.Затем ученик складывается под пальцем, соответствующим коэффициенту девяти, и читает произведение, считывая количество пальцев перед согнутым пальцем, а затем количество пальцев, следующих за согнутым пальцем. Например, в задаче 4×9 ученик будет складывать под указательный палец левой руки, потому что это 4-й палец в последовательности. Тогда ученик прочитает ответ как 36, потому что есть 3 пальца перед сложенным пальцем и 6 пальцев после сложенного пальца.
• Студенты могут найти «мультиблоки» полезными. Все соответствующие множители, множители и произведения помечены в Кодексе Немета на разных сторонах блоков. Учащиеся могут найти подходящие совпадения, расположив блоки так, чтобы комбинации факторов и продуктов были обращены вверх.
• Чтобы практиковать как факты умножения, так и ассоциативную концепцию, учащиеся могут сыграть в крестики-нолики. Каждая клетка доски для игры в крестики-нолики содержит задачу умножения без ответа; факторы должны быть представлены в обоих порядках, но в разных квадратах (6×8, 8×6).Студенты должны найти в строке 3 комбинации, которые дают один и тот же продукт. Это упражнение также можно использовать для отработки сложения фактов или других комбинаций основных фактов.

Список литературы

Петрешене, С. С. (1985). Mind joggers! Занятия, которые заставят детей задуматься от 5 до 15 минут . Западный Найак, штат Нью-Йорк: Центр прикладных исследований в образовании, Inc.

Концепция умножения, плюс умножение и сложение

Это полный урок для третьего класса с обучением и упражнениями по основному понятию умножения и о связи между умножением и сложением.Умножение определяется как то, что у вас есть определенное количество групп одинакового размера. Тогда это может быть решено повторным сложением. Учащиеся заполняют недостающие части в предложениях умножения и сложения, чтобы они соответствовали заданным визуальным моделям (картинкам). Они также рисуют картинки, соответствующие заданному умножению.

---

Символ × обозначает умножения на . Умножение означает , что у вас есть определенное количество групп одинакового размера.

Здесь у нас пять групп, и в каждой группе два слонов. 5 × 2 = 10 » сколько групп сколько в каждой группе Мы можем решить , добавив: 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 «Пять раз два слона это десять слонов.”

Вот три групп, и каждая группа насчитывает четырех собак. 3 × 4 = 12 сколько групп сколько в каждой группе Мы можем решить , добавив: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 «Три раз четыре собаки это двенадцать собак.”

1. Нарисуйте точки группами, чтобы соответствовать умножению.

а. 2 × 6

б. 4 × 2

2. Заполните недостающие части.

а. ____ групп, по ____ ножниц в каждой. ____ × ____ ножницы = ____ ножницы _____ + _____ + _____ + _____	б. ____ групп, ____ баранов в каждой. ____ × ____ баранов = ____ баранов _____ + _____ + _____
c. ____ групп, ____ собаки в каждом. ____ × ____ собака = ____ собак _____ + _____ + _____	г. ____ группа, в ней ____ морковок. 1 × ____ морковь = ____ морковь

3. Напишите предложение сложения и умножения для каждой картинки.

а. ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______	г. ___ + ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______
г. ___ + ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______	г. ___ + ___ + ___ + ___ = _____ ____ × ____ = ______

4. Теперь ваша очередь тянуть. Нарисуйте шары или палочки. Напишите предложение умножения.

а. Нарисуйте 3 группы по семь палочек. _____ × _____ = ______	б. Нарисуйте 2 группы по восемь шаров. _____ × _____ = ______
г. Рисовать 4 группы по четыре шара. _____ × _____ = ______	г. Нарисуйте 5 групп по два шара. _____ × _____ = ______

5. Ничья группы для решения умножений.

а. 5 × 4 = _______

б. 4 × 6 = _______

6. Эти проблемы связаны с группами. Напишите умножение. Рисование может помочь.

а. Сколько ног у пяти коров? _____ × _____ = ______	г. Сколько колеса у шести велосипедов? _____ × _____ = ______
г. Сколько палочки в трех группах по пять палочек? _____ × _____ = ______	г. В одной грозди 11 ягод. Сколько винограда в трех таких гроздьях? _____ × _____ = ______

---

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора.Авторские права © Мария Миллер.

---

4.3 Означает ли «и» умножение?

Принцип умножения, изложенный в предыдущем уроке, основан на том, что действия независимы, так что результат одного действия никоим образом не может повлиять на результат другого действия. Тем не менее, мы часто учим студентов использовать этот принцип каждый раз, когда слово «и» появляется в вероятностной задаче, даже если вовлеченные события НЕ являются независимыми. Я часто слышу афоризм «И значит умножить» , который небрежно произносят.

Итак, всегда ли «и» соответствует арифметике умножения?

Рассмотрим следующие две проблемы:

ПРИМЕР 1: (Задача «с заменой».) В сумке находятся два красных шара и три желтых шара. Я вытаскиваю шар наугад, замечаю его цвет, кладу его обратно и вытаскиваю наугад второй шар. Какова вероятность того, что я увижу два красных шара?

ПРИМЕР 2: (Проблема «без замены».) В сумке два красных шара и три желтых шара. Я вытаскиваю шар наугад, замечаю его цвет и откладываю в сторону. Затем я наугад вытаскиваю второй из четырех оставшихся в сумке. Какова вероятность того, что я увижу два красных шара?

Два действия в Примере 1, безусловно, независимы (результат вытаскивания мяча в первый раз никоим образом не влияет на результат вытаскивания мяча во второй раз), поэтому по принципу умножения из предыдущего урока мы делаем иметь

\ (p (\) КРАСНЫЙ и КРАСНЫЙ \ () = \ dfrac {2} {5} \ times \ dfrac {2} {5} = \ dfrac {4} {25} \).

Но два события в Примере 2 не являются независимыми: результат первого действия влияет на возможные результаты второго. (Вероятность выбора второго красного шара равна \ (\ dfrac {1} {4} \) или \ (\ dfrac {2} {4} \) в зависимости от результата первого действия.) Если мы слепо последуем афоризм « А значит умножить , » то сбивает с толку.

— это \ (p (\) КРАСНЫЙ и КРАСНЫЙ \ (= \ dfrac {2} {5} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2} {20} \) или \ (p (\ ) КРАСНЫЙ и КРАСНЫЙ \ (= \ dfrac {2} {5} \ times \ dfrac {2} {4} = \ dfrac {4} {20} \)?

Хороший выход из этих солений — начертить для проблемы садовую дорожку.Вот диаграмма для примера 2. (Обратите внимание, что для каждого шара в сумке есть один путь.)

Мы видим \ (p (\) RED и RED \ () = \ dfrac {2} {5} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2} {20} \). Путаница исчезла, и мы закончили!

Садовые дорожки вас не подведут. Больше ничего не нужно!

Но для целей этой темы мы хотим спросить: Был ли здесь задействован принцип умножения?

Посмотрите еще раз на садовую дорожку, которую мы нарисовали для этого примера.Во время классной беседы кто-нибудь обязательно скажет, что мы могли бы нарисовать упрощенную версию модели садовой дорожки. БОЛЬШОЙ! (Пусть студенты предложат эти идеи.)

На этой диаграмме направлениям от развилки больше не придается равный вес: вероятности совершения определенного поворота совпадают с вероятностями исходов события, которое представляет вилка.

Модель площади теперь очень точно показывает произведение дробей:

У нас есть умножение:

\ (p (\) КРАСНЫЙ и КРАСНЫЙ \ () = \ dfrac {2} {5} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2} {20} \).

Итак, кажется, что «и» действительно соответствует действию умножения с этой точки зрения.

Для тех, кто любит общие формулировки принципов (с садовыми дорожками всегда можно «свихнуться»), вот он:

ПРИНЦИП УМНОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: Общая версия

Предположим, что кто-то выполняет одну задачу и надеется получить результат \ (A \), а затем выполняет вторую задачу и надеется получить результат \ (B \).Чтобы вычислить вероятность увидеть \ (A \), а затем \ (B \), сначала вычислите:

\ (p (A) \), вероятность увидеть \ (A \).

\ (p (B \ vert A) \), вероятность увидеть \ (B \) в предположении, что вы только что видели \ (A \).

Тогда:

\ (p (A \), а затем \ (B) = p (A) \ times p (B \ vert A) \).

ПРИМЕЧАНИЕ: Если два события независимы, то есть результат первой задачи никоим образом не влияет на результат второй, тогда \ (p (B \ vert A) = p (B) \).(Шансы увидеть \ (B \) не имеют отношения к тому, видели мы только что \ (A \).) В данном случае

\ (p (A \), а затем \ (B) = p (A) \ times p (B) \).

, и у нас есть принцип умножения, который мы впервые описали.

Комментарий: Садовые дорожки действительно намного веселее!

Присоединяйтесь к обсуждению в Facebook и Twitter и любезно поделитесь этой страницей с помощью кнопок ниже.