|
Навигация: Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Топ: Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного… Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации — обмен информацией между организацией и её внешней средой… Интересное: Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы… Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является… Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны. Дисциплины: Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция |
⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 16Следующая ⇒ Методический комментарий При сложении смешанных дробей учитывается тот факт, что каждое из них представляет сумму целого числа и дроби. В этом же пункте рассматриваются примеры на нахождение разности двух чисел, когда одно из них или оба выражаются смешанными дробями. Здесь прежде всего целесообразно познакомить учащихся с общим приёмом, заключающимся в замене компонентов действий обыкновенными дробями Обращаем также внимание учителя на случай вычитания из целого числа, в частности из единицы (упражнения Помимо рационального приёма, рассматриваемого в учебнике (пример 3), разберём и другие. Подчеркнём, однако, что этот материал даётся прежде всего для учителя. Пример. Найдём разность . 1-й способ. Если учащиеся хорошо могут выполнять вычитание типа , то вычислять можно так: Промежуточную запись можно не делать, заменив её устным пояснением. 2-й способ. Можно вычитание представить в виде суммы дробей так, чтобы было удобно вычитать по частям:
Комментарий к упражнениям 794, 795. Сначала дроби приводятся к общему знаменателю. 798. Сначала надо последовательными вычислениями найти все десять членов последовательности. Затем можно записать сумму этих десяти чисел и постараться найти удобный способ для её вычисления. Ответ: . 813. Четвёртое равенство записывается в виде Проверка: 814. В рассматриваемой цепочке разностей на 100-м месте должна стоять разность разность равна 816. Можно рассуждать так: а) меньше 10 на или , поэтому, если к прибавить лишь , то их сумма будет меньше 10; б) меньше 10 на , а меньше , следовательно, сумма меньше 10. Умножение дробей Методический комментарий Учащиеся должны научиться умножать обыкновенные дроби, включая случаи умножения с натуральными числами и смешанными дробями, познакомиться с применением свойств умножения для упрощения вычислений, освоить решение несложных задач, приводящих к умножению обыкновенных дробей. Объяснение нового материала в учебнике проведено на задаче о вычислении площади прямоугольника, которая позволит продемонстрировать целесообразность принятого правила умножения дробей. Говоря о выполнении свойств умножения для обыкновенных дробей, полезно, чтобы учащиеся убедились в этом на конкретных примерах. Так, для дробей и имеем и , т. е. В учебнике не рассматривается специальное правило умножения дроби на натуральное число. Натуральное число записывается в виде дроби со знаменателем 1, и вычисления проводятся по общему правилу. Рекомендуем, чтобы учащиеся во избежание ошибок достаточно долго представляли произведение натурального числа и дроби в виде произведения двух дробей, не переходя к свёрнутой записи с пропуском этого этапа. При умножении дроби на смешанную дробь учащиеся встречаются с уже знакомым общим приёмом, заключающимся в обращении смешанной дроби в обыкновенную. В то же время полезно показать, что в простых случаях умножение смешанной дроби на натуральное число можно выполнить устно (упражнение 827). Сюжеты задач, содержащихся в пункте, учащимся уже привычны, однако в них усложнена «числовая основа» за счёт использования дробных данных. В результате учащиеся могут затрудняться в решении знакомых задач. Поэтому полезно научить их такому приёму: заменить в условии дробные данные целыми числами, подумать, как решается такая задача, а затем перенести этот способ на исходную ситуацию.
Комментарий к упражнениям 833. Можно рассмотреть два способа: 1) выполнить сначала действия в скобках; 2) сначала раскрыть скобки, воспользовавшись распределительным свойством. Со слабыми учащимися лучше ограничиться первым приёмом. После того как учащиеся поупражняются в вычислениях по действиям, можно предложить им задания, при выполнении которых целесообразны иные решения: 1) 12 + 8 + 6 = 26; 2) 837. Проверьте, умеют ли учащиеся употреблять термины «степень», «показатель степени», «основание степени», представить степень в виде произведения равных множителей, знают ли квадраты чисел в рамках таблицы умножения. 838. Обратите внимание на тех учащихся, которые путают правило нахождения периметра прямоугольника с правилом нахождения его площади. Повторите единицы площади, их соотношение. 841. Значение каждого выражения вычисляется устно: Следующее равенство записывается в виде 842, 844. 844. Вывод можно получить разными способами. Рассмотрите два из них. Способ 1. Выполнив вычисления и приведя дроби к общему знаменателю, получим цепочку: Отсюда вывод: наименьшее значение имеет выражение . Способ 2. Значение первого выражения меньше значения второго выражения, так как . Значение каждого выражения — правильная дробь. Поэтому значение третьего выражения меньше значения первого выражения . Отсюда вывод: наименьшее значение имеет выражение . Деление дробей Методический комментарий Учащиеся должны усвоить понятия дроби, обратной данной, взаимно обратных дробей, научиться делить обыкновенные дроби, включая случаи деления с натуральными числами и смешанными дробями, освоить решение несложных задач, приводящих к делению обыкновенных дробей. При объяснении нового материала надо подчеркнуть, что деление на дробь сводится к умножению на дробь, обратную делителю. В тех случаях, когда делимое или делитель является натуральным числом, учащиеся должны использовать развёрнутую запись, не опуская этап представления натурального числа в виде дроби со знаменателем, равным 1. Комментарий к упражнениям 857. а) Задача решается делением: 50 см — это м; 9 (кусков). Желательно рассмотреть иное рассуждение: так как в 1 м два куска по 858, 859. Задачи решаются делением. В результате деления получается дробь, но ответ выражается ближайшим целым числом. Число выбирается по смыслу условия задачи. 861. Проверьте, знают ли учащиеся, как найти неизвестный множитель, неизвестное слагаемое, любой другой компонент арифметического действия. 864. а) Решение можно записать цепочкой. 871. 877. Надо рассмотреть два случая, так как туристы сначала двигаются навстречу друг другу, а потом удаляются друг от друга. ⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒ Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства… Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции… Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни… Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)… |
Заметим, что использование скобок в ходе письменного выполнения упражнений нецелесообразно.
В то же время сильным учащимся в качестве самостоятельного задания на завершающем этапе изучения темы можно предложить сформулировать правило умножения дроби на натуральное число. Оно может быть таким: чтобы умножить дробь на натуральное число, надо умножить на это число числитель дроби и полученное произведение записать числителем, а знаменатель оставить прежним.
Воспользуйтесь выводами, полученными в упражнении 832.
Обратите внимание на порядок действий при вычислении значений выражений, содержащих степени:Как объяснить дроби ребенку?
Дроби – сложная для понимания тема, проблемы с которой возникают не только у детей, но и у взрослых. Но избежать знакомства с ней никак не получится: начиная с 5 класса, редкий урок математики будет обходиться без решения примеров и задач с дробными числами.
Представьте себя на месте ребенка, который никогда не видел (а если и видел, то не понимал смысла)дробей. Конечно же, он не сможет выполнить с ними даже самых простейших математических действий.
Но если школьника подготовить заранее,процесс изучения дробей не вызовет сложностей. Главное – найти правильный подход и запастись терпением. А ещё важно подобрать правильную методику,которая поможет быстрее разобраться с дробями.
Дроби: с чего начать?
Начать нужно с повторения предыдущего материала. Если быть точнее – нужно вспомнить основные математические действия с целыми числами: сложение, вычитание, умножение, деление. Все эти знания формируются в дошкольном и младшем школьном возрасте, и без них решать примеры с дробями не представляется возможным. Если с этими действиями проблем нет, то нужно объяснить ученику, чем вообще являются дроби.
Говоря доступным для ребёнка языком, дробь – это часть чего-либо. Это самое «что-либо» может быть всем, чем угодно: тортиком, апельсином, начерченным на бумаге кругом.
Иногда часть какого-то предмета называют долей. Но при этом суть понятия не меняется: этот самый предмет дробят, делят на части.
Понять значение этого действия гораздо проще на наглядных примерах. Так, можно взять пирог и разрезать (то есть разделить) его на несколько равных частей. Один кусок будет считаться одной долей от целого пирога. Если пирог разделён на четыре части, то один кусочек – это одна четвертая. Если на восемь, то одна восьмая часть.
Помните мультик, где герои делили апельсин?
«Мы делили апельсин.
Много нас, а он один.
Эта долька для ежа, эта долька для чижа…»
В этой нехитрой песенке как раз объясняется принцип деления на доли, или дробление. То же самое можно проделать с яблоком, плиткой шоколада или конфетами из вазы. Общее количество конфет – это целое, а одна конфетка – это часть.
Всё, что нужно знать о дробях
Есть несколько важных понятий, которые следует запомнить:
1. Дробь не является целым числом, а обозначает количество частей целого.
2. Дробное число всегда меньше целого.
3. Чем на большее количество долей поделено целое, тем эти части меньше. И наоборот: чем меньше количество долей, тем они больше. Понять этот принцип будет проще по всё тому же пирогу. Если поделить его поровну между четырьмя друзьями, каждому достанется крупный кусочек. А если друзей не четверо, а, например, шестеро, то кусочки уже будут не такими крупными.
4. Складывать и вычитать дроби можно только тогда, когда у них одинаковый знаменатель. Математические действия – сложение и вычитание – выполняется с числителями, а знаменатель остаётся неизменным.
Дроби: как это оформить?
Обыкновенная дробь –
это понятие будет регулярно встречаться школьникам почти на каждом уроке математики, поэтому нужно сразу разобраться с тем, что оно обозначает и как используется на практике. Начнём со второй части: обыкновенная дробь используется для записи любого количества долей. Выглядит она как «двухэтажная» конструкция из двух чисел, разделённых горизонтальной чертой.
Эта черта называется дробной и обозначает, что число разделили.
Верхний «этаж» называется числителем,
нижний – знаменателем.
Числитель – это число взятых частей от целого, а знаменатель – количество частей, на которое разделили целое. Кстати, знаменатель можно записывать не только внизу, но и справа от числителя после дробной черты. Например: 1/3 или 2/6 или 4/8.
А теперь снова вернёмся к нашему вкусному пирогу. Уже понятно, что разделить его можно между любым количеством друзей. Соответственно, число всех нарезанных кусочков мы запишем в знаменатель. А количество кусков, доставшихся, например, Пете, мы запишем в верхней части, то есть в числителе. Если пирог порезали на восемь частей, а Петя съел два из них, то запись будет выглядеть так: 2/8. А если поделить яблоко между двумя товарищами, то каждому достанется по одной второй, или ½.
Правильные и неправильные дроби
Наверное, вы уже обратили внимание, что во всех приведённых примерах числитель меньше знаменателя.
Это называется правильной дробью.
Но ведь бывают и другие ситуации. Например, к Маше пришла в гости подруга Лена, и мама Маши решила угостить девочек фруктами. Одна достала из холодильника два яблока и, чтобы им было удобнее, разрезала каждое пополам. Получается следующее: одно яблоко разделено на две части, значит в знаменателе будет два. Один кусочек этого самого яблока – это одна вторая. То же самое и со вторым яблоком. А всего на тарелке лежит четыре кусочка.
Но только вот Лена не очень любит яблоки. Она съела всего лишь один кусок, а все остальные достались Маше. Получается, что на долю Лены пришлась ½ часть, а у Маши 3/2. Это и есть неправильная дробь,
то есть та, в которой числитель больше знаменателя.
Иногда в математических примерах могут встретиться ещё более странные записи: 1/1, 3/3, 5/5. Это тоже неправильные дроби, которые по сути не совсем соответствуют определению дробных чисел. И снова вернёмся к сочному и спелому яблоку и рассмотрим на его примере число 2/2.
Знаменатель указывает на то, что яблоко разделено на две части, а числитель говорит о том, что Маша съела обе. То есть она съела всё яблоко, а это значит, что дробное число 2/2 = 1. Если пирог разделён на три части и все они достались Пете, то он смог полакомиться целым пирогом: 3/3 = 1.
Действия с дробями
В самом начале мы говорили, что горизонтальная черта в записи дроби означает деление. То есть числитель можно разделить на знаменатель. Рассмотрим пример с неправильной дробью 6/3. Мы 6 делим на 3 и получаем в ответе 2. Ещё один пример – 8/4: 8 делим на 4 и получаем 2.
В этих примерах в итоге получается целое число без остатка. Но бывает и по-другому, и называется это действие «выделение целой части».
Выделение у дроби целой части
Для примера возьмём неправильную дробь 7/2 и попробуем её разделить:
7 : 2 = 3 и 1 в остатке.
Выполним обратное действие и проверим правильность решения:
3 х 2 + 1 = 7
Теперь осталось записать. А делается это очень просто: целая часть записывается крупно слева от дроби, а сама дробь будет выглядеть как остаток в числителе и количество частей в знаменателе: 3 ½
Кстати, то, что мы сейчас получили, называется смешанной дробью.
У неё есть целая и дробная часть. Но подобные действия можно выполнить только с неправильными дробями, у которых числитель больше знаменателя. В математике используется и обратное действие: перевод смешанной дроби в неправильную. Но эти действия, скорее всего, вы будете изучать позже – в 6 классе.
Сравнение дробей
А на данном этапе сосредоточимся на более простых задачках. Например, научимся сравнивать дроби. Сравнить их можно только, если они имеют одинаковый знаменатель. По правилам математики сравниваются числители.
Что больше – 1/5 или 4/5? Сравним числители и увидим, что 1 < 4, а значит 1/5 < 4/5.
А если в примере дробные числа с разными знаменателями? Тогда их сначала нужно привести к общему, а потом сравнить. Но это более сложная тема, требующая детального разбора. Как и другие примеры с умножением, делением, сокращением. А пока достаточно общего представления о дробях.
Сложение и вычитание смешанных дробей
Смешанная дробь представляет собой
целое число и дробь вместе:
| | |
| 1 3 4 | |
| (одна и три четверти) |
Чтобы их было проще складывать и вычитать, сначала преобразуйте их в неправильные дроби:
Неправильная дробь имеет
верхнее число больше или равное
нижнее число:
| | |
| 7 4 | |
| (семь четвертей или семь четвертей) |
Видите ли вы, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?
Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что и «семь четвертей».
(Возможно, вы захотите прочитать, как конвертировать из или в смешанные дроби)
Добавление смешанных фракций
Для добавления смешанных фракций:
- преобразовать их в неправильные дроби
- затем добавьте их (используя сложение дробей)
- , затем конвертируйте обратно в смешанные дроби
Пример: Что такое 2
3 4 + 3 1 2 ?Преобразование в неправильные дроби:
2 3 4 знак равно 11 4
3 1 2 знак равно 7 2
Общий знаменатель 4:
11 4 остается как 11 4
7 2 становится 14 4
(путем умножения верхнего и нижнего на 2)
Теперь добавьте:
11 4 + 14 4 знак равно 25 4
Преобразование обратно в смешанные дроби:
25 4 = 6 1 4
Когда вы получите больше опыта, вы сможете делать это быстрее, как в этом примере:
Пример: что такое 3
5 8 + 1 3 4Преобразовать их в неправильные дроби:
3 5 8 знак равно 29 8
1 3 4 знак равно 7 4
Сделать тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (умножив верх и низ на 2)
И добавить:
29 8 + 14 8 знак равно 43 8 = 5 3 8
Вычитание смешанных дробей
Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычитайте:
Пример: что такое 15
3 4 − 8 5 6 ?Преобразование в неправильные дроби:
15 3 4 знак равно 63 4
8 5 6 знак равно 53 6
Общий знаменатель 12:
63 4 становится 189 12
53 6 становится 106 12
Теперь вычесть:
189 12 − 106 12 знак равно 83 12
Преобразование обратно в смешанные дроби:
83 12 = 6 11 12
935, 1414, 1415, 1416, 936, 1417, 3585, 3586, 3587
Маты дробей: сложение и вычитание дробей и смешанные числа
| 5 комментариев | Рубрики: Дроби, Математика
Дроби… иначе известные как самая сложная математическая концепция, известная человеку.
Возможно, я преувеличиваю, но дроби точно не самое любимое математическое понятие среднестатистического пятиклассника. Как правило, они не являются любимой единицей преподавателя.
Однако, вооружившись некоторыми действиями, инструментами и хитростями, дроби не должны быть такими уж плохими.
В этом посте я расскажу об одном из моих любимых инструментов, когда учащиеся сталкиваются со всеми трудностями при сложении и вычитании дробей и смешанных чисел с разными знаменателями.
Простые ресурсы, которые я использую, чтобы помочь своим ученикам и сделать их немного более увлекательными, — это коврики для дробей. Продолжайте читать, чтобы узнать больше, и возьмите бесплатные печатные формы, чтобы сделать свои собственные коврики для фракций и, надеюсь, облегчить часть стресса, связанного с фракциями.
* На материалы Amazon, рекомендованные в этом посте, предоставляются партнерские ссылки.
Необходимые материалы Маты для фракций —> загрузите их в конце этого поста.
Сухостираемые гильзы или защитная пленка для страниц (в качестве альтернативы можно заламинировать маты)
Сухостираемые маркеры (рекомендую тонкие).
О матах дробей
Маты дробей, которыми я делюсь в этом посте, предназначены для сложения и вычитания дробей, а также сложения и вычитания смешанных чисел с использованием традиционного алгоритма.
Я включил несколько вариантов каждого коврика, потому что знаю, что у учителей есть предпочтения относительно шагов, которым они обучают. Кроме того, некоторые форматы или этапы, кажется, находят отклик у студентов больше, чем другие, и я предпочитаю иметь варианты.
Как коврики для дробей помогают учащимся
Эти коврики для дробей помогают учащимся тремя основными способами:
1. Маты для дробей помогают учащимся организовать свою работу. Они также помогают убедиться, что учащиеся не забыли ни одного важного шага.
2. Маты для фракций представляют собой «увлекательный формат», особенно если учащиеся могут использовать маркеры для сухого стирания.
3. При использовании маркеров с сухим стиранием учащиеся могут легко исправлять ошибки. Стирание и исправление работы, выполненной маркерами сухого стирания, не так утомительно для учащихся, как исправление бумагой и карандашом.
Варианты использования фракционных ковриков в классеВот несколько способов, которыми вы можете использовать эти фракционные коврики, чтобы помочь своим ученикам:
1. Время учителя в небольшой группе для повторного обучения или практики под руководством учителя.
2. Коврики также хорошо подходят для математических центров. Вы можете поместить в центр карточки с заданиями или даже листы с математическими заданиями и предложить учащимся использовать коврики для решения своих уравнений.
3. Самостоятельная работа для учащихся, которым нужен формат, чтобы помочь им организовать свою работу и запомнить шаги
Где можно БЕСПЛАТНО скачать маты фракций?
Щелкните здесь или на изображении ниже, чтобы загрузить коврики с дробями, которые помогут вашим ученикам практиковаться в сложении и вычитании дробей и смешанных чисел.
Вам нужно больше ресурсов фракции для вашего класса? Нажмите на ссылки ниже, чтобы ознакомиться с несколькими рекомендуемыми ресурсами или статьями для дробей.
Мини-буклет с обзором дробей для 4-го класса: я использую его перед тем, как начать преподавать навыки дроби в 5-м классе. Это позволяет мне убедиться, что у моих учеников есть необходимая основа.
БЕСПЛАТНОЕ руководство по фракционному темпу: прочтите этот пост, чтобы получить контрольный список и посмотреть, как я развиваю свои навыки дроби в 5-м классе.
Математические задачи на дроби в шоколадной тематике: они идеально подходят для увлекательного применения навыков дроби с темой вкусного шоколада.
Ресурс «Вычитание смешанных чисел с перегруппировкой». Этот ресурс посвящен привлекательной теме пиццы и действительно помогает моим ученикам концептуально понять перегруппировку с помощью смешанных чисел.
Вычитание смешанных чисел с перегруппировкой с использованием манипулятивных приемов.
В этом сообщении в блоге рассказывается о трех способах, с помощью которых вы можете помочь своим учащимся вычитать смешанные числа более конкретным способом.
Умножение и деление дробей: Когда вы будете готовы перейти от сложения и вычитания дробей, это идеальный универсальный ресурс для умножения и деления дробей.
5 комментариев | Filed Under: Fractions, Math
У вас есть ученики, которые еще не усвоили математические факты?
Зарегистрируйтесь в более чем 30 БЕСПЛАТНЫХ партнерских играх, чтобы улучшить навыки умножения и деления ваших учащихся.
Имя Адрес электронной почтыВводя свои данные, вы соглашаетесь получать от меня сообщения по электронной почте. Согласно моей политике конфиденциальности, вы можете отказаться от подписки в любое время.
Вам также могут понравиться эти сообщения
Взаимодействие с читателями
Добро пожаловать, друзья! Я Дженнифер Финдли: учитель, мать и заядлый читатель. Я считаю, что с правильными ресурсами, мышлением и стратегиями все учащиеся могут достичь высокого уровня и научиться любить учиться.