Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.

---

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

---

Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!

Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:

У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину:  ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.

Приведем напоследок пример:

---

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

---

Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.

Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.

Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!

Пример:

Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное — число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.

Пример:

Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!

Сложение и вычитание отрицательных дробей.

Отрицательные дроби складываются и вычитаются также как и отрицательные числа, только по правилам сложения дробей. Мы можете добавлять только половинки к половинкам, четверти к четвертям или десятые к десятым и так далее. Вычитание отрицательных дробей следует тем же правилам. Для того чтобы сложить или вычесть две дроби нам нужно привести их к общему знаменателю. Если дробь отрицательная мы можем знак минус поставить в числитель и наоборот. Ниже расписано сложение \(-\frac{7}{6}+\frac{5}{7}\):

При сложении двух отрицательных дробей результат будет отрицательным. Когда мы вычитаем две отрицательные дроби, то мы к первой отрицательной дроби прибавляем положительную вторую, так как минус на минус дает плюс.

 

 

Рассмотрим сложение и вычитание следующих отрицательных дробей.

Задача 1. Вычислите \(\frac{1}{4}+(-\frac{3}{10})-(-\frac{1}{2}).\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{1}{4}+(-\frac{3}{10})-(-\frac{1}{2})=\frac{5-3*2+10}{20}=\frac{9}{20}\)

Ответ: \(\frac{9}{20}\).

Задача 2. Вычислите \(\frac{1}{7}-(-\frac{5}{6})-(-\frac{1}{3})\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{6-35+14}{42}=-\frac{15}{42}=-\frac{5}{14}\)

Ответ: \(-\frac{5}{14}\).

Задача 3. Вычислите \(\frac{1}{4}+\frac{5}{3}-(-\frac{1}{12})\).

Решение. Приводим к наименьшему общему знаменателю:

\(\frac{3+20+1}{12}=\frac{24}{12}=2.\)

Ответ: \(2.\).

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Российский университет дружбы народов

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-9 классов. Подбираю метод работы, отталкиваясь от уровня ученика, говорю с ним на «одном» языке, объясняю сложные вещи на простых примерах. Имею опыт работы по учебникам Школа России, Школа 21 век. Готовлю учеников по программе Петерсона, готовлю к олимпиадам. Самый главный принцип, которого я придерживаюсь — это индивидуальный подход к ребенку. Занятия провожу в легкой и непринужденной обстановке.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по начальной школе . У меня своя методика, наработанная годами, направленная в первую очередь на индивидуальные особенности развития ребёнка, выявление скрытого резерва восприятия учебного материала. Составляется карта — диагностика и алгоритм решения проблемы.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Харьковский государственный педагогический университет имени Г.С.Сковороды

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 1-8 классов. Нахожу общий язык с учениками, научу понимать математику, рассуждать и делать выводы, мыслить логически, абстрактно. Вы поймете, что математика это интересно. Вместе у нас всё получится!!

Математика 10 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Векторы

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Функция

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Как вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Вычитание обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

• Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.

Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
• Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.

• Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Числителем, а то, на которое делят — знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель — в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

• Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби , надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
— Переведение дробей в неправильный вид:
— 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
— Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
— 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Табличка на двери

5 класс. Математика. Обыкновенные дроби — Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Комментарии преподавателя

Для на­ча­ла да­вай­те вспом­ним, что такое сме­шан­ные числа. Сме­шан­ное число – число, за­пи­сан­ное в таком виде, что у него есть целая часть и дроб­ная часть. На­при­мер, . Здесь 3 – целая часть,  – дроб­ная.

 Задача 1

Пред­по­ло­жим, нам дали такую за­да­чу. Вася про­бе­жал пер­вый из двух кру­гов ди­стан­ции за 1 ми­ну­ту 40 се­кунд, а вто­рой круг – за 1 ми­ну­ту 20 се­кунд. За какое время Вася про­бе­жал всю ди­стан­цию и на­сколь­ко быст­рее он про­бе­жал вто­рой круг, чем пер­вый?

Ре­ше­ние

Неслож­но ви­деть, что мы можем сло­жить ми­ну­ты с ми­ну­та­ми, се­кун­ды – с се­кун­да­ми. По­лу­чит­ся 2 мин + 60 се­кунд, т. е. 3 мин. Но, с дру­гой сто­ро­ны, 40 се­кунд – это  ми­ну­ты, а 20 се­кунд – . И тогда, по ана­ло­гии, чтобы сло­жить эти сме­шан­ные числа, мы можем не пе­ре­во­дить их в непра­виль­ные дроби, а сразу сло­жить целые ми­ну­ты друг с дру­гом, и от­дель­но – дроб­ные. Это дает 2 ми­ну­ты и , то есть еще одну целую ми­ну­ту. Итого 3 ми­ну­ты.

Можно было все это про­де­лать и так. За­ме­тим, что сме­шан­ное число есть сумма своих целой и дроб­ной ча­стей. А даль­ше вос­поль­зу­ем­ся пе­ре­ме­сти­тель­ным свой­ством:

А что с вы­чи­та­ни­ем? То же самое. Из чисто прак­ти­че­ских со­об­ра­же­ний пер­вый круг по ми­ну­там оди­на­ков со вто­рым, а по се­кун­дам – на 20 доль­ше (или на треть ми­ну­ты). Можно и так:

Думаю, вы уже по­ня­ли ал­го­ритм? Из це­ло­го вы­чи­та­ем (к це­ло­му при­бав­ля­ем) целое, из дроб­но­го – дроб­ное. Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров.

 Примеры на сложение

За­кре­пим эти вы­клад­ки пра­ви­лом. Чтобы сло­жить два сме­шан­ных числа, необ­хо­ди­мо:

• сло­жить их целые части;
• сло­жить их дроб­ные части;
• если нужно, пе­ре­ве­сти сумму дроб­ных ча­стей в сме­шан­ное число;
• сло­жить по­лу­чен­ные числа.

Пе­рей­дем к вы­чи­та­нию. Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров, после чего сфор­му­ли­ру­ем общий ал­го­ритм.

 

Найти ошиб­ки в при­ме­рах на сло­же­ние

Рас­смот­рим вни­ма­тель­но пер­вый при­мер: сме­шан­ное число  за­ме­ни­ли дро­бью , а число  – , но дан­ные дроби не равны. Если мы решим пе­ре­во­дить дроби в непра­виль­ные, то по­лу­чим сле­ду­ю­щее:

Те­перь пе­рей­дем ко вто­ро­му при­ме­ру, в нем дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся со­глас­но рас­смот­рен­но­му нами ал­го­рит­му. Как видим, все дей­ствия вы­пол­не­ны пра­виль­но, од­на­ко при­ня­то за­пи­сы­вать сме­шан­ные числа так, чтобы их дроб­ная часть яв­ля­лась пра­виль­ной дро­бью. По­это­му пред­ста­вим дробь  в виде сме­шан­но­го числа, а потом уже вы­пол­ним сло­же­ние.

 Примеры на вычитание

Если пойти по плану, то надо из  вы­честь . Этого мы сде­лать не можем. Тогда по­сту­пим так, как мы де­ла­ем при вы­чи­та­нии на­ту­раль­ных чисел: зай­мем у стар­ше­го раз­ря­да. Толь­ко роль стар­ше­го раз­ря­да здесь будет иг­рать целая часть. Ведь еди­ни­ца – это , так что можно вме­сто  за­пи­сать . А даль­ше – по плану:

А что де­лать, если при­ш­лось вы­чи­тать из на­ту­раль­но­го числа сме­шан­ное? То же самое:

.

За­кре­пим эти вы­клад­ки пра­ви­лом. Чтобы вы­честь одно сме­шан­ное число из дру­го­го, вы долж­ны:

• срав­нить дроб­ные части умень­ша­е­мо­го и вы­чи­та­е­мо­го;
• если дроб­ная часть умень­ша­е­мо­го боль­ше, то вы­честь из целой части целую часть, из дроб­ной части дроб­ную часть, а ре­зуль­та­ты сло­жить;
• если же боль­ше дроб­ная часть вы­чи­та­е­мо­го, то одну еди­ни­цу от целой части умень­ша­е­мо­го мы пе­ре­во­дим в дробь, чтобы дробь стала непра­виль­ной, а затем вы­чи­та­ем из целой части целую, а из дроб­ной – дроб­ную, и ре­зуль­та­ты скла­ды­ва­ем.

 

Найти ошиб­ки в при­ме­рах на вы­чи­та­ние

Рас­смот­рим пер­вый при­мер. Со­глас­но ал­го­рит­му, мы долж­ны сна­ча­ла 12 пред­ста­вить в виде сме­шан­но­го числа, а затем уже вы­пол­нять вы­чи­та­ние:

Рас­смот­рим вто­рой при­мер. Здесь ошиб­ка при вы­чи­та­нии дроб­ных ча­стей: нам необ­хо­ди­мо из дроб­ной части умень­ша­е­мо­го вы­честь дроб­ную часть вы­чи­та­е­мо­го, а не на­о­бо­рот. Чтобы это вы­пол­нить, нам при­дет­ся за­нять 1 еди­ни­цу и пред­ста­вить ее в виде дроби.

 Заключение

На этом уроке мы по­зна­ко­ми­лись со сме­шан­ны­ми чис­ла­ми, на­учи­лись скла­ды­вать их и вы­чи­тать, сфор­му­ли­ро­ва­ли ал­го­рит­мы для сло­же­ния и вы­чи­та­ния. Узна­ли, что для сло­же­ния и вы­чи­та­ния сме­шан­ных чисел вовсе не обя­за­тель­но пе­ре­во­дить их в непра­виль­ные дроби, а до­ста­точ­но про­сто сло­жить либо вы­честь целые части и сло­жить либо вы­честь дроб­ные части, после чего за­пи­сать окон­ча­тель­ный ответ.

В каж­дом из слу­ча­ев у нас была одна тон­кость. Для сло­же­ния мы по­ни­ма­ли, что ино­гда по­лу­ча­ет­ся сумма дроб­ных ча­стей в виде непра­виль­ной дроби, по­это­му при необ­хо­ди­мо­сти по­лу­чен­ную непра­виль­ную дробь нужно при­во­дить к пра­виль­ной, то есть вы­де­лять целую часть. А при вы­чи­та­нии по­яв­ля­лась такая тон­кость, что не все­гда из дроб­ной части умень­ша­е­мо­го можно вы­честь дроб­ную часть вы­чи­та­е­мо­го, по­это­му нам необ­хо­ди­мо было «за­ни­мать» еди­ни­цу у целой части и пе­ре­во­дить ее в дроб­ную, чтобы по­лу­чить непра­виль­ную дробь, из ко­то­рой уже можно было вы­честь дроб­ную часть.

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=Q4UViwjnGVQ

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/drobnye-chisla/slozhenie-i-vychitanie-smeshannyh-chisel?seconds=0&chapter_id=842#videoplayer

 Источник теста: Тесты по математике 5 класс к учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. — Рудницкая В.Н. 2013г.

«Сложение и вычитание обыкновенных дробей» 8 класс

ГБОУ «Валуйская специальная (коррекционная) общеобразовательная школа-интернат VIII вида»

Тема: «Сложение и вычитание обыкновенных дробей»

О. И. Назаренко

Знать: правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

Уметь: складывать и вычитать обыкновенные дроби.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: экран, мультимедиа, презентация «Сложение и вычитание обыкновенных дробей» (приложение 1) бланк с тестом, таблицей ответов , смайлики для рефлексии .

Ход урока

1). Организационный момент.

Учащимся предлагается прочитать тему урока.

— «Сложение и вычитание обыкновенных дробей».

Предлагается сформулировать цели и задачи урока, в ходе обсуждения они формулируются (учитель может их записать на доске).

2). Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. (Слайд № 1).

а) Сегодня на уроке мы повторим сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями:

Что показывает числитель;

— знаменатель;

— дробная черта — деление;

Какую дробь называют правильной;

— неправильная;

— выделить целую часть;

— Что значит сократить дробь;

— привести к новому знаменателю;

— примеры.

б) Закрепим наши знания при выполнении теста (бланк ответов, задание №1, слайд № 2).

ТЕСТ

1. Найдите правильную дробь:

А); Б) ; В) .

2. Найдите неправильную дробь:

А); Б) ; В) .

3. Сократите дробь :

А); Б) ; В) .

4. Приведите дробь  к знаменателю 28:

А); Б) ; В) .

5. Выделите целую часть :

А); Б) ; В) .

Ответы вписывают в таблицу.

Обменяться тетрадями, выполнить взаимопроверку.

Подвести итог:

• 5 «+» отметка 5,

• 4 «+» отметка 4 ,

• 3 «+» отметка 3.

3).Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Какие обыкновенные дроби мы умеем складывать?

— дроби с одинаковыми и разными знаменателями (слайд № 3).

Повторим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

— чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

— чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения.

Закрепим знания на практике.

Учащимся предлагается вычислить устно примеры и ответы записать в бланк ответов задания № 2.

Обменяться тетрадями, выполнить взаимопроверку.

Подвести итог:

• 9-8 «+» отметка 5,

• 7-6 «+» отметка 4 ,

• 5 «+» отметка 3.

4).Решение задачи

Автомобиль был в пути 2 часа. В первый

час он прошёл 50 7/8 км, во второй час –

На 8 3/4 км больше, чем в первый час.

Сколько всего километров проехал автомобиль за 2 часа?

О чем говорится в задаче?

Сколько времени автомобиль был в пути?

Сколько км он прошел в 1 час?

Сколько км прошел за 2 час?

Какой вопрос задачи?

Запись краткого условия.

5). Применение правил сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Мы складывали дроби с одинаковыми знаменателями. Что необходимо выполнить, чтобы сложить обыкновенные дроби с разными знаменателями? (слайд № 4).

— чтобы выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю, найдя дополнительные множители. Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей уже с одинаковыми знаменателями.

Закрепим знания на практике. Ученик вызывается к доске, остальные в тетради. После выполнения 3-4 примеров ребятам предложено решать самостоятельно.

Вычисли:

Дополнительно:

Вычисли:

1. а)  б)  в) ; г) 

2. а)  б)  в) ; г) 

3. а)  б)  в) ; г) 

Подвести итог решения примеров.

6. Домашнее задание (слайд № 5).

стр.71 №251

7. Подведение итогов (каждый учащийся выставляет себе оценку за работу на уроке).

Учитель оценивает работу учащихся на уроке и выставляет оценки.

Рефлексия (слайд № 6).

правила, примеры, решения. можно познакомиться с функциями и производными

Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.

Как разделить простую дробь на натуральное число?
Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.

Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:

Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.

Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь — это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.

Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.

Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:

• для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
  
• запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.
  

Применяя эти простые правила, всегда можно без особого труда разделить любую десятичную или простую дроби на целое число.

Чтобы понять, как делить дроби, изучим правило и на примерах рассмотрим, как его применять.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить две дроби, надо первое число умножить нако второму (то есть первую дробь умножаем на перевернутую вторую).

Примеры деления обыкновенных дробей :

Чтобы разделить эти дроби, первую дробь переписываем и , обратную ко второй (делимое умножаем на число, обратное делителю). Сократить здесь ничего нельзя.

Чтобы разделить данные дроби, первое число переписываем без изменений и умножаем на число, обратное ко второму.6 и 9 на 3, 20 и 25 — на 5. Полученная в результате дробь 8/15 — правильная и несократимая. Значит, это — окончательный ответ.

Первую дробь оставляем без изменений и умножаем на число, обратное ко второй дроби. Сокращаем 45 и 36 на 9, 65 и 52 — на 13. В результате получили неправильную дробь, из которой .

При деление двух равных чисел получаем единицу, поэтому сразу можем записать ответ.

Чтобы разделить дроби, первую умножаем на число, обратное ко второму. Сокращаем 23 и 23 на 23, 14 и 7 — на 7. Поскольку в знаменателе стоит единица, ответ — целое число.

В следующий раз рассмотрим, как разделить целое число на дробь.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается , если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ . Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ . Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4 , поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить 7 на знаменатель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .

Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .

Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .

Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 15 28 .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .

Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .

Решение

Так как 3 1 8 — смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Конспект урока. Вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Когда людей станут учить не тому, что они должны думать, а тому, как они должны думать, то тогда исчезнут всякие недоразумения.

Г. Лихтенберг.

6.2 Вычитание дробей.

Первый и второй урок

Урок построен в соответствии с системно-деятельностным методом обучения, урок по типу ОНЗ (открытие новых знаний).

Цель урока: формировать навыки вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, тренировать способность к его практическому использованию.

Для активизации познавательной деятельности и развития универсальных учебных действий на уроке использованы элементы технологии развития критического мышления через чтение и письмо, технологии групповой деятельности, ИКТ, здоровьесберегающая. Вместе с учителем учащиеся самостоятельно формулируют тему урока определяют задачи урока и решают поставленные задачи.

Тема: Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Цель: формировать навыки вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, тренировать способность к его практическому использованию

Планируемые результаты:

Личностные УУД:

Формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний

Метапредметные УУД:

Регулятивные:

понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения

Познавательные:

формировать навыки вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; научить правильно читать и записывать выражения, содержащие обыкновенные дроби.

Коммуникативные:

воспитывать, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.

Методы обучения:

• Репродуктивный (стимулирование учебной деятельности)

• Наглядный

• Проблемно – поисковый

• Эвристическая беседа

Формы работы учащихся:

Оборудование:

Мультимедийный проектор, документ-камера, презентация, карточки для работы в группе, бумага, ножницы.

Основные понятия, изучаемые на уроке: числитель и знаменатель дроби, сумма и разность дробей.

Технологическая карта урока математики в 5 классе по учебнику С.А. Козлова

Этапы урока	Приемы обучения и учения	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	УУД
1. Организационный момент	Создать благоприятный психологический настрой на работу	Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, наличие на столах ножниц, бумаги, линейки, карандаша, организация внимания детей.	Включаются в деловой ритм урока.	Личностные: Умение выделять нравственный аспект поведения. Коммуникативные: Умение слушать
2.Постановка цели урока, мотивация учебной деятельности	Вызов	Что умеете? Составление кластера Слайд 1 Слайд 2. Сложите дроби: Выполните вычитание: ; ; 1- . Умеете вы выполнять сложение и вычитание дробей?	Проблема: как вычитать обыкновенные дроби? Слайд 4. Цель: 1) Сформулировать правила вычитания дробей. 2) Научиться применять эти правила в практических примерах. Итак, какую тему мы будем изучать? Тема: «Вычитание дробей» Чтобы реализовать поставленные цели, какие задачи надо выполнить? 1) Сформулировать правила, наблюдая за предложенными объектами. 2) Записать это правило с помощью букв в виде формулы. 3) Научиться применять правила при выполнении практических задач.	Личностные: Доброжелательное отношение к окружающим Регулятивные: Умение самостоятельно ставить цели. Коммуникативные: Адекватно используют речевые средства Познавательные: Анализ Умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме
3. Актуализация знаний	Работа в группе	Задания группам смотрите в приложении.	Договариваются о совместной работе в группе. Пытаются сделать вывод. Моделируют вычитание дробей с помощью рисунков, схем.	Личностные: активность при решении математических задач Регулятивные: Сличают результат своих действий Коммуникативные: Устанавливают рабочие отношения, учатся эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации Познавательные: Умение работать с математическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной речи с применением математической терминологии.
	Отчет о работе в группе	1 ученик. Делает запись на доске. 2 и 3 ученики — демонстрируют вырезанные модели. 4 ученик. Делает вывод. Слайды 6,7,8,9.	Выполняют вычитание, взаимопроверку и повторяют правила вычитания.
	Работа с учебником по тексту	№1 устно стр 81	Читают текст на странице 80.
4.Применение полученных знаний	Подведение под понятие	№2(а,б, в, г) стр 81 №3(а, б, в, г) стр 81 №6 (а, б, в, г) стр 81	Рассматривают все возможные варианты, просчитывают их, делают вывод и дают ответ. Один ученик оформляет результат на доске.	Личностные: Устойчивый познавательный интерес Регулятивные: корректируют, дополняют ответы Коммуникативные: Адекватно используют речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции. Умеют слушать и слышать друг друга. Познавательные: Выбирают наиболее эффективные способы решения задачи
5. Динамическая пауза	Упражнения для профилактики сколиоза.	Презентация.(В приложении)	Выполняют упражнения
6. Самостоятельное использование сформированных умений и навыков	Самостоятельная работа.	Выполняют самостоятельную работу с последующей самопроверкой и оценивание выполненной работы по критерию. Слайд 10, 11, 12..	Выполняют работу и самопроверку, оценивают результат по критерию.	Личностные: самоопределение Регулятивные: Сличают результат своих действий с заданным эталоном, Познавательные: овладение навыками устных и письменных вычислений.
7. Обобщение усвоенного и включение его в систему ранее усвоенных ЗУН и УУД	Индивидуальное выполнение. Проверяет учитель.	Повышенный уровень. № 11стр 83.	Индивидуально выполняют задание.	Личностные: Умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения Регулятивные: прогнозирование Коммуникативные: Планируют общие способы работы Познавательные: Выбирают наиболее эффективные способы решения задачи
8. Домашнее задание		Дает пояснение к заданиям п 6.2 №2,№3, №6 (дорешать), №5, стр 81 №16(а) (для желающих) стр 83. Слайд 15.	Записывают задания в дневник
9. Рефлексия деятельности	Продолжить фразу Презентация слайд 14.	-Как можно вычитать дроби: —с одинаковыми знаменателями, -с разными знаменателями? Предлагает подвести итоги – оценить свой уровень знаний и умений.		Личностные: взаимное уважение Регулятивные: осознают качество и уровень усвоения Коммуникативные: адекватно используют речевые средства Познавательные: умеют работать с математической терминологией

Приложение.

Правило работы в группе.

• работать дружно: быть внимательными друг к другу, вежливыми, не отвлекаться на посторонние дела, не мешать друг другу, вовремя оказывать помощь, выполнять указания старшего

• работать по алгоритму (плану)

• своевременно выполнять задание: следить за временем, доводить начатое дело до конца

• качественно выполнять работу (аккуратно, без ошибок), соблюдать технику безопасности, экономить материалы

• каждый из группы должен уметь защищать общее дело и свое, в частности.

———————————————————————————————————

Карточка-инструкция для 1 группы

Цель вашей группы:

• сформулировать правила вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;

• записать это правило с помощью букв в виде формулы;

• научиться применять правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1. с помощью координатного луча выполните вычитание дробей.

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычесть дроби с одинаковыми знаменателями? Запишите ответ в тетради.

3. Закончите запись правила вычитания, заменив звёздочку буквой:

− .

4. Выполните вычитание (записи делайте в тетради):

а) − = = б) − ; в) − .

————————————————————————————————————

Карточка-инструкция для 2 группы.

Цель вашей группы:

• сформулировать правило вычитания дробей с разными знаменателями;

• научиться применять правило вычитания дробей с разными знаменателями;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1. с помощью долей круга выполните вычитание дробей

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычитать дроби с разными знаменателями? Запишите ответ в тетради.

——————————————————————————————————————

Карточка-инструкция для 3 группы.

Цель вашей группы:

• сформулировать правило вычитания из 1 дроби;

• записать это правило с помощью букв в виде формулы;

• научиться применять правило вычитания из 1 дроби;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1. с помощью долей прямоугольника выполните вычитание дробей. 1-

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычитать из 1 дробь? Запишите ответ в тетради.

—————————————————————————————————-

Карточка-инструкция для 4 группы.

Цель вашей группы:

• сформулировать правило вычитания из 1 дроби;

• записать это правило с помощью букв в виде формулы;

• научиться применять правило вычитания из 1 дроби;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1.С помощью долей круга выполните вычитание дробей. 1-

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычитать из 1 дробь? Запишите ответ в тетради.

———————————————————————————————————————

Карточка-инструкция для 5 группы.

Цель вашей группы:

• сформулировать правило вычитания дробей с разными знаменателями;

• научиться применять правило вычитания дробей с разными знаменателями;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1. с помощью долей круга выполните вычитание дробей

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычитать дроби с разными знаменателями? Запишите ответ в тетради.

———————————————————————————————————————

Карточка-инструкция для 6 группы.

Цель вашей группы:

• сформулировать правило вычитания дробей с разными знаменателями;

• научиться применять правило вычитания дробей с разными знаменателями;

Для достижения поставленных целей выполните следующие задания.

1 с помощью координатного луча выполните вычитание дробей

Сделайте запись в тетради!

2. Сформулируйте в виде правила ответ на вопрос: как вычитать дроби с разными знаменателями? Запишите ответ в тетради.

Учимся вычитать дроби

В этом посте мы увидим, как вычитать дроби, но для этого вам сначала нужно узнать, что такое знаменатель и числитель дроби.

Числитель — это число, написанное над дробью, а знаменатель — число, написанное внизу дроби.

Для вычитания дробей необходимо, чтобы дроби имели одинаковый знаменатель. Когда у дробей одинаковые знаменатели, мы просто вычитаем числители.Что делать, если у дробей разные знаменатели? В этом случае мы делаем знаменатели одинаковыми, находя их наименьшее общее кратное (НОК).

Давайте рассмотрим пример:

Поскольку знаменатели разные, 4 и 6, нам нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Вы можете просмотреть, как рассчитать LCM, в этом предыдущем посте в нашем блоге.

МОК (4,6) = 12

Две новые дроби будут иметь 12 в знаменателе.

Чтобы найти числитель каждой новой дроби, разделите новый знаменатель (найденный нами НОК) на старый знаменатель и умножьте ответ на старый числитель.

Первая фракция: Вторая фракция:

Итак, теперь у нас есть:

Поскольку обе дроби имеют одинаковый знаменатель, теперь мы можем вычесть числители и оставить тот же знаменатель:

И получается одна двенадцатая.

Если вам понравился этот пост, поделитесь им с друзьями, чтобы они тоже научились вычитать дроби.

А если вы хотите узнать больше об элементарной математике, попробуйте Smartick бесплатно!

Подробнее:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики

• 15 минут веселья в день
• Адаптируется к уровню вашего ребенка
• Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Вычитание дробей с общим знаменателем

Результаты обучения

• Используйте круги дробей, чтобы найти разницу между двумя дробями с одинаковыми знаменателями
• Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями без дробных кругов
• Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, которые содержат переменные

Модель Вычитание дробей

Вычитание двух дробей с общим знаменателем очень похоже на сложение дробей.Представьте себе пиццу, нарезанную на [латекс]12[/латекс] кусочков. Предположим, что за ужином съедено пять штук. Это означает, что после обеда в коробке осталось семь кусков (или [латекс]\frac{7}{12}[/латекс] пиццы). Если Леонардо съест [латекс]2[/латекс] из этих оставшихся кусков (или [латекс]\фрак{2}{12}[/латекс] пиццы), сколько останется? Осталось [латекс]5[/латекс] кусков (или [латекс]\фрак{5}{12}[/латекс] пиццы).

[латекс]\frac{7}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}[/latex]
Давайте воспользуемся дробными кругами для моделирования того же примера, [латекс]\frac {7}{12}-\frac{2}{12}[/latex].
Начните с семи частей [латекса]\фракции{1}{12}[/латекса]. Уберите два куска [латекса]\frac{1}{12}[/latex]. Сколько двенадцатых осталось?

Опять же, у нас есть пять двенадцатых, [латекс]\фракция{5}{12}[/латекс].

Выполнение задания по манипулятивной математике «Модель вычитания дробей» поможет вам лучше понять вычитание дробей.

Пример

Используйте дробные круги, чтобы найти разницу: [латекс]\frac{4}{5}-\frac{1}{5}[/latex]

Решение:
Начните с четырех частей [латекса]\фракции{1}{5}[/латекса].Уберите один кусок [латекса]\frac{1}{5}[/latex]. Посчитайте, сколько пятых осталось. Осталось три [латекса]\frac{1}{5}[/latex].

Вычитание дробей с общим знаменателем

Мы вычитаем дроби с общим знаменателем почти так же, как складываем дроби с общим знаменателем.

Вычитание дроби

Если [latex]a,b,\text{ и }c[/latex] являются числами, где [latex]c\ne 0[/latex], то

[латекс]\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{ab}{c}[/latex]
Чтобы вычесть дроби с общим знаменателем, вычтем числители и поместим разность над общим знаменателем.

Пример

Найдите разницу: [латекс]\frac{23}{24}-\frac{14}{24}[/latex]

Показать решение

Решение:

[латекс]\frac{23}{24}-\frac{14}{24}[/latex]
Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.	[латекс]\фракция{23 — 14}{24}[/латекс]
Упростите числитель.	[латекс]\frac{9}{24}[/латекс]
Упростите дробь, удалив общие множители.	[латекс]\фракция{3}{8}[/латекс]

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример

Найдите разницу: [латекс]\frac{y}{6}-\frac{1}{6}[/latex]

Показать решение

Решение:

	[латекс]\frac{y}{6}-\frac{1}{6}[/latex]
Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.	[латекс]\frac{y — 1}{6}[/латекс]

Дробь упрощена, потому что мы не можем объединять члены в числителе.

Пример

Найдите разницу: [латекс]-\frac{10}{x}-\frac{4}{x}[/latex]

Показать решение

Решение:
Помните, дробь [латекс]-\фракция{10}{х}[/латекс] может быть записана как [латекс]\фракция{-10}{х}[/латекс].

[латекс]-\frac{10}{x}-\frac{4}{x}[/latex]
Вычесть числители.	[латекс]\фракция{-10 — 4}{х}[/латекс]
Упрощение.	[латекс]\фракция{-14}{х}[/латекс]
Перепишите со знаком минус перед дробью.	[латекс]-\frac{14}{x}[/латекс]

Теперь давайте сделаем пример, включающий сложение и вычитание.

Пример

Упростить: [латекс]\frac{3}{8}+\left(-\frac{5}{8}\right)-\frac{1}{8}[/latex]

Показать решение

Решение:

	[латекс]\frac{3}{8}+\left(-\frac{5}{8}\right)-\frac{1}{8}[/latex]
Приведите числители к общему знаменателю.	[латекс]\frac{3+\left(-5\right)-1}{8}[/latex]
Упростите числитель слева направо.	[латекс]\фракция{-2 — 1}{8}[/латекс]
Вычтите члены в числителе.	[латекс]\фракция{-3}{8}[/латекс]
Перепишите со знаком минус перед дробью.	[латекс]-\frac{3}{8}[/латекс]

В следующем видео мы покажем еще примеры вычитания дробей с общим знаменателем.Обратите внимание на второй пример, он устраняет распространенную ошибку, допускаемую учащимися при упрощении дробей с переменными.

Сложение и вычитание дробей | Обзор математики [Видео]

Привет! Добро пожаловать в это видео о сложении и вычитании дробей!

Прежде чем мы углубимся в это, давайте рассмотрим некоторую терминологию, необходимую для понимания концепций.

Дробь — это отношение значений, отражающих «часть» к «целому».«Часть» называется числителем и пишется над чертой деления. «Целое» обозначается как знаменатель и записывается под чертой деления:

При объединении дробей путем сложения или вычитания работа производится только с числителями. Знаменатель не меняется. Например, предположим, что на обеденном столе в корзине стоит семь булочек. Ты съел один, а твой брат съел два. Какая дробь представляет собой количество булочек, съеденных вами и вашим братом?

Возможно, вы довольно быстро сможете осмыслить этот пример сложения дробей.Вы просто складываете количество булочек, съеденных вами и вашим братом, и делите на общее количество булочек, которые были на столе в начале ужина. Помните, знаменатель остается прежним. \(\frac{1}{7}+ \frac{2}{7}\), что можно рассматривать как \(\frac{1+2}{7}\), равно \(\frac{3} {7}\). Дробь \(\frac{3}{7}\) представляет собой количество булочек, съеденных вами и вашим братом.

\(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{1+2}{7}=\frac{3}{7}\)

Вычитание дробей может мыслить одинаково.

Допустим, вы с друзьями играете в карты. Вы держите трех из четырех королей в колоде карт. Вы сбрасываете Короля Червей при следующей игре. Какая дробь представляет собой количество королей в вашей руке сейчас?

Поскольку в колоде карт всего четыре короля, дробь 34 представляет трех королей, которые были у вас в руке в начале игры. Если отдать Короля червей, то числитель этой дроби уменьшится на единицу.Доля королей в вашей руке изменяется следующим образом: \(\frac{3}{4}- \frac{1}{4}\), что можно увидеть как \(\frac{3-1 {4}\), равно \(\frac{2}{4}\), что упрощается до половины.

\(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4} \text{ или } \frac{ 1}{2}\)

Эти примеры довольно просты, потому что знаменатели складываемых и вычитаемых дробей одинаковы.

Как складывать дроби с разными знаменателями

Если знаменатели не совпадают, требуется немного больше работы.В частности, одна или обе дроби должны быть алгебраически скорректированы, чтобы получить общих знаменателей .

Пример:

\(\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\)

Как я уже говорил, эти дроби нельзя складывать, пока они не имеют общий знаменатель. На самом деле знаменатель должен быть наименьшим значением, на которое оба знаменателя могут делиться поровну. Это значение известно как наименьший общий знаменатель (LCD) .

При рассмотрении знаменателей 5 и 10 становится ясно, что 10 — это наименьшее число, на которое можно разделить без остатка и 5, и 10.Это означает, что нам придется алгебраически подогнать первую дробь так, чтобы знаменатель стал равен 10. Мы делаем это, умножая и числитель, и знаменатель. Правила умножения дробей требуют умножения числителя на числитель и знаменателя на знаменатель: \(2 \times 2=4\) и \(2 \times 5=10\).

\(\frac{2}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{10}\)

Эта работа создает дробь \(\frac{4}{ 10}\), что эквивалентно исходной дроби \(\frac{2}{5}\).На этом этапе можно сложить дроби с общими знаменателями: \(\frac{4}{10}+ \frac{3}{10}\), что можно увидеть как \(\frac{4+3}{ 10}\), равно \(\frac{7}{10}\).

\(\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{4+3}{10}=\frac{7}{10}\)

Последний пример требует от вас привести обе дроби к общему знаменателю. Давайте поработаем над этим вместе, а потом я дам вам попробовать самостоятельно.

Как вычитать дроби с разными знаменателями

\(\frac{5}{8}-\frac{1}{6}\)

Итак, обо всем по порядку: что такое наименьшее общее кратное из 6 и 8? 24.Поскольку 24 разделить на 8 равно 3, нам нужно будет скорректировать первую дробь, умножив и числитель, и знаменатель на 3. \(24 \div 6=4\), поэтому нам придется умножить числитель и знаменатель второй дробь на четыре.

\(\frac{3}{3} \times \frac{5}{8}-\frac{4}{4} \times \frac{1}{6}\)

Эти настройки создают эквивалентные дроби, которые имеют общий знаменатель 24. После этого числители можно вычесть следующим образом:

\(\frac{15}{24}-\frac{4}{24}=\frac {11}{24}\)

Хорошо, а теперь попробуйте.Поставьте видео на паузу и посмотрите, сможете ли вы ее решить.

\(\frac{3}{5}+\frac{3}{7}\)

Как дела? Давайте пройдемся по нему. Наименьшее общее кратное 5 и 7 равно 35. Скорректируйте первую дробь, умножив числитель и знаменатель на 7, и скорректируйте вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на 5. Когда знаменатели совпадут, сложите числители. Это дает нам \(\frac{36}{35}\)!

\(\frac{7}{7} \times \frac{3}{5}+\frac{5}{5} \times \frac{3}{7}\)

\(\frac{21 }{35}+\frac{15}{35}=\frac{36}{35}\)

Давайте подведем итоги, прежде чем идти.Складываете ли вы или вычитаете дроби, помните, что знаменатель всегда остается одним и тем же, и иногда вам придется создать общий знаменатель и найти наименьшее общее кратное, прежде чем вы сможете приступить к решению задачи.

Надеюсь, отзыв был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

 

Как складывать и вычитать дроби: 3 простых шага

Сложение и вычитание дробей на первый взгляд может показаться пугающим. Мало того, что вы работаете с дробями, которые, как известно, сбивают с толку, так еще и внезапно вам приходится бороться с преобразованием числителей и знаменателей.

А вот складывать и вычитать дроби — полезный навык. Как только вы освоите словарный запас и основы, вы сможете с легкостью складывать и вычитать дроби. Это руководство познакомит вас со всем, что вам нужно знать для сложения и вычитания дробей , включая несколько примеров задач для проверки ваших навыков.

  

Ключевой словарь для сложения и вычитания дробей

Прежде чем мы приступим к математике сложения и вычитания дробей, вам необходимо знать терминологию. Мы будем использовать эти термины на протяжении всего , так что освежите их в памяти, чтобы всегда знать, какую часть дроби мы имеем в виду.

Дробь : Число, не являющееся целым числом; часть целого. Для наших целей дробь будет относиться к числу, записанному с числителем и знаменателем , например, $1/5$ или $147/4$.

Числитель : Верхнее число в дроби, отражающее количество частей целого, например 1 в $1/5$.

Знаменатель : нижнее число в дроби, представляющее общее количество частей, например, 5 в $1/5$.

Общий знаменатель : Когда две дроби имеют одинаковый знаменатель, например, $1/3$ и $2/3$.

Наименьший общий знаменатель : Наименьший знаменатель, которым могут делиться две дроби. Например, наименьший общий знаменатель $1/2$ и $1/5$ равен 10, потому что наименьшее число, в которое входят 2 и 5, равно 10.

 

Из пирогов получаются отличные дроби.

 

Как складывать и вычитать дроби?

Теперь, когда у вас есть словарный запас, пришло время применить его на практике. Вы не можете просто складывать или вычитать дроби, как, например, целое число $1/4 — 1/2$ не равно $0/2$.

Вместо вам нужно будет найти общий знаменатель, прежде чем прибавлять или вычитать . Есть много способов найти общий знаменатель, некоторые из которых проще или эффективнее других.

Один из самых простых способов найти общий знаменатель, хотя и не обязательно лучший, — это просто перемножить два знаменателя.

Например, возможный наименьший общий знаменатель для $1/2$ и $1/12$ будет равен 24, что вы найдете, умножив знаменатель 2 на знаменатель 12. Вы можете решить задачу, используя общий знаменатель 24, используя шаги, описанные ниже, но если вы это сделаете, вы столкнетесь с проблемой — вашу дробь нужно будет уменьшить.

Чтобы избавиться от необходимости уменьшать после сложения или вычитания, вместо этого попытайтесь найти наименьший общий знаменатель. Иногда это равносильно умножению двух знаменателей, но чаще всего это не так.

Однако найти наименьший общий знаменатель несложно — вам просто нужно знать таблицу умножения . Например, попробуем найти наименьший общий знаменатель, а не просто общий знаменатель, для тех же дробей, которые мы использовали выше:

.

$$1/2\: \ и \: 1/12$$.

Для этого перечислите несколько кратных каждому знаменателю

Кратность 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, 18, 20, 22, 24

Кратность 12 : 12 , 24, 36, 48, 60

Затем просмотрите оба списка кратных чисел и найдите наименьшее общее число.В этом случае и 2, и 12 делят кратное 12. Если мы продолжим, мы получим другие кратные, которые они делят, например 24, но 12 является наименьшим, то есть это наименьшее общее кратное .

Вы можете сделать это с любой парой чисел, хотя большие числа могут представлять большую проблему. Для сложения или вычитания вы всегда можете вернуться к простому умножению одного знаменателя на другой, если у вас возникли проблемы с поиском наименьшего общего знаменателя , но имейте в виду, что вам, вероятно, придется уменьшать.

 

Дроби — самая вкусная часть математики.

 

Как складывать дроби — метод 1

Теперь, когда вы знаете, как найти общий знаменатель, вы готовы приступить к сложению и вычитанию.

Вернемся к примеру с $1/2$ и $1/12$ — в данном случае рассмотрим эту задачу:

1/2$ + 1/12$

$

Помните, что вы не можете добавлять поперек; $1/2 + 1/12$ не равняется $2/14$.

 

#1: Найдите общий знаменатель

Сначала мы найдем наименьший общий знаменатель, так как обычно это лучший способ.

Мы уже проделали вышеописанную работу, но напомню, что вам нужно будет выписывать ряд кратных каждому числу, пока не найдете совпадение . В этом случае и 2, и 12 кратны 12.

 

№ 2: умножьте, чтобы получить каждый числитель с одним и тем же знаменателем

Всегда помните, что все, что вы делаете со знаменателем, должно быть сделано и с числителем. Итак, давайте посмотрим на эти две дроби, которые нам нужны, чтобы получить знаменатель 12.

$1/12$ легко — это уже больше знаменателя 12, поэтому нам не нужно ничего с ним делать.

$1/2$ нужно немного поработать. Какое число, умноженное на 2, будет равно 12?

Перефразируя этот вопрос как проблему, которую мы можем решить, $2*?=12$. Или, что еще проще, мы можем инвертировать операцию , чтобы получить $12/2=?$, что мы можем легко решить.

Итак, теперь мы знаем, что чтобы перейти от знаменателя 2 к знаменателю 12, нам нужно умножить на 6. Опять же, помните, что все, что вы делаете со знаменателем, нужно делать и с числителем, поэтому умножьте верхнее число. и снизу на 6, чтобы получить $ 6/12 $.

 

№ 3: сложите числители, но оставьте знаменатели в покое

Теперь, когда у вас одинаковые знаменатели, вы можете сложить числители.

В данном случае это будет означать, что $6/12 + 1/12 = 7/12$. Спросите себя, сможете ли вы уменьшить дробь, соединив и числитель, и знаменатель на одно и то же число. В этом случае вы не можете, поэтому ваш ответ прост: $7/12$.

 

Как складывать дроби — метод 2

В качестве альтернативы мы могли бы просто перемножить два знаменателя, чтобы найти другой общий знаменатель. Это другой способ решения проблемы, но в итоге вы получите тот же ответ.

 

#1: Умножьте знаменатели вместе

Никаких хитростей — просто умножьте 2 на 12, чтобы получить 24. Это и будет вашим общим знаменателем.

 

№ 2: умножьте, чтобы получить каждый числитель с одним и тем же знаменателем

Как и при нахождении наименьшего общего знаменателя, нам нужно умножить как верхнее, так и нижнее число каждой дроби. В этом случае используйте обратные операции, чтобы узнать, какое число нужно умножить.

Если $1/2$ должно быть $?/24$, вы можете сделать $24÷2$, чтобы выяснить, какое число нужно умножить на 12. Умножьте верх и низ на 12, чтобы получить $12/24$.

Повторите процесс с $1/12$. Если $1/12$ должно быть $?/24$, решите $24÷12$, чтобы получить 2. Теперь умножьте числитель и знаменатель $1/12$ на 2, чтобы получить $2/24$.

 

#3: Сложите числители вместе

Теперь вы можете просто добавлять поперек.$12/24 + 2/24 = 14/24$$.

 

№4: уменьшить

Здесь возникает дополнительный шаг. $14/24$ не является дробью в самой низкой форме, поэтому нам нужно ее уменьшить. Чтобы уменьшить, нужно разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число.

Для этого нам нужно найти наибольший общий делитель. Во многом подобно нахождению наименьшего общего кратного, это означает перечисление чисел до тех пор, пока мы не найдем два общих делителя, исключая 1, например:

14 : 2 , 7

24 : 2 , 3, 4, 6, 8, 12

Какое число у них общее? 2.Это означает, что 2 — это наш наибольший общий множитель, и, следовательно, число, на которое мы будем делить числитель и знаменатель.

$14÷2=7$ и $24÷2=12$ дают нам ответ $7/12$.

Ответ такой же, как и при решении с использованием наименьшего общего кратного, и его нельзя уменьшить дальше, так что это наш окончательный ответ!

Если вы когда-нибудь обнаружите, что записываете множество факторов без особой удачи, есть несколько быстрых способов вычислить потенциальные факторы.

• Если число четное, его можно разделить на 2.
• Если вы можете сложить цифры числа, которое делится на 3, число делится на 3, например, 96 ($9+6=15$ и $1+5=6$, которое делится на 3).
• Если число оканчивается на 5 или 0, оно делится на 5.
• Если вы не знаете, когда прекратить поиск факторов, вычтите меньшее число из большего. Это число будет наибольшим возможным общим делителем , но не самим наибольшим общим делителем.

  Например, возьмем 50 и 32.Конечно, мы могли бы просто разделить оба на 2 и продолжать уменьшать оттуда, но если вы сделаете $50-32$, вы получите 18, что говорит нам прекратить поиск наибольшего общего делителя, как только мы достигнем 18.

  На практике это выглядит так: это:

  50 : 2 , 5, 10

  32 : 2 , 4, 8, 16

  , Вместо того, чтобы знать, когда следует остановиться на следующем факторе выше, что мешает нам тратить больше времени на выяснение факторов, которые нам не нужны. Мы можем намного быстрее увидеть, что наибольший общий делитель равен 2, и перейти к решению задачи!

 

$1/1 — 1/? = ням $

 

Как вычитать дроби

Как только вы научитесь складывать дроби, вычитание дробей станет легкой задачей! Процесс точно такой же, хотя вы, естественно, будете вычитать, а не складывать.

 

#1: Найдите общий знаменатель

Давайте посмотрим на следующий пример:

$2/3-3/10$$

Нам нужно найти наименьшее общее кратное для знаменателей, которое будет выглядеть так:

3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

10 : 10, 20, 30

Первое общее число, которое у них есть, — 30, поэтому мы поместим оба числителя над знаменателем 30.

 

#2: Умножьте, чтобы получить оба числителя над одним и тем же знаменателем

Во-первых, нам нужно выяснить, на сколько нам нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы получить знаменатель 30. Для $2/3$ какое число, умноженное на 3, равно 30? В форме уравнения:

$30÷3=?$$

Наш ответ равен 10, поэтому мы умножим и числитель, и знаменатель на 10, чтобы получить 20/30 долларов.

Далее мы повторим процесс для второй фракции.Какое число нужно умножить на 10, чтобы получить 30? Что ж, $30÷10=3$, поэтому мы умножим верх и низ на 3, чтобы получить $9/30$.

Это делает нашу задачу $20/30-9/30$, что означает, что мы готовы продолжить!

 

#3: Вычесть числители

Как и при сложении, мы вычтем один числитель из другого, но оставим знаменатели в покое.

$20/30-9/30=11/30$$.

Поскольку мы нашли наименьшее общее кратное, мы уже знаем, что задачу уже нельзя уменьшить.

Однако допустим, что мы только что умножили 3 на 10, чтобы получить знаменатель 30, поэтому нам нужно проверить, можем ли мы уменьшить. Давайте воспользуемся этим маленьким трюком, который мы узнали, чтобы найти наибольший из возможных общий множитель. Что бы ни делили множители 11 и 30, они не могут быть больше, чем 30-11$ или 19.

11 : 11

30 : 2, 3, 5, 6, 10, 15

Поскольку у них нет общих множителей, ответ нельзя сократить дальше.

 

$1/10$   пицца все еще $10/10$ вкусная.

 

Примеры сложения и вычитания дробей

Давайте рассмотрим еще несколько примеров задач!

 

$8/15-4/9$$

№1: Найдите общий знаменатель

15 : 15, 30, 45 , 60

9 : 9, 18, 27, 26, 45

 

#2: Умножьте, чтобы получить оба числителя на один и тот же знаменатель

$45/15=\bo3$$

$$8÷3=24$$

$15*3=45$$

$24/45$$

$$45÷9=\bo5$$

$4*5=20$$

$9*5=45$$

$20/45$$

 

#3: Вычесть числители

$24/45-20/45=\bo4/\bo45$$

 

$6/11+3/4$$

№1: Найдите общий знаменатель

11 : 11, 22, 33, 44

4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44

 

#2: Умножьте, чтобы получить оба числителя на один и тот же знаменатель

$44÷11=\bo4$$

$6*4=24$$

$11*4=44$$

$24/44$$

$44÷4=\bo11$$

$3*11=33$$

$4*11=44$$

$33/44$$

 

#3: Добавьте числители

$$24/44+33/44=\bo57/\bo44$$ или $$\bo1 \bo13/\bo44$$

 

$4/7-11/21$$

№1: Найдите общий знаменатель

7 : 7, 14, 21

21 : 21 , 42, 63

 

#2: Умножьте, чтобы получить оба числителя на один и тот же знаменатель

$$21÷7=\bo3$$

$3*4=12$$

$3*7=21$$

$12/21$$

$11/2$ уже больше 21, так что ничего делать не надо.

 

#3: Вычесть числители

$$12/21-11/21=\bo1/21$$

 

$8/9+7/13$$

№1: Найдите общий знаменатель

9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117

13 : 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117

 

#2: Умножьте, чтобы получить оба числителя на один и тот же знаменатель

$117÷9=\bo13$$

$8*13=104$$

$9*13=117$$

$104/117$$

$$117÷13=\bo9$$

$7*9=63$$

$13*9=117$$

$63/117$$

 

#3: Добавьте числители

$104/117+63/117=\bo167/\bo117$$

 

Что дальше?

Сложение и вычитание дробей может стать еще проще, если вы начнете преобразовывать десятичные дроби в дроби!

Если вы не знаете, какие уроки математики в средней школе вам следует посещать, это руководство поможет вам составить расписание, чтобы быть уверенным, что вы готовы к поступлению в колледж!

Теперь, когда вы стали экспертом в сложении и вычитании дробей, испытайте себя, научившись переводить градусы Цельсия в градусы Фаренгейта!

 

Сложение и вычитание дробей — Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Сложение или вычитание дробей с общим знаменателем
• Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями
• Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
• Вычислить переменные выражения с дробями

Более подробное введение в темы, затронутые в этом разделе, можно найти в главе Преалгебра , Дроби .

Сложение или вычитание дробей с общим знаменателем

Когда мы умножали дроби, мы просто умножали числители и прямо умножали знаменатели. Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь общий знаменатель.

Сложение и вычитание дробей

Если числа где то

Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.

Выполнение упражнений по манипулятивной математике «Сложение дробей модели» и «Вычитание дробей модели» поможет вам лучше понять сложение и вычитание дробей.

Найдите сумму:

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.

Найдите сумму:

Найдите сумму:

Найди разницу:

Решение

Найди разницу:

Найди разницу:

Найди разницу:

Найди разницу:

Теперь мы сделаем пример, в котором есть и сложение, и вычитание.

Упрощение:

Упрощение:

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

Как мы видели, чтобы складывать или вычитать дроби, их знаменатели должны совпадать. Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей — это наименьшее число, которое можно использовать в качестве общего знаменателя дробей. LCD двух дробей является наименьшим общим кратным (НОК) их знаменателей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Нахождение наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять LCD.

После того, как мы найдем наименьший общий знаменатель двух дробей, мы преобразуем дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. Объединение этих шагов позволяет нам складывать и вычитать дроби, потому что их знаменатели будут одинаковыми!

Как складывать и вычитать дроби

Добавить:

Добавить:

Добавить:

Сложение или вычитание дробей.

1. Есть ли у них общий знаменатель?
   • Да — перейдите к шагу 2.
   • Нет — переписать каждую дробь с ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
2. Сложение или вычитание дробей.
3. Упростите, если возможно.

При нахождении эквивалентных дробей, необходимых для создания общих знаменателей, есть быстрый способ найти число, необходимое для умножения числителя и знаменателя.Этот метод работает, если мы нашли LCD, разложив на простые числа.

Посмотрите на коэффициенты ЖК-дисплея, а затем на каждый столбец над этими факторами. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это нужные нам числа.

На (рис.) ЖК-дисплей, 36, имеет два коэффициента 2 и два коэффициента

.

Числитель 12 имеет два множителя 2, но только один из 3 — так что «не хватает» одного 3 — мы умножаем числитель и знаменатель на 3.

В числителе 18 отсутствует один делитель 2, поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на 2.

Мы будем применять этот метод при вычитании дробей на (рис.).

Вычесть:

Решение

Имеют ли дроби общий знаменатель? Нет, поэтому нам нужно найти ЖК-дисплей.

Не упрощайте эквивалентные дроби! Если вы это сделаете, вы вернетесь к исходным дробям и потеряете общий знаменатель!

Вычесть:

Вычесть:

В следующем примере одна из дробей содержит переменную в числителе.Обратите внимание, что мы делаем те же шаги, что и в случае, когда оба числителя являются числами.

Добавить:

Решение

Дроби имеют разные знаменатели.

Помните, что мы можем добавлять только похожие термины: 24 и 5 x не являются похожими терминами.

Добавить:

Добавить:

Теперь у нас есть все четыре операции над дробями. (Рисунок) суммирует дробные операции.

Умножение дроби	Дробный отдел
Умножить числители и умножить знаменатели	Умножьте первую дробь на обратную вторую.
Добавление дроби	Вычитание дробей
Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Для умножения или деления дробей НЕ требуется ЖК-дисплей. Для сложения или вычитания дробей необходим ЖК-дисплей.

ⓐ Что такое операция? Операция — вычитание. Имеют ли дроби общий знаменатель? № Перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея. Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем. Упростите, если возможно. Нет общих множителей. Фракция упрощена.
ⓑ Что за операция? Умножение. Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели. Перепишите, указав общие факторы.Удалите общие факторы. Упростить.

Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей

Мы видели, что сложная дробь — это дробь, в которой числитель или знаменатель содержит дробь. Дробная полоса указывает на деление. Мы упростили сложную дробь, разделив на

.

Теперь рассмотрим сложные дроби, в которых числитель или знаменатель содержит выражение, которое можно упростить. Итак, мы сначала должны полностью упростить числитель и знаменатель по отдельности, используя порядок операций.Затем делим числитель на знаменатель.

Как упростить сложные дроби

Упрощение:

Упрощение:

Упрощение:

Упростить сложные дроби.

1. Упростите числитель.
2. Упростите знаменатель.
3. Разделите числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

Упрощение:

Решение

Может помочь заключение в скобки числителя и знаменателя.

Упрощение:

Упрощение:

Вычисление переменных выражений с дробями

Раньше мы вычисляли выражения, но теперь мы можем вычислять выражения с дробями. Помните, чтобы вычислить выражение, мы подставляем значение переменной в выражение, а затем упрощаем.

ⓐⓑ

ⓐⓑ

Оценить, когда

Решение

Подставьте значения в выражение.

В следующем примере будут только переменные, без констант.

Оценить, когда

Решение

Чтобы оценить, когда мы подставляем значения в выражение.

Ключевые понятия

• Сложение и вычитание дробей: Если числа, то
  и
  Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.
• Стратегия сложения или вычитания дробей
  1. Есть ли у них общий знаменатель?
     Да — перейдите к шагу 2.
     Нет — перепишите каждую дробь с помощью ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
  2. Сложение или вычитание дробей.
  3. Упростите, если возможно. Для умножения или деления дробей ЖК-дисплей НЕ нужен. Чтобы складывать или вычитать дроби, необходим ЖК-дисплей IS.
• Упрощение сложных дробей
  1. Упростите числитель.
  2. Упростите знаменатель.
  3. Разделите числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

Практика делает совершенным

Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем

В следующих упражнениях доп.

В следующих упражнениях вычтите.

Смешанная практика

В следующих упражнениях упрощайте.

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

В следующих упражнениях сложите или вычтите.

Смешанная практика

В следующих упражнениях упрощайте.

ⓐⓑ

ⓐⓑ

Использование порядка операций для упрощения сложных дробей

В следующих упражнениях упрощайте.

Вычисление переменных выражений с дробями

В следующих упражнениях оцените.

ⓐⓑ

ⓐⓑ

ⓐⓑ

когда

Письменные упражнения

Зачем нужен общий знаменатель, чтобы складывать или вычитать дроби? Объяснять.

Как найти ЖК 2 дроби?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Изучив контрольный список, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?

Глоссарий

наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОК) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Как вычитать дроби

Поделись этой страницей!

Резюме:

Все дроби имеют числитель и знаменатель.

Первый шаг при вычитании двух дробей — проверить, являются ли оба знаменателя одним и тем же числом (как знаменатели) или разными числами (в отличие от знаменателей).

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, знаменатели которых совпадают, легче всего вычитать.Вам просто нужно вычесть числители и оставить знаменатель без изменений.

Пример:

Другие примеры:

Подробнее:

---

Вычитание дробей с разными знаменателями

Если дроби имеют разные знаменатели, мы должны изменить их так, чтобы у них был один и тот же знаменатель.

Мы делаем это, находя наименьшее общее кратное двух чисел.Мы используем эквивалентные дроби.

Пример:

В этом примере знаменатели равны 3 и 2.

Шаг 1: Запишем несколько первых кратных (Таблицы умножения) 3 и 2. Мы видим, что 6 — это наименьшее число, встречающееся в обеих таблицах (наименьшее общее кратное).

Шаг 2:

Теперь мы можем изменить обе дроби так, чтобы они имели одинаковый знаменатель.Мы заменяем каждую дробь на эквивалентную ей дробь.

6 является вторым кратным 3, поэтому нам нужно умножить как числитель, так и знаменатель на 2.

6 является третьим кратным 2, поэтому нам нужно умножить как числитель, так и знаменатель на 3.

Давайте соберем все воедино.

Вот альтернативный способ взглянуть на это:

Мы не можем вычитать дроби с разными знаменателями, потому что каждая часть дроби имеет разный размер.Нам нужно изменить их на равный размер.

После перехода на эквивалентные дроби:

Каждая часть эквивалентных фракций теперь имеет одинаковый размер. Мы можем легко вычесть 3 порции из 4 порций.

Вы нашли эту страницу полезной? Поделись!

Далее: Вычитание дроби из смешанного числа или целого числа

ИТ-блог | Как складывать и вычитать простые дроби без перегруппировки?

Как складывать и вычитать простые дроби без перегруппировки?

Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем (без перегруппировки) Вы можете складывать и вычитать дроби, только если знаменатели совпадают.Итак, начнем с простого: сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Для этого все, что вам нужно сделать, это добавить или вычесть числитель.

Как складывать и упрощать смешанные дроби?

1. Чтобы сложить смешанные числа, мы сначала складываем целые числа, а затем дроби.
2. Если знаменатели дробей разные, то перед сложением сначала найдите равнозначные дроби с общим знаменателем.
3. Вычитание смешанных чисел очень похоже на их сложение.

Зачем нужен общий знаменатель, чтобы складывать или вычитать дроби?

Знаменатель дроби показывает относительный размер частей. Поэтому причина, по которой дроби нуждаются в общем знаменателе перед сложением или вычитанием, заключается в том, что количество частей, которые вы складываете/вычитаете, имеет одинаковый размер.

Зачем нужен общий знаменатель, чтобы складывать или вычитать разнородные дроби?

Чтобы складывать дроби, дроби должны иметь общий знаменатель.Нам нужно, чтобы кусочки каждой фракции были одинакового размера, чтобы объединить их вместе. Эти две дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому равные части, на которые разбито целое, имеют одинаковый размер.

Каковы шаги сложения и вычитания дробей?

Шаг 1: Найдите наименьшее общее кратное (НОК) между знаменателями. Шаг 2: Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на число, чтобы НОК стал новым знаменателем. Шаг 3: Добавьте или вычтите числители, оставив прежним знаменатель.

Как получить смешанную фракцию?

Преобразование неправильных дробей в смешанные дроби

1. Разделите числитель на знаменатель.
2. Запишите полный ответ.
3. Затем запишите любой остаток выше знаменателя.

Можно ли упростить смешанную дробь?

При приведении смешанного числа к простейшему виду мы приводим дробную часть, а не целое число. Неправильные дроби и смешанные дроби взаимозаменяемы.Таким образом, мы можем использовать любой из них, чтобы показать ту же сумму.

Как сложить и вычесть 3 смешанных числа?

У дробей одинаковые знаменатели, поэтому вы можете начать со сложения первых двух дробей. Сложите дроби перед сложением целых чисел. Затем возьмите сумму и вычтите третью дробь. Вычтите дроби перед вычитанием целых чисел.

Как решить задачу на вычитание смешанных чисел?

Чтобы вычесть смешанные числа, вычтите целые части смешанных чисел, а затем вычтите дробные части смешанных чисел.Наконец, объедините целочисленный ответ и дробный ответ, чтобы представить ответ в виде смешанного числа. Вычесть. Упростите ответ и запишите в виде смешанного числа.

Как называются дроби с разными знаменателями?

Дроби с разными знаменателями называются неодинаковыми. Например, 2/3, 4/9, 6/67, 9/89 не являются дробями.

Как поэтапно вычитать разнородные дроби?

Как вычитать дроби с разными знаменателями

1. Шаг 1: Найдите наименьший общий знаменатель.Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) дробей.
2. Шаг 2: Найдите эквивалентную дробь.
3. Шаг 3: Вычтите новые числители.
4. Шаг 4: При необходимости упростите.

Как складывать и вычитать три дроби с разными знаменателями?

Когда знаменатели не совпадают или различаются Мы находим наименьший общий знаменатель (НОД), затем переписываем все дроби в уравнении в виде эквивалентных дробей, используя ОДИ в качестве знаменателя.Когда все знаменатели одинаковы, просто добавьте или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.

Как вычесть целое число из дроби?

При вычитании дробей из целых чисел замените целое число дробью, затем приведите к общему знаменателю и вычтите два числителя.

Какая формула для дробей?

Дробь = количество частей / общее количество частей Каждая дробь имеет числитель, равный количеству частей, которые у нас есть, и знаменатель, равный общему количеству частей в целом.

Как проще всего складывать и вычитать дроби?

Есть 3 простых шага для вычитания дробей

1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.