Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Урок 3. Алгебра 8 класс ФГОС

В этом уроке мы закрепим представления о рациональных выражениях. Продолжим формировать представления о преобразовании рациональных выражений. Введем правило сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Конспект урока «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

Вы уже хорошо умеете складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Давайте вспомним правила, по которым складывают и вычитают обыкновенные дроби.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с таким же знаменателем, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде эти правила можно записать так:   

Например

Эти равенства являются тождествами, т.к. они верны при любых значениях переменных a, b и c, кроме цэ равного нулю.

Доказательство:

Таким образом, складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Пример 1. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 2. Найти сумму дробей.

Решение:

Пример 3. Найти сумму дробей.

Решение:

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.

Правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Пример 4. Найти разность дробей.

Решение:

Пример 5. Найти разность дробей.

Решение:

Пример 6. Выполнить действия.

Решение:

Итоги:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Предыдущий урок 2 Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Следующий урок 4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 8 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Как вычесть дробь из целого числа: 10 шагов

‘).insertAfter(«#intro»),$(‘

‘).insertBefore(«.youmightalsolike»),$(‘

‘).insertBefore(«#quiz_container»),$(‘

‘).insertBefore(«#newsletter_block_main»),ha(!0),b=document.getElementsByClassName(«scrolltomarker»),a=0;a

В этой статье:

Вычитание дробей из целых чисел

Альтернативный метод

Дополнительные статьи

Источники

Вычитать дроби из целых чисел проще, чем кажется. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов: преобразовать целое число в дробь или вычесть 1 из целого числа и преобразовать 1 в дробь с тем же знаменателем, как у вычитаемой дроби. Помните, что вычитать можно только дроби с общим знаменателем.

Шаги

1. 1

   Преобразуйте целое число в дробь. Для этого под целым число запишите цифру 1 — это будет знаменатель новой дроби.^{[1] X Источник информации}
   • Пример: 8−45{\displaystyle 8-{\frac {4}{5}}}
   • =81−45{\displaystyle ={\frac {8}{1}}-{\frac {4}{5}}}

2. 2

   Приведите дроби к общему знаменателю. Знаменатель исходной дроби является наименьшим общим знаменателем (НОЗ) обеих дробей. Поэтому умножьте на НОЗ числитель и знаменатель новой дроби (которая получилась из целого числа) — так вы приведете обе дроби к общему знаменателю.^{[2] X Источник информации}

   • 81−45{\displaystyle {\frac {8}{1}}-{\frac {4}{5}}}
   • =8∗51∗5−45{\displaystyle ={\frac {8*5}{1*5}}-{\frac {4}{5}}}
   • =405−45{\displaystyle ={\frac {40}{5}}-{\frac {4}{5}}}

3. 3

   Вычтите числители. Сделайте это, когда приведете дроби к общему знаменателю.^{[3] X Источник информации}
   • 405−45{\displaystyle {\frac {40}{5}}-{\frac {4}{5}}}
   • =40−45{\displaystyle ={\frac {40-4}{5}}}
   • = 365{\displaystyle {\frac {36}{5}}}

4. 4

   Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число (если потребуется). Если в результате вычитания дробей вы получили неправильную дробь, возможно, вам придется преобразовать ее в смешанное число:^{[4] X Источник информации}

   • Пример: преобразуйте 365{\displaystyle {\frac {36}{5}}} в смешанное число.
   • Разделите 36 на 5: 36/5 = 7 ост. 1. Таким образом, целая часть смешанного числа равна 7.
   • Так как остаток равен 1 (36 — 7*5 = 1), то дробная часть смешанного числа равна 15{\displaystyle {\frac {1}{5}}}, то есть остаток записывается в числителе, а знаменатель остается прежним.
   • Запишите рядом целую и дробную части, чтобы получить смешанное число: 365{\displaystyle {\frac {36}{5}}} = 715{\displaystyle 7{\frac {1}{5}}}

   Реклама

1. 1

   Воспользуйтесь этим методом, если дано большое целое число. В предыдущем разделе мы рассказали вам, как преобразовать целое число в дробь и неправильную дробь в смешанное число. В этом методе мы будем работать с небольшими дробями.

2. 2

   Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число. Пропустите этот шаг, если дробь является правильной (в неправильной дроби числитель больше знаменателя).

   [5] X Источник информации
   • Пример: 11−43{\displaystyle 11-{\frac {4}{3}}}
   • =11−113{\displaystyle =11-1{\frac {1}{3}}}
   • =10−13{\displaystyle =10-{\frac {1}{3}}}

3. 3

   Разложите целое число на сумму 1 и другого целого числа. Например, 5 = 4 + 1 или 22 = 21 + 1.

   • 10−13{\displaystyle 10-{\frac {1}{3}}}
   • =9+1−13{\displaystyle =9+1-{\frac {1}{3}}}

4. 4

   Преобразуйте 1 в дробь. Для этого воспользуйтесь действиями, описанными в предыдущем разделе. Сейчас мы покажем, как решить часть выражения «1 — дробь». Другое целое число останется неизменным.

   • =9+1−13{\displaystyle =9+1-{\frac {1}{3}}}
   • =9+11−13{\displaystyle =9+{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}}

5. 5

   Приведите обе дроби к общему знаменателю. Для этого воспользуйтесь действиями, которые описаны в предыдущем разделе, а именно умножьте числитель и знаменатель новой дроби на знаменатель исходной дроби.
   • =9+1∗31∗3−13{\displaystyle =9+{\frac {1*3}{1*3}}-{\frac {1}{3}}}
   • =9+33−13{\displaystyle =9+{\frac {3}{3}}-{\frac {1}{3}}}

6. 6

   Вычтите дроби. Для этого просто вычтите их числители.

   • =9+3−13{\displaystyle =9+{\frac {3-1}{3}}}
   • =9+23{\displaystyle =9+{\frac {2}{3}}}
   • =923{\displaystyle =9{\frac {2}{3}}}

   Реклама

Что вам понадобится

• Карандаш
• Лист бумаги

Источники

Об этой статье

На других языках

Как вычесть дробь из целого числа — Wiki How Русский

Вычитать дроби из целых чисел проще, чем кажется. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов: преобразовать целое число в дробь или вычесть 1 из целого числа и преобразовать 1 в дробь с тем же знаменателем, как у вычитаемой дроби. Помните, что вычитать можно только дроби с общим знаменателем.

Эту страницу просматривали 208 250 раз.

Реклама

Вычитание дробей | Нравится, отличается, примеры и резюме

Введение

Мы узнали, что дробь — это число, представляющее часть целого. Целое может быть одним или группой объектов. Давайте теперь узнаем о вычитании дробей.

Но перед этим надо вспомнить, что мы понимаем под подобными и неодинаковыми дробями.

Подобные дроби

Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, называются подобными дробями. Например, дроби $\frac{4}{9}$, $\frac{13}{9}$, $\frac{1}{9}$ и  $\frac{5}{9}$ похожи на дроби, так как имеют общий знаменатель 9.

В отличие от дробей

Дроби с разными знаменателями называются непохожими дробями . Например, $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{8}$ не являются дробями, так как обе дроби имеют разные знаменатели.

Теперь вспомним, что означает приведение дроби к наименьшей форме.

Приведение дроби к наименьшей форме

Мы знаем, что дробь представляется в виде $\frac{p}{q}$, где p и q — целые числа. Итак, какова младшая форма дроби?

Следует помнить, что дробь называется наименьшей, если и числитель, и знаменатель положительны, а числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1.

Чтобы выразить задана дробь в стандартной/простейшей форме, необходимо выполнить следующие шаги –

Шаг 1 – Проверить, является ли данное число дробным числом.

Шаг 2 – Посмотрите, положительный знаменатель дроби или нет. Если оно отрицательное, умножьте или разделите числитель и знаменатель на -1, чтобы знаменатель стал положительным.

Шаг 3 – Найдите наибольший общий делитель (НОД) абсолютных значений числителя и знаменателя.

Шаг 4 – Разделить числитель и знаменатель данной дроби на НОД (HCF), полученный на шаге III. Полученная таким образом дробь является стандартной/простейшей формой данной дроби.

Это было важно понять, потому что после сложения или вычитания дробей нам нужно будет сводить их в простейшем виде.

Давайте разберемся на примере 

Предположим, мы хотим уменьшить дробь $\frac{8}{28}$

Мы видим, что число в знаменателе равно 28, что является положительным числом. Чтобы выразить его в стандартной/простейшей форме, мы должны разделить его числитель и знаменатель на наибольший общий делитель 8 и 28.

Наибольший общий делитель чисел 8 и 28 равен 4.

Следовательно,

Разделив числитель и знаменатель $\frac{8}{28}$ на 4, получим

$\frac{8}{ 28} = \frac{8 ÷4}{28 ÷4} = \frac{2}{7}$

Следовательно, простейшая форма $\frac{8}{28}\:is\:\frac {2}{7}$ .

Теперь давайте научимся вычитать две или более дроби.

Вычитание одинаковых дробей

Чтобы вычитать одинаковые дроби, выполните следующие действия:

1. Найдите числители двух данных дробей и их общий знаменатель.
2. Вычесть числитель вычитаемого из числителя вычитаемого, полученного на первом шаге. Напомним, что вычитаемое число называется вычитаемое , а число, из которого вычитается вычитаемое, называется вычитаемое . Результат этого вычитания называется разностью .
3. Запишите дробь, числитель которой равен разности, полученной на втором шаге, а знаменатель — общий знаменатель данных дробей.

Давайте разберемся с этим на примере.

Пример

Предположим, мы хотим найти разницу между дробями $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{7}$

Решение

Здесь мы видим, что оба у дробей один и тот же знаменатель, т.е. 7.

Поэтому идем по определенным выше шагам.

Проверяем числители обеих дробей. Это 3 и 1.

Тогда из 3 вычтем 1, получим 3 – 1 = 2

Теперь запишем разность этих дробей в виде $\frac{2}{7}$

Следовательно, $\frac{3}{7} – \frac{1}{7} = \frac{ 2}{7}$

Чтобы лучше понять вычитание одинаковых дробей, давайте проверим графическое представление вычитания одинаковых дробей.

Графическое представление вычитания одинаковых дробей

Предположим, у нас есть дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{1}{8}$, и мы хотим найти разницу между этими дробями. . Если мы пойдем по шагам, которые мы определили выше для вычитания одинаковых дробей, мы увидим, что две дроби имеют один и тот же знаменатель, то есть 8. Итак, чтобы вычесть эти дроби, мы просто вычтем числители, то есть 5 и 1. Получим 5 – 1 = 4 Следовательно,

$\frac{5}{8} – \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$

Теперь представим каждую из этих дробей графически.

Дробь $\frac{5}{8}$  будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что указанная выше дробь имеет 5 заштрихованных частей из 8 равных частей.

Дробь $\frac{1}{8}$ будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что указанная выше дробь имеет 1 заштрихованную часть из 8 равных частей.

Если мы вычтем две заштрихованные части в этих дробях, мы увидим, что у нас будет 5 – 1 = 4 заштрихованных части. Это будет представлено графически как – 

Приведенная выше дробь будет записана как $\frac{4}{8}$, что является результатом, полученным после вычитания двух приведенных выше дробей.

Вычитание разнородных дробей

Вычитание разнородных дробей аналогично их сложению с той лишь разницей, что вместо сложения полученных равноценных дробей мы будем их вычитать. Для вычитания разнородных дробей выполните следующие шаги:

1. Получите дроби и их знаменатели. Знаменатели дробей должны быть такими, чтобы они не совпадали.
2. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Другими словами, сделайте знаменатели одинаковыми, найдя наименьшее общее кратное (L.C.M.) их знаменателей. Этот шаг точно такой же, как нахождение наименьшего общего знаменателя (L.C.D.).
3. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую тот же знаменатель, равный L.C.M, полученному на предыдущем шаге. Это означает, что вам нужно переписать каждую дробь в эквивалентную ей дробь со знаменателем, равным наименьшему общему кратному, который вы нашли на предыдущем шаге.
4. Так как дроби теперь подобны дробям, вычтите их, как мы делаем для подобных дробей, т. е. вычтите их числители.
5. При необходимости приведите дробь к простейшей форме.

Давайте разберем приведенные выше шаги на примере.

Пример

Решить $\frac{33}{4} – \frac{17}{6}$

Решение

Нам даны дроби, $\frac{33}{4} \:и\:\фрак{17}{6}$.

Мы ясно видим, что знаменатели этих дробей различны, следовательно, они не похожи на дроби. Поэтому мы будем действовать в соответствии с шагами, определенными выше, чтобы получить их разницу.

Сначала найдем НВМ 4 и 6

НВМ 4 и 6 = 12

Итак, преобразуем данные дроби в равнозначные дроби со знаменателем 12.

Получим,

$\frac{ 33}{4} = \frac{33 x 3}{4 x 3} = \frac{99}{12}$

Аналогично,

$\frac{17}{6} = \frac{17 x 2 }{6 x 2} = \frac{34}{12}$

Теперь у нас есть две дроби, $\frac{99}{12}$ и $\frac{34}{12}$, которые имеют общий знаменатель. 12 и, таким образом, похожи на дроби. Итак, мы вычтем их числители, чтобы получить

$\frac{99}{12} – \frac{34}{12} = \frac{99- 34}{12} = \frac{65}{12}$

Следовательно, $\frac {33}{4} – \frac{17}{6} = \frac{65}{12}$

Теперь давайте обсудим вычитание неправильных дробей

Вычитание правильных дробей

Перед изучением вычитания неправильные дроби, давайте вспомним, что мы понимаем под правильными дробями.

Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильными дробями. Например, рассмотрим дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$. В обеих этих дробях числители меньше соответствующих им знаменателей. Следовательно, эти дроби являются правильными дробями. Однако обратите внимание, что дробь $\frac{3}{3}$ не является правильной дробью, так как в этом случае числитель равен знаменателю. Итак, мы можем сказать, что условие правильной дроби состоит в том, что ее числитель должен быть строго меньше ее знаменателя . Давайте теперь разберемся, как вычитать правильные дроби.

Вычитание правильных дробей аналогично вычитанию одинаковых и неодинаковых дробей, где вычисления основаны на эквивалентности их знаменателей, т. е. на том, имеют ли они одинаковые или разные знаменатели.

Давайте разберемся на примере.

Пример

Вычесть $\frac{3}{4}$ из $\frac{5}{6}$

Решение

Нам даны дроби $\frac{3}{4 }$ и $\frac{5}{6}$ и требуется найти значение $\frac{3}{4} – \frac{5}{6}$

Следовательно,

Чтобы найти значение $\frac{5}{6} – \frac{3}{4}$ 

Мы ясно видим, что знаменатели этих дробей различны, следовательно, они не похожи на дроби. . Поэтому мы будем действовать в соответствии с шагами, определенными выше, чтобы получить их разницу.

Сначала найдем НОК 4 и 6

НОК 6 и 4 равно 12.

Итак, мы преобразуем данные дроби в эквивалентные дроби со знаменателем 12.

Следовательно,

$\frac{5}{6} = \frac{5 x 2}{6 x 2} = \frac{10}{12}$ и

$\frac{3}{4} = \frac{ 3 x 3}{4 x 3} = \frac{9}{12}$

Теперь у нас есть две дроби, $\frac{10}{12}$  и $\frac{9}{12}$, которые имеют общий знаменатель 12 и, таким образом, подобны дробям. Итак, мы вычтем их числители, чтобы получить

Следовательно, 

$\frac{5}{6} – \frac{3}{4} = \frac{10}{12} – \frac{9}{ 12} = \frac{10-9}{12} = \frac{1}{12}$

Следовательно, $\frac{5}{6} – \frac{3}{4} = \frac {1}{12}$

Вычитание неправильных дробей

Прежде чем изучать вычитание неправильных дробей, вспомним, что мы подразумеваем под неправильными дробями.

Дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю, называются неправильными дробями. Например, рассмотрим дроби $\frac{5}{2}$ и $\frac{7}{3}$. В обеих этих дробях числители больше соответствующих знаменателей. Следовательно, это неправильные дроби. Даже дробь $\frac{3}{3}$ является неправильной дробью, так как в этом случае числитель равен знаменателю. Итак, мы можем сказать, что условием того, что дробь является неправильной, является то, что ее 9Числитель 0003 должен быть больше или равен его знаменателю .

Вычитание неправильных дробей аналогично вычитанию одинаковых и неодинаковых дробей, где вычисления основаны на эквивалентности их знаменателей, т. е. на том, имеют ли они одинаковые или разные знаменатели.

Разберем на примере

Пример

Допустим, мы хотим найти разницу между дробями $\frac{11}{3}$ и $\frac{8}{3}$

Решение

В обеих дробях мы видим, что числители больше знаменателей, что означает, что они неправильные дроби. Но здесь мы также видим, что обе дроби имеют один и тот же знаменатель, то есть 3. Поэтому мы идем по определенным выше шагам вычитания одинаковых дробей.

Проверяем числители обеих дробей. Это 11 и 8.

Затем из 11 вычтем 8, получим 11 – 8 = 3

Теперь запишем разность этих дробей в виде $\frac{3}{3} = 1$

Следовательно, $\frac{11}{3} – \frac{8}{3} = 1$

Решенные примеры

Пример 1 Вычесть $\frac{21}{25}$ from $\frac{18}{20}$

Решение Нам дана дробь, $\frac{21}{25}$ и $\frac{18}{20}$.

Нужно найти $\frac{18}{20} – \frac{21}{25}$

Знаменатели указанных дробей разные; поэтому сначала мы найдем их L.C.M.

L.C.M 20 и 25 = 100

Теперь мы преобразуем данные дроби в эквивалентные дроби со знаменателем 100.

$\frac{21}{25} = \frac{21 x 4}{25 x 4} = \frac{84}{100} $

$\frac{18}{20} = \frac{18 x 5}{20 x 5} = \frac{90}{100}$

Теперь у нас есть две дроби, $\frac{84} {100}$ и $\frac{90}{100}$, которые имеют общий знаменатель 100. Теперь найдем разницу между числителями, чтобы получить их разницу. Следовательно,

$\frac{18}{20} – \frac{21}{25} = \frac{90}{100} – \frac{84}{100} = \frac{90-84}{100} = \frac{6}{100}$

Мы видим, что приведенную выше дробь можно свести к простейшей форма, если мы разделим и числитель, и знаменатель на 2. Мы получим,

$\frac{6}{100} = \frac{6 ÷2}{100 ÷2} = \frac{3}{50} $

Следовательно, $\frac{18}{20} – \frac{21}{25} = \frac{3}{50}$

Пример 2 Кусок проволоки $\frac{7 {8}$ метров в длину разломился на две части. Один кусок имел длину $\frac{1}{4}$ метра. Какой длины другая часть?

Решение Нам дано, что кусок проволоки длиной $\frac{7}{8}$ метров разорвался на две части, а одна часть была длиной $\frac{1}{4}$ метра.

Нам нужно найти длину другого куска.

Сначала суммируем данные нам дроби.

Длина куска проволоки = $\frac{7}{8}$ метров

Длина одного из сломанных кусков = $\frac{1}{4}$ метров

Длина другого куска может можно получить, найдя разницу между полной длиной проволоки и одной из оторванных частей.

Следовательно,

Длина другого отломанного куска = $\frac{7}{8} – \frac{1}{4}$

Мы ясно видим, что дроби имеют разные знаменатели. Поэтому сначала рассчитаем их L.C.M.

L.C.M 8 и 4 = 8

Теперь мы преобразуем данные дроби в эквивалентные дроби со знаменателем 8.

Обратите внимание, что у дроби $\frac{7}{8}$ знаменатель уже равен 8, поэтому нам не нужно преобразовывать его дальше.

$\frac{1}{4} = \frac{1 x 2}{4 x 2} =  \frac{2}{8}$

Теперь у нас есть две дроби, $\frac{7}{8}$  и $\frac{2}{8}$, которые имеют общий знаменатель 8. Теперь мы найдем разницу между числителями, чтобы получить их разницу. Следовательно,

$\frac{7}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$

Следовательно, длина другого отломанного куска = $\frac{ 5}{8}$ м

Пример 3 Найдите разность $\frac{17}{24}$ и $\frac{15}{16}$

Решение Нам даны дроби $ \frac{17}{24}$ и $\frac{15}{16}$ и нам нужно найти их разницу.

Так как знаменатели вышеуказанных дробей разные; поэтому сначала мы найдем их L.C.M.

L.C.M 24 и 16 = 48

Теперь преобразуем данные дроби в эквивалентные дроби со знаменателем 48.

$\frac{17}{24} =  \frac{17 x 2}{24 x 2} = \frac{34}{48}$

$\frac{15}{16} = \frac{15 x 3}{16 x 3} = \frac{45}{48}$

Теперь имеем две дроби, $\frac{34}{48}$ и $\frac{45}{48}$, которые имеют общий знаменатель 48. Теперь мы найдем разницу между числителями, чтобы получить их разницу. Следовательно,

$\frac{45}{48} – \frac{34}{48} = \frac{45- 34}{48} = \frac{11}{48}$

Мы видим, что приведенная выше дробь уже в своей простейшей форме, так как 11 и 48 не имеют никаких общих делителей, кроме 1.

Следовательно, $\frac{45}{48} – \frac{34}{48} = \frac{11}{48}$

Ключевые факты и выводы

1. Дробь – это число представляющий собой часть целого. Целое может быть одним или группой объектов.
2. Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, называются одинаковыми.
3. Дроби с разными знаменателями называются непохожими дробями .
4. Говорят, что дробь находится в наименьшей форме, если и числитель, и знаменатель положительны, а числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1.
5. сохраняя знаменатели одинаковыми.
6. Для разных дробей мы не вычитаем напрямую числители и знаменатели.
7. Чтобы вычесть две или более неодинаковых дроби, мы сначала преобразуем их в соответствующие эквивалентные им подобные дроби, а затем вычитаем их таким же образом, как мы делаем это для однородных дробей.
8. Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильными дробями.
9. Дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю, называются неправильными дробями.
10. Вычитание как правильных, так и неправильных дробей аналогично вычитанию одинаковых и неодинаковых дробей, где вычисления основаны на эквивалентности их знаменателей, т. е. на том, имеют ли они одинаковые разные знаменатели.

Сложение и вычитание одинаковых дробей и смешанных чисел с помощью текстовых задач (со знаменателями 8, 10, 12, 100) Рабочие листы по математике для 4-го класса
Сложение и вычитание различных дробей Рабочие листы по математике для 5-го класса
Сложение и вычитание одинаковых дробей и смешанных чисел с помощью Word Задачи (со знаменателями от 2 до 6) Рабочие листы по математике для 4 класса

Мы тратим много времени на изучение и обобщение информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

4.9: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 2)

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

6063

• OpenStax
• OpenStax

Определение и использование операций с дробями

К этому моменту в этой главе вы попрактиковались в умножении, делении, сложении и вычитании дробей. В следующей таблице приведены эти четыре дробные операции. Помните: общий знаменатель нужен для сложения или вычитания дробей, но не для умножения или деления дробей.

Краткий обзор операций с дробями

Умножение дробей : Умножение числителей и умножение знаменателей.

\[\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\]

Деление дроби : Умножьте первую дробь на величину, обратную второй.

\[\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\]

Сложение дробей : Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентные формы с помощью ЖК-дисплея.

\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\]

Вычитание дробей : Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентные формы с помощью ЖК-дисплея.

\[\dfrac{a}{c} — \dfrac{a}{c} = \dfrac{a — b}{c}\]

Пример \(\PageIndex{11}\): упростить

Упростить:

1. \(− \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\)
2. \(- \dfrac{1}{4} \div \dfrac{1}{6}\)

Решение

Сначала мы спрашиваем себя: «Что такое операция?»

1. Операция сложение. Имеют ли дроби общий знаменатель? №

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.	\(- \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor{red}{3}} + \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot\textcolor{красный}{2}} \)
Упростите числители и знаменатели.	\(- \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} \)
Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(- \dfrac{1}{12} \)
Проверьте, можно ли упростить ответ. Оно не может.

2. Операция деление. Нам не нужен общий знаменатель.

Чтобы разделить дроби, умножьте первую дробь на величину, обратную второй.	\(- \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{6}{1}\)
Умножение.	\(- \dfrac{6}{4}\)
Упрощение.	\(- \dfrac{3}{2} \)

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Упрощение:

1. \(- \dfrac{3}{4} — \dfrac{1}{6}\)
2. \(- \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6}\)

Ответить на

\(-\dfrac{11}{12}\)

Ответ б

\(-\dfrac{1}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Упрощение:

1. \(\dfrac{5}{6} \div \left(- \dfrac{1}{4}\right)\)
2. \(\dfrac{5}{6} — \left(- \dfrac{1}{4}\right)\)

Ответить на

\(-\dfrac{10}{3}\)

Ответ б

\(\dfrac{13}{12}\)

Пример \(\PageIndex{12}\): упростить

Упростить:

1. \(\dfrac{5x}{6} — \dfrac{3}{10}\)
2. \(\dfrac{5x}{6} \cdot \dfrac{3}{10}\)

Решение

1. Операция вычитания. Дроби не имеют общего знаменателя.

Перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с помощью ЖКИ, 30.	\(\dfrac{5x \cdot \textcolor{red}{5}}{6 \cdot \textcolor{red}{5}} — \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{10 \ cdot \textcolor{красный}{3}} \)
	\(\dfrac{25x}{30} — \dfrac{9}{30} \)
Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.	\(\dfrac{25x — 9}{30} \)

2. Операция умножения; нет необходимости в общем знаменателе.

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели.	\(\dfrac{5x \cdot 3}{6 \cdot 10} \)
Перепишите, показав общие множители.	\(\dfrac{\cancel{5} \cdot x \cdot \cancel{3}}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 2 \cdot \cancel{5}} \)
Удалите общие множители для упрощения.	\(\dfrac{x}{4} \)

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Упрощение:

1. \(\dfrac{3a}{4} — \dfrac{8}{9}\)
2. \(\dfrac{3a}{4} \cdot \dfrac{8}{9}\)

Ответить на

\(\dfrac{27a-32}{36}\)

Ответ б

\(\dfrac{2a}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Упрощение:

1. \(\dfrac{4k}{5} + \dfrac{5}{6}\)
2. \(\dfrac{4k}{5} \div \dfrac{5}{6}\)

Ответить на

\(\dfrac{24k+25}{30}\)

Ответ б

\(\dfrac{24k}{25}\)

Порядок операций для упрощения сложных дробей

В разделе Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей мы видели, что сложная дробь — это дробь, в которой числитель или знаменатель содержит дробь. Мы упростили сложные дроби, переписав их как задачи на деление. Например,

\[\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8} \nonumber \]

Теперь рассмотрим сложные дроби, в которых можно упростить числитель или знаменатель. Чтобы следовать порядку операций, сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности. Затем делим числитель на знаменатель.

КАК: УПРОЩАТЬ СЛОЖНЫЕ ДРОИ

Шаг 1. Упростите числитель.

Шаг 2. Упростите знаменатель.

Шаг 3. Разделить числитель на знаменатель. 9{2}}\) Упростите член с показателем степени в знаменателе. \(\dfrac{\dfrac{1}{4}}{4 + 9} \) Сложите члены в знаменателе. \(\dfrac{\dfrac{1}{4}}{13} \) Разделите числитель на знаменатель. \(\dfrac{1}{4} \div 13 \) Перепишите как умножение на обратное. 9{2}}\).

Ответить

\(272\)

Пример \(\PageIndex{14}\): упростить

Упростить: \(\dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{4} — \dfrac{1}{6}}\).

Решение

Перепишите числитель с НР равным 6 и знаменатель с НР равным 12.	\(\dfrac{\dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6}}{\dfrac{9}{12} — \dfrac{2}{12}} \)
Добавить в числитель. Вычесть в знаменателе.	\(\dfrac{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{7}{12}} \)
Разделите числитель на знаменатель.	\(\dfrac{7}{6} \div \dfrac{7}{12}\)
Перепишите как умножение на обратное.	\(\dfrac{7}{6} \cdot \dfrac{12}{7} \)
Перепишите, показав общие множители.	\(\dfrac{\cancel{7} \cdot \cancel{6} \cdot 2}{\cancel{6} \cancel{7} \cdot 1} \)
Упрощение.	\(2\)

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Упрощение: \(\dfrac{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4} — \dfrac{1}{3}}\).

Ответить

\(2\)

Упражнение \(\PageIndex{28}\)

Упрощение: \(\dfrac{\dfrac{2}{3} — \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4} + \ dfrac{1}{3}}\).

Ответить

\(\dfrac{2}{7}\)

Вычисление переменных выражений с дробями

Мы уже вычисляли выражения раньше, но теперь мы также можем вычислять выражения с дробями. Помните, чтобы вычислить выражение, мы подставляем значение переменной в выражение, а затем упрощаем.

Пример \(\PageIndex{15}\): оценка

Оценка \(x + \dfrac{1}{3}\), когда

1. \(x = — \dfrac{1}{3}\)
2. \(х = — \dfrac{3}{4}\)

Решение

1. Чтобы вычислить \(x + \dfrac{1}{3}\), когда \(x = — \dfrac{1}{3}\), замените \(- \dfrac{1} {3}\) вместо \(x\) в выражении.

Подставьте \(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}}\) вместо x.	\(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}} + \dfrac{1}{3} \)
Упрощение.	\(0 \)

2. Чтобы вычислить \(x + \dfrac{1}{3}\), когда \(x = — \dfrac{3}{4}\), мы подставим \(- \dfrac{3}{4} }\) для \(x\) в выражении.

Подставьте \(\textcolor{red}{- \dfrac{3}{4}}\) вместо x.	\(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}} + \dfrac{1}{3}\)
Переписать как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем, 12.	\(- \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} \)
Упростите числители и знаменатели.	\(- \dfrac{9}{12} + \dfrac{4}{12} \)
Доп.	\(- \dfrac{5}{12} \)

Упражнение \(\PageIndex{29}\)

Вычислить \(x + \dfrac{3}{4}\), когда:

1. \(x = — \dfrac{7}{4}\ )
2. \(х = — \dfrac{5}{4}\)

Ответить на

\(-1\)

Ответ б

\(-\dfrac{1}{2}\)

Упражнение \(\PageIndex{30}\)

Вычислить \(y + \dfrac{1}{2}\), когда:

1. \(y = \dfrac{2}{3}\)
2. \(y = — \dfrac{3}{4}\)

Ответить на

\(\dfrac{7}{6}\)

Ответ б

\(-\dfrac{1}{4}\)

Пример \(\PageIndex{16}\): оценить

Вычислить \(y − \dfrac{5}{6}\), когда \(y = — \dfrac{2}{3}\).

Решение

Подставим \(− \dfrac{2}{3}\) вместо \(y\) в выражении.

9{2} \left(\textcolor{blue}{- \dfrac{2}{3}}\right) \)

Подставьте \(\textcolor{red}{- \dfrac{2}{3}}\) вместо y.	\(\textcolor{red}{- \dfrac{2}{3}} — \dfrac{5}{6}\)
Переписать как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем, 6.	\(- \dfrac{4}{6} — \dfrac{5}{6} \)
Вычесть.	\(- \dfrac{9}{6} \)
Упрощение.	\(- \dfrac{3}{2} \)
Сначала упростите показатели степени.	\(2 \влево(\dfrac{1}{16}\вправо) \влево(- \dfrac{2}{3}\вправо)\)
Умножение. Произведение будет отрицательным.	\(- \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{2}{3} \)
Упрощение.	\(- \dfrac{4}{48} \)
Удалите общие множители. 93d\), когда \(c = − \dfrac{1}{2}\) и \(d = − \dfrac{4}{3}\). Ответить \(\dfrac{2}{3}\) Пример \(\PageIndex{18}\): оценка Оценка: \(\dfrac{p + q}{r}\), когда \(p = −4\), \(q = −2\) и \(г = 8\). Решение Подставляем значения в выражение и упрощаем. Замените \(\textcolor{red}{-4}\) на p, \(\textcolor{blue}{-2}\) на q и \(\textcolor{magenta}{8}\) для р. \(\dfrac{\textcolor{red}{-4} + \textcolor{blue}{(-2)}}{\textcolor{magenta}{8}} \) Сначала добавьте числитель. \(- \dfrac{6}{8}\) Упрощение. \(- \dfrac{3}{4}\) Упражнение \(\PageIndex{35}\) Оценка: \(\dfrac{a + b}{c}\), когда \(a = −8\), \(b = −7\) и \(с = 6\). Ответить \(-\dfrac{5}{2}\) Упражнение \(\PageIndex{36}\) Оценка: \(\dfrac{x + y}{z}\), когда \(x = 9\), \(y = −18\) и \ (г = — 6\). Ответить \(\dfrac{3}{2}\) Практика ведет к совершенству Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) В следующих упражнениях найдите наименьший общий знаменатель (НОД) для каждого набора дробей. \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{2}{5}\) \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{8}\) \(\dfrac{9}{16}\) и \(\dfrac{7}{12}\) \(\dfrac{13}{30}\) и \(\dfrac{25}{42}\) \(\dfrac{23}{30}\) и \(\dfrac{5}{48}\) \(\dfrac{21}{35}\) и \(\dfrac{39}{56}\) \(\dfrac{18}{35}\) и \(\dfrac{33}{49}\) \(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{3}{5}\) Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея В следующих упражнениях преобразуйте дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{4}\), LCD = 12 \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{5}\), LCD = 20 \(\dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{7}{8}\), LCD = 24 \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{8}\), LCD = 24 \(\dfrac{13}{16}\) и \(- \dfrac{11}{12}\), LCD = 48 \(\dfrac{11}{16}\) и \(- \dfrac{5}{12}\), LCD = 48 \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{3}{4}\), LCD = 12 \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{3}{5}\), LCD = 60 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями В следующих упражнениях сложите или вычтите. Запишите результат в упрощенной форме. \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}\) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{7}\) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{1}{3} — \left(- \dfrac{1}{9}\right)\) \(\dfrac{1}{4} — \left(- \dfrac{1}{8}\right)\) \(\dfrac{1}{5} — \left(- \dfrac{1}{10}\right)\) \(\dfrac{1}{2} — \left(- \dfrac{1}{6}\right)\) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}\) \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{8}\) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{7}{12} — \dfrac{9}{16}\) \(\dfrac{7}{16} — \dfrac{5}{12}\) \(\dfrac{11}{12} — \dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{5}{8} — \dfrac{7}{12}\) \(\dfrac{2}{3} — \dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{5}{6} — \dfrac{3}{4}\) \(- \dfrac{11}{30} + \dfrac{27}{40}\) \(- \dfrac{9}{20} + \dfrac{17}{30}\) \(- \dfrac{13}{30} + \dfrac{25}{42}\) \(- \dfrac{23}{30} + \dfrac{5}{48}\) \(- \dfrac{39}{56} — \dfrac{22}{35}\) \(- \dfrac{33}{49} — \dfrac{18}{35}\) \(- \dfrac{2}{3} — \left(- \dfrac{3}{4}\right)\) \(- \dfrac{3}{4} — \left(- \dfrac{4}{5}\right)\) \(- \dfrac{9}{16} — \left(- \dfrac{4}{5}\right)\) \(- \dfrac{7}{20} — \left(- \dfrac{5}{8}\right)\) 1 + \(\dfrac{7}{8}\) 1 + \(\dfrac{5}{6}\) 1 — \(\dfrac{5}{9}\) 1 — \(\dfrac{3}{10}\) \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{y}{2} + \dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{y}{4} — \dfrac{3}{5}\) \(\dfrac{x}{5} — \dfrac{1}{4}\) Определение и использование дробных операций В следующих упражнениях выполните указанные операции. Запишите ответы в упрощенной форме. (a) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}\) (b) \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{6} \) (а) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\) (b) \(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{6}\) (а) \(- \dfrac{2}{5} — \dfrac{1}{8}\) (b) \(- \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{8} \) (а) \(- \dfrac{4}{5} — \dfrac{1}{8}\) (b) \(- \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{8} \) (а) \(\dfrac{5n}{6} \div \dfrac{8}{15}\) (b) \(\dfrac{5n}{6} — \dfrac{8}{15}\) (а) \(\dfrac{3a}{8} \div \dfrac{7}{12}\) (b) \(\dfrac{3a}{8} — \dfrac{7}{12}\) (а) \(\dfrac{9}{10} \cdot \left(- \dfrac{11d}{12}\right)\) (b) \(\dfrac{9}{10} + \left(- \dfrac{11d}{12}\ справа)\) (a) \(\dfrac{4}{15} \cdot \left(− \dfrac{5}{q}\right)\) (b) \(\dfrac{4}{15} + \left( − \dfrac{5}{q}\right)\) \(- \dfrac{3}{8} \div \left(- \dfrac{3}{10}\right)\) \(- \dfrac{5}{12} \div \left(- \dfrac{5}{9}\right)\) \(- \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12}\) \(- \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{12}\) \(\dfrac{5}{6} — \dfrac{1}{9}\) \(\dfrac{5}{9} — \dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{3}{8}\cdot\left(- \dfrac{10}{21}\right)\) \(\dfrac{7}{12}\cdot\left(- \dfrac{8}{35}\right)\) \(- \dfrac{7}{15} — \dfrac{y}{4}\) \(- \dfrac{3}{8} — \dfrac{x}{11}\) \(\dfrac{11}{12a} \cdot \dfrac{9a}{16}\) \(\dfrac{10y}{13} \cdot \dfrac{8}{15y}\) Использование порядка операций для упрощения сложных дробей 9{2}}\) \(\dfrac{2}{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}}\) \(\dfrac{5}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}}\) \(\dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4} — \dfrac{2}{3}}\) \(\dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{6} — \dfrac{2}{3}}\) \(\dfrac{\dfrac{7}{8} — \dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{8}}\) \(\dfrac{\dfrac{3}{4} — \dfrac{3}{5}}{\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5}}\) Смешанная практика В следующих упражнениях упрощайте. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{12}\) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4}\) 1 — \(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{1}{10}\) 1 — \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{1}{12}\) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5}\) \(\dfrac{3}{8} — \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{8} — \dfrac{3}{4}\) 12\(\влево(\dfrac{9}{20} — \dfrac{4}{15}\вправо)\) 8\(\влево(\dfrac{15}{16} — \dfrac{5}{6}\вправо)\) \(\dfrac{\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{6}}{\dfrac{19}{24}}\) \(\dfrac{\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{10}}{\dfrac{14}{30}}\) \(\left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{1}{6}\right) \div \left(\dfrac{2}{3} — \dfrac{1}{2}\right )\) \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}\right) \div \left(\dfrac{5}{8} — \dfrac{1}{3}\right )\) В следующих упражнениях оцените заданное выражение. Ответы представьте в упрощенной форме, используя при необходимости неправильные дроби. х + \(\dfrac{1}{2}\), когда х = \(- \dfrac{1}{8}\) х = \(- \dfrac{1}{2}\) x + \(\dfrac{2}{3}\), когда х = \(- \dfrac{1}{6}\) х = \(- \dfrac{5}{3}\) x + \(\left(- \dfrac{5}{6}\right)\), когда х = \(\dfrac{1}{3}\) х = \(- \dfrac{1}{6}\) x + \(\left(- \dfrac{11}{12}\right)\), когда х = \(\dfrac{11}{12}\) х = \(\dfrac{3}{4}\) х — \(\dfrac{2}{5}\), когда х = \(\dfrac{3}{5}\) х = \(- \dfrac{3}{5}\) х — \(\dfrac{1}{3}\), когда х = \(\dfrac{2}{3}\) х = \(- \dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{7}{10}\) − w, когда ш = \(\dfrac{1}{2}\) ш = \(- \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{5}{12}\) − w, когда ш = \(\dfrac{1}{4}\) ш = \(- \dfrac{1}{4}\) 4p 2 q при p = \(- \dfrac{1}{2}\) и q = \(\dfrac{5}{9}\) 5m 2 n при m = \(- \dfrac{2}{5}\) и n = \(\dfrac{1}{3}\) 2x 2 y 3 когда x = \(- \dfrac{2}{3}\) и y = \(- \dfrac{1}{2}\) 8u 2 v 3 при u = \(- \dfrac{3}{4}\) и v = \(- \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{u + v}{w}\), когда u = −4, v = −8, w = 2 \(\dfrac{m + n}{p}\), когда m = −6, n = −2, p = 4 \(\dfrac{a + b}{a — b}\), когда a = −3, b = 8 \(\dfrac{r — s}{r + s}\), когда r = 10, s = −5 Математика на каждый день Декорирование Ларонда делает чехлы для декоративных подушек на свой диван. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт