Как умножить смешанное число на натуральное: Умножение и деление смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Содержание

Умножение дробей.

Навигация по странице:

Умножение дроби на натуральное число.

Определение.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же.

Примеры умножения дроби на натуральное число

Пример 1.

Найти произведение дроби и натурального числа:

3  · 2  =  3 · 2  =  6
7 7 7

Пример 2.

Найти произведение дроби и натурального числа:

1  · 4  =  4  =  2·2  =  2
2 2 2

Умножение обыкновенных дробей.

Примеры умножения обыкновенных дробей

Пример 3.

Найти произведение двух дробей:

3  ·  2  =  3 · 2  =  6
7 5 7 · 5 35

Пример 4.

Найти произведение двух дробей:

10  ·  3  =  10 · 3  =  2 · 5 · 3  =  5  =  5
9 4 9 · 4 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 6

Смотрите также:

Умножение смешанных чисел.

Примеры умножения смешанных чисел

Пример 5.

Найти произведение двух смешанных чисел:

2 1  ·  1 2  =  2 · 2 + 1  ·  1 · 3 + 2  =  5  ·  5  =  5 · 5  =  25  =  6 · 4 + 1  = 4 1
2 3 2 3 2 3 2 · 3 6 6 6

Пример 6.

Найти произведение смешанного числа и целого числа:

4 1  ·  6  =  4 · 3 + 1  ·  6  =  13 · 6  =  26
3 3 3

Пример 7.

Найти произведение смешаного числа и обыкновенной дроби:

2 1  ·  3  =  2 · 7 + 1  ·  3  =  15  ·  3  =  15 · 3  =  3 · 3  =  9  =  7 + 2  = 1 2
7 5 7 5 7 5 7 · 5 7 7 7 7

Смотрите также:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы

Определение

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.

Рациональная дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель дроби равен или больше ее
знаменателя, то дробь называется неправильной.

Пример

$\frac{3}{5}$    — правильная дробь;

$\frac{5}{3}$    — неправильная дробь.

Правильная дробь меньше единицы, неправильная — больше или равна единице.

Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель.
Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному.

Слишком сложно?

Смешанные числа (дроби) не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Если деление выполняется с остатком, то неполное частное дает искомое целое число, остаток стает числителем
искомой дробной части, а знаменатель совпадает со знаменателем неправильной дроби.

Пример

Задание. Представить неправильную дробь $\frac{16}{5}$ в виде суммы целого числа и правильной дроби.

Решение. Делим 16 на 5, получаем частное 3 и остаток 1. То есть $\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}$

Данное выражение можно было получить и так:

$\frac{16}{5}=\frac{15+1}{5}=\frac{15}{5}+\frac{1}{5}=3+\frac{1}{5}$

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.

Пример

$\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}=3 \frac{1}{5}$

Число $3 \frac{1}{5}$ является смешанным числом или смешанной дробью.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной
части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; записать полученную сумму числителем дроби, а
знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример

Задание. Записать смешанное число $4 \frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение. $4 \frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 5+3}{5}=\frac{23}{5}$

Читать следующую тему: десятичные дроби.

Конспект урока «умножение и деление смешанных дробей». Дроби

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем дробь;
  • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание!
Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание!
Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание!
В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I
.Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II
.Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III
.Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/
Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV.
Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел
. Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел
можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел
:

  • Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
  • Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

.

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5
и 10/9
. Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа
приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45
.

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

Умножение и деление смешанных чисел. Дроби. Умножение и деление дробей

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример
. Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

  • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
  • в конкретном примере неполное частное — целое;
  • и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример
. Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение
. 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

  • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
  • полученное произведение прибавляется к числителю;
  • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример
. Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение
. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ
: 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример
. Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

  • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
  • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
  • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
  • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
  • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример
. Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение
.

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

  • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
  • найти произведение числителей;
  • найти произведение знаменателей;
  • записать получившийся результат;
  • максимально упростить выражение.

Пример
. Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

  • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
  • найти произведение, несмотря на запятую;
  • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример
. Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение
. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ
: 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример
. Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение
. 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ
: 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1
. Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение
. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ
: 65.

Пример 2
. Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение
. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ
: 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1
. Найти произведение 56 и 0,01.

Решение
. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ
: 0,56.

Пример 2
. Найти произведение 4 и 0,001.

Решение
. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ
: 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части
, на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей
:

  • правильные;
  • неправильные;
  • смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями
для двух и более множителей правило не меняется:

a/
b
*
c/
d
=
a*c /
b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

  • 8/
    9
    *
    6/
    7
    =
    8*6 /
    9*7
    =
    48/
    63
    =
    16/2
    1
    ;
  • 4/
    6
    *
    3/
    7
    =
    2/
    3
    *
    3/7
    2*3 /
    3*7
    =
    6/
    21
    .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1
4/
11
=1 +
4/
11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2
1/
2
* 7
3/
5
=
2 +
1/
2
*
7 +
3/
5
= 2*7 + 2*
3/
5
+
1/
2
* 7 +
1/
2
*
3/
5
= 14 +
6/5
+
7/
2
+
3/
10
= 14 +
12/
10
+
35/
10
+
3/
10
= 14 +
50/
10
= 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть
, записать правило для этого действия можно формулой:

a *
b/
c
=
a*b /
c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 *
12/
15
=
12/
15
+
12/
15
+
12/
15
+
12/
15
=
48/
15
= 3
1/
5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d *
e/
f
=
e/
f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1
2/
3
* 4
1/
5
=
5/
3
*
21/
5
=
5*21 /
3*5
=7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a
b
c
=
a * b +
c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей
производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения
, но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем дробь;
  • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание!
Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание!
Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание!
В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения.
Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\)
\(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения.
Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.

Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями.
Произведение взаимно обратных дробей равно 1.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:


Как умножить дробь на дробь?

Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?

Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?

Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?

Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:


Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:


Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:


Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:


Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:


Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:


Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:


Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Презентация «Умножение смешанных чисел» — математика, презентации

Классная работа.

Умножение

смешанных чисел

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке

5.1.2.21

выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел.

Цели урока:

закрепить умения применять правила умножения обыкновенных дробей при решении задач и примеров; активизировать деятельность учащихся через разнообразные виды самостоятельных работ .

Критерии оценивания

Учащиеся:

-знают правило умножения обыкновенных дробей;

-знают правило умножения смешанных чисел;

-умеют сокращать дроби;

-правильно применяют правила при умножении обыкновенных дробей и смешанных чисел;

-умеют записывать правильный ответ.

Домашнее задание

581

Блиц опрос

1. Как умножить дробь на натуральное число?

2. По какому правилу выполняется умножение дробей?

3.Объясните, как выполнить умножение смешанных чисел ?

4. Какая дробь называется неправильной?

5. Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

6. Как сокращают дроби?

7. Какую дробь называют несократимой?

Математический диктант

13

27

8

3

28

1. Из дробей

Проверьте себя:

27

28

13

5

7

3

27

выпишите все правильные дроби.

28

7

Дескриптор: указывает правильные дроби .

41

23

12

6

9

2. Из дробей

6

12

41

41

23

11

12

5

12

23

5

выпишите все неправильные дроби.

Дескриптор: указывает неправильные дроби.

4

3. Представьте дробь в виде смешанного числа:

5

39

7

7

Дескриптор: записывает неправильную дробь в виде смешанного числа.

23

4. Представьте число в виде неправильной дроби:

5

3

4

5

Дескриптор:записывает смешанное число в виде неправильной дроби .

Монумент «Байтерек»

Групповая работа

Чтобы найти высоту этого сооружения, мы должны выполнить следующее задание:

Найти значение дроби: 

Дескриптор:

-выполняет сложение смешанного и натурального чисел;

—переводит смешанное число в неправильную дробь;

-выполняет сокращение дробей при необходимости;

-находит произведение обыкновенных дробей.

В подземном уровне монумента «Байтерек» расположен аквариум, основание которого представляет собой часть кольца , образованного концентрическими окружностями.Найти объем аквариума:

Дескриптор:

— переводит смешанное число в неправильную дробь;

-выполняет сокращение дробей при необходимости;

-находит произведение обыкновенных дробей.

Дворец Независимости

Здание Дворца Независимости состоит из трех этажей и имеет форму усеченной пирамиды. Найти протяженность первого этажа:

Дескриптор:

— переводит смешанное число в неправильную дробь;

-выполняет сокращение дробей при необходимости;

-находит произведение обыкновенных дробей.

Физкультминутка смешанное число – встаете, обыкновенная дробь – хлопаете, натуральное число – поднимаете руки вверх

1

 

90

 

23

Работа с учебником: №586

Применяя распределительное свойство умножения, вынесите общий множитель за скобки. Вычислите:

 

Дескриптор:

-находит общий множитель и выносит его за скобки;

-складывает либо вычитает дроби с одинаковыми знаменателями;

— складывает либо вычитает дроби с разными знаменателями;

-выполняет сокращение дробей при необходимости;

-находит произведение обыкновенных дробей.

Домашнее задание:

587

повторить правила.

Рефлексия:

На стикерах записываем свои впечатления об уроке, пожелания и прикрепляем к макету «Байтерек».

( подсчитываем свои смайлики)

Применение распределительного свойства умножения 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


51. Применение распределительного свойства умножения.


Напомню, что распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания записывается так.


(a + b) · c = a · c + b · c = ac + bc;


(a — b) · c = a · c — b · c = ac — bc.


Распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания позволяет решать примеры.


Пример 1. 35-13∙15=35∙15-13∙15=3∙155-1∙153=9-5=4.


Пример 2. Найдем значение произведения


2314∙7=2+314∙7=2∙7+314∙7=14+3*714=1512.


Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно:


  1. Умножить целую часть на это число.

  2. Умножить дробную часть на это число.

  3. Сложить полученные результаты.


Пример 3. Найдем значение выражения


538∙28+258∙28=538+258∙28=8∙28=2.


Используя распределительное свойство умножения, можно упрощать выражения вида:


58a+34a=58+34∙a=148а=134 а


34x-15x=34-15x=1520-420x=1120x.


Пример 4. Квартира состоит из двух комнат. Длина большей комнаты 5110, а ширина 4 м. Длина меньшей комнаты 4 м, а ширина 3110 м. На сколько площадь одной комнаты меньше площади другой?


Площадь первой комнаты


S=a∙b=5110∙4=5+110∙4=5∙4+110∙4=20+25=2025 м2.


Площадь второй комнаты


S=a∙b=3110∙4=3+110∙4=3∙4+110∙4=12+25=1225 м2.


Разница площадей 2025-1225=8 м2.


Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, можно:


  1. Перевести одно смешанное число в неправильную дробь.

  2. Умножить целую часть второго множителя на неправильную дробь.

  3. Умножить дробную часть второго множителя на неправильную дробь.

  4. Сложить полученные результаты.


Пример 5. Найдем значение выражения


225∙412=225∙92=2∙92+25∙92=9+95=1045 .

Смешанные числа

Число $\frac{19}{7}$ можно представить в виде суммы двух дробей, например так: $\frac{19}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{14}{7} + \frac{5}{7}$. Поскольку $\frac{14}{7} = 2$, то $\frac{19}{7} = 2 + \frac{5}{7}$.

Аналогично можно записать: $\frac{21}{5} = \frac{20 + 1}{5} = \frac{20}{5} + \frac{1}{5} = 4 + \frac{1}{5}$.

каждую из неправильных дробей $\frac{19}{7}$ и $\frac{21}{5}$ мы записали в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Так можно записать любую неправильную дробь, у которой числитель не делится на знаменатель.

Такие суммы, как $2 + \frac{5}{7}$, 4 + $\frac{1}{5}$, принято записывать так: $2\frac{5}{7}$, 4 + $\frac{1}{5}$ = $4\frac{1}{5}$. Число $2\frac{5}{7}$ читают: «две целых пять седьмых», число $4\frac{1}{5}$ читают: «четыре целых одна пятая».

Число $2\frac{5}{7}$  называют смешанным числом. В смешанном числе $2\frac{5}{7}$ натуральное число 2 называют целой частью смешанного числа, а дробь $\frac{5}{7}$ − его дробной частью.

Дробная часть смешанного числа − это правильная дробь.

Вот еще примеры смешанных чисел: $4\frac{1}{5}$, $1\frac{3}{10}$, $9\frac{5}{8}$.

Отметим, что, например, числа: $5\frac{7}{3}$, $1\frac{11}{10}$, $3\frac{7}{7}$ смешанными не являются, поскольку дроби $\frac{7}{3}$, $\frac{11}{10}$, $\frac{7}{7}$  не являются правильными.

Научимся записывать неправильную дробь в виде смешанного числа, т.е. выделять (находить) его целую  и дробные части.

Рассмотрим, например число $\frac{22}{5}$. Имеем: $\frac{22}{5}$ = $\frac{20 + 2}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $4$ + $\frac{2}{5}$ = $4\frac{2}{5}$. А как узнать, что число 22 следует представить именно так: 22 = 20 + 2?

Если выполнить деление с остатком числа 22 на число 5, то получим 22 = 4 * 5 + 2, где число 4 − неполное частное, число 2 − остаток, т.е. 22 = 20 + 2.

Заметим, что число 4 и есть ццелая часть смешанного числа, а число 2 − числитель его дробной части.

Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток − как числитель его дробной части.

Любую неправильную дробь, у которой числитель нацело делится на знаемнатель, можно представить в виде смешанного числа.

Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. Например: $\frac{28}{7}$ = $4$, $\frac{63}{9}$ = $7$, $\frac{17}{17}$ = $1$.

Пример 1. Преобразуйте неправильную дробь $\frac{212}{13}$ в смешанное число.

Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель:

Неполное частное 16 − это целая часть числа, а остаток 4 − числитель дробной части. Следовательно, $\frac{212}{13} = 16\frac{4}{13}$.

Преобразуем смешанное число $7\frac{2}{3}$ в неправильную дробь. Запишем:

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часьт числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в ее знаемнатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.

Например: $5\frac{4}{9}$ = $\frac{5 * 9 + 4}{9}$ = $\frac{49}{9}$.

Отметим, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

a + b = b + a − переместительное свойство сложения,

(a + b) + c = a + (b + c) − сочетательное свойство  сложения.

Воспользовавшись этими свойствами, найдем сумму $4\frac{2}{7}$ + $2\frac{3}{7}$.

Имеем: $4\frac{2}{7}$ + $2\frac{3}{7}$ = ($4$ + $\frac{2}{7}$) + ($2$ + $\frac{3}{7}$) = (4 + 2) + ($\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{7}$) = 6 + $\frac{5}{7}$ = $6\frac{5}{7}$.

Чтобы сложить два смешанных числа,  надо отдельно сложить их целые и дробные части.

Пример 2. Выполните сложение $3\frac{4}{9}$ + $5\frac{7}{9}$.

Решение. Имеем: $3\frac{4}{9}$ + $5\frac{7}{9}$ = $8\frac{11}{9}$ = 8 + $\frac{11}{9}$ = 8 + $1\frac{2}{9}$ = $9\frac{2}{9}$.

Научимся вычитать смешанные числа, дробные части котрых имеют равные знаменатели. Если дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого, то можно восспользоваться следующим правилом.

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной частей уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

Например: $8\frac{19}{20}$ − $6\frac{12}{20}$ = (8 − 6) + ($\frac{19}{20}$ − $\frac{12}{20}$) = 2 + $\frac{7}{20}$ = $2\frac{7}{20}$.

Пример 3. Выполните вычитание:

1) $1 — \frac{13}{17}$;

2) $5\frac{4}{13}$ − $2\frac{9}{13}$.

Решение:

1) Поскольку число 1 можно записать в виде дроби $\frac{17}{17}$, то получаем: 1 − $\frac{13}{17}$ = $\frac{17}{17}$ − $\frac{13}{17}$ = $\frac{4}{17}$.

2) Обратим внимание, что дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поэтому приведенным правилом воспользоваться нельзя. «Подготовим» уменьшаемое к вычитанию так: $5\frac{4}{13}$ = 5 + $\frac{4}{13}$ = (4 + 1) + $\frac{4}{13}$ = 4 + ($\frac{13}{13}$ + $\frac{4}{13}$) = $4\frac{17}{13}$. Имеем: $5\frac{4}{13}$ − $2\frac{9}{13}$ = $4\frac{17}{13}$ − $2\frac{9}{13}$ = $2\frac{8}{13}$.

правильных дробей | Неправильные дроби

Из неправильной дроби в смешанное число

  • Разделите числитель на знаменатель.

    Например: Преобразовать 5/4 в смешанное число

    `1`
    `4` `5`
    `4`
    `1`
  • Используйте частное как целое число.

    в нашем примере частное 1.

  • Используйте остаток как числитель правильной дроби.

    в нашем примере остаток равен 1.

  • Знаменатель останется прежним.

    в нашем примере знаменатель равен 4.

    Следовательно, требуемое смешанное число — `1 1 / 4`

Смешанное число в неправильную фракцию

Умножьте целое число на знаменатель.

Например: Преобразовать 2 1/4 в неправильную дробь

В нашем примере целое число 2 и знаменатель 4

, следовательно, 2 x 4 = 8

Добавьте произведение в числитель правильной дроби. Сумма является числителем неправильной дроби.

Здесь числитель 1
сложив числитель и произведение получим, числитель
= 8 + 1 = 9

Знаменатель останется прежним.Знаменатель

= 4

Следовательно, неправильная дробь — `9/4`

Как умножить дроби: 7 удивительных упражнений, которые стоит попробовать

Поздравляем! Вы преуспели в обучении умножению (за шесть простых шагов). Но теперь пора научить ваших учеников умножать дроби. Глубокие вдохи.
Учителя и ученики могут утверждать, что эта концепция более устрашающая, чем переход от вычитания и сложения к умножению.К счастью, существуют стратегии, которые должны упростить понимание умножения дробей — и мы собрали их для вас в виде четкого руководства. В этой статье вы найдете: Но сначала быстро напомним.

Что такое умножение?

Проще говоря, умножение складывает одно и то же число снова и снова . Хорошие новости для ваших учеников: если они могут складывать, они могут умножать! Вместо того, чтобы писать 1 + 1 + 1 + 1 , есть гораздо более быстрый способ чтобы написать эту сложную задачу: 1 × 4 .Вот некоторые примеры:

Предоставлено: класс мисс Жираф [/ caption]

Помимо умножения целых чисел, вы также можете умножать на целые числа, десятичные дроби и, сегодня, дроби и .

Определение трех типов дробей

Дробь обычно состоит из двух частей:

  • Числитель — верхнее число , которое указывает, сколько частей (целого) у вас есть.
  • Знаменатель — нижнее число , которое относится к общему количеству частей, составляющих целое.

Предоставлено: Бретт Берри, [/ caption]

1. Правильные дроби

У правильной дроби числитель меньше , чем знаменатель. Например: ½, ⅔, ¾, ⅘, ⅚

2. Неправильные дроби

Неправильная дробь хотя и похожа по структуре, но неправильная дробь имеет числитель больше, чем знаменателя. Примечание . Когда числитель равен знаменателю, это считается «неправильным», потому что вы можете преобразовать его в целое число.То же правило применяется к неправильным дробям, таким как ²⁶⁄₁₃, которые при уменьшении становятся целыми (т. Е. Двумя). Например: ³⁄₂, ⁵⁄₃, ⁷⁄₆, ¹¹⁄₁₀, ⁸⁄₈

3. Смешанные фракции

В отличие от первых двух, смешанная фракция состоит из правильной дроби и целого числа. Например: 3 ½, 7 ⅔, 2 ¾, 6 ⅘, 1 Хорошо, так что эти странные числа, как-то связанные с пиццей, существуют. Но каковы правила умножения дробей?

Как умножать дроби

Хорошие вещи бывают тройками, включая три простых шага, которым должны следовать ваши ученики при обучении умножению дробей:

  1. Умножение числителей ( верхние числа )
  2. Умножение знаменателей ( нижние числа )
  3. При необходимости упростите или уменьшите дробь

И прежде чем ваши увлеченные ученики спросят, да — в отличие от сложения дробей, вы можете умножить две дроби с разными знаменателями .Давайте вместе рассмотрим пример!

Модели площадей для дробного умножения

Идеально подходящие для наглядных учеников в вашем классе, модель площадей эффективно иллюстрирует, как выглядит одна часть, умноженная на другую (или «из»). Как вы можете видеть на иллюстрации ниже, создавая модель площади умножить дробь легко:

  1. Нарисуйте дроби, которые вы умножаете, в отдельных квадратах, каждый используя свой цвет
  2. Объедините рисунки в одно поле, используя новый цвет для частей, которые перекрывают друг друга
  3. Чтобы написать произведение, спросите себе два вопроса:
    • Сколько коробок имеют оба цвета? Это будет ваш числитель
    • Сколько всего ящиков? Это будет ваш знаменатель

Фото: госпожаКоггинс [/ caption]

Броское напоминание

Ой! И если ваши ученики когда-нибудь забудут шаги, просто напомните им спеть эту песню:

Умножение дробей? Это не большая проблема.
Сделайте верхний раз верхний поверх нижнего раза нижний.
И прежде чем попрощаться, не забудьте упростить!

Умножение дробей на целые числа

Источник: Эрика Нахера, [/ caption]

Умножение целых чисел и дробей может озадачить ваших учеников.Почему? Потому что кажется, что есть только одна дробь вместо двух, но когда ученики учатся умножать дроби на целые числа, они могут переписывать их как дроби. Вместо 4, например, превратите его в дробь ⁴⁄₁. Теперь умножать проще и понятнее. Например, они могут переписать 2 × ⁄₁₃:

Solve : 2 × ⁄₁₃
Записываем целое число как дробь : ²⁄₁ × ⁵⁄₁₃
Умножение числителей : 2 × 5 = 10
Умножить знаменатели : 1 × 13 = 13
Новая дробь : ¹⁰⁄₁₃

Примечание : Если учащиеся борются с целыми числами, объясните, что они могут рассматривать целое число как верхнее число, а нижнее число всегда равно единице.

Умножение неправильных дробей

Предоставлено: Miranda Weenusk [/ caption]

Вы умножаете неправильные дроби так же, как правильные. Однако иногда ученики могут получать неправильные дроби. Возьмите эту задачу в качестве примера:

Решите : ⁄₃ × ⁷⁄₆
Умножение числителей : 5 × 7 = 35
Умножить знаменатели : 3 × 6 = 18
Новая дробь : ³⁵⁄₁₈

Если учащиеся знакомы со смешанными дробями, они могут изменить неправильную дробь на смешанную.В данном случае это смешанное число будет 1 ⁄₁₈, но вы можете узнать больше о смешанных числах ниже!

Умножение смешанных дробей

Прежде чем научить студентов умножать дроби на смешанные числа, им необходимо знать три шага:

  1. Преобразование любых смешанных дробей в неправильные дроби
  2. Умножение неправильных дробей
  3. Преобразование конечного произведения обратно в смешанное число

Чтобы выполнить первый шаг, научите своих учеников , как составить смешанное число «MAD» . Предоставлено: Fabulous Finch Facts [/ caption]

Помните: смешанное число состоит из целого числа и правильной дроби. Чтобы завершить первый шаг и преобразовать смешанную дробь в неправильную, вам необходимо:

  • Найти новый числитель — Умножить целое число на знаменатель, затем прибавить к нему исходный числитель.
  • Оставить тот же знаменатель — Знаменатель останется без изменений.

Отсюда полезное сокращение:

M ultiply
A дд
D enominator

Шаг второй, умножьте неправильные дроби, как мы проиллюстрировали перед этим разделом.Шаг третий: преобразуйте неправильную дробь обратно в смешанное число. Вот небольшой стишок, который поможет вашим ученикам запомнить, как это делать:

С неправильной дробью,
деление это акция!

Предоставлено: Heather’s Show and Tell [/ caption]

Давайте воспользуемся примером, изображенным ранее: ⁄₅. Если деление — это действие, вам нужно разделить числитель (16) на знаменатель (5) и посмотреть, есть ли остаток.Пять переходит в 16 трижды равномерно , в результате получается 15. Это означает, что вся числовая часть смешанного числа будет три . Но это не делится идеально, что вы можете видеть по остатку от единица. . Таким образом, дробная часть смешанного числа — это остаток от знаменателя исходной дроби (⅕). Как выглядит смешанная дробь, это 3 ⅕ . Более наглядное пошаговое руководство по умножению смешанных чисел см. это четырехминутное видео из Khan Academy: И это то, что вам нужно знать при умножении дробей и смешанных чисел.

Две основные ошибки, которые делают ученики при умножении дробей

Хотя некоторые ученики быстро усваивают ваши уроки умножения дробей, другие могут бороться с этими новыми концепциями. Более ранние учителя улавливают эти заблуждения, тем скорее ученики смогут извлечь уроки и исправить свои ошибки. к практическому руководству What Works Информационного центра Института педагогических наук «Разработка эффективных инструкций по дробям для от детского сада до 8-го класса» — это одни из наиболее распространенных заблуждений в отношении обучения умножению дробей.

1. Полагают, что целые числа имеют тот же знаменатель, что и дроби в задаче

Группа из восьми экспертов гида признала, что это заблуждение может побудить учащихся взять задачу, такую ​​как 4 — ⅜, и переписать ее как ⁄₈ — ⅜, для неправильный ответ ⅛. При представлении смешанного числа учащиеся с таким неправильным представлением могут добавить целое число в числитель, как в ³¹⁄₃ × ⁶⁄₇ = (³⁄₃ + ⅓) × ⁶⁄₇ = ⁴ ⁄₃ × ⁶⁄₇ = ²⁴⁄₂₁. Помощь учащимся в понимании взаимосвязи между смешанными числами и неправильными дробями, а также в том, как переводить одно в другое, имеет решающее значение для работы с дробями.

Как помочь своим ученикам

Избегайте соблазна взорвать базовые уроки. Найдите время, которое нужно вашим ученикам, чтобы помочь им понять взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами и как преобразовать их из одного в другое.

Предоставлено: Once Upon a Creative Classroom [/ caption]

2. Оставить знаменатель без изменений

Студенты могут совершить ошибку, забыв умножить равные знаменатели.Вероятно, это связано с тем, что вам не нужно касаться равных знаменателей при сложении дробей. Например, они могут увидеть ⅔ × ⅓ и неправильно ответить ⅔ вместо ²⁄₉.

Как помочь своим ученикам

В практическом руководстве члены экспертной группы предлагают «объяснить концептуальную основу умножения дробей, используя единичные дроби (например, ½ × ½ = половина половины = ¼)». В частности, учителя могут показать что проблема ½ × ½ на самом деле спрашивает, что такое ½ от ½, что подразумевает, что произведение должно быть меньше любой умножаемой дроби.Вербализация этого заблуждения полезна, но особенно эффективна визуализация. Войдите в стену из фракции ! Дробные стены — отличный способ помочь ученикам увидеть, как в данном случае выглядит абстрактная половина из половины (то есть одна четверть).

Поболтайте со своей суперзвездой @ rudstony4 в эти выходные! Посмотрите вместе на Стену дробей … спросите их о нашем ключевом словарном запасе … НОМЕР, ЗНАЧИТЕЛЬ, СМЕШАННОЕ ЧИСЛО, ЭКВИВАЛЕНТ … сколько они могут вам объяснить ?! #rudstonmaths рис.twitter.com/V02vgd9SYV

— Класс 4 (@ Rudstony4) 1 февраля 2019 г.

Теперь вы знаете о болевых точках многих учеников, когда учились умножать дроби, что дальше? Давайте рассмотрим, как закрепить уроки дроби — и почему рабочие листы могут быть не лучшей стратегией.

Смерть рабочих листов?

Доктор Стивен Камарата, специалист по развитию детей и отклонениям в развитии, считает, что естественное любопытство детей идет под откос. В эссе для журнала Psychology Today он выразил недовольство предположением, что заполнение рабочих листов напрямую связано с улучшением обучения.

Но данные о достижениях в США по сравнению с остальным миром говорят об обратном. По иронии судьбы, по мере того, как все больше и больше листов вводятся в ранние и ранние классы и становятся все более механическими, скучная домашняя работа вынуждает развивающиеся умы, успеваемость учащихся в США продолжает снижаться.

Источник: Источник: NAEP Data Explorer, Национальный центр статистики образования [/ caption]

Отчет Pew Center for Research указал на снижение и без того удручающих оценок достижений в США.Д-р Камарата подчеркнул:

Лишь 34% четвероклассников и 27% восьмиклассников были оценены как хорошо владеющие математикой в ​​2011 году, и этот показатель снизился до 33% для четвероклассников и 25% для восьмиклассников в 2015 году (последний год, эти данные Невозможно положительно повлиять на эти результаты: в настоящее время более двух третей четвероклассников и трое из четырех восьмиклассников не владеют математикой . Это 38-е место в мире.

Означает ли это, что школы должны обходиться без рабочих листов? Не обязательно.Корреляция — это не причинная связь. Фактически, многие учителя и ученики добились успеха с рабочими таблицами. Однако преподаватели должны понимать, что образование быстро меняется — от рабочих листов к классным технологиям. Итак, вот несколько творческих способов научить умножению дробей — без рабочих листов!

7 Интересные примеры для обучения студентов умножению дробей

1. Prodigy

Prodigy — это бесплатная математическая игра по учебной программе, которую используют более миллиона учителей и 50 миллионов студентов по всему миру.Он предлагает материалы по всем основным математическим темам с 1-го по 8-й класс. Что касается умножения дробей, Prodigy может помочь студентам научиться:

  • Умножать дробь на целое число
  • Умножать две дроби
  • Умножать целое число на пропущенную дробь
  • Умножать две дроби с помощью задач со словами
  • И многое другое

Тематическое исследование 2018 года показало, что школы, использующие Prodigy, лучше справлялись со стандартизированными тестами и получили более высокие результаты.Игра Prodigy отправит ваших учеников в увлекательное и познавательное путешествие, вдохновленное фэнтези.

2. Флип-it фракции

Предоставлено: MathFileFolderGames [/ caption]

Для этого задания разделите учащихся на группы по четыре человека. Затем они разделятся на команды по два человека, одна из которых будет игроком А, а другая — игроком Б. Раздайте каждой группе колоду перетасованных карт (тузы = 1, валеты = 10, дамы = 11 и короли = 12).Как показано на картинке выше, каждый ученик рисует карточку с числителем (над карандашом) и карточку со знаменателем (под карандашом). Оба игрока А перепишут и умножат дроби на бумаге, а затем, если возможно, упростят произведение. После того, как они ответят, игроки Б. сделают то же самое. В зависимости от вашего расписания вы можете назначить всю колоду или дать учащимся таймер, чтобы они выполнили столько, сколько они могут. Попросите учащихся сдать свои листы ответов после задания для отметьте, или ответьте на 10+ вопросов вместе в классе. Примечание : Вы также можете назвать эту игру «Slam-it fractions», заменив карты и карандаши на домино.

3. Умножение дроби BINGO

Кредит: jimmiehomeschoolmom [/ caption]

Каждый ученик получает заполненную дробью карточку бинго вместе с небольшими листами бумаги (или «фишками бинго») с соответствующими задачами умножения дробей. Когда вы говорите «ИДТИ», они могут начать решать каждую задачу одну за другой, закладывая фишку. поверх правильной дроби.Вам решать, хотите ли вы, чтобы они заполнили линию или всю карту бинго. Вы также можете выбрать, будут ли ответы на карточку бинго упрощенными. Для простоты вы можете дать всем одну и ту же карточку бинго с одинаковыми вопросами. Таким образом, вы сможете потом решать каждую проблему и вместе решать, как ее решать. Примечание : Вы можете использовать этот и последующие примеры в качестве формирующих оценок для оценки успеваемости учащихся и раннего выявления неправильных представлений.

4. Задачи со словами

Пятиклассники сегодня много размышляли над математикой. ❤️Они работали над концептуальным пониманием умножения дроби на целое число. @svmimac @BuenaVistaWCSD pic.twitter.com/Bg7HapJc82

— Келлианна Боксер (@BVBockser) 25 января 2019 г.

Задачи со словами — прекрасный способ сделать уроки математики актуальными для жизни ваших учеников. Умение умножать дроби может показаться им чуждым, но простая история может полностью изменить их точку зрения. примерно о дробях, а о математике в целом.Вот пример задачи со словом:

У вас есть ½ пакета чипсов в шкафу, но вы съели ½ из них после обеда.
Сколько всего пакета вы съели?
(Не сокращайте свой ответ до самых простых слов.)

Конечно, это простой пример. Но секунду назад эта дробь была просто числом выше и ниже короткой линии. Однако теперь эта «повседневная» проблема слов сделала умножение дробей применимым к реальной жизни.

5. Война фракций

Предоставлено: Шерри Фишер [/ caption]

Это занятие для двух человек адаптировано из карточной игры «Война. Примечание : Многие учителя отходят от решения задач на основе скорости, потому что это не обязательно демонстрирует понимание учащимися. В вашем классе также могут быть дети, которые нервничают из-за необходимости быстро заниматься математикой и поэтому не успевают. Итак, лучше всего оценить свой класс, прежде чем играть в эту версию. Сидя бок о бок, у каждого ученика будет половина колоды карт фракций (которую вы можете скачать здесь). Перевернув стопку карт, каждый ученик вытянет карту одновременно .Первый ученик, правильно умноживший две дроби, добавляет эти карты в свою колоду. Студент побеждает, если в итоге у него в руке оказывается вся колода карт дробей или у него есть большинство карт в конце, например, 20. Более того, быстрое размышление на месте этого упражнения с дробями может помочь улучшить умственные математические навыки ваших учеников. В качестве альтернативы вы можете запустить версию этой игры, позволяющую всем играть против вас. Кому не нравится возможность перехитрить своего учителя !? Разделите ваш класс на пять групп.Вы перейдете в первую группу и встретитесь с одним вопросом, прежде чем переходить ко второй группе и так далее. Помните: цель этой версии не в том, чтобы отвечать перед учениками, а в том, чтобы помочь им развить умственные математические способности. Это позволяет ученикам отвечать коллективно, чтобы не выделять детей, которые могут испытывать трудности с умственной математикой.

6. Пищевые фракции

Удивительно, как дети увлекаются, когда речь идет о ЕДА! Цель: найти любимый рецепт, а затем рассчитать каждый ингредиент для всех 90 пятиклассников! Им это нравится! Подлый способ попрактиковаться в умножении дробей.;) @Falcons_BMS #FalconsInFlight pic.twitter.com/M6Rg7zaXXQ

— Эмили Либберт (@EmilyLibbert) 24 января 2019 г.

Дети любят поесть — это не секрет! Так почему бы не включить это в свой план урока? Учительница в твите выше заставила своих детей попрактиковаться в умножении дробей, преобразовывая рецепты вкусных блюд. Вы можете попросить каждого ученика выбрать свою любимую еду и умножить ингредиенты, чтобы накормить весь класс. Стимул тоже может помочь! Например, после того, как все переработали свою любимую еду, выберите безопасную закуску, которая понравится классу.Поднимите оригинальный рецепт. Теперь пусть ваши ученики поработают вместе над умножением ингредиентов, и, если они сделают это правильно, весь класс получит домашнюю (или купленную в магазине) выпечку!

7) Вымпел дробной части

Предоставлено: Scaffolded Math [/ caption]

Вырежьте для каждого ученика листы бумаги в форме ленты или треугольника. Вверху напишите «Я могу умножить…» Ниже вы будете включать:

  • Модель площади, иллюстрирующую дроби, которые они умножают
  • Сама задача умножения (с местом для демонстрации их работы)
  • Пробел в внизу: «Мой продукт сокращается до… »

После того, как каждый ученик завершит и украсит свой вымпел умножения дробей, приклейте их или скотчем к веревочке! Это активное учебное задание не только поможет научиться умножать дроби, но и придаст вашим ученикам уверенность. Это их работа на стене, задача , которую они решили, и все, могут ее увидеть. Это будет выглядеть примерно так:

Хотите научить своих учеников умножать дроби сейчас?

Мы на это надеемся! Умножение дробей может оказаться непростой задачей — выучить и научить.Надеемся, что тщательная разбивка по различным типам дробей, их умножение и увлекательное обучение помогут обогатить опыт преподавания и обучения ваших учеников, соответственно.

Читать далее: Как разделить дроби за 3 простых шага

Умножение смешанных чисел

(«Смешанные дроби» также называются «Смешанными числами»)

Для умножения смешанных дробей:

Пример:
Что такое 1

3 8 × 3?

Подумайте о пицце.

1 3 8 — это 1 пицца и 3 восьмых другой пиццы.

Сначала преобразуйте смешанную дробь (1 3 8 ) в неправильную дробь ( 11 8 ):

Разрежьте всю пиццу на восьмые, а сколько у вас всего восьмых?

1 лот из 8 плюс 3 восьмых = 8 + 3 = 11 восьмых.

Теперь умножьте это на 3:

И, наконец, преобразовать в смешанную дробь (только потому, что исходная дробь была в этой форме):

А вот как это выглядит в одной строке:

1 3 8 × 3 = 11 8 × 3 1 = 33 8 = 4 1 8

Другой пример:
Что такое 1

1 2 × 2 1 5 ?

Выполните шаги, указанные выше:

  1. преобразовать в неправильные дроби
  2. Умножение дробей
  3. преобразовать результат обратно в смешанные дроби

Шаг за шагом это:

Преобразовать смешанные фракции в неправильные:

1 1 2 = 2 2 + 1 2 = 3 2

2 1 5 = 10 5 + 1 5 = 11 5

Умножение дробей (верхние числа умножаются, нижние числа умножаются):

3 2 × 11 5 =

3 × 11 2 × 5 =

33 10

Преобразовать в смешанное число

33 10 = 3 3 10

Если вы умен, вы можете сделать все в одной строке, например:

1 1 2 × 2 1 5 = 3 2 × 11 5 = 33 10 = 3 3 8 10

Еще один пример:
Что такое 3

1 4 × 3 1 3 ?

Преобразовать смешанные фракции в неправильные:

3 1 4 = 13 4

3 1 3 = 10 3

Умножить

13 4 × 10 3 = 130 12

Преобразовать в смешанное число:

130 12 = 10 10 12

И упростить:

10 10 12 = 10 5 6

Вот он в одной строке:

3 1 4 × 3 1 3 = 13 4 × 10 3 = 130 12 = 10 10 9008 12 10 = 6

У этого есть отрицательные значения: что такое −1

5 9 × −2 1 7 ?

Преобразовать смешанные фракции в неправильные:

1 5 9 = 9 9 + 5 9 = 14 9
2 1 7 = 14

08 7 + + = 15 7

Затем умножьте неправильные дроби (Примечание: отрицательное умножение на отрицательное дает положительное) :

−14 9 × −15 7 = −14 × −15 9 × 7 = 210 63

Теперь мы можем упростить.Здесь мы используем два шага, сначала на 7 (21 и 63 оба кратны 7), затем снова на 3. Но это можно сделать за один шаг, разделив на 21:

210 63 = 30 9 = 10 3

Наконец преобразовать в смешанную дробь (потому что это был стиль вопроса):

10 3 = (9 + 1) 3 = 9 3 + 1 3 = 3 1 3

Умножение дробей и смешанных чисел

Умножение дробей

Если у вашей подруги четверть пирога, а она дает вам половину, сколько пирога у вас есть? Или, другими словами, какая половина от четверти? Или, чтобы выразить это в математической записи:

1 /2 x 1 /4 =?

Чтобы получить ответ, умножьте числители (верхние части) и знаменатели (нижние части) по отдельности.

В этом случае сначала мы умножаем числители:

1 x 1 = 1

Затем мы умножаем знаменатели:

2 x 4 = 8

В ответе числитель 1 и знаменатель 8. Другими словами:

1 /2 x 1 /4 = 1 x 1 /2 x 4 = 1 /8

У вас одна восьмая часть пирога.

Другой пример

Попробуем другой.

2 /9 x 3 /4 =?

Сначала умножаем числители:

2 x 3 = 6

Затем умножаем знаменатели:

9 x 4 = 36

В ответе числитель 6 и знаменатель 36.Другими словами:

2 /9 x 3 /4 = 2 x 3 /9 x 4 = 6 /36

Это можно дополнительно уменьшить:

6 6 /36 6 = 1 /6

(См. Уменьшение дробей.)

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить два смешанных числа или смешанное число и дробь, сначала преобразуйте каждое смешанное число в дробь. Затем умножьте дроби.

Что такое 2 1 /3 x 1 /4 =?

Сначала запишем 2 1 /3 в виде дроби:

2 1 /3 = 7 /3

Затем умножаем дроби.

7 /3 x 1 /4 =?

Сначала умножаем числители:

7 x 1 = 7

Затем умножаем знаменатели:

3 x 4 = 12

В ответе числитель 7 и знаменатель 12. Другими словами:

2 1 /3 x 1 /4 = 7 x 1 /3 x 4 = 7 /12

Рабочие листы для умножения дробей

Вы здесь: Главная → Рабочие листы → Умножение дробей

Создавайте неограниченное количество рабочих листов для умножения дробей и смешанных чисел (4-7 классы)! Рабочие листы могут быть выполнены в формате html или PDF — оба легко распечатать.Формат html можно даже редактировать. Вы также можете настроить их, используя генератор ниже.

Дети начинают изучение умножения дроби с того, что учатся умножать дробь на целое число (например, 5 × 2/3) — обычно в 4-м классе. Затем в 5 классе они учатся умножать дроби на дроби и смешанные числа. В 6 и 7 классах ученики просто практикуют умножение дробей, используя большие знаменатели и более сложные задачи.

Перейти к:

Основные инструкции для рабочих листов

Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален.Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку под названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем, , отредактируйте его, , в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда сгенерированный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

  • Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
  • Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Таблицы умножения на дроби: 4 класс

Вот еще рабочие листы для 4 класса.

Рабочие листы умножения на дроби: 5 класс

В 5 классе ученики учатся умножать дроби на дроби и смешанные числа на смешанные числа.

Вот еще несколько листов с дробями для 5 класса.

Таблицы умножения на дроби: 6-7 классы

Учащиеся 6 и 7 классов должны использовать рабочие листы 5 класса для проверки умножения дробей. Кроме того, они могут использовать следующие рабочие листы, которые включают простые одношаговые дробные уравнения.

Вот еще несколько листов с дробями для 6-7 классов.

Генератор дробных листов

Используйте генератор для создания настраиваемых рабочих листов для операций с дробями.

Генератор дробных листов

Смешанная фракция — Math28

Содержимое

Что такое смешанные фракции?

Смешанная дробь представляет собой целое число, а правильная дробь, другими словами, соответствует сумме целого числа плюс дробная часть.

Где 3 — целое число, а 1/2 — правильная дробь.

Примечание : Правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя.

Желательно знать основные понятия дробей, чтобы лучше понимать используемые термины и операции, которые представлены.

Узнайте больше о: « Fractions ». →


Как решить смешанные фракции?

В зависимости от проблемы дробь может быть представлена ​​как смешанная или неправильная, по этой причине вы должны сначала иметь базовые концепции преобразования смешанной дроби в неправильную и наоборот из правильной дроби в смешанную.

Примечание : Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя.

Если число задается целым числом и десятичными знаками, десятичная часть должна быть сначала преобразована в дробь.

Подробнее о: « Преобразование десятичных дробей в дроби ». →

Преобразование несобственных фракций в смешанные

Неправильные фракции могут быть представлены как смешанные фракции, состоящие из целой части и дробной части.

Например, чтобы преобразовать неправильную дробь 18/4 в смешанную дробь, преобразование выполняется следующим образом:

  1. Дробь делится.

    4
    4 18
    -16
    2

  2. После деления частное указывает целую часть, а остаток указывает дробную часть.

    4 ← частное
    4 18
    -16
    2 ← остаток

  3. Дробная часть состоит из остатка в числителе и делителя в знаменателе (знаменатель сохраняется).
  4. Неправильная дробь, в этом случае 18/4 становится смешанной дробью с 4 целыми числами и 2/4.

Преобразование смешанных дробей в неправильные

Смешанные фракции могут быть преобразованы в неправильные дроби.

Например, чтобы преобразовать смешанную дробь 4 и 2/3 в неправильную дробь, преобразование выполняется следующим образом:

  1. Целая часть умножается на знаменатель дроби. 4 x 3 = 12
  2. Результат умножения складывается с числителем дроби.
  3. После завершения умножения и сложения результат помещается в числитель, а знаменатель дроби остается прежним.

Операции со смешанными фракциями

Чтобы иметь возможность решать операции со смешанными фракциями, рекомендуется преобразовать любую смешанную фракцию в неправильную фракцию.

Сумма смешанных фракций

Чтобы решить эту проблему, выполните следующие действия:

  1. Преобразование смешанных дробей в неправильные.
  2. Выполните соответствующую операцию, чтобы вычислить сумму дробей.

Подробнее о: « Сумма дробей ». →

Вычитание смешанных дробей

Чтобы решить эту проблему, выполните следующие действия:

  1. Преобразование смешанных дробей в неправильные.
  2. Выполните соответствующую операцию, чтобы решить проблему вычитания дробей.

Подробнее о: « Вычитание дробей ». →

Умножение смешанных дробей

Чтобы решить эту проблему, выполните следующие действия:

  1. Преобразование смешанных дробей в неправильные.
  2. Выполните соответствующую операцию, чтобы решить умножение дробей.

Узнайте больше о: « Умножение дробей ».→

Подразделение смешанных фракций

Чтобы решить эту проблему, выполните следующие действия:

  1. Преобразование смешанных дробей в неправильные.
  2. Выполните соответствующую операцию, чтобы решить разделение на дроби.

Подробнее о: « Деление на дроби ». →

смешанных чисел: как сложить, вычесть, умножить и разделить — видео и стенограмма урока

Смешанные числа и неправильные дроби

Иногда необходимо выразить дробь, используя только числитель и знаменатель, а не целую часть, как в числе 7/2.В этом числе 7 — числитель, а 2 — знаменатель. Когда смешанное число изменяется на форму, в которой есть только числитель и знаменатель, оно называется неправильной дробью .

Неправильная дробь представляет те же значения, что и ее смешанный числовой эквивалент, но целые числовые части сдвинуты в числитель. Это делает числитель неправильной дроби больше знаменателя. Вот шаги, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную форму:

  1. Умножьте числитель на целое число.
  2. Добавьте произведение в числитель. Это число будет новым числителем.
  3. Знаменатель неправильной дроби совпадает со знаменателем исходного смешанного числа.

Например, чтобы заменить 3 1/2 на неправильную дробь:

  1. Сначала умножьте знаменатель 2 на целое число 3, получив результат 6.
  2. Добавьте 6 к числителю 1, что составляет 7. Это число будет новым числителем.
  3. В знаменателе останется 2.Таким образом, неправильная форма дроби для 3 1/2 — 7/2.

Умножение смешанных чисел

Одна из причин, по которой вам нужно знать, как преобразовать смешанные числа в неправильную форму, заключается в том, что все смешанные числа перед умножением должны быть заменены на неправильные дроби. Например, чтобы умножить 3 2/3 * 1 2/5, сначала измените оба смешанных числа на неправильную форму. Затем, как и в случае любого дробного умножения, умножьте числитель одного на числитель другого, а знаменатель одного на знаменатель другого.Вот шаги:

Замените 3 2/3 на неправильную дробь. 3 2/3 = (3 * 3 + 2) / 3 = 11/2. Замените 1 2/5 на неправильную дробь. 1 2/5 = (5 * 1 + 2) / 5 = 7/5.
Умножьте числители, чтобы получить числитель конечного продукта. Умножьте знаменатели, чтобы получить знаменатель нового продукта. (11/3) * (7/5) = (11 * 7) / (3 * 5) = 77/15

Не забудьте упростить ответ, если можете.

Разделение смешанных чисел

Еще одна причина, по которой вам нужно знать, как преобразовать смешанные числа в неправильную форму, заключается в том, что смешанные числа необходимо преобразовать в неправильные дроби перед делением.

Во-первых, вспомните, что для деления любой дроби вы умножаете ее на обратную величину делителя, где делитель — это вторая дробь в задаче деления. Например, задача 2/3 ÷ 1/5 = 2/3 * 5/1 = 10/3.

Теперь попробуем 4 3/4 ÷ 1 2/5:

  1. Заменить все смешанные числа на неправильные дроби: 4 3/4 ÷ 1 2/5 = 19/4 ÷ 7/5
  2. Замените деление на умножение и переверните делитель: 19/4 ÷ 7/5 = 19/4 * 5/7
  3. Умножьте две дроби: 19/4 * 5/7 = 95/28.

Сложение и вычитание общих знаменателей

Чтобы сложить или вычесть любые дроби, они должны иметь один и тот же знаменатель, называемый общим знаменателем . Затем мы просто складываем или вычитаем числители. Если в задаче смешанное число, сложение и вычитание должны выполняться отдельно между целыми и дробными частями.

  • Пример сложения: 2 1/5 + 3 2/5 = 2 + 3 + (1 + 2) / 5 = 5 + 3/5 = 5 3/5
  • Пример вычитания: 10 7/9 — 6 2/9 = (10-6) + (7-2) / 9 = 4 + 5/9 = 4 5/9

Обратите внимание, что вычитание происходило только между целыми числами или между числителями.

Сложение и вычитание в отличие от знаменателей

Если знаменатели не совпадают, мы должны выполнить следующие шаги:

  1. Найти общий знаменатель, который является кратным указанным знаменателям.
  2. Найдите эквивалентные дроби с общим знаменателем.
  3. Сложить или вычесть.

Применим эти шаги к задаче 2 1/4 + 3 1/3.

  1. Найдите общий знаменатель 3 и 4, равный 12.
  2. Поскольку 1/4 * 3/3 = 3/12, дробь 2 3/12 равна 2 1/4. Поскольку 1/3 * 4/4 = 4/12, дробь 3 4/12 эквивалентна 3 1/3.
  3. Сложите эквивалентные дроби с общим знаменателем: 2 3/12 + 3 4/12 = 5 7/12

Заимствование со смешанными числами

Иногда вам нужно заимствовать из целого числа, когда вы вычитаете смешанные числа. Например, давайте решим задачу 6 1/4 — 2 1/3.

Из показанной здесь задачи мы знаем, что 1/4 * 3/3 = 3/12 и 1/3 * 4/4 = 4/12, поэтому эта задача вычитания становится 6 3/12 — 2 4/12.

Но теперь есть проблема, потому что 3 недостаточно велик, чтобы вычесть 4 из. Именно здесь на помощь приходит заимствование. Поскольку каждое целое состоит из 12 частей, мы можем убрать 1 из 6 и перенести эти двенадцать частей на числитель 3/12. Выполните следующие действия:

  1. Найдите эквивалентные дроби с общими знаменателями. 6 1/4 — 2 1/3 = 6 3/12 — 2 4/12.
  2. Заимствуем 1 из 6, чтобы получилось 5, и прибавляем эти 12 частей к числителю 3/12:
    6 3/12 — 2 4/12
    = 5 (3 + 12) / 12 — 2 4/12
    = 5 15/12 — 2 4/12
  3. Вычтите целое число из целого числа и числитель из числителя:
    5 15/12 — 2 4/12
    = (5-2) + (15-4) / 12
    = 3 + 11/12
    = 3 11/12

Краткое содержание урока

Смешанное число — это дробь, состоящая из целого числа и дроби.Чтобы умножить или разделить смешанные числа, сначала все смешанные числа должны быть заменены на неправильные дроби.

Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, все дроби должны иметь общий знаменатель. Сложение и вычитание должны выполняться отдельно между целыми частями смешанного числа и числителями смешанного числа. Если один числитель слишком мал, чтобы вычесть другой числитель, возьмите из целого числа, а затем вычтите числители.

Смешанные числа: как складывать, вычитать, умножать и делить термины и определения

Что такое смешанное число?
Условия Пояснения
Смешанное число содержит целую часть и дробную часть, поэтому он представляет собой смесь
Неверная фракция , когда смешанное число заменяется на форму, в которой есть только числитель и знаменатель
Общий знаменатель знаменатель, общий для всех рассматриваемых чисел

Результаты обучения

По окончании обучения вы должны уметь:

  • Описывать смешанные числа
  • Определить неправильную дробь
  • Приведите примеры сложения, вычитания, умножения и деления смешанных чисел

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *