Здесь мы сократили дробь на \(5\) и получили \(12\).

Ответ: \(12.\)

Пример 2.  Разделите \(8:\frac{4}{5}\).

Решение: 

Ответ: \(10\)

Пример 3. Разделите \(27:\frac{9}{5}\).

Решение: 

Ответ: \(15.\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Марина Александровна Курилина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Активно использую в своей работе не только знания математики., но и навыки консультанта-психолога, объединяя их для достижения желаемого результата.

Юлия Игоревна Ярош

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку для 5-11 классов. Мне очень нравится преподавать русский язык, использовать индивидуальный подход на своих уроках, все мои уроки проходит в очень динамичной обстановки. Руководствуюсь комплексный подходов, всесторонним анализом текста, ученик осознает, что русский язык -это неразрывная система, понимает, как его разделы связаны между собой и функционируют друг с другом. Всегда нахожу подход к каждому ученику, выстраиваю доверительные отношения.

Виктория Анатольевна Луковская

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Таганрогский педагогический институт им. А.П. Чехова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-11 классов. Математика дисциплинирует и воспитывает ум, это основа для всех наук. Очень люблю работать с детьми! Уроки проходят в комфортной обстановке, к каждому ученику подхожу индивидуально, объясняю доступно и понятно. На занятиях применяю игровые приемы, схемы, графики и презентации, для того, чтобы учащимся было интересно.

Похожие статьи

• Пирамида
• Как решать уравнения с помощью пропорции?
• МИФИ: Прикладная математика и физика
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Простейшие уравнения (вариант 5)
• Летние идеи для занятия спортом
• Полезные физические упражнения для тех, кто долго сидит за учебниками: разминка для ног
• «Я не знаю, кем мне быть»: ответы на популярные вопросы старшеклассников
• Что такое конформизм или влияние чужого мнения на собственное поведение и мышление

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Умножение дробей.

Навигация по странице:

• Умножение дроби на натуральное число
• Умножение обыкновенных дробей
• Умножение смешанных чисел

Умножение дроби на натуральное число.

Определение.

Примеры умножения дроби на натуральное число

Пример 1.

Пример 2.

Умножение обыкновенных дробей.

Определение.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, надо
• перемножить числители и знаменатели дробей;
• сократить полученную дробь.

Примеры умножения обыкновенных дробей

Пример 3.

Пример 4.

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему умножение двух обыкновенных дробей

Умножение смешанных чисел.

Примеры умножения смешанных чисел

Пример 5.

212 · 123 = 2 · 2 + 12 · 1 · 3 + 23 = 52 · 53 = 5 · 52 · 3 = 256 = 6 · 4 + 16 = 416

Пример 6.

Пример 7.

217 · 35 = 2 · 7 + 17 · 35 = 157 · 35 = 15 · 37 · 5 = 3 · 37 = 97 = 7 + 27 = 127

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему умножение двух смешанных чисел

Дроби Виды дробей (обыкновенная правильная, неправильная, смешанная, десятичная) Основное свойство дроби Сокращение дроби Приведение дробей к общему знаменателю Преобразование неправильной дроби в смешанное число Преобразование смешанного числа в неправильную дробь Сложение и вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Сравнение дробей Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь

Онлайн калькуляторы дробей

Онлайн упражнения с дробями

Простая факторизация

Простые числа

Простое число:

целое число больше 1, которое можно не получить путем умножения других целых чисел

Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, и у нас есть диаграмма простых чисел, если вам нужно больше.

Если мы можем составить путем умножения других целых чисел, то это составное число .

Вот так:

2 — Prime, 3 — Prime, 4 — Composite (=2×2), 5 — Prime и так далее…

Факторы

«Коэффициенты» — это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить другой номер:

Простая факторизация

«Факторизация простых чисел» — это нахождение числа , которое умножает простые числа , чтобы получить исходное число.

Вот несколько примеров:

Пример: Каковы простые делители числа 12?

Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое равно 2, поэтому давайте проверим:

12 ÷ 2 = 6

Да, оно делится ровно на 2. Мы сделали первый шаг!

Но 6 не простое число, поэтому нужно идти дальше. Попробуем еще раз 2:

6 ÷ 2 = 3

Да, это тоже сработало. А 3 — это простое число, поэтому у нас есть ответ:

12 = 2 × 2 × 3

Как видите, на каждый делитель — это простое число , поэтому ответ должен быть правильным.

Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием показателей степени как 12 = 2 ² × 3

Пример: Какова простая факторизация числа 147?

Можем ли мы разделить 147 точно на 2?

147 ÷ 2 = 73½

Нет, не может. Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.

Попробуем следующее простое число число, 3:

147 ÷ 3 = 49

Это сработало, теперь попробуем разложить на множители 49.

Следующее простое число 5 не работает. Но 7 подходит, поэтому мы получаем:

49 ÷ 7 = 7

И это все, что нам нужно сделать, потому что все множители простые числа.

147 = 3 × 7 × 7

(или 147 = 3 × 7 ² с использованием показателей)

Пример: Какова простая факторизация числа 17?

Подожди… 17 — простое число

Вот и все, что мы можем сделать.

17 = 17

Другой метод

Мы показали вам, как разложить на множители, начав с наименьшего простого числа и продвигаясь вверх.

Но иногда проще разбить число на любые множители , которые вы можете … затем разложить эти множители на простые числа.

Пример: Каковы простые делители числа 90?

Разбить 90 на 9 × 10

• Простые множители числа 9 3 и 3
• Простые делители числа 10 равны 2 и 5

Итак, простые делители числа 90 равны 3, 3, 2 и 5

Факторное дерево

И «Дерево множителей» может помочь: найти любые множители числа, затем множители этих чисел и т.д., пока мы не сможем больше множить.

Пример: 48

48 = 8 × 6 , поэтому запишем «8» и «6» ниже 48

Теперь мы продолжаем и делим 8 на 4 × 2

Затем 4 на 2 × 2

И, наконец, 6 на 3 × 2

Мы не можем найти больше

основные факторы.

Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

(или 48 = 2 ⁴ × 3 с использованием показателей)

Зачем искать Prime Factors?

Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может учитываться дальше!

Любое другое целое число можно разбить на простые множители.

Эта идея может быть очень полезна при работе с большими числами, например, в криптографии.

Криптография

Криптография — это изучение секретных кодов. Прайм-факторизация очень важна для людей, которые пытаются создавать (или взламывать) секретные коды на основе чисел.

Это потому, что разложение очень больших чисел на множители очень сложно и может занять много времени у компьютеров.

Если вы хотите знать больше, предметом является «шифрование» или «криптография».

Уникальный

И вот еще что:

Для любого числа существует только один (уникальный!) набор простых множителей.

Пример: простые делители числа 330 равны 2, 3, 5 и 11.0005

На самом деле эта идея настолько важна, что ее называют Фундаментальной теоремой арифметики .

Инструмент простой факторизации

Хорошо, у нас есть еще один метод… используйте наш Инструмент факторизации простых чисел, который может вычислять простые множители для чисел до 4 294 967 296.

370, 1055, 1694, 1695, 1696, 1697

Калькулятор простой факторизации

Базовый калькулятор

Поделись этим калькулятором и страницей

Калькулятор Используйте

Используйте этот калькулятор простых чисел, чтобы найти все простые делители заданного целого числа до 10 триллионов. Этот калькулятор представляет:

1. Простые множители числа
2. Разложение простых чисел в экспоненциальной форме
3. CSV (значения, разделенные запятыми) список простых множителей
4. Факторизация в дереве простых множителей

Для первых 5000 простых чисел этот калькулятор указывает индекс простого числа. n ^th Простое число обозначается как Prime[n], поэтому Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5 и так далее.

Ограничение на ввод числа для фактора меньше 10 000 000 000 000 (менее 10 триллионов или максимум 13 цифр).

Что такое простая факторизация?

Разложение числа на простые или целочисленные разложения — это разбиение числа на набор простых чисел, которые перемножаются, чтобы получить исходное число. Это также известно как первичное разложение.

Как найти разложение числа на простые множители

Мы рассмотрим два метода разложения на простые множители: поиск простых чисел путем пробного деления и использование простых чисел для создания дерева простых множителей.

Прайм-факторизация с помощью Trial Division

Допустим, вы хотите найти простые делители числа 100 с помощью пробного деления. Начните с проверки каждого целого числа, чтобы увидеть, делится ли оно на 100 и последующие частные, и если да, то как часто. Результирующий набор множителей будет простым, поскольку, например, когда 2 исчерпано, все числа, кратные 2, также исчерпаны.

Найдите простые делители числа 100:

• 100 ÷ 2 = 50; сохранить 2
• 50 ÷ 2 = 25; сохранить 2
• 25 ÷ 2 = 12,5, неравномерно, поэтому разделить на следующее наибольшее число, 3
• 25 ÷ 3 = 8,333, неравномерно, поэтому разделить на следующее наибольшее число, 4
• Но 4 кратно 2, так что это уже проверено, поэтому разделите на следующее наибольшее число, 5
• 25 ÷ 5 = 5; сохранить 5
• 5 ÷ 5 = 1; сохранить 5

Перечислите получившиеся простые множители в виде последовательности кратных 2 x 2 x 5 x 5 или в виде множителей с показателями степени 2 ² х 5 ² .

Примеры разложения простых чисел: множители и показатели

• Разложение числа 100 на простые множители равно 2 x 2 x 5 x 5 или 2 ² x 5 ²
• Разложение числа 76 на простые множители равно 2 x 2 x 19 или 2 ² x 19 ¹
• Разложение числа 50 на простые множители равно 2 x 5 x 5 или 2 x 5 ²
• Разложение числа 48 на простые множители равно 2 x 2 x 2 x 2 x 3 или 2 ⁴ x 3 ¹
• Разложение числа 36 на простые множители равно 2 x 2 x 3 x 3 или 2 ² x 3 ²
• Разложение числа 20 на простые множители равно 2 x 2 x 5 или 2 ² x 5 ¹
• Разложение числа 10 на простые множители равно 2 x 5 или 2 ¹ x 5 ¹

Дерево простых множителей

Используя дерево простой факторизации, чтобы увидеть работу, простое разложение 100 = 2 x 2 x 5 x 5 выглядит следующим образом:

2

25

Связанные калькуляторы

Список первых 1000 простых чисел см.

3 особенности чисел в Python, о которых вы, возможно, не знали / Хабр

Если вы писали код на Python, то весьма высока вероятность того, что вы, хотя бы в одной из своих программ, пользовались числами. Например, это могли быть целые числа для указания индекса значения в списке, или числа с плавающей точкой, представляющие суммы в некоей валюте.

Но числа в Python — это гораздо больше, чем, собственно, их числовые значения. Поговорим о трёх особенностях чисел в Python, с которыми вы, возможно, не знакомы.

№1: у чисел есть методы

В Python практически всё — это объект. Один из первых объектов, о котором узнаёт тот, кто начинает изучать Python — это str, используемый для представления строк. Возможно, вы сталкивались с использованием методов строк, вроде .lower(), который возвращает новую строку, все символы которой приведены к нижнему регистру:

>>> "HELLO".lower()
'hello'

Числа в Python тоже, как и строки, являются объектами. У них тоже есть методы. Например, целое число можно преобразовать в байтовую строку с помощью метода .to_bytes():

>>> n = 255
>>> n.to_bytes(length=2, byteorder="big")
b'\x00\xff'

Параметр length указывает на количество байт, которые нужно использовать при составлении байтовой строки, а параметр byteorder определяет порядок байт. Например, установка параметра byteorder в значение «big» приводит к возврату байтовой строки, в которой старший байт расположен первым, а установка этого параметра в значение «little» приводит к тому, что первым идёт младший байт.

255 — это максимальное значение, которое может принимать 8-битное целое число. Поэтому в нашем случае при вызове метода .to_bytes() можно без проблем воспользоваться параметром length=1:

>>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big")
b'\xff'

А вот если записать в n число 256 и вызвать для него . to_bytes() с параметром length=1, будет выдана ошибка OverflowError:

>>> n = 256
>>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big")
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: int too big to convert

Преобразовать байтовую строку в целое число можно, воспользовавшись методом .from_bytes() класса int:

>>> int.from_bytes(b'\x06\xc1', byteorder="big")
1729

Методы класса вызывают, используя имя класса, а не его экземпляр. Именно поэтому в предыдущем примере метод .from_bytes() вызывают, обращаясь к int.

Любопытный факт: 1729 — это самое маленькое положительное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух положительных чисел двумя способами. Исторический анекдот связывает это число с индийским математиком Сринивасой Рамануджаном, который рассказал о нём своему наставнику Готфри Харолду Харди.

Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни. Именно в одно из таких посещений произошёл «инцидент» с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошёл в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди всегда было мучительно трудно, и он произнёс свою первую фразу: «Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число». На что Рамануджан тотчас же ответил: «Нет, Харди! О нет! Это очень интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами».

Один из способов представления числа 1729 в виде суммы двух кубов — это 1³ + 12³. Можете отыскать второй способ?

У чисел с плавающей точкой тоже есть методы. Возможно, самый полезный из них — это .is_integer(). Его используют для проверки того, есть ли у числа с плавающей точкой дробная часть:

>>> n = 2. 0
>>> n.is_integer()
True
>>> n = 3.14
>>> n.is_integer()
False

Вот — интересный метод .as_integer_ratio(). Он, вызванный для числа с плавающей точкой, возвращает кортеж, содержащий числитель и знаменатель дроби, представляющей это число:

>>> n.as_integer_ratio()
(1, 2)

Правда, из-за ошибки представления чисел с плавающей точкой, иногда этот метод возвращает неожиданные результаты:

>>> n = 0.1
>>> n.as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

Если надо — можно вызывать методы на числовых литералах, заключённых в круглые скобки:

>>> (255).to_bytes(length=1, byteorder="big")
b'\xff'
>>> (3.14).is_integer()
False

Если обойтись без скобок — при попытке вызова метода на целочисленном литерале будет выдана ошибка SyntaxError. А вот при вызове метода числового литерала с плавающей точкой отсутствие скобок, что странно, не приведёт к ошибке:

>>> 255. 
SyntaxError: invalid syntax
>>> 3.14.is_integer()
False

Полный список методов числовых Python-типов можно найти в документации.

№2: числа обладают иерархией

В математике числа обладают естественной иерархией. Например, все натуральные числа являются целыми, а все целые числа — рациональными. Все рациональные числа — это вещественные числа, а все вещественные числа — это комплексные числа.

Похожие рассуждения применимы и к представлению чисел в Python. Здесь «числовая башня» выражается через абстрактные типы, содержащиеся в модуле numbers.

Числовая башня

Все числа в Python являются экземплярами класса Number:

>>> from numbers import Number
>>> # Целые числа являются наследниками Number
>>> isinstance(1729, Number)
True
>>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Number
>>> isinstance(3.14, Number)
True
>>> # Комплексные числа являются наследниками Number
>>> isinstance(1j, Number)
True

Если нужно узнать о том, является ли некое Python-значение числовым, но при этом неважно то, каким именно числовым типом оно представлено, воспользуйтесь конструкцией isinstance(value, Number).

В Python имеется четыре дополнительных абстрактных типа, иерархия которых, начиная с наиболее общего числового типа, выглядит так:

1. Класс Complex используется для представления комплексных чисел. Тут имеется один встроенный конкретный тип — complex.

2. Класс Real — это представление вещественных чисел. Его единственный встроенный конкретный тип — float.

3. Класс Rational представляет рациональные числа. Его единственным встроенным конкретным типом является Fraction.

4. Класс Integral применяют для представления целых чисел. В нём имеется два встроенных конкретных типа — int и bool.

Так, погодите, а значения типа bool — это разве числа? Да — числа. Можете это проверить, воспользовавшись REPL:

>>> import numbers
>>> # Комплексные числа являются наследниками Complex
>>> isinstance(1j, numbers. Complex)
True
>>> # Комплексные числа не являются наследниками Real
>>> isinstance(1j, numbers.Real)
False
>>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Real
>>> isinstance(3.14, numbers.Real)
True
>>> # Числа с плавающей точкой не являются наследниками Rational
>>> isinstance(3.14, numbers.Rational)
False
>>> # Объекты Fractions - это не наследники Rational
>>> from fractions import Fraction
>>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Rational)
True
>>> # Объекты Fractions - это не наследники Integral
>>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Integral)
False
>>> # Целые числа - это наследники Integral
>>> isinstance(1729, numbers.Integral)
True
>>> # Логические значения - это наследники Integral
>>> isinstance(True, numbers.Integral)
True
>>> True == 1
True
>>> False == 0
True

Всё это, на первый взгляд, выглядит вполне нормально. Правда, порядок несколько нарушает то, что значения типа bool являются числами.

Странность Python: так как тип bool относится к классу Integral (на самом деле он — прямой наследник int), со значениями True и False можно вытворять довольно необычные вещи.

Например, True можно использовать в роли индекса для того чтобы получить второй элемент итерируемого объекта. А если поделить число на False — будет выдана ошибка ZeroDivisionError.

Попробуйте выполнить «False»[True] и 1 / False в REPL!

Но если присмотреться к числовым типам поближе, окажется, что в иерархии Python-чисел имеется пара своеобразных моментов.

Числа типа Decimal не укладываются в иерархию

Как уже было сказано, в «числовой башне» Python есть 4 конкретных числовых типа, соответствующих четырём абстрактным типам: complex, float, Fraction и int. Но в Python имеется и пятый числовой тип, представленный классом Decimal. Этот тип используется для точного представления десятичных чисел и для преодоления ограничений арифметических операций с плавающей точкой.

Можно предположить, что числа типа Decimal являются наследниками Real, но это, на самом деле, не так:

>>> from decimal import Decimal
>>> import numbers
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Real)
False

Единственный класс, наследником которого является класс Decimal — это Number:

>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Complex)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Rational)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Integral)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Number)
True

Логично то, что класс Decimal не является наследником Integral. В некоторой степени смысл есть и в том, что Decimal не является наследником Rational. Но почему Decimal не является наследником Real или Complex?

Ответ кроется в исходном коде CPython:

Объекты Decimal обладают всеми методами, определёнными в классе Real, но эти объекты не должны регистрироваться в виде наследников Real, так как Decimal-числа не взаимодействуют с двоичными числами с плавающей точкой (например, результат операции Decimal(‘3.14’) + 2.71828 не определён). Но ожидается, что числа, классы которых являются наследниками абстрактного класса Real, способны взаимодействовать друг с другом (то есть — R1+R2 должно вычисляться в том случае, если числа R1 и R2 представлены типами, являющимися наследниками Real).

Получается, что объяснение странностей сводится к особенностям реализации.

Числа с плавающей точкой — странные создания

А вот числа с плавающей точкой, с другой стороны, реализуют абстрактный базовый класс Real. Они используются для представления вещественных чисел. Но, из-за того, что компьютерная память не является неограниченным ресурсом, числа с плавающей точкой — это лишь конечные аппроксимации вещественных чисел. Это приводит к возможности написания «ненормальных» образцов кода вроде такого:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3
False

Числа с плавающей точкой хранятся в памяти в виде двоичных дробей. Это приводит к появлению некоторых проблем. Например, у дроби 1/3 нет конечного десятичного представления (после десятичной точки идёт бесконечное множество троек). А у дроби 1/10 нет конечного представления в виде двоичной дроби.

Другими словами, в компьютере нельзя совершенно точно представить число 0,1 — если только этот компьютер не обладает бесконечной памятью.

Со строго математической точки зрения все числа с плавающей точкой — это рациональные числа, за исключением float(«inf») и float(«nan»). Но программисты используют их в роли аппроксимаций вещественных чисел и воспринимают их, по большей части, как вещественные числа.

Странность Python: float(«nan») — это особое значение с плавающей точкой, представляющее собой «не число». Такие значения часто обозначают как NaN. Но, так как float — это числовой тип, isinstance(float(«nan»), Number) возвращает True.

Получается, что «не числа» — это числа.

В общем, числа с плавающей точкой — странные создания.

№3: набор числовых типов Python можно расширять

Абстрактный числовой базовый тип Python позволяет программисту создавать собственные абстрактные и конкретные числовые типы.

В качестве примера рассмотрим класс ExtendedInteger, который реализует числа в форме a+b√p, где a и b — целые числа, а p — простое число (обратите внимание: класс не обеспечивает то, что число p является простым):

import math
import numbers
class ExtendedInteger(numbers.Real):
    
    def init(self, a, b, p = 2) -> None:
        self. a = a
        self.b = b
        self.p = p
        self._val = a + (b * math.sqrt(p))
    
    def repr(self):
        return f"{self.class.name}({self.a}, {self.b}, {self.p})"
    
    def str(self):
        return f"{self.a} + {self.b}√{self.p}"
    
    def trunc(self):
        return int(self._val)
    
    def float(self):
        return float(self._val)
    
    def hash(self):
        return hash(float(self._val))
    
    def floor(self):
        return math.floor(self._val)
    
    def ceil(self):
        return math.ceil(self._val)
    
    def round(self, ndigits=None):
        return round(self._val, ndigits=ndigits)
    
    def abs(self):
        return abs(self._val)
    
    def floordiv(self, other):
        return self._val // other
    
    def rfloordiv(self, other):
        return other // self._val
    
    def truediv(self, other):
        return self._val / other
    
    def rtruediv(self, other):
        return other / self._val
    
    def mod(self, other):
        return self. _val % other
        
    def rmod(self, other):
        return other % self._val
    
    def lt(self, other):
        return self._val < other
    
    def le(self, other):
        return self._val <= other
    
    def eq(self, other):
        return float(self) == float(other)
    
    def neg(self):
        return ExtendedInteger(-self.a, -self.b, self.p)
    
    def pos(self):
        return ExtendedInteger(+self.a, +self.b, self.p)
    
    def add(self, other):
        if isinstance(other, ExtendedInteger):
            # Если оба экземпляра имеют одно и то же значение p,
            # вернуть новый экземпляр ExtendedInteger
            if self.p == other.p:
                new_a = self.a + other.a
                new_b = self.b + other.b
                return ExtendedInteger(new_a, new_b, self.p)
            # В противном случае вернуть значение типа float
            else:
                return self._val + other._val
        # Если other - значение класса Integral, прибавить значение other к значению self. a
        elif isinstance(other, numbers.Integral):
            new_a = self.a + other
            return ExtendedInteger(new_a, self.b, self.p)
        # Если other - значение класса Real, вернуть значение типа float
        elif isinstance(other, numbers.Real):
            return self._val + other._val
        # Если тип other неизвестен, позволить другим принять решение
        # о том, что делать в такой ситуации
        else:
            return NotImplemented
    
    def radd(self, other):
        # Сложение коммутативно, поэтому прибегнуть к add
        return self.add(other)
    
    def mul(self, other):
        if isinstance(other, ExtendedInteger):
            # Если оба экземпляра имеют одно и то же значение p,
            # вернуть новый экземпляр ExtendedInteger
            if self.p == other.p:
                new_a = (self.a * other.a) + (self.b * other.b * self.p)
                new_b = (self.a * other.b) + (self.b * other.a)
                return ExtendedInteger(new_a, new_b, self. p)
            # в противном случае вернуть значение типа float
            else:
                return self._val * other._val
        # Если other - значение класса Integral, умножить его компоненты a и b на other
        elif isinstance(other, numbers.Integral):
            new_a = self.a * other
            new_b = self.b * other
            return ExtendedInteger(new_a, new_b, self.p)
        # Если other - значение класса Real, вернуть значение типа float
        elif isinstance(other, numbers.Real):
            return self._val * other
        # Если тип other неизвестен, позволить другим принять решение
        # о том, что делать в такой ситуации
        else:
            return NotImplemented
    
    def rmul(self, other):
        # Умножение коммутативно, поэтому прибегнуть к mul
        return self.mul(other)
    
    def pow(self, exponent):
        return self._val ** exponent
    
    def rpow(self, base):
        return base ** self._val

Для того чтобы обеспечить правильность реализации интерфейса Real конкретным типом — нужно создать реализации множества методов, в именах которых есть два символа подчёркивания. Ещё нужно поразмыслить о том, как методы вроде .add() и .mul() взаимодействуют с другими типами, являющимися наследниками Real.

Обратите внимание: вышеприведённый пример не создавался в расчёте на его полноту или абсолютную правильность. Его цель — продемонстрировать читателю возможности работы с числами.

При наличии реализации ExtendedInteger можно заниматься следующими вычислениями:

>>> a = ExtendedInteger(1, 2)
>>> b = ExtendedInteger(2, 3)
>>> a
ExtendedInteger(1, 2, 2)
>>> # Проверяем то, что a - это наследник Number
>>> isinstance(a, numbers.Number)
True
>>> # Проверяем то, что a - это наследник Real
>>> isinstance(a, numbers.Real)
True
>>> print(a)
1 + 2√2
>>> a * b
ExtendedInteger(14, 7, 2)
>>> print(a * b)
14 + 7√2
>>> float(a)
3.8284271247461903

Иерархия числовых типов в Python — довольно гибкая структура. Но, конечно, всегда стоит очень внимательно относиться к реализации типов, являющихся наследниками встроенных абстрактных базовых типов Python. Нужно обеспечить их корректную работу друг с другом.

В документации по Python можно найти несколько советов по реализации собственных типов, которые стоит прочесть тому, кто решит заняться созданием собственных числовых типов. Такому человеку ещё полезно будет ознакомиться с реализацией Fraction.

Итоги

Вот — те три особенности Python-чисел, которые мы здесь обсуждали:

1. У чисел есть методы, как и у практически всех остальных объектов в Python.

2. Числа обладают иерархией, даже несмотря на то, что их чёткие взаимоотношения несколько портит наличие типов Decimal и float.

3. Программисты могут создавать собственные числовые типы, которые вписываются в иерархию числовых типов Python.

Может быть, вы узнали из этого материала не только об этих особенностях чисел, но и ещё о чём-нибудь, что вам пригодится.

Мы в wunderfund.io занимаемся высокочастотной алготорговлей с 2014 года. Высокочастотная торговля — это непрерывное соревнование лучших программистов и математиков всего мира. Присоединившись к нам, вы станете частью этой увлекательной схватки.

Мы предлагаем интересные и сложные задачи по анализу данных и low latency разработке для увлеченных исследователей и программистов. Гибкий график и никакой бюрократии, решения быстро принимаются и воплощаются в жизнь.

Сейчас мы ищем плюсовиков, питонистов, дата-инженеров и мл-рисерчеров.

Присоединяйтесь к нашей команде.

Простые числа – Элементарная математика

Значение

Неофициальный смысл

Построение чисел из меньших строительных блоков: Любое счетное число, кроме 1, может быть построено путем сложения двух или более меньших счетных чисел. Но только некоторые счетных чисел могут быть составлены путем умножения на два или более меньших счетных числа.

Простые и составные числа: Мы можем построить 36 из 9 и 4 путем умножения; или мы можем построить его из 6 и 6; или с 18 и 2; или даже путем умножения 2 × 2 × 3 × 3. Такие числа, как 10, 36 и 49что могут быть составлены из как произведения меньших счетных чисел, называются составными числами.

Некоторые числа нельзя составить таким образом из более мелких частей. Например, он единственный способ построить 7 , умножив и используя только считая числа 7 × 1. Чтобы «построить» 7, мы должны использовать 7! Так что на самом деле мы не собираем его из более мелких строительных блоков; нам это нужно для начала. Такие числа называются простых чисел.

Неофициально простые числа — это числа, которые нельзя получить путем умножения других чисел. Это хорошо передает идею, но не является достаточно хорошим определением, потому что в нем слишком много лазеек. Число 7 может быть составлено как произведение других чисел: например, это 2 × 3. Чтобы уловить идею о том, что «7 не делится на 2», мы должны четко указать, что мы ограничиваем числа, включающие только счетные числа: 1, 2, 3….

Формальное определение

Простое число — это положительное целое число, имеющее ровно два различных целочисленных множителя (или делителя), а именно 1 и само число.

Разъяснение двух распространенных заблуждений

Два распространенных заблуждения:

• Число 1 равно , а не простому.

• Число 2 является простым . (Это единственное четное простое число.)

Что ж, определение исключает это. Там написано «два разных целочисленных множителей», и единственный способ записать 1 как произведение целых чисел — это 1 × 1, в котором множителей — это одинаковых друг с другом, то есть не различных. Даже неформальная идея исключает это: его нельзя построить путем умножения на другие (целых) чисел.

Но зачем исключать?! Студенты иногда утверждают, что 1 «ведет себя» так же, как и все остальные простые числа: его нельзя «разорвать на части». И часть неформального представления о простом — мы не можем составить 1 кроме как с помощью его, так что он должен быть строительным блоком — кажется, делает его первичным. Почему , а не включают его?

Математика не произвольна. Чтобы понять, почему из полезно исключить 1 из , рассмотрим вопрос «Сколькими способами можно записать 12 в виде произведения, используя только простые числа?» Вот несколько способов записать 12 как произведение, но они не ограничиваются простыми числами.

3 × 4

4 × 3

1 × 12

1 х 1 х 12

2 × 6

1 × 1 × 1 × 2 × 6

Использование 4, 6 и 12 явно нарушает ограничение «использование только простых чисел». Но как насчет этих?

3 × 2 × 2

2 × 3 × 2

1 × 2 × 3 × 2

2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 × 1

Ну, если мы включим 1, есть бесконечно много способов записать 12 как произведение простых чисел. На самом деле, если мы назовем 1 простым числом, то существует бесконечно много способов записать 9.0027 любое число как произведение простых чисел. Включение 1 упрощает вопрос. При его исключении остаются только эти случаи:

3 × 2 × 2

2 × 3 × 2

2 × 2 × 3

Это гораздо более полезный результат, чем представление каждого числа в виде произведения простых чисел бесконечным числом способов, поэтому мы определяем простое таким образом, что оно исключает 1.

Число 2 — это простых чисел. Почему?

Студенты иногда считают, что все простые числа нечетные. Если кто-то работает только с «шаблонами», это легко сделать, так как 2 — это только исключение, единственное четное простое число. Одно доказательство: поскольку 2 является делителем каждого четного числа, каждое четное число, большее 2, имеет не менее трех различных положительных делителей.

Еще один распространенный вопрос: «Все четные числа делятся на 2, значит, они не простые; 2 четно, так как же оно может быть простым?» Каждое целое число делится само на себя и на 1; все они делятся на что-то . Но если число делится на только на само по себе и на 1, то оно простое. Итак, поскольку все других четных чисел делятся сами на себя, на 1, и на 2, , все они составные (точно так же, как все положительные числа, кратные 3, кроме самого 3, составные).

Математическая основа

Уникальная факторизация простых чисел и деревья множителей

Вопрос «Сколькими способами можно записать число в виде произведения, используя только простые числа?» (посмотрите, почему 1 не простое число) становится даже еще интересно, если мы спросим себя, достаточно ли различны 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 3, чтобы рассматривать их как « различных способов». Если мы рассмотрим только набор используемых чисел — другими словами, если мы проигнорируем то, как эти числа устроены, — мы придем к замечательному и очень полезному факту (доказуемому).

Каждое целое число больше 1 можно разложить на уникальный набор простых чисел. Для любого целого числа существует только один набор простых множителей из .

Простые числа и прямоугольники

12 квадратных плиток можно разложить на три отдельных прямоугольника.

Семь квадратных плиток можно сложить разными способами, но только одна из них образует прямоугольник.

Сколько существует простых чисел?

От 1 до 10 есть 4 простых числа: 2, 3, 5 и 7.
От 11 до 20 снова 4 простых числа: 11, 13, 17 и 19.
От 21 до 30 есть только 2 простых числа: 23 и 29.
От 31 до 40 снова только 2 простых числа: 31 и 37.
От 91 до 100 только одно простое число: 97.

Похоже, они редеют. Кажется, это даже имеет смысл; по мере того, как числа становятся больше, появляется больше маленьких строительных блоков, из которых они могут быть сделаны.

Останавливаются ли когда-нибудь простые числа? Предположим на мгновение, что они в конце концов остановятся. Другими словами, предположим, что — это «наибольшего простого числа» — назовем его p 9. 0028 . Итак, если бы мы перемножили вместе все известные нам простые числа (все от 2 до p ), а затем добавили 1 к этому произведению, мы бы получили новое число — назовем его q — которое не делится ни на одно из известных нам простых чисел. (Деление на любое из этих простых чисел даст в остатке 1.) Таким образом, либо q само является простым числом (и, безусловно, больше, чем p ), либо оно делится на какое-то простое число, которое мы еще не перечислили (что, следовательно, , также должно быть больше стр. ). В любом случае, предположение о существовании наибольшего простого числа — p якобы было нашим наибольшим простым числом — приводит к противоречию! Так что это предположение должно быть неверным: — это , а не «наибольшее простое число»; простые числа никогда не останавливаются.

Предположим, что 11 — это самое большое простое число.

2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311 — Прайм!

Никакое число (кроме 1) не делит 2311 с нулевым остатком, поэтому 11 не является самым большим простым числом.

Предположим, что 13 — самое большое простое число.

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 — Не простое число!

Но 59 × 509 = 30031, и 59, и 509 — простые числа, и оба больше 13, поэтому 13 — не самое большое простое число.

Факторизация простых чисел

Простые числа

Простое число:

целое число больше 1, что нельзя получить путем умножения других целых чисел

Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, и у нас есть диаграмма простых чисел, если вам нужно больше.

Когда может быть получено из путем умножения других целых чисел, это составное число .

Вот так:

2 — Prime, 3 — Prime, 4 — Composite (=2×2), 5 — Prime и так далее…

Факторы

«Коэффициенты» — это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить другое число:

Простая факторизация

«Факторизация простых чисел» — это нахождение числа , которое умножает простые числа , чтобы получить исходное число.

Вот несколько примеров:

Пример: Каковы простые делители числа 12?

Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое равно 2, поэтому давайте проверим:

12 ÷ 2 = 6

Да, оно делится ровно на 2. Мы сделали первый шаг!

Но 6 не простое число, поэтому нужно идти дальше. Попробуем снова 2:

6 ÷ 2 = 3

Да, это тоже сработало. И 3 — это простое число, поэтому у нас есть ответ:

12 = 2 × 2 × 3

Удобнее показывать повторяющиеся числа с использованием показателей степени:

• Без показателей степени:  2 × 2 × 3
• С показателями: 2 ² × 3

Пример. Какова простая факторизация числа 147?

Можем ли мы разделить 147 точно на 2?

147 ÷ 2 = 73½

Нет, мы не можем. Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.

Попробуем следующее простое число число, 3:

147 ÷ 3 = 49

Это сработало, теперь попробуем разложить 49 на множители.

Следующее простое число 5 не работает. Но 7 подходит, поэтому мы получаем:

49 ÷ 7 = 7

И это все, что нам нужно сделать, потому что все множители равны. простые числа.

147 = 3 × 7 × 7
= 3 × 7 ²

Пример: Какова простая факторизация числа 17?

Подожди… 17 — простое число .

Вот и все, что мы можем сделать.

17 = 17

Другой метод

Мы только что разложили на множители, начав с наименьшего простого числа и продвигаясь вверх.

Но иногда проще разбить число на любые множители , которые мы можем … затем разложить эти множители на простые числа.

Пример: Каковы простые делители числа 90?

Разбить 90 на 9 × 10

• Простые делители числа 9 равны 3 и 3
• Простые делители числа 10 равны 2 и 5

Таким образом, простые делители числа 90 равны 3, 3, 2 и 5

90 = 2 × 3 ² × 5

Факторное дерево

И «Дерево множителей» может помочь: найти любые множители числа, затем множители этих чисел и т. д., пока мы не сможем больше множить.

Пример: 48

48 = 8 × 6 , поэтому мы записываем «8» и «6» ниже 48

Теперь мы продолжаем и делим 8 на 4 × 2

Затем 4 в 2 × 2

И, наконец, 6 в 3 × 2

Мы больше не можем разлагать на множители, поэтому мы нашли простые множители.

Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

48 = 2 ⁴ × 3

Зачем искать Prime Factors?

Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может учитываться дальше!

Любое другое целое число можно разбить на простые множители.

Эта идея может быть очень полезна при работе с большими числами, например, в криптографии.