Обыкновенные дроби и действия с ними — что это, определение и ответ
Доля – это часть от целого.
Например, пирог разделили на 8 частей, значит каждый кусочек пирога равен одной восьмой доле пирога или просто одной восьмой пирога. Записать такую долю можно в виде дроби\(\ = \frac{1}{8}\).
Если из полученных кусочков забрать три и оставить пять, получится, что забрали три восьмые\(\ –\ \frac{3}{8}\ \)пирога и оставили пять восьмых \(–\ \frac{5}{8}.\)
Число выше черты дроби называется числителем, число ниже черты – знаменателем, а запись вида \(\frac{5}{8}\) – обыкновенной дробью.
Дробь \(\frac{1}{2}\) называется половиной, \(\frac{1}{3}\) – третью, а \(\frac{1}{4}\) – четвертью.
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБЕЙ:
Если мы представим пирог, который разделили на четыре части и забрали две из них (\(\frac{2}{4}\)), мы увидим, что забрали ровно половину пирога, то есть \(\frac{1}{2}\).
Значит \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Так получается, потому что дроби можно сокращать (делить) и расширять (умножать). Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно число, то дробь останется такой же.
Например:
\(\frac{1}{2} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet 2} = \frac{2}{4}\)
\(\frac{28}{77} = \frac{28 : 7}{77 : 7} = \frac{4}{11}\)
\(\frac{5}{12} = \frac{5 \bullet 4}{12 \bullet 4} = \frac{20}{48}\)
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ:
Можно складывать и вычитать только те дроби, у которых одинаковый знаменатель. Тогда знаменатель суммы или разности будет такой же, как и у слагаемых, а числители складываются или вычитаются.
\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)
Например:
\(\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7}\)
\(\frac{8}{9}\ –\ \frac{3}{9} = \frac{8\ –\ 3}{9} = \frac{5}{9}\)
Если у дробей разные знаменатели, то нужно привести их к общему знаменателю.
Приведем дробь \(\frac{5}{6}\ \)к знаменателю 42. Чтобы это сделать, нужно знаменатель 6 умножить на \(42 : 6 = 7\), значит и числительно тоже нужно умножить на 7:
\(\frac{5}{7} = \frac{5 \bullet 7}{6 \bullet 7} = \frac{35}{42}\)
Таким образом, мы пришли к новому знаменателю 42 с помощью дополнительного множителя 7.
Общим знаменателем является общее кратное исходных знаменателей. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. А уже дроби с общим знаменателем можно складывать и вычитать.
АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ:
Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Оно и будет новым знаменателем суммы.
Разделить найденный наименьший общий знаменатель на знаменатели слагаемых. Это будут дополнительные множители для дробей.
Умножить и числитель, и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Получим сумму дробей с одинаковым знаменателем.
Складывать или вычитать дроби как обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.
Например:
\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \bullet 3}{4 \bullet 3} + \frac{5 \bullet 2}{6 \bullet 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}\)
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ:
Обратные числа:
Любая дробь – это действие деления. Один пирог разделили на восемь частей – получили одну восьмую пирога. Если мы видим дробь с единицей в знаменателе, то эту дробь можно представить числом:
\(\frac{a}{1} = a : 1 = a\)
Например: \(\frac{4}{1} = 4\), \(\frac{27}{1} = 27\).
Если дробь «перевернуть», то есть поменять местами числитель и знаменатель, тогда получится число обратное исходному. Например, числа \(\frac{4}{11}\) и \(\frac{11}{4}\) или \(19\) и \(\frac{1}{19}\) – обратные друг другу.
Умножение дробей:
Представим умножение дроби на число как сумму дробей:
\(\frac{3}{5} \bullet 3 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{3 + 3 + 3}{5} = \frac{3 \bullet 3}{5} = \frac{9}{5}\)
Видим, что таким образом при умножении дроби на число перемножается число и числитель без изменения знаменателя:
\(\frac{a}{c} \bullet b = \frac{a}{c} \bullet \frac{b}{1} = \frac{a \bullet b}{c \bullet 1}\)
Деление дробей:
Чтобы разделить дробь на число, представим это число как дробь с единицей в знаменателе.
Тогда мы делим дробь на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно вторую дробь перевернуть и перемножить соответственно числители и знаменатели получившихся дробей:
\(\frac{a}{c} : b = \frac{a}{c} : \frac{b}{1} = \frac{a}{c} \bullet \frac{1}{b} = \frac{a}{c \bullet b}\)
Таким же образом делят дроби на дроби:
\(\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \bullet \frac{d}{b} = \frac{a \bullet d}{c \bullet b} = \frac{\text{ad}}{\text{cb}}\)
Действия с обыкновенными дробями. Умножение и деление
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике.
Базовый уровень Сложные задачи
ДЕЙСТВИЯ С
ОБЫКНОВЕННЫМИ
ДРОБЯМИ
(умножение и
деление).
учитель математики I категории
Сухорукова Фарида Римовна
1. Умножение дробей и смешанных чисел
Контрольная работа
2. Взаимно обратные числа.
3. Деление дробей и смешанных чисел
Esc
выход
Умножение дробей и смешанных чисел
Произведение двух обыкновенных дробей
равно дроби, числитель которой равен произведению
числителей, а знаменатель — произведению
знаменателей данных дробей.
4 1 4 1 4
7 3 7 3 21
При умножении необходимо по возможности
сократить.
6 7 6 7 2 1 2
2
7 3 17 31 1 1 1
2
1
Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное
число, нужно умножить числитель дроби на это число, а
знаменатель оставить тот же. Сократить и выделить
целую часть.
4
4 3 12
5
3
1
7
7
7
7
1
4
4 3 4 1 4
3
15
15 5 5
5
При умножении смешанных чисел их сначала
обращают в неправильные дроби.
4 7 11 7 11 1 11
2
1
1
7 9 1 7 9 1 9
9
9
1
Вычислить
ПРОВЕРЬ
ОТВЕТЫ
(сократить,
выделить
целую часть)
7 3
11 4
5 14
7 15
21
44
2
3
5 6
6
7 25 35
4 1
2
3 2
5 3
3
1
2
5 3
3
3
1
5
1 3 5
2
6
4
2 1
2 1 2
5
5 6
4 2
2 4 12
7 3
В меню
Взаимно обратные числа
Два числа, произведение которых равно единице,
называют взаимно обратными числами
2 3 2 3
и
1
3 2 3 2
2 3 2 3 5 3
1 и
1 1
3 5
3 5 3 5
Выбери взаимно обратные дроби
5
7
5
11
4
13
1
2
5
1
3
2
1
5
13
4
3
2
4
В меню
Деление дробей и смешанных чисел
Чтобы поделить натуральное число на дробь,
следует число умножить на дробь обратную заданной.
3
4 4 4 16
1
4 4
5
4
3
3
3
3
Чтобы поделить дробь на натуральное число,
следует знаменатель дроби умножить на число.
4
4 3 4 1 4
3
7
7 1 7 3 21
4
4
4
3
7
7 3 21
или
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую,
надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
1 3 1 4 1 4 4
5 4 5 3 5 3 15
4 1 4 4 4 4 16
1
3
5 4 5 1 5 1 5
5
2
1 1 1 10 1 10 2
2
5 10 1 5 1
5 1 1
Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
• преобразовать смешанные дроби в неправильные;
• умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать
неправильную дробь в смешанную.
4
1 9 9 9 4 1 4 4
1 2
5
4 5 4 5 9 5 1 5
1 3 6 4 2 4 8
3
1
1
5 4 5 31 5
5
5
2
Вычислить
ПРОВЕРЬ
ОТВЕТЫ
(сократить, выделить целую часть)
7 3 28
11 4 33
5 15
1
1
7 28
3
5 5
3
7 21
4
1 1
3
5
5 4
2
2
5
15
3
11
5
1 3
18
6
2
1
2 1 2
5
5
4
2
2 1 2
7
7
В меню
English Русский Правила
Как научить умножать дроби с помощью шаблонов — смешивание и математика
ДробиМатематические манипуляцииУмножение
Автор Бриттани Хеге
В первый год преподавания я унаследовала примерно 1 000 000 математических манипуляторов — пластиковые емкости полных блоков узоров, дробных плиток, игровых денег, счетчиков, геобордов, измерительных лент и тысяч 1-дюймовых пластиковых плитка.
Молодой и нетерпеливый, я прыгнул вперед с манипуляторами. Мои ученики использовали почти все манипулятивные приемы на свете… за исключением шаблонных блоков.
«Что в мире могут делать ученики с блоками шаблонов в четвертом и пятом классе?» Интересно.
Если бы я только знал, какой невероятный инструмент для обучения дробям, эти блоки шаблонов получили бы гораздо больше пользы (и мои ученики поняли бы дроби намного лучше!).
Кубики теперь мой самый любимый способ обучения всем понятиям дробей. Что делает их такими мощными, так это то, что учащиеся должны полагаться на свое понимание дробей как отношения часть часть весь . Кроме того, наличие разных форм помогает учащимся действительно увидеть, как одни части вписываются в другие. Поскольку на деталях нет меток дробей, возможности использования блоков шаблонов безграничны!
Хотя сейчас я использую блоки шаблонов для обучения всем понятиям дробей, моя любимая концепция дробей для обучения с блоками шаблонов — это умножение дробей.
Но формирование концептуального понимания НАСТОЛЬКО важно, особенно с дробями!
Умножение дробей может быть трудной задачей для практического применения, но блоки шаблонов делают это простым (и таким увлекательным!). Давайте рассмотрим несколько примеров задач, чтобы вы могли применить это мощное упражнение в своем классе!
посмотреть видео…
Прежде чем мы перейдем к обучению умножению дробей с помощью блоков шаблонов, убедитесь, что вы (и ваши ученики!) понимаете, какую дробь представляет каждый блок шаблонов. Хотя вы можете сделать так, чтобы любая часть представляла собой единое целое, чаще всего я использую шестиугольник как единое целое.
На приведенном ниже рисунке показано значение каждой части блока рисунка, когда шестиугольник представляет собой одно целое.
В отношении блоков шаблонов важно отметить, что вы будете ограничены знаменателями половин, третей и шестых для задач, которые вы создаете! Они делают набор дополнительных блоков шаблона для четвертых и двенадцатых , если вы хотите дополнить блоки, которые у вас уже есть!
Теперь, когда вы знаете значение каждого блока шаблона, давайте углубимся в то, как учащиеся могут использовать блоки шаблона для моделирования различных типов задач на умножение дробей и смешанных чисел.
Задачи на несколько групп/равные группыСуществует четкая последовательность построения задач на умножение дробей. Первым шагом в прогрессии является умножение на нескольких групп или равных групп .
Просмотр умножения в виде нескольких групп относительно прост для понимания учащимися, поскольку он следует тому же принципу мышления, что и умножение целых чисел.
Для учащихся не составит большого труда перейти от понимания 2 групп по 3 (2 x 3) к пониманию 2 групп по ⅔ (2 x ⅔).
Однако потребуется много практических занятий, прежде чем учащиеся откроют для себя алгоритм умножения целого числа на дробь. (И они увидят это ! Доверьтесь процессу и не навязывайте алгоритм, пока ученики не будут готовы!)
Вот пример задачи с несколькими группами:
Собака Стеллы съела 3 пакета собачьего корма последним неделя. Если в каждом пакете было ⅔ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
На математическом коврике ученики моделировали три группы по ⅔. Они могут назвать это 6/3 или переставить части в целые, чтобы увидеть, что ответ — два целых. На прошлой неделе собака Стеллы съела 2 фунта собачьего корма.
Задачи на несколько групп также могут включать смешанные числа в качестве множимого, например, 3 группы по 1 ½.
Пока множитель (количество групп) является целым числом, он будет моделироваться аналогично тому, как моделировалась последняя задача. Взгляните на рисунок ниже, чтобы увидеть, как вы будете моделировать 3 x 1 ½ с помощью блоков шаблона.
Для четвертого класса большинство государственных стандартов здесь заканчиваются (конечно, проверьте свои собственные стандарты, чтобы быть уверенным!). Однако для пятого класса им нужно понять другой тип задачи на умножение дробей.
Задачи на частичные группыЦель этого шага в последовательности умножения состоит в том, чтобы учащиеся начали рассматривать умножение как масштабирование , в частности изменение размера, чтобы найти часть группы . Это может показаться большим отклонением от того, что студенты думают они знают об умножении, а именно: «умножение делает числа больше!»
Именно в этот момент они узнают, что умножение может привести к меньшему произведению, а это означает, что мы обязательно должны дать учащимся возможность смоделировать эту концепцию, , иначе это может показаться невероятно запутанным!
Часть целого Первый тип задачи на частичные группы — найти часть целого .
Давайте вернемся к нашей реальной ситуации с собачьим кормом, чтобы посмотреть, как это выглядит.
На прошлой неделе собака Стеллы съела ⅔ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было 3 фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
Хотя уравнение для этой задачи такое же, как и для предыдущей задачи (⅔ x 3 против 3 x ⅔), процесс моделирования выглядит совсем иначе. В этом случае учащиеся должны понимать, что они находят ⅔ группы из 3. Другими словами, это ⅔ из 3.
Ученикам нужно много возможностей с обоими типами задач, чтобы распознать их как умножение!
Чтобы смоделировать ⅔ из 3, учащиеся должны начать с 3 целых, а затем им нужно будет выяснить, как разделить их на трети (или три равные группы). Они увидят, что им нужно вложить одно целое в каждую из третей. Поскольку мы хотим знать, что такое ⅔ от 3, мы знаем, что ответ будет включать в себя две трети, что составляет два целых, потому что в каждой трети есть одно целое.
Давайте разовьем этот тип мышления в частичных группах немного дальше, рассмотрев, как моделировать дробь за дробью.
Часть частиСледующий тип частичной групповой задачи — часть части . Опять же, давайте воспользуемся нашим реальным контекстом, чтобы помочь нам понять, что это на самом деле означает.
Собака Стеллы съела ⅔ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете ½ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
Вместо того, чтобы найти часть группы, эта ситуация требует поиска части другой части… Что такое ⅔ ½ фунта еды? Чтобы смоделировать это, им нужно будет немного обменяться, чтобы помочь им разыграть это. Мы знаем, что трапеция (1 половина) эквивалентна 3 треугольникам (или 3 шестым), а это значит, что учащиеся могут обменять трапецию на 3 треугольника. Это поможет нам, когда мы попытаемся выяснить, что такое ⅔ половин.
Посмотрите на рисунок ниже, чтобы увидеть, как учащийся поместит одну шестую в каждую из третьих частей, чтобы понять, что 2 трети половины равны двум шестым.
Самое интересное — самый последний шаг в этой последовательности умножения дробей. Теперь учащимся действительно сложно применить то, что они узнали!
Объединение кратных и неполных группПоследний шаг на пути к правильному пониманию умножения дробей — это сочетание кратных групп и неполных групп. Это означает, что множитель (количество групп) является смешанным числом, заставляющим учащихся думать о равном количестве групп и часть группы или части.
Давайте посмотрим на пару примеров ниже, как это выглядит на самом деле!
В прошлом месяце собака Стеллы съела 2 ⅓ пакета собачьего корма. Если в каждом мешке 4 фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
В этой ситуации собака Стеллы съела 2 пакета корма (2 x 4 фунта — несколько групп) и ⅓ пакета корма (⅓ x 4 фунта — неполные группы).
Студенты должны объединить свое понимание обоих типов умножения дробей, чтобы успешно решить эту задачу.
Эта проблема смоделирована на рисунке ниже.
Объединив 2 группы по 4 и ⅓ по 4, вы увидите, что собака Стеллы съела в общей сложности 9 ⅓ фунтов собачьего корма.
Давайте рассмотрим еще одну задачу, где множимое (то, что умножается) является дробью!
Собака Стеллы съела 2 ⅓ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было ½ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
В этой ситуации собака Стеллы съела 2 группы по ½ фунта (несколько групп) и ⅓ по ½ (часть части). На графике ниже вы можете видеть, что если все это объединить, то собака Стеллы съела 1 ⅙ фунта собачьего корма.
В последней задаче, которую мы рассмотрим в этом посте, учащиеся решают задачу на умножение дроби, которая включает смешанное число на смешанное число.
На прошлой неделе собака Стеллы съела 2 ½ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было 2 ⅓ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
В этой задаче есть 2 ½ группы по 2 ⅓, то есть 2 полные группы по 2 ⅓ (несколько групп) и ½ группы по 2 ⅓ (неполные группы). Поскольку у студентов, как мы надеемся, был большой опыт работы с несколькими группами и частичными группами до этой задачи, этот процесс абсолютно выполним для студентов (хотя это может напрячь их мышление!).
Надеюсь, теперь вы понимаете, что блоки шаблонов для умножения дробей изменили правила игры. Хотя может показаться неэффективным, чтобы студенты тратили все это время на моделирование умножения дробей, фундамент окупится в конце концов, когда студенты действительно поймут действия и смысл алгоритмов!
Если вы похожи на меня и не знаете, что делать с блоками шаблонов в четвертом и пятом классе, пришло время стряхнуть с них пыль.
Вы упускаете один из самых мощных инструментов для понимания учащимися дробей!
Хотите использовать это задание со своими учениками? Обязательно скачайте БЕСПЛАТНЫЙ мат по математике ниже!
Бриттани Хеге
Как умножать дроби Примеры
00:00:03:01
В этом уроке мы увидим больше примеров того, как умножать дроби.
00:00:08:17
Также мы узнаем, как упростить умножение, используя общий множитель.
00:00:15:14
Умножим 3/7 на 5/10.
00:00:19:21
Обратите внимание, что мы можем упростить умножение, сначала упростив 5/10.
00:00:26:22
Для этого разделим числитель и знаменатель на общий множитель 5.
00:00:33:05
Это дает дробь 1/2.
00:00:37:16
Теперь перемножим эти дроби.
00:00:43:07
Сначала умножим числители. 3 умножить на 1 дает 3.
00:00:50:24
Далее умножаем знаменатели.
7 умножить на 2 дает 14.
00:00:59:02
Итак, наконец, у нас есть дробь 3/14.
00:01:07:01
Следующий пример, давайте умножим 2/5 на 7/4. Давайте посмотрим, как умножать дроби.
00:01:14:11
Сначала умножьте числители. Получаем 2 умножаем на 7.
00:01:23:02
Далее умножаем знаменатели. Мы получим 5 x 4.
00:01:30:02
Перед дальнейшим умножением мы можем упростить это, разделив 2 и 4 с общим делителем, 2.
00:01:38:18
Это дает 1 и 2 соответственно.
00:01:43:03
Теперь у нас есть 1 умножить на 7/5 умножить на 2.
00:01:49:11
Поскольку общего множителя больше нет, продолжим умножение.
00:01:55:08
1 умножить на 7, получится 7. 5 умножить на 2, получится 10.
00:02:03:09
Наконец, у нас есть дробь 7/10.
00:02:11:08
Следующий пример, давайте умножим 1 3/5 на 2 1/2. Теперь давайте посмотрим, как умножать дроби.
00:02:19:12
Так как это смешанные дроби, мы должны преобразовать их в неправильные дроби, прежде чем мы сможем умножать.
00:02:27:06
Начнем с 1, 3/5. Умножение 5 на 1.
00:02:31:11
Это дает 5.
00:02:37:00
Теперь, складывая 5 с 3, получаем 8. Эта 8 становится числителем неправильной дроби.
00:02:45:01
Итак, у нас есть неправильная дробь 8/5.
00:02:50:12
Далее конвертируем 2 в 1/2. 2 умножить на 2, получится 4.
00:02:58:24
Сложить 4 с 1, получится 5. Это 5 становится числителем неправильной дроби.
00:03:06:15
Итак, у нас есть неправильная дробь 5/2.
00:03:12:14
Теперь мы можем умножить 8/5 на 5/2.
00:03:18:15
Сначала умножим числители. Это дает 8 умножить на 5.
00:03:26:15
Далее умножаем знаменатели. Это дает 5 умножить на 2.
00:03:34:10
Обратите внимание, что мы можем упростить это умножение, разделив 8 и 2 на общий делитель 2.
00:03:43:11
Это дает 4 , и 1 соответственно.
00:03:47:21
Опять же, мы можем упростить умножение, разделив эти две пятерки на общий множитель 5.