Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например,

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение.

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

MadMath: Умножение в скобках?

Являются ли скобки умножением? Мои студенты, изучающие коррекционную алгебру, почти всегда ответят «да» на этот вопрос; Я думаю, их нужно учить этому явно на других курсах. Я чертовски уверен, что ответ «нет», и я пытаюсь выбить из них это в первый день занятий.

Даже профессиональные исследователи, изучающие распространенные ошибки в алгебраическом образовании, склонны отвечать «да» на этот вопрос, например:

Неправильные представления: использование скобок. Изучающие алгебру, начинающие изучать алгебру, как правило, не знают, что скобки могут использоваться для обозначения группировки двух терминов (в аддитивной ситуации) и в качестве мультипликативного оператора Подготовка к алгебре», слайд 7; ссылки Линчевский, 1995; ссылка]

Но являются ли скобки мультипликативным оператором? Кажется очевидным, что ответ «нет». Теперь ясно, что все следующее является умножением 9, между и и b будет что-то другое; но учитывая, что умножение, вероятно, является наиболее распространенной операцией, мы читаем отсутствие письменного оператора, указывающего на умножение. 2»: «Да или нет, есть ли какая-то работа внутри скобок?» В первый день занятий по алгебре почти весь класс ответит на это «да» (и захочет умножить), после чего я объясняю, что ответ на самом деле «нет». Если нет упрощения внутри круглых скобок , то первой частью фактической работы будет применение операции экспоненты. И это все, что означают скобки. (Здесь, конечно, есть умножение — не из-за круглых скобок, а из-за поставленных рядом 3, и оно должно происходить после оператора возведения в степень.) Большинство учеников поймут это позже, но не все — — некоторая часть класса будет продолжать говорить «да» и будет сбита с толку этим конкретным вопросом в течение всего семестра. (Еще один пример: по этой и другим причинам некоторые учащиеся склонны оценивать что-то вроде «(5)-2 = -10». )

Находится ли множитель рядом с чем-то в круглых скобках или нет, не имеет значения для умножения; круглые скобки — это отдельная и отдельная проблема. Что скажешь? Вы когда-нибудь говорили, что скобки на самом деле означают умножение?

Что такое скобки? Определение, правила, примеры

Что такое скобки?

Скобки или «круглые скобки» — это знакомые ( ) символы, которые используются парами для группировки элементов или указания порядка операций в уравнении.

В математике вам часто придется использовать скобки при составлении или решении уравнений. Они помогают группировать числа и определять порядок операций. В таких случаях используются три типа скобок:

• круглые скобки или ( )
• квадратные скобки или квадратные скобки или [ ]
• фигурные скобки или угловые скобки или { }

скобки всегда идут парами, и если есть открывающая скобка, должна быть закрывающая скобка. Открывающие скобки: (, [  и {. Соответствующие им закрывающие скобки: ), ] и }.

 В этой статье мы изучим правила использования скобок в математике.

В математике вы можете использовать скобки для разделения чисел. Например, вы можете использовать их для упоминания отрицательных чисел при написании уравнения сложения.

Вот пример, чтобы лучше понять это:

3 + (-5) = -2

Второй способ использования скобок в математике — умножение чисел. Если в уравнении нет арифметической операции, наличие скобок означает, что вы должны применить умножение.

Разберем это на примере:

6 (4 + 2)

можно записать как 6 х (4 + 2)

Следовательно, ответ 6 х 6 = 36.

Третий и последний скобки в математике используются для группировки чисел и определения порядка операций.

Скобки изменяют порядок операций.

Вот порядок, которому вы можете следовать, когда в уравнении присутствует несколько символов:

Если вы столкнетесь со скобками в уравнении, вы сначала посмотрите на термины, присутствующие в них.

Давайте лучше разберемся на примере.

Возьмем задачу: 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7

Давайте решим ее, используя изученный вами порядок операций.

= 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7

= 9 – 2 – 3 x 2 + 7 (сначала делим)

= 9 – 2 – 6 + 7 (затем умножаем)

= 7 – 6 + 7 (Затем вычесть)

= 1 + 7 (Затем вычесть)

= 8 (И, наконец, добавить)

Теперь давайте рассмотрим ту же задачу со скобками: 

9 – 10 ÷ (5 – 3) x 2 + 7

Сначала нужно вычислить числа в скобках.

= 9 – 10 ÷ 2 x 2 + 7 (Решите выражение в скобках)

= 9 – 5 x 2 + 7 (Деление)

= 9 – 10 + 7 (Умножение)

= –1 + 7 (Добавить)

= 6

Вы заметили? Ответ на то же уравнение изменился, потому что в уравнении присутствовали круглые скобки!

Обратите внимание: если внутри других скобок есть скобки, сначала нужно решить внутреннее выражение.

Давайте разберем это на примере:

Упростим выражение (2 + (3 x 4))

Здесь мы сначала решим внутреннюю скобку.

Таким образом, выражение примет вид (2 + 12) = 14

Решенные примеры

Пример 1: Упростим выражение: (2 + 4 x 6) – 4 + (2 x 3)

Решение . Начните с решения выражений в скобках.

= (2 + 24) – 4 + 6 (умножить в скобках)

= 26 – 4 + 6 (Решите члены в скобках)

= 22 + 6 (Добавить)

= 28

Пример 2: Упростите выражение: ( 2 x (7 – 5)) – ((6 ÷ 3) + 4)

Начните с решения самых внутренних скобок

= (2 x 2) – (2 + 4)

= 4 – 6

= –2

8 Пример

Раскрывающиеся тройные скобки Рабочие листы | Вопросы и редакция

Уровень 6-7GCSE

При раскрытии тройных скобок мы просто умножаем первые две скобки вместе на , а затем умножаем результат на последнюю скобку . 2}\textcolor{темно-бордовый}{+92-17х-30

Связанные темы

MME

Сбор похожих терминов – пересмотр и рабочие листы

Пересмотреть

MME

Расширяющие скобки Рабочий лист, вопросы и пересмотрРасширяющие скобки Рабочий лист, вопросы и пересмотр

Пересмотреть

Рабочий лист и примеры вопросов

(НОВИНКА) Раскрывающиеся скобки — вопросы в стиле экзамена с тройными скобками — MME

Экзаменационные вопросы Отметить схему

Учебные вопросы

Расширяющие скобки — GCSE Maths

Здесь мы разберем все, что вам нужно знать о раскрывающихся скобках. Вы узнаете, как раскрывать одинарные и двойные скобки, чтобы получить упрощенное алгебраическое выражение.

В конце вы найдете рабочие листы с расширяющимися скобками, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что означают раскрывающиеся скобки?

Раскрытие скобок означает умножение каждого члена в скобках на выражение вне скобок.

Раскрытие скобок является обратным процессом факторизации и иногда называется умножением. По сути, раскрывая скобки, вы удаляете скобки.

Чтобы раскрыть скобки, умножаем все, что вне скобки, на все, что внутри скобки. Например, если мы расширим

\[(2x + 1)(x − 3)\] 9{2} − 5x − 3 \]

Что означают раскрывающиеся скобки?

Рабочий лист по раскрывающимся скобкам

Загрузите бесплатный рабочий лист по раскрывающимся скобкам с более чем 20 рассуждениями и прикладными вопросами, ответами и схемой выставления оценок, чтобы помочь вашим учащимся подготовиться к GCSE. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Рабочий лист по раскрывающимся скобкам

Загрузите бесплатный рабочий лист по раскрывающимся скобкам с более чем 20 аргументирующими и прикладными вопросами, ответами и схемой выставления оценок, чтобы помочь вашим учащимся подготовиться к GCSE. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Умножение скобок

«Умножение скобок» или «умножение вне» — еще один термин для раскрытия скобок. Это означает ровно то же самое. «Раскрыть скобки» — это то же самое, что «умножить скобки», это просто дает дополнительную подсказку, что когда мы раскрываем скобки, мы умножаем все, что находится за скобками, на все, что внутри скобок.

Использование квадратных скобок

Одно из применений квадратных скобок в математике — группировка элементов, другое — предоставление информации о порядке операций.

Например,

Вот прямоугольник.

Его периметр:

(х+8)+(х-3)+(х+8)+(х-3)

Здесь скобки используются для группировки терминов, чтобы выражения для сторон были понятны.

Периметр также может быть записан как:

2(х+8)+2(х-3)

Здесь скобки нужны для сохранения того, что все выражения для сторон удваиваются для нахождения периметра прямоугольника.

Как раскрыть скобки

Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить слагаемое вне скобок (или круглых скобок) на слагаемое внутри скобок. Есть три основных способа сделать это, каждый из которых описан ниже.

• Расширяющие одинарные кронштейны
• Расширяющие двойные скобы
• Расширяющиеся тройные кронштейны

Как расширить кронштейны

1. Расширяющие одинарные кронштейны

3(2x + 1) = 6x + 3

Выражения с двумя членами, такими как 6x + 3, известны как биномы .

2. Раскрывающие двойные скобки

(х + 5)(х – 1) = х ² + 4x – 5

Выражения с тремя членами , например x ² + 4x − 5 , известны как трехчленов .

Члены, возведенные в степень 2 , такие как x ² , известны как квадратичные члены .

3. Раскрывающиеся тройные скобки

(x + 1)(x + 2)(x + 3) = x ³ + 6x + 11x + 6 алгебраические термины .

Расширяющие скобки с помощью surds

Существует четвертая, более сложная ситуация, в которой вам может понадобиться использовать свои знания о расширяющихся скобках, но это обычно встречается только в контрольных работах по математике более высокого уровня GCSE, поэтому не является частью этого урока.

Таким образом, чтобы расширить скобки, включающие сурды, мы умножаем каждый член вне скобок на каждый член в скобках и следуем правилам сурдов.

Например, если мы расширим

\[\sqrt{5}(\sqrt{3} – 2\sqrt{5})\]

Получим

\[\sqrt{5}(\sqrt{3} – 2\sqrt{5}) = \sqrt{15} – 10\]

Пошаговая инструкция: Surds

Чтобы раскрыть одну скобку, мы умножаем член вне скобки на все, что внутри скобки.

Чтобы раскрыть одинарные скобки:

1. Умножьте член вне скобок на первый член внутри скобок.
2. Умножьте член вне скобок на второй член в скобках.

Как расширить отдельные кронштейны

Example 1: two terms in the bracket

Expand:

 2(x + 3) 

1. Умножьте член вне скобок (2) на первый член в скобках (x).

2 ✕ x = 2x

2Умножьте значение за скобками (2) на второе слагаемое внутри скобок (3).

78 2x

78

478. .

2(x + 3) = 2x + 6

Пример 2: два члена в скобках и отрицательный член вне скобок − 3) первым слагаемым в скобке (y).

− 3 ✕ y = − 3y

− ✕ + = − so the answer is отрицательный .

Умножьте член вне скобок (- 3) на второй член в скобках (- 4).

− 3 x − 4 = + 12

− ✕ − = +, поэтому ответ положительный. Нам нужно написать + 12.

− 3(y − 4) = − 3y + 12

Пример 3: два слагаемых в скобках и переменные с коэффициентами больше 1

Развернуть:

 3x(4x − 2y ) 

Умножьте член вне скобок (3x) на первый член внутри скобок (4x).

3x ✕ 4x = 12x ²

умножить на член, находящийся вне скобок (вторая скобка).

3x ✕ − 2y = − 6xy

− ✕ + = − so the ответ отрицательный. {2}). 9{2}+20x

При раскрытии одной скобки мы должны обязательно умножать каждый член внутри скобки на число перед скобкой. Убедитесь, что вы указали правильные порядковые номера. Следует соблюдать осторожность, когда умножение включает отрицательные числа.

32-12x-8y

32+12x+8y

32-12x+8y

32-3x+2y

При разложении в одну скобку мы должны обязательно умножить каждый член внутри скобки на число перед кронштейном.

 (x+2)(x+3) 

 x ✕ x = х  2 
х ✕ 3 = 3x
х ✕ 2 = 2х
2 ✕ 3 = 6 

 х  2  + 3х + 2х + 6
= x  2  + 5x + 6 

 (x + 5)(x − 1) 

 x ✕ x = х  2 
х ✕ - 1 = - х 

 х ✕ 5 = 5х
5 ✕ - 1 = - 5 

 х  2  - х + 5х - 5
x  2  + 4x − 5 

 (2x − 3)(x + 4) 

 2x ✕ x = 2x  2 
2x ✕ 4 = 8x
x ✕ - 3 = - 3x 

 4 ✕ - 3 = - 12 

 2x  2  + 8x - 3x - 12
2x  2  + 5x − 12 

 (3x − 4)  2  

 (3x - 4)  2  = (3x - 4)(3x - 4) 

 3x ✕ 3x = 9x  2 
3x ✕ - 4 = - 12x
3x ✕ - 4 = - 12x 

 - 4 ✕ - 4 = + 16 

 (x + 1)(x + 2)(x + 3) 

 х ✕ х = х  2 
х ✕ 2 = 2х
х ✕ 1 = х
1 ✕ 2 = 2 

 х  2  + 2х + х + 2
x  2  + 3x + 2 

 x ✕ x  2  = х  3 
х ✕ 3х = 3х  2 
х ✕ 6 = 6х
3 ✕ х  2  = 3 х  2 
3 ✕ 3x = 9x
3 ✕ 6 = 18 

 x  3  + 3x  2  + 3х  2  + 9х + 2х + 6
x  3  + 6x  2  + 11x + 6 

 (x + 3)  2  (x − 4) Начертить a 
   сетки, вставьте члены первой и второй скобок, а затем заполните ее, перемножив каждый из членов вместе. 
 (х + 3)
х ✕ х = х  2 
х ✕ 3 = 3x
х ✕ 3 = 3x
3 ✕ 3 = 9 
 Выпишите каждое из слагаемых и упростите выражение, собрав одинаковые слагаемые.
 х  2  + 3х + 3х + 9
x  2  + 6x + 9 
 Нарисуйте сетку, вставьте члены из этого нового выражения и третью скобку, затем заполните ее, перемножив каждый из членов вместе.
 
 
 
 ✕ 
 
 x 
 
 + 3x 
 
 
 
 x 
 
 x  2  
 ✕
 x  2 
 + 6x
 + 9
 x
 x  3 
 + 6x  2 
 + 9x
 − 1
 − x  2 
 − 6x
 − 9
 x ✕ x  2  = x  3 
х ✕ 6х = 6х  2 
х ✕ 9 = 9х
− 1 ✕ х  2  = − х  2 
− 1 ✕ 6x = − 6x
− 1 ✕ 9= − 9 
9{2}+6x+1
 Распространенные заблуждения 
  Мы должны умножить значение вне скобок на каждый член внутри скобок. 
 2(6x  2  - 3x) = 12x  2  - 3x ✖ 
 Здесь мы умножили значение за скобками на первый член внутри скобок, но не на второй член.
 Правильный ответ: 2(6x  2  — 3x) = 12x  2  — 6x ✔
 Нам нужно перемножить все члены в скобках.
  Чтобы два числа умножались на +, их знаки должны быть одинаковыми. 
 + ✕ + = + 
 — ✕ — = +
 напр. 2 ✕ 3 = 6 
 например. − 2 ✕ − 3 = 6
 4 ✕ 5 = 20 
 − 4 ✕ − 5 = 20
  Чтобы два числа умножались на a, их знаки должны быть разными. 
 + ✕ — = — 
 — ✕ + = —
 напр. 2 ✕ — 3 = — 6 
 напр. − 2 ✕ 3 = − 6
 4 ✕ − 5 = − 20 
 − 4 ✕ 5 = − 20
 − 4(3y − 5) = − 12y − 20  ✖  
 Здесь мы не использовали − ✕ − 7 − = + 3 90 ✕ − 5 = + 20