Как отнять от единицы дробь: Как из единицы вычесть дробь

Содержание

Что делать при сложении дробей. Сложение дробей

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.

5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
Число 15 состоит из 5 х 3.
Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;

Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

найти НОК для всех знаменателей;
поставить для всех дробей дополнительные множители;
умножить все числители на дополнительный множитель;
полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему — сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

Вычитание правильной дроби из единицы.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Пример вычитания дробей:

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

найти НОК для всех знаменателей;
поставить для всех дробей дополнительные множители;
умножить все числители на дополнительный множитель;
полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Правила отнимание дробей. Вычитание и имеющих целые части

Найдите числитель и знаменатель. Дробь включает два числа: число, которое расположено над чертой, называется числителем, а число, которое находится под чертой – знаменателем. Знаменатель обозначает общее количество частей, на которые разбито некоторое целое, а числитель – это рассматриваемое количество таких частей.

Например, в дроби ½ числителем является 1, а знаменателем 2.

Определите знаменатель. Если две и более дроби имеют общий знаменатель, у таких дробей под чертой находится одно и то же число, то есть в этом случае некоторое целое разбито на одинаковое количество частей. Складывать дроби с общим знаменателем очень просто, так как знаменатель суммарной дроби будет таким же, как у складываемых дробей. Например:

У дробей 3/5 и 2/5 общий знаменатель 5.
У дробей 3/8, 5/8, 17/8 общий знаменатель 8.

Определите числители. Чтобы сложить дроби с общим знаменателем, сложите их числители, а результат запишите над знаменателем складываемых дробей.

У дробей 3/5 и 2/5 числители 3 и 2.
У дробей 3/8, 5/8, 17/8 числители 3, 5, 17.

Сложите числители. В задаче 3/5 + 2/5 сложите числители 3 + 2 = 5. В задаче 3/8 + 5/8 + 17/8 сложите числители 3 + 5 + 17 = 25.

Запишите суммарную дробь. Помните, что при сложении дробей с общим знаменателем он остается без изменений – складываются только числители.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Если нужно, преобразуйте дробь. Иногда дробь можно записать в виде целого числа, а не обыкновенной или десятичной дроби. Например, дробь 5/5 легко преобразуется в 1, так как любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, есть 1. Представьте пирог, разрезанный на три части. Если вы съедите все три части, то вы съедите целый (один) пирог.

Любую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную; для этого разделите числитель на знаменатель. Например, дробь 5/8 можно записать так: 5 ÷ 8 = 0,625.

Если возможно, упростите дробь. Упрощенная дробь – эта дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей.

Например, рассмотрим дробь 3/6. Здесь и у числителя, и у знаменателя есть общий делитель, равный 3, то есть числитель и знаменатель нацело делятся на 3. Поэтому дробь 3/6 можно записать так: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Если нужно, преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь (смешанное число). У неправильной дроби числитель больше знаменателя, например, 25/8 (у правильной дроби числитель меньше знаменателя). Неправильную дробь можно преобразовать в смешанную дробь, которая состоит из целой части (то есть целого числа) и дробной части (то есть правильной дроби). Чтобы преобразовать неправильную дробь, например, 25/8, в смешанное число, выполните следующие действия:

Разделите числитель неправильной дроби на ее знаменатель; запишите неполное частное (целый ответ). В нашем примере: 25 ÷ 8 = 3 плюс некоторый остаток. В данном случае целый ответ – это целая часть смешанного числа.
Найдите остаток. В нашем примере: 8 х 3 = 24; полученный результат вычтите из исходного числителя: 25 — 24 = 1, то есть остаток равен 1. В данном случае остаток – это числитель дробной части смешанного числа.
Запишите смешанную дробь. Знаменатель не меняется (то есть равен знаменателю неправильной дроби), поэтому 25/8 = 3 1/8.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

Вычитание правильной дроби из единицы.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Пример вычитания дробей:

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

найти НОК для всех знаменателей;
поставить для всех дробей дополнительные множители;
умножить все числители на дополнительный множитель;
полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей $5\frac{3}{7}$ и $1\frac{1}{7}$.

$5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}$

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

$4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}$

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей $6\frac{1}{4}$ и $3\frac{3}{4}$.

У уменьшаемого $6\frac{1}{4}$ дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого $3\frac{3}{4}$. То есть \(\frac{1}{4}

$\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}$

Следующий пример:

$7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}$

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: $3-1\frac{2}{5}$

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как $3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}$

$3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}$

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями $2\frac{2}{3}$ и $1\frac{1}{4}$.

Общим знаменателем будет число 12.

$2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}$

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

$4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}$,

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

$4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}$

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) $1-\frac{8}{33}$ б) $1-\frac{6}{7}$

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим $1 = \frac{33}{33}$

$1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}$

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим $1 = \frac{7}{7}$

$1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}$

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) $21-10\frac{4}{5}$ б) $2-1\frac{1}{3}$

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так $21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}$

$21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\$

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так $2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}$

$2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\$

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) $15\frac{6}{17}-4$ б) $23\frac{1}{2}-12$

а) $15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}$

б) $23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}$

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) $1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}$

$1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\$

Пример №5:
Вычислите $5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}$

$\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}$

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

Найти НОК знаменателей дробей;
Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

1/6 Конвертер дробей и процентов, Дроби

1/6 — Одна шестая. Конвертер величин. / Конвертер дробей и процентов, Дроби

EN ES PT RU FR

Ой. .. Javascript не найден.

Увы, в вашем браузере отключен или не поддерживается JavaScript.

К сожалению, без JavaScript этот сайт работать не сможет. Проверьте настройки браузера, может быть JavaScript выключен случайно?

1/6 — Одна шестая. Конвертер и таблица перевода величины.

Всё очень просто:

Нужна помощь?

Этот конвертер величин очень простой. Правда.

1	Это — страница перевода единицы «одна шестая (Дроби)». Чтобы выбрать другую единицу, просто найдите её на странице и кликните по ней. Вы также можете перейти на универсальную страницу перевода величин
2	Введите значение единицы (одна шестая). Щёлкните по кнопке «Посчитать». Введённое значение мгновенно пересчитывается во все совместимые единицы, представленные на странице.
3	Остаётся только найти на странице нужную единицу и посмотреть результат перевода напротив неё.

Введите значение единицы
Нажмите «Посчитать»
Получите результат

?Настройки конвертера:

Объяснение настроек конвертера

Кстати, пользоваться настройками не обязательно. Вам вполне могут подойти настройки по умолчанию.

Количество значащих цифр

Для бытовых целей обычно не нужна высокая точность, удобнее получить округлённый результат. В таких случаях выберите 3 или 4 значащих цифры. Максимальная точность — 9 значащих цифр. Точность можно изменить в любой момент.

Разделитель групп разрядов

Выберите, в каком виде вам будет удобно получить результат:

1234567.89	нет
1 234 567.89	пробел
1,234,567.89	запятая
1.234.567,89	точка

Значащих цифр: 1 23456789
Разделитель разрядов: нет пробел запятая точка

Укажите значение (одна шестая, 1/6):

» открыть »

» свернуть »

Единицы количества

одна шестая → единица (1)
одна шестая → пара
одна шестая → тройка
одна шестая → полдюжины
одна шестая → декада
одна шестая → дюжина
одна шестая → чертова дюжина
одна шестая → скор (англ. )
одна шестая → флок (англ.)
одна шестая → шок (англ.)
одна шестая → сотня
одна шестая → большая сотня (англ.)
одна шестая → гросс
одна шестая → тысяча
одна шестая → большой гросс

Единицы: единица (1) / пара / тройка / полдюжины / декада / дюжина / чертова дюжина / скор (англ.) / флок (англ.) / шок (англ.) / сотня / большая сотня (англ.) / гросс / тысяча / большой гросс

» открыть »

» свернуть »

Проценты и доли

одна шестая → процент (%)
одна шестая → промилле (‰)
одна шестая → частей на миллион (ppm)
одна шестая → частей на миллиард (ppb)

Единицы: процент (%) / промилле (‰) / частей на миллион (ppm) / частей на миллиард (ppb)

» открыть »

» свернуть »

Дроби

Внимание! Эта секция помогает ответить на вопросы такого типа: «Сколько 1/7-ых в одной половинке?» Чтобы получить ответ, введите 1 напротив 1/2 и посмотрите результат напротив 1/7. А теперь проверьте себя! Сможете при помощи нашего калькулятора быстро решить задачку: «Несколько одинаковых тортов разделили на 9 равных частей каждый, потом некоторые куски съели. Осталось 15 кусков. Если бы торты делили на 6 равных частей, и съели бы ровно такой же объём, сколько осталось бы кусков?». Наш калькулятор позволяет получить ответ в одно действие.

одна шестая → половина (1/2)
одна шестая → треть (1/3)
одна шестая → четверть (1/4)
одна шестая → одна пятая (1/5)
одна шестая → одна седьмая (1/7)
одна шестая → одна восьмая (1/8)
одна шестая → одна девятая (1/9)
одна шестая → одна десятая (1/10)
одна шестая → одна шестнадцатая (1/16)
одна шестая → одна тридцать вторая (1/32)

Единицы: половина (1/2) / треть (1/3) / четверть (1/4) / одна пятая (1/5) / / одна седьмая (1/7) / одна восьмая (1/8) / одна девятая (1/9) / одна десятая (1/10) / одна шестнадцатая (1/16) / одна тридцать вторая (1/32)

» открыть »

» свернуть »

Метрические префиксы

Эти префиксы широко используются в системе SI, могут применяться к любой единице. Например, килояблоко — это 1000 яблок.

одна шестая → йокто (y)
одна шестая → цепто (z)
одна шестая → атто (a)
одна шестая → фемто (f)
одна шестая → пико (p)
одна шестая → нано (n)
одна шестая → микро (µ, mc)
одна шестая → милли (m)
одна шестая → санти (c)
одна шестая → деци (d)
одна шестая → дека (da)
одна шестая → гекто (h)
одна шестая → кило (k)
одна шестая → мега (M)
одна шестая → гига (G)
одна шестая → тера (T)
одна шестая → пета (P)
одна шестая → экза (E)
одна шестая → зетта (Z)
одна шестая → йотта (Y)

Единицы: йокто (y) / цепто (z) / атто (a) / фемто (f) / пико (p) / нано (n) / микро (µ, mc) / милли (m) / санти (c) / деци (d) / дека (da) / гекто (h) / кило (k) / мега (M) / гига (G) / тера (T) / пета (P) / экза (E) / зетта (Z) / йотта (Y)

» открыть »

» свернуть »

Количество выступающих

одна шестая → солист
одна шестая → дуэт
одна шестая → трио
одна шестая → квартет
одна шестая → квинтет
одна шестая → сикстет
одна шестая → септет
одна шестая → октет

Единицы: солист / дуэт / трио / квартет / квинтет / сикстет / септет / октет

Не можете найти нужную единицу?

Попробуйте поискать:

Другие варианты:

Посмотрите алфавитный список всех единиц

Задайте вопрос на нашей странице в facebook

< Вернитесь к списку всех конвертеров

Надеемся, Вы смогли перевести все ваши величины, и Вам у нас на Convert-me. Com понравилось. Приходите снова!

! Значение единицы приблизительное.
Либо точного значения нет,
либо оно неизвестно. ? Пожалуйста, введите число. (?) Простите, неизвестное вещество. Пожалуйста, выберите что-то из списка. *** Нужно выбрать вещество.
От этого зависит результат.

Совет: Не можете найти нужную единицу? Попробуйте поиск по сайту. Поле для поиска в верхней части страницы.

Нашли ошибку? Хотите предложить дополнительные величины? Свяжитесь с нами в Facebook.

Действительно ли наш сайт существует с 1996 года? Да, это так. Первая версия онлайнового конвертера была сделана ещё в 1995, но тогда ещё не было языка JavaScript, поэтому все вычисления делались на сервере — это было медленно. А в 1996г была запущена первая версия сайта с мгновенными вычислениями.

Для экономии места блоки единиц могут отображаться в свёрнутом виде. Кликните по заголовку любого блока, чтобы свернуть или развернуть его.

Слишком много единиц на странице? Сложно ориентироваться? Можно свернуть блок единиц — просто кликните по его заголовку. Второй клик развернёт блок обратно.

Наша цель — сделать перевод величин как можно более простой задачей. Есть идеи, как сделать наш сайт ещё удобнее? Поделитесь!

Минуточку, загружаем коэффициенты…

1.7: Сложение и вычитание дробей

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 49851

OpenStax
OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Складывать или вычитать дроби с общим знаменателем
Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями
Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
Вычислить переменные выражения с дробями

Примечание

Более подробное введение в темы, затронутые в этом разделе, можно найти в главе Preалгебра , Фракции .

Сложение или вычитание дробей с общим знаменателем

Когда мы умножали дроби, мы просто умножали числители и прямо умножали знаменатели. Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь общий знаменатель.

Дробное сложение и вычитание

Если $a,b$ и $c$ числа, где $c\neq 0$, то

\[\dfrac{a}{c} + \ dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \quad \text{and} \quad \dfrac{a}{c} — \dfrac{b}{c} = \dfrac{a — б}{с}\]

Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.

Манипулятивная математика

Выполнение упражнений по манипулятивной математике «Сложение дробей модели» и «Вычитание дробей модели» поможет вам лучше понять, как складывать и вычитать дроби.

Упражнение $\PageIndex{1}$

Найдите сумму: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}$.

Ответить: \[\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}} \\ {\text{Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем }} &{\dfrac{x + 2}{3}} \end{массив}\]

Упражнение $\PageIndex{2}$

Найдите сумму: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}$.

Ответить: $\dfrac{х + 3}{4}$

Упражнение $\PageIndex{3}$

Найдите сумму: $\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}$.

Ответить: $\dfrac{y + 5}{8}$

Упражнение $\PageIndex{4}$

Найдите разницу: $-\dfrac{23}{24} — \dfrac{13}{24}$

Ответ: \[\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{23}{24} — \dfrac{13}{24}} \\ {\text{Вычтите числители и поставьте }} &{ \dfrac{-23 — 13}{24}} \\ {\text{разность по общему знаменателю}} &{} \\ {\text{Упрощение}} &{\dfrac{-36}{24}} \\ {\ text{Упростить. Помните, }-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b}} &{-\dfrac{3}{2}} \end{array}\]

Упражнение $\PageIndex{5}$

Найдите разницу: $-\dfrac{19}{28} — \dfrac{7}{28}$

Ответ: $-\dfrac{26}{28}$

Упражнение $\PageIndex{6}$

Найдите разницу: $-\dfrac{27}{32} — \dfrac{1}{32}$

Ответ: $-\dfrac{7}{8}$

Упражнение $\PageIndex{7}$

Найдите разницу: $-\dfrac{10}{x} — \dfrac{4}{x}$

Ответ: \[\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{10}{x} — \dfrac{4}{x}} \\ {\text{Вычтите числители и поставьте }} &{ \dfrac{-14}{x}} \\ {\text{разность над общим знаменателем}} &{} \\ {\text{Переписать со знаком перед дробью. }} &{-\dfrac{ 14}{х}} \конец{массив}\]

Упражнение $\PageIndex{8}$

Найдите разницу: $-\dfrac{9{x} — \dfrac{7}{x}$

Ответ: $-\dfrac{16}{x}$

Упражнение $\PageIndex{9}$

Найдите разницу: $-\dfrac{17}{a} — \dfrac{5}{a}$

Ответ: $-\dfrac{22}{а}$

Теперь мы сделаем пример, который имеет и сложение, и вычитание.

Упражнение $\PageIndex{10}$

Упрощение: $\dfrac{3}{8} + (-\dfrac{5}{8}) — \dfrac{1}{8}$

Ответить: \[\begin{array} {ll} {\text{Сложение и вычитание дробей — есть ли у них }} &{\frac{3}{8} + (-\frac{5}{8}) — \ frac {1} {8}} \\ {\ text {общий знаменатель? Да.}} &{} \\ {\text{Сложите и вычтите числители и поместите}} &{\frac{3 + (-5) — 1}{8}} \\ {\text{результат над общий знаменатель. }} &{} \\ {\text{Упростить слева направо.}} &{\frac{-2 — 1}{8}} \\ {\text{Упростить.}} &{-\frac {3}{8}} \end{массив}\]

Упражнение $\PageIndex{11}$

Упрощение: $\dfrac{2}{9} + (-\dfrac{4}{9}) — \dfrac{7}{9}$

Ответить: $-1$

Упражнение $\PageIndex{12}$

Упрощение: $\dfrac{2}{5} + (-\dfrac{4}{9}) — \dfrac{7}{9}$

Ответить: $-\dfrac{2}{3}$

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Как мы видели, чтобы складывать или вычитать дроби, их знаменатели должны совпадать. наименьший общий знаменатель (LCD) двух дробей — это наименьшее число, которое можно использовать в качестве общего знаменателя дробей. LCD двух дробей является наименьшим общим кратным (НОК) их знаменателей.

НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Наименьшим общим знаменателем (НОД) двух дробей является наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Примечание

Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Нахождение наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять LCD.

После того, как мы найдем наименьший общий знаменатель двух дробей, мы преобразуем дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. Объединение этих шагов позволяет нам складывать и вычитать дроби, потому что их знаменатели будут одинаковыми!

Упражнение $\PageIndex{13}$

Добавить: $\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}$

Ответить

Упражнение $\PageIndex{14}$

Добавить: $\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

Ответ: $\dfrac{79}{60}$

Упражнение $\PageIndex{15}$

Добавить: $\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

Ответ: $\dfrac{103}{60}$

ДОБАВИТЬ ИЛИ ВЫЧИТАТЬ Дроби.

Есть ли у них общий знаменатель?
- Да — перейдите к шагу 2.
- Нет — переписать каждую дробь с ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
Сложение или вычитание дробей.
Упростите, если возможно.

При нахождении эквивалентных дробей, необходимых для создания общих знаменателей, есть быстрый способ найти число, необходимое для умножения числителя и знаменателя. Этот метод работает, если мы нашли LCD, разложив на простые числа.

Посмотрите на факторы на ЖК-дисплее, а затем на каждый столбец над этими факторами. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это нужные нам числа.

Рисунок: $\PageIndex{1}$

В упражнении $\PageIndex{13}$ ЖК-дисплей 36 имеет два множителя 2 и два множителя 3.

Числитель 12 имеет два множителя 2, но только один из 3 — так что «пропущено» одно 3 — мы умножаем числитель и знаменатель на 3.

В числителе 18 отсутствует один делитель 2 — поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на 2.

Мы будем применять этот метод при вычитании дробей в упражнении $\PageIndex{16}$.

Упражнение $\PageIndex{16}$

Вычитание: $\dfrac{7}{15} — \dfrac{19}{24}$

Ответ

Имеют ли дроби общий знаменатель? Нет, поэтому нам нужно найти ЖК-дисплей.

” Under this reads, Rewrite as equivalent fractions with the LCD.” We have the quantity (7 times 8) divided by the quantity (15 times 8) minus the fraction with (19 times 5) as the numerator and (24 times 5) as the denominator. The following line tells us to “Simplify each numerator and denominator.” Hence, we have 56/120 minus 95/120. The next lines tells us to “Subtract.” Hence, we have negative 39/120. The next line tells us to “Rewrite showing the common factor of 3.” We have negative (13 times 3) divided by the quantity (40 times 3). We are then instructed to “Remove the common factor to simplify.” We obtain negative 13/40.»>

Найдите ЖК-дисплей.
Обратите внимание, 15 «отсутствует» три множителя 2, а 24 «отсутствует» 5 из множителей ЖК-дисплея. Итак, мы умножаем 8 на первую дробь и 5 на вторую дробь, чтобы получить ЖК-дисплей.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Упрощение.
Вычесть.	$-\dfrac{39}{120}$
Проверьте, можно ли упростить ответ.	$-\dfrac{13\cdot3}{40\cdot3}$
И 39, и 120 имеют коэффициент 3.
Упрощение.	$-\dfrac{13}{40}$

Не упрощайте эквивалентные дроби! Если вы это сделаете, вы вернетесь к исходным дробям и потеряете общий знаменатель!

Упражнение $\PageIndex{17}$

Вычитание: $\dfrac{13}{24} — \dfrac{17}{32}$

Ответить: $\dfrac{1}{96}$

Упражнение $\PageIndex{18}$

Вычитание: $\dfrac{7}{15} — \dfrac{19}{24}$

Ответ: $\dfrac{75}{224}$

В следующем примере одна из дробей содержит переменную в числителе. Обратите внимание, что мы делаем те же шаги, что и в случае, когда оба числителя являются числами.

Упражнение $\PageIndex{19}$

Добавить: $\dfrac{3}{5} + \dfrac{x}{8}$

Ответ

У дробей разные знаменатели.

” Hence, we have 24/40 plus 5x/40. The next line tells us to “Add.” Hence, we have the quantity (24 + 5x) divided by 40.»>


Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Упрощение.
Доп.

Помните, что мы можем добавлять только подобные термины: $24$ и $5 x$ не являются подобными терминами.

Упражнение $\PageIndex{20}$

Добавить: $\dfrac{y}{6} + \dfrac{7}{9}$

Ответ: $\dfrac{3y + 14}{18}$

Упражнение $\PageIndex{21}$

Добавить: $\dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{15}$

Ответить: $\dfrac{15x + 42}{153}$

Теперь у нас есть все четыре операции для дробей. Таблица $\PageIndex{1}$ суммирует дробных операций .

Таблица $\PageIndex{1}$
Умножение дробей	Дробный отдел
$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ Умножить числители и умножить знаменатели	$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$ Умножить первую дробь на обратную второй.
Добавление дроби	Вычитание дробей
$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Для умножения или деления дробей ЖК-дисплей НЕ нужен. Для сложения или вычитания дробей необходим ЖК-дисплей.

Упражнение $\PageIndex{22}$

Упрощение:

$\dfrac{5x}{6} — \dfrac{3}{ 10}$
$\dfrac{5x}{6}\cdot \dfrac{3}{10}$.

Ответ

Сначала спросите: «Что за операция?» Как только мы определим операцию, которая определит, нужен ли нам общий знаменатель. Помните, нам нужен общий знаменатель, чтобы складывать или вычитать, но не умножать или делить.

1. Что такое операция? Операция — вычитание.

\[\begin{array} {ll} {\text{Имеют ли дроби общий знаменатель? №}} &{\frac{5x}{6} — \frac{3}{10}} \\ {\text{Перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь на ЖК-дисплее.}} &{\frac{5x\ cdot 5}{6\cdot 5} — \frac{3\cdot3}{10\cdot3}} \\ {} &{\frac{25x}{30} — \frac{9}{30}} \\{\text{Вычтите числители и поместите разницу в}} &{\frac{25x — 9}{30}} \\ {\text{общие знаменатели.}} &{} \ \ {\text{Упростите, если возможно. Общих множителей нет.}} &{} \\ {\text{Дробь упрощена.}} &{} \end{массив}\]

2. Что такое операция? Умножение.

\[\begin{array} {ll} {} &{\frac{5x}{6}\cdot \frac{3}{10}} \\ {\text{Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте} } &{\frac{5x\cdot 3}{6\cdot 10}} \\ {\text{знаменатели}} &{} \\{\text{Перепишите, показав общие множители. }} &{\frac{ \not 5 x\cdot\not3}{2\cdot\not3\cdot2\cdot\not5}} \\ {\text{общие знаменатели}} &{} \\ {\text{Упростить.}} &{\ frac{x}{4}} \end{массив}\]

Упражнение $\PageIndex{23}$

Упрощение:

$\dfrac{3a}{4} — \dfrac{8}{9}$
$\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{8}{9}$

Ответить

$\dfrac{27a — 32}{36}$
$\dfrac{2a}{3}$

Упражнение $\PageIndex{24}$

Упрощение:

$\dfrac{4k}{5} — \dfrac{1}{6}$
$\dfrac{4k}{5}\cdot\dfrac{1}{6}$

Ответить

$\dfrac{24k — 5}{30}$
$\dfrac{2k}{15}$

Порядок действий для упрощения сложных дробей

Мы видели, что сложная дробь — это дробь, в которой числитель или знаменатель содержит дробь. Дробная полоса указывает на деление . Мы упростили комплексную дробь $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$, разделив $\dfrac{3}{4}$ на $\dfrac {5}{8}$. 9{2}}\)

Ответ: $272$

УПРОЩЕНИЕ СЛОЖНЫХ ДРОБЕЙ.

Упростите числитель.
Упростите знаменатель.
Разделить числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

Упражнение $\PageIndex{28}$

Упростить: $\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} — \ frac{1}{6}}$

Ответ: \[\begin{array} {ll} {} &{\frac{(\frac{1}{2} + \frac{2}{3})}{(\frac{3}{4} — \ frac{1}{6})}} \\ {\text{Упростите числитель (LCD = 6) и упростите знаменатель (LCD = 12).}} &{\ frac {(\ frac {3}{6} + \frac{4}{6})}{(\frac{9}{12} — \frac{2}{12})}} \\ {\text{Упрощение}} &{\frac{(\ frac{7}{6})}{(\frac{7}{12})}} \\{\text{Разделить числитель на знаменатель.}} &{\frac{7}{6}\div\ frac{7}{12}} \\ {\text{Упрощение}} &{\frac{7}{6}\cdot\frac{12}{7}} \\ {\text{Разделите общие множители. }} &{\frac{7\cdot6\cdot2}{6\cdot7}} \\ {\text{Упрощение}} &{2} \end{массив}\]

Упражнение $\PageIndex{29}$

Упростить: $\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} — \ frac{1}{3}}$

Ответ: $2$

Упражнение $\PageIndex{30}$

Упрощение: $\dfrac{\frac{2}{3} — \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + \ frac{1}{3}}$

Ответ: $\dfrac{2}{7}$

Вычисление переменных выражений с дробями

Раньше мы вычисляли выражения, но теперь мы можем вычислять выражения с дробями. Помните, чтобы вычислить выражение, мы подставляем значение переменной в выражение, а затем упрощаем.

Упражнение $\PageIndex{31}$

Вычислить $x + \dfrac{1}{3}$, когда

$x = -\dfrac{1}{3}$
$х = -\dfrac{3}{4}$

Ответить

1. Чтобы вычислить $x + \dfrac{1}{3}$, когда $x = -\dfrac{1}{3}$, замените $-\dfrac{1}{3}$ для $x$ в выражении.



Упрощение.	$0$

2. Чтобы вычислить $x + \dfrac{1}{3}$, когда $x = -\dfrac{3}{4}$, замените $-\dfrac{3}{4} }$ для $x$ в выражении.

” Then our expression reads as negative 3/4 plus 1/3. The following line instructs us to “Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 12.” Our expression thus reads as negative (3 times 3) divided by (4 times 3) plus the quantity (1 times 4) divided by (3 times 4). The following line tells us to “Simplify.” Hence, we have negative 9/12 + 4/12. The last line tells us to “Add.” Hence, we have negative 5/12.»>



Переписать как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем, 12.
Упрощение.
Доп.	$-\dfrac{5}{12}$

Упражнение $\PageIndex{32}$

Вычислить $x + \dfrac{3}{4}$, когда

$x = -\dfrac{7}{4}$
$х = -\dfrac{5}{4}$

Ответить

$-1$
$-\dfrac{1}{2}$

Упражнение $\PageIndex{33}$

Вычислить $y + \dfrac{1}{2}$, когда

$y = \dfrac{2}{3}$
$y = -\dfrac{3}{4}$

Ответить

$\dfrac{7}{6}$
$-\dfrac{1}{12}$

Упражнение $\PageIndex{34}$

Вычисление $-\dfrac{5}{6} — y$, когда $y = -\dfrac{2}{3}$

Ответ

On the following line, we have the direction “Substitute negative 2/3 for y.” Then our expression reads as negative 5/6 minus negative 2/3. The following line instructs us to “Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 6.” Our expression thus reads as negative 5/6 minus negative 4/6. The following line tells us to “Subtract.” Hence, we have the quantity (negative 5 minus negative 4) divided by 6. The following line instructs us to “Simplify”, which becomes one sixth.»>



Перепишите как эквивалентные дроби с LCD, $6$.
Вычесть.
Упрощение.	$-\dfrac{1}{6}$

Упражнение $\PageIndex{35}$

Вычислить $y + \dfrac{1}{2}$, когда $y = \dfrac{2}{3}$

Ответ: $-\dfrac{1}{4}$

Упражнение $\PageIndex{36}$

Вычислить $y + \dfrac{1}{2}$, когда $y = \dfrac{2}{3}$ 9{2}г\) Сначала упростите показатели степени. $2(\frac{1}{16})(-\frac{2}{3})$ Умножить. Разделите общие факторы. Обратите внимание, что мы записываем $16$ как $2\cdot2\cdot4$, чтобы упростить удаление. $-\frac{\not2\cdot1\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot4\cdot3}$ Упрощение. 9{3}d\), когда $c = -\dfrac{1}{2}$ и $d = -\dfrac{4}{3}$.

Ответить: $\dfrac{2}{3}$

В следующем примере будут только переменные, без констант.

Упражнение $\PageIndex{40}$

Вычислить $\dfrac{p + q}{r}$, когда $p = -4, q = -2$ и $r = 8 $.

Ответить

Чтобы оценить $\dfrac{p + q}{r}$, когда $p = -4, q = -2$ и $r = 8$, мы подставляем значения в выражение.

On the following line, we have the direction “Substitute negative 4 for p, negative 2 for q and 8 for r.” Then our expression reads as the quantity negative 4 plus negative 2 divided by 8. The following line instructs us to “Add in the numerator first.” Our expression thus reads as negative 6/8. The following line tells us to “Simplify.” Hence, we have the quantity negative three fourths.»>

	$\dfrac{p + q}{r}$

Сначала добавьте числитель.	$\dfrac{-6}{8}$
Упрощение.	$-\dfrac{3}{4}$

Упражнение $\PageIndex{41}$

Вычисление $\dfrac{a+b}{c}$, когда $a = -8, b = -7$ и $c = 6 $.

Ответить: $-\dfrac{5}{2}$

Упражнение $\PageIndex{42}$

Вычисление $\dfrac{x+y}{z}$, когда $x = 9, y = -18$ и $z = -6 $.

Ответить: $\dfrac{3}{2}$

Ключевые понятия

Сложение и вычитание дробей: Если $a, b$ и $c$ числа, где $c\neq 0$, то
$\dfrac{a} {c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$ и $\dfrac{a}{c} — \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b {с}$
Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.
Стратегия сложения или вычитания дробей
1. Есть ли у них общий знаменатель?
  Да — перейдите к шагу 2.
  Нет — перепишите каждую дробь с помощью ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
2. Сложение или вычитание дробей.
3. Упростите, если возможно. Для умножения или деления дробей ЖК-дисплей НЕ нужен. Чтобы складывать или вычитать дроби, необходим ЖК-дисплей IS.
Упростить сложные дроби
1. Упростите числитель.
2. Упростите знаменатель.
3. Разделить числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

Эта страница под заголовком 1.7: Сложение и вычитание дробей распространяется по лицензии CC BY и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
СС BY
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
1. источник[1]-math-15122

Как делить, умножать, складывать и вычитать дробь

Исследуйте дроби

Дроби — важная часть изучения математики и действительно важный урок в жизни. Иногда все не так просто, как хотелось бы; иногда нам приходится собирать кусочки вместе и работать с тем, что у нас есть.

Мораль этой истории: математика похожа на реальную жизнь — потому что математика — это реальная жизнь! — а реальная жизнь не всегда хороша, целые числа.

Но знаете что? Вы можете справиться с этим. И мы здесь, чтобы показать вам, как это сделать.

Начнем!

Что такое дробь?

Дробь — это математическая величина, которая не является целым числом.

Хотя дроби могут не равняться одному целому, дроби говорят вам, сколько у вас частей целого. Например, если у вас осталось $3$$ кусочков пиццы, состоящей из $8$$, у вас есть $$\frac{3}{8}$$ пиццы.

Однако вы также можете представить целое число $$1$$ в виде дроби, положив любое число на себя, например, $$\frac{5}{5}$$. Подумайте об этом так: если у вас есть $$5$$ кусочков яблочного пирога, состоящего из $5$$-кусков, у вас есть один целый яблочный пирог.

Вы также можете представить целое число в виде дроби, поместив это число над 1, например $$\frac{5}{1}$$ (запомните это позже!).

Итак, в очень специфических случаях дробь может представлять целое. Однако, вообще говоря, дробь показывает вам количество, которое меньше (а иногда и больше) целого.

Дробная форма

Как узнать, что вы работаете с дробью? Вы можете сказать по его форме!

Например, это целое число («целое число»): $$3$$

Но это дробь: $$\frac{1}{3}$$

Эту дробь можно прочитать как «один на три» или «одна треть».

Прежде чем двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим каждую часть формы дроби:

Части дроби

Типичная дробь состоит из трех частей: верхней, нижней и разделительной линии. Обычно вы видите его сложенным, вот так:

$$\frac{2}{5}$$

Эту горизонтальную линию посередине часто называют «полосой дроби».

Теперь, как вы могли догадаться, мы не просто ссылаемся на числа как на «верхнее число» или «нижнее число». Итак, вы можете спросить:

Как называется верхнее число дроби?

Верхнее число дроби, то есть число над чертой, называется «числителем».

Например, в дроби $$\frac{2}{3}$$ числитель равен $$2$$.

Числитель говорит нам, сколько деталей у нас есть.

Как называется нижнее число дроби?

Нижнее число дроби под чертой дроби называется «знаменатель».

В примере $$\frac{2}{3}$$ наш знаменатель равен $$3$$.

Знаменатель говорит нам, сколько частей нам понадобится, чтобы составить целое.

Решение задач с дробями

Итак, теперь мы знаем, как распознавать дроби и ссылаться на них, но как мы на самом деле с ними работаем? Все зависит от вашего оператора!

Когда вы будете решать, вам нужно убедиться, что ваш результат упрощен или сведен к простейшим терминам. Например, если ваш результат равен $$\frac{4}{6}$$, вы заметите, что и числитель ($$4$$), и знаменатель ($$6$$) делятся на $$2$$. Таким образом, вы должны разделить каждую на $$2$$, чтобы получить простейшую форму дроби: $$\frac{2}{3}$$.

Но как мы получим наш результат? Читайте наши практические руководства!

Как: разделить дроби

Если одна операция с дробями может вас запутать, то это, вероятно, деление. Так что не думайте, что вы одиноки! К счастью, мы здесь, чтобы объяснить, как уверенно ориентироваться в нем.

Вы можете разделить дробь на целое число, целое число на дробь или даже дробь на дробь!

При делении на дроби следует помнить очень важный термин: обратное .

Обратная дробь — это перевернутая дробь, другими словами, мы меняем местами числитель и знаменатель. Например, величина, обратная $$\frac{2}{3}$$, равна $$\frac{3}{2}$$.

Начнем с деления целого числа на дробь, например:

$$2 ÷ \frac{1}{4}$$

Решить задачу математически на самом деле проще, чем вы думаете! Вот как мы это делаем:

Сначала нам нужно превратить целое число в дробь. Помните, мы говорили, что любое число больше $$1$$ равно самому себе? Вот почему мы можем превратить $$2$$ в $$\frac{2}{1}$$. Итак, наше уравнение на самом деле будет читать $$\frac{2}{1} ÷ \frac{1}{4}$$
Вот в чем дело: на самом деле мы не делим на дробь. Умножаем на обратное! Помните: обратное число — это просто перевернутая версия дроби. Вот почему наш следующий шаг выглядит как $$\frac{2}{1} \times \frac{4}{1}$$
Затем мы просто умножаем, поэтому умножаем числители в верхней строке и знаменатели в нижней строке.
Если вы можете упростить результат своего умножения, приведите его к простейшей форме! В нашем случае наш результат равен $$\frac{8}{1}$$, что на самом деле составляет всего $$8$$.

Дробь, деленная на другую дробь

Возможно, вы заметили, что даже когда речь идет о целых числах, в итоге мы делим две дроби. Это потому, что нам нужны одинаковые термины, чтобы правильно выполнить операцию!

Итак, деление дроби на дробь на один шаг меньше, чем деление целого числа на дробь!

Возьмем пример $$\frac{3}{8} ÷ \frac{2}{3}$$

Оба наших термина являются дробями, поэтому у нас уже есть похожие термины! Разве ты не любишь, когда первый шаг — халява?
Помните, что на самом деле мы не делим на дробь — мы умножаем на ее обратную величину! Это означает, что наш первый реальный шаг — преобразовать выражение в $$\frac{3}{8} \times \frac{3}{2}$$
Следующая часть проста: просто умножьте верх и низ. Итак, умножим числители и отдельно умножим знаменатели, чтобы получить $$\frac{9}{16}$$
Вы не всегда сможете свести результат к более простым терминам, но если можете, сделайте это сейчас. В нашем случае $$\frac{9}{16}$$ уже настолько прост, насколько это возможно, так что мы закончили!

Практическое руководство. Умножение дробей

Умножение — одна из самых простых операций, которые можно выполнять с дробями!

Все, что вам нужно сделать, это оставаться на своей полосе, то есть умножать верхний ряд и нижний ряд отдельно.

Что мы подразумеваем под этим?

Допустим, мы хотим умножить $$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$$. Мы бы:

Перенести дробную черту
Умножить числители над ним $$2 \times 3$$
Умножьте знаменатели под ним $$5 \times 4$$
Уменьшите результат, если можете! $$\frac{6}{20}$$ можно уменьшить до $$\frac{3}{10}$$

Как вычитать дроби

Чтобы вычитать дроби, вам нужно убедиться, что обе ваши дроби имеют одинаковый знаменатель (называемый «наименьшим общим знаменателем» или сокращенно НЗ).

Как только вы вычислите знаменатели, все будет очень просто! Все еще нужно больше? Мы можем показать вам все детали вычитания дробей.

Как: Сложение дробей

Сложение дробей также требует сопоставления знаменателей, поэтому вам, возможно, придется найти ЖК-дисплей, прежде чем вы сможете начать свою операцию.

Нужна помощь? Складываем дроби вместе.

Примеры дробей

Одно дело изучать дроби из учебника. Другое дело — поместить их в контекст!

К счастью, мы собрали несколько примеров дробей из реальной жизни — а что может быть лучше темы, чем еда?

Вы хотите удвоить свой любимый рецепт соуса для пасты (а кто бы отказался?). Оригинальный рецепт требует $$\frac{1}{2}$$ чашки измельченных помидоров. Чтобы удвоить рецепт, вам нужно добавить дроби: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$
Вы приготовили коктейль для вечеринки у бассейна. Ваша порция составляет $$2$$ стакана жидкости, и вам нужно поровну разделить ее на стаканы, вмещающие $$\frac{1}{4}$$ стакана. Если вы хотите узнать, сколько очков вы получите, вы должны решить $$2 ÷ \frac{1}{4}$$
Вы только что ели пиццу, и у вас осталось коробок с пиццей на $3$$. В каждой коробке осталось $$\frac{1}{3}$$ пиццы. Чтобы узнать, сколько целых пицц у вас осталось, умножьте $$3 \times \frac{1}{3}$$.

Практические задачи на дроби

Лучший способ овладеть навыком — это практика, поэтому вот некоторые задачи, которые вы можете решить в безопасном месте:

$$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}$$
$$\frac{1}{3}\times\frac{2}{7}$$
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$
$$\frac{9}{2}+\frac{1}{3}+\frac{7}{12}$$

Если вам нужна помощь, отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы направим вас на правильный путь!

Вот как мы решаем первую практическую задачу в приложении:

00:00 / 00:00

Часто задаваемые вопросы
Какие существуют 3 типа дробей?

Дроби могут быть правильными, неправильными или частью смешанного числа. Правильная дробь имеет меньшее число в числителе, чем в знаменателе, например $$\frac{2}{3}$$. У неправильной дроби числитель выше знаменателя, как в $$\frac{6}{2}$$.

Как решать и упрощать дроби?

Решив уравнение с дробями, вы можете упростить результат, если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.

Как решать дроби со смешанными числами?

Решение уравнения со смешанными числами зависит от операции, поэтому отсканируйте задачу с помощью приложения Photomath, чтобы мы могли объяснить ее подробно!

Есть домашнее задание по дробям?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших проблем с дробями.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

11.3 — Сложение и вычитание алгебраических дробей

Процедура сложения или вычитания алгебраических дробей такая же, как и процедура сложение или вычитание обыкновенных дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Фракции, имеющие равные знаменатели, также называются , как и дроби 9.1415 .

Чтобы сложить или вычесть две одинаковые дроби, просто сложите или вычтите числители и поднесите результат к общему знаменателю, как это:
Пример:

Сложение дробей с неравными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби, у которых знаменатели не равны, их нужно сначала преобразовать в эквивалентные дроби, что до имеют общий знаменатель. Вот шаги:
Найдите наименьшее общее кратное знаменатели. Применительно к дробям это число называется наименьшим общим числом. знаменатель (ЖК) дробей.
Преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую LCD как его знаменатель. Для этого умножьте числитель на знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель, благодаря которому это происходит.
Сложите числители и поместите над общим знаменателем.
Упростите результат, сократив его до минимума.
Пример: . Чтобы вычесть эти дроби, выполните следующие действия:
Найдите ЖК, это 10.
Поскольку в знаменателе первой дроби уже стоит LCD, нам нужно только умножьте вторую дробь на 5/5, чтобы преобразовать ее в эквивалентную дробь с знаменатель 10.
Вычтите числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, сократив дробь до меньших членов.

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:
Найдите ЖК-дисплей, который имеет размер (4 x − 1)( x + 3).
Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на ( x + 3) и числитель и знаменатель второй дроби на (4 x − 1):
Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, распределив числитель.

Сложение дробей с факторизуемыми знаменателями

Вы должны всегда факторизовать знаменатели. Это единственный способ определить, является ли фактор появляется более чем в одном знаменателе.
Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:
Разложите знаменатель первой дроби на множители. Тогда мы видим, что факторы x — 2 и x — 3 появляются более чем в одном знаменателе:
Найдите ЖК-дисплей, который имеет размер ( x − 2)( x − 3).
Умножить числитель и знаменатель второй дроби на ( х — 3) и числитель и знаменатель третьей дроби на ( x — 2):
Теперь обе дроби имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

Сложение дробей и не дробей (смешанные выражения)

Чтобы сложить или вычесть дроби и не дроби, преобразуйте не дроби в дроби со знаменателем 1.

Пример: . Чтобы добавить эту дробь и не дробь, выполните следующие действия:
Запишите не дробь в виде дроби со знаменателем 1:
Найдите ЖК-дисплей, который, конечно же, ( x − 2).
Умножить числитель и знаменатель первой дроби на ( х — 2):
Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.

	\(\dfrac{p + q}{r}\)

Сначала добавьте числитель.	\(\dfrac{-6}{8}\)
Упрощение.	\(-\dfrac{3}{4}\)

Умножение дробей	Дробный отдел
\(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\) Умножить числители и умножить знаменатели	\(\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\) Умножить первую дробь на обратную второй.
Добавление дроби	Вычитание дробей
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Для умножения или деления дробей ЖК-дисплей НЕ нужен. Для сложения или вычитания дробей необходим ЖК-дисплей.



Упрощение.	\(0\)

Что делать при сложении дробей. Сложение дробей

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Свойство дроби

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей из целого числа

Вычитание правильной дроби из единицы.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

Вычитание смешанных дробей.

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

Примеры применения правила для алгебраических дробей

Примеры применения правила с последующим сокращением

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Вычитание правильной дроби из единицы.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

Вычитание смешанных дробей.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Как найти значение выражения где знаменатели разные

Правила отнимание дробей. Вычитание и имеющих целые части

Вычитание правильной дроби из единицы.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

Вычитание смешанных дробей.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Как найти значение выражения где знаменатели разные

Умножение дроби на число

Деление дроби на число

1/6 Конвертер дробей и процентов, Дроби

1/6 — Одна шестая. Конвертер и таблица перевода величины.

Этот конвертер величин очень простой. Правда.

Объяснение настроек конвертера

Количество значащих цифр

Разделитель групп разрядов

Единицы количества

Проценты и доли

Дроби

Метрические префиксы

Количество выступающих

Не можете найти нужную единицу?

Минуточку, загружаем коэффициенты…

1.7: Сложение и вычитание дробей

Цели обучения

Примечание

Сложение или вычитание дробей с общим знаменателем

Дробное сложение и вычитание

Манипулятивная математика

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Примечание

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

ДОБАВИТЬ ИЛИ ВЫЧИТАТЬ Дроби.

Упражнение \(\PageIndex{16}\)