Whaleblue

Начать решать задания

Вычитание дробей бывает двух видов:
1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1. Найдём значение выражения 2/3 — 1/3 . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:
2/3 — 1/3 = (2 — 1)/3 = 1/3

Пример 2. Найти значение выражения 3/5 — 2/5.
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

3/5 — 2/5 = (3-2)/5 = 1/5

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби 2/3 можно вычесть дробь 1/3, поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби 3/4 нельзя вычесть дробь 1/3, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью. Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 2/3 — 1/4
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12 — НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям 2/3 и 1/4
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4.
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3.

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
(2 * 4)/(3 * 4) — (1 * 3)/(4 * 3) = 8/12 — 3/12 = (8 — 3)/12 = 5/12

То есть 2/3 — 1/4 = 5/12

Начать решать задания

§ Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

Запомните!

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
   один одночлен — «а».
3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

---

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.

   Важно!

   Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p² − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p² − 36)» на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

Важно!

Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Алгебраические дроби. Сокращение Сложение и вычитание алгебраических дробей Умножение алгебраических дробей Деление алгебраических дробей

---

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Отправить

---

4.8: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 1)

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4995

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Найдите наименьший общий знаменатель (LCD)
• Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Идентифицировать и использовать дробные операции
• Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
• Вычислить переменные выражения с дробями

будь готов!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность. 9{2} + 4}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.3.13.

Найдите наименьший общий знаменатель

В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Но как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить одну четверть и один цент? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно. Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс один цент, вы заменяете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна \(25\) центам, а один дайм равен \(10\) центам, поэтому сумма равна \(35\) центам. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Вместе четверть и десять центов составляют 35 центов или \(\dfrac{35}{100}\) доллара.

Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем. С монетами, когда мы конвертируем в центы, знаменатель равен \(100\). Поскольку в одном долларе содержится \(100\) центов, \(25\) центов равно \(\dfrac{25}{100}\), а \(10\) центов равно \(\dfrac{10}{100} \). Итак, мы добавляем \(\dfrac{25}{100} + \dfrac{10}{100}\), чтобы получить \(\dfrac{35}{100}\), что составляет \(35\) центов.

Вы научились складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Теперь посмотрим, что нужно делать с дробями, имеющими разные знаменатели.

Во-первых, мы будем использовать фрагменты дробей для моделирования нахождения общего знаменателя \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\). Мы начнем с одной плитки \(\dfrac{1}{2}\) и плитки \(\dfrac{1}{3}\). Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать для точного сопоставления и \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\). Если мы попробуем кусочки \(\dfrac{1}{4}\), \(2\) из них в точности совпадают с кусочком \(\dfrac{1}{2}\), но они не точно совпадают с \ (\dfrac{1}{3}\) шт.

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Если мы попробуем части \(\dfrac{1}{5}\), они не полностью покроют \(\dfrac{1}{2} \) кусок или \(\dfrac{1}{3}\) кусок.

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Если бы мы попробовали части \(\dfrac{1}{12}\), они бы тоже сработали.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Даже меньшие фрагменты, такие как \(\dfrac{1}{24}\) и \(\dfrac{1}{48}\), также точно покройте часть \(\dfrac{1}{2}\) и часть \(\dfrac{1}{3}\). Знаменатель наибольшей части, покрывающей обе дроби, равен 9.0092 наименьший общий знаменатель (LCD) двух дробей. Таким образом, наименьший общий знаменатель для \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\) равен \(6\).

Обратите внимание, что все плитки, покрывающие \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\), имеют нечто общее: их знаменатели являются общими кратными \(2\ ) и \(3\), знаменатели \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\). Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей равно \(6\), поэтому мы говорим, что \(6\) является наименьшим общим знаменателем (НОК) дробей \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{3}\).

Определение: Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей – это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Чтобы найти НОК двух дробей, найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую мы использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Пример \(\PageIndex{1}\): lcd

Найдите ЖК-дисплей для дробей \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{18}\).

Решение

Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
Перечислите простые числа от 12 и простые числа от 18, по возможности выстроив их в столбцы.
Опустить колонны.
Умножьте множители. Продукт LCM.	НОК = 36
LCM 12 и 18 равен 36, поэтому LCD \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{18}\) равен 36.	LCD для \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{18}\) равно 36.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{11}{15}\) .

Ответить

\(60\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: \(\dfrac{13}{15}\) и \(\dfrac{17}{5}\).

Ответить

\(15\)

Чтобы найти НОК двух дробей, найдите НОК их знаменателей. Обратите внимание, что шаги, показанные ниже, похожи на шаги, которые мы предприняли, чтобы найти LCM.

КАК: НАЙТИ НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ (НОД) ДВУХ ДРОБЕЙ

Шаг 1. Разложите каждый знаменатель на его простые числа.

Шаг 2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставляя простые числа в столбцах.

Шаг 3. Опустите столбцы.

Шаг 4. Перемножьте коэффициенты. Произведение представляет собой НОК знаменателей.

Шаг 5. НОК знаменателей – это НОК дробей.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Найдите наименьший общий знаменатель дробей \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{11}{24}\).

Решение

Чтобы найти ЖК, находим НОК знаменателей. Найдите НОК \(15\) и \(24\).

НОК для \(15\) и \(24\) равен \(120\). Таким образом, LCD \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{11}{24}\) равен \(120\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: \(\dfrac{13}{24}\) и \(\dfrac{17}{32}\).

Ответить

\(96\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: \(\dfrac{9}{28}\) и \(\dfrac{21}{32}\).

Ответить

\(224\)

Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея

Ранее мы использовали фрагменты дробей, чтобы увидеть, что ЖК-дисплей \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\) \(12\). Мы видели, что три \(\dfrac{1}{12}\) отрезка точно покрыты \(\dfrac{1}{4}\) и два \(\dfrac{1}{12}\) отрезка точно покрыты \( \dfrac{1}{6}\), поэтому

\[\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12} \quad и \quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{ 2}{12} \ldotp \nonumber \]

Мы говорим, что \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{3}{12}\) являются эквивалентными дробями, а также что \(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{2}{12}\) — эквивалентные дроби.

Свойство эквивалентных дробей можно использовать для алгебраического преобразования дроби в эквивалентную. Помните, что две дроби эквивалентны, если они имеют одинаковое значение. Свойство Equivalent Fractions повторяется ниже для справки.

Определение: свойство эквивалентных дробей

Если \(a, b, c\) — целые числа, где \(b ≠ 0\), \(c ≠ 0\), то

\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} \quad и \quad \dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{ a}{b}\]

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, нам сначала нужно преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея. Давайте посмотрим, как заменить \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\) на эквивалентные дроби со знаменателем \(12\) без использования моделей.

Пример \(\PageIndex{3}\): преобразование

Преобразование \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\) в эквивалентные дроби со знаменателем \(12 \), их ЖК.

Решение

Найдите ЖК-дисплей.	ЖК-дисплей \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\) равен 12.
Найдите число, на которое нужно умножить 4, чтобы получить 12.	\(4 \cdot \textcolor{red}{3} = 12\)
Найдите число, на которое нужно умножить 6, чтобы получить 12.	\(6 \cdot \textcolor{red}{2} = 12\)
Используйте свойство «Эквивалентные дроби», чтобы преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число.	\(\begin{split} \dfrac{1}{4} \qquad & \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor {red}{3}} \qquad & \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot \textcolor{red}{2}} \end{split}\)
Упростите числители и знаменатели.	\(\dfrac{3}{12} \qquad \dfrac{2}{12}\)

Полученные дроби не уменьшаем. Если бы мы это сделали, мы бы вернулись к нашим первоначальным дробям и потеряли бы общий знаменатель.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Замените эквивалентные дроби на ЖК-дисплее: \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{5}{6}\), \( LCD = 12\)

Ответ

\(\dfrac{9}{12}, \dfrac{10}{12}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Замените эквивалентные дроби на ЖК-дисплее: \(- \dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{11}{15}\), \ (ЖК = 60\)

Ответ

\(-\dfrac{35}{60}, \dfrac{44}{60}\)

КАК: ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДВЕ ДРОБИ В ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ Дроби, ПРИНИМАЯ ИХ ДИСПЛЕЙ В КАЧЕСТВЕ ОБЩЕГО ЗНАМЕНАТЕЛЯ

Шаг 1. Найдите ДИСПЛЕЙ.

Шаг 2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖКИ.

Шаг 3. Используйте свойство «Эквивалентные дроби», чтобы умножить числитель и знаменатель на число, найденное на шаге 2.

Шаг 4. Упростите числитель и знаменатель.

Пример \(\PageIndex{4}\): преобразование

Преобразование \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{11}{24}\) в эквивалентные дроби со знаменателем \(120\), их LCD.

Найдите число, на которое нужно умножить 15, чтобы получить 120.	\(15 \cdot \textcolor{red}{8} = 120\)
Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120.	\(24 \cdot \textcolor{red}{5} = 120\)
Использовать свойство «Эквивалентные дроби».	\(\dfrac{8 \cdot \textcolor{red}{8}}{15 \cdot \textcolor{red}{8}} \qquad \dfrac{11 \cdot \textcolor{red}{5}}{24 \cdot\textcolor{красный}{5}}\)
Упростите числители и знаменатели.	\(\dfrac{64}{120} \qquad \dfrac{55}{120}\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Замените эквивалентные дроби на ЖК-дисплее: \(\dfrac{13}{24}\) и \(\dfrac{17}{32}\), LCD \(96\)

Ответ

\(\dfrac{52}{96}, \dfrac{51}{96}\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Замена на эквивалентные дроби с помощью LCD: \(\dfrac{9}{28}\) и \(\dfrac{27}{32}\), LCD \ (224\)

Ответ

\(\dfrac{72}{224}, \dfrac{189}{224}\)

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

После преобразования двух дробей в эквивалентные формы с общими знаменателями мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители.

КАК: СКЛАДЫВАТЬ ИЛИ ВЫЧИТАТЬ Дроби С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Шаг 1. Найдите ЖК-дисплей.

Шаг 2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.

Шаг 3. Сложите или вычтите дроби.

Шаг 4. Запишите результат в упрощенной форме.

Пример \(\PageIndex{5}\): добавить

Добавить: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\).

Решение

Найдите ЖК-дисплей 2, 3.
Преобразование в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея 6.	\(\dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{2 \cdot \textcolor{red}{3}} + \dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{2}}{3 \ cdot \textcolor{красный}{2}}\)
Упростите числители и знаменатели.	\(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\)
Доп.	\(\dfrac{5}{6}\)

Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ. Поскольку \(5\) и \(6\) не имеют общих множителей, дробь \(\dfrac{5}{6}\) не может быть уменьшена.

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Добавить: \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\).

Ответить

\(\dfrac{7}{12}\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Добавить: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}\).

Ответить

\(\dfrac{7}{10}\)

Пример \(\PageIndex{6}\): вычесть

Вычесть: \(\dfrac{1}{2} — \left(- \dfrac{1}{4}\right)\).

Решение

Найдите ЖК-дисплей 2 и 4.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея 4.	\(\dfrac{1 \cdot \textcolor{red}{2}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}} — \left(- \dfrac{1}{4}\right)\)
Упростите первую дробь.	\(\dfrac{2}{4} — \left(- \dfrac{1}{4}\right)\)
Вычесть.	\(\dfrac{2 — (-1)}{4}\)
Упрощение.	\(\dfrac{3}{4}\)

У одной из дробей уже был наименьший общий знаменатель, поэтому нам оставалось только преобразовать другую дробь.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Вычесть: \(\dfrac{1}{2} — \left(- \dfrac{1}{8}\right)\).

Ответить

\(\dfrac{5}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Вычесть: \(\dfrac{1}{3} — \left(- \dfrac{1}{6}\right)\).

Ответить

\(\dfrac{1}{2}\)

Пример \(\PageIndex{7}\): добавить

Добавить: \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}\).

Раствор

Найдите ЖК 12 и 18.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	\(\dfrac{7 \cdot \textcolor{red}{3}}{12 \cdot \textcolor{red}{3}} + \dfrac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{18 \ cdot \textcolor{красный}{2}}\)
Упростите числители и знаменатели.	\(\dfrac{21}{36} + \dfrac{10}{36}\)
Доп.	\(\dfrac{31}{36}\)

Поскольку \(31\) является простым числом, оно не имеет общих делителей с \(36\). Ответ упрощен.

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Добавить: \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}\).

Ответить

\(\dfrac{79}{60}\)

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Добавить: \(\dfrac{13}{15} + \dfrac{17}{20}\).

Ответ

\(\dfrac{103}{60}\)

Когда мы используем свойство Equivalent Fractions, есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить LCD. Запишите множители знаменателей и LCD так же, как вы это делали, чтобы найти LCD. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.

LCD, \(36\), имеет \(2\) коэффициенты \(2\) и \(2\) коэффициенты \(3\). Двенадцать имеет два делителя из \(2\), но только один из \(3\) — так что в нем «не хватает» одного \(3\). Мы умножили числитель и знаменатель \(\dfrac{7}{12}\) на \(3\), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \(36\). В восемнадцати отсутствует один множитель \(2\), поэтому вы умножаете числитель и знаменатель \(\dfrac{5}{18}\) на \(2\), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \(36\). Мы будем применять этот метод при вычитании дробей в следующем примере.

Пример \(\PageIndex{8}\): вычесть

Вычесть: \(\dfrac{7}{15} − \dfrac{19}{24}\).

Раствор

Найдите ЖК-дисплей. 15 «отсутствуют» три множителя 2 24 «отсутствует» коэффициент 5
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	\(\dfrac{7 \cdot \textcolor{red}{8}}{15 \cdot \textcolor{red}{8}} — \dfrac{19\cdot \textcolor{red}{5}}{24 \cdot \textcolor{red}{5}}\)
Упростите каждый числитель и знаменатель.	\(\dfrac{56}{120} — \dfrac{95}{120}\)
Вычесть.	\(- \dfrac{39}{120}\)
Перепишите, указав общий делитель 3.	\(- \dfrac{13 \cdot 3}{40 \cdot 3}\)
Удалите общий множитель для упрощения.	\(- \dfrac{13}{40}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Вычитание: \(\dfrac{13}{24} — \dfrac{17}{32}\).

Ответить

\(\dfrac{1}{96}\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Вычитание: \(\dfrac{21}{32} — \dfrac{9}{28}\).

Ответить

\(\dfrac{75}{224}\)

Пример \(\PageIndex{9}\): добавить

Добавить: \(- \dfrac{11}{30} + \dfrac{23}{42}\).

Решение

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	\(- \dfrac{11 \cdot \textcolor{red}{7}}{30 \cdot \textcolor{red}{7}} + \dfrac{23 \cdot \textcolor{red}{5}}{42 \cdot\textcolor{красный}{5}}\)
Упростите каждый числитель и знаменатель.	\(- \dfrac{77}{210} + \dfrac{115}{210}\)
Доп.	\(\dfrac{38}{210}\)
Перепишите, указав общий делитель 2.	\(\dfrac{19 \cdot 2}{105 \cdot 2}\)
Удалите общий множитель для упрощения.	\(\dfrac{19}{105}\)

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Добавить: \(- \dfrac{13}{42} + \dfrac{17}{35}\).

Ответить

\(\dfrac{37}{210}\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Добавить: \(- \dfrac{19}{24} + \dfrac{17}{32}\).

Ответить

\(-\dfrac{25}{96}\)

В следующем примере одна из дробей содержит переменную в числителе. Выполняем те же действия, что и в случае, когда оба числителя являются числами.

Пример \(\PageIndex{10}\): добавить

Добавить: \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{x}{8}\).

Решение

Дроби имеют разные знаменатели.

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.	\(\dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{8}}{5 \cdot \textcolor{red}{8}} + \dfrac{x \cdot \textcolor{red}{5}}{8 \ cdot \textcolor{красный}{5}}\)
Упростите числители и знаменатели.	\(\dfrac{24}{40} + \dfrac{5x}{40}\)
Доп.	\(\dfrac{24 + 5x}{40}\)

Мы не можем складывать \(24\) и \(5x\), поскольку они не похожи на термы, поэтому мы не можем еще больше упростить выражение.

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Добавить: \(\dfrac{y}{6} + \dfrac{7}{9}\).

Ответить

\(\dfrac{3y+14}{18}\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Добавить: \(\dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{15}\).

Ответить

\(\dfrac{5x+14}{30}\)

Авторы и авторство

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Сложение и вычитание дробей — математический обзор (видео)

TranscriptFAQsPracticeWorksheets

Привет! Добро пожаловать в это видео о сложении и вычитании дробей!

Прежде чем мы углубимся в это, давайте рассмотрим некоторую терминологию, необходимую для понимания концепций.

Дробь — это отношение значений, которые отражают «часть» к «целому». «Часть» называется числителем и пишется над чертой деления. «Целое» обозначается как в знаменателе и записывается под чертой деления:

	числитель
	знаменатель

 
При объединении дробей сложением или вычитанием работа производится только с числителями. Знаменатель не меняется. Например, предположим, что на обеденном столе в корзине стоит семь булочек. Ты съел один, а твой брат съел два. Какая дробь представляет собой количество булочек, съеденных вами и вашим братом?

Возможно, вы довольно быстро сможете осмыслить этот пример сложения дробей. Вы просто складываете количество булочек, съеденных вами и вашим братом, и делите на общее количество булочек, которые были на столе в начале ужина. Помните, знаменатель остается прежним. \(\frac{1}{7}+ \frac{2}{7}\), что можно рассматривать как \(\frac{1+2}{7}\), равно \(\frac{3} {7}\). Дробь \(\frac{3}{7}\) представляет собой количество булочек, съеденных вами и вашим братом.

\(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{1+2}{7}=\frac{3}{7}\)

 

Вычитание дробей можно рассматривать таким же образом.

Допустим, вы с друзьями играете в карты. Вы держите трех из четырех королей в колоде карт. Вы сбрасываете Короля Червей при следующей игре. Какая дробь представляет собой количество королей в вашей руке сейчас?

Поскольку в колоде карт всего четыре короля, дробь 34 представляет трех королей, которые были у вас в руке в начале игры. Если отдать Короля червей, то числитель этой дроби уменьшится на единицу. Доля королей в вашей руке изменяется следующим образом: \(\frac{3}{4}- \frac{1}{4}\), что можно увидеть как \(\frac{3-1 {4}\), равно \(\frac{2}{4}\), что упрощается до половины.

\(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4} \text{ или } \frac{ 1}{2}\)

 

Эти примеры довольно просты, потому что знаменатели складываемых и вычитаемых дробей одинаковы.

Как складывать дроби с разными знаменателями

Если знаменатели не совпадают, требуется немного больше работы. В частности, одна или обе дроби должны быть алгебраически скорректированы, чтобы получить 90 092 общих знаменателя 9.0093 .

Пример:

\(\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\)

 

Как я уже говорил, эти дроби нельзя складывать, пока у них нет общего знаменателя. На самом деле знаменатель должен быть наименьшим значением, на которое оба знаменателя могут делиться поровну. Это значение известно как наименьший общий знаменатель (LCD) .

При рассмотрении знаменателей 5 и 10 становится ясно, что 10 — это наименьшее число, на которое можно разделить без остатка и 5, и 10. Это означает, что нам придется алгебраически подогнать первую дробь так, чтобы знаменатель стал равен 10. Мы делаем это, умножая и числитель, и знаменатель. Правила умножения дробей требуют умножения числителя на числитель и знаменателя на знаменатель: \(2 \times 2=4\) и \(2 \times 5=10\).

\(\frac{2}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{10}\)

 

Эта работа создает дробь \(\frac{4 {10}\), что эквивалентно исходной дроби \(\frac{2}{5}\). На этом этапе можно сложить дроби с общими знаменателями: \(\frac{4}{10}+ \frac{3}{10}\), что можно увидеть как \(\frac{4+3}{ 10}\), равно \(\frac{7}{10}\).

\(\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{4+3}{10}=\frac{7}{10}\)

 

Это Последний пример требует от вас привести обе дроби к общему знаменателю. Давайте поработаем над этим вместе, а потом я дам вам попробовать самостоятельно.

Как вычитать дроби с разными знаменателями

\(\frac{5}{8}-\frac{1}{6}\)

 

Итак, обо всем по порядку: какое число встречается реже всего кратное из 6 и 8? 24. Так как 24 разделить на 8 равно 3, нам придется скорректировать первую дробь, умножив и числитель, и знаменатель на 3. \(24 \div 6=4\), поэтому нам придется умножить числитель и знаменатель вторую дробь на четыре.

\(\frac{3}{3} \times \frac{5}{8}-\frac{4}{4} \times \frac{1}{6}\)

 

Эти корректировки создают эквивалентные дроби, которые имеют общий знаменатель 24. После этого числители можно вычесть следующим образом:

\(\frac{15}{24}-\frac{ 4}{24}=\frac{11}{24}\)

 

Хорошо, а теперь попробуйте. Поставьте видео на паузу и посмотрите, сможете ли вы его решить.

\(\frac{3}{5}+\frac{3}{7}\)

 

Как дела? Давайте пройдемся по нему. Наименьшее общее кратное 5 и 7 равно 35. Скорректируйте первую дробь, умножив числитель и знаменатель на 7, и скорректируйте вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на 5. Когда знаменатели совпадут, сложите числители. Это дает нам \(\frac{36}{35}\)!

\(\frac{7}{7} \times \frac{3}{5}+\frac{5}{5} \times \frac{3}{7}\) \(\frac{21 {35}+\frac{15}{35}=\frac{36}{35}\)

 

Давайте подведем итоги, прежде чем идти. Складываете ли вы или вычитаете дроби, помните, что знаменатель всегда остается одним и тем же, и иногда вам придется создать общий знаменатель и найти наименьшее общее кратное, прежде чем вы сможете приступить к решению задачи.

Надеюсь отзыв был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Сложение дробей с целыми числами | Умножение и деление дробей

 

Часто задаваемые вопросы

Q

Добавляете ли вы знаменатель при сложении дробей?

A

Нет, при сложении дробей нужно сначала найти общий знаменатель и привести обе дроби к этому знаменателю. Затем добавьте числители и сохраните знаменатель.
Пример. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{2}{2}+\frac{1}{2}×\frac{ 3}{3}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}\)

Q

Как складывать дроби с разными знаменателями?

A

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала приведите обе дроби к общему знаменателю. Затем сложите числители и оставьте знаменатель прежним.
Пример. \(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{1}{3} (\frac{4}{4})+\frac{3}{4} (\frac {3}{3})=\frac{4}{12}+\frac{9}{12}=\frac{13}{12}=1 \frac{1}{12}\)

Q

Что означает добавление подобных дробей?

A

Сложение одинаковых дробей означает сложение дробей с одинаковым знаменателем.
Пример. \(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\)

Q

Можно ли отменить перекрестное сложение при добавлении дробей?

A

Нет, при добавлении дробей нельзя отменять. Взаимная отмена работает только с умножением дробей.

Q

Как вычитать дроби?

A

Чтобы вычесть дроби, приведите обе дроби к общему знаменателю. Затем вычтите числители и оставьте знаменатель прежним.
пр. \(\frac{4}{5}-\frac{1}{3}=\frac{4}{5} (\frac{3}{5})-\frac{1}{3} (\frac {5}{5})=\frac{12}{15}-\frac{5}{15}=\frac{7}{15}\)

Q

Как вычитать дроби с целыми числами ?

A

Вычитание дробей с целыми числами путем преобразования целого числа в дробь, приведения к общему знаменателю, вычитания и упрощения, если это необходимо.
Пример. \(4-\frac{5}{7}=\frac{4}{1}-\frac{5}{7}=\frac{4}{1} (\frac{7}{7})- \frac{5}{7}=\frac{28}{7}-\frac{5}{7}=\frac{23}{7}=3 \frac{2}{7}\)

Q

Как вычитать дроби с разными знаменателями?

A

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала приведите дроби к дробям с общими знаменателями, а затем вычтите числители, оставив знаменатель одинаковым.
Пример. \(\frac{4}{7}-\frac{1}{3}=\frac{4}{7} (\frac{3}{3})-\frac{1}{3} (\frac {7}{7})=\frac{12}{21}-\frac{7}{21}=\frac{5}{21}\)

Практические вопросы

Вопрос № 1:

 
Добавьте следующие дроби: \(\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\)

\(\frac{4}{10}\)

\(\ frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{5}\)

\(\frac{5}{4}\)

Показать ответ

Ответ:

правильный ответ: \(\frac{4}{5}\). При сложении дробей с одинаковым знаменателем просто сложите числители и оставьте знаменатель одинаковым. В этом случае сложение числителей дает сумму 4, а знаменатель остается равным 5. Результат равен \(\frac{4}{5}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Добавьте следующие дроби: \(\frac{12}{15}+\frac{2}{15}=\)

\(\frac{10 {15}\)

\(\frac{15}{14}\)

\(\frac{14}{15}\)

\(\frac{14}{30}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{14}{15}\) . При сложении дробей с одинаковым знаменателем просто сложите числители и оставьте знаменатель одинаковым. В этом случае сложение числителей дает сумму 14, а знаменатель остается равным 15. Результатом является \(\frac{14}{15}\) .

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Добавьте следующие дроби: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\)

\(\frac{11 {12}\)

\(\frac{3}{7}\)

\(\frac{3}{12}\)

\(\frac{6}{11}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{11}{12}\). Чтобы сложить эти дроби, должен быть общий знаменатель. Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным 3 и 4. Наименьшее общее кратное 3 и 4 равно 12, поэтому дроби следует переписать с 12 в качестве нового знаменателя. Теперь отрегулируйте числители. Для дроби \(\frac{2}{3}\) знаменатель был умножен на 4, поэтому числитель также должен быть умножен на 4, что равно \(\frac{8}{12}\). Для дроби \(\frac{1}{4}\) знаменатель был умножен на 3, поэтому числитель также должен быть умножен на 3, что равно \(\frac{3}{12}\). Наконец, добавьте \(\frac{8}{12}+\frac{3}{12}\), чтобы получить \(\frac{11}{12}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Добавьте следующие дроби: \(\frac{3}{7}+\frac{2}{5}=\)

\(\frac{5) {35}\)

\(\frac{6}{35}\)

\(\frac{29}{35}\)

\(\frac{5}{12}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{29}{35}\). Чтобы сложить эти дроби, должен быть общий знаменатель. Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным 7 и 5. Наименьшее общее кратное 7 и 5 равно 35, поэтому дроби следует переписать с 35 в качестве нового знаменателя. Теперь отрегулируйте числители. Для дроби \(\frac{3}{7}\) знаменатель был умножен на 5, поэтому числитель также следует умножить на 5, что равно \(\frac{15}{35}\). Для дроби \(\frac{2}{5}\) знаменатель был умножен на 7, поэтому числитель также должен быть умножен на 7, что равно \(\frac{14}{35}\). Наконец, добавьте \(\frac{15}{35}+\frac{14}{35}\), чтобы получить \(\frac{29{35}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Добавьте следующие дроби: \(\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=\)

\(\frac{3) {5}\)

\(\frac{6}{10}\)

\(\frac{12}{13}\)

\(\frac{13}{12}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{13}{12}\). Чтобы сложить эти дроби, должен быть общий знаменатель. Общий знаменатель будет наименьшим общим кратным 6 и 4. Наименьшее общее кратное 6 и 4 равно 12, поэтому дроби следует переписать с 12 в качестве нового знаменателя. Теперь отрегулируйте числители. Для дроби \(\frac{5}{6}\) знаменатель был умножен на 2, поэтому числитель также должен быть умножен на 2, что равно \(\frac{10}{12}\). Для дроби \(\frac{1}{4}\) знаменатель был умножен на 3, поэтому числитель также должен быть умножен на 3, что равно \(\frac{3}{12}\). Наконец, добавьте \(\frac{10}{12}+\frac{3}{12}\), чтобы получить \(\frac{13}{12}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 6:

 
Вычтите следующие дроби: \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\)

\(\frac{2} {4}\)

\(\frac{4}{2}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{1}{4}\)

Показать Ответ:

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{2}{4}\). При вычитании дробей с одинаковым знаменателем просто вычтите числители и оставьте знаменатель прежним. В этом случае вычтите 1 из 3 и сохраните знаменатель равным 4. Результат будет \(\frac{2}{4}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 7:

 
Вычтите следующие дроби: \(\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\)

\(\frac{7) {12}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{6}\)

\(\frac{3}{36}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{3}{6}\). При вычитании дробей с одинаковым знаменателем просто вычтите числители и оставьте знаменатель прежним. В этом случае вычтите 2 из 5 и сохраните знаменатель равным 6. Результат будет \(\frac{3}{6}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 8:

 
Вычтите следующие дроби: \(\frac{5}{9}-\frac{1}{4}=\)

\(\frac{11 {36}\)

\(\frac{36}{11}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{11}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{11}{36}\). Прежде чем эти дроби можно будет вычесть, знаменатели должны быть одинаковыми. Наименьшее общее кратное для 9 и 4 равно 36, поэтому измените оба знаменателя на 36. Для дроби \(\frac{5}{9}\), знаменатель был умножен на 4, чтобы получить 36, поэтому числитель также необходимо умножить на 4. Это дает нам \(\frac{20}{36}\). Для дроби \(\frac{1}{4}\) знаменатель был умножен на 9, чтобы получить 36, поэтому числитель необходимо умножить на 9. Это дает нам \(\frac{9}{36}\ ). Теперь просто вычислите \(20-9\), чтобы получить \(\frac{11}{36}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 9:

 
Вычтите следующие дроби: \(\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\)

\(\frac{3}{10}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1 }{10}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{1}{10}\). Для начала необходимо найти общий знаменатель, прежде чем эти дроби можно будет вычесть. Наименьшее общее кратное для 2 и 5 равно 10, поэтому измените оба знаменателя на 10. Для дроби \(\frac{1}{2}\) знаменатель был умножен на 5, чтобы получить 10, поэтому числитель должен быть также умножается на 5. Это дает нам \(\frac{5}{10}\). Для дроби \(\frac{2}{5}\) знаменатель был умножен на 2, чтобы получить 10, поэтому числитель необходимо умножить на 2. Это дает нам \(\frac{4}{10}\ ). Теперь просто посчитайте 5-4, чтобы получить \(\frac{1}{10}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 10:

 
Вычтите следующие дроби: \(\frac{10}{12}-\frac{1}{6}=\)

\(\frac{3) {7}\)

\(\frac{8}{12}\)

\(\frac{9}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: \(\frac{8}{12}\).