Как из целого числа вычесть дробь — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

правила, примеры, решения, вычитание из целого числа смешанной дроби

В данной статье рассмотрим правила, согласно которым выполняется действие вычитания смешанных чисел. Разберем конкретные примеры и некоторые нюансы при их решении. Изучим вычитание обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа, а также — вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа. Рассматривать вычитание мы будем при условии вычитания из большего числа меньшее.

Вычитание смешанных чисел

Пусть в качестве исходных данных даны два смешанных числа: abc и def , необходимо выполнить вычитание данных смешанных чисел.

Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:

abc-def=a+bc-d+ef

Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел

abc и def , необходимо придерживаться следующих схем вычисления:

• если дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

bc>ef, то вычитание оптимально будет произвести так:

abc-def=(a-d)+bc-ef

Пример 1

Произвести вычитание смешанных чисел: 356-249 .

Решение

Сравним дробные части смешанных чисел, т.е. 56 и 49 . Чтобы определить, какая из дробей больше, приведем их к общему наименьшем знаменателю или наименьшему общему кратному: НОК (6, 9) = 18. При этом дополнительным множителем для дроби 56 станет 18 : 6 = 3; а для дроби 49 – 18 : 9 = 2, поэтому : 56=5·36·3=1518 и 49=4·29·2=818 .

Оценим полученный результат: 1518>818, что означает 56>49. Т.е. дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, и тогда действие вычитания производится путем раздельного вычитания целых и дробных частей заданных смешанных чисел:

3-2=156-49=1518-818=15-818=718

Т.

е.: (3-2)+56-49=1+718=1718

Ответ: 356-249=1718

 

• если дробные части заданных смешанных чисел равны: bc=ef , а, соответственно разность их равна нулю, то результатом вычитания таких смешанных чисел будет разность их целых частей:

abc-def=(a-d)+bc-ef=a-d+0=a-d

Пример 2

Произвести вычитание смешанных чисел 15710 и 2710 .

Решение

Мы видим, что дробные части заданных чисел равны, т.е. их разность есть нуль. Таким образом, действие вычитания заданных чисел сводится к нахождению разности их целых частей: 15710-2710=15+710-2+710=15-2+710-710=15-2+0=13

Ответ: 15710-2710=13

• если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого: bc<ef , то действие вычитания оптимально произвести так:

abc-def=a-d-ef+bc

Пример 3

Произвести вычитание смешанных чисел: 2625-81415 .

Решение

Проведем сравнение дробных частей заданных чисел, определив для начала наименьший общий знаменатель: НОК (5, 15) = 15, тогда 25=2·35·3=615 .

Следовательно: 615<1415, т.е. дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Таким образом, находить разность заданных смешанных чисел будем так: 2625-81415=26615-81415=26+615-8+1415==26-8-1415+615=18-1415+615

Для начала вычтем дробь из натурального числа (в скобках): 18-1415=(17+1)-1415=17+1+1415=17+11+1415==17+1515-1415=17+115

Тогда 18-1415+615=17+115+615=17+115+615==17+715=17715

Ответ: 2625-81415=17715 .

Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа

Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.

Пример 4

Найти разницу: 356-415

Решение:

Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК (6, 15) = 30, тогда 65=5·56·5=2530 и 415=4·215·2=830 .

Таким образом, 56>415 .

В итоге вычитание возможно произвести так: 356-415=3+56-415=3+56-415=3+2530-830=3+1730=31730

Ответ: 356-415=31730

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 5

Произвести действие вычитания: 127-37

Решение

Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что 27 меньше, чем 37.

Тогда находить разницу будем так:

127-37=1+27-37=1-37+27=11-37+27==77-37+27=47+27=67

Ответ: 127-37=67.

Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:

16311-311=16+311-311=16+311-311=16+0=16

Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.

Пример 6

Вычислить значение разности: 7512-199 .

Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 199=219

Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:

7512-219=7+512-2+19=7-2+512-19==5+1536-436=5+1136=51136

Ответ: 7512-199=51136 .

Вычитание натурального числа из смешанного

Определение 1

Для совершения действия вычитания натурального числа из смешанного, необходимо вычесть заданное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений: abc-n=a-n+bc

Пример 7

Необходимо вычесть из смешанного числа 1511528 натуральное число 44.

Решение: 1511528-44=151+1528-44=151-44+1528=107+1528=1071528

Ответ: 1511528-44=1071528

Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби

Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.

Пример 8

Необходимо выполнить вычитание: 749-612

Решение 

В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: 749=829 , тогда заданный пример примет вид: 749-612=829-612

Найдем наименьший общий знаменатель: НОК (9, 2) = 18.

Получим: 29=2·29·2=418 и 12=1·92·9=918.

Тогда:

829-612=8418-6918=8+418-6+918=8-6-918+418==2-918+418=1+1-918+418=1+1-918+418==1+1-918+418=1+918+418=1+918+418==1+9+418=1+1318=11318

Ответ: 749-612=11318

Вычитание смешанного числа из натурального

Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:

n-abc=n-a+bc=n-a-bc

Пример 9

Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.

Решение

18-535=18-5+35=18-5-35=13-35=12+1-35==12+1-35=12+11-35=12+55-35=12+5-35==12+25=1225

Ответ: 18-535=1225

Урок 73. вычитание смешанных дробей — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 73

Вычитание смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– вычитание целого числа из смешанной дроби;

– вычитание дробного числа из смешанной дроби;

– вычитание смешанных дробей с общим знаменателем;

– вычитание смешанных дробей с разными знаменателями;

– вычитание смешанных дробей, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Тезаурус

Общий знаменатель – это число, которое без остатка делится на все указанные числа, для которых необходимо найти общий знаменатель.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже знакомы с операцией сложения смешанных дробей, сводящейся к отдельному сложению целых и дробных частей. Вычитание смешанных дробей производится по тому же принципу: целая часть вычитается из целой части, дробная вычитается из дробной. Результаты этих разностей складываются.

В приведённом выражении вычитаем целые и дробные части. Разность целых чисел равна 3, разность дробных чисел равна тём седьмым. Складываем три и три седьмых, получается смешанная дробь: три целых три седьмых. Проверим правильность наших вычислений сложением. К полученной разности – три целых три седьмых – прибавим вычитаемое: две целых одну седьмую.

Результат сложения – пять целых четыре седьмых – равен уменьшаемому в первом выражении, значит, наши вычисления верные.

Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого равны, то вычитание выполняется таким же способом: отдельно вычитаем целые и дробные части.

Заменим смешанную дробь пять целых две пятых на равное ей число – четыре целых семь пятых. Теперь дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого. Выполняем вычитание отдельно целых и дробных частей, полученные разности записываем смешанной дробью:

Наименьший общий знаменатель для пяти и трёх – это пятнадцать. Приведем дробные части к общему знаменателю. Дробная часть уменьшаемого получилась меньше дробной части вычитаемого. Преобразуем уменьшаемое. Смешанную дробь пять целых три пятнадцатых заменим равным ей числом – четыре целых восемнадцать пятнадцатых. Выполняем отдельно вычитание целых и дробных частей.

• приведём дроби к общему знаменателю 36;

• выполним сложение отдельно целых и дробных частей;

• дробная часть полученной смешанной дроби – неправильная дробь, выделим из неё целую часть и сложим с целой частью смешанной дроби.

Мы рассмотрели различные случаи вычитания смешанных дробей. Во всех этих случаях мы действовали по одному правилу: отдельно вычитали целые и дробные части, а затем складывали полученные результаты.

Тренировочные задания

Вычитание обыкновенных дробей объяснение и примеры Арифметик…

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про вычитание обыкновенных дробей объяснение , тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое вычитание обыкновенных дробей объяснение , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

вычитания дробей» / >  

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную дробь 7/7 и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем ее в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчетах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведем обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3

Поэтому, вспомнив вычитание правильной дроби из целого числа, займем единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь 18/18 и дробную часть уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правилвычитания смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу .
  Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про вычитание обыкновенных дробей объяснение Надеюсь, что теперь ты понял что такое вычитание обыкновенных дробей объяснение и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Дроби — как объяснить ребенку действия с дробями

Тема дробей — одна из самых непростых для школьников. Понять их неподготовленному ребенку, а тем более выполнять с ними операции, может быть достаточно сложно. Но даже самая трудная задача может стать простой и понятной, если правильно к ней подойти. Для детей нужно использовать фантазию, наглядность и элементы игры. А также – сохранять спокойствие и терпеливо объяснять, даже если это потребуется сделать много раз.

Как объяснить суть дробей ребенку?

Слово «дробь» будто говорит само за себя — оно означает дробление, деление. В школьной программе к изучению дробей приступают только в 5 классе, освоив все действия с целыми числами. Но знакомство с ними целесообразно начинать заранее, еще в старшем дошкольном возрасте. Это формирует пространственные представления у детей и тренирует логическое мышление.

Для начала нужно объяснить ребенку понятие долей. Это очень легко сделать на наглядных повседневных примерах. Самый простой и доступный — еда. Например, пирог — целый. Разделить его можно на несколько одинаковых частей. Один кусочек такого пирога и будет называться одной долей из всех возможных. Поделив пирог на четыре части, один кусочек называют одной четвертой частью.

Таким образом делить можно все, что угодно: яблоки, апельсины, плитки шоколада, конфеты в коробке и т. д. Еще один прекрасный наглядный материал для изучения дробей — кубики конструктора Lego. С их помощью можно поделить целое на равные части очень легко. Дети быстро запоминают форму кубиков, и им не требуется постоянно пересчитывать количество выступающих элементов на них.

Если ребенок увидит практическое применение дробей и востребованность их в реальной жизни, ему будет проще понять их и осознать важность получения математических знаний и навыков.

Что нужно знать о дробях?

1. Дробь — число нецелое, оно обозначает количество долей целого.

2. Дробь меньше целого.

3. Чем на большее число долей поделено целое, тем эти доли меньше и наоборот — чем долей меньше, тем они, соответственно, больше.

Для обозначения долей в математике используют понятие обыкновенная дробь. С ее помощью можно записать абсолютно любое необходимое количество долей.

Обыкновенная дробь представляет собой две части, именуемые числителем и знаменателем. Записываются они разделенными горизонтальной чертой либо наклонной вправо линией. Знаменатель пишется внизу либо справа от дробной черты, он показывает общее количество частей от целого, на которое оно было поделено. А числитель пишется вверху или слева от дробной черты и показывает, сколько долей целого сейчас взяли.

Вернемся к нашему пирогу. Очевидно, что разделить его реально на сколько угодно равных частей. В зависимости от того, на сколько частей его разделили, меняется и знаменатель дроби. У пирога, разделенного одной прямой линией на две части, знаменатель будет равен 2, у разделенного на три части — 3 и т. д. Числитель же, в свою очередь, показывает, сколько частей сейчас взято. Если взяли только одну часть из двух, то получится дробь 1/2, только две из трех — 2/3 и т. д.

Что такое смешанные дроби?

В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.

У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.

Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.

Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.

Примеры:

• 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
• 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6

Задание:

Выделите целую часть из неправильных дробей:

Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.

Примеры:

• 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
• 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9

Задание:

1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:

2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:

Десятичные дроби

Дроби, в знаменателях которых есть числа, кратные десяти — 10, 100, 1000 и т. д. — в математике можно обозначать следующим образом. Сначала пишется целая часть, а потом числитель из дробной части, отделенный запятой.

Например, 5 4/10 попробуем записать в виде десятичной дроби. Пишем целую часть (5), ставим запятую и далее пишем числитель дробной части (4). Получаем: 5,4. Читается эта дробь так: «пять целых и четыре десятых». Число, представленное в таком виде, именуется десятичной дробью.

Существуют также десятичные дроби без целой части. Например: 7/100. Как быть в таком случае? Чтобы записать подобную дробь, пишут ноль, ставят запятую и далее записывают числитель дроби — 0,07. Такая дробь читается как «ноль целых, семь сотых».

Десятичные дроби очень удобны, они используются в точных вычислениях. Десятичная система исчисления  применяется человечеством с самых древних времен. Она интуитивна понятна и проста.

Задание:

Преобразовать следующие дроби в десятичные:

Сокращение дробей

Сокращение дробей выполняют для того, чтобы их упростить. Если числитель и знаменатель дроби таковы, что делятся на одно и то же число (имеют общий делитель), то можно просто разделить их на это число, упростив тем самым дробь. Эта математическая операция называется сокращением дробей. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пару таких примеров.

Пример 1. Сократить дробь 8/12

Решение будет следующим. Наибольшее число, на которое делятся и 8, и 12, — это 4. Поэтому, чтобы сократить дробь, просто поделим ее числитель и знаменатель на 4:

8/12 = 8:4 / 12:4 = 2/3

Пример 2. Сократить дробь 10/25

Решение. Наибольшее число, на которое делятся и 10, и 25, — это 5. Потому, чтобы сократить дробь, поделим ее числитель и знаменатель на 5:

10/25 = 10:5 / 25:5 = 2/5

Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель — единицу.

Задание:

Сократите следующие дроби:

Сложение дробей

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. В этом случае операция предельно простая. Складываются числители дробей, а знаменатель остается прежним.

Примеры:

• 1/7 + 2/7 = 3/7
• 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1

Задание:

Выполни сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Но все усложняется, если нужно сложить дроби с разными знаменателями. В этом случае необходимо привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Чтобы это сделать, необходимо найти наименьшее общее кратное. Это такое число, которое делится на оба эти числа без остатка. Например: 3/7 + 2/6. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 6 будет 42.

Далее ищем дополнительные множители для каждой из дробей. Для этого найденное на предыдущем этапе наименьшее общее кратное делим по очереди на знаменатель каждой из дробей:

• 42 / 7 = 6 — это будет дополнительный множитель для 3/7;
• 42 / 6 = 7 — это, соответственно, дополнительный множитель для 2/6.

Обе части каждой из наших дробей, и числитель и знаменатель, умножаем на свой, определенный выше, множитель:

• 3*6 / 7*6 = 18/42;
• 2*7 / 6*7 = 14/42.

Складываем полученные дроби аналогичным образом, как уже разобранные выше дроби с одинаковыми знаменателями:

Если это возможно, то дробь сокращают. Если дробь получилась неправильная, то следует целую часть из нее выделить.

Задание:

Выполни сложение дробей с разными знаменателями:

 

Вычитание дробей

Эта операция проводится аналогично сложению. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить тем же.

Пример:

7/9 — 2/9 = (7-2) / 9 = 5/9

Задание:

Выполни вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для дробей с разными знаменателями также придется найти наименьшее общее кратное и дополнительные множители. Затем, по аналогии со сложением, произвести вычитание.

Пример:

6/7 — 8/10 = (6*10-8*7) / 70 = (60-56) / 70 = 4/70

Задание:

Выполни вычитание дробей с разными знаменателями:

Умножение дробей

Существует два варианта умножения дробей. Рассмотрим каждый из них в деталях.

Умножение обыкновенных дробей

В этом случае числители обеих дробей перемножаются — это будет новый числитель. Знаменатели обеих дробей также перемножаются — это будет новый знаменатель.

Пример:

2/5 * 3/4 = (2*3) / (5*4) = 6/20 = 3/10

Если это возможно, то следует сократить дроби перед перемножением. Это облегчит дальнейшие действия.

Пример:

24/35 * 25/36 = (24*25) / (35*36) = (2*5) / (7*3) = 10/21

Умножение смешанных дробей

Чтобы это сделать, необходимо превратить дроби в неправильные и далее действовать по алгоритму, приведенному в первом пункте.

Пример:

4 2/7 * 5 3/5 = 30/7 * 28/5 = (30*28) / (7*5) = (6*4) / (1*1) = 24/1 = 24

Задание:

Выполните умножение дробей:

• 5/7 * 6/8;
• 6/11 * 2/3;
• 2 3/7 * 4 5/9;
• 4 6/7 * 7 9/10.

Деление дробей

Освоив умножение, с делением также можно справиться легко. Правило деления дробей заключается в следующем: при делении одной дроби на другую нужно первую перемножить на обратную (перевернутую) вторую дробь. Или, иными словами, числитель первой умножить на знаменатель второй (это будет новый числитель), а знаменатель первой умножить на числитель второй (это будет новый  знаменатель).

Пример:

4/7 : 2/5 = 4/7 * 5/2 = 20/14 = 10/7 = 1 3/7

Бывают ситуации, когда дробь нужно разделить на целое число. В этом случае следует представить дробь как неправильную. Числителем у нее будет это целое число, а знаменателем просто единица. Далее действовать нужно по уже знакомому правилу деления дробей из предыдущего случая.

Пример:

5/9 : 2 = 5/9 : 2/1 = (5*1) / (9*2) = 5/18

Задание:

Выполните деление дробей:

• 6/11 : 3;
• 7/15 : 2;
• 9/12 : 4.

Сравнение дробей

Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.

Пример:

1/5 < 4/5, так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.

Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.

Пример:

1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.

Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.

Пример:

Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.

Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно.  Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.

Задание:

Определите, какие дроби изображены на рисунке, и сравните их:

Итак, мы рассмотрели дроби, правила всех действий с ними. Надеемся, что наши объяснения и рекомендации будут очень полезны. Начинайте знакомить детей с дробями еще до школы. Хорошо усвоив эти понятия, ребенок без труда справится затем и с записью дробей, и с действиями с ними.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

---

Читайте также:

---

 

Правила вычитания дробей.

Сложение дробей

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.

Как решать примеры с дробями – общие правила

Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:

• Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
• Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
• Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
• Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
• Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.

Как решать примеры с дробями – практика

Правило 1, пример 1:

Вычислить 3/4 +1/4.

Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.

Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Вычислить: 3/4 – 1/4

Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.

Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Вычислить: 3/4 + 1/6

Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.

Ответ: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Ответ: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Вычислить: 3/4 * 1/4

Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.

Ответ: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Вычислить 2/5 * 10/4.

Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.

2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Ответ: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Вычислить: 3/4: 5/6

Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.

Ответ: 9/10.

Как решать примеры с дробями – дробные уравнения

Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.

Рассмотрим пример:

Решить уравнение 15/3x+5 = 3

Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).

Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.

Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:

1. Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
5. Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
6. Находим x: x = -50/36.
7. Сокращаем: -50/36 = -25/18

Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.

Как решать примеры с дробями – дробные неравенства

Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.

Последовательность действий:

• Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
• Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
• Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.

• Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.

• Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).

Ответ: x = Ø

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 — 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 — 1 15 = 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 — 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .

Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 — 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 — 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = (1064 + 1) — 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 — 13 62 = 1 1 — 13 62 = 62 62 — 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 — 13 62 = 1065 1 — 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 — 13 62 = 66030 62 — 13 62 = = 66030 — 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 — 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 — 3 5 = (629 + 1) — 3 5 = 629 + 1 — 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 — 3 2 = 24 4 — 6 4 = 19 4 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог — 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 6 4 — 5 6 = = 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 — 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 — 5 + 3 5 = 98 + 17 20 — 5 — 3 5 = 98 — 5 + 17 20 — 3 5

Завершим расчеты: 98 — 5 + 17 20 — 3 5 = 93 + 17 20 — 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части.

При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:

Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса…

» [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально. ..

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

Как вычитать из целого дробь. Вычитание правильной дроби из целого числа. Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования — мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями — это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений…

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой… Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах… И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да…

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби — на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки…

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе — само число, в знаменателе — единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами — то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению — вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой — повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей — в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Число, записанное в формате обычной дроби, содержит информацию о том, на сколько частей следует поделить целое (знаменатель) и сколько таких частей (числитель) составляет представляемое дробью значение. Целое число тоже дозволено трансформировать в дробный формат, дабы упростить математические операции с участием целых и дробных величин, скажем операцию вычитания.

Инструкция

1. Переведите целое число – «сокращаемое» – в формат неправильной дроби. Для этого в числитель поставьте само число, а в качестве знаменателя используйте единицу. После этого приведите полученное соотношение к тому же знаменателю, тот, что применяется в иной дроби – в «вычитаемом». Сделайте это умножением на знаменатель вычитаемого величин по обе стороны от дробной черты сокращаемого. Скажем, если из 15 надобно вычесть 4/5, то 15 нужно преобразовать так: 15 = 15/1 = (15*5)/(1*5) = 75/5.

2. Отнимите от числителя полученной в итоге первого шага неправильной обычной дроби числитель вычитаемой дроби. Полученное значение будет стоять над дробной чертой результирующего соотношения, а под черту разместите знаменатель вычитаемой дроби. Скажем, для примера, приведенного в предыдущем шаге, всю операцию дозволено записать так: 15 – 4/5 = 75/5 – 4/5 = (75-4)/5 = 71/5.

3. Если числитель высчитанного значения огромнее знаменателя (неправильная дробь), класснее представить ее в виде смешанной дроби. Для этого поделите большее число на меньшее – полученная величина без остатка и будет целой частью. В числитель дробной части поставьте остаток от деления, а знаменатель оставьте без изменений. Позже такого реформирования итог описанного выше примера должен принять такой вид: 15 – 4/5 = 71/5 = 14 1/5.

4. Приведенный выше алгорифм приводит к итогу в формате обычной дроби, но зачастую бывает нужно получить в результате десятичную дробь. Дозволено произвести описанные в первых 2-х шагах операции, а после этого поделить числитель полученной дроби на ее знаменатель – полученное значение и будет десятичной дробью. Скажем: 15 – 4/5 = 71/5 = 14,2.

5. Альтернативный метод – первым же шагом перевести вычитаемую дробь в десятичный формат, то есть поделить ее числитель на знаменатель. Позже этого останется отнять вычитаемое от сокращаемого любым комфортным методом (в столбик, на калькуляторе, в уме). Тогда описанный выше пример дозволено записать так: 15 – 4/5 = 15 – 0,8 = 14,2.

Дробь – это специальная форма записи разумного числа. Она может быть представлена, как в десятичном, так и в обычном виде. Реформированием дробей занимаются детишки с пятого класса, эта операция имеет громадное прикладное значение, которое сгодится им как в математике, так и в иных областях умений.

Вам понадобится

• Учебник по математике за 5-ый класс

Инструкция

1. Одним из реформирований дробей является перевод их из смешанной в неправильную. Напомним, что смешанная дробь состоит из целого числа и верной дроби. Выходит, для того дабы исполнить это реформирование необходимо:1) Умножить знаменатель дроби на целую часть.2) К полученному числу прибавить числитель. 2)=23(65/100)=23(13/20)2) 40,1=40(1/10)

5. Для того дабы из обычного числа сделать дробь, представьте это число в виде частного 2-х чисел. Делимое, при этом, будет являться числителем, а делитель знаменателем. Пример:8=16/2=8/1=24/3

Обратите внимание!
Наблюдательно отсчитывайте число знаков позже запятой.

Полезный совет
Припомните правила округления.

Дробь является одним из элементов формул, для ввода которых в текстовом процессоре Word существует инструмент Microsoft Equation. С поддержкой него дозволено вводить всякие трудные математические либо физические формулы, уравнения и другие элементы, включающие в себя особые символы.

Инструкция

1. Дабы запустить инструмент Microsoft Equation нужно пройти по адресу: «Вставка» -> «Объект», в открывшемся диалоговом окне, на первой вкладке из списка необходимо предпочесть Microsoft Equation и нажать «Ок» либо два раза кликнуть на выбранном пункте. Позже запуска редактора формул, перед вами откроется панель инструментов и в тексте отобразится поле для ввода формулы: прямоугольник в пунктирной рамке. Панель инструментов поделена на сегменты, в всей из них находится комплект знаков действий либо выражений. При нажатии на одну из сегментов, развернется список находящихся в ней инструментов. Из открывшегося списка нужно предпочесть необходимый символ и кликнуть на нем. Позже выбора, указанный символ появится в выделенном прямоугольнике в документе.

2. Сегмент, в которой располагаются элементы для написания дробей, находится во 2-й строке панели инструментов. При наведении на нее курсора мыши, вы увидите всплывающую подсказку «Образцы дробей и радикалов». Кликните секцию один раз и разверните список. В вывалившемся меню есть образцы для дробей с горизонтальной и косой чертой. Среди появившихся вариантов вы можете предпочесть тот, тот, что подходит для вашей задачи. Кликните на необходимом варианте. Позже нажатия, в поле для ввода, которое открылось в документе, появится символ дроби и места для ввода числителя и знаменателя, обрамленные пунктирной линией. Курсор по умолчанию механически устанавливается в поле для ввода числителя. Введите числитель. Помимо цифр дозволено так же вводить математические символы, буквы либо знаки действий. Их дозволено вводить как с клавиатуры, так и из соответствующих сегментов панели инструментов Microsoft Equation. Позже вода числителя, нажатием клавиши TAB, перейдите к знаменателю. Перейти дозволено и кликнув мышью в поле для ввода знаменателя. Как только формула написана, кликните указателем мыши в любом месте документа, панель инструментов закроется, ввод дроби будет закончен. Дабы отредактировать дробь, двукратно нажмите на ней левой кнопкой мыши.

3. Если при открытии меню «Вставка» -> «Объект», в списке вы не нашли инструмента Microsoft Equation, его нужно установить. Запустите установочный диск, образ диска либо файл дистрибутива Word. В появившемся окне инсталлятора выберите «Добавить либо удалить компоненты. Добавление либо удаление отдельных компонентов» и нажмите «Дальше». В дальнейшем окне подметьте пункт «Расширенная настройка приложений». Нажмите «Дальше». В дальнейшем окне обнаружьте пункт списка «Средства Office» и нажмите на плюсик слева. В развернувшемся списке, нас волнует пункт «Редактор формул». Кликните на значок рядом с надписью «Редактор формул» и, в открывшемся меню, нажмите «Запускать с моего компьютера». Позже этого нажмите «Обновить» и дождитесь пока пройдет установка нужного компонента.

Разная форма записи дробей может вызывать неудобство. Во-первых, не неизменно комфортно оперировать с десятичными формами, во-вторых, они зачастую отражают менее точные значения. И в этом случае вы можете преобразовать такую дробь в типичный вид.

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что речь идет именно о реформировании десятичной дроби в типичную форму. Обратное действие не неизменно может иметь место, что связано с возникающей в некоторых случаях необходимостью округления: если в условиях данной задачи вы обязаны оперировать только точными значениями, придется оперировать только с обыкновенной формой дроби.

2. Запомните одно качество дроби, к которому сводятся все допустимые реформирования, проводимые с этой формой записи числа. Оно гласит, что умножение либо деления числителя и знаменателя на одно и то же число не приводит к изменению дроби. Причем не главно, в какой форме вы записываете число: в очевидной либо же как синус угла либо и совсем обозначив его переменной х либо у.

3. Не забывайте и о том, что в случае с десятичной дробью вы неизменно сразу можете записать ее знаменатель: это будет 10, 100, 1000 и т.д. Число нулей определяется числом знаков позже запятой. Остается осознать, что записать в числителе.

4. Выпишите в числитель все цифры десятичной дроби. Если это 0,75, то в числителе будет стоять 75, если 1,35 – 135, соответственно.

5. Приступайте к последующим реформированиям, если таковые допустимы. Это может требоваться для удачного решения задачи. Но если даже вам довольно примитивно преобразовать десятичную дробь в обычную форму, не останавливайтесь на одном действии. Учтите, что правила правильной математической записи требуют соблюдения 2-х правил. Во-первых, полученная дробь не должна сокращаться. Во-вторых, если числитель огромнее знаменателя, отменнее записать дробь в ее третье форме – смешанного числа.

6. Используйте качество дроби для того, дабы проверить вероятность сокращения. Чем поменьше знаменатель, тем поменьше вариантов вам придется перебирать. Если это 10, то проверьте, делится ли числитель на 2, 5, 10. Если 100 – на 2, 4, 5 и другие делители 100.

Видео по теме

Число , которое записано в виде целой и дробной частей, называют числом в смешанной записи. Для комфорта произношения почаще каждого это длинное наименование уменьшают до формулировки «смешанное число». Такое число имеет равную себе неправильную дробь , в которую его легко перевести.

Вам понадобится

• Смешанное число, бумага, ручка, 3 яблока, ножик.

Инструкция

1. Если вы не слишком отлично понимаете суть смешанного числа, неукоснительно возьмите бумагу и ручку, дабы не запутаться и все сделать положительно. На каждый случай приготовьте 3 яблока и ножик. Считается, что тема дробей в математике одна из самых трудных. Школьники начинают их проходить с 3-го класса и непрерывно, на всем дальнейшем ярусе обучения, возвращаются к аналогичным задачам, которые годично, раз за разом оказываются всё больше трудными.

2. Запишите смешанное число. Возможен, оно выглядит так: 2 3/4 (это то же самое, что и 2+3/4). Читается запись как «две целых три четвертых». Тут цифра 2 – это целая часть смешанного числа, а «три четвертых» – дробная часть. Для наглядности представьте его в виде 2-х целых яблок и еще одного, от которого осталось три четверти, а одну четверть, скажем, теснее съели.

3. Дабы смешанное число перевести в неправильную дробь , умножьте знаменатель его дробной части на целую часть. В данном случае это: 4х2=8. Вернитесь к наглядному примеру с яблоками. Разрежьте весь из 2-х целых плодов на четыре равных части. Позже этой операции частей также окажется восемь.

4. Дальнейшая операция: к полученному произведению прибавьте числитель дробной части смешанного числа. То есть к 8 прибавьте 3. Получится: 8+3=11. И сейчас к теснее имеющимся восьми яблочным кускам добавьте три сходственных ломтика от того яблока, которое первоначально оставалось неполным. Каждого окажется одиннадцать долек.

5. Заключительное действие: запишите получившуюся сумму на место числителя неправильной дроби. При этом знаменатель дробной части оставляйте без метаморфозы. Вывод в этом примере окажется таким: 11/4. Читается эта неправильная дробь как «одиннадцать четверых». И если вы вновь обратитесь к яблокам, то увидите, что всякий из ломтиков является четвертью от целого яблока, а каждого ломтиков одиннадцать. То есть когда вы их соберете совместно, вы здесь же получите одиннадцать четвертинок яблока.

Видео по теме

Все измерения выражаются числами, скажем, длина, площадь и объем в геометрии, расстояние и скорость в физике и т.д. Не неизменно итог получается целым, так возникают дроби. Существуют разные действия с ними и методы их реформирования, в частности, дозволено обыкновенную дробь превратить в десятичную.

Инструкция

1. Дробь – это запись вида m/n, где m принадлежит множеству целых чисел, а n – естественных. Причем если m>n, то дробь является неправильной, из нее дозволено выделить целую часть. При умножении числителя m и знаменателя n на одно и то же число итог остается постоянным. На этом правиле основаны все операции реформирования. Таким образом, дозволено превратить обыкновенную дробь в десятичную, подобрав соответствующий множитель.

2. Десятичную дробь отличает знаменатель, кратный десяти. Такая запись подобна разрядам целых чисел, идущая по возрастанию справа налево. Следственно для перевода обычной дроби надобно вычислить такой всеобщий показатель для ее делимого и делителя, дабы конечный содержал только десятичные, сотые, тысячные и т.п. доли.Пример: переведите дробь? в десятичный вид.

3. Подберите такое число, дабы итог его умножения на знаменатель был кратен 10. Рассуждения ведите от обратного: дозволено ли превратить число 4 в 10? Результат: нет, так как 10 не делится нацело на 4. Тогда 100? Да, 100 делится на 4 без остатка, в результате получается 25. Умножьте числитель и знаменатель на 25 и запишите результат в десятичном виде:? = 25/100 = 0,25.

4. Не неизменно дозволено воспользоваться способом подбора, существует еще два метода. Тезис их использования фактически один и тот же, различается лишь запись. Один из них – постепенное выделение десятичных знаков. Пример: переведите дробь 1/8.

5. Рассуждайте дальнейшим образом: 1/8 не имеет целой части, следственно, она равна 0. Запишите эту цифру и поставьте позже нее запятую; Умножьте 1/8 на 10, получите 10/8. Из этой дроби дозволено выделить целую часть, равную 1. Впишите ее позже запятой. Продолжите работу с образовавшимся остатком 2/8; 2/8*10 = 20/8. Целая часть равна 2, остаток – 4/8. Промежуточный результат – 0,12; 4/8*10 = 40/8. Из таблицы умножения следует, что 40 нацело делится на 8. На этом ваши расчеты закончены, итоговый результат – 0,125 либо 125/1000.

6. И, наконец, 3-й способ – деление в столбик. Весь раз, когда вам доводится разделять меньшее число на большее, спускайте «сверху» нуль (см. рис).

7. Дабы превратить неправильную дробь в десятичную, необходимо вначале выделить целую часть. Скажем: 25/3 = 8 1/3. Запишите целую часть 8, поставьте запятую и переведите дробную часть 1/3 одним из описанных выше методов. К сожалению, не существует числа, кратного 10, которое делось бы на 3 без остатка. В сходственной обстановки применяется так называемый период, когда безмерно повторяющуюся цифру записывают в круглых скобках:8 1/3 ? 8,…;1/3*10 = 10/3 ? 8,3…, остаток = 1/3;1/3*10 = 10/3 ? 8,33…, остаток = 1/3;и т.д. до бесконечности.Результат: 8 1/3 = 8,3….3 = 8,(3).

Видео по теме

Стержневой спецификой человеческого интеллекта является способность к абстрактному мышлению. Одной из наивысших форм абстракции в человеческом мире является число. Выделяют несколько категорий чисел, различающихся свойствами. Особенно привычными и зачастую используемыми в повседневной жизни являются целые и действительные числа. Как водится, числа записываются в десятичной системе счисления. Действительные числа обозначаются десятичными дробями. Одним из недостатков записи дробных чисел в виде десятичных дробей является их ограниченная точность. Когда точность особенно главна, числа записывают в виде дробей (пары числитель-знаменатель). В ряде случаев дроби крайне комфортны, но арифметические операции с ними больше трудны, чем с десятичными числами. Скажем, дабы вычесть дробь с различными знаменателями , надобно совершить несколько математических действий.

Вам понадобится

• Калькулятор либо лист бумаги с ручкой.

Инструкция

1. Приведите дроби к одному знаменателю. Помножьте числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель 2-й. Помножьте числитель и знаменатель 2-й дроби на знаменатель первой. Скажем, если начальные дроби равны 6/7 и 5/11, то дроби, приведенные к всеобщему знаменателю, будут равны 66/77 и 35/77. В данном случае числитель и знаменатель первой дроби были помножены на число 11, а числитель и знаменатель 2-й дроби – на число 7.

2. Произведите вычитание дробей. Вычтите из числителя первой дроби числитель 2-й дроби. Запишите полученное значение в качестве числителя результирующей дроби. В качестве знаменателя итога подставьте всеобщий знаменатель, полученный на предыдущем шаге. Так, при вычитании из дроби 66/77 значения дроби 35/77, получится итог 31/77 (из числителя 66 был вычтен числитель 35, а знаменатель оставлен бывшим).

3. Произведите сокращение дроби-итога, если это нужно. Подберите крупнейший всеобщий делитель, чудесный от 1 для числителя и знаменателя результирующей дроби. Поделите на него числитель и знаменатель. Запишите новые значения в качестве числителя и знаменателя итоговой дроби. Наибольшего всеобщего делителя, чудесного от 1 может и не существовать. В этом случае оставьте в качестве итога начальную дробь .

Вычитание дроби из целого числа | План-конспект урока (7 класс) на тему:

Этапы урока

Содержание урока

Примечание

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Орг.момент. 2.Актуализация знаний. 3.Повторение. 4.Работа по теме. 5.Физминутка. 6.Работа с книгой. 7.Итог урока. Рефлексия. 8.Домашнее задание.

Чтение учителем стихотворения об осени. Проверяет готовность к уроку. Как называются числа на листочках? Что показывает знаменатель дроби? Что показывает числитель дроби? Прочитайте дроби и назовите числитель и знаменатель. Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями? Как найти разность дробей с разными знаменателями? А теперь проверим эти правила при вычислении. Решить примеры с дробями, узнаете автора первого учебника математики на Руси. Как фамилия автора учебника? Дополни дроби до единицы.                 Вычислите: 1-  ;  1-  ;  1- 1 — ;   1-  ;  4 —  ; Какой из примеров вызывает у вас затруднения? Сейчас потренируемся в решении упражнений по данной теме. Заполни пропуски. 5 —  = 4  = 4   9 — = 8  —  = Вывод. № 946, №947 Самостоятельная работа по карточке. Что нового узнали? Что вспомнили на уроке? Что понравилось? Что показалось сложным? Оцените свою работу «смайликом» я узнаю ваше настроение от урока. Спасибо за урок. С.232 № 947(4-5-6)

Учащиеся готовы к уроку. На партах осенние листочки. Обыкновенные дроби. На сколько равных частей разделили целое. Сколько равных частей взяли. Учащиеся читают дроби. Чтобы найти разность дробей одинаковыми знаменателями надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби. Надо привести их к общему знаменателю. Учащиеся решают примеры. Ответы подставляют в таблицу с шифром. Магницкий. Учащиеся выполняют у доски Последний пример. Надо целое число превратить в неправильную дробь, а потом вычитать. Работу выполняют коллективно у доски. Взаимопроверка.

Сложение и вычитание дробей с отрицательными числами

Как только вы научитесь складывать и вычитать положительные дроби , вы можете расширить метод, включив в него отрицательные дроби.

Обратите внимание, что:

— 2 3 такой же как — 2 3 а также 2 — 3

— 2 — 3 упрощается до 2 3

Когда вы складываете или вычитаете отрицательную дробь, вы обычно хотите учитывать числитель как отрицательный.Метод тот же, за исключением того, что теперь вам может потребоваться добавить отрицательные или положительные числители.

Пример 1:

Найдите сумму.

9 5 + ( — 4 3 )

LCM 5 а также 3 является 15 .

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

9 5 знак равно 9 × 3 5 × 3 знак равно 27 15 — 4 3 знак равно — 4 × 5 3 × 5 знак равно — 20 15

Так,

9 5 + ( — 4 3 ) знак равно 27 15 + ( — 20 15 )

Поскольку знаменатели совпадают, сложите числители.

знак равно 27 + ( — 20 ) 15 знак равно 7 15

Пример 2:

Найдите разницу.

— 7 10 — 2 15

LCM 10 а также 15 является 30 .

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

— 7 10 знак равно — 7 10 × 3 3 знак равно — 21 год 30 2 15 знак равно 2 15 × 2 2 знак равно 4 30

Так,

— 7 10 — 2 15 знак равно — 21 год 30 — 4 30

Поскольку знаменатели одинаковы, вычтите числители.

— 21 год 30 — 4 30 знак равно — 21 год — 4 30

Упрощать. Мы получили:

— 25 30 или же — 5 6

Калькулятор дробей

Учитесь складывать, вычитать, умножать и делить дроби. Сократите дроби до наименьших значений, упростите, сравните и упорядочите дроби. Преобразуйте дроби в десятичные дроби и проценты, работайте со смешанными числами и неправильными дробями и решайте для X в уравнениях дробей с помощью онлайн-калькуляторов дробей CalculatorSoup ^® .

Операции с дробями и манипуляции

Калькулятор дробей

Операции над правильными и неправильными дробями.Включает формулы для сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Сложение и вычитание дробей.

Сложите или вычтите до 10 дробей за раз и посмотрите, как найти ответ.

Смешанные числа новые решения

Смешанные числа, целые числа и дроби .Операции с целыми числами, целыми числами, смешанными числами, правильными дробями и неправильными дробями. Показывает уравнения и результаты работы калькулятора.

Смешанные фракции новые решения

(То же, что и для смешанных номеров)

Упрощение дробей

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа.Упростите правильные и неправильные дроби, показывая работу и ответ в виде дроби или смешанного числа.

Упрощение калькулятора сложных дробей

Упростите дроби, задав числители и знаменатели любых двух смешанных чисел (смешанные дроби), правильные дроби, неправильные дроби или целые числа.

Калькулятор комплексных дробей новый

Сложение, вычитание, умножение и деление сложных дробей, содержащих смешанные числа, дроби или целые числа.

Десятичная дробь

Преобразование десятичной дроби в дробь.

Дробь в десятичную новые решения

Преобразует дробь в десятичную.

Доля к процентам

Преобразование дробей в проценты.

Процент в фракцию

Преобразование процента в дробь.

Наименьший общий знаменатель ( LCD )

Находит ЖК-дисплей дробей, целых и смешанных чисел. Показывает дроби и эквивалентные дроби с ЖК-дисплей .

Наименьшее общее кратное ( LCM )

Находит LCM целых и целых чисел.

Наибольший общий коэффициент ( GCF )

Находит GCF набора чисел, показывающих работу с использованием разложения на множители, разложения на простые множители и алгоритма Евклида.

Калькулятор соотношения

Решает задачи соотношения и пропорции для пропущенного значения соотношения в форме A: B = C: D (или эквивалентного A / B = C / D). Сравните два отношения эквивалентности: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Калькулятор отношения к дроби новый

Преобразование отношений в дроби.Введите частичное или частичное отношение к целому и найдите дробные эквиваленты.

Ratio Simplifier

Упростите и уменьшите соотношение в форме A: B. Показывает работу с шагом.

Золотое сечение

Введите одно значение в формулу золотого сечения (A + B: A = A: B), и другие значения будут сгенерированы с геометрическим представлением.

Эквивалентные дроби

Создает набор дробей, эквивалентных заданной дроби, смешанному числу или целому числу.

Неправильные дроби для смешанных чисел

Преобразуйте неправильные дроби в смешанные числа и посмотрите, как выполняется преобразование. Упростите дроби и сведите к минимуму.

Смешанные числа в неправильные дроби

Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби и посмотрите, как выполняется преобразование.

Преобразование смешанных чисел в десятичную

Преобразуйте смешанные числа, дроби или целые числа в десятичные числа и просмотрите работу, связанную с преобразованием.

Смешанные числа в процентах

Преобразуйте смешанные числа, дроби или целые числа в проценты и проследите за работой, связанной с преобразованием.

Порядок дробей

Упорядочивание и сортировка дробей, целых и смешанных чисел, чтобы определить, равны ли они, больше или меньше друг друга ( = или > или ). Показывает проделанную работу и преобразует входные данные в эквивалентные дроби с ЖК-дисплей .

Сравнение дробей

Сравнение дробей, целых и смешанных чисел, чтобы показать равенство или неравенство ( = или или > ).Показывает входные данные, преобразованные в эквивалентные дроби с ЖК-дисплей .

Решение для X в дробях

Решить для неизвестных X , таких как X / 12 = 4/16 . Этот калькулятор может решить для X в долях как равенства и неравенства: или ≥ или = .Показывает работу по перекрестному умножению.

Оценка сумм и различий

Оцените суммы и разности для положительных собственных дробей, n / d, где n ≤ d и 0 ≤ n / d ≤ 1. Включает таблицу дробей для дробей порядка половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых с их десятичными эквивалентами.

Усреднение дробей новинка

Вычисляет среднее значение набора дробей.Находит среднее значение положительных и отрицательных, правильных и неправильных дробей, целых и смешанных чисел. Включает возможность показать работу, связанную с вычислением результата.

Таблица фракций

Дроби в порядке от 0 до 1, от половин до шестнадцатой. Включает десятичные эквиваленты дробей.

Строка числа дробей

Дробные части размером с шестнадцатую.

Преобразование дробей, десятичных знаков и процентов

Конвертер десятичных дробей в дробные

Конвертер десятичных чисел в проценты

Конвертер дробей в десятичные

Конвертер дробей в проценты

Конвертер процентов в десятичные

Конвертер процентов в доли

Конвертер смешанных чисел в десятичную

Конвертер смешанных чисел в проценты

Смешанные числа в неправильные дроби

Неправильные дроби для смешанных чисел

Калькулятор эквивалентных дробей

Использование калькулятора

Найдите эквивалентные дроби.Введите дробь, смешанное число или целое число, чтобы получить дроби, эквивалентные введенному вами значению. Примеры записей:

• Дробь — как 2/3 или 15/16
• Смешанное число — например, 1 1/2 или 4 5/6
• Целое число — например, 5 или 28

Что такое эквивалентные дроби?

Эквивалентные дроби — это дроби с разными числами, представляющие одну и ту же часть целого. У них разные числители и знаменатели, но их дробные значения одинаковы.

Например, представьте дробь 1/2. Это означает половину чего-то. Вы также можете сказать, что 6/12 — это половина, а 50/100 — половина. Они представляют собой одну и ту же часть целого. Эти эквивалентные дроби содержат разные числа, но означают одно и то же: 1/2 = 6/12 = 50/100

Как найти эквивалентные дроби

Умножьте числитель и знаменатель дроби на одно и то же целое число. Пока вы умножаете верхнюю и нижнюю часть дроби на одно и то же число, вы не измените значение дроби и получите эквивалентную дробь.

Пример эквивалентных дробей

Найдите дроби, эквивалентные 3/4, умножив числитель и знаменатель на одно и то же целое число:

\ (\ dfrac {3} {4} \ times \ dfrac {2} {2} = \ dfrac {6} {8} \)

\ (\ dfrac {3} {4} \ times \ dfrac {3} {3} = \ dfrac {9} {12} \)

\ (\ dfrac {3} {4} \ times \ dfrac {4} {4} = \ dfrac {12} {16} \)

\ (\ dfrac {3} {4} \ times \ dfrac {5} {5} = \ dfrac {15} {20} \)

\ (\ dfrac {3} {4} \ times \ dfrac {6} {6} = \ dfrac {18} {24} \)

Следовательно, все дроби эквивалентны:

\ (\ dfrac {3} {4} = \ dfrac {6} {8} = \ dfrac {9} {12} = \ dfrac {15} {20} = \ dfrac {18} {24} \)

Обратите внимание, что если вы уменьшите все эти дроби до наименьших членов, они будут равны 3/4.

Для получения дополнительной информации о дробях см. Наш Калькулятор дробей, Упростите калькулятор дробей и Калькулятор смешанных чисел.

Калькулятор упрощенных дробей

Использование калькулятора

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа в простейшей форме. Этот калькулятор также упрощает правильные дроби, сокращая их до наименьших значений и показывая объем работы.

Для упрощения дроби должно быть:

1. Число, которое делится на числитель и знаменатель, чтобы его можно было уменьшить, или
2. Числитель должен быть больше знаменателя (неправильная дробь), чтобы его можно было преобразовать в смешанное число.

Что такое неправильная дробь?

Неправильная дробь — это любая дробь, числитель которой больше знаменателя.Примеры неправильных дробей: 16/3, 81/9, 525/71.

Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число

1. Разделим числитель на знаменатель
2. Запишите результат целого числа
3. Используйте остаток как новый числитель над знаменателем. Это дробная часть смешанного числа.

Пример: преобразование неправильной дроби 16/3 в смешанное число.

1. Разделим 16 на 3: 16 ÷ 3 = 5 с остатком от 1
2. Результат целого числа 5
3. Остаток равен 1. При 1 в числителе и 3 в знаменателе дробная часть смешанного числа равна 1/3.
4. Смешанное число 5 1/3. Итак, 16/3 = 5 1/3.

По возможности, этот калькулятор сначала сокращает неправильную дробь до наименьшего члена, прежде чем найти форму смешанного числа.

Пример: преобразование неправильной дроби 45/10 в смешанное число.

Связанные калькуляторы

Дополнительное объяснение факторинга чисел для нахождения наибольшего общего множителя (GCF) см. В Калькулятор наибольшего общего коэффициента.

Если ваши неправильные дробные числа большие, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки при упрощении дробей вручную.

Чтобы выполнять математические операции с дробями, прежде чем вы их упрощаете, попробуйте наш Калькулятор дробей. Этот калькулятор также превратит неправильные дроби в смешанные числа.

Банкноты

Этот калькулятор выполняет расчет сокращения быстрее, чем другие калькуляторы, которые вы можете найти. Основная причина в том, что он использует алгоритм Евклида для уменьшения дробей, как показано на Математический форум.

Рационалов (числа со знаком, включая дроби)

Рационалы (числа со знаком, включая дроби)

Напомним, что целые числа — это положительные и отрицательные целые числа и ноль. Когда между целыми числами включены дроби и завершающие или повторяющиеся десятичные знаки, полная группа чисел называется рациональными числами . Это числа со знаком, включая дроби.Более техническое определение рационального числа — это любое число, которое может быть записано как дробь, где числитель является целым числом или целым числом, а знаменатель — натуральным числом. Обратите внимание, что дроби могут быть помещены в числовую линию, как показано на Рисунке 1

. Числовая строка, показывающая целые числа и дроби.

Дроби могут быть как отрицательными, так и положительными. Отрицательные дроби обычно записываются следующим образом:

Хотя все они равны.

Правила для знаков при сложении целых чисел применимы и к дробям. Помните: Чтобы сложить дроби, вы должны сначала получить общий знаменатель.

Добавьте следующее.

Правила для знаков при сложении целых чисел также применимы к смешанным числам.

Добавьте следующее.

Правила для знаков при вычитании целых чисел применимы и к дробям. Помните: Чтобы вычесть дроби, вы должны сначала получить общий знаменатель.

Вычтите следующее.

Правила для знаков при вычитании целых чисел также применимы к смешанным числам. Помните: Чтобы вычесть смешанные числа, вы должны сначала получить общий знаменатель. Если заимствование из столбца необходимо, остерегайтесь простых ошибок.

Вычтите следующее.

Проблемы, подобные предыдущим, обычно легче всего решить, сложив число с большим абсолютным значением наверху, вычтя и сохранив знак числа с большим абсолютным значением.

Правила для знаков при умножении целых чисел применимы и к дробям. Помните: Чтобы умножить дроби, умножьте числители, а затем знаменатели. По возможности всегда упрощайте до минимальных условий.

Умножьте следующее.

Можно отменить при умножении положительной и отрицательной дробей. Просто отмените, как вы это делаете при умножении положительных дробей, но обратите особое внимание на соответствующие знаки.Следуйте правилам знаков при умножении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: Отсутствие знака означает, что понимается положительный знак.

Умножьте следующее.

Следуйте правилам знаков при умножении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: Перед умножением смешанных чисел вы должны сначала изменить их на неправильные дроби.

Умножьте следующее.

Следуйте правилам знаков при делении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: При делении дробей сначала инвертируйте делитель, а затем умножайте.

Разделите следующее.

Следуйте правилам знаков при делении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: Перед тем, как делить смешанные числа, вы должны сначала изменить их на неправильные дроби. Затем вы должны инвертировать делитель и умножить.

Разделите следующее.

Вычисления с дробями и целыми числами (8)

7.NS.1. Применять и расширять предыдущее понимание сложение и вычитание для сложения и вычитания рациональных чисел; представляют собой сложение и вычитание по горизонтальному или вертикальному числу линейная диаграмма. 7.NS.2. Применять и расширять предыдущее понимание умножение и деление и дробей для умножения и деления рациональное число. Сложение дробей и смешанных чисел 1) При сложении дробей и смешанных чисел должен быть общий знаменатель. Воспользуйтесь этой таблицей умножения, чтобы найти общий знаменатель! 2) Переименуйте дроби с общим знаменателем (нажмите здесь, если вы забыли, как переименовать дробь). 3) Сложите числители. 4) Оставьте знаменатель прежним. 5) Сложите целые числа. 6) По возможности упростите решение. Если числитель больше знаменателя, измените его на смешанное число и прибавьте его к целому числу. Если дробь может быть уменьшена с помощью общего множителя, упростите дробь. Вычитание дробей и смешанных чисел 1) При вычитании дробей должен быть общий знаменатель. 2) Переименуйте дроби с общим знаменателем (нажмите здесь, если вы забыли, как переименовать дробь). 3) Посмотрите, сможете ли вы вычесть числители. Если возможно, вычтите числители. Если это невозможно, возьмите целое число и вычтите его. 4) Не меняйте знаменатель. 5) По возможности упростите решение. Если дробь может быть уменьшена с помощью общего множителя, упростите дробь. Умножение дробей и смешанных чисел 1) Замените все смешанные числа на неправильные дроби.(нажмите здесь, если вы забыли, как переименовывать неправильные дроби). 2) Посмотрите, можно ли уменьшить перекрестные произведения. 3) После уменьшения перекрестных произведений умножьте два числителя, получив новый числитель. умножьте два знаменателя, получив новый знаменатель. 4) Если возможно, упростите решение. Если числитель больше знаменателя, замените его на смешанное число. Если дробь может быть уменьшена с помощью общего множителя, упростите дробь. 1) Превратите все смешанные числа в неправильные дроби. 2) Перепишите задачу так: Оставив первую дробь как есть. (Оставить) Замена знака деления на знак умножения. (Изменить) Преобразование второй дроби в обратную. (Перевернуть) 3) Решите проблему, выполнив действия по умножению дробей. Посмотрите следующее видео, в котором рассказывается о навыках, необходимых для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. (Выберите «случайный оператор» и самое большое число «20», прежде чем нажать «перейти»)

Калькулятор дробей

Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

Правила для выражений с дробями:

Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т. е. для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью i.э., 1 2/3 (с таким же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. Е. 1/2: 3 .

Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . , и они автоматически преобразуются в дроби, то есть 1,45 .

Двоеточие : и косая черта / являются символом деления.1/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых и дробных чисел: 5 ÷ 1/2
• комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
• десятичные дроби в дроби: 0,625
• Дробь в десятичную: 1/4
• Дробь в проценты: 1/8%
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
• квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
• сложная дробь: 3/4 от 5/7
• кратная дробь: 2/3 от 3/5
• разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

Калькулятор следует известным правилам порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.

Сложение дробей с целым числом. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

• Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

• Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Чтобы к дроби прибавить целое число, достаточно выполнить ряд действий, а вернее подсчетов.

К примеру у вас 7 — целое число, его нужно прибавить к дроби 1/2.

Действуем следующим образом:

• 7 умножаем на знаменатель (2), получается 14,
• к 14 прибавляем верхнюю часть (1), выходит 15,
• и подставляем знаменатель.
• в итоге получается 15/2.

Таким нехитрым способом можно прибавлять целые числа к дробным.

А чтобы выделить целое число из дроби, надо поделить числитель на знаменатель, а остаток — и будет дробь.

Операция прибавления к правильной обыкновенной дроби целого числа не сложна и подчас заключается просто в образовании смешанной дроби, в которой целая часть ставится левее дробной части, например такая дробь будет смешанной:

Однако чаще при добавлении к дроби целого числа получается неправильная дробь, у которой числитель оказывается больше знаменателя. Выполняется эта операция так: целое число представляют в виде неправильной дроби с тем же знаменателем, что и прибавляемая дробь и потом просто складывают числители обеих дробей. На примере это буду выглядеть так:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

По-моему это очень просто.

Например, мы имеем дробь 1/4 (это то же самое, что 0,25, то есть четверть от целого числа).

И к этой четверти можно прибавить любое целое число, например 3. Получится три с четвертью :

3,25. Или в дроби это выражается так: 3 1/4

Вот по образцу этого примера можно складывать любые дроби с любыми целыми числами.

Нужно возвести целое число в дробь со знаменателем 10 (6/10). Далее, привести имеющуюся дробь к общему знаменателю 10 (35=610). Ну и выполнить операцию как с обычными дробями 610+610=1210 итого 12.

Можно сделать это двумя способами.

1). Дробь можно перевести в целое число и осуществить сложение. Например, 1/2 это 0,5; 1/4 равняется 0,25; 2/5 это 0,4 и тд.

Берем целое число 5, к которому нужно прибавить дробь 4/5. Преобразуем дробь: 4/5 это 4 разделить на 5 и получаем 0,8. Прибавляет 0,8 к 5 и получаем 5,8 или же 5 4/5.

2). Второй способ: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Сложение дробей простое математическое действие, пример, вам нужно сложить целое число 3 и дробь 1/7. Чтобы сложить эти два числа, у вас должно быть один знаменатель, поэтому вы должны три умножить на семь и разделить на эту цифру, тогда вы получаете 21/7+1/7, знаменатель один, складываете 21 и 1, получается ответ 22/7.

Просто взять и прибавить целое число к этой дроби.Допустим надо 6+1/2=6 1/2. Ну и если это десятичная дробь то можно например так 6+1,2=7,2.

Чтобы сложить дробь и целое число, нужно к целому числу прибавить дробное и записать их, в виде комплексного числа, например при сложение обыкновенной дроби с целым числом, получим: 1/2 +3 =3 1/2; при сложении десятичной дроби: 0,5 +3 =3,5.

Дробь сама по себе не является целым числом, по тому что она по своему количеству до него не дотягивает, а потому и нет необходимости переводить целое число в эту дробь. Поэтому целое число остается целым и полноценно демонстрирует полный номинал, а дробь к нему плюсуется, и демонстрирует то, сколько этому целому числу не хватает до прибавления следующего полного балла.

Академический пример.

10 + 7/3 = 10 целых и 7/3.

Если конечно есть целые, то они суммируются с целыми.

12 + 5 7/9 = 17 и 7/9.

Смотря какое целое число и какая дробь.

Если оба слагаемых положительные , следует приписать к целому числу эту дробь. Получится смешанное число. Причем, могут быть 2 случая.

Случай 1.

• Дробь правильная, т.е. числитель меньше знаменателя. Тогда полученное после приписывания смешанное число и будет ответом.

4/9 + 10 = 10 4/9 (десять целых четыре девятых).

Случай 2.

• Дробь неправильная, т.е. числитель больше знаменателя. Тогда требуется небольшое преобразование. Неправильную дробь следует превратить в смешанное число, другими словами выделить целую часть. Делается это так:

После этого к целому числу нужно прибавить целую часть неправильной дроби и к полученной сумме приписать ее дробную часть. Таким же образом к смешанному числу прибавляется целое.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 целых три четвертых).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 целых одна вторая).

Если одно из слагаемых или оба отрицательные , то сложение производим по правилам сложения чисел с разными или одинаковыми знаками. Целое число представляется в виде отношения этого числа и 1, а затем и числитель, и знаменатель умножается на число, равное знаменателю той дроби, к которой целое число прибавляется.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (минус 1 целая четыре пятых).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (минус 8 целых одна третья).

Замечание.

После знакомства с отрицательными числами, при изучении действий с ними учащиеся 6 класса должны понимать, что к отрицательной дроби прибавить положительное целое число то же самое, что вычитать из натурального числа дробь. Это действие, как известно, выполняется так:

На самом деле для того чтобы произвести сложение дроби и целого числа нужно просто напросто привести имеющиеся целое число к дробному, а сделать это проще простого. Нужно просто взять знаменатель дроби (имеющейся в примере) и сделать его знаменателем целого числа, умножив его на этот знаменатель и разделив, вот пример:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

Как вычитать из целого числа?

Содержание

• — Как из целого числа вычесть целое число и дробь?
• — Как вычислить дробь из целого числа?
• — Как вычесть из смешанной дроби?
• — Как из смешанного числа вычесть натуральное число?
• — Как разложить целое число на дробь?
• — Как из числа вычесть десятичную дробь?
• — Как вычитать дроби с разными знаменателями 5 класс?
• — Как из смешанной дроби вычесть обыкновенную дробь?
• — Как Минусовать дроби с целым числом?
• — Как умножить дробь на целое число?
• — Как умножать и делить смешанные дроби?
• — Как складывать и вычитать смешанные числа?

Как из целого числа вычесть целое число и дробь?

Четвертое правило вычитания смешанных чисел

Чтобы из целого числа вычесть смешанное число, сначала отнимите от натурального числа целую часть смешанного числа, а затем отнимите от этой разности дробную часть смешанного числа.

Как вычислить дробь из целого числа?

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа. Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби. Пример.

Как вычесть из смешанной дроби?

Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.

Как из смешанного числа вычесть натуральное число?

При вычитании смешанного числа из натурального числа нужно от натурального числа сначала отнять целую часть смешанного числа, после чего из полученной разности вычесть дробную часть.

Как разложить целое число на дробь?

Как из целого числа вычесть дробь

1. Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо
2. 1) представить его в виде смешанного числа.
3. Для этого число уменьшаем на единицу и представить эту единицу в виде дроби, у которой и числитель, и знаменатель равны знаменателю вычитаемого.
4. 2) из смешанного числа вычесть дробь.

Как из числа вычесть десятичную дробь?

Осталось озвучить правило вычитания натурального числа из десятичной дроби: чтобы вычесть натуральное число из десятичной дроби, надо это натуральное число вычесть из целой части уменьшаемой десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменения.

Как вычитать дроби с разными знаменателями 5 класс?

Для того чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю и выполнить действие (сложение или вычитание) с дробями, у которых знаменатели одинаковые. Пример: 1. вычисли: 4 5 + 1 10 .

Как из смешанной дроби вычесть обыкновенную дробь?

Чтобы вычесть смешанные дроби, надо отдельно вычесть их целые части, отдельно — дробные. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, сначала надо занять единицу у целой части, представить ее в виде дроби, у которой числитель равен знаменателю, и прибавить эту дробь к дробной части уменьшаемого.

Как Минусовать дроби с целым числом?

Вычитать дроби из целых чисел проще, чем кажется. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов: преобразовать целое число в дробь или вычесть 1 из целого числа и преобразовать 1 в дробь с тем же знаменателем, как у вычитаемой дроби. Помните, что вычитать можно только дроби с общим знаменателем.

Как умножить дробь на целое число?

Итак, чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же. Например: Вычислим произведение четырёх пятых и трёх. Умножение можно заменить сложением, то есть три раза сложить дробь четыре пятых.

Как умножать и делить смешанные дроби?

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:

1. преобразовать смешанные дроби в неправильные;
2. умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
3. сократить полученную дробь;
4. если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Как складывать и вычитать смешанные числа?

Для сложении смешанных чисел надо сложить отдельно целые части и дробные части. Для вычитания смешанных чисел надо вычесть отдельно целые части и дробные части. В результате сложения смешанных дробей может в дробной части получиться неправильная дробь. Тогда из неё нужно выделить целую часть и прибавить к целой части.

Интересные материалы:

Что символизирует лось?
Что символизирует вознесение?
Что сложнее учить русский или английский?
Что случилось с дочкой Карениной?
Что случилось с Гоголем после смерти?
Что случилось с группой Чай вдвоем?
Что случилось с Мияги сыном?
Что случилось с Момо?
Что случилось с сыном Татьяны Булановой?
Что случилось с Женей Белоусовым певцом?

Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей

Навигация по странице:

• Сложение дробей
  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение обыкновенных дробей
  • Сложение смешаных чисел
• Вычитание дробей
  • Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Вычитание обыкновенных дробей
  • Вычитание смешаных чисел

Сложение дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Определение.

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:

a	+	b	=	a + b
c		c		c

Примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1.

Найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями:

1	+	2	=	1 + 2	=	3
5		5		5		5

Пример 2.

Найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями:

3	+	2	=	3 + 2	=	5
7		7		7		7

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание дробей с равными знаменателями

Сложение обыкновенных дробей.

Примеры сложения обыкновенных дробей

Пример 3.

Найти сумму двух дробей:

1	+	1	=	1·2	+	1	=	2	+	1	=	2 + 1	=	3	=	3	=	1
3		6		3·2		6		6		6		6		6		3·2		2

Пример 4.

Найти сумму двух дробей:

29	+	44	=	29·3	+	44·2	=	87	+	88	=	87 + 88	=
30		45		30·3		45·2		90		90		90

=	175	=	35·5	=	35	=	18 + 17	= 1	17
	90		18·5		18		18		18

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание двух обыкновенных дробей

Сложение смешанных чисел

Примеры сложения смешанных чисел

Пример 5.

Найти сумму двух смешанных чисел:

2	+	1	1	=	2·2	+	1	1·3	=	4	+	1	3	=	1 +	4 + 3	=
3			2		3·2			2·3		6			6			6

=	1 +	7	=	1 +	6 + 1	=	1 + 1	1	= 2	1
		6			6			6		6

Пример 6.

Найти сумму двух смешанных чисел:

1	5	+	2	3	=	1	5·4	+	2	3·3	=	1	20	+	2	9	=	3 +	20 + 9	=
	6			8			6·4			8·3			24			24			24

=	3 +	29	=	3 +	24 + 5	=	3 + 1	5	= 4	5
		24			24			24		24

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание двух смешанных чисел

Вычитание дробей

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Определение.

Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений:

a	—	b	=	a — b
c		c		c

Примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 7.

Найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями:

3	—	1	=	3 — 1	=	2
5		5		5		5

Пример 8.

Найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями:

8	—	5	=	8 — 5	=	3
41		41		41		41

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание дробей с равными знаменателями

Вычитание обыкновенных дробей.

Примеры вычитания обыкновенных дробей

Пример 9.

Найти разность двух дробей:

5	—	1	=	5	—	1·3	=	5	—	3	=	5 — 3	=	2	=	2	=	1
6		2		6		2·3		6		6		6		6		2·3		3

Пример 10.

Найти разность двух дробей:

3	—	1	=	3·3	—	1·5	=	9	—	5	=	9 — 5	=	4	=	2·2	=	2
10		6		10·3		6·5		30		30		30		30		15·2		15

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание двух обыкновенных дробей

Вычитание смешанных чисел.

Примеры вычитания смешанных чисел

Пример 11.

Найти разность двух смешанных чисел:

2	1	—	1	1	=	2	1·3	—	1	1·2	=	(2 — 1)	+	3	—	2	=
	2			3			2·3			3·2				6		6

=	1	+	3 -2	=	1	+	1	=	1	1
			6				6			6

Пример 12.

Найти разность двух смешанных чисел:

3	1	—	1	3	=	3	1·4	—	1	3·3	=	3	4	—	1	9	=
	6			8			6·4			8·3			24			24

=	2	24 + 4	—	1	9	=	1 +	28 — 9	=	1 +	19	= 1	19
		24			24			24			24		24

Пример 13.

Найти разность двух смешанных чисел:

1	1	—	3	2	=	1	1	—	3	2·2	=	1	1	—	3	4	=	(1-3)	+	1 — 4	=
	6			3			6			3·2			6			6				6

= -2	—	3	=	-2	—	3	=	-2	—	1	=	-2	1
		6				2·3				2			2

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему сложение и вычитание двух смешанных чисел

Дроби Виды дробей (обыкновенная правильная, неправильная, смешанная, десятичная) Основное свойство дроби Сокращение дроби Приведение дробей к общему знаменателю Преобразование неправильной дроби в смешанное число Преобразование смешанного числа в неправильную дробь Сложение и вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Сравнение дробей Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь

Онлайн калькуляторы дробей

Онлайн упражнения с дробями

Вычитание смешанных дробей.

Сложение и вычитание смешанных чисел (Вольфсон Г.И.)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Учитель математики Кузнецова Марина Николаевна Сложение и вычитание смешанных чисел

Домашнее задание

Астрид Линдгрен

Устный счет 1 0

На какие группы мы можем разделить данные дроби?

На какие группы мы можем разделить данные дроби? Правильные дроби Неправильные дроби

Найдите лишний пример:

Сложение и вычитание смешанных чисел. Цель урока: Научится выполнять сложение и вычитание смешанных чисел.

Справка 1. К целой части прибавить целую часть. К полученной целой части прибавить дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным. 2. К целой части прибавить целую часть. К дробной части прибавить дробную часть К полученной целой части прибавить полученную дробную часть. Сформулировать правило сложения смешанных чисел. 3. Из целой части вычесть целую часть. Из дробной части вычесть дробную часть К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания смешанных чисел. 4. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби. Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого. Вычитаем отдельно целые части и дробные части. К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть. Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

Чтобы сложить два смешанных числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части, сложить полученные результаты. Чтобы вычесть из смешанного числа смешанное число, нужно отдельно вычесть их целые и дробные части, сложить полученные результаты.

= (3 + 2) + () = 5 + = 5 – = (5 – 3) + ()= 2 + = 2

Физкультминутка Потрудились — отдохнём, Встанем, глубоко вздохнём. Руки в стороны, вперёд, Влево, вправо поворот. Три наклона, прямо встать. Руки вниз и вверх поднять. Руки плавно опустили, Всем улыбки подарили.

4 – В 7 – О 3 – У 4 – Е 5 – Х 4 – П 5 – С У С П Е В Х О

Решение задач Стр. 175, № 1115 Стр. 175, № 1116

Что такое смешанное число? Чему вы сегодня научились? Как сложить смешанные числа? Как вычесть смешанные числа?

Домашнее задание: П. 29 (учить правила) Стр. 178, № 1136, 1137

Спасибо за урок!

Предварительный просмотр:

Учитель математики Кузнецова М.Н.

Урок в 5 классе по теме:

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Цели:

Учебные:

1. Познакомить учащихся с алгоритмами сложения и вычитания смешанных чисел путем включения учащихся в практическую деятельность.
2. Продолжить работу по развитию вычислительных навыков.

Развивающие:

1. Развитие умения решать задачи изученных видов.
2. Создание условий для формирования мыслительных операций.

Воспитательная:

1. Воспитывать чувство товарищества и взаимовыручки.

Ход урока

I. Организационный момент.

Посмотрите, все ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

II. Проверка домашнего задания.

Дата, классная работа.

Дома вы выполнили задание. Вы разгадали ребус. (Слайд 1)И какой же ответ? (Астрид Линдгрен) (Слайд 2)

Д/з. 1. Выделить целую часть и расположить в порядке возрастания. 18 -И 7 -А 14 -Р 11 -Т 9 -С 21 -Д 5 5 5 5 5 5 1 2/5 1 4/5 2 1/5 2 4/5 3 3/5 4 1/5 А С Т Р И Д 2. Запиши в виде неправильной дроби и расшифруй. 41/2-Д 2 3/7-Н 4 9/10-Р 32/5-И 14/6-Г 2 2/8-Е 3 ¾ -Л 5 1/6-Н 15 4 17 5 17 7 9 2 10 6 49 10 20 8 31 6 Л И Н Д Г Р Е Н

А кто такая Астрид Линдгрен? Какую сказку написала эта шведская писательница? («Малыш и Карлсон») (Слайд 3)

Но к сожалению Карлсон улетел, но оставил письмо.

Письмо: Ребята, я полетел искать старательных, внимательных, трудолюбивых, дружных, умеющих придти на помощь ребят. Найду – вернусь.)

Ребята, давайте быстрее встретимся с другом, для этого выполним математические задания. Если мы их выполним правильно, то у нас к возвращению Карлсона — сладкоежки получится большой общий торт. И у каждого – свой маленький.

Первое задание.

III. Устный счет

1. Решение цепочек (стр. 175, № 1111).

2/5 + 1/5 + 2/5 – 3/7 – 1/7 = 3/7

5/17 + 7/17 – 12/17 + 7/9 – 4/9 = 3/9

2. На какие группы мы можем разделить данные дроби: (правильные и неправильные дроби) (Слайд 6)

9 5 8 10 24 15 7 12

8 12 11 6 13 16 7 25

Какие дроби называются правильными?

Какие дроби называются неправильными?

Как по-другому представить неправильные дроби?

Из чего состоит смешанное число?

(Кусок торта.)

IV. Актуализация знаний.

Найдите лишний пример:

2/8 + 3/8 14/12 – 7/12 7/9 + 1/9 3 1/7 + 2 3/7 18/27 -5/27

Попробуйте сформулировать тему урока (Сложение смешанных чисел) (Слайд8)

Сегодня на уроке мы научимся выполнять сложение и вычитание смешанных чисел, для достижения этой цели сформулируем правила.

V. Исследование

Учащиеся работают в группах, выполняя задания различной сложности. Все учащиеся делятся на 4 группы. На парту каждой группы раздается задание и справочный материал. Для решения задания нужно выбрать соответственное правило.

Задание 1 . Выполнение сложения 2 ½ + 3

Задание 2. Выполнение сложения 2 1/4 + 1 2/4

Задание 3 . Выполнение вычитания 3 5/6 – 3/6

Задание 4. Выполнение вычитания 5 1/4 — 3 2/4

Справка

1. К полученной целой части прибавить дробную часть.
2. Сформулировать правило сложения смешанного числа с натуральным.

1. К целой части прибавить целую часть.
2. К дробной части прибавить дробную часть
3. К полученной целой части прибавить полученную дробную часть.
4. Сформулировать правило сложения смешанных чисел.

1. Из целой части вычесть целую часть.
2. Из дробной части вычесть дробную часть
3. К оставшейся целой части прибавить оставшуюся дробную часть.
4. Сформулировать правило вычитания смешанных чисел.

1. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
2. Занимаем у целой части уменьшаемого единицу и представляем ее в виде неправильной дроби.
3. Полученную дробь складываем с дробной частью уменьшаемого.
4. Вычитаем отдельно целые части и дробные части.
5. К оставшейся целой части прибавляем оставшуюся дробную часть.
6. Сформулировать правило вычитания из смешанного числа дроби, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

VI. Обмен информацией .

Вы рассмотрели правила сложения и вычитания смешанных чисел. Что общего у них? (Действия выполняются сначала с целыми числами, затем с дробными частями.)

Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. (Слайд 9)

Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. (Слайд 10)

Стр. 174 учебника, правило

(Кусок торта.)

VII. Применение

— Вернемся к примеру:

3 1/7 + 2 3/7= (3+2)+(1/7+3/7)=5+4/7=54/7

Как убедиться, что сложение выполнено правильно? (Вычитанием). Сделать проверку.

54/7-31/7=(5-3)+(4/7-1/7)= 2+3/7= 23/7

(Кусок торта.)

VIII. Физкультминутка (Слайд)

Потрудились — отдохнём,

Встанем, глубоко вздохнём.

Руки в стороны, вперёд,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

IX. Закрепление изученного материала

1. Карлсон прислал телеграмму, но все слова перепутались. Давайте решим примеры и соотнесем их с ответами. (Слайд 11)

3 7/13 – 4/13= 4 – В

5 2/5+1/5= 7 4/6 – О

10 2/3-6= 3 3/13 – У

2 2/7+2 4/7= 4 6/7 – Е

8 5/9-3= 5 5/9 – Х

3/6+7 1/6 = 4 2/3 – П

7 4/5-3 4/5= 5 3/5 – С

(Кусок торта.)

«Охота за пятерками»

2. Работа над задачами.

а) Стр. 175, №1115.

1. Прочитайте задачу.
2. Сколько конфет в одной коробке?
3. Сколько конфет в другой коробке?
4. Как ответить на вопрос задачи?
5. Решите задачу. Прочитайте ответ. (В двух коробках 4 4/8 кг конфет.)

б) Стр. 175, № 1116.

1. Чему равна длина красной ленты?
2. Что сказано про длину белой?
3. Что значит на 2 1/5 м короче?
4. Как будете решать эту задачу?

Решите. Прочитайте ответ. (Длина белой ленты 1 2/5 метра.)

(Кусок торта.)

Вы – замечательные ученики: старательные, внимательные, дружные, помогаете друг другу.

(прилетел Карлсон) Карлсон увидел, что вы такие ребята, каких он искал, и вернулся. Мы дарим ему торт.

X. Итог урока (вопросы Карлосона).

1. Что такое смешанное число?
2. Чему вы сегодня научились? (Складывать и вычитать смешанные числа.)
3. Как сложить смешанные числа?
4. Как вычесть смешанные числа?

Это вам поможет справиться с домашним заданием.

XI. Домашнее задание: Стр. 178, № 1136,1137

XII. Рефлексия.

Соберите заработанные кусочки в тортик. (3-5 частей – «5»)

Учитель оценивает работу учащихся. (Мордашка). (Слайд 13)

Решение сложных примеров правильно – непосильная задача для тех, кто не понимает в математике элементарных правил и законов. Сложение и вычитание смешанных чисел по праву можно отнести к сложным примерам. Однако, при правильном разборе самих чисел можно легко проводить любые действия.

Что это такое?

Смешанное число – это комбинация целой части и дробной. К примеру, имеется 2 и 3, из них 2 – это простое число, а вот 3 – это уже смешанное, где 3 – целая часть, а – дробная. Представленные разновидности складываются и вычитаются по-разному, но не влекут сложностей в самостоятельном решении примеров.

Полноценный разбор примера

Для полноценного представления сущности смешанного значения следует привести в пример задачу, которая поможет отобразить смысл повествования задуманного. Итак, Вася проехал круг вокруг школы на велосипеде за 1 минуту и 30 секунд, а потом еще круг прошел пешком за 3 минуты и 30 секунд. Сколько времени затратил Вася на всю прогулку вокруг школы?

Этот пример направлен на сложение смешанных чисел, которые предварительно в данном случае даже не придется переводить в секунды. Получается, что сложение осуществляется путем отдельного прибавления минут и секунд. В результате получим следующий результат:

1. Сложение минут – 1+3=4.
2. Сложение секунд = 30+30=60 секунд = 1 минута.
3. Общее значение 4 минуты+1 минута = 5 минут.

Если исходить из математического отображения, то представленные действия можно выделить в одном выражении:

Из представленного выше становится понятным, что складывать смешанные числа следует в отдельности по частям – сначала целые части, а затем дробные. Если дробное число дает еще целое значение, его также складывают с целым полученным ранее значением. К полученному целому значению прибавляют дробную часть – получается смешанное число.

Правила сложения

Для закрепления изученного следует привести правило сложения смешанных чисел. Здесь следует воспользоваться следующей последовательностью:

1. Для начала отделить от значения части – на целую и дробную.
2. Теперь сложить целые части.
3. Далее сложить дробные.
4. Если из дробного числа можно извлечь еще целую часть – перевести в смешанное значение – значит, проводят подобную разбивку.
5. Полученную целую часть из дробного значения складывают с целым ранее полученным значением.
6. К целой части прибавляют дробную.

Для пояснения следует привести несколько примеров:

Сложение смешанных чисел происходит по тому же алгоритму, что и вычитание, поэтому далее будет подробно рассмотрено следующее действие.

Правила вычитания

Как и в первом случае, для вычитания смешанных значений существует правило, но оно в корне отличается от предыдущей последовательности. Итак, здесь следует придерживаться последовательности:

1. Пример на вычитание представляется в виде: уменьшаемое – вычитаемое = разность.
2. В связи с приведенным уравнением следует предварительно сравнить дробные части представленных чисел.
3. Если у уменьшаемого дробная часть больше, значит, вычитание проводится по тому же признаку, что и при сложении – сначала вычитаются целые, а затем дробные значения. Оба результата складывают.
4. Если у уменьшаемого дробное значение меньше, значит, их предварительно переводят в неправильную дробь и осуществляют стандартное вычитание.
5. Из полученной разницы определяют целую часть и дробную.

Для пояснения следует привести следующие примеры:

Из представленной статьи стало понятным, как проводить сложение и вычитание смешанных чисел. В описанном выше примере видно, что не всегда приходится видоизменять числа – переводить их из простых дробей в сложные. Зачастую достаточно просто сложить или вычесть целые и дробные значения по отдельности, что для человека с большим опытом можно легко провести в уме.

В статье подробно рассмотрены примеры, решение которых представлено в полном соответствии с математическими правилами и основами. Разобраны отдельные ситуации, для каждого приведен пример видоизменений, с которыми можно столкнуться в решении задач и сложных примеров.

>>Математика: Сложение и вычитание смешанных чисел-6 класс

12. Сложение и вычитание смешанных чисел

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют свести сложение сметанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.
Пример 1. Найдем значение суммы
Решение. Приведем дробные части чисел к наименьшему общему 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части:

Пример 2. Найдем значение суммы .
Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, после отдельно складываем целые и дробные части:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы .

Пример 3. Найдем значение разности .
Решение. Приведем дробные части к наименьшему общему знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной части:

Пишут короче:

Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого.

Пример 4. Найдем значение разности

Решение. Приведем дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 18:

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так:

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

? Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел. Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел.

К 363. Выполните сложение:

364. Выполните вычитание:

365. Найдите значение выражения:

366. Выполните действие:

368. Найдите по формуле :

369. Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа?

370. Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая — за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть канавы осталось выкопать?

371. От ленты длиной 8 м отрезали кусок длиной м. Найдите длину оставшейся части.

372. Одна шахматная партия длилась ч, а другая ч. Сколько времени длилась третья партия, если на все три партии было затрачено 3 ч?

373. Когда от веревки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела длину 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если бы от веревки отрезали на м меньше? на м больше?

374. Запишите все числа, знаменатель дробной части которых равен 12, большие и меньшие .

375. На координатном луче отмечена точка (рис. 17). Отметьте на луче точки, координаты которых равны:

376. Найдите периметр треугольника ABC, если АВ= м, .

377. На одной машине т груза, а на другой на т меньше. Сколько тонн груза на двух машинах?

378. В одном ящике кг винограда, что на кг меньше, чем в другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках?

379. На окраску окон израсходовали кг краски. На окраску дверей пошло на кг меньше, чем на окраску пола. Сколько всего израсходовали краски, если на окраску пола пошло кг?

380. Три колхозных звена вырастили горох на площади га. Первое и второе звенья вырастили горох на площади га, а второе и третье — на площади га. Найдите площадь каждого участка.

381. На сахарный завод в понедельник привезли т свеклы, во вторник — на 2 т больше, чем в понедельник, а в среду — на т меньше, чем во вторник и понедельник вместе. Из 7 т свеклы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из привезенной свеклы?

382. В трех бидонах 10 л молока. В первом и втором бидоне было л, а во втором и третьем л молока. Сколько литров молока было в каждом бидоне?

383. Теплоход по течению реки проходит км за 1 ч. Скорость течения км/ч. Найдите скорость теплохода против течения.

384 Скорость катера по течению реки км/ч, а против течения км/ч. Какова скорость течения?

385. Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час расстояние между ними уменьшалось на км. Найдите скорость Феди, если скорость Васи

386. Первый велосипедист догонял второго, причем расстояние между ними уменьшалось каждый час на км. С какой скоростью ехал первый велосипедист, если второй ехал со скоростью y км/ч?

П 388. Вычислите устно:

389. Найдите пропущеные числа:

390.Найдите натуральные значения m , при которых верно неравенство:

391. На сколько процентов увеличится объем куба, если длину каждого его ребра увеличить на 20%?

392. Почтовый самолет поднялся с аэродрома в 10 ч 40 мин утра, пробыл в полете 5 ч 15 мин, а на земле во время посадок 1 ч 37 мин. Когда самолет вернулся на аэродром?

М 393. Четырехугольник с равными сторонами называют ВИЗ ромбом (рис. 18). Подумайте, является ли ромб правильным многоугольником. В чем сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0

394. Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел .

395. Выполните действие:

396. В киоск для продажи поступили марки по 3 к., по 5 к. и по 10 к. Число марок каждого вида было одинаково. Какова стоимость всех марок по 5 к. , если: а) общая стоимость всех марок 21 р. 60 к., б) стоимость всех марок по 10 к. больше стоимости всех марок по 3 к. на 6 р. 30 к.?

397. Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и результат округлите до тысячных:

3,281 0,57 + 4,356 0,278 -13,758:6,83.

398. Решите задачу:

1) Для борьбы с вредителями садов приготовляется известково-серный отвар, состоящий из 6 частей серы, 3 частей негашеной извести и 50 частей воды (по массе). Сколько получится килограммов отвара, если воды взять на 8,8 кг больше, чем серы?

2) Для приготовления фарфора на 1 часть гипса берут 2 части песку и 25 частей глины (по массе). Сколько получится килограммов фарфора, если взять глины на 6,9 кг больше, чем песку?

399. Выполните действия:

1) 7225:85 + 64 2345-248 838:619;
2) 54 3465-9025:95 + 360 272:712.

Д 400. Выполните действие:

а
401. Найдите значение разности:

402. Решите уравнение:

404. Один тракторист вспахал поля, а другой того же поля. Какую часть поля осталось вспахать?

406. Бочки горючего хватает для работы одного двигателя на 7 ч, а другого на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки после 2 ч работы первого двигателя и 3 ч работы второго двигателя?

406. Для экспедиции, работающей в тайге, сбросили с вертолета упаковку с продуктами, которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она пролетела м, а в каждую следующую секунду она пролетела на м больше, чем в предыдущую?

407. Сколько времени пошло на изготовление детали, если ее обрабатывали на токарном станке ч, на фрезерном станке ч и на сверлильном станке ч?

408. Найдите значение выражения:

409. Из двух сел одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1,5 ч. Расстояние между селами 12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч. Найдите скорость другого пешехода.

410. Для приготовления варенья из вишни на 3 части сахара берут 2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара и сколько килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если при варке его уменьшится в 1,5 раза?

411. Найдите значение выражения:

а) (44,96 + 28,84: (13,7 -10,9)): 1,8;

б) 102,816:(3,2 6,3)+ 3,84.

412. Решите уравнение:

а) (х-4,7) 7,3 = 38,69; в) 23,5-(2,За+ 1,2а) = 19,3;
б) (3,6-а) 5,8 = 14,5; г) 12,98-(3,8х- 1,3х) = 11,23.

А Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел.

Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфен и другие.

Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник. Но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Например, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284. И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел.

Почти 250 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Например: 21 = 3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11 и т. п.

Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя замечательный советский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983). Но утверждение «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28=11 + 17, 56 = 19+37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано.

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

Цели урока:

• Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
• Совершенствование навыков арифметических операций складывание и вычитание смешанных чисел;
• Развивать смекалку, мышление, речь, память.
• Воспитывать познавательный интерес к предмету, любовь к поисковым решениям.

Задачи урока:

• Образовательные

– обобщение и систематизация знаний; развитие быстроты мышления; развивать умение анализировать; развивать вычислительные навыки.

Развивающие

–развивать у учащихся познавательные процессы, творческую активность; приобретение опыта исследовательской деятельности, развитие коммутативных качеств.

Воспитательные

– формирование навыков самоорганизации и самостоятельности; уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока:, частично поисковый с элементами дидактической игры.

Межпредметные связи: биология.

Оборудование урока:

• плакат;
• раздаточный материал: карточки с заданием;
• презентация по теме урока.

Применение здоровьесберегающих технологий на уроке:

• смена видов деятельности;
• развитие слухового и зрительного анализаторов у каждого ребёнка.

План урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь.

Презентация . Слайд 1. Тема урока: “Сложение и вычитание смешанных чисел”.

Цели урока:

• Повторение и закрепление основного программного материала, выраженного в стандартных примерах и нестандартных задачах.
• Совершенствование навыков арифметических действий складывание и вычитание смешанных чисел, подготовка к контрольной работе.

II. Актуализация опорных знаний.

На доске плакат с словами Лауэ.

Наш урок пройдёт под девизом французского инженера – физика Лауэ: “Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто”.

Вот сейчас вы и покажете свои знания на сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, а также сложение и вычитание смешанных чисел.

1) Вспомните знаменитую басню И.Крылова “Стрекоза и муравей”.

Попрыгунья стрекоза, лето красное пропела
Оглянуться не успела, как зима катит в глаза.

Задача. Попрыгунья Стрекоза половину красного лета спала, третью часть времени – танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Какую часть лета Стрекоза готовилась к зиме?

Ответ: летом к зиме Стрекоза совсем не готовилась.

А сейчас, вспомним сокращение дробей:

Выпишите из данных дробей те, которые можно сократить, и выполните сокращение:

Вспомните какие дроби называются правильные и какие неправильные?

– Правильные дроби, те у которых числитель меньше знаменателя.
– Неправильные дроби, те у которых числитель больше либо равен знаменателю.

(Карточки: читаете дробь и называете – правильная или неправильная дробь.)

Как выделить целую часть из неправильной дроби?

– Числитель надо разделить на знаменатель.

(Устно карточки: выделить целую часть из неправильной дроби.)

III. Систематизация знаний. Карточки. Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей. Слева примеры, справа записаны ответы. Решив пример стрелкой соотнеси с ответом.

Слайды 2–7. Это удивительное дерево относится к числу деревьев – гигантов. Оно растёт в Индии и Малайзии.

Самое необычное в нём то, как растут его ветви. Многочисленные и тяжёлые, они разбегаются во всех направлениях от ствола, хотя и могучего, но, тем не менее, не способного выдержать их все самостоятельно.

Весь фокус в том, что ветви сами снимают с него часть нагрузки: на каждой из них имеются толстые отростки, отвесно свисающие до самой земли и представляющие собой не что иное, как воздушные корни дерева.

Закрепившись в земле, они не только обеспечивают ветвям дополнительную поддержку, но и поставляют в них питательные вещества и воду. Постепенно они превращаются в новые стволы и вокруг главного ствола образуются кольцеобразные “галереи”, диаметр которых иногда достигает 450 м.

Решив задачи, а также вычислив значения выражений, заменим числа соответствующими буквами и вы узнаете название этого дерева.

Решите задачу:

Вычислите значения выражения:

Ответ: БАНЬЯН.

Итог урока : Мы готовились к контрольной работе. Для этого мы с вами и повторили сложение и вычитание дробей, а также смешанных чисел. Не забывайте сокращать дроби, которые получились в результате сложения и вычитания, и не забывайте выделять целую часть.

Дом. задание: § 2,п.12 № 392.

При наличии времени выполнить дополнительные задания.

Дополнительное задание:

• Решите уравнение:

Карточки:

Выполнить сложение и вычитание обыкновенных дробей.

_________________________________________

Решите задачу:

Вычислите значения выражения:

Самоанализ урока математики в 6 “а” классе.

Тема урока: Сложение и вычитание смешанных чисел.

Тип урока: урок обобщения и систематизация знаний.

Форма урока: частично поисковый с элементами дидактической игры.

1) Это урок повторение и закрепление основного программного материала, но только выраженного в решение стандартных примеров и нестандартных задач. На данном уроке мы повторяли арифметические действия (сложения, вычитание) над обыкновенными дробями и над смешанными числами. Данные темы изучаются в курсе математики 6 класса. При изучении математики много времени приходится тратить на отработку различных навыков. В этот период ученики теряют интерес к предмету. Чтобы поддержать этот интерес, я использую различные приёмы активизации учащихся на уроке. Одним из таких приёмов является дидактическая игра. Она позволяет сделать процесс обучения увлекательным, создать высокую активность на уроке. На следующем уроке будет контрольная работа. Считаю, что данный урок “дал” позитивные эмоции у ребят, отработали арифметические действия над смешанными числами и настроились на контрольную работу.

2) В классе по списку – 19 учащихся, на уроке присутствовало – 16 учащихся. Слабоуспевающих – 4, сильных – 1.

3) Образовательные – обобщение и систематизация знаний; развитие быстроты мышления; введением игровой ситуации снять нервно – психическое напряжение; развивать умение анализировать; развивать вычислительные навыки.
Развивающие – развивать у учащихся познавательные процессы, творческую активность; приобретение опыта исследовательской деятельности, развитие коммутативных качеств.
Воспитательные – формирование навыков самоорганизации и самостоятельности; уважительного отношения друг к другу.
В играх ненавязчиво активизируется внимание ребят, прививается интерес к предмету, развивается творческая фантазия.

4) Одним из удачных этапов урока считаю решение задач и примеров, где надо было составить слово БАНЬЯН. Учащиеся, как бы занимаются математикой и в то же время расширяют свой кругозор.

5) Урок был насыщен. Урок очень логично построен.

6) На урок были изготовлены мною, как учителем много раздаточного материала, который я напечатала на компьютере.

выполните вычитание дробей

Вы искали выполните вычитание дробей? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выполните сложение или вычитание дробей, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «выполните вычитание дробей».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как выполните вычитание дробей,выполните сложение или вычитание дробей,вычесть из дроби целое число,вычисление дробей с разными знаменателями,вычитание дробей правило,вычитание дробей с разными,вычитание дробей с разными знаменателями и числителями,вычитание дробей с разными знаменателями правило,вычитание дробей с разными числителями,вычитание дробей с разными числителями и знаменателями,вычитание дробей с целыми,вычитание дробей с целыми числами с разными знаменателями,вычитание и сложение дробей с целыми числами,вычитание из дробей целого числа,вычитание неправильных дробей,вычитание простых дробей,вычитание с дробей с разными числителями,вычитание целого числа из дробей,дроби с целыми числами как решать,дробь вычесть дробь с разными знаменателями,дробь минус целое число,из дроби вычесть целое число,как выполнить вычитание дробей с разными знаменателями,как выполнить вычитание и сложение дробей с разными знаменателями,как выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями,как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями,как вычесть дроби,как вычесть дроби с одинаковыми знаменателями,как вычесть дроби с разными знаменателями,как вычесть дроби с разными знаменателями и числителями,как вычесть дроби с разными числителями и знаменателями,как вычесть дробь,как вычесть дробь из дроби,как вычесть дробь из дроби с разными знаменателями,как вычесть дробь из дроби с разными числителями и знаменателями,как вычесть дробь с разными знаменателями,как вычесть из дроби дробь,как вычесть из дроби дробь с разными знаменателями,как вычесть из дроби число,как вычесть из смешанной дроби смешанную дробь с разными знаменателями,как вычесть смешанные дроби с разными знаменателями,как вычислить дроби,как вычислить дроби с разными знаменателями,как вычислить дроби с разными числителями и знаменателями,как вычислить дробь из целого числа,как вычислить дробь с разными знаменателями,как вычислить из дроби целое число,как вычислить из целого числа дробь,как вычислить целое число из дроби,как вычислять дроби с разными знаменателями,как вычитать дроби с одинаковыми знаменателями,как вычитать дроби с разными знаменателями и целыми числами,как вычитать дроби с разными знаменателями и числителями,как вычитать дроби с разными знаменателями с целыми числами,как вычитать дроби с целыми числами,как вычитать дроби с целыми числами и разными знаменателями,как вычитать неправильные дроби,как вычитать обыкновенные дроби,как вычитать смешанные дроби с разными знаменателями,как дробь вычесть дробь,как дробь вычитать,как дробь вычитать на дробь,как дробь отнять от дроби с разными знаменателями,как из дроби вычесть дробь,как из дроби вычесть дробь с разными знаменателями,как из дроби вычесть дробь с разными числителями и знаменателями,как из дроби вычесть целое число,как из дроби вычислить целое число,как из целого числа вычислить дробь,как найти разность дробей с разными знаменателями,как отнимать дроби с разными знаменателями дроби,как отнимать дроби с разными знаменателями и числителями,как отнять от дроби дробь с разными знаменателями,как посчитать дроби с разными знаменателями,как решать дроби обыкновенные с разными знаменателями,как решить дроби с разными знаменателями и числителями,как решить дробь с разными знаменателями,как считать дроби с разными знаменателями,отнимание дробей,отнимание дробей с разными знаменателями,правила вычитания дробей,правила дробей вычитание,правило вычитание дробей,правило вычитание дробей с разными знаменателями,правило вычитания дробей,правило вычитания дробей с разными знаменателями,правило дробей вычитание,при вычитании дробей с разными знаменателями,разность дробей,разность дробей с разными знаменателями,решение дробей с разными знаменателями,сложение и вычитание дробей с буквами,сложение и вычитание дробей с целыми числами,сложение и вычитание неправильных дробей,целое число минус дробь,число минус дробь. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и выполните вычитание дробей. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычесть из дроби целое число).

Решить задачу выполните вычитание дробей вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Вычитание дробей: 3 важных шага, которые вам абсолютно необходимы

Вычитание — это противоположность сложения, чему ваши ученики научились задолго до изучения мира дробей. Вычитание дробей немного сложнее, чем обычное вычитание, но есть обучающая стратегия, которая делает этот процесс таким же простым, как раз, два, три!

Дополнительные сведения о дробях см. в следующих статьях:

• Легко складывать дроби
• Как умножать дроби
• Как делить дроби в 3 простых шага

Что такое дроби?

Дроби представляют собой частей целого числа . Когда целое число разбито на разные части, дробь показывает, сколько его у вас есть.

Например, дробь ¾ означает, что для получения целого числа необходимо три из четырех частей.

Дроби состоят из двух частей: числителя и знаменателя , которые разделены горизонтальной чертой.

Знаменатель — это нижнее число дроби, которое показывает, на сколько частей разбито целое число. Дробь ¾ разбита на четыре части.

Числитель — это верхнее число дроби. Он показывает, сколько частей целого числа у вас есть. Итак, дробь ¾ означает, что у вас есть три части из четырех.

Что такое вычитание?

Вычитание включает в себя вычитание значения одного числа из другого. Вычитание обозначается тире (-) или знаком минус.

Число, стоящее перед знаком минус, представляет собой значение, из которого вычитается. Число, которое появляется после знака минус, является тем, на что вычитается первое число.

Рассмотрим пример:

8 — 3 = ?

В этом уравнении из восьми вычитается три. Отсчитав три числа из восьми, мы получим пять.

8 — 3 = 5

3 Легкие шаги для вычитания фракций

Фракции вычитания могут быть сделаны в трех простых шагах:

• Сделайте знаменатели одинаковыми
• Подрядные. ответьте с тем же знаменателем
• Упростите, если возможно (и если требуется)

Как и в большинстве уравнений с дробями, учащимся придется немного поработать, прежде чем найти решение.

1. Совместите знаменатели

Чтобы вычесть дроби, знаменатели в уравнении должны совпадать.

Чтобы вычесть дроби, знаменатели в уравнении должны совпадать.

При вычитании дробей с разными знаменателями научите своих учеников сначала находить наименьший общий знаменатель .

Думайте о дроби как о части круга. Изменение знаменателя не меняет количество кружков, которые есть у учеников, а скорее количество частей, на которые он делится.

Когда учащиеся получают равные знаменатели или части, становится намного легче увидеть, как они могут вычитать дроби.

Рассмотрим эту задачу:

В этом примере учащимся нужно от половины отнять шестую часть. Первым делом нужно найти общий знаменатель, чтобы эти дроби разделились на одинаковое количество частей.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, перемножьте знаменатели. Помните , все, что делается со знаменателем, должно быть сделано и с числителем.

½ умножается на шесть, а ⅙ умножается на два.

Теперь учащиеся могут видеть, что ½ — это то же самое, что сказать ⁶⁄₁₂, а ⅙ — это то же самое, что сказать ²⁄₁₂.

2. Вычтите числители, поместив ответ над одним и тем же знаменателем.

Теперь, когда знаменатели совпадают, попросите учащихся положить оба числителя на один знаменатель и просто вычесть их друг из друга. Это нужно для того, чтобы увидеть, сколько частей двенадцати вычитается из исходной дроби.

В примере уравнения учащиеся вычитают две части из двенадцати из шести частей из двенадцати, оставляя четыре части из двенадцати.

3. Упростите, если возможно (и если требуется)

Упрощение означает уменьшение дроби до наименьшего возможного кратного. Помните: то, что сделано со знаменателем, делается и с числителем.

Обязательно сообщите учащимся, требуется ли им упростить решения. Некоторые учителя не считают необходимым упрощать решения, в то время как другие не считают вопрос законченным до тех пор, пока решение не будет приведено к простейшей форме.

Когда вы учите дроби, убедитесь, что ваши ученики понимают ваши ожидания.

Чтобы упростить дробь, вычислите ее наименьшее общее кратное . Один из быстрых способов сделать это — посмотреть, можно ли разделить знаменатель на числитель.

В этом примере четыре действительно дает двенадцать. Чтобы упростить это уравнение, разделите и числитель, и знаменатель на четыре.

После выполнения всех расчетов у учащихся остается одна треть.

Различные типы дробей

Во время учебы ваши ученики столкнутся с несколькими различными типами дробей, но процесс решения этих задач остается почти полностью одинаковым.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для уравнений дробей с одинаковыми знаменателями уже выполнен первый шаг трехэтапного процесса.

Скажите учащимся, что они могут сразу перейти ко второму шагу и поставить оба числителя над одним знаменателем.

Вычитание неправильных дробей

Неправильная дробь — это когда числитель больше знаменателя. Это означает, что в дроби содержится более одного целого числа. Скажите своим ученикам представить его как полный круг вместе с неполным кругом.

К счастью, способ решения этих типов уравнений не изменился.

Решение можно либо оставить в виде неправильной дроби, либо преобразовать в смешанную дробь.

Вычитание дробей из смешанных чисел

Смешанное число или смешанная дробь состоит как из целого числа, так и из дроби. Чтобы решить уравнения со смешанными числами, научите своих учеников сначала преобразовать их в неправильную дробь.

Для этого умножьте целое число на знаменатель, а затем прибавьте его к числителю.

После того, как вы показали учащимся, как составить неправильную дробь, они могут продолжить трехэтапный процесс вычитания дробей.

Вычитание дробей с целыми числами

Уравнения с целыми числами необходимо преобразовать в дроби. Чтобы превратить целое число в дробь, сделайте целое число числителем, а затем поместите его над знаменателем, равным единице.

Например:

Затем учащиеся могут решить уравнение с помощью трехэтапного процесса.

Как Prodigy может помочь в обучении вычитанию дробей

Вы ищете идеальное занятие, которое дополнит ваши уроки? Смотрите не дальше Вундеркинд Математика !

Наша игра расширяет возможности учащихся благодаря увлекательному контенту, персонализированным урокам и веселым занятиям, которые побуждают их продолжать играть даже после уроков!

Prodigy может помочь вам преподавать все виды уроков математики, отслеживать, как ваши ученики усваивают материал в режиме реального времени, и задавать конкретные вопросы, чтобы помочь вашему классу подготовиться к предстоящим тестам.

Панель управления учителя дает вам доступ к подробной статистике вашего класса. Выставление оценок производится мгновенно, поэтому вы можете видеть, где учащиеся преуспевают, а где борются. Благодаря этой актуальной статистике вы можете быстро обновить игровой опыт различных учащихся, чтобы помочь им изучить предметы, с которыми у них возникают трудности.

Prodigy соответствует учебной программе, так что вы можете чувствовать себя комфортно, используя его в тандеме с вашими уроками. Используйте инструменты учителя для создания заданий, практических тестов и составления планов уроков.

Проверьте Prodigy сегодня, чтобы узнать, подходит ли он для вашего класса.

Рабочие листы для сложения и вычитания дробей

Рабочие листы — отличный учебный инструмент, позволяющий увидеть, как учащиеся усваивают уроки. Единственным недостатком является то, что может потребоваться много времени, чтобы оценить рабочие листы всего класса и дать надлежащую обратную связь учащимся.

Вот несколько мест, где вы можете найти рабочие листы (с ответами) для вашего класса:

K5 Learning

K5 Learning предлагает широкий выбор рабочих листов для различных областей математики. Рабочие листы по математике идут только до пятого класса, но они углубленные и охватывают многие области учебной программы. Все они бесплатны для использования и снабжены ключом ответа.

DadsWorksheets.com

На DadsWorksheets.com вы можете найти рабочие листы практически для всего, что вам нужно. Рабочие листы могут быть загружены или распечатаны с веб-страницы и снабжены ключом для ответа.

Math Drills

Помогите учащимся освоить математические навыки с практическими заданиями из Math Drills. Эти рабочие листы поставляются с ключом для ответов и охватывают несколько предметов, которые вы можете преподавать в классе. Рабочие листы бесплатны и могут быть загружены и/или распечатаны прямо с их веб-сайта.

Вывод: вычитание дробей

Процесс вычитания дробей очень похож на сложение дробей. Объясните своим ученикам, что они могут решать эти типы уравнений в три этапа:

1. Сделайте знаменатели одинаковыми
2. Вычтите числители, поместив их на один знаменатель
3. Упростите, если возможно

Представление дробей в виде частично закрашенных фигур, таких как круг, может помочь учащимся понять, чего они пытаются достичь. Думайте о вычитании дробей, как об отделении куска пирога от остального пирога.

Имея в своем распоряжении эту стратегию, учащиеся будут готовы решать дроби в классе и по мере их появления на протяжении всей жизни.

Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy Math — обучающей игровой платформе, которая соответствует учебным программам по математике в англоязычных странах. Присоединяйтесь к более чем 100 миллионам учителей, учащихся и родителей, которые используют Prodigy, чтобы сделать математику увлекательной!

1.3 Вычитание целых чисел — Предварительная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Использовать нотацию вычитания
• Модель вычитания целых чисел
• Вычитание целых чисел
• Перевод словосочетаний в математическую запись
• Вычитание целых чисел в приложениях

Приготовься 1,3

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

Модель 3+43+4 с использованием десятичных блоков.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка].

Приготовься 1,4

Добавить: 324+586.324+586.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка].

Использовать нотацию вычитания

Предположим, в миске есть семь бананов. Элана использует три из них, чтобы приготовить смузи. Сколько бананов осталось в миске? Чтобы ответить на вопрос, вычтем из семи три. Когда мы вычитаем, мы отнимаем одно число от другого, чтобы найти разницу. Обозначение, которое мы используем для вычитания 33 из 77, равно

.

7−37−3

Мы читаем 7−37−3 как семь минус три , и результат равен разности семи и трех .

Обозначение вычитания

Для описания вычитания мы можем использовать символы и слова.

Эксплуатация	Обозначение	Выражение	Читать как	Результат
Вычитание	—	7−37−3	семь минус три	разница 77 и 33

Пример 1,26

Перевести из математической записи в слова: ⓐ 8−18−1 ⓑ 26−1426−14.

Решение

• ⓐ Мы читаем это как восемь минус один . Результат разница восемь и один .
• ⓑ Мы читаем это как двадцать шесть минус четырнадцать . Результат разница в двадцать шесть и четырнадцать .

Попытайся 1,51

Перевод из математической записи в слова:

1. ⓐ 12−412−4
2. ⓑ 29−1129−11

Попытайся 1,52

Перевод из математической записи в слова:

1. ⓐ 11−211−2
2. ⓑ 29−1229−12

Модель Вычитание целых чисел

Модель может помочь нам визуализировать процесс вычитания так же, как это было со сложением. Опять же, мы будем использовать блоки base-10base-10. Помните, что блок представляет 1, а стержень представляет 10. Давайте начнем с моделирования выражения вычитания, которое мы только что рассмотрели, 7−3,7−3.

Начнем с моделирования первого числа, 7.
Теперь уберите второе число, 3. Мы обведем 3 блока, чтобы показать, что мы их убираем.
Подсчитайте количество оставшихся блоков.
Осталось 4 единицы.	Мы показали, что 7−3=47−3=4.

Пример 1,27

Модель вычитания: 8−2,8−2.

Решение

8−28−2 означает разницу 8 и 2.
Модель первая, 8.
Убери второе число, 2.
Подсчитайте количество оставшихся блоков.
Осталось 6 единиц.	Мы показали, что 8−2=68−2=6.

Попытайся 1,53

Модель: 9-6,9-6.

Попытайся 1,54

Модель: 6-1,6-1.

Пример 1,28

Модель вычитания: 13−8.13−8.

Решение

Смоделируйте первое число, 13. Используем 1 десяток и 3 единицы.
Отнимите второе число, 8. Однако 8 единиц не существует, поэтому мы обмениваем 1 десяток на 10 единиц.
Теперь мы можем убрать 8 штук.
Подсчитайте оставшиеся блоки.
Осталось пять штук.	Мы показали, что 13−8=513−8=5.

Как и в случае сложения, мы можем описать модели как блоки единиц и стержни десятков, или мы можем просто сказать единицы и десятки.

Попытайся 1,55

Модель вычитания: 12−7,12−7.

Попытайся 1,56

Модель вычитания: 14−8,14−8.

Пример 1,29

Модель вычитания: 43−26,43−26.

Решение

Поскольку 43−2643−26 означает, что 4343 убирают 26,26, мы начнем с моделирования 43,43.

Теперь нам нужно отнять 26,26, то есть 22 десятка и 66 единиц. Мы не можем отнять 66 единиц от 33 единиц. Итак, мы обмениваем 11 десятков на 1010 единиц.

Теперь мы можем убрать 22 десятка и 66 единиц.

Подсчитайте количество оставшихся блоков. 11 десятков и 77 единиц, то есть 17,17.

43−26=1743−26=17

Попытайся 1,57

Модель вычитания: 42−27,42−27.

Попытайся 1,58

Модель вычитания: 45−29,45−29.

Вычитание целых чисел

Сложение и вычитание являются обратными операциями. Сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение.

Мы знаем, что 7−3=47−3=4, потому что 4+3=7,4+3=7. Знание всех фактов сложения чисел поможет с вычитанием. Затем мы можем проверить вычитание, сложив. В приведенных выше примерах наши вычитания можно проверить сложением.

7−3=4потому что4+3=713−8=5потому что5+8=1343−26=17потому что17+26=437−3=4потому что4+3=713−8=5потому что5+8=1343−26=17потому что17+26=43

Пример 1.30

Вычтите, а затем проверьте, добавив:

1. ⓐ 9−79−7
2. ⓑ 8−3,8−3.

Решение

ⓐ
	9−79−7
Вычесть 7 из 9.	22
Проверить с дополнением. 2+7=9✓2+7=9✓

ⓑ
	8−38−3
Вычесть 3 из 8.	55
Проверить с дополнением. 5+3=8✓5+3=8✓

Попытайся 1,59

Вычтите и затем проверьте, добавив:

7-07-0

Попытайся 1,60

Вычтите и затем проверьте, добавив:

6−26−2

Чтобы вычесть числа, состоящие из более чем одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения. Выровняйте цифры по разрядности, а затем вычтите каждый столбец, начиная с единиц, и затем работайте влево.

Пример 1,31

Вычтите и затем проверьте, добавив: 89−61,89−61.

Решение

Запишите числа так, чтобы единицы и десятки располагались вертикально.	89-61____89-61____
Вычтите цифры из каждого разряда. Вычесть единицы: 9-1=89-1=8 Вычесть десятки: 8-6=28-6=2	89−61____2889−61____28
Проверить с помощью дополнения. 28+61____8928+61____89

Наш ответ правильный.

Попытайся 1,61

Вычтите, а затем проверьте, добавив: 86−54,86−54.

Попытайся 1,62

Вычтите и затем проверьте, добавив: 99-74,99-74.

Когда мы моделировали вычитание 2626 из 43,43, мы обменивали 11 десятков на 1010 единиц. Когда мы делаем это без модели, мы говорим, что заимствуем 11 из разряда десятков и прибавляем 1010 к разряду единиц.

Как

Найдите разность целых чисел.

1. Шаг 1. Напишите числа так, чтобы каждое значение разряда располагалось вертикально.
2. Шаг 2. Вычтите цифры в каждом разряде. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если цифра сверху меньше, чем цифра снизу, заимствуйте по мере необходимости.
3. Шаг 3. Продолжайте вычитать значение каждого разряда справа налево, при необходимости заимствуя.
4. Шаг 4. Проверьте, добавив.

Пример 1,32

Вычесть: 43−26,43−26.

Решение

Напишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
Вычтите единицы. Мы не можем вычесть 6 из 3, поэтому занимаем 1 десяток. Получается 3 десятка и 13 единиц. Пишем эти цифры над каждым местом и зачеркиваем первоначальные цифры.
Теперь мы можем вычесть единицы. 13−6=7,13−6=7. Мы пишем 7 в разряде единиц в разнице.
Теперь вычитаем десятки. 3−2=1,3−2=1. Мы пишем 1 в разряде десятков в разнице.
Проверить добавлением. Наш ответ правильный.

Попытайся 1,63

Вычтите, а затем проверьте, добавив: 93−58,93−58.

Попытайся 1,64

Вычтите, а затем проверьте, добавив: 81−39,81−39.

Пример 1,33

Вычтите и затем проверьте, добавив: 207-64,207-64.

Решение

Напишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
Вычтите единицы. 7−4=3,7−4=3. Запишите 3 вместо единиц в разнице.
Вычесть десятки. Мы не можем вычесть 6 из 0, поэтому мы берем 1 сотню и добавляем 10 десятков к 0 десяткам, которые у нас были. Всего получается 10 десятков. Над разрядом десятков пишем 10 и зачеркиваем 0. Затем зачеркиваем 2 в разряде сотен и пишем над ним 1.
Теперь вычитаем десятки. 10−6=4,10−6=4. Мы пишем 4 в разряде десятков в разнице.
Наконец, вычтите сотни. В разряде сотен в нижнем числе нет цифры, поэтому мы можем представить 0 в этом месте. Поскольку 1−0=1,1−0=1, мы пишем 1 в разряде сотен в разнице.
Проверьте, добавив. Наш ответ правильный.

Попытайся 1,65

Вычтите и затем проверьте, добавив: 439-52,439-52.

Попытайся 1,66

Вычтите и затем проверьте, добавив: 318−75,318−75.

Пример 1,34

Вычтите и затем проверьте, добавив: 910-586,910-586.

Решение

Напишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
Вычтите единицы. Мы не можем вычесть 6 из 0, поэтому мы одалживаем 1 десяток и добавляем 10 единиц к 0 единицам, которые у нас были. Получается 10 единиц. Пишем 0 над разрядом десятков и вычеркиваем 1. Пишем 10 над разрядом единиц и зачеркиваем 0. Теперь можно вычитать единицы. 10−6=4,10−6=4.
Запишите 4 вместо единиц разницы.
Вычесть десятки. Мы не можем вычесть 8 из 0, поэтому мы одалживаем 1 сотню и добавляем 10 десятков к 0 десяткам, которые у нас были, что дает нам 10 десятков. Напишите 8 над разрядом сотен и зачеркните 9.. Напишите 10 над разрядом десятков.
Теперь мы можем вычитать десятки. 10−8=210−8=2.
Вычесть разряд сотен. 8−5=38−5=3 Запишите 3 в разряде сотен в разнице.
Проверить, добавив. Наш ответ правильный.

Попытайся 1,67

Вычтите и затем проверьте, добавив: 832-376,832-376.

Попытайся 1,68

Вычтите и затем проверьте, добавив: 847-578,847-578.

Пример 1,35

Вычтите, а затем проверьте, добавив: 2 162–479,2 162–479.

Решение

Напишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
Вычтите единицы. Поскольку мы не можем вычесть 9 из 2, одолжите 1 десяток и добавьте 10 единиц к 2 единицам, чтобы получилось 12 единиц. Напишите 5 над разрядом десятков и зачеркните 6. Напишите 12 над разрядом единиц и зачеркните 2.
Теперь мы можем вычесть единицы.	12−9=312−9=3
Напишите 3 вместо единиц в разнице.
Вычесть десятки. Поскольку мы не можем вычесть 7 из 5, одолжите 1 сотню и добавьте 10 десятков к 5 десяткам, чтобы получилось 15 десятков. Напишите 0 над разрядом сотен и зачеркните 1. Напишите 15 над разрядом десятков.
Теперь мы можем вычитать десятки.	15−7=815−7=8
Запишите 8 в разряде десятков в разнице.
Теперь мы можем вычитать сотни.
Запишите 6 в разряде сотен в разнице.
Вычесть тысячи. В разряде тысяч нижнего числа нет цифры, поэтому мы представляем 0,1−0=1,1−0=1. Напишите 1 в тысячном разряде разницы.
Проверить добавлением. 11,61813+479______2,162✓11,61813+479______2,162✓

Наш ответ правильный.

Попытайся 1,69

Вычтите, а затем проверьте, добавив: 4 585−697,4 585−697.

Попытайся 1,70

Вычтите и затем проверьте, добавив: 5 637−899,5 637−899.

Перевод словосочетаний в математическую запись

Как и в случае сложения, словосочетания могут подсказать нам, что нужно оперировать двумя числами с помощью вычитания. Чтобы перевести словесную фразу в математическую запись, мы ищем ключевые слова, обозначающие вычитание. Некоторые слова, обозначающие вычитание, перечислены в таблице 1.3.

Эксплуатация	Словосочетание	Пример	Выражение
Вычитание	минус	55 минус 11	5−15−1
	разница	разница 99 и 44	9−49−4
	уменьшилось на	77 уменьшилось на 33	7−37−3
	меньше	55 менее 88	8−58−5
	вычитается из	11 вычесть из 66	6−16−1

Стол 1. 3

Пример 1,36

Переведите и затем упростите:

1. ⓐ разница 1313 и 88
2. ⓑ вычесть 2424 из 4343

Решение

• ⓐ

  Слово разница говорит нам вычесть два числа. Числа остаются в том же порядке, что и во фразе.

  	разница 13 и 8
  Перевести.	13−813−8
  Упрощение.	5

• ⓑ

  Слова вычесть из говорят нам отнять первое число от второго. Мы должны быть осторожны, чтобы получить правильный порядок.

  	вычесть 24 из 43
  Перевести.	43−2443−24
  Упрощение.	19

Попытайся 1,71

Переведите и упростите:

1. ⓐ разница 1414 и 99
2. ⓑ вычесть 2121 из 3737

Попытайся 1,72

Переведите и упростите:

1. ⓐ 1111 уменьшилось на 66
2. ⓑ 1818 меньше 6767

Вычитание целых чисел в приложениях

Для решения задач на вычитание будем использовать тот же план, что и на сложение. Во-первых, нам нужно определить, что нас просят найти. Затем мы пишем фразу, которая дает информацию, чтобы найти ее. Мы переводим фразу в математическую запись, а затем упрощаем, чтобы получить ответ. Наконец, мы пишем предложение, чтобы ответить на вопрос, используя соответствующие единицы.

Пример 1,37

Однажды утром температура в Чикаго была 7373 градуса по Фаренгейту. Пришел холодный фронт, и к полудню температура достигла 2727 градусов по Фаренгейту. Какова была разница между температурой утром и температурой в полдень?

Решение

Нас просят найти разницу между утренней и дневной температурами.

Напишите фразу.	разница 73 и 27
Перевод в математическую запись. Разность говорит нам вычесть.	73−2773−27
Затем делаем вычитание.
Напишите предложение, чтобы ответить на вопрос.	Разница температур составила 46 градусов по Фаренгейту.

Попытайся 1,73

Высокая температура 1 июня в Бостоне составляла 7777 градусов по Фаренгейту, а низкая температура составляла 5858 градусов по Фаренгейту. В чем разница между высокими и низкими температурами?

Попытайся 1,74

Прогноз погоды на 22 июня в Сент-Луисе предсказывает высокую температуру 9090 градусов по Фаренгейту и низкую 7373 градуса по Фаренгейту. В чем разница между предсказанными высокими и низкими температурами?

Пример 1,38

Стиральная машина продается за 399$. 399$. Его обычная цена составляет $ 588. $ 588. В чем разница между обычной ценой и ценой продажи?

Решение

Нас просят найти разницу между обычной ценой и ценой продажи.

Напишите фразу.	разница между 588 и 399
Перевод в математическую запись.	588−399588−399
Вычесть.
Напишите предложение, чтобы ответить на вопрос.	Разница между обычной ценой и ценой продажи составляет 189 долларов США.

Попытайся 1,75

Телевизор продается за 49 долларов.9. 499 долларов. Его обычная цена составляет 648-648 долларов. В чем разница между обычной ценой и ценой продажи?

Попытайся 1,76

Набор для патио продается по цене 149–149 долларов. Его обычная цена составляет 285–285 долларов. В чем разница между обычной ценой и ценой продажи?

Раздел 1.3 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Использование нотации вычитания

В следующих упражнениях переведите математическую нотацию в слова.

141.

15−915−9

142.

18−1618−16

143.

42−3542−35

144.

83−6483−64

145.

675−350675−350

146.

790−525790−525

Модель вычитания целых чисел

В следующих упражнениях смоделируйте вычитание.

147.

5−25−2

148.

8−48−4

149.

6−36−3

150.

7−57−5

151.

18−518−5

152.

19−819−8

153.

17−817−8

154.

17−917−9

155.

35−1335−13

156.

32−1132−11

157.

61−4761−47

158.

55−3655−36

Вычитание целых чисел

В следующих упражнениях вычитайте, а затем проверяйте путем сложения.

159.

9−49−4

160.

9−39−3

161.

8−08−0

162.

2−02−0

163.

38−1638−16

164.

45−2145−21

165.

85−5285−52

166.

99−4799−47

167.

493−370493−370

168.

268−106268−106

169.

5 946−4 6255 946−4 625

170.

7 775−3 2517 775−3 251

171.

75−4775−47

172.

63−5963−59

173.

461−239461−239

174.

486−257486−257

175.

525−179525−179

176.

542−288542−288

177.

6 318−2 7996 318−2 799

178.

8 153–3 9788 153–3 978

179.

2 150−9642 150−964

180.

4 245−8994 245−899

181.

43 650−8 98243 650−8 982

182.

35 162−7 88535 162−7 885

Преобразование словосочетаний в алгебраические выражения

В следующих упражнениях переводите и упрощайте.

183.

Разница между 1010 и 33

184.

Разница 1212 и 88

185.

Разница 1515 и 44

186.

Разница 1818 и 77

187.

Вычесть 66 из 99

188.

Вычесть 88 из 99

189.

Вычесть 2828 из 7575

190.

Вычесть 5959 из 8181

191.

4545 уменьшилось к 2020 г.

192.

3737 уменьшилось на 2424

193.

9292 уменьшилось на 6767

194.

7575 уменьшилось на 4949

195.

1212 менее 1616

196.

1515 менее 1919

197.

3838 менее 6161

198.

4747 менее 6262

Смешанная практика

В следующих упражнениях упрощайте.

199.

76−4776−47

200.

91−5391−53

201.

256−184256−184

202.

305−262305−262

203.

719+341719+341

204.

647+528647+528

205.

2 015−1 9932 015−1 993

206.

2 020−1 9842 020−1 984

В следующих упражнениях переведите и упростите.

207.

Семьдесят пять больше тридцати пяти

208.

Шестьдесят более девяноста трех

209.

1313 менее 4141

210.

2828 менее 3636

211.

Разница между 100100 и 7676

212.

Разница 1 0001 000 и 945945

Вычитание целых чисел в приложениях

В следующих упражнениях решите.

213.

Температура Высокая температура 22 июня в Лас-Вегасе составила 8080 градусов, а низкая температура 6363 градуса. В чем разница между высокими и низкими температурами?

214.

Температура Максимальная температура 11 июня в Фениксе составила 9797 градусов, а минимальная — 7373 градуса. В чем разница между высокими и низкими температурами?

215.

Размер класса В третьем классе Оливии учится 3535 детей. В прошлом году в ее втором классе было 2222 ребенка. В чем разница между количеством детей в третьем классе Оливии и во втором классе?

216.

Размер класса В школьном оркестре 8282 ученика, в школьном оркестре 4646 человек. В чем разница между количеством студентов в оркестре и оркестре?

217.

Покупки Горный велосипед продается по цене 399-399 долларов. Его обычная цена составляет 650-650 долларов. В чем разница между обычной ценой и ценой продажи?

218.

Покупки Набор матрасов продается по цене 755–755 долларов. Его обычная цена составляет 1600-1600 долларов. В чем разница между обычной ценой и ценой продажи?

219.

Сбережения Джон хочет купить ноутбук стоимостью 840 долларов. 840 долларов. У него есть 685$685 на его сберегательном счете. Сколько еще ему нужно накопить, чтобы купить ноутбук?

220.

Банковское дело У Мейсона на расчетном счете было 1125 долларов 1125 долларов. Он потратил $892.$892. Сколько денег у него осталось?

Математика на каждый день

221.

Автопутешествие Ной ехал из Филадельфии в Цинциннати, расстояние 502502 мили. Он проехал 115 115 миль, остановился, чтобы заправиться, а затем проехал еще 230 230 миль до обеда. Сколько еще миль он должен был пройти?

222.

Результаты тестов Саре нужно набрать 350350 баллов, чтобы пройти курс. Она набрала 75, 50, 70 и 8075, 50, 70 и 80 баллов за первые четыре теста. Сколько еще очков нужно Саре, чтобы пройти курс?

Письменные упражнения

223.

Объясните, как связаны вычитание и сложение.

224.

Как знание фактов сложения помогает вам вычитать числа?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Сложение и вычитание дробей – Математика для торговли: Том 1

Дроби

Эбигейл, Ханна и Наоми готовятся к промежуточному экзамену. Материал, который они должны изучить, состоит из 16 глав для чтения. Все трое понимают, что 16 глав — это много для каждого из них, поэтому они решают учиться более эффективно. Они составляют план, в котором каждый из них читает определенное количество глав, а затем резюмирует его для двух других. Они будут делиться заметками, и каждый найдет онлайн-видео, соответствующее их конкретному набору глав.

Теперь главы не создаются одинаково. Некоторые из них довольно легкие, а другие намного сложнее. Их цель — равномерно распределить нагрузку между тремя из них. Помните, что есть 16 глав.

У Эбигейл самое большое количество глав, которые нужно пройти — 6. У Ханны — 5, а у Наоми — только 4. Если бы вы сложили их, вы бы заметили, что получается только 15 глав. Последняя глава книги посвящена устранению неполадок в электрических системах, и ученики решают, что они пройдут ее вместе.

Мы можем представить каждую из их рабочих нагрузок в виде части целого:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Эбигейл}\dfrac{6}{16}[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Ханны}\dfrac{5}{16}[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{У Наоми есть }\dfrac{4}{16}[/латекс]

Что, если сложить эти дроби? Это будет выглядеть примерно так:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{6}{16}+\dfrac{5}{16}+\dfrac{4}{16}=?[/latex]

Вы заметите, что все числители разные, а знаменатели одинаковые (16). При сложении или вычитании дробей знаменатели должны совпадать. Мы называем это наличием общего знаменателя.

Итак, чтобы получить ответ на поставленный выше вопрос, нужно просто сложить все числители. Сложение дробей в этом отношении очень просто.

Обратите внимание, что знаменатель в окончательном ответе такой же, как и в складываемых дробях. К концу ученики пройдут 15 из 16 глав по отдельности, а последнюю главу они пройдут вместе.

Концепция сложения дробей с общими знаменателями достаточно проста, и мы сделали достаточно, чтобы складывать целые числа, поэтому рассматривать примеры на этом этапе, возможно, не стоит (но если вам нужен обзор, см. Сложение целых чисел). Вместо этого мы запишем несколько примеров сложения дробей, чтобы вы могли понять идею.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{16}+\dfrac{6}{16}=\dfrac{11}{16}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{13}{32}+\dfrac{11}{32}=\dfrac{24}{32}[/latex]

Вы ничего не заметили в ответе на последний вопрос? Его можно уменьшить.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{24}{32}\longrightarrow\dfrac{2}{3}[/латекс]

Прежде чем мы продолжим работу с дробями, самое время сказать, что при работе с дробями мы обычно хотим дать ответ в самом низком выражении.

Как насчет вычитания дробей? Ну, по тому же принципу: у вас должен быть общий знаменатель, а затем вы вычитаете числители. Вот несколько примеров вычитания дробей:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{9}{16}-\dfrac{5}{16}=\dfrac{4}{16}\longrightarrow\dfrac{1}{4}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{27}{32}-\dfrac{14}{32}=\dfrac{13}{32}[/latex]

Сейчас мы немного усложним задачу. Наши примеры сложения и вычитания дробей довольно просты из-за того, что знаменатели одинаковы. Более сложная ситуация связана с добавлением или вычитанием дробей, имеющих разные знаменатели. Взгляните на следующий пример:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Мы не можем просто сложить числители и знаменатели, так как это просто не сработает. Взгляните на два круга, нарисованные ниже. Один разделен на 2 части, а другой на 8 частей. Вы заметили что-нибудь о размерах деталей?

 

 

Вы заметите, что части в круге из 2 частей намного больше, чем в круге из 8 частей. Если бы мы сложили части в каждом из кругов, это было бы похоже на сложение яблок и апельсинов.

Идея состоит в том, чтобы сделать так, чтобы добавляемые детали были одинакового размера. Если мы каким-то образом доберемся до этой точки, тогда все готово, и мы можем сложить две дроби. Это называется поиском общего знаменателя, и чаще всего мы пытаемся найти наименьший общий знаменатель .

Наименьший общий знаменатель : Наименьшее число, в которое могут входить два знаменателя.

Взгляните на приведенное ниже уравнение. Один из знаменателей равен 2, а другой равен 8,9.0005

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Процесс здесь аналогичен тому, как мы приводили дроби к их наименьшему члену в предыдущем разделе, только на этот раз мы будем увеличивать по крайней мере один из знаменателей, а иногда мы будем увеличивать оба, пока не найдем тот, который общий. Мы ищем число, в которое оба знаменателя могут входить поровну. В этом примере мы видим, что 2 может перейти в 8, а 8 может перейти в 8. Это оставляет нас с общим знаменателем 8.

Мы определили, что 8 будет нашим общим знаменателем, а это значит, что одна из дробей уже готова.

А как насчет 1 на 2 или наполовину? Мы должны превратить половину в дробь с 8 в знаменателе.

Как мы подсчитали выше, 2 входит в число 8 четыре раза.

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\times4=8[/латекс]

Это хорошо для знаменателя, но как насчет числителя? Итак, что бы мы ни сделали с одной частью дроби, мы должны сделать то же самое с другой частью. Это оставляет дробь с тем же значением. Затем мы также должны умножить 1 на 4.

[латекс]\БОЛЬШОЙ1\times4=4[/латекс]

Если бы мы хотели сделать все за один шаг, это выглядело бы примерно так:

Теперь у нас есть кое-что, с чем мы можем работать. Вернитесь к исходному уравнению и замените [latex]\dfrac{1}{2}[/latex] на [latex]\dfrac{4}{8}[/latex].

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{8}[/latex]

Хорошо, это работает для сложения дробей, но как насчет вычитания дробей? Ну, вычитание дробей происходит по тому же принципу: если знаменатели не совпадают, то мы должны сначала найти общий знаменатель, прежде чем вычитать две дроби.

Вычислите следующее:

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\dfrac{7}{8}-\dfrac{13}{16}=[/latex]

Шаг 1 : Найдите общий знаменатель. Это может стать немного сложнее, когда числа начинают расти. По мере того, как вы лучше знакомитесь с закономерностями в числах, ответы будут даваться легче. Вопрос, который мы задаем прямо сейчас, звучит так: «В какое число могут входить и 8, и 16 без остатка?»

Мы могли бы даже начать с проверки того, может ли меньший знаменатель войти в больший знаменатель. В данном случае так и есть.

Дробь с общим знаменателем 16 уже готова, но нам нужно работать с дробью со знаменателем 8.

Шаг 2 : Умножьте числитель и знаменатель ⅞ на 2, чтобы получить дробь общий знаменатель 16.

Шаг 3 : Вычтите новые версии дробей.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{14}{16}-\dfrac{13}{16}=\dfrac{1}{16}[/latex]

Ответьте на следующие практические вопросы и посмотрите видеоответы. Не забудьте поставить каждый ответ в самом низком выражении или в смешанном числе, если это необходимо.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}-\dfrac{5}{16}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{1}{2}+1\dfrac{7}{8}=[/латекс]

Минуточку! Этот последний вопрос поднял его на ступеньку выше, добавив смешанные числа. Я знаю, что вы уже посмотрели видеоответ, но давайте сделаем шаг назад и пройдемся по сложению и вычитанию смешанных чисел. Мы начнем с краткого объяснения.

Проблема, с которой мы сталкиваемся при сложении или вычитании смешанных чисел, заключается в том, что смешанное число состоит из двух отдельных частей: есть целое число, а есть дробь. При добавлении чисел это может быть просто, например:

.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{3}{8}+3\dfrac{2}{8}=7\dfrac{5}{8}[/latex]

Довольно просто, не так ли? Вы просто складываете два целых числа, а затем складываете дроби. Это работает довольно хорошо. Но как насчет ситуации, подобной следующему примеру?

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{5}{8}+3\dfrac{4}{8}=?[/latex]

Вы видите проблему?

Проблема (на самом деле это не проблема) в том, что когда мы складываем дроби, мы получаем большее число в числителе, чем в знаменателе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{5}{8}+3\dfrac{4}{8}=7\dfrac{9}{8}[/latex]

Решение состоит в том, чтобы заменить часть ответа на неправильную дробь смешанным числом, а затем добавить его к целой части ответа.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{9}{8}\longrightarrow1\dfrac{1}{8}[/латекс]

Возьмите 7 и прибавьте к смешанному числу, чтобы получить окончательный ответ.

[латекс]\БОЛЬШОЙ7+1\dfrac{1}{8}=8\dfrac{1}{8}[/латекс]

Хорошо, это кажется довольно простым, но как насчет вычитания? Что ж, мы следуем тем же правилам. Взгляните на следующий пример:

[latex]\LARGE8\dfrac{7}{8}-6\dfrac{3}{8}=?[/latex]

Процедура похожа на сложение дробей, но вместо сложения мы вычитаем . Мы можем разбить его на две части. Начнем с вычитания целых чисел, а затем вычтем часть дробей.

Шаг 1 : Вычтите целые числа.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ8-6=2[/латекс]

Шаг 2 : Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{4}{8}\стрелка вправо\dfrac{1}{2}[/latex]

Шаг 3 : Соберите все вместе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ8\dfrac{7}{8}-6\dfrac{3}{8}=2\dfrac{4}{8}\rightarrow2\dfrac{1}{2}[/latex]

Хорошо, не слишком сложно, правда? Но взгляните на следующий пример и посмотрите, сможете ли вы понять проблему, с которой мы столкнемся, когда будем ее решать.

[latex]\LARGE5\dfrac{2}{8}-3\dfrac{7}{8}=?[/latex]

Проблема возникает не тогда, когда вы вычитаете целые числа, а когда вы вычитаете дроби.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{2}{8}-\dfrac{7}{8}=?[/latex]

В итоге мы получим ответ меньше нуля. Это не сработает для нас. Итак, как мы решим проблему? Ну, ответ заключается в заимствовании, а то, что мы заимствуем, — это целое число, 5. Скажем так, мы заимствуем 1 из 5. В результате у нас останется 4, а дальше что? Взгляните на следующую логику.

[латекс]\БОЛЬШОЙ5=4+1[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ1=\dfrac{8}{8}[/латекс]

Если мы продолжим и разобьем 5 на 4 и 1 , а затем разделить эту 1 на части по 8, у нас есть гораздо больше восьмых для работы. Теперь мы можем собрать все вместе, чтобы получить следующее:

[латекс]\БОЛЬШОЙ5\dfrac{2}{8}=4+\dfrac{8}{8}+\dfrac{2}{8}=4\dfrac {10}{8}[/latex]

Теперь у нас есть числа, с которыми мы можем работать в исходном вопросе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{10}{8}-3\dfrac{7}{8}=?[/latex]

Выполняем те же действия, что и раньше.

Шаг 1 : Вычтите целые числа.

[латекс]\НАИБОЛЕЕ4-3=1[/латекс]

Шаг 2 : Вычтите дробную часть уравнения.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{10}{8}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{3}{8}[/latex]

Шаг 3 : Соберите все вместе.

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{10}{8}-3\dfrac{7}{8}=1\dfrac{3}{8}[/latex]

Сложите или вычтите следующие смешанные числа, убедившись, что ваш ответ представлен в самом низком выражении. Посмотрите видеоответы в конце, чтобы узнать, как вы справились.

[латекс]\БОЛЬШОЙ7\dfrac{3}{16}+4\dfrac{5}{16}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{7}{16}+3\dfrac{7}{8}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ8\dfrac{27}{32}-1\dfrac{15}{32}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ6\dfrac{5}{16}-5\dfrac{5}{8}=[/латекс]

Вычитание смешанных чисел | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

Пример 1:  В рамках подготовки к марафону Карлос вчера пробежал три и одну четвертую мили, а накануне — одну и три четверти мили. Насколько дальше пробежал Карлос вчера, чем накануне?

Анализ: Эта задача требует от нас вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями.

На прошлом уроке мы узнали, что к сложить смешанные числа , сложить целые числа и отдельно сложить дроби: (целое + целое) + (дробь + дробь). Аналогичная процедура применяется к вычитанию смешанных чисел. Однако как из одной четвертой вычесть три четверти? Для того, чтобы вычесть большую единицу из меньшей, нам потребуется взять взаймы. Например, если вы вычитали 31-19, вы бы одолжили один десяток, а затем перегруппировали его как 10 единиц, чтобы вычесть. Напомним, что смешанное число состоит из целой и дробной частей. Давайте воспользуемся этим фактом и дробными кругами, чтобы преобразовать одно целое в 4 четверти, чтобы мы могли перегруппироваться и заимствовать.

Теперь, когда мы переписали три и одну четвертую как два и пять четвертых, мы можем вычесть эти смешанные числа.

Пример 1:  В рамках подготовки к марафону Карлос вчера пробежал три и одну четвертую мили, а накануне — одну и три четверти мили. Насколько дальше пробежал Карлос вчера, чем накануне?

Анализ:  Эта задача требует от нас вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями. Нам нужно перегруппироваться и занять.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

---

Пример 2:

Анализ: Эти смешанные числа имеют одинаковые знаменатели. Для того, чтобы вычесть большую единицу из меньшей, нам потребуется взять взаймы.

Решение:

---

Пример 3:

Анализ: Мы вычитаем целое число из смешанного числа.

Решение:

---

Пример 4:

Анализ: Мы вычитаем смешанное число из целого числа. Нам нужно будет занять.

Решение:

---

Пример 5:

Анализ:  Дробные части имеют разные знаменатели.

Шаг 1:  Мы напишем эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, 4.

Шаг 2:  Нам нужно будет занять.

---

Пример 6: 

Анализ:  Дробные части имеют разные знаменатели.

Шаг 1:  Мы запишем эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей, 21.

 Шаг 2:  Нам нужно взять взаймы.

---

Пример 7: 

Анализ:  Дробные части имеют разные знаменатели.

Шаг 1:  Мы запишем эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея, 12.

Шаг 2:  Нам нужно будет занять.

Важно отметить, что другим способом вычитания смешанных чисел является преобразование каждого смешанного числа в неправильную дробь. Например 7, это будет сделано следующим образом:

Этот метод математически обоснован. Однако это может привести к небрежным арифметическим ошибкам, поэтому мы не рекомендуем это делать.

---

Пример 8:  В конце футбольного матча главный тренер заметил, что в кувшине с водой, в котором изначально было девять и три восьмых литра, осталось три и девять шестнадцатых литров. Сколько литров воды было израсходовано?

Анализ: В этой задаче нам предлагается вычесть следующие смешанные числа:

Решение: 

Было израсходовано пять и тринадцать шестнадцатых литров воды.

---

Резюме:  Чтобы вычесть смешанные числа:

1. Если знаменатели не совпадают, используйте ЖК-дисплей, чтобы преобразовать их в эквивалентные дроби.
2. Если вторая дробь больше первой, возьмите целое число и преобразуйте его в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.
3. Вычтите целые числа и отдельно вычтите дроби:  (целое — целое) + (дробь — дробь)
4. При необходимости упростите результат.

---

Упражнения

Указания: Вычтите смешанные числа в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

2.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4.	У художницы в начале дня в ведре было двадцать и одна четвертая галлона краски, а к концу дня — только девять и три восьмых галлона. Сколько галлонов краски она израсходовала?
	ОКНО ОТВЕТОВ:   галлонов    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.	Акции технологических компаний открылись в тридцать один и три восьмых и закрылись в двадцать семь и девять шестнадцатых. Каков был чистый убыток для этой акции?
	ОКНО ОТВЕТОВ:      ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел
1.	Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2.	Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
3.	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
4.	Добавление смешанных чисел
5.	Вычитание смешанных чисел
6.	Решение словесных задач
7.	Практические упражнения
8.	Упражнения с вызовом
9.	Решения

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Добавление смешанных номеров | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

Пример 1: Марта добавила в свой сад четыре и одну пятую упаковки земли в понедельник и три и две пятых упаковки земли в пятницу. Сколько пакетов земли она добавила всего?

Анализ: Эта задача требует сложения смешанных чисел.

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Мы будем складывать целые числа и складывать дроби отдельно.

Решение:

В примере 1 мы расположили работу вертикально, чтобы упростить сложение смешанных чисел.

К прибавьте смешанные числа , прибавьте целые числа и отдельно прибавьте дроби: (целое + целое) + (дробь + дробь)

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2:

Анализ: Дроби имеют одинаковые знаменатели. Сложите целые числа и сложите дроби отдельно.

Решение: 

В примере 2 нужно было упростить результат.

Пример 3:

Анализ: Мы складываем целое число и смешанное число. Думайте о десяти как о «десяти и ноль шестнадцатых».

Решение:

Пример 4: 

Анализ:  Дроби имеют разные знаменатели. Мы напишем эквивалентные дроби, используя LCD, 8.

Решение:

Пример 5:

Анализ: Знаменатели дробей разные. Мы будем писать эквивалентные дроби, используя LCD, 20.

Решение: 

Пример 6:

Анализ: Дроби имеют разные знаменатели. Запишем эквивалентные дроби, используя ЖКИ, 36.

Решение: 

Пример 7:  Продавец мороженого продал восемнадцать и пять шестых литров мороженого в пятницу и девятнадцать с половиной литров. мороженого в субботу. Сколько литров он продал всего?

Анализ:  Дроби имеют разные знаменатели. Мы запишем эквивалентные дроби, используя ЖКИ, 6.

Решение:

---

Итог:  Чтобы сложить смешанные числа:

1. Изучите дробную часть каждого смешанного числа, чтобы определить, одинаковы ли знаменатели или нет.
2. Если знаменатели не совпадают, используйте ЖК-дисплей, чтобы переписать их как эквивалентные дроби.
3. Сложите целые числа и отдельно сложите дроби:  (целое + целое) + (дробное + дробное)
4. При необходимости упростите результат.

---

Упражнения

Указания: Сложите смешанные числа в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

2.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.	За одну неделю семья Глоссер выпила одну и семь двенадцатых пакетов обычного молока и четыре и одну двенадцатую пакетов соевого молока. Сколько всего молока они выпили?
	ЯЩИК ОТВЕТОВ:   картонные коробки    ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел
1.	Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2.	Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
3.	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
4.	Добавление смешанных номеров
5.	Вычитание смешанных чисел
6.	Решение словесных задач
7.	Практические упражнения
8.	Упражнения с вызовом
9.	Решения

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Практические упражнения: сложение и вычитание дробей и смешанных чисел

Форма поиска

Поиск

Инструкции: Выполните необходимые операции в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. =Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы записать дробь три четверти, введите в форму 3/4. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

2.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

6.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

7.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

8.	В супермаркете Хорхе купил 3/5 пакета яблок Red Delicious и 2/5 пакета яблок McIntosh. Сколько еще пакетов яблок Red Delicious купил Хорхе?
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

9.	Кэти наполнила кувшин 9/10 литра сока. Позже она вылила 1/4 литра сока. Сколько сока осталось в кувшине?
	ЯЩИК ОТВЕТОВ:  литр     ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

10.	Фермер разместил заказ на 13 и 7/12 тонн удобрений. Он подсчитал, что кукурузным полям потребуется 10 тонн. Сколько удобрений останется у фермера для других культур?
	ОКНО ДЛЯ ОТВЕТОВ:  тонн    ОКНО ДЛЯ РЕЗУЛЬТАТОВ:

Уроки сложения и вычитания дробей и смешанных чисел
1.	Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2.	Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
3.	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
4. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт