Если числители одинаковые а знаменатели разные: Как правильно сравнивать дроби?

Содержание

Как правильно сравнивать дроби?

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби. 

Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.

А теперь на примерах.

Пример 1. Сравните дроби:


  • Мы видим, что знаменатели дробей — равны. Значит сравниваем числители:
    8 < 12
    12 > 8
  • Это значит, что < Изи!

Пример 2. Сравните дроби:


  • Как и в прошлом примере, знаменатели дробей — равны. Сравниваем числители:
    9  > 10
    1 < 10
  • Это значит, что >

Пример 3. Сравните дроби:


  • Знаменатели дробей снова равны. Сравниваем числители:
    3  > 1
    1 < 3
  • Это значит, что >

Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель. 

Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!


Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.
 

  • Запишем в виде дробей: и
  • А теперь сравним полученные дроби: знаменатели — равны, сравниваем числители:
    6  > 5
    5 < 6.
  • Это значит, что >

Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями. 

Запомните правило:

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    9  > 7
    7 < 9
  • Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 2. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    10  < 11
    11 > 10
  • Значит дробь с меньшим знаменателем — больше:

Пример 3. Сравните дроби:

  • У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Значит, согласно правилу, нужно сравнить знаменатели:
    6  > 3
    3 < 6
  • Значит, дробь с меньшим знаменателем — больше.

Для наглядности представим ситуацию, в которой вам предстоит разделить торт между тремя друзьями. Это значит, что 6 кусков торта равномерно распределяются по 3 людям: каждому достается 6:3 = 2 по 2 кусочка. 

А теперь представим более приятную ситуацию: кусков торта по-прежнему 6, а друзей уже только 2. Тогда каждому достанется по 3 вкуснейших кусочка:

Как видите, сравнение дробей может вам пригодиться в самых неожиданных ситуациях. Теперь, когда снова придется хорошенько задуматься о соотношении кусков торта и приглашенных гостях, изученная тема поможет вам принять верное решение😉.

 

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Запоминаем

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

  • Нужно подобрать число, которое будет делиться на 7 и на 2, например, 14. Проверим:
    14:7 = 2
    14 : 2 = 7
  • Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  • Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 7:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:

Давайте потренируемся в сравнении дробей. 

Пример 1. Сравните дроби:


  • Приведем дроби к общему знаменателю. 30 делится на 15 и на 2.
    30 : 15 = 2
    30 : 2 = 15
  • Первую дробь умножаем на дополнительный множитель 2:
  • Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 15:
  • Дроби приведены к общему знаменателю:
  • Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то, согласно правилу, больше та дробь, чей числитель больше:

При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:


  • 6/5 — неправильная дробь. 
  • Выделим целую часть:
  • Значит, что

Вычитание смешанных чисел

Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого. 

  • 12 — 7 = 6
    12 — уменьшаемое
    7 — вычитаемое
    5 — разность

В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы». 

При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.
 

Пример 1. Вычислите:


Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой

  • Выполняем вычитание:

Пример 2.Найдите разность:


Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:


Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что


Пример 2. Сравните дроби:


Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что


Пример 3. Сравните дроби:


Как решаем:

Ответ:.

Пример 4. Найдите разность:


Как решаем:

Ответ:


Правила сравнения дробей и смешанных чисел. Сравнение дробей. Как сравнивать дроби с разными знаменателями? I. Организационный момент

Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателей (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей. Правило . Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше). Например , сравнить дроби:

Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой.

Правило . Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби. Правильная дробь по определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.

Правило . Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.

Например , сравнить дроби:

Аналогично сравнению натуральных чисел на числовой оси большая дробь стоит правее меньшей дроби.

Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .

Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.

Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.

Пример 1

Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .

Решение

Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .

Ответ: 87 126 > 65 126 .

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.

Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:

  • найти общий знаменатель;
  • сравнить дроби.

Рассмотрим данные действия на примере.

Пример 2

Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .

Решение

В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

После сравнения дробей получаем, что 20 48

Ответ: 5 12

Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d

Пример 3

Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .

Решение

Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .

Ответ: 5 18 > 23 86 .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.

Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 4

Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .

Решение

Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.

Ответ: 54 19 > 54 31 .

Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.

Пример 4

Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .

Решение

Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63

Ответ: 63 8

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.

В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.

Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).

Например, сравнить дроби:

Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).

Например, сравнить дроби:

Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой

Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.

Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.

Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Рассмотрим пример:

Сравните дроби \(\frac{7}{26}\) и \(\frac{13}{26}\).

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

\(\frac{7}{26}

Сравнение дробей с равными числителями.

Если у дроби одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Понять это правило можно, если привести пример из жизни. У нас есть торт. К нам в гости могут прийти 5 или 11 гостей. Если придут 5 гостей, то мы разрежем торт на 5 равных кусков, а если придут 11 гостей, то разделим на 11 равных кусков. А теперь подумайте в каком случаем на одного гостя придется кусок торта большего размера? Конечно, когда придут 5 гостей, кусок торта будет больше.

Или еще пример. У нас есть 20 конфет. Мы можем поровну раздать конфеты 4 друзьям или поровну поделить конфеты между 10 друзьями. В каком случае у каждого друга будет конфет больше? Конечно, когда мы разделим только на 4 друзей, количество конфет у каждого друга будет больше. Проверим эту задачу математически.

\(\frac{20}{4} > \frac{20}{10}\)

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac{20}{4} = 5\) и \(\frac{20}{10} = 2\). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac{1}{17}\) и \(\frac{1}{15}\) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

\(\frac{1}{17}

Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо дроби привести к , а потом сравнить числители.

Сравните дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{7}\).

Сначала найдем общий знаменатель дробей. Он будет равен числу 21.

\(\begin{align}&\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}\\\\&\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}\\\\ \end{align}\)

Потом переходим к сравнению числителей. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\begin{align}&\frac{14}{21}

Сравнение .

Неправильная дробь всегда больше правильной. Потому что неправильная дробь больше 1, а правильная дробь меньше 1.

Пример:
Сравните дроби \(\frac{11}{13}\) и \(\frac{8}{7}\).

Дробь \(\frac{8}{7}\) неправильная и она больше 1.

\(1

Дробь \(\frac{11}{13}\) правильная и она меньше 1. Сравниваем:

\(1 > \frac{11}{13}\)

Получаем, \(\frac{11}{13}

Вопросы по теме:
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Ответ: надо привести к общему знаменателю дроби и потом сравнить их числители.

Как сравнивать дроби?
Ответ: сначала нужно определиться к какой категории относятся дроби: у них есть общий знаменатель, у них есть общий числитель, у них нет общего знаменателя и числителя или у вас правильная и неправильная дробь. После классификации дробей применить соответствующее правило сравнения.

Что такое сравнение дробей с одинаковыми числителями?
Ответ: если у дробей одинаковые числители, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Пример №1:
Сравните дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{13}{16}\).

Решение:
Так как нет одинаковых числителей или знаменателей, применяем правило сравнения с разными знаменателями. Нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 96. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь \(\frac{11}{12}\) умножим на дополнительный множитель 8, а вторую дробь \(\frac{13}{16}\) умножим на 6.

\(\begin{align}&\frac{11}{12} = \frac{11 \times 8}{12 \times 8} = \frac{88}{96}\\\\&\frac{13}{16} = \frac{13 \times 6}{16 \times 6} = \frac{78}{96}\\\\ \end{align}\)

Сравниваем дроби числителями, та дробь больше у которой числитель больше.

\(\begin{align}&\frac{88}{96} > \frac{78}{96}\\\\&\frac{11}{12} > \frac{13}{16}\\\\ \end{align}\)

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{5}{10} \).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{3}{5} \).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

\(\begin{align}&\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10}

Ответ: у папы результат лучше.

Как сравнить пары дробей по величине. Сравнение дробей

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Рассмотрим пример:

Сравните дроби \(\frac{7}{26}\) и \(\frac{13}{26}\).

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

\(\frac{7}{26}

Сравнение дробей с равными числителями.

Если у дроби одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Понять это правило можно, если привести пример из жизни. У нас есть торт. К нам в гости могут прийти 5 или 11 гостей. Если придут 5 гостей, то мы разрежем торт на 5 равных кусков, а если придут 11 гостей, то разделим на 11 равных кусков. А теперь подумайте в каком случаем на одного гостя придется кусок торта большего размера? Конечно, когда придут 5 гостей, кусок торта будет больше.

Или еще пример. У нас есть 20 конфет. Мы можем поровну раздать конфеты 4 друзьям или поровну поделить конфеты между 10 друзьями. В каком случае у каждого друга будет конфет больше? Конечно, когда мы разделим только на 4 друзей, количество конфет у каждого друга будет больше. Проверим эту задачу математически.

\(\frac{20}{4} > \frac{20}{10}\)

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac{20}{4} = 5\) и \(\frac{20}{10} = 2\). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac{1}{17}\) и \(\frac{1}{15}\) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

\(\frac{1}{17}

Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо дроби привести к , а потом сравнить числители.

Сравните дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{7}\).

Сначала найдем общий знаменатель дробей. Он будет равен числу 21.

\(\begin{align}&\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}\\\\&\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}\\\\ \end{align}\)

Потом переходим к сравнению числителей. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\begin{align}&\frac{14}{21}

Сравнение .

Неправильная дробь всегда больше правильной. Потому что неправильная дробь больше 1, а правильная дробь меньше 1.

Пример:
Сравните дроби \(\frac{11}{13}\) и \(\frac{8}{7}\).

Дробь \(\frac{8}{7}\) неправильная и она больше 1.

\(1

Дробь \(\frac{11}{13}\) правильная и она меньше 1. Сравниваем:

\(1 > \frac{11}{13}\)

Получаем, \(\frac{11}{13}

Вопросы по теме:
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Ответ: надо привести к общему знаменателю дроби и потом сравнить их числители.

Как сравнивать дроби?
Ответ: сначала нужно определиться к какой категории относятся дроби: у них есть общий знаменатель, у них есть общий числитель, у них нет общего знаменателя и числителя или у вас правильная и неправильная дробь. После классификации дробей применить соответствующее правило сравнения.

Что такое сравнение дробей с одинаковыми числителями?
Ответ: если у дробей одинаковые числители, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Пример №1:
Сравните дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{13}{16}\).

Решение:
Так как нет одинаковых числителей или знаменателей, применяем правило сравнения с разными знаменателями. Нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 96. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь \(\frac{11}{12}\) умножим на дополнительный множитель 8, а вторую дробь \(\frac{13}{16}\) умножим на 6.

\(\begin{align}&\frac{11}{12} = \frac{11 \times 8}{12 \times 8} = \frac{88}{96}\\\\&\frac{13}{16} = \frac{13 \times 6}{16 \times 6} = \frac{78}{96}\\\\ \end{align}\)

Сравниваем дроби числителями, та дробь больше у которой числитель больше.

\(\begin{align}&\frac{88}{96} > \frac{78}{96}\\\\&\frac{11}{12} > \frac{13}{16}\\\\ \end{align}\)

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{5}{10} \).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{3}{5} \).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

\(\begin{align}&\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10}

Ответ: у папы результат лучше.

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

Ответ:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Пример.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .

Решение.

В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .

Ответ:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Сравните дроби 54/19 и 54/31 .

Решение.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .

Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .

Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.

Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.

Пример 1

Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .

Решение

Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .

Ответ: 87 126 > 65 126 .

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.

Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:

  • найти общий знаменатель;
  • сравнить дроби.

Рассмотрим данные действия на примере.

Пример 2

Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .

Решение

В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

После сравнения дробей получаем, что 20 48

Ответ: 5 12

Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d

Пример 3

Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .

Решение

Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .

Ответ: 5 18 > 23 86 .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.

Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 4

Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .

Решение

Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.

Ответ: 54 19 > 54 31 .

Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.

Пример 4

Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .

Решение

Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63

Ответ: 63 8

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Содержание урока

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями

Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3

И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями

В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:

Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8

И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.


Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Применяем третье правило:

Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.

Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:

  • Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:

Сравнение дробей — Помощник для школьников Спринт-Олимпик.ру

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби

 и  и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь   больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части.

пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби

и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части.

пиццы больше, чем пиццы:

 

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби

 и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби

 и  к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей  и  это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби

. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби

. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему

больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби

, получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему

больше, чем .  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и

пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример

.

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая.

больше чем 

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример 

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения

.

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби

и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби

числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое

больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби

  и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь

А это значит, что и уменьшаемое

меньше, чем вычитаемое

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.

Пример 4. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь нужно сравнить дроби 

  и  . У дроби  числитель больше, чем у дроби . Значит дробь  больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое

больше, чем вычитаемое

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сначала мы получили ответ

. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ .

Предыдущая

Математика с нуляСмешанные числа

Следующая

Математика с нуляЕдиницы измерения

Онлайн урок: Сравнение дробей с разными знаменателями по предмету Математика 6 класс

Если рассуждать логически и вспомнить, что дробная черта заменяет знак деления, то можно сравнить дроби следующим образом:

  • меньшее число 1 делят на большее количество частей (на 8)
  • большее число 4 делят на меньшее количество частей (на 7)

Действительно, получится, что \(\mathbf{1:8 < 4:7}\)

Итак, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо:

  1. привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю
  2. сравнить полученные дроби

 

Например, сравним дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

\(\mathbf{НОК (4,2) = 4}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot1}{4\cdot1} = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{2} = \frac{1\cdot2}{2\cdot2} = \frac{2}{4}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4}}\) > \(\mathbf{\frac{2}{4}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) > \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)

 

Пример 1

Сравните дроби:

А) \(\mathbf{\frac{4}{15}}\) и \(\mathbf{\frac{14}{21}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{7}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{15}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5}{11}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{10}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{2}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (15,21) = 105}\)

\(\mathbf{\frac{4}{15} = \frac{4\cdot7}{15\cdot7} = \frac{28}{105}}\)

\(\mathbf{\frac{14}{21} = \frac{14\cdot5}{21\cdot5} = \frac{70}{105}}\)

\(\mathbf{\frac{28}{105}}\) < \(\mathbf{\frac{70}{105}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{4}{15}}\) < \(\mathbf{\frac{14}{21}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (12,15) = 60}\)

\(\mathbf{\frac{7}{12} = \frac{7\cdot5}{12\cdot5} = \frac{35}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{4}{15} = \frac{4\cdot4}{15\cdot4} = \frac{16}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{35}{60}}\) > \(\mathbf{\frac{16}{60}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{7}{12}}\) > \(\mathbf{\frac{4}{15}}\)

В)

\(\mathbf{НОК (11,10) = 110}\)

\(\mathbf{\frac{5}{11} = \frac{5\cdot10}{11\cdot10} = \frac{50}{110}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{10} = \frac{7\cdot11}{10\cdot11} = \frac{77}{110}}\)

\(\mathbf{\frac{50}{110}}\) < \(\mathbf{\frac{77}{110}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{5}{11}}\) < \(\mathbf{\frac{7}{10}}\)

Г)

\(\mathbf{НОК (9,8) = 72}\)

\(\mathbf{\frac{2}{9} = \frac{2\cdot8}{9\cdot8} = \frac{16}{72}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{8} = \frac{3\cdot9}{8\cdot9} = \frac{27}{72}}\)

\(\mathbf{\frac{16}{72}}\) < \(\mathbf{\frac{27}{72}}\), следовательно, и \(\mathbf{\frac{2}{9}}\) < \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

 

Пример 2

Расположите в порядке возрастания дроби:

А) \(\mathbf{\frac{7}{50}, \frac{11}{5}, \frac{9}{10}, \frac{13}{25}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{9}{10}, \frac{19}{20}, \frac{7}{100}, \frac{3}{50}}\)

Решение:

А) Приведем все дроби к общему знаменателю.

\(\mathbf{НОК (50,5,10,25) = 50}\)

\(\mathbf{\frac{11}{5} = \frac{11\cdot10}{5\cdot10} = \frac{110}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{9}{10} = \frac{9\cdot5}{10\cdot5} = \frac{45}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{13}{25} = \frac{13\cdot2}{25\cdot2} = \frac{26}{50}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{50} < \frac{26}{50} < \frac{45}{50} < \frac{110}{50}}\), следовательно, \(\mathbf{\frac{7}{50} < \frac{13}{25} < \frac{9}{10} < \frac{11}{5}}\)

Б) Приведем все дроби к общему знаменателю.

\(\mathbf{НОК (10,20,100,50) = 100}\)

\(\mathbf{\frac{9}{10} = \frac{9\cdot10}{10\cdot10} = \frac{90}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{19}{20} = \frac{19\cdot5}{20\cdot5} = \frac{95}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{50} = \frac{3\cdot2}{50\cdot2} = \frac{6}{100}}\)

\(\mathbf{\frac{6}{100} < \frac{7}{100} < \frac{90}{100} < \frac{95}{100}}\), следовательно, \(\mathbf{\frac{3}{50} < \frac{7}{100} < \frac{9}{10} < \frac{19}{20}}\)

Сравнение дробей: правила, примеры, решения

Время чтения: 10 минут

745

Когда дело доходит до дробей, мы обычно сравниваем две или более. На самом деле, мы сталкиваемся с дробями в нашей повседневной жизни. Простой пример: если вы разрезаете яблоко на две части, оно тоже будет дробью. В принципе, сравнение двух дробей означает определение большей и меньшей части среди них.

Понятие сравнения дробей

Определение

Дробь – это число, представляющее часть целого. Это целое может быть одним объектом или группой объектов. Дробь записывается как \[\frac{p}{q}\] , где p и q являются целыми числами и q≠0.

Такие числа, как \[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{17}\] известны как дроби.

Число под линией деления называется знаменателем. Оно описывает нам, на сколько равных частей делится целое. Число над строкой называется числителем. Оно говорит нам, сколько равных частей взято.

Пример: \[\frac{3}{7}, \frac{5}{19}, \frac{3}{116}\] и т.д. являются дробями.

Сравнить две дроби – это значит понять, какая из них больше, а какая меньше. Из двух дробей с равными знаменателями больше будет та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Примеры сравнения дробей в реальном времени включают различные действия, такие как проверка сниженных цен во время покупок, достижение продаж определенного продукта, медицинские рецепты врача, результаты тестов и экзаменов и т.д. Опять же, сравнение дробей – это то, что мы испытываем или с чем сталкиваемся в своей повседневной жизни. Если достаточно сосредоточиться, то можно легко получить практическое представление об одном и том же каждый день, выполняя обычные домашние дела и математические вычисления.

Правила сравнения дробей

Есть несколько правил, которым мы должны следовать при сравнении дробей:

  1. Когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.
  2. Когда числители равны, дроби считаются эквивалентными.
  3. Когда дроби имеют один и тот же числитель, чем меньше числитель, тем более значимой считается дробь.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Определение

Подобные дроби — это две или более фракции, имеющие один и тот же знаменатель.

Пример: \[\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\] являются «подобными дробям».

Сравнение подобных дробей

В этом методе необходимо проверить, совпадают ли знаменатели или нет. Если знаменатели одинаковы, то дробь с большим числителем является более значительной дробью. Дробь с меньшим числителем – это меньшая дробь. Если и числители, и знаменатели равны, то дроби также идентичны. Пример: Давайте сравним \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\].

  1. Найдем знаменатели данных дробей: \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\]. Здесь знаменатели одинаковы.
  2. Сравним числители: 16>6.
  3. Теперь дробь с большим числителем будет больше.
  4. Следовательно, \[\frac{6}{17}\] и \[\frac{16}{17}\].

Сравнение дробей с разными знаменателями

Определение

Неподобные дроби — это две или более дроби имеющие разные знаменатели.

Пример: \[\frac{5}{17}\] и \[\frac{3}{14}\] являются неподобными дробями.

Сравнение неподобных дробей

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, следует начать с поиска наименьшего общего знаменателя, чтобы сделать их значения одинаковыми. Когда знаменатели преобразуются в одни и те же знаменатели, то дробь с большим числителем является более значимой  — например, \[\frac{1}{2}\] и \[\frac{2}{5}\].

  1. Найдите знаменатели данных дробей: \[\frac{1}{2}\] и \[\frac{2}{5}\], здесь знаменатели не совпадают. Возьмем 2 и 5 так, что общий множитель равен 10. Здесь, \[\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \times \frac{5}{5} \text{и} \frac{2}{5}=\frac{2}{5} \times \frac{5}{5}\].
  2. Теперь сравним доли,\[\frac{5}{10}\] и \[\frac{4}{10}\], знаменатели одинаковы.
  3. Мы сравним числители, 5 > 4.
  4. Сравнение дроби, \[\frac{5}{10}\] > \[\frac{4}{10}\]. Дробь с большим числителем является большей дробью.
  5. Таким образом, \[\frac{5}{10}\] > \[\frac{4}{10}\]. Поэтому, \[\frac{1}{2}\] > \[\frac{2}{5}\]

Если знаменатели разные, а числители одинаковые, то можно легко сравнить дроби, посмотрев на их знаменатели. Дробь с меньшим знаменателем имеет большее значение. Дробь с большим знаменателем имеет меньшее значение.

Например, \[\frac{2}{3}\] > \[\frac{2}{6}\]

Десятичный метод сравнения дробей

В этом методе необходимо сравнить десятичные значения дробей. Сначала числитель делится на знаменатель, а затем дробь преобразуется в десятичную дробь. Затем сравниваются десятичные значения.

Пример: \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\].

  1. Сначала запишем заданные дроби \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\] в десятичной форме. \[\frac{4}{5}\]= 0,8 и \[\frac{6}{8}\]= 0,75.
  2. Теперь сравните десятичные значения, 0,8 > 0,75.
  3. Здесь дробь с большим десятичным значением является большей дробью.
  4. Следовательно, \[\frac{4}{5} и \frac{6}{8}\].

Сравнение дробей с помощью перекрестного умножения

В этом методе числитель одной дроби перекрестно умножается на знаменатель другой дроби.

Пример: \[\frac{1}{2} \text { и } \frac{3}{4}\], когда мы перекрестно умножаем, мы получаем 1×4=4 и 2×3=6.

  1. Теперь цифры 4 и 6 являются числителями, которые мы получаем, если выразим \[\frac{1}{2} \text { и } \frac{3}{4}\] с общим знаменателем 8.
  2. Далее, новые дроби с одинаковыми знаменателями будут равны \[\frac{4}{8} \text { и } \frac{6}{8}\].
  3. Итак, число 6 является большим числителем, \[\frac{4}{8} < \frac{6}{8}\].
  4. Следовательно, \[\frac{1}{2} < \frac{3}{4}\].

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Решение примеров на сравнение дробей

1. Сравните две дроби \[\frac{4}{7}\] и \[\frac{2}{7}\].

Ответ: Мы видим, что знаменатели в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, согласно которому, когда знаменатели дроби одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем считается большей дробью.

Итак, сравните числители 4>2

Следовательно,  \[\frac{4}{7}>\frac{2}{7}\]

2. Сравните две заданные дроби:  \[\frac{6}{13}\] и \[\frac{6}{20}\].

Ответ: Мы видим, что числители в данных дробях одинаковы. Здесь мы будем следовать правилу, что, когда дроби имеют одинаковый числитель, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Итак, сравните знаменатели 13>20

Следовательно, \[\frac{6}{13} > \frac{6}{20}\]

3. Сравните данные дроби, используя метод перекрестного умножения: \[\frac{3}{8}\] и \[\frac{5}{10}\].

Ответ: Мы будем использовать метод перекрестного умножения, поэтому это означает, что необходимо умножить 3×10=30 и 5×8=40.

Здесь 30<40

Следовательно, \[\frac{3}{8} < \frac{5}{10}\]

4. Расположите дроби \[\frac{5}{6}, \frac{11}{16}\] и \[\frac{13}{18}\] в порядке возрастания.

Ответ: Сначала мы вычислим общий знаменатель, он равен 144.

Теперь запишем дроби как эквивалентные:

\[\frac{5}{6}=\frac{5 \times 24}{6 \times 24}=\frac{120}{144}\]

\[\frac{11}{16}=\frac{11 \times 9}{16 \times 9}=\frac{99}{144}\]

\[\frac{13}{18}=\frac{13 \times 8}{13 \times 8}=\frac{104}{144}\]

Так, 99 < 104 < 120, следовательно \[\frac{99}{144}<\frac{104}{144}<\frac{120}{144}, \text { итак } \frac{11}{16}<\frac{13}{18}<\frac{5}{6}\]

5. Что больше: \[\frac{4}{8}\] или \[\frac{6}{12}\]?

Сравним с помощью десятичного метода.

Ответ: Мы можем использовать калькулятор 4÷8 и 6÷12. Теперь получаем, что \[\frac{4}{8}=0,5 \text { и } \frac{6}{12}=0,5\]

Итак, обе доли равны 0,5 = 0,5

Следовательно, \[\frac{4}{8}=\frac{6}{12}\]

Оценить статью (1 оценка):

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Популярные статьи

Сравнение дробей — МАТВОКС

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

 

Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то, чтобы сравнить дроби, нужно сравнить их числители.

Следовательно,

чем больше числитель, тем больше дробь.

Сравнение дробей с разными знаменателями

 

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби с разными знаменателями, следует привести их к наименьшему общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей.

Дробь с большим числителем будет больше.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

 

Если знаменатели дробей разные, а

числители равны, то можно сравнить дроби, не приводя их к наименьшему общему знаменателю: чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Это правило позволяет

сравнивать дроби, не приводя их к общему знаменателю.

 

Примечание

Любая неправильная дробь больше любой правильной (пример 4).

Данное свойство следует из того, что неправильная дробь больше или равна 1:

а правильная, всегда меньше 1:

Пример 1

Сравнить дроби:

 

 

Решение

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Найдем НОК:

НОК (5, 7) =35.

Определим дополнительные множители и запишем дроби с новым знаменателем.

Первая дробь:

Вторая дробь:

Итак, теперь знаменатели дробей равны. Сравним их числители:

Следовательно:

Значит:

Пример 2

Сравнить дроби:

 

Решение

У дробей разный знаменатель. Приведем их знаменатели к наименьшему общему:

Первая дробь пример вид:

Итак, дроби имеют одинаковые знаменатели. Сравним их числители:

Значит:

Следовательно:

Пример 3

Сравнить дроби:

 

Решение

Так как дроби имеют разные знаменатели, найдем их наименьший общий знаменатель:

Первая дробь примет вид:

Вторая дробь примет вид:

Третья дробь примет вид:

Итак, все три дроби имеют одинаковые знаменатели. Сравним их числители:

Следовательно:

Отсюда:

Пример 4

Сравнить дроби, не приводя их к общему знаменателю:

 

 

Решение

Дроби имеют разные знаменатели, и по правилам сравнения дробей, чтобы узнать какая из них больше, нужно их привести к наименьшему общему знаменателю.

Но, если обратить внимание на дроби, то увидим, что первая дробь – неправильная, а вторая – правильная.

Так как неправильная дробь всегда больше правильной, то:

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Какая дробь наибольшая при одинаковых числителях?

Вопрос задан: Отто Любовиц
Оценка: 4,2/5 (14 голосов)

При упорядочивании дробей с одинаковыми числителями смотрите на знаменатели и сравнивайте их по 2 за раз. ? Дробь с наибольшим знаменателем является наименьшей. ? Дробь с наименьшим знаменателем — это самое большое число . Давайте посмотрим на пример.

При одинаковых числителях дробь с наибольшей дробью?

Если знаменатели одинаковые, то дробь с большим числителем является на большей дробью .Дробь с меньшим числителем является меньшей дробью. И, как отмечалось выше, если числители равны, дроби равны.

Когда числители совпадают?

? Дроби с одинаковыми числителями означают, что мы говорим об одном и том же количестве частей . Итак, чтобы сравнить дроби с одним и тем же числителем, достаточно сравнить знаменатели. Дробь с большим знаменателем меньше.

Как называется дробь с одинаковым числителем?

Дроби с одинаковым числителем называются подобно дробям .

Какая дробь больше при разных знаменателях?

Если дроби имеют одинаковый знаменатель, большая дробь та, у которой числитель больше . Если числители одинаковые, то дроби равнозначные. В нашем примере 12/15 больше, чем 10/15, поэтому 4/5 шоколадного батончика будет больше.

Найдено 25 связанных вопросов

Какая дробь самая большая?

?Дробь с наибольшим числителем является наибольшим .Вот так! Если записать в порядке от меньшего к большему, получится 6/12 < 8/12 < 9/12.

Какие есть 7 типов дробей?

По числителям и знаменателям дроби подразделяются на следующие виды:

  • Правильные дроби. …
  • Неправильные дроби. …
  • Смешанные фракции. …
  • Как дроби….
  • В отличие от дробей. …
  • Эквивалентные дроби. …
  • Доли единиц.

Пример аналогичной дроби?

Подобные дроби имеют один и тот же знаменатель, также называемый общим знаменателем . … Добавьте числители, но оставьте прежним знаменатель, если у вас есть похожие дроби. Например, 5/15 + 6/15 = 11/15 или 6/12 + 3/12 = 9/12.

Дроби с разными знаменателями?

Если знаменатели не совпадают, то вы должны использовать эквивалентные дроби, которые имеют общий знаменатель . Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем.

Половина больше, чем 3 8?

Вот как выглядят 1/2 и 3/8 с одинаковым знаменателем: … Теперь, когда эти дроби были преобразованы, чтобы иметь один и тот же знаменатель, мы можем ясно видеть, глядя на числители, что 4 больше, чем 3, что также означает, что 1/2 больше , чем 3/8.

Как вы сравниваете числители?

Мы можем легко сравнить две или более дроби , если их числители общие или одинаковые. Поскольку пятые больше седьмых, три пятых больше трех седьмых.Итак, в общем случае: если две или более дроби имеют общий числитель, то наибольшей является дробь с наименьшим знаменателем.

Что такое сравнение дробей?

Сравнение дробей означает сравнение заданных дробей, чтобы определить , является ли одна дробь меньше, больше или равна другой . Как и целые числа, мы можем сравнивать и дроби, используя те же символы: <,> и =.

Какой дроби соответствует 2/3?

Эквивалентная доля двух третей (2/3) составляет шестнадцать двадцать четвертых (16/24) .

Какая дробь наименьшая?

Итак, знаменатель является наименьшей дробью среди обеих дробей. Итак, делаем вывод, что дробь \[\Rightarrow \dfrac{1}{4}\] является наименьшей среди всех дробей.

Как найти наименьшую дробь с разными знаменателями?

Как упорядочить дроби от наименьшего к наибольшему, если знаменатели разные? Сделайте их одинаковыми на , умножив и числитель, и знаменатель наименьшей дроби , а при необходимости и наибольшую.

Как узнать, подобны ли дроби?

Чтобы найти эквивалентные дроби для любой заданной дроби, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число .Например, чтобы найти эквивалентную дробь 3/4, умножьте числитель 3 и знаменатель 4 на одно и то же число, скажем, на 2. Таким образом, 6/8 — это эквивалентная дробь 3/4.

Как узнать, похоже ли что-то или нет?

Подобные (подобные) дроби — это дроби с одинаковыми знаменателями. С другой стороны, непохожие (непохожие) дроби — это дроби с разными знаменателями .

Что такое дробь единицы на примере?

Единичная дробь — это дробь, в которой числитель равен 1, а знаменатель — целое число больше 0. Примеры единичных дробей: 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. . Иллюстрация единичной дроби представляет собой одну заштрихованную часть всех равных частей целого.

Какие есть 10 типов дробей?

1/2, 2/3, 4/5, 5/6, 7/10, 9/11, 11/21, 35/45, ……….. и т. д. — правильные дроби. 5. Неправильные дроби. Дробь, знаменатель которой меньше или равен числителю, называется неправильной дробью.

Какая дробь равна 5 2?

Неправильные дроби

Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью. Например, 5/2 и 8/7 — неправильные дроби, потому что 5 > 2, а 8 > 7.

Что такое дробь приведи 5 примеров?

Дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя. Примеры: ⅓, ⅔, , 3/7, 5/9 и т. д.

Какая самая большая фракция Mcq?

Решение (командой Examveda)

из 8,16,40и80=8078=7080;1316=6580;3140=6280Так как 7080>6580>6380>6280, значит, 78>1316>6380>3140Итак, 3 78 9000 самое большое.

Иллюстративная математика

Комментарий IM

Это задание является частью совместного проекта между Student Achievement Partners и Illustrative Mathematics по разработке прототипов заданий для оценивания с помощью машинной оценки, которые проверяют ряд математических знаний и навыков, описанных в CCSSM, и начинают сигнализировать о направленности и согласованности стандартов.

Задача Цель

Это задание является частью набора из трех оценочных заданий для 3.НФ.3д. Эта часть стандарта касается сравнения двух дробей с одним и тем же числителем или одним и тем же знаменателем путем рассуждения об их размере и понимания того, что такие сравнения действительны только тогда, когда дроби относятся к одному и тому же целому.

  • 3.NF «Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями» предлагает учащимся сравнить дроби, используя слова и символы, а затем правильно представить их на числовой прямой. Это и следующее задание предназначены для того, чтобы различать понимание относительной величины, владение символической записью и владение числовым рядом.Например, если учащийся правильно выбирает большую дробь и правильное размещение на числовой прямой, но выбирает неправильные неравенства, мы диагностируем, что у этого учащегося проблемы с символическим представлением, но не с пониманием относительной величины дробей.
  • 3.НФ Сравнение дробей с одинаковыми числителями по структуре идентично первому заданию.
  • 3. NF Сравнение дробей с картинками предлагает учащимся выбрать картинки, которые точно представляют относительную величину двух дробей.Это задание также требует, чтобы учащиеся осознали, что для сравнения двух дробей они должны относиться к одному и тому же целому.

Когнитивная сложность

Математическое содержание

Сравнение дробей с общим знаменателем должно быть таким же простым, как сравнение 5 апельсинов и 7 апельсинов: больший числитель соответствует большей дроби, потому что мы сравниваем разные количества одной и той же единицы. Сравнивать дроби с общим числителем сложнее, потому что меньшему знаменателю соответствует большая дробь.Таким образом, «3.NF Сравнение дробей с одинаковым числителем» является более сложным, чем «3.NF Сравнение дробей с одинаковым знаменателем».

«3.NF Сравнение дробей с картинками» требует, чтобы учащиеся сравнили две дроби с одинаковыми числителями, а затем выбрали изображения из набора вариантов, которые можно использовать для точного представления сравнения. Для первых двух заданий в этом наборе учащиеся могут выбрать любой метод или представление, которое им нравится, для сравнения дробей. Это задание более сложное, потому что учащиеся должны оценивать картинки, которые они не нарисовали сами, и должны понимать, что целые (а не части) должны быть одинакового размера.

Математическая практика

Третье задание частично оценивает способность учащихся приводить убедительные аргументы и критиковать рассуждения других (МН 3). Студенты должны оценить три разных утверждения и выбрать правильное; они также должны идентифицировать изображения, которые можно использовать в поддержку аргумента о сравнении двух дробей.

Лингвистический спрос

Низкий лингвистический спрос на первые два задания. Языковая потребность в третьем задании средняя для третьего класса.

Стимулирующий материал

Первые два задания требуют от учащихся анализа как письменных, так и символьных утверждений и выбора числовой строки. Третье задание требует от учащихся анализа письменных высказываний, построения символического высказывания и выбора диаграмм из нескольких вариантов. Таким образом, стимульный материал для всех трех заданий сложен.

Режим ответа

Режим ответа для первых двух задач — множественный выбор (выбрать все), поэтому он не сложный.Третье задание требует, чтобы учащиеся использовали раскрывающееся меню и перетаскивали изображения на экране, что дает этому заданию средний уровень сложности режима ответа. Обратите внимание, что они могут пробовать разные вещи без штрафа, и есть возможность сброса.

Решение

а. $\frac94$ больше, чем $\frac98$ верно.

$\frac98 \lt \frac94$ верно.

$\frac94 \gt \frac98$ верно.

б. Вторая числовая строка верна.

Этот предмет оценивается в 2 очка.В этом элементе четыре правильных элемента. Каждый выбор неверного утверждения сводит на нет кредит за один правильный выбор.

2 балла: Выбраны все четыре правильные части и нет неправильных выборов. 1 балл: Всего сделано два или три правильных ответа

  • Учащийся выбирает три правильных утверждения, одно неверное утверждение и правильную числовую строку
  • Учащийся выбирает три правильных утверждения и неправильную числовую строку
  • Учащийся выбирает только одно правильное утверждение и правильную числовую строку.

0 баллов: Сделано ноль или один правильный выбор. Например,

  • Учащийся выбирает шесть утверждений и правильную числовую строку
  • Учащийся выбрал только два правильных утверждения и неправильную числовую строку
  • Учащийся не выбрал утверждения и правильную числовую строку.

Сравните две дроби с разными числителями и разными знаменателями, например, создав общие знаменатели или числители, или сравнив с эталонной дробью, такой как 1/2.Признайте, что сравнения допустимы только тогда, когда две дроби относятся к одному и тому же целому. Запишите результаты сравнений символами , = или , и обоснуйте выводы, например, с помощью визуальной фракционной модели.

Удивительные печенья Алисы:

Студенты помогут Amazing Alice Cookies выбрать идеальную марку шоколадной крошки для печенья.Учащимся будут даны данные в виде дробей и десятичных знаков. Учащиеся четвертого класса будут сравнивать десятичные дроби, упорядочивать и сравнивать дроби. Студенты напишут клиенту письмо с описанием своей процедуры.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Сравнение дробей с кексами:

В этом MEA учащиеся будут сравнивать дроби с разными знаменателями, чтобы решить, какой кекс пекарня должна добавить в свое меню.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Садоводство в школах:

Это упражнение по выявлению моделей написано для 4-го класса.В этой открытой задаче учащиеся должны решить, как ранжировать горшечную почву на основе таких факторов, как доля ингредиентов, цена и экологичность. В командах студенты определяют свои процедуры и пишут письма клиенту.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Дилемма миссис Токвелл:

Миссис Тинкуэлл — учительница 4-го класса, но ей трудно увлечь своих учеников во время уроков естествознания. Научные лекции просто не работают. Конечно, есть несколько учеников, которые, кажется, преуспевают, но есть так много неуспевающих.Она не могла понять проблему. Ее директор предложил дать ученикам оценку множественного интеллекта (МИ) и, возможно, использовать для обучения небольшие группы. Она решила попробовать оценить ИМ и получила результаты; но она все еще не была уверена, что это значит для ее класса. Миссис Токнуэлл хочет использовать небольшие группы в своем классе, но не знает, как лучше всего сгруппировать учеников, основываясь главным образом на их множественном интеллекте.

Студенты помогут госпоже.Думайте хорошо, создавая группы учащихся на основе набора данных класса результатов оценки MI.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Развлечения для вечеринок:

В этом MEA учащиеся будут решать, какого артиста должен нанять владелец развлекательной компании.Они будут основывать свои решения на информации, предоставленной в резюме. Студенты рассчитают стоимость найма артиста (умножение целых чисел), а также сравнит статистику своих конкурсов талантов и посещаемость (сравнение дробей). Учащиеся будут писать письма владельцу развлекательной компании, оценивая артистов и предоставляя объяснение и обоснование их стратегии для этого.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации.Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Баночка с печеньем хочет новое печенье!:

На этом уроке учащимся предлагается порекомендовать, какое печенье владельцы The Cookie Jar должны добавить в свое меню. Прежде чем принять решение, учащиеся должны преобразовать дроби, чтобы у них были одинаковые знаменатели.После преобразования дробей они смогут точно увидеть, сколько людей проголосовало за каждый файл cookie, и они смогут учесть эту информацию вместе с дополнительными фактами о файлах cookie, чтобы дать свою окончательную рекомендацию.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные задания по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, внедренных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Чудесные аквапарки:

Это задание требует, чтобы учащиеся применили свои знания о преобразованиях единиц измерения, расчете скорости и сравнении дробей, чтобы решить задачу о том, какой аквапарк должен выбрать их класс для поездки в 5-м классе.

Что такое числители и знаменатели?

В прошлой статье мы обнаружили, что одних целых чисел недостаточно для полного описания окружающего нас мира — нам также нужны дроби, существующие между целыми числами.(Изучая это, мы также узнали, что дроби не являются целыми числами.) Фактически, в конце концов мы обнаружим, что даже дроби не могут полностью удовлетворить наши потребности! Но мы оставим это для будущей статьи — нам еще многое предстоит узнать о фракционном мире.

В частности, сегодня мы более подробно рассмотрим дроби и выучим несколько быстрых советов, которые помогут вам понять, что именно говорят вам числители и знаменатели.

Что такое дроби?

Купить сейчас

Как партнер Amazon и книжный магазин.org, QDT зарабатывает на соответствующих покупках.

Прежде чем мы углубимся в детали того, что означают различные части дроби, давайте кратко рассмотрим их анатомию. Во-первых, дробь состоит из двух целых чисел — одного сверху и одного снизу.

Верхнее число называется числителем, нижнее — знаменателем, и эти два числа разделены чертой. Линия может быть горизонтальной или наклонной — оба они означают одно и то же и просто служат для отделения числителя от знаменателя.

Как произносится дроби на английском языке

Если вы уже давно знакомы с дробями, то, вероятно, вы давно не задумывались об именах, которые мы используем для их описания. Но они не совсем очевидны, так что стоит потратить минуту или две на размышления о них.

Вот быстрый и грязный совет, который поможет вам запомнить, как произносить их все: числитель всегда произносится первым, и вы произносите его точно так же, как произносите число. Например, в 1/2 числитель 1 просто произносится как «один»; или в 45/77 числитель 45 просто произносится как «сорок пять».Достаточно легко. А вот со знаменателями немного сложнее. Они используют следующее соглашение:

  • 2 произносится как «половина»

  • 3 произносится как «третий»

  • 4 произносится как «четвертый» (или «четверть»)

  • 5 произносится как «пятый»

  • 6 произносится как «шестой»

  • 7 произносится как «седьмой»

  • 8 произносится как «восьмой»

  • 9 произносится как «девятый»

  • 10 произносится как «десятый» и так далее.

Итак, для дроби, записанной как 1/2, знаменатель 2 произносится как «половина», и поэтому вся дробь равна «половине». Немного менее очевидно: для дроби 45/77 знаменатель 77 произносится как «семьдесят седьмой», поэтому вся дробь равна «сорок пять семьдесят седьмых».

Простой способ запомнить это: за исключением «половина» и «четверть», слова, используемые для описания знаменателя дроби, используются для упорядочивания вещей — например, порядок, в котором бегуны закончить гонку: «третьим», «четвертым», «пятым» и т. д.

Что такое знаменатель?

Теперь давайте подробнее рассмотрим различные части дроби. Во-первых, нижняя часть — знаменатель. Слово «знаменатель» происходит от латинского слова « nomen », что означает «имя» (а также встречается в таких словах, как «номинировать» и «номенклатура»). Именно это и делает знаменатель дроби: он «называет» или указывает тип дроби, описываемый числителем (верхняя часть).

Что говорит вам знаменатель?

Вот что я имею в виду.Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разбито целое. Это может быть целый ананас, целая песня или вообще что угодно. Если знаменатель дроби равен, скажем, 4, то это означает, что все, что угодно, разбито на 4 части одинакового размера.

Или, если знаменатель равен 12, это означает, что все, что угодно, разбито на 12 частей одинакового размера. Но как именно это «называет» тип дроби? Что ж, это подводит нас к значению числителя.

Что такое числитель и что он вам говорит?

Слово числитель происходит от латинского глагола « enumerate », который мы до сих пор используем в английском языке для обозначения «считать». Итак, числитель дроби подсчитывает количество частей одинакового размера (обозначенных знаменателем), содержащихся в дроби.

Как же тогда все это собрать, чтобы понять значение дробей? Вот быстрый и грязный совет: возвращаясь к нашим предыдущим примерам, дробь 1/2 означает «одна часть целого объекта, разделенная на две части одинакового размера.Знаменатель указывает на то, что две части составляют целое, а числитель отсчитывает тот факт, что дробь 1/2 содержит одну из этих частей. Точно так же дробь 45/77 означает «сорок пять частей целого объекта, разделенного на семьдесят семь частей одинакового размера».

Что значит, если числитель больше знаменателя?

Во всех предыдущих примерах числитель всегда был меньше знаменателя. Другими словами, в масштабах 1/2 и 45/77 1 и 45 меньше, чем 2 и 77 соответственно.Но что бы это значило, если бы числитель был больше знаменателя? Что-то вроде 7/4?

Что ж, давайте попробуем интерпретировать это так же, как и раньше. Знаменатель 4 указывает на то, что целое разделено на четыре части одинакового размера, а числитель 7 указывает на то, что таких частей семь. Итак, если четыре части составляют целое, а у нас их семь, то у нас должен быть целый объект плюс еще три части одинакового размера. Таким образом, 7/4 эквивалентно 1 3/4 — также известному как «одна и три четверти» — и теперь мы знаем, что дробь, числитель которой больше знаменателя, представляет собой число, большее единицы.Если вам интересно, этот тип дроби называется «неправильным», тогда как дроби типа 1/2, у которых числитель меньше знаменателя, называются «правильными».

Что значит, если знаменатель меньше единицы?

До сих пор мы говорили только о дробях, знаменатель которых больше единицы. В конце прошлой статьи я задал вопрос-головоломку: «Почему знаменатель дроби не может быть равен нулю?» Чтобы узнать ответ на этот вопрос и посмотреть, как работают дроби со знаменателем меньше единицы, посмотрите выпуск Math Dude Video Extra на прошлой неделе! Эпизод размещен на YouTube и в разделе видео на странице Math Dude в Facebook.

Кто использует дроби?

Короче: Всем! Вы, вероятно, использовали дроби, даже не осознавая этого.

Допустим, ваша бабушка испекла шесть печенек. Она говорит, что вы и ваши двоюродные братья можете взять по одному, а затем просит положить остальные в полиэтиленовый пакет. Это означает, что 3/6 файлов cookie будут съедены, а 3/6 сохранены. После того, как 3 печенья убраны, вы отдаете 1/3 партии одному двоюродному брату, 1/3 другому двоюродному брату и оставляете 1/3 себе. Вы даже не думаете об этом, как об использовании дробей для деления партии, но это то, что происходит!

А как же твоя бабушка? Она использовала дроби, когда пекла печенье.

А как же твоя бабушка? Она использовала дроби, когда пекла печенье. Рецепт мог потребовать одну чашку муки, четверть чашки сахара и два яйца на полную партию печенья. Она хотела сделать только половину порции, поэтому разделила рецепт пополам. Это означает, что она использовала 1/2 стакана муки, 1/8 стакана сахара и одно яйцо, чтобы приготовить тесто для этого совершенно гипотетического (и, вероятно, несъедобного) рецепта.

Позже вы и ваши кузены отправляетесь в торговый центр, чтобы купить новые игры.Вам повезло — в магазине все со скидкой 30%! Это означает, что если вы подсчитаете, что составляет 3/10 от первоначальной цены игры, которую вы хотите, вы можете вычесть это число из исходной цены и выяснить, какой будет ваша сумма со скидкой.

Дроби настолько распространены, что мы относимся к ним как к второй натуре!

Сравнение дробей: поиск общего числителя или знаменателя

«Умение сравнивать и упорядочивать дроби очень важно для развития понимания дробей.» Мэрилин Бернс (О преподавании математики, 2015 г., стр. 430)

«Помощь учащимся в развитии их «чувства дроби» чрезвычайно важно, прежде чем они начнут вычислять дроби и с ними». Джули Макнамара и Меган М. Шонесси
(Помимо пиццы и пирогов, 2015 г., стр. 132)

В этой серии статей я расскажу о пяти различных стратегиях сравнения дробей. В качестве предыстории этой последней стратегии я предлагаю вам вернуться к первому сообщению в блоге и прочитать другие три сообщения в этой серии, в которых описываются первые четыре стратегии.Вы также найдете задания, которые можно загрузить и использовать в классе.

Этот пост содержит партнерские ссылки, что просто означает, что когда вы используете мою ссылку и покупаете продукт, я получаю небольшую комиссию. С вас не взимается дополнительная плата, и я ссылаюсь только на книги и продукты, которые лично использую и рекомендую.

К настоящему времени ваши ученики должны иметь в своем наборе инструментов четыре надежные стратегии сравнения: сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, сравнивать дроби с одинаковыми числителями, сравнивать дроби на единицу дроби от целого и использовать эталон половины.Все эти стратегии основаны на четком понимании дробей. Этот тип понимания развивается только благодаря широкому использованию конкретных материалов, графических изображений и большому количеству отличных математических разговоров! Этих стратегий будет достаточно для обработки многих, но не всех сравнений дробей. Прежде чем продолжить, посмотрите на каждую пару дробей ниже и посмотрите, сможете ли вы определить, какая стратегия будет наиболее полезной для каждого сравнения. Подумайте, как бы вы объяснили свои рассуждения, лежащие в основе каждого сравнения.

Вероятно, вы придумали что-то вроде этого:

  1. В первой паре 5/6 больше, чем 3/4. В них обоих отсутствует одна часть (одна единица дроби от целого), а 1/6 — меньшая часть, чем 1/4, поэтому 5/6 ближе к одному целому. Это делает его больше, чем 3/4.
  2. Во второй паре 3/5 больше 3/8. Я получаю по 3 штуки в обеих дробях, но пятые больше, чем восьмые, поэтому я бы предпочел 3/5.
  3. Я знаю, что 6/8 больше 2/6, потому что 2/6 меньше 1/2, а 6/8 больше 1/2.
  4. В паре 2/6 и 4/6 фигуры одного размера – шестые – так что, конечно, я хочу больше штук. Это означает, что 4/6 больше, чем 2/6.

Решая, какую стратегию использовать, вы, возможно, перебирали стратегии, думая в первую очередь о самых простых стратегиях: одинаковы ли знаменатели? Числители одинаковые? Являются ли они одной долей единицы от целого? Как они связаны с 1/2?

Мы хотим, чтобы наши ученики прошли через этот процесс, сравнивая дроби.Сравнение дробей должно основываться на понимании дробей как чисел, а не на уловках.

Но будут некоторые дроби, с которыми эти первые четыре стратегии не помогут. Попробуйте сравнить 8/12 и 3/4. Хмммм, в отличие от числителей, в отличие от знаменателей, оба больше 1/2, один является единичной дробью от целого, а другой нет. Что мне теперь делать? Здесь в игру вступает понимание эквивалентности. Мы хотим, чтобы учащиеся обратили внимание на взаимосвязь между знаменателями в этом случае и поняли, что четвертые можно переписать в двенадцатые.Как они развивают это понимание? Я думаю, вы знаете мой ответ на этот вопрос — большой опыт работы с манипулятивными элементами, такими как плитки дробей, изучение того, как дроби выглядят и что представляют собой. Довольно сложно смотреть на эти плитки и не видеть, что 3/4 эквивалентно 9/12. А так как 9/12 больше 8/12, это означает, что 3/4 больше 8/12. Вы можете скачать плитки дробей для печати здесь.

Существует также мультипликативная связь между знаменателями –4 и 12.Четырежды три равно двенадцати, поэтому требуется в 3 раза больше двенадцатых, чтобы получить то же количество, что и четвертых. Другими словами, 1/4 равна 3/12. Довольно сложно не заметить эти отношения, глядя на плитки! После достаточного опыта изучения этих отношений с манипуляторами учащиеся легко поймут, почему мы можем умножать числитель и знаменатель на одно и то же число (дробь, эквивалентную 1), чтобы найти эквивалентную дробь. Итак, да, они изучают процедуру нахождения эквивалентных дробей, но она основана на понимании.

Часто упускается из виду, что иногда имеет смысл найти общий числитель, а не общий знаменатель. Возьмем, к примеру, дроби 3/8 и 15/60. Я перебираю первые четыре стратегии, которые в данном случае бесполезны. Затем я ищу взаимосвязь между знаменателями и не нахожу. Поэтому вместо этого я ищу взаимосвязь между числителями и нахожу мультипликативную взаимосвязь между 3 и 15 — я знаю, что 3 x 5 равно 15. Я умножаю 3/8 на 5/5 (вариант 1) и нахожу что 3/8 — это сумма, эквивалентная 15/40.Теперь я вернулся к одной из своих первых стратегий — сравнению дробей с одинаковыми числителями, 15/40 и 15/60. Я знаю, что сороковые больше шестидесятых, поэтому я бы предпочел 15/40, что равно 3/8. Наконец, что, если ни одна из первых четырех стратегий не сработает и между числителем и знаменателем нет мультипликативной связи? Подумайте, например, о сравнении 3/7 и 4/9. В отличие от числителей, в отличие от знаменателей, ни единицы дроби от целого, ни того, ни другого меньше половины, нет мультипликативной связи между числителем или знаменателем.Итак, есть ли у меня , чтобы найти наименьший общий знаменатель (LCD) в этом случае? Или я не могу изменить их оба, чтобы иметь общий числитель ? Когда вы действительно понимаете дроби, возможности безграничны!

Теперь, когда ваши ученики знают все стратегии и попрактиковались в каждой из них, им нужно попрактиковаться в выборе наиболее эффективной стратегии для данной пары дробей. Я создал набор карточек с парами дробей, которые подходят для каждой стратегии, и они станут отличной рабочей станцией.Вам не нужен причудливый лист для записи, чтобы использовать эти карты. Предложите учащимся выбрать карточку и в своем математическом журнале записать правильное сравнение и объяснить, какую стратегию они использовали для сравнения. Помните, что это объяснение, которое вас действительно интересует, чтобы определить, насколько хорошо ваши ученики понимают дроби. Скачать карты можно здесь.

Я считаю необходимым упомянуть одну вещь, завершая эту серию. Чтобы ваши ученики развили чувство дроби, важно, чтобы у вас было концептуальное понимание дробей.Многих из нас не учили глубоко разбираться в дробях. Мы изучили процедуры и приемы, которые не помогли развить концептуальное понимание. Мы обязаны передать что-то лучшее нашим ученикам. Если вы все еще используете приемы на уроках, поставьте личную цель развивать себя в этой области.

Вам также может понравиться…

способов сравнения дробей | Старшие элементарные снимки

Признаюсь, мне не нравилось учить дроби .Это была тема, которую студентов изо всех сил пытались понять , и я был разочарован , когда я следил за книгой. Я поставил перед собой цель больше не чувствовать себя так. Я искал в Интернете и нашел удивительный ресурс, который должен прочитать каждый учитель .

Эта книга буквально изменила то, как я учил дроби. Мне больше не нужно было следовать книге, потому что я понял, как ученики строят свое понимание дробей. Если вы преподаете в 3-5 классах, вам необходимо получить себе копию.

Поговорим о сравнении дробей

Обучение дробям может быть трудным, и учащимся потребуется много возможностей, чтобы объяснить свое мышление. Учащиеся начинают с объяснения своего мышления с помощью рисунков. Их рисунки могут быть в виде моделей площадей или моделей на числовой прямой.

Затем учащимся потребуются другие стратегии, когда они перейдут от концертного понимания к абстрактному пониманию дробей.

Ниже приведены 4 стратегии, которые учащихся могут использовать для объяснения своего мышления при сравнении дробей. Бесплатная загрузка находится внизу этой записи в блоге.

  1. Дроби с одинаковыми числителями
  2. Дроби с одинаковым знаменателем
  3. Использовать эталонный номер 1/2
  4. Использовать эталонный номер 1

1. Дроби с одинаковым числителем 90 010

Когда числители одинаковы, мы знаем, что у нас одинаковое количество штук.

— Пример : 2/3 и 2/6

Каждая фракция относится к двум кускам, но куски имеют разный размер с.Две трети относятся к более крупным частям. Две шестых относятся к более мелким частям.

Две трети больше, потому что это относится к двум большим частям. Учащиеся могут объяснить свое мнение, заявив, что шестые доли меньше, потому что целое было разделено на большее количество частей. Чем больше вы режете целое, тем мельче получаются кусочки.


2. Дроби с одинаковым знаменателем 90 010

Когда знаменатели одинаковы, мы знаем, что говорим о кусках одинакового размера.

— Пример : 1/4 и 3/4

Каждая фракция относится к разному количеству частей, но части имеют одинаковый размер . Одна четвертая относится к одной части. Три четверти относятся к трем частям.

Три четверти больше, потому что в нем больше частей одинакового размера.  


3. Используйте эталон 1/2

Когда у дробей разные числитель или знаменатель, полезно сравнивать дроби с 1/2.

— Пример : 3/6 и 5/8

Каждая фракция относится к различному количеству частей, и части имеют разные размеры. Я знаю, что три шестых это ровно 1/2.

Пять восьмых больше трех шестых, потому что 5/8 больше половины.  Учащиеся могут объяснить свое мнение, заявив, что 4/8 равно половине, поэтому 5/8 больше половины.

4. Используйте тест 1

Вы можете сравнивать дроби, ища дроби, близкие к единице, равные целому числу или ища неправильные дроби.

— Пример : 6/6 и 7/8

Каждая фракция относится к различному количеству частей, и части имеют разные размеры. Я знаю, что 6/6 равно единице. Семь восьмых меньше единицы.

Шесть шестых больше, чем 7/8, потому что 6/6 равно единице.  

— Пример : 3/4 и 5/6

Каждая фракция относится к различному количеству частей, и части имеют разные размеры. Я знаю, что каждой дроби нужна еще одна штука, чтобы равняться единице.Шестые меньше четвертых, поэтому в 5/6 отсутствует меньшая часть, чтобы составить целое.

Пять шестых больше 3/4, потому что ближе к целому.

— Пример : 2/3 и 3/2

Каждая фракция относится к различному количеству частей, и части имеют разные размеры. Я знаю, что 2/3 меньше единицы. Три половины больше, чем одна.

Три половины больше 2/3, потому что 3/2 больше единицы. Учащиеся могут объяснить свое мышление, заявив, что 3/2 эквивалентно полутора.

Бесплатные печатные формы для сравнения дробей для вашего класса



дробей: сравнение и сокращение дробей

Урок 2. Сравнение и сокращение дробей

/ru/фракции/введение-к-фракциям/содержание/

Сравнение дробей

В разделе «Введение в дроби» мы узнали, что дроби — это способ показать часть чего-то.Дроби полезны, поскольку они позволяют нам точно сказать, сколько у нас чего-то есть. Некоторые дроби больше других. Например, что больше: 6/8 пиццы или 7/8 пиццы?

На этом изображении мы видим, что 7/8 больше. Иллюстрация позволяет легко сравнивать эти дроби. Но как бы мы это сделали без картинок?

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как сравнивать дроби.

Как вы видели, если две или более дроби имеют одинаковый знаменатель, вы можете сравнить их, взглянув на их числители.Как вы можете видеть ниже, 3/4 больше, чем 1/4. Чем больше числитель, тем больше дробь.

Сравнение дробей с разными знаменателями

На предыдущей странице мы сравнили дроби, имеющие одинаковые нижних чисел , или знаменателей . Но вы знаете, что дроби могут иметь любых чисел в качестве знаменателя. Что происходит, когда вам нужно сравнить дроби с разными нижними числами?

Например, какой из них больше: 2/3 или 1/5? Трудно сказать, просто глядя на них.В конце концов, 2 больше, чем 1, но знаменатели не совпадают.

Однако, если вы посмотрите на картинку, разница очевидна: 2/3 больше, чем 1/5. С иллюстрацией сравнить эти дроби было легко, но как это сделать без картинки?

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как сравнивать дроби с разными знаменателями.

  • Сравним эти дроби: 5/8 и 4/6.

  • Прежде чем мы их сравним, нам нужно изменить обе дроби, чтобы они имели один и тот же знаменатель или нижнее число.

  • Сначала найдем наименьшее число, которое можно разделить на оба знаменателя. Мы называем это наименьшим общим знаменателем .

  • Наш первый шаг — найти числа, которые можно без остатка разделить на 8.

  • Это легко сделать с помощью таблицы умножения. Все числа в 8-й строке можно разделить на 8 без остатка.

  • Теперь давайте посмотрим на наш второй знаменатель: 6.

  • Мы снова можем воспользоваться таблицей умножения.Все числа в 6-й строке можно разделить на 6 без остатка.

  • Сравним две строки. Похоже, есть несколько чисел, которые можно разделить на 6 и 8 без остатка.

  • 24 — это наименьшее число, которое встречается в обеих строках, поэтому это наименьший общий знаменатель .

  • Теперь мы изменим наши дроби так, чтобы они имели одинаковый знаменатель: 24.

  • Для этого нам нужно изменить числители так же, как мы изменили знаменатели.

  • Давайте еще раз посмотрим на 5/8. Чтобы изменить знаменатель на 24…

  • Давайте снова посмотрим на 5/8. Чтобы изменить знаменатель на 24… нам пришлось умножить 8 на 3.

  • Поскольку мы умножили знаменатель на 3, мы также умножим числитель, или верхнее число, на 3.

  • 5 умножить на 3 равно 15. Таким образом, мы изменили 5/8 на 15/24.

  • Мы можем это сделать, потому что любое число над самим собой равно 1.

  • Итак, когда мы умножаем 5/8 на 3/3…

  • Итак, когда мы умножаем 5/8 на 3/3… мы на самом деле умножаем 5/8 на 1.

  • Поскольку любое число, умноженное на 1, равно самому себе…

  • Поскольку любое число, умноженное на 1, равно самому себе… мы можем сказать, что 5/8 равно 15/24.

  • Теперь проделаем то же самое с другой дробью: 4/6. Мы также изменили его знаменатель на 24.

  • Наш старый знаменатель был равен 6.Чтобы получить 24, мы умножаем 6 на 4.

  • Итак, мы также умножим числитель на 4.

  • 4 умножить на 4 равно 16. Таким образом, 4/6 равно 16/24.

  • Теперь, когда знаменатели совпадают, мы можем сравнить две дроби, взглянув на их числители.

  • 16/24 больше, чем 15/24…

  • 16/24 больше, чем 15/24… поэтому 4/6 больше, чем 5/8.

Восстанавливающие фракции

Какой из них больше: 4/8 или 1/2?

Если бы вы посчитали или просто посмотрели на картинку, то могли бы сказать, что они равны .Другими словами, 4/8 и 1/2 означают одно и то же, хотя и пишутся по-разному.

Если 4/8 означает то же самое, что и 1/2, почему бы просто не назвать его так? Половина легче сказать, чем четыре восьмых , и для большинства людей это также легче понять. В конце концов, когда вы едите с другом, вы делите счет на 90 576 половин 90 577, а не на 90 576 восьмых 90 577.

Если вы запишете 4/8 как 1/2, вы уменьшите . Когда мы уменьшаем на дробь, мы записываем это в более простой форме.Сокращенные дроби всегда равны исходной дроби.

Мы уже уменьшили 4/8 до 1/2. Если вы посмотрите на приведенные ниже примеры, то увидите, что и другие числа можно уменьшить до 1/2. Все эти дроби равны .

5/10 = 1/2

11/22 = 1/2

36/72 = 1/2

Все эти дроби также были приведены к более простой форме.

4/12 = 1/3

14/21 = 2/3

35/50 = 7/10

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как уменьшить дроби на , разделив .

  • Попробуем уменьшить эту дробь: 16/20.

  • Так как числитель и знаменатель четные числа , вы можете разделить их на 2, чтобы уменьшить дробь.

  • Сначала мы разделим числитель на 2. 16 разделить на 2 будет 8.

  • Затем мы разделим знаменатель на 2. 20 разделить на 2 равно 10.

  • Мы’ ve уменьшил 16/20 до 8/10. Мы могли бы также сказать, что 16/20 равно 8/10.

  • Если числитель и знаменатель все еще можно разделить на 2, мы можем продолжить сокращение дроби.

  • 8 разделить на 2 равно 4.

  • 10 разделить на 2 равно 5.

  • Поскольку нет числа, на которое можно разделить 4 и 5, мы не можем уменьшить 4/5 дальше.

  • Это означает, что 4/5 является простейшим формой от 16/20.

  • Попробуем сократить другую дробь: 6/9.

  • Хотя числитель четный, знаменатель нечетное число , поэтому мы не можем уменьшить его делением на 2.

  • Вместо этого нам нужно найти число, на которое можно разделить 6 и 9. Таблица умножения поможет найти это число.

  • Найдем 6 и 9 в той же строке . Как видите, 6 и 9 можно разделить на 1 и 3.

  • Деление на 1 не изменит эти дроби, поэтому мы будем использовать наибольшее число , на которое можно разделить 6 и 9.

  • Это 3. Это называется наибольшим общим делителем или НОД .(Вы также можете назвать это наибольшим общим делителем или GCF .)

  • 3 — это НОД 6 и 9, потому что это наибольшее число, на которое они могут делиться.

  • Итак, мы разделим числитель на 3. 6 разделить на 3 равно 2.

  • Затем мы разделим знаменатель на 3. 9 разделить на 3 равно 3.

  • Теперь мы уменьшено 6/9 до 2/3, что является его простейшей формой. Мы могли бы также сказать, что 6/9 равно 2/3.

Несократимые дроби

Не все дроби можно уменьшить. Некоторые из них уже настолько просты, насколько это возможно. Например, вы не можете уменьшить 1/2, потому что нет другого числа, кроме 1, на которое можно разделить и 1, и 2. (По этой причине вы не можете уменьшить 90 576 любой дроби 90 577, у которой числитель равен 1.)

Некоторые дроби с большими числами также не могут быть сокращены. Например, 17/36 нельзя уменьшить, потому что нет числа, на которое можно разделить и 17, и 36.Если вы не можете найти общих кратных для чисел в дроби, скорее всего, это неприводимое .

Попробуй!

Приведите каждую дробь к простейшей форме.

Смешанные числа и неправильные дроби

На предыдущем уроке вы узнали о смешанных числах . Смешанное число имеет как дробь , так и целое число . Например, 1 2/3. Вы бы прочитали 1 2/3 так: одна и две трети .

Другой способ записи: 5/3, или пять третей . Эти два числа выглядят по-разному, но на самом деле они одинаковы. 5/3 — это неправильных дробей . Это просто означает, что числитель на 90 576 больше 90 577, чем знаменатель.

Бывают случаи, когда вы предпочитаете использовать неправильную дробь вместо смешанного числа. Смешанное число легко превратить в неправильную дробь. Давайте узнаем как:

  • Преобразуем 1 1/4 в неправильную дробь.

  • Во-первых, нам нужно выяснить, сколько частей составляют целое число: 1 в этом примере.

  • Для этого умножим целое число , 1, на знаменатель, 4.

  • 1 умножить на 4 равно 4.

  • Теперь добавим 4 к этому числу числитель 1.

  • 4 плюс 1 равно 5.

  • Знаменатель остается прежним.

  • Наша неправильная дробь — 5/4, или пять четвертых.Таким образом, мы могли бы сказать, что 1 1/4 равно 5/4.

  • Это означает, что в 1 1/4 содержится пять 1/4.

  • Преобразуем другое смешанное число: 2 2/5.

  • Сначала умножим целое число на знаменатель. 2 умножить на 5 равно 10.

  • Далее мы добавим 10 к числителю. 10 плюс 2 равно 12.

  • Как всегда, знаменатель останется прежним.

  • Итак, 2 2/5 равно 12/5.

Попробуйте!

Попробуйте преобразовать эти смешанные числа в неправильные дроби.


Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Неправильные дроби полезны для математических задач, в которых используются дроби, как вы узнаете позже. Однако их сложнее читать и понимать, чем смешанные числа . Например, гораздо легче представить себе 2 4/7, чем 18/7.

Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как преобразовать неправильную дробь в смешанное число.

  • Превратим 10/4 в смешанное число.

  • Любую дробь можно представить как деление задачу . Просто относитесь к линии между числами как к знаку деления (/).

  • Итак, разделим числитель, 10, на знаменатель, 4.

  • 10 разделить на 4 равно 2… остаток от 2.

  • Ответ 2 станет нашим целым числом, потому что 10 можно разделить на 4 дважды .

  • И остаток , 2 станет числителем дроби, потому что у нас осталось 2 части.

  • Знаменатель остается прежним.

  • Итак, 10/4 равно 2 2/4.

  • Возьмем другой пример: 33/3.

  • Разделим числитель 33 на знаменатель 3.

  • 33 разделить на 3…

  • 33 разделить на 3… равно 11 без остатка.

  • Ответ 11 станет нашим целым числом.

  • Остатка нет, поэтому мы видим, что наша неправильная дробь на самом деле была целым числом. 33/3 равно 11.

Попробуйте!

Попробуйте преобразовать эти неправильные дроби в смешанные числа.

/ru/фракции/сложение-вычитание-фракций/содержание/

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.