Докажи, что ты умнее второклассника, раскусив хитрый пример
Бывает, что самым сложным неожиданно оказывается самое простое. И мы сейчас говорим не о рецепте человеческого счастья и тайнах атомных ядер. Возьмем порядок действий в примерах. Его проходят в начальных классах средней школы и по идее должны помнить всю жизнь.
Но тем не менее миллионы людей в Сети снова и снова ломают копья вокруг довольно незатейливых математических выражений. Причем удивительное разнообразие ответов ставит под сомнение сам статус математики, как царицы точных наук. Предлагаем и тебе возможность проверить себя, назвать верный ответ и освежить в памяти подзабытые знания из старых школьных учебников.
Порядок действий в примерах
Увидев предлагаемый пример в Facebook*, я, честно говоря, растерялся. Почти 8 миллионов комментариев под задачкой на три действия? О чём тут спорить? Это же математика!
Однако реальность часто превосходит даже самые смелые фантазии.
А ответы пользователей соцсети просто ставят в тупик. Рассмотрим самые распространенные, сохраняя логику и написание их авторов.
«Я думаю, что все комментирующие хотя бы доучились до 4 класса. Спасибо, я проходил. 1 0 − 1 0 х 1 0 + 1 0 = 0 х 10 + 10 = 0 + 10 = 10»
© Depositphotos
«Хороший ответ 10», — утверждает один из комментаторов. Согласны, в нумерологии 10 – хорошее число, обещающее удачу и счастье. Вот только подходит ли 10 на роль правильного ответа?
Прокручиваем ленту дальше. «Это очень просто. Чтобы решить проблему, мы делаем (10-10) × (10 + 10) = 0 × 20 = 0, тогда как любое число × на 0 = 0. Результат — 0!»
«По правилам в первую очередь 10 х 10 = 100. 10 минус 100 т.к. 100 больше = 90 и 90 + 10 = 100». Хм… С первой частью сложно не согласиться, но потом логика машет нам ручкой и полностью теряется из виду. А мы продолжаем дальше.
Опытные пользователи пошли особенным путем и спросили совета у Калькулятора Google.
Умная программа сразу заключила 10 х 10 в скобки и выдала ответ «-80».
Что говорят правила?
Порядок вычисления выражений определяется двумя простыми правилами. Во-первых, при отсутствии скобок действия выполняются по порядку слева направо. Во-вторых, сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.
© Depositphotos
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются действия в скобках, следом в установленном порядке умножение и деление, затем сложение и вычитание. В этом примере нет скобок, но есть вычитание, умножение и сложение. Помня о приоритете умножения, начнем с него.
10 – 10 x 10 + 10 = 10 – 100 + 10
Теперь всё, что осталось, — это сложение и вычитание, которые выполняем слева направо. Вычитание стоит первым, когда мы смотрим на уравнение слева направо, поэтому сначала вычитаем.
10 – 10 x 10 + 10 = 10 – 100 + 10 = -90 + 10
Наконец, последний шаг — сложение.
10 – 10 x 10 + 10 = 10 – 100 + 10 = -90 + 10 = -80
Ответ: -80.
А какой результат получился у тебя? Возможно, мы где-то просчитались и допустили ошибку? Выскажи свое мнение на этот счет.
© Depositphotos
Напомним, что не так давно настоящий переполох в Интернете вызвал еще один пример: 8 / 2 (2 + 2) = ? Одни пользователи уверяют, что в итоге должно получиться шестнадцать. Другие же правильным ответом считают единицу. И те и другие приводят свои доводы. Но кто из них прав?
Tags: takprostoВдохновениеДействияЛогикаМатематикаПравилаПримеры
Порядок выполнения действий, 5-й класс
Тип урока: урок повторения и закрепления материала.
Цели урока.
Образовательные:
- повторить и закрепить правила, определяющие порядок выполнения действий первой и второй ступени, схему и программу выполнения действий;
- распределительный закон умножения.
Развивающие:
- развитие умений записывать выражения по
программе вычислений, выполнять действия по
схеме.
- развитие самостоятельности мышления: выражать своё мнение, выделять главное, делать выводы.
- развитие личностного саморазвития учащихся.
- развитие умений и навыков вычислительного характера.
Воспитательные:
- воспитание культуры общения, усидчивости, внимания и трудолюбия.
- формирование самостоятельности и активности, гуманных отношений на уроке.
Оборудование:
МКТ, карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока.
- Организационный момент. (2 мин.)
- Актуализация знаний. (12 мин.)
- Использование знаний в стандартной ситуации. (10 мин.)
- Математический диктант. (5 мин.)
- Самостоятельная работа с последующей
проверкой. (12 мин.)
- Постановка домашнего задания. (1 мин.)
- Подведение итогов. (3 мин.)
(12 мин.)Ход урока
1. Организационный момент.
Проверяется готовность класса, учащихся к уроку. Учитель отмечает отсутствующих и объявляет цели урока.
2. Актуализация знаний.
Учитель проверяет домашнее задание учащихся. Одного из учеников приглашает к доске для решения № 646 из домашнего задания.
Предполагаемая запись ученика на доске:
Решение:
(1215 + 1387) – 64 • 29 = 746.
- Сложить числа 1215 и 1387.
- Перемножить числа 64 и 29.
- Вычесть из результата команды 1 результат команды 2.
Остальные учащиеся в это время выполняют
устные упражнения. (На экране появляются задания
с помощью МКТ).
- Вместо квадратиков подставьте такие числа, кроме 1, чтобы равенства оказались верными.
| а) __• х • 7 = 42х | 6 |
| б) __ • 4 • ? в = 60в | 3; 5 |
- Вычислите:
| а) 63 • 49 + 49 • 137 | 9800 |
| б) 348 • 25 – 148 • 25 | 5000 |
Учитель предлагает прокомментировать решения.
Предполагаемые ответы учащихся:
- Выполним умножение чисел 63 и 49.
- Умножим число 49 на 137.
- Результат команды 1 сложим с результатом команды 2.
Учитель. Ученик.
Аналогично решается задание б).
Учитель дает несколько минут времени для повторения опорных знаний. Учащиеся работают в парах. Затем учитель вызывает к доске двух учеников.
Ученик 1. Какие действия относятся к действиям первой ступени?
Ученик 2. Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени.
Ученик 1. Какие действия относятся к действиям второй ступени?
Ученик 2. Умножение и деление чисел
называют действиями второй ступени.
Ученик 1. В каком порядке выполняют действия , если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок?
Ученик 2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени, и в нём нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а затем – действия первой ступени.
Ученик 1. В каком порядке выполняют действия в выражениях без скобок, если в него входят действия одной и той же ступени?
Ученик 2. Если в выражении нет скобок, и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют слева направо.
Ученик 1. В каком порядке выполняют действия в выражениях, где содержатся скобки?
Ученик 2. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2 ).
Учитель вызывает к доске другую пару.
Как задать программу вычислений выражения: (814 + 36 • 27) : ( 101 – 2052 : 38)?
Запишем следующие команды:
- Перемножим числа 36 и 27.
- Сложим 814 с результатом команды 1.
- Разделим 2052 на 38.
- Вычитаем из 101 результат команды 3.
- Разделим результат команды 2 на результат команды 4.
Учитель предлагает рецензировать ответы учащихся, а затем дает задание одному из учеников для составления схемы вычисления и нахождения значения выражения.
Предполагаемая запись ученика на доске:
Учитель. Какие выводы можно сделать из ответов учащихся?
Ученик.
3. Использование знаний в стандартной ситуации.
Учитель предлагает сначала задания для
устного решения по цепочке №№ 634 (в, г), 635, 637, 638 (б,
г), а затем дает задание всему классу решить
письменно №№ 632(а), 631.
№ 631.
По заданной схеме запишите выражение и выполните действия.
№ 632 (а).
Составьте схему вычисления и найдите значение выражения.
а) 86 • 12 : 8 + 1414 : 14 = 230.
Одновременно у доски двое учащихся выполняют №№ 629, 630.
Физкультминутка.
Математический диктант.
Запишите числовое выражение и найдите его значение:
- Разность семидесяти и двадцати девяти, увеличенная на одиннадцать.
- Частное шестидесяти и пяти, увеличенное вдвое.
- Из пятидесяти вычесть сумму двадцати четырех и девяти.
- Какое действие выполняется последним при нахождении значения выражения 79 – 27 + 13 – 9 + 11?
- Какое действие выполняется первым при нахождении значения выражения 85 + (42 – 18) – 15?
Верно ли высказывание:
- Сложение и вычитание называют действиями
второй ступени.
- В выражении (78 + 94) – 137 скобки можно не писать, так как при этом порядок действий не изменится.
- В выражении (175 – 100) : 25 скобки можно не писать, так как при этом порядок действий не изменится.
IV. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
Вариант 1.
Найдите значение выражения, применяя распределительный закон умножения:
| а) 143 • 24 + 24 • 157 | 7200 |
| б) 36 • 248 – 148 • 36 | 3600 |
Решите уравнение:
а) 37у = 444;
б) 300 – 6к = 48;
в) (с – 8) • 12 = 132;
Запишите программу вычислений выражения (6944 : 32 – 183) • (79 + 47), составьте схему вычисления и найдите его значение.
Вариант 2.
Найдите значение выражения, применяя распределительный закон умножения:
| а) 746 • 58 – 58 • 546 | 11600 |
| б) 43 • 27 + 35 • 27 – 58 • 27 | 540 |
Решите уравнение:
а) у : 17 = 34;
б) 7с + с – 12 = 28;
в) 243 – (к + 83) = 112;
г) 232: в + 21 = 50.
Запишите программу вычислений выражения (1833: 47 + 467)• 57 — 47• 307, составьте схему вычисления и найдите его значение.
Вариант 3
Найдите значение выражения, применяя распределительный закон умножения:
| а) 367 • 287 + 287 • 133 | 143500 |
| б) 56 • 49 + 227 • 49 – 283 • 49; | 0 |
Решите уравнение:
а) 416 : к + 24 = 50;
б) 42у – 28у + 180 = 600.
Угадайте корень уравнения у + у – 35 = у + 20.
Запишите программу вычислений выражения 378 • 305 – 8208 : (44 • 506 – 22188), составьте схему вычисления и найдите его значение.
Учитель с помощью МКТ высвечивает на экране ответы каждого задания. Учащиеся карандашом исправляют свои ошибки и ставят себе оценку.
V. Постановка домашнего задания.
Учитель. Повторить п.15, решить №№ 644, 647 ( в, г, е ), 649.
Составить кроссворд по теме: “Умножение и деление натуральных чисел” (это задание выполняют только желающие).
Подведение итогов.
Учитель предлагает учащимся оценить ответы тех учеников, которые были самыми активными на уроке. Затем вместе с учащимися подводит итог урока.
Объяснение для родителей, учителей и детей
PEMDAS появляется в начальной и средней школе и является популярной аббревиатурой, используемой для того, чтобы помочь учащимся запомнить порядок операций.
В этой статье мы объясним, что означает PEMDAS, предоставим вам рабочие примеры и практические вопросы, чтобы помочь вашим ученикам в классе.
Что такое PEMDAS?
PEMDAS — известная аббревиатура, используемая для того, чтобы помочь учащимся запомнить порядок операций.
PEMDAS означает:
- Скобки
- Экспоненты
- Умножение
- Подразделение
- Дополнение
- Вычитание
Что такое правило PEMDAS?
Правило PEMDAS сообщает учащимся, как решать математические задачи с несколькими операциями и в каком порядке их следует выполнять, чтобы получить правильный ответ.
Важно отметить, что обратные операции умножения и деления, а также сложения и вычитания в этом списке взаимозаменяемы и выполняются слева направо по мере их появления в выражении.
Во избежание путаницы некоторые учителя предпочитают отображать PEMDAS, как показано ниже, с M/D (для умножения и деления) и A/S (для сложения и вычитания) на одном уровне:
| P | Сложниц: () [] {} |
| E | Экспоненты: 2 2 4 3 |
| M/D | правильно |
| A/S | Сложение и вычитание: + – слева направо |
В чем разница между PEMDAS и DMABODMAS?
PEMDAS, BODMAS и BIDMAS — это аббревиатуры, которые служат одной цели — помочь учащимся запомнить порядок операций при решении математических уравнений с несколькими операциями.
Эти сокращения различаются в зависимости от того, где они используются.
Например, PEMDAS обычно используется математиками в США, а BODMAS и BIDMAS обычно используются в Великобритании. Канада и Новая Зеландия часто используют BEDMAS. Выделенные термины в таблице ниже показывают, чем они отличаются.
Обратите внимание, что термины «круглые скобки» и «квадратные скобки», а также термины «показатели степени», «порядки» и «индексы» относятся к одним и тем же понятиям.
| PEMDAS | BODMAS | BIDMAS |
| Parentheses Exponents Multiplication Division Addition Subtraction | Brackets Orders Division Multiplication Addition Subtraction | Brackets Indices Division Multiplication Addition Subtraction |
Посмотрите, как порядок операций разбит на простые шаги в нашей программе индивидуального обучения Third Space Learning.Почему PEMDAS важен?
PEMDAS важен, потому что важен порядок операций! Порядок операций — это набор правил для решения математических уравнений и выражений с несколькими операциями. Этот набор правил гарантирует, что все математические уравнения решаются одинаково. Если уравнения решать просто в том порядке, в котором они появляются, вы можете получить неправильный ответ.
Учащиеся могут обращаться к правилам PEMDAS для решения уравнений или вычисления выражений в правильном и последовательном пошаговом процессе. PEMDAS важен, потому что он позволяет учащимся запомнить этот набор правил в правильном порядке.
Как вы помните PEMDAS?
PEMDAS может быть запоминающимся для многих, но некоторые учащиеся могут предпочесть мнемоническое устройство, которое поможет им легко вспомнить каждую букву PEMDAS. Наиболее распространенным является «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
Некоторые учителя предлагают своим ученикам придумать свое собственное мнемоническое устройство для PEMDAS, которое может мотивировать учащихся легче запомнить аббревиатуру. Студенты могут придумать глупые мнемоники, такие как Purple Elephants March Down A Street 9.0064 .
Когда дети узнают о PEMDAS в школе?
PEMDAS и порядок работы чаще всего преподаются в 5-м и 6-м классах по всей стране в школах, соответствующих Common Core и другим стандартам.
Это закладывает прочную основу для изучения учащимися более сложных математических понятий, включающих алгебраические выражения, в средней и старшей школе. Эти более сложные уравнения и выражения могут включать квадратные корни, десятичные числа, переменные, целые числа и т. д., но правила PEMDAS и порядок арифметических операций останутся неизменными.
PEMDAS в 5-м классе
PEMDAS и порядок операций впервые появляются в Common Core Standards в 5-м классе в разделе «Операции и алгебраическое мышление».
- 5.OA.A.1 Используйте круглые и фигурные скобки в числовых выражениях и вычисляйте выражения с этими символами.
- 5.OA.A.2 Напишите простые выражения, которые записывают вычисления с числами, и интерпретируйте числовые выражения без их вычисления.
Учащиеся должны уметь оценивать выражения, содержащие круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] или фигурные скобки { }, а также понимать, как определить, в каком порядке следует оценивать каждую часть выражения. У учащихся может возникнуть соблазн пройтись по выражению слева направо, но PEMDAS поможет им не забывать этого делать.
Учащиеся также должны уметь представлять математические выражения в письменной форме. Используемая ими формулировка должна передавать порядок, в котором должны оцениваться части выражения.
Например, мы можем описать выражение 3 x (5 + 2) как «, умноженное на три суммы пяти и двух. » Если бы мы описали это как «трижды пять плюс два», это не передало бы того факта, что сложение (которое находится в скобках) нужно выполнить перед умножением.
PEMDAS для 6-го класса
PEMDAS для 6-го класса находится в домене выражений и уравнений. Понимание учащимися порядка операций расширяется по мере того, как они работают с более сложными числовыми выражениями, включающими переменные, которые представляют собой букву, используемую в качестве неизвестного числа в выражении (например, 4 + x = 7).
Учащиеся должны хорошо понимать порядок операций при переходе к более сложному содержанию. Учащиеся и преподаватели будут использовать PEMDAS при соблюдении этих стандартов более высокого уровня, чтобы подтвердить свои знания о порядке операций.
- 6.EE.A.1 Напишите и оцените числовые выражения, включающие целые числа.
- 6.EE.A.2 Напишите, прочитайте и оцените выражения, в которых буквы обозначают числа.
- 6.EE.A.3 Применение свойств операций для создания эквивалентных выражений.
- 6.EE.A.4 Определите, когда два выражения эквивалентны.
Примечание.
В стандарте 6.EE.A.2 есть несколько подстандартов, включающих числовые выражения, которые также требуют понимания учащимися порядка операций.
Рабочие примеры PEMDAS
Рабочие примеры PEMDAS для 5-го класса
Вопрос 1: 6 x 4 + 8 ÷ 2
Шаг 1: В этом примере мы видим сложение, деление и умножение, в этой последовательности. Согласно PEMDAS, нам нужно выполнить любое умножение или деление слева направо, как они появляются, перед любым сложением или вычитанием.
После выполнения умножения у нас осталось 24 + 8 ÷ 2
Шаг 2: Теперь, когда у нас осталось сложение и деление, мы сначала выполняем деление.
После деления у нас осталось 24 + 16
Ответ: 24 + 16 = 40
Вопрос 2: (8 + 5) — 3 x 2 2
Шаг 1: в В этом примере мы видим операции сложения, вычитания и умножения именно в таком порядке, но у нас также есть набор скобок и показатель степени.
Следуя PEMDAS, нам нужно сначала выполнить что-либо в скобках, а затем вычислить показатели степени, прежде чем переходить к операциям.
После вычисления в скобках у нас осталось 13 – 3 x 2 2
Шаг 2: Теперь переходим к показателю степени.
После вычисления значения степени у нас осталось 13 – 3 x 4
Шаг 3: В нашем выражении осталось умножение и вычитание, поэтому нам нужно выполнить умножение перед вычитанием. Здесь вы чаще всего обнаружите, что студенты делают ошибку. Сначала они захотят выполнить вычитание (13 — 3 = 10), а затем умножение (10 x 4 = 40), но это даст им неверный ответ 40.
После первого умножения у нас останется 13 – 12.
Ответ: 13 – 12 = 1
Вопрос 3: 5 x [3 + (3 2 – 8)]
2 Часто, по мере того как пятиклассники становятся более опытными в этом содержании, они сталкиваются с более сложными выражениями, включающими больше группирующих символов.
Вместо круглых скобок они также могут видеть квадратные скобки [ ] и фигурные скобки { }. Их всегда следует выполнять, начиная с самого внутреннего символа группировки, которым должны быть круглые скобки.Шаг 1: Мы переключаем наше внимание на самый внутренний символ группировки, круглые скобки. Внутри скобок мы видим показатель степени, а также вычитание. Сначала нам нужно вычислить значение показателя степени.
После вычисления значения показателя степени у нас осталось 5 x [3 + (9 – 8)]
Шаг 2: Теперь, когда мы вычислили показатель степени, мы выполняем операцию в скобках, которая вычитание.
После вычитания у нас осталось 5 х [3 + 1]
(Обратите внимание, что я удалил круглые скобки, так как в них осталось только одно число.)
Шаг 3: Теперь, когда мы вычислили внутреннюю часть скобок, мы переходим к следующему символу группировки, который это скобки. Мы рассматриваем их так же, как круглые скобки, поэтому нам нужно выполнить сложение внутри них, прежде чем мы сможем выполнить умножение в нашем выражении.
После выполнения сложения в скобках у нас осталось 5 х 4
Ответ: 5 x 4 = 20
Рабочие примеры PEMDAS для 6-го класса
В 6-м классе учащиеся используют ту же концепцию PEMDAS и порядок операций, но они имеют дополнительный уровень сложности по мере их введения к переменным, которые представляют собой буквы, используемые вместо неизвестных чисел.
Вопрос 1: 6 x y 2 если y = 3
Шаг 1: Первое, что нам нужно сделать, чтобы найти значение этого выражения, это заменить нашу переменную ее значением. В этом примере нам дано значение нашей переменной y, равное 3,9.0005
После замены нашей переменной у нас останется 6 x 3 2
Шаг 2: Далее мы следуем правилу PEMDAS для вычисления показателей степени перед любыми операциями.
После того, как мы вычислим показатель степени, у нас останется 6 x 9
Ответ: 6 x 9 = 54
Вопрос 2: 3n + 8 x (4y – 3), если n = 2 и y = 1
В 6-м классе учащиеся также знакомятся с новым способом чтения и записи умножения.
Когда они узнают о переменных, они также узнают, что такой термин, как 3n, представляет умножение. Число 3 и переменная рядом с ним предназначены для умножения. Точно так же, если учащиеся видят число рядом со скобкой, например 2 (4), это также представляет собой умножение, поэтому этот пример будет равен 8.
Шаг 1: Во-первых, нам нужно ввести значения наших переменных.
Поскольку n = 2 и y = 1, наше выражение принимает вид 3(2) + 8 x (4 x 1 – 3)
Шаг 2: Теперь давайте поработаем с нашими группирующими символами. Член 4y стал 4 x 1, что, как мы знаем, равно 4. Таким образом, у нас осталось 4 – 3 в скобках, что равно 1.
3(2) + 8 x (1)
Шаг 3: Теперь нам остается умножение, сложение и умножение именно в таком порядке. Если вокруг одного числа (в данном примере 1) оставлены круглые скобки, оно не имеет значения, если только оно не находится непосредственно рядом с другим числом, как мы видим 3(2).
Как упоминалось выше, это означает умножение.
Давайте выполним умножение, которое идет первым слева направо, чтобы соответствовать нашему правилу PEMDAS.
У нас осталось 6 + 8 x (1)
Шаг 4: Теперь, когда у нас осталось сложение и умножение, мы можем выполнить другую часть умножения.
Осталось 6 + 8
Ответ: 6 + 8 = 14
Практические вопросы PEMDAS
Ниже мы включили вопросы PEMDAS, подходящие для учащихся 5-х и 6-х классов, включая ответы.
Вопросы PEMDAS для 5 класса:
7 + 3 x 4 ÷ 2
Ответ: 13
8 x (12 – 9) + 4 ÷ 2 7 – 4)
Ответ: 57
9 x [18 – (2 x 3)] ÷ 4
Ответ: 27
5 3 – [3 x (1 + 2)]
0 2 Ответ: 44Вопросы PEMDAS для 6-го класса:
5x – 4 2 если x = 8
Ответ: 24
4(9 – 2 2 ) x 3y если y = 4
Ответ: 240
Какой показатель делает уравнение верным?
(9 – 6) 3 + _______ = 43
Ответ: 4 2
Какое число делает неравенство верным?
7 + [(4 – 2) x 2] 3 > 6 + [(13 – 9) x _____] 2
а) 3 б) 2 в) 4 г) 5
: 90 Ответ ) 2
Напишите <, > или =, чтобы числовое выражение стало верным.
3(8 – 3) + 5 2 ____ 5[2 + 3] + 4 2
Ответ: <
Часто задаваемые вопросы о PEMDAS
Что означает PEMDAS?
PEMDAS расшифровывается как Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
Вы сначала умножаете или делите при использовании PEMDAS?
Умножение и деление выполняются слева направо. Например, в следующем выражении 6 x 2 ÷ 3 x 4 мы должны выполнить умножение, затем деление, затем умножение.
Как вы помните PEMDAS?
Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли.
Почему PEMDAS важен?
PEMDAS — важная аббревиатура, используемая для того, чтобы помочь учащимся запомнить правила порядка операций. Это предотвращает разные ответы для одних и тех же математических уравнений.
Как правильно: BODMAS или PEMDAS?
И BODMAS, и PEMDAS верны и используются в разных регионах мира. BODMAS распространен в Великобритании, а PEMDAS используется в США. BODMAS означает скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.
Что такое GEMS?
GEMS расшифровывается как группировка, экспоненты, умножение или деление, вычитание или сложение. Группировка относится ко всем символам группировки — скобкам, фигурным скобкам, фигурным скобкам и т. д. GEMS — это новая аббревиатура, которая была введена вместо PEMDAS. Их можно использовать взаимозаменяемо.
Порядок операций | PEMDAS, BODMAS
Вы когда-нибудь задумывались о том, что раздражает Решите, если вы гений или 90% поймут это неправильно головоломок, которые наводняют ваши страницы Facebook и LinkedIn?
Часто на одном и том же изображении Эйнштейн смотрит на вас в замешательстве и недоумевает, почему его втягивают в эту легкомысленную гонку за господство в социальных сетях.
Большинство этих «гениальных» головоломок представляют собой простые математические задачи, которые вы чувствуете себя обязанными решать и делиться ими только потому, что 5 ваших друзей сделали то же самое.
Помимо небольшого удовольствия от их взлома, есть еще кое-что.
Некоторые из концепций являются строительными блоками, на основе которых разрабатываются более сложные задачи в тестах способностей, таких как GMAT, GRE, CAT и т. д. Самым основным правилом среди них является порядок операций.
Основными математическими операциями, как всем известно, являются сложение, вычитание, умножение и деление.
В алгебре эти операции используются с числами или буквами или их комбинацией.
Число, переменная или число, умноженное на переменную, называется термином.
Комбинация таких терминов с операторами приводит к «выражению».
Например: В 2a+b, 2a и b называются термами, а 2a+b называются выражением.
Некоторые типичные примеры алгебраических выражений выглядят следующим образом: 3) x+2(4x-5)+3(2(x+6))
Определение: Порядок операций определяется как последовательность, в которой операции выполняются над данным математическим выражением.
Вы когда-нибудь задумывались, почему мы должны следовать определенной последовательности при вычислениях?
Почему важен порядок операций?
Рассмотрим выражение: 2+3(8-4)-6/3
Какой из этих способов является правильным?
Метод 1:
2+3 (8-4) -6/3 → 5 ( 8-4 ) -6/3 → 5 (4) -6/3 → 20 -6 /3 → 14/3 → 4,6666
Метод 2:
2+3 ( 8-4 ) -6/3 → 2+ 3 (4) -6/3 → 2+12 -6/3 → 14- 6 /3 → 8/3 → 2,6666
Метод 3:
2+ 3 ( 8-4 ) -6/3 → 2+ 3 (4) — 6/3 → 2 +12-2 → 12
Каждое выражение можно вычислить несколькими способами и получить более одного ответа. Конечно, не каждый ответ правильный. Вот где и почему мы должны применить «порядок действий».
Правила порядка операций
Орден операций для любого данного выражения регулируется следующим правилом:
P Arentheses → E xponent → D IVision → M ultipcation → D → M → D → M → D → M → D добавление → S вычитание
ИЛИ
B ракетки → O ракетки → D ivision → M умножение → A дополнение → S вычитание
Согласно системе обучения США, это «PEDMAS» (некоторые помнят его и как «PEMDAS»).
Согласно системе обучения Великобритании, это «BODMAS».
- Скобки или квадратные скобки всегда первыми разрешаются в данном выражении и оцениваются, начиная с самых внутренних.
- Экспоненты или заказы имеют следующий приоритет.
- Деление и умножение являются следующими и считаются находящимися на одном уровне приоритета.
- Сложение и вычитание являются последними и рассматриваются как находящиеся на одном уровне приоритета.
Когда обнаруживаются операторы одного уровня приоритета, как правило, мы работаем слева направо.
Порядок действий Примеры
Нет ничего лучше, чем несколько смехотворно простых примеров для большей ясности.
1. Круглые скобки всегда разрешаются в данном выражении первыми и оцениваются, начиная с самых внутренних.
Рассмотрим такое выражение:
4(2+(7(5-3)))
Здесь самые внутренние скобки имеют (5-3).
Это первое, что нужно оценить.
4(2+(7(2)))
Затем идет 7(2) в скобках
4(2+14)
Далее в скобках 2+14
4(16 )
Результат: 64
2. Экспоненты или заказы имеют следующий приоритет.
Рассмотрим такое выражение
5(2 2 +3)+(2 3 ) 2
Выражение в скобках равно 2 2 +3 (начиная слева направо). Следуя PEDMAS, нам нужно сначала оценить показатель степени, прежде чем выполнять сложение, что приводит к (4 + 3).
Здесь важно отметить, что 2 2 +3 отличается от (2+3) 2 .
Теперь наше выражение выглядит так:
5(4+3)+(2 3 ) 2
Далее мы видим (4+3) в скобках.
5(7)+(2 3 ) 2
Прежде чем выполнять дальнейшую операцию, необходимо оценить показатель степени.
5(7)+8 2
5(7)+64
Далее следует умножение.
35+64
И, наконец, дополнение.
Результат: 99
3. Деление и умножение являются следующими и считаются на одном уровне приоритета.
Рассмотрим выражение
6*2+5*1+4/2-1
Применяя эмпирическое правило слева направо,
6*2 + 5*1 + 4/2 -1
результаты в
12+5+2-1
2 , осталось сложить/вычесть
18 наш ответ.
Обратите внимание, что выполнение сложения/вычитания до выполнения любого умножения/деления приведет к неправильному ответу.
4. Сложение и вычитание являются последними и считаются находящимися на одном уровне приоритета.
Рассмотрим выражение:
1+(2(4-3+1)+7)-2
Сначала вычисляем скобки,
1+(2(2)+7)-2
Далее a умножение
1+(4+7)-2
Вычисление выражения в скобках.
1+11-2
Наконец, сложение/вычитание.
Наш ответ: 10.
Иногда операции, выполняемые в любом порядке, давали одинаковый результат.
Например, в приведенном выше примере вычисление 1+(4+7)-2 даст один и тот же результат при выполнении в любом порядке.
Однако при выполнении операции справа налево важно отметить знак «-» перед цифрой 2, забывание которого приводит к ошибочному ответу.
Примеры порядка операций
Пример 1: 2+3(8-4)-6/3
Применение PEDMAS слева направо, сначала скобки
2+3(4)- 6/3
Здесь нет экспонентов. Выполнение умножения/деления
2+12-2
И, наконец, сложение
12 — это результат.
Пример 2: 10+7(3-1)*8/2 2 -1
Слева направо, круглые скобки — первое
10+7(2)* 2 -1
Далее нужно вычислить показатель степени
10+14*8/4-1
Далее идет умножение/деление
10+28-1
Последнее сложение/вычитание
37 — это результат.
Пример 3: x+2(4x-5)+3(2(x+6))
Сначала работа с самыми внутренними скобками, а затем с внешними,
x+2(4x-5)+3(2x+12)
Нет показателей и делений.