Что такое сочетательное свойство: Сочетательное свойство сложения – примеры

Содержание

Cочетательное свойство умножения. Cочетательное свойство сложения и умножения.

Альфашкола
Статьи
Сочетательное свойство умножения

Сочетальное свойство умножение помогает при решении примеров, то есть упрощает вычисление.

Запишем это свойство:

\((a*b)*c=a*(b*c)\)

То есть данное свойство предоставляет право выбора выполнения действия при умножении, то есть позволяет выбирать более легкий способ решения.

Пример 1. Вычислите

\(25*(4*237)\)
\(125*(8*89)\)
\(20*(5*543)\)

Решение:

\(25*(4*237)=(25*4)*237=100*237=23\;700\)
\(125*(8*89)=(125*8)*89=1000*89=89\:000\)
\(20*(5*543)\)\(=(20*5)*543=100*543=54\;300\)

Данное свойсвто можно применять разложив один из множителей на множители.

Пример 2. Вычислите

\(25*48\)
\(125*72\)
\(20*55\)

Решение:

\(25*48=25*4*12=100*12=1\;200\)
\(125*72=125*8*9=1\;000*9=9\;000\)
\(20*55=20*5*11=100*11=1\;100\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Вероника Сергеевна Роствинская

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Нижегородский Государственный Технический университет имени Р. Е. Алексеева

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по химии для 7-11 классов. Подготовка к ОГЭ. Весь мир строится на химии! Она не просто вокруг нас — она опора общества. Я научу тебя мыслить логически, а заодно и подтянем химию. Вовлекаю в предмет, используя простые аналогии с жизненными примерами. На семинарах учу искать пути решения задач дедуктивно. Для эффективности усвоения материала, использую наглядные средства- макеты, схемы, иллюстрации. Мои ученики повышают успеваемость по химии в среднем на 2 балла. Работаю с учениками 7-11 классов, подготавливаю к ОГЭ и помогаю разобраться в школьном курсе. Для меня важно, чтобы ученик увлекся таким замечательным предметом, как химия. Помогу прочувствовать все особенности дисциплины и научу учиться, а не зубрить.

На уроках только доброжелательная и уважительная атмосфера, комфортная психологическая среда.

Виктория Григорьевна Рагузина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Самарская государственная академия. / Столичный учебный центр

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 2-9 классов, подготавливаю к ОГЭ. Математика есть прообраз красоты мира! Люблю математику и люблю учить так, чтобы был результат. С терпением отношусь к тем, кому математика дается не просто. Как репетитор использую новые методики, разные учебники и пособия, предлагаю дополнительные материалы и компьютерные технологии

Оксана Александровна Латтеган

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Новосибирский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-7 классов. Применяю различные методы работы, учитываю индивидуальные особенности учащихся, делаю упор на повышение уровня качества знаний. Работаю на результат — чтобы ученики поняли и усвоили. С удовольствием провожу занятия , в каждом ученике вижу личность, помогаю понять и полюбить математику.

Сочетательное свойство вычитания.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел . В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони — 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы . Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b и c – произвольные натуральные числа.

Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .

Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.

Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .

Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a .

Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a .

Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу . Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a , где a – произвольное натуральное число.

Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a .

Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю

. То есть, 0+0=0 .

Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Тема, которой посвящен этот урок, — «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.

Урок: Свойства сложения

Внимательно посмотрите на выражение:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?

Если мы перегруппируем числа по-другому:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.

Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.

В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?

Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.

Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.

6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)

Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Мы видим, что значение выражения осталось прежним.

Потренируемся еще на одном примере.

(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значение нашего выражения осталось таким же.

Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.

Теперь сумму 14 и 6.

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

Сделай дома

1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Вычислите результаты выражений:

а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1

3. Вычислите сумму удобным способом:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого — еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел — это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .

Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Сочетательное свойство умножения Конспект урока

Сочетательное свойство умножения

Цели: познакомить учащихся с сочетательным свойством умножения; научить пользоваться сочетательным свойством умножения при анализе числовых выражений; повторить свойства сложения и переместительное свойство умножения; совершенствовать вычислительные навыки; развивать умение анализировать, рассуждать.

Предметные результаты:

познакомиться с сочетательным свойством умножения, формировать представления о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.

Метапредметные результаты:

Регулятивные: планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей, принимать и сохранять учебную задачу.

Познавательные: использовать знаково-символические средства, модели и схемы для решения задач, ориентироваться на разнообразие способов решения задач; устанавливать аналогии.

Коммуникативные: строить речевые высказывания в устной и письменной форме, формировать собственное мнение, задавать и отвечать на вопросы, доказывая правильность своего мнения.

Личностные: развивать способность к самооценке, способствовать успешности в овладении материалом.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (эмоциональный настрой)

Долгожданный дан звонок

Начинается урок.

Отдохнуть вы все успели?

А теперь — вперед, за дело!

Ребята давайте пожелаем, друг другу на уроке быть внимательными, собранными, старательными. Поприветствуем друг друга улыбками и начнём урок.

II. Актуализация опорных знаний + Целеполагание

На доске неполная запись темы ______________________свойство умножения

Глядя на неполную запись, подумайте, чем мы будем заниматься на уроке и какова тема сегодняшнего урока. (Рассуждения детей)

Сегодня мы познакомимся с новым свойством умножения, название которого мы узнаем ,выполнив задания устного счёта и заданий , внесённых в ваши листы –карты урока , научимся пользоваться новым свойством умножения при анализе числовых выражений; повторим свойства сложения и переместительное свойство умножения;; будем развивать вычислительные навыки, умение анализировать, рассуждать.

Работать мы будем дружно и творчески, в парах и самостоятельно, выполним задания и сделаем выводы.

В ваших картах после каждого задания вы должны будете оценить свою работу. Если вы справились с заданием без ошибок вы поставите себе + , если не справились, то —

-А для чего нам это нужно?

-Где мы сможем применять полученные знания?

Пословица

Математику учить – ум точить

-Как вы понимаете смысл данной пословицы?

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

М.Ломоносов

III. Устный счёт

1.Игра «Истина – ложь». Дети показывают знак + или —

Сумма чисел 6 и 5 равна 12
Разность чисел 16 и 6 равна 9
9 увеличить на 5 равно 14
100 – это самое большое трёхзначное число
Куб – это объёмная фигура
Прямоугольник – это плоская фигура

На доске открывается буква С

2. Задание на смекалку

На доске открывается буква 0

3.Задача на логику

В саду росли 2 березы, 4 яблони, 5 вишен. Сколько всего фруктовых деревьев росло в саду? На доске открывается буква Ч

4.На какие группы можно распределить следующие фигуры

На доске открывается буква Е

На доске открывается буква Т

На доске открывается буква А

7. Можно ли утверждать, что площадь данных фигур одинаковая?

На доске открывается буква Т

8. Работа в парах: Разбей числа на две группы.

Запиши каждую группу в порядке возрастания (Знак дружной работы) е

499 75 345 24 521 86

На доске открывается буква Е

9. Самостоятельная работа

Заполни карточку

На доске открывается буква Л

10. Выбери нужный знак (+ или •)

Увеличить на 6

Увеличить в 3 раза

На доске открывается буква Ь

11. ,

2 · 6 … 6 + 6 + 6

5 · 6 … 6 · 4

8 · 6 … 6 · 8

На доске открывается буква Н

12. Какое числовое выражение является лишним? Почему?

(2 +7) • 0 365 • 0

(9• 2) • 1 (94-26) • 0

На доске открывается буква О

13.Фронтальная работа

Вставьте пропущенные числа:

5 + 6 = 6 + 

7 · 3 = 3 · 

(5 + 4) + 6 = 5 + ( + 6)

– Какие свойства сложения и умножения помогли вам выполнить задание? (Переместительное и сочетательное свойства сложения; переместительное свойство умножения.) На доске открывается буква Е

На доске открывается тема Сочетательное свойство умножения

Физминутка

Для начала мы с тобой

Для начала мы с тобой

Крутим только головой.

(Вращения головой.)

Корпусом вращаем тоже.

Это мы, конечно, сможем.

(Повороты вправо и влево.)

Напоследок потянулись

Вверх и в стороны.

Прогнулись.

(Потягивания вверх и в стороны.)

III. Сообщение нового материала

1. Постановка учебной проблемы

-Можно ли утверждать, что значения выражений в данном столбике одинаковы?

875+(78+284)

(875+78)+284

875+(284+78)

(875+284)+78

(Для 1 и 2 выражения применимо сочетательное свойство сложения- 2 соседних слагаемых можно заменять суммой и значения выражений будут одинаковы;

3и1 выражение- применили переместительное свойство сложения

4и2 выражение- переместительное свойство.)

-Какие же свойства применимы для вычисления данных

выражений?

(Переместительное и сочетательное свойство)

—А можно ли утверждать, что значения выражений в этом столбике одинаковы?

15*(8*9)

(15*8)*9

15*(9*8)

(15*9)*8

— На этот вопрос нам и предстоит ответить.

— мы сегодня узнаем , можно ли пользоваться сочетательным свойством при умножении?)

2.Первичное усвоение новых знаний

— Посчитайте разными способами число всех маленьких квадратов и запишите выражением.

1 способ:(6*4)*2 = 24*2=48

(В одном прямоугольнике 6 квадратов, умножая 6 на 4, мы узнаем сколько квадратов в одном ряду. Умножая результат на 2, узнаем, сколько квадратиков в двух рядах).

2 способ: 6*(4*2)= 6*8=48

(Сначала выполняем действие в скобках- 4*2, то есть узнаем, сколько всего прямоугольников в двух рядах. В одном прямоугольнике 6 квадратов. Умножив 6 на полученный результат, отвечаем на поставленный вопрос.)

Вывод: Таким образом, и то и другое выражение обозначает, сколько всего маленьких квадратиков на рисунке.

-Значит: (6*4)*2=6*(4*2)- сочетательное свойство умножения

З н а к о м с т в о с ф о р м у л и р о в к о й сочетательного свойства умножения и сравнение ее с формулировкой сочетательного свойства сложения.

Произведение двух соседних множителей можно заменить его значением.

IV. Первичная проверка понимания

-Откройте учебник на странице 50 и найдите № 160

-Объясните, что обозначают числовые равенства под каждым рисунком?

(4*3)*2= 4*(3*2)

( по 4 снежинки поместили в 3 квадрата и взяли 2 ряда или 4 снежинки поместили в 3 квадрата по 2 ряда.)

(6*5)*2=6*(5*2)

( по 6 квадратиков взяли 5 рядов и поместили в 2 больших квадрата или 6 квадратиков взяли по 5 рядов в двух больших квадратах)

— Давайте прочитаем правило: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Первичное закрепление Работа у доски

Найдите № 161 ( 1 столбик)

Читаем задание: (Запиши каждое выражение в виде произведения трех однозначных чисел)

56*2=(7*8)*2

72*3= (9*8)*3

54*7=(9*6)*7

18*9=(2*9)*9

Найдите № 162 ( 1 столбик)

Читаем задание: Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы?

Работаем самостоятельно по рядам (проверяем у доски), применяя сочетательное свойство: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Подведение итогов занятия.

Оценивание

-Давайте вернемся к числовым выражениям, с которыми мы с вами встретились в начале урока. Скажите, а можно ли утверждать, что значения выражений в этом столбике одинаковы?

15*(8*9)

(15*8)*9

15*(9*8)

(15*9)*8

Какое открытие вы сегодня сделали на уроке? Где его можно применять?

(Познакомились с новым свойством умножения)Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Домашнее задание : правило с.50, № 163 *Найди пословицы или высказывания известных людей о математике

Выставление оценок.

Оценки «5» получают те, ребята, у кого нет минусов в карте.

У кого 1-2 минуса получает «4»

3-5 минусов –«3»

Более 5 минусов –«2»

Рефлексия

Закончи фразу

Сегодня на уроке я…..

Самым сложным для меня было…..

Сегодня я понял…

Сегодня я научился…

Реши для себя

Объяснение урока: свойства комбинаций

В этом объяснителе мы узнаем, как использовать свойства комбинаций для упрощения выражений и решения уравнений.

Комбинация — это набор 𝑟 предметов, выбранных без повторение из сборника 𝑛 предметы, в которых порядок не имеет значения. Ключевое различие между комбинацией и перестановкой заключается в том, что порядок не имеет значения. Для перестановки, порядок имеет значение. Попробуйте подсчитать количество способов, которыми мы можем назначить роль президента и вице-президента в группа из 5 человек: Мона, Амер, Самар, Бассем, и Далия. Если мы выберем Мона, потом Далия, это будет не то же самое, что Далия, то мона так как первый выбор будет президентом, а второй — вице-президентом. Однако, если бы мы просто хотели комитет из двух человек, не важно, выберем ли мы Мону, затем Далию или Далию, затем Мона. Следовательно, считая с перестановками приводит к тому, что мы пересчитываем количество возможных вариантов, если порядок не имеет значения. Фактически, мы пересчитываем ровно в 𝑟 раз. Таким образом, мы можем определить число 𝑟 комбинаций из 𝑛 как число из 𝑟 перестановки 𝑛 разделить на 𝑟.

Определение: Количество комбинаций заданного размера

Количество комбинаций размера 𝑟, взятых из коллекция предметов 𝑛 предоставлена 𝐶=𝑃𝑟=𝑛𝑟𝑛−𝑟.

Обозначение 𝐶 можно прочитать как 𝑛-𝐶-𝑟 или как 𝑛 выберите 𝑟 и также называется биномиальным коэффициент. Еще одно чрезвычайно распространенное обозначение 𝐶: 𝑛𝑟; однако существуют также различные другие формы обозначений обычно используется, например, 𝐶, 𝐶, 𝐶, и 𝐶(𝑛,𝑟).

Этот объяснитель сосредоточится на ключевых свойствах 𝐶 и как мы можем применить их для упрощения выражений и решения уравнений. Мы начинаем с рассмотрим пример, в котором мы используем формулу для вычисления выражения, включающего комбинации.

Пример 1. Оценка комбинаций

Определите значение 𝐶𝐶 без использования калькулятора.

Ответить

Напомним, что 𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟.

Подставляя 𝑛=23 и 𝑟=8, получаем 𝐶=23823−8=238×15.

Аналогично, подставляя 𝑛=23 и 𝑟=6, получаем 𝐶=236×17.

Подставляя их в данное выражение, получаем ××𝐶𝐶=2381523617.

Используя правила дробей, мы можем переписать это как 𝐶𝐶=238×156×1723.

Отменив общий множитель 23, мы получим 𝐶𝐶=6×178×15.

Поскольку 𝑛=𝑛(𝑛−1)×⋯×2×1, мы можем упростить это, чтобы получить 17×168×7=347.

Чтобы решить предыдущий пример, мы могли бы просто использовать комбинации на нашем калькуляторе, чтобы вычислить выражение. Тем не менее, рост умение оперировать формулами перестановок и комбинаций даст нам необходимые навыки, необходимые для решения более сложных задач.

Давайте рассмотрим пример, в котором мы находим неизвестное из уравнения, которое включает перестановку и комбинацию.

Пример 2: Равенство комбинаций и перестановок

Если 𝐶=𝑃, найдите значение (я) числа 𝑟.

Ответ

Напомним, что из определения комбинаций мы имеем 𝐶=𝑃𝑟.

Подставив это в данное уравнение, получим 𝑃=𝐶=𝑃𝑟.

Перекрестное умножение на 𝑟 и деление на 𝑃, мы можем переписать это как 𝑟=1.

У нас может возникнуть соблазн сразу же сделать вывод, что 𝑟=1. Однако это будет лишь частичным ответом, поскольку, вспоминая определение факториала, мы также имеем, что 0=1.

Обратите внимание, что когда 𝑟=0, мы имеем 𝐶=𝑃=1 и когда 𝑟=1, мы имеем 𝐶=𝑃=𝑛.

Следовательно, два возможных значения 𝑟 равны 1 и 0.

В следующем примере мы найдем выражение, включающее перестановки, которое равно заданному выражению, включающему комбинации.

Пример 3: Связь между комбинациями и перестановками

Что из следующего равно 𝐶×𝐶𝐶?

𝑃𝑃
𝑃𝑃
𝑃𝑃
𝑃𝑃

Ответ

Начнем с того, что заметим, что 𝐶=𝑛. Следовательно, мы можем переписать выражение: 𝐶×𝐶𝐶=𝑛𝐶𝐶.

Поскольку все, что мы пытаемся найти, это выражение, включающее перестановки, мы должны попытаться выразить комбинации в терминах перестановок. Для этого можно использовать определение, что 𝐶=𝑃𝑟 переписать наше выражение как 𝐶×𝐶𝐶=𝑛67.

Отмена 6, имеем 𝐶×𝐶𝐶=7𝑛𝑃𝑃, который мы также можем записать как 𝐶×𝐶𝐶=𝑃.

Вспоминая свойство перестановок, что 𝑛𝑃=𝑃, мы можем переписать 𝑃7𝑛=𝑃.

Следовательно, 𝐶×𝐶𝐶=𝑃𝑃.

Следовательно, правильный ответ C.

До сих пор мы просто использовали определение и формулу для 𝐶 для решения проблем. Много проблем с участием комбинаций можно решить таким образом. Однако часто мы можем решать проблемы более простым и понятным способом, будучи знакомым со свойствами комбинаций. Одно из таких свойств связано с симметрией комбинаций.

Уведомление из определения 𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟 что существует симметрия относительно знаменателя. Если мы заменим 𝑛−𝑟 вместо 𝑟 в формуле мы находим, что мы получаем одно и то же выражение: 𝐶=𝑛𝑛−𝑟𝑛−(𝑛−𝑟)=𝑛𝑟𝑛−𝑟.

Это приводит к общей идентичности комбинаций.

Тождество: симметрия комбинаций

Для заданных натуральных чисел 𝑟 и 𝑛, удовлетворяющих 𝑟𝑛, имеем 𝐶=𝐶.

Это имеет некоторые интересные последствия для решения уравнений, включающих 𝐶 с неизвестными в 𝑟. Следующий пример продемонстрирует одно из таких следствий.

Пример 4: Симметрия комбинаций

Найдите возможные значения 𝑟, которые удовлетворяют уравнению 𝐶=𝐶.

Ответ

Используя правило 𝐶=𝐶, мы получаем это 𝐶=𝐶=𝐶.

Таким образом, 𝑟=15 или 𝑟=6.

Последний пример показал, что если 𝐶=𝐶 тогда 𝑎=𝑏 или 𝑎=𝑛−𝑏.

Рассмотрим другой пример, требующий симметрии комбинаций.

Пример 5: Использование симметрии комбинаций

Если 𝐶+𝐶=2𝐶, найти 𝑛.

Ответ

Используя свойство 𝐶=𝐶, мы можем переписать 𝐶=𝐶. Замена это в данное уравнение, мы находим 2𝐶=2𝐶.

Отсюда следует, что 𝑛−42=43 или 𝑛−42=𝑛−43. Поскольку последний из них несовместим, мы имеем, что единственный решение 𝑛=85.

В следующем примере мы определим неизвестную константу в комбинациях, когда нам известно, что выражения, включающие комбинации, образуют арифметическую последовательность.

Пример 6. Решение задач на комбинации

Учитывая, что 3×𝐶,4×𝐶,6×𝐶, — арифметическая прогрессия, найдите все возможные значения 𝑛.

Ответ

В арифметической прогрессии существует постоянная разница между последовательными условия. Следовательно, разница между двумя первыми и двумя последними членами будет равны, и мы можем написать 6×𝐶−4×𝐶=4×𝐶−3×𝐶. 

Переставляя, получаем 8×𝐶=6×𝐶+3×𝐶.

Использование определения 𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟, мы можем переписать это как 8𝑛11𝑛−11=6𝑛12𝑛−12+3𝑛10𝑛−10.

Разделив на общий делитель числа 𝑛, получим 811𝑛−11=612𝑛−12+310𝑛−10.

Теперь мы можем умножить на 12𝑛−10, чтобы получить 8×12𝑛−1011𝑛−11=6×12𝑛−1012𝑛−12+3×12𝑛−1010𝑛−10.

Используя свойство факториала, которое 𝑛=𝑛𝑛−1, мы можем переписать это как 8×12×1111×(𝑛−10)𝑛−11𝑛−11=6×1212×(𝑛−10)(𝑛−11)𝑛−12𝑛−12+3×12×11×1010×𝑛−10𝑛−10 .

Сокращая общие множители в числителях и знаменателях, имеем 8×12(𝑛−10)=6(𝑛−10)(𝑛−11)+3×12×11.

Теперь мы можем разделить на 6, чтобы получить 8×2(𝑛−10)=(𝑛−10)(𝑛−11)+3×2×11.

Раскрывая скобки, получаем 16𝑛−160=𝑛−21𝑛+110+66.

Собирая подобные члены, мы приходим к квадратичному 0=𝑛−37𝑛+336.

Решая это с помощью факторизации или квадратичной формулы, получаем 𝑛=21 и 𝑛=16.

Одним из других ключевых свойств комбинаций является рекурсивная связь:

Формула: Рекурсивная связь в комбинациях

𝐶+𝐶=𝐶, где 0𝑟𝑛.

Чтобы вывести эту формулу, мы можем использовать определение 𝐶 писать левую часть как 𝐶+𝐶=𝑛−1𝑟𝑛−𝑟−1+𝑛−1𝑟−1𝑛−𝑟.

Мы хотели бы выразить это как одну дробь над общим знаменателем 𝑟𝑛−𝑟. Мы можем сделать это, умножив первый член на 𝑛−𝑟𝑛−𝑟 а второй член через 𝑟𝑟 следующим образом: 𝐶+𝐶=(𝑛−𝑟)𝑛−1𝑟(𝑛−𝑟)𝑛−𝑟−1+𝑟𝑛−1𝑟𝑟−1𝑛−𝑟.

Используя свойства факториалов, которые 𝑛=𝑛𝑛−1, мы можем переписать это как 𝐶+𝐶=(𝑛−𝑟)𝑛−1𝑟𝑛−𝑟+𝑟𝑛−1𝑟𝑛−𝑟.

Выразив это в виде одной дроби и раскрыв скобки, мы имеем 𝐶+𝐶=𝑛𝑛−1−𝑟𝑛−1+𝑟𝑛−1𝑟𝑛−𝑟.

Упрощая и используя то же правило факториалов, мы имеем 𝐶+𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟=𝐶 как требуется.

Сейчас мы обратим внимание на один пример, где мы применяем это свойство упростить уравнение.

Пример 7: Попарные суммы комбинаций

Определите значение 𝐶+𝐶.

Ответ

Похоже, это выражение будет чрезвычайно трудоемко вычислить или вычислить. трудно упростить. Тем не менее, первое понимание, которое мы получаем, замечая что когда 𝑟=15 в сумме, мы имеем член 𝐶=𝐶. Убрав это слагаемое из суммирования, имеем

На этом этапе мы можем применить рекурсивное отношение, 𝐶+𝐶=𝐶, и упростить это до 𝐶+𝐶=𝐶+𝐶.

Теперь мы видим, что если мы проделаем то же самое еще раз и возьмем последний член из суммирования, мы имеем

Следовательно, 𝐶+𝐶=𝐶+𝐶.

Продолжая тем же методом, мы в конце концов придем к последнему члену в сумме, 𝐶, и имеют выражение

Таким образом, все выражение упрощается до 𝐶+𝐶=𝐶.

Для последней пары примеров мы будем рассматривать суммы всех комбинаций 𝐶 для данного 𝑛.

Пример 8: Сумма комбинаций

Найдите значение 𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶.

Ответ

Использование определения 𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟, мы можем переписать это выражение как 𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶=50×5+51×4+52×3+⋯+55×0.

Оценивая каждое слагаемое, имеем 𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶=1+5+10+10+5+1=32.

В последнем примере мы обнаружили, что сумма всех комбинаций 𝐶 для 𝑛=5 есть 32; не случайно это равно 2. На самом деле общее правило состоит в том, что сумма всех 𝐶 для любого заданного 𝑛 равно 2. Мы можем записать это как 𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶=2, или более кратко, мы имеем следующее тождество.

Идентичность: сумма комбинаций

Для любого положительного целого числа 𝑛 имеем 𝐶=2.

Возможно, это правило не так уж удивительно, если учесть рекурсивное отношение для каждого термина: 𝐶+𝐶=𝐶.

Поскольку это не относится к 𝑟=0 или 𝑟=𝑛, мы можем переписать сумму как 𝐶 = 𝐶+ 𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶+𝐶.

Поскольку 𝐶=1=𝐶 и 𝐶=1=𝐶, мы можем переписать это выражение как  𝐶=𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶+𝐶.

Перегруппировав термины, мы имеем  𝐶=𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+𝐶+⋯+𝐶+𝐶=2𝐶+𝐶 𝐶.

Следовательно, сумма 𝐶 вдвое больше суммы 𝐶. Более того, поскольку 𝐶=1, мы видим, что сумма 𝐶 для данного 𝑛 будет сила двух; в частности, это будет 2.

Наконец, рассмотрим переменную сумму комбинаций.

Пример 9: Переменные суммы комбинаций

Найдите значение 𝐶−𝐶+𝐶−𝐶+𝐶.

Ответ

Напомним, что 𝐶=𝑛𝑟𝑛−𝑟. Используя это, мы видим, что 𝐶−𝐶+𝐶−𝐶+𝐶=40×4−41×3+42×2−43×1+44×0.

Оценка каждого термина дает нам 𝐶−𝐶+𝐶−𝐶+𝐶=1−4+6−4+1=0.

Опять же, общее правило состоит в том, что чередующиеся суммы 𝐶 равны нулю: 𝐶−𝐶+𝐶−⋯+(−1)𝐶+(−1)𝐶=0 или, более кратко,

Идентичность: чередующаяся сумма комбинаций

Для любого натурального числа 𝑛 имеем (−1)𝐶=0.

Альтернативный способ представить это состоит в том, что суммы нечетных и четных членов равны. Это неудивительно, когда 𝑛 нечетно из-за отражающая симметрия: 𝐶=𝐶. Однако, как показал предыдущий пример, это справедливо и для четных 𝑛.

Давайте повторим несколько важных понятий из объяснения.

Ключевые точки

Количество комбинаций размера 𝑟, взятых из набор размера 𝑛 задается 𝐶=𝑃𝑟=𝑛𝑟𝑛−𝑟.
Комбинации обладают следующими ключевыми свойствами: заданы положительные целые числа 𝑟 и 𝑛, удовлетворяющие 𝑟𝑛,
- Свойство симметрии: 𝐶=𝐶,
- Рекурсивное свойство: 𝐶+𝐶=𝐶,
- Сумма: 𝐶=2,
- Переменная сумма: (−1)𝐶=0.
Используя определение 𝐶 и его свойств, мы можем упростить многие выражения и решить уравнения, включающие комбинации.

Формула комбинации

: определение, свойства, примеры и вопросы

В математических методах формула комбинации представляет собой метод выбора, с помощью которого мы можем определить наиболее возможное расположение среди группы элементов. В этой технике порядок выбора не имеет значения. Однако вы можете выбрать столько элементов, сколько хотите, в любом порядке. Вот почему мы также можем назвать Формулу Комбинации формулой отбора. Формула комбинации и вероятность были введены в начале 17 века, когда начали появляться азартные игры. Французские математики Блез Паскаль и Пьер де Ферма были первыми, кто ввел эту математическую технику.

Содержание

Что такое комбинированная формула?

Формула комбинирования Определение

Формула комбинирования — это метод, при котором мы определяем возможные количества комбинаций из определенного количества элементов или чисел.

Однако формула комбинации помогает нам выбрать нужный элемент из набора элементов. С помощью метода комбинирования мы можем сформировать подмножество без замены какого-либо числа или элемента.

Количество различных комбинаций «r» объектов из «n» различных объектов представлено следующим образом:

nCr = C(n,r) = n! / р! × (п – г)!

Где

0 ≤ r ≤ n.
n обозначает общее количество элементов, присутствующих в наборе.
k обозначает количество выбранных объектов из набора.
! Обозначает факториал

Факториал (обозначается как «!») представляет все положительные целые числа, меньшие или равные числу, стоящему перед знаком факториала. Например, 4! = 1 х 2 х 3 х 4 = 24

Примечание: Вышеупомянутая формула может быть использована только тогда, когда мы выбираем объекты из набора без повторения.

Однако формула комбинации определяет комбинацию r вещей, взятых из n одновременно без повторения.

Например, если у вас в руке четыре типа красок (n = 4) и вы можете выбрать только три (r = 3), следовательно, количество способов выбора красок с повторением можно рассчитать как 4C3 .

92n

on + (n-1)Cn + ….. + (2n-1)Cn = 2nCn+1

Формула комбинации математический пример

1) Мистер Смит является председателем комитета. Сколькими способами можно выбрать комитет из 4 человек из 9 человек, учитывая, что г-н Смит должен быть одним из выбранных?

Ответ.

Мы уже выбрали мистера Смита, поэтому нам нужно выбрать еще 3 из 8 человек. При выборе комитета порядок не имеет значения, поэтому нужна комбинация без повторения формулы.

Отсюда по формуле комбинации

n! / {р! (н-р)!} = 8! / 3!(8-3)! = 56 способов.

2) Учащийся должен ответить на 10 вопросов, выбрав не менее 4 из каждой части А и Б. Если в части А 6 вопросов, а в части Б 7, сколькими способами учащийся может выбрать 10 вопросов?

Ответ. Возможные варианты:

4 из части A и 6 из части B

или 5 из части A и 5 из части B

или 6 из части A и 4 из части B.

Следовательно, по формуле комбинации искомое количество способов равно

6C4 × 7C6 + 6C5 × 7C5 + 6C6 × 7C4 = 105 + 126 + 35 = 266

3) У мальчика 3 читательских билета и 8 интересующие его книги в библиотеке. Из этих 8 он не хочет брать вторую часть математики, если только не заимствована первая часть математики. Сколькими способами он может выбрать три книги, которые хочет взять?

Ответ. Сделаем следующие случаи:

Согласно формуле комбинации,

Случай (i)

Мальчик берет математику, часть II, затем он также берет математику, часть I.

Таким образом, количество возможных вариантов равно 6C1

= 6.

Случай (ii)

Мальчик не берет математику, часть II, тогда количество возможных вариантов равно 7C3 = 35.

Следовательно, общее количество возможных вариантов 35 + 6 = 41.

4) Сколькими способами комитет, состоящий из 3 мужчин и 2 женщин, может выбрать из 7 мужчин и 5 женщин?

(A) 45

(B) 350

(C) 4200

(D) 230

(D). (B) — правильный выбор.

Согласно формуле комбинации, из 7 мужчин можно выбрать 3 мужчин способами 7C3, а из 5 женщин 2 женщинами можно выбрать способами 5C2.

Следовательно, комитет можно выбрать 7C3 × 5C2 = 350 способами.

5) В маленьком поселке проживает 87 семей, из них 52 семьи имеют почти 2 детей. Аналогично программе развития сельских районов для оказания помощи необходимо выбрать 20 семей, из которых не менее 18 семей должны иметь не более 2 детей. Теперь, сколькими способами можно сделать выбор?

Ответ. Дано, что из 87 семей 52 семьи имеют не более 2 детей, а остальные 35 семей относятся к другим типам. Однако, согласно вопросу, для программы развития села

для оказания помощи необходимо выбрать 20 семей, из которых не менее 18 семей должны иметь не более 2 детей. Таким образом, число возможных вариантов равно:

52C18 × 35C2 (18 семей, имеющих не более 2 детей и 2 выбранных из других типов семей)

Теперь, 52C19 × 35C1(19 семей, имеющих не более 2 детей и 1 выбранный из других типов семей)

Аналогично, 52C20 (Все выбранные 20 семей, имеющих не более 2 детей)

Отсюда, согласно формуле объединения, общее количество возможных вариантов равно

52C18 × 35C2 + 52C19 × 35C1 + 52C20

Комбинации с повторением

Предположим, что у нас есть набор A из n элементов . Любой выбор из r объектов из А , где каждый объект может быть выбран более одного раза, называется комбинацией n объектов, взятых по r за раз с повторением. Однако, например, сочетания букв a, b, c, d , занимающие по 3 раза с повторением, таковы: aaa, aab, aac, aad, abb, abc, abd, acc, acd, add, dbb, bbc, bbd, bcc, bcd, bdd, ccc, ccd, cdd, ddd. Теперь мы считаем две комбинации с повторением идентичными, если в них одни и те же элементы повторяются одинаковое количество раз, независимо от их порядка.

Обратите внимание, что следующие эквивалентны:

Количество комбинаций n объектов, взятых r за раз с повторением.
Количество способов, которыми r одинаковых объекта можно распределить между

n различными контейнерами.

Теперь число целых неотрицательных решений уравнения:

x ₁ + x ₂ + · · · +в _н = р.

Однако формула комбинации не допускает повторения.

Ex.1 Определенный пароль состоит из 3 разных букв алфавита, где каждая буква используется только один раз. Сколько существует различных возможных паролей?

Ответ.

Порядок в пароле имеет значение, и проблема заключается в том, что вы не можете повторять буквы. Итак, вам нужны перестановки без формул повторения.

Следовательно, количество перестановок 3 букв, выбранных из 26, равно

n! / (н-р)! = 26! / (26-3)! = 15 600 паролей.

Читайте также: Абиссальная зона: определение и примеры

Часто задаваемые вопросы
В. Как рассчитываются комбинации?
Ответ. нКр = н! / р! * (н – р)! Это формула решения проблем.
В. Что такое комбинированная формула?
Ответ. Формула комбинации — это математический метод определения возможного количества комбинаций в наборе элементов.
7 Complete Quick Facts — Lambda Geeks
Свойства перестановки и комбинации
  При обсуждении перестановки и комбинации, поскольку мы имеем дело с выбором и расположением с учетом порядка или без него, в зависимости от ситуации существуют различные типы и свойства перестановки. и сочетания, эти различия между перестановками и сочетаниями мы объясним здесь на обоснованных примерах.
перестановок без повторения
  Это нормальная перестановка, которая упорядочивает n объектов, взятых по r за раз, то есть nPr
ⁿ P _r =n!/(n-r)!
количество упорядочений n различных объектов, взятых одновременно ⁿ P _n =n!
Кроме того, у нас есть
ⁿ P ₀ = n!/n!=1
ⁿ P _r = n. ^n-1 P _r-1
0!=1
1/(-r)!= 0 или (-r)!=∞
перестановок с повторением
Количество перестановок (расстановок) для разных элементов, взятых r за раз, где каждый элемент может встречаться один, два, три раза, …….. r-раз больше в любом расположении = Количество способов заполнить r областей где каждый элемент может быть заполнен любым из n элементов.
Количество перестановок = Количество способов заполнения r мест = (n) ^r
Количество заказов, которые можно организовать, используя n объектов, из которых p одинаковы (и одного вида) q одинаковы (и другого рода), r подобны (и другого рода) , а остальные различны: ⁿ P _r =n!/(p!q!r!)
Пример:
Сколькими способами можно распределить 5 яблок между четырьмя мальчиками, если каждый мальчик может возьмите одно или несколько яблок.
Решение: Это пример перестановки с повторением, так как мы знаем, что для таких случаев имеем
Количество перестановок = количество способов заполнения r мест =n ^r
Необходимое количество пути 4 ⁵ =10, так как каждое яблоко можно распределить 4 способами.
Пример: Найти количество слов можно организовать с буквами слова МАТЕМАТИКА путем их перегруппировки.
Решение: Здесь мы видим, что есть 2 M, 2 A и 2T это пример перестановки с повторением
=n!/(p!q!r!) 11!/(2!2!2!)=4989600
Пример: Сколькими способами количество решек равно количеству орлов, если шесть одинаковых монет выложены в ряд.
Решение: Здесь мы можем заметить, что
Кол-во орлов = 3
Кол-во решек = 3
И так как монеты идентичны, это пример перестановки с повторением =n!/(p!q !r!)
Требуемое количество способов =6!/(3!3!)= 720/(6X6)=20
Циклическая перестановка:
При круговой перестановке наиболее важно упорядочивать объекты относительно другие.
Итак, при круговой перестановке мы корректируем положение одного объекта и располагаем другие объекты во всех направлениях.
Круговая перестановка делится на два способа:
(i) Круговая перестановка, где настройки по часовой стрелке и против часовой стрелки предполагают различные перестановки , например. Порядок рассадки людей за столом.
(ii) Круговая перестановка, где настройки по часовой и против часовой стрелки отображают одну и ту же перестановку , например. расположение определенных бусин, чтобы создать ожерелье.
Расположение по часовой и против часовой стрелки
Если порядок и движение против и против часовой стрелки не отличается например, расположение бусин в ожерелье, цветочная композиция в гирлянде и т.д., тогда количество круговых перестановок n различных элементов равно (n-1)!/2
Количество круговых перестановок для n различных предметов , взятые за r в то время, когда порядки по часовой стрелке и против часовой стрелки считаются различными по ⁿ P _r /r
время, когда по часовой стрелке и против часовой стрелки не отличается от ⁿ P _r /2r
Количество круговых перестановок n различных объектов равно (n-1)!
Количество способов, которыми можно рассадить n разных мальчиков вокруг круглого стола, равно (n-1)!
Количество способов, которыми n различных драгоценных камней могут быть установлены в ожерелье, равно (n-1)!/2
Пример:
Сколькими способами можно разместить пять ключей в кольцо
Решение:
Так как по часовой стрелке и против часовой стрелки одинаковы в случае кольца.
Если последовательность и движение против и по часовой стрелке не отличаются от , то количество круговых перестановок n различных элементов равно
=(n-1)!/2
Требуемое количество способов = (5 -1)!/2= 4!/2=12
Пример:
Каково будет количество договоренностей, если за круглым столом сидят одиннадцать членов комитета, так что председатель и секретарь всегда сидят вместе.
Решение:
По фундаментальному свойству круговой перестановки
Количество круговых перестановок n разных вещей равно (n-1)!
Поскольку две позиции фиксированы, мы имеем
Требуемое количество способов (11-2)!*2=9!*2=725760
Пример: Сколько способов есть 6 мужчин и 5 женщин за круглым столом, если никакие две женщины не могут сидеть вместе
Решение: По основному свойству круговой перестановки.
Количество круговых перестановок n разных вещей (n-1)!
Количество способов, которыми можно расположить 6 человек за круглым столом = (6 – 1)! =5!
Свойства перестановки и комбинации: Пример
Теперь женщин можно расставить по 6! путей и Общее количество путей = 6! × 5!
Комбинации без повторения
Это обычная Комбинация, которая представляет собой «Количество комбинаций (выборов или групп), которые могут быть сформированы из n различных объектов, взятых r за раз, равно ⁿ C _r =n!/(n-r)!r!
Также     ⁿ C _r = ⁿ C _r-r
                      ⁿ r _{0 / _{! =n!/(n-r)! = ⁿ C _r}}
Пример: Найдите количество вариантов для заполнения 12 вакансий, если есть 25 кандидатов, и пять из них относятся к запланированной категории, при условии, что 3 вакансии зарезервированы для кандидатов в SC, в то время как остальные открыты для всех.
Решение: Так как 3 вакантные должности заполнены из 5 претендентов в ⁵ C ₃ способов (т. 9 (22 ВЫБЕРИТЕ 9) Выбор можно сделать в ⁵ C ₃ X ²² C ₉ ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
⁵ C ₃ X ²² C ₉ = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22 !/(9!X13!)}=4974200
Таким образом, выбор можно сделать 4974200 способами.
Пример: На выборах 10 кандидатов и 3 вакансии. сколькими способами избиратель может отдать свой голос?
Решение: Поскольку есть только 3 вакансии для 10 кандидатов, это проблема 10 ВЫБЕРИТЕ 1, 10 ВЫБЕРИТЕ 2 и 10 ВЫБЕРИТЕ 3 Примеры,
Избиратель может голосовать в ¹⁰ C ₁ + ¹⁰ С ₂ + ¹⁰ С ₃ = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+ 120 = 175 способов.
Итак, избиратель может голосовать 175 способами.
Пример: В комнате на 4 человека 9 стульев, один из которых одноместный для гостей с одним конкретным стулом. Сколько способов они могут сидеть?
Решение: Поскольку в ⁸ C ₃ можно выбрать 3 стула, а затем 3 человека можно расставить по 3! способы.
3 человека должны сидеть на 8 стульях ⁸ C ₃ (т.е. 8 ВЫБЕРИТЕ 3) расположение
= ⁸ C ₃ X3! = {8! /3!(8-3)!} X3!
=56X6=336
Они могут сидеть 336 способами.
Пример: Из пяти мужчин и 4 женщин будет сформирована группа из 6 человек. Сколькими способами это можно сделать, чтобы в группе было больше мужчин.
Решение: Здесь проблема включает в себя различные комбинации, такие как 5 ВЫБЕРИТЕ 5, 5 ВЫБЕРИТЕ 4, 5 ВЫБЕРИТЕ 3 для мужчин и для женщин включает 4 ВЫБЕРИТЕ 1, 4 ВЫБЕРИТЕ 2 и 4 ВЫБЕРИТЕ 3, как указано ниже
1 женщина и 5 мужчин = ⁴ C ₁ X ⁵ C ₅ ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)! }=4
           2 женщины и 4 мужчины = ⁴ C ₂ X ⁵ C ₄ = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5- 4)!}=30
           3 женщины и 3 мужчины = ⁴ C ₃ X ⁵ C ₃ = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3! (5-3)!} =40
    Следовательно, всего путей = 4+30+40=74.
Пример: Количество способов, которыми 12 мальчиков могут проехать в трех машинах так, чтобы в каждой машине было по 4 мальчика, при условии, что три конкретных мальчика не будут ездить в одной машине.
Решение: Сначала пропустите трех конкретных мальчиков, остальные 9 мальчиков могут быть по 3 в каждой машине. Это можно сделать 9 ВЫБЕРИТЕ 3, т.е. ⁹ C ₃ способами,
Три конкретных мальчика могут быть размещены тремя способами по одному в каждой машине. Следовательно, общее количество способов равно 3X ⁹ C ₃ .
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
, поэтому их можно разместить 252 способами.
Пример: Сколькими способами из мешка с 7 зелеными и 8 черными шарами вылезли 2 зеленых и 2 черных шара?
Решение: Здесь в мешке лежит 7 зеленых, из которых мы должны выбрать 2, так что это 7 задач ВЫБЕРИТЕ 2, и 8 черных шаров, из которых мы должны выбрать 2, так что это 8 задач ВЫБЕРИТЕ 2.
Следовательно, необходимое число = ⁷ C ₂ X ⁸ C ₂ = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!} =21X28=588
, значит, 588 способами мы можем выбрать из этого мешка 2 зеленых и 2 черных.
Пример: Предоставляются двенадцать различных символов английских слов. Из этих букв образованы 2 алфавитных названия. Сколько слов можно составить, если повторяется хотя бы одна буква.
Решение: здесь мы должны выбрать 2-буквенные слова из 12 букв, так что это 12 ВЫБЕРИТЕ 2 задачи.
Количество слов из 2 букв, в которых буквы повторялись любое количество раз = 12 ²
        Но нет. слов при наличии двух разных букв из 12 = ¹² C ₂ = {12!/2!(12-2)!} =66
        Необходимое количество слов = 12 ² -66=144- 66=78.
Пример: На плоскости есть 12 точек, шесть из которых лежат на одной прямой, сколько прямых можно провести, соединив эти точки.
Решение: Для того, чтобы 12 точек на плоскости составляли линию, нам нужны 2 точки, одинаковые для шести коллинеарных точек, так что это задача 12 ВЫБЕРИТЕ 2 и 6 ВЫБЕРИТЕ 2.
Количество строк = ¹² C ₂ – ⁶ C ₂ +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2) )!}+1 =66-15+1=52
Таким образом, количество способов рисования линий равно 52.
Пример: Найдите число способов, которыми можно составить кабинет из 6 человек из 8 джентльменов и 4 дам так, чтобы кабинет состоял как минимум из 3 дам.
Решение: Для формирования комитета мы можем выбрать из 3 мужчин и женщин и 2 мужчин и 4 женщин, поэтому задача включает 8 ВЫБЕРИТЕ 3, 4 ВЫБЕРИТЕ 3, 8 ВЫБЕРИТЕ 2 и 4 ВЫБЕРИТЕ 4.
Два типа кабинета
        (i) 3 мужчины и 3 женщины
        (ii) 2 мужчины и 4 женщины
        Возможный № путей = ( ⁸ C ₃ X ⁴ C ₃ ) + ( ⁸ C ₂ X ⁴ C ₄ )= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{ 4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Итак, такой шкаф можно сформировать 252 способами.