Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения

Похожие презентации:

Свойства сложения и умножения

Свойства сложения и умножения

Свойства сложения

Переместительное и сочетательное свойства

Свойства действий с рациональными числами

Упрощение выражений

Законы арифметических действий

Действия над целыми неотрицательными числами

Умножение натуральных чисел и его свойства. 5 класс

Обучение табличному и внетабличному умножению и делению

Математика
-5
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ
СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Далее
Устная работа.
Вычислите:
300 – 80
: 10
+ 48
:5
_______
14 ?
520 + 180
: 100
*9
+ 50
_______
113 ?
800 — 50
: 10
: 25
* 14
_______
42 ?
250 — 80
: 10
*4
+ 32
_______
100 ?
Далее
Актуализация знаний.
Незнайка принес 6 карточек с числовыми
выражениями. Он соединил их знаками

равенства, чтобы показать вам одно
свойство сложения.
3782 + 6753
=
3782 + 489
4893 + 6753
=
4893 + 378
6753 + 4893
=
6753 + 3782
Но равенства получились неверными. Не
вычисляя сумм, укажите те пары карточек,
на которых записаны равные между собой
суммы. Какое свойство хотел показать
Незнайка?
Далее
Актуализация знаний.
Найдите значение выражения:
24 + 65 + 76 =
61 + 58 + 39 =
Подумайте, как быстрее и удобнее найти
значения этих выражений.
Каким свойством вы воспользовались?
Далее
Объяснение нового материала.
Переместительное свойство сложения
Для любых чисел а и b
a + b = b + a.
Сочетательное свойство сложения
Для любых чисел а, b и с
а + (b + с) = (а + b) + с.
44 189 56 92 11 (44 56) (189 11) 92 100 200 92 392
Слагаемые в сумме можно как угодно
переставлять и объединять в группы.
Далее
Объяснение нового материала.
Переместительное свойство умножения
Для любых чисел а и b
a b b a.
Сочетательное свойство умножения
Для любых чисел а, b и с
a b c a b c.
5Множители
37 2 5в произведении
2 37 (5 2)можно
37 10
37
370
как
угодно
переставлять и объединять в группы.
Далее
Формирование умений и навыков.
Свойства сложения.
Вычислите, группируя слагаемые так, чтобы они дополняли друг
№ 385
№ 386
№ 387 (а-в)
друга до «удобного» числа.
Образец: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 5 + 9 = 10 + 10 + 10 + 9= 39.
1.
а) 8+8+2+2+2+1+5=
б) 4+4+6+5+6+6+3=
в) 7+7+7+3+3+2+8=
2.
а) 16+15+15+14+17+13+11=
б) 12+13+17 + 18+11+14+19=
в) 13+15+17+12+19+15+11=
Далее
Формирование умений и навыков.
Свойства умножения.
Вычислите удобным способом.
Образец: 6 • 6 • 5 • 5 = 30 • 30 = 900.
1. а) 5 • 5 • 8 • 8 =
б) 18 • 2 • 50 =
2. а) 11 • 4 • 25 =
б) 12 • 4 • 5 • 5 =
Далее
Итоги урока.
Сформулируйте переместительное свойство:
а) сложения;
б) умножения.
Сформулируйте сочетательное свойство:
а) сложения;
б) умножения.
Далее

English     Русский Правила

Умножение натуральных чисел и его свойства 5 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение умножения

 

Пример 1. Есть 4 класса, и в каждом классе 30 учеников. Все классы написали контрольную работу. Сколько работ необходимо проверить?

 

Так как в каждом классе по 30 человек, то работ будет:

Эту же запись мы можем записать немного короче:

Умножить число a на число b – значит вычислить сумму, в которой число a повторено b раз.

a и b называются сомножителями, а то, что получится, называется произведением.

В нашем примере 30 и 4 – сомножители, а произведение равно 120.

 

Свойства умножения

 

 

1. Переместительное свойство умножения

 

Пример 2. Предположим, у Маши есть по одной страничке в четырех социальных сетях. На каждой страничке у нее выложены 3 фотографии: первая – фото, где Маша, вторая – фото, где Маша с мамой, третья – фото, где Маша с папой. Сколько всего фото у Маши на страничках?

Мы можем сказать, что на каждой страничке 3 фотографии, а всего страничек 4, значит, всего фото:

Или:

С другой стороны, мы можем посчитать количество фотографий по-другому.

Сколько всего фото, где Маша одна? Их 4 – в каждой социальной сети по одной. Сколько фотографий выложено у Маши с мамой? Тоже 4. С папой? Тоже 4. Итого:

Но общее количество фотографий одинаково. Оно не зависит от того, как мы его считали: по социальным сетям или по типу фото. Поэтому мы получаем, что 3 умножить на 4 – это то же самое, что 4 умножить на 3.

То есть,

Данное свойство называется переместительным свойством умножения: можно менять местами сомножители, и от этого произведение не изменится. Это свойство иногда называют переместительным законом.

2. Сочетательное свойство умножения

Пример 3. Предположим, у Сергея есть 3 флешки, на каждой флешке по 4 папки, а в каждой папке 2 файла. Сколько всего файлов у Сергея?

Сколько файлов будет внутри одной флешки?

Всего флешек 3, а значит, всего файлов:

С другой стороны, у нас есть 3 флешки. На каждой флешке 4 папки:

А в каждой папке 2 файла:

Но мы могли посчитать количество файлов на одной флешке – 8, а потом умножить полученное на 3:

То есть мы выяснили, что переставлять сомножители можно не только тогда, когда их два, но и когда их 3, как в нашем примере, или больше.

То есть,  

Такое свойство умножения называется сочетательным. Иногда его называют свойством раскрытия скобок. То есть порядок, в котором мы будем умножать, неважен.

 

---

Научные названия свойств

Переместительное свойство иначе называется коммутативным (commutativus – меняющийся (лат. )). Мы меняем порядок сомножителей, а произведение от этого не меняется. Есть коммутативность умножения (при перестановке сомножителей произведение не меняется). Также есть коммутативность сложения (от перестановки слагаемых сумма не меняется).

Сочетательный закон иначе называется ассоциативным (association – соединение (лат.)). Существует ассоциативность умножения и сложения.

---

 

 

Частные случаи умножения

 

 

Частные случаи

 

1. Что будет, если умножить некоторое число n на 1? Необходимо сложить данное число один раз. То есть мы берем n один раз, а не складываем его с собой. Иначе мы используем n два раза.

Аналогично:

2. Если мы умножаем 0 на что-то, то получаем 0. Ведь сколько бы раз мы ни складывали 0 с собой, мы все равно получим 0.

Аналогично:

Как читается произведение двух сомножителей

Данная запись читается так: «Произведение ста семидесяти пяти и трехсот двенадцати».

 

---

Пример использования свойств

Пример 4.

Мы можем умножить числа так, как они записаны. А можем немного изменить запись и упростить вычисления.

Мы использовали сочетательное свойство умножения (поменяли порядок сомножителей).

Пример 5.

Произвести такие вычисления достаточно трудно. Давайте заметим, что 5 «хорошо» умножается на 2. Поэтому, если бы у нас был сомножитель, равный двум, наши вычисления стали бы проще. Давайте разложим число 684 на произведение двойки и чего-то еще.

Вернемся к нашему выражению:

---

 

Заключение

Мы познакомились с таким действием, как умножение натуральных чисел; выяснили, какими свойствами обладает это действие; и рассмотрели несколько частных случаев.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Презентация (Источник)
2. Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)
3. Презентация (Источник)

 

Домашнее задание

1. Запишите в виде суммы и произведения:

а) Число а сложили с собой 12 раз;

б) Число 5 сложили с собой k раз.

2. Запишите сумму в виде произведения и найдите значение выражения:

а) 

б) 

в) 

г) .

3. У Жени есть 6 коробок с игрушками. В каждой коробке по 3 машины. Сколько всего машинок в коробках?

4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

а) 

б) 

в) 

г) 

 

7.2: Коммутативные и ассоциативные свойства (Часть 1)

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5034

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Использование коммутативных и ассоциативных свойств
• Вычислять выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
• Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

будь готов!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упрощение: 7y + 2 + y + 13. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 2.3.10.
2. Умножить: \(\dfrac{2}{3} \cdot 18\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.3.10.
3. Найдите противоположное число 15. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 3.1.3.

В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но полезно дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о сложении двух чисел, например 5 и 3.

\[\begin{split} 5 &+ 3 \qquad 3 + 5 \\ &\; 8 \qquad \qquad 8 \end{split}\]

Результаты те же. 5 + 3 = 3 + 5

Обратите внимание, порядок сложения не имеет значения. То же верно и при умножении 5 и 3.

\[\begin{split} 5 &\cdot 3 \qquad \; 3 \cdot 5 \\ & 15 \qquad \quad 15 \end{split}\]

Опять же, результаты те же! 5 • 3 = 3 • 5. Порядок умножения не имеет значения. Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Определение: коммуникативные свойства

Коммутативное свойство сложения: если a и b — действительные числа, то a + b = b + a

Коммутативное свойство умножения: если a и b — действительные числа, то a • b = b • a

Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9= _____

Решение

(a) −1 + 3 = _____

Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.

-1 + 3 = 3 + (-1)

(b) 4 • 9 = _____

Используйте свойство коммутативности умножения, чтобы изменить порядок.

4 • 9 = 9 • 4

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Воспользуйтесь коммутативными свойствами, чтобы переписать следующие выражения: (a) −4 + ​​7 = _____ (b) 6 • 12 = _____

Ответить на

\(-4+7=7+(-4)\)

Ответ б

\(6 \cdot 12=12 \cdot 6\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Воспользуйтесь коммутативными свойствами, чтобы переписать следующие выражения: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3(-5) = _____

Ответ

\(14+(-2)=-2+14\)

Ответ б

\(3(-5)=(-5) 3\)

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли 7 — 3 тот же результат, что и 3 — 7?

\[\begin{split} 7 &- 3 \qquad 3 — 7 \\ &\; 4 \qquad \quad -4 \\ & \quad 4 \neq -4 \end{split}\]

Результаты не совпадают. 7 − 3 ≠ 3 − 7

Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, мы можем сказать, что вычитание не коммутативно. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы делим два числа. Является ли деление коммутативным?

\[\begin{split} 12 &\div 4 \qquad 4 \div 12 \\ & \dfrac{12}{4} \qquad \quad \dfrac{4}{12} \\ &\; 3 \qquad \qquad \dfrac{1}{3} \\ &\quad \; 3 \neq \dfrac{1}{3} \end{split}\]

Результаты не совпадают. Итак, 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

\[7 + 8 + 2\]

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Некоторые люди думают, что 7 + 8 равно 15, а затем 15 + 2 равно 17. Другие могут начать с 8 + 2, что дает 10, а затем 7 + 10 дает 17.

Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рисунке \ (\PageIndex{1}\). (Помните, что круглые скобки — это символы группировки, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Тот же принцип применим и к умножению. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

\[5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3\]

Изменение группировки чисел дает тот же результат, как показано на рисунке \ (\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение. Вы, вероятно, знаете это, но терминология может быть новой для вас. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .

Определение: ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения: если a, b и c — действительные числа, то (a + b) + c = a + (b + c)

Ассоциативное свойство умножения: если a, b и c — действительные числа, тогда (a • b) • c = a • (b • c)

Пример \(\PageIndex{2}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (3 + 0,6) + 0,4 = __________ (b) \(\left(−4 \cdot \dfrac {2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

Решение

(a) (3 + 0,6) + 0,4 = __________

Изменить группировку.

(3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4)

Обратите внимание, что 0,6 + 0,4 равно 1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

(b) \(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

Изменить группировку.

(3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4)

Обратите внимание, что \(\dfrac{2}{5} \cdot 15\) равно 6. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (1 + 0,7) + 0,3 = __________ (b) (−9 • 8) • \(\dfrac {3}{4}\) = __________

Ответить на

\((1+0,7)+0,3=1+(0,7+0,3)\)

Ответ б

\((-9 \cdot 8) \cdot \frac{3}{4}=-9\left(8 \cdot \frac{3}{4}\right)\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (4 + 0,6) + 0,4 = __________ (b) (−2 • 12) • \(\dfrac {5}{6}\) = __________

Ответ на

\((4+0,6)+0,4=4+(0,6+0,4)\)

Ответ б

\((-2 \cdot 12) \cdot \frac{5}{6}=-2\left(12 \cdot \frac{5}{6}\right)\)

Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: 6(3x).

Решение

Изменить группировку.	(6 • 3)х
Умножить в скобках.	18x

Обратите внимание, что мы можем умножить 6 • 3, но мы не можем умножить 3 • x, не зная значения x.

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: 8(4x).

Ответить

\(32x\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: −9(7y).

Ответить

\(-63г\)

Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений. Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Вычислить каждое выражение, когда x = \(\dfrac{7}{8}\). (a) x + 0,37 + (− x) (b) x + (− x) + 0,37

Решение

(a) x + 0,37 + (− x)

Замена \(\dfrac {7}{8}\) для х.	$$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + 0,37 + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right)$$
Преобразование дробей в десятичные.	0,875 + 0,37 + (-0,875)
Добавить слева направо.	1,245 — 0,875
Вычесть.	0,37

(b) x + (− x) + 0,37

Подставьте \(\dfrac{7}{8}\) вместо x.	$$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right) + 0,37$$
Сначала добавьте противоположности.	0,37

В чем разница между частью (а) и частью (б)? Только порядок изменился. По коммутативному свойству сложения x + 0,37 + (− x) = x + (− x) + 0,37. Но разве часть (б) не была намного проще?

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Оценить каждое выражение, когда y = \(\dfrac{3}{8}\): (a) y + 0,84 + (− y) (b) y + (- у) + 0,84.

Ответить на

\(0,84\)

Ответ б

\(0,84\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Оцените каждое выражение, когда f = \(\dfrac{17}{20}\): (a) f + 0,975 + (− f) (b) f + (-f) + 0,975.

Ответить на

\(0,975\)

Ответ б

\(0,975\)

Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.

Пример \(\PageIndex{5}\):

Оценить каждое выражение при n = 17. (a) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right )\) (b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

Решение

(a) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\)

Подставьте 17 вместо n.	$$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} \cdot \textcolor{red}{17} \right)$$
Сначала умножить в скобках.	$$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{51}{4}\right)$$
Умножить еще раз.	$17$$

(b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

.

Подставьте 17 вместо n.	$$\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) \textcolor{red}{\cdot 17}$$
Умножить. Произведение обратных величин равно 1,	$$(1) \cdot 17$$
Умножить еще раз.	$17$$

В чем здесь разница между частью (а) и частью (б)? Только группировка поменялась. По ассоциативному свойству умножения \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right) = \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3 {4}\справа) п\). Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.

Упражнение \(\PageIndex{9}\):

Оцените каждое выражение при p = 24. (a) \(\dfrac{5}{9} \left(\dfrac{9}{5} p\right )\) (b) \(\left(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) p\)

Ответ на

\(24\)

Ответ б

\(24\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\):

Оценить каждое выражение при q = 15. (a) \(\dfrac{7}{11} \left(\dfrac{11}{7} q\right )\) (b) \(\left(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{11}{7}\right) q\)

Ответить на

\(15\)

Ответ б

\(15\)

Авторы и авторство

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Переписывание выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств | Преалгебра |

Модуль 8: Вещественные числа

Результаты обучения

• Определение ассоциативных и коммутативных свойств сложения и умножения
• Использование ассоциативных и коммутативных свойств сложения и умножения для перезаписи алгебраических выражений

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о добавлении двух чисел, таких как

555

и

333

.

5+33+588\begin{массив}{cccc}\qquad 5+3\qquad & & & \qquad 3+5\qquad \\ \qquad 8\qquad & & & \qquad 8\qquad \end{ array}5+38​​3+58​

Результаты те же.

5+3=3+55+3=3+55+3=3+5

Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении

555

и

333

.

5⋅33⋅51515\begin{массив}{cccc}\qquad 5\cdot 3\qquad & & & \qquad 3\cdot 5\qquad \\ \qquad 15\qquad & & & \qquad 15\qquad \ end{array}5⋅315​​3⋅515​

Опять же, результаты те же!

5⋅3=3⋅55\cdot 3=3\cdot 55⋅3=3⋅5

. Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.

Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Коммутативные свойства

Коммутативное свойство сложения: если

aaa

и

bbb

— действительные числа, то

a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a

Коммутативное свойство умножения: если

aaa

и

bbb

— действительные числа, то

a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot aa⋅b=b⋅a

Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.

пример

Воспользуйтесь коммутативными свойствами, чтобы переписать следующие выражения:

1.

−1+3=-1+3=−1+3=

2.

4⋅9=4\cdot 9=4⋅9=

Решение:

1.
	−1+3=-1+3=−1+3=
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.	−1+3=3+(−1)-1+3=3+\влево(-1\вправо)−1+3=3+(−1)

«>

2.
	4⋅9=4\cdot 9=4⋅9=
Используйте свойство перестановочности умножения, чтобы изменить порядок.	4⋅9=9⋅44\cdot 9=9\cdot 44⋅9=9⋅4

попробуй

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли

7-37 — 37-3

тот же результат, что и

3-7?3 — 7?3-7?

7−33−74−44≠−4\begin{array}{ccc}\qquad 7 — 3\qquad & & \qquad 3 — 7\qquad \\ \qquad 4\qquad & & \qquad -4\ qquad \\ & \qquad 4\ne -4\qquad & \end{array}7−34​4=−4​3−7−4​

Результаты не совпадают.

7−3≠3−77 — 3\ne 3 — 77−3=3−7

Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не коммутативно.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?

12÷44÷121244123133≠13\begin{array}{ccc}\qquad 12\div 4\qquad & & \qquad 4\div 12\qquad \\ \qquad \frac{12}{4}\qquad & & \qquad \frac{4}{12}\qquad \\ \qquad 3\qquad & & \qquad \frac{1}{3}\qquad \\ & \qquad 3\ne \frac{1}{3} \qquad & \end{array}12÷4412​3​3=31​4÷12124​31​​

Результаты не совпадают. Итак,

12÷4≠4÷1212\дел 4\ne 4\дел 1212÷4=4÷12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

7+8+27+8+27+8+2

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Кто-то может подумать, что

7+8 — это 157+8\text{ это }157+8 это 15

, а затем

15+2 это 1715+2\text{ это }1715+2 это 17

90 592 . Другие могут начинаться с

8+2 составляет 108+2\text{ делает }108+2 составляет 10

и затем

7+10 дает 177+10\text{ делает }177+10 делает 17

.

Оба способа дают одинаковый результат, как показано ниже. (Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)

При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Тот же принцип справедлив и для умножения. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

5⋅13⋅35\cdot \frac{1}{3}\cdot 35⋅31​⋅3

Изменение группировки чисел дает тот же результат.

При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.

Возможно, вы это знаете, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют Ассоциативные свойства .

Ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения : если

a,ba,ba,b

и

ccc

действительные числа, то

(а+б)+с=а+(б +c)\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)(a+b)+c=a+(b+c)

Ассоциативное свойство умножения : if

a,ba,ba,b

и

ccc

— действительные числа, тогда

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\left(a\cdot b\right)\ cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

пример

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:

1.

(3+0,6)+0,4=\left(3+0,6\right)+0,4=(3+0,6)+0,4=

2.

( −4⋅25)⋅15=\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=(−4⋅52​)⋅15=

Показать решение

Решение:

1.
	(3+0,6)+0,4=\влево(3+0,6\вправо)+0,4=(3+0,6)+0,4=
Изменить группировку.	(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)\влево(3+0,6\вправо)+0,4=3+\влево(0,6+0,4\вправо)(3+0,6)+0,4=3+ (0,6+0,4)

Обратите внимание, что

0,6+0,40,6+0,40,6+0,4

равно

111

, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

2.
	(−4⋅25)⋅15=\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=(−4⋅52​)⋅15=
Изменить группу.	(−4⋅25)⋅15=−4⋅(25⋅15)\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=-4\cdot \left(\frac {2}{5}\cdot 15\right)(−4⋅52​)⋅15=−4⋅(52​⋅15)

Обратите внимание, что

25⋅15\frac{2}{5}\cdot 1552​⋅15

равно

666

. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

попробуй

Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.

пример

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения:

6(3x)6\left(3x\right)6(3x)

.

Показать решение

Решение:

	6(3x)6\левый(3x\правый)6(3x)
Изменить группировку.	(6⋅3)х\влево(6\cточка 3\вправо)х(6⋅3)х
Умножить в скобках.	18x18x18x

Обратите внимание, что мы можем умножить

6⋅36\cdot 36⋅3

, но мы не можем умножить

3⋅x3\cdot x3⋅x

, не имея значения для

xxx

9 0592 .

попробуй

В следующем видеоролике представлены дополнительные примеры упрощения выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств умножения и сложения.