Зубодробительная задачка с очень простой математикой

Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:

В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:

1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. Если скобок несколько, они выполняются слева направо.
2. При отсутствии скобок математические действия выполняются слева направо, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание.
3. Между множителем и скобкой (или двумя скобками) может опускаться знак умножения.

Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.

1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения.

У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:

8 / 2(4) → 8 / 2 × 4

3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.

Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.

Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.

А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂

Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

Та самая цитата.

А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:

«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».

Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:

1. В. Л. Гончаров говорит так: «Ребята, используйте черту и ставьте скобки, чтобы ни у кого не было вопросов про приоритет».
2. Если у нас всё же битва арифметики и алгебры, то, по П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, пример нужно решать слева направо, как обычно. Они, конечно, предложили решать такое по-другому, но научное сообщество их не поддержало.

Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.

Полная цитата из Шустеф, которая, оказывается, имеет в виду совсем не то.

Выполнение действий со скобками, примеры по математике со скобками от Skills4u

Зарегистрируйся и получи 7 дней бесплатного доступа к тренажерам и персональный план прокачки знаний до 100%!

Вопросов в тесте: 25

Среднее время прохождения: ~10:00

Зарегистрируйся и получи персональный план прокачки знаний до 100%!

Как работает платформа Skills4u

Тестирование по предмету за класс

Платформа определит, какие темы сформированы слабо и составит индивидуальный план обучения

Персональный план обучения

План обучения и повторений поможет ученику в закреплении всех необходимых тем по предмету

Закрепление темы на 100%

Платформа напомнит и проконтролирует все повторения для закрепления каждой темы на 100%

Проработка слабых тем с предыдущих классов

Чтобы идеально овладеть предметом, рекомендуем закрепить пробелы, начиная с самых простых тем

Почему нужно пройти общее тестирование по математике за 3 класс, а не по отдельной теме «Порядок выполнения действий (сложение, вычитание, умножение, деление) со скобками»

Пройдя тестирование за класс вы получите ПОЛНУЮ КАРТИНУ ЗНАНИЙ ПО ВСЕМ ТЕМАМ.
Такой подход позволит глубинно проанализировать знания, вывести успеваемость и понимание предмета на качественно новый уровень.

Пройдя тестирование по одной теме вы получите РЕЗУЛЬТАТ ЗНАНИЙ ТОЛЬКО ЭТОЙ ТЕМЫ, которая, возможно, плохо изучена. Такой метод не является комплексным и дает лишь точечное понимание знаний по предмету.

Зарегистрироваться и пройти тестирование

В начальной школе действия со скобками изучают в 3 классе на уроках математики. Для некоторых учеников они представляют затруднение, поэтому мы рекомендуем пройти проверочный тест, чтобы определить, насколько ваш ребенок усвоил эту тему.

Наш интерактивный тест на выполнение действий со скобками состоит из 25 заданий, в каждом из которых вам предстоит выполнить несложные вычисления и записать ответ в отведенную графу. Если ответ указан верно, загорается зеленый свет, и сразу появляется очередной вопрос. Если же допущена ошибка, результат вычислений подсвечивается красным, но обязательно указывается и правильное решение. Это позволяет понять, где допущена ошибка.

Самое главное, когда вы решаете примеры, это соблюдать правильный порядок действий со скобками. Для этого необходимо определить, что выполнять сначала: умножение или вычитание. Если вы хорошо изучили правила, сомнений не возникнет. В начальной школе порядок действий в математике со скобками изучают уже в 3 классе. Наш тест будет полезен как третьеклассникам, так и ученикам старших классов, которые хотят проверить, насколько хорошо они запомнили правила. Мы рекомендуем проверить знания перед важной контрольной или проверочной работой, в начале учебного года после каникул.

Немного интересной статистики, или почему важно проходить общее тестирование и закрывать пробелы в знаниях за текущие и предыдущие классы

• 60% пятиклассников не могут быстро выполнять базовые математические действия, такие как вычитание и сложение.
• 70% пятиклассников часто делают ошибки в таких действиях как умножение и деление.
• Более 75% девятиклассников не могут решить системы из двух уравнений.
• До 20% выпускников школы реально обладают математическими познаниями на уровне 6-8 класса. До 40% — не выше 9 класса.
• От 5 к 7 классу возникает четко выраженная тенденция ухудшения математической подготовки, а доля троечников увеличивается с 20-25% до 40-45%.

Основано на результатах учеников нашей платформы и исследованиях журнала «Коммерсант»

Каждый желающий может пройти тест на действия со скобками за 3 класс совершенно бесплатно. По итогам тестирования формируется рейтинг ученика и даются рекомендации по дальнейшему продолжению занятий. Система сама напомнит, когда пора приступить к упражнениям.

Для того чтобы получить устойчивый учебный навык по указанной теме и всегда выбирать правильный порядок действий в примерах со скобками, нужно зарегистрироваться на сайте образовательной платформы Skills4u и оформить доступ к тренажерам по различным предметам школьной программы. Существуют варианты доступа на месяц, полугодие и полный учебный год.

Вы также можете выбирать, какой навык нужно прокачать в данный момент: нужна ли вся математика, действие со скобками или другие темы за 3 класс начальной школы. Стоимость подписки варьируется в зависимости от выбранного уровня доступа, но всегда остается чисто символической. Это один из самых выгодных способов подтянуть успеваемость и получить индивидуальный подход к изучению и независимую оценку знаний.

Как растут результаты учеников
после занятий на тренажерах Skills4u

Занятия
на Skills4u

Занятия
с учебником

Успеваемость

Мотивация

Внимательность

Скорость

Самостоятельность

Запоминание

Первичный Тест «Порядок выполнения действий (сложение, вычитание, умножение, деление) со скобками» по математике за 3 класс онлайн и бесплатно предоставляется всем желающим.

Советуем пройти тестирование за весь 3 класс по математике, чтобы узнать пробелы в знаниях по всем темам и получить индивидуальный план обучения.

После регистрации вы получите 7 дней бесплатного доступа, чтобы увидеть первые результаты занятий и оценить эффективность тренажеров.

Зарегистрироваться и пройти тестирование

Регистрируйтесь на сайте образовательной платформы Skills4u и решайте примеры действий со скобками в удобное для вас время. Родители могут быть спокойны – им не понадобится листать учебник. Достаточно будет только напомнить ребенку, что наступило время занятий. Система сама пришлет напоминание и познакомит с результатом. Желаем успеха!

А для комплексного результата пройдите общее тестирование за
класс! Узнайте пробелы в знаниях по всем темам

Ученик

Занимайся 20 минут в день и прокачай знания по школьной программе за месяц!

Родитель

Наслаждайтесь прогрессом вашего ребенка в школе и на платформе

Учитель/
репетитор

Задавайте и проверяйте домашние задания прямо на платформе

Зарегистрироваться и пройти тестирование

65585

---

учеников уже занимаются с нами

Математика на основе запросов: зачем умножать перед сложением?

Продолжая наше исследование того, почему у нас есть правила для порядка операций, мы начали с того, что вспомнили, что мы узнали и задавались вопросом о вчера  используя нашу аналогию со сверхспособностями:

Одним из наших вопросов было: «Зачем нам нужны правила для порядка операций в математике?»

Это отличный вопрос, и сегодня мы его рассмотрели.

Когда дети узнают, ПОЧЕМУ математика (а не только КАК), они глубже узнают и ценят.

Конечно, гораздо проще просто объяснить БОДМАС / правила порядка работы, но мы должны хотеть, чтобы дети понимали, почему это так.

Мы начали с того, что использовали наши калькуляторы, чтобы ответить:

Некоторые из наших калькуляторов сказали, что ответ будет 19, а другие сказали 35.

Как это может быть?!?!?

Это нас озадачило.

Поделились некоторыми теориями.

Так какой же правильный ответ? / Есть ли правильный ответ?

Чтобы выяснить это, мы подумали о том, как мы могли бы интерпретировать числовое предложение, если бы не было правил.

Вспомнив, что умножение — это многократное сложение, мы обнаружили, что более разумно умножать перед сложением, потому что умножение — это многократное сложение. Чтобы разобраться в числовом предложении, мы можем разбить его на сложение:

Ученик предложил попробовать еще одно числовое предложение, и поэтому это числовое предложение было предложено одноклассником:

Нам показалось интересным, как мы пришли к этому. с таким количеством различных возможных ответов.

Что это говорит нам о математике?

— Должны быть специальные правила, иначе будет более одного ответа, и это не работает с математикой.

— Представьте, если бы эти числа представляли деньги. Мы бы закончили с разными суммами!

— В математике должна быть какая-то грамматика, как в языках. Мы можем путать слова, но нам нужно следовать правилам грамматики, иначе нас могут неправильно понять. Я думаю, что в математике должны быть правила, чтобы мы все могли понять, что делаем.

Что мы должны сделать в первую очередь?

— скобки

Почему?

— Потому что мы не знаем его стоимости. Нам нужно сначала выяснить это, прежде чем мы сможем что-то сделать с числовым предложением.

Итак, после скобок, что нам делать дальше?

— Вычислить 3 в квадрате.

Почему?

Потому что это тоже неизвестное значение. Нам нужно знать его значение.

Но почему бы не решить это перед раскрытием скобок?

— я думаю, это потому, что когда мы смотрим на 3 в квадрате, мы можем получить представление о его значении, но со скобками нам действительно нужно больше думать о том, какое значение оно представляет.

Эта теория показалась нам логичной.

Итак, что нам делать дальше?

— Умножить 4 на 7

Почему?

— Потому что умножение сильнее, чем сложение. Мы всегда сначала делаем то, что мощнее.

Любые другие идеи, чтобы добавить к этому?

— Это повторяющееся добавление, чтобы мы могли разбить его на более простой для понимания способ. Это еще один способ узнать его истинную стоимость.

Интересно.

Затем мы могли увидеть, как мы нашли все неизвестные значения в нашем числовом предложении.

Итак?

— Теперь мы можем добавить их вообще.

Давайте посмотрим на это по-другому. Можем ли мы рассматривать все это числовое предложение как полностью сложение?

Пары поиграли с этим, а затем мы поделились своим открытием:

Нам показалось, что это помогло нам понять, почему мы выполняем одни операции раньше других.

Чтобы выяснить, кто понимает «почему», а также помочь детям укрепить в памяти то, что мы узнали, мы создали собственное числовое предложение и объяснили, ПОЧЕМУ мы делаем именно так, как делаем.

Некоторые образцы:

Затем мы поделились своими идеями с разными партнерами за столом и, таким образом, использовали наши обсуждения как отражение нашего обучения.

Я думаю, что этот подход до сих пор был успешным. Это второй день, и мы еще даже не обсуждали BODMAS, но у нас есть более глубокое осознание необходимости правил и причин, по которым мы должны выполнять одни заказы раньше других, и это ключ к обучению.

Как использовать PEMDAS и решать с порядком операций (примеры)

Обновлено 21 декабря 2020 г.

Автор Lee Johnson

Если вы не понимаете PEMDAS, решение математической задачи, в которой смешиваются различные операции, такие как умножение, сложение и возведение в степень, может вызвать недоумение. Простая аббревиатура определяет порядок операций в математике, и вы должны запомнить ее, если вам нужно регулярно выполнять вычисления. PEMDAS означает круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание, сообщая вам порядок, в котором вы выполняете различные части длинного выражения. Узнайте, как это использовать, и вас никогда не смутят такие задачи, как 3 + 4 × 5 – 10, с которыми вы можете столкнуться.

​ Совет: ​ PEMDAS описывает порядок операций:

P – Скобки

E – Показатель степени

M и D – Умножение и деление

A и S – Сложение и вычитание.

Решайте любые задачи с различными типами операций в соответствии с этим правилом, работая сверху (круглые скобки) вниз (сложение и вычитание), отмечая, что операции в одной и той же строке можно выполнять слева направо по мере их появления. в вопросе.

Каков порядок действий?

Порядок операций говорит вам, какие части длинного выражения нужно вычислить в первую очередь, чтобы получить правильный ответ. Если вы, например, будете подходить к вопросам слева направо, в большинстве случаев вы получите совсем другой результат. PEMDAS описывает порядок операций следующим образом:

P – Скобки

E – Показатель степени

M и D – Умножение и деление

A и S – Сложение и вычитание.

Когда вы решаете длинную математическую задачу с многочисленными операциями, сначала вычислите что-нибудь в скобках, а затем перейдите к показателям степени (т. работать слева направо). Наконец, вы можете работать над сложением и вычитанием (опять же, просто работайте слева направо).

Как запомнить PEMDAS

Запоминание аббревиатуры PEMDAS, вероятно, является самой сложной частью ее использования, но есть мнемонические приемы, которые можно использовать для облегчения этой задачи. Наиболее распространенным является «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли», но есть и другие альтернативы: «Люди повсюду принимают решения о суммах» и «Толстые эльфы могут потребовать перекусить».

Как решать проблемы с порядком операций

Ответы на задачи, связанные с порядком операций, просто означают запоминание правила PEMDAS и его применение.