Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Что сначала делают умножение или деление

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М. И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 – 9 = 1

Сначала выполняем действия в скобках:
16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6
2 + 5 = 7

Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 – 2 · 6 + 6 · 7 =
= 9 + 4 – 12 + 42 =
= 43

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
8 – 6 = 2
10 – 2 · 3 = 10 – 6 = 4

действия в квадратных скобках дают:
14 – 3 · 2 = 8

выполняя остающиеся действия скобках находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

Порядок действий:
30 – 20 = 10
35 – 10 = 25
100 – 25 = 75
75 · 2 = 150

Что первое решается умножение или сложение

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами &#128578;

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала – сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

Вам будет интересно: Консилиум – это не приговор

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Вам будет интересно: Остеоны или система Гаверсова

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Вам будет интересно: Тореро – это. Значение слова

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Что сначала – умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

• 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
• 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

• 500 + 500 + 500 + 500 + 500 – это кучки взрослых работников;
• 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
• 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами – сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Скобки

Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!

Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.

Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.

(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала – умножение или сложение.

«Вишенка на торте»

И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

«Совсем вишня»

В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала – умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М. И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Чтобы найти значение числового выражения, необходимо знать ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ.

Если в выражении используются только основные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), то порядок таков: сначала выполняется умножение и деление, а затем выполняется сложение и вычитание, причем выполняют их слева направо в том порядке, в котором они записаны.

Если же в примере есть действие возведения в степень, то сначала выполняется возведение в степень, потом умножение или деление, затем сложение и вычитание.

Нарушить порядок выполнения арифметических действий могут скобки.

Если в выражении есть скобки и основные арифметические действия, то сначала выполняются действия в скобках, при этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.

В старых учебниках и сборниках задач выражения заключают последовательно в круглые ( — ), квадратные [ — ( — ) — ] и фигурные { — [ — ( — ) — ] — } скобки. Действия в данном случае выполняются последовательно: сначала в круглых, затем в квадратных, потом в фигурных скобках. При этом в каждой из скобок соблюдают установленный порядок выполнения математических действий.

В нынешних учебниках чаще используют только круглые скобки, например: ( — ( — ( — ) — ) — ). В этом случае начинаем выполнять действия сначала во внутренних скобках и далее последовательно от внутренних скобок к последним внешним. Выполняют действия в этих скобках, соблюдая установленный порядок выполнения математических действий.

Если в примерах деление обозначено чертой дроби, то необходимо обязательно сократить дробь, если, конечно, это возможно.

Если сократить нельзя, то сначала выполняют действия в числителе этой дроби, затем в знаменателе, потом выполняют деление результата выполнения действий в числителе на результат выполненных действий в знаменателе (напоминаем, черта дроби — это действие деления).

При наличии в примере знака корня и действий под корнем, мы выполняем сначала действия под знаком корня, затем извлекаем корень, то есть рассматриваем как запись со скобками (знак корня — рассматривается, как скобки).

Если выражение содержит действия в показателе степени, сначала выполняют все математические действия, указанные в показателе степени.

ПОДЕЛИТЕСЬ:

Какие действия нужно выполнять. Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. Вставь пропущенное число

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,

причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2:3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

cleverstudents.ru

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Post navigation

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

Если в примере нет скобок , мы выполняем все действия по порядку, слева направо.

Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, и лишь потом все остальные действия, начиная слева направо.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20.

Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Если в примере нет скобок , сначала выполняем действия умножения и деления по порядку, слева направо. Затем — действия сложения и вычитания по порядку, слева направо.

Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и затем — сложение и вычитание начиная слева направо.

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 — 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Порядок действий в математике 4 класс

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.

Начать следует с умножения, далее – сложение.

После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.

По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.

Завершающим этапом станет вычитание.

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

detskoerazvitie.info

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Цель: 1.

2.

3. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 – 6, понятия делителя и

4. Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование * : + — (), геометрический материал.

Раз, два – выше голова.

Три, четыре – руки шире.

Пять, шесть – всем присесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

Но сначала придется узнать его название. Для этого нужно выполнить несколько заданий:

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 дм 5 см… 4 дм 5 см

Пока мы вспоминали о порядке действий в выражениях, с замком происходили чудеса. Мы были только что у ворот, а теперь попали в коридор. Смотрите, дверь. А на ней замок. Откроем?

1. Из числа 20 вычесть частное чисел 8 и 2.

2. Разность чисел 20 и 8 разделить на 2.

— Чем отличаются результаты?

— Кто сможет назвать тему нашего урока?

(на массажных ковриках)

По дорожке, по дорожке

Скачем мы на правой ножке,

Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,

Наше предположение было полностью правильно7

Где выполняются действия сначала, если в выражении есть скобки?

Смотрите перед нами «живые примеры». Давайте «оживим» их.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k: b + (a – c) * t

6. Работа в парах.

Для их решения вам понадобиться геометрический материал.

Учащиеся выполняют задания в парах. После выполнения проверка работы пар у доски.

Что нового вы узнали?

8. Домашнее задание.

Тема: Порядок действий в выражениях со скобками.

Цель: 1. Вывести правило порядка действий в выражениях со скобками, содержащих все

4 арифметических действия,

2. Формировать способность к практическому применению правила,

4.Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование : учебник, тетради, карточки со знаками действий * : + — (), геометрический материал.

1 .Физминутка.

Девять, десять – тихо сесть.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы с вами отправляемся в очередное путешествие по стране Знаний городу математика. Нам предстоит посетить один дворец. Что-то я забыла его название. Но не будем расстраиваться, вы сами сможете мне подсказать его название. Пока я переживала, мы подошли к воротам дворца. Войдем?

1. Сравните выражения:

2. Расшифруй слово.

3. Постановка проблемы. Открытие нового.

Так как же называется дворец?

А когда в математике мы говорим о порядке?

Что вы уже знаете о порядке выполнения действий в выражениях?

— Интересно, нам предлагают записать и решить выражения (учитель читает выражения, учащиеся записывают их и решают).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Молодцы. А что интересного в этих выражениях?

Посмотрите на выражения и их результаты.

— Что общего в записи выражений?

— Как вы думаете, почему получились разные результаты, ведь числа были одинаковые?

Кто рискнет сформулировать правило выполнения действий в выражениях со скобками?

Правильность этого ответа мы сможем проверить в другой комнате. Отправляемся туда.

4. Физминутка.

И по этой же дорожке

До горы мы добежим.

Стоп. Немножко отдохнем

И опять пешком пойдем.

5. Первичное закрепление изученного.

Вот мы и пришли.

Нам нужно решить еще два выражения, чтобы проверить правильность нашего предположения.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Для проверки правильности предположения откроем учебники на стр. 33 и прочитаем правило.

Как нужно выполнять действия после решения в скобках?

На доске написаны буквенные выражения и лежат карточки со знаками действий * : + — (). Дети выходят к доске по одному, берут карточку с тем действием, которое нужно сделать сначала, потом выходит второй ученик и берет карточку со вторым действием и т. д.

а + (а –в)

а * (в +с) : d – t

m – c * ( a + d ) + x

k : b + ( a – c ) * t

(a – b) : t + d

6. Работа в парах.

Знание порядка действий необходимо не только для решения примеров, но и при решении задач мы тоже сталкиваемся с этим правилом. Сейчас вы в этом убедитесь работая в парах. Вам нужно будет решить задачи из № 3 стр. 33.

Особенности бухгалтерского учета субсидий Государство стремится поддержать малое и среднее предпринимательство. Такая поддержка наиболее часто выражается в форме предоставления субсидий – безвозмездных выплат из […]

Жалоба на педиатра Жалоба на педиатра — официальный документ, устанавливающий требования пациента и описывающий суть возникновения таких требований. Согласно статье 4 Федерального закона «О порядке рассмотрения […]

Ходатайство об уменьшении размера исковых требований Один из видов уточнения иска — ходатайство об уменьшении размера исковых требований. Когда истец неправильно определил цену иска. Или ответчик частично исполнил […]

Черный рынок доллара в Киеве Валютный аукцион по покупке доллара в Киеве Внимание: администрация не несёт ответственности за содержание объявлений на валютном аукционе. Правила публикации объявлений на валютном […]

Как по порядку идут действия в примере. Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Видеоурок «Порядок выполнения действий» подробно поясняет важную тему математики — последовательность выполнения арифметических операций при решении выражения. В ходе видеоурока рассматривается, какой приоритет имеют различные математические операции, как это применяется в вычислении выражений, приводятся примеры для усвоения материала, обобщаются полученные знания в решении заданий, где имеются все рассмотренные операции. С помощью видеоурока учитель имеет возможность быстрее достичь целей урока, повысить его эффективность. Видео может применяться в качестве наглядного материала, сопровождающего объяснение учителя, а также в качестве самостоятельной части урока.

В наглядном материале используются приемы, которые помогают лучше достичь понимания темы, а также запомнить важные правила. С помощью цвета и разного написания выделяются особенности и свойства операций, отмечаются особенности решения примеров. Анимационные эффекты помогают подавать последовательно учебный материал, а также обратить внимание учеников на важные моменты. Видео озвучено, поэтому дополняется комментариями учителя, помогающими ученику понять и запомнить тему.

Видеоурок начинается с представления темы. Затем отмечается, что умножение, вычитание являются операциями первой ступени, операции умножения и деления названы операциями второй ступени. Данным определением нужно будет оперировать дальше, выведено на экран и выделено цветным крупным шрифтом. Затем представляются правила, составляющие порядок выполнения операций. Выводится первое правило порядка, которое указывает, что при отсутствии скобок в выражении, наличию действий одной ступени, данные действия необходимо производить по порядку. Во втором правиле порядка утверждается, что при наличии действий обеих ступеней и отсутствии скобок, производятся первыми операции второй ступени, потом производятся операции первой ступени. Третье правило устанавливает порядок выполнения операций, для выражений, включающих скобки. Отмечается, что в этом случае сначала производятся операции в скобках. Формулировки правил выделены цветным шрифтом и рекомендованы к запоминанию.

Далее предлагается усвоить порядок выполнения операций, рассматривая примеры. Описывается решение выражения с содержанием только операций сложения, вычитания. Отмечаются основные особенности, которые влияют на порядок вычислений — отсутствуют скобки, присутствуют операции первой ступени. Ниже расписано по действиям, как выполняются вычисления, сначала вычитание, затем два раза сложение, а затем вычитание.

Во втором примере 780:39·212:156·13 требуется вычислить выражение, выполняя действия согласно порядку. Отмечается, что в данном выражении содержатся исключительно операции второй ступени, без скобок. В данном примере все действия производятся строго слева направо. Ниже поочередно расписываются действия, постепенно подходя к ответу. В результате вычисления получается число 520.

В третьем примере рассматривается решение примера, в котором есть операции обеих ступеней.

Отмечается, что в данном выражении отсутствуют скобки, но есть действия обеих ступеней. Согласно порядку выполнения операций, производятся операции второй ступени, после этого — операции первой ступени. Ниже — по действиям расписывается решение, в котором выполняются сначала три операции — умножение, деление, еще одно деление. Затем с найденными значениями произведения и частных производятся операции первой ступени. В ходе решения фигурными скобками объединены действия каждой ступени для наглядности.

В следующем примере содержатся скобки. Поэтому демонстрируется, что первые вычисления производятся над выражениями в скобках. После них производятся операции второй ступени, следом — первой.

Далее представлено замечание о том, в каких случаях можно не записывать скобки при решении выражений. Замечено, что это возможно только в случае, когда устранение скобок не изменить порядок выполнения операций. Примером служит выражение со скобками (53-12)+14, которое содержит только операции первой ступени. Переписав 53-12+14 с устранением скобок, можно отметить, что порядок поиска значения не изменится — сначала выполняется вычитание 53-12=41, а затем сложение 41+14=55. Ниже отмечается, что менять порядок операций при нахождении решения выражения можно, используя свойства операций.

В конце видеоурока изученный материал обобщается в выводе, что каждое выражение, требующее решения, задает определенную программу для вычисления, состоящую из команд. Пример такой программы представляется при описании решения сложного примера, представляющего собой частное (814+36·27) и (101-2052:38). Заданная программа содержит пункты: 1) найти произведение 36 с 27, 2) добавить к 814 найденную сумму, 3) поделить на 38 число 2052, 4) отнять из числа 101 результат деления 3 пункта, 5) поделить результат выполнения пункта 2 на результат пункта 4.

В конце видеоурока представлен перечень вопросов, на которые предлагается ответить ученикам. В их числе умение отличить действия первой и второй ступеней, вопросы о порядке выполнения действий в выражениях с действиями одной ступени и разных ступеней, о порядке выполнения действий при наличии скобок в выражении.

Видеоурок «Порядок выполнения действий» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для повышения эффективности урока. Также наглядный материал будет полезен для проведения дистанционного обучения. Если ученику необходимо дополнительное занятие для освоения темы или он изучает ее самостоятельно, видео может быть рекомендовано для самостоятельного изучения.

И деление чисел — действиями второй ступени.
Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом — действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а — 37 = 20;
г) 20 — m = 37;
д) 37 — с = 20;
е) 20 + k = 0.

636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления.

637. Даны три числа: первое — трехзначное, второе — значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье — 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел?

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 1а + 324;
б) 12у + 29у + 781 + 219;

639. Решите уравнение:

а) 8х — 7х + 10 = 12;
б) 13у + 15у- 24 = 60;
в) Зz — 2z + 15 = 32;
г) 6t + 5t — 33 = 0;
д) (х + 59) : 42 = 86;
е) 528: k — 24 = 64;
ж) р: 38 — 76 = 38;
з) 43m- 215 = 473;
и) 89n + 68 = 9057;
к) 5905 — 21 v = 316;
л) 34s — 68 = 68;
м) 54b — 28 = 26.

640. Животноводческая ферма обеспечивает привес 750 г на одно животное в сутки. Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?

641. В двух больших и пяти маленьких бидонах 130 л молока. Сколько молока входит в маленький бидон, если его вместимость в четыре раза меньше вместимости большего?

642. Собака увидела хозяина, когда была от него на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4 с; через 10 с; через t с?

643. Решите с помощью уравнения задачу:

1) У Михаила в 2 раза больше орехов, чем у Николая, а у Пети в 3 раза больше, чем у Николая. Сколько орехов у каждого, если у всех вместе 72 ореха?

2) Три девочки собрали на берегу моря 35 ракушек. Галя нашла в 4 раза больше, чем Маша, а Лена — в 2 раза больше, чем Маша. Сколько ракушек нашла каждая девочка?

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 (6906 — 6841) : 5 — 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

1. Умножить 271 на 49.
2. Разделить 1001 на 13.
3. Результат выполнения команды 2 умножить на 24.
4. Сложить результаты выполнения команд 1 и 3.

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

647. Решите уравнение:

а) Зх + bх + 96 = 1568;
б) 357z — 1492 — 1843 — 11 469;
в) 2у + 7у + 78 = 1581;
г) 256m — 147m — 1871 — 63 747;
д) 88 880: 110 + х = 809;
е) 6871 + р: 121 = 7000;
ж) 3810 + 1206: у = 3877;
з) к + 12 705: 121 = 105.

648. Найдите частное:

а) 1 989 680: 187; в) 9 018 009: 1001;
б) 572 163: 709; г) 533 368 000: 83 600.

649. Теплоход 3 ч шел по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 ч по реке. Сколько километров прошел теплоход за эти 7 ч, если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

650. Сейчас расстояние между собакой и кошкой 30 м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки — 7 м/с?

651. Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?

Н. Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планы конспектов уроков по математике 5 класса скачать , учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн

Содержание урока

конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации

аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения

рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие

Совершенствование учебников и уроков

исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей

идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

При расчётах примеров нужно соблюдать определённый порядок действий. С помощью правил ниже, мы разберёмся в каком порядке выполняются действия и для чего нужны скобки.

Если в выражении скобок нет, то:

сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления;

а потом слева направо все действия сложения и вычитания.

Рассмотрим порядок действий в следующем примере.

Напоминаем вам, что порядок действий в математике расставляется слева направо (от начала к концу примера).

При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.

Первый способ

• Каждое действие записывается отдельно со своим номером под примером.
• После выполнения последнего действия ответ обязательно записывается в исходный пример.

При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.

Второй способ

• Второй способ называется запись «цепочкой». Все вычисления проводятся в точно таком же порядке действий, но результаты записываются сразу после знака равно.

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

Порядок действий и возведение в степень

Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

• Сначала выполняем все действия внутри скобок
• Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени, слева направо (от начала к концу примера).
• Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

• действия выполняются по порядку слева направо,
• причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2:3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

cleverstudents.ru

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Post navigation

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

• Если в примере нет скобок , мы выполняем все действия по порядку, слева направо.
• Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, и лишь потом все остальные действия, начиная слева направо.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20.

Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

• Если в примере нет скобок , сначала выполняем действия умножения и деления по порядку, слева направо. Затем — действия сложения и вычитания по порядку, слева направо.
• Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и затем — сложение и вычитание начиная слева направо.

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 — 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Порядок действий в математике 4 класс

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

• При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
• Начать следует с умножения, далее – сложение.
• После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
• По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
• Завершающим этапом станет вычитание.

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

detskoerazvitie.info

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Цель: 1.

2.

3. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 – 6, понятия делителя и

4. Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование * : + — (), геометрический материал.

Раз, два – выше голова.

Три, четыре – руки шире.

Пять, шесть – всем присесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

Но сначала придется узнать его название. Для этого нужно выполнить несколько заданий:

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 дм 5 см… 4 дм 5 см

Пока мы вспоминали о порядке действий в выражениях, с замком происходили чудеса. Мы были только что у ворот, а теперь попали в коридор. Смотрите, дверь. А на ней замок. Откроем?

1. Из числа 20 вычесть частное чисел 8 и 2.

2. Разность чисел 20 и 8 разделить на 2.

— Чем отличаются результаты?

— Кто сможет назвать тему нашего урока?

(на массажных ковриках)

По дорожке, по дорожке

Скачем мы на правой ножке,

Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,

Наше предположение было полностью правильно7

Где выполняются действия сначала, если в выражении есть скобки?

Смотрите перед нами «живые примеры». Давайте «оживим» их.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k: b + (a – c) * t

6. Работа в парах.

Для их решения вам понадобиться геометрический материал.

Учащиеся выполняют задания в парах. После выполнения проверка работы пар у доски.

Что нового вы узнали?

8. Домашнее задание.

Тема: Порядок действий в выражениях со скобками.

Цель: 1. Вывести правило порядка действий в выражениях со скобками, содержащих все

4 арифметических действия,

2. Формировать способность к практическому применению правила,

4.Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование : учебник, тетради, карточки со знаками действий * : + — (), геометрический материал.

1 .Физминутка.

Девять, десять – тихо сесть.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы с вами отправляемся в очередное путешествие по стране Знаний городу математика. Нам предстоит посетить один дворец. Что-то я забыла его название. Но не будем расстраиваться, вы сами сможете мне подсказать его название. Пока я переживала, мы подошли к воротам дворца. Войдем?

1. Сравните выражения:

2. Расшифруй слово.

3. Постановка проблемы. Открытие нового.

Так как же называется дворец?

А когда в математике мы говорим о порядке?

Что вы уже знаете о порядке выполнения действий в выражениях?

— Интересно, нам предлагают записать и решить выражения (учитель читает выражения, учащиеся записывают их и решают).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Молодцы. А что интересного в этих выражениях?

Посмотрите на выражения и их результаты.

— Что общего в записи выражений?

— Как вы думаете, почему получились разные результаты, ведь числа были одинаковые?

Кто рискнет сформулировать правило выполнения действий в выражениях со скобками?

Правильность этого ответа мы сможем проверить в другой комнате. Отправляемся туда.

4. Физминутка.

И по этой же дорожке

До горы мы добежим.

Стоп. Немножко отдохнем

И опять пешком пойдем.

5. Первичное закрепление изученного.

Вот мы и пришли.

Нам нужно решить еще два выражения, чтобы проверить правильность нашего предположения.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Для проверки правильности предположения откроем учебники на стр. 33 и прочитаем правило.

Как нужно выполнять действия после решения в скобках?

На доске написаны буквенные выражения и лежат карточки со знаками действий * : + — (). Дети выходят к доске по одному, берут карточку с тем действием, которое нужно сделать сначала, потом выходит второй ученик и берет карточку со вторым действием и т. д.

а + (а –в)

а * (в +с) : d – t

m – c * ( a + d ) + x

k : b + ( a – c ) * t

(a – b) : t + d

6. Работа в парах. Автономная некоммерческая организация Бюро судебных экспертиз Судебная экспертиза. Несудебная экспертиза Рецензия на экспертизу. Оценка Автономная некоммерческая организация «Бюро судебных экспертиз» в Москве – центр […]

• Особенности бухгалтерского учета субсидий Государство стремится поддержать малое и среднее предпринимательство. Такая поддержка наиболее часто выражается в форме предоставления субсидий – безвозмездных выплат из […]
• Жалоба на педиатра Жалоба на педиатра — официальный документ, устанавливающий требования пациента и описывающий суть возникновения таких требований. Согласно статье 4 Федерального закона «О порядке рассмотрения […]
• Ходатайство об уменьшении размера исковых требований Один из видов уточнения иска — ходатайство об уменьшении размера исковых требований. Когда истец неправильно определил цену иска. Или ответчик частично исполнил […]
• Черный рынок доллара в Киеве Валютный аукцион по покупке доллара в Киеве Внимание: администрация не несёт ответственности за содержание объявлений на валютном аукционе. Правила публикации объявлений на валютном […]

Тема урока: « Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».

Цель урока : создать условия для закрепления умений применять знания о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками в различных ситуациях, умений решать задачи выражением.

Задачи урока.

Образовательные:

Закрепить знания учащихся о правилах выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками; формировать у них умение пользоваться этими правилами при вычислении конкретных выражений; совершенствовать вычислительные навыки; повторить табличные случаи умножения и деления;

Развивающие:

Развивать вычислительные навыки, логическое мышление, внимание, память, познавательные способности учащихся,

коммуникативные навыки;

Воспитательные:

Воспитывать толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество,

культуру поведения на уроке, аккуратность, самостоятельность, воспитывать интерес к занятиям математикой.

Формируемые УУД:

Регулятивные УУД:

работать по предложенному плану, инструкции;

выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала;

осуществлять самоконтроль.

Познавательные УУД:

знать правила порядка выполнения действий:

уметь разъяснить их содержание;

понимать правило порядка выполнения действий;

находить значения выражений согласно правилам порядка выполнения;

действий, используя для этого текстовые задачи;

записывать решение задачи выражением;

применять правила порядка выполнения действий;

уметь применять полученные знания при выполнении контрольной работы.

Коммуникативные УУД:

слушать и понимать речь других;

выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

допускать возможность различных точек зрения, стремиться понимать позицию собеседника;

работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом), участвовать в обсуждениях, работая в паре;

Личностные УУД:

устанавливать связь между целью деятельности и её результатом;

определять общие для всех правила поведения;

выражать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Планируемый результат:

Предметные:

Знать правила порядка выполнения действий.

Уметь разъяснить их содержание.

Уметь решать задачи с помощью выражений.

Личностные:
Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение(Регулятивные УУД ).

Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД ).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД ).

Ход урока

1. Организационный момент.

Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

И друг другу улыбнитесь.

Займите свои рабочие места.

Открыли тетради, записали число и классная работа.

2. Актуализация знаний.

На уроке нам с вами предстоит подробно рассмотреть порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками.

Устный счёт.

Игра «Найди правильный ответ».

(У каждого ученика лист с числами)

Я читаю задания, а вы, выполнив в уме действия, должны полученный результат, т. е. ответ, зачеркнуть крестиком.

Я задумала число, из него вычла 80, получила 18. Какое число я задумала? (98)

Я задумала число, к нему прибавила 12, получила 70. Какое число я задумала? (58)

Первое слагаемое 90, второе слагаемое 12. Найдите сумму. (102)

Соедините полученные результаты.

Какую геометрическую фигуру вы получили? (Треугольник)

Расскажите, что вы знаете о данной геометрической фигуре. (Имеет 3 стороны, 3 вершины, 3 угла)

Продолжаем работать по карточке.

Найдите разность чисел 100 и 22. (78)

Уменьшаемое 99, вычитаемое 19. Найдите разность. (80).

Возьмите число 25 4 раза. (100)

Начертите внутри треугольника еще 1 треугольник, соединяя полученные результаты.

Сколько треугольников получилось? (5)

3. Работа над темой урока. Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

4. Закрепление Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. В ходе выполнения заданий определяли, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнали, отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренировались в применении изученного правила, искали и исправляли ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Знакомство со сложными формулами в Excel

В этом уроке мы познакомимся с понятием Сложная формула в Excel, а также разберем порядок выполнения действий при решении таких формул. Представленная информация является базовой и предназначена в первую очередь для начинающих пользователей Microsoft Excel. 2). 2=4.

Деление

Далее мы выполним все операции умножения и деления, в порядке следования слева направо. Поскольку деление встречается раньше умножения, то деление выполняется первым: 3/4=0,75.

Умножение

Теперь мы выполним оставшуюся операцию умножения: 0,75*4=3.

Сложение

Далее мы выполним все операции сложения и вычитания, в порядке следования слева направо. Поскольку сложение встречается раньше вычитания, то сложение выполняется первым: 10+3=13.

Вычитание

В заключение остается последнее действие – вычитание: 13-1=12.

В итоге мы получили ответ: 12.

Точно такой же результат вы получите, если введете эту формулу в Excel.

Как видите, в этом нет ничего сложного!

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Порядке очереди умножение деление. Порядок выполнения действий, правила, примеры

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тема урока: « Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».

Цель урока : создать условия для закрепления умений применять знания о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками в различных ситуациях, умений решать задачи выражением.

Задачи урока.

Образовательные:

Закрепить знания учащихся о правилах выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками; формировать у них умение пользоваться этими правилами при вычислении конкретных выражений; совершенствовать вычислительные навыки; повторить табличные случаи умножения и деления;

Развивающие:

Развивать вычислительные навыки, логическое мышление, внимание, память, познавательные способности учащихся,

коммуникативные навыки;

Воспитательные:

Воспитывать толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество,

культуру поведения на уроке, аккуратность, самостоятельность, воспитывать интерес к занятиям математикой.

Формируемые УУД:

Регулятивные УУД:

работать по предложенному плану, инструкции;

выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала;

осуществлять самоконтроль.

Познавательные УУД:

знать правила порядка выполнения действий:

уметь разъяснить их содержание;

понимать правило порядка выполнения действий;

находить значения выражений согласно правилам порядка выполнения;

действий, используя для этого текстовые задачи;

записывать решение задачи выражением;

применять правила порядка выполнения действий;

уметь применять полученные знания при выполнении контрольной работы.

Коммуникативные УУД:

слушать и понимать речь других;

выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

допускать возможность различных точек зрения, стремиться понимать позицию собеседника;

работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом), участвовать в обсуждениях, работая в паре;

Личностные УУД:

устанавливать связь между целью деятельности и её результатом;

определять общие для всех правила поведения;

выражать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Планируемый результат:

Предметные:

Знать правила порядка выполнения действий.

Уметь разъяснить их содержание.

Уметь решать задачи с помощью выражений.

Личностные:
Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение(Регулятивные УУД ).

Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД ).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД ).

Ход урока

1. Организационный момент.

Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

И друг другу улыбнитесь.

Займите свои рабочие места.

Открыли тетради, записали число и классная работа.

2. Актуализация знаний.

На уроке нам с вами предстоит подробно рассмотреть порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками.

Устный счёт.

Игра «Найди правильный ответ».

(У каждого ученика лист с числами)

Я читаю задания, а вы, выполнив в уме действия, должны полученный результат, т. е. ответ, зачеркнуть крестиком.

Я задумала число, из него вычла 80, получила 18. Какое число я задумала? (98)

Я задумала число, к нему прибавила 12, получила 70. Какое число я задумала? (58)

Первое слагаемое 90, второе слагаемое 12. Найдите сумму. (102)

Соедините полученные результаты.

Какую геометрическую фигуру вы получили? (Треугольник)

Расскажите, что вы знаете о данной геометрической фигуре. (Имеет 3 стороны, 3 вершины, 3 угла)

Продолжаем работать по карточке.

Найдите разность чисел 100 и 22. (78)

Уменьшаемое 99, вычитаемое 19. Найдите разность. (80).

Возьмите число 25 4 раза. (100)

Начертите внутри треугольника еще 1 треугольник, соединяя полученные результаты.

Сколько треугольников получилось? (5)

3. Работа над темой урока. Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

4. Закрепление Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. В ходе выполнения заданий определяли, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнали, отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренировались в применении изученного правила, искали и исправляли ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

• действия выполняются по порядку слева направо,
• причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Табличка на двери

Делимость

— Делим ли мы в первую очередь или сначала умножаем, если у нас нет другой информации.

делимость — Делим сначала или сначала умножаем, если у нас нет другой информации.

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 8 лет, 6 мес назад

Просмотрено 12к раз

$ \ begingroup $

На этот вопрос уже есть ответы здесь :

Закрыт 8 лет назад.

Возможный дубликат:
Что такое 48 ÷ 2 (9 + 3)?
6/2 * (1 + 2) равно 1 или 9?
Операционный отдел

По-видимому, очень простой вопрос, но в основном мой вопрос заключается в том, будет ли ответ следующего уравнения 9 или 1?

6/2 (1 + 2)

Или, другими словами, сначала делим, а умножаем? С точки зрения языка компьютерного программирования, мы могли бы решить эту проблему либо слева направо, либо справа налево, но я хочу знать математический ответ.

Мое мнение: в вопросе недостаточно информации, чтобы решить эту проблему.

Создан 14 сен.

Аамир

11111 золотой знак11 серебряный знак44 бронзовых знака

$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

Немного уточнить свой вопрос 6/2 * (1 + 2) ок

У нас есть формула для выполнения выражений: BODMAS , что означает

Скобка деления, умножения, сложения, вычитания

и предложите свое решение следующим образом:

6/2 * (1 + 2)

6/2 * (3)

3 * (3)

9

Создан 14 сен.

$ \ endgroup $ 3

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками делимость или задайте свой вопрос.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Порядок операций — Бесплатная математическая справка

Введение

Порядок операций — очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики.В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь. Возьмите это уравнение в качестве примера:

$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным. Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55.К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.

Правильный порядок действий

Порядок действий позволит вам решить эту проблему правильно. Порядок следующий: Круглая скобка , Экспоненты , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание . Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями. После этого выполните все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.

Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, чтобы соответствовать этому, например: « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally». Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка действий.

Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.

$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

Шаг 1) Круглые скобки.Нет ни одного. Двигаться дальше.

Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжай …

Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления по мере того, как вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.

Шаг 4) Сложение и вычитание. Слева направо: 4 + 33 = 37.

$$ 4 + 6 \ div 2 * 11 $$ $$ 4 + 3 * 11 $$ $$ 4 + 33 $$ $$ 37 $$

Вся идея состоит в том, чтобы просто следовать правилу: PEMDAS. Теперь мы можем попытаться решить проблему со скобками и показателями степени.2 \ div 5 $$ $$ 5 + 144 \ div 5 $$ $$ 5 + 28,8 $$ 33,8 $ $

К настоящему времени вы должны иметь базовое представление о порядке операций. Чтобы продолжить изучение этой темы, вы можете продолжать просматривать наш сайт или попробовать поискать в Интернете на Yahoo или Google. MathGoodies.com также предлагает отличный урок о порядке операций.

Математическое уравнение, которое попыталось поставить в тупик Интернет

---

Подробнее о математике в The Times Стивен Строгац

---

Чтобы помочь учащимся в США запомнить этот порядок операций, учителя вставляют в них аббревиатуру PEMDAS: скобки, показатели, умножение, деление, сложение, вычитание.Другие учителя используют эквивалентную аббревиатуру BODMAS: скобки, порядки, деление и умножение, а также сложение и вычитание. Третьи советуют своим ученикам запомнить маленькую частушку: «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

[ Эта математическая задача — не первый раз, когда Интернет раскололся. Помните Янни и Лорел? Как насчет цвет этого платья ? ]

А теперь поймите, что следование за тетей Салли — это чисто условный вопрос.В этом смысле PEMDAS произвольна. Более того, по моему опыту математика, выражения вроде 8 ÷ 2 × 4 выглядят абсурдно надуманными. Ни один профессиональный математик никогда не написал бы что-то столь явно неоднозначное. Мы бы вставили круглые скобки, чтобы обозначить наш смысл и указать, следует ли сначала выполнить деление или умножение.

В последний раз, когда это появилось в Твиттере, я отреагировал возмущенно: казалось смешным, что мы тратим так много времени в школьной программе на такую ​​софизму.Но теперь, будучи просветленным некоторыми из моих компьютерных друзей в Твиттере, я пришел к пониманию того, что условности важны и от них могут зависеть жизни. Мы знаем это всякий раз, когда выезжаем на шоссе. Если все остальные едут по правой стороне дороги (как в США), вам будет разумно последовать их примеру. То же самое, если все остальные едут слева, как в Соединенном Королевстве. Неважно, какая конвенция принята, если все ее соблюдают.

Точно так же важно, чтобы каждый, кто пишет программное обеспечение для компьютеров, электронных таблиц и калькуляторов, знал правила порядка операций и следовал им.Для остальных из нас сложности PEMDAS менее важны, чем более крупный урок о том, что условности имеют свое место. Это двойная желтая линия по центру дороги — бесконечный знак равенства — и общее соглашение о понимании друг друга, совместной работе и избежании лобовых столкновений. В конечном счете, 8 ÷ 2 (2 + 2) — это не столько утверждение, сколько кирпичная кладка; это все равно, что написать фразу «ест побеги и листья» и прийти к выводу, что язык капризен. Ну да, при отсутствии знаков препинания это так; вот почему мы изобрели этот материал.

Итак, от имени всех учителей математики, пожалуйста, извините нас за то, что вы натренируете себя в молодости на этой скуке. Мои дочери тратили на это несколько недель каждый учебный год в течение нескольких лет обучения, как будто готовились стать автоматами. Неудивительно, что так много студентов начинают рассматривать математику как бесчеловечный и бессмысленный набор произвольных правил и процедур. Очевидно, что если этот последний приступ беспорядка в Интернете является каким-либо признаком, многие студенты не могут усвоить более глубокий и важный урок. Возможно, пора перестать извинять дорогую тетю Салли и вместо этого обнять ее.

Правило PEMDAS: понимание порядка операций

Каждый, кто посещал математические курсы в США, слышал аббревиатуру «PEMDAS» раньше. Но что именно это означает? Здесь мы подробно объясним значение PEMDAS и то, как он используется , прежде чем дать вам несколько примеров задач PEMDAS, чтобы вы могли практиковать то, что вы узнали.

PEMDAS Значение: что это означает?

PEMDAS — это аббревиатура, предназначенная для того, чтобы помочь вам запомнить порядок операций, используемых для решения математических задач. Обычно произносится как «пем-дасс», «пем-дозз» или «пем-досс».

Вот что означает каждая буква в PEMDAS:

• P аренцев
• E xponents
• M ultiplication и D ivision
• A ddition и S ubtraction

Порядок букв показывает порядок, в котором вы должны решать различные части математической задачи , причем выражения в скобках идут первыми, а сложение и вычитание — последними.

Многие ученики используют этот мнемонический прием, чтобы помочь им запомнить каждую букву: Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли .

В Великобритании и других странах студента обычно изучают PEMDAS как BODMAS . Значение BODMAS такое же, как значение PEMDAS — просто используется пара разных слов. В этом аббревиатуре B обозначает «скобки» (то, что мы в США называем круглыми скобками), а O обозначает «порядки» (или показатели).

Итак, как именно вы используете правило PEMDAS? Давайте взглянем.

Как вы используете PEMDAS?

PEMDAS — это аббревиатура, используемая для напоминания людям о порядке операций.

Это означает, что вы не просто решаете математические задачи слева направо; скорее, вы решаете их в заранее определенном порядке, который указан вам через аббревиатуру PEMDAS . Другими словами, вы начнете с упрощения любых выражений в круглых скобках, прежде чем упрощать любые экспоненты и переходить к умножению и т. Д.

Но это еще не все.Вот что означает PEMDAS для решения математических задач:

• Круглые скобки: Все, что указано в скобках, необходимо сначала упростить
• Показатели степени: Все, что имеет показатель степени (или квадратный корень), должно быть упрощено после Все, что указано в скобках, было упрощено
• Умножение и деление: После того, как разобрались со скобками и показателями, решите любое умножение и деление слева направо
• Сложение и вычитание: После того, как разобрались со скобками, экспонентами, умножением и делением, решите любое сложение и вычитание слева направо

Если какой-либо из этих элементов отсутствует (например,g. , у вас есть математическая задача без показателей), вы можете просто пропустить этот шаг и перейти к следующему.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, чтобы помочь вам лучше понять правило PEMDAS:

4 (5 — 3) ² — 10 ÷ 5 + 8

У вас может возникнуть соблазн решить эту математическую задачу слева направо, но это приведет к неправильному ответу! Итак, вместо этого давайте использовать PEMDAS, чтобы помочь нам подойти к нему в соответствии с правильным подходом к .

Мы знаем, что сначала нужно разобраться со скобками.В этой задаче заключены одни скобки: (5 — 3). Упрощение дает нам 2 , поэтому теперь наше уравнение выглядит так:

4 (2) ² — 10 ÷ 5 + 8

Следующая часть PEMDAS — экспоненты (и квадратные корни). В этой задаче есть один показатель степени, который возводит в квадрат число 2 (то есть то, что мы нашли, упростив выражение в скобках).

Это дает нам 2 × 2 = 4. Итак, теперь наше уравнение выглядит так:

4 (4) — 10 ÷ 5 + 8 ИЛИ 4 × 4 — 10 ÷ 5 + 8

Далее идет умножение и деление слева направо . Наша задача содержит как умножение, так и деление, которые мы будем решать слева направо (сначала 4 × 4, а затем 10 ÷ 5). Это упрощает наше уравнение следующим образом:

16-2 + 8

Наконец, все, что нам нужно сделать, это решить оставшееся сложение и вычитание слева направо :

16-2 + 8
14 + 8
= 22

Окончательный ответ: 22. Не верите? Вставьте все уравнение в свой калькулятор (написанное в точности так, как указано выше), и вы получите тот же результат!

Дэвид Геринг / Flickr

Примеры математических задач с использованием PEMDAS + ответы

Посмотрите, сможете ли вы правильно решить следующие четыре проблемы, используя правило PEMDAS.Мы рассмотрим ответы позже.

Пример задач PEMDAS

1. 11-8 + 5 × 6
2. 8 ÷ 2 (2 + 2)
3. 7 × 4 — 10 (5 — 3) ÷ 2²
4. √25 (4 + 2) ² — 18 ÷ 3 (3 — 1) + 2³

ответов

1. 33
2. 16
3. 23
4. 176

Ответ объяснения

Здесь мы рассмотрим каждую проблему, указанную выше, и то, как вы можете использовать PEMDAS, чтобы получить правильный ответ.

# 1 Объяснение ответа

11-8 + 5 × 6

Эта математическая задача представляет собой довольно простой пример PEMDAS, который использует сложение, вычитание и умножение только , поэтому здесь не нужно беспокоиться о скобках или показателях степени.

Мы знаем, что умножение предшествует сложению и вычитанию , поэтому вам нужно начать с умножения 5 на 6, чтобы получить 30:

.

11–8 + 30

Теперь мы можем просто работать слева направо над сложением и вычитанием:

11-8 + 30
3 + 30
= 33

Это приводит нас к , правильный ответ — 33 .

# 2 Объяснение ответа

8 ÷ 2 (2 + 2)

Если эта математическая задача кажется вам знакомой, возможно, это связано с тем, что стал вирусным в августе 2019 года из-за неоднозначной настройки . Многие люди спорили о том, был ли правильный ответ 1 или 16, но, как мы все знаем, в математике есть (почти всегда!) Только один действительно правильный ответ .

Так что это: 1 или 16?

Давайте посмотрим, как PEMDAS может дать нам правильный ответ.В этой задаче есть скобки, деление и умножение. Итак, мы начнем с упрощения выражения в скобках, согласно PEMDAS:

.

8 ÷ 2 (4)

В то время как большинство людей в сети до этого момента соглашались, многие не соглашались с тем, что делать дальше: умножить ли 2 на 4 или разделить 8 на 2?

PEMDAS может ответить на этот вопрос: когда дело доходит до умножения и деления, вы всегда работаете слева направо. Это означает, что вы действительно должны разделить 8 на 2, прежде чем умножить на 4.

Было бы полезно взглянуть на проблему таким образом, поскольку люди склонны запутаться в круглых скобках (помните, что все, что находится рядом с круглыми скобками, умножается на на значение, указанное в скобках):

8 ÷ 2 × 4

Теперь решим уравнение слева направо:

8 ÷ 2 × 4
4 × 4
= 16

Правильный ответ — 16. Любой, кто утверждает, что это 1, определенно неправ — и явно неправильно использует PEMDAS!

Если бы только эти примеры проблем PEMDAS были такими простыми…

# 3 Объяснение ответа

7 × 4 — 10 (5 — 3) ÷ 2²

Теперь все становится немного сложнее.

В этой математической задаче есть скобки, показатель степени, умножение, деление, вычитание и . Но не расстраивайтесь — давайте поработаем над уравнением, шаг за шагом.

Во-первых, согласно правилу PEMDAS, мы должны упростить то, что в скобках :

7 × 4 — 10 (2) ÷ 2²

Легко и просто, правда? Затем давайте упростим показатель степени :

7 × 4 — 10 (2) ÷ 4

Все, что осталось, — это умножение, деление и вычитание.Помните, что с умножением и делением мы просто работаем слева направо:

7 × 4-10 (2) ÷ 4
28-10 (2) ÷ 4
28-20 ÷ 4
28-5

После того, как вы умножили и разделили, вам просто нужно сделать вычитание , чтобы решить его:

28 — 5
= 23

Это дает нам правильный ответ 23 .

# 4 Объяснение ответа

√25 (4 + 2) ² — 18 ÷ 3 (3 — 1) + 2³

Эта проблема может показаться пугающей, но я обещаю, что это не так! Если вы подходите к ней по шагам, используя правило PEMDAS , вы сможете решить ее в кратчайшие сроки.

Сразу видно, что эта задача содержит всех компонентов PEMDAS : скобки (два набора), экспоненты (два и квадратный корень), умножение, деление, сложение и вычитание. Но на самом деле это не отличается от любой другой математической задачи, которую мы решали.

Во-первых, мы должны упростить то, что заключено в два набора круглых скобок:

√25 (6) ² — 18 ÷ 3 (2) + 2³

Затем мы должны упростить все экспоненты — , включая квадратные корни :

5 (36) — 18 ÷ 3 (2) + 8

Теперь мы должны произвести умножение и деление слева направо:

5 (36) — 18 ÷ 3 (2) + 8
180 — 18 ÷ 3 (2) + 8
180 — 6 (2) + 8
180 — 12 + 8

Наконец, решаем оставшееся сложение и вычитание слева направо:

180 — 12 + 8
168 + 8
= 176

Это приводит нас к и правильному ответу 176 .

Что дальше?

Еще одна математическая аббревиатура, которую вам следует знать — SOHCAHTOA. В нашем экспертном руководстве рассказывается, что означает аббревиатура SOHCAHTOAH и как вы можете использовать ее для решения задач, связанных с треугольниками.

Готовитесь к разделу SAT или ACT Math? Тогда вы обязательно захотите ознакомиться с нашим полным руководством по SAT Math / ACT Math, которое дает вам множество советов и стратегий для этого сложного раздела.

Заинтересованы в действительно больших цифрах? Узнайте, что такое гугол и гуголплекс, а также почему невозможно выписать одно из этих чисел.

Порядок операций и вычисление выражений

Порядок операций и вычисление выражений

Порядок операций
Когда числовое выражение включает две или более операций, существует особый порядок, в котором эти операции должны выполняться.

При оценке выражения действуйте в следующем порядке:

1. скобки заключаются в первую очередь.
Далее выполняется
2. экспонентов.
3. умножение и деление выполняются слева направо.
4. сложение и вычитание выполняются слева направо.

Правильное применение «порядка операций» необходимо при работе с такими математическими темами, как вычисление формул, решение уравнений, вычисление алгебраических выражений и упрощение одночленов и многочленов.

Есть фраза, которая может помочь вам запомнить этот порядок: PEMDAS
Круглые скобки, экспоненты, (умножение / деление), (сложение / вычитание)

Пока PEMDAS перечисляет M перед D, помните, что умножение и деление выполняются так, как читаются слева направо.Не всегда бывает так, что умножение выполняется «до» деления.
Выражение 16 ÷ 4 x 2 = 8 (не 2).
То же верно и для сложения и вычитания: 8 — 4 + 2 = 6 (не 2).

Причина, по которой (умножение и деление — MD) и (сложение и вычитание — AS) «сгруппированы» в круглых скобках, заключается в том, что, когда эти операции находятся рядом друг с другом, вы выполняете математику от слева направо. Вы не всегда сначала делаете умножение или сложение. Это может быть тот случай, когда деление будет выполнено ДО умножения или вычитания будет сделано ДО сложения.

Подробнее:

Может быть полезно построить таблицу PEMDAS. Отметьте операцию после ее выполнения. Для операций, которые не являются частью проблемы, поставьте дефис.

1. Сначала упростите скобки, начиная с самой внутренней группы, и отметьте поле «P».
2. Упростите любые степени (экспоненты) и отметьте поле «E».
3. Выполните умножение и деление в порядке слева направо и отметьте поля «M» и «D».
4. Выполняйте сложение и вычитание в последнюю очередь. Помните, что если операции написаны рядом друг с другом, работайте слева направо и отметьте последние два поля.

При наличии двух или более скобок или символов группировки сначала выполняется самый внутренний символ группировки.

Пример 1: Упростить 40-2 (6-4) ²

Пример 2: Упростить 30 — (8-15 ÷ 3) × 2

Пример 3: Упростить: 2 (20 — 3 ² + 1) — (42 ÷ 2 × 3)

Очень важно понимать, что НЕОБХОДИМО, чтобы заказ был выполнен неправильно !!!

Математика

Типы чисел Порядок операций

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень — все это операции над действительными числами, то есть действия, которые вы делаете с действительными числами.Для сложных арифметических выражений важно выполнять операции в правильном порядке. Так что тактика «какой бы порядок я ни чувствовал» не сработает для вас так хорошо.

Этот правильный порядок задается волшебной фразой «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли» (PEMDAS). Бедная, дорогая тетя Салли; Иногда она немного сбивается с толку, и ей нужны сокращения, чтобы напоминать ей, как решать свои любимые математические уравнения.

Буквы обозначают арентезы P, , компоненты E , ультипликацию M и абстракцию D , добавление A и убирание S , в том порядке, в котором мы хотим их делать.Обратите внимание, что «Умножение и деление» и «Сложение и вычитание» сгруппированы вместе. Это потому, что умножение не обязательно должно выполняться перед делением — вам просто нужно завершить все операции умножения на и деления, прежде чем вы начнете сложение и вычитание. Не расстраивайтесь, если сначала не поняли. Тетя Салли пыталась понять эту концепцию в течение 40 лет, но она до сих пор ускользает от нее.

Пример задачи

Сначала оценим вещи в скобках.Мы не можем упростить (4) больше, чем оно уже есть, поэтому перейдем к показателям степени.

Затем умножение и деление:

6 — 1

И, наконец, сложение и вычитание:

5

При сложении и вычитании мы работаем слева направо. Если вы не уверены, проверьте, у какой из ваших туфель есть большая буква «L» на подошве.

Пример задачи

Что такое 4 — 6 — 2?

У нас нет скобок, показателей степени, умножения, деления или сложения, поэтому сразу переходим к вычитанию.Однако, как обычно, мы должны двигаться слева направо.

4-6-2 =
(4-6) — 2 =
-2-2 = -4

Обратите внимание, что если бы мы сначала вычли 6-2, мы получили бы совершенно другое (и неправильное) ответ:

4 — (6-2) =
4-4 = 0

Мы также работаем слева направо при оценке умножения и деления.

Пример задачи

Что такое 3 × 4 ÷ 2 ÷ 6?

Здесь есть только умножение и деление, так что давайте продолжим слева направо.

3 × 4 ÷ 2 ÷ 6 =
12 ÷ 2 ÷ 6 =
6 ÷ 6 = 1

Если бы мы работали справа налево, мы бы получили другой ответ:

Один из способов отслеживать Ваша задача — разбить задачу на части, разделенные знаками сложения или вычитания. Каменный молоток или ступка с пестиком подойдут.

Пример задачи

Теперь проработайте каждую из частей:

=
6 + 2 — 0 — 4

Затем объедините ответы по частям:

6 + 2 — 0 — 4 = 4

Пример задачи

Ага, что за зверь.Давайте разберем его на более мелкие части, каждый из которых разделен знаком плюс или минус (поскольку сложение и вычитание идут последними).

=
3 + 6 × 16 — 6 × 1

Теперь мы обрабатываем это умножение.

3 + 6 × 16 — 6 × 1 =
3 + 96 — 6

И, наконец, мы качаем сложение и вычитание слева направо.

3 + 96 — 6 = 93

Хорошо, но, пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли, это действительно долгая вещь, которую нужно запомнить. И мы уже потратили последние 10 лет, пытаясь заблокировать ее.Здесь, в Shmoop, мы любим упрощать вещи («Shmoop» на самом деле является сокращением от «Shmoopalumpagus»).

Мы видели, что вычитание можно заменить добавлением отрицательного числа, а деление — умножением обратного числа. Итак, все, что нам нужно запомнить, , , это «Пожалуйста, извините мою тётю». Сначала сделайте то, что указано в круглых скобках, затем возьмите все экспоненты, затем умножьте, затем сложите. Просто помните, что деление = умножение на обратное, а вычитание = добавление отрицательного числа. Да, в любом случае тебе придется кое-что вспомнить.C’est l’algebra.

Давайте рассмотрим последний пример.

Пример задачи

Хорошо, давайте начнем с того, что заключено в круглые скобки:. Мы хотим изменить его на что-то более управляемое, прежде чем решим. Возможно, нам также стоит сменить радиостанцию. Что это, авангардный металл?

Довольно окольный путь, чтобы добраться до номера 1, но мы его возьмем.

Теперь, когда мы закончили все операции в круглых скобках, ищем экспоненты.Если они сразу не явятся, громко свистните и встряхните пакет с угощениями — они прибегут.

В первой части уравнения мы имеем 1 ² , что, конечно же, равно 1. Затем мы ищем умножение. Поскольку его нет, остается добавить -13. Вычитание такого несчастливого числа не может быть плохим.

1 + (-13) = -12

И готово!

Как происходит порядок операций в Python?

PEMDAS — P , E , MD , AS ; умножение и деление имеют одинаковый приоритет , и то же самое касается сложения и вычитания.Когда оператор деления появляется перед умножением, сначала идет деление.

Порядок выполнения операторов Python определяется приоритетом операторов и подчиняется тем же правилам. Операторы с более высоким приоритетом выполняются перед операторами с более низким приоритетом, но операторы имеют , соответствующий приоритету , когда они находятся в одной группе.

Для 10-7 // 2 * 3 + 1 у вас есть 2 класса операторов, от низшего к высшему:

• +, - (соответствует AS == сложение и вычитание )
• *, @, /, //,% (коррелирует с MD , поэтому умножение и деление ).

Итак, // и * выполняются первыми; умножение и деление попадают в одну и ту же группу , здесь нет установленного порядка ( MD не означает, что умножение предшествует делению):

 10 - ((7 // 2) * 3) + 1
  

Итак, 7 // 2 выполняется первым, затем следует умножение на 3. Затем вы получаете вычитание из десяти и добавление единицы в конце.

---

Мы упустили проблему, которая не влияет на ваш конкретный случай, но очень важна для написания реальных программ Python.PEMDAS на самом деле не означает порядка операций; он не решает, в каком порядке будут оцениваться вещи. На самом деле, дело в группировке аргументов .

Как решить пример по действиям. Правила решения примеров по действиям со скобками

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Порядок выполнения действий — Математика 3 класс (Моро)

Краткое описание:

В жизни вы постоянно совершаете различные действия: встаете, умываетесь, делаете зарядку, завтракаете, идете в школу. Как вы думаете, можно ли поменять этот порядок действий? Например, позавтракать, а потом умыться. Наверное, можно. Может быть, будет не очень удобно завтракать неумытому, но ничего страшного из-за этого не случится. А в математике можно ли менять порядок действий по своему усмотрению? Нет, математика – точная наука, поэтому даже малейшие изменения в порядке действий приведут к тому, что ответ числового выражения станет неверным. Во втором классе вы уже познакомились с некоторыми правилами порядка действий. Так, вы, наверное, помните, что руководят порядком в выполнении действий скобки. Они показывают, что действия нужно выполнить первым. Какие существуют другие правила порядка действий? Отличается ли порядок действий в выражениях со скобками и без скобок? На эти вопросы вам предстоит найти ответы в учебнике математики 3 класса при изучении темы «Порядок выполнения действий». Вы должны обязательно потренироваться в применении изученных правил, а если понадобиться, то найти и исправить ошибки в установлении порядка действий в числовых выражениях. Помните, пожалуйста, что порядок важен в любом деле, но в математике он имеет особое значение!

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

• При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
• Начать следует с умножения, далее – сложение.
• После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
• По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
• Завершающим этапом станет .

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

Составление выражения со скобками

1. Составь из следующих предложений выражения со скобками и реши их.

Из числа 16 вычти сумму чисел 8 и 6.
Из числа 34 вычти сумму чисел 5 и 8.
Сумму чисел 13 и 5 вычесть из числа 39.
Разность чисел 16 и 3 прибавь к числу 36
Разность чисел 48 и 28 прибавь к числу 16.

2. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

2. 1. Папа принёс из леса мешок с орехами. Коля взял из мешка 25 орешков и съел. За тем Маша взяла из мешка 18 орешков. Мама то же взяла из мешка 15 орешков, но положила обратно 7 из них. Сколько осталось в итоге орешков в мешке, если в начале их было 78?

2.2. Мастер ремонтировал детали. В начале рабочего дня их было 38. В первой половине дня он смог отремонтировать 23 из них. После полудня ему принесли еще столько же, сколько было в самом начале дня. Во второй половине он отремонтировал еще 35 деталей. Сколько деталей ему осталось отремонтировать?

3. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 — 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 — 12: 4
18: 3 — 5 + 6 * 8

Решение выражений со скобками

1. Реши примеры правильно раскрывая скобки:

Табличка на двери

1 + (4 + 8) =	8 — (2 + 4) =	3 + (6 — 5) =	59 + 25 =
82 + 14 =	29 + 52 =	18 + 47 =	39 + 53 =
37 + 53 =	25 + 63 =	87 + 17 =	19 + 52 =

2. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

2.1. 36: 3 + 12 * (2 — 1) : 3
2.2. 39 — (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 — 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 — 4

3. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

3.1. На складе было 25 упаковок стирального порошка. В один магазин увезли 12 упаковок. За тем во второй магазин увезли столько же. После этого на склад привезли в 3 раза больше упаковок, чем было раньше. Сколько упаковок порошка стало на складе?

3.2. В гостинице проживало 75 туристов. За первый день из гостиницы уехали 3 группы по 12 человек, а заехали 2 группы по 15 человек. На второй день уехали еще 34 человека. Сколько туристов осталось в гостинице к концу 2 дня?

3.3. В химчистку привезли 2 мешка одежды по 5 вещей в каждом мешке. За тем забрали 8 вещей. После полудня привезли ещё 18 вещей на стирку. А забрали только 5 выстиранных вещей. Сколько вещей в химчистке к концу дня, если в начале дня там было 14 вещей?

ФИ _________________________________

21: 3 * 6 — (18 + 14) : 8 =	63: (81: 9) + (8 * 7 — 2) : 6 =	64:2: 4+ 9*7-9*1=
37 *2 + 180: 9 – 36: 12 =	52 * 10 – 60: 15 * 1 =	72: 4 +58:2=
5 *0: 25 + (72: 1 – 0) : 9 =	21: (3 * 7) – (7* 0 + 1)*1 =	6:6+0:8-8:8=
91: 7 + 80: 5 – 5: 5 =	64:4 — 3*5 +80:2=	(19*5 – 5) : 30 =
19 + 17 * 3 – 46 =	(39+29) : 4 + 8*0=	(60-5) : 5 +80: 5=
54 – 26 + 38: 2 =	63: (7*3) *3=	(160-70) : 18 *1=
200 – 80: 5 + 3 * 4 =	(29+25): (72:8)=	72:25 + 3* 17=
80: 16 + 660: 6 =	3 * 290 – 800=	950:50*1-0=
(48: 3) : 16 * 0 =	90-6*6+29=	5* (48-43) +15:5*7=
54: 9 *8 — 14: 7 * 4 =	63: 7*4+70:7 * 5=	24: 6*7 — 7*0=
21: 7 * 8 + 32: 8 * 4 =	27: 3* 5 + 26-18 *4=	54: 6*7 — 0:1=
45: 9 * 6 + 7 * 5 – 26 =	28: 7 *9 + 6 * (54 – 47)=	6*(9: 3) — 40:5 =
21 * 1 — 56: 7 – 8 =	9 * (64: 8) — 18:18	3 *(14: 2) — 63:9=
4 * 8 + 42: 6 *5 =	0*4+0:5 +8* (48: 8)=	56:7 +7*6 — 5*1=
31 * 3 — 17 – 80: 16 * 1 =	57:19 *32 — 11 *7=	72-96:8 +60:15 *13=
36 + 42: 3 + 23 + 27 *0 =	56:14 *19 — 72:18=	(86-78:13)* 4=
650 – 50 * 4 + 900: 100 =	630: 9 + 120 * 5 + 40=	980 – (160 + 20) : 30=
940 — (1680 – 1600) * 9 =	29* 2+26 – 37:2=	72:3 +280: (14*5)=
300: (5 *60) * (78: 13) =	63+ 100: 4 – 8*0=	84:7+70:14 – 6:6=
45: 15 – 180: 90 + 84: 7 =	32+51 + 48:6 * 5=	54:6 ?2 – 70:14=
38: 2 – 48: 3 + 0 * 9 =	30:6 * 8 – 6+3*2=	(95:19) *(68:2)=
(300 — 8 * 7) * 10 =	1:1 — 0*0 + 1*0 — 1*1=	(80: 4 – 60:30) *5 =
2 * (120: 6 – 80: 20) =	56:4+96:3- 0*7=	20+ 20: 4 — 1*5=
(18 + 14) : 8 – (7 *0 + 1) *1 =	(8*7-2):6 +63: (7*3)=	(50-5) : 5+21: (3*7)=
19 + 17 * 3 – 60: 15 * 1 =	80: 5 +3*5 +80:2=	54: 9 *8-64:4 +16*0=
72 * 10 — 64: 2: 4 =	84 – 36 + 38:2	91:13+80:5 – 5:5
300 – 80: 5 + 6 * 4 =	950:190 *1+14: 7*4=	(39+29) : 17 + 8*0=
(120 — 30) : 18 * 1- 72: 25 =	210:30*60-0:1=	90-6*7+3* 17=
240: 60 *7 – 7 * 0 =	60:60+0:80-80:80=	720: 40 +580:20=
9 *7 – 9 *1 + 5 * 0: 25 =	21: 7 * 6 +32: 4 *5=	80:16 +66:6 -63:(81:9)=
(19 * 5 – 5) : 30 + 70: 7 =	15:5*7 + 63: 7 * 5=	54: 6 * 7 — (72:1-0):9=
3 *290 – 600 – 5 * (48 – 43) =	(300-89*7)*10 — 3?2=	(80: 4) +30*2+ 180: 9=
30: 6 * 8 – 6 + 48: 3 + 0 *9 =	(95:19) *(68:34) — 60:30*5=	27: 3*5 — 48:3=
3* 290 – 800 + 950: 50 =	80:16 +660:6*1-0=	90-6*6+ 15:5*7=
5*(48 — 43) + (48: 3) :16*0=	280: (14*5) +630: 9*0=	300: (50*6)* (78: 6)=

Если в примерах встретится вопросительный знак (?), следует его заменить на знак * — умножение.

1. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

35: 5 + 36: 4 — 3
26 + 6 х 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 х 6
9 х 6 – 3 х 6 + 19 – 27:3

2. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 х 4
17 + 24: 3 х 4 – 27: 3 х 2 6 х 4: 3 + 54: 6: 3 х 6 + 2 х 9
100 – 6 х 2: 3 х 9 – 39 + 7 х 4

3. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

100 – 27: 3 х 6 + 7 х 4
2 х 4 + 24: 3 + 18: 6 х 9 9 х 3 – 19 + 6 х 7 – 3 х 5
7 х 4 + 35: 7 х 5 – 16: 2: 4 х 3

4. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 6: 3 + 6 х 8 – 17
5 х 8 – 4 х 7 + 13 — 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 х 7
21: 3 – 35: 7 + 9 х 3 + 9 х 5

5. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 7 х 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 х 3
6 х 6 + 30: 5: 2 х 7 — 19 90 — 7 х 5 – 24: 3 х 5
6 х 5 – 12: 2 х 3 + 49

6. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 7 + 54: 6: 3 х 5
50 – 45: 5 х 3 + 16: 2 х 5 8 х 6 + 23 – 24: 4 х 3 + 17
48: 6 х 4 + 6 х 9 – 26 + 13

7. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 6 + (19 + 6) : 5 – 6 х 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 х 4 + 25 (27 – 19) х 4 + 18: 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74) : 2 х 7 + 7 х 4 — (63 – 27): 4
8. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

90 – (40 – 24: 3) : 4 х 6 + 3 х 5
3 х 4 + 9 х 6 – (27 + 9) : 4 х 5
(50 – 23) : 3 + 8 х 5 – 6 х 5 + (26 + 16) : 6
(5 х 6 – 3 х 4 + 48: 6) +(82 – 78) х 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5

9. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

9 х 6 – 6 х 4: (33 – 25) х 7
3 х (12 – 8) : 2 + 6 х 9 — 33 (5 х 9 — 25) : 4 х 8 – 4 х 7 + 13
9 х (2 х 3) – 48: 8 х 3 + 7 х 6 — 34

10. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 6 – 36: 6) : 6 х 3 + 5 х 9
7 х 6 + 9 х 4 – (2 х 7 + 54: 6 х 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 х 4
(7 х 4 + 33) – 3 х 6:2

11. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(37 + 7 х 4 – 17) : 6 + 7 х 5 + 33 + 9 х 3 – (85 – 67) : 2 х 5
5 х 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 х 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31) : 6

12. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 х 5 – (60 – 42) : 3 + 9 х 2
(9 х 7 + 56: 7) – (2 х 6 – 4) х 3 + 54: 9

13. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 х 5 + (13 – 5) х 4 + 5 х 4
(7 х 8 – 14: 7) + (7 х 4 + 12: 6) – 10: 5 + 63: 9

Тест «Порядок арифметических действий» (1 вариант)
1(1б)
2(1б)
3(1б)
4(3б)
5(2б)
6(2б)
7(1б)
8(1б)
9(3б)
10(3б)
11(3б)
12(3б)

110 – (60 +40) :10 х 8

а) 800 б) 8 в) 30

а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

3 4 6 5 1 2

5. В каком из выражений последнее действие умножение?
а) 1001:13 х (318 +466) :22

в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2
6. В каком из выражений первое действие вычитание?
а) 2025:5 – (524 – 24:6) х45
б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90
в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5

Выбери верный ответ:
9. 90 – (50- 40:5) х 2+ 30
а) 56 б) 92 в) 36
10. 100- (2х5+6 — 4х4) х2
а) 100 б) 200 в) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
а) 106 б) 205 в) 0
12. 150: (80 – 60:2) х 3
а) 9 б) 45 в) 1

Тест «Порядок арифметических действий»
1(1б)
2(1б)
3(1б)
4(3б)
5(2б)
6(2б)
7(1б)
8(1б)
9(3б)
10(3б)
11(3б)
12(3б)
1. Какое действие в выражении сделаешь первым?
560 – (80+20) :10 х7
а) сложение б) деление в) вычитание
2. Какое действие в этом же выражении сделаешь вторым?
а) вычитание б) деление в) умножение
3. Выбери правильный вариант ответа данного выражения:
а) 800 б) 490 в) 30
4. Выбери верный вариант расстановки действий:
а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15) в) 320:8 х 7+9х(240 – 60:15)

3 4 6 5 2 1
б) 320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15)
5. В каком из выражений последнее действие деление?
а) 1001:13 х (318 +466) :22
б) 391 х37:17 х (2248:8 – 162)
в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2
6. В каком из выражений первое действие сложение?
а) 2025:5 – (524 + 24 х6) х45
б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90
в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5
7. Выбери верное высказывание: «В выражении без скобок действия выполняются:»
а) по порядку б) х и: , затем + и — в) + и -, затем х и:
8. Выбери верное высказывание: «В выражении со скобками действия выполняются:»
а) сначала в скобках б)х и:, затем + и — в) по порядку записи
Выбери верный ответ:
9. 120 – (50- 10:2) х 2+ 30
а) 56 б) 0 в) 60
10. 600- (2х5+8 — 4х4) х2
а) 596 б) 1192 в) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
а) 106 б) 203 в) 0
12. 160: (80 – 80:2) х 3
а) 120 б) 0 в) 1

Урок математики во 2-м классе «Умножение и деление на 4. Четверть числа. Закрепление»

• Мударисова Диля Мансуровна, учитель начальных классов,

Разделы: Начальная школа

---

Цели:

• повторить умения и навыки детей в решении примеров и задач изученных видов, умении составлять и решать задачи на деление;
• упражнять учащихся в закреплении таблицы умножения и деления на 4;
• воспитание внимания и культуры умственного труда.

Оборудование:  компьютер, проигрыватель или магнитофон с записью музыки песни В. Шаинского “Дважды два четыре”, линейка, мел, таблица для устного счёта (птицы), доска, учебник “Математика 2 класс” В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева по программе “Начальная школа ХХI века”.

План урока.

1. Устный счет.
2. Работа в тетрадях. Решение примеров на табличное умножение и деление на 4.
3. Решение задачи на внимание.
4. Физкультминутка.
5. Работа по учебнику, с.68. Составление и решение задач.
6. Домашнее задание.
7. Итог занятия.
8. Оценка знаний учащихся.

Ход урока

— Ребята, у нас сегодня необычный урок. В классе много гостей. Повернитесь к ним — поздоровайтесь (поклон головы). Итак. Внимание.

Презентация

Урок математики. Тема урока: Умножение и деление на 4. Четверть числа. Закрепление. (Слайд 1).

Вспомним, для чего нужен компьютер?

— Он помогает получать информацию, собирать и воспроизводить информацию.

— Сегодня на уроке за вашей работой тоже будет наблюдать компьютер. Он будет помогать нам; возможно, будет задавать какие-то задания и участвовать в решении задач.

1. Устный счет.

Чтение и решение примеров на умножение и деление по таблице “птица”, вывешенной на доске.

• — Назовите чётные числа.
• — Почему эти числа четные?
• — Как назовём остальные числа?

2. Работа в рабочих тетрадях.  (Слайд 2)

-Открыли тетради, решим примеры № 150.

Рисунок 1 .

4 х	= 36	: 4 = 5
4 х	= 12	: 4 = 7
4 х	= 8	: 4 = 9
4 х	= 32	: 4 = 4

Проверка, чтения по цепочке. (Показ слайда 2). № 151. Прочитайте задание. (Слайд 3).

№ 151. Составь все возможные примеры на умножение и деление, используя следующие числа: 28, 24, 7, 6,4. Сравни свою работу с работой соседа по парте.

Рисунок 2.

28, 24, 7, 6, 4.

6 х 4 = 24	24 : 6 = 4
4 х 6 = 24	24 : 4 = 6
7 х 4 = 28	28 : 7 = 4
4 х 7 = 28	28 : 4 = 7

(Слайд 4), (слайд 5), (слайд 6).

№ 152. Что имеет большую массу: 4 пакета муки по 2 кг или 2 сетки картофеля по 4 кг?  Подчеркни правильный ответ:

1. мука;
2. картофель;
3. масса одна и та же.

Рисунок 3.

3. Задача на внимание

№ 154.  Раскрась четверть числа рыбок в аквариуме. (Слайд 7)

Рисунок 4.

— Задание всем понято!?

(Если не понятно):

• — Что, значит, найти четверть числа?
• — Сколько рыбок в аквариуме?
• — Как найти четверть числа рыбок?
• — Что для этого делаем? (Слайд 8).

4. Физкультминутка.

Выполняются движения под песню В. Шаинского “Дважды два четыре”.

5. Работа по учебнику, с.68 (слайд 9).

Задача № 203.

Рисунок 5.

Составьте задачу.

• Условие: в тарелке было 5 морковок. Заяц принес еще по 3 морковки 2 раза.
• Вопрос. Сколько морковок стало?

(Составляем и записываем краткую запись на доске).

• Было — 5морковок.
• Принёс — по3 морковки 2 раза
• Всего — ? морк.

Разбор задачи.

• — Можем ли сразу ответить на вопрос задачи? Почему?
• — Что для этого нужно узнать? И т. д.

Обратить внимание, что принес по3 морковки 2 раза.Запись решения задачи в тетрадях и на доске.

1) 3 х 2= 6 (мор.)
2) 5 + 6= 11 (мор.)
Ответ: 11 морковок.

№ 205. (Слайд 10). Придумай по рисунку задачу, которая решается делением.

Рисунок 6.

• Придумай задачу на деление.
• Разбор.
• Запиши решение в тетрадь.
• — Какую еще задачу можно составить?

№ 158. (Слайд 11, слайд 12).

Составление задач об овощах, растущих на грядках у Ниф-Нифа, Наф-Нафа, Нуф-Нуфа.

 Изобрази тропинки, ведущие от домиков поросят к их огородам, так чтобы они не пересекались.

Рисунок 7.

6. Домашнее задание. (Слайд 13).

Примеры № 206 (столбиком).

Рисунок 8.

7. Итог занятия. (Слайд 14)

-Друзья, что нового вы узнали на уроке? Что для Вас было наиболее интересным?

8. Оценка знаний учащихся.

-Спасибо за урок.  

Презентация

12.01.2009

Как ребенку быстро и легко выучить таблицу умножения?

Таблицу умножения обычно начинают проходить уже во втором классе, когда дети уверенно освоили сложение. Педагоги обычно говорят, что таблицу нужно учить наизусть, чтобы «отлетала от зубов». Казалось бы, это не так уж и необходимо. Например, умножить 7 на 6 — это то же самое, что просто взять 6 раз по 7 и сложить, не запоминая лишних цифр… Но мало того, что эти сложные операции затянут выполнение контрольных работ, — в обычной жизни, за пределами школы, знание таблицы умножения требуется постоянно. В магазине, дома, а в будущем — и на работе… Так что же, каждый раз строить длинные цепочки вычислений или доставать калькулятор? Нет, выучить таблицу все же придется — зато раз и навсегда.

Как помочь ребенку выучить таблицу умножения?

Помочь ребенку выучить таблицу умножения не так уж сложно, если правильно подойти к обучению. Вот несколько рекомендаций.

Заинтересуйте

У ребенка должна появиться мотивация. Не конфета и прогулка, хотя на усмотрение родителей можно использовать и эти методы, а что-то более значимое и долгосрочное. Сначала продемонстрируйте, в каких случаях, кроме урока в школе, таблица умножения необходима. Например, он хочет угостить пятерых друзей любимыми конфетами — каждому раздать по три, — и сколько же всего конфет принести? Или на день рождения к ребенку собираются три семьи, в каждой по три человека — сколько пар столовых приборов надо приготовить?

Нарисуйте школьнику печальную перспективу: вот в магазине его, доверчивого неуча, обманывает продавец. А вот он на работе не может умножить две цифры и достает калькулятор, а коллеги поднимают его на смех. Вот, в конце концов, он спустя годы решает в классе куда более длинные и сложные примеры, чем предлагают ему пока, и «плавает», потому что не знает основ. Без таблицы умножения в математике дальше не продвинуться! А без математики — не окончить школу и не пойти учиться на того, кем ребенок сейчас мечтает быть…

А чтобы избежать всех этих проблем, надо-то всего лишь взять и выучить эту таблицу! И уж с каким восхищением будут смотреть учителя и одноклассники, которым умножение пока не дается

Объясните суть таблицы умножения

В умножении второе число обозначает, сколько раз нужно сложить первое с самим собой. Это базовый момент, который должен усвоить ребенок, и заодно подстраховка, если он все-таки в ответственный момент забыл какой-то один результат в таблице умножения. Но, как мы уже заметили, постоянно на метод последовательного сложения вместо умножения полагаться не стоит.

Чтобы школьник лучше понял смысл, продемонстрируйте ему, что, например, 4 х 3 — это три ряда по 4 клеточки в каждом. Пусть сосчитает число клеточек — это и будет произведение цифр.

Успокойте и упростите

Наверняка ребенок ужаснется, увидев столбцы примеров на умножение сзади на обложке своей тетради: «И это все я должен знать назубок?!» Объясните, что все не так ужасно, как выглядит, ведь от перемены мест множителей произведение не меняется. То есть достаточно запомнить, сколько будет 3 х 4, чтобы понять, сколько — 4 х 3. А значит, учить придется не столь и много.

Используйте таблицу Пифагора

Вместо длинных рядов чисел продемонстрируйте таблицу Пифагора. В ее строках и столбцах — множители, а на пересечении — произведение. Покажите ребенку, как с ней работать, лучше всего — с карандашом: ищешь первое число по вертикали, второе — по горизонтали, а там, где они «встречаются», и есть значение произведения. Какую цифру искать в столбце, а какую — в строке, совершенно неважно, ведь перемена мест множителей роли не играет.

Эта таблица наглядна, и учиться по ней гораздо приятнее, особенно если у школьника хорошо развита визуальная память. Да и знания по ней можно проверить за пару секунд.

Чтобы заинтересовать ребенка, можно рассказать, что таблице умножения почти 4 тыс. лет, и нашли ее в Древнем Вавилоне. Только та таблица была гораздо более сложной и громоздкой — 60-ричной, а не десятичной, какую используют в России. Между прочим, в Великобритании таблица заканчивается не на 10 х 10, как у нас, а на 12 х 12, потому что там другие система мер длины и денежное обращение (фут равен 12 дюймам, шиллинг — 12 пенсам). И в английском образовании на изучение таблицы умножения ребенку дают время аж до 11 лет.

Не перегружайте

Дети хорошо усваивают информацию, в том числе для долговременной памяти. Но переутомлять ребенка не стоит. Выделите по одному-два дня на каждый кусок таблицы умножения — например, сегодня мы выучим таблицу на 2, завтра закрепим, послезавтра начнем — на 3, и так далее.

Важно начинать с простого. Разделавшись с таблицей на 3 и 4, младшеклассник уже усвоит основные принципы таблицы умножения, и дальше будет легче.

Повторяйте

Чем чаще, тем лучше: если учить таблицу умножения с разбросом в пять дней, толку не будет. Для создания нейронных связей в мозгу нужны регулярность и привычка. Пусть ребенок не только отвечает на ваши вопросы, но и регулярно натыкается на таблицу. Например, можно повесить красочный плакат в его комнате.

Проверяя знания ребенка, также двигайтесь от простого к более сложному: вначале, задавая ему вопрос «Сколько будет 3 х 2?», давайте ему больше времени на размышление. На первых порах следом за «3 х 2» спрашивайте «3 х 3», а со временем, когда школьник усвоит таблицу умножения лучше, предлагайте примеры вразнобой.

Укажите на закономерности

Некоторые принципы умножения помогут сократить время на лишние вычислительные операции:

1. Умножив на 0, мы получим 0, на 1 — то же число, а на 10 — то же число, но с ноликом на конце.
2. Умножить на 2 — это сложить число с самим собой.
3. Умножить на 4 — это умножить на 2 и еще раз на 2. Поскольку ребенок пока не научился умножать двузначные числа, но уже хорошо умеет складывать, ему будет проще умножить на 2 и прибавить к получившемуся числу такое же. Например, 6 х 4 = 6 х 2 + 6 х 2 = 12 + 12 = 24.
4. При умножении на 5 произведение (результат умножения) заканчивается на 5 или 0, причем поочередно — например, 1 х 5 = 5, 2 х 5 = 10, 3 х 5 = 15.
5. При умножении на 9 проще умножить на 10 (то есть приставить к исходному числу 0), а потом вычесть это исходное число: 9 х 9 = 9 х 10 — 9 = 81.
6. Кстати, когда ребенок чуть освоится с умножением и начнет решать примеры подлиннее, объясните: там, где есть умножение, сложение и вычитание, по умолчанию сначала выполняется умножение. Если только нет скобок — действие в них как раз должно быть совершено первым. Так, в примере 9 х (10 — 9) результат будет уже другой: сначала решается то, что в скобках, а потом уже выполняется умножение: 9 х 1 = 9.
7. При умножении на 11 (такие операции пригодятся ребенку чуть позже) изначальная цифра удваивается: 6 х 11 = 66, 8 х 11 = 88. Если речь о двухзначных числах, тоже можно обойтись без калькулятора: возьмите умножаемое число и между двумя его цифрами вставьте их сумму. Например: 12 х 11 = 132 (между 1 и 2 — 3).

Запоминание закономерностей таблицы умножения — еще один способ успокоить ребенка. Если он что-то и забудет, результат можно будет «вывести».

5 эффективных способов выучить таблицу умножения

Не ограничивайтесь одним методом объяснения и запоминания. Научить можно разными способами:

1. На пальцах и палочках

С этого стоит начинать знакомство с таблицей умножения. Легче всего показать «два раза по два» на пальцах или каких-то предметах. Правда, с более сложными вычислениями — например, с таблицей на 8 — будет труднее. муторнее.

Но при этом по пальцам легко освоить умножение на 9. Расположите руки вниз ладонями и мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10. Загните палец, которому соответствует число, на которое нужно умножить 9. Например, если пример звучит как «9 х 5», это будет большой палец левой руки. Теперь считайте, что все пальцы слева (4) — десятки, а справа (5) — единицы. Таким образом, ответ — 45.

2. Через приложения на телефоне

Современным школьникам, возможно, больше понравится изучать таблицу умножения на экране любимого гаджета. Упражняться можно не только в учебное время, но и на каникулах или в транспорте по дороге в школу — скорее всего, такую тренировку ученик будет воспринимать скорее как игру, чем как домашнее задание, и ему самому будет интереснее.

Приложений немало: в некоторых ребенку одновременно предлагается решить пример, уложиться в предложенное время и накопить баллы/призы. Азарт, как известно, — отличный стимул.

3. По карточкам

Это более «древний», но тоже близкий к игровому способ запоминания. Распечатайте примеры из таблицы умножения на карточках: на одной стороне — пример, на другой — ответ (только проследите, чтобы цифры в ответе не просвечивали, лучше взять плотный картон). Разложите карточки в ряд и предложите ребенку выбрать пример. Если он отвечает верно, убирайте карточку с поля, если нет — перекладывайте ее в конец ряда. Игра заканчивается, когда карточек на столе не остается. Эту игру можно проводить и на время — пусть ребенок соревнуется сам с собой или с другими детьми.

4. По стихам

Стишки про таблицу умножения есть в интернете — в такой форме любая теория запоминается лучше. Например: «Осьминоги шли купаться: дважды восемь ног — шестнадцать», «Два атлета взяли гири, это — дважды два — четыре». Этот способ лучше использовать как вспомогательный, в дополнение к остальным — не будешь же придумывать стишок на каждый пример. Впрочем, были бы желание и фантазия.

5. По играм и мультикам

Одна из популярных игр — «Математическое лото». В нее стоит играть группой детей, находящихся примерно на одном уровне знаний таблицы умножения. Механика примерно та же, что с карточками, только на одних карточках пишутся примеры, на других — ответ. Раздайте детям те, что с ответами, — например, по 4 числа-ответа на каждой карточке, — а те, что с примерами, оставьте себе и поочередно показывайте группе. Пусть тот, кто найдет в карточке ответ, зачеркнет это число и назовет вслух. Например, ведущий говорит: «9 х 9». Тот, у кого в карточке есть число 81, зачеркивает его и называет вслух. Выигрывает тот, кто первым зачеркнул все числа в своей карточке и при этом решил примеры верно.

Еще больше ребенка может заинтересовать игра «Золотоискатели». У нее интересная «легенда»: искатели сокровищ нашли остров, где спрятан клад, но должны тщательно просчитывать ходы, чтобы первыми находить лучшие тайники. Для игры требуются поле — незаполненная таблица Пифагора (можно нарисовать квадрат с ячейками самостоятельно, десяток произвольно выбранных клеток раскрасьте желтым цветом), игровой кубик и ручка.

Первый игрок бросает кубик — сколько ему выпало, столько шагов от старта в любую сторону (но в одном направлении) он может сделать. В клетку, на которой остановился, игрок вписывает произведение чисел, на пересечении которых находится. Это будет количество монет, которые он нашел. Если удалось остановиться на желтой клетке — игрок нашел сундучок, и сумма удваивается. Причем если на этой клетке остановится потом другой игрок (а по правилам он имеет на это право), монет из сундучка он уже не получит.

Следующий игрок, бросая кубик, отсчитывает шаги уже от той клетки, где остановился соперник. Игра заканчивается, когда остается пять пустых клеток. Естественно, выигрывает тот, кто собрал больше монет.

Увлекательна и «Борьба прямоугольников». Это игра на двоих. Нужны только лист бумаги в клеточку, два фломастера, два кубика и по одному цветному карандашу для обоих участников. Каждый игрок по очереди бросает по два кубика. Выпавшие цифры — множители. Игрок рисует на листке со своей стороны прямоугольник или квадрат, стороны которого по количеству клеток равны числам на кубиках. В середине фигуры записывается ее площадь, то есть произведение чисел. Когда на листе не остается места для новых фигур, игру можно завершить. Выиграл тот, кому повезло заполнить фигурами больше клеточек на бумаге.

Другая, менее творческая игра, предлагает участникам из написанных на плакате чисел от 1 до 90 назвать те, что встречаются в таблице умножения на то или иное число. Можно устроить соревнование на время — раздать плакаты нескольким детям и предложить каждому вычеркивать или подчеркивать числа.

Можно заказать в интернете или найти в магазине уже готовые настольные игры на тему умножения — «Много-много» или «Цветариум».

Онлайн-игры для запоминания таблицы умножения, которые можно свободно отыскать в Сети, ничего не скачивая, схожи механикой с играми в мобильных приложениях. Ребенку даются все те же примеры на умножение, но в картинках (вместо 3 х 2 на «доске» рисуется три звездочки, а потом «х 2»), или тренажер на время с результатами: игрок решает сгенерированные компьютером примеры и видит в табличке, сколько дал правильных и неправильных ответов.

По тому же принципу построены развивающие «арифметические» мультфильмы: на экране появляется то или иное, меняющееся количество птичек/зверюшек/конфет, фоном идет веселая тематическая песенка. Но это, опять же, скорее для закрепления уже усвоенного материала, чем для его изучения.

Итак, ничего сложного и ужасного — чередуя разные методы освоения материала, вы постепенно достигнете успеха. Не настраивайтесь на быстрый результат — вероятно, до того, как школьник сможет уверенно отвечать на любой вопрос по таблице, пройдет не меньше месяца. Зато результат будет приносить плоды всю жизнь.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

Сначала решается плюс или минус – Прокачай АВТО

• 09 March 2014
• Ответ оставил: school1151

Если в выражении нет скобок, то сначала выполняется умножение и/или деление, потом сложение и/или вычитание, например :
6 + 3 * 8 = 6 + 24 = 30
27 – 9 : 3 = 27 – 3 = 24
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняется действия в скобках, а потом все действия в порядке очерёдности :
(6 + 3) * 8 = 9 * 8 = 72
(27 – 9) : 3 = 18 : 3 = 6

сначала умножение и деление))

Сначала умножение или деление, но если действие плюс или минус стоит в скобках, то сначала выполняется действие в скобках

Другие вопросы из категории

в квадратных
7км
1600дм
240000см
285000дм

Читайте также

Что больше 1кг и 60г или 160г.
Что больше 7дм и 4см или 740см.
Что больше 5кг и 50г или 550г.
Что больше 1м и 20см или 120см.
Что больше 9ч и 30мин или 930мин.

Реши задачу,составив уровнение.
В магазин привезли торты.Когда продали 103 торта,их осталось 219.Сколько тортов привезли в магазин?

Примеры
Плюс минус или равно

7км*780 м
9м * 9 км
5ц * 478 ц
5кг * 10 ц

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо …………………………………………………………..
Результат умножения двух и более множителей называется…………………………………………
Чтобы найти делимое, надо ………………………………………………………………………………
Результат вычитания чисел называется …………………………………………………………………
Результат сложения двух и более слагаемых называется ………………………………………
Чтобы найти неизвестный множитель, надо………………………………………………………….
Результат деления чисел называется………………………………………………………………….
Чтобы найти уменьшаемое, надо…………………………………………………………………………
Чтобы найти делитель, надо………………………………………………………………………………
Чтобы найти вычитаемое, надо……………………………………………………………………….
Чтобы найти на сколько одно число больше или меньше другого, надо………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..
Чтобы найти во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо ……………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
В выражении без скобок, содержащем только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются ………………… …………………………………………………………….
В выражениях, содержащих скобки, сначала выполняются все действия ………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Периметр фигуры – это …………………………………………………………………………………
Периметр прямоугольника равен ………………………………………………………………………
Периметр квадрата равен ……………………………….
Полупериметр прямоугольника – это ……………………………………………………………….
Чтобы найти сторону квадрата, надо значение его периметра…………………………………………
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо ………………………………………………………….
Чтобы найти ширину прямоугольника, надо его площадь……………………………………………
Чтобы найти длину прямоугольника, надо …………………………………………………………….
Луч – это ………………………………………………………………………………………………..
Отрезок – это ………………………………………………………………………………………………
Угол – это ………………………………………………………………………………………………….
Чтобы найти цену товара, надо …………………………………………………………………….
Чтобы найти стоимость товара, надо …………………………………………………………………….
Чтобы найти количество товара, надо …………………………………………………………………
Чтобы найти расстояние, надо ……………………………………………………………………………
Чтобы найти время в пути, надо ………………………………………………………………………….
Чтобы найти скорость движения, надо …………………………………………………………………
В выражениях без скобок, содержащих различные действия, сначала выполняется ……………….
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
33. Одна тонна содержит …………..кг, …… ц, ……………..г.
34. Один килограмм содержит …………………..граммов.
35.Один километр содержит ………………м, ………………….см, ……………………мм.
36. Один дециметр содержит ………………..см, ……………мм.
37. Один метр содержит ……………. .см, ………………дм, ………………….мм.
38.Один квадратный метр содержит …………………кв. дм, ……. кв. см, ………………кв.мм.
39. Числитель дроби пишется ………чертой и показывет………………………………………………. …..…………………………………………………………………………………………….………………
40. Знаменатель дроби пишется ……………..чертой и показывает ……………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………….
41. Чтобы найти часть от числа, надо………………………………………………………………………..
42. Чтобы найти число по его дроби (доле), надо …………………………………………………………
43. Один час содержит …………мин, …………..секунд.
44. Одни сутки содержат ……………ч.
45. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна……………………………………………….

Компакт-диск стоит 7 грн.Сколько гривен нужно заплатить за 6 таких дисков?
задачу решить сначала сложением а потом умножением

Написать эту статейку меня побудил очередной случай, когда потребовалось воспользоваться «прикуриванием» — запустить двигатель от аккумулятора другого автомобиля. Каждый раз при этой этом сталкиваюсь с неграмотностью других водителей. А в этот раз, когда я аргументировано объяснил почему и как нужно делать, водитель заявил, что он электрик. Не стал спорить, пусть будет электриком…

Итак, два основных заблуждения при прикуривании:
1. Обязательно нужно первым подключить минус(массу), затем плюс.
2. Подгазовывать(держать обороты повыше ХХ) при пуске другой машины.

Разберемся с первым. Всегда интересовался, почему так настойчиво хотят соединить первым массу. Все что слышу в ответ – «ну это же масса». В последний раз еще получил ответ «я электрик») По факту же для низковольтных сетей автомобилей нет никакой разницы, что соединить первым – плюс или минус. Тем более, что автомобили надежно изолированы друг от друга толщиной резиновых покрышек. Можно смело соединять первым плюсовые клеммы аккумулятора. Преимущество последовательности подключения сначала плюс, затем минус – в безопасности.
Если сначала соединить минус(массу), то все верно «говорят», масса у автомобилей становится общей, все железо обоих автомобилей становится подключено к минусам обоих аккумуляторов. Поэтому, соединять потом плюсы, нужно очень аккуратно, нечаянное задевание свободным зажимом плюсового провода, за любое железо обоих машин, даст короткое замыкание и приличный фейерверк. С последствиями или без – как повезет.
Если же соединять плюс до объединения масс, то все намного проще. Один конец провода(плюсового) заранее выводится за пределы автомобиля к которому первым будет подключен провод. Затем он свободно подключается к плюсу второго автомобиля не опасаясь задеть его железо(массу).Массы автомобилей еще не соединены, короткого замыкания не будет. Потом подключается минусовой(соединяем массу) провод без всяких опасений. Устроить короткое замыкание при такой последовательности, нужно специально постараться.

Второе заблуждение. Считается, что если погазовать(держать повышенные обороты) во время попыток пуска, то второй автомобиль заведется лучше. В принципе это верно, генератор добавит несколько сотен ватт. Возможно, в крайнем случае, такой вариант будет единственным. Но если случай не крайний, зачем подвергать генератор нагрузке, на которую он не рассчитан? При холодном пуске стартер может потреблять сотни ампер. Генераторы и проводка легковых авто не рассчитаны на такие токи. И чем больше добавлять оборотов при попытках пуска, тем больше будет нагружаться генератор. Сгоревшие диоды в генераторе можно получить легко. Поэтому лучше пытаться заводить вторую машину вообще заглушив двигатель. Перед пуском конечно можно дать поработать генератору на зарядку аккумулятора запускаемой машины. Потом заглушить и сделать попытку пуска.

Итог. «Прикуриваем» правильно:
1. Аккумуляторы автомобилей соединяем сначала плюсовым проводом, затем соединяем массу.
2. Без особой необходимости не держим заведенным автомобиль во время пуска второго автомобиля, а тем более не подгазовываем.

Табличное умножение и деление — Мегаобучалка

Тема «Умножение и деление чисел в пределах 100» является одной из основных тем начального курса математики. Изучается она по программе 1-3 во 2-м классе, по программе 1-4 — во 2-м и 3-м классе. В изучении этой темы выделяются такие виды умножения и деления:

1. Табличное умножение и деление.

2. Внетабличное умножение и деление.

3. Деление с остатком.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначное число и соответствую­щие случаи деления.

Примеры: 5 · 3 = 15; 15 : 3 = 5

7 · 4 = 28; 28 : 7 = 4 и т.п.

При изучении этого вида умножения и деления необходимо:

1) познакомить детей с новыми для них действиями умножения и деле­ния;

2) изучить таблицу умножения и деления. Таким образом, табличное умножение и деление, в свою очередь, разбивается на два вопроса:

1) знакомство с действиями умножения и деления;

2) изучение таблицы умножения и деления.

а) Знакомство с действиями умножения и деления

Отметим, что познакомить детей с действиями умножения и деления, это значит:

— раскрыть смысл каждогоиз этих действий;

— ввести соответствующую терминологию;

— рассмотреть некоторые свойства действий, установить зависимос­ти между ними.

Прежде всего, следует отметить, что работа по раскрытию смысла этих действий начинается еще в 1 классе. Здесь:

— ведется счет группами;

— вычисляются суммы нескольких одинаковых слагаемых;

— решаются простые задачи: на нахождение суммы нескольких одинако­вых слагаемых, на деление по содержанию, и деление на равные части.

Задачи на деление решаются там только практически (устно). Во 2-м классе эта работа получает свое естественное продолжение. Сначала происходит знакомство с действием умножения. Смысл этого действия раскрывается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых.

Задача. В одном пучке 3 морковки. Сколько морковок в 4-х таких пучках?

Выполнив соответствующую демонстрацию, учитель с детьми выясняет, что для ответа на вопрос задачи нужно найти сумму 4-х слагаемы каждое из которых равно 3.

3 + 3 + 3 + 3 = 12 (морк.)

Обращается внимание на то, что все слагаемые полученной суммы одинаковые. Поэтому эту сумму можно прочитать по-другому: по 3 взять четыре раза и записать так

3 · 4=12. Т.е. сложение одинаковых слагаемых называют умножением. Точка обозначает знак действия умножения.

Дается образец чтения этой записи 3 · 4=12.

1) по 3 взять четыре раза.

2) 3 умножить на 4.

Обращается внимание на смысл каждого числа в этой записи: 3 — этослагаемое, 4 — показывает, сколько одинаковых слагаемых.

Смысл действия деления раскрывается в ходе решения простых задач двух видов:

— деление по содержанию;

— деление на равные части.

Задача. 6 морковок раздали кроликам по две каждому. Сколько кроликов получили морковки?

Для решения этой задачи необходимо выполнение практических действий с предметами, как учителем, так и учащимися. Разговор может быть таким.

Учитель. У меня 6 морковок, а вы положите столько же треугольников. Будем раздавать их кроликам по 2, я у доски, а вы на партах. (Раздвигаются по 2 морковки и выставляются изображения кроликов). Сколько кроликов получили морковки?

Дети. 3.

Учитель. Давайте запишем решение этой задачи. Мы морковки раздавали, делили, и решение будем записывать новым действием — делением. Это записывается так:

6 : 2 = 3 (к.) Ответ: 3 кролика.

» : » — знак деления.

Аналогично рассматриваются задачи на деление на равные части. При этом также необходима демонстрация с использованием предметов наглядности.

Пример. 6 морковок раздали 3 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику?

Здесь нужно показать и принцип деления на равные части. Выставив изображение 3-х кроликов, выясняем, сколько морковок надо взять, чтобы дать им по одной морковке? — 3. Берем и раздаем.

Операцию повторяем до тех пор, пока не кончатся все морковки. Эта за­дача решается также действием деления. 6 : 3 = 2 (морк.) Ответ: 2 морковки.

После знакомства с каждым из действий вводятся названия компонентов и результата каждого из этих действий (методика уже известна).

Изучается переместительное свойство умножения (методика изуче­ния свойств действий нами рассмотрена отдельно).

Рассматривается зависимость между компонентами и результатом вна­чале для действия умножения, затем — деления (методику рассмотрения зависимости смотреть в теме №2).

При рассмотрении зависимости между компонентами и результатом действия умножения мы подводим детей к выводу:если произведение разделить на первый множитель, получим второй множитель и т.д.И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умноже­ние, можно составить два примера на деление.

Пример. 5 • 3 = 15;

15 : 5 = 3;

15 : 3 = 5.

Здесь же рассматриваются и некоторые частные случаи умножения и деления с числами 1 и 10:

а) с числом I.

Сначала берется случай умножения 1 на число, большее 1.

1 • З = 1 + 1 + 1 = З;

1• 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.

После решения ряда примеров на основе смысла действия умноже­ния подводим детей к выводу: 1 • = .

Случай • 1 постулируется. Детям сообщается правило и приводят­ся примеры.

. Деление на 1 вводится на основе зависимости между компонентами и результатом действия умножения.

Из решения соответствующих примеров 1• 5 = 5; => 5 : 1 = 5 подводим детей к выводу : 1 = .

Умножение 10 и деление на 10 рассматривается с использованием знания нумерации и связи между действиями умножения и деления:

10• 3 => 1д.• 3 = 3д. => 10• 3 = 30.

3•10 =10•3.

Случаи вида 30 : 10 рассматриваются на основе зависимости между компонентами и результатом действия деления.

Все перечисленные нами вопросы помогут нам при рассмотрении сле­дующего вопроса, т.е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.

Использование свойств деления и умножения равенства для решения уравнений

Результаты обучения

• Определить, является ли число решением уравнения
• Проверьте свое решение линейного уравнения, чтобы убедиться в его точности
• Решите уравнения, используя свойства деления и умножения равенства
• Решите уравнения, которые необходимо упростить

Решите алгебраические уравнения, используя свойства умножения и деления равенства

Точно так же, как вы можете складывать или вычитать одну и ту же точную величину в обеих частях уравнения, вы также можете умножать или делить обе части уравнения на одну и ту же величину, чтобы написать эквивалентное уравнение. Для начала давайте в качестве примера рассмотрим числовое уравнение [латекс]5\cdot3=15[/латекс]. Если вы умножите обе части этого уравнения на  [latex]2[/latex], вы все равно получите верное уравнение.

[латекс]\begin{array}{r}5\cdot 3=15\,\,\,\,\,\,\, \\ 5\cdot3\cdot2=15\cdot2 \\ 30=30\ ,\,\,\,\,\,\,\end{массив}[/латекс]

Эта характеристика уравнений обобщена в M Свойстве Равенства Умножения .

Давайте рассмотрим свойства деления и умножения равенства, поскольку мы готовимся использовать их для решения одношаговых уравнений.

Свойство равенства деления

Для всех действительных чисел [latex]a,b,c[/latex] и [latex]c\ne 0[/latex], если [latex]a=b[/latex], затем [latex]\Large\frac{a}{c}\normalsize =\Large\frac{b}{c}[/latex].

Если два выражения равны друг другу, и вы разделите обе части на одно и то же число, не равное нулю, полученные выражения также будут эквивалентны.

Свойство равенства умножения

Для всех вещественных чисел [latex]a,b,c[/latex], если [latex]a=b[/latex], то [latex]ac=bc[/latex].

Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

Проще говоря, когда вы делите или умножаете обе части уравнения на одну и ту же величину, вы все равно получаете равенство. Когда уравнение включает в себя умножение или деление, вы можете «отменить» эти операции, используя обратную операцию, чтобы изолировать переменную.

В предыдущем примере, чтобы «отменить» умножение, мы разделили. Как вы думаете, как мы «отменяем» деление? Далее мы покажем пример, который требует от нас использования умножения для отмены деления.

пример

Решить: [латекс]\большой\фрак{а}{-7}\нормальный размер =-42[/латекс]

Показать решение

Теперь посмотрите, сможете ли вы решить задачу, требующую умножения для отмены деления. Вспомните правила умножения двух отрицательных чисел — два отрицательных числа при умножении дают положительное.

попробуйте 

Еще один способ представить решение уравнения, когда операцией является умножение или деление, заключается в том, что мы хотим умножить коэффициент на обратный мультипликатив (обратный), чтобы изменить коэффициент на [латекс]1[/латекс ].

В следующем примере мы изменим коэффициент на [latex]1[/latex] путем умножения на мультипликативную обратную величину [latex]\frac{1}{2}[/latex].

В видео ниже вы увидите примеры того, как использовать свойства равенства умножения и деления для решения одношаговых уравнений с целыми числами и дробями.

пример

Решите: [латекс]4x=-28[/латекс]

Решение:

Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство равенства деления, чтобы разделить обе части на [латекс]4[/латекс ].

[латекс]4x=-28[/латекс]
Разделите обе части на 4, чтобы отменить умножение.	[латекс]\Large\frac{4x}{\color{red}4}\normalsize =\Large\frac{-28}{\color{red}4}[/latex]
Упрощение.	[латекс]х =-7[/латекс]
Проверьте свой ответ.	[латекс]4x=-28[/латекс]
Пусть [латекс]х=-7[/латекс]. Замените x на [латекс]-7[/латекс].	[латекс]4(\color{red}{-7})\stackrel{\text{?}}{=}-28[/latex]
	[латекс]-28=-28[/латекс]

Поскольку это верное утверждение, [латекс]х=-7[/латекс] является решением [латекс]4х=-28[/латекс].

Теперь вы можете попытаться решить уравнение, требующее деления и содержащее отрицательные числа.

попробуйте

Когда вы начнете решать уравнения, требующие нескольких шагов, вы можете обнаружить, что в итоге вы получите уравнение, похожее на уравнение в следующем примере, с отрицательной переменной. Как стандартная практика, хорошо убедиться, что переменные положительны, когда вы решаете уравнения. Следующий пример покажет вам, как это сделать.

пример

Решить: [латекс]-r=2[/латекс]

Показать решение

Теперь можно попробовать решить уравнение с отрицательной переменной.

попробуйте

Следующее видео содержит примеры использования свойств деления и умножения для решения уравнений с переменной справа от знака равенства.

Двухшаговые линейные уравнения

Если уравнение имеет вид [латекс]ах+b=с[/латекс], где [латекс]х[/латекс] — переменная, уравнение можно решить следующим образом: до. Сначала «отменить» сложение и вычитание, а затем «отменить» умножение и деление.

Примеры

Решите: [латекс]4x+6=-14[/латекс]

Решение:

В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть переменной стороной. Следовательно, правая часть будет постоянной стороной.

Поскольку левая сторона является переменной стороной, цифра 6 неуместна. Мы должны «отменить» добавление [латекс]6[/латекс], вычитая [латекс]6[/латекс], и чтобы сохранить равенство, мы должны вычесть [латекс]6[/латекс] с обеих сторон. Используйте свойство вычитания равенства.		[латекс]4x+6\цвет{красный}{-6}=-14\цвет{красный}{-6}[/латекс]
Упрощение.		[латекс]4x=-20[/латекс]
Теперь все [latex]x[/latex] слева, а константа справа.
Используйте Свойство Разделения Равенства.		[латекс]\Large\frac{4x}{\color{red}{4}}\normalsize =\Large\frac{-20}{\color{red}{4}}[/latex]
Упрощение.		[латекс]x=-5[/латекс]
Чек:		[латекс]4x+6=-14[/латекс]
Пусть [латекс]х=-5[/латекс] .		[латекс]4(\цвет{красный}{-5})+6=-14[/латекс]
		[латекс]-20+6=-14[/латекс]
		[латекс]-14=-14\четверка\галочка[/латекс]

Решить: [латекс]2y — 7=15[/латекс]

Показать решение

Теперь вы можете попробовать аналогичную задачу.

Попробуй

 

В следующем видео мы покажем примеры решения двухшаговых линейных уравнений.

Не забудьте проверить решение алгебраического уравнения, подставив значение переменной в исходное уравнение.

В следующем разделе мы узнаем, как решать уравнения, которые необходимо упростить, прежде чем их можно будет решить.

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Умножение и деление — Алгебра II

Все ресурсы по Алгебре II

10 Диагностические тесты 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →

Алгебра II Помощь » Математические отношения и основные графики » Элементарные операции » Умножение и деление

Пусть x и y будут комплексными числами

Оценить продукт.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Решить для  если .

Возможные ответы:

Ни один из других ответов.

Правильный ответ:

Объяснение:

Наиболее важной частью этой задачи является запоминание порядка операций: PEMDAS

Первое: Выполните все вычисления, указанные в круглых скобках.

Секунда: выполнение любых вычислений, возведенных в степень.

Третье: Работая слева направо, выполняйте любые умножения или деления.

Четвертое: Работая слева направо, выполняйте сложения и вычитания

 

Для этой задачи:

Сначала мы делаем все вычисления в скобках:   и .

Следовательно, выражение принимает вид . Теперь, работая слева направо, выполняем любые умножения и/или деления:  и .

Таким образом, выражение принимает вид  и мы просто добавляем оставшиеся числа, чтобы получить 

Сообщить об ошибке

Решить для если .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту проблему, мы просто следуем нашему порядку операций, PEMDAS:

 

Первое: Выполните все вычисления, указанные в круглых скобках.

Секунда: выполнение любых вычислений, возведенных в степень.

Третье: Работая слева направо, выполняйте любые умножения или деления.

Четвертое: Работая слева направо, выполняйте любые сложения или вычитания.

 Сначала мы оцениваем наши скобки:  и .

Исходное выражение становится .

Сообщить об ошибке

Найти простую факторизацию числа .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти разложение числа 40 на простые множители, запишите число 40 как комбинацию его простых множителей.

Сообщить об ошибке

Используя свойство распределения, упростите следующее:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Свойство distributive удобно для избавления от круглых скобок в выражениях. Распределяющее свойство говорит, что вы «распределяете» кратное каждому члену в круглых скобках. В символах правило гласит, что

Итак, используя это правило, мы получаем

 

Таким образом, у нас есть ответ.

Сообщить об ошибке

Упростите следующее: 

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Мы делим многочлен на одночлен. По сути, мы делим каждый член многочлена на одночлен. Сначала мне нравится переписывать это выражение в виде дроби. Итак,

Итак, теперь мы видим три термина, которые нужно разделить сверху. Разделим каждое слагаемое на моном снизу. Чтобы показать это лучше, мы можем переписать уравнение.

 

Теперь мы должны вспомнить правило деления переменных показателей степени. Правило Итак, мы можем использовать это правило и применить его к нашему выражению выше. Затем

 

 

Сообщить об ошибке

Умножить:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Первые два множителя являются произведением суммы и разности одних и тех же двух членов, поэтому мы можем использовать разность квадратов:

Теперь используйте метод FOIL:

Сообщить об ошибке

Что такое ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При делении ориентируйтесь на первую цифру делимого с делителем. можно войти только один раз. Так что поместите  поверх  и  идет под . Затем возьмите разницу, которая равна . Затем уменьшите следующую цифру делимого, которая равна . Затем выясните, входит ли  в что есть . раз  это  что означает, что мы получаем разницу, равную нулю, и, таким образом  делим на , чтобы получить окончательный ответ .

Сообщить об ошибке

Что такое?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

При умножении можно нарисовать сетку.

Имейте три строки и пять столбцов, и они должны создавать маленькие квадратики.

Подсчитайте их по отдельности, и вы должны получить 

Сообщить об ошибке

Что такое ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При делении вы рисуете круги.

Затем обведите круги, и это будет один набор.

Как только большинство или все круги будут покрыты, подсчитайте наборы.

Должен быть .

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Algebra II

10 Диагностические тесты 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

2.2: Решение уравнений с использованием свойств деления и умножения равенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

15129

• OpenStax
• ОпенСтакс

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решать уравнения, используя свойства деления и умножения равенства
• Решите уравнения, требующие упрощения
• Перевести в уравнение и решить
• Перевод и решение приложений

Примечание

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упростить: \(−7(\frac{1}{-7})\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 1.6.13.
2. Вычислить \(9x+2\), когда \(x=−3\).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 1.5.34.

Решите уравнения, используя свойства деления и умножения равенства

Возможно, вы заметили, что все уравнения, которые мы решали до сих пор, имели вид \(x+a=b\) или \(x−a=b\ ). Мы смогли изолировать переменную, добавив или вычтя постоянный член на стороне уравнения с переменной. Теперь мы увидим, как решать уравнения, в которых переменная умножается на константу, и поэтому потребуется деление, чтобы изолировать переменную.

Давайте еще раз посмотрим на нашу головоломку с конвертами и счетчиками на рисунке \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): На рисунке показана модель уравнения с одной переменной, умноженной на константу. В левой части рабочей области находятся два экземпляра неизвестного (конверт), а в правой части рабочей области — шесть счетчиков.

На рисунке два одинаковых конверта с одинаковым количеством счетчиков. Помните, что левая сторона рабочего пространства должна равняться правой стороне, но счетчики с левой стороны «спрятаны» в конвертах. Итак, сколько фишек в каждом конверте?

Как определить номер? Мы должны разделить жетоны с правой стороны на две группы одинакового размера, чтобы они соответствовали двум конвертам с левой стороны. 6 счетчиков, разделенных на 2 равные группы, дают по 3 счетчика в каждой группе (поскольку \(6\div 2=3\)).

Какое уравнение моделирует ситуацию, показанную на рисунке \(\PageIndex{2}\)? Есть два конверта, и каждый содержит xx счетчиков. Вместе два конверта должны содержать в общей сложности 6 жетонов.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): На рисунке показана модель уравнения \(2x=6\). At the top of the figure on the right is the equation 2 x equals 6. One line down on the left, the instructions say: “If we divide both sides of the equation by 2, as we did with the envelopes and counters, we get”. To the right of this phrase is the same equation divided by 2 on both sides: 2 x over 2 equals 6 over 2, with divided by 2 written in red on both sides. Another line down to the right is the answer to the equation: x equals 3.»>

Если мы разделим обе части уравнения на 2, как мы сделали с конвертами и счетчиками,
получаем:

Мы обнаружили, что каждый конверт содержит 3 фишки. Это проверяет? Мы знаем \(2\cdot 3=6\), так что это работает! Три жетона в каждом из двух конвертов равняются шести!

Этот пример ведет к Раздел Имущества Равенства .

СВОЙСТВО ДЕЛЕНИЯ РАВЕНСТВА

Для любых чисел a , b и c , и \(c\neq 0\),

\[\begin{array} {llll} {\text { Если}} & {a} & {=} & {b} \\ {\ text {то}} & {\ frac {a} {c}} & {=} & {\ frac {b} {c} } \end{array}\]

Когда вы делите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получаете равенство.

Примечание

Выполнение упражнения по манипулятивной математике « Свойство равенства деления » поможет вам лучше понять, как решать уравнения с помощью свойства равенства деления.

Целью решения уравнения является «отмена» операции над переменной. В следующем примере переменная умножается на 5, поэтому мы разделим обе части на 5, чтобы «отменить» умножение.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Решите: \(5x=−27\).

Ответить

At the top of the figure on the left, the instructions say: “To isolate x, ‘undo’ the multiplication by 5.” To the right of this sentence is the equation 5 x equals negative 27. The next line down on the left, the instructions say: “Divide to ‘undo’ the multiplication.” To the right of this sentence is the same equation with both sides divided by 5: 5 x over 5 equals negative 27 over 5, with divided by 5 written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this sentence is the answer to the equation: x equals negative 27/5. Another line down to the left, the instructions say: Check”. To the right of this instruction is the original equation again: 5x equals negative 27. Another line down, the instructions say to substitute negative 27/5 for x, and to the right is the equation with negative 27/5 substituted for x: 5 times negative 27/5, with negative 27/5 in parentheses and written in red, equals negative 27. Below this is the equation negative 27 equals negative 27, with a check mark next to it. Another line down, in the right-hand column, is a sentence that reads “Since this is a true statement x = -27/5 is the solution to 5x = -27.”»>

Чтобы изолировать x, «отмените» умножение на 5.
Разделить, чтобы «отменить» умножение.
Упрощение.
Чек:
Замените x на \(-\frac{27}{5}\).
		Поскольку это верное утверждение, \(x = -\frac{27}{5}\) является решением \(5x=−27\).

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите: \(3y=−41\).

Ответить

\(y = -\frac{41}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите: \(4z=−55\).

Ответить

\(y = -\frac{55}{4}\)

Рассмотрим уравнение \(\frac{x}{4} = 3\). Мы хотим знать, какое число, деленное на 4, дает 3. Итак, чтобы «отменить» деление, нам нужно будет умножить на 4. Свойство умножения равенства позволит нам это сделать. Это свойство говорит о том, что если мы начнем с двух равных величин и умножим их на одно и то же число, результаты будут равны.

СВОЙСТВО УМНОЖЕНИЯ РАВЕНСТВА

Для любых чисел a , b и c ,

\[\begin{array} {llll} {\text {If}} &{a} & { =} &{b} \\ {\text {then}} &{a c} &{=} &{b c} \end{array}\]

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, еще есть равенство.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решить: \(\frac{y}{-7} = -14\)

Ответ

Здесь y делится на −7. Мы должны умножить на −7, чтобы изолировать y.

” To the right of this instruction is the answer to the equation: y equals 98. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: y over negative 7 equals negative 14. Then the instructions say to substitute 98 for y, and to the right is the equation with 98 substituted in for y: 98 (written in red) divided by negative 7 might equal negative 14. Below this the instructions say to divide, and to the right is the equation negative 14 equals negative 14, with a check mark next to it.»>

Умножьте обе части на −7.
Умножить.
Упрощение.
Проверить: \(\frac{y}{-7} = -14\)
Замените у=98.
Разделить.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Решить: \(\frac{a}{-7} = -42\)

Ответ

\(а = 294\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Решите: \(\frac{b}{-6} = -24\)

Ответ

\(b = 144\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Решить: \(-n = 9\)

Ответ

Another line down to the left, the instructions say: “Divide both sides by negative 1.” To the right of this sentence is the equation divided by negative 1 on both sides: negative 1n over negative 1 equals 9 over negative 1, with divided by negative 1 written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Divide.” To the right of this word is the answer to the equation: n equals negative 9. Below this is the text: “Notice that there are two other ways to solve negative n equals 9. We can also solve this equation by multiplying both sides by negative 1 and also by taking the opposite of both sides.” Another line down on the left, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: negative n equals 9. Then the instructions say to substitute negative 9 for n, and to the right is the equation with negative 9 substituted in for n: negative negative 9, with negative 9 in parentheses and written in red, might equal 9. One more line down, the instructions say: “Simplify.” To the right of that instruction is the equation 9 equals 9, with a check mark next to it.»>

Помните, что -n эквивалентно -1n.
Разделите обе части на −1.
Разделить.
Обратите внимание, что есть два других способа решить -n=9. Мы также можем решить это уравнение, умножив обе части на −1, а также взяв противоположное от обеих частей.
Чек:
Замените n = −9.
Упрощение.

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Решите: \(−k=8\).

Ответить

\(к = -8\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Решите: \(-g=3\).

Ответить

\(г = -3\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Решить: \(\frac{3}{4}x = 12\)

Ответ

Поскольку произведение числа и его обратной величины равно 1, наша стратегия будет состоять в том, чтобы изолировать x путем умножения на обратную величину \(\frac{3}{4}\).

Another line down on the left, the instructions say: “Reciprocals multiply to 1.” To the right of this sentence is the equation 1x equals 4/3 times 12. Another line down on the left, the instructions say: “Multiply.” To the right of this instruction is the answer to the equation: x equals 16. Below this is the text: “Notice that we could have divided both sides of the equation three-fourths x equals 12 by ¾ to isolate x. While this would work, most people would find multiplying by the reciprocal easier.” Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: three-fourths x equals 12. Then the instructions say: “Substitute x equals 16,” and to the right is the equation with 16 substituted in for x: ¾ times 16 (written in red) might equal 12. Below this is the equation 12 equals 12, with a check mark next to it.»>

Умножьте на обратную величину \(\frac{3}{4}\).
Обратные числа умножаются на 1.
Умножить.
Обратите внимание, что мы могли бы разделить обе части уравнения \(\frac{3}{4}x = 12\) на \(\frac{3}{4}\), чтобы изолировать x. Хотя это сработает, большинству людей будет проще умножить на обратное.
Чек:
Подставить \(x=16\).

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Решите: \(\frac{2}{5}n=14\).

Ответить

\(n = 35\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Решите: \(\frac{5}{6}y=15\).

Ответить

\(у = 18\)

В следующем примере все переменные члены находятся в правой части уравнения. Как всегда, наша цель при решении уравнения состоит в том, чтобы изолировать переменную.

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Решить: \(\frac{8}{15} = -\frac{4}{5}x\)

Ответ

” To the right of this sentence is the equation negative product of 5 times 4 times 2 over the product of 4 times 3 times 5 equals 1x, with the 5s and the 4s canceled out of the numerator and denominator. Another line down to the left, the instructions say: “Multiply.” To the right of this instruction is the equation negative 2/3 equals x. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: 8/15 equals negative four-fifths x. Then the instructions say: “Let x equal negative 2/3,” and to the right is the equation with negative 2/3 substituted in for x: 8/15 equals negative 4/5 times negative 2/3, with negative 2/3 in parentheses and written in red. Below this is the equation 8/15 equals 8/15, with a check mark next to it.»>

Умножить на обратную величину \(-\frac{4}{5}\).
Обратные числа умножаются на 1.
Умножить.
Чек:
Пусть \(x = -\frac{2}{3}\).

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Решить: \(\frac{9}{25} = -\frac{4}{5}z\)

Ответ

\(z = — \frac{9}{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

\(\frac{5}{6} = -\frac{8}{3}r\)

Ответ

\(r = -\frac{5}{16}\)

Решение уравнений, требующих упрощения

Многие уравнения изначально сложнее, чем те, с которыми мы работали.

При работе с этими более сложными уравнениями первым шагом является максимальное упрощение обеих частей уравнения. Обычно это включает в себя объединение подобных терминов или использование распределительного свойства.

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Решите: \(14−23=12y−4y−5y\).

Ответить

Начните с упрощения каждой части уравнения.

” To the right of this word is the equation negative 3 equals y. Two lines down, the instructions say, “Check”. To the right of this word is the original equation again: 14 minus 23 equals 12y minus 4y minus 5y. Then the instructions say: “Substitute y equals negative 3,” and to the right is the equation with negative 3 substituted in for y: 14 minus 23 might equal 12 times negative 3, with negative 3 written in red, minus 4 times negative 3, with negative 3 written in red, minus 5 times negative 3, with negative 3 written in red. Below this is the equation 14 minus 23 might equal negative 36 plus 12 plus 15. Below this is the equation negative 9 equals negative 9, with a check mark next to it.»>

Упростите каждую сторону.
Разделите обе стороны на 3, чтобы выделить у.
Разделить.
Чек:
Замените \(y=−3\).

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Решите: \(18−27=15c−9c−3c\).

Ответить

\(с=-3\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Решите: \(18−22=12x−x−4x\).

Ответить

\(х = -\фракция{4}{7}\)

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Решите: \(−4(a−3)−7=25\).

Ответить

Здесь мы упростим каждую часть уравнения, используя сначала свойство распределения.

” To the right of this instruction is the answer to the equation: a equals negative 5. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: negative 4 times a minus 3, with a minus 3 in parentheses, minus 7 equals 25. Then the instructions say to substitute negative 5 for a, and to the right is the equation with negative 5 substituted in for a: negative 4 times negative 5 minus 3, with negative 5 written in red and negative 5 minus 3 in parentheses, minus 7 might equal 25. Below this is the equation negative 4 times negative 8 minus 7 might equal 25. Below this is the equation 32 minus 7 might equal 25. Below this is the equation 25 equals 25, with a check mark next to it.»>

Распределить.
Упрощение.
Упрощение.
Разделите обе части на \(-4\), чтобы выделить a.
Разделить.
Чек:
Замена \(а = -5\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Решите: \(−4(q−2)−8=24\).

Ответить

\(д=-6\)

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Решите: \(−6(r−2)−12=30\).

Ответить

\(r=−5\)

Теперь мы рассмотрели все четыре свойства равенства — вычитание, сложение, деление и умножение. Мы перечислим их все вместе здесь для удобства.

СВОЙСТВА РАВЕНСТВА

Когда вы складываете, вычитаете, умножаете или делите одно и то же количество из обеих частей уравнения, вы все равно имеете равенство.

\[\begin{array} {ll} {\textbf {Свойство равенства вычитания}} &{\textbf{Свойство равенства сложения}} \\
{\text{Для любых действительных чисел a, b и c ,}} &{\text{Для любых действительных чисел a, b и c}}
\\ {\text{if}a = b,} &{\text{if}a = b,}
\\ {\ text {затем} а — с = б — с} & {\ текст {затем} а + с = б + с}
\\ {\textbf {Свойство равенства деления}} &{\textbf{Свойство равенства умножения}} \\
{\text{Для любых действительных чисел a, b и c}} &{\text{Для любые действительные числа a, b и c,}}
\\ {\text{if}a = b,} &{\text{if}a = b,}
\\ {\text{then}a — c = b — c} &{\text{then}a + c = b + c}
\end{array}\]

Когда вы складываете, вычитаете, умножаете или делите одну и ту же величину из обеих частей уравнения, у вас все еще есть равенство.

Перевести в уравнение и решить

В следующих нескольких примерах мы будем переводить предложения в уравнения, а затем решать уравнения. Возможно, вы захотите просмотреть таблицу перевода в предыдущей главе.

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Переведите и решите: Число 143 является произведением −11 и y .

Ответить

Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the answer to the equation: negative 13 equals y. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this word is the original equation again: 143 equals negative 11y. Below this is the equation 143 might equal negative 11 times negative 13, with negative 13 in parentheses. Below this is the equation 143 equals 143, with a check mark next to it.»>

Перевести.
Разделить на −11.
Упрощение.
Проверить: \[\begin{array} {lll} {143} &{=} &{-11y} \\ {143} &{\stackrel{?}{=}} &{-11(- 13)} \\ {143} &{=} &{143\checkmark} \end{массив}\]

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Переведите и решите: Число 132 есть произведение −12 и y .

Ответить

132=-12г;г=-11

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Переведите и решите: Число 117 есть произведение −13 и z .

Ответить

117=-13z;z=-9

Упражнение \(\PageIndex{25}\)

Переведите и решите: n разделить на 8 равно −32.

Ответ

Another line down on the left, the instructions say: “Multiply both sides by 8.” To the right of this sentence is the same equation multiplied by 8 on both sides: 8 times n over 8 equals 8 times negative 32, with times 8 written in red on both sides. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the answer to the equation: n equals negative 256. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this instruction is the question: “Is n divided by 8 equal to negative 32?” Another line down to the left, the instructions say: “Let n equal negative 256.” To the right of this sentence is the question: “Is negative 256 divided by 8 equal to negative 32?” Another line down on the left, the instructions say: “Translate.” To the right of this instruction is the equation negative 256 over 8 might equal negative 32. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this instruction is the equation negative 32 equals negative 32, with a check mark next to it. «>

Начните с перевода предложения в уравнение. Перевести.
Умножьте обе стороны на 8.
Упрощение.
Чек:	Является ли число nn, деленное на 8, равным −32?
Пусть \(n=−256\).	-256 разделить на 88 равно -32?
Перевести.	\(\frac{-256}{8} \stackrel{?}{=} -32\)
Упрощение.	\(−32=−32\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{26}\) ​​

Переведите и решите: число nn, деленное на 7, равно −21.

Ответить

\(\frac{n}{7}=-21; n=-147\)

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Переведите и решите: n, деленное на 8, равно −56.

Ответить

\(\frac{n}{8}=-56;n=-448\)

Упражнение \(\PageIndex{28}\)

Переведите и решите: Частное yy и −4 равно 68.

Ответ

Начните с перевода предложения в уравнение.

Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the answer to the equation: y equals negative 272. Two lines down, the instructions say: “Check”. To the right of this instruction is the question: “Is the quotient of y and negative 4 equal to 68?” Another line down to the left, the instructions say: “Let y equal negative 272.” To the right of this sentence is the question: “Is the quotient of negative 272 and negative 4 equal to 68?” Another line down on the left, the instructions say: “Translate.” To the right of this instruction is the equation negative 272 over negative 4 might equal 68. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this instruction is the equation 68 equals 68, with a check mark next to it.»>

Перевести.
Умножьте обе части на -4.
Упрощение.
Чек:	Является ли частное y и −4 равным 68?
Пусть y=−272.	Является ли частное −272 и −4 равным 68?
Перевести.	\(\frac{-272}{-4} \stackrel{?}{=} 68\)
Упрощение.	\(68 = 68\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{29}\)

Переведите и решите: Частное q и −8 равно 72,

Ответить

\(\frac{q}{-8}=72;q=-576\)

Упражнение \(\PageIndex{30}\)

Переведите и решите: Частное p и −9 равно 81.

Ответ

\(\frac{p}{-9}=81;p=-729\)

Упражнение \(\PageIndex{31}\)

Переведите и решите: Три четверти p равно 18.

Ответ

Начните с перевода предложения в уравнение. Помните, что «из» переводится как умножение.

To the right of this instruction is the question: “Is three-fourths of p equal to 18?” Another line down to the left, the instructions say: “Let p equal 24.” To the right of this sentence is the question: “Is three-fourths of 24 equal to 18?” Another line down on the left, the instructions say: “Translate.” To the right of this instruction is the equation ¾ times 24 might equal 18. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this instruction is the equation 18 equals 18, with a check mark next to it.»>

Перевод.
Умножьте обе части на \(\frac{4}{3}\).
Упрощение.
Чек:	Три четверти p равны 18?
Пусть р = 24.	Три четверти от 24 равны 18?
Перевести.	\(\frac{3}{4}\cdot 24 \stackrel{?}{=} 18\)
Упрощение.	\(18=18\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{32}\)

Переведите и решите: Две пятых f равно 16.

Ответ

\(\frac{2}{5}f=16; f=40\)

Упражнение \(\PageIndex{33}\)

Переведите и решите: Три четверти f равно 21.

Ответ

\(\frac{3}{4}f=21; f=28\)

Упражнение \(\PageIndex{34}\)

Переведите и решите: Сумма трех восьмых и x равна половине.

Ответить

Начните с перевода предложения в уравнение.

” To the right of this sentence is the question: “Is the sum of three-eighths and one-eighth equal to one-half?” Another line down on the left, the instructions say: “Translate.” To the right of this instruction is the equation 3/8 + 1/8 might equal 1/2. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify.” To the right of this instruction is the equation 4/8 might equal ½. Another line down on the left, the instructions say: “Simplify,” and to the right of this instruction is the equation 1/2 equals 1/2, with a check mark next to it.»>

Перевести.
Вычтите \(\frac{3}{8}\) с каждой стороны.
Упростите и перепишите дроби с общими знаменателями.
Упрощение.
Чек:	Является ли сумма трех восьмых и x равной половине?
Пусть \(x=\frac{1}{8}\).	Является ли сумма трех восьмых и одной восьмой равной половине?
Перевести.	\(\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\)
Упрощение.	\(\frac{4}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\)
Упрощение.	\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \checkmark\)

Упражнение \(\PageIndex{35}\)

Переведите и решите: Сумма пяти восьмых и x равна одной четвертой.

Ответить

\(\frac{5}{8} + x = \frac{1}{4}; x = -\frac{3}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{36}\)

Переведите и решите: Сумма трех четвертых и x равна пяти шестым.

Ответить

\(\frac{3}{4} + x = \frac{5}{6}; x = \frac{1}{12}\)

Перевод и решение приложений

Чтобы решить приложения, использующие свойства равенства деления и умножения, мы будем следовать тем же шагам, что и в предыдущем разделе. Мы переформулируем задачу всего в одном предложении, назначим переменную, а затем переведем предложение в уравнение, которое нужно решить.

Упражнение \(\PageIndex{37}\)

Дена купила 6 фунтов винограда за 10,74 доллара. Сколько стоил один фунт винограда?

Ответить

\[\begin{array} {ll} {\text{Что вам нужно найти?}} &{\text{Стоимость 1 фунта винограда}} \\\\ {\text{Назначьте переменную. }} &{\text{Пусть c = стоимость одного фунта.}} \\\\ {\text{Напишите предложение, которое дает}} &{\text{Стоимость 6 фунтов составляет }10,74 доллара} \\ {\text{информация для ее поиска.}} &{} \\\\ {\text{Переведите в уравнение. }} &{6c = 10,74} \\ {\text{Решите.}} &{\frac{ 6c}{c} = \frac{10,74}{6}} \\ {} &{c = 1,79} \\\\ {} &{\text{Виноград стоит} 1,79 доллара \text{ за фунт.}} \\ \\ {\text{Проверьте: если один фунт стоит} 1,79 доллара, сделайте} &{} \\ {\text{стоимость 6 фунтов} 10,74 доллара?} &{} \\\\ {6(1,79) \stackrel{?}{=} 10,74} &{} \\ {10,74 = 10,74\галочка} &{} \ конец {массив}\]

Упражнение \(\PageIndex{38}\)

Переведите и решите:

Арианна купила упаковку из 24 бутылок с водой за 9,36 доллара. Сколько стоила одна бутылка воды?

Ответить

0,39 $

Упражнение \(\PageIndex{39}\)

Переведите и решите:

В боулинге JB’s Bowling Alley 6 человек могут играть на одной дорожке за 34,98 доллара. Какова стоимость для каждого человека?

Ответить

5,83 $

Упражнение \(\PageIndex{40}\)

Андреас купил подержанную машину за 12 000 долларов. Поскольку машине было 4 года, ее цена была \(\frac{3}{4}\) от первоначальной цены, когда машина была новой. Какова была первоначальная цена автомобиля?

Ответить

\[\begin{array} {ll} {\text{Что вас просят найти?}} &{\text{Исходная цена автомобиля}} \\\\ {\text{Назначить переменную.} } &{\text{Пусть p = первоначальная цена.}} \\\\ {\text{Напишите предложение, которое дает}} &{$12000\text{ равно }\frac{3}{4} \text{ исходной цены.}} \\ {\text{информация для ее поиска.}} &{} \\\\ {\text{Переведите в уравнение.}} &{12000 = \frac{3}{4} p} \\ {} &{\ frac {3} {4} (12000) = \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {3} {4} p} \\ {} & {16000 = p} \\{\text{Решить.}} &{} \\\\ {} &{\text{Первоначальная стоимость автомобиля составляла} 16000 долларов.} \\ \\ {\text{Проверка: Is}\frac {3}{4} \text{ из }16000$ \text{ равно }12000$} &{} \\\\ {\frac{3}{4}\cdot 16000 \stackrel{?}{=} 12000} & {} \\ {12000 = 12000\галочка} &{} \end{массив}\]

Упражнение \(\PageIndex{41}\)

Переведите и решите:

Годовой налог на недвижимость на дом Мехты составляет 1800 долларов и рассчитывается как \(\frac{15}{1000}\) оценочной стоимости дом. Какова оценочная стоимость дома Мехты?

Ответить

$120000

Упражнение \(\PageIndex{42}\)

Переведите и решите:

Стелла посадила 14 квартир цветов в \(\frac{2}{3}\) своего сада. Сколько квартир цветов ей понадобится, чтобы заполнить весь сад?

Ответить

21 квартира

Ключевые понятия

• Свойство равенства деления — Для любых чисел a , b и c , и \(c\neq 0\), если \(a=b\), тогда \(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\).
  Когда вы делите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получаете равенство.
• Свойство равенства умножения — Для любых чисел a , b и c , если \(a=b\), то \(ac = bc\).
  Если вы умножите обе части уравнения на одно и то же число, вы все равно получите равенство.

---

Эта страница под названием 2.2: Решение уравнений с использованием свойств деления и умножения равенства распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу Содержание

   нет

2. Теги

   1. source@https://openstax. org/details/books/elementary-алгебра-2e
   2. источник@https://openstax.org/details/books/intermediate-алгебра-2e

Правило BODMAS: знание определений, формул и вопросов

• Автор Шротасвини Мохапатра
• Последнее изменение 19-07-2022

• Автор Шротасвини Мохапатра
• Последнее изменение 19-07-2022

Правило БОДМА: Правило БОДМА — важный метод в математике, который используется для решения математических задач. Это метод выполнения арифметического выражения для решения математических уравнений. BODMAS — это аббревиатура от B — скобки, O — порядок степеней или корней, D — деление и M — умножение. A означает сложение, а S означает вычитание.

Это правило упрощает решение выражений с несколькими операторами. Решения должны быть упрощены только в этой последовательности, слева направо. BODMAS используется, когда имеется множество выражений по математической задаче. Студенты должны следовать набору правил при использовании подхода BODMAS. Прочтите следующую статью, чтобы узнать больше о правиле BODMAS и вопросах BODMAS.

Правило

BODMAS, также известное как порядок операций, представляет собой последовательность операций в арифметическом выражении.

BODMAS — это аббревиатура, используемая для скобок, порядка, деления, умножения, сложения и вычитания. В некоторых регионах люди/учащиеся используют PEMDAS (круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание), которое является синонимом или эквивалентом правила BODMAS и может использоваться взаимозаменяемо.

Изучение концепций экзамена на Embibe

Объясняет математические операции, которые необходимо выполнять при решении математического выражения. В соответствии с этим правилом, если в выражении есть несколько квадратных скобок \(\left({{\rm{vinculum}}, +, \times, \div } \right)\), начните решение внутри vinculum, или черты, или строки сначала квадратная скобка, затем круглая скобка, затем фигурная скобка, затем квадратная скобка, а затем решите порядок (означает степень и корни и т. д.), затем деление, умножение, сложение и затем вычитание.

Таким образом, правило BODMAS используется для оценки математических выражений и выполнения сложных вычислений гораздо проще и правильнее.

Определение правила BODMAS

Согласно правилу, чтобы решить любое математическое выражение, сначала решают члены, написанные в скобках, затем упрощают экспоненциальные члены и переходят к операциям деления и умножения, затем, наконец, к сложению и вычитанию.

Здесь умножение и деление можно считать операциями первого уровня, так как они должны быть решены в первую очередь, сложение и вычитание можно считать операциями второго уровня.

Упрощение терминов внутри скобок можно сделать напрямую. Это означает, что мы можем выполнять операции внутри скобок деления, умножения, сложения и вычитания.

Соблюдение этого порядка операций в правиле BODMAS всегда дает правильный ответ. Если в выражении несколько скобок, все одинаковые скобки могут быть решены одновременно.

Пример, \((31+2)÷(13-2) = 33 ÷ 11 = 3\)

Посмотрите на приведенную ниже диаграмму, чтобы понять термины и операции, обозначаемые аббревиатурой BODMAS, в правильном порядке.

BODMAS против PEMDAS

BODMAS и PEMDAS — это две аббревиатуры, используемые для запоминания порядка выполнения операций при решении математического выражения. BODMAS является синонимом PEMDAS.

Правило PEMDAS почти аналогично правилу BODMAS.

Аббревиатура несколько отличается, поскольку некоторые термины известны под разными названиями в разных регионах.

Практические экзаменационные вопросы

Примеры BODMAS с условием

Существует несколько условий и правил для общего упрощения, как указано ниже:

77 905.

Условие	Правило
\(p + (q + r) \Стрелка вправо p + q + r\)
\(p – (q + r) \Стрелка вправо p – q – r\)	Раскройте скобку и умножьте знак минус на каждое слагаемое внутри скобки. (Все положительные члены будут отрицательными, а отрицательные будут положительными)
\(p(q + r) \Rightarrow pq + pr\)	Умножьте внешний член на каждый член в круглой скобке

Давайте решим некоторые вопросы BODMAS или примеры BODMAS, следуя приведенным выше правилам. :

Пример \(1:\,3 + \влево( {6 + 7} \вправо) = 3 + 6 + 7 = 16\)

Пример \({\rm{2: 15 – }}\left( {\rm{3 + 2}}} \right){\rm{ = 15 – 3 – 2 = 15 – 5 = 10}}\ )

Пример \(2 \times \left( {3 \times 8} \right) = \left( {2 \times 3} \right) + \left( {2 \times 8} \right) = 6 + 16 = 22\)

Простые способы запомнить правило BODMAS

Во-первых, упростите выражение внутри скобок.

Затем решите все экспоненциальные члены.

Затем выполните деление или умножение (слева направо).

Затем выполните сложение или вычитание (слева направо).

БОДМАС Формула

Способ определения приоритетности математических операций, которые должны выполняться первыми по порядку, называется формулой BODMAS. Сначала решите выражение в скобках, затем выполните порядок или из, затем деление, затем умножение, затем сложение и затем вычитание.

Как решить суммы BODMAS, связанные с реальной жизнью?

Во время сегодняшней бури с дерева в нашем саду упало несколько манго. Мой брат подобрал в корзине. Я посчитал, что в корзине 50 манго. Оттуда я взял 2 манго, а мой брат взял 3 манго.

Через некоторое время мама нашла в саду еще 15 манго. Она разделила все манго поровну между 12 соседскими девочками и мальчиками. Сколько манго получил каждый?

Первое задание: Сколько манго взяли я и мой брат?

\((2+3) [() в первой скобке ]

Второе задание: После того, как мы взяли манго, сколько осталось в корзине?

\(\{ 50 – (2 + 3)\} [ \left\{ {} \right\}\) во второй скобке ]

Если мама оставила еще 15 манго, общее количество манго будет \(\left\{ {50 – \left( {2 + 3} \right) + 15} \right\}\)

У нас осталось еще много работы. Итак, нам нужен еще один кронштейн. Мы будем называть эту скобку квадратной скобкой.

Третье задание: \(\left\{ {50 – \left( {2 + 3} \right) + 15} \right\}\) Разделить поровну между 12 людьми, каждому достанется,

Четвертая задача:
\(\left[ {\left\{ {50 — \left( {2 + 3} \right)} \right\} + 15} \right] \div 12\)
\( = \left[ {\left\{ {50 – 5} \right\} + 15} \right] \div 12\) (упрощение внутри круглых скобок)
\(= \left[ {45 + 15} \right] \div 12\) (Упростить внутри фигурной скобки)
\(= 60 \div 12\) (Упростить внутри квадратной скобки)
\(= 5\) (Разделить)
Следовательно, каждый получит по 5 манго.

Распространенные ошибки при использовании правила BODMAS

Кто-то может сделать несколько распространенных ошибок при применении правила BODMAS для решения выражения, и эти ошибки приведены ниже:

1. Наличие нескольких квадратных скобок может вызвать путаницу, и мы можем получить неправильный ответ.
2. Ошибки возникают из-за отсутствия правильного понимания сложения и вычитания целых чисел.
   Например: \(2-5+6=-3+6=3\).
   Но если мы упростим \(2-5+6=2-11=-9\), то получим неправильный ответ.
3. Предполагая, что деление имеет более высокий приоритет, чем умножение, а сложение имеет более высокий приоритет, чем вычитание.

Попытка пробных тестов

Умножение и деление являются операциями одного уровня и должны выполняться слева направо в последовательности (в зависимости от того, что идет первым в выражении) и то же самое со сложением и вычитанием, которые являются операциями одного уровня, которые должны выполняться после умножения и деления.

Если сначала решить деление перед умножением (которое находится в левой части операции деления), поскольку D стоит перед M в BODMAS, они могут получить неправильный ответ.

БОДМАС Вопросы

Кандидаты, которые ищут вопросы BODMAS для класса 8 или вопросы BODMAS для класса 7 или вопросы BODMAS для класса 5, могут проверить несколько примеров ниже:

Q. 1. Решите \(8+9÷9+5×2-7\).
Ответ:
Данное выражение равно \(8+9÷9+5×2-7\) .
Сначала выполните операцию деления, т.е. \(9÷9=1\)
Таким образом, \(8+1+5×2-7\)
Затем умножение, т.е. \(5×2=10\) 
Теперь , \(8+1+10-7\)
Затем выполнить сложение, т.е. \(8+1+10=19\)
Теперь, \(19-7=12\) (вычесть)
Следовательно, требуемый ответ равно \(12\).

Q.2. Упростить \(\left[ {25 – 3\left( {6 + 1} \right)} \right] \div 4 + 9.\)
Ответ:
Данное выражение равно \(\left[ {25 – 3\влево( {6 + 1} \вправо)} \вправо] \div 4 + 9.\)
Начнем решать внутри круглой скобки, т.е. \(\влево( {6 + 1} \вправо) = 7\)
Далее умножаем \(3\влево( 7 \вправо)\;\) или \( 3×7=21\)
Теперь \(\left[ {25 – 21} \right] \div 4 + 9\)
Осталась одна скобка, т.е. \(\left[ {25 – 21} \ справа] = 4\)
После \(B\) и \(O,D\) идет.
Следовательно, \(4÷4=1\)
Наконец, \(1+9=10\)
Следовательно, требуемый ответ равен \(10\) после упрощения выражения.

Q.3. Решите \ (\ влево ( {\ гидроразрыва {1} {4} + \ гидроразрыва {1} {8}} \ справа) \) из \ (64 \).
Ответ:
Сначала решите выражение в скобках, т.е. \(\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right) = \frac{{2 + 1} }{8} = \frac{3}{8}\)
Теперь выражение принимает вид \(\frac{3}{8}\) of \(64\)
‘Of’ означает умножение. Итак, \(\frac{3}{8} \times 64\)
Следовательно, искомый ответ равен \(24\).

Q.4. Упростите \(180 \div 15\{ (12 – 6) – (14 – 12)\} \).
Ответ:
Данное выражение равно \(180 \div 15\{ (12 – 6) – (14 – 12)\} \)
Сначала упростим члены внутри \(()\), а затем \({} \). 94} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
Тогда \(16×5=80\)
Наконец, выполните сложение, \(3+80=83\)
Следовательно, искомое ответ \(83\).

В.6. Решите \(16[8 – \{ 5 – 2(\overline {2 – 1} + 1)\} ]\), используя правило BODMAS.
Ответ:
Данное выражение равно \(16[8 – \{ 5 – 2(\overline {2 – 1} + 1)\} ]. \)
Сначала решите винкулум или линейную скобку
Теперь, \( 16\влево[ {8 – \влево\{ {5 – 2\влево( {1 + 1} \вправо)} \вправо\}} \вправо]\)
\(= 16\влево[ {8 – \влево \{ {5 – 2 \times 2} \right\}} \right]\) (решается внутри фигурной скобки)
\(= 16\left[ {8 – \left\{ {5 – 4} \right\}} \right]\) (умноженное внутри фигурной скобки)
\(= 16\left[ {8 – 1} \right]\) (Решается внутри фигурной скобки)
\(=16×7\) (Решается внутри квадратной скобки)
\(=112\) (умножается)
Следовательно, искомый ответ равен \(112\) .

Резюме

В этой статье мы изучили правило BODMAS, которое играет очень важную роль при простом и правильном решении математических/арифметических выражений.

Мы рассмотрели полную форму правила BODMAS, что такое правило BODMAS, его применение, как правильно упростить большие математические выражения. Это очень поможет учащимся в математических расчетах.

Часто задаваемые вопросы о BODMAS Правило

Ниже приведены часто задаваемые вопросы о BODMAS:

Q. 1: Вы используете BODMAS, когда скобки отсутствуют?
Ответ:  Да, мы используем правило BODMAS, чтобы получить правильный ответ, даже если скобок нет. Если скобок нет, начните решение с «порядка» или «из», за которыми следует деление или умножение (то, что идет первым слева направо), а затем сложение или вычитание (то, что идет первым слева направо).

Q.2: Правильно ли правило BODMAS?
Ответ:  Да, правило BODMAS (порядок скобок или деления, умножения, сложения, вычитания) верно. Но в некоторых регионах люди также используют PEMDAS (круглые скобки, умножение, умножение, деление, вычитание) или BIDMAS (скобки, индексы, деление, умножение, сложение, вычитание). Кстати, все три аббревиатуры правильные.

Q.3: Что такое правило BODMAS в математике?
Ответ:  BODMAS – это аббревиатура, используемая для запоминания порядка операций, которым необходимо следовать при решении математических выражений. В соответствии с этим правилом сначала решите выражение в скобках (vinculum,(),{},[])(vinculum,(),{},[]), затем решите порядок или (степень или корни), затем деление или умножение (поскольку деление и умножение имеют одинаковый приоритет, выполняйте то, что идет первым слева направо), затем решите сложение или вычитание (поскольку сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, выполняйте то, что идет первым слева направо).

Q.4: Вы сначала умножаете, если нет скобок?
Ответ:  да, мы умножаем сначала, если скобки нет (при условии, что умножение идет первым в выражении слева направо). Потому что, по правилу БОДМАСА, внутри скобки нужно решить сначала. Если скобки нет, то следующим приоритетом будет деление или умножение (поскольку и деление, и умножение имеют одинаковый порядок предпочтения), и если умножение идет первым в математическом выражении слева направо.

Q.5: Что означает O в правиле BODMAS?
Ответ:  Значение  O  в BODMAS означает «порядок» или «из».

Q.6: Что такое полная форма BODMAS?
Ответ:  Полная форма BODMAS: скобки, порядок или деление, умножение, сложение, вычитание.

Q.7: Вы сначала складываете или умножаете?
Ответ:  Сначала умножаем. Поскольку правило BODMAS говорит, какую операцию следует выполнить первой при решении математической операции. Согласно правилу БОДМАС, мы должны сначала умножить, а затем сложить.

Теперь у вас есть вся необходимая информация о правиле BODMAS. Мы надеемся, что эта подробная статья поможет вам.

Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой статьи о правиле BODMAS, оставьте свои вопросы в поле для комментариев ниже. Мы свяжемся с вами как можно скорее.

Следите за обновлениями Embibe, чтобы быть в курсе последних новостей и обновлений.

Практические вопросы по правилу Бодма с советами и решениями

Умножение и деление в 1-м классе (5–6 лет)

 

В 1-м классе ваш ребенок научится читать, писать и понимать математические понятия, используя знаки умножения (×), деления (÷) и равенства (=). Они начнут использовать массивы и будут использовать группировку и совместное использование для разделения.

Ключевое слово в этом разделе — массив.

Чему научится ваш ребенок

Взгляните на требования Национальной учебной программы к умножению и делению в 1-м классе (возраст 5–6 лет):

Решите одноэтапные задачи на умножение и деление

Ваш ребенок сможет считать шагами 2, 5 и 10. Он начнет связывать это с идеей умножения как «повторяющегося сложения». Например, они будут знать, что 3 × 2 — это то же самое, что 2 + 2 + 2.

Ожидается, что ваш ребенок решит простые задачи на деление, разделяя и группируя. Например:

10 ÷ 2 можно рассматривать как разделение 10 объектов на 2 равные группы. Это дает нам 5 в каждой группе.

 

10 ÷ 2 можно рассматривать как определение количества групп по 2 в числе 10. Это дает нам 5 группы по 2 шт.

Ваш ребенок будет использовать предметы и рисунки, чтобы понять умножение и деление. Они будут создавать и использовать массивы для решения задач. (Массив – это набор объектов, расположенных в строки и столбцы так, чтобы получился прямоугольник.)

Они начнут понимать взаимосвязь между умножением и делением и будут выполнять вычисления с конкретными объектами, графическими представлениями и массивами, а также поддерживать их учитель.

Как помочь по дому

Существует множество способов помочь ребенку понять умножение и деление. Вот лишь несколько идей:

 

1. Потренируйте умножение

Это может помочь вашему ребенку думать об умножении как о повторяющемся сложении. Они должны понимать, что когда мы умножаем, мы каждый раз прибавляем одну и ту же сумму. Например, 3 × 2 — это то же самое, что 2 + 2 + 2.

Использование объектов может помочь вашему ребенку понять, как складывать объекты, сгруппированные по 2, 5 и 10. Есть много возможностей сделать это, используя вещи в вашем доме! Вы можете использовать пары обуви или носков, чтобы попрактиковаться в счете двойками, перчатки, чтобы считать пятерками, и лотки для кубиков льда, чтобы практиковаться в счете десятками. Помогите ребенку нарисовать предметы, которые он сосчитал, и используйте их, чтобы попрактиковаться в счете с шагом 2, 5 или 10 в любое время.

Ваш ребенок будет использовать массивы, чтобы помочь им с умножением. Массивы — это наборы объектов, расположенных в строках и столбцах так, чтобы получился прямоугольник. Например, ящики для яиц, лотки для кексов, лотки для кубиков льда и шоколадные батончики с рядами кусочков — все это массивы.

Запекание — отличный способ использования массивов. Например, объясните ребенку, что вам нужно испечь 12 маффинов. Посмотрите на противень. Есть 3 строки и 4 столбца. Сосчитайте каждый столбец по 4, чтобы показать, что всего 12 отверстий. Если мы перевернем банку в другую сторону, будет то же самое.

Упражнение: Массивы

Выполните вычисления, используя массив.

2. Попробуйте разные методы деления

В 1-м классе ваш ребенок начнет понимать деление как разделение и группировку. Есть много простых способов поддержать это в домашних условиях.

Разделение путем разделения

Попросите ребенка попрактиковаться в делении, разделив предметы поровну. Например, 8 ÷ 2 можно решить, разделив 8 предметов на 2 равные группы. Использование таких предметов, как игрушки вашего ребенка, продукты питания или пуговицы, помогает ему визуализировать то, что означает вычисление, и поддерживает его интерес.

Попросите ребенка выяснить, сколько предметов есть для начала. Могут ли они разделить предметы поровну между вами двумя? Помогите им разделить предметы по одному между двумя группами. Когда все предметы будут разделены, спросите ребенка, сколько их в каждой группе. Если у вас одинаковое число, объясните, что ваш ребенок разделил предметы поровну на две группы, что равносильно делению на два.

Если у вас разные номера, спросите ребенка, были ли предметы разделены поровну. Например, «мы начали с 11 объектов и разделили их на две группы, у меня 6 объектов, а у вас 5 объектов». Они равны? Если они не равны, то 11 нельзя разделить поровну на две группы, поэтому 11 нельзя разделить на 2 поровну, используя целые числа или предметы».

Видео: Как разделить путем обмена

Помощь с домашним заданием! Узнайте, как разделить путем обмена.

Деление на группы

Важно, чтобы ваш ребенок также понимал деление как группировку. Опять же, вы можете использовать любые предметы из вашего дома, чтобы практиковать деление как группировку.

Попросите ребенка узнать, сколько их в группе предметов. Объясните им, что вы хотите узнать, сколько групп из двух человек в общей группе. Помогите ребенку брать по два предмета за раз и посчитайте, сколько групп по два в общем числе.

Например, если у вас есть 8 объектов и вы хотите разделить их на группы, это можно рассматривать как «Сколько групп по 2 в 8?». Попросите и поддержите своего ребенка, чтобы он объяснил, что он разделил 8 предметов, сгруппировав их попарно и выяснив, сколько групп по 2 в общей группе из 8 предметов.

Видео: Как сделать деление на группы

Помогите с домашним заданием! Узнайте, как разделить на группы.

3. Использовать математический язык

Уметь использовать язык умножения и деления при разговоре с ребенком полезно, потому что умение рассуждать и общаться математическими методами является одной из основных целей Национальной учебной программы. Это также облегчает вашему ребенку понимание расчетов, когда они учатся в школе.

Язык умножения включает умножить , раз, повторить, сложить , равных групп и массивов . Язык раздела включает делят , делят поровну , группируют поровну , а массивы .

Вы можете помочь своему ребенку выучить эти термины, попросив его использовать этот язык, чтобы объяснить, как он решил проблему. Может быть полезно записать математические слова на карточках и попросить ребенка использовать некоторые слова в своих объяснениях.

Решение уравнений умножения и деления

Семейства четырех фактов

Введение семейств фактов умножения и деления. В каждой семье всегда есть четыре факта, если только факторы не совпадают, например ; в этом случае в семье есть только два факта. Используйте следующие примеры, чтобы познакомить учащихся с семьями из четырех фактов.

«Тая знает, что . Иеремия говорит, что если Тая знает этот факт, она также может знать три других факта, принадлежащих к тому же семейству фактов. Действительно ли у фактов есть семьи? Что такое настоящая семья?»

Студенты, скорее всего, узнают связанный факт умножения. Не забудьте записать все соответствующие факты на доске. Если учащиеся не могут изложить соответствующие факты деления, напишите на доске
24 ÷ ___ = ___. Спросите учащихся, могут ли они использовать эту подсказку, чтобы написать соответствующие факты деления. Подскажите их по мере необходимости. Убедитесь, что семья из четырех фактов написана на доске, когда вы закончите.

Представьте следующий визуальный элемент «семейство фактов»:

 

«Использование треугольника, подобного этому, для организации ваших семейств фактов может быть хорошим визуальным представлением».

Проработайте хотя бы еще один пример со студентами. «Тая тоже знает . Какие еще факты из семьи этого факта может знать Тая?» Студенты, скорее всего, смогут изложить другие факты, так как это второй пример. Тем не менее, напишите первое число и операцию на доске, если это необходимо, чтобы подсказать учащимся. Например, напишите 7 × ___ = ___, если учащиеся не могут определить конкретный факт в семье. Обязательно покажите треугольник и напишите на доске каждый факт из группы из четырех фактов.

 

Теперь помогите учащимся изучить семейства из четырех фактов и найти закономерности. «Сколько фактов в каждой семье?» ( 4 ) «Поскольку в каждой семье по 4 факта, их называют четырехфактными семьями. Посмотрите на семейства из четырех фактов из обоих примеров. Что вы заметили в этих семьях из четырех фактов?» Учащиеся могут высказать много наблюдений. Цель состоит в том, чтобы они заметили, что в каждой семье есть два факта умножения и два факта деления.

Раздайте и ознакомьте с рабочим листом «Семейства из четырех фактов» (M-3-5-2_Семейства из четырех фактов и KEY.docx). «Обратите внимание на обложку рабочего листа: перечислены семейства из четырех фактов, но многие числа отсутствуют. Обязательно заполните пробелы в каждом семействе из четырех фактов. На обратной стороне листа приводится один факт. Пожалуйста, напишите остальные три факта в каждом семействе из четырех фактов».

Пока учащиеся работают, следите за их прогрессом. Помогите учащимся понять, что в каждой семье есть два факта умножения и два факта деления. Обратитесь к обсуждению (с использованием цветных плиток) коммутативного свойства умножения. Это должно помочь учащимся понять, почему в каждой семье есть два факта умножения. Кроме того, используйте обсуждение умножения и деления из Урока 1, чтобы помочь учащимся запомнить, что при умножении общее количество объектов находится во многих равных группах, тогда как деление используется для деления общего числа на множество равных групп. По этой причине произведением или ответом задачи на умножение является делимое или первое число в задачах на деление.

Когда учащиеся закончат работу, попросите отдельных учащихся написать на доске названия семейств фактов с последней страницы. Опять же, помогите учащимся проверить, что в каждом семействе есть две задачи на умножение и две задачи на деление и что во всех четырех фактах используются одни и те же три числа.

Решение уравнений умножения и деления

Раздайте и покажите Wipe Out! рабочий лист (M-3-5-2_Wipe Out! и KEY.docx) для изучения учащимися. «Что вы заметили в этих проблемах?» ( В каждом числовом предложении или уравнении пропущено число .)

Спросите учащихся, «С человеком, сидящим рядом с вами, попытайтесь определить, какое число пропущено в первом числовом предложении, . Обсудите, какие стратегии вы использовали, чтобы найти пропущенное число». Дайте учащимся время обсудить это. Попросите добровольцев поделиться своими идеями. Если учащиеся не обсуждают деление как возможную стратегию решения, объясните, что деление () можно использовать для нахождения пропущенного числа.

Помогите учащимся понять, как записать свой ответ как значение , написав  = 3 во втором столбце. Кроме того, помогите учащимся понять, как проверить свой ответ. В третьем столбце запишите числовое предложение или уравнение, заменяющее значение , в результате чего получится 3 × 8, и вычислите, чтобы убедиться, что 3 × 8 = 24.

Теперь спросите учащихся: определить, какое число отсутствует во втором числовом предложении, . Обсудите, какие стратегии вы использовали, чтобы найти пропущенное число». Опять же, дайте студентам время обсудить это. Попросите добровольцев поделиться своими идеями. Если учащиеся не обсуждают умножение как возможную стратегию решения, объясните, что умножение (5 × 6) можно использовать для нахождения пропущенного числа. Напишите на доске как 5 × 6 = 30, так и 30 ÷ 6 = 5. Помогите учащимся понять связь между этим заданием и заданием, посвященным семьям из четырех фактов. Объясните учащимся, что если в задаче на деление пропущено число, как в этом примере, для определения пропущенного числа можно использовать соответствующий факт умножения.

Убедитесь, что учащиеся записали свой ответ, написав  = 30 во втором столбце. Кроме того, помогите учащимся проверить свой ответ, написав 30 ÷ 6 = 5 в третьем столбце, а затем убедитесь, что это правда.

Попросите учащихся продолжить работу в парах, чтобы выполнить задание Wipe Out! Практический рабочий лист.

Введение переменных

«В стирании! Проблемы, в числовом предложении или уравнении отсутствовало число. Было похоже, что кто-то нацарапал число маркером». Напишите на доске один пример: . «Вместо пустого поля математики используют переменные для представления пропущенных чисел в числовых предложениях или уравнениях. Переменная — это буква или символ, который используется для представления отсутствующего числа. В качестве переменной можно использовать любую букву или символ». Попросите ученика назвать вам его/ее любимую букву алфавита. Перепишите уравнение, используя эту букву в качестве переменной, например: (Попробуйте перейти от языка числового предложения к уравнение. Объясните, что, поскольку эти утверждения включают переменные, а не строго числа, их чаще называют уравнениями. Помогите учащимся, подчеркнув «равно» в уравнении. Уравнения — это утверждения, в которых равно знакам, и обе части уравнения равны по значению.)

Попросите еще как минимум двух учащихся назвать свои любимые буквы алфавита. Перепишите уравнение, используя эти буквы. Попросите учащихся определить значение пропущенного числа. Помогите учащимся понять, что значение пропущенного числа равно 48, независимо от того, используется ли буква в качестве переменной. Помогите учащимся проверить, действительно ли число 48 соответствует уравнению.

Приведите еще два примера. Напишите  и   на доске. Попросите учащихся переписать оба уравнения, используя переменные, и найти значения переменных. Не забудьте напомнить учащимся проверить свои ответы. После того, как учащиеся закончат работу, попросите двух добровольцев написать уравнения и решения на доске.

Раздайте копии рабочего листа «Решение уравнений» (M-3-5-2_Решение уравнений и KEY.docx). Студенты должны выполнить это индивидуально. Следите за успеваемостью учащихся.

Если учащиеся затрудняются, помогите им подумать о связанных операциях умножения и деления и полагаться на семейства из четырех фактов. Например, чтобы решить, помогите учащимся вместо того, чтобы думать, поскольку учащиеся лучше запоминают факты умножения, чем факты деления.

Используйте предложения в этом разделе, чтобы адаптировать урок к потребностям учащихся. В разделе «Рутина» представлены предложения по пересмотру концепций урока в течение учебного года. Секция малых групп предназначена для студентов, которым может быть полезна дополнительная практика. Раздел «Расширение» включает в себя возможности для учащихся, готовых выйти за рамки требований стандарта.

• Подпрограмма: Чтобы помочь учащимся повторить эту концепцию, используйте игру «Соответствие» (M-3-5-2_Игра «Соответствие».docx). Match Game включает в себя уравнения и решения, напечатанные на отдельных карточках. В игру можно играть двумя способами.

1. Ученики должны перетасовать карточки и положить их на стол лицевой стороной вниз. Учащиеся по очереди переворачивают две карточки. Если карточки соответствуют совпадению, уравнению и его решению, учащийся сохраняет эти карточки и делает еще один ход. Если карты не совпадают, ход переходит к следующему ученику.
2. Студенты тянут по 5 карточек. Учащиеся по очереди спрашивают одного из других игроков о соответствующей карточке, например: «Игрок 2, есть ли у вас уравнение, которое имеет решение n = 8?» Или они могут спросить: «У вас есть ответ на 4 × n = 32?» Если у Игрока 2 есть эта карта, он отдает ее запрашивавшему игроку. Если у Игрока 2 нет этой карты, другой игрок берет карту из стопки, а затем ход переходит к следующему игроку.

• Малая группа: Студенты, которым нужна дополнительная практика, могут быть объединены в небольшие группы для работы над семействами из четырех фактов и использования их для решения уравнений умножения и деления.

Распечатайте семейные карточки фактов с этого сайта: http://www.mathcats.com/explore/factfamilies/multinfo.html

Скройте одну цифру на каждой семейной карточке фактов. Попросите учащихся определить пропущенное число. Раскройте номер, чтобы помочь им определить, верны ли они. Время от времени останавливайтесь на определенной карточке и просите их написать все четыре факта в семействе фактов. Когда учащимся покажется, что они достаточно успешно определили пропущенное число, напишите уравнение для конкретной карточки. Попросите их решить уравнение. Помогите им понять, что определение пропущенного числа действительно решает уравнение. Например, если 3 и 15 показаны, а 5 скрыто, напишите уравнение 15 ÷ n = 3 или n × 3 = 15. Используя карточки, напишите уравнения умножения и деления, чтобы учащиеся могли попрактиковаться в решении обоих. В конце концов, вы можете попросить учащихся написать уравнения и решить их.

• Расширение: Учащиеся, готовые к более сложной задаче, могут писать свои собственные задачи из реальной жизни.