Что делается первым действием деление или умножение: § Порядок действий в решении примеров по математике

Содержание

1.2 Методика изучения теоретических вопросов темы «Табличное умножение и деление». Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в начальной школе

Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в начальной школе

дипломная работа

Табличное умножение и деление, как определено программами начальной школы, изучается во втором — третьем классе. Эта тема является одной из основных тем программы по математике.

Считаем необходимым установить, какие случаи умножения и деления относятся к табличным. К табличному умножению, как указано в методических пособиях, относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, например, 6 3, соответствующие случаи деления также называют табличными, например:

18 6.

М.А. Бантова, Т.В. Бельтюкова, Н.М. Полевщикова, Н.П. Фаустова и ряд других авторов в методике изучения табличного умножения и деления выделяют два этапа. На первом этапе формируются знания о самих действиях умножения и деления, их свойств и других теоретических вопросов; на втором главное внимание уделяется усвоению учащимися таблицы умножения и соответствующих случаев деления.

На первом этапе, прежде всего, раскрывается конкретный смысл умножения и деления. Т.В. Бельтюкова и ее соавторы отмечают, что целесообразно умножение и деление с начала их изучения рассматривать раздельно, поскольку главным при этом является раскрытие не взаимосвязи между ними, а конкретного смысла этих действий.

В первом — втором классах формируется умение осуществлять переход от операции объединения равночисленных множеств к сложению одинаковых слагаемых, что указано в работах Т.В. Бельтюковой, М.И. Моро, Н.П. Фаустовой и других авторов-методистов. Данная работа является подготовительной к изучению конкретного смысла действия умножения. С этой целью детям предлагаются для выполнения следующие задания:

«а) Положи по 3 красных и зеленых круга. Сколько всего кругов ты положил.

б) У мальчика было по 2 красных, зеленых и синих карандаша. Сколько всего карандашей было у мальчика?

в) В первой коробке 3 карандаша, во второй 6, в третей — 8. Сколько всего карандашей в трех коробках?»

Н. П. Фаустова утверждает, что наиболее эффективно иллюстрировать подобные задачи на первых этапах с помощью предметов, а затем с использованием «картинок с точками». Результат всех приведенных задач находится сложением.

С помощью использования картинок с точками возможны разнообразные творческие задания по проверке знаний, умений и навыков: нарисовать «картинку с точками» к предложенной ситуации, по данной «картинке с точками» придумать ситуацию, по заданному арифметическому действию нарисовать «картинку с точками» и др.

М.И. Моро, А.М. Пышкало указывают, что подготовкой к изучению табличного умножения и деления будет служить прочное усвоение таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибавлять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа (вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное внимание, пишут М.И. Моро, А.М. Пышкало, уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом получаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10). Аналогично по ходу рассмотрения любых случаев сложения и вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания) по 3, по 4, и т. д. Работа в этом направлении продолжается в течение всего первого учебного года, а в конце его специально рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением суммы одинаковых слагаемых. «Причем здесь уже ставится целью научить детей понимать выражения по стольку-то взять, столько-то раз».

Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковые, каждый раз выясняется, сколько таких слагаемых, чему равна их сумма. Именно с этого момента начинается знакомство с действием умножения через нахождение суммы одинаковых слагаемых. При переходе к умножению дети должны усвоить связь между сложением и умножением, научиться понимать смысл каждого компонента произведения: число, которое берется слагаемым, — первый множитель; число, которое показывает, сколько одинаковых слагаемых, — второй множитель.

На этапе ознакомления с конкретным смыслом арифметического действия умножения осуществляется переход от сложения одинаковых слагаемых к арифметическому действию умножения. Причем, как отмечено у Н. П. Фаустовой, происходит это в следующей последовательности:

а) выполнение операции объединения данного числа равночисленных множеств с заданной численностью;

б) нахождение численности получившегося множества;

в) установление связи между операцией объединения равночисленных множеств с пустым пересечением с арифметическим действием умножением.

Для усвоения связи умножения со сложением, а также для проверки знаний по данному вопросу полезно, как считает М.А. Бантова и др., предлагать такие упражнения: чтение примеров на умножение, запись аналогичных примеров на сложение и умножение, решение простых задач на нахождение произведения сложением и умножением.

Очень важно, по утверждению М.А. Бантовой, что учащиеся поняли, при каких обстоятельствах возможна замена суммы произведением и когда она невозможна. Этому помогает решение примеров с одинаковыми и разными слагаемыми.

Полезно также, по мнению М.А. Бантовой, научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану:

Первый множитель …, значит слагаемым берем число…

Второй множитель …, значит, таких слагаемых надо взять…

Вычисляю сумму.

Данный план приведен в работе Н.П. Фаустовой. С М.А. Бантовой сходно мнение М.И. Моро, А.М. Пышкало, которые предлагают для рассуждения и анализа включать примеры вида: 28 + 2 + 8, 7 + 4 + 47 и т.п.

При вычислении суммы одинаковых слагаемых Н.П. Фаустова считает целесообразным знакомство детей с приемом группировки слагаемых (без введения этого термина) и использовать этот прием тогда, когда это удобно.

Для закрепления и проверки знания конкретного смысла умножения методисты предусматривают следующие виды заданий.

Так, Н.П. Фаустова разрабатывает задания с использованием «картинок с точками»:

Составьте по «картинке с точками» (рисунку) примеры на сложение.

Замените, где возможно, примеры на сложение примерами на умножение.

по данным примерам 4 + 3 и 4 3 выполни «картинку с точками». Сравните примеры и решите их.

Аналогичные задания описаны в работах М.А. Бантовой с тем лишь различием, что вместо «картинок с точками» используются рисунки.

Полезными большинством методистов признаются задания типа:

Решите задачу сначала сложением, а затем запишите умножением: «Купили 3 коробки карандашей по 6 штук в каждой. Сколько всего карандашей купили?»

Сравните выражения и поставьте вместо звездочек соответствующий знак >, < или =:

18 2 * 18 3 3 4 * 2 4

4 + 4 + 4 * 4 2 4 7 + 4 * 4 9

Также М.А. Бантова находит возможным в упражнения на закрепление и проверку осознания конкретного смысла умножения включать примеры не только с однозначными множителями (4 3), но и с двузначными (12 3). Это делается с той целью, «чтобы учащиеся на данной ступени практически пользовались известной им взаимосвязью между умножением и сложением, упражнялись в выполнении различных случаев сложения.

Найдите результат второго примера, пользуясь первым:

2 7 = 1 7 4 = 28 15 2 =30

2 8 = 8 4 = 15 3 =

Этому приему нахождения произведения с опорой на произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, Н. П. Фаустова уделяет большое внимание, так как он используется при составлении таблиц умножения.

Таблицу умножения двух на рассматриваемом этапе М.А. Бантова предлагает читать так: 2 умножить на 3, получилось 6, или по 2 взять 3 раза, получится 6.

Далее изучается переместительное свойство умножения. Знание этого свойства дает возможность почти вдвое сократить число случаев, запоминаемых наизусть. Вместо двух примеров (8 3 и 3 8) ученики запоминают только один. М.А. Бантова, М.И. Моро, А.М. Пышкало утверждают, что это свойство может быть открыто учащимися, если хорошо организовать практическую работу на уроке.

Усвоению, а также проверке усвоения переместительного свойства умножения помогают упражнения, аналогичные приведенным в работе М.А. Бантовой, Т.В. Бельтюковой и др.:

1) вычислите результаты второго примера, пользуясь результатами первого: 7 6 = 42 и 6 7 = …;

2) сравните выражения и поставьте вместо звездочек знак >, < или =:

6 3 * 3 6;

3) вставьте вместо звездочек пропущенный значок действия:

7 * 2 = 2х 7;

вставьте пропущенное число:

2 3 = 3 .

Выполняя каждое упражнение, учащиеся должны сравнить, что в произведениях множители переставлены, значит, произведения равны. На этом же основании подбирается знак действия и число. Выполнение подобных упражнений по программе 1 — 3 подводит детей к записи свойства в общем виде.

Конкретный смысл действия деления раскрывается в процессе решения простых арифметических задач на деление по содержанию и на равные части. В данном вопросе мнение методистов едино.

Отмечается, что ученики должны научиться по условию задачи выполнять операцию разбиения данного множества на равночисленные подмножества и связывать эту операцию с арифметическим действием деления.

Знакомство с действием делением начинается с задач на деление по содержанию. Приведем пример такой задачи: «6 карандашей раздали каждому ученику по 2. Сколько учеников получили карандаши?». Задача решается практически, после чего учитель сообщает, что эта и подобные задачи решаются с помощью нового арифметического действия, которое называется делением, как записывается решение задачи, как читается соответственно эта запись.

Далее вводятся задачи на деление на равные части, которые дети уже решали раньше, но устно без записи. Учитель показывает, что и эта задача решается делением, дает образец записи. В дальнейшем, замечают М.И. Моро, А.М. Пышкало, задачи на деление решаются либо с использованием рисунков учебника, либо с помощью схематических рисунков, которые выполняют в ходе решения сами учащиеся. Использование таких иллюстраций на данном этапе необходимо, так как они служат средством решения задачи, единственно доступным детям до того момента, когда они смогут решать задачи на деление, опираясь на знания соответствующих случаев табличного умножения и знания связи между делением и умножением.

Н.П. Фаустова предлагает иллюстрировать арифметические задачи на деление с помощью «карточек с точками».

Следующим этапом в изучении темы является усвоение связей между компонентами и результатами действий умножения и деления. Ему предшествует знакомство с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления. Здесь же дети узнают, что термины “произведение” и “частное” обозначают не только результат действия, но и соответствующее выражение например: 4 3 и 20 5. Далее, указывают методисты, следует произвести работу по обобщению двух видов деления, к которому учащиеся подходят путем сравнения решений пар простых задач с одинаковыми числовыми данными на деление по содержанию и на деление на равные части. На основе изученного материала вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10.

Важно при изучении вопросов теории готовить детей к запоминанию табличных случаев. С этой целью можно провести следующий вид работы: разбившись парами и стоя лицом друг к другу, дети считают «про себя», одновременно выполняя под счёт движения. Вслух произносятся кратные того числа, через которое ведётся счёт (при счёте через 2 вслух называются числа 2, 4, 6…; при счёте через 3 — числа 3, 6, 9… и т.д.). Называя кратное, дети касаются ладоней друг друга (как в считалочках). Остальные движения могут выбираться произвольно: хлопнуть в ладоши, коснуться руками плеч, ног, головы, топнуть ногой и т. п.

В итоге синхронного исполнения движений происходит непроизвольное запоминание чисел, которые учащиеся проговаривают вслух. Таким образом, они фактически выучивают в процессе игры таблицу умножения задолго до её введения. Вместе с тем, «ритмическая музыка», которая «звучит в классе, объединяет детей, вырабатывает у них чувство защищенности, снимает напряжение от пассивного восприятия. Поэтому целесообразно использовать ритмические игры для проведения физкультминуток. Их можно проводить на переменах и после занятий [32; 98].

Счёт через 2. Хлопнуть в ладоши (1), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «два»(2), хлопнуть в ладоши (3), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «четыре» (4) и т.д.

Счёт через 3. Коснуться руками ног (1), хлопнуть в ладоши (2), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «три» (3), коснуться руками ног (4), хлопнуть в ладоши (5), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «шесть» (6) и т.д.

Счёт через 4. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), хлопнуть в ладоши (3), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «четыре» (4) и т. д.

Счёт через 5. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), коснуться руками плеч (3), хлопнуть в ладоши (4), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «пять» и т.д.

Счёт через 6. Коснуться рукой правой ноги (1), коснуться рукой левой ноги (2), коснуться рукой правого плеча (3), коснуться рукой левого плеча (4), хлопнуть в ладоши (5), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «шесть» и т.д.

Счёт через 7. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой, (2) коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги, (4) дотронуться двумя руками до плеч (5), хлопнуть в ладоши (6) прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «семь» и т.д.

Счёт через 8. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой (2) коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги (4), дотронуться рукой до правого плеча (5), дотронуться рукой долевого плеча (6), хлопнуть в ладоши (7), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «восемь » и т.д.

Счёт через 9. Топнуть правой ногой (1), топнуть левой ногой (2), коснуться рукой правой ноги (3), коснуться рукой левой ноги (4), дотронуться рукой до правого плеча (5), дотронуться рукой до левого плеча (6), дотронуться до головы (7), хлопнуть в ладоши (8), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать «девять» и т.д.[32; 98-99]

Начинать надо медленно с называния чисел хором в прямом и обратном порядке и одновременного выполнения движений для счёта через 2. Когда дети не будут задумываться над последовательностью движений и смогут сосредоточить своё внимание на проговаривании кратных, можно перейти к «счёту через 2» (снять проговаривание чисел 1, 3, 5…). Темп должен быть таким, чтобы у детей оставалось ощущение успеха. Если на физкультминутках регулярно заниматься этими упражнениями, то темп будет ускоряться. К следующему ритмическому упражнению («счёт через 3») целесообразно переходить лишь тогда, когда предыдущее упражнение будет выполняться в достаточно быстром темпе, станет привычным для детей, и каждый ребёнок класса легко проговаривает кратные числа без выполнения движений. При этом сначала осваивается «ритмический рисунок» (движения со счётом хором соответственно до 30, 40 и так далее.) и только после этого — ритмический счёт.

Проведение ритмических игр оказывает положительное влияние на развитие двигательного и эмоционального мышления, внимания, умения слушать других, формируются навыки общения, происходит необходимая детям психологическая разгрузка.

Знания о действиях умножения и деления, а также умения, полученные учащимися на первом этапе, являются основой изучения на втором этапе табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления. От качества их усвоения зависит процесс формирования вычислительных навыков.

Далее рассмотрим методику работы на втором этапе изучения табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления в традиционной образовательной системе.

Умножение и деление на 2 | План-конспект урока по математике (2 класс) на тему:

Приложение 1. Приложение 2.

Тема урока: «Умножение и деление на 2»

Тип урока: Открытие нового знания

Цель урока: Составление и изучение таблицы умножения и деления на 2

Понятия: таблица умножения

Планируемые результаты:

-предметные

-метапредметные

Ученик научатся воспроизводить по памяти результаты табличных случаев умножения и деления на 2.

Ученик получит возможность применять табличные случаи при решении учебных и практических задач.

Ученик научится составлять и использовать таблицы умножения и деления на 2, строить математические высказывания, осуществлять анализ объектов и устанавливать аналогии и взаимосвязи, участвовать в диалоге, формулировать собственную позицию, слушать и понимать других.

Ученик получит возможность научиться планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки.

Методические задачи урока:

Обучающая:

Развивающая:

Воспитательная:

Формировать знания таблицы умножения и деления на 2.

Формировать умение осуществлять взаимоконтроль.

Воспитывать доброжелательное отношение друг к другу.

Этап урока

Задание

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1. Организационный этап

(2 минуты)

Чистописание

Составьте двузначные числа, в которых 2 будет являться числом единиц, и числа, в которых 2 будет означать число десятков

Дает установку на выполнение задания

Приветствие учителя, проверка готовности к уроку.

Составляют числа, озвучивают их вслух.

Личностные: самоопределение

Регулятивные: контроль собственных действий.

Регулятивные: Оценка правильности выполнения

Познавательные: используют имеющиеся знания

2.Актуализация знаний

(10 минут)

На доске записаны выражения:

5+5

1+1

3+3

6+6

2*5

4+4

4*3

5+3

Что записано на доске?

Как мы можем по-другому записать эти выражения? Каким действием мы можем заменить сумму?

Итак, кто догадался, какую тему мы сегодня будем изучать?

Посмотрите на эти выражения. Чем они похожи, и чем отличаются? На какие две группы мы можем их разделить?

Учащиеся выдвигают свои предположения и предлагают другой способ записи выражений. Отвечают (умножением) и составляют новые выражения

Выдвигают свои предположения (умножение числа 2)

Отвечают на вопросы, делят выражения на 2 группы: выражения с умножением и выражения с суммой.

Коммуникативные: участвуют в диалоге

Регулятивные: формулируют новую тему

Познавательные: учатся составлять таблицу умножения на 2

Коммуникативные: составление речевого высказывания

Познавательные: анализ информации, структурирование знаний, нахождение наиболее эффективного способа решения учебной задачи.

3.Выявление места и причин затруднения.

(5 минут)

Даны примеры:

3+3+3+3+3

7+7+7+7

Решите задачу.

На доске представлены три геометрических фигуры: квадрат со сторонами 3 см, треугольник со сторонами 5 см и треугольник со сторонами 3,4,5 см.

Удобно ли выполнять сложение? Как мы можем по-другому записать выражения?

Найдите периметр фигур. Давайте вспомним, как он находится? Запишите в тетрадях решение.

Чем мы можем заменить сумму?

Какой из способов будет удобнее при нахождении периметра квадрата?

(То же самое происходит и с нахождением периметра треугольника со сторонами 5 см)

Посмотрите на третью фигуру. Чем она отличается от предыдущих фигур?

Каким способом мы будем находить периметр этой фигуры? Первым или вторым?

Дети отвечают на вопросы и делают выводы.

Отвечают на вопрос.

Записывают решение к каждой фигуре.

Один ученик выходит к доске и находит периметр первой фигуры – квадрата(через сумму).

-Умножением. Записывает выражение.

-Второй способ удобнее

-У нее разные стороны.

-Вторым.

Коммуникативные: участие в обсуждении, высказывание своего мнения.

Познавательные: формулировка нового способа нахождения периметра через умножение.

Регулятивные: оценивают правильность выполнения.

4. Открытие нового знания.

(10 минут)

Представлены две таблицы:

2*4 4*2

3*6 6*3

1*7 7*1

Составить таблицу умножения на 2.

Сравните первую и вторую таблицы. Что вы заметили?

Давайте сделаем выводы.

Замените сумму умножением.

1+1

2+2

3+3

4+4

5+5

6+6

7+7

8+8

9+9

10+10

Множители поменяли местами, но результат от этого не изменился. Формулируют правило: от перестановки множителей произведение не меняется.

Учащиеся самостоятельно выполняют задание.

Регулятивные: Планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей

Познавательные: развитие мыслительных операций сравнения, анализа.

Личностные: обоснование своих высказываний.

5. Первичное закрепление.

(3 минуты)

5*2

3*2

7+7

5*2

(9*2)+1

(2+3) *2

(6-4)*5

Работа в парах.

Составление таблицы деления на 2.

Выполните действие. Давайте сравним ваши ответы

А теперь поработаем в парах. Вы можете проверить своего соседа по парте, насколько хорошо он усвоил новую тему.

Как действие является обратным умножению?

Давайте составим таблицу деления на 2.

Ученики выполняют задание.

Учащиеся задают друг другу примеры, проверяют правильность их выполнения в устной форме.

-Деление

В тетради учащиеся составляют таблицу деления на 2 по примеру таблицы умножения.

Коммуникативные: формирование своей точки зрения, ответа на поставленный вопрос, участие в диалоге

Регулятивные: контроль собственных действий.

Познавательные: Учатся использовать таблицу умножения

Личностные: Соотносят выполнение задания с образцом

6. Физкультминутка.

(1 минута)

Поднимает руки класс — это раз,
Завертелась голова — это два,
Три — руками три хлопка,
На четыре — руки шире,
Пять — руками помахать,
Шесть — на место тихо сесть.

Дети выполняют упражнения.

Личностные: осознание необходимости заботы о здоровье.

Регулятивные: сознательное выполнение упражнений.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой.

(5 минут)

№1, с 81.

(приложение №1)

Выполните вычисления по вариантам. Первый вариант – первый столбик,

Второй вариант – второй столбик.

Поменяйтесь с соседом по парте тетрадями и проверьте ответы.

Ученики самостоятельно выполняют задания.

Личностные: формирование уверенность в своих знаниях.

Познавательные:

проверка качества усвоения новых знаний.

8. Подведение итогов, домашнее задание.

(2 минуты)

С какими новыми действиями мы познакомились на уроке? Какое правило мы с вами вывели?

Домашнее задание:

Выучить таблицу умножения и деления на 2, выполнить №5 на странице 82 (приложение 2)

Отвечают на вопросы.

Записывают домашнее задание

Коммуникативные: высказывание собственного мнения, участие в обсуждении.

Личностные: самоорганизованность.

9. Рефлексия.

(2 минуты)

Поднимите руку, кто хорошо усвоил новую тему?

Поднимите руку, кому необходим еще один урок для лучшего закрепления материала?

Что вызвало затруднения при изучении темы?

Дети отвечают на вопросы.

Регулятивные: оценка успешности достижения цели.

Личностные: понимание причин успехов и неуспехов.

Конспект урока по математике 2 класс на тему: «Конкретный смысл действия умножения» УМК «Школа России» | План-конспект урока по математике (2 класс):

Математика

Тема: Конкретный смысл действия умножения (решение задач на умножение по содержанию)

Тип урока: изучить новый материал

Цели: в ходе решения задач на умножение по содержанию познакомить с новым арифметическим действием «умножение»; развивать логическое мышление и внимание; совершенствовать умение решать задачи и вычислительные навыки.

Планируемые результаты:

Предметные результаты: учащиеся познакомятся с новым арифметическим действием «умножение»; решать задачи на умножение по содержанию; анализировать, обобщать и делать выводы; научатся моделировать с помощью схематических рисунков и записывать действие умножение; отработают умения выполнять вычисления изученных видов в пределах 100.

Универсальные учебные действия:

Регулятивные: выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации; контролировать и оценивать свою деятельность и её результат.
Познавательные: при решении задач владеть общими приёмами (выполнять задания с использованием материальных объектов).
Коммуникативные: обращаться за помощью, работать в паре, в группе; формулировать свои затруднения.

Личностные результаты: демонстрировать личностный смысл учения, заинтересованность в приобретении и расширении знаний и способов действий; развивать навыки сотрудничества со взрослыми и сверстниками; анализировать свои действия и управлять ими.

Оборудование: электронная доска, мультимедийный проектор, ноутбук; бананы(8), треугольники из цветной бумаги, Математика.(ч.2) Учебник 2 класс. Авт. М.И.Моро и др. «Школа России»

Ход урока.

I Организационный момент.

Добрый день! Я очень рада видеть вас. Сегодняшний урок принесёт нам радость общения друг с другом. Удачи и новых открытий!

II.Актуализация знаний

1. Устный счет

Сегодня мы совершим очередное путешествие в мир математики.

— В конце урока мы сможем себя похвалить и сказать, что нового узнали, если будем внимательно и старательно работать на уроке,

— Наше путешествие начинается с повторения того, что мы уже с вами изучили.

Приготовились. Записываем только ответы.

I. 1. От числа дней в неделе отнимите число букв в слове «день»: 7-4=3

2. К числу месяцев в году прибавьте число букв в слове «месяц»: 12+5=17

3. К 49 числу прибавьте количество дней в декабре: 49+31=80

4. К 68 прибавьте число времён года: 68+4=72

5. Сколько ног у кошки и у собаки? 4+4=8

II. Расставьте числа в порядке уменьшения. 4, 12, 41, 59,33, 24

-Какое число лишнее?

— Запиши десятки в этих числах в порядке возрастания.

Самоопределение к деятельности

1.Перед вами наши учебники по математике. Посчитайте, сколько их? (6)

-Как это можно записать? (1+!+!+!+!+!=6)

2. — А теперь я попрошу одного из вас разложить эти учебники по 2. (Ученик раскладывает учебники)

-Как это можно записать? (2+2+2=6)

-Посчитайте, сколько учебников повторилось в первом и во втором во втором случае? (6)

— Какая цифра повторяется первый раз и сколько раз? (цифра 1 повторяется 6 раз)

— Какая цифра повторяется во второй раз и сколько раз? (цифра 2 повторяется 3раза)

— Какое арифметическое действие вы используете для решения этой задачи? (+)

— Итак по сколько учебников и сколько раз мы повторяли количество учебников (по 1 учебнику 6 раз и по 2 учебника 3 раза)

— Каким словом можно заменить повторение одинаковых слагаемых?

Как называется данное действие? Найдите ответ в учебнике на странице 48. Как называется тема урока, какие задачи стоят перед нами? Запишите решение умножением. (1×6=6 и 2×3-6)

IV. Работа по теме урока.

Знакомство с действием умножения (практическая работа – работа в парах).

На партах конверты с треугольниками. Дети работают в парах

— Решите задачу.

Таня купила бананы.

— Положите перед собой треугольники, Работайте дружно, в паре.

(Один ученик работает у доски.)

Четырём членам семьи она раздала по 2 банана. Надо узнать, сколько бананов купила Таня.

— По сколько банан получит каждый член семьи? (По 2.)

— Возьмём 2 треугольника, отодвинем в сторону. Их получил первый член семьи.

— Ещё 2 треугольника – второй… и т.д.

— На сколько групп разделились треугольники? (На 4)

— Значит, сколько бананов купила Таня(8)

— Такие задачи, в которых надо по одинаковому количеству предметов повторяющихся несколько раз узнать сколько всего было, например, по 2 банана повторяется 4 раза, решают с помощью арифметического действия, которое называется умножением.

— Решение данной задачи можно записать так: 2 x4= 8

Учащиеся делают выводы о том, что умножить — это равное количество повторяющееся несколько раз поровну.

Работа по учебнику.

— Прочитайте задачу на стр. 48 № 1

— Рассмотрите рисунок и объясните решение задачи.

№ 2(с.49)

— Прочитайте условие задачи. Сделайте схематический рисунок с помощью треугольников.

— Сколько конвертов нужно нарисовать? (5) (Учитель выполняет на доске) — Сколько марок получилось на 1 конверте? (2) — Как покажем на рисунке? (нарисуем по 2 треугольника)

— Сколько раз по 2 марки повторяется на конвертах (5) — Каким действием решается эта задача? (умножением: 2 x 5 = 10 (м). — Сколько всего марок потребовалось для 5 конвертов? (10) -Изменится ли задача и рисунок к ней, если будет по 5 марок приклеивать к конвертам? (да) 5 x 2=10(м). — А количество марок изменилось? (нет)

V. Физкультминутка.

Пчёлки в домиках сидят (Поднимаются и на корточки присаживаются)

И в окошечки глядят (Делают бинокль из пальцев рук и смотрят)

Загудели (издают звук жужжания пчёл)

Полетели (машут руками)

И тихонько на место сели. (Дети садятся за парты)

Закрепление изученного материала.

№1 (с.49)

— Прочитайте задание.

— Объясните решение задачи.

— Читаем в учебнике с. 48 что такое умножение.

№2 (с.48)

— Прочитайте задачу. Сделайте схематический чертёж к задаче. (Учитель выполняет чертёж на доске.)

— Запишите решение задачи самостоятельно. (Один ученик у доски.)

№6(С.48)

— Составьте верные равенства.

№4 (с.48) (Самостоятельное выполнение) Проверка решения в парах.

Рефлексия

(«Проверь себя» (учебник, стр.48). Самостоятельное выполнение. Проверка в парах по образцу.)

-Оцените свою работу на уроке.

VIII. Подведение итогов урока (слайд №13)

— Что на уроке было интересно?

— Как называется действие, с которым познакомились на уроке сегодня? (Умножение.)

— Что было непонятно? Какое задание показалось трудным?

IX. Домашнее задание

1.Учебник: стр.48 №5. 2. Придумать задачи на умножение.

12. Устные вычислительные приемы умножения двузначных чисел на однозначные в пределах 100.

Билет №1

Методика ознакомления с правилом деления суммы на число и числа на произведение.

В начальном курсе математики теоремы о делимости суммы «представлены» в виде св-ва «Деление суммы на число». Это св-во используется при делении двузначного числа на однозначное.

В учебнике М2М методика знакомства детей с данным свойством аналогична методике изучения свойства умножения суммы на число. А именно: сначала учащиеся анализируют два способа решения задачи, используя для этой цели рисунок, затем на конкретном примере разъясняются два способа действия при делении суммы на число, т.

е. рассматривается тот случай, когда каждое слагаемое делится на данное число.

Рассмотри два способа решения примера: (6+9):3;

Вычисли сумму и раздели полученный результат на число: (6+9):3=15:3=5;

Раздели на число каждое слагаемое, а потом сложи полученные результаты: (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Сравни результаты.

Новый способ действия закрепляется в процессе выполнения упражнений: Вычисти значение каждого выражения двумя способами: (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.

В учебнике М2И для знакомства учащихся со свойством деления суммы на число использован другой методический подход.

Учащимся предлагается такое задание: Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом столбике? Вычисли их значения: 54:9 (36+18):9 36:9+18:9; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.

В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают новый способ действия.

А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, затем на это число делится каждое слагаемое и полученные результаты складываются. Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. При этом выражения, используемые в заданиях, включают только табличные случаи деления, поэтому учащиеся не испытывают затруднений в применении нового способа действия.

Билет №2

Методика ознакомления с действием деления.

Одной из важнейших задач учителя начальной школы является ознакомление учащихся с арифметическими действиями +, -, х, :.

Ознакомление с арифметическими действиями происходит постепенно, в течение большого количества времени.

Ознакомление подразделяется на разные этапы.:

1. Знакомство со смыслом арифметического действия.

2. Учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и их результатами. Рассматривается и изучается связь между этими компонентами и результатом.

3. Изучаются вычислительные приемы, связанные с арифметическим действием. вырабатываются вычислительные навыки.

Изучение действия деления происходит параллельно с изучением соответственных случаев умножения. Это методически обосновано, т.е. без введения понятия действия деления невозможно в полном объёме изучить действия умножения.

Этапы:

1. знакомство с ТМС деления

2. знакомство с действием деления и его результатов.

3. ознакомление и формирование вычислительных навыков, через ознакомление учащихся с вычислительными приёмами.

Задачи:

1. научить строить математическую модель предметных действий связанных с действием деления и выполнение предметных действий по математической модели.

2. научить читать математическое выражение содержащее действие деление.

Ознакомление учащихся с ТМС действия деления воспринимается учащимися достаточно сложно, т.к. уже в самом ТМС заложен …. Смысл.

-действие рассматривается как нахождение числа элементов в некотором попарно не пересекающемся равномощным между собой множествах (деление на равные части).

-как нахождение числа подмножеств, на которые разбивается данное множество ( деление по содержанию)

Изучение действия деление начинается с рассматривания ТМС действия деления по содержанию, т.к. ТМС легче переводить на предметные действия.

Упражнения, разъясняющие смысл действия ÷:

1) «6 карандашей разделили по 2 каждому ученику»

OOOOOO

(OO) (OO) (OO) 6:2=3

2) «9 кусков сахара положили поровну в 3 стакана»



() () () 9:3=3

4) 6*3=18 18:3=6

3*6=18 18:6=3

5) Среди выражений найти те, которые содержат ÷ (прочитать выражение):

3+5 8:4

2*9 7*3

6:2 2+8

4-1 9-3

6) Составьте рассказ по математической записи 8:4 (сделайте рисунок)

7) Соотнесите с рисунком

3:1

6:3

2:2

8:4

4:2

1) « Раздай 10 яблок по 2 каждой девочке».

(Ребята разделили все яблоки на части, по 2 яблока в каждой).

Т.е. ты узнал «Сколько раз по 2 содержится в 10».

Выполнение действия в математике принято записывать так 10:2=5 (десять разделить на 2 – получится 5).

2) «Раздай 10 яблок поровну 2м девочкам»

*Одни будут брать по одному яблоку и раздавать их девочкам по очереди, сначала одной девочке, потом другой, пока не раздадут всё.

*Другие могут сразу взять два яблока, т.к. девочки две и разделить между ними эти яблоки, затем так же поступить со второй парой яблок, с третьей и т.д. пока не раздадут все яблоки.

Таким образом, частное (5) может обозначать число частей, на которое разделили данное количество яблок. При этом делили поровну по 2 яблока в каждой части (деление ПО СОДЕРЖАНИЮ).

Но частное (5) может обозначать и количество яблок в каждой части. При этом делили опять же поровну, но на 2 равные части (деление НА РАВНЫЕ ЧАСТИ).

-Деление по содержанию – «10 разделили по два».

—Деление на части – «10 разделили на два».

При выполнении определённых заданий дети должны осознать связь действий умножения и деления, которые обобщаются в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления.

1. если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

2. если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.

3. если делитель разделить на значение частного, то получим делитель.

Билет №3

Алгоритм письменного деления.

Сознательное овладение алгоритмом деления во многом зависит от умения находить остаток при делении одного числа на другое. Основа этого умения – осознание взаимосвязи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. По действующей программе до знакомства с алгоритмом письменного деления ученики решают на деление с остатком только примеры, которые связаны с табличными случаями деления. Операция нахождения остатка фактически осуществляется в свернутом виде. Это отрицательно сказывается как на усвоении последовательности операций, так и на оформлении записи «уголком». Для осознания операций, связанных с нахождением остатка, полезны упражнения вида: «Вставь числа в окошки».

Помимо деления с остатком, как одной из основных операций алгоритма письменного деления, для успешного овладения алгоритмом ученики должны усвоить разрядный состав числа и соотношение разрядных единиц.

В учебниках математики находит отражение подход, при котором дети овладевают алгоритмом письменного деления, последовательно рассматривая различные частные случаи деления чисел. Отдельно отрабатывается умение делить на 2-ные и 3-ные числа. Более эффективным способом является подход, при котором ученики применяют общий способ действия для решения различных примеров, устанавливая сходство и различие выполненных действий.

Алгоритм деления в столбик:

1) Выделяем 1е неполное делимое. Определение количества цифр в частном. Подбираем 1 цифру частного. Находим остаток.

2) Выделяем 2е неполное делимое. Оно состоит из остатка и единиц следующего разряда. Подбираем 2ю цифру в частном и находим остаток. Образуем неполное делимое из остатка и единиц низшего разряда.

3) Повторяем операции для третьего неполного делимого.

При делении на двузначные и трехзначные числа учащиеся пользуются алгоритмом деления на однозначное число, но сам механизм вычислений для этих случаев деления оказывается несколько сложнее. Так как при делении на трехзначное число однозначное неполное делимое может быть только трехзначным или четырехзначным числом, то для подбора цифры в частном целесообразно выделять в неполном делимом и делителе количество сотен. При выполнении задания мл. шк. ориентируются на количество цифр в частном и на результат умн.

чисел, записанных цифрами, стоящими в разряде единиц делимого и частного.

Билет №4

Понятие «площади», ее измерение.

Задачи:

— Познакомить с понятием “площадь”

— Познакомить и научить пользоваться различными способами измерения площади

— Ввести понятие “единиц площади” и соотношение между ними

При ознакомлении необходимо опираться на практическое представление учащихся, что такое площадь.

Под площадью фигуры понимается такая положительная скалярная величина, которая определяется так:

— Равные фигуры имеют равные площади;

— Если фигура составлена из двух частей, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

Для того, чтобы измерить площадь фигуры её надо сравнить с площадью такой фигуры, площадь которой принята за единицу площади. В результате сравнения площади измеряемой фигуры с единицей площади получено некое действительное положительное число, которое называется численным значением измеряемой площади.

ME2 S(F)=X

S(F)=x*E2, где E2 – единица площади.

Из определения площади следуют свойства численных значений площадей:

Если фигуры равны, то численные значения их площадей равны при выбранной одной и той же единице площади. Те фигуры, которые имеют равные площади, наз. равновеликими.

Если фигура F составлена из фигур F1 и F2, то численное значение фигуры F будет равно сумме численных значений площадей F1 и F2 при одной и той же единице площади.

Численное значение площади квадрата, которое принимается за единичный, равно единице.

Если происходит замена единицы площади, то численное значение площади измеряемой фигуры изменяется, причём оно увеличивается во столько раз, во сколько раз новая единица площади меньше старой, и уменьшается во столько раз, во сколько раз новая единица площади больше старой.

В практической деятельности для измерения площадей фигур используются общестандартные единицы площади, такие как см2, дм2 и т.д.

Соотношение между некоторыми единицами площади:

1дм2 = 100см2

1см2 = 100мм2

1м2 = 10 000см2

1м2 = 100 дм2

Но существуют особые единицы площади с помощью которых измеряются площади различных земельных участков:

1га = 10 000м2

1 ар(а) = 100м2

Неразрывно с понятием площади связано понятие равносоставленные фигуры.

Равносоставленными фигурами называются фигуры состоящие из соответственно равных частей.

Если фигура равносоставлены, то они равновелики.

Известна следующая теорема Бойяи – Гервина: Два любых равновеликих многоугольника равносоставлены.

Существуют различные способы измерения фигуры. К одному такому способу относится измерение площади фигуры при помощи палетки.

Палетка представляет собой прозрачное полотно разделённое на равные между собой квадраты.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки её накладывают сверху на ту фигуру, которую нужно измерить. Следует отметить, что измерению площади фигуры при помощи палетки уделяется особое внимание в начальной школе. Учащимся предлагается самостоятельно на уроке труда изготовить инструмент для измерения площади криволинейной фигуры.

Для того чтобы измерить площадь фигуры с помощью палетки, сначала подсчитывается количество квадратов, которые находятся полностью в границах измеряемой фигуры. Затем, подсчитать количество квадратов, которые не полностью находятся в границах фигуры, площадь которой измеряется. Полученное таким образом количество квадратов делится на 2 и прибавляется к тому количеству квадратов, которые полностью находятся в границах фигуры площадь которой измеряется. В результате мы имеем численное значение площади при единичной величине, которая представлена площадью квадрата использованного в палетке. Это неточное измерение; причём точное измерение зависит от величины квадратов на которые разделено полотно палетки.

Измерение фигуры с помощью палетки относится к прямым способам измерения площади.

Изучению понятия площади в курсе математики в начальной школе уделяется достаточно много внимания. Основой для изучения площади в курсе математики в начальной школе лежит представление о площади в их практической жизни. Они уже имеют представление о площади комнаты, стола, участка и т.д. Поэтому определение площади в явном виде учащимся начальной школы не даётся, но зато через выполнение практических заданий их представление о содержании понятия площади постепенно расширяется.

Сначала они выполняют те или иные задания, связанные со сравнением площадей различных фигур, причём они выполняются в визуальном плане. Затем учащиеся знакомятся с единицей площади, рассматривая их как площади квадратов длины сторон, которые равняются единице длины. Так под см2 следует понимать площадь квадрата, сторона которого равна 1 см., под дм2 – 1дм.

Очень важно демонстрировать учащимся модели единицы длины.

Используя различные модели единицы площади можно эмпирическим путём находить соотношение, которое существует между различными единицами площади.

Пример: Для того, чтобы дети узнали, что в 1дм2 находится 100см2, им следует предложить задания связанные с измерением площади квадрата со стороной в 1дм с помощью см2. В результате учащиеся в состоянии подсчитать, что в 1 дм2 100см2.

Понятие площади изучается в курсе математики в начальной школе постепенно, кроме измерения площади с помощью палетки, дети знакомятся и с другими, так называемыми, косвенными способами измерения площадей некоторых фигур, таких например, как прямоугольник, квадрат.

Эмпирическим путём, рассуждая методом неполной индукции, дети получают формулы для нахождения площади прямоугольника, в частности квадрата. Получив эти формулы, учащиеся для того чтобы найти площадь прямоугольника (квадрата) измеряют длины сторон прямоугольника и находят площадь.

Очень важно, что учащимся предлагается находить площади не только прямоугольника, но и площади других фигур, которые составлены их прямоугольника. Очень важно поощрять детей в нахождении площади этих фигур различными способами.

То разнообразие, которое представлено в задании по работе с площадями различных фигур, можно увидеть в учебниках, автором которых является Наталья Борисовна Истомина.

Билет №5

Алгоритм письменного умножения.

Одним из осн вычислительных приемов, изучаемых в нач шк, явл письм вычисл прием умножения многозначных чисел в столбик (алгоритм письменного умножения).

Изучение алгоритма происходит на этапе мзучения математики после того, как изуч алгоритм письм сложения и вычитания многозначных чисел.

В рамках традиционной программы происходит постепенно и достаточно растянуто по времени.

Рекомендуется выделять следующие случаи изучения алгоритма:

1) рекоменд начинать с умножения числа на однозначное число

2) случаи умножения числа на числа, оканчивающиеся 0 (10, 100, 1000 и т. п).

3) случаи умножения многозначных чисел на двузначные, трехзначные и т.д.

Задачи:

— познакомить с алгоритмом письменного умножения, сформировать умения сознательно выполнять письменное умножение на одно-, дву- и трехзначные числа;

— совершенствовать навыки табличного и внетабличного умножения и деления.

— познакомить со свойствами умножения.

Чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

— умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

— складывать многозначные числа.

Умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

— записи чисел в десятичной системе счисления;

— свойствах сложения и умножения;

— таблицах сложения и умножения чисел до 20.

Алгоритм:

1) записываем второй множитель под первым;

2) умножаем число ед-ц разряда ед-ц 1-го множителя на число ед-ц 2-го множителя. Если полученный рез-ат меньше 10, то записываем его в разряд ед-ц произведения;

3) если полученный рез-ат равен или больше 10, то мы его представляем в виде q₁*10+1. 1записываем в разряд произведения, а q₁запоминаем;

4) умножаем число десятков 1-го множителя на второй и увеличиваем полученное произведение на q₁. Повторяем один из записанных процессов;

5) процесс умножения считаем законченным, если выполняем умножение числа ед-ц старшего разряда 1-го множителя на второй множитель.

Умножение числа на число 10 сводится к приписыванию справа к данному числу соответствующее кол-во нулей.

При изучении письменного умножения необходимо добиваться понимания вычислительного приема. Затем вести работу по формированию вычислительного навыка.

Подготовительная работа:

— обобщение знаний о действии умножения, как сложении одинаковых слагаемых;

— повторить умножение с числами 1 и 0;

— умножение многозначного числа на однозначное;

— свойство умножения суммы на число.

Объяснение письменного приема умножения.

Удобнее записать пример столбиком, используя знак *, и умножать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни.

Пишу первый множитель, пишу второй множитель под вторым множителем так, чтобы единицы были записаны под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д. Ставлю знак умножения, провожу черту. Умножаю единицы, получаю первое неполное произведение, умножаю десятки, получаю второе неполное произведение, записываю его на клеточку левее, умножаю сотни, получаю третье неполное произведение, записываю его, сдвигая влево, складываю все неполные произведения, читаю ответ.

Закрепление.

— анализ решенных примеров.

— решение примеров с подробными, затем краткими объяснениями,

— самостоятельное решение примеров,

— объяснение ошибок, допущенных в решение

Отличие устн от письм вычисл приема: Письм начинается с младших разрядов, а устн ВП- со стрших разрядов.

Билет №6

Методика ознакомления с нумерацией чисел от 10 до 100.

Изучение нумерации чисел в нач. шк. (в пред 100, 1000) происход. по тем же законам, что и изуч. нум. чисел в пределах первого десятка.

При изуч. данных тем, перед учителем встают след. задачи:

1) познакомить учащихся со сп-ом образ. нат. числа в нат. ряду, наз. число показыв. форму.

2) сравнивание чисел (учим детей сравнивать числа и новые сп-бы сравнения).

3) закреплять осозн. представ. уч-ся о св-ве нат. ряда чисел.

4) введение нов. терминов, связь с изучением нумерации чисел.

Изучение чисел начин. с введения новой счетной единицы (в концентре 10 счет. ед. пределах была просто ед.)

Ввод нов. сч. ед-цы, кот. назыв. 10-ок.

Уч-ся предл. вып. предмет. действие (положи перед собой 10 палочек). Запишем на мат. языке, сколько мы перед собой 10 палочек.

|||||||||| 10

При помощи цифр 1 и 0.

Изучение нумерации чисел в пределах 100 имеет ту особенность, что подразделяется на 2 этапа.

1 этап – нумерация от 10 до 20.

2 этап – нумерация от 20 до 100.

Это связано с тем, что при образовании чисел и их названий от 10 до 20 на 1м месте указывается число единиц в разряде единиц, а затем число десятков.

А при назывании и записи чисел от 20 до 100 сначала – число единиц в разряде десятков, а затем – в разряде единиц.

13: 13

23: 23

Такое положение может вызвать у учащихся определенные трудности, поэтому процесс изучения этих чисел подразделяется на два этапа.

После того, как введена новая счетная единица под названием десяток, дети начинают выполнять действия с этой счетной единицей, опираясь на предметные действия.

Для этого им предлагаются следующие задания:

1. Выложите перед собой 2 десятка. К ним присоедините еще 3 десятка. Составь математическую запись по указанным действиям:

2дес. + 3дес. = 5дес.

Сколько десятков?

2. Решить примеры:

3дес. – 1дес. =

4дес. + 2дес. =

Затем детям сообщается, что 1дес. – 10, 2дес. – 20, …, 9дес. – 90.

Очень важно: уделить достаточно времени, чтобы дети осознали способо названия нужных десятков.

Для того, чтобы облегчить детям систему запоминания, следует вывесить в классе соответствующую таблицу.

От 10 до 20.

Указанную работу имеет смысл проводить так: дети выкладывают перед собой десяток, затем присоединяют еще 1. Составляется математическая модель указанных действий. Сообщается, что получили число, следующее за 10: 10+1=11. Сообщается название числа, показывается способ записи.

Аналогичным образом – до 20.

В процессе ознакомления с этими числами учителю необходимо обратить внимание детей на то, что сначала при назывании чисел сообщается число единиц в разряде единиц, а затем число десятков, а при записи – наоборот.

Параллельно с ознакомлением с указанными числами, дети знакомятся с понятием разряд числа и учатся представлять двухзначные числа в виде суммы единиц разрядных слагаемых.

10+1=11

10+2=12

В процессе ознакомления с числами от 10 до 20 у учащихся идет закрепление представлений об основном св-ве натур. ряда чисел.

Для этого им даются задания:

11-1= (Из 11 вычесть 1, получается число, идущее перед 11, т.е. 10).

15+1=

12+1=

14-1=

Для того, чтобы закрепить у ребенка понятие о разрядном составе числа следует, предлагать следующие задания:

1) Представь число 14 в виде суммы десятков и единиц (если термин «разряд» не был введен)

2) Представь число в виде суммы разрядных слагаемых. .

3) Запиши число, которое состоит из 1дес. и 3ед-ц.

4) Запиши число, в котором число единиц в разряде единиц равно числу единиц в разряде десятков.

323: 32дес.; 2дес. в разряде десятков.

При ознакомлении учащихся с числами от 11 до 20 вводится понятие однозначное и двузначное число.

Учащимся предлагается ряд чисел: 1, 2, 12, 13, 4, 15, 18, 9, 10, 7.

Сравни эти числа между собой и разбей эти числа на 2 группы (классификация).

В основе классификации лежит разбиение множества на подмножества, которые попарно не пересекаются и в объединении дают исходное множество.

1е подмножество – при записи один знак.

2е подмножество – при записи два знака.

Учащиеся могут предлагать различные способы разбиения множества и учитель должен это поощрять.

Учитель сообщает, что числа 1,2,4,7,9 – однозначные, а 12,13,15,18,10 – двузначные.

Почему эти числа так называются?

Для осознания детьми указанных понятий следует предлагать задания, направленные на распознавание объектов, принадлежащих объему данных понятий.

Дано множество чисел. Укажи среди этих чисел однозначные и двузначные.

Запиши число, которое является двузначным и при его записи используются цифры 1 и 2.

А какие однозначные цифры ты можешь написать при помощи 1 и 2.

От 21 до 100

Показать способ образования числа в натуральном ряду и правило, с помощью которого стоится название чисел. Фиксируется внимание на тех числах, названия которых не подчиняются общему правилу: сорок, девяносто.

Закрепляются знания учащихся о расположении чисел в натуральном ряду и их наименований, следует предлагать задания:

— Называть число – предлагать его запись;

— Показывать число — предлагать назвать;

— Предлагать сосчитать по порядку от 40 до 52 (от 60 до 70) или в обратном порядке.

— Предлагать ряд чисел, в котором некоторые числа пропущены.

— Назови соседей числа.

Особое внимание уделяется формированию у ребёнка представления о разрядном составе числа (через выполнение соответствующих заданий):

— Назови и запиши число, состоящее из … десятков и … единиц.

— Представь число в виде суммы разрядных слагаемых (75=70+5).

— Составь число в котором число десятков больше числа единиц в 2 раза.

Используются абак (счётная таблица), творческие задания («Что ты можешь рассказать о числе 32?»).

С целью систематизации знаний о нумерации полезно в конце работы над темой предлагать задания, связанные с решением определённого вида примеров, с соответствующим объяснением):

44 – 1 43+1 40+4(число состоит из 4 дес и 4 ед) 46 – 40 (число состоит из 4 дес и 6 ед; если убрать 4 д, то останутся одни единицы:6)46-6Особое внимание уделяется объяснению того, почему получается тот или иной ответ.

Билет 7

Методика ознакомления с переместительным и сочетательным свойствами умножения.

В курсе математики начальных классов нашли отражение все свойства умножения: переместительное, сочетательное и распределительное.

Коммутативность умножения представлена в учебниках как переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых переставлены множители. Многие учащиеся путают, что означают первый и второй множители в записи произведения. Чтобы предупредить эту ошибку, полезно предлагать им упражнения на выполнение рисунков, соответствующих той или иной конкретной ситуации.

Например:

«На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, только яблок на шести тарелках».

Большинство детей выложат такой рисунок: ОО ОО ОО ОО ОО ОО и выполнят запись 2•6=12.

Стоит сразу же выяснить, можно ли к данному рисунку выполнить такую запись: 6•2=12?

При обсуждении предлагается заменить произведение суммой и найти результат. Выясняется, что означают в данном случае числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что 6•2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки, в соответствии с записью 6•2=12. Отсюда делается вывод, что переместительное свойство умножения справедливо только для числовых выражений (3•4=4•3, 5•8=8•5). Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает каждое число в записи произведения.

Сочетательное св-во: в учебнике Моро изучение сочетательного свойства умножения, которое представлено как умножение числа на произведение, предшествует изучению темы «Умножение на числа, оканчивающиеся нулями». Это позволяет познакомить учащихся с новым способом действия при выполнении устных вычислений для данного случая умножения и обосновать ту форму записи «в столбик», которая используется при умножении чисел, оканчивающихся нулями.

При знакомстве со свойством умножения числа на произведение в учебнике Моро учащимся предлагаются образцы различных способов вычислений. Анализируя данные образцы, они приходят к выводу, что умножать число на произведение можно тремя различными способами.

Приведем задания, которые предложены в учебнике Моро при изучении сочетательного свойства умножения:

1) Рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение чисел 4 и 2. Сравни результаты.

а)7•(4•2)=7•8=56;

б)7•(4•2)=(7•4)•2=28•2=56;

в)7•(4•2)=(7•2) •4=14•4=56

В учебнике Истоминой(2) при знакомстве учащихся с сочетательным св-ом использ. соотнесение рисунка с математической записью.

Пример: можно ли утверждать, что значения выражений одинаковы: 8•(4•6), 8•24, (8•4) •6, 32•6, 6•32.

После того, как изучены табличные случаи умножения и деления, приступают к изучению устных вычислительных приемов умножения двузначных чисел на однозначные.

1) Подготовительным этапом к изучению данного вычислительного приема следует отнести, прежде всего, повторение табличных случаев умножения однозначных чисел и изучение правила умножения суммы на число.

Ознакомление учащихся с правилами умножения суммы на число можно проводить по разному, в зависимости от уровня подготовленности класса к восприятию указанного свойства (распределительный закон умножения относительно сложения – дистрибутивный закон).

Следует отметить, что если в учебниках Моро дистрибутивный закон умножения носит название «правило умножения суммы на число», то в учебниках Истоминой, Александровой и др. он называется «распределительное свойство умножение относительно сложения».

Для ознакомления предлагается решение следующей задачи:

В каждом из 3х рядов в классе сидело по 3 мальчика и 4 девочки. Сколько всего детей сидело в классе?

Детям предлагается решить задачу 2мя способами и решение задачи записать при помощи выражения.

(3+4)•3

3•3+4•3

После того как задача была решена 2мя способами, анализируются выражения, с помощью которых были записаны решения.

Делается вывод: т.к. полученные выражения имеют одинаковые значения и описывают одну и ту же ситуацию, значит, они равны => для того чтобы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Учитель должен научить учащихся решать примеры типа (3+5)•6; (4+3)•7; (2+7)•9; (3+6)•5.

Учитель должен научить учащихся примеры этого типа решать 2мя способами.

Для того чтобы учащиеся лучше осознали предложенные способы решения, следует требовать от них, чтобы, решая примеры, они комментировали. Т.о. способы решения примеров будут лучше запоминаться детьми. Кроме того, будет формироваться математическая речь.

2) Изучение операций, входящих в вычислительный прием.

Изучение этого приема делится на 2 периода.

а) К 1му периоду относится изучение устного умножения круглых десятков на однозначное число.

Предлагается решить примеры: 20•3, 40•2, 10•5.

Теоретическая основа – разрядный состав числа, табличное умножение однозначных чисел.

При решении примеров такого вида, дети рассуждают так: 20•3=2дес. •3=6дес.=60 => 20•3=60.

Этот период так же можно считать подготовительным к изучению вычислительного приема во 2м периоде.

б) При ознакомлении учащихся с устным вычислительным приемом умножения двузначного числа на однозначное, им предлагается решить пример.

23•4

23 (1й множитель) представляем в виде суммы разрядных слагаемых.

23•4=(20+3)•4

Применяем дистрибутивные закон умножения относительно сложения.

(20+3)•4=20•4+3•4=80+12=92

3) Закрепление.

Далее: подобные примеры с комментированием (35•2, 15•6, 17•4, 23•2, 18•3, 19•5)

На первом этапе требовать подробного комментирования.

Для того чтобы учащиеся запомнили решение указанных примеров, нужно предлагать для решения как можно больше примеров с разнообразными заданиями.

Реши примеры 35•2, 23•2, 18•5.

Найди значения выражений 32•3, 18•5, 16•4, 15•6, 12•8, 41•2.

Реши примеры и найди среди ответов наибольший.

Сравни значения выражений.

Найди те примеры, значения которых оканчиваются цифрой «6»

Билет 8

Методика ознакомления с переместительным и сочетательным свойствами умножения.

Приведем задания, которые предложены в учебнике Моро при изучении сочетательного свойства умножения:

1) Рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение чисел 4 и 2. Сравни результаты.

а)7•(4•2)=7•8=56;

б)7•(4•2)=(7•4)•2=28•2=56;

в)7•(4•2)=(7•2) •4=14•4=56

Пример: можно ли утверждать, что значения выражений одинаковы: 8•(4•6), 8•24, (8•4) •6, 32•6, 6•32.

Билет 9

Методика ознакомления с действием сложения.

Ознакомление с арифметическими действиями происходит постепенно, в течение большого количества времени.

Ознакомление подразделяется на разные этапы.:

1. Знакомство со смыслом арифметического действия.

В основу введения действия сложения в начальной школе заложены два понятия:

1. Действия сложения рассматриваются как нахождение числа элементов в двух непересекающихся множествах. Такой подход называется теоретико-множественный. Он представлен в подавляющем большинстве учебных программ по математике и соответствующих учебниках. Этот подход популярен, потому что он дает возможность легко переводить предметные действия на математический язык и наоборот.

2. В некоторых программах по математике и в учебниках, соответствующих этим программам, в которых натуральное число рассматривается как результат измерения величин, смысл действия сложения раскрывается через нахождение численного значения величины, которое является суммой двух других величин, причем при одной и той же единичной величине. Такой подход распространен в школах, работающих по системе Эльконина-Давыдова.

Рассмотрим только теоретико-множественный подход к разъяснению смысла действия сложения.

Задачи учителя:

1. Раскрыть теоретико-множественный смысл сложения.

2. Научить учащихся переводить предметные действия сложения на математический язык и наоборот.

3. Научить способам прочтения выражений, содержащих знак «+».

4. Научить составлять рисунки по представленным математическим выражениям и наоборот.

На поляне росло 3 гриба, за ночь прошел дождик, выросло еще 2 гриба.

Переведите на математический язык.

3 2

Грибов стало больше или меньше?

Чтобы присоединить 2 гриба и 3 грибам есть действие сложения.

Вводится знак «+».

3+2

Ознакомление со способами прочтения данной записи.

«Три плюс два»«К трем прибавить два»

«Три увеличить на два.

Нужно добиваться осознанного понимания действия сложения.

Для этого предлагается еще один рассказ, который нужно перевести на математический язык.

На дереве сидело 2 вороны, прилетели еще 2 вороны. Составьте этот рассказ на математическом языке.

Следует отметить, что множество всех упражнений, целью которых является ознакомление учащихся с действием сложения можно разделить на 3 комплекса:

1) Составление по рассказу (рисунку) математического выражения.

OOO  OO

3+2

Математическое выражение может быть записано или собрано на наборном полотне.

2+3

2) Детям предлагается то или иное математическое выражение и по нему предлагается составить рассказ или рисунок.

2+1

| |  |

3) Детям нужно соотнести рисунок и выражение.

OOO

| | | |

// /

\ \ \ \  \

1+2

2+3

3+2

4+1

1+4

1+1

Для создания проблемной ситуации рекомендуется делать так, чтобы количество математических выражений и рисунков не совпадало. При совпадении делать, чтобы рисунок не соответствовал записи.

Билет 10

Методика ознакомления с действием умножения.

Ознакомление с арифметическими действиями происходит постепенно, в течение большого количества времени.

Ознакомление подразделяется на разные этапы.:

1. Знакомство со смыслом арифметического действия.

Ознакомление учащихся с действием умножения происходит перед изучением табличных случаев умножения и деления.

Задачи:

1. Раскрыть перед учащимися смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и теоретико-множественный смысл умножения.

2. Научить переводить предметные действия, связанные с умножением на математический язык и обратно.

3. Научить учащихся читать выражения, содержащие действие умножения.

Для того, чтобы ознакомить учащихся с умножением, рекомендуется на уроках создать следующую ситуацию:

Мама купила в магазине ручки четырем детям. Каждому ребенку по 3 ручки. И разложила их в коробки.

Учитель предлагает запись на математическом языке: 3+3+3+3

Что интересного в этой записи?

Чтобы записать сложение одинаковых чисел в математике существует действие умножения.

На первом месте: число, которое участвует в действии.

На втором месте: сколько раз взяли число.

Между ними: «х» или «•»

3+3+3+3=3•4

Чтобы показать, что мы 3 взяли 4 раза, используем «•».

Способы прочтения:

— по 3 взяли 4 раза;

— 3 умножить на 4.

(!1й множитель указывает на слагаемое, 2й – на количество!)

Задания типа:

1. Замени действие сложения действием умножения:

2+2+2+2+2=

3+3=

4+4+4+4+4+4=

1+1+1+1+1=

Для того чтобы задание носило проблемный характер: «замени там где можно действие сложение действием умножения». Добавить пример типа: 2+3+2+2+2=

Особый интерес представляют выражения такого типа:

(4+3)+ (4+3)+ (4+3)= (4+3)•3

2. Задания на действия в обратную сторону: замени умножение сложением.

3•2=

6•4=

5•3=

3•5=

Ознакомление учащихся с действием умножения происходит достаточно легко и не вызывает особых затруднений.

Если рассматривать учебники по математике для начальной школы, следует отметить, что ознакомление учащихся с действием умножения, компонентами действия умножения и его результатом достаточно отодвинуто по времени (т. е. после ознакомления учащихся с действием умножения). В учебниках Истоминой ознакомление с умножением происходит практически сразу после введения действия умножения.

Такой шаг методически оправдан, т.к. позволяет в дальнейшем проводить более осмысленное ознакомление с табличными случаями умножения, дается больше времени на запоминание учащимися терминов (множитель, произведение), способствует формированию грамотной математической речи.

Формирование у детей представления о понятии больше в…

Рассматривается предметная ситуация:

«У Коли было 2 карандаша, а у Лены в 3 раза больше. Ск.кар.было у Лены?»

К. – 2 кар.

Л. – в 3 р.больше

Имеет смысл продел. дан. сит. с пом. чертежа, т.е.дать геометрич.интерпретацию.

Чтобы сделать это, изображаем отрезком кол-во каранд., кот.были у Коли, а затем у Лены.

К.

Л.

Значит, для того, чтобы найти сколько кар.было у Л., надо взять 3 раза по 2. Это значит 2*3

2+2+2=2*3

После этого сообщается правило, кот.детям лучше запомнить. Для того, чтобы узнать, чему равно число, больше числа в неск.раз, достаточно (можно) это число умножить на кол-во раз.

Указ.правило осознается уч-ся через вып-е достаточно большого кол-ва соответ.заданий

Билет 11

Алгоритм письменного сложения.

В основе алгоритма сложения в столбик лежат следующие теоретические положения:

1) представление числа в десятичной системе счисления;

2) коммутативный и ассоциативный законы сложения;

3) дистрибутивный закон умножения относительно сложения;

4) табличное сложение однозначных чисел.

Методика изучения алгоритма письменного сложения.

В письменных вычислениях используется алгоритм письменного сложения.

Осознанное применение алгоритма требует от учащихся знания:

— разрядного состава числа;

— соотношение разрядных единиц;

— прочные знания таблицы сложения в пределах 10 и 20.

Случаи сложения рассматриваются от простого к сложному — вначале без перехода через разряд, а затем с переходом через 1,2,3… разряды. Учащиеся знакомятся с письменными приемами сложения в теме «Сотня». Дается новая форма записи в столбик (столбиком). Это облегчает вычисления.

Алгоритм сложения:

1) записываем второе слагаемое под первым, строго разряд под разрядом;

2) сложение начинается с разряда ед-ц. Если полученная сумма меньше 10, то мы ее записываем в разряд ед-ц суммы;

3) если сумма больше либо равна 10, то мы ее представляем в виде 10+q₀и q₀записываем в разряд ед-ц суммы, увеличивая одновременно число ед-ц в разряде десятков 1-го слагаемого на 1;

4) переходим к сложению в разряде десятков, где повторяем описанный процесс;

5) процесс сложения считаем законченным, когда сложены ед-цы последних старших разрядов слагаемых.

Билет 13

Методика ознакомления с нумерацией чисел в пределах 10.

В начальном курсе математики изучение множества натуральных чисел и нуля, а так же операции выполняемые над ними занимает одно из центральных мест. В неразрывной связи с изучением указанного материала находится изучение других математических понятий, изучаемых в курсе математики начальной школы. Подготовительным этапом к изучению множества натуральных чисел и действий над ними является изучение математики в так называемый до числовой период.

Перед учителем стоят задачи:

— выяснить, какие представления о счете имеет ученик и исходя из этого получить знания: научить ученика считать в пределах 10 или закрепить имеющиеся знания.

— сформировать или закрепить представления детей о таких понятиях как больше/меньше/столько же

— закрепить и расширить у учащихся запас их пространственных представлений: право/лево/выше/ниже.

Начиная с подготовительного этапа учитель должен постепенно формировать представления о натуральном числе как о общем св-ве конечных равномощных …? (множеств, наверное)

Учитель должен показать ученику как образуется число. Необходимо так же учить детей считать, при этом важно дать ребенку почувствовать, что счет это установление взаимно однозначных соответствий между…..?? и отрезками ряда натуральных чисел.

Это происходит через пересчет элементов в множестве. Для этого необходимо предлагать ребенку пересчитывать элементы в различных множествах. (Пример : на наборном полотне несколько кружочков и квадратиков. Необходимо сосчитать сколько их).

Формирование представлений о счете и геометрических фигурах.

Виды определений: явные (остенсивные- определение через показ) и неявные(контекстуальные).

Отвлеченный счет— используется для запоминания числительных в порядке которого они идут.

Правила счета:

1) любой элемент может быть назван первым

2) ни один элемент при счете не должен быть пропущен

3) любой элемент не может быть посчитан дважды. (учим считать конфеты, карандаши, ручки)

При параллельном формировании навыков счета, представлении о правилах счета необходимо формировать представления о понятии больше/меньше/столько же.

Формирование этих представлений происходит через формирование у учащихся сравнение численности множеств, причем сначала имеет смысл сравнивать численность множеств, не пересчитывая их

1) мн-ва численности которых сравнивают, располагая один над другим элементом. (кружки над квадратиками. Каких фигур б/м? что надо сделать, чтобы стало поровну?).

2) наложение (кружки наложить на квадраты)

3) составление пар. Учащиеся сравнивают численность элементов во мн-ве и делают соответствующий вывод. Какое число б/м или они =.

Уже в этот подготовительный период следует предлагать учащимся задания на преобразования неравночисленных множеств равночисленные. Задается следующий вопрос: что нужно сделать для того, чтобы квадратов стало столько же сколько и треугольников. Очень важно показать связь между понятиями больше/меньше.

При изучении чисел 1-го десятка перед учителем начальной школы стоят следующие задачи:

1) ввести понятие натурального числа 1-го десятка.

2) закрепить у учащихся знания о названии чисел и показать способы записи числа, научить сравнивать числа, исходя из их положения в натуральном ряду чисел.

Ознакомление учащихся с натуральным числом следует проводить через формирование у ребенка представления о том, что натуральное число есть общее сво-во класса конечных равномощных множеств. (Пример: представлены множества треугольников, квадратов, кругов. Сравнить эти мн-ва и сказать, что у них общего. Учитель должен получить ответ о том, что каждое множество содержит 2 объекта. Учитель сообщает название этого числа и то, что для записи существует специальная цифра 2. показывает карточку с числом. Сравнить это число с другими числами, которые находятся в натуральном ряду. Через выполнение таких упражнений у детей формируется представление о натуральном ряде чисел 2+1 =3).

Очень важно при сконцентрировать внимание на св-ве натуральных чисел, а именно показать, что если к числу +1, то получится число, следующее за ним.

Билет 14

Алгоритм письменного вычитания.

Теоретические положения, лежащие в основе вычитания многозначных чисел:

— представление числа в десятичной системе счисления;

— правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;

— табличные случаи сложения однозначных чисел;

— дистрибутивные св-ва умножения относительно вычитания.

1) Записываем вычитаемое под уменьшаемым строго разряд под разрядом.

2) Начинаем вычитание с разряда единиц. Если число единиц в разряде единиц уменьшаемого больше или равно числу единиц в разряде единиц вычитаемого, то производим вычитание и записываем рез-ат в разряд ед-ц разности и переходим к вычитанию в след. разряде.

3) Если число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого меньше числа ед-ц в разряде ед-ц вычитаемого, то уменьшаем число ед-ц в разряде десятков уменьшаемого (в случае, если в разряде десятков не стоит ноль) на 1, увеличивая одновременно число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого на 10, после чего выполняем вычитание. Записываем полученный рез-ат в разряде ед-ц разности.

4) Если число ед-ц в разряде десятков уменьшаемого равно нулю, то находим первый из разрядов в уменьшаемом, в кот. число ед-ц не равно нулю и уменьшаем в нем число ед-ц на 1, одновременно увеличивая число ед-ц в тех разрядах, в кот. стоит ноль на 9, а число ед-ц в разряде ед-ц уменьшаемого на 10. Производим вычитание, записываем ответ в соотв разряд разности и переходим к вычитанию в след разряде.

5) В след разряде повторяется №2, 3 или 4.

6) Процесс вычитания считаем законченным, когда произвели вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Методика изучения алгоритма.

Безусловно, младшие школьники не могут освоить алгоритмы письменного вычитания в общем виде. Но учителю их знать необходимо.

Это позволит ему:

— при ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно организовать подготовительную работу;

— управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма;

— в упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования.

Описания алгоритмов даются учащимся начальных классов в упрощённом виде, где фиксируются только основные моменты:

1) вычитаемое нужно записать под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

2) вычитание следует начинать с низшего разряда, т. е. вычитать сначала единицы.

Другие операции, входящие в алгоритм, либо разъясняются младшим школьникам на конкретных примерах, либо осознаются ими в процессе выполнения спец. подобранных упражнений.

Традиционная программа: знакомство с приёмами письм. сложения/вычитания в теме «Тысяча»; сложение/вычитание «в столбик» двузначных чисел по образцу действий: Объясни решение примера 43 — 29 «в столбик»: Пишу единицы под единицами, десятки — под десятками. Вычитаю единицы. Занимаю 1 десяток. 13-9=4. Пишу под единицами 4.

Вычитаю десятки. Один десяток мы взяли, поэтому в уменьшаемом осталось 3 десятка. 3-2=1. Пишу 1 под десятками. Читаю ответ: разность равна 14.

Последовательно рассматриваются различные случаи вычитания трёхзначных чисел.

Программа Истоминой: дети знакомятся с алгоритмами письменною сложения и вычитания после того, как усвоят нумерацию чисел в пределах миллиона.

Приступая к изучению алгоритмов письменного сложения и вычитания, учащиеся выполняют задание:

На сколько можно уменьшить 308282, чтобы изменились цифры, стоящие в разряде единиц и десятков, а цифры других разрядов остались те же?

(Анализ способа действий при вычитании в столбик). Объясни, как выполнено вычитание чисел. Догадайся, почему вычитание многозначных чисел «в столбик» нужно начинать с разряда единиц? (Акцентирование внимания на выполнении записи «в столбик», обсуждение верной и неверной записей).

Билет 15

. Методика ознакомления с правилом умножения суммы на число.

Распределительное св-во:

Возможен вариант, когда сам термин «распределительное свойство умножения» не вводится, а рассматриваются два правила:

а) умножение суммы на число;

б) умножение числа на сумму.

Изучение этих правил разведено во времени, т.к. первое правило лежит в основе вычислительного приема умножения двузначного числа на однозначное (в пределах 100), а второе правило вводится для разъяснения способа действия при умножении двузначного числа на двузначное «в столбик».

Этот вариант нашел отражение в учебниках Моро.

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике Моро предложены задания: — Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети? Рассмотри два способа решения этой задачи и объясни каждый из них.

Первый способ: (6+4) •3=10•3=30 Ответ: 30 масок.

Второй способ: 6•3+4•3=18+12=30 Ответ: 30 масок.

Возможен вариант, когда учащиеся знакомятся с названием свойства («распределительное свойство Умножения») и усваиваютего содержание в процессе выполнения различных заданий. Этот вариант нашел отражение в учебниках Истоминой. При умножении суммы на число можно

Билет 16

Методика ознакомления с понятием «уравнение».

В курсе математики в начальной школе дети знакомятся со следующими алгебраическими понятиями:

— числовое выражение;

— выражение с переменной;

— равенство и неравенство;

— уравнение.

Объемы содержаний изучаемых понятий варьируются в зависимости от методик, которые использует учитель на своих уроках. Содержание этих понятий, изучаемых в курсе школы, может быть больше или меньше.

Задачи, стоящие перед учителем:

1) Сформировать представление у учащихся об указанных понятиях.

2) Раскрыть их содержание.

Понятие уравнение является одним из основных алгебраических понятий, изучаемых в курсе математики в начальной школе. В начальной школе рассматриваются только уравнения 1й степени с одним неизвестным, причем по большинству методик рекомендуется знакомить детей исключительно с простейшими уравнениями.

Простейшими уравнениями считаются уравнения, в которых для нахождения корня достаточно выполнить единственный шаг. Но по некоторым другим методикам, кроме указанных уравнений рекомендуется познакомить учащихся с более сложными уравнениями типа:

x+12=58-16

(x+12)-4=58

(x+12):3=24

В основе решения уравнения в начальной школе лежит связь между компонентами арифметических действий и их результатом.

Задачи, стоящие перед учителем:

— познакомить учащихся с понятием уравнения и его решением;

— сформировать осознанный навык решения уравнений.

Подготовительная работа:

Предлагать учащимся начальной школы для решения уравнения в неявном виде, т. е. предлагать запись вида:

⁪+3=12

Вставь в окошко пропущенное число, чтобы получилось верное равенство.

Такое задание можно предлагать на различных этапах обучения в начальной школе. В зависимости от того, на каком этапе обучения предлагаются указанные задания, учащимся можно действовать 2мя способами:

1. Если дети еще не знают связей между компонентами действий и их результатами, то они выполняют указанные задания методом подбора. Т.е. подставляют в окошко различные числа и проверяют верно ли равенство.

2. Если указанные задания предлагаются, когда дети уже знакомы со связями между компонентами действий и их результатами, то находят, пользуясь этой связью.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что на этапе подготовки учащихся к ознакомлению с понятием уравнения, они знакомятся с уравнением в неявном виде и способом решения уравнений методом подбора => 2й способ решения уравнений – способ подбора.

Так же к подготовительному этапу следует отнести ознакомление учащихся начальной школы с компонентами различных арифметических действий, их результатами и связью между ними. Если ознакомление учащихся с данными понятиями не пройдет на должном уровне и дети осознано не усвоят правила нахождения неизвестных слагаемых, вычитаемого, уменьшаемого и т.д., то ознакомление с решением уравнения не пройдет на должном уровне. В течение всего процесса изучения математики на начальном уровне до момента знакомства с уравнением нужно проводить работу, направленную на формирование у учащихся твердых умений и навыков по нахождению неизвестных компонентов арифметических действий.

Знакомство с понятием уравнение.

Детям предлагается запись:

⁪+3=12

Затем сообщается, что в математике неизвестное число принято обозначать специальными буквами, основной из которых является «х».

Далее показывается новая форма записи:

х+3=12

и сообщается, что представленное равенство называется уравнением. Для того чтобы у детей сформировать понятие уравнение, нужно предложить ряд выражений:

х-1=5

3+4=7

5•2>9

7•5+4

x+8

x+6=10

6•2=12

Дети должны из указанных объектов выявить те, которые являются уравнениями, объяснив свой выбор. При этом они должны указать существенные свойства уравнений (равенство, есть х).

Одновременно с понятием «уравнение» у детей формируется представление о том, что значит решить уравнение. Они должны полностью осознать тот факт, что решить уравнение – это найти такое число, которое при подстановке в уравнение вместо неизвестного превращает последнее в верное числовое равенство. Понятие «корень уравнения» не вводится, хотя определенные методики допускают введение указанного термина (по Эльконину-Давыдову).

Уже на этапе изучения уравнения в начале неплохо заняться пропедевтикой понятия «область определения уравнения». Особенно эффективно такая работа проводится…

х-10=2 (нельзя 9, т.к. …)

15:х=5 (нельзя 5, т.к. …)

При рассмотрении такого рода уравнений делается вывод, что далеко не каждое число может быть решением указанных уравнений.

Для того чтобы работа по изучению уравнений была эффективной, детям необходимо предлагать уравнения с разнообразными заданиями:

— реши уравнение и выполни проверку;

— выполни проверку решаемых уравнений, найди ошибку;

— составь уравнения с числами: х, 10, 12

х+10=12

10+х=12

х:10=12

12-х=10 и т. д.

— из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи действия вычитания:

5+х=12

х-4=

2•х=6

10-х=8 и т.д.

— из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи сложения;

— детям дано уравнение, в котором пропущен знак действия

х ? 3=30

и дано решение

х=3+30

Особое внимание при рассмотрении понятия уравнение следует уделить проверке. Очень важно, чтобы при выполнении проверки решения уравнений учащиеся подходили к этой работе не формально, а осознано. Для этого им следует предлагать проблемные ситуации, в которых нужно выполнять конкретные действия по проверке решенных уравнений, а именно предлагать уже решенное уравнение и просить, не решая его, установить, сделана ли ошибка или нет. Чтобы контролировать действия учащихся в данном процессе необходимо предлагать их рассказывать о своих действиях вслух.

Билет 17

Открытый урок математики 2 класс (Калашникова Л. П.)

Скачать презентацию открытого урока «В гостях у сказки «Деление».

Открытый урок «В гостях у сказки «Деление» (фото)

Сценарий урока

Тема урока: В гостях у сказки «Деление»

Предмет: Математика (видеоурок)

Автор:Калашникова

Любовь Петровна,

учитель начальных классов, Iкв.категории

Тип урока:«открытие» новых знаний (изучение нового материала).

Класс: 2

Технология изучения темы.

Тема:

Деление.

ЦЕЛЬ: познакомить с новым математическим действием – делением, раскрыть смысл деления; развивать образное и логическое мышление, воображение; развивать интеллектуальные и коммуникативные учебные умения; формировать предметные умения и навыки, необходимые для успешного решения учебных и практических задач; развивать вычислительные навыки, математическую речь; воспитывать математический интерес.

Задачи:

предметно-информационные:знакомимся с понятием деление, раскрываем смысл действия ; знакомимся со знаком и записью действия деления.

Деятельностно-коммуникативные: учимся самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя;мотивируем деятельность учащихся на понимание действия деления.

Ценностно-ориентационные: учимся исполнять самые социальные роли: умение слушать и слышать собеседника, вступать в диалог, участвовать в парном и коллективном обсуждении.

Форма работы:

Фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в группе.

Материально-техническое обеспечение:

учебник «Математика. 2 класс» по программе «Школа России»; линейка, тесьма и ножницы для учащихся; мультимедийный проектор; презентация.

Технология

проведения

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов.

«Фотография доски»

I.Оргмомент

Долгожданный дан звонок.

Начинается урок.

Урок математики.

Сегодня у нас необычный день. Порадуйте меня своими успехами. Откройте тетради, запишите число классная работа.

Приветствуют.

Открывают тетради, записывают число и классная работа.

Слайд 1

Формирование внутренней позиции школьника на уровне положительного отношения к урокам математики.

II.Актуализация знаний.

Урок мне хотелось бы начать со слов: «Школа- это детская страна, где много света и тепла, где много счастья и добра».

— Вы согласны?

-Как вы думаете, что надо делать, чтобы учение было не в тягость , а в радость?

— Скажите, а что мы уже умеем?

-Итак, давайте повторим, что уже знаем.

а) Индивидуальная работа.

б) Фронтальная работа.

– Ребята, сегодня к нам обратились несколько сказочных героев, которым нужна наша помощь. Поможем?

— Сначала давайте поможем Винни-Пуху составить выражения по образцу и решить их.

—Какое математическое правило вы использовали при составлении и решении выражений? –

МОЛОДЦЫ, РЕБЯТА! Идем дальше.

— Теперь наша помощь нужна Чебурашке.

–Помогите ему ответить на вопросы, отвечать нужно только «да» или «нет». (Если ответ «нет», попросить детей дать правильный ответ). 1.Результат умножения – произведение?

2. Высказывания могут быть истинные и ложные?

3. В записи двузначного числа есть десятки и единицы?

4. Первый компонент вычитания – это слагаемое?

5. Сумма — это результат сложения?

6. Если из вычитаемого вычесть уменьшаемое, то получится разность.

7. В 1 дециметре 10 сантиметров?

МОЛОДЦЫ!

— Ну, а, самое сложное досталось Ивану царевичу.

-Ему нужно решить задачу Кикиморы.

– Зачем вы выполняли эти задания?

-МОЛОДЦЫ! Вы смогли помочь всем героям, ну, а нам нужно идти дальше.

— Да

-Прилежно учиться;

-Выполнять домашнее задание;

-Отвечать на уроках;

-Быть воспитанными;

-Соблюдать правила поведения;

-Помогать товарищам и учителю;

-Не огорчать родителей.

— Решать примеры на сложение, вычитание, умеем число умножать на 0 и на 1.

Некоторые дети получили карточки на табличное умножение на 2.

-Связи компонентов сложения: Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое.

-Да

-Нет, уменьшаемое

-Да

-Нет, уменьшаемое, – вычитаемое, разность

-Да

-Чтобы понимать математическую речь, уметь быстро и правильно считать, развивать математические навыки, которые пригодятся в жизни.

Слайд 2

В сотрудничестве с учителем проводить классификацию изучаемых объектов, формулировать выводы на основе сравнения, обобщения.

Слайд 3

Слайд 4

III.«Открытие»

нового материала. (Постановка проблемы.)

Совместное открытие знаний.

-Какими арифметическими действиями вы пользовались во время вычислений?

ТЕМА сегодняшнего урока математики: Снова математическое действие.

-Кто догадался, как оно называется?

-Почему так думаете?

-Зачем нам нужно умение делить? Где оно вам пригодится в жизни?

*Сегодня на уроке попробуем разделить тесьму длиной 40см, которая вам пригодится на уроке технологии. Возьмите ее с парты.

*Как поступить, если тесьма одна на двоих, а нужна каждому. Только меньшей величины?

*Каким образом?

*Молодцы!

-Верно! Приступаем к работе. Разрезаем тесьму по линии сгиба,чтобы она была у каждого из вас. Измерьте. Какой величины кусочек, тесьмы , у вас, у каждого, получился? ).

*Молодцы!!!

-Итак, у вас у всех получилась полоска длиной 20см.

Можно ли ваши действия записать на языке математики?

*Да, действительно, на математическом языке запись выглядит вот так: 40см:2=20см.

Обратите внимание, для записи такого выражения я использовала новый математический знак, : , который обозначается двумя точками, посредине клеточки. :

*Запишите это выражение в тетрадях.

*Ребята, а если каждому из вас понадобится не по 1, а по 2 одинаковых полоски тесьмы.

-Что вы будете делать?

— Молодцы! Умнички!

-Как мы это сделаем?

*Совершенно верно! Продолжаем выполнять работу, разрезаем тесьму.

-Измерьте, какой величины полоски у вас получились?

*Молодцы! Правильно! Каждая полоска тесьмы у вас по 10 см. Может ли кто выйти к доске и сам записать очередное действие, вашей работы, на математическом языке?

С помощью знака «деление»

*Молодцы!

-Ребята, у вас была тесьма сначала 40см. На сколько частей в общей сложности, вы ее разделили?

*Итак, у вас была тесьма длиной 40см, которую вы разделили на 4 равные части.

Можно ли это выражение записать, используя знак «деление».

*Запишите и это выражение в тетрадях. МОЛОДЦЫ!

— Сложением

-Вычитанием

-Умножение

Деление

— Мы решали примеры и задачи на сложение, на вычитание и на умножение. А на деление еще ничего не решали.

-Разделить торт, конфеты, деньги…

-Её нужно разрезать на 2 части, разделить.

— Наложить один конец на другой и согнуть пополам (Дети разрезают тесьму по линии сгиба и делают замер получившейся полоски тесьмы.)

— Да, можно.

Дети проговаривают 40см:2=20см

— Ещё разделим пополам или на 2

-Снова наложим один конец на другой и согнем

-Отвечают несколько человек,

проговаривая то, что после измерения линейкой, обе полоски получились одинаковой длины, по 10 см

Ребята проговаривают:

20 см:2=10 см

-Сначала на 2, и потом на 2, т.е всего на 4 части.

Дети проговаривают

40 см:4 =10 см.

Умение проявлять инициативу в учебно-познавательной деятельности.

На доске появляется запись:

40см:2=20см,

Ниже запись знака «деление»

Один из учащихся на доске записывает выражение

20см:2=10см

На доске появляется запись очередного математического выражения:

40см:4=10см

IV. Подведение итога изученного материала

-Задание выполнено, проблема, поставленная в начале работы с тесьмой, решена.

–Скажите, пожалуйста!

–Какой вывод можно сделать, подводя итог нашей работы?

* Верно, Молодцы!!! — Итак, сегодня, мы познакомились с новым математическим действием «деление» и выяснили, что любое число можно разделить на 2,3,4, 5… и т.д. равных частей и получить необходимый результат.

-Любое число можно разделить на 2,4,6,8 равных частей.

Понимание причин успеха в учебе.

V.Физминутка

Формирование коммуникативных умений.

VI.Первичное закрепление материала.

*Первое время мы будем деление сопровождать схематическими рисунками. Этому мы будем учиться сейчас.выполняя № 1, стр.58.

–Для тех, кому сегодняшняя новая тема не до конца понятна, я рекомендую прочитать стр.58.

— А тем, кто все понял, выполнить № 4, стр.58

Умение строить простые рассуждения,

Умение договариваться, приходить к общему решению.

Слайд 5

Интерес к различным видам учебной деятельности,

включая элементы предметно-исследовательской деятельности.

VII.Рефлексия

Подходит к концу наш урок.

— Какая тема была рассмотрена на уроке?

-Какая была цель?

-Какой знак используется для записи деления?

— Что мы еще не выяснили?

— Значит, есть с чем и над чем работать!

— Спасибо всем за старание и активную работу.

—Покажите пиктограмму самооценки своей работы на уроке.

-Деление

Научиться делить число на несколько равных частей.

-Две точки, одна под другой посредине клетки

— Как называются числа при делении.

-Особые случаи деления одного числа на другое.

Дети в тетрадях рисуют пиктограмму самооценки своей работы на уроке.

Слайд 6

Понимание причин успеха в учебе.

Самооценка на основе заданных критериев успешной учебной деятельности.

Математические вычисления в Python 3

30 ноября, 2016 11:48 дп 54 630 views | 1 комментарий
Программирование невозможно представить без работы с числами. Размеры экрана, выбор цвета путем присвоения числовых кодов, географическое расположение, деньги и очки, продолжительность видео – для всего этого используются числа.
Потому умение выполнять математические операции очень важно для программирования. Конечно, чем выше у вас навык математических вычислений, тем лучше для вас; однако совсем не обязательно уметь выполнять сложнейшие вычисления, чтобы быть хорошим программистом. Если у вас нет опыта работы в области математики, старайтесь представлять математику как инструмент или как способ улучшить ваше логическое мышление.
Операция Результат
x + y Сложение (сумма x и y)
x – y Вычитание (разница между x и y)
-x Смена знака x
+x Тождественность x
x * y Умножение x на y
x / y Деление x на y
x // y Получение целой части от деления x на y
x % y Остаток от деления x / y
x ** y Возведение в степень
Унарное математическое выражение состоит только из одного компонента или элемента. В Python плюс и минус вместе со значением могут быть использованы в качестве одного элемента, это позволяет показать тождественность значения (+) или изменить его знак (-).
Это одно из главных различий между Python 2 и Python 3. Python 3 возвращает дробный результат, потому при делении 11 на 2 вы получите 5.5. В Python 2 деление привязано к типам данных, потому при делении целого числа невозможно получить число с плавающей точкой; поэтому при делении 11 на 2 Python 2 возвращает 5.
В программировании часто используются составные операторы присваивания, которые выполняют операцию со значением переменной, а затем присваивают этой переменной полученное новое значение. Составные операторы объединяют арифметический оператор с оператором =. Например:
y += 1          # сложение и присваивание y -= 1          # вычитание и присваивание y *= 2          # умножение и присваивание y /= 3          # деление и присваивание y // = 5        # деление floor и присваивание y **= 2         # возведение в степень и присваивание y %= 3          # вывод остатка и присваивание
Tags: Python, Python 3
Что такое обратные операции? — Определение Факты и примеры
Операции
Математическая «операция» относится к вычислению значения с использованием операндов и математического оператора. Числа, используемые для операции, называются операндами. В зависимости от типа операции операндам назначаются разные термины. Операторы — это символы, обозначающие математическую операцию, например:
+ для сложения
− для вычитания
× для умножения
÷ для деления
= для равно, указывает на равенство, то есть значение левой части равно значению правой части.
Что такое обратные операции?
Обратное означает обратное. Таким образом, в математике обратная операция может быть определена как операция, которая отменяет то, что было сделано предыдущей операцией. Множество двух противоположных операций называется обратными операциями.
Например: Если мы сложим 5 и 2 ручки, мы получим 7 ручек. Теперь вычтите 7 ручек и 2 ручки, и мы получим 5 обратно. Здесь сложение и вычитание являются обратными операциями.
Ниже приведены примеры обратных операций:
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание являются обратными операциями, то есть сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение. Мы можем переставить числа, данные в уравнении сложения, а затем мы можем использовать уравнение сложения, чтобы получить два разных уравнения вычитания.
Например: $15 + 6 = 21$
Образуются два уравнения вычитания: $21$ $–$ $6 = 15$ и $21$ $–$ $15 = 6$
После этого мы даже можем показать, что если взять число, например 15, прибавить и вычесть то же число до 15, мы снова получим 15.
т. е. $15 + 6$ $–$ $6 = 0$
Точно так же мы можем переставить числа, данные в уравнении вычитания, и тогда мы можем составить два уравнения сложения.
Например: $30$ $–$ $14 = 16$
Получаются следующие уравнения сложения: $14 + 16 = 30$ и $16 + 14 = 30$
Когда мы складываем число и вычитаем его позже, эффект обратный.
$16 – 4 + 4 = 0$
Умножение и деление
Умножение и деление являются обратными операциями, что означает, что умножение отменяет деление, а деление отменяет умножение. Мы можем переставить числа, данные в уравнении умножения, и тогда мы можем сделать два разных уравнения деления.
Например: $7 х 4 = 28$
Получаются два уравнения деления: $28\div4=7$ и $28\div7=4$
Кроме того, когда мы умножаем число, а затем делим его позже на, эффект обратный.
$12\times4=48; 48\div4=12$
Точно так же мы можем переставить числа, данные в уравнении деления, и тогда мы можем составить два уравнения умножения.
Например: $45\div9=5$
Образуются следующие уравнения умножения: $9\times 5 = 45$ и $5\times 9 = 45$
Также, когда мы делим число, а затем умножаем то же число позже на, эффект обратный.
$1\div24=3; 3\times4=12$
Свойства обратных операций
Обратное аддитивное свойство
Значение, которое при добавлении к исходному числу дает 0, называется аддитивным обратным.
Предположим, что x является исходным числом, тогда его аддитивный обратный будет минус x, т. е. $-$$\text{x}$, такой, что:
$\text{x + ( – x ) = x – x} = 0$
Например, $6+( $ $-$ $ 6)=0$. Следовательно, $–6$ является аддитивной инверсией 6 и наоборот.
Предположим, что $-$$\text{x}$ — исходное число, тогда его аддитивным обратным будет положительное значение x, т. е. x.
Свойство обратного умножения
Значение, которое при умножении на исходное число дает 1, называется мультипликативным обратным.
Предположим, что x исходное число, тогда его мультипликативное обратное число будет обратным $\text{x}$, т. е. $\frac{1}{\text{x}}$, таким образом, что:
$ \text{x}\times\frac{1}{\text{x}}=1$
Например, $6\times\frac{1}{6}=1$. Следовательно, $\frac{1}{6}$ является мультипликативным, обратным 6, и наоборот.
Предположим, что $\frac{1}{x}$ — исходное число, тогда его мультипликативное обратное число будет обратным $\frac{1}{x}$, т. е. $x$.
            Например: мультипликативное обратное значение $\frac{3}{4}$ равно $\frac{4}{3}$.
Решенные примеры
Пример 1: Составьте уравнения вычитания из $24 + 13 = 37$ .
Решение : 37$ $–$ 24$ = 13$ и 37$ $-$ 13$ = 24$
2. Какая аддитивная величина обратна –10?
Решение : Поскольку -10 является отрицательным числом, его обратная аддитивная величина будет положительным числом. Таким образом, аддитивное обратное значение –10 будет равно 10.
3. Чему равно мультипликативное обратное число $(3-\frac{1}{4})$ ?
Ответ: $(3-\frac{1}{4})=\frac{12-1}{4}=\frac{11}{4}$
Мультипликативное значение, обратное $\frac{11} {4}$ равно $\frac{4}{11}$ .
Практические задачи
15$ + 3 = 12$
12$ + 3 = 15$
$15$ $-$ $3 = 12$
Ничего из этого
Правильный ответ: $12 + 3 = 15$
Уравнение сложения для $15$ $-$ $12 = 3$ равно $12 + 3 = 15$.
$12\div3=4$
$12\div4=3$
$4\div3=12$
Оба A и B
Правильный ответ: Оба A и B
Уравнения деления будут $12\div3= 4$ и $12\div4=3$.
$\frac{1}{18}$
$0$
$18$
$-18$
Правильный ответ: $-18$ 92=64$, тогда $\sqrt{64}=8$.
Каково назначение обратной операции?
Обратные операции используются для изменения влияния одной операции на другую. Цель обратных операций — понять взаимосвязь между основными математическими операторами $+$, $−$, $\times$, $\div$, чтобы упростить решение уравнения и сэкономить время.
Как используется обратная операция при решении уравнений?
Обратные операции используются при решении уравнений для выделения переменных путем применения обратных операций с обеих сторон.

Безошибочные стратегии, которые действительно работают!
Порядок операций может быть трудным для обучения, но это не обязательно. Нет никаких сомнений в том, что это чрезвычайно сложная тема для младших школьников. К счастью, существует множество стратегий обучения порядку операций, которые одновременно и забавны, и эффективны.
Одна из причин, по которой дети не понимают эту концепцию, заключается в том, что существует так много правил, которые нужно выучить и соблюдать. Что еще хуже, правила, которые кажутся простыми, часто оказываются обманчиво сложными.
Например, большинство детей легко запоминают, что умножение и деление всегда выполняются перед сложением и вычитанием, особенно после того, как они научатся следовать порядку, описанному в «PEMDAS».
Однако они застревают, когда уравнение включает в себя как умножение, так и деление. Большинство детей автоматически умножают перед делением, но порядок операций подсказывает нам, что нужно выполнять операцию, которая идет первой при чтении задачи слева направо. Неудивительно, что дети находят порядок операций очень запутанным!
Еще одна причина, по которой дети испытывают затруднения, заключается в том, что даже когда они понимают, как правильно использовать порядок операций, они не применяют правила систематически. Поскольку задачи кажутся простыми, учащиеся стараются полагаться только на ментальную арифметику при их решении. Это может сработать с простыми задачами, но ментальная арифметика не эффективна с более сложными задачами, которые включают в себя несколько операций, круглые скобки, показатели степени.
Наблюдая, как мои ученики мучаются с порядком операций, я разработал простой урок, который срабатывал каждый раз. В результате мои ученики действительно запомнили правила и могли легко применить их к любой задаче. Я хотел бы поделиться с вами этими безошибочными стратегиями, а также двумя бесплатными печатными формами с порядком операций, которые вы можете использовать, чтобы помочь своим ученикам понять эти концепции.
Порядок действий Урок
Урок начинается с небольшого задания, которое заставит учащихся задуматься о том, зачем нужны правила для решения уравнений. За этой «зацепкой» урока следует мини-урок с порядком действий, практическое занятие с гидом и динамичная игра, которая служит также формирующей оценочной деятельностью.
Чтобы получить максимальную отдачу от заданий, каждому учащемуся понадобится доска или планшет, на котором они могут решать задачи. Вам также понадобится по крайней мере один калькулятор для класса, который правильно использует порядок операций. Физический калькулятор подойдет, если он отображается под документ-камерой, или вы можете использовать онлайн-калькулятор. Обязательно протестируйте калькулятор перед уроком, чтобы убедиться, что он справляется с проблемами порядка операций. Чтобы узнать, введите 1 + 2 x 3 и нажмите знак =. Правильный ответ — 7, поэтому, если ваш калькулятор показывает 9как ответ, он НЕ правильно использует порядок операций.
1. Пособие к уроку: Решите не очень простое уравнение
Прежде чем преподавать PEMDAS или любую другую стратегию, предложите своим ученикам решить простое уравнение, такое как это: 3 + 8 x 2 = ? Попросите учащихся написать уравнение на доске или планшете, а затем решить его и показать вам ответ.
Скорее всего, вы увидите два разных ответа, но пока не поддавайтесь желанию назвать правильный ответ. Большинство студентов скажут, что ответ равен 22, потому что они сложили 3 и 8, а затем умножили сумму на 2. Однако те, кто изучал порядок операций в прошлом, скажут, что ответ равен 19.потому что они умножили 8 на 2 и прибавили к произведению 3. Ваши ученики могут быть немного сбиты с толку, когда заметят, что некоторые из их одноклассников дают разные ответы, но они вот-вот запутаются еще больше!
Скажите своим ученикам, что вы собираетесь использовать калькулятор, чтобы проверить ответ, и, пока они смотрят, введите приведенную выше задачу. Когда калькулятор покажет 19 в качестве ответа, притворитесь удивленным и скажите, что вы, должно быть, неправильно ввели задачу. Внимательно введите его еще раз, и когда вы получите тот же ответ, попробуйте другой калькулятор. Когда вы снова получите один и тот же ответ, попросите своих учеников объединиться в пары с партнером, чтобы обсудить, почему калькулятор продолжает давать «неправильный» ответ. После того, как они обсудят это в течение нескольких минут, скажите им, что 19на самом деле правильный ответ, и что вы собираетесь научить их некоторым важным правилам решения задач, включающих более одной операции.
Это задание — отличный способ начать урок порядка действий, потому что оно создает ощущение «когнитивного диссонанса», состояние ума, в котором мы изо всех сил пытаемся усвоить новые факты, которые не соответствуют тому, что, как мы думали, мы знали об объекте. тема. Когда учащиеся испытывают когнитивный диссонанс, они стремятся учиться и открыты для новых идей, поэтому это идеальное время для начала фактического обучения.
2. Прямое указание: введение в порядок действий
То, как вы введете порядок действий, будет зависеть от готовности ваших учащихся и их предыдущего опыта работы с алгебраическими понятиями. Возможно, вы захотите начать с того, что научите своих учеников использовать круглые скобки, чтобы указать, какая часть уравнения должна быть решена первой. Напишите уравнение двумя разными способами, сохраняя числа одинаковыми, но заключая в скобки разные пары чисел, например: (5 + 3) x 2 = ? и 5 + (3 х 2) = ?
Покажите учащимся, как решать обе задачи, и укажите, что хотя числа, используемые в уравнениях, одинаковы, решения разные. Дайте учащимся еще несколько пар задач с одинаковыми номерами и скобками в разных местах. Останавливайтесь после каждой проблемы, чтобы обсудить решение и прояснить недоразумения.
Затем отобразите уравнение без круглых скобок, например 15 – 5 x 2 = x. Укажите, что неясно, какую часть задачи следует решать в первую очередь, и, как они видели в предыдущем примере, порядок, в котором вы выполняете операции, ИМЕЕТ значение.
Скажите своим ученикам, что математики договорились о наборе правил, называемых «порядком действий», которым необходимо следовать при решении задач. Если ваши ученики уже изучили показатели степени, вы можете научить аббревиатуру PEMDAS, которая означает скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание. Фраза «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли» поможет им запомнить порядок этих букв. Если ваши ученики не изучали показатель степени, вы можете заменить аббревиатуру PMDAS и фразу «Передайте моему папе бутерброд».
3. Практика под руководством: обучение пошаговому методу решения задач
Для следующей части урока вам потребуется загрузить показанную выше бесплатную инструкцию по выполнению операций . Эта халява состоит из трех страниц из Order of Operations Bingo Level 1. Экспоненты не упоминаются на этих страницах, а аббревиатура PMDAS используется вместо PEMDAS.
После использования Обзора порядка действий для объяснения аббревиатуры PMDAS покажите копию страницы практики или раздайте каждому учащемуся бумажную копию. Представьте пошаговый метод вычисления алгебраических выражений, объяснив пример в верхней части страницы. При использовании этой стратегии каждый шаг записывается на отдельной строке.
Проведите своих учеников через процесс решения 6 практических задач по одной за раз. Проверяйте и обсуждайте решения после каждой проблемы, и убедитесь, что они покажут вам свою работу. При необходимости обратитесь к ключу ответа на странице 3 бесплатного пакета, чтобы найти пошаговые решения.
Если вы не научили этому пошаговому методу решения задач на порядок действий, у вас может возникнуть соблазн пропустить его и позволить своим ученикам использовать арифметику в уме. Большинство задач настолько просты, что ваши ученики могут решить их, не записывая каждый шаг.
Однако, полагаться на ментальную арифметику при решении более сложных задач приводит к большому количеству ошибок по невнимательности, поэтому я рекомендую научить ваших учеников следовать этой пошаговой стратегии при решении КАЖДОЙ задачи. Если они выработают привычку использовать этот систематический подход, то позже смогут с легкостью решать более сложные задачи. Поверьте мне в этом!
4. Сыграйте в игру «Порядок действий»
После того, как ваши ученики поймут, как решать задачи на порядок действий, им потребуется много практики, пока концепции еще свежи в их памяти. Игры гораздо более эффективны для практики, чем рабочие листы, потому что они динамичны и увлекательны, мотивируя учащихся решать десятки задач за короткое время.
Если вы играете всем классом и обсуждаете ответы после каждой задачи, ваши ученики узнают в течение нескольких раундов игры, правильно ли они решают задачи. Если это не так, они будут мотивированы задавать вопросы и обращаться за помощью, чтобы стать лучше. Кроме того, многие игры могут служить формативной оценкой, если вы будете ходить, пока учащиеся решают каждую задачу, и наблюдать за их работой. Без проведения формального теста вы сможете увидеть, кто понимает концепции, а кому нужна дополнительная помощь.
Порядок действий Бинго — мое любимое занятие для отработки этого навыка, потому что игроки не могут выиграть, не используя правильно порядок действий. Чтобы способствовать развитию математических навыков, попросите учащихся решить каждую задачу на доске или планшете, используя пошаговый метод. После каждой проблемы останавливайтесь, чтобы обсудить каждое решение, прежде чем предъявлять следующую карточку с заданием. Напомните своим учащимся, что они могут закрыть ответ на своей доске для бинго фишкой только в том случае, если у них был правильный ответ ДО того, как вы показали решение классу. Если вы соблюдаете это правило, я могу гарантировать огромное снижение количества ошибок по невнимательности после первого раунда игры!
5. Повторите и попрактикуйтесь с карточками задач с порядком действий или цифровыми карточками Boom
Первые четыре стратегии чрезвычайно эффективны для обучения детей тому, как правильно использовать порядок действий. Однако для того, чтобы сохранить то, что они узнали, вашим ученикам потребуется возможность повторения и практики в течение года.
Если вы обучаете студентов удаленно, приведенные ниже карточки с порядком операций прекрасно удовлетворят эту потребность! Boom Cards — это интерактивные цифровые карточки с самопроверкой, которые можно использовать в классе или дома для дистанционного обучения. В Boom Cards можно играть практически на любом устройстве с доступом в Интернет. Они размещены на платформе Boom Learning, но доступны бесплатные учетные записи. Дети любят эти интерактивные карточки с заданиями, потому что они забавные, а учителя любят их за эффективность!

Как и в случае с другими моими продуктами Order of Operations, есть два уровня Boom Cards. Порядок операций уровня 1 включает некоторые проблемы со скобками, но ни в одной из них нет показателей. Карты Boom уровня 2 порядка действий более сложны, потому что большинство карт имеют круглые скобки и/или показатели степени.
Если вы преподаете очно, приведенные ниже карточки с порядком действий помогут вашим учащимся поддерживать эти навыки в актуальном состоянии. Вы можете использовать эти карточки с заданиями для печати в математических центрах и в совместных учебных мероприятиях, таких как Showdown или Team Scoot. Оба набора включают изображения для Plickers, поэтому их также можно использовать для формирующего оценивания всего класса.
Дифференцировать обучение легко
Дифференцировать обучение легко, потому что есть два уровня учебных материалов, включая карточки с заданиями, игру в бинго и оценки. Уровень 1 включает в себя основные проблемы, подобные тем, которые используются в халяве. Материалы для Уровня 2 имеют более сложные задачи, и некоторые из задач включают показатели. Оба набора игр в бинго, карточки с заданиями и оценки включены в один экономичный комплект. Если ваша учебная программа включает в себя экспоненты, набор игр и тестов Order of Operations Bundle — ваш лучший вариант. Если вы используете оба уровня в своем классе, вы можете распечатать карточки с заданиями и игровые материалы для каждого уровня на карточках разного цвета, чтобы хранить их отдельно. (Карты Boom Card приобретаются отдельно.)
Протестировано в классе: Одобрено учителями и учениками
Мне нравится, когда учителя тестируют мои продукты на своих учениках. Несколько учителей протестировали Order of Operations Bingo со своими учениками, и двое из них прислали фотографии своих учеников, играющих в игру. Мне нравится видеть фотографии детей, использующих мои уроки и занятия, и я не мог не поделиться некоторыми из них с вами!
Учительница четвертого класса Кристина Эшберн протестирована Order of Operations Bingo и попросила своих учеников решить задачи на доске, как описано в уроке. У нее не было фишек для бинго, поэтому она заламинировала игровые доски и попросила учеников раскрасить ответы маркерами. Честно говоря, я никогда не думал об этом, но это блестящая идея! Во-первых, если дети решают задачи на доске для сухого стирания, их маркеры должны быть под рукой. Кроме того, вам не нужно беспокоиться о том, что пластиковые фишки для бинго разбросаны по всему классу!
Учительница пятого класса Шерил Николас также протестировала игру в своем классе. Наблюдая за тем, как ее ученики играют в Order of Operations Bingo , она обнаружила неожиданное преимущество. Шерил объяснила: «Мне больше всего понравилось то, как мои не говорящие по-английски сразу почувствовали себя вовлеченными в обзор. В последнее время так много «тренируй и тестируй», но это сделало это намного более интересным для студентов. Все были вовлечены в деятельность, и было немало математических разговоров, а также индивидуальной отработки навыков».
После того, как они поиграли в игру, Шерил взяла интервью у своих учеников, чтобы узнать их мнение, и поделилась со мной некоторыми их комментариями. Мне особенно понравилось читать два комментария о необходимости записывать шаги каждой проблемы. Один ученик сказал: «Мне понравилось, что вы не позволяли мне решать их в уме, а заставляли писать задачи на iPad и решать их». Другой ученик был не в восторге от этой части урока, заявив: «Хотелось бы, чтобы вы позволили мне решать эти задачи в уме. Но опять же, я всегда работаю слишком быстро, так что, наверное, у меня получалось лучше, потому что мне приходилось их записывать».
Я просто рассмеялся, когда прочитал последний комментарий, потому что это именно то, что сказали бы некоторые из моих учеников! Этот урок «безошибочного» порядка операций доставляет удовольствие ученикам, а пошаговые стратегии также делают его очень эффективным. Поиграв в игру, даже дети осознают важность записи шагов при решении задач на порядок операций, нравится им это или нет!
20011 — Свойства действительных чисел
Введение: подключение вашего обучения
Вы помните свой первый мобильный телефон? Как насчет вашего первого GPS (глобальная система позиционирования) или вашей первой игровой системы? Думаете ли вы о Droid в вашем кармане или о Nintendo с этими неуклюжими пластиковыми картриджами, из которых вам приходилось выдувать пыль, чтобы заставить игру работать, у вас, вероятно, был подобный опыт с новой технологией. Вы нашли время, чтобы изучить каждую деталь того, как работает ваш новый гаджет. Возможно, вы знаете, как использовать «черепашьи подсказки» в Mario Brothers или загружать приложение на свой планшет, потому что потратили много времени на изучение этих предметов.
Математика ничем не отличается. Как только вы вошли в этот мир, вам нужно изучить и открыть для себя характеристики (свойства), благодаря которым работают такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление. На этом уроке вы изучите некоторые свойства действительных чисел.
Сосредоточение вашего обучения
Цели урока
К концу этого урока вы должны уметь:
Определять основные свойства действительных чисел.
Презентация
Основные свойства действительных чисел
Основные свойства вещественных чисел используются для определения порядка упрощения математических выражений. К основным свойствам действительных чисел относятся следующие:
Свойство замыкания
Коммутативное свойство
Ассоциативное свойство
Распределительная собственность
Внимательно осмотрите каждое свойство.

Свойства замыкания
Действительные числа замкнуты при сложении, вычитании и умножении.
That means if a and b are real numbers, then a + b is a unique real number, and a ⋅ b is a уникальный реальный номер.
Например:
3 и 11 — действительные числа.
3 + 11 = 14 и 3 ⋅ 11 = 33 Обратите внимание, что и 14, и 33 — действительные числа.
Каждый раз, когда вы складываете, вычитаете или умножаете два действительных числа, результатом будет действительное число.
Хотя это свойство кажется очевидным, некоторые коллекции не закрываются при определенных операциях.
Вот несколько примеров.
Пример 1
Действительные числа не замыкаются при делении, так как, хотя 5 и 0 являются действительными числами, они не являются действительными числами. (Вы можете сказать, что это не определено, что означает, что это не имеет значения. Аналогично, это 2, потому что вы можете умножить 3 на 2, чтобы получить 6. Нет числа, на которое можно умножить 0, чтобы получить 5.)
Пример 2
Натуральные числа не замыкаются при вычитании. Хотя 8 — натуральное число, 8 − 8 — нет. (8 − 8 = 0, а 0 не является натуральным числом. )
Посмотрите следующее видео с дополнительным объяснением и примерами свойства замыкания.
Математический видео-инструментарий
Свойство закрытия

Коммутативные свойства
Коммутативные свойства говорят вам, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, не влияя на результат.
Пусть a и b представляют собой действительные числа.
Перестановочное свойство сложения
Коммутативное свойство умножения
а + б = б + а
а ⋅ б = б ⋅ а

Коммутативные свойства: примеры
3 + 4 = 4 + 3
Оба равны 7
5 + 7 = 7 + 5
Оба представляют одну и ту же сумму
4 ⋅ 8 = 8 ⋅ 4
Оба равны 32
у 7 = 7 у
Оба представляют один и тот же продукт
5 (3+1) = (3+1) 5
Оба представляют один и тот же продукт
(9 + 4) (5 + 2) = (5 + 2) (9+ 4)
Оба представляют один и тот же продукт

Посмотрите следующие видеоролики, в которых подробно рассказывается о свойствах коммутативности.
Математический видео-инструментарий
Коммутативный закон сложения
Коммутативный закон умножения
Практическое упражнение: Коммутативные свойства
Пришло время применить на практике то, что вы узнали. Вам понадобится лист бумаги и карандаш, чтобы выполнить следующее задание . Запишите нужную цифру или букву в скобках, чтобы утверждение было верным. Используйте коммутативные свойства. Когда вы закончите, не забудьте проверить свои ответы, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.
Практическое упражнение
6 + 5 = ( ) + 6
м + 12 = 12 + ( )
9 ⋅ 7 = ( ) ⋅ 9
6 а = а ( )
4 ( к — 5) = ( ) 4
( 9 ) = (9 ) а b + 7)(9 a − 1)
Проверить ответы
6 + 5 = (5) + 6
м + 12 = 12 + ( м )
9 ⋅ 7 = (7) ⋅ 9
6 а = а (6)
4( к — 5) = ( к — 5)4
(9 a — 1)(2 b + 7) = (2 b + 7)(9 a — 1)
Пример
Упростить (переставить в более простую форму):     5 y 6 b 8 ac 4
В соответствии с коммутативным свойством умножения можно получить все числа и переупорядочить цифры вместе и все буквы вместе.
5⋅6⋅8⋅4⋅ г ⋅ б ⋅ а ⋅ в Умножьте числа
960 ybac
960 абси По соглашению, по возможности пишите все буквы в алфавитном порядке
Используйте приведенный выше пример для выполнения следующего практического упражнения.
Практика
Упростите каждую из следующих величин.
3 A 7 Y D
6 B 8 ACZ 4 ⋅ 5
4 P 6 QR 5
40004 4 P 6 QR QR. Ответы
189 ади
960 абч
72 pqr ( a + b )

Ассоциативные свойства
Ассоциативные свойства сообщают вам, что вы можете группировать величины любым способом, не влияя на результат.
(Let A , B и C Представление реальных чисел.)
.
Ассоциативное свойство умножения
( а + б ) + с = а + ( б + с )
5
5
( аб ) с = а ( до н.э. )
В следующих примерах показано, как можно использовать ассоциативные свойства сложения и умножения.
Ассоциативное свойство сложения
(2 + 6) + 1 = 2 + (6 + 1)
8 + 1 = 2 + 7
9 = 9 оба равны 9
Ассоциативное свойство умножения
(2 ⋅ 3) ⋅ 5 = 2 ⋅ (3 ⋅ 5)
6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 15
30 = 30 оба равны 30
Посмотрите следующие видео для подробного объяснения ассоциативных свойств.
Математический видео-инструментарий:
Ассоциативный закон сложения
Ассоциативный закон умножения
Практическое упражнение: Ассоциативные свойства
Пришло время применить на практике то, что вы узнали об ассоциативных свойствах. Вам нужно будет достать лист бумаги и карандаш, чтобы выполнить следующее задание. Запишите соответствующую цифру или букву в скобках, чтобы сделать утверждение верным. Используйте ассоциативные свойства. Когда вы закончите, не забудьте проверить свои ответы, чтобы увидеть, насколько хорошо вы справились.
Практическое упражнение
(9 + 2) + 5 = 9 + ( )
x + (5 + y ) = ( )+ y
(11 a ) 6 = 11 ( )
Проверить ответы
(9 + 2) + 2 5 = 59 + ( )
х + (5 + у ) = ( х + 5) + у
(11 a ) 6 = 11 ( a ⋅ 6)

Распределительные свойства
Когда вы впервые познакомились с умножением, вы, скорее всего, поняли, что оно было разработано как описание многократного сложения.
Рассмотрим это: 4 + 4 + 4 = 3 ⋅ 4
Обратите внимание, что здесь три четверки; то есть 4 появляется три раза. Следовательно, 3 умножить на 4. Алгебра — это обобщенная арифметика, и теперь вы можете сделать важное обобщение.
Когда число A добавляется неоднократно, то есть N раз, мы имеем A + A + A + ⋯ + A ( A + ⋯ + A ( A + ). , используя умножение как описание многократного сложения, можно заменить a + a + a + ⋯ + a с n ( a ).
Пример 1: x + x + x + x можно записать как 4 x , так как x добавляется 4 раза.
x + x + x + x = 4 x
0298 r так как r повторно добавлено 2 раза.
r + r = 2 r
Распределительное свойство включает в себя как умножение, так и сложение. Взгляните на объяснение ниже.
Переписать 4( a + b ).
ШАГ 1: Вы продолжаете, читая 4 ( a + b ) как умножение: 4-кратное количество ( a + b ).
ШАГ 2: Теперь вы используете коммутативное свойство сложения, чтобы собрать все a вместе и все b вместе.
ШАГ 3: Теперь вы используете умножение как описание повторного сложения.
Это указывает нам написать:
4( а + б ) = 4 а + 4 б
Вы распределили 4 сверх суммы между обоими а и б .
Распределительное имущество
Распределительное имущество
a ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
( б + в ) а = б ⋅ а + в ⋅ а
Because of the commutative property and the convention of writing the variables in alphabetical order, you can also write the following:
b ⋅ a + c ⋅ a as а ⋅ б + а ⋅ в , так ( b + c ) a = a ⋅ b + a ⋅ c тоже.
Распределительное свойство полезно, когда вы не можете или не хотите выполнять операции внутри круглых скобок.
Примеры
Используйте свойство распределения, чтобы переписать каждую из следующих величин.
2( 5 + 7) =
6 ( х + 3) =
( z + 5) y =
Посмотрите следующие видеоролики для подробного объяснения Распределительного свойства.
Математический видео-инструментарий:
Распределительная собственность
Практическое упражнение: Распределительные свойства
Используйте распределительное свойство, чтобы переписать каждую из следующих величин без круглых скобок. Когда вы выполняете операции с использованием распределительного свойства, его часто называют расширение выражения.
Практические упражнения
3 (2 + 1)
( x + 6) 7
4 ( A + Y )
(9 + 2) A 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999499999999ня 4000444499449944994499449999999999999999999999999999999999999999994999499949994999999н. ( x + 5)
1 ( x + y )
Проверить ответы
3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1
6 + 3
7 ⋅ х + 7 ⋅ 6
7 х + 42
4 ⋅ а + 4 ⋅ у
4 а + 4 у
9 ⋅ а + 2 ⋅ а
9 и + 2 и
а ⋅ х + 5 ⋅ а
топор + 5 и
1 ⋅ х + 1 ⋅ г
х + у

Свойства идентичности
Аддитивная идентичность
Число 0 называется аддитивной идентичностью, поскольку при добавлении к любому действительному числу оно сохраняет идентичность этого числа. Ноль — единственная аддитивная идентичность.
Например: 6 + 0 = 6
Мультипликативное тождество
Число 1 называется мультипликативным тождеством, поскольку при умножении 1 на любое действительное число оно сохраняет тождество этого числа. Единица — единственное мультипликативное тождество.
Например: 6 ⋅ 1 = 6.
Свойства идентичности резюмируются следующим образом.
Аддитивное свойство идентичности
Свойство мультипликативной идентичности
IF A — это реальное число, затем A + 0 = A и 0 + A
40075 и 0 + A 999999994494 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = a и 0 + A9
If a is a real number, then a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
Посмотрите следующие видеоролики Академии Хана, чтобы получить дополнительные разъяснения и примеры свойства Identity.
Математический видео-инструментарий:
Свойство аддитивной идентификации 0
Свойство мультипликативной идентичности 1

Свойства инверсии
Аддитивные инверсии
Когда два числа складываются вместе и результатом является аддитивная идентичность 0, числа называются аддитивными инверсиями друг друга.
Пример
Если к −3 прибавить 3, получится 0: 3 + (−3) = 0,
Числа 3 и −3 являются аддитивными инверсиями друг друга.
Чему равна аддитивная величина, обратная −15?
Ответ: 15
Для более подробного объяснения аддитивных инверсий посмотрите следующее видео от Khan Academy.
Обратное свойство сложения

Мультипликативные обратные числа
Когда два числа умножаются вместе и результатом является мультипликативное тождество 1, числа называются мультипликативными обратными друг другу.
Пример
Когда 6 и умножаются вместе, результат равен 1: то есть 6 ⋅ = 1.
Числа 6 и являются мультипликативными обратными друг другу.
Что является мультипликативным, обратным ?
Ответ:
Обратные свойства таковы.
Обратные свойства
Если a — любое действительное число, то существует уникальное действительное число — a , так что a + (− a ) = 0 и — a + a = 0
Числа a и − a называются аддитивными обратными друг другу.
Если a — любое ненулевое действительное число, то существует уникальное действительное число такое, что a ⋅ = 1 и ⋅ a = 1
Числа и и называются мультипликативно обратными друг другу.
Для более подробного объяснения мультипликативных инверсий посмотрите следующее видео от Khan Academy.
Обратное свойство умножения
Упражнение: аддитивное и мультипликативное обратное преобразование
Выполните следующее упражнение, чтобы попрактиковаться в том, что вы узнали об аддитивных и мультипликативных инверсиях, выбрав ссылку ниже.
Практика аддитивных и мультипликативных инверсий
После завершения практики вы можете перейти по следующей ссылке, чтобы посмотреть, как вы справились.
Проверка аддитивных и мультипликативных обратных ответов
Подведение итогов обучения
Знаете ли вы, что действительные числа обладают множеством свойств? Теперь вы должны быть знакомы с замыканием, коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью, тождественностью и обратными свойствами. Буквальные объяснения были включены, чтобы упростить интерпретацию символических объяснений. Взгляните на следующий веб-сайт для дополнительных объяснений свойств действительных чисел.
Свойства действительных чисел
Оценка вашего обучения
Теперь, когда вы внимательно прочитали урок и попытались ответить на вопросы упражнения, пришло время для проверки знаний. Обратите внимание, что этот является градуированной частью этого модуля, поэтому убедитесь, что вы подготовились перед началом.
Завершить обзор арифметики: свойства вещественных чисел.

Ресурс:
«Основные свойства действительных чисел: свойства действительных чисел», Эллис В. и Бурзински Д. © 2009 г.получено с http://cnx.org/content/m21894/1.4/, используется в соответствии с авторством Creative Commons http://creativecommons.org/licenses/by/3. 0/. Эта адаптация урока «Свойства действительных чисел» Национального консорциума информационной безопасности и геопространственных технологий (NISGTC) распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 3.0 Unported License. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/3.0.

Дополнительные атрибуты
Как вводить ответы в WeBWorK
Как вводить ответы в WeBWorK
Предложение: добавить в закладки, сохранить или распечатать эту страницу!
Математические символы, доступные в WeBWorK
+ Дополнение
— Вычитание
* Умножение. Также может быть указано умножение пространством или сопоставлением, которое это просто написание символов рядом друг с другом, например. 2x, 2x или 2*x, а также 2(3+4). Вы можете использовать последнюю форму без пробела, только если недопонимание невозможно. Например, вы бы не ввели 34 для 3*4. Чтобы быть в безопасности, вы всегда должны использовать * для умножение. 9(1/3)).
Все виды скобок и круглых скобок: (…), […], {…}
Синтаксис для ввода выражений
Будьте осторожны при вводе выражений так же, как при вводе выражения в калькуляторе.
Иногда использование символа * для обозначения умножения делает вещи легче читать. Например, (1+2)*(3+4) и (1+2)(3+4) оба допустимы. Так же 3*4 и 3 4 (3 пробела 4, а не 34), но использование * делает ситуацию более понятной.
Используйте (‘s и )’s, чтобы прояснить смысл. Вы также можете использовать [‘s и ]’s и {и}.
Не вводите 2/4+5 (что равно 5,5), если вам действительно нужно 2/(4+5) (что равно 2/9).
Не вводите 2/3*4 (что равно 8/3), если вам действительно нужно 2/(3*4) (что 2/12).
Ввод больших частных с квадратными скобками, напр. [1+2+3+4]/[5+6+7+8], есть хорошая практика.
Будьте осторожны при вводе функций. Всегда полезно использовать скобки при вводе функций. Напишите sin(t) вместо sint или sin t. Но WeBWorK достаточно умен, чтобы принять грех или даже грех. Но sin 2t действительно sin(2)t, то есть (sin(2))*t. Будь осторожен. 94.
Единственный способ убедиться что вы вводите то, что вы хотите ввести, это использование скобки!!!
Используйте «Кнопку предварительного просмотра», чтобы увидеть, как именно выглядит ваша запись. Например. сказать разницу между 1+2/3+4 и [1+2]/[3+4] нажмите «Кнопку предварительного просмотра».
Если задача требует десятичного ответа, укажите не менее четырех знаков после запятой. цифры, или столько, сколько указано в задаче. Например, напишите 2,3453 вместо 2,34.
Интервалы в WeBWork
Какова область определения f(x)=sqrt(x)? При ответе x>=0 (x больше или равно 0). x
log( ) Естественный логарифм
ln( ) Другое название натурального бревна
logten( ) Журнал по основанию 10
угловой синус( )
asin() Другое название для arcsin
арккос( )
acos( ) Другое название arccos
арктан( )
atan( ) Другое название арктана
грех( )
кош( )
тан( )
сек( )
кв.( )
sign( ) Знаковая функция, либо -1, 0, либо 1
step( ) Ступенчатая функция (0, если x < 0, 1, если x >= 0)
fact( ) Функция факториала (определена только для неотрицательных целых чисел)
Калькулятор дробей

Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражений с дробями:
Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта является одновременно знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически конвертируются в дроби — т.е. 1,45 .
Математические символы

Символ Название символа Символ Значение Пример
+ plus sign addition 1/2 + 1/3
— minus sign subtraction 1 1/2 — 2/3
* asterisk multiplication 2/3 * 3/4 
× times sign multiplication 2/3 × 5/6
: division sign division 91/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3
Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.
У Макса 2
У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
Мэтью
У Мэтью восемь карандашей. У трех из них нет ластика на конце. Какая часть карандашей не имеет ластика на конце?
Использование денег
Из 550 000,00 переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована?
Десятичная дробь
Запишите дробь 3/22 в виде десятичной дроби.
Ферма 6
На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
Дробь и десятичная дробь
Пишите в виде дроби и десятичной дроби. Один и два плюс три и пять сотых
Жениться
Жениться В холодильнике было полторы дюжины яиц. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
Энди ответил
Энди неправильно ответил на пять из 15 вопросов в тесте по математике. На какую часть вопроса Энди ответил правильно?
Квартал
Квартал числа 72 это:
Компания
В компании работает 860 человек, из которых 500 женщин. Напишите дробь, обозначающую сотрудниц компании.
Значение Z
При x = -9, каково значение Z, где Z равно числителю дроби x минус 17 над знаменателем 6.5 конец дроби Ответьте с точностью до 2 знаков после запятой.
more math problems »
decimals
fractions
triangle ΔABC
percentage %
permille ‰
prime factors
complex numbers
LCM
GCD
LCD
combinatorics
equations
статистика
… все математические калькуляторы
Умножение и деление десятичных чисел на 10, 100 и 1000 (степень десятка)
Это полный урок с видео и упражнениями, показывающими, прежде всего, общий способ умножения и деления десятичных дробей на степени десяти: вы перемещаете десятичную точку на столько шагов, сколько нулей в числе 10, 100, 1000 и т.д.
Затем я также показываю , где происходит этот ярлык, используя таблицы стоимостных значений. На самом деле перемещение десятичной точки — это своего рода иллюзия, и вместо этого цифр числа перемещаются по таблице разрядности. Это объяснение действительно может помочь учащимся понять причину «уловки» перемещения десятичной точки.
В приведенном ниже уроке более подробно объясняется ярлык, а также различные виды упражнений, словесные задачи и даже забавная загадка для учащихся.

Помните? Когда вы умножаете целые числа на 10, 100, 1000 и т. д. (степени десять), можно просто «пометить» столько нулей на произведении, сколько есть в множителе 10, 100, 1000 и т.д. .
Существует аналогичный ярлык для умножение десятичных чисел на такие числа, как 10, 100 и 1000: .
10 × 0 . 4 9 = 04,9 = 4,9

Переместить десятичную точку на один шаг вправо (10 имеет один ноль).
100 × 2 . 6 5 = 265. = 265

Переместить запятую на два шага вправо (100 имеет два нуля). Число 265. равно 265 (как показано выше).
1000 × 0 . 3 7 0 = 3 7 0 . = 370

1000 означает, что мы перемещаем точку на три шага. Напишите ноль в конце 0,37 так что десятичная точка может «прыгать к тому месту.
1. Умножить.
а. 10 × 0,04 = ________
б. 100 × 0,04 = ________
г. 1000 × 0,04 = ________
д. 10 × 0,56 = ________
эл. 100 × 0,56 = ________
ф. 1000 × 0,56 = ________
г. 10 × 0,048 = ________
ч. 100 × 0,048 = ________
я. 1000 × 0,048 = _______

Еще один полезный ярлык! Поскольку 100 × 2 = 200, очевидно, что ответ на
100 × 2,105 будет чуть больше 200. Следовательно, вы можете просто написать цифры
2105 и поставьте запятую так, чтобы ответ был 200 с чем-то: 210,5 .
2. Потренируемся еще.
а. 100 × 5,439 = ________
б. 100 × 4,03 = ________
в. 1000 × 3,06 = ________
д. 100 × 30,54 = ________
эл. 30,73 × 10 = ________
ф. 93,103 × 100 = _______
10 ⁵ × 0 . 1 2 0 0 0 = 12 000. = 12 000 90 418

10 ⁵ = 100 000 имеет пять нулей. Снова напишите дополнительные нули, чтобы десятичная дробь точка может «перепрыгнуть» в эти места.
3. Теперь давайте попрактикуемся в использовании степени десяти.
а. 10 ² × 0,007 = _____________
     10 ³ × 2,01 = _____________
   10 ⁵ × 4,1 = ______________
б. 10 ⁵ × 41,59 = _____________
   3,06 × 10 ⁴ = ______________
   0,046 × 10 ⁶ = _______
Ярлык для деления на 10, 100 и 1000 (десятые степени) аналогичен. Сможешь угадать?
Переместить десятичную точку в (влево/вправо) на столько разрядов (шагов), сколько _________________________ в коэффициенте 10, 100 или 1000.
0 0 2 . 8 ÷ 100 = 0,028

Переместить десятичную точку два шага до ____________. Перед числа нужно написать нули .
0 0 0 5 6.   ÷ 10 ⁴ = 0,0056
Переместить десятичную точку четыре шага до ____________. Перед номером нужно написать нули.
4. Разделить.
а. 0,4 ÷ 10 = ________
     0,4 ÷ 100 = ________
     4,4 ÷ 100 = ________
б. 15,4 ÷ 100 = ________
    21.03 ÷ 10 = ________
    0,39 ÷ 10 = ________
г.   5,6 ÷ 10 = ________
   34,9 ÷ 100 = ________
   230 ÷ 1000 = ________
5. Теперь давайте попрактикуемся в использовании степени десяти.
а.   0,7 ÷ 10 ² = _____________
     45,3 ÷ 10 ³ = _____________
     568 ÷ 10 ⁵ = _____________
б.    2,1 ÷ 10 ⁴ = _______
    4 500 ÷ 10 ⁶ = _______
9.13 ÷ 10 ³ = _____________

Почему этот ярлык работает?
Когда 0,01 (сотка) умножается на десять, мы получаем десять сотых, что равно одной десятой. Или 10 × 0,01 = 0,1.
Все число переместилось на одну «ячейку» влево на диаграмме разрядности. это выглядит как , перемещая десятичную точку в числе вправо.

О т ч номер
0 . 0 1

О т ч номер
0 . 1
сто раз два десятых — это как умножить каждую десятую на 10, а на 10 опять таки. Десять раз по две десятых дает нам два, и десять раз, что дает нам 20,
Опять же, это похоже на перемещение числа на два «слота» влево в таблице разрядов или перемещение десятичной точки в 0,2 на два шага вправо.

Т О т ч номер
0 0 . 2

Т О т ч номер
2 0 .
При умножении 3,915 на 100 получаем 391,5. Каждая часть число (3, 9 десятых, 1 сотая, 5 тысячных) умножается на 100, поэтому каждый из них перемещается на два «слота» в график стоимости места. Этот идентично мышлению о том, что десятичная точка перемещается на два шаги вправо.
Н Т О т ч номер
3 . 9 1 5

Н Т О т ч й
3 9 1 . 5
Аналогичный ярлык для деления работает потому что деление — это противоположное действие умножения — оно «отменяет» умножение. Если мы переместим десятичную точку в справа при умножении на 10, 100, 1000 и так далее, то это вполне естественно, что правило деления будет работать «наоборот».
Дроби против деления. Если мы переместим десятичную точку решать 6 ÷ 100, получаем:
0 0 6 . 0 ÷ 100 = 0,060 = 0,06

Запишем 6 ÷ 100, используя дробную черту: это 6/100 или 6 сотых, что записывается как 0,06 в виде десятичной дроби. Таким образом, в этом случае вам не нужно как «ярлык», но вы можете просто думать о дробях и десятичных дробях. Такие «связи» делают математику такой изящной!
6. Разделить. Подумайте о дробях в десятичные дроби или используйте ярлык. Сравните задачи в каждой коробке!
а. 2

100 =

2.1

100 =
б. 49

1000 =

490

1000 =
в. 6

10 =

6,5

10 =
д. 5

10 =

5,04

10 =
эл. 4,7

10 =

4,7

100 =
ф. 72

100 =

72,9

100 =
7. 10-фунтовый мешок орехов стоит 72 доллара.
    Сколько стоит один фунт?
8. Найдите цену 100 мячи для пинг-понга, если один мяч для пинг-понга стоит 0,89 доллара.
Больше размышлений о дробях и десятичных дробях
Если мы разделим любое целое число на 1000, в ответе будет тысячных или три десятичные цифры. Это упрощает деление целых чисел на 1000: просто скопируйте делимое как ваш ответ (без запятых), а затем сделать его три десятичных цифры :
Примеры:
819 302

1000 = 819,302

41 300

1000 = 41,300 = 41,3

8000

1000 = 8,000 = 8
Обратите внимание, что в последних двух случаях мы можем упростите результаты: от 41 300 до 41,3 и от 8 000 до 8,90 005
9. Разделите целые числа на 1000. Упростите окончательный ответ, отбросив все десятичные дроби в конце. нули.
а. 239

1000 =
б. 35 403

1000 =
в. 67

1000 =
д. 263 000

1000 =
эл. 3890

1000 =
ф. 1 692 400

1000 =
г. 12 560 000

1000 =
ч. 9

1000 =
и. 506 940

1000 =
Аналогично:
Если вы разделите любое целое число на 10 , скопируйте делимое и сделайте его равным одна десятичная цифра .
Если вы разделите любое целое число на 100 , скопируйте делимое и пусть будет две десятичные цифры .
Примеры:
72

10 = 7,2

3090

100 = 30,90 = 30,9

74 992

100 = 749,92

82 000

10 = 8200,0 = 8 200
10. Делить целые числа на 10 и 100.
а. 239

100 =
д. 89 803

100 =
г. 69

10 =
б. 239

10 =
эл. 26 600

100 =
ч. 69

100 =
в. 23 133

100 =
ф. 3 402

100 =
и. 9

10 =
11. Найдите одну десятую…
а. $8
б. 25,50 $
г. 126 $
12. Найдите одну сотую…
а. $78
б. 4 доллара
г. 390 $

13. Пара обуви стоимостью 29 долларов была уценена на 3/10 ее цены. Какова новая цена?( Подсказка: Сначала найдите 1/10 цены. )

14. Найдите цену со скидкой:
а. Велосипед стоимостью 126 долларов продается со скидкой 2/10 его цены.

б. Сотовый телефон за 45 долларов продается со скидкой 5/100 его цены.
             ( Подсказка: Сначала найдите 1/100 цены. )
15. Сотая часть определенного числа составляет 0,03. Какой номер?

16. Какой пылесос окажется дешевле? Модель
A с начальной ценой 86,90 долларов США продается со скидкой в размере 3/10 от ее цены.
Модель B сейчас стоит 75 долларов, но вы получите скидку в размере 1/4 его цены.

Важный совет
В задаче ____ × 3,09 = 309, число 3 становится 300, поэтому очевидно, что
недостающий множитель равен 100. Вам даже не нужно учитывать десятичную дробь. точка!
То же самое работает и с делением. В проблеме 7 209 ÷ знак равно 7.209, пропущенный делитель
— это одна тысяча, потому что значение цифры 7 было сначала 7000, а потом стало 7.
Конечно в некоторых задачах это будет легче думать в терминах «перемещение десятичной точки».
17. Пришло время для некоторых финальная практика. Найдите недостающие числа. Соедините букву каждой задачи с правильным ответом в клеточках и решить загадку. Есть два набора ящиков. Первые коробки относятся к первому набору упражнений, а вторые — ко второму набору.
Почему 7 не понял о чем 3.14?
E ____ × 0,04 = 40
D ____ × 9,381 = 938,1
Н 1000 × 4,20 =
D ____ × 7,31 = 731
T ____ × 0,075 = 0,75
I 10 × 3,55 = ______
N 100 × ______ = 4,2
S   1000 × ______ = 355
E ____ × 60,15 = 60 150
4 200 1000 100 35,5 100 0,042 10 0,355 1000 1000

’
T _____ ÷ 100 = 0,42
P _____ ÷ 10 = 2,3
N _____ ÷ 1000 = 4,2
Н

100 = 2,3
я

10 = 0,42
S 0,31 ÷ _____ = 0,031
О 4 360 ÷ _____ = 4,36
I 304,5 ÷ _____ = 3,045

230 100 10 23 1000 4,2 4 200 42

Я также предлагаю бесплатные рабочие листы:
Рабочие листы для умножения десятичных дробей на степени десяти
Рабочие листы для деления десятичных дробей на степени десяти .

admin
Навигация по записям
Постельное белье размер семейное: Размеры постельного белья
Стих про семью короткий детский: Стихи о семье для детей короткие, трогательные и веселые
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Рубрики
Воспитывать
Дети
Подросток
Правильно
Разное
Рекомендации
Советы
2024 © Все права защищены.

Семейные советы
Как правильно ?
Дети
Воспитание

Операция	Результат
x + y	Сложение (сумма x и y)
x – y	Вычитание (разница между x и y)
-x	Смена знака x
+x	Тождественность x
x * y	Умножение x на y
x / y	Деление x на y
x // y	Получение целой части от деления x на y
x % y	Остаток от деления x / y
x ** y	Возведение в степень

Перестановочное свойство сложения	Коммутативное свойство умножения
*а + б = б + а*	*а ⋅ б = б* ⋅ а**

Коммутативные свойства: примеры
3 + 4 = 4 + 3	Оба равны 7
5 + 7 = 7 + 5	Оба представляют одну и ту же сумму
4 ⋅ 8 = 8 ⋅ 4	Оба равны 32
у 7 = 7 у	Оба представляют один и тот же продукт
5 (3+1) = (3+1) 5	Оба представляют один и тот же продукт
(9 + 4) (5 + 2) = (5 + 2) (9+ 4)	Оба представляют один и тот же продукт

5⋅6⋅8⋅4⋅ г ⋅ б ⋅ а ⋅ в	Умножьте числа
960 ybac
960 абси	По соглашению, по возможности пишите все буквы в алфавитном порядке

Ассоциативное свойство сложения
(2 + 6) + 1	=	2 + (6 + 1)
8 + 1	=	2 + 7
9	=	9	оба равны 9

Ассоциативное свойство умножения
(2 ⋅ 3) ⋅ 5	=	2 ⋅ (3 ⋅ 5)
6 ⋅ 5	=	2 ⋅ 15
30	=	30	оба равны 30

Распределительное имущество
a ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c	( б + в ) а = б ⋅ а + в ⋅ а

Аддитивное свойство идентичности	Свойство мультипликативной идентичности
IF A — это реальное число, затем A + 0 = A и 0 + A 40075 и 0 + A 999999994494 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = a и 0 + A9	If a is a real number, then a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a