1) Если есть скобки, выполняю первым действие, записанное в скобках.

2) Выполняю по порядку умножение и деление.

3) Выполняю по порядку сложение и вычитание.

Данный алгоритм задает порядок действий достаточно однозначно, хотя и с небольшими вариациями. Например:

^{2 1 2 1}

100-21:3 = 100-7 = 93 60 + 9-3 = 60 + 27 = 87

3 2 1

30+6 • (13 — 9) = 30 + 6 • 4 = 30 + 24 = 54

В этих выражениях порядок действий определен алгоритмом однозначно и является единственно возможным. Приведем другие примеры:

3 14 2 5

54 16 • 3 — 72 :81 6 = 54 + 18 — 72 : 8 + 6 = 54 + 18 — 9 + 6 = 72 —9 + 6=63 + 6 = 69

После выполнения умножения и деления в данном примере можно было сразу к 54 прибавить 6, а из 18 вычесть 9, после чего результаты сложить. Технически было бы значительно легче, чем путь, обусловленный алгоритмом, возможен изначально другой порядок действий в примере:

3 2 4 1 5

54 + 6^3-72:8 + 6 — этот путь не противоречит алгоритму, хотя также не является рациональным.

Таким образом, вопрос о формировании умения определять порядок действий в выражениях в начальной школе определенным образом противоречит необходимости обучать ребенка способам рациональных вычислений.

Например, в случае порядок действий определен алгоритмом

43

абсолютно однозначно, при этом требует от ребенка сложнейших вычислений в уме с переходами через разряд: 42 — 7 и 35 + 8.

Если же после выполнения деления 21:3, выполнить сложение 42 + 8 = 50, а затем вычитание 50 — 7 = 43, что намного легче технически, ответ будет тот же. Этот путь вычислений противоречит установке данного в учебнике алгоритма, хотя и является рациональным.

В общем можно сказать, что изменять порядок действий, оговоренный правилом, можно только в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения (сочетательный и распределительный). Для того, чтобы научить ребенка распознавать такие случаи, необходимо реализовать при обучении математике специальную систему формирования

рациональных вычислений. Одним из элементов этой системы является знакомство ребенка с признаками делимости чисел.

Признаки делимости

Признаки делимости как таковые не рассматриваются в начальной школе специально.. Единственным признаком делимости, рассматриваемым в новом учебнике математики можно считать понятие о четности натуральных чисел в учебнике 3 класса:

Числа, которые делятся на 2, называются четными, а числа, которые не делятся на 2, — нечетными.

Однако целью введения данного определения является не столько знакомство детей с одним из признаков делимости (являющимися крайне полезными с точки зрения формирования вычислительных умений и рациональных вычислений), что видно из формы построения определения, а знакомство детей с еще одним математическим термином (понятием), определенным по соглашению (методом сообщения ребенку термина и его значения).

Умение применять признаки делимости для рационализации вычислений является важным и полезным умением перспективного характера, сохраняющим свою ценность в старших классах.

Признак делимости на 2:

Если последняя цифра числа делится на 2, то и само число разделится на 2.

Например:

49 — последняя цифра 9 на 2 не делится, значит, и все число на 2 не разделится.

12 345 678 — последняя цифра 8 на 2 делится, значит, и все число на 2 разделится.

12 345 678 : 2 = 6 172 839

Признак делимости на 3:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число разделится на 3.

Например:

375 — сумма цифр 3 + 7 + 5= 15 делится на 3, значит, и само число разделится на 3. 375 : 3 = 125.

679 — сумма цифр 6 + 7 + 9 = 22 не делится на 3, значит, и само число не разделится на 3.

Признак делимости на 4:

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число разделится на 4.

Например:

3732 — две последние цифры образуют число 32, которое делится на 4, значит число 3732 разделится на 4. 3732 : 4 = 933.

Число 3700 также разделится на 4, поскольку две последние цифры — это нули, а нуль делится на любое число. 3700 : 4 = 925.

Признак делимости на

5:

Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5.

Например:

3700 — делится на 5,3705 — делится на 5, а 3703 — не делится на 5. Признак делимости на 9:

Если сумма цифр числа делится на9, то и само число разделится на 9.

Например:

7245 — сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5 =18 делится на 9, значит и само число разделится на 9. 7245 : 9 = 805.

7234 — сумма цифр 7 + 2 + 3 + 4 = 16 не делится на 9, значит и само число не разделится на 9.

Признак делимости на 10:

Если число оканчивается цифрой 0, то оно разделится на 10.

Это единственный признак делимости, рассмотренный в учебнике математики для 4 класса в виде: «Чтобы число разделилось без остатка на 10, достаточно, чтобы в его записи на конце был хотя бы один нуль».

Следует отметить, что данное требование не только достаточное условие, но и необходимое.

Как следствие этого признака делимости, можно рассматривать признак делимости без остатка на 100 (1000): для делимости числа на разрядную единицу нужно, чтобы число имело такое же количество нулей на конце.

Признак делимости на 6: ^N

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно разделится на 6.

Аналогичным образом можно определить делимость на 8. Она следует из одновременной делимости на 2 и на 4.

Вопрос о делимости натуральных чисел предполагает, что речь идет о делении нацело, т. е. без остатка. Таким образом, он предваряет знакомство детей с понятием «деление с остатком».

Как считать на абакусе | Правила счета

24.12.2020

Система ментального счета или ментальная арифметика позволяет научить детей очень быстро выполнять в уме все арифметические действия. Для обучения используется специальная счетная доска – абакус. Сначала дети учатся выполнять арифметические действия с помощью этого приспособления, а затем начинают производить все действия в уме.

Содержание:

• Как считать на абакусе
• Правила счета
• Сложение и вычитание на абакусе
• Умножение и деление

Изобрели абакус еще в Месопотамии примерно в третьем тысячелетии до нашей эры. Подобные счетные приборы применялись практически во всех странах – Древней Греции, Риме, Египте, Китае, Индии, Японии.

В наши дни все расчеты ведутся с помощью вычислительной техники. А абакус стал главным инструментом методики развития интеллектуальных способностей – ментальной арифметики. Начинать занятия можно с раннего возраста, когда ребенок научится считать до десяти.

Как считать на абакусе

Счеты представляют собой прямоугольную рамку с вертикальными спицами. Рамка поделена поперечной перекладиной на две неравные части. На спицах нанизаны костяшки – снизу по четыре штуки, а сверху по одной. Общее количество спиц может отличаться в зависимости от модели счетной доски.

Для счета на абакусе надо запомнить несколько основных правил:

• числа на счетной доске набирают слева направо;
• нижние костяшки обозначают числа от 1 до 4, верхняя костяшка – соответствует числу 5;
• опущенная верхняя косточка обозначает, что число больше пяти;
• каждая спица соответствует одному разряду – единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее.

Чтобы изобразить число на счетах, необходимо подвести к внутренней перекладине соответствующее количество костяшек. К примеру, для числа 6 нужно подвинуть на крайней левой спице вниз верхнюю косточку (5) и поднять одну нижнюю (1). Аналогично отображается, например, число 66.

Только для этого надо задействовать две спицы – одну для единиц, вторую для десятков.

А ваш ребенок уже пробовал считать на абакусе? Это очень увлекательно и отлично развивает интеллект, концентрацию, внимание, творческие способности. Выяснить, понравятся ли вашему ребенку необычные занятия по математике, можно на бесплатном интерактивном уроке в нашем центре. Скорее всего, малыш решит, что у него появилось новое интересно развлечение, а вы удивитесь эффективности ментальной математики. Проверим?

Получить бесплатный урок

Правила счета

Дети очень быстро учатся считать на абакусе, достаточно объяснить им принцип и показать несколько примеров. Для счета единиц используется одна рука – правая, если нужно считать десятки и единицы, то используются обе руки.

Руку нужно сжать в кулак, выпрямив большой и указательный пальцы. Нижние косточки поднимают большим пальцем, а опускают – указательным. С верхней костяшкой работают только указательным пальцем. Если надо добавить косточки сверху и снизу, то это делают одновременно двумя пальцами. Аналогично осуществляют и удаление костяшек.

См. также Японские счеты соробан

Сложение и вычитание на абакусе

Складывать и вычитать с помощью счетной доски очень просто. Сначала на абакусе набирают первое число, к нему на соответствующих спицах добавляют второе число. Складывать начинают с меньшего из двух чисел. Если на спице получается больше 9 косточек, то добавляют одну костяшку на соседней.

При вычитании из первого числа убирают нужное количество косточек на каждой спице. В этом случае первым на абакусе устанавливают большее число.

Сложение и вычитание двух- и трехзначных чисел задействует обе руки. В результате одновременно работают оба полушария мозга и стимулируется мелкая моторика. Через некоторое время сам счетный прибор становится уже ненужным, ребенок начинает работать с косточками на воображаемой доске.

Умножение и деление

Для умножения на абакусе ребенок должен выучить таблицу умножения от 1 до 10. Умножение идет по принципу от большего к меньшему. Для двузначных чисел это означает, что сначала десятки умножают на единицы, потом перемножают между собой единицы.

Рассмотрим простой пример – 11х6. Он считается в два действия:

1. 10х6 = 60
2. 1х6 = 6

Сначала набираем на абакусе число 60, потом к нему добавляем 6. В итоге получаем нужный ответ 66.

Деление на счетной доске производится по аналогичному принципу, только числа не складываются, а вычитаются.

См. также Что такое абак

Правило PEMDAS

PEMDAS — это правило, которое можно использовать для упрощения или вычисления сложных числовых выражений с помощью более чем одной бинарной операции.

Очень простой способ запомнить правило PEMDAS!

P —-> Скобки

E —-> Показатель степени 

M —-> Умножить

D —-> Разделить

A — —> Добавить

С —-> Вычесть

Важные примечания:

1. При упрощении конкретного числового выражения, если есть и умножение, и деление, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.

2. Всегда нельзя ожидать умножения раньше деления. Делайте одно за другим в порядке слева направо.

3. При упрощении конкретного числового выражения, если присутствуют и сложение, и вычитание, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.

Примеры:

18 ÷ 9 x 5 = 2 x 5 = 10

20 — 5 + 7 = 15 + 7 = 22 

При упрощении двух приведенных выше числовых выражений мы имеем как деление, так и умножение. Слева направо сначала идет деление, а затем умножение. Итак, сначала выполните деление, а затем умножение.

Примечание:

Внутри круглых скобок, если есть две или более операций, следуйте правилу PEMDAS внутри круглых скобок.

Задача 1 :

Оценка :

12 + 4 x 3,25

Решение :

Умножить —-> = 12 + 4 x 3,25

Сложить —-> = 12 + 13

Ответ — —> = 25

Задача 2 :

Оценка :

35 ÷ 7 + 2 ²  

Решение :

Показатель степени —-> = 35 ÷ 7 + 2 ²

Разделить —-> = 35 ÷ 7 + 4

Сложить —-> = 5 + 4

Ответ ——> = 9

Задача 3 :

Оценить :

2,5 x (13 — 5)

Решение:

Скобки —-> = 2,5 x (13 — 5)

Умножить —-> = 2,5 x 8

Ответ —-> = 20

Задача 4:

Оценка:

45 ÷ (6 + 3) x 3 -6 ÷ 2

Решение:

Словах —-> = 45 ÷ (6 + 3) x 3 -6 ÷ 2

Разделить —-> = 45 ÷ 9 x 3 — 6 ÷ 2

Умножить —-> = 5 x 3 — 6 ÷ 2

Разделить —-> = 15 ÷ 6 ÷ 2

Вычесть —-> = 15 — 3

Ответ —-> = 12

Задача 5 :

Вычислить:

48 — 3(16 + 15 ÷ 5 x 3 — 2 x 3) + 8

Решение:

Скобки —-> = 48 — 3 (16 + 15 ÷ 5 x 3 — 2 x 3) + 8

Разделить —-> = 48 — 3 (16 + 15 ÷ 5 x 3 — 2 x 3) + 8

Умножить —-> = 48 — 3(16 + 3 x 3 — 2 x 3) + 8

Умножить —-> = 48 — 3(16 + 9 — 2 x 3) + 8

Сложить —-> = 48 — 3(16 + 9 — 6) + 8

Скобки — -> = 48 — 3(25 — 6) + 8

Умножить —-> = 48 — 3(19) + 8

Вычесть —-> = 48 — 57 + 8

Вычесть — -> = -9 + 8

Ответ —-> = -1

Задача 6 :

Оценка :

7 + [(25 — 1) ÷ (3 ²  — 3)] — 3

Решение:

Скобки —-> = 7 + [(25 — 1) ÷ (3 ²  — 3)] — 3

Скобки —-> = 7 + [(25 — 1) ÷ (3 ²  — 3)] — 3

Показатель степени —-> = 7 + [ 24 ÷ (3 ²  — 3)] — 3

Скобки —-> = 7 + [24 ÷ 6] — 3

Сложить —-> = 7 + 4 — 3

Вычесть — -> = 11 — 3

Ответ —-> 8

Задача 7 :

Оценка :

(63 ÷ 7) + 22 x (9 + 1) ÷ 11

Решение : 9000 3

Скобки = (63 ÷ 7) + 22 х (9 + 1) ÷ 11

Скобки —-> = 9 + 22 x (9 + 1) ÷ 11

Умножить —-> = 9 + 22 x 10 ÷ 11

Разделить —-> = 9 + 220 ÷ 11

Добавить —-> = 9 + 20

Ответ —-> = 29

Задача 8:

Оценка:

(146-2) ÷ (3 x 4)-15 +

Решение:

Скобки —-> = (146 — 2) ÷ (3 x 4) — 15 + 9

Скобки —-> = 144 ÷ (3 x 4) — 15 + 9

Разделить —-> = 144 ÷ 12 — 15 + 9

Вычесть —-> =  12 — 15 + 9

Вычесть —-> = -3 + 9

Ответ —-> = 6

Задача 9 :

Вычислить:

78 ÷ 13 + (24 — 12) x 5

Решение:

Скобки —-> = 78 ÷ 13 + (24 — 12) x 5

Разделить —-> = 78 ÷ 13 + 12 x 5

Умножить —-> = 6 + 12 x 5

Сложить —-> = 6 + 60

Ответ ——> = 66

Задача 10 :

Оценить :

(24 + 1) x 2 ÷ (13 — 3) — 19

Решение:

Скобки —-> = (24 + 1) x 2 ÷ (13 — 3) — 19

Скобки — —> = 25 x 2 ÷ (13 — 3) — 19

Умножить —-> = 25 x 2 ÷ 10 — 19

Разделить —-> = 50 ÷ 10 — 19

Вычесть — —> = 5 — 19

Ответ —-> = -14

Задача 11 :

Оценка :

[12 — 36 ÷ (4 ²  — 4) ÷ 3 + 2] x 5

Решение:

Скобки —-> = [12 — 36 ÷ (4 ²  — 4) ÷ 3 + 2] x 5

Скобки —-> = [12 — 36 ÷ (4 ²  — 4) ÷ 3 + 2] x 5

Показатель степени —-> = [12 — 36 ÷ (4 ²  — 4) ÷ 3 + 2] x 5

Скобки —-> = [12 — 36 ÷ (16 — 4) ÷ 3 + 2] x 5

Разделить —-> = [12 — 36 ÷ 12 ÷ 3 + 2] x 5

Разделить —-> = [12 — 3 ÷ 3 + 2] x 5

Вычесть —-> = [12 — 1 + 2] x 5

Сложить —-> = [11 + 2] x 5

Умножить —-> = 13 x 5

Ответ —-> = 65

Задача 12 :

Оценка :

a ³  — (b ^{2 9006 1  + в) 2 ÷ a + (bc + a)}

, если a = 4, b = -3 и c = 7.

Решение:

a ³  — (b ²  + c) ² ÷ a 900 60 3 + (bc + a)

Подставить a = 4, b = -3 и c = 7.

4 ³  — ([(-3) ²  + 7) ² ÷ 4 ³  + [(-4)7 +7]

Оценка :

Скобки —-> = 4 ³  — [(-3) ²  + 7] ² ÷ 4 ³ + [(-4)7 + 7]

Показатель степени —-> = 4 ³  — [(-3) ²  + 7] ² ÷ 4 ³  + [(-4)7 + 7]

Скобки —-> = 4 ³  — [9 + 7] ² ÷ 4 ³  + [(-4)7 + 7]3

Скобки —-> = 4 ³  — 16 ² ÷ 4 ³  + [(-4)7 + 7]

Умножить —-> = 4 ³  — 16 ² ÷ 4 ³  + [(-4)7 + 7]

Скобки —-> = 4 ³  — 16 ² ÷ 4 ³  + [-28 + 7]

Показатель степени —-> = 4 ³  — 16 ² ÷ 4 ³  + [-21]

90 002 Показатель степени —-> = 64 — 16 ² ÷ 4 ³  + [-21]

Показатель степени —-> = 64 — 256 ÷ 4 ³  + [-21]

Разделить —-> = 64 — 2 56 ÷ 64 + [-21]

Умножить —-> = 64 — 4 + [-21]

Вычесть —-> = 64 — 4 — 21

Вычесть —-> = 60 — 21

Ответ —- > = 39

Задача 13:

Оцените следующее выражение для x = -1 и y = 2:

x ²  + 3y ³

Решение:

= х ² + 3 года ³

Замените x = -1 и y = 2.

= (-1) ²  + 3(2) ²

Оценка:

Показатель степени —-> = (-1) ²  + 3(2) ²

Показатель степени —-> = 1   + 3(2) ^{2 9 0061}

Умножить —-> = 1   + 3(4)

Сложить —-> = 1   + 12

Ответ —-> 13

Задача 14 :

Оцените следующее выражение для x = 1 и y = 1.

(y ³  + x) ÷ 2 + x

Решение:

= (y ³  + x) ÷ 2 + x

Замените x = 1 и y = 1.

= (1 ³  + 1) ÷ 2 + 1

Оценка:

Скобки —-> = (1 ³  + 1) ÷ 2 + 1

Показатель степени —-> = (1 ³  + 1) ÷ 2 + 1

Скобки —-> = (1 + 1) ÷ 2 + 1

Разделить —-> = 2 ÷ 2 + 1

Сложить —-> = 1 + 1

Ответ —-> = 2

Задача 15 :

Оценить следующее выражение для y = 3 и z = 7,

z ³  — (y ÷ 3 — 1)

Решение:

= z ³  — (y ÷ 3 — 1)

Sub подставьте y = 3 и z = 7.

= 7 ³  — (3 ÷ 3 — 1)

Вычисление:

Скобки —-> = 7 ³  — (3 ÷ 3 — 1)

Разделить —-> = 7 90 060 3 — (3 ÷ 3 — 1)

Скобки = 7 ³  — (1 — 1)

Показатель степени —-> = 7 ³  — 0

Ответ —-> = 243

Задача 16 :

Оценка :

Решение :

Задача 17 :

Каково значение

если а = -1/2, б = 3/ 2 и с = 5/2?

Решение:

Задача 18:

Чему равно число

, если p = 4, q = 1/2 и r = 2?

Решение:

Нажмите здесь, чтобы получить пошаговые ответы на приведенные выше вопросы.

Пожалуйста, присылайте ваши отзывы на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Порядок операций – PEMDAS – Математические тайны

Правило PEMDAS – onlinemath5all.com

Определение

Порядок операций в математике – это последовательность, в которой решается задача. Изучите определение и примеры порядка операций в математике, откройте для себя необходимые шаги и изучите ярлык для запоминания шагов, определяемых аббревиатурой 9.0591 ПЕМДАС . ¹

Кто

Для тех, кто не знает, как применять PEMDAS . Эта тема, кажется, является самой неправильно понятой темой, которую меня просили объяснить.

What

В математике мы выполняем такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление, которые регулируются порядком выполнения. Правило PEMDAS — одно из правил, эквивалентных правилу BODMAS.

Почему

См. Теоретические знания и практическое применение.

Как

Порядок действий – SplashLearn

Порядок действий Шаги

Шаги, которые мы используем для решения любого математического выражения: ¹

1. Упростить все скобки эс . Сюда входят все формы группирующих символов, такие как квадратные и фигурные скобки, в дополнение к скобкам.
2. Упростить все показатели .
3. Упростить все операции умножения и деления слева направо . При упрощении умножения и деления работайте слева направо.
4. Упрощение всех операций сложения и вычитания слева направо . Опять же, при упрощении сложения и вычитания работайте слева направо.

Следуя этому порядку, мы все сможем решить проблему и получить одинаковое решение.

PEMDAS

Помните, что шаги умножения и деления — это один шаг. Мы выполняем все умножение и деление за один шаг слева направо. Умножение не всегда предшествует делению; они работают в том порядке, в котором они появляются. Это справедливо и для сложения и вычитания. Они выполняются на одном шаге слева направо . Мне проще всего запомнить эти шаги, запомнив фразу Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли , где: поненты –  Извините
9 3+ = 7 + 166375 = 166382

12 / 6 × 3 / 2
Ответ: 12 / 6 × 3 / 2 = (12 / 6) × 3 / 2 = 2 × 3 / 2 = 6 / 2 = 3

8 + (16 × 52 – 10)
Ответ: 8 + (16 × 52 – 10) = 8 + ((16 × 25) – 10) = 8 + (400 – 10) = 8 + (390) = 398

7 х 3 + 10 х (25 ÷ 5)
Ответ: 7 х 3 + 10 х (25 ÷ 5) = 7 х 3 + 10 х (5) = 21 + 50 = 71

6 ÷ 2 × 3
Ответ: (6 ÷ 2) × 3 = 3 × 3 = 9

Многие из Ссылки и Дополнительное чтение Веб-сайты и Видео помогут вам использовать PEMDAS .

Как говорят некоторые профессора: «Это интуитивно очевидно даже для самого случайного наблюдателя».

Ссылки

¹ «Каков порядок операций в математике? – Определение и примеры». 2021. Study.com . https://study.com/academy/lesson/order-of-operations.html.

² «Что такое порядок операций? — Определение, факты и примеры». 2021. splashlearn.com . https://www.splashlearn.com/math-vocabulary/алгебра/порядок-операций.

Дополнительное чтение

«Порядок операций — PEMDAS». 2021.  mathsisfun.com . https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html.

«Объяснение PEMDAS — как работает PEMDAS?». 2021.  thecalculatorsite.com . https://www.thecalculatorsite.com/articles/math/how-does-pemdas-work.php.

PEMDAS  это мнемоническая аббревиатура для порядка операций в математике: круглые скобки; экспоненты; умножать или делить; добавить или вычесть. Когда в одном выражении есть несколько операций, важно вычислить их в правильном порядке (сначала скобки, потом показатели степени.