шаблонов чисел | Определение, примеры, типы, порядок и идентификация

Введение

Когда мы думаем о математике, первое, что приходит нам на ум, это числа. Мы знаем о различных типах чисел, которые были определены, таких как натуральные числа, целые числа, десятичные числа, дроби и так далее. Каждый набор чисел имеет свою уникальную характеристику, которая делает его набором. Например, набор четных чисел состоит из всех чисел, которые делятся на 2. Точно так же простые числа — это числа, которые не делятся полностью ни на какое другое число, кроме самих себя и числа 1. Глядя на эти примеры, можем ли мы сказать, что числа можно поставить в виде шаблона? Давайте узнаем.

Числа и первичные шаблоны

Числовой шаблон говорит об общих отношениях между данным набором чисел. Другими словами, числовой образец — это образец или последовательность в данной серии чисел. Давайте теперь обсудим некоторые закономерности, образованные первичными числами.

Образцы четных и нечетных чисел

Мы знаем о натуральных числах. Натуральные числа — это числа, которые начинаются с 1 и продолжаются до бесконечности. Они имеют форму 1, 2, 3, 4 и так далее. Натуральные числа образуют два типа узоров в зависимости от того, четные они или нечетные. Напомним, что нечетные числа — это числа, при делении которых на 2 в остатке остается 1. Другими словами, нечетные числа — это числа, которые не делятся на 2. Итак, как определяется шаблон нечетных чисел? Числовой шаблон нечетных чисел определяется числами, начинающимися с 1,3, 5, 7, 9.и так далее. Математически этот шаблон для натуральных чисел также можно представить следующим образом на числовой прямой.

Таким образом, нечетные натуральные числа представляют собой 1, 3, 5, 7, 9, 11 и так далее.

Аналогично, вспомним, что мы понимаем под четными числами. Четные числа — это числа, которые при делении на 2 оставят в остатке 0. Другими словами, четные числа — это числа, которые полностью делятся на 2. Итак, как определяется закономерность четных чисел? Арифметический образец четных чисел задается 2, 4, 6, 8, 10 и так далее. Математически этот шаблон для натуральных чисел также может быть представлен на числовой прямой как — 

Таким образом, четные натуральные числа состоят из 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее.

Теперь давайте узнаем о закономерностях некоторого набора чисел.

Образцы чисел простых и составных чисел

Одним из наиболее часто используемых образцов чисел в наших начальных классах являются простые и составные числа. Напомним, что мы понимаем под простыми числами. Числа, которые больше 1 и имеют только два делителя, то есть число 1 и само число, называются простыми числами. Поэтому число, имеющее только два делителя, называется простым числом. С другой стороны, числа, имеющие более двух делителей, называются составными числами. Рассматривая числа от 1 до 10, мы можем сказать, что числа 2, 3, 5 и 7 являются простыми числами, а числа 4, 6, 8, 9и 10 не простые числа. Числа, не являющиеся простыми, называются составными числами. Однако 1 — это число, которое не является ни простым, ни составным.

Хотя простые и составные числа не образуют определенного шаблона, они все же образуют шаблон в соответствии с их соответствующими определениями.

Ниже приведен образец простых и составных чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 1 не является ни простым, ни составным. Числа, отмеченные желтым цветом, являются простыми числами, а числа, отмеченные синим цветом, являются составными числами. Мы видим, что все числа, оканчивающиеся на 5 и 0, образуют шаблон.

Порядок числовых шаблонов

Порядок — это общая концепция, используемая для определения числовых шаблонов. Существует два способа упорядочения числовых шаблонов: 

1. По возрастанию
2. По убыванию

Давайте разберемся в этом подробно

По возрастанию числовых шаблонов

где числа записываются от наименьшего числа к наибольшему числу. Например, предположим, что у нас есть числовой шаблон, содержащий все нечетные натуральные числа от 2 до 10. Числа в этом шаблоне будут 3, 5, 7, 9.. Если этот шаблон должен быть записан от наименьшего числа к наибольшему, шаблон будет 3, 5, 7 и 9. Это известно как числовой шаблон в порядке возрастания.

Убывающий порядок числовых шаблонов

Убывающий порядок числовых шаблонов — это шаблон, в котором числа записываются от наибольшего числа к наименьшему. Например, предположим, что у нас есть числовой шаблон, содержащий все нечетные натуральные числа от 2 до 10. Числа в этом шаблоне будут 3, 5, 7, 9.. Если этот шаблон должен быть записан от наибольшего числа до наименьшего числа, шаблон будет 9, 7, 5 и 3. Это известно как числовой шаблон в порядке убывания.

Как определять закономерности чисел

Нам известны четыре операции математических операторов, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Большинство числовых шаблонов основано только на этих четырех математических операциях. Однако есть некоторые шаблоны, которые включают комбинацию этих операций.

Давайте разберемся на примере.

Предположим, нам дан шаблон чисел 1, 3, 5, 7, 9,  ………….

Какой арифметической схеме следует приведенная выше последовательность? Давайте узнаем.

Внимательно соблюдайте все условия. Мы можем видеть, что –

Первый член = 1 = 2 x 0 + 1

Второй член = 3 = 2 x 1 + 1

Третий член = 5 = 2 x 2 + 1

Четвертый член = 7 = 2 x 3 + 1

Пятый член = 9 = 2 x 4 + 1 и так далее.

Таким образом, мы можем идентифицировать числовой образец в данной последовательности как 2 n + 1, где n≥1. Мы можем ясно видеть, что эта последовательность включала комбинацию двух операторов «x» и «+».

На этом примере мы узнали, что для определения шаблона числа в последовательности можно использовать ряд различных комбинаций операторов. Итак, что мы делаем, чтобы помочь нам идентифицировать числовой шаблон в последовательности? Есть несколько стандартных шаблонов чисел, о которых нам следует знать. Теперь, когда мы поняли, что такое числовые шаблоны и как они упорядочены; давайте перейдем к изучению общих типов числовых шаблонов.

Типы числовых шаблонов в зависимости от их порядка

В приведенном выше примере мы видели, что сложение может использоваться для создания арифметического шаблона. Это единственный способ создать числовой шаблон? Ниже приведены различные типы наиболее часто используемых арифметических шаблонов: 

• Растущий шаблон. Как следует из названия, растущий шаблон представляет собой арифметический шаблон, в котором числа представлены в порядке возрастания.
• Редукционный шаблон. Опять же, как следует из названия, редукционный шаблон — это арифметический шаблон, в котором числа представлены в порядке убывания.
• Повторяющийся узор. В повторяющемся узоре чисел один и тот же набор чисел продолжает повторяться, образуя узор чисел.

Типы числовых шаблонов на основе типа чисел

Существуют различные числовые шаблоны, которые обычно используются для различных математических операций. Давайте обсудим некоторые из распространенных шаблонов чисел

Арифметический шаблон чисел

Как следует из названия, этот шаблон формируется с использованием основных арифметических операций между числами. Напомним, что существует четыре основных арифметических оператора, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление. Это означает, что числовой шаблон может быть сформирован путем прибавления или вычитания обычной цифры к предыдущему члену для получения следующего члена шаблона.

Давайте разберемся на примере.

Предположим, у нас есть число, скажем, 2.

Мы добавляем к этому числу 3. У нас есть, 2 + 3 = 5

Теперь мы снова добавляем 3 к результату, который мы получили на предыдущем шаге. Получим, 5 + 3 = 8.

Точно так же снова прибавляем 3 к результату, полученному на предыдущем шаге. У нас будет 8 + 3 = 11

Следовательно, мы можем видеть, что узор формируется числами 2, 5, 8, 11 и так далее.

Образец треугольных чисел

Треугольные числа генерируются из набора точек, образующих треугольник. Другими словами, треугольная числовая последовательность представляет собой представление чисел в виде равностороннего треугольника. Образец, образованный треугольными числами, таков, что сумма предыдущего числа и порядка последующего числа приводит к последовательности треугольных чисел. Другими словами, количество точек, образующих треугольник, даст треугольную числовую последовательность. Это расположение представлено ниже –

Образец квадратных чисел

Квадратные числа — это числа, полученные при умножении числа на себя. Например, 2 x 2 = 4, следовательно, 4 — это квадрат 2. Аналогично, 3 x 3 = 9, следовательно, 9 — это квадрат 3. Образец квадратных чисел задается 1, 4, 9, 16. , 25, 36 и так далее. Другими словами, шаблон квадратного числа — это последовательность, в которой числа образуют шаблон в форме квадрата.

Числовой шаблон квадратных чисел формируется следующим образом – 

1 ² = 1 x 1 = 1

2 ² = 2 x 2 = 4

3 ² = 3 x 3 = 9

4 ² = 4 x 4 = 16

69 5 ² = 5 x 5 = 25

Числовой образец кубических чисел

Кубические числа — это числа, полученные при двукратном умножении числа на само себя. Например, 2 х 2 х 2 = 8, следовательно, 8 — это куб 2. Аналогично, 3 х 3 х 3 = 27, поэтому 27 — это куб 3. Образец чисел в кубе задается 1, 8, 27, 12, 64, 125 и так далее. Другими словами, числовой узор куба — это последовательность чисел, образующих узор в виде куба. Куб – это трехмерная фигура.

Числовой шаблон кубических чисел формируется следующим образом –

1 ³ = 1 x 1 x 1 = 1

2 ³ = 2 x 2 x 2 = 8

3 x 3 ^{0 3 3 х 3 = 27}

4 ³ = 4 х 4 х 4 = 64

5 ³ = 5 х 5 х 5 = 125

Давайте теперь разберемся с концепцией числового паттерна на примере.

Пример Найдите восьмой член следующего числового шаблона –

Решение Нам дан шаблон чисел, и нам нужно найти восьмое число этого шаблона. Давайте сначала разберемся, как сформировался числовой паттерн.

Мы видим, что первое число данного числового шаблона равно 0 ……… ( 1)

Теперь первая стрелка шаблона указывает на цифру 5. Следовательно, второе число шаблона равно 5.

Можем ли мы увидеть связь между первым термином и вторым термином?

Проверим их разность, имеем 5 – 0 = 5 ……………………… ( 2 )

Теперь вторая стрелка узора указывает на число 10. Следовательно, второе число узора равно 10.

Можем ли мы увидеть связь между вторым и третьим членами? (3) шаблон равен 15.

Можем ли мы увидеть связь между третьим термином и четвертым термином?

Проверим их разность, имеем 15 – 10 = 5 ……………………… ( 4 )

Из ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) и ( 4 ) мы можем видеть, что разница в любых двух членах в шаблоне = 5. Это означает, что данный числовой шаблон был сформирован путем добавления 5 к предыдущий номер, чтобы получить следующий номер. Таким образом, мы должны получить большее количество серий в виде –

Первое число = 0

Второе число = 0 + 5 = 5

Третье число = 5 + 5 = 10

Четвертое число = 10 + 5 = 15

Пятое число = 15 + 5 = 20

Шестое число = 20 + 5 = 25

Седьмое число = 25 + 5 = 30

Восьмое число = 30 + 5 = 35

Следовательно, восьмое число в данном числовом шаблоне будет 35.

Основные факты и резюме

Образец — это образец или последовательность в данной серии чисел.

Нечетные числа — это числа, при делении которых на 2 в остатке остается 1. Числовой шаблон нечетных чисел определяется числами, начинающимися с 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.

Четные числа — это числа, при делении которых на 2 в остатке остается 0. Числовой образец четных натуральных чисел определяется числами, начинающимися с 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее.

Числа, которые больше 1 и имеют только два делителя, т. е. число 1 и само число, называются простыми числами.

Числа, имеющие более двух делителей, называются составными числами.

Восходящий порядок числовых шаблонов — это шаблон, в котором числа записываются от наименьшего числа к наибольшему.

Порядок убывания числовых шаблонов — это шаблон, в котором числа записываются от наибольшего числа к наименьшему.

Треугольные числа генерируются из набора точек, образующих треугольник.

Квадратные числа — это числа, полученные при умножении числа на себя. Шаблон квадратных чисел — это последовательность, в которой числа образуют шаблон в форме квадрата.

Кубические числа — это числа, полученные при двукратном умножении числа на само себя. Образец числа куба — это последовательность чисел, которые образуют узор в виде куба.

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

диаграмма сотен Prime Climb – чудо математики

Это шестой  в серии постов о моем курсе «Развитие математического мышления», факультативе по математике для будущих учителей начальной и средней математики. Все посты из этой серии здесь.

---

Это последний пост с подробным описанием того, как я представил «Уведомление и удивление» своим учителям до начала работы. Мы использовали его для придания смысла. Затем мы просмотрели фотографии окружающего мира и провели мозговой штурм, увидев и задаваясь вопросом. Студенты позже сделали свои собственные фотографии и идентифицировали математические идеи, которые они видели. (Фотографии и размышления было очень интересно рассматривать!) Затем мы перенесли наши навыки «Замечать и удивляться» в более математические условия, включая одну из математических задач Дэна Мейера в трех действиях, «Зубочистки». Теперь я расскажу вам о консолидирующем задании, в котором я попросил студентов рассказать мне, что они замечают и удивляются в изображении, переполненном математическими идеями.

Обновление от 6 августа 2017 г.: В этом посте описывается еще один способ включения «Notice and Wonder» в график сотен Prime Climb.

Примечание. Хотя это выглядит как длинное сообщение, первые 200 слов являются введением; последние 1500 слов представляют собой краткое изложение идей учащихся.

Таблица сотен Prime Climb

Prime Climb — красивая настольная игра, в которой игроки углубляют свое понимание арифметики посредством игрового процесса. Честно говоря, я никогда не играл! Но это не помешало мне оценить великолепную диаграмму сотен, которая сопровождает игру. Версия ниже; вы можете купить это изображение на потрясающем плакате здесь.

Эта таблица сотен заставляет нас замечать и удивляться. Найдите минутку и проведите мозговой штурм для себя. (Дэн Финкель, создатель игры Prime Climb, рассказывает об этом изображении в своем замечательном выступлении на TED «Пять принципов экстраординарного преподавания математики». На просмотр стоит потратить примерно 15 минут.) от моих студентов

Я попросил свою группу из почти пятидесяти учителей до начала работы рассказать мне о пяти вещах, которые они заметили, и об одной вещи, которая их удивила. Как группа, это потенциально 250 различных вещей, которые они замечают, и 50 вещей, которым они удивляются! Вот сопоставленный список из примерно 100 их идей (с небольшими поправками к неправильной терминологии), небрежно сгруппированных по моим собственным заголовкам разделов. Я попросил их сделать это как индивидуально. Я уверен, что в групповом обсуждении они развили бы и расширили идеи друг друга. В следующий раз!

Приятного чтения; Я, конечно, сделал.

I

уведомление  что …

Цвет и структура

• Круги пронумерованы от 1 до 100.
• Диаграмма организована по системе 10×10.
• Числа возрастают.
• Числа в каждом столбце увеличиваются на десять по мере продвижения вниз по списку.
• Цвет как-то связан с числом, и наоборот.
• Есть разные цвета: синий, оранжевый, желтый, красный, зеленый.
• Некоторые круги имеют только один цвет.
• За исключением целых красных кругов, каждый другой цвет появляется как целый круг только один раз.
• Каждый круг состоит из одного или нескольких цветов.
• Цвет используется для демонстрации отношений между числами.
• В каждом втором числе есть оранжевый (и аналогичные утверждения о других цветах).
• Все четные числа окрашены в желтый/оранжевый цвет.
• Дружественные числа (5 и 10) выделены синим цветом.
• Круги с синим концом на 5 или 0.
• Много красных кругов/цифр.
• Есть 21 сплошной красный кружок/цифра.
• Красный – самый заметный цвет.
• Фиолетовый – наименее используемый цвет.
• Полностью зеленые числа кратны 3 (и аналогичные утверждения о других цветах).
• Кольца разбиты на части, которые варьируются от целого до 1/6.
• В некоторых красных секциях есть маленькие белые цифры.
• Все маленькие белые числа, которые появляются «случайно» в нижней части кругов, являются нечетными числами.
• Красные полные кружки появляются только на нечетных числах.
• Числа с оранжевым цветом (кратные 2) расположены по вертикали, как и числа с синим цветом (кратные 5). Но числа с зеленым цветом (кратные 3) расположены по диагонали (справа налево), если смотреть сверху вниз.
• Если вы поместите палец на число, выделенное фиолетовым цветом, затем переместите палец вверх на одну строку, а затем переместите его на три столбца вправо, вы окажетесь на другом числе, выделенном фиолетовым (работает с большинством чисел фиолетового цвета, если это не слишком близко к край).
• Наибольшее количество цветных секторов вокруг числа равно шести.
• Наибольшее количество различных цветов, содержащихся в секторах, окружающих любое число, равно трем.
• Ни один номер/круг не содержит всех цветов.
• Кажется, что в цветах нет узора.

Число 1

• Число 1 не имеет цвета, потому что оно не является ни простым, ни составным числом.
• Число 1 имеет собственный цвет и не является частью какого-либо определенного паттерна на графике. Каждое целое число имеет делитель 1,
• 1 не является простым числом, поэтому оно не окрашено.

Простые числа

• Полноцветные кружки — это простые числа.
• Все простые числа имеют одну сплошную окружность.
• 97 — наибольшее простое число меньше 100.
• Простые числа имеют свой особый цвет до значения 7.
• Числа в красных кружках также являются простыми числами от 11 и выше.
• Все простые числа от 1 до 100, кроме 2, являются нечетными.
• Существует 25 простых чисел от 1 до 100.
• Если внизу круга написано меньшее число, обозначающее большее число, то это означает, что большее число делится на простое число. Например, у числа 92 внизу круга написано маленькое число 23, это означает, что 92 делится на простое число 23.
• Между 91 и 100 есть только одно простое число. Во всех остальных блоках из десяти есть как минимум два простых числа.
• В столбце «3» больше всего простых чисел от 1 до 100.

Составные числа

• Непростые числа представляют собой смесь цветов. Например, 15 — это 5×3, где 5 — синий, а 3 — зеленый, поэтому 15 — это наполовину синий и наполовину зеленый.
• Все числа, кратные 6, должны быть оранжевого (2) и зеленого (3) цвета.
• Любое число, оканчивающееся на 4,6,8 или 0, не является простым числом.
• Некоторые непростые числа состоят из множителей, которые являются просто (только) простыми числами.

Квадратные числа

• Все квадратные числа состоят из нескольких частей одного цвета.
• Сумма всех квадратных чисел равна 385.

Ориентирован на умножение

• Мы можем использовать цвета вокруг каждого числа и перемножать их «представляющие числа» вместе, чтобы получить число в середине.
• Фрагменты круга обозначают, сколько раз произошло умножение. Например, число 8 состоит из трех фрагментов желтого круга, обозначающих 2×2×2.
• Цвета каждого круга представляют числа, на которые можно разделить большее число. Например, число 95 окрашено в синий и красный цвета. Эти цвета представляют 5 и простое число 19. При умножении их сумма равна 95.

Делитель и множитель

• На этой диаграмме есть только 2 числа, которые представлены кружком, разделенным на шестые. Им 64 и 96.
• Для составления чисел до 100 требуется не более шести множителей.
• Нечетные числа чаще всего имеют делители, являющиеся простыми числами.
• Круги делятся на секции в зависимости от того, сколько у них делителей.
• Множители каждого числа очевидны благодаря раскраске.
• Различные цветные части круга означают, что число делится более чем на одно число.
• Нечетные числа обычно имеют меньше делителей, даже если они не простые.

Простые множители

• Цвета вокруг числа представляют простые множители числа. Например, число 96 состоит из пяти оранжевых сегментов и одного зеленого сегмента, что говорит о том, что простые множители числа 96 равны 2×2×2×2×2×3.

Другое

• Все числа, делящиеся на 11, имеют цифру 11 в нижнем индексе и располагаются на диагональной линии.
• Рассмотрите числа с одинаковыми цифрами (11, 22, …). Сумма цифр – все четные числа.
• Нет явных инструкций или «ключа», объясняющего, что на самом деле показывает диаграмма.
• Сумма первых девяти простых чисел равна 100.
• Если вы прищуритесь, вы начнете видеть цветовые узоры, а не числа, как я заметил некоторые из моих предыдущих пунктов.

Интересно…

Цвет и структура

• Почему 1 — единственная цифра серого цвета?
• Почему на некоторых кругах есть лишние цифры белого цвета?
• Что означают сечения кругов?
• Почему разные числа делятся на разные «дроби»? Есть ли в этом основная причина?
• Почему некоторые числа имеют части своего цвета, даже если эти части одного цвета? Например, число 64 состоит из шести частей оранжевого цвета, а оранжевый ассоциируется только с двумя.
• Как им удалось разделить внешний круг числа 24 на четыре сегмента? И почему три из них оранжевые, а один зеленый?
• Какой цвет используется чаще всего?
• Было бы легче читать диаграмму, если бы все простые числа имели свой цвет, а не первые 10?
• Почему числа 96 и 64 имеют больше всего делений?
• Есть ли несколько «решений» этой проблемы?

Выкройки

• Если есть выкройка? А если бы я разобрался?
• Есть ли закономерность между числами и количеством частей в их цветном круге, которую можно использовать для вычисления любого числа?
• Почему они не написали, сколько раз конкретное число входит в большое число внутри соответствующей цветовой секции?
• Почему числа окрашены случайным образом (без определенного шаблона)?
• Можете ли вы использовать эту числовую таблицу и расширить ее, чтобы найти каждое простое число без ручных и утомительных вычислений?
• Существует ли систематический способ определения наибольшего числа секторов или различных цветов, которые могут окружать 90 281 любое число 90 284 в наборе (например, от 1 до 1 000 000), без необходимости садиться и умножать простые числа?

Расширение диаграммы

• Если бы это число достигло 1000, какое число имело бы наибольшее количество различных цветов?
• Если бы это число увеличилось до 1000, стали бы мы видеть все больше и больше красного цвета по сравнению с другими цветами?
• Интересно, как будут выглядеть следующие 100 чисел, разложенные таким образом на простые множители? Я бы предположил, что количество видимого красного уменьшится.