Умножения в столбик правило: Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.ru

Содержание

Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.ru

Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.

Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.

Пишем однозначное число под единицами многозначного.

Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:

Умножаем на единицы:

8 × 2 = 16

6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.

Умножаем на десятки:

3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток

(запоминали) = 7 десятков. Ответ пишем под десятками.

Умножаем на сотни:

4 сотни × 2 = 8 сотен. Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:

438 × 2 = 876

Умножим трехзначное число на двухзначное:

924 × 35

Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.

1 этап: находим первое неполное произведение, умножив 924 на 5.

Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.

Умножаем на единицы:

4 × 5 = 20             0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков, пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен, пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.

924 × 5 = 4620

2 этап: находим второе неполное произведение, умножив 924 на 3.

Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево.

Умножаем на единицы:

4 × 3 = 12             2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали)  =  7 десятков, пишем 7 под разрядом сотен.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 3 = 27 сотен, 7 пишем в разряд тысяч, а

2 в разряд десятков тысяч.

3 этап: складываем оба неполных произведения.

Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.

В результате получаем:

924 × 35 = 32340

Умножим трехзначное число на трехзначное:

Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:

924 × 835

Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.

3 этап: находим третье неполное произведение, умножив 924 на 8

Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево, в разряд сотен.

4 × 8 = 32, пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем

2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19, пишем 9 в разряд тысяч,

1 запоминаем

9 × 8 = 72 + 1 (запоминали) = 73, пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.

4 этап: складываем три неполных произведения.

В результате получаем:

924 × 835 = 771540

Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.

Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:

3420 × 2700

При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:

342 × 27 = 9234

Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.

В результате получаем:

3420 × 2700 = 9234000

Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо

:

1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем

3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.

4. Складываем все неполные произведения.

5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.

Вот и все, спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Деление и умножение в столбик, правила, примеры видео

Умножение и деление однозначных чисел не составит труда для любого школьника, выучившего таблицу умножения. Она входит в программу математики за 2 класс. Другое дело – когда необходимо произвести математические действия с многозначными числами. Начинают такие действия на уроках математики в 3 классе. Разбираем новую тему «Деление и умножение в столбик»

Умножение многозначных чисел

Делить и умножать сложные числа проще всего столбиком. Для этого нужно разряды числа: сотни, десятки, единицы:

235 = 200 (сотни) + 30 (десятки) + 5 (единицы).

Это нам понадобится для правильной записи чисел при умножении.

При записи двух чисел, которые нужно перемножить, их записывают друг под другом, размещая числа по разрядам (единицы — под единицами, десятки под десятками). При умножении многозначного числа на однозначное трудностей не возникнет:

Правило умножения двухзначных чисел гласит, что сначала умножается первое из чисел на последнюю из цифр второго ряда (стоящую в разряде единиц), затем – оно же – на цифру из разряда десятков.

Запись ведется так:

Вычисление ведут с конца – с разряда единиц. При умножении на первую цифру – из разряда единиц – запись тоже ведут с конца:

  • 3 х 5 = 15, записываем 5 (единицы), десятки (1) запоминаем;
  • 2 х 5 = 10 и 1 десяток, который мы запомнили, всего 11, записываем 1 (десятки), сотни (1) запоминаем;
  • поскольку дальше разрядов у нас в примере нет, записываем сотни (1 – которую запоминали).

Следующее действие – умножаем на вторую цифру (разряд десятков):

  •  3 х 1 = 3;
  • 2 х 1 = 2.

Поскольку умножали мы на цифру из разряда десятков, записывать начнем так же, с конца, начиная со второго места справа (там, где разряд десятков).

Запомнить правила умножения столбиком несложно:

1.  записывать столбиком умножение нужно по разрядам;

2. вычисления производить, начиная с единиц;

3. записывать итог по разрядам – если умножаем на цифру из разряда единиц – запись начинаем с последнего столбика, из разряда – десятков – с этого столбца и ведем запись.

Правило, действующее для умножения в столбик на двухзначное число, действует и для чисел с большим количеством разрядов.

Чтобы легче было запомнить правила записи примеров умножения многозначных чисел в столбик, можно сделать карточки, выделив разными цветами разные разряды.

Если производится в столбик умножение чисел с нулями на конце, их не принимают во внимание при вычислении, а запись ведут так, чтобы значащая цифра была под значащей, а нули остаются справа. После проведения вычислений их количество дописывают справа:

Математик Яков Трахтенберг разработал систему быстрого счета. Метод Трахтенберга облегчает умножение, если применять определенную систему вычислений. Например, умножение на 11. Для получения результата нужно прибавить цифру к соседней:

2,253 х 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.

Доказать истинность просто: 11 = 10 + 1

2,253 х 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.

Алгоритмы вычислений для разных чисел разные, но они позволяют производить вычисления быстро.

Видео «Умножение столбиком»

Деление многозначных чисел

Деление столбиком может показаться детям сложным, однако запомнить алгоритм несложно. Рассмотрим деление многозначных чисел на однозначное число:
215 : 5 = ?
Записывается вычисление следующим образом:

Под делителем будем записывать результат. Деление выполняется следующим образом: сравниваем крайнюю левую цифру делимого с делителем: 2 меньше 5, разделить 2 на 5 мы не можем, поэтому берем еще одну цифру: 21 больше 5, при делении получается: 20 : 5 = 4 (остаток 1)

Сносим к полученному остатку следующую цифру: получаем 15. 15 больше 5, делим: 15 : 5 = 3

Решение будет выглядеть таким образом:

Так производится деление без остатка. По тому же алгоритму производится деление в столбик с остатком с той лишь разницей, что в последней записи будет указан не ноль, а остаток.

Если необходимо произвести деление трехзначных чисел в столбик на двухзначное, порядок действий будет таким же, как при делении на однозначное число.

Приведем примеры на деление:


Аналогично проводится вычисление при делении многозначного числа на двузначное с остатком: 853 : 15 = 50 и ( 3 ) остаток
Обратите внимание на эту запись: если при промежуточных вычислениях в результате получается 0, но пример не решен до конца, ноль не записывается, а сразу сносится следующая цифра, и вычисление производится дальше.

Поможет усвоить правила деления многозначных чисел в столбик видеоурок. Запомнив алгоритм и проследив последовательность записи вычислений, примеры на умножение и деление в столбик в 4 классе уже не будут казаться такими сложными.

Важно! Следите за записью: разряды должны записываться под разрядами, в столбик.

Видео «Деление в столбик»

Если во 2 классе ребенок выучил таблицу умножения, примеры на умножение и деление двузначного или трехзначного числа на уроках математики за 4 класс не вызовет у него трудностей.

Читайте так же:

Математика: сложение обыкновенных дробей

Математика: вычитание обыкновенных дробей

Быстрый способ выучить таблицу умножения

 

Умножение на однозначное число в столбик

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Умножение
  5. Умножение на однозначное число в столбик

А теперь научимся умножать трёхзначные и двузначные числа на однозначное число в столбик.

Запоминаю порядок:


Умножение двузначного числа

Например, 42 • 2 = ?

 ×42
  2
  84

Сначала умножаем единицы: 2 • 2 = 4 и записываем под единицами.

Потом умножаем десятки: 4 • 2 = 8 и записываем под десятками.

Получили 8 десятков и 4 единицы — 84.

Рассмотри алгоритм умножения двузначного числа на однозначное число:


Умножение трёхзначного числа

Например, 174 • 3 = ?

 ×174
   3
  522

Рассмотри алгоритм умножения трёхзначного числа на однозначное число:


 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Табличное умножение

Внетабличное умножение

Умножение суммы на число

Умножение на числа, оканчивающиеся нулями

Свойства умножения

Умножение

Правило встречается в следующих упражнениях:

3 класс

Страница 100, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 63, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 64, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 65, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 66, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 67, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 76, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 10, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 14, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 15, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 38, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 8, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

5 класс

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 40, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 42, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Решётчатое умножение | Наука и жизнь

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550—1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592—1635).

Наследие индусов — способ решётки

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:


Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:


296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Палочки Непера

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора — палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней — число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие — с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Палочки Непера применялись и для более сложных операций — деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Машина Шиккарда

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

Как правильно умножать в столбик десятичные дроби. Дроби. Умножение десятичных дробей. Деление десятичной дроби на обычное число

В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Содержание урока

Сложение десятичных дробей

Как мы знаем, десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.

Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.

Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой» .

Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой» :

Получили ответ 8,5. Значит, выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

На самом деле не всё так просто как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.

Разряды в десятичных дробях

У десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.

Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

Разряды в десятичных дробях хранят в себе нéкоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых

Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых

Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных

Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .

Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345

Сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345 .

При сложении десятичных дробей соблюдаются те же правила что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой» . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4

В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.

Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27

Записываем в столбик данное выражение:

Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:

Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8

Записываем в столбик данное выражение

Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

Пример 5 . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:

Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:

Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:

Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Вычитание десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39

Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4 . Найти значение выражения 3−1,2

В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3

Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:

Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Умножение десятичной дроби на обычное число

Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Например, умножим 2,54 на 2

Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

Например, умножим 2,88 на 10

Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

2,88 × 100 = 288

Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

Например, умножим 3,25 на 0,1

Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.

Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:

Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.

А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.

Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»

Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице» , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5

Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

Пример 2. Найти значение выражения 4: 5

Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8

Пример 3. Найти значение выражения 5: 125

Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04

Деление чисел без остатка

Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:

Допишем ноль к остатку 4

Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:

40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2 . Разделить 84 на 5 без остатка

Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:

Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0

Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:

и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:

Деление десятичной дроби на обычное число

Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

  • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
  • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

Например, разделим 4,8 на 2

Запишем этот пример уголком:

Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4

Пример 2. Найти значение выражения 8,43: 3

Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

Например, разделим 5,95 на 1,7

Запишем уголком данное выражение

Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:

Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

(9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18: 6 = 3

Как видно из примера, частное не поменялось.

Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

5,91 × 10 = 59,1

Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

2,1: 100 = 0,021

Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

2,1: 1000 = 0,0021

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630

Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

6,3: 0,001 = 6300

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

  • 70,1 · 10 = 701
  • 0,023 · 100 = 2,3
  • 5,6 · 1 000 = 5 600
  • Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

    Считаем и ноль целых!

    • 12 · 0,1 = 1,2
    • 0,05 · 0,1 = 0,005
    • 1,256 · 0,01 = 0,012 56
    • Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

      Правило умножения десятичных дробей

      1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

      2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

      Найти произведение десятичных дробей:

      Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

      Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

      Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

      Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

      Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

      И еще пара примеров на умножение десятичных дробей:

      www.for6cl.uznateshe.ru

      Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

      Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

      Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .

      Навигация по странице.

      Общие принципы умножения десятичных дробей

      Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

      Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

      Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

      Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то. Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби, а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

      Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

      Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

      Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

      Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

      Тогда. Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

      Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

      Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

      Умножение десятичных дробей столбиком

      Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

      Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

      • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
      • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
      • Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

        Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

        Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

        Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

        В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

        Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

        Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

        Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

        На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

        Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

        Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

        Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

        Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

        Умножение десятичной дроби на натуральное число

        По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

        Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

        Вычислите произведение 15·2,27 .

        Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

        При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

        Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

        Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

        Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

        А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

        Выполните умножение 4·2,145… .

        Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

        Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

        Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

        Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

        Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

        Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

        Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

        Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

        5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

        При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

        Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

        Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

        Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число.

        Так как 0,4=4/10=2/5 и, то. Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

        При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

        Так как 2/3=0,6666… , то. После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

        Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

        www.cleverstudents.ru

        29. Умножение десятичных дробей. Правила


        Найдем площадь прямоугольника со сторонами равными
        1,4 дм и 0,3 дм. Переведем дециметры в сантиметры:

        1,4 дм = 14 см; 0,3 дм = 3 см.

        Теперь вычислим площадь в сантиметрах.

        S = 14 3 = 42 см 2 .

        Переведем квадратные сантиметры в квадратные
        дециметры:

        д м 2 = 0,42 д м 2 .

        Значит, S = 1,4 дм 0,3 дм = 0,42 дм 2 .

        Умножение двух десятичных дробей выполняется так:
        1) числа перемножаются без учета запятых.
        2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
        столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
        вместе взятых. Например:

        1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

        Примеры умножения десятичных дробей в столбик:

        Вместо умножения любого числа на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ,
        можно разделить это число на 10 ; 100 ; или 1000 соответственно.
        Например:

        22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

        При умножении десятичной дроби на натуральное число, мы должны:

        1) перемножить числа, не обращая внимания на запятую;

        2) в полученном произведении поставить запятую так, чтобы справа
        от нее было столько же цифр, сколько в десятичной дроби.

        Найдем произведение 3,12 10 . По указанному выше правилу
        сначала умножаем 312 на 10 . Получим: 312 10 = 3120 .
        А теперь отделяем запятой две цифры справа и получаем:

        3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

        Значит, при умножении 3,12 на 10 мы перенесли запятую на одну
        цифру вправо. Если умножить 3,12 на 100 , то получим 312 , то есть
        запятую перенесли на две цифры вправо.

        3,12 100 = 312,00 = 312 .

        При умножении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т. д., надо
        в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей
        стоит в множителе. Например:

        0,065 1000 = 0065, = 65 ;

        2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

        Задачи на тему «Умножение десятичных дробей»

        school-assistant.ru

        Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

        Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

        Правило. производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

        При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

        Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

        243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

        843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

        Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

        Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

        Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

        Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

        При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

        Запись умножения десятичных дробей в столбик:

        Запись деления десятичных дробей в столбик:

        Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

        Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

        Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

    В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100 , 10 и др.)

    В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

    Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

    Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

    Посмотрим, как решаются такие задачи.

    Пример 1

    Вычислите произведение 1 , 5 и 0 , 75 .

    Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0 , 75 – это 75 / 100 , а 1 , 5 – это 15 10 . Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 125 1000 мы запишем как 1 , 125 .

    Ответ: 1 , 125 .

    Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

    Пример 2

    Умножьте одну периодическую дробь 0 , (3) на другую 2 , (36) .

    Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

    0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 — 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 — 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

    Следовательно, 0 , (3) · 2 , (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .

    Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

    Ответ: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

    Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

    Пример 3

    Вычислите произведение 5 , 382 … и 0 , 2 .

    Решение

    У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5 , 38 · 0 , 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1 , 076 .

    Ответ: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .

    Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

    Определение 1

    Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

    1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.

    2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

    Разберем примеры таких расчетов на практике.

    Пример 4

    Умножьте десятичные дроби 63 , 37 и 0 , 12 столбиком.

    Решение

    Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

    Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4 . Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

    Ответ: 3 , 37 · 0 , 12 = 7 , 6044 .

    Пример 5

    Подсчитайте, сколько будет 3 , 2601 умножить на 0 , 0254 .

    Решение

    Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

    Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

    Ответ: 3 , 2601 · 0 , 0254 = 0 , 08280654 .

    Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

    Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:

    Определение 2

    Если мы умножим десятичную дробь на 0 , 1 , 0 , 01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

    Так, для умножения 45 , 34 на 0 , 1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4 , 534 .

    Пример 6

    Умножьте 9 , 4 на 0 , 0001 .

    Решение

    Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9 , 4 · 0 , 0001 = 0 , 00094 .

    Ответ: 0 , 00094 .

    Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0 , (18) · 0 , 01 = 0 , 00 (18) или 94 , 938 … · 0 , 1 = 9 , 4938 … . и др.

    Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

    Пример 7

    Подсчитайте, сколько будет 15 · 2 , 27 .

    Решение

    Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

    Ответ: 15 · 2 , 27 = 34 , 05 .

    Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

    Пример 8

    Вычислите произведение 0 , (42) и 22 .

    Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

    0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 — 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

    0 , 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3

    Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9 , (3) .

    Ответ: 0 , (42) · 22 = 9 , (3) .

    Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

    Пример 9

    Вычислите, сколько будет 4 · 2 , 145 … .

    Решение

    Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

    4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .

    Ответ: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .

    Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

    Умножение десятичной дроби на 10 , 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:

    Определение 3

    Чтобы умножить десятичную дробь на 1000 , 100 , 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3 , 2 , 1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

    Покажем на примере, как именно это делать.

    Пример 10

    Выполните умножение 100 и 0 , 0783 .

    Решение

    Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007 , 83 ​​​​​Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7 , 38 .

    Ответ: 0 , 0783 · 100 = 7 , 83 .

    Пример 11

    Умножьте 0 , 02 на 10 тысяч.

    Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0 . В итоге получилось 0 , 02000 ,перенесем запятую и получим 00200 , 0 . Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200 .

    Ответ: 0 , 02 · 10 000 = 200 .

    Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.

    Пример 12

    Вычислите произведение 5 , 32 (672) на 1 000 .

    Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5 , 32672672672 … , так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326 , 726726 … Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326 , (726) .

    Ответ: 5 , 32 (672) · 1 000 = 5 326 , (726) .

    Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.

    Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.

    Пример 13

    Умножьте 0 , 4 на 3 5 6

    Решение

    ​Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .

    Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1 , 5 (3) .

    Ответ: 1 , 5 (3) .

    Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.

    Пример 14

    Вычислите произведение 3 , 5678 . . . · 2 3

    Решение

    Второй множитель мы можем представить как 2 3 = 0 , 6666 …. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3 , 568 и 0 , 667 . Посчитаем столбиком и получим ответ:

    Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2 , 379856 ≈ 2 , 380 .

    Ответ: 3 , 5678 . . . · 2 3 ≈ 2 , 380

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter























    Назад Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цель урока:

    • В увлекательной форме ввести учащимся правило умножения десятичной дроби на натуральное число, на разрядную единицу и правило выражения десятичной дроби в процентах. Выработать умение применения полученных знаний при решении примеров и задач.
    • Развивать и активизировать логическое мышление учащихся, умение выявлять закономерности и обобщать их, укреплять память, умение сотрудничать, оказывать помощь, оценивать свою работу и работу друг друга.
    • Воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, умение общаться.

    Оборудование: интерактивная доска, плакат с цифрограммой, плакаты с высказываниями математиков.

    Ход урока

    1. Организационный момент.
    2. Устный счёт – обобщение раннее изученного материала, подготовка к изучению нового материала.
    3. Объяснение нового материала.
    4. Задание на дом.
    5. Математическая физкультминутка.
    6. Обобщение и систематизация полученных знаний в игровой форме при помощи компьютера.
    7. Выставление оценок.

    2. Ребята, сегодня у нас урок будет несколько необычным, потому что я буду проводить его не одна, а со своим другом. И друг у меня тоже необычный, сейчас вы его увидите. (На экране появляется компьютер-мультяшка). У моего друга есть имя и он умеет разговаривать. Как тебя зовут, дружок? Компоша отвечает: “Меня зовут Компоша”. Ты сегодня готов помогать мне? ДА! Ну тогда давай начнём урок.

    Мне сегодня пришла зашифрованная цифрограмма, ребята, которую мы должны вместе решить и расшифровать. (На доске вывешивается плакат с устным счётом на сложение и вычитание десятичных дробей, в результате решения которого ребята получают следующий код 523914687. )

    5 2 3 9 1 4 6 8 7
    123456789

    Расшифровать полученный код помогает Компоша. В результате расшифровки получается слово УМНОЖЕНИЕ. Умножение – это ключевое слово темы сегодняшнего урока. На мониторе высвечивается тема урока: “Умножение десятичной дроби на натуральное число”

    Ребята, мы знаем, как выполняется умножение натуральных чисел. Сегодня мы с вами рассмотрим умножение десятичных чисел на натуральное число. Умножение десятичной дроби на натуральное число можно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. Например: 5,21·3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значит, 5,21·3 = 15,63. Представив 5,21 в виде обыкновенной дроби на натуральное число, получим

    И в этом случае получили тот же результат 15,63. Теперь, не обращая внимания на запятую, возьмём вместо числа 5,21 число 521 и перемножим на данное натуральное число. Здесь мы должны помнить, что в одном из множителей запятая перенесена на два разряда вправо. При умножении чисел 5, 21 и3 получим произведение равное 15,63. Теперь в этом примере запятую перенесём влево на два разряда. Таким образом, во сколько раз один из множителей увеличили, во столько раз уменьшили произведение. На основании сходных моментов этих способов, сделаем вывод.

    Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
    1) не обращая внимания на запятую, выполнить умножение натуральных чисел;
    2) в полученном произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их в десятичной дроби.

    На мониторе высвечиваются следующие примеры, которые мы разбираем вместе с Компошей и ребятами: 5,21·3 = 15,63 и 7,624·15 = 114,34. После показываю умножение на круглое число 12,6·50 = 630 . Далее перехожу на умножение десятичной дроби на разрядную единицу. Показываю следующие примеры: 7,423·100 = 742,3 и 5,2·1000 = 5200. Итак, ввожу правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу:

    Чтобы умножить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной единицы.

    Заканчиваю объяснение выражением десятичной дроби в процентах. Ввожу правило:

    Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо её умножить на 100 и приписать знак %.

    Привожу пример на компьютере 0,5·100 = 50 или 0,5 = 50% .

    4. По окончании объяснения даю ребятам домашнее задание, которое тоже высвечивается на мониторе компьютера: № 1030, № 1034, № 1032.

    5. Чтобы ребята немного отдохнули, на закрепление темы делаем вместе с Компошей математическую физкультминутку. Все встают, показываю классу решённые примеры и они должны ответить, правильно или не правильно решён пример. Если пример решён правильно, то они поднимают руки над головой и делают хлопок ладонями. Если же пример решён не верно, ребята вытягивают руки в стороны и разминают пальчики.

    6. А теперь вы немного отдохнули, можно и решить задания. Откройте учебник на странице 205, № 1029. в этом задании надо вычислить значение выражений:

    Задания появляются на компьютере. По мере их решения, появляется картинка с изображением кораблика, который при полной сборке уплывает.

    № 1031 Вычисли:

    Решая это задание на компьютере, постепенно складывается ракета, решив последний пример, ракета улетает. Учитель делает небольшую информацию учащимся: “ Каждый год с казахстанской земли с космодрома Байконур взлетают к звёздам космические корабли. Рядом с Байконуром Казахстан строит свой новый космодром “Байтерек”.

    № 1035. Задача.

    Какое расстояние пройдёт легковая машина за 4 часа, если скорость легковой машины 74,8 км/ч.

    Данная задача сопровождается звуковым оформлением и вынесением на монитор краткого условия задачи. Если задача решена, верно, то машина начинает двигаться вперёд до финишного флажка.

    № 1033. Запиши десятичные дроби в процентах.

    0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

    Решая каждый пример, при появлении ответа появляется буква, в результате чего появляется слово Молодцы .

    Учитель спрашивает Компошу, к чему бы появилось это слово? Компоша отвечает: “Молодцы, ребята!” и прощается со всеми.

    Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки.

    § 1 Применение правило умножения десятичных дробей

    В этом уроке Вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, такую как 0,1, 0,01 и т.д. Кроме того, мы рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.

    Решим задачу:

    Скорость движения автомобиля составляет 59,8 км/ч.

    Какой путь преодолеет автомобиль за 1,3 часа?

    Как известно, чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.

    Давайте запишем числа в столбик и начнем их перемножать, не замечая запятых: 8 умножить на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножить на 9 это 27, да еще плюс 2, получаем 29, 9 пишем, 2 в уме. Теперь 3 умножаем на 5, будет 15 и еще прибавляем 2, получаем 17.

    Переходим ко второй строке: 1 умножить на 8, будет 8, 1 умножить на 9, получаем 9, 1 умножить на 5, получаем 5, складываем эти две строчки, получаем 4, 9+8 равно 17, 7 пишем 1 в уме, 7+9 это 16 да еще 1, будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 да еще 1 получаем 7.

    А теперь посмотрим, сколько знаков после запятых стоит в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой и во второй дроби одна цифра после запятой, всего два знака. Значит, справа в полученном результате нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, при умножении 59,8 на 1,3 получили 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.

    Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби надо:

    Первое: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые

    Второе: в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

    Если же цифр в полученном произведении меньше, чем надо отделить запятой, то тогда впереди необходимо приписать один или несколько нулей.

    Например: 0,145 умножить на 0,03 у нас в произведении получается 435, а запятой необходимо отделить 5 цифр справа, поэтому мы приписываем перед цифрой 4 еще 2 нуля, ставим запятую и приписываем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.

    § 2 Свойства умножения десятичных дробей

    При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что действуют для натуральных чисел. Давайте выполним несколько заданий.

    Задание №1:

    Решим данный пример, применив распределительное свойство умноженияотносительно сложения.

    5,7 (общий множитель) вынесем за скобку, в скобках останется 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, и теперь 4 надо умножить на 5,7, получаем 22,8.

    Задание № 2:

    Применим переместительное свойство умножения.

    2,5 сначала умножим на 4, получим 10 целых, а теперь нужно 10 умножить на 32,9 и получаем 329.

    Кроме этого, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:

    При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т.е. большую или равную 1, оно увеличивается или не изменяется, например:

    При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньшую 1, оно уменьшается, например:

    Давайте решим пример:

    23,45 умножить на 0,1.

    Мы должны 2 345 умножить на 1 и отделить три знака запятой справа, получим 2,345.

    Теперь давайте решим другой пример: 23,45 разделить на 10, мы должны перенести запятую влево на один знак, потому что 1 ноль в разрядной единице, получим 2,345.

    Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. это значит разделить число на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1 во множителе.

    Используя полученное правило, найдем значения произведений:

    13,45 умножить на 0,01

    перед цифрой 1 стоит 2 нуля, поэтому перенесем запятую влево на 2 знака, получим 0,1345.

    0,02 умножить на 0,001

    перед цифрой 1 стоит 3 нуля, значит переносим запятую на три знака влево, получаем 0,00002.

    Таким образом, в этом уроке Вы научились перемножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01 и т.д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.

    Список использованной литературы:

    1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. — М: 2013.
    2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор — Попов М.А. — 2013 год
    3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год
    4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. — 2010 год
    5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы — Попов М.А. — 2012 год
    6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009

    Рекомендуем также

    Умножение чисел, в записи которых есть нули

    Привет, ребята!

    Сегодня мы продолжим разговор об умножении многозначных чисел. И особое внимание уделим тем случаям, когда в записи первого множителя есть нули.

    Некоторые случаи умножения трёхзначных чисел с нулями мы уже разбирали. Помните, как мы умножали семьсот пятьдесят два на триста девять?

    752 · 309 = 232 368

    А ещё шестьсот сорок три умножали на четыреста тридцать.

    643 · 430

    А сейчас давайте разберём вот такой пример. Умножим четыре тысячи восемьсот на семьдесят шесть 4 800 · 76. Как записать это столбиком?

    А вот как! Вы уже знаете, что, если многозначное число оканчивается нулями, при записи умножения столбиком эти нули как бы остаются справа. В данном примере мы сорок восемь сотен будем умножать на семьдесят шесть и выполнять действие так, как оно выполняется при умножении двузначных чисел. Восемью шесть – сорок восемь. Восемь пишем, четыре запоминаем. Четырежды шесть – двадцать четыре. Да ещё четыре – двадцать восемь. Первое неполное произведение записано. Умножаем первый множитель на семь десятков. Восемью семь – пятьдесят шесть. Шесть пишем, пять запоминаем. Четырежды семь – двадцать восемь. Да ещё пять – тридцать три. Теперь есть и второе неполное произведение. Складываем их. Переносим нули из первого множителя вниз и пишем справа от получившейся суммы. Ответ: триста шестьдесят четыре тысячи восемьсот.

    Ну а если нули стоят не в конце, а в середине первого множителя, как вот в этом числовом выражении?

    3 009 · 54

    В данном случае все записываем как обычно – единицы под единицами, десятки под десятками. Умножаем на единицы. Девятью четыре – тридцать шесть. Шесть пишем, три запоминаем. Нуль умножаем на четыре – нуль. Да ещё три – получается три. И снова нуль умножаем на четыре – нуль. Трижды четыре – двенадцать. Записано первое неполное произведение.

    Умножаем на пять десятков. Девятью пять – сорок пять. Пять пишем, четыре запоминаем. Нуль умножаем на пять – нуль. Пишем четвёрку, которую запомнили. Ведь мы её прибавляем к нулю. Вновь умножаем нуль и получаем нуль. Трижды пять – пятнадцать. Вот и второе неполное произведение. Складываем. Ответ: сто шестьдесят две тысячи четыреста восемьдесят шесть.

    Ну а теперь попробуем перемножить два трёхзначных числа с нулями в разряде десятков – шестьсот девять и двести семь.

    Записываем числа одно под другим. Умножаем шестьсот девять на семь единиц. Девятью семь – шестьдесят три. Три пишем под единицами, а шесть. Вы сейчас подумали: она скажет «запоминаем»! А вот и нет! Так как дальше умножать нужно нуль, и результат, конечно, тоже нуль, шестёрку можно не запоминать, а сразу писать в разряде десятков. А теперь шесть умножаем на семь и пишем сорок два. Первое неполное произведение готово.

    На нуль умножать не будем.

    Теперь шестьсот девять умножим на две сотни. И не забудьте!!! Писать начнём под сотнями. Девятью два – восемнадцать. Пишем восемь и. один – ведь впереди опять умножение нуля. Шестью два – двенадцать. Складываем неполные произведения. Ответ: сто двадцать шесть тысяч шестьдесят три.

    Ну и последний пример. Умножаем два трёхзначных числа с нулями в разряде единиц.

    Например, пятьсот восемьдесят и триста шестьдесят.

    580 · 360

    Так как нулей в обоих числах одинаковое количество, записываем их точно одно под другим. А умножать будем так, как будто нам даны не трёхзначные, а двузначные числа.

    Умножаем на шесть десятков. Восемью шесть – сорок восемь. Восемь пишем, четыре запоминаем. Пятью шесть – тридцать. Да ещё четыре – тридцать четыре.

    Умножаем на три сотни. Восемью три – двадцать четыре. Четыре пишем, два запоминаем. Пятью три – пятнадцать, да ещё два – семнадцать.

    Складываем неполные произведения. А теперь оба нуля переносим вниз и пишем справа от получившейся суммы. Ответ: двести восемь тысяч восемьсот.

    Ну вот и подходит к концу наша встреча. Но я думаю, что вы тоже хотите попробовать свои силы и решить примеры подобные тем, о которых я рассказала.

    Решайте, а потом вы сможете проверить свою работу.

    2670 · 36; 4190 · 27; 709 · 340; 902 · 506

    Ребята, проверьте своё решение.

    Я надеюсь, вы справились с заданием. Если, конечно, были внимательны и аккуратны.

    А теперь я прощаюсь с вами! До новой встречи, друзья!

    Умножение: по-японски, по-итальянски и методом майя

    • Аналия Йоренте
    • BBC Mundo

    Автор фото, Getty Images

    Подпись к фото,

    Не заболела бы голова…

    «Математика такая трудная…» Вы наверняка не раз слышали эту фразу, а, может быть, даже сами ее произносили вслух.

    Для многих математические вычисления — дело непростое, но вот вам три несложных способа, которые помогут выполнить хотя бы одно арифметическое действие — умножение. Без калькулятора.

    Вполне вероятно, что в школе вы познакомились с наиболее традиционным способом умножения: сначала вы выучили на память таблицу умножения, а уж затем стали в столбик перемножать каждую из цифр, которыми записываются многозначные числа.

    Если вам надо перемножить многозначные числа, то, чтобы найти ответ, потребуется большой лист бумаги.

    Но если от этого длинного набора идущих одна под другой строчек с цифрами у вас голова идет кругом, то есть и другие, более наглядные методы, которые могут вам помочь в этом деле.

    Но тут пригодятся некоторые художественные навыки.

    Давайте порисуем!

    Как минимум три способа умножения связаны с рисованием пересекающихся линий.

    1. Способ индейцев майя, или японский метод

    Относительно происхождения этого способа существует несколько версий.

    Для просмотра этого контента вам надо включить JavaScript или использовать другой браузер

    Подпись к видео,

    Трудно умножать в уме? Попробуйте метод майя и японцев

    Некоторые говорят, что его придумали индейцы цивилизации майя, населявшие районы Центральной Америки до прибытия туда конкистадоров в XVI веке. Он также известен как японский метод умножения, поскольку учителя в Японии используют именно этот визуальный способ, когда учат младших школьников умножению.

    Суть в том, что параллельные и перпендикулярные линии представляют цифры тех чисел, которые нужно перемножить.

    Давайте умножим 23 на 41.

    Для этого нам надо нарисовать две параллельные линии, представляющие 2, и, немного отступя, еще три линии, представляющие 3.

    Затем, перпендикулярно к этим линиям мы нарисуем четыре параллельные линии, представляющие 4 и, чуть отступя, еще одну линию для 1.

    Теперь нам надо пересчитать все точки пересечения этих линий. Именно так мы и получаем наш результат — 943, как если бы мы умножали в столбик.

    Ну как, неужели трудно?

    2. Индийский способ, или итальянское умножение «решеткой» — «джелозия»

    Происхождение этого способа умножения тоже не ясно, однако он хорошо известен по всей Азии.

    «Алгоритм «джелозия» передавался из Индии в Китай, затем в Аравию, а оттуда в Италию в XIV-XV веках, где он получил название «джелозия», поскольку внешне был похож на венецианские решетчатые ставни», — пишет Марио Роберто Каналес Виллануэва в своей книге, посвященной различным способам умножения.

    Автор фото, Getty Images

    Подпись к фото,

    Индийская или итальянская система умножения похожа на венецианские жалюзи

    Давайте снова возьмем пример с умножением 23 на 41.

    Теперь нам потребуется начертить таблицу из четырех клеток — по клетке на цифру. Подпишем сверху у каждой клетки соответствующую цифру — 2,3,4,1.

    Затем надо разделить каждую клетку надвое по диагонали, чтобы получились треугольники.

    Теперь мы сначала умножим первые цифры каждого числа, то есть 2 на 4, и запишем в первом треугольнике 0, а во втором 8.

    Потом перемножим 3×4 и запишем 1 в первом треугольнике, а 2 во втором.

    Проделаем то же самое и с другими двумя цифрами.

    Когда все клетки нашей таблицы будут заполнены, мы складываем цифры в такой последовательности, как показано на видео, и записываем получившийся результат.

    Для просмотра этого контента вам надо включить JavaScript или использовать другой браузер

    Подпись к видео,

    Трудно умножать в уме? Попробуйте индийский метод

    Первая цифра у нас будет 0, вторая 9, третья 4, четвертая 3. Таким образом, результат получился: 943.

    Как вам показалось, проще этот способ или нет?

    Давайте попробуем еще один метод умножения с помощью рисунка.

    3. «Массив», или метод таблицы

    Как и в предыдущем случае, для этого потребуется нарисовать таблицу.

    Возьмем тот же пример: 23 x 41.

    Тут нам надо разделить наши числа на десятки и единицы, поэтому 23 мы запишем как 20 в одной колонке, и 3 в другой.

    По вертикали мы запишем наверху 40, а внизу 1 .

    Затем мы перемножим числа по горизонтали и вертикали.

    Для просмотра этого контента вам надо включить JavaScript или использовать другой браузер

    Подпись к видео,

    Трудно умножать в уме? Нарисуйте таблицу.

    Но вместо того чтобы умножать 20 на 40, мы отбросим нули и просто перемножим 2 x 4, получив 8.

    То же самое сделаем, умножая 3 на 40. Мы удерживаем в скобках 0 и умножаем 3 на 4 и получаем 12.

    Проделаем то же самое с нижним рядом.

    Теперь добавим нули: в левой верхней клетке у нас получилось 8, но мы отбросили два нуля — теперь мы их допишем и получится 800.

    В правой верхней клетке, когда мы умножали 3 на 4(0), у нас получилось 12; теперь мы допишем ноль и получим 120.

    Сделаем так же со всеми прочими удержанными нулями.

    И наконец, мы складываем все четыре числа, полученных умножением в таблице.

    Результат? 943. Ну как, помогло?

    Важно разнообразие

    Автор фото, Getty Images

    Подпись к фото,

    Все способы хороши, главное — чтобы ответ сошелся

    Что точно можно утверждать, — так это то, что все эти разные способы дали нам один и тот же результат!

    Нам все-таки пришлось кое-что перемножить в процессе, но каждый шаг был проще, чем при умножении традиционным способом, и гораздо более наглядный.

    Так почему же мало где в мире в обычных школах учат этим методам вычисления?

    Одной из причин может быть упор на обучение «вычислениям в уме» — чтобы развивать умственные способности.

    Однако Дэвид Уиз, учитель математики из Канады, работающий в государственных школах в Нью-Йорке, объясняет это иначе.

    «Недавно я прочитал, что причина, по которой используется традиционный метод умножения, — это экономия бумаги и чернил. Этот метод не был придуман как самый простой для использования, но как самый экономный с точки зрения ресурсов, поскольку чернила и бумага были в дефиците», — объясняет Уиз.

    Автор фото, Getty Images

    Подпись к фото,

    Для некоторых методов вычисления только головы недостаточно, нужны еще и фломастеры

    Невзирая на это, он полагает, что альтернативные методы умножения очень полезны.

    «Я не думаю, что это полезно — сразу учить школьников умножению, заставляя их выучивать таблицу умножения, но не объясняя им при этом, откуда она взялась. Поскольку если они забудут одно число, то как они смогут продвинуться в решении задачи? Метод майя или японский метод необходим, потому что с его помощью вы можете понять общую структуру умножения, а это хорошее начало», — полагает Уиз.

    Существует и ряд других способов умножения, например, русский или египетский, они не требуют дополнительных навыков рисования.

    Как говорят специалисты, с которыми мы беседовали, все эти методы помогают лучше понять процесс умножения.

    «Понятно, что все идет на пользу. Математика в сегодняшнем мире открыта как внутри, так и снаружи классной комнаты», — резюмирует Андреа Васкес, учительница математики из Аргентины.

    Длинное умножение на большие числа

    Длинное умножение может использоваться для двух чисел произвольно большого размера или количества десятичных цифр.Мы также можем выполнять длинное умножение для меньших чисел. Помогает, если мы все знаем нашу 10-кратную таблицу умножения.

    Теперь, если мы хотим умножить, скажем, 164×9, мы можем легко вычислить длинное умножение для меньших чисел, основываясь на наших знаниях таблицы умножения числа 9. Можно также умножить большие числа, используя тот же метод, который просто использует еще несколько шагов. Например, мы можем умножить 277×84. Самый простой способ выполнить длинное умножение — сначала написать длинное число, затем меньшее число непосредственно под ним с выровненными наименее значащими цифрами, а затем провести под ним горизонтальную линию.Верхнее число называется множимым, а нижнее число — множителем (в качестве множимого обычно выбирается число с большим количеством цифр). Результат умножения — произведение.

    Пример:

    Умножьте 277×84, используя длинное умножение.

    Решение: 2 7 7

    x 8 4

    Чтобы начать вычисление, вы умножаете последнюю цифру множимого, равную 7 , на последнюю цифру множителя, 4 .Это дает 28 . Вы пишете цифру из единиц 28, 8 , под строкой в ​​конце столбца. Вы пишете цифру десятков 28, 2 , над множимым в следующем столбце. Опять же, это называется переносом 2 вперед:

    2 7 2 7

    х 8 4

    8

    Теперь вы переходите к следующей цифре множимого, которой является 7 , и умножаете ее на последнюю цифру множителя, 4 .Это дает 28 , но вы должны добавить 2 к 28, поскольку вы перенесли 2 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 30 . Опять же, вы пишете единственную цифру 30, 0 , под линией рядом с 8, и переносите 3 вперед:

    2 3 7 2 7

    х 8 4

    0 8

    Наконец, вы переходите к первой цифре множимого, 2 , и умножаете ее на последнюю цифру множителя, 4 .Это дает 8 , но вы должны добавить 3 к 8, поскольку на предыдущем шаге вы перенесли 3 вперед, что дает нам 11 . Не нужно ничего переносить, так как мы завершили расчет числа 4 в множителе, поэтому просто запишите 11 , но мы еще не закончили:

    2 3 7 2 7

    х 8 4

    1 1 0 8

    Теперь мы, по сути, начинаем умножение заново, переходя к следующей цифре множителя — 8.Прежде чем мы это сделаем, поскольку мы переходим к следующей цифре множителя, мы должны продолжить умножение на следующей строке, но сначала добавить ноль в первую цифру, а затем провести под ней горизонтальную линию:

    2 7 7

    х 8 4

    1 1 0 8

    0

    (Обратите внимание, что числа, которые ранее были перенесены, теперь удалены)

    Теперь вы начнете с умножения последней цифры множимого, равного 7 , на следующую цифру множителя, 8 .Это дает 56 . Вы пишете единственную цифру 56, 6 , над последней строкой рядом с 0, и переносите 5 вперед:

    2 7 5 7

    х 8 4

    1 1 0 8

    6 0

    Теперь вы переходите к следующей цифре множимого, которой является 7 , и умножаете ее на следующую цифру множителя, 8 .Это дает 56 , но вы должны добавить 5 к 56, поскольку вы перенесли 5 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 61 . Опять же, вы пишете единственную цифру 61, 1 , над последней строкой рядом с 6, и переносите 6 вперед:

    2 6 7 5 7

    х 8 4

    1 1 0 8

    1 6 0

    Наконец, вы переходите к первой цифре множимого, 2 , и умножаете ее на следующую цифру множителя, 8 .Это дает 16 , но вы должны прибавить 6 к 16, так как вы перенесли 6 вперед на предыдущем шаге, что дает нам 22 . Не нужно ничего переносить, так как мы закончили вычисление числа 8 в множителе, поэтому просто запишите 22 , но мы еще не закончили:

    2 6 7 5 7

    х 8 4

    + 1 1 0 8

    2 2 1 6 0

    Наш последний шаг — просто сложить последние два числа, полученные в результате умножения:

    2 6 7 5 7

    х 8 4

    + 1 1 0 8

    2 2 1 6 0

    2 3 2 6 8

    Пример 1:

    Пример 2:

    Пример 3:

    длинное умножение

    длинное умножение

    Длинное умножение
    Джон Денкер

    * Содержание

    1. Предпосылки
    2 Несколько простых примеров
    3 Рецепт
    3.1 Обзор
    3.2 Держать вещи в правильном порядке
    3.3 Другой пример
    3.4 Обсуждение
    3.5 Концептуальная основа
    3.6 Терминология: произведение, множитель, множитель и множимое
    3.7 Терминология: время против умножения на
    4 Ссылки

    1 Предпосылки

    Краткое умножение относится к любой задаче умножения, которая состоит из умножения однозначного числа на другое однозначное номер.Это означает все от 0 × 0 до 9 × 9.

    Длинное умножение относится к умножению многозначных чисел. Мы собираюсь обсудить высокоэффективный алгоритм для этого.

    В качестве предварительного условия для выполнения длинного умножения вам необходимо уметь надежно делать короткое умножение.

    • Ваше короткое умножение не обязательно должно быть быстрым. Надежность важнее скорости, так что не торопитесь.
    • Вам не обязательно иметь краткие факты умножения полностью сохранен в памяти на этом этапе.Если необходимо, напишите таблицу умножения и используйте ее, чтобы помочь вам сделайте необходимые короткие умножения.

    Ваше краткое умножение будет ускоряться, постепенно с течением времени. В короткие факты об умножении закрепятся в вашей памяти, постепенно через некоторое время. Действительно, длинное умножение дает вам много практики делаем короткое умножение, так что мы можем убить двух зайцев одним выстрелом.

    Видео, посвященное этой теме, см. В ссылке 1. Для некоторых базовых общих советов о том, как выполнять математические вычисления, см. ссылка 2.Для обсуждения длинного деления см. Ссылка 3.

    2 Несколько простых примеров

    Давайте начнем с очень простого примера. Умножим 432 на 1. Вы можете делать это в уме. Ответ записан в цифра 1, в стандартной форме, используемой долгое время проблемы умножения.

    Умножение на 2 почти так же просто, как показано на рисунке 2:

    Умножение на 20 также легко; все, что нам нужно сделать, это сдвинуть предыдущий результат для одного места, как показано на рисунке 3:

    Вот более интересный пример.Умножим 432 на 21. Мы можем уменьшите рабочую нагрузку, если перепишем 21 как 20 + 1. Мы можем выразить это как уравнение:

    (1)

    Итак, теперь мы умножаем 4321 × (20 + 1). Уравнение:

    (2)

    Есть два способа понять, откуда приходит уравнение 2. от. Один из способов — начать с уравнения 1 и умножить обе части на 432. Другой способ — начать с левой части уравнение 2 и замените 21 на то, что равно Это; другими словами, сделать замену.

    К правой части применим закон распределения. уравнения 2. Это дает нам:

    432 × 21 = 432 × (20 + 1) (3а)
    = 432 × 20 + 432 × 1 (3b)

    Оба умножения в уравнении 3b просты, и действительно, мы их уже сделали.Подключаем результаты этих умножение дает нам:

    432 × 21 = 432 × (20 + 1) (4а)
    = 432 × 20 + 432 × 1 (4b)
    = 8640 + 432 (4c)

    Итак, на этом этапе умножения больше не нужно.Все это остается простая задача сложения, как показано на рисунке 4. Задача умножения, показанная серым цветом, точно соответствует задаче сложения, показанной черным.

    Обратите внимание, что мы можем обойтись без записи нуля в конце строки d на рисунке. Итоговый результат будет одинаковым, независимо от того, напишите этот ноль или нет, при условии, что мы будем правильно выстраивать все в столбцов, как показано на рисунке 5. В количестве система, которую мы используем, индуистская система счисления, о которой мы обычно думаем такие нули, как это необходимо для обозначения разряда.Тем не мение, это не совсем так. Вам не нужно писать нули, если у вас есть другой способ отслеживать числовую стоимость.


    Рисунок 5: Подавление ненужного нуля

    Вам разрешено писать ноль (как на рисунке 4) если это удобно, но вы также можете пропустить его (как в рисунок 5), если так удобнее.

    Длинное умножение зависит от выстраивания в столбцы, как способ отслеживание числовой стоимости. Поэтому, когда учишься делать долго умножение, используйте миллиметровку.Это поможет вам сохранить вещи правильно выстроились. При длительной работе очень важна аккуратность умножение.

    После того, как вы сделали сотни таких вещей и научились супер-аккуратный, вы можете обойтись без миллиметровой бумаги, но до тех пор вы будете избавьте себя от лишнего горя, если воспользуетесь миллиметровой бумагой. Лучшая вещь получить лабораторную книгу, которая представляет собой переплетенную книгу, содержащую пустой график бумага на каждой странице. Такие вещи дешевы и доступны в магазинах. канцелярские магазины. Второй лучший способ — использовать миллиметровую бумагу в форма подушечек или, возможно, вкладыши.Если у вас есть принтер к вашему компьютеру, есть приложения, которые будут печатать миллиметровую бумагу для вас, в любом мыслимом стиле.

    Сначала используйте миллиметровую бумагу
    .

    Обратите внимание, что числа, как правило, больше в высоту, чем в ширину. Для этого разум, вместо того, чтобы писать каждую строку чисел в строках миллиметровая бумага, выглядит лучше, если каждая строка чисел состоит из 1½ строк. ниже предыдущего.Вы можете увидеть, как это работает, на рисунках в эта секция.

    Принцип заключается в том, что миллиметровая бумага чтобы помочь вам, а не мешать вам. При использовании вертикальных линий полезно использовать вертикальные линии. При использовании горизонтальных линий в очевидный способ не является оптимальным, используйте их менее очевидным способом.

    Всегда много людей пытаются заставить вас раскрасить линий, но любая оригинальность, артистизм или творчество требует раскраска вне линий. Математика, если она сделана правильно, включает в себя множество творчества.Не бойтесь раскрашивать за пределами линий.

    Приведем еще один пример. Умножим 432 на 211. Воспользуемся Тот же трюк, что и раньше: мы выделяем 211, цифру за цифрой. То есть мы напишите 211 = 200 + 10 + 1. Умножить на 200 легко; просто умножь на 2, а затем сдвиньте результат на два десятичных знака. Вся процедура может быть проведен очень эффективно, если вы его правильно организуете, как показано на рисунке 6.

    3 Рецепт

    3.1 Обзор

    Рецепт длинного умножения основан на простых идеях:

    1. Разбейте указанные множители на отдельные цифры.
    2. Умножайте все по цифрам. Этот требует решения множества задач на краткое умножение.
    3. Сложите все продукты с учетом метисной стоимости.
    Длинное умножение
    = множество коротких умножений
    + сложение
    с разметкой.

    В основном мы будем использовать тот же подход, что и в Раздел 2.Единственная разница в том, что на этот раз мы нужно будет разделить и факторов на их отдельные цифры. (Раньше мы выбирали только часть вторую коэффициент.)

    Как упоминалось в разделе 2, основание для выполнения такие вещи основаны на законе распределения и аксиомах система счисления. Более подробно это обсуждается в разделе 3.5.

    Существует простой и надежный способ проведения расчетов. Мы проиллюстрируем этот метод с помощью вопроса, показанного на рисунке 7.

    Первый шаг — записать вопрос. Важно подвести увеличивайте числа, как показано, так, чтобы разряды единиц верхнего числа выравнивается с единицами в нижнем числе и т. д. для всех другие цифры. Выравнивание элементов по столбцам имеет решающее значение, поскольку столбцы представляют собой разряды. Как упоминалось в ссылке 2, порядок окупается.


    Рисунок 7: Пример длинного умножения №1 — Вопрос

    Если один из факторов длиннее другого, обычно будет удобнее разместить наверху более длинный.Это не обязательный, но это делает расчет немного более компактным.

    Знак умножения (×) можно опустить, если он очевиден из контекст, что это проблема умножения (в отличие от сложная проблема).

    Продолжаем цифру за цифрой, начиная с крайней правой цифры в нижний множитель и последовательно справа налево. Мы делаем вещи в порядке возрастания числовой стоимости, справа налево. Что делает смысл, особенно при добавлении, потому что перенос может повлиять на следующий столбец (слева), но не предыдущий столбец.Это противоположно направлению чтения английского текста, которое К сожалению, мы ничего не можем с этим поделать.

    Итак, давайте посмотрим на крайнюю правую цифру в нижнем множителе в нашем пример. Это 1. Мы умножаем эту цифру на каждую цифру другой фактор, цифра за цифрой, систематически работая справа налево по верхнему фактору.

    Мы размещаем эти результаты по порядку в строке c с учетом места ценность. Результат 1 × 7 заменяется единицами, 1 × 6 результат идет в разряде десятков, а результат 1 × 5 идет в разряда сотен и так далее, как показано в строке c на рисунке 8.На самом деле умножение на 1 настолько простое, что вы можно просто скопировать целое число 4567 в строку c, не задумываясь об этом очень тяжело. Пока что это похоже на то, что мы делали в Раздел 2.


    Рисунок 8: Пример длинного умножения №1 — Первая строка
    Примечание: вы можете оставить немного пространства над числами в строке c по причинам, которые станет очевидным позже.

    Также обратите внимание: на всех рисунках в этом разделе все, что показано на черный — это то, что вы на самом деле записываете, тогда как все, что показано в цвете — это просто комментарий, помещенный здесь, чтобы помочь нам разобраться в объяснение в первый раз.

    Это все, что нам нужно сделать с младшей цифрой нижнего фактор. Теперь перейдем к следующей цифре нижнего множителя. В в данном случае это 2.

    На этом этапе в этом примере все становится интересно, потому что некоторые из результаты краткого умножения состоят из двух цифр. Здесь нет способ записать их все в одну строку. К счастью, нам разрешено использовать несколько строк. Одна из возможностей — разложить вещи как показано на рисунке 9. Запишем 2 × 7 = 14 в строке d, а затем напишите 2 × 6 = 12 в строке e и так далее.


    Рисунок 9: Пример длинного умножения №1 — Форма распространения

    Теоретически возможно написать произведение 4567 × 2 на одна строка, но для этого потребуется внести кучу дополнений, но мы решите не делать этого. Мы собираемся сделать все вкратце сначала умножение, а потом все прибавления. Этот требуется немного больше бумаги, но сделать это намного проще, проще понять, и легче проверить.

    Как упоминалось ранее, процедура состоит в том, чтобы выбрать цифру из нижний множитель и умножьте эту цифру на каждую цифру верхнего фактор.Результат первого такого умножения 2 × 7 = 14, которые мы помещаем в строку d. Выравнивание здесь имеет решающее значение. 14 должны быть выровнен под 2, как показано. Это потому, что он «наследует» разрядное значение 2.

    Затем мы умножаем 2 × 6 = 12. У вас может возникнуть соблазн написать это в строка d, но там для нее нет места, поэтому она должна идти в строку e, как показано на рисунке. Снова выравнивание имеет решающее значение. Этот продукт сдвинули на одно место влево от предыдущего товара, потому что он наследует дополнительную месторасположение.Он наследует часть от 2 (в нижний фактор) и некоторые из 6 (в верхнем факторе). Поскольку мы работая систематически справа налево, вам не нужно думать о это слишком сложно; просто помните, что каждое из этих коротких делений товары необходимо сдвинуть на одну позицию влево от предыдущего, так как предложено диагональной пунктирной синей линией на рисунок 9.

    Позвольте мне объяснить цвет фона. В строке d число 14 имеет желтый фон, потому что он происходит от числа 7 в строке a, которое имеет желтый фон.Точно так же 12 в ряду e yas розовый фон, потому что он является производным от 6 в строке a, которая имеет розовый фон.

    Хотя рисунок 9 хорош для иллюстрации принципы задействованы, он без надобности распространяется. Это было бы лучше писать вещи более компактно, как показано на рисунке 10, потому что это упрощает их правильное хранение. выровнен. (Цель здесь не в экономии бумаги. Помните, что бумага дешево, и экономить бумагу почти всегда — плохая идея. Преимущество компактного представления в том, что оно делает его легче держать вещи выстроенными в столбцы.)


    Рисунок 10: Пример длинного умножения №1 — Компактная форма

    Обратите внимание на схему размещения последовательных результатов краткого деления на чередование рядов. Для этого гарантированно хватит места, потому что произведение двух однозначных чисел никогда не может иметь больше, чем две цифры.

    Мы закончили более чем половину пути.

    На этом этапе (или, возможно, раньше), если вы не используете сетку с разметкой бумагу, вам следует слегка набросать некоторые вертикальные направляющие линии. В таблица стала достаточно большой, так что есть некоторый риск испортить выравнивание, т.е.е. помещать вещи в неправильные столбцы, если вы не ставьте направляющие линии.

    Вот и все, что касается цифры «2» в нижнем множителе. Теперь приступим до цифры «3». Мы умножаем это на каждую цифру вверху фактор уже знакомым образом. Все краткое умножение результаты этого шага помещаются в строки f и g.

    На этом все краткие умножения завершены. В На рисунке 11 видно, откуда все взялось. Цветной фон указывает, какая цифра верхнего фактор был задействован, и строка указывает, какая цифра был задействован нижний фактор.


    Рисунок 11: Длинное умножение — предпоследнее Этап

    Все, что осталось, — это большая проблема сложения, добавление строк с по г включительно. Проведите линию под строкой g, как показано на рисунке 12, и начните добавлять.

    • Вы можете использовать пространство над строкой c для отслеживания переносов, если вы хотите
    • С другой стороны, ввод переносов не является обязательным. Там никогда не бывает очень много керри, и вам не нужно запоминать их на очень долго, поэтому отслеживать их легко, как бы вы это ни делали.Лично я предпочитаю , а не , пишущий переносчики. Это потому что всякий раз, когда я добавляю высокий столбец чисел, я делаю это дважды: один раз из сверху вниз и один раз снизу вверх. Это хороший способ перепроверьте результаты. При добавлении снизу вверх перенос становится добавлен внизу, а если он написан вверху, создаст больше проблемы, чем решает. На рисунке 13 показан пример дополнение с неписаным переносом.

    В любом случае результат большого сложения является результатом общая задача умножения, как показано в строке h рисунка 12.


    Рисунок 12: Длинное умножение — окончательный результат

    3.2 Соблюдение порядка выстраивания вещей

    Давайте предельно ясно скажем о правилах размещения вещей в правильном порядке. столбцы.

    Стоит подумать о произведениях краткого умножения в группах . Группы помечены на рисунке 12. Строка c — это «по одна »группа. Строки d и e образуют группу «на двадцать». Строки f и g образуют группу «по триста».

    Первое правило состоит в том, что каждая группа перемещается на одно место относительно в группу над ним.Например, самая правая цифра в строке d — сдвинута на одну позицию относительно крайней правой цифры в строке c. Аналогичным образом крайняя правая цифра в строке f сдвигается на одну позицию. относительно крайней правой цифры в строке d.

    У этого правила есть простое объяснение: группы наследуют разряды. от цифры в нижнем множителе, породившей группу.

    Как другой способ выразить то же правило: каждая группа выстраивается в очередь. под цифрой в нижнем множителе, породившем группу. За Например, на рисунке 12 группа на линиях f и g — это выстроились под 3 в нижнем факторе.Точно так же восьмерка на линии e сдвинут на одну позицию относительно 10 в строке d.

    Второе правило: внутри каждой группы каждое краткое умножение продукт смещен на одно место относительно предыдущего фактора в группа. Например, на рисунке 12 число 12 в строке e сдвигается на одну позицию относительно 14 в строке d.

    У этого правила также есть простое объяснение: каждый из продуктов наследует какое-то разрядное значение из цифры в верхнем множителе, которая дала начало продукт.

    3.3 Другой пример

    Давайте рассмотрим другой пример, показанный на рисунке 13, который иллюстрирует еще одну морщинку.

    Этот пример обращает внимание на ситуацию, когда некоторые из произведения краткого умножения имеют одну цифру, а другие — две. Вы можете увидеть это в строке c рисунка, где у нас 3 × 3 = 9 и 3 × 8 = 24. В большинстве случаев безопаснее притвориться, что у всех есть две цифры, что мы и сделали на рисунке, записав 9 как 09. Точно так же в строке d мы пишем 6 как 06.Это превращает работу в хороший последовательный узор. Это помогает вам держать все в порядке, и облегчает проверку работы.

    В некоторых случаях, например, 345 × 1 или 432 × 2, все продукты краткого умножения содержат одну цифру, поэтому вы можете напишите их все в одну строку, если хотите. Это меньше работы, и более компактный. С другой стороны, как уже говорилось в ссылке 2, всегда помните: бумага дешевая. Вы можете найти это полезно записывать произведения краткого умножения в виде двух цифр даже если вам это не нужно.

    Если хотя бы один из продуктов (кроме крайнего левого) требует две цифры, вам почти наверняка понадобятся две строки, поэтому вы с таким же успехом можно было бы использовать две строки.

    С математической точки зрения, запись однозначных продуктов двумя цифрами является нестандартно, но совершенно правильно. Он имеет преимущество делая алгоритм более систематическим и, следовательно, более легким для проверки.

    В любом случае результат сложения является результатом общего задача умножения, как показано в строке g на рисунке 13.Вот и все.

    3.4 Обсуждение

    Этот алгоритм обычно использует две строки промежуточных результатов для каждая цифра в нижнем множителе. В особых случаях мы можем обойтись один ряд.

    Другой отличительной чертой этого алгоритма является то, что мы сначала делаем все умножение, а затем все сложение. Каждый раз, когда мы делаем короткую умножение, мы просто записываем ответ. Здесь есть несколько основных Достоинства:

    1. Позволяет выполнять короткие умножения быстрее.Когда вы умножаясь, вы просто умножаетесь. Вам не нужно беспокоиться о добавление. Нет никаких керри, за которыми нужно следить.
    2. Есть меньше ошибок.
    3. Позволяет легко проверить вашу работу. Вы можете переделать каждый из умножения и убедитесь, что вы получили тот же ответ.

      И наоборот, если какой-либо из результатов краткого умножения выглядит подозрительно, можно легко выяснить, откуда он, и еще раз проверьте умножение.

    Это отличается от старомодного «учебного» подхода, который использует только одна строка на цифру, как показано ниже.Старомодный подход предположительно использует меньше бумаги — но преимущество в лучшем случае невелико, и если вы позволите комнате отслеживать «переносчиков» по ​​всей таблице, преимущество становится еще более сомнительным. К тому же бумага дешевая, поэтому экономить бумагу ценой изготовления алгоритм более сложный, трудоемкий и менее надежный.

    Старомодный подход может выглядеть более компактным, но он требует большего Работа. Вы должны сделать такое же количество коротких умножений, и больше количество добавлений.Это требует, чтобы вы сделали дополнения (включая переноски) по мере продвижения.

    И последнее, но не менее важное: это значительно усложняет проверку вашей работы.

    9026
    4 5 6 7
    × 3

    902 4 5 6 7
    9 1 3 4
    1
    1 1
    1 4 6 6 0 0 7

    Старомодный подход.
    Не рекомендуется.

    Как уже говорилось в ссылке 2, всегда помните: бумага — это дешевый. Возможность проверить свою работу важна; экономия бумаги не важно.

    3.5 Концептуальная основа

    Алгоритм длинного умножения, представленный здесь, гарантированно Работа. Это потому, что он напрямую основан на фундаментальных аксиомы арифметики, в том числе аксиомы системы счисления.

    Рассмотрим числа 4567 и 321, которые появились в разделе 3.1. Мы можем расширить 4567 как 4000 + 500 + 60 + 7. Это то что 4567 означает, согласно правилам индуистской системы счисления. Точно так же мы можем расширить 321 как 300 + 20 + 1.

    Причина такого расширения в том, что в сумме 4000 + 500 + 60 + 7, каждый член состоит из одной ненулевой цифры, причем некоторая номинальная стоимость.

    Следующий шаг — развернуть произведение 4567 × 321 как (4000 + 500 + 60 + 7) × (300 + 20 + 1). Затем мы можем выполнить продукт в развернутой форме, посрочно, путем многократного применения распределительное право.В нашем примере в первом фактор и три члена во втором множителе, что дает нам 12 членов в продукт, как показано в таблице 1. Каждый термин в произведение состоит из однозначного умножения — короткого умножение — с некоторым значением.

    :
    300 20 1
    602 1402 602 602 18000 1200 60
    500: 150000 10000 500 80000 4000
    Таблица 1: Длинное умножение, развернутое

    Итак, главное, что должен сделать алгоритм, — это помочь вам записать эти 12 чисел удобным, систематическим способом.

    Удобство состоит в том, что алгоритм избавляет вас от необходимости записывать все эти нули. Вы платите за это небольшую цену. Цена в том, что ты абсолютно необходимо, чтобы числа были правильно выстроены в столбцы.

    Правила написания чисел в столбцах не являются магическими; они всего лишь способ отслеживать числовую ценность. Они прямое следствие аксиом арифметики, в том числе аксиомы системы счисления.

    В частности, цифра «12», которая появляется в нижнем левом элементе таблица 1 — это та же цифра 12, которая появляется на слева от строки g на рисунке 12… и последний на подкладке вверх по столбцам, чтобы присвоить ему правильное разрядное значение.

    3.6 Терминология: произведение, множитель, множитель и множимое

    Слово «множимое» более или менее латинское означает «существо. приумножены ».

    На рисунке 7 некоторые люди настаивают, что верхнее число должно называться «множителем», а нижнее число должно быть называется «множимое». Между тем, другие люди настаивают на называя их наоборот. Довольно часто они используют слова способами, несовместимыми с предполагаемым определением.

    Все это ерунда. Умножение коммутативно. Притворяться видеть разницу между двумя числами — самая глупая вещь со времен священной войны между Big-Endians и Little-Endians.

    Кроме того, умножение ассоциативно, поэтому мы могли бы легко получить умножаются три или более вещей, как в 12 × 32 × 65 × 99, и тогда это явно безнадежно попытаться отличить множитель «от» множимое.

    В соответствии с современной практикой оба номера на рисунке 7 называются с коэффициентом и коэффициентом .Вы можете одинаково хорошо назвать оба их множители, или назовите их оба множителями. Наряду с тем же линий, современная практика говорит, что такое выражение, как 12 × 32 × 65 × 99 — произведение четырех факторов.

    3.7 Терминология: время против умножения на

    Существуют также священные войны относительно того, означает ли 4567 × 321 4567 «Умноженное на» 321 или 4567 «умноженное на» 321. Различие заключается в бессмысленно. Не беспокойся об этом.

    4 Ссылки

    Джон Денкер,
    «Долгое умножение» [видео] www.av8n.com/math/long-mult-videos.htm
    Аналогично: http://youtu.be/L0pSxu_ZaNM
    плюс http://youtu.be/agTHLP5nzS0
    Джон Денкер,
    «Советы по математике»
    www.av8n.com/math/math-hints.htm
    Джон Денкер,
    «Длинный дивизион
    » www.av8n.com/math/long-division.htm

    Что такое китайский метод умножения? — Видео и стенограмма урока

    Умножение на большее число

    Посмотрите на следующую диаграмму, появившуюся здесь:

    Начиная с левого нижнего угла, четыре сотни, три десятки и три единицы.Они пересекаются, начиная с верхнего левого угла, с одной десяткой и двумя.

    Они разделяются на разряды путем умножения разряда строк, как и в предыдущем примере. Однако на этот раз у нас также есть разрядное значение 100 x 10 = 1000, так что это столбец тысяч.

    Хорошо, посчитайте, где пересекаются линии на каждом участке.

    Теперь вы заметите, что когда вы идете считать скрещенные палочки, в разряде сотен у вас есть 11.Как и при обычном умножении, у вас не может быть двух цифр в столбце, поэтому вы должны переместить их в столбец тысяч. Когда вы это сделаете, тогда в вашем столбце тысяч будет 5 вместо 4. После этого вы увидите, что 433 x 12 = 5 196. Не сложнее, правда?

    А нули?

    Теперь посмотрите на следующую диаграмму, которая появляется здесь:

    При обычном умножении, когда вы умножаете на ноль, ответ всегда равен нулю.То же самое! Там есть красная линия, показывающая, что ноль — это разряд десятков, но она перечеркнута, чтобы не засчитывалась.

    Теперь определите столбцы разряда, умножая разряды. Если вам нужно, посмотрите на нашу вторую диаграмму.

    Наконец, расставьте точки везде, где пересекаются линии, а затем посчитайте точки на каждом участке. Вы должны были получить 4256 штук.

    Довольно круто, правда ?!

    Итоги урока

    Хорошо, давайте на минутку вспомним, что мы узнали.Китайский метод , или метод умножения с помощью палочек, включает в себя правильное размещение и скрещивание палочек. Вы просто раскладываете палочки в соответствии с разрядами умножаемых цифр. Затем вы считаете места пересечения палочек.

    2- и 3-значное умножение

    В этом посте мы рассмотрим , чтобы узнать, как умножать на двузначные и трехзначные числа .

    Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим, что такое члены умножения . :

    • Факторы: Факторы — это числа, которые умножаются.
    • Произведение: Произведение является результатом умножения.
    • Множаемое: Множаемое — это число (множитель), которое умножается.
    • Множитель: Множитель — это число (множитель), на которое вы производите умножение.

    Обычно первым записывается множитель с большим числом цифр. Обычно множимое больше множителя.

    Теперь посмотрим, что такое шагов для умножения на двузначные и трехзначные числа .

    Первый шаг: Умножьте единичную цифру нижнего множителя (множителя) на верхний множитель (множимое) и запишите результат в строке ниже.

    Давайте посмотрим на пример. Если мы умножаем 781 x 95, первое, что нужно сделать, это умножить на 5, что находится в разряде единиц 95, на каждую из цифр верхнего множителя справа налево и поместить результат 3905 на строку ниже, как показано на изображении.

    Второй шаг: Умножьте цифру в разряде десятков нижнего множителя на верхний множитель и запишите результат в строке ниже, но поставьте 0 в разряде единиц, так как эта часть умножения является числом десятков.Продолжим пример. Теперь мы умножаем 9, учитывая, что оно находится в разряде десятков нижнего множителя 95, на верхний множитель 781. Результат, 7029, должен быть записан под 3905, но перемещен на одну позицию влево.

    Третий этап: Добавьте продукты. Как мы видим на изображении, мы складываем продукты, и результат умножения равен 74,195.

    Если нижний коэффициент (множитель) представляет собой трехзначное число , за результатом умножения разряда сотен будут два 0.Давайте посмотрим на другой пример. Если мы умножаем 367 x 251, первое, что нужно сделать, — это умножить цифру в разряде единиц 251, то есть 1, на 367. Результатом будет 367, и мы поместим его в строку ниже.

    После того, как мы умножим цифру в разряде десятков 251, то есть 5, на 367. Результатом будет 1835, и мы поместим его в строку ниже, а вместо единиц поставим 0.

    Затем мы умножаем цифру в разряде сотен 251, то есть 2, на 367. Результатом будет 734, и мы поместим его в строку ниже, за которой следует 0 в разрядах десятков и 0 в разрядах единиц. место.

    Наконец, мы производим сложение, и получается 92 117.

    Если вы хотите попрактиковаться в умножении на 2- и 3-значные числа и заняться более элементарной математикой, попробуйте Smartick бесплатно!

    Подробнее:

    Развлечение — любимый способ обучения нашего мозга

    Дайан Акерман

    Smartick — увлекательный способ изучения математики
    • 15 веселых минут в день
    • Адаптируется к уровню вашего ребенка
    • Миллионы учеников с 2009 года

    Команда по созданию контента.
    Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создавать максимально качественные математические материалы.

    Как умножить — новый способ умножить

    Мастера математики из Numberphile вернули старинный алгоритм умножения, известный как половинки и удвоения, крестьянская математика, египетская математика или, как описывает это математик Джонни Болл, русское умножение.

    Этот контент импортирован с YouTube.Вы можете найти тот же контент в другом формате или найти дополнительную информацию на их веб-сайте.

    Чтобы применить метод, начните с написания двух чисел, которые вы хотите умножить, в верхней части двух столбцов. В левом столбце вы постепенно уменьшаете число вдвое и берете целочисленный нижний предел любых «полутора» значений, вплоть до 1. В правом столбце вы удваиваете число столько раз, сколько цифр в левом столбец.

    Кэролайн Делберт

    Просмотрите заполненную таблицу и удалите все строки, в которых левый столбец имеет четное значение.Это включает исходный термин на самом верху.

    Кэролайн Делберт

    Теперь, когда вы добавите оставшиеся термины в правый столбец, вы получите решение.

    Кэролайн Делберт

    Метод работает для всех чисел и работает в любом случае, если вы укажете исходные условия.

    Кэролайн Делберт

    Подожди, что здесь происходит?

    Джонни Болл представляет этот метод как забавную вещь, которой его учили давным-давно, когда он гулял в «детской комнате» паба.(Никогда не изменяйте, Великобритания). Человек, который научил его этому, назвал это русским умножением, и Болл объясняет, что этот метод зародился не в России, а за тысячи лет до этого в Древнем Египте. И, что особенно важно, метод отображается в двоичной системе счисления.

    Двоичная — это общий термин для обозначения системы счисления с основанием 2, где значения представлены 0 и 1 в степени 2. Вот несколько целых чисел, записанных в виде двоичных значений, чтобы вы могли видеть значение в каждой позиции. .

    Кэролайн Делберт

    Если вы заметили, что метод «деления пополам и удвоения» имеет хотя бы внешнее сходство с тем, как двоичные значения удваиваются от столбца к столбцу, вы правы. Создание двоичных чисел из десятичных (с основанием 10) значений похоже на внесение изменений: вы находите наивысший номинал, который соответствует вашему числу, не выходя за рамки, а затем вычитаете его. Затем вы находите наивысший номинал, который соответствует вашему новому номеру , не выходя за рамки, и вычитаете его.

    Древним людям все еще приходилось заниматься математикой, но представьте себе, что вы можете рассчитывать даже довольно простые вещи без бумаги для заметок — или если вас никогда не учили писать. Метод, который большинство детей изучает в школе, долгое умножение, включает в себя множество шагов с отдельными продуктами, которые вы должны записать и объединить позже. Деление вдвое и удвоение позволило нашим предкам использовать физические счетчики и производить вычисления, «внося изменения».

    Если вы похожи на меня, вы потратили большую часть видео Numberphile на размышления о том, был ли этот метод уловкой, вроде той уловки, которая опирается на математические факты о числе 9, чтобы каждый раз угадывать чье-то «секретное число». время.И, возможно, вас также интересовали исключения из этого метода. Насколько я могу судить, на самом деле их нет. Даже степень двойки сама по себе будет нарушена, так что вы вычеркнете все в обоих столбцах, кроме последнего — на самом деле, последнего «1» — и это единственное значение и будет вашим ответом.

    Кэролайн Делберт

    Кэролайн Делберт Кэролайн Делберт — писатель, редактор книг, исследователь и заядлый читатель.

    Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти дополнительную информацию об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

    Умножение на целые десятки и сотни

    Это полный урок с инструкциями и упражнениями для четвертого класса по умножению на целые десятки и сотни.В уроке объясняется, как работает ярлык, а также объясняется, почему он работает. Он содержит множество упражнений для студентов, в том числе словесную задачу.


    Мы изучили ЯРЛЫКИ для умножения любого числа на 10, 100 или 1000:

    Чтобы умножить любое число на 10 , просто тег ОДИН ноль на конце.

    Умножить любое число на 100 , всего теги ДВА нуля на конце.

    Чтобы умножить любое число на 1000 , просто тег ТРИ нуля на конце.

    10 × 481 = 4,810

    100 × 47 = 4700 1000 × 578 = 578 000 90 269
    Обратите особое внимание на то, что происходит, когда число, которое вы умножаете, уже оканчивается на ноль или нули. Правило работает так же; вам все равно нужно пометить ноль или нули.
    10 × 800 = 8000 100 × 6 600 = 660 000 90 269 1000 × 40 = 40 000 90 269

    1. Умножить.

    а. 10 × 315 = _______

    3,560 × 10 = _______

    35 × 100 = _______

    г. 100 × 6200 = _______

    10 × 1200 = _______

    100 × 130 = _______

    г. 1000 × 250 = _______

    38 × 1000 = _______

    10 × 5000 = _______

    SHORTCUT для умножения на 20 или 200 (Вы наверно догадываюсь!)

    Что такое 20 × 14?

    Представьте себе проблему без нуля.
    Тогда получается 2 × 14 = 28. Затем просто отметьте цифрой ноль 28, чтобы получилось 280.
    Так, 20 × 14 = 280.

    Что такое 200 × 31?

    Представьте себе проблему без нулей.
    Тогда получится 2 × 31 = 62. Затем просто отметьте двумя нулями полученного результата, так что
    получить 6200. Другими словами, 200 × 31 = 6200.

    2. А теперь попробуйте! Умножьте на 20 и 200.

    а.

    20 × 8 = _______

    4 × 20 = _______

    20 × 5 = _______

    б.

    200 × 7 = ________

    5 × 200 = ________

    11 × 200 = ________

    г.

    20 × 12 = _______

    35 × 20 = _______

    200 × 9 = _______

    г.

    20 × 16 = _________

    42 × 200 = ________

    54 × 20 = _________

    Почему работает ярлык?
    Он основан на том, что умножать можно в любом порядке.
    При умножении на 20 мы можем заменить 20 на 10 × 2. Например:

    20 × 14 = 10 × 2 × 14

    В этой задаче сначала умножьте 2 × 14 = 28.Тогда задача принимает вид 10 × 28, что, как мы знаем, равно 280.

    20 × 14 = 10 × 2 × 14

    = 10 × 28

    = 280

    Вот и все!

    Давайте попробуем то же самое с 200. Например,

    200 × 31 = 100 × 2 × 31

    В этой задаче сначала умножьте 2 × 31 = 62. Теперь задача принимает вид 100 × 62, что составляет 6200:

    .

    100 × 2 × 31

    = 100 × 62

    = 6200

    3.Попробуй сам! Заполните.

    а. 20 × 7

    = ______ × 2 × 7

    = 10 × ______

    = ________

    г. 20 × 5

    = ______ × 2 × 5

    = 10 × ______

    = ________

    г. 200 × 8

    = ______ × 2 × 8

    = 100 × ______

    = ________

    г. 200 × 25

    = ______ × 2 × 25

    = 100 × ______

    = ________

    4. Сарай Марка имеет размеры 20 на 15 футов. Какова его площадь? Напишите число приговор.
    «А» означает площадь.

    А = __________________________________

    5. Напишите числовое предложение и найдите
    площадь подъездной дороги Марка.

    А = __________________________________

    6.Марку сказали, что ему нужно четыре грузовика гравия, чтобы покрыть подъездную дорожку.
    Один грузовик стоит 5 × 20 долларов плюс 30 долларов за доставку. Как много будет
    стоило ему засыпать подъездную дорожку гравием?

    SHORTCUT для умножения на целые десятки и целые сотни

    Тот же принцип работает, если умножить на целые десятки (30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90): просто умножьте 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, а затем добавьте к конечному результату ноль.

    Аналогично, если умножить на какое-то целое сто, ПЕРВЫЙ умножить без эти два
    нулей, а затем пометьте два нуля к конечному результату.

    50 × 8 = 400 90 × 11 = 990 300 × 8 = 2400 12 × 800 = 9 600 90 269

    7. Умножить.

    а. 40 × 3 = ______

    8 × 20 = ______

    г. 70 × 6 = _______

    50 × 11 = ______

    г. 80 × 9 = _______

    30 × 15 = _______

    г. 60 × 11 = _______

    12 × 40 = _______

    e. 200 × 9 = ______

    7 × 400 = ______

    ф. 700 × 6 = ______

    600 × 11 = ______

    г. 200 × 12 = ______

    15 × 300 = ______

    ч. 3 × 1100 = ______

    8 × 900 = ______

    и. 11 × 120 = ______

    8 × 300 = ______

    Это даже так работает:
    Чтобы умножить 40 × 70, просто умножьте 4 × 7 и отметьте результат двумя нулями:

    40 × 70 = 2 800

    Чтобы умножить 600 × 40, просто умножьте 6 × 4, и отметьте результат тремя нулями:

    600 × 40 = 24 000

    Чтобы умножить 700 × 800, просто умножьте 7 × 8 и отметьте четыре нуля результат.

    700 × 800 = 560 000

    8. Умножение.

    а. 20 × 90 = _________

    70 × 300 = ________

    г. 60 × 80 = ________

    30 × 900 = ________

    г. 400 × 50 = ________

    200 × 200 = ________

    г. 80 × 800 = ________

    200 × 500 = ________

    e. 100 × 100 = _______

    40 × 30 = ________

    ф. 800 × 300 = ________

    90 × 1100 = ________

    Напишите числовое предложение для каждого вопроса.

    9.В одном часе ______ минут.
    Сколько минут в 12 часах?

    Сколько минуты в 24 часах?

    10. В одном часе ______ минут, а в одном в минуте ______ секунд.

    Сколько секунд в часе?

    11. Эд зарабатывает 30 долларов в час.

    а. Сколько он будет зарабатывать за 8-часовой рабочий день?

    г. Сколько он будет зарабатывать за 40-часовую рабочую неделю?

    г. Сколько дней ему нужно будет работать, чтобы заработать больше 1000 долларов?

    12. Найдите недостающий фактор. Думайте «задом наперед»! Сколько нулей тебе нужно?

    а. _______ × 3 = 360

    _______ × 50 = 450

    г. 40 × _______ = 320

    5 × ________ = 600

    г. ________ × 40 = 400

    ________ × 2 = 180

    г. _______ × 30 = 4800

    _______ × 200 = 1,800

    e. 40 × ________ = 2,000

    6 × _________ = 4200

    ф. ______ × 800 = 56 000

    _______ × 20 = 12 000

    Джон хотел доказать, что 40 × 70 — это действительно 2800 к
    . разбивая умножение на более мелкие части.Он написал 40 как
    4 × 10 и 70 как 7 × 10, а затем умноженные в другом порядке:

    40 × 70 = 4 × 10 × 7 × 10

    = 10 × 10 × (4 × 7) = 100 × 28 = 2800.

    Вы делаете то же самое, и Докажите, что 600 × 50 действительно 30 000.


    Этот урок взят из книги Марии Миллер «Math Mammoth Multiplication 2», размещенной на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.



    Метод умножения общего ядра

    Новый способ обучения учащихся начальной школы умножению вызывает некоторые споры, но он может быть проще, чем метод, которому вы, вероятно, научились в школе.

    Вы, вероятно, изучали умножение с помощью метода длинных форм, который предполагает перенос различных цифр.В наши дни многие ученики начальной школы учатся умножать с помощью «квадратного метода». Этот новый метод является частью спорных Common Core Standards, которые также представили новый способ выполнения вычитания.

    NPR недавно продемонстрировало «блочный метод», попросив четвероклассника объяснить, как умножить 7 на 23. Мы впервые увидели это видео в статье Daily Caller, в которой его критиковали.

    Вот как работает «блочный метод»:

    Сначала вы разделите большее число на отдельные части.Здесь 23 становится 20 и 3.

    Скриншот через YouTube

    Затем вы умножаете каждую отдельную часть — 20 x 7 и 3 x 7.

    Скриншот через YouTube

    Наконец, вы складываете все продукты вместе. 140 + 21 равно 161, произведение 23 x 7.

    Скриншот через YouTube

    Хотя блочный метод по сути такой же, как и стандартный алгоритм, он гораздо лучше иллюстрирует, что происходит в задаче многозначного умножения.23 умножить на 7 на самом деле просто сумма 20 умножить на 7 и 3 умножить на 7, основываясь на основных правилах арифметики и разложения. Ящичный метод сразу же проясняет это, в то время как традиционный метод сбивает этот простой факт с путаницей из переносящих и нечетных частичных умножений и сумм.

    Вот числовая разбивка «блочного метода» по сравнению с традиционным «длинным методом»:

    Скай Гулд / Business Insider

    Посмотрите полное видео NPR, объясняющее «блочный метод» ниже: