Умножение столбиком правила: Как правильно умножать столбиком с нулями

Содержание

Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения

Время чтения: 24 минуты

384

Данный материал будет посвящен изучению дробных чисел. А именно десятичных дробей их основных свойств и правил умножения.

Мы рассмотрим все виды дробей и как с ними работать. Какие способы применяют для их быстрого и точного вычисления

Для начала дадим определение десятичной дроби. Это число, которое после запятой имеет характерный остаток

Примеры десятичных дробей: 145,14; 12,85; 1,23.

В свою очередь данный вид дробей подразделяется на следующие категории:

  • Конечные — если после запятой присутствует окончательное число.

Например: \[\pm a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} \ldots .{-k}\]

Основные свойства дробей:

Изменение величины десятичной дроби не произойдет, даже если к ней добавить справа несколько нулей. Это свойство принято считать одним из самых главных для данного вида дробей.

Если в рассматриваемом дробном значении наблюдается множество нулевых значений, тогда их просто исключают, так как никакого влияния на значение они не имеют.

 Рассмотрим несколько простых и понятных для ознакомления примеров решения данных дробей

  • 0,900 = 0,9;
  • 22,10200000 = 22,102;
  • 0,45000=0,45;
  • 0,12569000=0,12569;
  • 0,780=0,78.

Основные характеристики десятичных дробей

  1. Дробное число, не будет иметь какого — либо значения, если в знаменателе нулевое число. Деление на ноль в математике строго запрещено.
  2. Нулю будет равна дробь, у которой в числителе значится нулевое значение. В знаменатель — нет.
  3. Если значения, которые находятся в числителе и знаменателе разделить или умножить на любое действительное число. То получится дробь равная ей по значении.
  4. Если взять две дроби: \[\frac{a}{b} \text { и } \frac{c}{d}\] то они называться будут равными при \[a \cdot d \text { или } b \cdot c\].

Существующая взаимосвязь между дробями различных категорий и видов

  • Целая часть десятичной дроби всегда будет равной такой части дроби, только смешанного типа;
  • Когда значение в числителе меньше значения знаменателя, то нулю равна целая часть дроби;
  • Количество значений после запятой, определяется в зависимости от количества нулей, которые записаны в знаменателе обыкновенной дроби.

Правило записи десятичной дроби

Пример №1. Нужно преобразовать  обыкновенную дробь \[\frac{16}{10}\] в десятичную.

Принцип решения задачи:

Если в знаменателе число 10, а по правилам это будет только один ноль. Справа налево отсчитываем, в числителе один знак. И после этого ставим запятую. Получаем десятичную дробь, где: число один является целой частью, а шесть дробной.

\[\frac{16}{10}=1,6\]

Пример №2: Перевести \[\frac{39}{1000}\] в десятичную дробь.

Теперь видим, что, знаменатель равен 1000 и нужно использовать для решения три нуля. Проводим те же действия что и в первом примере. Получаем десятичную дробь. Где нулевое значение — это целая часть, а все остальное — это дробная часть.

\[\frac{39}{1000}=0,039\]

Ознакомившись кратко с десятичными дробями, перейдем к изучению правил их умножения.

Принцип умножения десятичных дробей

Для умножения десятичных дробей необходимо, произвести следующие действия.

  • Дробь записать в виде так называемого математического столбика. Далее рассмотреть заданное значение, как обыкновенные действительные числа и подсчитать их;
  • Все знаки за запятой подсчитать и сложить сумму;
  • Полученную сумму справа налево отложить и поставить запятую.

Для данного вида дробей характерны все те же действия, что и для остальных чисел.

Если переставить местами множители, на окончательный ответ это не повлияет.

если мы хотим умножить число на произведение двух и более. Сначала умножаем данное число на первый множитель затем полученное значение на второй и так далее.

Чтобы умножить сумму на множитель. Нужно по отдельности умножить числа и полученную сумму сложить.

Если проводим умножение на разность чисел, то для начала умножаем на уменьшаемое, а затем на вычитаемое. Следовательно полученные значения вычитаем.

Также процесс умножения можно упростить. Десятичные дроби умножить как действительные целые числа, и поставить запятую.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Определить произведение чисел \[1,5 \cdot 0,75\]

Первым делом преобразуем дробь. Заменим десятичную. на обыкновенную.

0,75=75/100

\[1,5=\frac{15}{10}\]

Затем проводим сокращение дробных значений и выделяем, по уже изученным правилам целую часть.

\[\frac{125}{1000}\]  можно преобразовать и получить следующую дробь 1,125.

Ответ: 1,125.

Пример №2:

Определить произведение чисел \[5,382 \ldots \cdot 0,2\]

Первое значение является бесконечной дробью. Ее рекомендуется округлить до сотых значений. Получается \[5,382 \ldots \approx 5,38\].

Второй множитель округлять не требуется, это не имеет смысла.

Далее можно произвести вычисление \[5,38 \cdot 0,2=\frac{538}{100} \cdot \frac{2}{10}=\frac{1,076}{1000}=1,076\]

Следовательно, получаем ответ к нашей задаче: 1,076.

Пример №3:

Необходимо умножить две периодические дроби.

\[0,(3) \cdot 2,(36)\]

Преобразуем заданные значения в обыкновенную дробь.

\[0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+\ldots=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]

\[2,(36)=2+(0,36+0,0036+\ldots)=2+\frac{0,36}{1-0,01}=2+\frac{36}{99}=2+\frac{4}{11}=2 \cdot \frac{4}{11} \frac{26}{11}\]

\[\Rightarrow 0,(3) \cdot 2,(36)=\frac{1}{3} \cdot \frac{26}{11}=\frac{26}{33}\]

Полученную в конечном итоге обыкновенную дробь приводим к десятичной.  В столбик разделим числитель на знаменатель.

Окончательный ответ : \[0,(3) \cdot 2,(36)=0,(78)\].

Умножение десятичных дробей при помощи столбика

Умножение столбиком выполняя на условии, что на запятые никакого внимания не уделяется (они игнорируются)

В итоговом результате ставится знак запятой справа. Отделяется столько запятых, сколько множители имеют десятичных знаков вместе.

Если не хватает цифр, то принято в окончательном ответе дописывать нули.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

Пример №1:

Нужно найти значение произведения, следующих чисел: 63,37 и 0,12.

Выполняем умножение, не обращая внимание на запятые.

Далее определяемся с запятой, где ее ставить. Она будет через четыре цифры справа. Потому что сумма десятичных знаков двух множителей равна 4.

Нули в данной ситуации не записываются. Это связано с достаточным количеством чисел.

Получаем окончательное значение равное 7,6044.

Пример №2:

Заданные числовые, дробные выражения 3,2601 и 0,0254, необходимо умножить между собой.

Для этого применим умножение столбиком.

Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны.  Потому что заданные дроби, вместе, имеют восемь знаков после запятой.

Нули в данной ситуации записываются. Это связано с недостаточным количеством значений.

Получаем окончательное значение равное: 0 , 08280654

Как правильно умножить десятичные дроби на 0,001;0,01;0,1.

Для того чтобы умножить десятичную дробь на следующие значения: 0,1;0,01; 0,001, необходимо перенести знак запятой. Переносится знак в левую сторону, на количество знаков равное количеству нулей перед единицей.

Значение ноль целых, так же отсчитывается. При нехватке количества цифр, нужно дописать недостающее количество нулей.  

Примеры

\[35,9 \cdot 0,1=3,59;\]

\[1,9 \cdot 0,1=0,19;\]

\[145,6 \cdot 0,01=1,456;\]

\[9644,1 \cdot 0,001=9,6441;\]

\[22,9 \cdot 0,0001=0,00229.\]

Решим несколько примеров для закрепления материала.

Пример 1

Нужно произвести умножение значение: 9,4 и 0,0001.

Так как 0,0001 имеет четыре нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[9,4 \cdot 0,0001=0,00094\]

Ответ: 0,00094.

Пример 2

Нужно произвести умножение значение: 11.4 и 0,001.

Так как 0,001 имеет три нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[11,4 \cdot 0,001=0,00114\]

Ответ: 0,00114.

Пример 3

Умножаем следующие значения: 6,4 и 0,01.

Так как 0,01 имеет два нуля, то переносим запятую в первом множителе заданное количество и получаем следующее значение.

\[6,4 \cdot 0,01=0,064\]

Ответ: 0,064.

Условие умножения десятичной дроби с натуральным показателем

Принцип умножения дробей данного вида, такой же как и между десятичными. Используются и принимаются к сведению все те правила, которые были изучены ранее.

Подробно рассмотрим на примерах и решим их.

Пример №1:

Нам нужно вычислить произведение из числовых значений.

\[15 \cdot 2,27\]

Для этого воспользуемся правилом умножения через столбик.

Следовательно, ответ задачи, исходя из вычисления равен: 34,05.

Пример №2:

Даны числовые значения 0,(42) и 22. Необходимо найти их произведение.

Для начала преобразуем периодическую дробь в обычную.

И получим следующее выражение:

\[0,(42)=0,42+0,0042+0,000042+\ldots=\frac{0,42}{1-0,1}=\frac{0,42}{0,99}=\frac{42}{99}=\frac{14}{33}\]

Следом проводим умножение: \[0,(42) \cdot 22=\frac{14}{33} \cdot 22=\frac{14 \cdot 22}{3}=\frac{28}{3}=9 \frac{1}{3}\].

Итоговый результат, будет записываться в виде периодической дроби, как и было задано изначально.

Ответ: \[0,(42) \cdot 22=9,(3)\]

Пример №3:

Даны значения и нужно их умножить \[(4 \cdot 2,145)\]

Для начала округляем бесконечную дробь до сотых значений. Умножаем полученные значения и получаем окончательный ответ к задаче.

\[4 \cdot 2,145 \ldots \approx 4 \cdot 2,15=8,60\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10

Чтобы выполнить умножение на перечисленные числовые значения, нужно вспомнить правило переноса запятой. Это перенос вправо на количество нулей в множителе. Имеющиеся лишние нули можно просто убрать. А при недостатке нулевых значений, их можно дописать.

Примеры

\[1,11 \cdot 10=11,1\]

\[22,335 \cdot 100=2233,5\]

\[8,79 \cdot 1000=8790\]

\[0,34678 \cdot 10000=3467,8\]

\[0,02 \cdot 1000=20\]

\[0,00045 \cdot 100=0,045\]

Разберем на числовом примере принцип решения подобных задач:

Пример №1:

Вычислить значения 100 и 0,0783

Сначала переносим в десятичной дроби знак запятой. Так как в значении 100 два нуля, то запятая вправо переносится на два значения.

Следовательно, мы получаем следующее значение 007,83. Первые два нуля убираем, за ненадобностью и получаем ответ 7,83.

Ответ: \[0,0783 \cdot 100=7,83\]

Пример №2:

В этой задаче нужно найти значение двух числовых данных 0,2 и 10 000.

Вправо переносим запятую на четыре цифры. Так как второй множитель имеет четыре нуля. Так как нулей в исходном значении недостаточно их нужно дописать. Нам необходим только один ноль.  Из этого получаем следующее число 0,02000. Переносим знак запятой вправо и получаем 0200,0. Передний ноль перед двойкой убираем. Он нам не нужен. И получаем следующий ответ задачи: 200.

Принцип умножения десятичной дроби с обыкновенной и со смешанной дробью

Чтобы произвести данную операцию, необходимо выполнить следующие требования:

  1. Десятичную дробь преобразовывают в обыкновенную и умножаем с нужным числом.
  2. В десятичную переводим обыкновенную или смешанную дробь и далее умножаем друг с другом.

Ниже приведены примеры решения задач.

Пример №1. Найти произведение \[\frac{3}{5}\] на 0,9.

Поэтапный процесс решения.

1) Записываем 0,9 в виде обыкновенной дроби, а именно \[0,9=\frac{9}{10}\]

2) Умножаем цифры по правилам математики \[\frac{3}{5} \cdot \frac{9}{10}=\frac{27}{50}=0,54\].

Ответ: \[\frac{3}{5} \cdot 0,9=0,54\]

Пример №2. Найти произведение чисел \[0,18 \text { на } 3 \frac{1}{4}\].

Выполняем следующие действия:

1) Записываем \[3 \frac{1}{4}\] в виде десятичной дроби: \[3 \frac{1}{4}=3,25\].

2) Вычисляем известные нам значения: \[0,18 \cdot 3,25=0,585\]

Ответ: \[0,18 \cdot 3 \frac{1}{4}=0,585\]

Пример №3:

Даны следующие значения \[0,4 \text { и } 3 \frac{3}{5}\]. По условию задач нужно найти их произведение, иными словами умножить.

Первым делом 0,4 переведем в десятичную дробь и получим значение: \[0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\].

Затем проводим вычисление: \[0,4 \cdot 3 \frac{3}{5}=\frac{2}{5} \cdot \frac{23}{6}=\frac{23}{15}=1 \frac{8}{15}\].

Полученный ответ является смешанным значением. Его необходимо перевести в значение периодической дроби.  А именно: 1,5(3).

Следовательно, это и ответ задачи. 1,5(3).

Пример №4:

Вычислить произведение заданных чисел: \[3,5678 \ldots . . \text { и } \frac{2}{3}\]

Второй множитель, можно рассмотреть и записать как \[\frac{2}{3}=0,666 \ldots \ldots\]

Затем оба множителя распишем, и получим тысячный разряд. Получаем десятичные дроби и вычисляем значения. 3,568 и 0,667.

Для расчета применяем расчет с помощью столбика.

Получим итоговый результат и округлим его до трех знаков после запятой. Потому что именно до тысячных знаков, мы округляем исходные данные.

\[2,379856 \approx 2,380\]

Тема десятичных дробей материал довольно емкий. Который включает в себя много различных моментов. Их необходимо учитывать при решении задач и примеров. А именно:

  • принцип переноса знака запятой, на количество нулей;
  • преобразование десятичных дробей в иной вид дроби.

Обязательно помнить один из главных моментов в алгебре, а именно деление на ноль. Точнее сказать его запрет. Всегда нужно, помнить, что на ноль деление запрещается. И если нулевое значение имеет числитель дроби, то она всегда будет приравнена к нулю.

Соблюдая все изученные характеристики и свойства дробей, а также главные правила математики, можно решать задачи данного типа без особых трудностей.

Оценить статью (1 оценка):

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Популярные статьи

умножение в столбик — это… Что такое умножение в столбик?

умножение в столбик
мат. long multiplication

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • умножение в обычном порядке
  • умножение в строчку

Смотреть что такое «умножение в столбик» в других словарях:

  • Умножение Карацубы — метод быстрого умножения, который позволяет перемножать два n значных числа со сложностью вычисления: Этот подход открыл новое направление в вычислительной математике [1][2]. Содержание 1 История …   Википедия

  • Арифмометр — 1932 года выпуска. Арифмометр (от греч. αριθμός «число», «счёт» и греч …   Википедия

  • Карацуба, Анатолий Алексеевич — Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937 …   Википедия

  • Список алгоритмов — Эта страница информационный список. Основная статья: Алгоритм Ниже приводится список алгоритмов, группированный по категориям. Более детальные сведения приводятся в списке структур данных и …   Википедия

  • Программируемые алгоритмы —       Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не устанавл …   Википедия

  • Карацуба — Карацуба, Анатолий Алексеевич Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937(1937 01 31) …   Википедия

  • Длинная арифметика — Длинная арифметика  в вычислительной технике операции над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. По сути арифметика с большими числами представляет собой набор алгоритмов выполнения базовых …   Википедия

  • Алгоритм Фюрера — (англ. Fürer’s algorithm)  быстрый метод умножения больших целых чисел. Алгоритм был построен в 2007 году швейцарским математиком Мартином Фюрером[1] из университета штата Пенсильвания как асимптотически более быстрый алгоритм, чем его… …   Википедия

  • Мышцы* — мускулы (Musculi состоящие из особой ткани [мускульной, или мышечной] см. ниже) органы животных, которые, обладая в высшей степени способностью сокращаться в определенном направлении, служат главными активными органами движения животных… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Мышцы — мускулы (Musculi состоящие из особой ткани [мускульной, или мышечной] см. ниже) органы животных, которые, обладая в высшей степени способностью сокращаться в определенном направлении, служат главными активными органами движения животных… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Деление столбиком — Процесс деления столбиком (американо британский вариант) числа 1 260 257 на число 37 Деление столбиком  стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд… …   Википедия

Правила умножения столбиком. Умножение и деление в столбик: примеры. Умножай, как итальянец

Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется «умножение в столбик» (или «умножение столбиком»). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

Основы умножения столбиком

Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a · 0 = 0 (a – любое натуральное число).

Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

Пример 1

Например, чтобы вычислить и 71 , 550 · 45 002 и 534 000 · 4 300 , запишем такие столбики:

Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

Пример 2

Условие: вычислить 45 027 · 3 .

Решение

Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7 · 3 = 21 . Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10 , то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2 · 3 , это будет 6 . Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21 , как мы помним): 6 + 2 = 8 . Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

Здесь нужно умножить 3 на 0 . Согласно правилам умножения, результат будет равен 0 . Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10 . Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

Осталось умножить 5 · 3 и получить 15 . Результат больше 10 , пишем пятерку и запоминаем десяток:

Нам осталось только перемножить 4 · 3 , это будет 12 . Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10 , пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

Ответ: 45 027 · 3 = 135 081 .

Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

Решение

Cначала запишем числа нужным способом.

После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

Ответ: 4 502 700 · 3 = 13 508 100 .

Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

Пример 4

Условие: вычислить, сколько будет 207 · 8 063 .

Решение

Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063 , а под ним 207 . Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7 . Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0 , то сразу переходим к следующему этапу.

3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10 , и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063 · 207 = 1 669 041 .

Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

Пример 5

Условие: умножьте 297 на 321 .

Решение

Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

1. Первый этап – умножаем 297 на 1 , которая стоит в разряде единиц второго множителя.

2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2 , что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение.

>> Урок 13. Умножение на трёхзначное число

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Умножение двузначных чисел — навык, крайне необходимый для нашей повседневной жизни. Люди постоянно сталкиваются с потребностью перемножить что-либо в уме: ценник в магазине, массу продуктов или размер скидки. Но как умножать двузначные числа быстро и без проблем? Давайте разберемся.

Как умножить двузначное число на однозначное?

Начнем с простой задачи — как умножать двузначные числа на однозначные.

Для начала, двузначное число — это такое число, которое состоит из определенного количества десятков и единиц.

Для того чтобы умножить двузначное число на однозначное в столбец, нужно написать нужное двузначное число, а под ним соответствующее однозначное. Далее следует поочередно умножить на заданное число сначала единицы, а потом — десятки. Если при умножении единиц получилось число больше 10, то количество десятков нужно просто перенести в следующий разряд, прибавив их.

Умножение двузначных чисел на десятки

Умножение двузначных чисел на десятки — задача ненамного сложнее, чем умножение на однозначные числа. Основной порядок действий остается тем же:

  • Выписать числа друг под другом в столбец, при этом нуль должен находиться как бы «сбоку», чтобы не мешать при арифметических действиях.
  • Умножить двузначное число на количество десятков, не забыть про перенос некоторых цифр в следующие разряды.
  • Единственное, что отличает этот пример от предыдущего — в конце получившегося ответа нужно добавить нуль, так что десятки, которые были опущены в начале, становятся учтенными.

Как перемножить два двузначных числа?

После того как вы полностью разобрались с умножением двузначных и однозначных чисел, можно начинать думать, как умножать столбиком двузначные числа друг на друга. На самом деле это действие тоже не должно потребовать от вас больших усилий, так как принцип все еще остается тем же.

  • Выписываем данные числа в столбец — единицы под единицами, десятки под десятками.
  • Начинаем умножение с единицы точно так же, как в примерах с однозначными числами.
  • После того как вы получили первое число, умножив единицы на данную цифру, нужно таким же образом умножить десятки на эту же цифру. Внимание: ответ нужно записывать строго под десятками. Пустое место под единицами — это неучтенный нуль. Вы можете записывать его, если вам так удобнее.
  • Перемножив и десятки, и единицы и получив два числа, записанных одно под одним, их нужно сложить в столбец. Получившееся значение и является ответом.

Как правильно умножать двузначные числа? Для этого недостаточно просто прочитать или выучить приведенную инструкцию. Помните, для того чтобы освоить принцип, как умножать двузначные числа, в первую очередь нужно постоянно практиковаться — решать как можно больше примеров, как можно реже пользоваться калькулятором.

Как умножать в уме

Научившись блестяще умножать на бумаге, можно задаться вопросом, как быстро умножить двузначные числа в уме.

Конечно, это не самая простая задача. Она требует некоторой концентрации, хорошей памяти, а также способности удерживать в голове некоторое количество информации. Однако и этому можно научиться, приложив достаточно усилий, тем более если подобрать правильный алгоритм. Очевидно, что легче всего умножать на круглые числа, поэтому самым простым способом является разложение чисел на множители.

  • Для начала следует разбить одно из данных двузначных чисел на десятки. Например, 48 = 4 × 10 + 8.
  • Далее нужно последовательно перемножить сначала единицы, а потом десятки со вторым числом. Это достаточно сложные для выполнения в уме операции, так как нужно одновременно умножать числа друг на друга и держать в уме уже получившийся результат. Вероятнее всего, вам будет трудно справиться с этой задачей с первого раза, но, если быть достаточно усердным, этот навык можно развить, ведь понять, как правильно умножать двузначные числа в уме, можно только на практике.

Некоторые хитрости при умножении двузначных чисел

Но существует ли более легкий способ в уме умножать двузначные числа, и как это сделать?

Есть несколько хитростей. Они помогут вам легко и быстро умножать двузначные числа.

  • При умножении на одиннадцать нужно просто поставить сумму десятков и единиц в середину данного двузначного числа. К примеру, нам понадобилось умножить 34 на 11.

Ставим 7 в середину, 374. Это и есть ответ.

Если при сложении получается число больше 10, то следует просто добавить единицу к первому числу. Например, 79 × 11.

  • Иногда легче разложить число на множители и последовательно умножить их. Например, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, поэтому можно просто 4 раза умножить исходное число на 2.

14 = 2 × 7, поэтому при выполнении математических операций можно умножить сначала на 7, а потом на 2.

  • Для того чтобы умножить число на числа, кратные 100, например, 50 или 25, можно умножить это число на 100, а потом разделить на 2 или 4 соответственно.
  • Еще нужно помнить, что иногда при умножении легче не складывать, а отнимать числа друг от друга.

Например, чтобы умножить число на 29, можно сначала умножить его на 30, а потом отнять от полученного числа данное число один раз. Это правило справедливо для любых десятков.

Как умножать столбиком

Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.

Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5:

Умножить 846 на 5 — значит, сложить 5 чисел, каждое из которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.

5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т. е. 3 десятка. Пишем 0 под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать 3 над десятками множимого:

5 раз по 4 десятка = 20 десятков, прибавляем к ним ещё 3 десятка = 23 десятка, т. е. 2 сотни и 3 десятка. Пишем 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем:

5 раз по 8 сотен = 40 сотен, прибавляем к ним ещё 2 сотни = 42 сотни. Пишем под чертой 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни. Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230:

Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить 3826 на 472:

Умножить 3826 на 472 — значит, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого надо сложить 3826 сначала 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.

2 раза по 3826 = 7652. Пишем полученное произведение под чертой:

Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением . Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.

Умножаем 3826 на 7. Это будет второе частичное произведение (26782):

Умножаем множимое на 4. Это будет третье частичное произведение (15304):

Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение (1 805 872):

Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:

Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

Например, необходимо вычислить 23 000 · 4500. Сначала умножим 23 на 45, не обращая внимание на нули:

И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится 103 500 000.

Калькулятор умножения столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.

Как умножать в столбик

Умножение в столбик — одна из самых первых и самых важных операций, которые изучает юный ученик в школе. Без четкого знания и понимания всей последовательности действий при умножении двух чисел невозможно овладевать дальнейшими познаниями математической науки. В полной мере научиться умножать в столбик можно только многократным повторением данной операции. Проводя вычисления столбиком, ученик тренирует память и внимание. Это позволяет в дальнейшем легче концентрироваться на любой задаче. Умножать числа столбиком нужно после изучения таблицы умножения.Вам понадобится

Запишите на листке два числа, которые нужно помножить. Второе число разместите под первым так, чтобы последние цифры чисел были точно друг под другом. Проведите под ними черту. Все вычисления записывайте только под чертой.

Возьмите крайнюю правую цифру второго числа и умножьте ее на крайнюю правую цифру первого числа. Если получается двухзначное число, ровно под умножаемыми цифрами запишите его последнюю цифру. Рядом со столбиком на листочке отметьте оставшуюся первую цифру или запомните ее в уме.

Умножьте опять крайнюю правую цифру второго числа на уже следующую цифру первого числа, расположенную левее. К результату умножения прибавьте сохраненную ранее цифру от предыдущего произведения. Если цифра первого числа была последней, запишите полученный результат полностью. Если же в первом числе еще есть цифры слева, также поделите результат и запишите под умножаемыми цифрами последнюю цифру, а первую запомните.

Аналогичным образом умножьте оставшиеся цифры первого числа на крайнюю правую цифру второго. Далее возьмите следующую цифру второго числа, расположенную левее. И, как и крайнюю цифру, помножьте ее по очереди на все цифры первого числа. Результаты начинайте записывать точно под умножаемой цифрой второго числа и на уровень ниже, чем на предыдущем шаге.

Помножьте все цифры второго числа, как описано, на цифры первого числа. В итоге количество рядов цифровых записей должно получится равным количеству цифр второго числа.

Сложите полученные цифровые ряды. Для этого допишите нули в пустых местах рядов, чтобы можно было провести сложение. Проведите черту под всеми полученными рядами. Начните сложение с крайних правых цифр рядов. Складывайте цифры находящиеся точно друг над другом. При получении в сумме двухзначного числа также записывайте его последнюю цифру и сохраняйте старшую цифру для прибавления к последующей сумме.

После сложения последних, самых правых цифр их результат запишите полностью. Причем старший разряд суммы, если он есть, должен быть помещен левее всех цифр ряда. Число ниже последней черты и есть произведение заданных чисел, полученное умножением в столбик.

Обзор умножения матриц

Обзор

Матрицы — это способ группировки чисел, организованный в строки и столбцы. Матрицы часто используются как способ представления нескольких уравнений в более удобном для организации формате, однако для решения этих систем уравнений мы должны иметь возможность выполнять матричные операции, такие как умножение.

Строки и столбцы

Приведенная ниже матрица является примером матрицы [3×2]. Матрицы описываются в форме [RxC], где R представляет количество строк матрицы, а C представляет количество столбцов матрицы.

Приведенная выше матрица имеет размер [3×2], так как имеет 3 строки и 2 столбца.

Умножение на скаляр

Любую матрицу можно умножить на так называемую скалярную величину. В этом случае скаляр представляет собой действительное число, умноженное на всю матрицу. Например:

Умножение матриц

Также можно перемножать две матрицы вместе, однако матрицы можно перемножать только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.Если две матрицы соответствуют этому критерию, их можно перемножить. Результатом будет третья матрица с таким же количеством строк, как и в первой матрице, и таким же количеством столбцов, как во второй матрице.

Пример

Можно ли перемножать следующие матрицы? Каковы будут размеры ответа?

  1. [2×3] * [2×2]

  2. [3×2] * [2×2]

  3. [2 * 3] * [3 * 1]

    8

Ответ


1. Мы нельзя умножать эти матрицы, потому что матрица 1 имеет три столбца, а матрица 2 — только две строки.

2. Мы можем перемножить эти матрицы, потому что матрица 1 имеет два столбца, а матрица 2 — 2 строки. Результирующая матрица будет иметь столько строк, сколько матрица 1, и столбцов, как матрица 2, поэтому она будет [3×2].

3. Мы можем перемножить эти две матрицы, потому что матрица 1 имеет три столбца, а матрица 2 — три строки. Результатом будет [2×1].

Примечание: Это упражнение должно было показать, что порядок имеет значение при умножении двух матриц. Попробуйте изменить порядок любого из приведенных выше примеров и посмотрите, изменится ли результат.

Правила умножения матриц

Как только мы узнаем, можно ли перемножить две матрицы, пришло время выполнить это умножение. Умножение двух матриц также известно как «точечный продукт». Каждое число в матрице ответов является результатом умножения одной из строк матрицы 1 на один из столбцов матрицы 2.

Чтобы найти первую строку, первый столбец матрицы ответов, умножьте первую строку матрицы 1 на первый столбец. матрицы 2. Чтобы найти строку 1, столбец 2 матрицы ответов, умножьте первую строку матрицы 1 на второй столбец матрицы 2.При умножении строки на столбец совпадающие термины умножаются и складываются.

Пример: Найдите скалярное произведение двух матриц

Матрица 1 состоит из двух столбцов, а матрица 2 состоит из двух строк, поэтому их можно перемножить. Ответ будет состоять из двух строк, поскольку в матрице 1 две строки и три столбца, поскольку в матрице 2 три столбца. Таким образом, ответ будет [2×3].

Допустим, мы сначала хотим найти верхний левый угол матрицы ответов (отмечен X).Поскольку место, которое мы хотим найти, находится в строке 1 столбца 1, мы должны умножить строку 1 первой матрицы на столбец 1 второй матрицы. Строка и столбец, которые необходимо умножить, отмечены стрелками.

При умножении строки и столбца мы умножаем первое число в строке на первое число в столбце, умножаем второе число в строке на второе число в столбце и складываем результат.

Чтобы найти нижний левый угол матрицы ответов, мы повторяем тот же процесс.Поскольку точка, которую мы ищем, находится во второй строке и первом столбце матрицы ответов, мы должны умножить вторую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы.

Процесс повторяется снова для строки 2, столбца 2:

После умножения всех строк и столбцов, как показано на предыдущих шагах, матрица ответов готова.

Умножение матриц

Цели
  1. Понимать композиции преобразований.
  2. Понимать взаимосвязь между матричными произведениями и композициями матричных преобразований.
  3. Освойте основы алгебры с использованием матриц.
  4. Рецепт: умножение матриц (два способа).
  5. Фото: композиция трансформаций.
  6. Словарное слово: состав .

В этом разделе мы изучаем композиции преобразований. Как мы увидим, композиция — это способ объединения трансформаций в цепочку. Композиция матричных преобразований соответствует понятию умножения двух матриц вместе.Мы также обсуждаем сложение и скалярное умножение преобразований и матриц.

Композиция в линейной алгебре означает то же самое, что и в исчислении. Вот определение.

Определение

Пусть T:Rn→Rm и U:Rp→Rn — преобразования. Их композиция представляет собой преобразование T◦U:Rp→Rm, определяемое

(Т◦U)(х)=Т(U(х)).

Составление двух преобразований означает объединение их в цепочку: T◦U — это преобразование, которое сначала применяет U, а затем применяет T (обратите внимание на порядок операций).Точнее, чтобы оценить T◦U на входном векторе x, сначала вы оцениваете U(x), затем берете этот выходной вектор U и используете его в качестве входного вектора T: то есть (T◦U)(x )=Т(U(x)). Конечно, это имеет смысл только тогда, когда выходные данные U являются действительными входными данными T, то есть когда диапазон U содержится в домене T.

RpxRnU(x)RmT◦U(x)UTT◦U

Вот изображение композиции T◦U как «машины», которая сначала запускает U, затем получает его выходные данные и передает их в T; аналогичная картина есть в этом подразделе в Разделе 3.1.

T◦UUTRpxRmT◦U(x)U(x)Rn
Домен и домен композиции
  • Для определения T◦U кодовый домен U должен совпадать с доменом T.
  • Домен T◦U является доменом U.
  • Кодовый домен T◦U является кодовым доменом T.

Напомним из этого определения в разделе 3.1, что преобразование тождества — это преобразование IdRn:Rn→Rn, определенное как IdRn(x)=x для каждого вектора x.

Окончательное свойство называется ассоциативностью .Разворачивая обе стороны, он говорит:

S◦(T◦U)(x)=S(T◦U(x))=S(T(U(x)))=S◦T(U(x))=(S◦T)◦U (Икс).

Другими словами, и S◦(T◦U), и (S◦T)◦U являются преобразованиями, определяемыми применением сначала U, затем T, затем S.

Композиция преобразований не коммутативна вообще. То есть, вообще говоря, T◦UB=U◦T, даже когда определены обе композиции.

В этом подразделе мы вводим кажущуюся несвязанной операцию над матрицами, а именно матричное умножение.Как мы увидим в следующем подразделе, умножение матриц в точности соответствует композиции соответствующих линейных преобразований. Сначала нам понадобится терминология.

Обозначение

Пусть A — матрица размера m × n. Обычно мы будем писать aij для записи в i-й строке и j-м столбце. Он называется i,j записью матрицы.

a11···a1j···a1n………ai1···aij···ain………am1···amj···amnEIIIGFJJJHjthcolumnithrow
Определение (умножение матриц)

Пусть A — матрица размера m×n, а B — матрица размера n×p.Обозначим столбцы матрицы B через v1,v2,…,vp:

.

B=C|||v1v2···vp|||D.

Продукт AB представляет собой матрицу m×p со столбцами Av1, Av2,…, Avp:

AB=C|||Av1Av2···Avp|||D.

Другими словами, умножение матриц определяется столбец за столбцом или «распределяется по столбцам B».

Для определения векторов Av1,Av2,…,Avp количество строк B должно быть равно количеству столбцов A.

Размеры матриц в матричном произведении
  • Чтобы AB был определен, количество строк B должно равняться количеству столбцов A.
  • Произведение матрицы m×n и матрицы n×p является матрицей m×p.

Если B имеет только один столбец, то AB также имеет один столбец. Матрица с одним столбцом — это то же самое, что и вектор, поэтому определение произведения матриц обобщает определение произведения матриц на вектор из этого определения в разделе 2.3.

Если А — квадратная матрица, то мы можем умножить ее саму на себя; мы определяем его степени как

А2=ААА3=АААи т.д.

Правило строки-столбца для умножения матриц

Напомним из этого определения в Разделе 2.3 видно, что произведение вектора-строки на вектор-столбец равно скаляру

.

Aa1a2···anBEIIGx1x2…xnFJJH=a1x1+a2x2+···+anxn.

Следующая процедура нахождения матричного произведения гораздо лучше приспособлена для ручных вычислений; предыдущее определение больше подходит для доказательства теорем, таких как эта теорема ниже.

Рецепт: Правило строки-столбца для умножения матриц

Пусть A — матрица размера m×n, пусть B — матрица размера n×p, и пусть C=AB. Тогда ij-я запись C — это i-я строка A, умноженная на j-й столбец B:

cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbnj.

Вот схема:

a11···a1k···a1n………ai1···aik···ain………am1···amk···amnEIIIGFJJJHithrowb11···b1j· ··b1p………bk1···bkj···bkp………bn1···bnj···bnpEIIIIGFJJJJHjthcolumn=c11···c1j···c1p. ……..ci1···cij···cip………cm1···cmj···cmpEIIIGFJJJHijentry

Правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор в разделе 2.3 гласит, что если A имеет строки r1,r2,…,rm и x является вектором, то

Ax=EIIG—r1——r2—…—rm—FJJHx=EIIGr1xr2x…rmxFJJH.

Определение умножения матриц равно

.

AC|||c1c2···cp|||D=C|||Ac1Ac2···Acp|||D.

Отсюда следует, что

EIIG—r1——r2—…—rm—FJJHC|||c1c2···cp|||D=EIIGr1c1r1c2···r1cpr2c1r2c2···r2cp………rmc1rmc2··· rmcpFJJH.

Хотя умножение матриц удовлетворяет многим ожидаемым свойствам (см. конец раздела), нужно быть осторожным при выполнении матричных арифметических действий, так как есть несколько свойств, которые в общем случае не выполняются.

Предостережения по умножению матриц

Хотя умножение матриц вообще не является коммутативным, существуют примеры матриц A и B с AB=BA.Например, это всегда работает, когда A является нулевой матрицей или когда A=B. Читателю предлагается найти другие примеры.

Цель этого подраздела — показать, что умножение матриц соответствует композиции преобразований, т. е. стандартная матрица для T◦U является произведением стандартных матриц для T и для U. Трудно поверить, что наша сложная Формула умножения матриц на самом деле означает что-то интуитивное, например, «связывание двух преобразований вместе»!

Теорема

Пусть T:Rn→Rm и U:Rp→Rn — линейные преобразования, а A и B — их стандартные матрицы соответственно, так что A — матрица размера m×n, а B — матрица размера n×p.Тогда T◦U:Rp→Rm — линейное преобразование, а его стандартная матрица — произведение AB.

Доказательство

Сначала проверим линейность T◦U. Пусть u,v — векторы в Rp. Затем

T◦U(u+v)=T(U(u+v))=T(U(u)+U(v))=T(U(u))+T(U(v))=T ◦U(u)+T◦U(v).

Если c скаляр, то

T◦U(cv)=T(U(cv))=T(cU(v))=cT(U(v))=cT◦U(v).

Поскольку T◦U удовлетворяет двум определяющим свойствам в разделе 3.3, это линейное преобразование.

Теперь, когда мы знаем, что T◦U является линейным, имеет смысл вычислить его стандартную матрицу.Пусть C — стандартная матрица T◦U, поэтому T(x)=Ax, U(x)=Bx и T◦U(x)=Cx. По этой теореме в разделе 3.3 первый столбец C — это Ce1, а первый столбец B — Be1. У нас есть

T◦U(e1)=T(U(e1))=T(Be1)=A(Be1).

По определению, первый столбец произведения AB является произведением A на первый столбец B, то есть Be1, поэтому

Ce1=T◦U(e1)=A(Be1)=(AB)e1.

Отсюда следует, что C имеет тот же первый столбец, что и AB. Тот же аргумент, примененный к i-му стандартному вектору координат ei, показывает, что C и AB имеют один и тот же i-й столбец; поскольку у них одинаковые столбцы, это одна и та же матрица.

Теорема оправдывает наш выбор определения произведения матриц. Это единственная причина, по которой матричные произведения определяются таким образом. Перефразируя:

Продукты и композиции

Матрица композиции двух линейных преобразований есть произведение матриц преобразований.

Напомним из этого определения в разделе 3.3, что единичная матрица — это матрица размера n × n, столбцы которой являются стандартными векторами координат в Rn.Единичная матрица является стандартной матрицей преобразования идентичности: то есть x=IdRn(x)=Inx для всех векторов x в Rn. Для любого линейного преобразования T:Rn→Rm имеем

ИКм◦T=T

, и по тому же признаку мы имеем для любой m × n матрицы A мы имеем

ИмА=А.

Аналогично имеем T◦IRn=T и AIn=A.

В этом подразделе мы опишем еще две операции, которые можно выполнять над преобразованиями: сложение и скалярное умножение. Затем мы переводим эти операции на язык матриц.Это аналогично тому, что мы сделали для композиции линейных преобразований, но гораздо менее тонко.

Определение
  • Пусть T,U:Rn→Rm — два преобразования. Их сумма есть преобразование T+U:Rn→Rm, определяемое формулой

    (Т+У)(х)=Т(х)+У(х).

    Обратите внимание, что добавление преобразований определяется только в том случае, если оба преобразования имеют один и тот же домен и кодовый домен.
  • Пусть T:Rn→Rm — преобразование, а c — скаляр. Скалярное произведение числа c на T представляет собой преобразование cT:Rn→Rm, определяемое формулой

    (сТ)(х)=с·Т(х).

Чтобы подчеркнуть, сумма двух преобразований T,U:Rn→Rm представляет собой еще одно преобразование, называемое T+U; его значение на входном векторе x является суммой выходов T и U. Точно так же произведение T на скаляр c является другим преобразованием, называемым cT; его значением на входном векторе x является вектор c·T(x).

В одном из приведенных выше свойств мы использовали 0 для обозначения преобразования Rn→Rm, которое равно нулю для каждого входного вектора: 0(x)=0 для всех x. Это называется нулевым преобразованием .

Приведем теперь аналогичные операции для матриц.

Определение
Факт

Пусть T,U:Rn→Rm — линейные преобразования со стандартными матрицами A, B соответственно, и пусть c — скаляр.

  • Стандартной матрицей для T+U является A+B.
  • Стандартной матрицей для cT является cA.

Ввиду вышеизложенного следующие свойства являются следствием соответствующих свойств преобразований. Они также легко проверяются непосредственно из определений.

В одном из приведенных выше свойств мы использовали 0 для обозначения матрицы размера m×n, все элементы которой равны нулю. Это стандартная матрица нулевого преобразования, она называется нулевой матрицей .

Мы также можем комбинировать сложение и скалярное умножение матриц с умножением матриц. Поскольку умножение матриц соответствует композиции преобразований (теорема), следующие свойства являются следствием соответствующих свойств преобразований.

Большинство приведенных выше свойств легко проверить непосредственно из определений. Однако свойство ассоциативности (AB)C=A(BC) таковым не является (попробуйте!). Гораздо проще доказать, связав умножение матриц с композицией преобразований и используя тот очевидный факт, что композиция преобразований ассоциативна.

Скалярное и матричное умножение

Скаляр и умножение матриц (стр. 1 из 3)


Существует два типа умножение матриц: скалярное умножение и умножение матриц.Скалярное умножение легко. Вы просто берете обычный номер (называется «скаляр») и умножить его на каждую запись в матрице.

  • Для следующей матрицы А , найти 2 А и 1 А .

    Сделать первый скаляр умножение, чтобы найти 2 А , я просто умножаю на 2 на каждую запись в матрице:

    Другое скалярное умножение, найти 1 A , работает так же:

    Итак, окончательный ответ: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены


Скалярное умножение легко.Однако умножение матриц — это совсем другая история. Фактически, это королевская боль. Ваш текст, вероятно, дал вам сложную формулу для процесс, и эта формула, вероятно, не имела для вас никакого смысла. Это хорошо. Процесс запутанный, и эта сложная формула — лучшее, что они могут сделать. может подойти для объяснения в формальной обстановке, как учебник. Вот как работает процесс:

  • Найти продукт AB для следующих матриц:

    Для расчета AB , Я записываю А и В рядом друг с другом вот так:

    Теперь мне нужно умножить РЯД А КОЛОННАМИ B .Под этим я подразумеваю, что сначала беру первый ряд А и первый столбец B , и я умножаю первые записи, затем вторые записи, а затем третьи записи, а затем я добавляю три продукта. Сумма одна запись в матрице продуктов AB ; на самом деле, будучи продуктом строки 1 и столбец 1, результат — 1,1-вход АВ .Затем продолжаю в том же духе. Например, сумма произведений со 2 ряда из А и столбец 1 из Б 2,1-вход АВ .

    Когда я перемножаю матрицы, Я использую свои пальцы, чтобы следить за тем, что я делаю. Следующая анимация моя попытка проиллюстрировать этот процесс. (Не смейтесь, я не художник!)

    (Теперь, класс, что я сделал сказать о смехе?)

    Окончательный ответ:

Как вы видели в приведенном выше примере, общее правило состоит в том, что продукт и -й ряд А и j -й колонна B i ,j -й ввод матрицы продукта AB .Это общее правило в значительной степени состоит в том, что та сложная формула в весь ваш текст был об этом.

Например, когда я в приведенный выше пример сначала умножил ряд (из A ) и второй столбец (из Б ), это дало мне в первом ряду во втором столбце запись в матрице продуктов AB .

Топ |  1 | 2 | 3 | Вернуться к индексу Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет.«Скалярное и матричное умножение». Пурпурная математика . Доступно по номеру
     https://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 


Является ли правилом строки умножения столбцов матрицы? – СидмартинБио

Является ли правилом строки умножения столбцов матрицы?

Определение матричного умножения указывает на построчное умножение, при котором элементы в i-й строке A умножаются на соответствующие элементы в j-м столбце B, а затем суммируются результаты.Умножение матриц НЕ является коммутативным.

Что означает умножение матриц в C?

Умножение матриц — еще одна важная программа, использующая двумерные массивы для умножения кластера значений в форме матриц и правил матриц математики. В этой программе на языке C пользователь вставит порядок матрицы, за которой следует определенное количество элементов.

Почему матрица умножается по столбцам?

Это всего лишь простые правила, которые помогут вам запомнить, как выполнять расчеты.Строки идут первыми, поэтому первая матрица содержит номера строк. Столбцы идут вторыми, поэтому вторая матрица предоставляет номера столбцов. Умножение матриц — это просто способ организации векторов, из которых мы хотим найти скалярное произведение.

Что такое матрица в C?

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел или символов, расположенных в строках и столбцах. Программы C в этом разделе выполняют операции сложения, вычитания и умножения на двух матрицах. Транспонирование матрицы — это перестановка строк и столбцов.

Почему мы умножаем матрицы по столбцам?

Строки идут первыми, поэтому первая матрица содержит номера строк. Столбцы идут вторыми, поэтому вторая матрица предоставляет номера столбцов. Умножение матриц — это просто способ организации векторов, из которых мы хотим найти скалярное произведение.

Как умножить строку на столбец?

Теперь, когда вы знаете, как умножать строку на столбец, умножать большие матрицы несложно. Для записи в i-й строке и j-м столбце матрицы произведения умножить каждую запись в i-й строке первой матрицы на соответствующую запись в j-м столбце второй матрицы и сложить результаты.

Как сделать умножение матриц в C?

При умножении матриц первая матрица с одним элементом строки умножается на вторую матрицу со всеми элементами столбца. Давайте посмотрим программу умножения матриц на C.

Как перемножить две матрицы?

Вы можете умножать две матрицы только в том случае, если их размеры совместимы, что означает, что количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Каково определение умножения матриц?

Определение матричного умножения указывает на построчное умножение, при котором элементы в i-й строке A умножаются на соответствующие элементы в j-м столбце B, а затем суммируются результаты.

Умножение матриц — 2×2, 3×3

Умножение матриц или умножение матриц — одна из операций, которые можно выполнять над матрицами в линейной алгебре. Умножение матрицы A на матрицу B возможно, когда обе заданные матрицы A и B совместимы. Умножение матриц — это бинарная операция, которая дает матрицу из двух заданных матриц.

Умножение матриц было впервые введено в 1812 году французским математиком Жаком-Филиппом-Мари Бине для представления линейных карт с использованием матриц.Давайте разберемся с правилом умножения матриц в следующих разделах.

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц — это двоичная операция, результатом которой также является матрица при умножении двух матриц. В линейной алгебре умножение матриц возможно только тогда, когда матрицы совместимы. В общем случае умножение матриц, в отличие от арифметического умножения, не является коммутативным, а это означает, что умножение матриц А и В, заданных как АВ, не может быть равно ВА, т.е.е., АВ ≠ ВА. Поэтому порядок умножения для умножения матриц важен.

Предположим, у нас есть две матрицы A и B, произведение матрицы A на матрицу B можно представить как (AB). Это означает, что результирующая матрица для умножения любой матрицы m × n «A» на матрицу «B» размера n × p может быть представлена ​​как матрица «C» порядка m × p. Давайте разберемся с этой концепцией подробно в следующем разделе.

Две матрицы A и B называются совместимыми, если количество столбцов в A равно количеству строк в B.Это означает, что если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то можно сказать, что матрицы A и B совместимы.

Правила умножения матриц

Как мы изучили, две матрицы можно перемножать только тогда, когда они совместимы, а это означает, что для существования умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице, в приведенном выше случае ‘н’. Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок произведения матриц равен m×p.

Примеры:

а) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 3 × 4 верно и дает матрицу порядка 4 × 4

б) матрицы 7×1 и 1×2 совместимы; произведение дает матрицу 7 × 2.

c) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 2 × 3 НЕВОЗМОЖНО.

Как умножать матрицы?

Общий процесс умножения матриц мы можем понять по методике: «Первые строки умножаются на столбцы (элемент за элементом), а затем строки заполняются. Перемножение матриц можно выполнить с помощью следующих шагов:

  • Убедитесь, что количество столбцов в матрице 1 st равно количеству строк в матрице 2 nd (совместимость матриц).
  • Умножить элементы строки i th первой матрицы на элементы столбца j th второй матрицы и сложить произведения. Это будет элемент, который находится в i -й строке и j -м столбце результирующей матрицы.
  • Разместите добавленные товары на соответствующие позиции.

Давайте лучше разберем эти шаги для умножения матриц на примере.

Пример: Умножьте приведенные ниже матрицы, чтобы найти их произведение \( \begin{pmatrix}
1 и 2 \\
3&4\5&1\
\end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}
\).

Решение: Даны матрицы порядка 3×2 и 2×1 . Таким образом, t заданные матрицы совместимы, мы можем выполнить умножение матриц, и матрица произведения будет иметь порядок 3×1.

\(\begin{pmatrix}
1 и 2 \\
3&4\5&1\
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}\\\\
= \begin{pmatrix}
(1\times2)+(2\times4) \\
(3\times2)+(4\times4) \\ (5\times2)+(1\times4) \\
\end{pmatrix} \\\\ = \begin{pmatrix}
2+8 \\
6+16\10+4\
\end{pmatrix}
\\\\
= \begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}\)

Следовательно, матрица произведения равна \(\begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}
\)

В результирующей матрице мы видим, что первый элемент первой строки получается путем умножения элементов первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и последующего сложения.т. е. в общем случае найти элемент в строке i th и столбце j th в матрице произведения,

  • Возьмем элементы i -й строки первой матрицы.
  • Возьмем элементы j -го -го столбца второй матрицы.
  • Умножить соответствующие элементы.
  • Добавить все продукты.

Формула умножения матриц 2×2

Процесс одинаков для матрицы любого порядка.Умножаем элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы (поэлементно), как показано на рисунке. Наконец, мы добавляем продукты. Результатом произведения двух матриц 2×2 снова является матрица 2×2.

Формула умножения матриц 3×3

Умножение матриц 3×3 можно выполнить с помощью формулы умножения матриц, так как любые две матрицы 3×3 совместимы. Процесс точно такой же для матрицы любого порядка.Результатом произведения двух матриц 3×3 снова является матрица 3×3.

Здесь матрицы имеют одинаковые размеры, поэтому результирующая матрица также имеет одинаковую размерность 3×3.

Пример:

\(\ влево(\начать{массив}{ррр}
1&2&-1\
3&2&0\
-4 и 0 и 2
\end{массив}\right)\) \(\left(\begin{массив}{rrr}
3&4&2\
0&1&0\
-2 и 0 и 1
\конец{массив}\справа)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
1(3)+2(0)+(-1)(-2) и 1(4)+2(1)+(-1)0 и 1(2)+2(0)+(-1)( 1)\
3(3)+2(0)+(0)(-2) и 3(4)+2(1)+(0)0 и 3(2)+2(0)+(0)(1) \ \
-4(3)+0(0)+(2)(-2) и -4(4)+0(1)+(2)0 и -4(2)+0(0)+(2)( 1)\
\конец{массив}\справа)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
5&6&1\
9 и 14 и 6\
-16&-16&-6\
\конец{массив}\справа)\)

Свойства умножения матриц

Существуют определенные свойства операции умножения матриц в линейной алгебре в математике.Эти свойства приведены ниже,

  • Некоммутативный: Умножение матриц является некоммутативным, т. е. для умножения двух матриц A и B AB ≠ BA.
  • Дистрибутивность: Свойство дистрибутивности можно применять при перемножении матриц, т. е. A(B + C) = AB + BC, учитывая, что A, B и C совместимы.
  • Произведение со скаляром: Если произведение матриц A и B, AB определено, то c(AB) = (cA)B = A(Bc), так что c является скаляром.
  • Транспонирование: Транспонирование произведения матриц A и B может быть задано как (AB) T = B T A T , где T обозначает транспонирование.
  • Комплексное сопряжение: Если A и B комплексные элементы, то (AB) * = B * A *
  • Ассоциативность: Умножение матриц является ассоциативным. Для трех матриц A, B и C, произведения (AB)C и A(BC) определены, тогда (AB)C = A(BC).

Нестандартное мышление:

  • Используя приведенные ниже матрицы, проверьте, является ли умножение матриц коммутативным или нет.
    \( \begin{pmatrix}
    1&0\\
    2 и 4\
    \end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
    6 и 8\\
    4 и 3\
    \end{pmatrix}
    \)
  • Является ли умножение матриц ассоциативным?

Важные примечания по умножению матриц:

  • Для перемножения матриц данные матрицы должны быть совместимы.
  • Порядок матрицы произведения можно получить по следующему правилу:
    Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок матрицы произведения равен m×p.
  • Умножение матриц указывает на умножение строк на столбцы.

Похожие темы:

Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц в линейной алгебре?

Умножение матриц — одна из бинарных операций, которые можно применять к матрицам в линейной алгебре.Чтобы умножить две матрицы A и B, количество столбцов в матрице A должно быть равно количеству строк в матрице B. ⇒AB существует.

Как перемножать матрицы 3×3?

матрицы 3×3 в математике могут быть умножены путем умножения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы для получения соответствующих элементов матрицы произведения.

Что такое формула умножения матриц?

Формула умножения матриц используется для выполнения умножения матриц в целом.Например, для матриц 3×3 формула выглядит следующим образом:

Можно ли перемножать матрицы порядка 2×3 и 2×2?

Нет, мы не можем умножать матрицы 2×3 и 2×2, потому что для умножая матрицы, две матрицы должны быть совместимы. Поскольку количество столбцов в первой матрице (3) не равно количеству строк во второй матрице (2), мы не можем выполнить умножение матриц для этого случая.

Какова цель умножения матриц?

Умножение матриц важно для облегчения вычислений в линейной алгебре и используется для представления линейных карт.Это важный инструмент во многих областях математики, а также в прикладной математике, статистике, физике, экономике и технике.

Чему равно произведение матриц порядков 2×1 и 2×2?

Нет, их нельзя перемножить, так как эти матрицы несовместимы. Количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Когда мы можем найти произведение матриц?

Умножение матриц возможно, только если матрицы совместимы i.е., умножение матриц допустимо только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Всегда ли умножение матриц коммутативно?

Умножение матриц, в отличие от арифметического умножения, не является коммутативным. Это означает, что порядок умножения матриц имеет значение.

Всегда ли определено умножение матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы.Чтобы умножение матриц существовало, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице

Операции с матрицами

Что касается линейной алгебры, то двумя наиболее важными операциями с векторами являются сложение векторов [сложение двух (или более) векторов] и скалярное умножение (умножение вектора на скаляр). Аналогичные операции определены для матриц.

Добавление матрицы .Если A и B являются матрицами одинакового размера , то их можно складывать. (Это похоже на ограничение на добавление векторов, а именно, могут быть добавлены только векторы из одного и того же пространства R n ; например, вы не можете добавить 2-вектор к 3-вектору.) Если A = [ A IJ ] и B = [ B IJ x M x N Matrices, затем их сумма, C = A + B , также является матрицей m x n , и ее элементы задаются формулой

 

Таким образом, чтобы найти записи A + B , просто добавьте соответствующие записи A и B .

Пример 1 : Рассмотрим следующие матрицы:

 

Какие два можно добавить? Какова их сумма?

Поскольку можно добавлять только матрицы одинакового размера, определяется только сумма F + H ( G нельзя добавлять ни к F , ни к H ). Сумма F и H равна

.

Поскольку сложение действительных чисел коммутативно, отсюда следует, что сложение матриц (когда оно определено) также коммутативно; то есть для любых матриц A и B одинакового размера A + B всегда будет равно B + A .

Пример 2 : Если любую матрицу A добавить к нулевой матрице того же размера, то результат явно будет равен A :

 

Это матричный аналог утверждения a + 0 = 0 + a = a , которое выражает тот факт, что число 0 является аддитивной единицей в множестве действительных чисел.

Пример 3 : Найдите матрицу B такую, что A + B = C , где

 

Если  

, тогда матричное уравнение A + B = C становится

Поскольку две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, это последнее уравнение подразумевает

 

Следовательно,

 

Этот пример мотивирует определение матрицы вычитанием : если A и B являются матрицами одинакового размера, то элементы A B находятся путем простого вычитания элементов B из соответствующие записи A .Поскольку уравнение A + B = C эквивалентно B = C A , использование матричного вычитания выше даст тот же результат:

 

Скалярное умножение . Матрицу можно умножить на скаляр следующим образом. Если A = [ a ij ] — матрица, а k — скаляр, то

 

То есть матрица кА получается путем умножения каждой записи А на к .

Пример 4 : Если

, то скалярное число 2 A получается путем умножения каждой записи A на 2:

Пример 5 : Если A и B являются матрицами одинакового размера, то A B = A + (− B ), где − B кратно −1) Б . Если

   

, затем

Это определение вычитания матриц согласуется с определением, показанным в примере 8.

Пример 6 : Если

, затем

Умножение матриц . Безусловно, наиболее важной операцией с матрицами является умножение матриц , процесс умножения одной матрицы на другую. Первый шаг в определении умножения матриц — вспомнить определение скалярного произведения двух векторов. Пусть r и c будут двумя n ‐векторами. Записав r в виде матрицы строк 1 x n и c в виде матрицы столбцов n x 1, скалярное произведение r и c равно

.

Обратите внимание, что для определения скалярного произведения r и c оба должны содержать одинаковое количество записей.Кроме того, здесь важен порядок, в котором эти матрицы записаны в этом произведении: сначала идет вектор-строка, затем — вектор-столбец.

Теперь последний шаг: как перемножаются две общие матрицы? Во-первых, чтобы сформировать продукт AB, количество столбцов A должно совпадать с количеством строк B ; если это условие не выполняется, то продукт AB не определен. Этот критерий следует из установленного выше ограничения для умножения матрицы строк r на матрицу столбцов c , а именно, что количество элементов в r должно совпадать с количеством элементов в c .Если A равно m x n и B равно n x p , то произведение AB определено, а размер матрицы произведения 90 9 m 90 88 8 AB 8 90 р . Следующая диаграмма помогает определить, определен ли матричный продукт, и если да, то размерность продукта:

 

думать о M x N Matrix A AS, состоящая из векторов ряд R R

, R 2 , …, R M от R N N и N x P Matrix B Как состоит из колонны векторов C 1 , C 2 , …, C P от R п ,

и

Правило для вычисления записей Matrix Product ab R R 8 I · C 8 J = ( AB ) 8 IJ , то есть

Пример 7 : Даны две матрицы

определить, какой матричный продукт, AB или BA , определен, и оценить его.

Поскольку A равно 2 x 3, а B равно 3 x 4, произведение AB в указанном порядке определено, и размер матрицы произведения AB будет равен 2 x 4. Произведение BA определяется как , а не как , поскольку первый фактор ( B ) имеет 4 столбца, а второй фактор ( A ) имеет только 2 строки. Количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, чтобы можно было определить их произведение.

Скалярное произведение строки 1 в A и столбца 1 в B дает запись (1, 1) в AB . С 90 005

запись (1, 1) в AB равна 1:

Скалярное произведение строки 1 в A и столбца 2 в B дает запись (1, 2) в AB

и скалярное произведение строки 1 в A и столбца 3 в B дает запись (1, 3) в AB

Первая строка произведения завершается скалярным произведением строки 1 в A и столбца 4 в B , что дает запись (1, 4) в AB :

 

Теперь для второй строки AB : скалярное произведение строки 2 в A и столбца 1 в B дает (2, 1) запись в AB ,

   

и скалярное произведение строки 2 в A и столбца 2 в B дает запись (2, 2) в AB

Наконец, скалярное произведение строки 2 в A со столбцами 3 и 4 в B дает (соответственно) (2, 3) и (2, 4) записи в AB :

 

Следовательно,

 

Пример 8 : Если

   

и

вычислить запись (3, 5) произведения CD .

Во-первых, обратите внимание, что поскольку C равно 4 x 5, а D равно 5 x 6, произведение CD действительно определено, и его размер равен 4 x 6. Однако нет необходимости вычислять все двадцать четыре записи CD , если требуется только одна конкретная запись. Запись (3, 5) числа CD представляет собой скалярное произведение строки 3 числа C и столбца 5 числа D :

.

Пример 9 : Если

   

убедиться, что

но

В частности, обратите внимание, что хотя оба продукта AB и BA определены, AB не равно BA ; на самом деле, они даже не одного размера!

Предыдущий пример иллюстрирует, пожалуй, самое важное различие между умножением скаляров и умножением матриц.Для действительных чисел a и b всегда выполняется уравнение ab = ba , т. е. умножение действительных чисел коммутативно; порядок, в котором записаны факторы, не имеет значения. Однако утверждение о том, что умножение матриц коммутативно, совершенно неверно. Для матриц А и В , приведенных в Примере 9, были определены оба продукта АВ и ВА , но они определенно не были идентичными. На самом деле матрица АВ была 2 х 2, а матрица ВА была 3 х 3.Вот еще одна иллюстрация некоммутативности умножения матриц: Рассмотрим матрицы

 

Поскольку C равен 3 x 2, а D равен 2 x 2, продукт CD определен, его размер равен 3 x 2, а

Произведение DC , однако, не определено, поскольку количество столбцов D (которое равно 2) не равно количеству строк C (которое равно 3). Следовательно, CD ≠ DC , поскольку DC даже не существует.

Из-за чувствительности к порядку, в котором записаны коэффициенты, обычно не говорят просто: «Умножьте матрицы на и B на ». Обычно важно указать, какая матрица стоит первой, а какая второй в продукте. По этой причине выражение «Умножить A справа на B » означает, что получится произведение AB , а «Умножить A слева на B » означает образование произведения BA . .

Пример 10 : Если

   

и x — это вектор (−2, 3), покажите, как A можно умножить справа на x , и вычислите произведение.

Поскольку A равно 2 x 2, чтобы умножить A справа на матрицу, эта матрица должна иметь 2 строки. Таким образом, если x записать как матрицу 2 x 1 столбцов

, то можно вычислить произведение A x , и результатом будет другая матрица столбцов 2 x 1:

Пример 11 : Рассмотрим матрицы

 

Если A умножить справа на B , получится

   

, но если A слева умножить на B , то получится

Обратите внимание, что оба продукта определены и имеют одинаковый размер, но они не равны.

Пример 12 : Если A и B являются квадратными матрицами такими, что AB = BA , то говорят, что A и B коммутируют с . Покажите, что любые две квадратные диагональные матрицы порядка 2 коммутируют.

Пусть

   

— две произвольные диагональные матрицы 2 x 2. Затем

и

с A 11 11 11 11 8 11 9 11 A A и A 22 B 8 22 22 a 22 , AB действительно равно BA , что и требовалось.

Хотя умножение матриц обычно не коммутативно, оно иногда коммутативно; например, если 

, затем

Несмотря на подобные примеры, следует отметить, что в общем случае умножение матриц не является коммутативным .

Существует еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц. Если a и b — действительные числа, то уравнение ab = 0 подразумевает, что a = 0 или b = 0.То есть произведение действительных чисел может равняться 0 только в том случае, если хотя бы один из множителей сам равен 0. Однако аналогичное утверждение для матриц неверно. Например, если

   

, затем

Обратите внимание, что хотя ни G , ни H не являются нулевой матрицей, произведение GH является таковым.

Еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц заключается в отсутствии общего закона сокращения для умножения матриц.Если a, b и c являются действительными числами, где a ≠ 0, то, исключая множитель a , уравнение ab = ac подразумевает b = c . Для матричного умножения такого закона не существует; то есть утверждение AB = AC означает, что не подразумевает B = C , даже если A не равно нулю. Например, если 

потом оба

и

Таким образом, хотя AB = AC и A не является нулевой матрицей, B не равно C .

Пример 13 : Хотя умножение матриц не всегда коммутативно, оно равно , всегда ассоциативно . То есть, если A, B и C являются любыми тремя матрицами, для которых определено произведение (AB)C , то произведение A(BC) также определено, и

То есть, пока порядок факторов неизменен, то, как они сгруппированы , не имеет значения.

Проверить закон ассоциативности для матриц

 

Первый с

продукт (AB)C — это

Сейчас, с

   

продукт A(BC)  

Следовательно, (AB)C = A(BC) , как и ожидалось.Обратите внимание, что ассоциативный закон подразумевает, что произведение A, B и C (в таком порядке) может быть записано просто как ABC ; круглые скобки не нужны для устранения какой-либо неоднозначности, потому что двусмысленности нет.

Пример 14 : Для матриц

   

проверьте уравнение ( AB ) T = B T A T .

Первый,

   

подразумевает

Сейчас, с

 

B T A T действительно равно ( AB ) T .На самом деле уравнение

   

справедливо для любых двух матриц, для которых определено произведение AB . Это говорит о том, что если произведение AB определено, то транспонирование продукта равно произведению транспонирования в обратном порядке .

Матрицы идентичности . Нулевая матрица 0 m x n играет роль аддитивной единицы в наборе m x n матриц точно так же, как число 0 играет роль в множестве действительных чисел (вспомните пример 7).То есть, если A является матрицей m x n и 0 = 0 m x n , то

 

Это матричный аналог утверждения, что для любого действительного числа есть ,

 

Имея на руках аддитивную идентичность, вы можете спросить: «А как насчет мультипликативной идентичности ?» В наборе действительных чисел мультипликативным тождеством является число 1, так как

 

Существует ли матрица, играющая эту роль ? Рассмотрим матрицы

   

и убедитесь, что

и

Таким образом, AI = IA = A .Фактически, можно легко показать, что для этой матрицы I оба произведения AI и IA будут равны A для любой матрицы 2 x 2 A . Следовательно,

   

— это мультипликативная идентичность в наборе матриц 2 x 2. Аналогично, матрица

— это мультипликативная идентичность в наборе матриц 3 x 3 и так далее. (Обратите внимание, что I 3 — это матрица [δ ij ] 3 x 3 .) В общем случае матрица I n — диагональная матрица n x n , в которой каждый диагональный элемент равен 1, — называется единичной матрицей порядка n и служит мультипликативным тождеством в множестве всех n x n матриц.

Существует ли мультипликативная идентичность в наборе всех m x n матриц, если m ≠ n ? Для любой матрицы A в м м х н ( R ), матрица I M — это личность левой идентичности ( I M A = A ), а I N — это правильный идентификатор ( AI n = A ).Таким образом, в отличие от набора n x n матриц, набор неквадратных m x n матриц не обладает кв. двусторонней идентичностью, потому что I m ≠ I n if

Пример 15 : Если A является квадратной матрицей, то A 2 обозначает произведение AA, A 3 обозначает произведение AAA и так далее. Если А это матрица

   

показывают, что A 3 = − A .

Расчет

   

показывает, что A 2 = − I . Умножение обеих частей этого уравнения на A дает A 3 = − A , как и требовалось. [Техническое примечание: можно показать, что в определенном смысле набор матриц вида

, где a и b — действительные числа, структурно идентичен набору комплексных чисел , a + bi .Поскольку матрица A в этом примере имеет такой вид (с a = 0 и b = 1), A соответствует комплексному числу 0 + 1 i = i , а аналог матрицы матричное уравнение A 2 = − I , полученное выше, равно i 2 = −1, уравнение, определяющее мнимую единицу, i .]

Пример 16 : Найти недиагональную матрицу, коммутирующую с

 

Задача состоит в том, чтобы задать недиагональную матрицу B такую, что AB = BA .Как и A , матрица B должна быть 2 x 2. Один из способов получить такую ​​матрицу B состоит в том, чтобы сформировать A 2 , поскольку если B = A 2 ,

(Это уравнение доказывает, что A 2 будет коммутировать с A для любой квадратной матрицы A ; коммутировать с A .)

В данном случае

   

, который не является диагональным. Эта матрица B действительно коммутирует с A , что подтверждается вычислениями

и

Пример 17 : Если

   

докажи что

для каждого положительного целого числа n .

Несколько предварительных вычислений показывают, что данная формула верна:

 

Однако, чтобы установить, что формула верна для всех натуральных чисел n , необходимо привести общее доказательство.Это будет сделано здесь с использованием принципа математической индукции , который звучит следующим образом. Пусть P(n) обозначает предложение относительно натурального числа n . Если можно показать, что

   

и

, то оператор P(n) действителен для всех положительных целых чисел n . В данном случае оператор P(n) является утверждением

.

Поскольку A 1 = A , утверждение P (1) безусловно верно, поскольку

 

Теперь, если предположить, что P(n) верно, то есть предположить, что

   

теперь необходимо установить справедливость утверждения P ( n + 1), что равно

Но это утверждение действительно верно, потому что

   

По принципу математической индукции доказательство завершено.

Обратная матрица . Пусть a — заданное действительное число. Поскольку 1 является мультипликативной единицей в наборе действительных чисел, если существует число b такое, что

, затем b называется обратным или мультипликативным обратным к и обозначается как −1 (или 1/ ). Аналог этого утверждения для квадратных матриц выглядит следующим образом. Пусть A будет данной матрицей n x n .Поскольку I = I n является мультипликативным тождеством в наборе n x n матриц, если существует матрица B такая, что

, то B называется (мультипликативным) , обратным числа A , и обозначается как A −1 (читается « A , обратное»).

Пример 18 : Если

   

, затем

с

и

Еще одно различие между умножением скаляров и умножением матриц обеспечивается существованием инверсий.Хотя каждое ненулевое действительное число имеет обратную, существуют ненулевые матрицы, не имеющие обратной .

Пример 19 : Показать, что ненулевая матрица

   

не имеет обратного.

Если бы у этой матрицы была обратная, то

   

для некоторых значений a, b, c и d . Однако, поскольку вторая строка A является нулевой строкой, вы можете видеть, что вторая строка произведения также должна быть нулевой строкой:

(Когда звездочка * появляется в качестве записи в матрице, это означает, что фактическое значение этой записи не имеет отношения к настоящему обсуждению.) Поскольку запись (2, 2) произведения не может равняться 1, произведение не может равняться единичной матрице. Поэтому невозможно построить матрицу, которая может служить обратной для A .

Если матрица имеет обратную, говорят, что обратимая . Матрица в примере 23 обратима, а матрица в примере 24 — нет. Позже вы изучите различные критерии для определения того, является ли данная квадратная матрица обратимой.

Пример 20 : Пример 18 показал, что

Учитывая, что

   

проверьте уравнение ( AB ) −1 = B −1 A −1 .

Сначала вычислите AB :

 

Далее вычислить B −1 A −1 :

 

Теперь, поскольку произведение AB и B −1 A −1 равно I ,

 

B -1 A -1 действительно является инверсией AB . На самом деле уравнение

   

верно для любых обратимых квадратных матриц того же размера.Это говорит о том, что если A и B — обратимые матрицы одного размера, то их произведение AB также обратимо, и обратное произведение равно произведению обратных в обратном порядке . (Сравните это уравнение с уравнением, включающим транспонирование в примере 14 выше.) Этот результат можно доказать в общем случае, применив ассоциативный закон для матричного умножения. С

и

следует, что ( AB ) −1 = B −1 A −1 , как и требуется.

Пример 21 : обратная матрица

это

Покажите, что обратное число B T равно ( B −1 ) T .

Форма B T и ( B −1 ) T и умножить:

 

Этот расчет показывает, что ( B −1 ) T является обратным к B T .[Строго говоря, это показывает только то, что ( B −1 ) T есть прямое обратное B T , то есть когда оно умножает B T справа, продукт является личностью. Это также правда, что ( B 7 -1

) T B 7 T
= I , что означает ( B -1 ) T Left Inverse из Б Т .Однако нет необходимости явно проверять оба уравнения: если квадратная матрица имеет обратную, нет различия между левой и правой обратной матрицей.] Таким образом,

   

уравнение, которое на самом деле верно для любой обратимой квадратной матрицы B . Это уравнение говорит о том, что если матрица обратима, то обратима и ее транспонирование, а инверсия транспонирования — это транспонирование инверсии.

Пример 22 : Используйте распределительное свойство для умножения матриц, A ( B ± C ) = AB ± AC , чтобы ответить на этот вопрос: если матрица 2 x 2 удовлетворяет D 900 уравнение D 2 D − 6 I = 0 , какое выражение для D −1 ?

По приведенному выше распределительному свойству D 2 D = D 2 DI = D(D − I) .Следовательно, уравнение D 2 D − 6 I = 0 подразумевает D(D − I) = 6 I . Умножение обеих частей этого уравнения на 1/6 дает

.

   

, что подразумевает

В качестве иллюстрации этого результата матрица

   

удовлетворяет уравнению D 2 D − 6 I = 0 , как вы можете убедиться.С 90 005

и

матрица 1/6 ( D-I ) действительно равна D -1 , как заявлено.

Пример 23 : Уравнение ( A + B ) 2 = A 7 2 + 2 AB + B + B 7 2 — это личность, если A и B вещественные числа. Показать, однако, что ( A + B + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 не Идентичность, если A и B являются матрицами 2 x 2.[Примечание: законы распределения для матричного умножения: A ( B ± C ) = AB ± AC , приведенные в примере 22, и сопутствующий закон ( A ± B ) С = АС ± до н.э. .]

Дистрибутивные законы для матричного умножения подразумевают

 

Поскольку умножение матриц не является коммутативным, BA обычно не будет равно AB , поэтому сумма BA + AB не может быть записана как 2 AB .В общем случае ( А + В ) 2 А 2 + 2 АВ + В 2 . [Любые матрицы A и B , которые не коммутируют друг с другом (например, матрицы в примере 16 выше), дадут конкретный контрпример к утверждению ( A + B ) 2 = A 7 2 + 2 AB + B 2 , что также установило бы, что это не личность.]

Пример 24 : Предположим, что B является обратимым. Если A коммутирует с B , покажите, что A также будет коммутировать с B −1 .

Доказательство . Сказать « A коммутирует с B » означает AB = BA . Умножьте это уравнение на B −1 слева и справа и используйте ассоциативность:

Пример 25 : Число 0 имеет только один квадратный корень: 0.Покажите, однако, что нулевая матрица (2 на 2) имеет бесконечно много квадратных корней, найдя все матрицы 2 x 2 A такие, что A 2 = 0 .

Точно так же, как число a называется квадратным корнем из b , если a 2 = b , матрица A называется квадратным корнем из B , если А 2 = Б . Пусть

   

— произвольная матрица 2 x 2.Возведение его в квадрат и установка результата равным 0 дает

Элементы (1, 2) в последнем уравнении подразумевают b ( a + d ) = 0, что верно, если (случай 1) b = 0 или (случай 2) d = − и .

Случай 1. Если b = 0, диагональные записи подразумевают a = 0 и d = 0, а записи (2, 1) подразумевают, что c произвольно. Таким образом, для любого значения c каждая матрица формы

   

— это квадратный корень из 0 2×2 .

Случай 2. Если d = − a , то обе недиагональные записи будут равны 0, а диагональные записи будут равны a 2 + bc . Таким образом, если b и c выбраны так, что bc = − a 2 , A 2 будет равно 0 .

Аналогичная цепочка рассуждений, начинающаяся с (2, 1) записей, приводит либо к a = c = d = 0 (и b произвольно), либо к тому же выводу, что и раньше: пока b и c выбраны так, что bc = − a 2 , матрица A 2 будет равна 0 .

Все эти случаи можно резюмировать следующим образом. Любая матрица следующей формы будет обладать тем свойством, что ее квадрат равен нулевой матрице 2 на 2:

 

Поскольку существует бесконечно много значений a, b и c , таких что bc = − a 2 , нулевая матрица 0 2×2 имеет бесконечно много квадратных корней. Например, выбор a = 4, b = 2 и c = −8 дает ненулевую матрицу

.

   

, квадрат которого равен

Умножение матриц — обзор

4.2 Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу, или для краткости, умножение матриц между матрицей i×j (i строк на j столбцов) M и матрицей j×k N дает матрицу i×k P. Умножение матриц является важным компонентом стандарта базовых подпрограмм линейной алгебры (BLAS) (см. врезку «Функции линейной алгебры» в Главе 3: Масштабируемое параллельное выполнение). Эта функция лежит в основе многих решателей линейной алгебры, таких как LU-разложение. Как мы увидим, матричное умножение предоставляет возможности для сокращения доступа к глобальной памяти, которые можно захватить с помощью относительно простых методов.Скорость выполнения функций умножения матриц может варьироваться на порядки, в зависимости от уровня сокращения обращений к глобальной памяти. Таким образом, умножение матриц представляет собой отличный начальный пример для таких методов.

При выполнении матричного умножения каждый элемент выходной матрицы P является внутренним произведением строки M и столбца N . Мы продолжим использовать соглашение, где P Row,Col — это элемент в позиции Row th в вертикальном направлении и Col th в горизонтальном направлении.Как показано на рис. 4.2, P Row,Col (маленький квадрат в P ) является внутренним произведением вектора, образованного из Row th row M (показан горизонтальной полосой в M ) и вектор, сформированный из столбца Col th N (показан вертикальной полосой в N ). Внутреннее произведение двух векторов, также называемое скалярным произведением, представляет собой сумму произведений отдельных элементов вектора, т. е. PRow, Col=∑MRow,k*Nk,Col, for k=0,1,…Width−1 .Например,

Рисунок 4.2. Умножение матриц с использованием нескольких блоков с помощью мозаики P.

P1,5=undefinedM1,0*N0,5+undefinedM1,1*N1,5+undefinedM1,2*N2,5+⋯+undefinedM1,Width-1*NWidth-1 ,5

В нашей начальной реализации матричного умножения мы сопоставляем потоки с элементами P с тем же подходом, который мы использовали для colorToGreyscaleConversion; т. е. каждый поток отвечает за вычисление одного P-элемента. Индексы строк и столбцов для элемента P, вычисляемые каждым потоком, следующие:

  Row=blockIdx.y*blockDim.y+threadIdx.y

и

  Col=blockIdx.x*blockDim.x+threadIdx.x.

При таком сопоставлении «один к одному» индексы нитей Row и Col также являются индексами строк и столбцов для выходного массива. На рис. 4.3 показан исходный код ядра, основанный на этом отображении потока в данные. Читатель сразу же увидит знакомый шаблон вычисления Row, Col и проверки оператора if, если и Row, и Col находятся в пределах допустимого диапазона. Эти операторы почти идентичны своим аналогам в colorToGreyscaleConversion.Единственная существенная разница заключается в том, что мы предполагаем квадратные матрицы для matrixMulKernel, таким образом, заменяя ширину и высоту на ширину.

Рисунок 4.3. Простое ядро ​​умножения матриц, использующее один поток для вычисления одного элемента P.

Преобразование потока в данные эффективно делит P на фрагменты, один из которых показан в виде большого квадрата на рис. 4.2. Каждый блок отвечает за расчет одной из этих плиток.

Теперь обратим внимание на работу, проделанную каждым потоком.Напомним, что P Row, Col является внутренним произведением Row th row M и Col th столбца N. На рис. 4.3 мы используем цикл for для выполнения этой операции внутреннего продукта. Перед входом в цикл мы инициализируем локальную переменную Pvalue равным 0. Каждая итерация цикла обращается к элементу из строки -й строки M и к одному из столбца Col -й строки N, перемножает два элемента вместе и накапливает продукт в Pvalue.

Сначала мы сосредоточимся на доступе к элементу M в цикле for.Напомним, что M линеаризуется в эквивалентный одномерный массив, в котором строки M располагаются одна за другой в пространстве памяти, начиная с 0-й строки. Следовательно, начальный элемент 1-й строки равен M[1*Width], потому что нам нужно учесть все элементы 0 -й строки. Как правило, начальным элементом строки -й строки является M[Row*Width]. Поскольку все элементы строки расположены в последовательных местах, k-й элемент строки -й строки находится в M[Row*Width+k].Этот метод был применен на рис. 4.3.

Теперь обратим внимание на N. Как показано на рис. 4.3, начальным элементом столбца Col th является элемент Col th строки 0 th , то есть N[Col]. Доступ к каждому дополнительному элементу в столбце Col th требует пропуска целых строк. Причина в том, что следующий элемент того же столбца на самом деле является тем же элементом в следующей строке. Следовательно, элемент k th столбца Col th равен N[k*Width+Col].

После выхода из цикла for все потоки имеют свои значения элементов P в переменных Pvalue. Затем каждый поток использует одномерное эквивалентное индексное выражение Row*Width+Col для записи своего элемента P. Опять же, этот шаблон индекса аналогичен тому, который используется в ядре colorToGreyscaleConversion.

Теперь мы используем небольшой пример, чтобы проиллюстрировать выполнение ядра умножения матриц. На рис. 4.4 показан 4×4 P с BLOCK_WIDTH=2. Небольшие размеры позволяют уместить весь пример на одной картинке.Матрица P теперь разделена на четыре плитки, и каждый блок вычисляет одну плитку. Мы делаем это, создавая блоки, которые представляют собой массивы потоков 2×2, причем каждый поток вычисляет один P-элемент. В примере поток(0,0) блока(0,0) вычисляет P 0,0 , тогда как поток(0,0) блока(1,0) вычисляет P 2,0 .

Рисунок 4.4. Небольшой пример исполнения matrixMulKernel.

Строка и столбец в матрицеMulKernel идентифицируют элемент P, который должен быть рассчитан потоком. Row также идентифицирует строку M, тогда как Col идентифицирует столбец N как входные значения для потока.На рис. 4.5 показаны операции умножения в каждом блоке потоков. В примере с умножением малых матриц потоки в блоке (0,0) производят четыре скалярных произведения. Переменные Row и Col потока (1,0) в блоке (0,0) равны 0*0+1=1 и 0*0+0=0. Он отображается в P 1,0 и вычисляет скалярное произведение строки 1 числа M и столбца 0 числа N.

Рисунок 4.5. Действия по умножению матрицы одного блока потока.

Пройдемся по выполнению цикла for на рис. 4.3 для потока (0,0) в блоке (0,0). Во время 0 итерации (k=0), Row*Width+k=0*4+0 = 0 и k*Width+Col=0*4+0=0. Таким образом, мы получаем доступ к M[0] и N[0], которые являются одномерными эквивалентами M 0,0 и N 0,0 согласно рис. 3.3. Обратите внимание, что это действительно 0 элементов строки 0 матрицы M и столбца 0 матрицы N. Во время 1-й итерации (k=1) Row*Width+k=0*4+1=1 и k*Width+ Колонка=1*4+0=4. Мы получаем доступ к M[1] и N[4], которые являются одномерными эквивалентами M 0,1 и N 1,0 , согласно рис.3.3. Это 1-й элемент строки 0 матрицы M и столбца 0 матрицы N.

Во время 2-й итерации ( k =2), Row*Width+k=0*4+2=2 и k*Width+Col= 8, что приводит к M[2] и N[8]. Следовательно, доступ к элементам является одномерным эквивалентом M 0,2 и d_N 2,0 . Наконец, во время 3-й итерации ( k =3), Row*Width+ k=0*4+3 и k*Width+Col=12, что приводит к M[3] и N[12], одномерному эквиваленту М 0,3 и Н 3,0 . Теперь мы убедились, что цикл for выполняет скалярное произведение между 0 й строкой M и 0 й столбцом N.После цикла поток записывает P[Row*Width+Col], что равно P[0], одномерному эквиваленту P 0,0 . Таким образом, поток(0,0) в блоке(0,0) успешно вычислил внутренний продукт между 0 й строкой M и 0 й столбцом N и поместил результат в P 0,0 .

Мы оставим читателю в качестве упражнения выполнение и проверку цикла for для других потоков в блоке (0,0) или в других блоках.

Обратите внимание, что matrixMulKernel может обрабатывать матрицы размером до 16×65 535 элементов в каждом измерении.В ситуации, когда необходимо умножить матрицы, превышающие этот предел, можно разделить матрицу P на подматрицы с размерами, которые могут быть покрыты сеткой. Затем мы можем использовать код хоста для итеративного запуска ядер и завершения матрицы P. В качестве альтернативы мы можем изменить код ядра, чтобы каждый поток вычислял больше P элементов.

Мы можем оценить влияние эффективности доступа к памяти, рассчитав ожидаемый уровень производительности кода ядра матричного умножения на рис.4.3. Доминирующей частью ядра с точки зрения времени выполнения является цикл for, выполняющий вычисление внутреннего произведения:

for(intk=0;k

В каждой итерации этого цикла выполняется два обращения к глобальной памяти для одного умножения с плавающей запятой и одного сложения с плавающей запятой. Один доступ к глобальной памяти извлекает элемент M, а другой извлекает элемент N. Одна операция с плавающей запятой умножает полученные элементы M и N, а другая накапливает произведение в Pvalue.Таким образом, отношение вычислительных ресурсов к доступу к глобальной памяти цикла равно 1,0. Судя по нашему обсуждению в главе 3, Масштабируемое параллельное выполнение, это соотношение, скорее всего, приведет к использованию менее 2% пиковой скорости выполнения современных графических процессоров. Нам нужно увеличить это отношение как минимум на порядок, чтобы вычислительная мощность современных устройств достигла хорошего использования.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.