Умножение дробь на отрицательную дробь: Умножение дробей с разными знаками. Умножение и деление отрицательных чисел

Содержание

Умножение положительных и отрицательных чисел — «Семья и Школа»

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел:

Замечание 1

Для умножения двух отрицательных чисел нужно выполнить умножение их модулей.

Согласно правилу можно записать:

$(−a) \cdot (−b)=a \cdot b$,

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Из правила умножения следует, что результатом произведения двух отрицательных чисел является положительное число.

Правило умножения справедливо для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 1

Выполнить умножение двух отрицательных чисел $−8$ и $−11$.

Решение.

Найдем модули данных чисел:

$|-8|=8$;

$|-11|=11$.

Произведение модулей равно $8 \cdot 11=88$.

Краткая запись решения:

$(−8) \cdot (−11)= 8 \cdot 11=88$.

Ответ: $(−8) \cdot (−11)=88$.

Помощь со студенческой работой на тему

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Замечание 2

Для умножения отрицательных рациональных чисел необходимо числа преобразовать к виду смешанных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Умножение чисел с противоположными знаками

Правило умножения чисел с разными знаками:

Замечание 3

Для умножения чисел с противоположными знаками необходимо выполнить умножение чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.

Согласно данному правилу можно записать:

$a \cdot (−b)=−(|a| \cdot |b|)$,

$(−a) \cdot b=−(|a| \cdot |b|)$,

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Данное правило умножения чисел с противоположными знаками применяется для целых, рациональных и действительных чисел.

Согласно рассмотренному правилу умножение чисел с противоположными знаками сводится к выполнению умножения положительных чисел.

Пример 2

Выполнить умножение положительного числа $7$ и отрицательного числа $–12$.

Решение.

Согласно правилу умножения чисел с противоположными знаками сначала выполним умножение модулей данных чисел:

$|7|=7$;

$|-12|=12$;

$7 \cdot 12=84$.

Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $−84$.

Краткая запись решения:

$7 \cdot (–12)=−(7 \cdot 12)=−84$.

Ответ: $7 \cdot (–12)=−84$.

Замечание 4

Для умножения дробных чисел с противоположными знаками необходимо преобразовать данные числа к удобному виду: обыкновенных или десятичных дробей.

Деление отрицательных чисел

Правило деления отрицательных чисел:

Замечание 5

Для деления одного отрицательного числа на другое необходимо выполнить деление модулей данных чисел.

Согласно данному правилу можно записать:

$a:b=|a|:|b|$,

где $a$ и $b$ – отрицательные числа.

Правило выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.{−1}$.

Данное правило применимо для выполнения деления чисел с противоположными знаками.

Пример 3

Разделить отрицательные числа $−24$ и $−6$.

Решение.

Согласно правилу деления отрицательных чисел найдем модули данных чисел и выполним их деление. Получим:

$|-24|=24$;

$|-6|=6$;

$24:6=4$.

Краткая запись решения:

$(–24):(–6)=|–24|:|–6|=24:6=4$.

Ответ: $(–24):(–6)=4$.

Замечание 7

Для выполнения деления дробных рациональных чисел для удобства нужно преобразовать их к виду обыкновенных дробей, но можно делить и десятичные дроби.

Деление чисел с противоположными знаками

Правило деления чисел с противоположными знаками:

Замечание 8

Для деления положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное необходимо выполнить деление модулей данных чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.

Согласно данному правилу можно записать:

$a:(–b)=−|a|:|–b|$,

$(–a):b=−|–a|:|b|$.{−1}$.

Данное правило применимо для деления отрицательных чисел.

Пример 4

Разделить положительное число $28$ на отрицательное число $–7$.

Решение.

Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками найдем модули данных чисел и выполним их деление:

$|28|=28$;

$|-7|=7$;

$28:7=4$.

Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $–4$.

Краткая запись решения:

$28:(–7)=-|28|:|-7|=-(28:7)=-4$.

Ответ: $28:(–7) = –4$.

Замечание 10

Для деления дробных рациональных чисел с противоположными знаками числа удобнее представлять в виде обыкновенных дробей.

Умножение и деление отрицательных чисел

Мы уже умеем складывать и вычитать отрицательные числа.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

  • положительное число х положительное число = положительное число;
  • отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
  • положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
  • отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число

. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для деления.

(+12):(+3)=+4;

(+12):(-3)=-4;

(-12):(+3)=-4;

(-12):(-3)=+4.

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Отрицательные дроби. Действия с отрицательными дробями

Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

-2 : 7    и    2 : (-7),

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7 = -2    и    2 : (-7) = 2 .
7-7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

Пример.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 +  (-1)  = -8 + -5 .
542020

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8 + -5 = -8 + (-5) = -13 = 13 .
2020202020

Таким образом:

2 +  (-1)  = -8 + -5 =
542020
-8 + (-5) = -13 = 13 .
202020

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

Пример.

5 — (-11)  = 5 + (+11)  =
12121212
5 + 11 = -5 + 11 = 6 .
12121212

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

Пример.

2 · (-4)  = -2 · -4 = -2 · (-4) = 8 .
35353 · 515

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:

2 · (-4)  = 2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
35353 · 515

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

Пример.

2 · 4 = 2 · 4 = 8 .
353 · 515

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

4 ·  (-2)  = 4 · 2 = 8 .
535 · 315

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

Пример.

2 : (-4)  = -2 : -4 =
3535
-2 · 5 = -10 = 10 .
3 · (-4)-1212

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Умножение положительных и отрицательных чисел

Задача 1. Точка движется по прямой слева направо со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка по прошествии 5 секунд?

Нетрудно сообразить, что точка будет находиться на 20 дм. вправо от A. Запишем решение этой задачи относительными числами. Для этого условимся в следующих знакоположениях:

1) скорость вправо будем обозначать знаком +, а влево знаком –, 2) расстояние движущейся точки от A вправо будем обозначать знаком + и влево знаком –, 3) промежуток времени после настоящего момента знаком + и до настоящего момента знаком –. В нашей задаче даны, след., такие числа: скорость = + 4 дм. в секунду, время = + 5 секунд и получилось, как сообразили арифметически, число + 20 дм., выражающее расстояние движущейся точки от A через 5 секунд. По смыслу задачи мы видим, что она относится к умножению. Поэтому решение задачи удобно записать:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Задача 2. Точка движется по прямой слева направо со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась эта точка 5 секунд назад?

Ответ ясен: точка находилась влево от A на расстоянии 20 дм.

Решение удобно, согласно условиям относительно знаков, и, имея в виду, что смысл задачи не изменился, записать так:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Задача 3. Точка движется по прямой справа налево со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где будет находиться движущаяся точка спустя 5 секунд?

Ответ ясен: на 20 дм. слева от A. Поэтому, согласно тем же условиям относительно знаков, мы можем записать решение этой задачи так:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Задача 4. Точка движется по прямой справа налево со скоростью по 4 дм. в секунду и в настоящий момент проходит через точку A. Где находилась движущаяся точка 5 секунд тому назад?

Ответ ясен: на расстоянии 20 дм. справа от A. Поэтому решение этой задачи следует записать так:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Рассмотренные задачи указывают, как следует распространить действие умножения на относительные числа. Мы имеем в задачах 4 случая умножения чисел со всевозможными комбинациями знаков:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Во всех четырех случаях абсолютные величины данных чисел следует перемножить, у произведения приходится ставить знак + тогда, когда у множителей одинаковые знаки (1-й и 4-й случаи) и знак –, когда у множителей разные знаки (случаи 2-й и 3-й).

Отсюда же видим, что от перестановки множимого и множителя произведение не изменяется.

Упражнения.

Выполним один пример на вычисление, где входят и сложение и вычитание и умножение.

Чтобы не спутать порядка действий, обратим внимание на формулу

ab + cd.

Здесь написана сумма произведений двух пар чисел: надо, следовательно, сперва число a умножить на число b, потом число c умножить на число d и затем полученные произведения сложить. Также в формуле

a – bc

надо сперва число b умножить на c и затем полученное произведение вычесть из a.

Если бы требовалось произведение чисел a и b сложить с c и полученную сумму умножить на d, то следовало бы написать: (ab + c)d (сравнить с формулой ab + cd).

Если бы надо было разность чисел a и b умножить на c, то написали бы (a – b)c (сравнить с формулой a – bc).

Поэтому установим вообще, что если порядок действий не обозначен скобками, то надо сначала выполнить умножение, а потом уже сложение или вычитание.

Приступаем к вычислению нашего выражения: выполним сначала сложения, написанные внутри всех маленьких скобок, получим:

Теперь надо выполнить умножение внутри квадратных скобок и затем из вычтем полученное произведение:

Теперь выполним действия внутри витых скобок: сначала умножение и потом вычитание:

Теперь останется выполнить умножение и вычитание:

16. Произведение нескольких множителей. Пусть требуется найти

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Здесь надо первое число умножить на второе, полученное произведение на 3-е и т. д. Не трудно на основании предыдущего установить, что абсолютные величины всех чисел надо между собою перемножить.

Если бы все множители были положительны, то на основании предыдущего найдем, что и у произведения надо написать знак +. Если бы какой-либо один множитель был отрицателен

напр., (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

то произведение всех предшествующих ему множителей дало бы знак + (в нашем примере (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, от умножения полученного произведения на отрицательное число (в нашем примере +24 умножить на –1) получили бы у нового произведения знак –; умножив его на следующий положительный множитель (в нашем примере –24 на +5), получим опять отрицательное число; так как все остальные множители предполагаются положительными, то знак у произведения более изменяться не может.

Если бы было два отрицательных множителя, то, рассуждая, как выше, нашли бы, что сначала, пока не дошил до первого отрицательного множителя, произведение было бы положительно, от умножения его на первый отрицательный множитель новое произведение получилось бы отрицательным и таковы бы оно и оставалось до тех пор, пока не дойдем до второго отрицательного множителя; тогда от умножения отрицательного числа на отрицательно новое произведение получилось бы положительным, которое таким останется и в дальнейшем, если остальные множители положительны.

Если бы был еще третий отрицательный множитель, то полученное положительно произведение от умножения его на этот третий отрицательный множитель сделалось бы отрицательным; оно таковым бы и осталось, если остальные множители были все положительны. Но если есть еще четвертый отрицательный множитель, то от умножения на него произведение сделается положительным. Рассуждая так же, найдем, что вообще:

Чтобы узнать знак произведения нескольких множителей, надо посмотреть, сколько среди этих множителей отрицательных: если их вовсе нет, или если их четное число, то произведение положительно: если же отрицательных множителей нечетное число, то произведение отрицательно.

Итак, теперь мы легко узнаем, что

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

Также

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Теперь нетрудно видеть, что знак произведения, а также и его абсолютная величина, не зависят от порядка множителей.

Удобно, когда имеем дело с дробными числами, находить произведение сразу:

Удобно это потому, то не приходится делать бесполезных умножений, так как предварительно полученное дробное выражение сокращается, сколько возможно.

Пример на вычисление:

правило, примеры, умножение отрицательных чисел на положительные

В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

Умножение отрицательных чисел

Определение 1

Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел –a, -b данное равенство считается верным.

(-а)·(-b)=a·b.

Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: (-а)·(-b)=a·b. Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а·(-b)=-a·b справедливое, как и (-а)·b=-a·b. Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

(-a)·(-b)=(-a·(-b))=-(-(a·b))= a·b.

Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

Пример 1

Произвести умножение чисел -3 и -5.

Решение.

По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5. Их произведение дает  в результате 15. Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

(-3)·(-5)=3·5=15

Ответ: (-3)·(-5)=15.

При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Вычислить произведение (-0,125)·(-6).

Решение.

Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что  (−0,125)·(−6)=0,125·6. Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

Получили, что выражение примет вид (−0,125)·(−6)=0,125·6=0,75.

Ответ:  (−0,125)·(−6)=0,75.

В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

Пример 3

Необходимо произвести умножение отрицательного -2 на неотрицательное log5 13.

Решение

Находим модули заданных чисел:

-2=2 и log513=-log5 3=log5 3.

Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3. Это выражение и является ответом.

Ответ:  -2·log5 13=-2·log5 3=2·log5 3.

Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.

Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами. Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:

  • Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.

\((-2)+(-3)=-5\)

  • Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:

\((-8)+4=4-8=-4\)

\(9+(-4)=9-4=5\)

Для каждого числа кроме \(0\) существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:

\(-9+9=0\)     \(7,1+(-7,1)=0\)

  • При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.

\((-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)\)

  • Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.

\(7-9=-2\) так как \(9>7\)

  • Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:

\(7-(-9)=7+9=16\)

Задача 1. Вычислите:

 

  1.  \(4+(-5)\)
  2.  \(-36+15\)
  3. \((-17)+(-45)\)
  4. \(-9+(-1)\)

 

Решение:

 

  1.  \(4+(-5)=4-5=-1\)
  2.  \(-36+15=-21\)
  3. \((-17)+(-45)\) \(=-17-45=-62\)
  4. \(-9+(-1)=-9-1=-10\)

Задача 2. Вычислите:

  1. \(3-(-6)\)
  2.  \(-16-35\)
  3. \(-27-(-5)\)
  4.  \(-94-(-61)\)

Решение:

  1.  \(3-(-6)=3+6=9\)
  2. \(-16-35=-51\)
  3.  \(-27-(-5)=-27+5=-22\)
  4.  \(-94-(-61)=-94+61=-33\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку


Репетитор по математике


Омский государственный педагогический университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 7-11 классов. Реализую дифференцированный подход к обучению, осуществляю подготовку учеников к ОГЭ и ЕГЭ. Почему я люблю математику? Меня завораживают строки формул и выражений, кажется, что это шифр, к которому нужно подобрать ключ. Поэтому математика — это ключ к тайнам Вселенной.

Оставить заявку


Репетитор по математике


Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-9 классов. Математикой я был увлечен со школы, часто участвовал в олимпиадах. За время своей работы понял, что в изучении предмета большую роль играет эмоциональное отношение ученика к предмету. В школе часто создается впечатление, что математика — это сложно. На занятиях я стараюсь помочь ученикам преодолеть этот психологический барьер (если он есть) и начать решать легко и весело. При обучении использую примеры не только из книг, но и из жизни, помогая формировать образное мышление, которое позволяет просто запоминать формулы и табличные данные.

Оставить заявку


Репетитор по математике


БГПУ им.М.Танка


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-6 классов. Люблю математику за её красоту и элегантность. «Математика — это музыка в цифрах.» При обучении всегда провожу параллели с примерами из жизни.

Математика 10 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Курсы ОГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:

Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:

Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения

  1. От перестановки множителей местами произведение не меняется.
    a * b = b * a
  2. Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением.
    a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

  • перемножить модули этих чисел
  • перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

  • «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
    или минус на минус дает плюс
  • «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
    или минус на плюс дает минус
  • «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
    или плюс на минус дает минус
  • «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
    или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

 

  1. (-2)∗(-2) = 4
  2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

 

  1. -11 * 11 = -121
  2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

 

  1. 5 ∗ (-5)= -25
  2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

 

  1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
    (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.
  2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

Умножение отрицательных дробей — Видео и стенограмма урока

Умножение отрицательных дробей

Вот четыре шага для умножения отрицательных дробей. Давайте воспользуемся следующей задачей, чтобы проиллюстрировать шаги.

Помните, что числители — это числа над чертой в дробной части, а знаменатели — это числа под чертой в долях.

Помните, что целое число можно превратить в дробь, просто поместив целое число над 1.Например, целое число 7 становится 7/1.

Попрактикуемся

Давайте вместе попробуем. Давайте найдем произведение -2/7 * 3/4 ​​

Шаг 1) Когда мы умножим числители (2 * 3), ответ будет 6.

Шаг 2) Когда мы умножим знаменатели (7 * 4), ответ равно 28.

Шаг 3) Новая дробь — 6/28. Оба числа делятся на 2 и могут быть упрощены до 3/14.

Шаг 4) У дробей разные знаки, так как одна положительная, а другая отрицательная, поэтому ответ отрицательный.

Произведение -2/7 * 3/4 ​​= -3/14.

Попробуем еще парочку. Не стесняйтесь брать лист бумаги и карандаш и самостоятельно решать следующие задачи, прежде чем искать решение.

Решить: -3/4 * 2/3

Шаг 1) Умножить числители: 3 * 2 = 6

Шаг 2) Умножить знаменатели: 4 * 3 = 12

Шаг 3) Упростить 6/12 ( оба делятся на 6) до 1/2

Шаг 4) Знаки разные, поэтому ответ отрицательный.

Ответ -1/2.

Решить: -1/2 * 3/4 ​​

Шаг 1) Умножить числители: 1 * 3 = 3

Шаг 2) Умножить знаменатели: 2 * 4 = 8

Шаг 3) 3/8 уже в простейшей форме

Шаг 4) Знаки разные, поэтому ответ отрицательный.

Итак, -1/2 * 3/4 ​​= -3/8.

Краткое содержание урока

При умножении дробей помните, что если дроби имеют одинаковый знак, ответ будет положительным, а если дроби имеют разные знаки, ответ будет отрицательным.Также помните, что умножение отрицательных дробей состоит из четырех простых шагов, и это, безусловно, положительный момент!

Умножение и деление на целые числа (предалгебра, изучение и понимание целых чисел) — Mathplanet

Вы также должны обращать внимание на знаки при умножении и делении. Следует помнить два простых правила:

Когда вы умножаете отрицательное число на положительное, произведение всегда отрицательное.

Когда вы умножаете два отрицательных числа или два положительных числа, произведение всегда будет положительным.

Это похоже на правило сложения и вычитания: два знака минус становятся плюсом, а плюс и минус становятся минусом. Однако при умножении и делении вы вычисляете результат, как если бы не было знаков минус, а затем смотрите на знаки, чтобы определить, положительный или отрицательный результат. Два примера быстрого умножения:

$$ 3 \ cdot (-4) = — 12 $$

3 умножить на 4 равно 12. Поскольку существует одно положительное и одно отрицательное число, произведение равно отрицательному 12.

$$ (- 3) \ cdot (-4) = 12 $$

Теперь у нас есть два отрицательных числа, поэтому результат положительный.

Переходя к делению, вы можете вспомнить, что вы можете подтвердить полученный ответ, умножив частное на знаменатель. Если вы ответили правильно, то произведение этих двух чисел должно совпадать с числителем. Например,

$$ \ frac {12} {3} = 4 $$

Чтобы проверить, является ли 4 правильным ответом, мы умножаем 3 (знаменатель) на 4 (частное):

$$ 3 \ cdot 4 = 12 $$

Что произойдет, если разделить два отрицательных числа? Например,

$$ \ frac {(- 12)} {(- 3)} = \:? $$

Чтобы знаменатель (-3) стал числителем (-12), вам нужно умножить его на 4, поэтому частное равно 4.

Итак, частное отрицательного и положительного чисел отрицательно, и, соответственно, частное положительного и отрицательного чисел также отрицательно. Можно сделать вывод, что:

Если вы разделите отрицательное число на положительное, то частное будет отрицательным.

Когда вы делите положительное число на отрицательное, частное также становится отрицательным.

Когда вы делите два отрицательных числа, получается положительное частное.

Те же правила верны и для умножения.

Видеоурок

Вычислить следующие выражения

$$ (- 4) \ cdot (-12), \: \: \: \: \ frac {-12} {3} $$

Умножение и деление отрицательных чисел

Purplemath

Если перейти от сложения и вычитания, как вы производите умножение и деление с отрицательными числами? Собственно, сложную часть мы уже рассмотрели: вы уже знаете правила «знака»:

плюс раз плюс плюс
(добавление большого количества горячих кубиков повышает температуру)

минус раз плюс минус
(удаление большого количества горячих кубиков снижает температуру)

плюс умножить на минус — это минус
(добавление большого количества холодных кубиков снижает температуру)

минус умножить на минус равно плюс
(удаление большого количества холодных кубиков повышает температуру)

MathHelp.com

Правила знаков действуют одинаково для деления; просто замените «раз» на «деленное на». Вот пример правил в разделе:

(Помните, что дроби — это просто еще одна форма деления! «Дроби — это деление»!)


Некоторым людям нравится думать об отрицательных числах в терминах долгов.Так, например, если вы должны 10 долларов шести людям, ваш общий долг составит 6 × 10 долларов = 60 долларов. В этом контексте имеет смысл получить отрицательный ответ. Но в каком контексте может иметь смысл деление отрицательного на отрицательное (и получение положительного)?

Подумайте о том, чтобы перекусить в кафе. Когда вы идете платить, у ребенка возникают проблемы с использованием вашей дебетовой карты. Он проводит по ней шесть раз, прежде чем, наконец, вернуть карту вам. Вернувшись домой, вы проверяете свой банковский счет в Интернете. По сумме можно сказать, что да, он действительно взимал с вас или более одного раза.Некоторая часть этого общего дебета (отрицательная на вашем счете) неверна.

Прежде чем звонить в банк для исправления ситуации, вы хотите подтвердить количество превышенных комиссий. Как в этом разобраться? Вы можете разделить всю сумму (скажем, 76,02 доллара США) на сумму, указанную в квитанции (скажем, 12,67 доллара США), которая является суммой одного платежа. Каждое списание является минусом на вашем счету, поэтому математика составляет:

.

(- 76,02 доллара) ÷ (- 12 долларов.67) = 6

Итак, всего действительно было шесть зарядов. Количество зарядов, 6, при подсчете количества событий, должно быть положительным. В этом реальном контексте деление минуса на минус и получение плюса имеет смысл. И теперь вы знаете, что нужно указать службе поддержки клиентов отменить ровно пять начислений.


Вы можете заметить, что люди отменяют знак минус.Они пользуются тем, что «минус, умноженный на минус, есть плюс». Например, предположим, что у вас есть (–2) (- 3) (- 4). Любые два отрицательных результата при умножении становятся одним положительным. Так что выберите любые два из перемноженных (или разделенных) отрицаний и «отмените» их знаки:

  • Упростить (–2) (- 3) (- 4).

Начну с того, что уберу одну пару знаков «минус».Потом размножу как обычно.

(–2) (- 3) (- 4)

= (–2) (- 3) (–4)

= (+6) (–4)

= –24

Если вам дано длинное умножение с отрицательными числами, просто уберите знаки «минус» в парах:

  • Упростить (–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1).

Первое, что я сделаю, это подсчитаю знаки «минус». Один два три четыре пять шесть семь. Итак, есть три пары, которые я могу отменить, оставив одну. В результате мой окончательный ответ должен быть отрицательным. Если я получу положительный результат, я буду знать, что сделал что-то не так.

(–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (–1) (- 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (+1) (+ 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (–1) (- 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (+1) (+ 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (1) (3) (–4) (- 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (+4) (+ 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (4) (2) (- 1)

= (2) (3) (4) (2) (- 1)

= 48 (–1)

= –48

Я получил отрицательный ответ, поэтому знаю, что мой знак правильный.

Вот еще один пример, показывающий тот же процесс отмены в контексте разделения:


Отрицательные скобки

Основная трудность, с которой люди сталкиваются с негативом, заключается в том, чтобы иметь дело со скобками; в частности, в переносе отрицания через круглые скобки. Обычная ситуация примерно такая:

Если бы у вас было «3 ( x + 4)», вы бы знали, что нужно «распределить» 3 «над» круглыми скобками:

3 ( x + 4) = 3 ( x ) + 3 (4) = 3 x + 12

Те же правила применяются, когда вы имеете дело с негативом.Если у вас проблемы с отслеживанием, используйте маленькие стрелки:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Мне нужно взять 3 в скобки:

3 ( x — 5) = 3 ( x ) + 3 (–5) = 3 x — 15

Здесь я возьму «минус» в скобках; Я буду распределять –2 на x и минус 3.

–2 ( x — 3) = –2 ( x ) — 2 (–3) = –2 x + 2 (+3) = –2 x + 6

Обратите внимание, как я внимательно следил за знаками в круглых скобках. «Минус» был сохранен рядом с цифрой 3 за счет использования еще одного набора круглых скобок. Не стесняйтесь использовать символы группировки, чтобы обозначить предполагаемый смысл как для оценщика, так и для вас самих.


Другая проблема, связанная с предыдущей, связана с вычитанием скобок. Вы можете отслеживать знак вычитания, преобразовав вычитание в умножение на минус:

Я начну с написания маленькой цифры «1» перед круглыми скобками. Затем я нарисую стрелки от этой единицы к терминам в круглых скобках, чтобы напомнить себе о том, что мне нужно сделать.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Не бойтесь написать эту маленькую цифру «1» и нарисовать эти маленькие стрелки.Вы должны делать все, что вам нужно, чтобы ваша работа была прямой и постоянно получала правильный ответ.

  • Упростить 6 — (3

    x — 4 [1 — x ]).

Я буду работать изнутри, упрощая сначала символы внутренней группировки в соответствии с Порядком операций. Итак, первое, что я сделаю, это возьму –4 через скобки.Тогда я упрощу; Я продолжу, поставив 1 перед круглыми скобками и, чтобы помочь мне отслеживать тот -1, который я буду распространять, я нарисую маленькие стрелки.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Филиал


  • Упростить

    1 / 3 ( x -2) / 3 .

Это хитрый. Они заставляют меня вычесть дробь. Мне нужно объединить дроби, что означает объединение числителей. Чтобы не упустить из виду, что именно означает этот «минус» (а именно, что я вычитаю весь числитель второй дроби, а не только x ), я конвертирую минус с плюсом –1:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Обратите внимание, что я преобразовал вычитание дроби в добавление отрицательного числа, умноженного на единицу дроби.Очень легко «потерять» минус, когда вы добавляете такие беспорядочные полиномиальные дроби. Самая распространенная ошибка — ставить минус на x и забывать отнести его к –2. Будьте особенно осторожны с дробями!

Для дополнительной практики со скобками попробуйте здесь.


URL: https://www.purplemath.com/modules/negative3.htm

Рационалов (числа со знаком, включая дроби)

Рационалы (числа со знаком, включая дроби)

Напомним, что целые числа — это положительные и отрицательные целые числа и ноль.Когда дроби и завершающие или повторяющиеся десятичные дроби между целыми числами включены, полная группа чисел упоминается как рациональное число. Это числа со знаком, включая дроби. Более техническое определение рационального числа — это любое число, которое может быть записано в виде дроби, где числитель является целым числом или целым числом, а знаменатель — натуральным числом. Обратите внимание, что дроби могут быть помещены в числовую линию, как показано на рисунке 1

.

Числовая строка, показывающая целые числа и дроби.

Дроби могут быть как отрицательными, так и положительными. Отрицательные дроби обычно записываются следующим образом:

Хотя все они равны.

Правила для знаков при сложении целых чисел применимы и к дробям. Помните: Чтобы сложить дроби, вы должны сначала получить общий знаменатель.

Добавьте следующее.

Правила для знаков при сложении целых чисел также применимы к смешанным числам.

Добавьте следующее.

Правила для знаков при вычитании целых чисел применимы и к дробям. Запомните: Чтобы вычесть дроби, вы должны сначала получить общий знаменатель.

Вычтите следующее.

Правила для знаков при вычитании целых чисел также применимы к смешанным числам. Помните: Чтобы вычесть смешанные числа, вы должны сначала получить общий знаменатель. Если заимствование из столбца необходимо, остерегайтесь простых ошибок.

Вычтите следующее.

Проблемы, подобные предыдущим, обычно легче всего решить, сложив число с большим абсолютным значением наверху, вычтя и сохранив знак числа с большим абсолютным значением.

Правила для знаков при умножении целых чисел применимы и к дробям. Помните: Чтобы умножить дроби, умножьте числители, а затем знаменатели. По возможности всегда упрощайте до минимальных условий.

Умножьте следующее.

Можно отменить при умножении положительной и отрицательной дробей. Просто отмените, как вы это делаете при умножении положительных дробей, но обратите особое внимание на соответствующие знаки.Следуйте правилам знаков при умножении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: Отсутствие знака означает, что понимается положительный знак.

Умножьте следующее.

Следуйте правилам знаков при умножении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Запомните: Перед умножением смешанных чисел вы должны сначала преобразовать их в неправильные дроби.

Умножьте следующее.

Следуйте правилам знаков при делении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Помните: При делении дробей сначала инвертируйте делитель, а затем умножайте.

Разделите следующее.

Следуйте правилам знаков при делении целых чисел, чтобы получить правильный знак. Запомните: Перед тем, как делить смешанные числа, вы должны сначала изменить их на неправильные дроби. Затем вы должны инвертировать делитель и умножить.

Разделите следующее.

Упрощение выражения с помощью дроби

Результаты обучения
  • Определите отрицательные дроби, которые эквивалентны, учитывая, что их отрицательный знак находится в другом месте
  • Упростите выражения, содержащие дробные черты, используя порядок операций

Где идет знак минус в дроби? Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда можно увидеть дробь с отрицательным числителем или знаменателем.Помните, что дроби представляют собой деление. Дробь [латекс] — \ frac {1} {3} [/ latex] может быть результатом деления [latex] \ frac {-1} {3} [/ latex], отрицательного на положительный или деления [latex] \ frac {1} {- 3} [/ latex], положительное за отрицательным. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.

Если и числитель, и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное значение на отрицательное.

[латекс] \ frac {-1} {- 3} = \ frac {1} {3} \ frac {\ text {negative}} {\ text {negative}} = \ text {positive} [/ latex]

Знак минус в дробной части

Для любых положительных чисел [латекс] a \ text {и} b [/ latex],

[латекс] \ frac {-a} {b} = \ frac {a} {- b} = — \ frac {a} {b} [/ latex]

Пример

Какая из следующих фракций эквивалентна [latex] \ frac {7} {- 8}? [/ Latex]

[латекс] \ frac {-7} {- 8}, \ frac {-7} {8}, \ frac {7} {8}, — \ frac {7} {8} [/ latex]

Решение:
Частное положительного и отрицательного отрицательно, поэтому [latex] \ frac {7} {- 8} [/ latex] отрицательно.Из перечисленных фракций [latex] \ frac {-7} {8} \ text {и} — \ frac {7} {8} [/ latex] также отрицательны.

Упрощение выражения с помощью дроби

Полоски дроби действуют как символы группировки. Выражения над и под дробной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например, [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ latex] означает [латекс] \ left (4 + 8 \ right) \ div \ left (5 — 3 \ right) [/ latex] . Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель — как если бы были круглые скобки — перед тем, как делить.
Мы добавим дробные черты к нашему набору символов группировки из раздела «Использование языка алгебры», чтобы получить здесь более полный набор.

Группировка символов
Упростите выражение с помощью дробной линейки
  1. Упростим числитель.
  2. Упростим знаменатель.
  3. Упростите дробь.
Пример

Упростить: [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ латекс]

Показать решение

Решение:

[латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ латекс]
Упростите выражение в числителе. [латекс] \ frac {12} {5 — 3} [/ латекс]
Упростим выражение в знаменателе. {2} +2} [/ latex]
Используйте порядок операций.{2}} {64 — 16} [/ латекс]
Упростим числитель и знаменатель. [латекс] \ frac {16} {48} [/ латекс]
Упростим дробь. [латекс] \ frac {1} {3} [/ латекс]
Пример

Упростить: [латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ latex]

Показать решение

Решение:

[латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ латекс]
Умножить. [латекс] \ frac {-12+ \ left (-12 \ right)} {- 6 — 2} [/ латекс]
Упростить. [латекс] \ frac {-24} {- 8} [/ латекс]
Разделить. [латекс] 3 [/ латекс]

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как упростить выражение с помощью дробной линейки, содержащей несколько различных операций.

Умножение положительных и отрицательных чисел: 3 простых правила

При умножении положительных и отрицательных чисел существует меньше правил, чем при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел.Следует запомнить всего три правила:

Правило 1. Положительное число, умноженное на положительное, равно положительному числу.

Это умножение, которое вы делали все время: положительные числа, умноженные на положительные числа, равны положительным числам.

Например, 5 x 3 = 15. 5 — положительное число, 3 — положительное число, а умножение дает положительное число: 15.

Ответ: 5 x 3 = 15.

Правило 2: Отрицательное число, умноженное на положительное, равняется отрицательному числу.

Когда вы умножаете отрицательное число на положительное, ваш ответ — отрицательное число. Не имеет значения, в каком порядке вы умножаете положительные и отрицательные числа, ответ всегда будет отрицательным.

Например: -2 x 4, что по сути то же самое, что -2 + (-2) + (-2) + (-2)

Ответ: -2 х 4 = -8.

И, как мы уже сказали, если около 4 x -2 наоборот, ответ все тот же: -8.

Ответ: 4 х -2 = -8.

Правило 3. Отрицательное число, умноженное на отрицательное число, равняется положительному числу.

Два отрицательных числа дают положительное число, поэтому отрицательное число, умноженное на отрицательное число, дает положительное число. Если вы посмотрите на него на числовой прямой, идя назад и повернувшись лицом в отрицательном направлении, вы двинетесь в положительном направлении.

Например. -2 x -4 отрицательны, поэтому мы знаем, что ответ будет положительным.

Ответ: -2 x -4 = 8.

Вот общее правило, которое следует помнить при умножении положительных и отрицательных чисел:

Два одинаковых знака дают положительный знак:

Два непохожих знака образуют знак минус:

Если вы все еще не понимаете, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное число, Диана Браун с факультета математики Университета Джорджии объясняет это разными способами в этой статье.

Скотт из About.com также собрал удобное видео о том, как создать шпаргалку для умножения отрицательных и положительных чисел (прокрутите страницу вниз, и вы найдете видео).

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа

Давайте посмотрим на следующую числовую строку и заметим, что каждая точка (точка) на числовой прямой соответствует одному числу:


В числовой строке выше мы видим три типа чисел или целых чисел: отрицательные числа, ноль и положительные числа.Отрицательные числа находятся слева от нуля, поэтому они меньше нуля. Положительные числа справа от нуля, поэтому они больше нуля. Ноль, разделительная точка, не является ни положительным, ни отрицательным.

Для числовой строки выше «1» соответствует или относится к красной точке, «2» относится к зеленой точке, «3» относится к синей точке и так далее. Когда мы перемещаемся вправо по числовой строке, мы увеличиваем числа. Мы определили это как дополнение. Когда мы движемся влево, мы уменьшаемся.И мы определили это как вычитание. Обычно так работает числовая линия.

Когда мы складываем два положительных числа или умножаем два положительных числа, мы получаем положительное число. Однако мы можем вычесть положительное число из положительного, и внезапно мы не получим положительное число!

Например, если мы вычтем 7 из 4, мы начнем с 4 в числовой строке и переместимся влево на 7 позиций. Это подводит нас к -3. Поскольку -3 находится слева от 0, оно меньше нуля.

Глядя на обратную операцию, мы можем сказать, что если 4-7 = -3, то -3 + 7 = 4. И это правильно. Если мы начнем с -3 и переместим на 7 делений вправо, мы получим 4.

Положительные числа — это не только целые числа справа от нуля, но и все типы чисел, такие как дроби, десятичные дроби и радикалы. Отрицательные числа также включают различные формы и различные типы чисел, которые появляются слева от нуля.

У нас не всегда есть числовая линия, с которой можно работать, поэтому нам нужно выучить несколько правил работы с отрицательными числами.Во-первых, нам нужно определить абсолютное значение. Абсолютное значение числа — это количество единиц, отсчитываемых от нуля. Он всегда выражается положительно, но без знака «плюс».

Абсолютное значение 3 равно 3. Абсолютное значение -3 также равно 3. И 3, и -3 — три единицы от нуля. Абсолютное значение обозначается путем написания числа между двумя вертикальными полосами.

| 3 | = 3 и | -3 | = 3

Добавление отрицательных чисел

Если перед числом вы не видите отрицательный или положительный знак, это положительный знак.

При сложении чисел одного знака (положительного или отрицательного) сложите их абсолютные значения и дайте результату тот же знак.

6 + 5 = 11 (6 и 5 положительны; 6 + 5 равно 11, что положительно)

-7 + -8 = -15

(-7 и -8 оба отрицательны; сложите | 7 | + | 8 |, что равно 7 + 8, чтобы получить 15; ответ -15)

Если все числа в добавляемой группе отрицательные: -2 + -3 + -4 = -9, снова сложите абсолютные значения 2 + 3 + 4, чтобы получить 9 и поставить отрицательный знак.

Сложение положительных и отрицательных чисел

При сложении чисел с противоположным знаком возьмите их абсолютные значения, вычтите меньшее из большего и присвойте результату знак числа с большим абсолютным значением.

7 + -3 = | 7 | — | 3 | = 4

-8 + 6 = | 8 | что равно 8 и | 6 | что составляет 6. Вычтите меньшее из большего:

8-6, что дает результат 2 и дает ему знак большего числа, равного 8.

Ответ — -2.

Вычитание положительных и отрицательных чисел

При вычитании положительного числа из отрицательного используйте то же правило, что и для сложения двух отрицательных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице отрицательный знак.

-5 — 4 = | 5 | + | 4 | = | 9 | = -9 (это как -5 + -4 = -9)

-2 — 12 = | 2 | + | 12 | = | 14 | = -14

При вычитании отрицательного числа из положительного, двойной отрицательный результат вычитания отрицательного становится положительным, поэтому используйте то же правило, что и для сложения двух положительных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице положительный знак.

5 — -4 = | 5 | + | 4 | = 5 + 4 = 9

Если бы вы использовали числовую строку, вы бы пошли влево для вычитания, а затем перевернули (вправо) для отрицательного числа, так что окончательный ответ будет справа от исходного числа.

16 — -10 = | 16 | + | 10 | = 16 + 10 = 26

Аддитивное обратное число — это число с противоположным знаком, так что при сложении двух результат равен нулю.

а + (-а) = 0

Как видите, это положительные и отрицательные числа одного и того же абсолютного значения.

10 + -10 = 0

-24 + 24 = 0

Умножение положительных и отрицательных чисел

При умножении положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного числа на положительное число) умножьте абсолютные значения и дайте ответ отрицательный знак.

8 х -5 = | 8 | х | 5 | = 8 x 5 = 40, но дайте ему отрицательный знак, сделав -40

-13 x 3 = -39

9 х -3 = -27

Чтобы умножить несколько чисел, посчитайте количество отрицательных знаков в числах, которые нужно умножить.Если это четное число, произведение будет положительным, а если нечетное, произведение будет отрицательным.

6 х -2 х -3 х 5 = | 6 | х | 2 | х | 3 | х | 5 |

6 x 2 = 12, 12 x 3 = 36 и 36 x 5 = 180

Имеется два отрицательных знака (четное число), поэтому ответ положительный.

Если бы было -6 x -2 x -3 x 5, ответ был бы -180

Умножение двух отрицательных чисел

При умножении двух отрицательных чисел два отрицательных числа компенсируют друг друга, поэтому умножьте абсолютные значения и дайте ответ положительный знак.

-21 х -3 = | 21 | х | 3 | = 63 (остается положительным)

-7 x -8 = | 7 | х | 8 | = 56

Деление отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить два числа с одинаковым знаком (два положительных или два отрицательных), используйте абсолютные значения, и результат будет положительным.

16 ¸ 4 = | 16 | ¸ | 4 | = 4

-20 ¸ -10 = | 20 | ¸ | 10 | = 2

Деление положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное

Чтобы разделить пару чисел с разными знаками (отрицательное на положительное или положительное на отрицательное), используйте абсолютные значения двух чисел и присвойте результату отрицательный знак.

-12 ¸ 3 = | 12 | ¸ | 3 | = 4, но это -4

18 ¸ -3 = | 18 | ¸ | 3 | = 6, но это -6

Использование отрицательных чисел

Отрицательные числа используются для обозначения низких температур. Цифры ниже 0 ° C отрицательны и ниже точки замерзания. (Помните, что значения ниже 32 ° F ниже точки замерзания, но температура часто опускается ниже 0 ° F.)

Отрицательные числа используются для отображения измерений ниже уровня моря.Уровень моря равен 0.

Отрицательные числа используются с деньгами, чтобы показать задолженность или денежную задолженность. Если человек или домохозяйство тратят больше денег, чем зарабатывают, мы говорим, что они «отрицательные на определенную сумму», или называем это «красным», потому что бухгалтеры используют красные чернила для отображения отрицательных чисел.

Больше и меньше и наборы чисел

Набор чисел — это группа чисел, которая соответствует заданному описанию.Например, набор целых чисел меньше 0 будет выражен как n Все целые числа больше 0 будут выражены как n> 0. Набор чисел, удовлетворяющий этим условиям, будет набором всех положительных целых чисел. Каждое из этих целых чисел будет называться членом или элементом этого набора.

Какие целые числа от 3 до 8? Это будет 4, 5, 6 и 7.Другой способ выразить это — набор чисел больше 3, но меньше 8, которые можно представить в виде математического предложения, которое выглядит так:

3

Прочтите это: n такое, что n больше 3 и меньше 8

Поскольку 3

И n

п = 4, 5, 6, 7

Мы могли бы сказать 3 n

Часто эти ответы «больше» и «меньше» необходимо выражать с помощью числовой строки, потому что было бы невозможно перечислить все числа для ответа.

Отрицательная степень | Алгебра

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

   

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

   

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

   

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

   

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

   

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

   

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

   

   

   

   

   

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

   

   

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

   

   

   

   

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

   

   

   

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

   

   

   

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

Как избавиться от минуса в дроби

Отрицательные дроби – это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.

Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:

каждое из них равно отрицательному числу

Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:

-2 : 7=-2и2 : (-7)=2
7-7

Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2+ (-1) =-8+-5
542020

Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:

-8+-5=-8 + (-5)=-13=13
2020202020
2+ (-1) =-8+-5=-8 + (-5)=-13=13
542020202020

Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.

5— (-11) =5+ (+11) =5+11=-5 + 11=6
1212121212121212

Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.

Умножение и деление

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.

2· (-4) =-2·-4=-2 · (-4)=8
35353 · 515

Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить, сразу отбросив оба минуса:

2· (-4) =2·4=2 · 4=8
35353 · 515

При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

2·4=2 · 4=8
353 · 515

К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:

4· (-2) =4 · 2=8
535 · 315

То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.

Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.

2: (-4) =-2:-4=-2 · 5=-10=10
35353 · (-4)-1212

Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
  • заменить отрицательную степень на положительную ;
  • возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

  • 6 −2 =

    =

  • (−3) −3 =

    =

    = −

  • 0,2 −2 =

    =

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

Как найти
10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

=

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

=

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».

То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» дробь;
  • заменить отрицательную степень на положительную ;
  • возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

) −3 =
Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

) −3 = (

) 3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.

(

) −3 = (

) 3 =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

) −3 = (

) 3 =

=

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

) 2 =

=

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

) » в « −3 » степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .

(−

) −2 = (−

) 2 =

=

= 1

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

  • a m · a n = a m + n
  • = a m − n

  • (a n ) m = a n · m
  • (a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной


степенью
Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Краткое описание документа:

Почему этой теме посвящен отдельный видеоурок? Дело в том, что встречая дроби с отрицательными числами, многие ученики часто допускают ошибки, которые, впрочем, легко избежать, если рассмотреть данный метод.

Данный метод, который мы сейчас рассмотрим, основывается на том, чтобы привести дробь к удобному для нас виду, с которым мы уже ничего не напутаем.

Для начала давайте посмотрим на элементарные примеры:

1) Сколько будет «двенадцать делить на минус четыре». Конечно же «минус три».

2) А сколько будет «минус двенадцать разделить на четыре». Тоже «минус три»!

3) А если вот так: «минус. двенадцать делить на четыре»? И здесь также получим «минус три».

А теперь, если мы вспомним, что дробь — это деление, и черту дроби можно написать вместо знака деления, то получим следующее.

Ну а так как эти дроби равны одному и тому же числу, то значит они равны между собой.

А из этой записи мы видим, что совершенно неважно где стоит минус: перед чертой дроби, в числителе или знаменателе! Результат получается одинаковым.

Давайте применим теперь это знание к решению конкретного примера.

Минус одна четвертая плюс пять третьих минус три пятых минус семь вторых.

Первым шагом превратим эту запись в сложение четырех слагаемых. То есть из минусов сделаем плюсы, ведь мы знаем, что «минус а» то же, что и «плюс. минус а».

Значит «минус одна четвертая» — это «плюс минус одна четвертая» — ну здесь плюс можно не писать, так как перед плюсом ничего нет. Затем, «минус три пятых» — это «плюс. минус три пятых». И «минус семь вторых» — это «плюс. минус семь вторых».

Ну а теперь эти минусы перед знаками дробей можно убрать в числители. и тогда скобки уже будут не нужны. мы получим сложение четырех дробей с разными знаменателями.

Решить этот пример уже гораздо проще, можно не бояться запутаться в минусах.

Приводим дроби к общему знаменателю. Здесь он будет равен. шестьдесят.

Числитель и знаменатель первой дроби доумножаем на пятнадцать, второй — на двадцать, третьей — на двенадцать и четвертой — на тридцать.

Пишем общий знаменатель — шестьдесят. А в общий числитель записываем по-порядку те числа, которые у нас получатся здесь: минус пятнадцать, плюс сто, минус тридцать шесть, минус двести десять. Если бы мы не выполнили первый шаг и вот здесь у нас остались бы стоять минусы, то мы легко могли бы запутаться со знаками. А так, когда здесь только плюсы, мы просто записываем в числитель полученные числа с такими знаками, с какими мы их и получили. Если «пять умножить на двадцать» было «сто», то и пишем «плюс сто». А если «минус три» умножить на двенадцать — это «минус тридцать шесть», то так и пишем минус тридцать шесть.

В этом и есть секрет данного метода. И какие бы сложные ни были примеры, применяя данный метод, вы никогда не запутаетесь в знаках.

Ну а здесь нам осталось посчитать числитель. Это будет минус сто шестьдесят один. Минус можно написать перед знаком дроби. Кстати, в ответе всегда лучше именно перед знаком дроби писать минус. Так принято. Ну можно еще выделить целую часть. Это будет. минус две целых сорок одна шестидесятая.

Итак, повторим наш метод:

«В примерах со сложением/вычитанием дробей первым шагом превращаем вычитание в сложение (для этого убираем знак «минус» в скобки). Далее переносим знак «минус» перед дробями в числители и просто выполняем сложение дробей».

Важный момент — вы должны не только запомнить это правило, но четко понимать его, чтобы успешно применять при решении примеров.

В следующем уроке мы рассмотрим очень важные замечания, о которых вам всегда нужно помнить, решая примеры с дробями.

Урок 35. отрицательные дроби — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок №35

Отрицательные дроби

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятие отрицательной дроби и противоположных чисел.
  • Символьное обозначение противоположного числа.
  • Модуль дроби.

Тезаурус

Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.

Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое – отрицательное.

Число нуль противоположно самому себе.

Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.

Модуль нуля равен нулю.

Модули противоположных чисел равны.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Числа, вида:

Если перед ними поставить «+», получим то же самое число.

Если перед положительной дробью поставить знак «–», то получим новое число, которое называется отрицательным дробным числом или отрицательной дробью.

Определение

Числа, которые отличаются только знаками, называют противоположными.

Из двух противоположных чисел одно всегда положительное, другое отрицательное.

Число нуль противоположно самому себе.

Запишем символьное обозначение противоположных чисел.

a – число

– а – число, противоположное а

Чтобы получить противоположное число, нужно просто поменять его знак на противоположный.

Знак «минус» – символ противоположности.

(– a) – не значит, что a отрицательное, (– a) – значит, что необходимо взять число, противоположное a.

Если перед дробью (с любым знаком) поставить знак «+», получится то же самое число:

Определение:

Модулем отрицательной дроби называют противоположную ей дробь.

Определение:

Модуль нуля равен нулю.

|0| = 0

Свойства противоположных чисел:

Модули противоположных чисел равны.

Иногда знак «–» записывают не перед дробью, а в числителе или знаменателе дроби.

Задача

Иван-царевич проиграл Соловью-разбойнику 3/8 всего золота, что имел с собой в путешествии. Сколько золотых момент он оказался должен, если монет у него было 53? Сколько ему не хватило для полного расчёта?

Решение:

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие числа представлены?

Варианты ответов:

смешанная дробь

обыкновенная дробь

целое положительное число

целое отрицательное

Правильный ответ

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Модулем …дроби называют …ей дробь.

Варианты слов для вставки:

дробь

противоположную

отрицательной

положительной

отрицательную

Для выполнения задания, обратимся к теоретическому материалу урока.(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.(1,77+( — 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПреобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

Как возвести в отрицательную степень: число, обыкновенную (десятичную) дробь

В данной публикации мы рассмотрим, как можно число, обыкновенную и десятичную дробь возвести в отрицательную степень. Также разберем практические примеры по этой теме.

Правила возведения числа в отрицательную степень

Чтобы в полной мере освоить представленный ниже материал, необходимо знать, что такое степень числа и какими свойствами она обладает. Данный вопрос мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.

Целое число

Алгоритм действий:

  1. Представляем число в виде обыкновенной дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе – исходное число.
  2. Отрицательную степень меняем на положительную.
  3. Возводим полученную дробь в степень.

Формула в общем виде выглядит так:

  • a ≠ 0;
  • n ∈ Z, т.е. множество целых чисел.

Примеры:

Примечание: любое число, возведенное в нулевую степень, равняется единице.

a0 = 1, где a ≠ 0

Примеры:

Десятичная дробь

Чтобы возвести десятичную дробь в отрицательную степень, выполняем те же шаги, что и для целых чисел.

Примеры:

Обыкновенная дробь

Для возведения обыкновенной дроби в отрицательную степень, делаем следующее:

  1. Меняем числитель и знаменатель местами;
  2. Заменяем отрицательную степень на положительную;
  3. Возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Примечания:

  • Если дробь положительная, то возведение ее в любую степень, также, дает результат больше нуля.
  • Если знак дроби отрицательный, то при ее возведении в нечетную степень получается отрицательная дробь, в четную – положительная.

Примеры:

Примечание: обыкновенную дробь, также, можно сначала преобразовать в десятичную, после чего выполнить возведение в степень.

Пример:

Умножение и деление дробей. Решение задач. 6 класс

Оглянитесь все вокруг:
Справа — друг, и слева – друг.
Грустных, равнодушных нет.
Улыбнитесь им в ответ!

2. Продолжить предложение

1.Число, отличающееся от данного только
знаком, называется …
2.Сумма противоположных чисел равна …
3.Сумма положительных чисел равна …
4.Сумма отрицательных чисел равна …
5.Сумма чисел с разными знаками имеет знак
числа …
6.Произведение нечетного числа
отрицательных множителей…
7. Произведение положительных чисел …
8. Произведение четного числа отрицательных
множителей …
9.Вычитание можно заменить действием
сложения с числом …
10. а( bc ) =
11. a : (bc) =
12. ( a ± b)c =
13. ( a ± b) : c =

4. Самопроверка

1.Число, отличающееся от данного только знаком,
называется противоположным.
2.Сумма противоположных чисел равна нулю.
3.Сумма
положительных
чисел
равна
положительному числу.
4.Сумма
отрицательных
чисел
равна
отрицательному числу.
5. Сумма чисел с разными знаками имеет знак числа
большего по модулю.
6.Произведение нечетного числа отрицательных
множителей отрицательно.

5. Самопроверка

7. Произведение положительных чисел
положительно.
8. Произведение четного числа отрицательных
множителей положительно
9.Вычитание можно заменить действием сложения с
числом противоположным вычитаемому.
10. а( bc ) = (ab)c
11. a : (bc) = a:b:c
12. ( a ± b)c =ac ±bc
13. ( a ± b) : c =a:c ±b:c
1.Сумма противоположных чисел равна…
Ответ: 0
2. Какое из чисел больше: отрицательное или 0?
Ответ: 0
3. Какое число больше: -15 или -9?
Ответ: -9
4. Чему равна сумма чисел от -18 до 17?
Ответ: -18
5. Если перемножить 5 положительных и 8 отрицательных
чисел, то с каким знаком мы получим результат?
Ответ: «+»
6. При каких значениях x и y верно соотношение
?:
Ответ: при х > у, х > 0, у > 0.
7.
Ответ: -1

8. Продолжить предложение

8. Произведение двух дробей есть …

Как использовать отрицательные дроби в уравнениях

Отрицательная дробь — это дробь со знаком минус перед ней. Давайте покажем вам, как применять отрицательные дроби к уравнениям.

Что такое отрицательная дробь?

Вычитание дробей и применение отрицательной дроби к уравнению работают одинаково:

Когда вы вычитаете число, вы отнимаете его значение от другого числа. Иногда это может сделать конечное число меньше 0.Это показано в числовой строке ниже:

Изображение предоставлено Десмосом

Сложение двух чисел объединяет их значения. В приведенной выше числовой строке вы складываете значение положительной 1 и отрицательной , что равносильно вычитанию 1 .

При вычитании отрицательной дроби знак минус отменяется знаком вычитания. Вот почему исходная дробь превращается в положительное число:

.

То же самое происходит, когда вы умножаете дроби, обе из которых являются отрицательными числами:

Когда вы посмотрите на переднюю часть дробей в этих скобках, обе они имеют отрицательные знаки.Когда вы умножаете две отрицательные дроби (или любые два отрицательных числа), результатом будет положительное число.

Примеры отрицательных дробей

Давайте решим эти математические задачи с отрицательными дробями, которые включают неправильные дроби и наименьший общий знаменатель:

Приведенные выше дроби являются неправильными дробями, потому что у каждой из них верхнее число (числитель) больше нижнего числа (знаменателя). У них также разные знаменатели, поэтому нам нужно найти наименьший общий знаменатель, который является наименьшим членом, на который делятся 7 и 14 :

Поскольку 7 и 14 делятся на 28 , это будет наименьший общий знаменатель.Теперь давайте перемножим числители и знаменатели, чтобы получить знаменатели 28 .

Теперь, когда это эквивалентные дроби (у них один и тот же знаменатель), мы можем перейти к этой отрицательной дроби:

Мы можем еще больше упростить эту отрицательную дробь, разделив оба значения на 14, так как 14 равномерно входит и в 14, и в 28:

Когда вы будете использовать отрицательные дроби?

Вычитание дроби — это то же самое, что добавление отрицательной дроби.А умножение двух отрицательных дробей всегда дает положительный ответ. Знание того, как использовать отрицательные дроби, поможет вам лучше понять, как комбинировать дробные значения, и может быть полезно в вашей повседневной деятельности, такой как приготовление пищи.

Помощь с домашним заданием по математике

Дроби Рабочие листы

Добро пожаловать на страницу рабочих листов Math-Drills.com с дробями, где стакан наполовину полон! Это одна из наших самых популярных страниц, скорее всего, потому, что изучение дробей невероятно важно в жизни человека, и это математическая тема, к которой многие подходят с трепетом из-за плохой репутации на протяжении многих лет.Дроби действительно не так сложно освоить, особенно с поддержкой нашего широкого выбора рабочих листов.

Эта страница содержит рабочие листы по дробям для понимания дробей, включая моделирование, сравнение, упорядочивание, упрощение и преобразование дробей и операции с дробями. Начнем с очевидного: моделирование дробей. Будет отличной идеей, если учащиеся действительно смогут понять, что такое дробь, поэтому, пожалуйста, уделите некоторое время аспекту моделирования. Связывание моделирования с реальной жизнью также очень помогает, поскольку гораздо легче соотнести половинку печенья, чем половинку квадрата.Спросите большинство студентов, что получится, если вы добавите половину печенья и еще одну половину печенья, и они, вероятно, дадут вам знать, что получается одна вкусная закуска.

Другие рабочие листы с дробями на этой странице предназначены для того, чтобы помочь учащимся понять концепцию дробей. От сравнения и упорядочивания до упрощения и преобразования… к тому времени, когда учащиеся усвоят материал на этой странице, операции с дробями будут прогулкой в ​​парке.

самых популярных рабочих листов по дробям на этой неделе

Печатные формы дробей общего назначения

Дробные круги

Черные и белые круги дробей можно использовать в качестве манипулятора для сравнения дробей.Скопируйте рабочий лист на слайд диапроекции. Используйте карандаш, чтобы слегка закрасить соответствующий круг, чтобы представить первую дробь на бумажной копии. Используйте перьевую ручку, чтобы закрасить соответствующий кружок, представляющий вторую дробь. Положите слайд на бумагу и сравните два круга. Вы должны легко определить, что больше, а что меньше и равны ли две дроби. Повторно используйте оба листа, стерев карандаш и смыв маркер.

Дробные полоски

Полоски дробей можно заламинировать для долговечности и вырезать, чтобы сравнивать, упорядочивать, добавлять и вычитать дроби.Они очень полезны для сравнения дробей. Вы также можете скопировать полоски дробей на диапроекционные слайды и вырезать их. Они будут не только прочными, но и прозрачными, что полезно при использовании вместе с бумажными версиями (например, для сравнения дробей).

Рабочие листы моделирования фракций

Помимо использования приведенных ниже рабочих листов, вы также можете попробовать другие интересные способы моделирования дробей. Здоровые закуски могут стать отличными моделями для фракций.Можно ли разрезать огурец на три части? Помидор на четвертинки? Сможете ли вы сделать две трети винограда красными, а одну треть зелеными?

Моделирование дробей с группами фигур

Дроби могут представлять части группы или части целого. В этих рабочих листах дроби моделируются как части группы.

Моделирование дробями с прямоугольниками

Моделирование Дроби с кругами

Таблицы соотношений и пропорций

Соотношения изображения

Эквивалентные дроби

Рабочие листы моделей эквивалентных фракций включают только «фракции выпечки» в версиях A.Чтобы увидеть более сложные и разнообразные фракции, выберите версии от B до J после загрузки версии A.

Эквивалентные коэффициенты

Рабочие листы для сравнения и упорядочивания дробей

Сравнение простых дробей

Существует множество различных стратегий, кроме пристального взгляда на страницу, которые помогут сравнивать дроби. Попробуйте начать с чего-то визуального, что будет изображать рассматриваемые дроби.Мы настоятельно рекомендуем наши полосы фракций (прокрутите немного вверх). Использование линейки, такой как линейка, книга или складывание, поможет учащимся легко увидеть, какая дробь больше или равны. Мы также должны упомянуть, что вещи, которые сравниваются, должны быть одинаковыми. Каждая полоска дроби, например, имеет одинаковый размер, тогда как если вы возьмете треть арбуза и половину виноградины, арбуз, вероятно, выиграет.

Сравнение простых и неправильных дробей

Еще одна стратегия, которую можно использовать при сравнении дробей, заключается в использовании числовой прямой и использовании контрольных точек, таких как 0, 1, 1/2, чтобы выяснить, куда идет каждая дробь, а затем посмотреть, какая из них больше.На самом деле учащиеся делают это все время, поскольку они часто могут сравнивать дроби, признавая, что одна меньше половины, а другая больше половины. Они также могут увидеть, что одна дробь намного ближе к целому, чем другая дробь, даже если обе они могут быть больше половины.

Сравнение простых, неправильных и смешанных дробей

Другой способ сравнения дробей состоит в преобразовании каждой дроби в десятичную и сравнении десятичных дробей.Десятичные преобразования можно запомнить (особенно для обыкновенных дробей), рассчитать с помощью деления в большую сторону или с помощью калькулятора или справочной таблицы. Мы предлагаем последнее, поскольку использование справочной таблицы часто приводит к мысленному воспоминанию.

Заказ дробей в числовой строке

Многие из тех же стратегий, которые работают для сравнения дробей, также работают и для упорядочивания дробей. Использование манипулятивных средств, таких как линейки дробей, использование числовых линий или поиск десятичных эквивалентов, заставит вашего ученика расставлять дроби в правильном порядке в кратчайшие сроки.Возможно, мы уже говорили об этом раньше, но обязательно подчеркните, что при сравнении или упорядочении дробей учащиеся понимают, что целое должно быть одинаковым. Сравнивая половину населения Канады с одной третью населения Соединенных Штатов, этого недостаточно. Попробуйте использовать некоторые визуальные эффекты, чтобы усилить эту важную концепцию. Несмотря на то, что мы включили числовые линии ниже, не стесняйтесь использовать свои собственные стратегии.

Заказ фракций

Рабочие листы с упорядочиванием дробей в этом разделе не включают числовую строку, чтобы учащиеся могли использовать различные стратегии сортировки.

Рабочие листы по упрощению и преобразованию дробей

Округление дроби

Округление дробей помогает учащимся немного лучше понять дроби и может применяться для оценки ответов на вопросы о дробях. Например, если бы кто-то должен был оценить 1 4/7 × 6, он, вероятно, мог бы сказать, что ответ был около 9, поскольку 1 4/7 составляет около 1 1/2, а 1 1/2 × 6 равно 9.

Упрощение дробей

Умение упрощать дроби значительно облегчит жизнь учащегося в дальнейшем при изучении операций с дробями.Это также помогает им узнать, что разные дроби могут быть эквивалентны. Один из способов продемонстрировать это — разделить две равные дроби. Например, 3/2 и 6/4 при делении дают частное 1,5. Практикуя упрощение дробей, учащиеся, как мы надеемся, распознают неупрощенные дроби, когда они начнут складывать, вычитать, умножать и делить дроби.

Преобразование между неправильными и смешанными дробями

Преобразование между дробями, десятичными знаками, процентами и отношениями

Преобразование дробей в конечные десятичные дроби Преобразование дробей в завершающие и повторяющиеся десятичные дроби Преобразование конечных десятичных дробей в дроби Преобразование завершающих и повторяющихся десятичных дробей в дроби Преобразование дробей в сотые Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и доли в пропорции Part ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и части в целочисленные отношения ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части в пропорции Part ( Завершение только десятичных дробей ) Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части в целые отношения ( Завершение только десятичных дробей ) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и доли в пропорции Part ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и доли в целые отношения ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование отношений частей в дроби, десятичные числа и проценты ( Завершение только десятичных чисел ) Преобразование отношений части к целому в дроби, десятичные дроби и проценты ( Завершение только десятичных дробей ) Преобразование различных дробей , десятичных дробей, процентов и частей в пропорции части ( Преобразование только десятичных дробей ) Преобразование различных дробей , десятичных дробей, процентов и частей в целые отношения ( Завершение только десятичных дробей ) Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и доли в пропорции Part Преобразование дробей в десятичные дроби, проценты и части в целые отношения Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части Части Соотношения Преобразование десятичных дробей в дроби, проценты и части в целое Отношения Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и пропорции Part Преобразование процентов в дроби, десятичные дроби и части в целые отношения Преобразование отношений частей в дроби, десятичные дроби и проценты Преобразование отношений части к целому в дроби, десятичные дроби и проценты Преобразование различных дробей, десятичных дробей, процентов и частей в отношения Part Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целое отношения Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в части отношения с 7-ми и 11-ми Преобразование различных дробей, десятичных знаков, процентов и частей в целое Отношения с 7-ми и 11-ми

Операции с дробями Рабочие листы

Умножение дробей

Умножение дробей обычно менее запутанно, чем любая другая операция, и может быть менее запутанным концептуально при правильном подходе.Алгоритм умножения состоит в том, чтобы просто умножить числители, а затем умножить знаменатели. Волшебное слово в понимании умножения дробей — «из». Например, что такое две трети ОТ шести? Что такое треть половины? Когда вы используете слово «из», становится намного легче визуализировать умножение дробей. Пример: разрежьте буханку хлеба пополам, а затем разрежьте половину на три части. Одна треть половины буханки хлеба такая же, как 1/3 x 1/2, и имеет приятный вкус с маслом.

Деление дробей

Теоретически деление дробей, вероятно, является самой сложной из всех операций, но мы собираемся вам помочь.Алгоритм деления дробей аналогичен умножению дробей, но вы находите обратную вторую дробь или выполняете перекрестное умножение. Это даст вам правильный ответ, что чрезвычайно важно, особенно если вы строите мост. Мы рассказали вам, как осмыслить умножение дробей, но как это работает с делением? Легкий! Вам просто нужно выучить волшебную фразу: «Сколько ____ в ______? Например, в вопросе 6 ÷ 1/2 вы бы спросили: «Сколько половинок в 6?» Это становится немного больше. трудно, когда оба числа являются дробями, но это не гигантский скачок, чтобы понять это.1/2 &дел; 1/4 — довольно простой пример, особенно если рассматривать монеты США или Канады. Сколько четвертаков в полдоллара?

Добавление дробей

Для сложения дробей требуется раздражающий общий знаменатель. Облегчите задачу своим ученикам, сначала научив их понятиям эквивалентных дробей и наименьших общих кратных. Как только учащиеся познакомятся с этими двумя понятиями, идея поиска дробей с общими знаменателями для сложения станет намного проще.Уделение времени моделированию дробей также поможет учащимся понять сложение дробей. Связывание дробей со знакомыми примерами, безусловно, поможет. Например, если вы добавите 1/2 банана и 1/2 банана, вы получите целый банан. Что произойдет, если вы добавите 1/2 банана и 3/4 другого банана?

Добавление смешанных дробей Рабочие листы

Обычная стратегия, используемая при сложении смешанных дробей, состоит в том, чтобы преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби, завершить сложение, а затем переключиться обратно.Другая стратегия, требующая немного меньше умственных способностей, — рассматривать целые числа и дроби отдельно. Сначала добавьте целые числа. Сложите дроби вторыми. Если полученная дробь неправильная, то ее нужно преобразовать в смешанное число. Часть целого числа может быть добавлена ​​к исходной части целого числа.

Вычитание Дробей

Между сложением и вычитанием дробей нет большой разницы.Оба требуют общего знаменателя, который требует некоторых предварительных знаний. Разница лишь в том, что второй и последующие числители вычитаются из первого. Существует опасность того, что вы можете получить отрицательное число при вычитании дробей, поэтому учащимся может потребоваться узнать, что это означает в этом случае. Когда речь идет о каком-либо понятии в дробях, всегда полезно связать его со знакомой или простой для понимания ситуацией. Например, 7/8 — 3/4 = 1/8 можно было бы придать смысл в контексте расы.Первый бегун прошел 7/8 круга, а второй бегун прошел 3/4 круга. Насколько далеко впереди был первый бегун? (1/8 трека).

Вычитание смешанных дробей Рабочие листы

Рабочие листы для различных операций с дробями

Смешивание знаков операций с дробями заставляет учащихся уделять больше внимания тому, что они делают, и позволяет хорошо проверить свои навыки в более чем одной операции.

Сложение и вычитание дробей

Умножение и деление дробей

Смешанные операции с дробями

Операции с

Отрицательными дробями

Несмотря на то, что некоторые из этих рабочих листов являются отдельными операциями, было бы полезно иметь их все в одном месте.Есть некоторые особенности при выполнении операций с отрицательными дробями. Обычно очень полезно заменить любые смешанные числа неправильной дробью, прежде чем продолжить. Важно обращать внимание на знаки и знать правила умножения положительных и отрицательных чисел (++ = +, +- = -, -+ = — и — = +).

Порядок действий с дробями Рабочие листы

Порядок операций с дробями

Рабочие листы с порядком операций в этом разделе фактически находятся на странице «Порядок операций», но они включены сюда для вашего удобства..

Порядок действий с

десятичными дробями и дробями смешанный

отрицательных дробей — MathMaine

Вопрос: Где мне ставить знак минус, когда я пишу дробь, например отрицательные две трети?

Ответ: Пока вы пишете только один отрицательный знак , не имеет значения, где вы его ставите.

При последующем объяснении полезно иметь в виду две идеи:
— Вычитание — это то же самое, что сложение отрицательного числа.
— Отрицательное число может быть создано путем умножения числа на отрицательную единицу.

Эти принципы применимы и к дробям, поэтому:

Постановка знака «минус» перед целой дробью (вычитание дроби) эквивалентна добавлению той же дроби, но с отрицательным числителем. Но это не единственный вариант…

Вспомните, как создаются эквивалентные дроби: умножьте исходную дробь на дробь равную единице, где числитель и знаменатель имеют одинаковое значение.Если мы умножим приведенный выше результат на 1 в виде отрицательной единицы, разделенной на себя, чтобы создать другую эквивалентную дробь:

мы получаем отрицательный знак в знаменателе. Суммируя результаты этих эквивалентных дробей:

Если перед дробью, или в числителе, или в знаменателе стоит только один отрицательный знак, то дробь представляет собой отрицательную величину. Как показывают приведенные выше примеры, вы можете перемещать отрицательный знак с того места, где он находится, в любую из двух других позиций … в зависимости от того, что вам наиболее удобно.

Если вычитаются две дроби, и вы переставляете знак вычитания в числителе или знаменателе вычитаемой дроби, поставьте знак плюс вместо знака вычитания (вычитание аналогично добавлению минуса):

Однако обратите внимание, что ко всему числителю или ко всему знаменателю должен быть применен отрицательный знак. Таким образом, в случаях с более чем одним членом в числителе или знаменателе знак минус должен быть распределен, если он перенесен в числитель или знаменатель:

или

Если последний шаг в двух приведенных выше примерах вас удивил или озадачил, моя статья об отрицательных различиях может помочь прояснить эту путаницу.

Если у вас есть другие вопросы (например, в начале этого поста), задавайте их в комментариях!

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Дроби

Дробь , или дробное число используются для представления части целого. Дроби состоят из двух чисел: числителя (над чертой) и знаменателя (под чертой).

Знаменатель говорит вам о количестве равных частей, на которые что-то делится. Числитель говорит вам, сколько из этих равных частей рассматривается. Таким образом, если дробь состоит из пирога, знаменатель 5 говорит вам, что пирог был разделен на пять равных частей, из которых 3 (числитель) находятся в дроби. Иногда полезно представить, что разделительная линия (середина дроби) означает «из». Другими словами, также означает 3 из 5 равных частей от всего пирога.

Отрицательные дроби

Дроби могут быть как отрицательными, так и положительными. (См. рисунок ниже.)

Однако отрицательные дроби обычно записываются следующим образом:

Сложение положительных и отрицательных дробей

Правила для чисел со знаком применимы и к дробям.

Пример 1

Добавьте следующее.

Вычитание положительных и отрицательных дробей

Правило вычитания чисел со знаком применимо и к дробям.

Пример 2

Вычтите следующее.

Умножение дробей

Чтобы умножить дроби, просто умножить числители, а затем умножить знаменатели. При необходимости уменьшите до самых низких условий.

Пример 3

Умножить.

Этот ответ пришлось сократить, потому что он был не в самом низком выражении.Поскольку целые числа также можно записать в виде дробей и т. д., проблему можно решить, заменив 3 на .

Ранняя редукция

Раннее сокращение при умножении дробей избавило бы вас от необходимости уменьшать ваши ответы после завершения умножения. Чтобы уменьшить, найдите число, которое делится без остатка на один числитель и один знаменатель. В этом случае 2 будет делиться на 2 без остатка в числителе 2 (проходит один раз) и в знаменателе 12 (проходит шесть раз).Таким образом,

Помните, что раннее сокращение возможно только при умножении на дробей. Здесь также действуют правила умножения чисел со знаком.

Пример 4

Сокращайте раньше, где это возможно, а затем умножайте.

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа, сначала замените любое смешанное число на неправильную дробь. Затем умножьте.

Пример 5

Умножить.

Измените ответ, если он в форме неправильной дроби, обратно на смешанное число и при необходимости уменьшите. Помните, что здесь также применяются правила умножения чисел со знаком.

Деление дробей

На разделить дроби, инвертировать (перевернуть) вторую дробь (ту, на которую «делится») и умножить. Затем уменьшить, если это возможно.

Пример 6

Разделить.

Здесь также применяются правила деления чисел со знаком.

Деление сложных дробей

Иногда задача на деление дробей может появляться в следующем виде (такие называются сложными дробями ).

Пример 7

Упростить.

Считайте, что линия, разделяющая две дроби, означает «разделить на». Следовательно, эту задачу можно переписать следующим образом:

Теперь выполните ту же процедуру, что и в примере. .

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа на , сначала преобразуют их в неправильные дроби.Затем следуйте правилу деления дробей.

Пример 8

Разделить.

Обратите внимание, что после инвертирования и решения задачи на умножение дробей вы можете выполнить раннее сокращение, когда это уместно.

Умножение дроби на целые числа

Для умножение дробей на целые числа, целое число записывается в виде дроби и затем умножается на данную дробь по правилам умножения дробей.При умножении дробей на целые числа следует также помнить, что данные дроби должны быть в виде правильной дроби или неправильной дроби. Давайте узнаем больше об умножении дробей на целые числа вместе с некоторыми примерами.

Что такое умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа аналогично многократному сложению, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число.Для умножения дробей мы сначала умножаем числители, затем умножаем знаменатели и, наконец, приводим полученную дробь к наименьшему порядку. Однако, когда нам нужно умножить дроби на целые числа, мы записываем целое число в виде дроби, записывая 1 в качестве ее знаменателя. После этого шага мы можем умножить его, используя те же правила. Например, когда мы умножаем дробь a/b × c/d, мы получаем (a × c)/(b × d). Это правило применимо и при умножении дробей на целые числа.

Как умножать дроби на целые числа?

Умножение дробей на целые числа — простая идея. Нам просто нужно преобразовать целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя и написав целое число в качестве числителя. Затем оно умножается на заданную дробь. После их умножения окончательный результат должен быть в виде правильной дроби или смешанной дроби. Если в результате получается неправильная дробь, преобразуем ее в смешанную дробь.Давайте разберемся с шагами на примере.

Пример: Умножить 1/8 × 5

Решение: Здесь 1/8 — дробь, а 5 — целое число.

  • Шаг 1: Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя. Это означает, что 5 записывается как 5/1
  • .
  • Шаг 2: Умножьте числители. Здесь 1 × 5 = 5 
  • .
  • Шаг 3: Умножьте знаменатели.Здесь 8 × 1 = 8 
  • .
  • Шаг 4: При необходимости упростите и сократите продукт. Если в результате получится неправильная дробь, мы преобразуем ее в смешанную дробь. Итак, произведение 5/8

Давайте посмотрим на другой пример, чтобы лучше понять это.

Пример 2: Умножьте 5 × 3/10.

Решение: Здесь 5 — целое число, а 3/10 — правильная дробь.

  • Шаг 1: Преобразуем целое число 5 в дробь, написав 1 в знаменателе.Это означает, что 5 записывается как 5/1.
  • Шаг 2: Умножьте числители обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 5 × 3 = 15,
  • Шаг 3: Умножьте знаменатели обеих дробей. 5/1 × 3/10 = 1 × 10 = 10.
  • Шаг 4. Упростите дроби. 5/1 × 3/10 = 15/10. Мы можем еще упростить это, так как и 15, и 10 можно разделить на 5. Это означает, что (15 ÷ 5) / (10 ÷ 5) = 3/2. Следовательно, 5 × 3/10 = 3/2 = \(1\dfrac{1}{2}\)

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Чтобы умножать смешанные дроби на целые числа, мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножаем ее на целое число.

Пример: Умножьте \(1\dfrac{2}{5}\) на 10.

Решение: Посмотрим, как умножить данную смешанную дробь на целое число.

  • Шаг 1: Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную. Это означает, что \(1\dfrac{2}{5}\) = 7/5.
  • Шаг 2: Затем преобразуйте целое число 10 в дробь. Это означает, что 10 = 10/1. Это составляет 7/5 × 10/1
  • .
  • Шаг 3: Умножьте числители обеих дробей.7 × 10 = 70. Перемножьте знаменатели обеих дробей. Это означает, что 5 × 1 = 5,
  • .
  • Шаг 4: Упростите и сократите дробь, то есть 70/5 = (70 ÷ 5) / (5 ÷ 5) = 14/1. Следовательно, \(1\dfrac{2}{5}\) × 10 = 14,

☛ Связанные статьи

Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на целые числа

Что означает умножение дробей на целые числа?

Умножение дробей на целые числа считается повторным сложением, когда дробь прибавляется столько же раз, сколько и целое число.Умножение дробей с целыми числами выполняется по тем же правилам умножения, где числители умножаются вместе, затем знаменатели умножаются вместе, а затем они уменьшаются, чтобы получить произведение.

Как умножать дроби на целые числа?

Чтобы умножать дроби на целые числа, мы используем следующие шаги.

  • Шаг 1. Преобразуйте целое число в дробь, написав 1 в качестве знаменателя.
  • Шаг 2: После этого у нас есть две дроби для умножения.Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить дроби.
  • Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели.
  • Шаг 4: Наконец, продукт упрощается или сокращается, если это необходимо.

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Следующие шаги показывают, как умножать смешанные дроби на целые числа:

  • Шаг 1. Преобразуйте смешанную дробь в неправильную.
  • Шаг 2. Преобразуйте целое число в дробь со знаменателем 1.
  • Шаг 3: Умножьте числители.
  • Шаг 4: Умножьте знаменатели.
  • Шаг 5: Упростите окончательный результат до минимума.

Как умножать неправильные дроби на целые числа?

Для умножения неправильных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на неправильную дробь.Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются.

Как умножить 3 дроби на целые числа?

Чтобы умножить 3 дроби на целые числа, мы используем следующие шаги. Умножим 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25.

  • Шаг 1: Здесь 25 — это целое число, а остальные — дроби, поэтому мы преобразуем целое число в дробь, записав его знаменатель как 1.Это означает, что 25 записывается как 25/1
  • .
  • Шаг 2: Теперь у нас есть 4 дроби для умножения. Итак, мы используем правило умножения дробей, чтобы умножить все эти дроби. 4/5 × 10/6 × 1/4 × 25/1
  • Шаг 3: Это означает, что сначала перемножаются числители, а затем перемножаются знаменатели. Здесь произведение числителей будет 4 × 10 × 1 × 25 = 1000. Произведение знаменателей будет 5 × 6 × 4 × 1 = 120.
  • Шаг 4: Дробь, которую мы получаем в результате произведения, равна 1000/120.Наконец, произведение упрощается или сокращается, это означает, что 1000/120 = 25/3 = \(8\dfrac{1}{3}\)

Как умножать отрицательные дроби на целые числа?

Для умножения отрицательных дробей на целые числа используются те же правила умножения. Это означает, что целое число записывается в виде дроби, а затем умножается на отрицательную дробь. Числители перемножаются, затем знаменатели перемножаются, а затем при необходимости упрощаются.Однако следует помнить, что произведение будет иметь знак, соответствующий знаку, данному в дроби. Это означает, что если отрицательную дробь умножить на целое положительное число, произведение будет иметь отрицательный знак. Например, -6/4 × 5 = -6/4 × 5/1. Теперь мы можем перемножить числители и знаменатели, чтобы получить -30/4, что в дальнейшем будет уменьшено до -15/2.

Что такое правило умножения дробей?

Есть два простых шага для умножения дробей. Сначала умножьте числители, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь.Затем нам нужно упростить полученную дробь, чтобы получить произведение. При необходимости его можно еще уменьшить. Это можно понять на простом примере. 2/6 × 4/7 = (2 × 4)/(6 × 7) = 8/42 = 4/21.

Обратная дробь — ChiliMath

Помните, что дробь состоит из трех частей.

ЧАСТИ Дроби


Как найти обратную дробь

Чтобы получить обратную дробь

просто поменять местами или поменять местами числитель и знаменатель.Вы можете сказать, что мы просто переворачиваем исходную дробь вверх дном.


Примеры нахождения обратной дроби

Пример 1: Найдите обратную дробь ниже .

Перевернем дробь {3 \over 7} вверх дном, чтобы получить обратную. Это дает нам


Пример 2: Найдите обратную дробь ниже.

Некоторым это может показаться сложным. Обратите внимание, что числитель отрицательный. Если перевернуть эту дробь вверх ногами, то естественно должно получиться

Так как это отрицательная дробь, отрицательный символ может не всегда «следовать» за числом, к которому он изначально привязан.

Другими словами, отрицательный символ может остаться в числителе. Таким образом, после инвертирования двух чисел отрицательный символ теперь присоединен к 2. Это также правильный ответ как величина, обратная исходной дроби.

Есть еще один способ записать обратную величину этой отрицательной дроби. Отрицательный символ не может быть присоединен или к числителю или знаменателю.

Также правильно размещать отрицательный символ непосредственно слева от дробной черты .Вот как это выглядит!

Таким образом, если дробь отрицательна, ее обратную величину можно записать тремя способами.

  • Отрицательный символ остается с числителем
  • Отрицательный символ остается с знаменателем
  • Отрицательный символ остается с дробной чертой

Пример 3: Ниже запишите обратную дробь тремя различными способами.

Решение:


Пример 4: Найдите обратную величину целого числа 15.

Любое целое число, отличное от нуля, может быть выражено знаменателем числа 1.

Имея четкий знаменатель, мы можем легко перевернуть эту дробь вверх дном, чтобы получить обратное число.


Пример 5: Найдите обратную величину целого числа – 11.

Сначала перепишите это целое число со знаменателем и 1.

Имея отличный знаменатель, мы теперь можем найти его обратное значение. У нас в числителе стоит отрицательный символ, помните, что он может располагаться в трех разных местах: в числителе, знаменателе и у дробной черты.Вот возможные ответы!


Вы также можете быть заинтересованы в:

Добавление и вычитание фракций с одинаковым знаменателем
добавления и вычитания фракций с различными знаменателями
размножая фракции
деления фракций
Упрощение фракций
Эквивалентные фракции

Перекрестная связь и как Do It — The Bubbly Primes Guide

Взаимная отмена – это ярлык, который можно использовать для упрощения умножения дробей.Иногда приходится упрощать дроби после выполнения с ними арифметических операций. Взаимная отмена — это упрощение, которое можно было сделать раньше. Это здорово, потому что упрощение до означает, что при умножении у вас будут меньшие числа, а с меньшими числами легче работать.

Ты поймал это? Взаимное сокращение упрощает дроби.

Но для какой операции можно использовать перекрестную отмену? Умножение дробей .

В математике мы используем слово операция для обозначения чего-то простого, что вы делаете с числом.Наиболее распространенными примерами операций являются сложение, вычитание, умножение и деление (есть и другие, но не будем сейчас об этом).

Взаимное сокращение и деление

В дополнение к умножению можно использовать взаимное сокращение, чтобы упростить математические операции при делении дробей. Это потому, что вы всегда можете преобразовать задачу деления дроби в задачу умножения дроби. Просто возьмите обратное значение делителя. Взять , обратное дроби, означает просто поменять местами числитель и знаменатель (положить верхнее число на нижнее, а нижнее на верхнее).Делитель — это число, на которое вы делите.

Как сделать перекрестную отмену?

Вы можете систематически выполнять перекрестную отмену, но есть и некоторые упрощения. Вот систематический способ взаимного сокращения:

  1. Если задача на деление преобразуется в умножение, сначала перепишите ее, преобразуя делитель в его обратную величину.
  2. Найдите простые множители числителя и знаменателя обеих дробей.
  3. Если какой-либо фактор не был в простейшей форме, выполните упрощение сейчас.
  4. Отменить все множители, находящиеся как в числителе, так и в противоположном знаменателе. На самом деле, именно потому, что эти факторы расположены по диагонали друг от друга, мы называем это взаимной компенсацией. Если присутствует несколько копий какого-либо фактора, обработайте их, отменив только те копии, которые присутствуют в противоположном месте (так же, как при упрощении дробей).
  5. Повторите предыдущий шаг на другой диагонали.
  6. Умножьте все множители в верхней части обеих дробей, чтобы получить числитель ответа, и умножьте все множители в нижней части обеих дробей, чтобы получить знаменатель ответа.

    Пример пошаговой кросс-отмены

Вам всегда все это приходится делать? Нет, не всегда. Вы заметили, что мы использовали слово систематический , чтобы описать пошаговый способ перекрестной отмены? Некоторые люди, вероятно, проигнорировали это слово, а некоторые другие люди, возможно, задавались вопросом, что оно означает, и у них возникло чувство, что мы используем причудливые слова, и вскоре вещи могут потерять смысл. Пожалуйста, не беспокойтесь. Под систематичностью мы подразумевали, что любой, кто сможет выполнить эти шаги, в конце получит правильный ответ.Когда вы знакомы с процессом, вы обычно можете комбинировать или пропускать шаги, использовать альтернативные методы или идти коротким путем.

Взаимная отмена с помощью ярлыка GCF

Вы можете сэкономить работу, если числа относительно невелики и вы можете увидеть некоторые общие факторы. В таком случае вам не нужно находить полную простую факторизацию. Вместо этого мы обычно зачеркиваем числа по диагонали и пишем рядом с ними замещающие числа, удаляя наибольшие общие делители. Вот пример того, как выглядит эта техника.

Пример использования GCF для упрощения дроби

Взаимное сокращение и упрощение дроби

Взаимное сокращение на самом деле является специальной версией упрощения дробей. Воспользоваться им можно только при умножении или делении дробей. Сначала стоит попрактиковаться в упрощении дробей, чтобы получить более широкое представление и понять, насколько это полезно. На самом деле, преимущество перекрестного исключения перед умножением и последующим упрощением заключается в том, что до умножения числа становятся меньше и с ними легче работать.Вы получите тот же ответ, если сначала умножите, а затем упростите, но это может быть намного больше работы. Взаимная отмена — это простой, но хороший способ.

Как добиться успеха в перекрестной отмене?

Чтобы добиться успеха в большинстве вещей, нужна практика. Мы создали игру Bubbly Primes, чтобы дать учащимся много практики факторинга , чтобы они могли видеть общие факторы, как в технике GCF. Это интересный способ развивать навыки, которые традиционно возникают, когда вы проводите много времени за рабочими листами и тестами.Мы рекомендуем вам потратить некоторое время на игру.

В чем разница между взаимной отменой и перекрестным умножением?

Иногда учащиеся путают взаимное сокращение с перекрестным умножением. Это легко сделать, потому что названия похожи, оба связаны с дробями, и, кроме того, оба связаны с умножением. Однако:

  • Используйте перекрестное умножение , чтобы алгебраически манипулировать равенством, включающим дроби по обе стороны от знака равенства, обычно для решения переменной.
  • Используйте Взаимное сокращение  в качестве метода упрощения при умножении двух дробей.

Обычно эти два метода предназначены для решения совершенно разных задач.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.