Умножение деление на 0: Действия с нулём. Правило умножения любого числа на ноль Любое число умноженное на 0 равняется

Содержание

Ноль

Ноль

ГЛАВНАЯ   МАТЕМАТИКА   ГЕОМЕТРИЯ

сложение с нулём, вычитание нуля, умножение на ноль, деление на ноль, степень и ноль, факториал нуля, правописание слова ноль.

      Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

      Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие «натуральные числа» — это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.

      Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль.

      Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатиричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики.

      Слово «ноль» в арабском языке звучит как «сыфр». От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово «цифра».

      Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило,

ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль — в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.

      В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.

      В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:

сложение   —   если к любому числу прибавить ноль, число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:

a + 0 = a

0 + a = a

вычитание   —   если из любого числа вычесть ноль, число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:

a — 0 = a

0 — a = -a

умножение   —   если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль:

a х 0 = 0

0 х a = 0

деление   —   деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева «Почему нельзя делить на ноль?»; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:

a : 0 = делить на ноль запрещено, при этом

а не равно нулю

ноль разделить на ноль   —   выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:

0 : 0 = выражение не имеет смысла

ноль разделить на число   —   если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль, не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль, смотри выше):

0 : a = 0, при этом а не равно нулю

ноль в степени   —   ноль в любой степени равен нулю:

0a = 0, при этом а не равно нулю

возведение в степень   —   любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):

a0 = 1, при этом а не равно нулю

ноль в степени ноль   —   выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):

00 = выражение не имеет смысла

извлечение корня   —   корень любой степени из нуля равен нулю:

01/a = 0, при этом а не равно нулю

факториал   —   факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:

0! = 1

распределение цифр   —   при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.

      Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

      Теперь маленький кусочек рекламы.Главная фильтры для воды помогут очистить воду и сделать её более безопасной для питья. Качество водопроводной воды сегодня не отвечает требованиям безопасности для здоровья человека. Применение фильтров для воды становится потребностью в каждом доме.

      30 августа 2010 года — 02 января 2021 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Действия с нулём. Правило умножения любого числа на ноль Любое число умноженное на 0 равняется

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Вконтакте

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то

ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000: 0 =…

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0: 0 = …

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит… интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,… }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

Посмотрим на последовательность частных:

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, — , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным — ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 — 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот — увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х — 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х — 5)/(х — 5) = 7*(х — 5)/ (х — 5). Сократим дроби на (х — 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичная запись данного числа — это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:

Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:

Выходит, что.

Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

Умножить на 100 — это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:

Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:

Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:

Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:

Упражнение. Разделить 124,478 на 100.

Разделить на 100 — это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.

И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.

Пример 1

Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

Пример 2

Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.

Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.

Эквивалентные десятичные записи

Запись 52 означает следующее:

Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.

Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.

Теперь посмотрим на десятичную дробь:

Если приписать ноль, то получается:

Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.

Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.

Пример 3

Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

Пример 4

Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.

То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.

Пример 5

В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 — очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

Пример . Умножить 25,34 на 0,1.

Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на — то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

Аналогично умножить на 0,01 — это разделить на 100:

Пример. 5,235 разделить на 0,1.

Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на — это все равно, что умножить на 10:

То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.

Умножить на 10 и разделить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.

Разделить на 10 и умножить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:

Урок 30. деление вида а : а, 0 : а — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс.

Урок № 30. Деление вида а : а, 0 : а

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как делить выражения вида а : а и 0 : а?

— какие правила используются в случаях деления чисел с 1 и 0?

Глоссарий по теме:

Деление – действие, обратное умножению

Правило – закономерность, устойчивая систематическая взаимосвязь между явлениями, а также высказывание, описывающее эту закономерность.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 84-85.

2. Самсонова Л. Ю. Самостоятельные работы по математике 3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2015 с. 51-52.

3. Рудницкая В.Н. КИМ. ВПР. Математика 3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2018.- с.-36.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Число ноль удивительное во всех отношениях.

Точка, от которой отсчитывают расстояния в Венгрии, отмечена особо. В этом месте (оно находится в центре Будапешта) поставлен памятник нулю. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей! В Дунайском биосферном заповеднике есть место, называемое «нулевым километром». Так называется место, где Дунай впадает в Чёрное море и откуда начинается отсчёт расстояний на реке.

На острове Анкудинов установлен знак нулевого километра. Отсюда ведется отсчёт длины Дуная, пролегающего по землям десяти государств Европы. Интересно, что Дунай – единственная река в мире, которую измеряют не от истоков, а из дельты.

Также это число удостоилось памятника в городе Мюнхене.

В математике числа 0 и 1 обладают особыми правилами деления и умножения.

Рассмотрим эти правила на примерах.

Найдем значения выражений и пользуясь правилом умножения числа на единицу, составим по одному выражению на деление.

14 : 1 = 14; 17 : 1 = 17;

14 : 14 = 1; 17 : 17 = 1.

Делаем вывод, что если любое число разделить на единицу, получается это же число.

Если ,

то .

Выясним, какое выражение верное.

0 : 5 = 0; 0 : 5 = 5.

Нам известно, что действие умножения связано с действием с деления. 0 разделим на 5. Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0. Это число ноль. Значит, 0 разделить на 5 равно 0.

x ∙ 5=0, х = 0, следовательно 0 : 5 = 0.

Следовательно, приходим к выводу:

При делении нуля на любое другое число, получается нуль.

Нужно обязательно запомнить: На нуль делить нельзя!

Почему нельзя делить на нуль? Обоснуем свой ответ. (При делении на нуль, например, числа восемь или другого числа, кроме нуля нельзя найти такое число, умножив которое на нуль, получилось бы восемь или другое число).

Задания тренировочного модуля:

1. Соедините пример с правильным ответом.

Правильный ответ:

2. Расставьте выражения в порядке убывания их значений

Правильный ответ:

а, а : 1, 0 : а

Этап усвоения новых знаний

 

Ребята, вспомните, что такое умножение?
Умножение – это сложение одинаковых слагаемых
 

Замените в следующих примерах произведение суммой и запишите.

5 · 3 =
5 · 2=
5 · 1=

Проверьте себя.

5 · 3 = 5 + 5 + 5 + 5
5 · 2 = 5 + 5    
5 · 1 = ?
5 · 0 = ?

 

Удалось ли заменить сложением последние два примера?
Это особые случаи.
Нельзя взять число слагаемым один раз. Поэтому применим переместительное свойство умножения:
1 · 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

 

Кроме табличных случаев умножения и деления в математике, существуют случаи, которые называют особыми — это математические законы, которые нужно знать: при умножении любого числа на 1, получается то число, которое умножали.  
     

В математике обозначают любое число латинской буквой а.
Запишите этот вывод формулой.
а · 1 = а
 

Запомните!
Вместо буквы а мы можем подставить любое число.
 

Рассмотрим подробно пример 5 · 0 = ?
К данному случаю можно применить переместительное свойство умножения.
0 · 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

 

Второй математический закон, который нужно сегодня запомнить:
Произведение считается равным нулю, при умножении на 0.
 

Запишите этот вывод формулой.
а · 0 = 0
 

Запомните!
Вместо буквы а,  мы можем подставить любое число.
 

Лучшему запоминанию новых случаев умножения будет способствовать создание наглядного образа.


Множитель 1 не изменяет число, его можно представить зеркальцем.
Как бы отражает второй множитель, не изменяя его.

Нуль – это шапка – невидимка. Он при умножении покрывает второй множитель и делает его невидимым.

Давайте вспомним, что такое деление.
Деление — это действие, обратное умножению.
Каждому примеру на умножение можно составить два обратных примера на деление.
Рассмотрим подробно следующие случаи деления:

а : а = ?
а : 1 = ?
0 : а = ?

 

Запишите пример 5 · 1 = ?
Проверим 5 · 1 = 5

Каждому примеру на умножение можно составить два обратных примера на деление. 
Составим и запишем.

5 : 5 = ?
Проверим 5 : 5=1

Делаем вывод:
При делении числа на то же самое число получается единица. Запишем буквенное выражение или формулу

а : а = 1
ЗАПОМНИТЕ!

 

Запишем второй пример на деление.
 5 : 1 = ?

Проверим
5 : 1 = 5

Делаем вывод:
При делении числа на 1 получается то же самое число
Запишем буквенное выражение или формулу
а : 1 = а          

      

Решим ещё один пример на деление, запишите
0 : 5 = ?….
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х · 5 = 0

Это будет число 0. Значит, 0 : 5 = 0…..

Делаем вывод:
При делении 0 на любое число получается 0.
Запишем буквенное выражение или формулу
0 : а = 0

 

Этап закрепления новых знаний

 

Задание 1

Выполните вычисления.

91 ∙ 1 =
64 + 0 =
18 ∙ 0 =
1 ∙ 35 =
25 + 1 =
0 ∙ 361 =
72 ∙ 0 =
54 ∙ 1 =
31 — 0 =
0 ∙ 159 =
1 ∙ 76 =
98 — 1 =

Проверьте себя и оцените свои успехи.

91 ∙ 1 = 91
64 + 0 = 64
18 ∙ 0 = 0
1 ∙ 35 = 35
25 + 1 = 26
0 ∙ 361 = 0
72 ∙ 0 = 0
54 ∙ 1 = 54
31 — 0 = 31
0 ∙ 159 = 0
1 ∙ 76 = 76
98 — 1 = 97
 

Задание 2

Найдите числовые выражения, при решении которых допущена ошибка. Запишите эти выражения, сделав вычисления правильно.

1 · 15 = 15
3 · 0 = 3
19 : 19 = 1
23 : 1 = 1
26 : 26 = 1
12 + 0 = 0
17 — 0 = 17

Проверьте себя и оцените свои успехи.

3 · 0 = 0
23 : 1 = 23
12 + 0 = 12

 

Этап подведения итогов

 

Давайте повторим:

  1. При умножении любого числа на 1 получается число, которое умножаем.
  2. При умножении любого числа на 0 получается 0.
  3. При делении числа на то же самое число получается единица.
  4. При делении числа на 1 получается то же самое число.
  5. При делении 0 на любое число получается 0.
     

Запомните! Делить на нуль нельзя!

 

Рефлексия

 

Выберите смайлик, который более всего соответствует вашему пониманию изученных сегодня на уроке правил и нарисуйте его у себя в тетради.

Спасибо за работу, вы хорошо потрудились!       

Урок математики по теме «Деление 0 на число». 3-й класс

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность.
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо?  Узнать правило деления 0 на число.
Формулирование темы и целей урока.
3. Открытие нового знания.
Организация исследовательской деятельности и выведение нового правила. Установление связи с ранее изученным.
Какие же у вас есть предположения?
0:5=0
0:5=5
предположение
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6 : 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0 : а = 0.

Прочитайте правило в учебнике и сравните с вашим.

А давайте попробуем любое число разделить на 0.
Например, 5:0. Сколько получится?
Нельзя подобрать такое число, при умножении которого на 0 получится 5.
Вывод: НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ.

формулировка правила.
4. Первичное закрепление
Тренировка в выполнении правила действия.            Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.    
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания. В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
(30- 3·10):5= (26-17):0=
13 · х = 0 0 · х = 9
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностей Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать?
Масса 1 ящ. кол-во масса общ.
Сл. 8 кг 1) : 48кг
Гр. 9 кг    ?кг 2)·
Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
  солнышко  – я доволен собой, у меня всё получилось 
  белое облако  – всё хорошо, но я мог работать лучше; 
  серое облако  – урок обычный, ничего интересного; 
  капелька  – ничего не получилось 
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

При умножении и делении на 0 получается. Открытый урок по математике «Умножение числа нуль и на нуль

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль — яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление — это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь — французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?

Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель — сколько раз это слагаемое повторяется. Заменяем сумму произведением.

Запишем решение.

Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.

Запишем решение.

Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?

Рассмотрим произведения.

Выполним действия и сделаем вывод.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.

Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.

1 * а = а

Рассмотрим произведения.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.

Произведения во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 1= а

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.

Проверьте себя.

Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.

Рассмотрим произведения, где первый множитель — нуль.

Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.

Значит, при умножении нуля на число получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

0 * а = 0

Рассмотрим произведения, где второй множитель — нуль.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.

Сравним произведения и их значения.

0*4=0

Произведения второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 0 = 0

А вот делить на нуль нельзя.

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.

Проверьте себя.

Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Найдите значения выражений.

2. Найдите значения выражений.

3. Сравните значения выражений.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Вконтакте

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

МКОУ Сарыбалыкская СОШ

Учитель начальных классов: Маковеева Марина Валентиновна

Урок математики в 4 классе. (учебник для специальных (коррекционных)образовательных учреждений VIII вида, автор М. Н. Перова)

Тема: «Умножение числа нуль и на нуль. Деление нуля».

Цель: познакомить с правилом умножения числа 0 и на 0, деления 0;закреплять знание таблицы умножения, умение решать задачи изученных видов; учить рассуждать и делать выводы.

Планируемые результаты: учащиеся научатся выполнять умножение 0 на число, число на 0, делить 0; пользоваться таблицей умножения и деления; решать задачи изученных видов; оценивать правильность выполнения действий.

Оборудование: карточки для игры “Почтальон”; таблица с геометрическими фигурами, раздаточный материал, персональный компьютер , медиа-проектор, учебник «Математика» М. Н. Перова (4 класс ).

Тип урока: новая тема.

Вид урока: урок-игра .

Ход урока

I . Орг. момент:

Проверка домашнего задания.

II . Устный счет.

Учитель : вспоминаем табличное умножение и деление. Сейчас мы поиграем в игру “Почтальоны”. Света, ты будешь почтальоном. На доске домики с номерами. Твоя задача — взять пример-письмо, правильно его решить и определить в какой дом нам нужно отнести письмо.

3х4 2х2 9х2 3х1 3х8 25:5

6х2 16:4 3х6 9:3 6х4 5:1

4:1 3:1

Учитель : вставьте пропущенный знак действия.

4…0=4 1…3=4 5…1=6

4…4=0 1…3=3 5…1=5

3…3=0 1…0=1 9…0=0

III . Знакомство с новым материалом

ПРО НОЛЬ

Напрасно думают, что ноль

Играет маленькую роль,

Когда-то многие считали

Что ноль не значит ничего

И, как ни странно полагали

Что он совсем не есть число.

Но о его особых свойствах

Мы поведем теперь рассказ

Коль ноль к числу ты прибавляешь

Иль отнимаешь от него

В ответе тотчас получаешь

Опять то самое число

Попав как множитель средь чисел

Он мигом сводит все на нет

И потому в произведенье

Один за всех несет ответ

А относительно деленья

Нам твердо помнить нужно то,

Что уж давно в научно мире

Делить на ноль запрещено

И впрямь: какое из известных

Число за частное нам взять

Когда с нулем в произведенье

Все числа ноль лишь могут дать

Учитель : Давай проверим, все ли в стихотворении правильно:

7+0=7 7-0=7 7·0=0 7:0

Учитель : применим переместительное свойство умножения и заменим умножение сложением: 7·0=0·7=0+0+0+0+0+0+0=0

Что получилось?

Учитель : мы знаем, что деление проверяется умножением: тогда частное умножим на 0 — должно получиться 7, но это не возможно! Какое бы число мы не умножали на 0, всегда в произведении будет 0.

IV . Физминутка

V . Закрепление изученного материала

1.Решение задачи (с.143 № 7)

Учитель : о чем говорится в задаче?

Ученик: о ремонте, фундаменте, кирпичах.

Учитель : что нужно узнать?

Ученик: сколько кирпичей осталось уложить.

Учитель : сможем ли мы сразу ответить на этот вопрос?

Ученик: нет.

Учитель : почему?

Ученик: потому что мы не знаем, сколько кирпичей рабочий использовал.

Учитель : сможем ли мы это узнать?

Ученик: да.

Учитель : каким действием?

Ученик: делением.

Учитель : сможем ли мы теперь ответить на вопрос задачи?

Ученик: да.

Учитель : каким действием?

Ученик: вычитанием.

Учитель : сколько же кирпичей осталось уложить рабочему?

Ученик: (40:5=8, 40-8=32) 32 кирпича.

2.Самостоятельная работа (с. 144 № 18)

7*0 7:1 3*0 8:1

7*1 0*7 0*3 0:8

1*6 0*1 3*1 0*8

0*6 0:1 1*3 0*1

3. Работа у доски (с. 144 № 11)

7*0 0*8 0:5 1*3 5+0

7+1 0:8 6*0 1+3 5*0

7-1 8+0 8-0 4-1 5-1

VI . Повторение

1.Круговые примеры

Учитель: Мы будем лесниками. Нам надо определить высоту некоторых деревьев, для этого необходимо решить круговые примеры.

2. Арифметический диктант

Учитель : А сейчас будем стенографистами. Я диктую, а ты записываешь — стенографируешь с помощью карточек.

Сумму чисел 45 и18 (45+18=63)

Произведение чисел 8 и 3 (8*3=24)

Разность чисел 35 и 7 (35-7=22)

Частное чисел 20 и 4 (20:4=5)

3.Геометрический материал.

Учитель : последнее задание. Какие геометрические фигуры вы видите?

Посчитайте и скажите, сколько раз встречается каждая фигура.

(Круг — 12, квадрат — 6, треугольник — 6, прямоугольник — 5.)

VII . Рефлексия

Самостоятельное выполнение с. 144 № 17 (1,2 ст.). Ответы записаны на доске:0,0,0;5,5,5.

Оцени свою работу на уроке смайликом.

VIII. Домашнее задание

С. 144 № 12.

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Умножение и деление с 0 и 1

Методика изучения табличного умножения и деления

Изучение таблицы умножения и деления является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе. Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, с числами 1 и 10 относятся к особым случаям.

К табличному умножению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

1. Умножение двух — первый этап в рассмотрении таб­личных случаев умножения.

Результат 2х2 = □ находят действием сложения, помня, что умножение — это сумма одинаковых слагаемых. Поэтому, 2 + 2 = 4. Следователь­но, 2 2 = 4.

Аналогично:

= 6, 2 + 2 + 2 = 6,

2 + 2 + 2 + 2 = 8,

2 + 2+ 2 + 2 + 2 = 10,

Для остальных случаев используется предыдущий ре­зультат:

, 10 + 2 = 12, следовательно, ,

, 2 5 = 10, 10 + 4 = 14, следовательно, 2 7 = 14.

2. Умножение на число2 (таблица состав­ляется на основе переместительного свойства умножения):

2 х 2 = 4 2 х 3 = 6 2 х 4 = 8 ……….     3 х 2 = 6 4 х 2 = 8 ………  

3. Табличное деление рассматривается на основе взаимосвязи умножения и деления следующим образом:

если 3 2 = 6, то 6:2=3 и6 : 3 = 2.

Решение записывают столбиком:

7 2 = 14; 6 2 = 12;

14:2 = 7; 12 : 2 = 6;

14 : 7 = 2. 12 : 6 = 2.

Таким образом, приходим к таблицам умножение числа 2 и умножение на число 2. Затем на основе связи между умножением и делением находятся соответствующие случаи деления:

2 х 2 = 4 2 х 3 = 6 2 х 4 = 8 2 х 5 = 10 2 х 6 = 12 2 х 7 = 14 2 х 8 = 16 2 х 9 = 18     3 х 2 = 6 4 х 2 = 8 5 х 2 = 10 6 х 2 = 12 7 х 2 = 14 8 х 2 = 16 9 х 2 = 18 4 : 2 = 2 6 : 2 = 3 8 : 2 = 4 10 : 2 = 5 12 : 2 = 6 14 : 2 = 7 16 : 2 = 8 18 : 2 = 9     6 : 3 = 2 8 : 4 = 2 10 : 5 = 2 12 : 6 = 2 14 : 7 = 2 16 : 8 = 2 18 : 9 = 2

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3.

Знание таблицы умножения и соответствующих случа­ев деления доводится до автоматизма.

Умножение и деление с 0 и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, поскольку они не могут быть разъяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления.

Умножение единицы на любое число рассматривается на основе определения умножения как суммы одинаковых слагаемых. Например, 1×5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. Этот случай не вызывает трудностей.

Умножение любого числа на 1 , умножение любого числа на нуль вводится как особый, его нельзя ввести на основе определения умножения. Поскольку фраза: «повторяем слагаемым 1 раз» или « повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению, т. е. сообщают детям, что при умножении любого числа на 1получаем то же число; при умножении любого числа на нуль, получаем в произведении нуль.

В программах Л.Г. Петерсон, Н.Б. Исто­миной эти случаи вводятся на основе переместительного свойства умножения.

Деление на единицу рассматривается на основе связи между умножением и делением. Например, 3:1=3, так 1х 3 = 3. В общем виде закономерность оформляется в буквенном виде: а : 1 = а, так как 1 х а = а (при делении числа на 1,получается то же самое число).

Случай вида а : а = 1, если а ≠ 0, вводится также на основе связи деления с умножением (при делении числа на то же самое число вчастном получается 1).

Например, 7:7 = 1, так как 1×7 = 7.

Деление нуля на любое число рассматривается на осно­ве связи деления с умножением.

Например, 0:3 = 0, так как 0 х 3 = 0. В общем виде закономерность оформляется в буквенном виде: 0:b = 0 (при делении нуля на любое число, отличное от нуля, а частном получается нуль).

Невозможность деления на нуль может быть обоснована ссылкой на связь умножения с делением примерно так: «Если бы мы захотели решить пример типа: 6 : 0,то нуж­но было бы подобрать такое число в частном, при умно женим которого на нуль получилось бы 6.Но при умножении любого числа на нуль — всегда получается нуль. Значит, найти такого числа нельзя. Следовательно, и делить на нуль нельзя».

Деление на ноль

Не делить на ноль, иначе может случиться!

 

Шучу.

 

 

По правде говоря:

Деление на ноль равно undefined .

Разделение

Чтобы понять почему, давайте посмотрим, что подразумевается под «делением»:

Дивизия делится на равные части или группы.

Это результат «честного обмена».


Пример: есть 12 шоколадок, и 3 друга хотят их разделить, как они поделят шоколадки?

 
12 конфет     12 конфет разделить на 3

Таким образом, они получают по 4: 12/3 = 4

Деление на ноль

Теперь давайте попробуем разделить 12 шоколадок между нулями человек, сколько получит каждый человек?

Этот вопрос вообще имеет смысл? Нет, конечно.

Мы не можем разделить между ноль людей, и мы не можем разделить на 0.

Еще одна веская причина

После деления, можем ли мы умножить, чтобы получить обратно?

Но умножение на 0 дает 0, так что это не сработает.

И снова деление на ноль вызывает у нас затруднения!

Представьте, что мы можем разделить на ноль

Хорошо, давайте представим мы можем поделить на ноль, и посмотрим что получится.

Это означает, что такие числа, как 1 / 0 и 0 / 0 , будут вести себя как обычные числа.

Попробуйте умножить на ноль

Давайте попробуем использовать наши новые «числа».

Например, мы знаем, что ноль умножить на любое число равно нулю:

Пример: 0×1 = 0, 0×2 = 0 и т. д.

Так что это также должно быть верно для 1 / 0 :

0 × ( 1 / 0 ) = 0

Но мы могли бы также изменить его немного так:

0 × ( 1 / 0 ) = ( 0 / 0 ) × 1 = 1

(Осторожно! Я , а не , говоря, что это правильно! Мы , предполагая , что мы можем делить на ноль, поэтому 0/0 должно работать так же, как 5/5, что равно 1).

А-а-а-а! Если мы умножим 1 / 0 на ноль, мы можем получить 0 или 1.

На самом деле у нас не может быть обеих возможностей, поэтому мы не можем определить 1 / 0 как число.

Итак, это undefined .

Так что же такое 0/0?

0/0 — это все равно, что спросить «сколько нулей в 0?»

В нуле вообще нет нулей? А может быть, в нуле ровно один ноль? Или много нулей?

Итак, 0/0 — это неопределенное (это может быть любое значение).

В заключение:

Когда мы пытаемся делить на ноль, все теряет смысл

Вот и все.

Но подождите…

Существует специальный метод, с помощью которого мы приближаем к и к нулю… просто прочитайте Пределы (Введение), чтобы узнать больше.

 

Деление на ноль — определение, деление единицы на ноль, примеры

Деление на ноль с любым числом не определено. Слово «деление» означает разделение чего-либо на равные части или группы таким образом, чтобы оно было разделено поровну между всеми.Принимая во внимание, что значение нуля как числа ничто. Он ставится перед 1, это четное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Давайте узнаем больше о делении на ноль и решим несколько примеров.

Что такое деление на ноль?

Деление на ноль считается неопределенным, если ноль является знаменателем или делением и выражается как а/0, где а является числом, числителем или делимым. Другими словами, деление нуля на любое число всегда даст нам ноль, независимо от умножения или деления.Поскольку умножение и деление идут рука об руку, деление на ноль также может означать умножение на ноль. Например, 7/0 = x или 0 × x = 5. Здесь x не имеет значения или числа для завершения уравнения. Следовательно, деление на ноль любого числа неопределенно.

Единица, деленная на ноль

Единица, деленная на ноль, также считается неопределенной. По мнению математиков, любое ненулевое число, положительное или отрицательное, деленное на ноль, не определено, поскольку не имеет значения.Например, попробуем определить 1/0. Если мы разделим ненулевое число на небольшое положительное число, мы получим значение. Малое положительное число близко к нулю, но не равно нулю.

1/0,1 = 10, 1/0,01 = 100, 1/0,000001 = 1000000

Следовательно, когда мы делим единицу на все меньшие и меньшие положительные числа, мы получаем все большие и большие положительные числа. Следовательно, 1/0 = + бесконечность. Когда мы разделили отрицательные числа, близкие к нулю, мы получаем:

1/-0,1 = -10, 1/-0,01 = -100, 1/-0.000001 = -1000000

Одно деление на отрицательное число, близкое к нулю, дает другой результат, близкий к отрицательной бесконечности. Следовательно, 1/0 = -бесконечность. Следовательно, единица, деленная на ноль, не имеет ответа, что приводит к неопределенности.

Факты о делении и ноле

Ниже приведены некоторые факты о делении и нуле.

  • Любое число, деленное на 1 (частное равно делимому), дает ответ, аналогичный делимому.Другими словами, 1 — это делитель, а частное будет равно делимому. Например: 25 ÷ 1 = 25.
  • Число нельзя разделить на 0, поэтому результат не определен. Пример: 78 ÷ 0 = не определено (но 0 ÷ 78 = 0).
  • Если делимое равно делителю, что означает те же числа, но не 0, то ответ всегда равен 1. Например: 36 ÷ 36 = 1.
  • Ноль — это действительное число, целое число, рациональное число и целое число.
  • Ноль всегда нейтрален i.е. ноль никогда не пишется как +0 или -0.
  • Степень любого числа, увеличенного на ноль, всегда равна единице.

Похожие темы

Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с делением на ноль. Взгляните:

Часто задаваемые вопросы о делении на ноль

Что означает деление на ноль?

Деление на ноль означает, что при делении на ноль любого отличного от нуля, положительного или отрицательного числа результат всегда будет неопределенным.Например, 4/0 = бесконечность или неопределенность.

Можно ли разделить число на ноль?

Любое число, разделенное на ноль, считается неопределенным. Когда мы делим ноль на 1, это равно нулю, когда мы делим ноль на ноль, оно равно undefined, а когда 1 делится на ноль, оно равно undefined.

Почему деление на ноль невозможно?

Деление на ноль невозможно, так как нет однозначного ответа при делении любого числа на ноль. Следовательно, результат не определен.

Как называется деление на ноль?

В математике деление на ноль не имеет смысла, так как любое число, деленное на ноль, считается неопределенным. Умножение и деление идут рука об руку, и когда число умножается на ноль, результатом является сам ноль. Находясь в делении, он не определен.

Чему равно 0 при делении на 8?

Частное от 0, деленного на 8, равно 0, 0 ÷ 8 = 0, 

Ноль в делении — бесплатный план занятий

Это полный урок для третьего класса, с пояснениями и упражнениями, про деление на ноль .Мы изучаем абсурдную идею о том, чтобы делиться бананами между нолью людей. Даже сказать, что деление на ноль равно нулю, не работает, потому что тогда проверка умножением не проходит.

Мы могли бы подумать о том, чтобы разделить 6 бананов между 0 людьми. Но это не делает смысл. Мы даже не можем говорить о том, сколько получает, потому что вокруг никого нет.

Мы могли бы подумать о создании групп по 0. Сколько групп вы получите? Опять же, вы бы никуда не попали, вы бы никогда не поставили эти 6 бананов на группы по 0.

Можно подумать, что 6 ÷ 0 = 0 или что каждый человек получает ноль бананов. Проверьте это с помощью умножения! Ты получится 0 × 0 = 6, что это не правда! Итак, 6 ÷ 0=0 тоже не работает.

Деление шести на ноль ( 6 ÷ 0) — «не определено». В принципе, вы не можете этого сделать.

Как насчет 0 ÷ 0? Нельзя ли сказать 0 ÷ 0 = 0?

0 ÷ 0 сложно.То ответ может быть нулевым, но на самом деле ответ может быть любой номер :

Допустим, что 0 ÷ 0 = 2. Проверьте умножением: 2 × 0 = 0; В ПОРЯДКЕ. Так что 2 будет работать.
Допустим, что 0 ÷ 0 = 0. Проверьте умножением: 0 × 0 = 0; В ПОРЯДКЕ. Так что 0 будет работать.
Допустим, что 0 ÷ 0 = 11. Проверьте умножением: 11 × 0 = 0; В ПОРЯДКЕ. Так что 11 будет работать.

Итак, мы не можем найти только ОДИН ответ. Мы говорим, что ответ не может быть определен.

Деление числа на ноль не работает.

 

Как насчет деления нуля на что-то? Это это прекрасно.

0 ÷ 5 = 0    «Если есть ноль бананов и пять человек, каждый человек получает 0 бананов».

1. Разделить. ВЫЧЕРКНУТЬ все проблемы, которые невозможно.Подумайте о том, чтобы поделиться бананами.

а. 4 ÷ 1 = ______

    4 ÷ 0 = ______

б. 14 ÷ 14 = ____

     0 ÷ 0 = _____

в. 1 ÷ 1 = _____

    7 ÷ 0 = _____

д. 0 ÷ 5 = _____

    5 ÷ 5 = _____

эл. 0 ÷ 1 = _____

    0 ÷ 4 = _____

ф. 0 ÷ 14 = _____

    14 ÷ 0 = _____

г. 0 ÷ 3 = _____

    0 ÷ 1 = _____

час. 10 ÷ 10 = ____

    1 ÷ 1 = _____

При умножении ноль работает просто отлично!

Умножение означает, что у вас есть много групп тот же размер.
Вы можете найти общее количество, добавив. Следовательно:

5 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0  =  0
  (пять групп нулевых элементов)  
0 × 3 = 0 
(нулевые группы по три позиции)

2.Умножить. Затем для каждого умножения сделайте предложение деления , если возможно .
Некоторые деления невозможны!

а.   6 × 1 = ______

______ ÷ ____ = ____

б. 0 × 8 = ______

______ ÷ ____ = _____

в.   5 × 7 = ______

_______ ÷ ____ = _____

д.   10 × 11 = ______

________ ÷ ____ = ____

эл. 1 × 1 = ______

______ ÷ ____ = ____

ф.   1 × 8 = ______

______ ÷ ____ = _____

г. 0 × 0 = ______

______ ÷ ____ = ____

ч.   5 × 9 = ______

______ ÷____ = _____

я.   9 × 0 = ______

______ ÷ ____ = ____

3. Решите и напишите числовое предложение для каждой задачи со словами.

а. У Салли было 30 кг риса. Она поставила равно
составляет шесть мешков. Сколько было
в каждом мешке?

_______ _______ = _______

б. Шесть микроавтобусов у
аэропорта, и каждый может вместить семь
пассажиры.Сколько пассажиров
они могут взять в сумме?

_______ _______ = _______

в.   Грег купил три коробки яиц,
по 12 яиц в каждой коробке.
Сколько яиц он получил?

_______ _______ = _______

д.   В самолете было 56 пассажиров.
Каждый микроавтобус-такси вмещает семь человек
пассажиры.Сколько минивен налогов
нужны взять этих пассажиров
в гостиницу?

_______ _______ = _______

эл.   Имеется пять таблиц, в каждой по
четыре ноги. Сколько ног
в целом?

_______ _______ = _______

ф.   Келли налила всего четыре чашки
молока в четыре стакана.Сколько молока
было в каждом стакане?

_______ _______ = _______

4. Разделить. ВЫЧЕРКНУТЬ все проблемы, которые невозможно.

а. 9 ÷ 1 = ______

    9 ÷ 0 = ______

б. 0 ÷ 20 = _____

    20 ÷ 0 = _____

в. 11 ÷ 1 = ______

    8 ÷ 0 = ______

д. 0 ÷ 0 = ______

   0 ÷ 10 = ______

5. Составьте ВОПРОС для каждой ситуации. (Подумайте, что вы можете узнать, используя то, что
проблема говорит вам.) Тогда решите свой вопрос.

а. Марк, Джек и Джо решили
поровну делят свои игрушечные машинки в
игра.У Марка было 18 машин, у Джека 7,
а у Джо было 11.


б. Миссис Эллиот наняла шестерых детей, чтобы они сделали
. работа во дворе. Одному из них она заплатила 15
долларов. а остальные по 10 долларов.


в.  Книги Алисы список для чтения
имеют: 320, 129, 120 и 235 страниц.


д.   Джереми хочет читать две книги, которые
имеют 32 и 40 страниц. Он читает
12 страниц в день.


эл.   Келли имел 80 см красного материала
и 40 см синего материала. Она вырезала
все это на кусочки по 20 см.


ф. Ребенок расставил машинки по
рядов шесть автомобилей.Так сделал семь рядов.
В восьмом ряду было три машины.

 

 


Copyright HomeschoolMath.net.



Почему деление на ноль не определено

В этом видео мы собираемся выяснить, почему деление на ноль не определено. Но сначала нам нужно ознакомиться с определением деления.Определение деления гласит, что если «а», деленное на «b», равно «с», а «с» уникально, то «b», умноженное на «с», равно «а». Итак, давайте что-нибудь сделаем — разделим два известных нам числа. Итак, допустим, что 6 разделить на 2 равно 3. Мы все можем с этим согласиться. Обратите внимание, мы можем сказать, что «c» уникален. Число 3 уникально, потому что мы знаем, что 3 — это единственное число, равное 6, деленному на 2. Мы также можем выяснить, что означает вторая часть. Если мы умножим наше «b» на «с», то мы должны получить «а». Таким образом, наше «b» равно 2, умноженному на «с», что равно 3, равно «а», что равно нашим 6.И то, и другое устраивает. Итак, это означает, что 6, деленное на 2, действительно равно 3. И мы также можем сказать, что это «определено», потому что оно удовлетворяет полному определению деления. Точно так же, если он удовлетворяет только одной части определения, это будет означать, что он «не определен». Давайте посмотрим на примеры с нулем в них и посмотрим, что с ними происходит. Итак, позвольте мне прояснить это, и давайте начнем с нуля, деленного на 1. Я собираюсь сказать, что это равно нулю, потому что 1, умноженный на ноль, равно нулю. Это удовлетворяет этой второй части определения.И эта первая часть, если вы подставите, скажем, 1, 2 или любое другое число, тогда оно не будет равно этому, поэтому мы можем фактически сказать, что «с» уникален. Таким образом, это удовлетворяет тому, что это на самом деле единственное число, которое вы можете положить туда, чтобы фактически равняться нулю. Мы можем сказать, что ноль, деленный на 1, равен нулю, и мы также можем сказать, что это также «определено». Наш следующий пример будет делением 1 на ноль. И многим нравится гадать, что это будет ноль. Итак, давайте попробуем это. Мы берем наше «b», которое равно нулю, и умножаем его на наше «c», которое равно нулю.Мы не понимаем, что такое «а», потому что, конечно, ноль, умноженный на ноль, не равен 1. Так что это не удовлетворяет этой части уравнения. Поскольку он не удовлетворяет хотя бы одной части этого определения, это означает, что он считается «неопределенным». Так что это не работает, и это означает, что он будет «неопределенным». Теперь, для нашего следующего примера, иногда мы сталкиваемся с этой идеей, когда у нас на самом деле ноль делится на ноль. Что ж, я думаю, все мы можем согласиться с тем, что мы, очевидно, можем поставить там ноль, и вторая часть будет определена.Поскольку у нас есть ноль, который представляет собой наше «b», умноженное на ноль, что является нашим «с», это равно нашему «а», которое равно нулю. Итак, эта часть работает. Ну, мы также можем поставить 5, если захотим, потому что ноль умножить на 5 равно нулю, так что это все еще работает для второй части. Мы действительно можем подключить туда что угодно. Мы можем сказать, что ноль над нулем равен х. У нас все еще есть нуль, умноженный на x, равный нулю. Но я имею в виду, что это первая часть, которая не удовлетворена. Потому что если мы можем сказать, что ноль, 5 или вообще любое число, это означает, что это «с» не уникально.Итак, в этом сценарии первая часть не работает. Итак, это означает, что это будет undefined. Таким образом, ноль, деленный на ноль, не определен. Итак, давайте назовем это так. Убедитесь, что когда вы сталкиваетесь с чем-то подобным, когда вы делите на ноль, убедитесь, что вы не записываете фактическое число или переменную вниз. Просто скажите, что это равно «undefined». Подводя итог всему этому, мы можем сказать, что ноль больше 1 равен нулю. Мы можем сказать, что ноль над нулем равен «неопределенному». И, конечно же, последнее, но не менее важное, с чем мы сталкиваемся много раз, это 1, деленная на ноль, которая до сих пор не определена.

Деление на ноль | Encyclopedia.com


Число 0 обладает уникальными свойствами, в том числе когда число умножается или делится на 0. Умножение числа на 0 равно 0. Например, 256 × 0 = 0. Однако деление числа на 0 неопределенный.

Почему деление числа на 0 не определено? Предположим, что при делении 5 на 0 получается число х :

Отсюда следует, что 0 х х должно быть 5. Но произведение 0 на любое число всегда равно 0.Следовательно, число x не работает, а деление на 0 не определено.

Ложное доказательство

Если бы деление на 0 было разрешено, можно было бы доказать — ложно — что 1 = 2. Предположим, x = y . Используя действительные свойства уравнений, приведенное выше уравнение переписано

x 2 = xy = xy x 2 y 2 = XY — Y 2 (после вычитания y 2 с обеих сторон)

( x — Y ) ( x + Y ) = y ( x — Y ) (после факторинга обе стороны)

( x + y ) = y (после деления обеих сторон на ( x − y ))

2 y = y ( x = y , )

2 = 1 (после деления обеих частей на y )

Этот абсурдный результат (2 = 1) получается из деления на 0.Если x = y , деление на ( x − y ) по сути является делением на 0, потому что x − y = 0.

Приближение к пределу

последовательность все более мелких чисел (0,1, 0,01, 0,001 и т. д.) дает все более крупные числа (50, 500, 5000 и т. д.). Эта последовательность деления может быть записана как где x приближается, но никогда не равняется 0. На математическом языке, когда x приближается к 0, неограниченно увеличивается или бесконечно .

см. также Консистенция; Бесконечность; Лимит.

Фредерик Ландвер

Библиография

Амдал, Кенн и Джим Лоутс. Алгебра отключена. Брумфилд, Колорадо: Clearwater Publishing Co., 1995.

Миллер, Чарльз Д., Верн Э. Херен и Э. Джон Хорнсби-младший Математические идеи, 9-е изд. Boston: Addison-Wesley, 2001.

Как избежать ошибок деления на ноль

Моделирование Dymola может завершиться раньше времени окончания моделирования по разным причинам.Одним из наиболее распространенных, но, к счастью, простых сообщений об ошибках является сообщение об ошибке деления на ноль. Как следует из названия, именно здесь Димола пытается разделить одно количество на другое; если знаменатель равен нулю, результат бесконечен (и, следовательно, не определен). Поэтому, когда Даймола сталкивается с этим, симуляция прекращается. Есть несколько простых способов избежать этого состояния. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, поэтому пользователь должен решить, какой подход лучше всего подходит в зависимости от ситуации.Здесь я предлагаю 4 возможных исправления, которые можно развернуть, чтобы восстановить и запустить ваши симуляции.

Простая модель слева дает типичную ошибку деления на ноль в Dymola.

Рефакторинг проблемы

Возможно, самый чистый (математически) метод, позволяющий избежать ошибок деления на ноль, — это умножение величин, а не деление одного на другое. Этот метод, не добавляя дополнительных затрат на моделирование, потребует переформулировки некоторых уравнений для адекватной реализации.Однако на этапе символической манипуляции Dymola часто возвращает ошибочное значение обратно в знаменатель, и, таким образом, проблема остается нерешенной. Если у вас есть ситуация, когда и числитель, и знаменатель одновременно приближаются к нулю, это исправление может быть успешным.

Добавить Modelica.Constants.small

Хотя это не особенно надежный подход, он часто может быть эффективным. В стандартной библиотеке Modelica есть различные полезные константы.-60 (Обратите внимание, что фактическое значение может варьироваться в зависимости от инструментов/платформ). Это можно добавить к любой переменной знаменателя, стремящейся к нулю; поскольку он настолько точен, вероятность того, что переменная будет равна значению малой константы , намного меньше, чем вероятность нуля. Преимущество этого метода в том, что его просто реализовать, и он будет иметь незначительное влияние на время моделирования. Тем не менее, это вносит (очень) небольшую ошибку в результаты. Существует также отдаленная вероятность того, что решатель приземлится на малом значении и все равно приведет к прекращению моделирования из-за нулевого знаменателя.

Используйте макс./мин., чтобы избежать нуля

Использование операторов max/min в Dymola не вызовет события. Если выражение в знаменателе работает только в положительном пространстве, просто напишите следующее.

Использование оператора max

Точно так же можно использовать оператор min, если выражение в знаменателе работает только в отрицательном пространстве.

Использование оператора min

Обнаружение нулевого количества

Последний метод заключается в написании кода для обнаружения того, что величина знаменателя становится равной нулю, и изменения знаменателя на ненулевое значение.Для этого можно использовать различные методы, самый простой из которых — написать оператор if, в котором обнаружение нулевого значения приводит к использованию ненулевого знаменателя. При развертывании без использования noEvent симуляция все равно может завершиться ошибкой, поскольку решатель может попытаться вычислить обе ветви инструкции одновременно в момент события и, таким образом, по-прежнему выдавать ошибку деления на ноль.

Обнаружение пересечения нуля

Выводы

Каждый метод, представленный выше, имеет свое применение в зависимости от приложения.Когда скорость симуляции имеет первостепенное значение, переформулировка ошибочного уравнения для умножения, а не для деления может быть наиболее подходящей, так как не выполняются дополнительные вычисления. Однако это может быть длительным процессом в зависимости от модели и, таким образом, может занять у пользователя больше времени для реализации, а также может не дать рабочей симуляции в зависимости от шага символьной манипуляции. Добавление небольшой константы Modelica полезно, когда пользователь хочет работать исключительно в графическом интерфейсе Dymola.Если вам посчастливилось иметь знаменатель, который работает полностью в положительной или отрицательной области, использование операторов min/max будет быстрым и надежным решением. Установка пункта об обнаружении нуля надежна и относительно проста в реализации, но рискует либо увеличить время моделирования, либо потенциально внести небольшую ошибку в результаты.

Как правило, один из методов-примеров (или их комбинация) может помочь вам избежать этих надоедливых завершений симуляции деления на ноль.Лучший вариант во многом зависит от пользователя; и варьируется в зависимости от приложения!

Нейт Хорн – вице-президент

Пожалуйста, свяжитесь с нами, если у вас есть какие-либо вопросы или у вас есть тема, о которой вы хотели бы написать. Вы можете отправить свои вопросы / темы через: Вопросы технического блога / Предложение темы.

1/0 = 0 • Хиллел Уэйн

Есть твит:

Я понятия не имею, делает ли Пони правильный выбор, я не знаю Пони и не хочу изучать Пони.Но этот твит вызвал у меня раздражение по двум причинам:

  1. Это довольно самодовольно. У меня очень твердое мнение о программировании, но я стараюсь следовать одному правилу: не издевайтесь над другими программистами . Программирование слишком большое, а я слишком мал, чтобы все понять. Не соглашаться — нормально, объяснять, почему люди неправы, — нормально, высмеивать их — не нормально.
  2. Говорят, что Пони математически неправильно. Это объективно неверно.

Я твитнул о том, почему 1/0 = 0 математически правильно.Кто-то соглашался, кто-то соглашался с оговорками, а кто-то называл это чушью. Несколько человек сказали, что очевидно, что я не знаю настоящей математики, потому что настоящий математик никогда не допустит такой ошибки.

Итак, в этом посте я хотел бы четко, формально изложить, почему последовательно говорить, что 1/0 = 0 , почему некоторые из распространенных возражений не применимы, и что говорят настоящие математики. Справедливое предупреждение, этот пост будет немного более математически насыщенным, чем мои обычные материалы.Я пытался объяснить, но, ну, математика.

Консистенция

Сначала нам нужно объяснить, что мы подразумеваем под «согласованностью». Формализм звучит как , если вы можете использовать его только для доказательства истинных утверждений. Сказать, что 1/0 = 0 несостоятельно, значит либо сказать, что мы можем доказать, что 1/0 ≠ 0 , либо что, учитывая 1/0 = 0 , мы можем доказать что-то ложное. На самом деле это эквивалентные утверждения, но будет полезно рассматривать их как отдельные в учебных целях.

Далее нам нужно объяснить, что мы подразумеваем под «разделением». Но для этого мне нужно ввести полей .

Поля

Поле представляет собой набор элементов (S) вместе с оператором сложения ( + ) и оператором умножения ( * ), которые следуют некоторым свойствам:

  1. Комплект закрытый под обе операции. Если x является элементом S, а y является элементом S, то и x + y , и x * y являются элементами S.
  2. Обе операции коммутативны . a + b = b + a и a * b = b * a .
  3. Обе операции ассоциативны . a + (b + c) = (a + b) + c и a * (b * c) = (a * b) * c .
  4. Умножение распределительное. а * (б + с) = а * б + а * с .
  5. Существует элемент, который является аддитивной идентичностью или 0 , такой что a + 0 = a .
  6. Существует элемент, представляющий собой мультипликативную идентичность или 1 , такую, что a * 1 = a .
  7. Две личности — разные элементы. 1 ≠ 0 .
  8. Каждый элемент имеет добавку, обратную , -a , такую, что a + (-a) = 0 .
  9. Каждый элемент, КРОМЕ 0, имеет мультипликативную обратную , a⁻ , такую, что a*a⁻ = 1 .

Это все правила поля. Мы можем определить S, + и * как угодно, если соблюдаются все правила. Действительные числа вместе с нашими обычными представлениями о сложении и умножении образуют поле.Это дает нам строительные блоки для обнаружения свойств нашей системы. Чтобы доказать теорему , мы должны иметь возможность вывести ее исключительно с помощью определений S/+/* , определения поля и любых имеющихся у нас аксиом. Например, мы можем доказать, что для всех a , a * 0 = 0 :

  1. Согласно аддитивной идентичности 0 + 0 = 0 , поэтому a * 0 = a * (0 + 0)
  2. По распределительному свойству а * (0 + 0) = а * 0 + а * 0
  3. По аддитивному обратному свойству существует некоторое - (a * 0) такое, что - (a * 0) + (a * 0) = 0 .
  4. Комбинируя (1) и (2), мы получаем a * 0 = a * 0 + a * 0 .
  5. Объединяя (3) и (4), получаем - (а * 0) + (а * 0) = - (а * 0) + а * 0 + а * 0 .
  6. Вычисление (5) дает нам 0 = a * 0 . КЭД.

Теперь, когда у нас есть это как теорема, мы можем использовать ее для доказательства других теорем. Учитывая это свойство, мы можем сразу показать, что нет мультипликативного обратного числа 0:

.
  1. Если 0 имел мультипликативную обратную 0⁻ , то 0 * 0⁻ = 1 .
  2. Для всех действительных чисел a * 0 = 0 .
  3. Поскольку 1 ≠ 0 , нет мультипликативного обратного числа 0⁻ .

Хорошо, теперь мы можем поговорить о делении в реалах.

Подразделение

Определение поля , а не включает в себя деление, равно как и наши определения сложения или умножения. Это означает, что мы вольны определять деление так, как хотим. Мы хотим определить его таким образом, чтобы , в основном , следовали нашей интуиции и были верными.Я говорю в основном , потому что наша интуиция не обобщает. Например, мы интуитивно думаем о a * b как о « a в сумме b раз». Итак, что такое -1 * π ? Как суммировать что-то π раз? Хотя было бы неплохо, если бы в делении не было никаких «странностей», мы не можем гарантировать это без математики.

Интуитивное определение деления — это умножение на обратное. а/2 = а * 2⁻ . В соответствии с этим определением мы можем получить все свойства деления, к которым мы привыкли, доказав, что они выполняются.Например,

  • Теорема: а/а = 1 . Доказательство: а/а = а * а⁻ = 1 .
  • Теорема: a * (b/c) = b * (a/c) . Доказательство: a * (b/c) = a * (b * c⁻) . Поскольку умножение является коммутативным и ассоциативным, мы можем изменить это, чтобы получить b * (a * c⁻) = b * (a/c) .

Все это замечательно, за исключением одной проблемы: 0 не имеет мультипликативного обратного . Оба эти доказательства недействительны: если я напишу 0/0 , я получу 0 * 0⁻ , что является недопустимым уравнением.Итак, мы не можем доказать, что a/a = 1 . Мы можем , однако доказать что-то послабее:

  • Теорема: ЕСЛИ а ≠ 0 , ТО а/а = 1 . Доказательство: то же самое.
  • Теорема: ЕСЛИ c ≠ 0 , ТО a * (b/c) = b * (a/c) . Доказательство: то же самое.

Обратите внимание, что , а не идут в обе стороны: , а не следуют за тем, что 0/0 ≠ 1 . Все, что мы знаем, это то, что мы не можем использовать эту теорему , чтобы доказать, что 0/0 = 1 .Таким образом, у нас нет этого 0/0 ≠ 1 . Для любого заданного числа мы не можем доказать, что 0/0 не является этим числом! Поскольку мы определили деление как умножение на обратное, а ноль не имеет обратного, наше определение деления не распространяется на деление на ноль. Он ничего не говорит об этом, оставляя его «неопределенным», если хотите.

Поскольку эта форма деления не определена для 0, это частичная функция над вещественными числами: в ее области определения есть некоторое значение, которое мы не указали.Практически это штраф : мы привыкли думать о 1/0 как о невозможной операции. Но это имеет некоторые странные последствия: одна из наших аксиом гласит, что все равно самому себе. Итак, 1/0 = 1/0 ? Если вы скажете, что это глупо, у нас больше нет a = a ! И даже если вас это устраивает, как насчет утверждения TRUE \/ (1/0 = 1/0) ? Второе предложение не имеет значения, потому что это утверждение должно быть истинным. Но по аксиоме исключенного третьего у нас тогда было бы 90 832 90 833, чтобы сказать, что второе предложение либо истинно, либо ложно.Пытаясь формализовать математику и логику, мы должны найти способ объяснить, что произойдет, если вы напишете 1/0 . Итак, обычно математики могут сделать три вещи:

  • Мы можем сказать нет, извините, вы даже не можете написать 1/0 , тем более дать ему значение. Это то, что мы делаем в нашей повседневной жизни, и то, как Агда и Идрис справляются с разделением.
  • Мы можем выбрать какое-то значение, не являющееся действительным числом, например, «неопределенное» или бесконечность, и сказать, что x/0 = <независимо> .Это то, что некоторые математики делают со сферой Римана.
  • Мы могли бы выбрать какое-нибудь действительное число, например 19, и сказать, что x/0 = 19 . Это то, что делают Изабель, Лин и Кок.

Все они имеют компромиссы. Мы уже говорили о некоторых головных болях, связанных с запрещением уравнений вроде 1/0 . При «неопределенном» значении деление больше не замыкается на реалах. В последнем случае вы подрываете привычное всем интуитивное представление о разделении. Но все это правильно. Поскольку наше первоначальное понятие деления ничего не говорит о делении на ноль, оно ничего не исключает. Ни одно из этих расширений не приводит к противоречию.

Разногласия по последнему делу, так что давайте сосредоточимся на нем. Мы определим деление следующим образом: ЕСЛИ b = 0 ТО a/b = 1 ИНАЧЕ a/b = a * b⁻ .

Я должен подчеркнуть здесь кое-что: это не дает нам обратного числа 0. 1/0 не является 0⁻ . Это означает, что в то время как 0/0 = 1 , 0 * 1/0 = 0 .Деление — это «умножение на обратное» только тогда, когда знаменатель не равен 0. Все, что мы сделали, — это частный случай деления на ноль и ничего больше. И это математически последовательно, потому что при таком определении деления нельзя взять 1/0 = 1 и доказать что-то ложное.

Возражения

Вот тут многие возражали. Они брали факт 1/0 = 1 и доказывали что-то ложное, обычно 1 = 0 . Однако ни одно из этих доказательств не является надежным.Чтобы понять, почему, давайте рассмотрим пару примеров доказательств и покажем, где они не работают.

Вот распространенный аргумент:

  1. 1/0 = 1
  2. 1/0 * 0 = 1 * 0
  3. 1 * 0/0 = 0
  4. 1 = 0

Проблема в шаге (3): наша теорема о делении верна только для c ≠ 0 , поэтому вы не можете перейти от 1/0 * 0 к 1 * 0/0 . Пункт «знаменатель не равен нулю» не позволяет нам взять наше определение и прийти к этому противоречию.

Вот где люди попали впросак. Они предполагают, что нам нужен ненулевой пункт в наших теоремах о делении, потому что x/0 не определено. «Если x/0 является значением, то теорема должна распространяться и на c=0 ». Это неправильно. Проблема , а не в том, что 1/0 не определено. Проблема заключалась в том, что наше доказательство использует мультипликативное обратное, а мультипликативное обратное 0 не существует. Согласно нашему измененному определению деления, мы по-прежнему не имеем 0⁻ , что означает, что наше доказательство по-прежнему не работает. для деления на ноль.Нам еще нужно условие. Таким образом, , а не — это теорема о том, что a * (b/0) = b * (a/0) .

Для ясности: , а не означает, что они должны быть разными! Все, что мы знаем, это то, что мы не можем использовать эту теорему , чтобы доказать, что равны . Поскольку «доказательство» того, что 1 = 0 использовало эту теорему, доказательство несостоятельно.

Почти каждый контраргумент совершает одну и ту же ошибку: он предполагает, что, поскольку 1/0 теперь определено, теперь есть некоторое 0⁻ , обобщающее наши теоремы.Но нет.

Еще одно распространенное возражение состоит в том, что если 1/0 = 1 , то мультипликативные инверсии больше не уникальны: 2/2 = 1 , но также и 2/0 = 1 , так что теперь 2 имеет две инверсии. Это, опять же, путает причину и следствие. 1/2 является инверсией 2 не из-за того, как мы определяем инверсию, а из-за того, как мы определяем деление. 2/2 = 1 , потому что 2/2 = 2 * 2⁻ . Но, опять же, у нуля нет обратного, и 2/0 не является 2 * 0⁻ .Поскольку 0⁻ не существует, оно не является инверсией 2, и каждое ненулевое число по-прежнему имеет уникальную инверсию.

Если вы хотите доказать, что 1/0 = 1 приводит к противоречию, вы должны явно перечислить все ваши шаги и показать, что ни один из них не предполагает существование 0⁻ .

1/0 = 0

Теперь мы установили Предположим пока, что если мы выберем некоторую константу C , то определение деления таким образом, что x/0 = C не приведет ни к каким противоречиям.Оказывается, при определенном выборе C, в частности 0, мы можем усилить некоторые теоремы . Мы можем сделать это, удалив условия из (некоторых) наших теорем о делении, а затем добавим частный случай к самому доказательству. Например:

  • Теорема: a * (b/c) = b * (a/c) . Доказательство: мы уже доказали это для c ≠ 0 . Теперь пусть с = 0 . Тогда a * (b/0) = a * 0 = 0 и b * (a/0) = b * 0 = 0 и 0 = 0 .

При таком определении шага деления (3) в приведенном выше контраргументе теперь действует: мы можем сказать, что 1/0 * 0 = 1 * 0/0 . Однако на шаге (4) мы говорим, что 0/0 = 1 . Эта теорема не становится сильнее:

  • «Теорема»: а/а = 1 . Доказательство: мы уже доказали это для a ≠ 0 . Теперь пусть а = 0 . Тогда a/a = 0/0 = 0 , поэтому 1 = 0 и подождите, черт возьми,

Вот почему Лин и Изабель определяют 1/0 таким образом.Coq тоже это делает, но, насколько я могу судить, они не используют это как оптимизацию.

Настоящие математики

Последнее возражение заключается в том, что я специалист по CS, а не математик, поэтому я не понимаю здесь математику. Но что говорят доктора наук?

Лоуренс Полсон, профессор вычислительной логики и изобретатель Изабель:

Немного истории: первой логикой, поддерживаемой Изабель, была конструктивная теория типов Мартина-Лёфа, и она существует до сих пор (СТТ).0 = 0 [sic].

Лесли Лэмпорт, доктор математических наук и обладатель премии Тьюринга 2013 года:

[В теории множеств ZF] Так как 0 не находится в домене recip , мы ничего не знаем о значении 1 / 0 ; оно может равняться √2 , может равняться R или чему-то еще.

Мэтт Нунан, доктор математических наук и специалист по доказательствам призраков в Haskell:

мне кажется все нормально!

Артур Азеведо де Аморим, автор вводного учебника Coq, реконструирует тот же аргумент, что и я.

Я также поболтал с несколькими друзьями-аспирантами-математиками и отправил электронное письмо паре знакомых постдоков. До сих пор никто не говорил, что принимать 1/0 = 0 неправильно. Если кто-то в конечном итоге вернется ко мне с этим, я включу их опровержение этого поста.

Выводы

Первоначально это было мотивировано тем, как Пони разделяет. Итак, Пони поступает правильно? Нет подсказки. Pony — это язык программирования, а не формальная математическая система. Согласованность менее важна, чем безопасность, удобство и контекст.Мне как программисту это не нравится.

Но не делает ли Пони что-то неблагоразумное? Точно нет. совершенно нормально определить 1/0 = 0 . Ничто не ломается, и вы не можете доказать что-то ложное. Все, кто высмеивал программистов Pony за то, что они «плохи в математике», на самом деле не понимают, что за этим стоит.

Не высмеивайте других людей. Мир большой, а мы маленькие.

Спасибо Уотсону Лэдду, Мэтту Нунану, Рону Пресслеру, Джошу Либеру и Эдвину Брэди за отзывы.

Обновление от 12.08.2018

Некоторые люди заметили, что я использовал некоторые термины неоднозначно, и я сделал все возможное, чтобы это исправить. Группа людей также прислала дополнительные контраргументы, большинство из которых касались общих тем.

ab = cb => a = c но с делением на ноль имеем 1 * 0 = 2 * 0 => 1 = 2 .

Это распространенная ошибка многих людей: предположение, что какое-то свойство деления каким-то образом является частью определения, а не то, что мы должны показать, верно.Но разделение не имеет «врожденных» свойств: все манипуляции, которые мы совершаем с ним, мы должны доказать, что они являются действительными манипуляциями. В случае любого противоречия вы должны перечислить для каждой манипуляции с уравнением теорему, которая делает эту манипуляцию действительной, и показать, что доказательство этой теоремы не использует 0⁻ .

Допустим, 1/0 = 0 приведет к скрытым ошибкам в вашей программе.

Как упоминалось ранее, это пост не о том, что на самом деле является хорошей идеей. Все, что я утверждаю, это то, что математически мы можем расширить деление таким образом, не приведя к противоречию. Языки программирования отличаются от математических формализмов, и должно быть другим. Я предпочитаю, чтобы 1/0 было ошибкой, потому что я не использую свою программу для доказательства теорий.

Все языки должны жертвовать математической надежностью в пользу безопасности, практичности и предсказуемости. По той же причине почти в каждом практически используемом языке head имеет тип [a] -> a , а не [a] -> Maybe a .

У нас больше нет того, что деление является обратным умножению по всей его области.

Это распространенный аргумент, и, возможно, он больше касается «эстетики» разделения, чем того, что можно формализовать. Это происходит часто, когда мы расширяем функции. Например, над натуральными числами a * b — это просто повторяющееся сложение. Но если мы распространим умножение на рациональные числа, мы потеряем это прекрасное определение.

В общем, я эстетически «не люблю» определения и теоремы, которые явно включают зависимость от области определения функции, потому что это приводит к «побочным эффектам», когда мы их расширяем.

Если 0/0 = 0 , то lim_(x -> 0) sin(x) / x = sin(0) / 0 = 0 , но по правилу Больницы lim_(x -> 0) sin(x) / x = lim_(x -> 0) cos(x) / 1 = 1 . Итак, у нас есть 0 = 1 .

Это было очень умно. Проблема в том, что контраргумент предполагает, что если предел существует и f(0) определено, то lim_(x -> 0) f(x) = f(0) . Это не всегда так: возьмите непрерывную функцию и добавьте к ней точечный разрыв.Предел sin(x) / x не равен sin(0) / 0 , потому что sin(x) / x прерывается в 0. Для нерасширенного деления это потому, что sin(0) / 0 не определено, а для нашего расширенного деления это точечный разрыв. Как ни странно, если вместо этого мы выберем x/0 = 1 , тогда sin(x) / x будет непрерывным повсюду.

Еще несколько человек выдвинули предельные аргументы, но все они решаются одинаково.

Это противно.

Не спорю.

Обновление от 23.10.19

Мне сообщили, что Пони теперь поддерживает частичное деление.

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *