Состав чисел таблица: Таблица-тренажер. Сложение и вычитание. Типы примеров. Состав числа — Бураков Н. | Купить книгу с доставкой

Содержание

Натуральные числа. Ряд натуральных чисел. Натуральные числа

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям над натуральными числами (операциям в результате, которых получается натуральных чисел) относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение
  • Умножение
  • Возведение в степень ab, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель – натуральные числа, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как их результат не всегда будет натуральным числом.

  • Вычитание (При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого)
  • Деление

Сколько нулей в числе

Узнать количество нулей, и сколько десятков, сотен, тысяч, миллионов, миллиардов, триллионов содержится в любом числе.
Сколько нулей в числе

Повторяем состав чисел

Сова: Хорошо. Посмотрим, как ребята помнят состав чисел. Что такое состав чисел? Правильно. Это два числа, из которых состоит каждое число. А зачем нам нужно знать состав чисел? Чтобы быстро считать удобным способом.

Давайте вспомним, как мы это делали во втором классе. Например, нам нужно найти сумму чисел 23 и 50. Что мы с вами будем делать? Разложим число 27 на два слагаемых: 20 и 7. Теперь нам легче будет сложить десятки и к полученной сумме прибавить три единицы.

Вспомнили? Решите несколько примеров, используя свои знания о составе чисел.

Сова : Молодцы, ребята! О, черепашке Маше уже не терпится решать с вами задачи. Что ты ребятам сегодня приготовила?

Геометрические фигуры и задачи

Кошка Алиса: Мур, мур! Да, я люблю рисовать различные геометрические фигуры. А ребята помнят геометрические фигуры?

Назовите все геометрические фигуры, которые видите.

Сова: Ну что скажешь, Алиса, знают ребята геометрические фигуры?

Алиса :Мур, мур, знают. А вот,помнят они, как чертить отрезки, делить их и обозначать буквами?

Сова: А ты проверь. Дай им задачу и посмотри, помнят или забыли за лето?

Алиса: Хорошо. Вот вам геометрическая задача.

Начертите в тетради отрезок АВ длиной 1 дм 2 см. Разделите его точками на три равные части. Обозначьте буквами отмеченные точки. Запишите все полученные отрезки.

Ответ : АС, СD, DB..

Поверья разных народов

У различных древних народов есть дополнительные правила трактовки чисел. Одни уверенны, что счастливым знаком являются только нечетные. Мудрецы Востока считают девятку предвестником неудачи. Она предупреждает об изменениях в жизни, как о положительных, так и о негативных.

Считается, что гадание на время на часах предупреждает о недругах, если человеку постоянно попадаются четные комбинации. Избежать неприятностей можно, если снизить активность, занять выжидательную позицию.

Магия чисел

Каждый человек, как всем известно, является любопытным от природы существом, особенно если речь идет про его будущее. Даже те люди, которые не воспринимают эзотерику всерьез, все равно иногда невольно прислушиваются к ней. Особо восприимчивыми к таким практикам являются те люди, у которых в жизни появились некоторые проблемы.

С начала нашего рождения числа следуют за нами по пятам. Вы наверняка знаете, что дата рождения, количество букв в имени и фамилии человека имеют большое влияние на судьбу младенца. Это всё есть знаки судьбы, которые предсказывают наше будущее либо предупреждают о предстоящих опасностях.

Изучение чисел от 1 до 100

Это табличка для изучения чисел от 1 до 100. Пособие подходящее для детей старше 4 лет.
Те, кто знаком с Монтесори обучением, наверно уже такую табличку видел. У нее есть много приложений и сейчас мы с ними познакомимся.
Ребенок должен отлично знать числа до 10, прежде начать работу с таблицей, так как счет до 10 лежит в основе обучения чисел до 100 и выше.
При помощи этой таблице, ребенок выучит имена чисел до 100; считать до 100; последовательность чисел. Можно так же тренироватся считать через 2, 3, 5, и т.д.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

Название
класса
МиллиардыМиллионыТысячиЕдиницы
Название разрядаСотни миллиардовДесятки миллиардовМиллиардыСотни миллионовДесятки миллионовМиллионыСотни тысячДесятки тысячТысячиСотниДесяткиЕдиницы
Цифра
(символ)
783502197048

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы: 783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч 48.

Запомните!

Любое натуральное число можно записать в виде разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

  • 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
  • 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
  • 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого 100 нулей.

Подготовка к гаданию

Сперва вы должны решить, на кого станете гадать. Вам нужно будет представить человека в мельчайших подробностях, таких как его лицо, привычки, внешность и т. д. Проведите глубокую концентрацию на своём запросе, глубоко осознайте что вас именно интересует.

Для гадания «Сотня» вам понадобится: листок бумаги (чистый), а также пишущее средство. На листке заполняем в любом порядке цифры от 1 до 100 (цифры с нулями, как и нули, ставить не надо, а если хотите поставить цифру 30, вписываете число 3).

Прежде чем начать гадать, нужно обязательно поверить в эту практику, и тогда она приоткроет завесу в будущее.

Ряд первый заполняйте так, как вам вздумается. Доверьтесь своей судьбе и пишите любое количество цифр. В последующих рядах их должно быть то же количество символов, ни больше ни меньше. Внизу вы обязательно должны указать день, месяц, год, а также точное время ритуала.

Таблица квадратов

02=0

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

102=100

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

19

2=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

262=676

272=729

282=784

292=841

302=900

312=961

322=1024

332=1089

342=1156

352=1225

362=1296

372=1369

382=1444

392=1521

402=1600

412=1681

422=1764

432=1849

442=1936

452=2025

462=2116

472=2209

482=2304

492=2401

502=2500

512=2601

522=2704

532=2809

542=2916

552=3025

562=3136

572=3249

582=3364

592=3481

602=3600

612=3721

622=3844

632=3969

642=4096

652=4225

662=4356

672=4489

682=4624

692=4761

702=4900

712=5041

722=5184

732=5329

742=5476

752=5625

762=5776

772=5929

782=6084

792=6241

802=6400

812=6561

822=6724

832=6889

842=7056

852=7225

862=7396

872=7569

882=7744

892=7921

902=8100

912=8281

922=8464

932=8649

942=8836

952=9025

962=9216

972=9409

982=9604

992=9801

Случайное | рандомное число онлайн в 1 клик

Числа окружают нас с самого рождения и играют важную роль в жизни. У многих людей сама работа связана с числами, кто-то полагается на удачу, заполняя числами лотерейные билеты, а кто-то придает им и вовсе мистическое значение. Так или иначе, иногда нам не обойтись без того, чтобы воспользоваться такой программой, как генератор рандомных чисел.

К примеру, вам необходимо организовать розыгрыш призов среди подписчиков вашей группы. Быстро и честно выбрать призеров и поможет наш генератор случайных чисел онлайн. Вам просто нужно, например, задать нужное количество рандомных чисел (по числу призеров) и максимальный диапазон (по числу участников, если им присвоены номера). Подтасовка в таком случае полностью исключается.

Эта программа может также послужить как генератор случайных чисел для лото. К примеру, вы купили билет и хотите полностью полагаться на случайность и удачу в выборе чисел. Тогда наш рандомайзер чисел поможет заполнить ваш лотерейный билет.

Натуральный ряд.

Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Свойства натурального ряда:

  • Наименьшее натуральное число – единица.
  • У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
  • Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.

Пример №1:
Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5

Пример №2:
Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.

Пример №3:
Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.

Пример №4:
Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.

Пример №5:
У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.

Пример №6:
Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.

Пример №7:
Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.

Пример №8:
Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.

Пример №9:
Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.

Таблица натуральных чисел

Таблица натуральных чисел от 1 (одного) до 120 (ста двадцати) представляет собой последовательность целых положительных чисел, которые в математике принято называть натуральными числами. Здесь вы можете скачать таблицу натуральных чисел бесплатно. В таблице представлен натуральный ряд чисел от 1 (единицы) до 120 (ста двадцати).

В таблице наглядно представлена последовательность натуральных чисел, образующих натуральный ряд чисел. Эту таблицу смело можно назвать Периодическая Система Натуральных Чисел Николая Хижняка))) Или периодическая таблица чисел натурального ряда – это уже не я придумал, это такой красивый поисковый запрос кто-то задал. По аналогии с периодической системой химических элементов. Почему мой ряд натуральных чисел заканчивается на числе 120? Просто мне было лень писать дальше. Если вам жизненно необходима таблица натуральных чисел больших размеров (ну, там, диванчик застелить), пишите в комментах заказ с размерами – выполню непременно. Первой блондинке – бесплатно)))
Таблица натуральных чисел поможет вам мастерски определять количество различных цифр в натуральных числах и удовлетворять другие математические нужды. Таблица натуральных чисел разработана в секретных лабораториях внеземных цивилизаций специально для блондинок, на случай жестоких допросов инквизиторами от математики))) В настоящее время рассматривается вопрос создания таблицы натуральных чисел для скачивания на мобильные телефоны (такой себе математический бронежилетик).
Когда числа путают с цифрами:
Скачать таблицу цифр от 1 до 20 – только здесь представлена таблица натуральных чисел, а не цифр. Циферок всего десять.
Цифры от 1 до 100 – штучки от 1 до 100 называются числами, ведь само число 100 состоит из трех цифр – одна единичка 1 и два нолика 0 и 0.
Натуральные цифры – цифры бывают арабские, римские и другие, а вот натуральными бывают числа.
Цифра 100 – сто является числом и это число 100 состоит из трех цифр – одна единичка 1 и два нолика 0 и 0. Все вместе эти три цифры образуют число 100 – сто.

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например, число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99.

Определяем верные и неверные равенства

Сова : Продолжаем работать. Вспомним, что такое равенство и неравенство?

Равенство это когда левая часть выражения (примера) равна правой. Например, 12+4 = 16. В равенстве используют знак «=»

А неравенство – левая часть выражения больше или меньше правой. Например, 12+4 < 23. В неравенствах используют знаки < или >

Повторили? А теперь, закрепим. Вам нужно будет выписать только неверные неравенства.

Источники

  • https://ru.onlinemschool.com/math/library/numbers/integers/
  • https://www.calc.ru/Chisla-Naturalnyye-Chisla.html
  • https://100urokov.ru/predmety/urok-1-chisla-ot-1-do-100
  • https://maginarius.ru/gadaniya/gadanie-po-chasam.html
  • https://www.webarbeit.ru/2015/09/chisla-ot-0-do-100.html
  • http://math-prosto.ru/?page=pages/set-of-numbers/natural.php
  • https://doza.pro/art/math/algebra/table-squares
  • https://generator-online.com/numbers/
  • https://TutoMath.ru/5-klass/naturalnye-chisla.html
  • http://www.webstaratel.ru/2010/01/blog-post.html

Таблица сложения числа 3. Состав числа.

Математика урок №2 (3 четверть) дата: 10.01.15

Тема: Таблица сложения числа 3. Состав числа.

Цель: Составить таблицу прибавления и вычитания числа 3; продолжить работу по формированию умения решать задачи.

Задачи: Учить таблицу сложения и вычитания числа 3; развивать внимание, логическое мышление, смекалку; воспитывать умение слушать, усидчивость

Оборудование: Линейки – трафареты с геометрическими фигурами (у каждого ученика).

Листы бумаги (на каждую парту)

Ход урока:

1.Орг момент

— Тут затеи и задачи

Игры, шутки – всё для вас.

— Я желаю вам удачи

За работу, в добрый час.

2. Устный счёт.

1) Начнём урок с разминки: — Назовите третий день недели.

— Сколько хвостов у трёх котов?

— Что лишнее: треугольник, квадрат, число?

2) Повторим состав чисел 7,8,5,4.(ученики работают у доски).

Взаимопроверка.

Ответ ученика: Я написала состав числа 7. 7 это 4 да 3, …

3) Найдите закономерность и продолжите ряд чисел.

10,7,4,…

— Какое число надо записать?

— Как изменяются числа?

— В каком порядке записаны числа?

(в обратном порядке; в порядке уменьшения; в порядке убывания)

3. Сообщение темы и цели урока.

На доске висят таблицы сложения и вычитания чисел 1,2.

— Что это за столбики примеров?

— Как вы думаете, какой будет следующий столбик?

— Какая тема будет сегодня на уроке?

— Какую задачу поставим перед собой? Выберите нужное слово и продолжите фразу:

Составить… Познакомиться…

(Составить таблицу сложения и вычитания числа 3)

3.Работа над новым материалом. Составление таблицы.

— Как же составить эту таблицу? Какую закономерность использовать? Внимательно посмотрите на таблицы. С какого числа начнём? (ученики выходят к доске и по очереди записывают примеры на сложение и вычитание)

1+3=4 значит 4-3=1

2+3=5 5-3=2

… …

7+3=10 10-3=7

— Что мы составили?

— Давайте посмотрим: как в учебнике. С.112 №2 Правильно мы составили или нет?

4. Физкультминутка. – А теперь, ребята встали,

быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад.

Повернулись вправо, влево.

Тихо сели, вновь за дело.

Порешаем мы задачу, я желаю вам удачи!

5. Закрепление изученного.

1)Решение задач. С.114 № 2

— Прочитайте задачу № 2.

— Что известно в задаче?

— Что надо узнать?

— Каким способом вы хотите решить задачу? (рисунок, чертёж, краткая запись, предметные картинки). 4 ученика выходят к доске и выполняют задание каждый своим способом, объясняют решение. За правильное решение получают рыбку из бумаги.

2) физминутка.« Самолёт»

Руки ставим все взразлет –

Появился самолёт.

Мах крылом туда – сюда,

Делай «раз» и делай «два».

Раз и два, раз и два!

Руки в стороны держите,

Друг на друга посмотрите,

Раз и два, раз и два!

Опустили руки вниз,

И на место все садись!

3) Работа в парах.

-Сделать рисунки с помощью геометрических фигур.

Работу выполняют на большом листе бумаги. У каждой пары свои фигуры: 1 пара — ○, 2 пара — □, 3 пара — , и т.д.

Каждая пара рассказывает: — Какое было задание? Что нарисовали?

Остальные пары оценивают их работу.

4)решение примеров по вариантам. с. 114 №4

У доски 2 ученика:

10 – 3= 2 + 7 =

9 – 3= 3 + 7 =

7 – 7 = 8 – 2=

1 + 7 = 0 + 3=

5) математические гонки: с.115 №6 устно.

6. Подведение итогов урока.

— Мы поставили перед собой задачу: составить таблицы сложения и вычитания числа 3.

Справились ли с этой задачей?

— Трудно или легко вам было на уроке?

— Какое задание вам больше всего понравилось?

— Вы хорошо потрудились. Радовали своими ответами. Очень приятно учить таких умных детей.

7. Д.з.- с.114 №3

Урок 15. Составление и разучивание таблицы для случаев вида число + 6. Состав чисел 12, 13, 14.

Работа над новым материалом.

Сначала повторяют случаи вида число  + 5 (смотри указания к уроку 13).

Для подготовки к рассмотрению новых случаев сложения необходимо вспомнить состав числа 6 по табличке в учебнике. Затем разбирают новые случаи сложения. На этом уроке уже нет необходимости в применении наглядных пособий. Для объяснения дети используют иллюстрацию, данную в учебнике, и развернутую запись решения примеров (8 + 6, 7 + 6, 6 + 6). Объяснение дети дают сами. Объяснение к примерам с развернутой записью (8 + 6, 7 + 6, 6 + 6) можно дать еще более свернутым. Например, к примеру 8 + 6 объяснение будет следующим. К 8 прибавлю 2, получится 10, и к 10 прибавлю 4, получится 14. Поучается 8 + 6 = 14. После этого проводят работу над примерами в рамке (указания к уроку 12). При записи в тетради примеры лучше расположить в два столбика.

Работа над составом чисел. Для усвоения состава числа 11 следует использовать кружки, вставленные в наборное полотно (10 — в верхнем ряду и 1 — в нижнем). Важно рассмотреть все случаи, получающиеся при последовательном перекладывании по одному кружку из верхнего ряда в нижний ряд (10 и 1, 9 и 2 и так далее). Состав числа 11 можно рассматривать и перекладывая кружки мысленно, но если детям будет трудно, то тогда следует перейти к практическим действиям с кружками.

Затем провести работу по закреплению знания состава чисел 12, 13, 14 (упражнение 6).

Работа над пройденным материалом.

1. Устные упражнения.

1) Назвать «соседей» числа 15 (18, 12).

2) Увеличить следующие числа на 5: 1,3, 5, 6.

3) Уменьшить следующие числа на 4: 8, 10, 9, 14.

4) Сравнить верхнее число с записанным под ним и показать ответ с помощью карточки с цифрой. На доске запись:

7  6  5  8  12
4  3  0  7  10

5) Угадать пример, записанный на карточке, если известно, что это пример на сложение двух чисел и ответ равен 10.

2. Составление и устное решение задач (упражнение 2). Если дети составят задачи только одного вида (на нахождение остатка), можно предложить им составить задачу с вопросом «На сколько больше…» или задачу, в которой есть слово «меньше».

3. Составление примеров. По упражнению 5 может быть проведена игра-соревнование Кто составит больше примеров? Примеры могут составляться как на сложение, так и на вычитание.

Для самостоятельной работы предложить упражнения 1, 3, 4. При выполнении упражнения 3 дети составляют задачу коллективно. Решение записывают в тетрадь самостоятельно.

Под руководством учителя ученики дополняют вопрос задачи из упражнения 4. Нужно проследить за тем, чтобы он был таков: Сколько страниц в другой книге?», а не «Сколько страниц в двух книгах?

Педагогическая технология изучения чисел второго десятка. Автор к.п.н. Петкевич Н.В.

Согласно требованием программы к концу второго класса должны быть сформированы вычислительные навыки табличных случаев сложения и вычитания однозначных чисел.         

 Комплексное использование демонстрационных  и индивидуальных  наглядных  пособий обеспечит достижение положительного результата с наименьшими затратами сил и времени как учителя, так и ученика, что является необходимым условием здоровьесберегающих педтехнологий.

   Использование пособий в определенной последовательности обеспечивает этапы усвоения  информации по формированию понятия о сложении однозначных чисел с переходом через десяток и вычислительных навыков, путем  построения предметных (рисунки овощей), графических (кружочки) и знаковых (цифры) моделей.

   Благодаря  демонстрационным  пособиям с подвижными деталями учащиеся имеют возможность увидеть в динамике  формируемые понятия и действия сложение и вычитание, а при наличии у детей комплектов индивидуальных наглядных пособий «Математика от 1 до 20. Суперпапка» выполнить эти же действия самим.

    Большинство из представленных ранее пособий используется и для изучения чисел второго десятка. Это обеспечивает преемственность в предъявлении содержания учебного материала от простого к сложному и преемственность в последовательности выполнения учебных действий. Ориентиром в этой работе выступит последовательность использования наглядности. 

 Алгоритм изучения чисел второго десятка 

 I. Образование чисел от 11 до 20 

 1. Предъявление образа чисел. Работа с таблицами из демонстрационных наглядных пособий«Сказочный счет». 

 2. Образование чисел из одного десятка и нескольких единиц. Работа со второй частью демонстрационного и индивидуального наглядного пособия «Линейка «Счет от 1 до 20». 

 3. Построение предметной модели чисел при помощи «Абака». 

4. Построение графической, цветовой и знаковой модели чисел с использованием «Компьютера». 

 II. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток 

 1. Построение предметной модели задачи при помощи «Абака». 

2. Построение ее графической, цветовой и знаковой модели с использованием «Компьютера» и ее преобразование, создание проблемной ситуации. 

 3. Построение знаковой модели при помощи «Линейки «Счет от 1 до 20». Запись на доске. 

 III. Состав чисел II десятка 

 1. Построение графической, цветовой и числовой модели состава чисел. Работа с демонстрационным и индивидуальным пособием «Компьютер». 

 2. Закрепление знаний. Самостоятельная работа в тетради. 

 3. Применение полученных знаний на новых информационных полях и в новых ситуациях. Работа с демонстрационными пособиями «Радужная горка» и «Числовая горка». 

 4. Взаимопроверка знаний. Работа «в паре» с индивидуальными пособиями «Радужная горка», «Числовая горка», «Столбик таблицы сложения однозначных чисел». 

 5. Проверка знаний учителем. Работа с «Цветовыми сигнальными карточками» и «Цветовой сигнальной лентой».  

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЕЛ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА 

I. Образование числа 11

 1 . Предъявление образа числа 11. Работа с таблицами из «Сказочного счета».


                  а)                                    б)               Рис. 1

Иллюстрации к сказкам «Про Козленка, который умел считать до десяти» и «Красная шапочка». Образование числа 11. 

Рис. 1 а подсказывает название числа – одиннадцать (дцать – это сокращенное десять), а рис. 1 б, как его образовать. Дети находят число 11 на корпусе парусника и его модель в «Радужной горке» (нижний ряд 1 десяток и 1 белый с точкой шарик вверху). 

Аналогично происходит знакомство с числами 12, 13…19. 

2. Образование числа 11. 

Работа со второй частью «Линейки «Счет от 1 до 20». Сначала учитель, а затем учащиеся устанавливают окошко на своих линейках, как показано на рис. 2, и видят, что если к 10 прибавить 1, получается 11. 

Рис. 2. 

Линейка «Счет от 1 до 20» II ч. Модель числа 11. 

3. Построение предметной модели числа 11 при помощи «Абака» (рис. 3). 

По картинкам составляется задача: «В вазе лежало 10 яблок. В нее положили 1 грушу. Сколько фруктов стало в вазе?». Дети хором: 10 + 1 = 11(фр.). 

                                                                      Рис. 3. «Абак». Модель задачи. 

4. Построение графической, цветовой и знаковой модели числа 11 с использованием «Компьютера». 

Учащиеся, проговаривая, строят модель этой задачи при помощи «Компьютера» (рис. 4). 

Рис. 4. «Компьютер». Модель задачи. 

Таким образом, в процессе работы с наглядными пособиями ученики знакомятся с десятичным составом чисел от 11 до 19. 

II. Сложение однозначных чисел с 

переходом через десяток 

1. Построение предметной модели задачи при помощи «Абака». 

Чтобы не допустить «отлета математики от действительности» и обеспечить мотивацию путем распознавания в повседневной жизни проблем, требующих практического применения математических знаний, начнем работу с решения задачи. Например. Задача: «Хозяйка купила 7 помидоров и 5 огурцов. Сколько всего овощей купила хозяйка?» Условие задачи моделируется при помощи «Абака» (рис. 5). 

                                                    Рис. 5. «Абак». Предметная модель задачи. 

2. Построение ее графической, цветовой и знаковой модели с использованием «Компьютера» и ее преобразование, создание проблемной ситуации. 

Учитель предлагает учащимся построить модель условия задачи при помощи полосок из персонального «Компьютера» (рис. 6, а). «Сколько овощей купила хозяйка?» – спрашивает он. Учащиеся затрудняются дать ответ сразу. Кто-то пересчитывает все овощи, кто-то присчитывает к 7 кружочкам 5 по одному.

 

           а)                                     б)                                в)              

Рис. 6  (а, б, в,) «Компьютер». Построение и преобразование модели задачи. 

Учитель создает условие для выполнения вычислений более рациональным способом. Он хочет поставить полоску с 5 кружочками в верхний карман «Компьютера» Она не входит, поэтому она накладывается на него. Учитель спрашивает: «Что можно сделать с числом 5, чтобы разместить в «Компьютере»?

 И дети предлагают заменить его двумя полосками с 3 и 2 кружочками. Учитель ставит в верхний карман полоску с 3 кружочками, а в нижний – с 2 (рис. 6, в). 

– Сколько овощей купила хозяйка? (12) 

– Что мы сделали со II слагаемым? 

– Заменили числами 3 и 2. Учитель обобщает: «Мы заменили II слагаемое – 5 суммой удобных слагаемых 3 и 2, чтобы 7 дополнить до 10, и прибавили 2. 

Учащиеся моделируют эту же задачу на своих «Компьютерах» с проговариванием. 

3. Построение знаковой модели при помощи «Линейки «Счет от 1 до 20». 

Учитель на демонстрационном пособии «Линейка «Счет от 1 до 20» строит знаковую модель задачи (рис. 7). 

                                                            Рис. 7. «Линейка «Счет от 1 до 20». 

Знаковая модель задачи. Учащиеся строят эту же модель при помощи индивидуальных «Линеек «Счет от 1 до 20», сопровождая свои действия рассуждениями (хором): «Чтобы к 7 прибавить 5, надо к 7 прибавить 3, получится 10, (на линейке дана подсказка – удобное слагаемое 3), и к 10 прибавить 2, получится 12. Действия и рассуждения детей письменно оформляются на доске и в тетрадях в виде развернутой записи: 

7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 12 

Таким образом, при последовательном использовании комплекса наглядных пособий формируется понятие о сложении однозначных чисел с переходом через десяток. 

При формировании вычислительного навыка мы должны стремиться к свертыванию информации, т.е. избавиться от промежуточного результата 10, ибо он тормозит процесс вычислений. Поэтому фундаментом вычислительных навыков при сложении и вычитании однозначных чисел с переходом через десяток является знание состава чисел 11,12,…,18. 

Алгоритм изучение состава чисел рассмотрим на примере числа 11. 

III. Состав числа 11 

1. Построение графической, цветовой и числовой модели состава числа 11.

 Работа с демонстрационным и индивидуальным пособием «Компьютер». Для ограничения 10 кружков на доске нужно провести вертикальную линию, а на парту положить лист бумаги, ограничивающий десяток. В процессе совместной учебной деятельности строится модель числа 11. Учитель прикрепляет полоски при помощи магнитов и рядом записывает равенства, учащиеся размещают полоски на парте (рис. 8). 

                    Рис. 8. Развернутые модели состава числа 11. 

Построение данных моделей позволяет за счет цвета и графики ярко и четко предъявить информацию и обеспечить переход от конкретного – к абстрактному. 

2. Закрепление знаний. Самостоятельная работа в тетради. 

Учащиеся в тетрадях по клеточкам вычерчивают карандашом модели числа 11 (рис. 9). 

Рис. 9. Запись в тетради. 

Эта работа дает возможность акцентировать внимание на том, что I слагаемые уменьшаются на 1, а II — увеличиваются на 1, а сумма остается без изменения, и многократно повторить систематизированную информацию, что является необходимым условием запоминания таблицы сложения. 

Полностью таблица представлена как справочный материал на правом клапане «Суперпапки». 

Для закрепления состава числа 11 можно составить целую серию задач с использованием таблиц «Сказочный счет». Например. «В гости к героям сказки «Волк и семеро козлят» пришли герои сказки «Сестрица Аленушка и братец Иванушка». Сколько стало героев сказок?» (9 + 2 = 11) и т. д. 

3. Применение полученных знаний на новых информационных полях и в новых ситуациях. Работа с демонстрационными пособиями «Радужная горка» и «Числовая горка». 

На иллюстрации к сказке «Про Козленка, который умел считать до десяти» из комплекта «Сказочный счет» изображен парусник, на парусе которого шариками представлены числа от 1 до 10, а на корпусе – числа от 11 до 20. 

Данную информацию можно использовать для закрепления знания состава числа. Работая в паре у доски, учащиеся устанавливают соответствие между а) парами шариков на парусе и числом 11 на корпусе парусника; б) парами шариков на парусе и парами чисел, составляющими число 11 в вертикальном столбике «Числовой горки». 

Обращается внимание на то, что из всех чисел, расположенных между 1 и 10, объединив их в пары, можно получить число 11. Эту зависимость дети видели при изучении состава чисел первого десятка. 

                                                                                        Рис. 10.  

На данном этапе было бы очень полезно составить задачи по моделям. Во-первых, мы замедлим темп урока, чтобы никто не отстал на самом важном этапе, а во-вторых, подключим воображение, фантазию, усилим ассоциативные связи.

 Например. 

1) В одной коробке лежало 9 простых карандашей, а в другой – 2 красных. Сколько карандашей в двух коробках? 

2) Для приготовления баклажанной икры повар взял 8 баклажанов и 3 помидора. Сколько всего овощей пошло на баклажанную икру? 

3) Для приготовления компота мама взяла 7 синих слив и 4 желтых. Сколько всего слив пошло на компот? 

4. Взаимопроверка знаний. Работа в парах. 

Учащиеся раскрывают «Суперпапку» и кладут ее на парту так, чтобы сверху были обе горки и клапан с таблицей сложения (рис. 11). 

Рис.11

1) Один ученик показывает кружочки: 9 серых и 2 красных кружочков, а другой – числа: 9 в сером квадрате и 2 в красном; 8 и 3 и т.д. Модели показываются сначала по порядку, а затем вперемешку. Проверяются по столбику выражений на клапане. Таким образом, они знакомятся с местом расположения данного столбика в системе знаний (рис. 10). Далее закрепление состава числа 11, обеспечивается переходом от абстрактного к конкретному, то есть от знаковой модели к предметной. 

2) Один ученик показывает — 9 + 2, а другой – 9 серых шариков и 2 красных и т.д. 

3) Один показывает на корпусе лодки число 11, а другой – на парусе 8 фиолетовых кружочков и 3 желтых и т.д. 

5. Проверка знаний учителем. Игра «Сигнальщики». 

На доске вывешивается «Цветовая сигнальная лента», в которой цвета радуги расположены по порядку, и рядом записываются соответствующие им числа, из которых можно составить число 11 – это 2, 3….9. 

Учитель, например, показывает число 8 или фиолетовый цвет на ленте, а учащиеся – оранжевую карточку (3). 

Итак, вся предыдущая работа была направлена на понимание и запоминание столбика таблицы сложения однозначных чисел с ответом 11, который является подсистемой в системе знаний. 

Работа над составом чисел 12, 13….18 проводится аналогично. 

Для проверки всей таблицы вывешивается «Цветовая сигнальная лента», в которой цвета радуги перемешаны, и рядом записываются по порядку числа 11, 12….18. 

Учитель, например, называет выражение 5 + 9 (или показывает зеленую и серую карточку из веера). 

Учащиеся видят, что число 14 написано рядом, например, с красным цветом и показывают красную карточку. (Цвет значения не имеет, он служит для обратной связи). 

Можно придумать много других игр и заданий. 

С огромным удовольствием дети работают с «Телефоном – справочником». Он же является самоучителем. 

При помощи «Квадрата с уголком», благодаря подвижной детали, можно построить всю таблицу сложения и вычитания. Многочисленные варианты работы с каждым пособием, входящим в комплект, описаны в методических рекомендациях. 

Эти учебно-наглядные пособия могут использоваться на всех этапах урока, в разных сочетаниях с другими средствами обучения, в том числе, и с учебником. Причем, детям предоставляется право выбирать наглядное пособие, при помощи которого можно выполнить то или иное задание из него. 

В начало статьи

Наглядные пособия

Главная

«Таблица сложения. Состав чисел 12, 13»

Цели урока:

  1. Закрепить знание состава чисел 12, 13.

  2. Уточнить и обобщить геометрические представления, полученные за период обучения.
  3. Продолжить работу над упорядочиванием данных рисунков и созданием сюжета, включающего математические отношения.
  4. Развивать мыслительные операции и психические процессы, пытливость ума.
  5. Воспитывать интерес к предмету, уважение к друг другу.
  6. Оборудование урока:

    • рисунки героев мультфильма
    • образцы написания цифр
    • набор геометрических фигур
    • карточки со словами
    • набор сюжетных картинок

    I. Организационный момент

    — Сегодня на уроке мы продолжим работу над составом чисел 12, 13. Будем учиться составлять математические рассказы.

    II. Минутка чистописания

    — К нам на урок пришли герои мультфильма: попугай, удав, мартышка и слонёнок.

    — Как называется этот мультфильм?

    — Они писали числа 0, 12, 3, 13. Попугай не писал натуральные числа. Удав не писал двузначные числа. Число, которое писала Мартышка, больше числа, которое писал Слонёнок. Кто какое число писал?

    — Какие цифры использовали наши друзья для записи этих чисел? (0, 1, 2, 3)

    — Запишите эти цифры. (Учитель показывает образец написания этих цифр)

    — Какие двухзначные числа кроме 12 и 13 можно записать, используя эти цифры?

    — Запишите.

    — Подчеркните самое большое число в этом ряду.

    Запись в тетради: 10 11 20 22 23 30 32 33

    III. Повторение состава чисел 12, 13

    — Мартышка собрала бананы и решила поделиться со слоненком. Поможем мартышке разложить бананы по корзинкам.

    Дети выходят к доске, читают выражение, называют его значение и прикрепляют карточку к нужной корзинке. (Полученные равенства записываются в тетрадь)

    — Из каких слагаемых состоит число 12? 13?

    IV. Самостоятельная работа

    — Найдите значение разности, используя наши равенства.

    12 – 6 =     13 – 6 =

    13 – 7 =     12 – 8 =

    12 – 9 =     12 – 5 =

    Проверка: дети показывают ответ на “математических веерах”.

    — Подчеркните выражения, значение которых вы нашли при помощи одного и того же равенства.

    12 – 6 =6     13 – 6 =7

    13 – 7 =6     12 – 8 =4

    12 – 9 =3     12 – 5 =7

    V. Геометрический материал

    — Попугай начертил вот такие геометрические фигуры.

    — Как их назвать одним словом? (многоугольники)

    — Слоненок утверждает, что здесь есть лишняя фигура.

    — А вы как думаете? (Дети высказывают свои предположения и находят лишнюю фигуру-треугольник. Учитель убирает эту геометрическую фигуру)

    — А сейчас поставьте эти понятия в порядке от общего к частному.

    (На доске карточки со словами: прямоугольник, квадрат, многоугольник, четырёхугольник)

    Работа проводится коллективно с объяснением (многоугольник, четырёхугольник, прямоугольник, квадрат).

    VI. Развитие наблюдательности.

    Составление математических рассказов

    — А удав для вас приготовил загадку

    Мчится без оглядки,
    Лишь сверкают пятки.
    Мчится, что есть духа
    Хвост короче уха. (заяц)

    — Молодцы! Перед вами рисунки с зайчатами.

    — Какой рисунок из нижнего ряда нужно поставить первым? Объясните.

    — Составьте математический рассказ к трём верхним рисункам.

    (На полянке резвились 8 зайчат. Два зайчика решили убежать.)

    — Какой вопрос можно задать? (Сколько зайчиков осталось?)

    — Составьте из разрезных цифр на наборном полотне равенство, подходящее к этому рассказу. Покажите.

    Дети показывают равенство: 8 – 2 = 6

    — Почему выбрали действие вычитание?

    — Молодцы!

    VII. Итог урока.

    — Герои мультфильма довольны вашей работой. А что вы можете сказать о своей работе?

    — Что вам понравилось больше всего? Что запомнилось?

    — Наш урок подошёл к концу. Друзья прощаются с нами и говорят нам:

    (Переворачиваю картинки героев мультфильма. С обратной стороны каждого героя карточка со словом. Читаем: Математике учиться – всегда пригодится)

    Таблица сложения числа 2. Состав числа (1 класс)

    Краткосрочный план урок

    Учитель : Имашева Баян Жексенгалиевна Дата: 19.12. 2014

    Предмет: Математика Класс: 1 «В»

    Тема урока

    Таблица сложения числа 2. Состав числа

    Цели урока

    Учить детей решать примеры вида:закреплять навыки счёта учащихся; продолжать формировать умение измерять и сравнивать длину отрезков, чертить отрезки заданной длины. Развивать математическое мышление. Постепенно создавать интеллектуальную базу для успешного изучения математики путем создания проблемных ситуаций и использования разнообразных развивающих знаний. Воспитывать желание получать новые знания.

    Ресурсы

    Учебник Математика, 1 класс «Атамура -2012», логические задания,

    Ключевые идеи

    Учить работать в группе, сообща

    Ожидаемые результаты

    Умение учащихся вести счёт предметов, задавать вопросы по пройденному материалу, выполнять действия сложения, вставляя числа в пустые окошечки, определять количество треугольников в фигуре, устно составлять равенства.

    Этапы

    Время

    Действия учителя

    Действия ученика

    Задания

    Оценивание для обучения и оценивание обучения

    Мотивационный этап

    7мин

    — Ребята, прошу всех выйти на середину для выполнения разминки.

    Если любишь мир вокруг, делай так!

    Если рядом с тобой друг, делай так!

    Если дождик вдруг польется, делай так!

    Если мама улыбнется, делай так!

    — Выберите цветные картонки. А теперь переверните их. У кого шишки будут первая группа, у кого елочные шарики — вторая группа, у кого снежинки — будут третья группа.

    -Сегодня мы будем подниматься по Лестнице успеха. Наши дорогие гости будут следить, как мы поднимаемся по ней. Готовы? Чтобы подняться на первую ступеньку, мы должны повторить пройденный материал: 1 группа задает вопросы, 2 группа отвечает на вопросы, 3 группа говорит, правильно ответили или неправильно.

    Проверяется математическая речь учащихся, мышление, знание о составе чисел. Предложить аплодировать друг другу.

    (2 хлопка вперед)

    ( потопать 2 раза)

    (2 хлопка над головой)

    (одновременно похлопать над головой и потопать 2 раза)

    Повторяют пройденный материал, отвечая на вопросы.

    Организационный момент.

    Психологический настрой.

    Знание.

    «Слушающая тройка».

    Поощрение учителя

    Аплодируют друг другу

    Операционный этап

    15 мин

    — Вот и поднялись мы на первую ступеньку. Давайте посмотрим, что мы должны сделать, чтобы подняться на ступеньку выше.

    Предлагает устно составить равенство по картинке и схеме.

    — Что мы видим на картинке? Сколько синих фишек? Сколько красных фишек? Какое равенство можно составить? Назовите компоненты. Второе слагаемое 2. Значит сегодня тема нашего урока «Таблица сложения числа 2», т.е. все числа сегодня мы будем увеличивать на 2.

    — Отлично, ребята. Можем подняться на следующую ступеньку. Дальше, заполните таблицу следующим образом: верхние числа нужно поставить в пустое окошечко и выполнить сложение. А теперь прошу перейти к другим группам для проверки их задания и поставить плюсы по количеству их правильных ответов.

    — Ребята, пришло время отдохнуть. Встали на разминку.

    — Поднимаемся на ступеньку выше. Следующая ступенька:

    — Обратите внимание на задание номер 3 с учебника. Что там изображено? Сколько отрезков? Какого цвета отрезки?

    1 группа — начертить отрезок, который на 1 см короче самого длинного отрезка.

    2 группа — начертить отрезок, который на 1 см длиннее самого короткого отрезка.

    3 группа — найти сумму красного и синего отрезков.

    Проверить по слайду и поставить 1 балл, если правильно выполнили задание, если неправильно — балл не ставить.


    — Прежде чем подняться выше, решите логическое задание: Бабушка посадила в огороде кусты помидор, огурцов и капусты. Капусты было посажено больше чем помидор, а огурцов больше чем капусты. Что было посажено больше всего, а что меньше всего? Следующая ступенька: Вам предстоит определить количество треугольников в фигуре. Давайте проверим. Какую еще фигуру вы там видите?

    — Поднимаемся еще выше. А теперь устно составьте равенство с вычитаемым 2. Поаплодируйте друг другу. Вот и покорили мы высокую ступеньку Лестницы успеха. Желаю вам всегда достигать вершины успеха. Будьте всегда на высоте!

    Устно составляют равенства по картинке.

    Заполняют таблицу, затем проводят взаимооцевание.

    Проводят разминку, повторяя движения с видеоролика.

    Измеряют и чертят отрезки, проверяют по слайду, проводят самооценивание.

    Решают задачу на логику.

    Определяют количество треугольников в фигуре, выходят и показывают у доски.

    Устно составляют равенство с вычитанием.

    Понимание.

    Изучение нового материала.

    Применение.

    Работа с таблицей.

    «Диалог на стикерах»

    Физминутка.

    Показ видеоролика.

    Анализ.

    Работа с отрезками.

    Синтез.

    Творческое задание.

    Оценка.

    Оценивают работы других, ставят баллы.

    Самооценивание

    Аплодирование

    Рефлексия

    3 мин

    — Что мы сегодня делали на уроке? — На сколько мы увеличивали все числа?

    — Кто в вашей группе хорошо работал?

    — Прикрепите на елке стикеры красного цвета, если урок понравился, если не понравился — то стикер желтого цвета.

    — Молодцы, ребята! Всем спасибо за урок! (раздает значки — смайлики)

    Отвечают на вопросы

    Оценивают урок

    Рефлексия

    Рефлексия

    Что прошло удачно?

    Почему?

    Что не удалось?

    Почему?

    Как я буду решать трудности во время урока?

    Урок был насыщен, чувствовалось позитивное мышление и отношение к уроку.

    Ученики хорошо справились с логическим заданием, с определением суммы и разности отрезков,

    Ученики еще не привыкли работать с таблицей. Некоторые все еще стараются брать всю работу на себя.

    Побольше брать задания на логику, учить слушать друг друга, работать сообща.

    Урок математики в 1 классе «Сложение и соответствующие случаи состава чисел»

    Конспект урока по математике в 1 классе

    Тема урока: «Закрепление. Сложение и соответствующие случаи состава чисел».

    Цель урока: — закрепить знание таблицы для случаев +,-3;

    — закрепить соответствующие случаи состава чисел.

    — закрепить умение решать задачи;

    — формировать математическую речь;

    — прививать любовь к природе;

    Формируемые УУД:

    Познавательные: знание состава чисел, умение находить неизвестное слагаемое, умение записывать математические выражения.

    Коммуникативные: умение работать в парах, помогать друг другу, умение оценивать свою работу и работу товарищей.

    Регулятивные: умение планировать работу на уроке, соотносить результаты работы с целями и задачами урока.

    Личностные: умение высказывать предположения, выражать своё отношение к происходящему, аргументировать ответ

    Оборудование: Компьютер, учебники, карточки с заданиями Снежинки для поощрения учеников.

    Ход урока.

    1.Орг. момент

    Начинается урок. Рот закрыли на замок.

    Тихо сели, ноги вместе

    Книги, ручки — всё на месте.

    Руки замерли у всех.

    Будем думать, будем слушать

    И учится лучше всех!

    2. Актуализация темы и целей урока.

    3. Устный счёт.

    — присчитывание, отсчитывание по 3. Назвать числа (рисунок в учебнике)

    — на доске: 1,4,7,10. 10,7,4,1

    — как называются числа при сложении? (слагаемое, слагаемое, сумма)

    4. Работа с учебником.

    -прочитать математические выражения. Состав чисел.

    -записать в тетрадь (2,3 столбик)

    -стр 113 Состав чисел. Из каких слагаемых может состоять число?

    — Ребята, сегодня мы пойдём на экскурсию в лес, но она будет не простая, а математическая. По дороге мы будем решать примеры и задачи. Скажите, какие времена года вы знаете? (Лето, зима, весна, осень).

    — Какое время года сейчас? (Зима).

    — А что зимой происходит в природе? (Деревья засыпают, многие звери впадают в спячку, реки покрываются льдом).

    — Мы сейчас отправимся в зимний лес на математическую экскурсию, где нас ждёт много интересных встреч.( СЛАЙД №3)

    -дети выполняют задания (найти значения выражений. назвать состав чисел – устно)

    — поможем белочке собрать шишки в корзину.

    Физминутка.

    Раз, два, три, четыре, пять (Хлопки в ладоши)

    Начал заинька скакать. (Руки на пояс)

    Прыгать заинька горазд.

    Он подпрыгнет десять раз. (Прыжки)

    5.Решение задачи.

     

    Белка с рынка возвращалась И с лисою повстречалась

    — Что ты, белочка, несёшь? – Задала лиса вопрос.

    Я несу своим детишкам 2 ореха и 3 шишки.

    Ты лиса мне подскажи, Сколько будет 2 да 3.

    — Что мы знаем из условия задачи? Какой вопрос?

    -из чего состоит задача? (условие, вопрос)

    -поможем белочке решить задачу.

    -проверка по слайду. (СЛАЙД №4)

    — из каких частей состоит задач?

    Дети смотрят повторяют части задачи (СЛАЙД №6)

    УСЛОВИЕ_______________РЕШЕНИЕ______________ОТВЕТ

    ВОПРОС

    -Ребята, а что ещё запасает белочка на зиму? (Грибы)

    Ну а теперь составим задачу. ( Дети составляют задачу по рисунку на слайде).

    — Белка принесла в дупло 4 гриба, а потом ещё 3.Сколько грибов в дупле у белки?

    Сделаем рисунок к задаче, запишем решение и ответ.

    Один ученик выполняет задание у доски.

    6.Самостоятельная работа. Закрепление.

    В лесу произошло ЧП. Незадачливый математик – дятел решал примеры. А озорник ветер подул, и снежинки закрыли некоторые цифры и знаки. Расстроился дятел. Надо ему помочь (СЛАЙД №8)

    Дети работают по вариантам.

    3+6= 2 8=10

    -2=8 7-…=4

    8 3=5 6+3=

    -взаимопроверка. Работа в парах. Выборочная проверка тетрадей. Оценивание.

    7. Предварительный итог урока.

    Чему научились на уроке?

    — оцените свою работу (смайлик)

    8. Работа в тетрадях на печатной основе.

    — решение задач по рисунку.

    -записать решение, ответ.

    -вписать числа, чтобы выражения были верными. (самост. Взаимопроверка тетрадей) Оценивание.

    9. Обобщение. Итог урока. Рефлексия.

    — я знаю…

    -я умею…

    -мне понравилось…

    -я затруднился….

    Решение задач алгебраических структур по таблице композиций

    Задача-1:
    Положим G = { 1, ω, ω 2 } т. е. три корня из единицы и образуют конечную абелеву группу относительно умножения, также докажите это выписка по составной таблице.

    Объяснение:  
    Дано,  Set= G={1, ω, ω 2 } , операция = ‘*’  т.е. умножение.

    Чтобы доказать, что три корня из единицы образуют конечную абелеву группу, мы должны удовлетворять следующим пяти свойствам: свойству замыкания, свойству ассоциативности, свойству тождества, обратному свойству и коммутативному свойству.

    Примечание: ω 3 =1

    а=1, b=ω ∈ G ⇒ 1 * ( ω ) = ω = ω ∈ G

    Следовательно, свойство замыкания выполнено.

    2) Ассоциативное свойство –

     (a*b) *c = a*(b*c) ∀ a , b , c ∈ G
    Пусть a=1, b=ω и c=ω2
    Так,
    LHS = ( а * б ) * с
         = (1* ω ) *ω  2  = ω  3  =1
       
    RHS = а * ( б * с)
         = 1 * ( ω * ω  2  ) = ω  3  = 1
    
    Следовательно, RHS = LHS 

    Ассоциативное свойство также выполняется

    3) Свойство идентичности –

     a *e = a ∀ a ∈ G
    e=identity=1 (в случае умножения)
    1 е G
    Пусть а=1
    1*1= 1
    1 е G
    Свойство тождественности также выполняется.

    4) обратное свойство —

    номер

    1

    1/1 = 1

    Ω

    1 / ω = Ω 2 / ω .Ω 2 = Ω 2

    ω 2

    ω 2

    1 / ω 2 = Ω / ω 2 .Ω = Ω

    Здесь мы можем видеть, что обратная 1 равна 1, обратная ω равна ω2 и обратная ω2 равна ω .Эти обратные принадлежат множеству G.

    Итак, обратное свойство также выполняется.

    5) Переместительное свойство –

     a * b = b * a ∀ a , b ∈ G
    Пусть a=1, b=ω
    ЛШС = а * б
         = 1 * ω = ω
    RHS = б * а
         = ω *1= ω
    LSH=RHS 

    Коммутативное свойство также выполняется.

    Мы видим, что выполняются все пять свойств. Следовательно, три корня из единицы образуют конечную абелеву группу с операцией умножения.

     

    Формирование таблицы композиции:

    Шаг 1:  
    Запишите все элементы набора в строке и столбце и заданную операцию ( * ) в углу и умножьте элементы столбца на элемент строки один на один и запишите его в ряд, как показано на рисунке ниже.

    Шаг 2:
    После умножения каждого элемента столбца на элементы строки наша таблица составов будет выглядеть, как показано на рисунке ниже,

    Шаг 3:
    Мы знаем, что,  = 1 Итак, ω 4 = ω 3 .ω=1.ω=ω

    , поэтому наша таблица составов становится

    Шаг 4:
    Нахождение инверсии элементов.

    Нарисуйте горизонтальную и вертикальную линии от элементов идентичности в каждой строке, вертикальная линия представляет собой инверсию элементов строки, мы можем ясно видеть, что инверсия 1 равна 1, инверсия ω равна ω2, а инверсия ω2 равна ω.

    Шаг 5:  
    Удовлетворение свойствам абелевой группы из таблицы композиций

    1. Мы видим, что в таблице композиций все числа принадлежат множеству G, следовательно, свойство замыкания выполнено.
    2. Мы видим, что все числа в таблице составов принадлежат множеству G, следовательно, ассоциативное свойство выполняется.
    3. В таблице состава в каждой строке есть элемент идентичности 1, свойство идентичности выполнено.
    4. Мы видим, что обратное 1 равно 1, обратное ω равно ω 2 и обратное ω 2 равно ω.Все принадлежит множеству G, следовательно, обратное свойство также выполняется.
    5. Все числа в таблице составов принадлежат множеству G , также выполняется коммутативное свойство.

    Следовательно, G = { 1, ω, ω 2 } — абелева группа относительно умножения.

    Задача-2:
    Положим G = { 1, -1 , i , -i }, т. е. четыре корня из единицы, и образуют конечную абелеву группу относительно умножения.

    Объяснение:
    Четыре корня из единицы равны 1,-1,i,-i.Итак, наш набор будет G={ 1 , -1 , i , -i }

    Операция = ‘*’ т.е. умножение.

    Чтобы доказать, что четыре корня из единицы образуют конечную абелеву группу, мы должны удовлетворять следующим пяти свойствам: свойству замыкания, свойству ассоциативности, свойству тождества, обратному свойству и коммутативному свойству.

    1) Свойство замыкания –

     ∀ a , b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
    a=i, b= -i ∈ G
    ⇒ я * (-я) = -я  2  = - (-1)
       =1 ∈ G 

    Следовательно, свойство замыкания выполнено.

    2) Ассоциативное свойство –

     ( a * b ) * c = a * ( b * c) ∀ a , b , c ∈ G
    Пусть a=1, b=-1 и c=i
    Итак, LHS= (a * b)*c
               = (1 * (-1) ) * я = -я
        RHS= а * ( б * с)
               =1*(-1*я) =-я
    Следовательно, RHS = LHS 

    Ассоциативное свойство также выполняется

    3) Свойство идентичности –

     a *e = a ∀ a ∈ G
    e=identity=1 (в случае умножения)
    1 е G
    1*1= 1
    1 ∈ G 

    Свойство тождественности также выполняется.

    4) обратное свойство —

     a * (1 / a) = 1 ∀ a ∈ G, 1 / a ∈ G 

    i

    номер

    Inverse

    1

    1/1 = 1

    -1

    1 / -1 = -1

    1 / I = I / II = I / i 2 = -i

    -i

    1/-i = i/-i.i = i/-i 2 =i

    Здесь мы видим, что число, обратное 1, равно 1, число, обратное -1, равно 1, число, обратное числу i, равно -i, а значение, обратное числу -i, равно i. Эти обратные принадлежат множеству G.

    Итак, обратное свойство также выполняется.

    5) Переместительное свойство –

     a * b = b * a ∀ a , b ∈ G
    Пусть а=1, б=-1
    ЛШС = а * б
          = 1 * (-1) = -1
    RHS = б * а
          = 1* (-1)=-1
    LSH=RHS 

    Коммутативное свойство также выполняется.

    Мы видим, что выполняются все пять свойств.Следовательно, четыре корня из единицы образуют конечную абелеву группу с операцией умножения.

    Регистрация FATCA и список FFI: Информация о составе GIIN

    GIIN является аббревиатурой глобального идентификационного номера посредника. Система регистрации FATCA утверждает иностранные финансовые учреждения (FFI), филиалы финансовых учреждений (FI), нефинансовые иностранные организации с прямой отчетностью (NFFE), спонсирующие организации, спонсируемые организации и спонсируемые дочерние филиалы. Учреждения и организации, которым присвоен GIIN, могут использовать его, чтобы идентифицировать себя перед налоговыми агентами и налоговыми администраторами для целей отчетности FATCA.

    GIIN в формате XXXXXX.XXXXX.XX.XXX представляет собой 19-значный идентификационный номер, состоящий из нескольких идентификаторов. Эти символы никогда не будут содержать букву «О».

    Позиция Представление символов Длина Описание/Правила
    1-6 XXXXXX
    Идентификатор FATCA
    6

    Только цифры и прописные буквы

    Ведущее ФО, отдельное ФО или спонсирующая организация — то же, что и FATCA ID.

    Member FI — первые 6 символов идентификатора FATCA.

    Филиал FI — первые 6 символов идентификатора FATCA FI, связанного с филиалом.

    Спонсируемая организация или спонсируемый дочерний филиал — FATCA ID спонсирующей организации.

    7 Сепаратор 1 1 Период — .
    8-12 ХХХХХ
    Тип
    5

    Только цифры и прописные буквы

    Свинец FI- 00000

    Одноместный FI- 99999

    Спонсорская организация — 00000

    Участник FI — то же, что и последние 5 символов идентификатора FATCA участника

    .

    Филиал FI — такой же, как связанный с филиалом FI

    Спонсируемая организация — то же, что и последние 5 символов идентификатора спонсируемой организации

    Спонсируемое дочернее отделение — то же, что и ассоциированная спонсируемая организация филиала.

    13 Сепаратор 2 1 Период — .
    14-15 ХХ
    Код категории
    2

    Только прописные буквы

    Аббревиатура для типа FI, классификации спонсируемой организации или типа филиала:

    LE — поводок FI

    SL — одиночный FI

    МЭ — член ФИ

    BR — филиал FI

    SP – спонсирующая организация

    SF — спонсируемая организация, являющаяся спонсируемым фондом

    SD — спонсируемая организация, которая является спонсируемой NFFE с прямой отчетностью

    SS — спонсируемая организация, которая является спонсируемой дочерней компанией

    SB — филиал спонсируемой дочерней компании

    16 Сепаратор 3 1 Период — .
    17-19 XXX
    Идентификатор страны/юрисдикции
    3

    Только цифры

    ISO 3166-1 числовой стандартный код страны держателя GIIN. Примечание: 999 — код страны «Другое»

    Тестовые файлы, содержащие примеры GIIN, доступны на странице «Схема списка FFI и тестовые файлы».

    Исторические таблицы | Белый дом

    Перейти к этому разделу

    Выбирать Обзор в середине сессии Президентский бюджет Комната для брифингов Дискреционный запрос президента на 2022 финансовый год Аналитические перспективы Приложение к бюджету Бюллетени Закон о свободе информации (FOIA) Исторические таблицы Информация и руководство Информация и нормативные вопросы Законодательный Управление Управление Федерального финансового управления Отчеты PAYGO СИППРА Заявления о политике администрации Дополнительные материалы Дополнения, поправки и выпуски Племенная консультация

    Чтобы загрузить вводный текст и примечания к разделам исторических таблиц в формате PDF, нажмите здесь (24 страницы, 180 КБ)

    Электронные таблицы

    Чтобы загрузить все исторические таблицы в формате XLS в виде одного ZIP-файла, нажмите здесь (941 КБ)

    Таблица 1.1—Сводка поступлений, расходов и излишков или дефицита (-): 1789–2026
    Поступления, расходы и излишки или дефицит (-) в текущих долларах, постоянных (2012 финансовый год) долларах и в процентах от ВВП: 1940–2026
    Таблица 1.4 — Поступления, расходы и излишки или дефициты (-) по группам фондов: 1934–2026 гг.

    Таблица 2.1—Поступления по источникам: 1934–2026 гг.
    Таблица 2.2 — Процентная структура поступлений по источникам: 1934–2026 гг.
    Таблица 2.3 — Поступления по источникам в процентах от ВВП: 1934–2026 гг.
    Состав «Других поступлений»: 1940–2026

    Таблица 3.1—Расходы по надфункциям и функциям: 1940–2026 гг.
    Таблица 3.2—Расходы по функциям и подфункциям: 1962–2026 гг.

    Таблица 4.1 — Расходы по ведомствам: 1962–2026 гг.
    Таблица 4.2 — Процентное распределение расходов по ведомствам: 1962–2026 гг.

    Таблица 5.1 — Бюджетные полномочия по функциям и подфункциям: 1976–2026
    Таблица 5.2 — Бюджетные полномочия по ведомствам: 1976–2026
    Таблица 5.3 — Процентное распределение бюджетных полномочий по ведомствам: 1976–2026
    Таблица 5.4 — Дискреционные бюджетные полномочия по ведомствам: 1976 –2026
    Таблица 5.5 – Процентное распределение дискреционных бюджетных полномочий по агентствам: 1976–2026
    Таблица 5.6 – Бюджетные полномочия для дискреционных программ: 1976–2026

    Таблица 6.1—Состав расходов: 1940–2026 гг.

    Таблица 7.1—Федеральный долг на конец года: 1940–2026
    Таблица 7.2—Долг, на который распространяются установленные законом ограничения: 1940–2026 годы

    Таблица 8.1—Расходы по категориям Закона об исполнении бюджета: 1962–2026 90 005 2026
    Таблица 8.4—Расходы по категориям Закона об исполнении бюджета в процентах от ВВП: 1962–2026
    Таблица 8.5—Расходы на обязательные и сопутствующие программы: 1962–2026
    Таблица 8.6—Расходы на обязательные и сопутствующие программы в постоянных долларах (2012 финансовый год): 1962–2026
    Таблица 8.7—Расходы на дискреционные программы: 1962–2026
    Таблица 8.8—Расходы для дискреционных программ в постоянных долларах (2012 финансовый год): 1962–2026

    Таблица 9.1—Общие инвестиционные затраты на физический капитал, исследования и разработки, образование и обучение: 1962–2022
    3—Основные государственные инвестиции в физический капитал в процентном выражении: 1940–2022

    Таблица 9.6—Структура грантов на крупные государственные инвестиции в физический капитал: 1941–2022 гг.
    Таблица 9.7—Сводка расходов на проведение исследований и разработок: 1949–2022 гг. ВВП, а в постоянных (2012 финансовый год) долларах)
    Таблица 9.8—Состав расходов на проведение исследований и разработок: 1949–2022 гг.
    Таблица 9.9—Состав расходов на проведение образования и обучения: 1962–2022 гг.

    Таблица 10.1—Валовой внутренний продукт и дефляторы, использованные в исторических таблицах: 1940–2026 гг.

    Таблица 11.1—Сводное сравнение расходов на выплаты физическим лицам: 1940–2026 гг. (в текущих долларах, в процентах от общих расходов, в процентах от ВВП и в постоянных (2012 финансовый год) долларах)
    Таблица 11.2—Функциональный состав расходов на выплаты физическим лицам: 1940–2026 гг.
    Таблица 11.3—Расходы на выплаты физическим лицам по категориям и основным программам: 1940–2026 гг.

    Таблица 12.1—Сводное сравнение общих расходов на гранты штатам и органам местного самоуправления: 1940–2026 гг. (в текущих долларах, в процентах от общих расходов, в процентах от ВВП и в постоянных (2012 финансовый год) долларах)
    Таблица 12.2—Общие расходы на гранты государственным и местным органам власти по функциям и группам фондов: 1940–2026
    Таблица 12.3—Общие расходы на гранты штатам и местным органам власти по функциям, агентствам и программам: 1940–2022 гг.

    Таблица 13.1—Денежные доходы, расходы и остатки трастовых фондов социального обеспечения и медицинской помощи: 1936–2026 гг.

    Таблица 14.1 — Общие государственные поступления в абсолютных суммах и в процентах от ВВП: 1948–2020
    Таблица 14.2 — Общие государственные расходы: 1948–2020
    Расходы по основным категориям расходов: 1948–2020 гг.
    Таблица 14.5 — Общие государственные расходы по основным категориям расходов в процентах от ВВП: 1948–2020 гг.

    Таблица 15.1—Общие расходы на программы здравоохранения: 1962–2026 гг.

    Таблица 16.1—Общее количество сотрудников исполнительной власти в эквиваленте полной занятости (ЭПЗ), 1981–2022 гг.
    Таблица 16.2—Общее количество сотрудников исполнительной власти в эквиваленте полной занятости (ЭПЗ), 1981–2022 гг.


    1.4 Композиция функций — предварительное исчисление

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Объединение функций с помощью алгебраических операций.
    • Создать новую функцию по композиции функций.
    • Вычисление составных функций.
    • Найдите область определения сложной функции.
    • Разложите составную функцию на составные функции.

    Предположим, мы хотим рассчитать, сколько стоит обогреть дом в определенный день в году.Стоимость отопления дома будет зависеть от среднесуточной температуры, а среднесуточная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, что мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.

    Используя описательные переменные, мы можем обозначить эти две функции. Функция C(T)C(T) дает стоимость CC отопления дома при заданной среднесуточной температуре в TT градусов Цельсия. Функция T(d)T(d) дает среднесуточную температуру в день dd года.Для любого заданного дня Cost=C(T(d))Cost=C(T(d)) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня года. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре T(d).T(d). Например, мы могли бы вычислить T(5)T(5) для определения средней дневной температуры на 5-й день года. Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали C(T(5)).C(T(5)).

    Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой посвящен этот раздел.

    Объединение функций с использованием алгебраических операций

    Композиция функций — это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ — выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как результат нашей новой функции.

    Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, представляющих отдельные годовые доходы мужа и жены за определенный период, и в результате получить их общий доход домохозяйства.Мы хотим сделать это для каждого года, добавив только доходы за этот год, а затем собрав все данные в новый столбец. Если w(y)w(y) — доход жены, а h(y)h(y) — доход мужа в году y, y, и мы хотим, чтобы TT представлял общий доход, то мы можем определить новую функцию.

    Т(у)=ч(у)+ш(у)Т(у)=ч(у)+ш(у)

    Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать

    Так же, как и для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одни и те же входные данные (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходных данных (которые должны быть числа, чтобы к ним можно было применить обычные алгебраические операции, и которые также должны иметь одинаковые единицы или не иметь единиц при сложении и вычитании).Таким образом, мы можем думать о сложении, вычитании, умножении и делении функций.

    Для двух функций f(x)f(x) и g(x)g(x) с вещественными выходами мы определяем новые функции f+g,f−g,fg,f+g,f−g,fg, и fgfg по соотношениям

    (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f−g)(x)=f(x)−g(x)     (fg)(x)=f(x)g(x )      (fg)(x)=f(x)g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f−g)(x)=f(x)−g( х)     (fg)(x)=f(x)g(x)      (fg)(x)=f(x)g(x)

    Пример 1

    Выполнение алгебраических операций над функциями

    Найдите и упростите функции (g−f)(x)(g−f)(x) и (gf)(x),(gf)(x), учитывая f(x)=x−1f(x)= x−1 и g(x)=x2−1.г(х)=х2-1. Это одна и та же функция?

    Решение

    Начните с написания общей формы, а затем замените заданные функции.

    (g−f)(x)=g(x)−f(x)(g−f)(x)=x2−1−(x−1)(g−f)(x)=x2−x(g −f)(x)=x(x−1)(gf)(x)=g(x)f(x)(gf)(x)=x2−1x−1(gf)(x)=(x+ 1)(x−1)x−1, где x≠1(gf)(x)=x+1(g−f)(x)=g(x)−f(x)(g−f)(x)= x2−1−(x−1)(g−f)(x)=x2−x(g−f)(x)=x(x−1)(gf)(x)=g(x)f(x )(gf)(x)=x2−1x−1(gf)(x)=(x+1)(x−1)x−1, где x≠1(gf)(x)=x+1

    Нет, функции не одинаковы.

    Примечание. Для (gf)(x),(gf)(x) условие x≠1x≠1 необходимо, поскольку при x=1,x=1 знаменатель равен 0, что делает функцию неопределенной.

    Попытайся #1

    Найдите и упростите функции (fg)(x)(fg)(x) и (f−g)(x).(f−g)(x).

    f(x)=x−1    и    g(x)=x2−1f(x)=x−1    и    g(x)=x2−1

    Это одна и та же функция?

    Создание функции путем композиции функций

    Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции путем составления функций. Когда мы хотели рассчитать стоимость отопления по дням в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных.Процесс объединения функций таким образом, что выход одной функции становится входом другой, известен как композиция функций . Полученная функция известна как составная функция . Обозначим эту комбинацию следующим обозначением:

    (f∘g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x))

    Мы читаем левую часть как «f»f, состоящую из gg в точке x «x», а правая часть как «f»f от gg of x.x». Две части уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны.Символ открытого круга ∘∘ называется оператором композиции. Мы используем этот оператор главным образом, когда хотим подчеркнуть отношения между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению. Композиция — это бинарная операция, которая берет две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение берет два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, поскольку, как мы узнали выше, в большинстве случаев f(g(x))≠f(x)g(x).f (г (х)) ≠ f (х) г (х).

    Также важно понимать порядок операций при вычислении составной функции. Мы следуем обычному соглашению со скобками, начиная с самых внутренних скобок, а затем переходя к внешним. В приведенном выше уравнении функция gg сначала принимает входные данные xx и дает выходные данные g(x).g(x). Тогда функция ff принимает g(x)g(x) в качестве входных данных и дает выход f(g(x)).f(g(x)).

    Вообще говоря, f∘gf∘g и g∘fg∘f — разные функции.Другими словами, во многих случаях f(g(x))≠g(f(x))f(g(x))≠g(f(x)) для всех x.x. Мы также увидим, что иногда две функции могут быть составлены только в одном определенном порядке.

    Например, если f(x)=x2f(x)=x2 и g(x)=x+2,g(x)=x+2, то

    f(g(x))=f(x+2)              = (x+2)2               =x2+4x+4f(g(x))=f(x+2)                = (x+2)2               = x2+ 4х+4

    но

    g(f(x))=g(x2)              =x2+2g(f(x))=g(x2)               =x2+2

    Эти выражения не равны для всех значений x,x, поэтому две функции не равны.Неважно, что выражения равны для единственного входного значения x=-12.x=-12.

    Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первой оцениваемой функции) должен находиться в пределах домена внешней функции. Менее формально, композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

    Состав функций

    Когда выход одной функции используется как вход другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любых входных данных xx и функций ff и g,g это действие определяет составную функцию, которую мы запишем как f∘gf∘g так, что

    (f∘g)(x)=f(g(x))(f∘g)(x)=f(g(x))

    Областью определения составной функции f∘gf∘g являются все xx, такие что xx находится в области определения gg, а g(x)g(x) находится в области определения f.f.

    Важно понимать, что произведение функций fgfg не совпадает с композицией функций f(g(x)),f(g(x)), потому что, вообще говоря, f(x)g(x)≠ f(g(x)).f(x)g(x)≠f(g(x)).

    Пример 2

    Определение того, является ли композиция функций коммутативной

    Используя предоставленные функции, найдите f(g(x))f(g(x)) и g(f(x)).г (f (х)). Определить, коммутативна ли композиция функций.

    f(x)=2x+1g(x)=3−xf(x)=2x+1g(x)=3−x
    Решение

    Начнем с замены g(x)g(x) на f(x).f(x).

    f(g(x))=2(3−x)+1              =6−2x+1               =7−2xf(g(x))=2(3−x)+1               =6−2x+1               =7− 2x

    Теперь мы можем заменить f(x)f(x) на g(x).g(x).

    g(f(x))=3−(2x+1)              =3−2x−1               = −2x+2g(f(x))=3−(2x+1)                =3−2x−1               = −2x+ 2

    Мы находим, что g(f(x))≠f(g(x)),g(f(x))≠f(g(x)), поэтому операция композиции функций не является коммутативной.

    Пример 3

    Интерпретация составных функций

    Функция c(s)c(s) дает количество калорий, сожженных при выполнении ss приседаний, а s(t)s(t) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за tt минут. Интерпретировать c(s(3)).c(s(3)).

    Решение

    Внутреннее выражение в композиции — s(3).s(3). Поскольку входными данными функции s является время, t=3t=3 представляет 3 минуты, а s(3)s(3) — количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

    Использование s(3)s(3) в качестве входных данных для функции c(s)c(s) дает нам количество калорий, сожженных во время количества приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество сожженных калорий за 3 минуты (при выполнении приседаний).

    Пример 4

    Исследование порядка функциональной композиции

    Предположим, что f(x)f(x) дает мили, которые можно проехать за xx часов, а g(y)g(y) дает количество галлонов бензина, израсходованных на yy миль. Какое из этих выражений имеет смысл: f(g(y))f(g(y)) или g(f(x))?g(f(x))?

    Решение

    Функция y=f(x)y=f(x) — это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству часов езды.

    количество миль = f (количество часов) количество миль = f (количество часов)

    Функция g(y)g(y) — это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:

    количество галлонов =g(количество миль)количество галлонов=g(количество миль)

    Выражение g(y)g(y) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных. Функция f(x)f(x) требует на входе количество часов. Попытка ввести количество галлонов не имеет смысла.Выражение f(g(y))f(g(y)) бессмысленно.

    Выражение f(x)f(x) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция g(y)g(y) требует количества миль в качестве входных данных. Использование f(x)f(x) (пройденных миль) в качестве входного значения для g(y),g(y), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение g(f(x))g(f(x)) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, g,g, проехав определенное количество миль, f(x),f(x) , через хх часов.

    вопросы и ответы

    Существуют ли какие-либо ситуации, когда f(g(y))f(g(y)) и g(f(x))g(f(x)) оба были бы значимыми или полезными выражениями?

    Да.Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они производят разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одни и те же единицы измерения, также могут давать композиции, значимые в любом порядке.

    Попытайся #2

    Сила гравитации на планете, находящейся на расстоянии r от Солнца, определяется функцией G(r).G(r). Ускорение планеты под действием любой силы FF определяется функцией a(F).а(Ф). Составьте осмысленную композицию из этих двух функций и объясните, что она означает.

    Оценка составных функций

    После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, мы должны иметь возможность оценить ее для любого ввода в ее области. Мы сделаем это с конкретными числовыми входными данными для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции в качестве ввода для внешней функции.

    Вычисление составных функций с использованием таблиц

    При работе с функциями, представленными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу. Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем выходные данные внутренней функции в качестве входных данных для внешней функции.

    Пример 5

    Использование таблицы для оценки составной функции

    Используя таблицу 1, оцените f(g(3))f(g(3)) и g(f(3)).г(ф(3)).

    хх ф(х)ф(х) г(х)г(х)
    1 6 3
    2 8 5
    3 3 2
    4 1 7

    Стол 1

    Решение

    Чтобы оценить f(g(3)),f(g(3)), мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы оцениваем внутреннее выражение g(3)g(3), используя таблицу, определяющую функцию g:g: g(3)=2.g(3)=2. Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции f,f, поэтому g(3)g(3) заменяется на 2, и мы получаем f(2).f(2). Затем, используя таблицу, определяющую функцию f,f, находим, что f(2)=8.f(2)=8.

    g(3)=2f(g(3))=f(2)=8g(3)=2f(g(3))=f(2)=8

    Для оценки g(f(3)),g( f(3)), мы сначала оцениваем внутреннее выражение f(3)f(3) с помощью первой таблицы: f(3)=3.f(3)=3. Тогда, используя таблицу для g, g, , мы можем оценить

    г (е (3)) = г (3) = 2г (е (3)) = г (3) = 2

    В таблице 2 составные функции f∘gf∘g и g∘fg∘f представлены в виде таблиц.

    хх г(х)г(х) е (г (х)) е (г (х)) ф(х)ф(х) г (ф (х)) г (ф (х))
    3 2 8 3 2

    Стол 2

    Попытайся #3

    Используя таблицу 1, оцените f(g(1))f(g(1)) и g(f(4)).g(f(4)).

    Оценка составных функций с использованием графиков

    Когда нам даны отдельные функции в виде графиков, процедура вычисления составных функций аналогична процессу, который мы используем для вычисления таблиц.Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз с осей x-x и y-y-графиков.

    Как

    Имея составную функцию и графики ее отдельных функций, оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.

    1. Найдите заданный вход внутренней функции на оси x-x ее графика.
    2. Считайте выходные данные внутренней функции по оси y-y ее графика.
    3. Найдите вывод внутренней функции на оси xx графика внешней функции.
    4. Считайте выходные данные внешней функции по оси y-y ее графика. Это результат составной функции.

    Пример 6

    Использование графика для оценки составной функции

    Используя рисунок 1, вычислите f(g(1)).f(g(1)).

    Фигура 1

    Решение

    Чтобы оценить f(g(1)),f(g(1)), мы начинаем с внутренней оценки. См. рис. 2.

    Фигура 2

    Мы оцениваем g(1)g(1), используя график g(x),g(x), находя вход 1 на оси х-х и находя выходное значение графика на этом входе.Здесь g(1)=3.g(1)=3. Мы используем это значение в качестве входных данных для функции f.f.

    Затем мы можем оценить составную функцию, взглянув на график f(x),f(x), найдя входное значение 3 на оси х-х и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь f(3)=6,f(3)=6, поэтому f(g(1))=6.f(g(1))=6.

    Анализ

    На рис. 3 показано, как мы можем отметить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения до выходного значения.

    Фигура 3

    Попытайся #4

    Используя рисунок 1, оцените g(f(2)).г(ф(2)).

    Вычисление составных функций с использованием формул

    При вычислении составной функции, где мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри наружу остается прежним. Входное значение для внешней функции будет выходом внутренней функции, которое может быть числовым значением, именем переменной или более сложным выражением.

    Хотя мы можем составить функции для каждого отдельного входного значения, иногда полезно найти единую формулу, которая будет вычислять результат композиции f(g(x)).е (г (х)). Для этого мы расширим наше представление об оценке функции. Вспомним, что когда мы вычисляем такую ​​функцию, как f(t)=t2−t,f(t)=t2−t, мы подставляем значение в скобках в формулу везде, где видим входную переменную.

    Как

    Дана формула сложной функции, вычислить функцию.

    1. Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
    2. Используйте полученные выходные данные в качестве входных данных для внешней функции.

    Пример 7

    Оценка композиции функций, выраженных в виде формул с числовым вводом

    Учитывая f(t)=t2−tf(t)=t2−t и h(x)=3x+2,h(x)=3x+2, вычислить f(h(1)).f(h(1 )).

    Решение

    Поскольку внутреннее выражение равно h(1),h(1), мы начнем с вычисления h(x)h(x) равным 1.

    ч(1)=3(1)+2ч(1)=5ч(1)=3(1)+2ч(1)=5

    Тогда f(h(1))=f(5),f(h(1))=f(5), поэтому мы оцениваем f(t)f(t) при входе 5.

    f(h(1))=f(5)f(h(1))=52−5f(h(1))=20f(h(1))=f(5)f(h(1))= 52−5f(ч(1))=20
    Анализ

    Не имеет значения, как назывались входные переменные tt и xx в этой задаче, потому что мы оценивали их для конкретных числовых значений.

    Попытайся #5

    Учитывая f(t)=t2−tf(t)=t2−t и h(x)=3x+2,h(x)=3x+2, вычислить

    1. ⓐ ч (е (2)) ч (е (2))
    2. ⓑ ч (е (-2)) ч (е (-2))

    Нахождение области определения составной функции

    Как мы обсуждали ранее, область определения составной функции, такой как f∘gf∘g, зависит от области определения gg и области определения f.f. Важно знать, когда мы можем применять составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения такой функции, как f∘g.ф∘г. Предположим, что мы знаем области определения функций ff и gg по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа xx как f(g(x)),f(g(x)), мы сразу увидим, что xx должен быть членом области определения gg, чтобы выражение было имеет смысл, потому что иначе мы не сможем завершить вычисление внутренней функции. Однако мы также видим, что g(x)g(x) должен быть членом области определения f,f, иначе второе вычисление функции в f(g(x))f(g(x)) не может быть завершено, и выражение по-прежнему не определено.Таким образом, домен f∘gf∘g состоит только из тех входов в домен gg, которые производят выходы из gg, принадлежащие домену f.f. Обратите внимание, что область определения ff, состоящая из gg, — это множество всех xx, таких, что xx находится в области определения gg, а g(x)g(x) — в области определения f.f.

    Область определения составной функции

    Область определения составной функции f(g(x))f(g(x)) — это множество тех входных параметров xx в области определения gg, для которых g(x)g(x) находится в области определения f.f.

    Как

    Для данной композиции функций f(g(x)),f(g(x)), определите ее область определения.

    1. Найдите домен g.g.
    2. Найдите домен f.f.
    3. Найдите те входные данные xx в области определения gg, для которых g(x)g(x) находится в области определения f.f. То есть исключить те входные данные xx из области определения gg, для которых g(x)g(x) не входит в область определения f.f. Результирующее множество является областью определения f∘g.f∘g.

    Пример 8

    Нахождение области определения составной функции

    Найти домен

    (f∘g)(x)    где f(x)=5x−1 и g(x)=43x−2(f∘g)(x)    где f(x)=5x−1 и g(x)=43x−2
    Решение

    Область определения g(x)g(x) состоит из всех вещественных чисел, кроме x=23,x=23, поскольку это входное значение привело бы к делению на 0.Точно так же область определения ff состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Поэтому нам нужно исключить из области определения g(x)g(x) то значение xx, для которого g(x)=1.g(x)=1 .

    43x−2=14=3x−26=3xx=243x−2=14=3x−26=3xx=2

    Итак, область определения f∘gf∘g — это набор всех действительных чисел, кроме 2323 и 2.2. Это означает, что

    x≠23orx≠2x≠23orx≠2

    Мы можем записать это в интервальной нотации как

    (−∞,23)∪(23,2)∪(2,∞)(−∞,23)∪(23,2)∪(2,∞)

    Пример 9

    Нахождение области определения составной функции, включающей радикалы

    Найти домен

    (f∘g)(x)  где f(x)=x+2 и g(x)=3−x(f∘g)(x)  где f(x)=x+2 иg(x)=3−x
    Решение

    Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область определения gg равна (−∞,3].(−∞,3]. Теперь проверим область определения составной функции

    (f∘g)(x)=3−x+2(f∘g)(x)=3−x+2

    Для (f∘g)(x)=3−x+2,3−x+2 ≥0,(f∘g)(x)=3−x+2,3−x+2≥0, так как подкоренное значение квадратного корня должно быть положительным. Поскольку квадратные корни положительны, 3−x≥0,3−x≥0 или 3−x≥0,3−x≥0, что дает область определения (-∞,3](-∞,3].

    Анализ

    Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезным при нахождении области определения составной функции.Он также показывает, что область определения f∘gf∘g может содержать значения, не принадлежащие области определения f,f, хотя они должны находиться в области определения g.g.

    Попытайся #6

    Найти домен

    (f∘g)(x)  где f(x)=1x−2 и g(x)=x+4(f∘g)(x)  где f(x)=1x−2 и g(x)=x+4

    Разложение составной функции на составные функции

    В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию. Другими словами, мы можем записать его как композицию двух более простых функций.Может быть более одного способа декомпозиции составной функции, поэтому мы можем выбрать декомпозицию, которая представляется наиболее целесообразной.

    Пример 10

    Разложение функции

    Запишите f(x)=5−x2f(x)=5−x2 в виде композиции двух функций.

    Решение

    Мы ищем две функции, gg и h,h, поэтому f(x)=g(h(x)).f(x)=g(h(x)). Для этого ищем функцию внутри функции в формуле для f(x).f(x). В качестве одной из возможностей мы могли бы заметить, что выражение 5−x25−x2 находится внутри квадратного корня.Затем мы могли бы разложить функцию как

    h(x)=5−x2 и g(x)=xh(x)=5−x2 и g(x)=x

    Мы можем проверить наш ответ, перекомпоновав функции.

    g(h(x))=g(5−x2)=5−x2g(h(x))=g(5−x2)=5−x2

    Попытайся #7

    Запишите f(x)=43−4+x2f(x)=43−4+x2 в виде композиции двух функций.

    1.4 Секционные упражнения

    Устный
    1 .

    Как найти область определения частного двух функций, fg?fg?

    2 .

    Какова композиция двух функций, f∘g?f∘g?

    3 .

    Если при составлении двух функций порядок меняется на противоположный, может ли результат когда-либо совпадать с ответом в исходном порядке составления? Если да, приведите пример. Если нет, объясните почему.

    4 .

    Как найти область определения композиции двух функций f∘g?f∘g?

    Алгебраический
    5 .

    Для заданных f(x)=x2+2xf(x)=x2+2x и g(x)=6−x2,g(x)=6−x2 найти f+g,f−g,fg,f+g ,f−g,fg и fg.fg. Определите область определения для каждой функции в интервальной записи.

    6 .

    Учитывая f(x)=−3×2+xf(x)=−3×2+x и g(x)=5,g(x)=5, найти f+g,f−g,fg,f+g,f −g,fg и fg.fg. Определите область определения для каждой функции в интервальной записи.

    7 .

    Учитывая f(x)=2×2+4xf(x)=2×2+4x и g(x)=12x,g(x)=12x, найти f+g,f−g,fg,f+g,f−g ,fg и fg.fg. Определите область определения для каждой функции в интервальной записи.

    8 .

    Учитывая f(x)=1x−4f(x)=1x−4 и g(x)=16−x,g(x)=16−x, найти f+g,f−g,fg,f+g ,f−g,fg и fg.fg. Определите область определения для каждой функции в интервальной записи.

    9 .

    Учитывая f(x)=3x2f(x)=3×2 и g(x)=x−5,g(x)=x−5, найти f+g,f−g,fg,f+g,f−g ,fg и fg.fg. Определите область определения для каждой функции в интервальной записи.

    10 .

    Для данных f(x)=xf(x)=x и g(x)=|x−3|,g(x)=|x−3| найдите gf.gf. Определите область определения функции в интервальной записи.

    11 .

    Для заданных f(x)=2×2+1f(x)=2×2+1 и g(x)=3x−5,g(x)=3x−5 найдите следующее:

    1. ⓐ е (г (2)) е (г (2))
    2. ⓑ е (г (х)) е (г (х))
    3. ⓒ г (ф (х)) г (ф (х))
    4. ⓓ (г∘г)(х)(г∘г)(х)
    5. ⓔ (f∘f)(−2)(f∘f)(−2)

    В следующих упражнениях используйте каждую пару функций, чтобы найти f(g(x))f(g(x)) и g(f(x)).г (f (х)). Упростите свои ответы.

    12 .

    f(x)=x2+1,g(x)=x+2f(x)=x2+1,g(x)=x+2

    13 .

    f(x)=x+2,g(x)=x2+3f(x)=x+2,g(x)=x2+3

    14 .

    f(x)=|x|,g(x)=5x+1f(x)=|x|,g(x)=5x+1

    15 .

    f(x)=x3,g(x)=x+1x3f(x)=x3,g(x)=x+1×3

    16 .

    f(x)=1x−6,g(x)=7x+6f(x)=1x−6,g(x)=7x+6

    17 .

    f(x)=1x−4,g(x)=2x+4f(x)=1x−4,g(x)=2x+4

    В следующих упражнениях используйте каждый набор функций, чтобы найти f(g(h(x))).е (г (ч (х))). Упростите свои ответы.

    18 .

    f(x)=x4+6,f(x)=x4+6, g(x)=x−6,g(x)=x−6 и h(x)=xh(x)=x

    19 .

    f(x)=x2+1,f(x)=x2+1, g(x)=1x,g(x)=1x и h(x)=x+3h(x)=x+3

    20 .

    Для заданных f(x)=1xf(x)=1x и g(x)=x−3,g(x)=x−3 найдите следующее:

    1. ⓐ (f∘g)(x)(f∘g)(x)
    2. ⓑ область определения (f∘g)(x)(f∘g)(x) в интервальной нотации
    3. ⓒ (g∘f)(x)(g∘f)(x)
    4. ⓓ домен (g∘f)(x)(g∘f)(x)
    5. ⓔ (фг)х(фг)х
    21 .

    Для заданных f(x)=2−4xf(x)=2−4x и g(x)=−3x,g(x)=−3x найдите следующее:

    1. ⓐ (g∘f)(x)(g∘f)(x)
    2. ⓑ область определения (g∘f)(x)(g∘f)(x) в интервальной нотации
    22 .

    Для заданных функций f(x)=1−xxandg(x)=11+x2,f(x)=1−xxandg(x)=11+x2, найти следующее:

    1. ⓐ (g∘f)(x)(g∘f)(x)
    2. ⓑ (г∘ж)(2)(г∘ж)(2)
    23 .

    Для заданных функций p(x)=1xp(x)=1x и m(x)=x2−4,m(x)=x2−4 укажите область определения каждой из следующих функций, используя интервальную запись:

    1. ⓐ р(х)м(х)р(х)м(х)
    2. ⓑ р (м (х)) р (м (х))
    3. ⓒ м(р(х))м(р(х))
    24 .

    Для заданных функций q(x)=1xq(x)=1x и h(x)=x2−9,h(x)=x2−9 укажите область определения каждой из следующих функций, используя интервальную запись.

    1. ⓐ q(x)h(x)q(x)h(x)
    2. ⓑ д (ч (х)) д (ч (х))
    3. ⓒ ч(д(х))ч(д(х))
    25 .

    Для f(x)=1xf(x)=1x и g(x)=x−1,g(x)=x−1 запишите область определения (f∘g)(x)(f∘g)( х) в интервальной записи.

    Для следующих упражнений найдите функции f(x)f(x) и g(x)g(x) так, чтобы заданную функцию можно было выразить как h(x)=f(g(x)).ч(х)=f(г(х)).

    27 .

    ч(х)=(х-5)3ч(х)=(х-5)3

    31 .

    ч(х)=12х-33ч(х)=12х-33

    32 .

    ч(х)=1(3х2-4)-3ч(х)=1(3х2-4)-3

    33 .

    ч(х)=3х-2х+54ч(х)=3х-2х+54

    34 .

    ч(х)=(8+х38-х3)4ч(х)=(8+х38-х3)4

    36 .

    ч(х)=(5х-1)3ч(х)=(5х-1)3

    39 .

    ч(х)=1(х-2)3ч(х)=1(х-2)3

    40 .

    ч(х)=(12х-3)2ч(х)=(12х-3)2

    41 .

    ч(х)=2х-13х+4ч(х)=2х-13х+4

    Графический

    В следующих упражнениях используйте графики f,f, показанные на рис. 4, и g,g, показанные на рис. 5, для оценки выражений.

    Фигура 4

    Фигура 5

    В следующих упражнениях используйте графики f(x),f(x), показанные на рисунке 6, g(x),g(x), показанные на рисунке 7, и h(x),h(x), показанный на рисунке 8, для оценки выражений.

    Фигура 6

    Фигура 7

    Фигура 8

    57 .

    е (г (е (-2))) е (г (е (- 2)))

    Цифровой

    В следующих упражнениях используйте значения функции для f, gf и g, показанные в таблице 3, для вычисления каждого выражения.

    хх ф(х)ф(х) г(х)г(х)
    0 7 9
    1 6 5
    2 5 6
    3 8 2
    4 4 1
    5 0 8
    6 2 7
    7 1 3
    8 9 4
    9 3 0

    Стол 3

    В следующих упражнениях используйте значения функции для f, gf и g, показанные в таблице 4, чтобы вычислить выражения.

    5 -35 -15 7 0 05 05 55 15 05 25 -35 37

    хх ф(х)ф(х) г(х)г(х)
    -3 11 -8
    9
    1 3 3
    1
    -1 -8

    Стол 4

    В следующих упражнениях используйте каждую пару функций, чтобы найти f(g(0))f(g(0)) и g(f(0)).г(ф(0)).

    72 .

    f(x)=4x+8,g(x)=7−x2f(x)=4x+8,g(x)=7−x2

    73 .

    f(x)=5x+7,g(x)=4−2x2f(x)=5x+7,g(x)=4−2×2

    74 .

    f(x)=x+4,g(x)=12−x3f(x)=x+4,g(x)=12−x3

    75 .

    f(x)=1x+2,g(x)=4x+3f(x)=1x+2,g(x)=4x+3

    В следующих упражнениях используйте функции f(x)=2×2+1f(x)=2×2+1 и g(x)=3x+5g(x)=3x+5 чтобы оценить или найти составную функцию, как указано.

    Расширения

    В следующих упражнениях используйте f(x)=x3+1f(x)=x3+1 и g(x)=x−13.г(х)=х-13.

    80 .

    Найдите (f∘g)(x)(f∘g)(x) и (g∘f)(x).(g∘f)(x). Сравните два ответа.

    81 .

    Найдите (f∘g)(2)(f∘g)(2) и (g∘f)(2).(g∘f)(2).

    82 .

    Какова область определения (g∘f)(x)?(g∘f)(x)?

    83 .

    Какова область определения (f∘g)(x)?(f∘g)(x)?

    84 .

    Пусть f(x)=1x.f(x)=1x.

    1. ⓐ Найти (f∘f)(x).(f∘f)(x).
    2. ⓑ Является ли (f∘f)(x)(f∘f)(x) для любой функции ff тем же результатом, что и ответ на часть (a) для любой функции? Объяснять.

    Для следующих упражнений пусть F(x)=(x+1)5, F(x)=(x+1)5, f(x)=x5,f(x)=x5 и g(x) =х+1.г(х)=х+1.

    85 .

    Верно или неверно: (g∘f)(x)=F(x).(g∘f)(x)=F(x).

    86 .

    Верно или неверно: (f∘g)(x)=F(x).(f∘g)(x)=F(x).

    Для следующих упражнений найдите композицию, когда f(x)=x2+2f(x)=x2+2 для всех x≥0x≥0 и g(x)=x−2.g(x)=x−2 .

    87 .

    (f∘g)(6);(g∘f)(6)(f∘g)(6);(g∘f)(6)

    88 .

    (g∘f)(a);(f∘g)(a)(g∘f)(a);(f∘g)(a)

    89 .

    (f∘g)(11);(g∘f)(11)(f∘g)(11);(g∘f)(11)

    Реальные приложения
    90 .

    Функция D(p)D(p) дает количество товаров, которые будут востребованы, когда цена равна п.п. Себестоимость производства C(x)C(x) – это стоимость производства xx изделий. Что из следующего вы предпримете, чтобы определить себестоимость производства при цене 6 долларов?

    1. ⓐ Вычислить D(C(6)).D(C(6)).
    2. ⓑ Вычислить C(D(6)).C(D(6)).
    3. ⓒ Решите D(C(x))=6.D(C(x))=6.
    4. ⓓ Решите C(D(p))=6.С(D(р))=6.
    91 .

    Функция A(d)A(d) дает уровень боли по шкале от 0 до 10, которую испытывает пациентка с dd миллиграммами обезболивающего препарата в ее организме. Миллиграммы препарата в организме пациента через tt минут моделируются m(t).m(t). Что из следующего вы бы сделали, чтобы определить, когда у пациента будет уровень боли 4?

    1. ⓐ Вычислить A(m(4)).A(m(4)).
    2. ⓑ Вычислить m(A(4)).m(A(4)).
    3. ⓒ Решите A(m(t))=4.А(м(т))=4.
    4. ⓓ Решите m(A(d))=4.m(A(d))=4.
    92 .

    Магазин предлагает покупателям скидку 30% от цены xx выбранных товаров. Тогда магазин снимает дополнительно 15% на кассе. Напишите функцию цены P(x)P(x), которая вычисляет окончательную цену товара через исходную цену x.x. (Подсказка: используйте композицию функций, чтобы найти ответ.)

    93 .

    Капля дождя, падающая на озеро, образует круговую рябь. Если радиус в дюймах увеличивается как функция времени в минутах согласно r(t)=25t+2,r(t)=25t+2, найдите площадь ряби как функцию времени.Найдите площадь ряби в момент времени t=2.t=2.

    94 .

    Лесной пожар оставляет после себя выгоревшую траву в виде расширяющегося круга. Если радиус круга горящей травы увеличивается со временем по формуле r(t)=2t+1,r(t)=2t+1, выразите выгоревшую площадь как функцию времени, tt (минут).

    95 .

    Используйте функцию, найденную в предыдущем упражнении, чтобы найти общую площадь, сожженную через 5 минут.

    96 .

    Радиус r,r в дюймах сферического воздушного шара связан с объемом V,V соотношением r(V)=3V4π3.г(V)=3V4π3. В воздушный шар накачивается воздух, поэтому объем через tt секунд определяется выражением V(t)=10+20t.V(t)=10+20t.

    1. ⓐ Найдите составную функцию r(V(t)).r(V(t)).
    2. ⓑ Найдите точное время , когда радиус достигает 10 дюймов.
    97 .

    Количество бактерий в охлажденном пищевом продукте определяется формулой N(T)=23T2-56T+1,N(T)=23T2-56T+1, 3

    1. ⓐ Найдите составную функцию N(T(t)).N(T(t)).
    2. ⓑ Найдите время (округлите до двух знаков после запятой), когда количество бактерий достигнет 6752.

    Оценка композиции функций

    Результаты обучения

    • Оценка композиции функций с помощью таблицы.
    • Вычислите композицию функций с помощью уравнения.

    После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, мы должны иметь возможность оценить ее для любого ввода в ее области.Мы сделаем это с конкретными числовыми входными данными для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции в качестве ввода для внешней функции.

    Вычисление составных функций с использованием таблиц

    При работе с функциями, представленными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу.Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем выходные данные внутренней функции в качестве входных данных для внешней функции.

    Пример: использование таблицы для вычисления составной функции

    Используя приведенную ниже таблицу, оцените [латекс]f\left(g\left(3\right)\right)[/latex] и [latex]g\left(f\left(3\right)\right)[/ латекс].

    [латекс]x[/латекс] [латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс] [латекс]г\влево(х\вправо)[/латекс]
    1 6 3
    2 8 5
    3 3 2
    4 1 7
    Показать решение

    Чтобы вычислить [латекс]f\left(g\left(3\right)\right)[/latex], мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы вычисляем внутреннее выражение [latex]g\left(3\right)[/latex], используя таблицу, определяющую функцию [latex]g:[/latex] [latex]g\left(3\right)=2 [/латекс]. Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции [latex]f[/latex], так что [latex]g\left(3\right)[/latex] заменяется на 2, и мы получаем [latex]f\left (2\справа)[/латекс]. Затем, используя таблицу, определяющую функцию [latex]f[/latex], находим, что [latex]f\left(2\right)=8[/latex].

    [латекс]\begin{align}&g\left(3\right)=2 \\[1.5mm]& f\left(g\left(3\right)\right)=f\left(2\right)=8\end{align}[/latex]

    Чтобы вычислить [латекс]g\left(f\left(3\right)\right)[/latex], мы сначала вычислим внутреннее выражение [latex]f\left(3\right)[/latex], используя первый таблица: [латекс]f\влево(3\вправо)=3[/латекс]. Затем, используя таблицу для [latex]g[/latex], мы можем вычислить

    [латекс]г\влево(е\влево(3\вправо)\вправо)=г\влево(3\вправо)=2[/латекс]

    В таблице ниже показаны составные функции [latex]f\circ g[/latex] и [latex]g\circ f[/latex] в виде таблиц.

    [латекс]x[/латекс] [латекс]г\влево(х\вправо)[/латекс] [латекс]f\влево(г\влево(х\вправо)\вправо)[/латекс] [латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс] [латекс]г\влево(е\влево(х\вправо)\вправо)[/латекс]
    3 2 8 3 2

    Попробуйте

    Используя приведенную ниже таблицу, оцените [латекс]f\влево(г\влево(1\вправо)\вправо)[/латекс] и [латекс]g\влево(f\влево(4\вправо)\вправо)[/ латекс].

    [латекс]x[/латекс] [латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс] [латекс]г\влево(х\вправо)[/латекс]
    1 6 3
    2 8 5
    3 3 2
    4 1 7
    Показать решение

    [латекс]f\left(g\left(1\right)\right)=f\left(3\right)=3[/latex] и [латекс]g\left(f\left(4\right) \справа)=г\слева(1\справа)=3[/латекс]

    Оценка составных функций с использованием графиков

    Когда нам даны отдельные функции в виде графиков, процедура вычисления составных функций аналогична процессу, который мы используем для вычисления таблиц.Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз из осей [latex]x\text{-}[/latex] и [latex]y\text{-}[/latex] графиков.

    Как сделать: Имея составную функцию и графики ее отдельных функций, оцените ее, используя информацию, предоставленную графиками.


    1. Найдите заданный вход внутренней функции на оси [latex]x\text{-}[/latex] ее графика.
    2. Считать вывод внутренней функции с оси [latex]y\text{-}[/latex] ее графика.
    3. Найдите вывод внутренней функции на оси [latex]x\text{-}[/latex] графика внешней функции.
    4. Считать вывод внешней функции с оси [latex]y\text{-}[/latex] ее графика. Это результат составной функции.

    Пример: использование графика для оценки составной функции

    Используя приведенные ниже графики, оцените [латекс]f\влево(г\влево(1\вправо)\вправо)[/латекс].

    Показать решение

    Чтобы оценить [латекс]f\left(g\left(1\right)\right)[/latex], мы начинаем с внутренней оценки.

    Мы оцениваем [латекс]г\влево(1\вправо)[/латекс], используя график [латекс]г\влево(х\вправо)[/латекс], находя вход 1 на [латекс]х\ text{-}[/latex] и нахождение выходного значения графика на этом входе. Здесь [латекс]г\влево(1\вправо)=3[/латекс]. Мы используем это значение в качестве входных данных для функции [latex]f[/latex].

    [латекс]f\влево(г\влево(1\вправо)\вправо)=f\влево(3\вправо)[/латекс]

    Затем мы можем оценить составную функцию, взглянув на график [latex]f\left(x\right)[/latex], найдя ввод 3 на [latex]x\text{-}[/latex] ось и чтение выходного значения графика на этом входе.Здесь [латекс]f\влево(3\вправо)=6[/латекс], поэтому [латекс]f\влево(г\влево(1\вправо)\вправо)=6[/латекс].

    Анализ раствора

    На рисунке показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения до выходного значения.

    Попробуйте

    Используя приведенные ниже графики, оцените [латекс]g\left(f\left(2\right)\right)[/latex].{2}-t[/latex], мы подставляем значение в круглых скобках в формулу везде, где мы видим ввод Переменная.{2}-{t}[/latex] и [латекс]h\left(x\right)=3x+2[/latex], оцените [латекс]f\left(h\left(1\right)\right )[/латекс].

    Показать решение

    Поскольку внутреннее выражение имеет вид [латекс]h\left(1\right)[/latex], мы начнем с вычисления [latex]h\left(x\right)[/latex] в значении 1.

    [латекс]\begin{align}h\left(1\right)&=3\left(1\right)+2\\[2mm] h\left(1\right)&=5\end{align} [/латекс]

    Затем [латекс]f\влево(ч\влево(1\вправо)\вправо)=f\влево(5\вправо)[/латекс], поэтому мы вычисляем [латекс]f\влево(т\вправо)[/ латекс] на входе 5.{2}-t[/латекс] и [латекс]ч\влево(х\вправо)=3x+2[/латекс], оценка

    A) [латекс]ч\влево(ж\влево(2\вправо)\вправо)[/латекс]

    B) [латекс]ч\влево(ж\влево(-2\вправо)\вправо)[/латекс]

    Показать решение

    А. 8; Б. 20

    Вы можете проверить свою работу с помощью графического онлайн-инструмента. Введите вышеуказанные функции в Desmos, как они определены. В следующей строке введите [латекс]ч\влево(ж\влево(2\вправо)\вправо)[/латекс]. Вы должны увидеть [latex]=8[/latex] в правом нижнем углу.

    Поддержите!

    У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Создание видеозаписей с использованием программируемого видео

    Указание макетов видео

    Видео макеты организованы по регионам. Область представляет собой прямоугольник область, в которой отображается набор видеоисточников после размещения региона правила. VideoLayout композиции должен содержать хотя бы одну область, но он может содержать много. Регионы являются независимыми, что означает, что способ размещения работы в регионе не влияет на размещение в других регионах.

    Композиция VideoLayout указана как словарь регионов JSON. по этой схеме:

      Видеомакет = {
                    "а-имя-региона": {
                        свойства региона
                    },
    
                    "другое-имя-региона": {
                      другие свойства региона
                    }
    
                    ...
                  }
      

    Свойства региона определяют размер и положение региона, видео источники для включения в регион и правила размещения.Поддержка регионов следующие свойства (напомним, что «Да» в столбце «Значение по умолчанию/обязательное» указывает на обязательное свойство)

    Параметр Значение по умолчанию / обязательно Описание
    x_pos 0 Значение по оси X (в пикселях) левого верхнего угла области относительно левого верхнего угла окна просмотра композиции.Регионы не могут переполнять область композиции, поэтому x_pos должно быть положительным целым числом, меньшим или равным разнице между шириной композиции и шириной региона. Если ширина области отсутствует в запросе, для этой проверки по умолчанию она составляет 16 пикселей.
    y_pos 0 Значение по оси Y (в пикселях) левого верхнего угла области относительно левого верхнего угла окна просмотра композиции.Регионы не могут выходить за пределы области композиции, поэтому y_pos должно быть положительным целым числом, меньшим или равным разнице между высотой композиции и высотой этой области. Если высота области отсутствует в запросе, для этой проверки по умолчанию она составляет 16 пикселей.
    z_pos 0 Позиция Z, управляющая видимостью региона в случае перекрытий. Области с более высокими значениями располагаются над областями с более низкими значениями для наглядности. z_pos должен находиться в диапазоне [-99, 99] .
    ширина Ширина композиции x_pos Ширина области. Он должен быть в диапазоне [16, Ширина композиции — x_pos] . Это ограничение гарантирует, что область вписывается в область просмотра композиции.
    высота Высота композиции y_pos Высота региона.Он должен быть в диапазоне [16, высота композиции — y_pos] . Это ограничение гарантирует, что область вписывается в область просмотра композиции.
    макс_столбцов Максимальное количество столбцов сетки размещения региона. По умолчанию регион имеет столько столбцов, сколько необходимо для размещения всех указанных видеоисточников. max_columns должно находиться в диапазоне [1, 1000] .
    макс_рядов Максимальное количество строк сетки размещения региона.По умолчанию в регионе есть столько строк, сколько необходимо для размещения всех указанных видеоисточников. max_rows должно находиться в диапазоне [1, 1000] .
    ячейки_исключенные Список индексов ячеек на сетке раскладки регионов, которым нельзя назначить видеоисточники. Индекс первой ячейки (вверху слева) равен 0. Индексы растут слева направо и сверху вниз. Эти значения должны находиться в диапазоне [0, 999999] .
    повторное использование show_oldest Определяет повторное использование ячеек сетки региона для целей размещения.Возможные значения:
    • нет : использованные ячейки никогда не используются повторно.
    • show_oldest : ячейка может использоваться повторно только тогда, когда заканчивается источник видео, который она содержит.
    • show_newest : ячейку можно использовать повторно, даже если источник видео, который она содержит, не закончился.
    видео_источники Да Массив видеоисточников, которые следует разместить в этом регионе. Все указанные источники должны принадлежать одной комнате.Он может включать:
    • Ноль или более RecordingTrackSid
    • Ноль или более MediaTrackSid
    • Ноль или более ParticipantSid
    • Ноль или более имен дорожек. Их можно указать с помощью подстановочных знаков (например, student* ). Использование [*] имеет семантику «все, если есть», означающую ноль или более (т. е. все) в зависимости от того, есть ли в целевой комнате видеодорожки.
    video_sources_excluded Массив источников видео для исключения из этого региона.Этот регион попытается отобразить все источники, указанные в video_sources , кроме тех, которые указаны в video_sources_excluded . Этот параметр может включать:
    • Ноль или более RecordingTrackSid
    • Ноль или более MediaTrackSid
    • Ноль или более ParticipantSid
    • Ноль или более имен дорожек. Их можно указать с помощью подстановочных знаков (например, student* ).

    Использование VideoLayout , не соответствующего этой спецификации, приведет к на соответствующий POST-запрос следует ответить кодом 4xx .

    Расположение и размер области

    На следующем рисунке показано расположение регионов:

    Возможно, вам будет полезно запомнить следующие правила:

    • Ширина и Высота Композиции определяются параметром Разрешение .
    • Области располагаются относительно верхнего левого угла композиции с помощью x_pos и y_pos .
    • Размеры области определяются через свойства width и height .
    • Регионы должны вписываться в свою композицию. Это делает обязательным следующее:
    • x_pos + ширина не должна превышать ширину композиции .
    • y_pos + высота не должна превышать высоту композиции .
    • Если ширина или высота не указаны, то по умолчанию регион должен занимать все доступное оставшееся пространство в окне просмотра композиции.
    • Когда несколько областей перекрываются, их видимость зависит от свойства z_pos . Регионы с более высоким z_pos будут видны поверх регионов с более низким z_pos .
    Регион как сеть

    Размещение видео_источников в регионе происходит через сетку (т.е. матрицу) где каждая ячейка представляет собой контейнер, в котором может находиться один (и только один) видеоисточник. отображаются единовременно. Сетки регионов являются статическими, что означает, что их количество строки и столбцы не меняются в течение действия композиции.Конкретный количество строк и столбцов зависит от региона max_columns и max_rows характеристики. Возможны три разные ситуации:

    Сетка без ограничений

    В этом случае ни max_columns , ни max_rows не указаны в VideoLayout . Twilio вычисляет для вас размеры сетки, чтобы гарантировать, что все предоставленные Отображено видео_источников . Благодаря этому ячейки в сетке будут не менее равно максимальному количеству одновременных видеоисточников в Композиции (видеоисточники считаются одновременными в данный момент времени, когда их СМИ активны в это время).Для этого мы стараемся, чтобы сетка была как можно более квадратной, чтобы она сначала росла в столбцах. а затем по строкам, чтобы их разница никогда не превышала 1. Следующая таблица иллюстрирует это:

    Максимальное количество одновременных видеоисточников Размеры сетки региона (строки x столбцы)
    1 1x1
    2 1x2
    3 2x2
    4 2x2
    5 2x3
    6 2x3
    7 3x3
    9 3x3
    10 3х4
    12 3х4
    17 4x5
    20 4x5

    Размер без ограничений

    В этом случае указан только один из max_columns или max_rows .Сетки размеры вычисляются в соответствии с алгоритмом «Неограниченная сетка» (т.е. попытка чтобы сетка была как можно более квадратной), но не превышая указанное максимальное ограничение. После этого неограниченная размерность растет, чтобы гарантировать отображение всех указанных видеоисточников. Последующий примеры иллюстрируют это:

    Максимальное количество одновременных видеоисточников макс_рядов max_columns Размеры сетки региона (строки x столбцы)
    1 1 -- 1x1
    1 -- 1 1x1
    2 1 -- 1x2
    2 -- 1 2x1
    3 1 -- 1x3
    3 -- 1 3x1
    4 2 -- 2x2
    4 -- 2 2x2
    5 2 -- 2x3
    5 -- 2 3x2
    6 2 -- 2x3
    6 -- 2 3x2
    7 2 -- 2x4
    7 -- 2 4x2
    9 2 -- 2x5
    9 -- 2 5x2
    12 2 -- 2x6
    12 -- 2 6x2

    Зависимая сетка В этом случае указаны как max_columns , так и max_rows .Сетки размеры вычисляются по указанным выше алгоритмам, но с сохранением оба измерения ниже своих пределов. Благодаря этому максимальное количество ячеек max_columns * max_rows . Если количество одновременных видеоисточников превышает это значение, то некоторые источники видео не будут отображаться. Последующий пример иллюстрирует эффект.

    Максимальное количество одновременных видеоисточников макс_рядов max_columns Размеры сетки региона (строки x столбцы)
    1 1 1 1x1
    1 1 2 1x1
    1 2 2 1x1
    2 1 1 1x1 (1 источник не отображается)
    2 1 2 1x2
    2 2 2 1x2
    3 1 1 1x1 (2 источника не отображаются)
    3 1 2 1x2 (1 источник не отображается)
    3 2 2 2x2
    4 1 1 1x1 (3 источника не отображаются)
    4 1 2 1x2 (2 источника не отображаются)
    4 2 2 2x2
    5 1 1 1x1 (4 источника не отображаются)
    5 1 2 1x2 (2 источника не отображаются)
    5 2 2 2x2 (1 источник не отображается)
    9 1 7 1x7 (2 источника не отображаются)
    9 2 7 2x5
    9 3 7 3x3
    Отображение источников видео

    Источники видео отображаются в ячейках сетки регионов.Размер ячеек и соотношение сторон контролируется:

    • Размеры области в пикселях, определенные параметрами width и height .
    • Размеры сетки региона (т. е. количество строк и столбцов) в том виде, в каком они были введены в разделе выше.

    Таким образом, ячейки будут иметь примерно (без учета округления):

    • Ширина равна ширине области , разделенной на количество столбцов.
    • Высота равна высоте области , разделенной на количество строк.

    Отображение исходных источников видеодорожки в ячейках осуществляется с помощью "соответствие объекта содержит" семантику CSS. Это означает, что исходное видео масштабируется по мере необходимости, чтобы соответствовать целевому соотношению сторон и чтобы остальные области ячейки закрашиваются черным цветом. Следующие изображения иллюстрируют как это происходит

    Понимание повторного использования

    Видеоисточники назначаются ячейкам слева направо и сверху вниз в сетке региона.Однако это назначение зависит от значения повторно используют свойств. Чтобы понять, как работает повторное использование , нам нужны некоторые определения:

    • Мы говорим, что ячейка свежая в данный момент времени, когда она не отображала видео. источник до того времени.
    • Мы говорим, что ячейка используется в данный момент времени, когда она отображает источник видео в это время.
    • Мы говорим, что ячейка простаивает в данный момент времени, когда она использовалась ранее, но его видеоисточник закончился в это время.

    Исходя из этого, возможные значения для повторного использования следующие:

    • нет : в этом случае использованные ячейки никогда не используются повторно и остаются бездействующими пока композиция не закончится. Более новые видеоисточники назначаются только свежие клетки в порядке слева направо сверху вниз. В ограниченных сетках у нас могут закончиться новые ячейки. В таком случае дальше не отображаются источники видео.
    • show_oldest : в этом случае можно повторно использовать свободные ячейки.Следовательно, новое видео источники назначаются как незанятым, так и новым ячейкам слева направо сверху вниз заказ. В ограниченных сетках, когда заканчиваются новые ячейки, более новое видео источники будут отображаться только по мере того, как свободные ячейки станут доступными. В таком В ограниченной ситуации эта модель отдает приоритет отображению более старых видеоисточников. (т.е. к источникам видео, начинающимся первым), что оправдывает его show_oldest имя.
    • show_newest : при указании этого значения отображаются источники видео сначала в незанятых и новых ячейках в порядке слева направо сверху вниз.В ограниченных сеток может случиться так, что у нас закончатся как свежие, так и свободные ячейки. В этом случае использованные ячейки используются повторно, чтобы отображались новые видеоисточники. поверх старых источников видео. Когда имеется несколько доступных используемых ячеек, выбирается тот, чей носитель заканчивается первым. Как можно понять, эта модель отдает приоритет отображения более новым видеоисточникам (т. е. видеоисточникам, начинающим позже), что оправдывает его название show_newest .

    Различие между различными режимами повторного использования можно оценить визуально на следующем рисунке:

    Как видно, на этом рисунке мы предполагаем комнату с 5 видеодорожками.Они пронумерованы от 0 до 4. На временной шкале комнаты показаны временные интервалы. (относительно времени начала комнаты), когда такие треки находятся в опубликованном состоянии. Под ним мы показываем ряд композиций с учетом следующих ограничений:

    • 1x1 Region Composition : в этом случае композиция состоит из одного региона где max_rows=1 и max_columns=1 . Когда повторное использование=нет первая дорожка (т.е. тот, который обозначен как 0), берет единственную свежую ячейку региона для отображать.В промежутках, где эта дорожка не опубликована, ячейка никогда не используется повторно, а Композиция остается черной (в случае Trim=false ) или завершается (в случае Trim=true ). Если reuse=show_newest , более новые треки имеют более высокий приоритет, чем старые треки. В связи с этим дорожка 1 накладывается поверх дорожки 0 и отображается во время воспроизведения. активный. Позже дорожки 2, 3 и 4 занимают ячейку одного региона. как только их медиа активированы. В случае, когда повторное использование=show_oldest , первая дорожка, занимающая ячейку единственного региона, сохраняет ее до конца.После этого его могут занять более новые треки (обратите внимание, как конец трека 2 позволяет треку 3 для отображения и как конец дорожки 3 делает то же самое с дорожкой 4.)

    • 1x2 Состав региона : теперь Композиция имеет один регион с две ячейки ( max_rows=1 и max_columns=2 ). Благодаря этому дорожки 0 и 1 могут отображаться одновременно. Для дорожек 2, 3 и 4 их отображение управляется по модели повторного использования. Когда reuse=none , дорожки 0 и 1 занимают две новые ячейки.После этого никакие дальнейшие треки не могут повторно использовать такие ячейки, и Композиция остается черным (в случае Trim=false ) или завершается (в случае Trim=true ). Если reuse=show_newest 2 и 3 могут повторно использовать свободные ячейки, но когда приходит 4 он повторно использует использованную ячейку с дорожкой, заканчивающейся первой (в данном случае 2). Когда reuse=show_oldest 2 и 3 имеют приоритет и, следовательно, 4 должен ждать, пока свободная ячейка становится доступной, что происходит, когда заканчивается 2.

    • Композиция неограниченной области : в этом случае Композиция имеет одна ячейка, где не указаны ни max_rows , ни max_columns .Следовательно, размеры сетки региона автоматически рассчитываются, чтобы соответствовать всем указанные источники видео. Когда reuse=none , нам нужно 5 ячеек, учитывая, что видеоисточники могут занимать только свежие ячейки. В связи с этим в системе используется сетка 2х3. Когда повторное использование=show_newest или повторное использование=show_oldest , необходимая сетка должна иметь только 3 ячейки, учитывая, что максимальное количество одновременных треков равно 3 (т.е. что происходит в интервале, в котором 2, 3 и 4 опубликованы). Следовательно, система вычисляет сетку 2x2.Наблюдать что при использовании неограниченных сеток оба show_newest и show_oldest создать такое же размещение видео для региона. Это связано с тем, что что в неограниченной сетке гарантируется, что количество видео источников никогда не превышает количество ячеек в сетке. Следовательно, нет используемых ячеек нужно когда-либо использовать повторно.

    Понимание трима

    Параметр Trim Composition управляет тем, что происходит с композицией. когда нет активного носителя.То есть в промежутках, в которых ни звуковые дорожки и видеодорожки не публикуются. Определим два типа таких пробелы:

    • Начальный зазор: Композиции имеют начальный зазор в начале Комнаты. нет активных носителей. Начальный промежуток заканчивается, когда включается первая запись в композиции начинается. Начальный зазор всегда обрезается в композициях.
    • Последующий зазор: для любого другого зазора, не являющегося начальным зазором.

    Более поздние промежутки обрезаются в зависимости от значения параметра trim .

    • trim=false : Композиция сохраняет все более поздние промежутки в виде черного видео с тихий звук. Следовательно, эти незанятые интервалы без носителя могут появиться в конце или в середине. Состава.
    • trim=true (по умолчанию) : Композиция обрезает все промежутки, где СМИ не публикуются. Обратите внимание, что когда звуковая дорожка активна в композиция во время антракта не обрезается, даже если на нем нет активных видеодорожек.

    На следующем рисунке показано, как обрезанные композиции ведут себя в сценарии, представленные в разделе выше.

    HTTP ПОЛУЧИТЬ

    Извлекает список записей экземпляров композиции, принадлежащих указанному AccountSid , с данными пейджинга.

    Поддерживаемые параметры GET

    Следующие параметры строки запроса GET позволяют ограничить возвращаемый список. Обратите внимание, что параметры чувствительны к регистру.

    Список составных чисел от 1 до 100

    Положительное целое число, которое можно получить путем умножения двух меньших положительных целых чисел, является составным числом.Все составные числа можно записать в виде произведения двух или более простых чисел. Например, целое число 21 является составным числом, поскольку оно является произведением двух меньших целых чисел 3 и 7.

     

    Список составных чисел от 1 до 100

    Ниже перечислены составные числа до 100.

    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100.

    От 1 до 100 составных чисел 74 числа.

     

    Нечетные и четные составные числа

    Нечетные составные числа — это все нечетные целые числа, не являющиеся простыми.

    9, 15, 21, 25, 27 и т. д. являются примерами составных нечетных чисел.

    Наименьшее нечетное составное число — 9.

    Четные составные числа — все четные числа, а не простые.

    4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и т. д. являются примерами четных составных чисел.

    Наименьшее четное составное число равно 4.

     

    Решенные задачи на составные числа

    1: Сколько существует составных чисел от 1 до 50?

    Ответ: Существует 34 составных числа от 1 до 50, а именно:

    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50.

     

    2. Из чего состоят составные числа? 1 к 100? Представьте их на таблице составных чисел.

    АНС: Есть 74 композитных чисел до 100, которые представлены в диаграмме композитного номера следующим образом:

    1

    11

    21

    31

    41

    51

    61

    71

    81

    91

    2

    12

    22

    32

    42

    52

    62

    72

    82

    92

    3

    13

    23

    33

    43 9000 8

    53

    63

    73

    83

    93

    4

    14

    24

    34

    44

    54

    64

    74

    84

    94

    5

    15

    25

    35

    45

    55

    65

    75

    85

    95

    6

    16

    26

    36

    46

    56

    66

    76

    86

    96

    7

    17

    27

    37

    47

    57

    67

    77

    87

    97

    8

    18

    28

    38

    48

    58

    68

    78

    88

    98

    9

    19

    29

    39

    49

    59

    69

    79

    89

    99

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    Здесь цифры красного цвета — составные числа до 100.

     

    3. Запишите наименьшее нечетное составное число?

    Ответ: Наименьшее нечетное составное число равно 9.

     

    4. Перечислите первые пять нечетных составных чисел.

    Ответ: Первые пять нечетных составных чисел следующие: 9, 15, 21, 25, 27.

    Согласно основам математики, составные числа — это числа, имеющие более двух делителей. Составные числа или то, что также обычно называют составными, являются противоположностью простых чисел, которые состоят только из двух множителей и не более того.Когда мы говорим два множителя, будет присутствовать 1 и другое число. Все те числа, которые не являются простыми числами, будут классифицированы как составные числа. Чтобы вы лучше понимали составные числа и то, как они находятся, вот список составных чисел от 1 до 100 через Веданту, к которому вы можете получить доступ и узнать больше. Это поможет вам понять составные числа и их назначение в различных математических уравнениях.

     

    Свойства составных чисел, отличающие их от других чисел:

    1. Составными числами являются только те числа, которые имеют более двух делителей.

    2. Составные числа также считаются делящимися без остатка на множество множителей.

    3. Видно, что каждое из составных чисел является самостоятельным делителем, кроме 1, являющегося общим делителем.

    4. Наименьшим из всех составных чисел является 4, так как оно делится на 1, 2 и 4.

    5. Каждое из составных чисел будет состоять как минимум из двух простых чисел, которые действуют как его делители. Например, если вы проверите составное число 10, у него будут 2 и 5 в качестве простых чисел, а произведение обоих даст 10.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.