Сложение или умножение: Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Содержание

1.13. Как складываются и умножаются понятия?. Логика. Учебное пособие

1.13. Как складываются и умножаются понятия?

Помимо ограничения, обобщения, определения и деления понятий существуют еще две логические операции – сложение и умножение понятий.

Сложение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исходных понятий. Например, при сложении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой:

Умножение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий

школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят только школьники, являющиеся спортсменами и спортсмены, являющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто называемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (так же, как и результат сложения):

Мы привели примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения (школьник и спортсмен). В других случаях отношений между понятиями результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеется, будут иными. Читатель без труда сможет определить их для всех случаев отношений между понятиями с помощью круговых схем. Так, если два понятия находятся в отношении подчинения, например, карась и рыба, то результатом их сложения является родовое понятие рыба (т. е. логической суммой понятий карась

и рыба будет множество всех рыб):

Результатом умножения понятий карась и рыба, находящихся в отношении родовидового подчинения, будет видовое понятие карась (т. е. логическим произведением понятий карась и рыба является множество всех карасей):

Так же, если два понятия находятся в отношении соподчинения, например, береза и сосна, то результат их сложения – это два объема данных понятий (т. е. логической суммой понятий береза и сосна будет как множество всех берез, так и множество всех сосен):

Результатом умножения соподчиненных понятий береза и сосна является нулевое понятие (т. е. логическое произведение понятий береза и сосна представляет собой пустое множество – не существует ни одной березы, которая могла бы быть сосной и наоборот):

Точно так же устанавливаются результаты сложения и умножения объемов двух понятий, которые находятся в отношениях равнозначности, противоположности и противоречия (см. 1.5.). Так, например, нетрудно догадаться, что если два понятия находятся в отношении равнозначности, то результат их сложения будет полностью совпадать с результатом их умножения (логическая сумма равнозначных понятий равна их логическому произведению). Так же понятно, что результатом умножения противоположных и противоречащих понятий является нулевое понятие и т. п.

Как правило, в естественном языке (т. е. том, на котором мы общаемся) результат сложения понятий выражается союзом или, а умножения – союзом и. В результате сложения понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является или школьником, или спортсменом, а в результате умножения этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является и школьником, и

спортсменом одновременно.

Относительно употребления союзов или и и в естественном языке в качестве выражения результатов логических операций сложения и умножения понятий удачный пример приводит в своем учебнике по логике известный отечественный автор В. И. Свинцов (Логика. Элементарный курс для гуманитарных специальностей. М.: Скорина, 1998. С. 60–61), отрывок из которого приводится ниже. «Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил пользования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказывается штрафом»? Представим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них войдут пассажиры, не взявшие билета, в другое – не оплатившие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать как показатель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным правилом, настолько ясен, что всякие разночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпочтительным».

Здесь следует отметить неоднозначность разделительного союза или, который может употребляться в нестрогом (неисключающем) значении и в строгом (исключающем). Например, в высказывании: Можно изучать английский язык или немецкий союз или употребляется в нестрогом значении, т. к. можно изучать и тот, и другой язык одновременно, одно другое не исключает. В данном случае разделительный союз или очень близок к соединительному союзу и. С другой стороны, в высказывании: Он родился в 1987 году или в 1989 году

союз или употребляется в строгом значении, т. к. если он родился в 1987 году, то – никак не в 1989 году и наоборот, два варианта здесь друг друга исключают. (О различных значениях союза или мы еще будем говорить далее). Если в рассмотренное выше правило пользования городским транспортом поставить союз или вместо союза и, как предлагает В. И. Свинцов, то получится следующее: «Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказываются штрафом». В данном случае союз или, являющийся показателем логического сложения, надо воспринимать в его нестрогом, неисключающем значении. Но ведь в указанной фразе этот союз можно истолковать и в строгом, исключающем значении. Тогда получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не оплатили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж. Правда, в этом случае не совсем понятно, кто же наказывается штрафом – те или другие. Поразмыслив, можно прийти к выводу, что штрафу подвергаются то те, то другие – на усмотрение контролера и в зависимости от ситуации.

В силу всего сказанного надо отметить, что употребление союза или всякий раз нуждается в комментарии относительно того, в строгом или нестрогом значении он используется. Понятно, что без этого комментария вполне возможны разночтения, которые нередко приводят к различным и существенным недоразумениям.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для

матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В cij = aij + bij Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что

bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij. Матрица   — А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы

на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А — А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С — матрицы, α и β — числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + … + ain × bnk, т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная

матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)Т = ВТАТ; 7. (АВС)Т = СТВТ

АТ; 8. (А + В)Т = АТ + ВТ;

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойства определителей матриц

Свойства определителей матриц:

Свойство № 1:

Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т

Следствие:

Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.

Свойство № 2:

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:

Свойство № 3:

Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство № 4:

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.

Следствия из свойств № 3 и № 4:

Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 5:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 6:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:

Свойство № 7:

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.

Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы:

Умножение и сложение: порядок выполнения действий | Методическая разработка по математике (2 класс) на тему:

Урок математики. Тема: «Умножение и сложение: порядок выполнения действий». 2-й класс


Дидактическая цель: создать условия для осознания, осмысления и закрепления учебной информации с действиями первой (умножение) и второй (сложение) ступеней.

Задачи:

обучающая:

  • формировать представление о новом арифметическом действии — умножении как сумме одинаковых слагаемых, раскрыть его смысл и практическую целесообразность;
  • научить записывать суммы одинаковых слагаемых в виде произведения;

развивающая:

  • развитие познавательной активности учащихся;
  • умение употреблять в речи математическую терминологию;
  • развивать психические процессы: память, внимание, мышление;

воспитательная:

  • прививать интерес к предмету, воспитывать чувство дружбы и взаимопомощи.

Тип урока: изучение и первичное закрепление нового материала.

Метод обучения: словесный, практический, наглядный.

Средства обучения: карточки для парной работы, учебник «Математика» 1 часть, 2 класс (автор А. Л. Чекин. — М.: Академкнига Учебник, 2008) тетрадь на печатной основе (авторы: Юдина Е. П., Захарова О. А. — М. : Учебник, 2008).

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель:

Скажем, здравствуйте руками, 
Скажем, здравствуйте глазами, 
Скажем, здравствуйте мы ртом, 
Станет весело кругом. (дети здороваются мизинчиками, коленками, пятками.)

Учитель: Добрый день, мои дорогие! Я очень рада снова вас видеть, пожелаю Вам всем успеха и хорошего настроения! Начинаем наш урок!

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Устный счет.

Работа в парах. Проверить друг друга на знание «Таблицы умножения на 3, 4.

Учащиеся цепочкой решают примеры и называют ответы на сложение и вычитание

(карточки-таблицы)

2. Задачи на смекалку.

Решить задачи устно.

  • Во дворе гуляют куры и петух. У каждой курицы по 2 цыпленка. Всего 7 птиц. Сколько всего кур гуляет во дворе?
  • Если собрать с дуба, ясеня и осины по 3 листа, сколько листьев будет в осеннем букете?
  • На столе стояли 3 стакана с ягодами. Вова съел 1 стакан ягод и поставил его на стол. Сколько стаканов стоит на столе?

III. Постановка учебной задачи.

Учитель:

В содержании учебника стр. 5 найти тему предыдущего урока.

Прочитать следующую тему.

Как вы думаете, какова тема нашего урока? Сформулируйте тему урока полностью.

Тема сегодняшнего урока: «Умножение и сложение: порядок выполнения действий»

Какое открытие мы сделали на прошлом уроке? (правильно, если складываем одинаковые числа, то мы можем заменить сложение умножением.) Молодцы!

Сейчас мы проверим, кто из вас это запомнил и может применить на практике.

Запись числа и классной работы в тетрадях.

На доске: [1, с. 224 ]

3+3+3+3+3+3+3=

8+8+0=

4+2+1+4=

6+6+4=

5+5+5+5=

7-7-7=

8+6+*+5+1=

8+18+28+38=

Задание:

Посмотрите на выражения и замените сложение, где можно умножением. (в первом выражении одни тройки, значит, можно заменить умножением.)

А сколько там троек? (Семь троек.)

Значит, мы по 3 взяли :. (7 раз.)

Запишите у себя в тетрадях.

Учитель записывает на доске, показывая форму записи детям.

3+3+3+3+3+3+3=3*7

А теперь посмотрите на второе выражение. Можем мы его записать умножением? (Нет, оно не подходит, так как там есть разные числа 2. 4 и 1.)

Далее анализируется каждая записанная сумма. Дети объясняют, где можно заменить сложение умножением и записывают примеры в тетрадь.

Что вы можете сказать про выражение 7-7-7 (дети объясняют, что здесь вычитание, а мы заменяем, только сложение.)

Внимание! Последний пример как запишем, везде есть 8?. (Нет, умножением записать нельзя, здесь разные слагаемые.)

Физ. минутка. (ведет ученик, под музыкальное сопровождение.)

(специальные упражнения для гимнастики мозга.)

Работа с учебником.

Учитель:

Открыть учебник на стр. 122. Найти задание №3. [2 ]

Что необходимо выполнить? (Заменить произведение суммой.)

Давайте запишем эту сумму.

У доски работает один ученик.

3+3+3+3+3+3= 18 (заменили произведение 3*6 суммой.)

Сколько мы должны еще прибавить к числу 18? (3)

Какое значение получится, если прибавить 3? (21)

Посмотрите, какое действие нужно выполнить сначала, чтобы при вычислении получить число 21? (Умножение.)

Изменится ли значение выражения, если сначала выполнить действие сложения? (Да, оно изменится.)

Так как мы будем находить значение выражения, если оно без скобок? Давайте прочитаем это на стр. 122 (чтение правила в учебнике)

IV. Первичное закрепление.

Учебник стр. 123. №4 (1-2столбик). Учащиеся коллективно по цепочке выполняют данное задание с объяснением у доски, остальные работают в тетрадях.

V. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Учебник, стр. 123, №4 (3столбик). [2]

Проверим, как вы усвоили новый материал. Выполняем 3 столбик самостоятельно, 2 ребят у доски на закрытых досках. Те, кто всё выполнили, работают консультантами.

Проверяем работу у доски. Какие трудности вы испытывали? Всё выполнено без ошибок? Молодцы!

Давайте, сделаем вывод: если выражение без скобок, и встречается действие сложения и умножения, как вы будете действовать?

(сначала выполняем умножение, а потом сложение.) Молодцы!

VI. Физ. минутка. (ведет ученица) Физ. минутка состоит из 2х частей: под музыкальное сопровождение выполняются несколько упражнений, а затем упражнения для глаз.

(Выполнение гимнастических упражнений для прилива кислорода к клеткам мозга.)

VII. Включение в систему знаний и повторение.

Выполнение упражнения в тетради для самостоятельной работы.

Стр. 54 №4 (1). (коллективный разбор задачи) [3]

  • Сколько всего гречневой крупы купила мама? (2*3=6 (кг).)
  • Сколько килограммов риса купила мама? (7кг.)
  • Сколько всего килограммов крупы купила мама? (6+7=13 (кг.)
  • Записать решение выражением. (2*3+7=13 (кг).)

VII. Закрепление изученного материала.

1. работа по учебнику, стр. 123 №6 [3]

Как выразить число красных кругов в виде произведения? (4*3или3*4)

Как выразить число синих кругов в виде произведения? (2*5 или 5*2)

Соединить в сумму два произведения, выбранных по одному из каждой пары. (сначала выполняется умножение, а потом сложение.)

Что нужно делать, если в выражении без скобок встречаются действия сложения и умножения? (Сначала выполнить умножение, а затем сложение.)

VIII. Рефлексия деятельности. Вот и заканчивается наш урок.

  • Что было на уроке самым интересным? (ответы детей)
  • Что было самым трудным? (ответы детей)
  • Что мы нового узнали? Какое открытие для себя сделали? (Как выполнять порядок действий в выражениях без скобок, если есть сложение и умножение.)
  • Какую оценку поставим за урок? (ответы детей)

Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудут. 
Пусть будет добрым ум у вас
И сердце добрым будет.

Урок окончен. Я благодарю Вас за урок, за вашу активность на уроке, за Ваш успех! Всем спасибо за работу! Молодцы!

IX. Оценка работы учащихся на уроке. Домашнее задание

Тетрадь для самостоятельной работы: №4 (2, 3) (стр. 54).

Перемещение вашей церкви от прибавления к росту умножения

Что значит изменить операционную систему в вашей церкви и перейти от прибавления к умножению роста? Как работает операционная система в церкви? Как обновление системы может приблизить вашу церковь к умножению уровня 5?

Чтобы привести вашу церковь к умножению уровня 5, потребуются изменения, в первую очередь изменения в вашей операционной системе. Если вы цените умножение и хотите, чтобы ваша церковь участвовала в движении Царства, изменение текущей операционной системы с прибавления на умножение не подлежит обсуждению.

Еще несколько вещей, которые вы должны знать о смене операционной системы вашей церкви:

Во-первых, нам нужно понять, как работают операционные системы и почему они важны. Экспоненциальный директор Тодд Уилсон объясняет роль операционных систем как в жизни, так и в наших церквях, а затем объясняет , почему наши преобладающие операционные системы не производят умножения.

Автор и миссиолог Алан Хирш помогает нам понять , что лидеры должны сделать, чтобы изменить операционную систему , и почему высшее руководство должно быть «все включено», даже когда очень небольшая группа церкви (менее пяти процентов) будет вовлечена или заинтересована .Посмотрите это обучающее видео и используйте его для группового обсуждения. Возможный вопрос: Готовы ли мы забыть о том, что мы потратили годы на усовершенствование и совершенствование?

Если вы не уверены, умножается ваша церковь или прибавляется, автор Нил Коул предлагает содержательный контрольный список , который поможет вам оценить вашу практику . Понимание разницы между сложением и умножением необходимо для принятия решения об обновлении. Если вы думаете, что умножаете, а на самом деле добавляете, вы не сделаете необходимых изменений.Вместо этого вы застрянете в дополнении. Кроме того, Exponential разработала инструмент самооценки, на выполнение которого уходит около 30 минут. Вы получите немедленные результаты, показывающие уровень вашей церкви и модель умножения. Как говорит Коул в этом подкасте от Exponential East: «Если мы хотим размножаться, мы должны позволить старой системе пройти, чтобы появились новые вещи. Мы не можем перепутать сложение и умножение. Это слишком важно».

На следующей неделе:  Мы поговорим о важности оценивания.Наши ресурсы рассмотрят, почему движение к умножению требует как самосознания, так и представления об уровне умножения вашей церкви. Чтобы получать эти ресурсы в течение недели, подписывайтесь на @churchplanting в Facebook и Twitter.


Ниже приведены краткие сведения и ссылки на ресурсы недели, а также дополнительные ресурсы, с которыми можно ознакомиться, чтобы узнать больше о руководстве умножающейся церковью:

Изменение операционной системы / видео с участием Алана Хирша                                                                                           Алан Хирш объясняет, что если вы хотите изменить операционную систему вашей церкви с прибавления на рост умножения, вам предстоит путь разучения.

Переосмысление нынешней операционной системы Церкви для будущего умножения путем TODD Wilson , почему преобладающая операционная система церкви не производила преобразование, необходимое для топлива будущих движений умножения.

Не пора ли обновить операционную систему? /подкаст с Нилом Коулом                         Умножение уровня 5 требует, чтобы мы прекратили добавлять и инициировали новую систему умножения

Дополнительные ресурсы для смены операционной системы

Книги

Церковь 3.0: Модернизация для будущего церкви Нила Коула (Джосси-Басс)

Забытые пути: возрождение миссионерской церкви, 2 и издание Алана Хирша (Baker Publishing Group)

Ограждения: шесть принципов умножающей церкви Алан Бриггс

Церковь умножения: новая математика для создания церквей Боб Робертс младший (Зондерван)

На грани: путешествие в апостольское будущее Церкви Дэйв Фергюсон и Алан Хирш (Zondervan, Exponential Series)

Перманентная революция: апостольское воображение и практика для церкви 21-го -го -го века Алана Хирша и Тима Катчима (Джосси-Басс)

Формирование будущего: инновации и миссия для церкви 21 st Century Алана Хирша и Майкла Фроста (Baker Books)

Спонтанное расширение церкви: и причины, которые этому препятствуют Роланд Аллен (Wipf & Stock Pub)

Вирусные церкви: помогая основателям церквей стать организаторами движения , Эд Стецер и Уоррен Берд (Джосси-Басс),

БЕСПЛАТНЫЕ электронные книги

Стать церковью умножения 5-го уровня   Тодд Уилсон и Дэйв Фергюсон

Искра: воспламенение культуры умножения Тодда Уилсона

Вы можете умножить свою церковь: один путь к радикальному умножению Ральф Мур

Подкасты/Видео

Создание учеников, умножение церквей / подкаст с участием Ральфа Мура

Движение начинается с тебя / подкаст с участием Дэйва Фергюсона и Джона Фергюсона

Play Thuno: The World-Changing Multiplication Game/ подкаст с участием Ларри Уокемейера

Movement Simplexity: Стать 5 во всех 6 элементах мДНК / подкаст с участием Алана Хирша и Джесси Круикшенк

Начало движения/видео с участием Аджаи Лалла

Начиная с уровня 5/ подкаст с участием Джастина Моксли и Криса Хорнбрука

Сообщения в блогах/Статьи

Обновление операционной системы церкви Нилом Коулом

Какая у вас операционная система? Уэйд Бернетт

Примите участие в разговоре об умножении на предстоящей конференции Exponential East в Орландо, 24-27 апреля.Нажмите здесь для получения дополнительной информации и регистрации.

 

 

 

 

 

Арифметика

— Почему сложение и умножение коммутативны, а возведение в степень — нет?

Мы начинаем с коммутативной операции сложения и рекурсивно повторяем ее, чтобы получить операцию умножения как повторяющееся сложение и обнаруживаем, что она остается коммутативной. Можно предположить, что такое утверждение, как «повторяющиеся коммутативные операции, снова коммутативны».В этом случае можно было бы ожидать, что возведение в степень, которое также является итерацией коммутативной операции, само по себе будет коммутативным. Но возведение в степень не коммутативно, поэтому ожидаемое утверждение не выполняется. Почему нет?

Что ж, давайте посмотрим на доказательство коммутативности умножения из аксиом арифметики Пеано.

Обозначим преемника $n$ как $s(n).$ Умножение определяется рекурсивно через $s(m)\cdot n = m\cdot n + n$ с базовым случаем $0\cdot n=0.$

Мы хотим показать, что $m\cdot n = n\cdot m$ для всех $m,n\in\mathbb{N}.$ Проведем индукцию по $m$, вложенную в индукцию по $n$. Пусть $S$ — множество натуральных чисел, которые коммутируют со всем в $\mathbb{N}$. Ясно, что $0\in S$. Предположим, что $n\in S$. Пусть $T$ — множество всех натуральных чисел, коммутирующих с $S(n)$. Ясно, что $0\in T$. Предположим, что $m\in T.$ Тогда мы имеем

$$ s(m)\cdot s(n) = m\cdot s(n) + s(n)\qquad\text{(def of mult)}\\ = s (n) \ cdot m + s (n) \ qquad \ text {(ind hyp 2)} \\ = (n\cdot m + m) + s(n)\qquad\text{(def of mult)}\\ = n\cdot m + (m + s(n))\qquad\text{(добавить ассоциацию)}\\ = n\cdot m + s(m + n)\qquad\text{(def of add)}\\ = n\cdot m + s(n + m)\qquad\text{(добавить запятую)}\\ = n\cdot m + (n + s(m))\qquad\text{(def of add)}\\ = (n\cdot m + n) + s(m)\qquad\text{(добавить ассоциацию)}\\ = (m\cdot n + n) + s(m)\qquad\text{(ind hyp 1)}\\ = s(m)\cdot n + s(m)\qquad\text{(def of mult)}\\ = n\cdot s(m) + s(m)\qquad\text{(ind hyp 1)}\\ = s(n)\cdot s(m)\qquad\text{(def of mult)}.{с(н)}. $$

Два шага, выделенные красным цветом, являются недопустимыми шагами (кроме того, что базовый случай также не работает), которые предполагают, что преемник продукта является продуктом с преемником одного из факторов, который терпит неудачу: $\color{red}{s (m\cdot n) \neq m\cdot s(n)}$. Так что это причина того, что формальное доказательство коммутативности умножения не может быть перенесено на доказательство коммутативности возведения в степень. В этом разница между сложением и умножением: последующая операция коммутирует со сложением, но не с умножением.$$(m+1)+n=(m+n)+1,$$, но $$(m+1)\cdot n\neq (m\cdot n)+1$$.

Умножение распределяет по сложению и последующей операции, а не коммутирует с ней.

Другими словами, вопрос не должен быть «почему возведение в степень не является коммутативным?». Лучший вопрос: «Почему является коммутативным умножением ?» Сложение коммутативно, потому что потомок ассоциативен, а умножение коммутативно, потому что с рекурсивной точки зрения это просто сложение, а сложение коммутирует с потомком.Ни для каких других операций, тем более для более высоких итераций, мы не должны ожидать, что это будет правдой.

Обратите внимание, что по сути это тот же ответ, что дал Ливен: если мы используем мультипликативную рекурсию вместо аддитивной, то параллели между итерацией сложения и умножением действительно существуют. Но я хотел увидеть ответ, указывающий точный шаг, на котором доказательство не работает, отсюда и мое предложение.

Арифметика. Аксиомы арифметических операций. Умножение, вещественное число, сложение и свойство

Арифметика — это изучение математики, связанное с манипулированием действительными числами.Два основных свойства арифметики — сложение и умножение. При сложении двух чисел полученное число называется суммой. Например, 6 — это сумма 4 + 2. Точно так же при умножении двух чисел полученное число называется произведением. Обе эти операции имеют связанную обратную операцию, которая обращает или «отменяет» свое действие. Обратной операцией сложения является вычитание. Результат, полученный путем вычитания двух чисел, называется разностью. Деление — это операция, обратная умножению, в результате которой при делении двух чисел получается частное.Арифметические операции над действительными числами подчиняются ряду основных правил, называемых аксиомами. К ним относятся аксиомы сложения, умножения, дистрибутивности и порядка. Для простоты буквы a, b и c обозначают действительные числа во всех следующих аксиомах.

Есть три аксиомы, связанные с операцией сложения. Первый, называемый коммутативным законом, обозначается уравнением a + b = b + a. Это означает, что порядок, в котором вы добавляете два числа, не меняет конечный результат.Например, 2 + 4 и 4 + 2 означают одно и то же. Следующим является ассоциативный закон, который записывается как a + (b + c) = (a + b) + c. Эта аксиома предполагает, что группировка чисел также не влияет на сумму. Третья аксиома сложения — это свойство замыкания , которое утверждает, что уравнение a + b является действительным числом.

Из аксиом сложения можно вывести еще два свойства. Одним из них является аддитивное свойство идентичности , которое говорит, что для любого действительного числа а + 0 = а.Другое — аддитивное обратное свойство, которое предполагает, что для каждого числа а существует число —а такое, что —а + а = 0,

.

Как и сложение, операция умножения связана с тремя аксиомами. Существует коммутативный закон умножения, сформулированный уравнением a × b = b × a. Существует также ассоциативный закон умножения, обозначаемый a × (b × c) = (a × b) × c. И, наконец, есть свойство замыкания умножения, которое утверждает, что a × b — действительное число.Другая аксиома, связанная как со сложением, так и с умножением, — это аксиома дистрибутивности, представленная уравнением (a + b) × c = (a × c) + (b × c).

Аксиомы умножения предполагают еще два свойства. К ним относятся свойство мультипликативной идентичности, которое говорит, что для любого действительного числа а 1 × а = а, и мультипликативное обратное свойство, которое утверждает, что для каждого действительного числа существует уникальное число (1/а), такое что (1/а) × а = 1.

Аксиомы, относящиеся к операциям сложения и умножения, указывают, что действительные числа образуют алгебраическое поле .Четыре дополнительные аксиомы утверждают, что внутри множества действительных чисел есть порядок. Один утверждает, что для любых двух действительных чисел верно одно и только одно из следующих соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b. Другой предполагает, что если a < b и b < c, то a < c. Монотонность сложения утверждает, что если a < b, то a + c < b + c. Наконец, свойство монотонности умножения утверждает, что если a < b и c > 0, то a × c < b × c.


Сложение и умножение матриц — помощь с домашним заданием по математике

Линейная алгебра — Матрицы: (урок 2 из 3)

Сложение и умножение матриц

Добавление матриц

Обозначим сумму двух матриц $A$ и $B$ (тех же размерностей) на $C = A + B..$ Сумма определяется добавлением записей с теми же индексами

$c_{ij} \эквив a_{ij} + b_{ij}$

по всем $i$ и $j$.

Пример:

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {с}} \цвет{красный}{1}&\цвет{синий}{2}\\ 3&\цвет{фиолетовый}{4} \end{массив}} \right] + \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} \цвет{красный}{5}&\цвет{синий}{6}\\ 7&\цвет{фиолетовый}{8} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {\ цвет {красный} {1 + 5}} & {\ цвет {синий} {2 + 6}} \\ {3 + 7} & {\ color {фиолетовый} {4 + 8}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} 6&8\\ {10}&{12} \end{массив}} \right] $

Вычитание матриц

Вычитание выполняется аналогично.

Пример:

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {с}} \цвет{красный}{1}&\цвет{синий}{2}\\ 3&\цвет{фиолетовый}{4} \end{массив}} \right] — \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} \цвет{красный}{5}&\цвет{синий}{6}\\ 7&\цвет{фиолетовый}{8} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {\ цвет {красный} {1 — 5}} & {\ цвет {синий} {2 — 6}} \\ {3–7}&{\цвет{фиолетовый}{4–8}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {-4}&{-4}\\ {-4}&{-4} \end{массив}} \right] $

Скалярное умножение

Чтобы умножить матрицу на действительное число, каждый элемент умножается на это число.

Пример:

$ \color{red}{5} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&2&3\\ {– 1}&{– 2}&{– 3} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{l}} {\ color {red} {5} \ cdot 1} & {\ color {red} {5} \ cdot 2} & {\ color {red} {5} \ cdot 3} \\ {\ color {red} {5} \ cdot (- 1)} & {\ color {red} {5} \ cdot (- 2)} & {\ color {red} {5} \ cdot (- 3)} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{l}} 5&{10}&{15}\\ {– 5}&{– 10}&{– 15} \end{массив}} \right] $

Умножение вектора-строки на вектор-столбец

Это умножение возможно, только если вектор-строка и вектор-столбец имеют одинаковое количество элементов.Чтобы умножить строку на столбец, соответствующие элементы умножаются, а затем добавляются к результатам.

Пример:

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} \цвет{красный}{1}&\цвет{синий}{2}&3 \end{array}} \right]}_{1 \times \color{blue}{3}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \цвет{красный}{4}\\ \цвет{синий}{5}\\ 6 \end{array}} \right]}_{\color{blue}{3} \times 1} = \color{red}{1 \cdot 4} + \color{blue}{2 \cdot 5} + 3 \cdot 6 = \underbrace {22}_{1 \times 1} $

Если вектор-строка и вектор-столбец имеют разную длину, их произведение не определено .

Пример:

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 1&2&3&4 \end{array}} \right]}_{1 \times \color{red}{4}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 5\\ 6 \end{массив}} \right]}_{\color{red}{3} \times 1} = \color{red}{\text{НЕ ОПРЕДЕЛЕНО}} $

Произведение вектора-строки и матрицы

Если количество элементов в векторе-строке совпадает с количеством строк во второй матрице, то эта матрица можно выполнить умножение.

Пример:

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} \цвет{красный}{1}&\цвет{красный}{2}&\цвет{красный}{3} \end{array}} \right]}_{1 \times \color{blue}{3}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \цвет{синий}{2}&\цвет{розовый}{1}&\цвет{оранжевый}{3}\\ \цвет{синий}{3}&\цвет{розовый}{3}&\цвет{оранжевый}{2}\\ \color{синий}{4}&\color{розовый}{1}&\color{оранжевый}{2} \end{массив}} \right]}_{\color{blue}{3} \times 3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ color{red}{1} \cdot \color{blue}{2} + \color{red}{2} \cdot \color{blue}{3} + \color{red}{3} \cdot \ цвет {синий} {4}}\\ {\color{red}{1} \cdot \color{pink}{1} + \color{red}{2} \cdot \color{pink}{3} + \color{red}{3} \cdot \ цвет {розовый} {1}}\\ {\color{красный}{1} \cdot \color{оранжевый}{3} + \color{красный}{2} \cdot \color{оранжевый}{2} + \color{red}{3} \cdot \ цвет {оранжевый} {2}} \ end {массив}} \ right] = \ underbrace {\ left [ {\ begin {array} {* {20} {c}} {20}\\ {10}\\ {13} \end{массив}} \right]}_{1 \times 3} $

Если количество элементов в векторе-строке НЕ совпадает с количеством строк во второй матрице, то их произведение равно не определено .

Пример:

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} \цвет{красный}{1}&\цвет{красный}{2}&\цвет{красный}{3} \end{array}} \right]}_{1 \times \color{red}{3}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&3&5\\ 2&4&6 \end{массив}} \right]}_{\color{red}{2} \times 3} = \color{red}{\text{НЕ ОПРЕДЕЛЕНО}} $

Умножение матриц — общий случай

Если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк во второй матрице, то матрица можно выполнить умножение.

Примеры

Умножение матрицы $2 \times 3$ на матрицу $3 \times 2$ возможно, и это дает матрицу $2 \times 2$ в результате.

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {l}} ?&?&?\\ ?&?&? \end{array}} \right]}_{2 \times \color{blue}{3}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} ?&?\\ ?&?\\ ?&? \end{массив}} \right]}_{\color{blue}{3} \times 2} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} ?&?\\ ?&? \end{массив}} \right]}_{2 \times 2} $

Умножение матрицы $2 \times 3$ на матрицу $2 \times 3$ не определено.

$ \ underbrace {\ left [ {\ begin {массив} {* {20} {l}} ?&?&?\\ ?&?&? \end{array}} \right]}_{2 \times \color{red}{3}} \cdot \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} ?&?&?\\ ?&?&? \end{массив}} \right]}_{\color{red}{2} \times 3} = \color{red}{\text{НЕ ОПРЕДЕЛЕНО}} $

Вот пример умножения двух конкретных матриц

Пример: найти произведение $AB$, где $A$ и $B$ — матрицы:

$ А = \ влево [ {\ begin {массив} {* {20} {l}} 1&3&5\\ 2&4&6 \end{массив}} \right] \ \ \ \ B = \ влево [ {\ begin {массив} {* {20} {l}} 3&6\\ 1 и 4\\ 5 и 2 \end{массив}} \right] $

Решение:

Произведение $AB$ определено, поскольку $A$ является матрицей $2 \times 3$, а $B$ является матрицей $3 \times 2$.Ответ — матрица $2 \times 2$. Умножение разбито на 4 шага.

Шаг 1:

Умножить 1-ю строку первой матрицы и 1-й столбец второй матрицы поэлементно. Результат помещается в позицию (1, 1)

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {l}} \цвет{красный}{1}&\цвет{красный}{3}&\цвет{красный}{5}\\ 2&4&6 \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}{*{20}{l}} \цвет{синий}{3}&6\\ \цвет{синий}{1}&4\\ \цвет{синий}{5}&2 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {\ color{red}{1} \cdot \color{blue}{3} + \color{red}{3} \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{5} \cdot \ цвет {синий} {5}}&?\\ ?&? \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {31}&?\\ ?&? \end{массив}} \right] $

Шаг 2:

Теперь умножьте 1-ю строку первой матрицы и 2-й столбец второй матрицы.Результат помещается в позицию (1, 2)

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {l}} \цвет{красный}{1}&\цвет{красный}{3}&\цвет{красный}{5}\\ 2&4&6 \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}{*{20}{l}} 3&\цвет{синий}{6}\\ 1&\цвет{синий}{4}\\ 5&\цвет{синий}{2} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} 31&{\color{red}{1} \cdot \color{blue}{6} + \color{red}{3} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{5} \cdot \цвет{синий}{2}}\\ ?&? \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {31}&{28}\\ ?&? \end{массив}} \right] $

Шаг 3:

Далее умножьте 2-ю строку первой матрицы и 1-й столбец второй матрицы.Результат помещается в позицию (2, 1)

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {l}} 1&3&5\\ \цвет{красный}{2}&\цвет{красный}{4}&\цвет{красный}{6} \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}{*{20}{l}} \цвет{синий}{3}&6\\ \цвет{синий}{1}&4\\ \цвет{синий}{5}&2 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} 31 и 28\\ {\ color{red}{2} \cdot \color{blue}{3} + \color{red}{4} \cdot \color{blue}{1} + \color{red}{6} \cdot \ цвет {синий} {5}}&? \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {31}&{28}\\ {40}и? \end{массив}} \right] $

Шаг 4:

Наконец, умножьте 2-ю строку первой матрицы и 2-й столбец второй матрицы.Результат идет в позиции (2, 2)

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {l}} 1&3&5\\ \цвет{красный}{2}&\цвет{красный}{4}&\цвет{красный}{6} \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}{*{20}{l}} \цвет{синий}{3}&6\\ \цвет{синий}{1}&4\\ \цвет{синий}{5}&2 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} 31 и 28\\ 40&{\color{red}{2} \cdot \color{blue}{6} + \color{red}{4} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{6} \cdot \цвет{синий}{2}} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {31}&{28}\\ {40}&{40} \end{массив}} \right] $

Итак, результат:

$ \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {l}} 1&3&5\\ 2&4&6 \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}{*{20}{l}} 3&6\\ 1 и 4\\ 5 и 2 \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {31}&{28}\\ {40}&{40} \end{массив}} \right] $

Пример 2: Найдите произведение AB, где A и B — матрицы, заданные как:

$ А = \ влево [ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 2&1\\ 3 и 5 \end{массив}} \right] \ \ \ \ \ В знак равно \ влево [ {\ {начать массив} {* {20} {с}} {- 2}&3\\ 4&{ — 1} \end{массив}} \right] $

Решение:

$ A \cdot B = \left[ {\ begin {массив} {* {20} {c}} 2&1\\ 3 и 5 \end{массив}} \right] \cdot \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {- 2}&3\\ 4&{ — 1} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} {2 \cdot ( — 2) + 1 \cdot 4}&{2 \cdot 3 + 1 \cdot ( — 1)}\\ {3 \cdot ( — 2) + 5 \cdot 4}&{3 \cdot 3 + 5 \cdot ( — 1)} \end{массив}} \right] = \left[ {\begin{массив}}{*{20}{c}} 0&5\\ {14}&4 \end{массив}} \right] $

Сложение и умножение комплексных чисел

На странице «Набор комплексных чисел» мы определили набор комплексных чисел $\mathbb{C}$ следующим образом:

(1)

\begin{align} \quad \mathbb{C} = \{ a + bi : a, b \in \mathbb{R}, \: \mathrm{and}, \: i = \sqrt{-1} \ } \end{выравнивание}

Теперь мы определим две операции над $\mathbb{C}$: сложение и умножение.

Определение: Если $z = a + bi, w = c + di \in \mathbb{C}$, то операция Сложение , обозначаемое $+$ между $z$ и $w$, определяется как быть $z + w = ​​(a + c) + (b + d)i$ и $z + w$ называется суммой $z$ с $w$ .

Другими словами, если $z, w \in \mathbb{C}$, то сумма $z$ с $w$ представляет собой новое комплексное число $z + w$, действительная часть которого является суммой действительных частей $z$ и $w$, чья мнимая часть равна сумме мнимых частей $z$ и $w$.2$. Если мы представим два комплексных числа $z$ и $w$ в виде векторов положения на комплексной плоскости, то их сумма $z + w$ будет вектором положения, начальная точка которого является началом координат, а конечная точка — $a + c$. единиц в направлении действительной оси и $b + d$ единиц в направлении воображаемой оси:

Нетрудно заметить, что сложение комплексных чисел является коммутативным ($z + w = ​​w + z$) и ассоциативным ($z + (w + v) = (z + w) + v$) для всех $z, w , v \in \mathbb{C}$) коммутативностью и ассоциативностью действительных чисел.

Определение: Если $z = a + bi, w = c + di \in \mathbb{C}$, то определена операция Умножение , обозначаемое $\cdot$ между $z$ и $w$ быть $z \cdot w = (ac — bd) + (ad + bc)i$ и $z \cdot w$ называется произведением $z$ на $w$.

«$\cdot$» часто опускается при умножении, и произведение $z$ на $w$ можно просто записать как $zw$.

Произведение двух комплексных чисел можно легко вычислить, разложив и упростив произведение двух комплексных чисел как произведение двух двучленов.2 = (3 — 8) + 10i = -5 + 10i \end{align}

Обратите внимание, что если $z = a + bi \in \mathbb{C}$ и $k \in \mathbb{R}$, то:

(4)

\begin{align} \quad kz = k(a + bi) = ka + kbi \end{align}

Итак, комплексное число, умноженное на действительное число, представляет собой еще более простую форму умножения комплексных чисел.

Опять же, нетрудно убедиться, что умножение комплексных чисел является одновременно и коммутативным, и ассоциативным.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.