Сложение дробей с разными знаменателями и целыми числами: Урок 72. сложение смешанных дробей — Математика — 5 класс

Содержание

Урок 72. сложение смешанных дробей — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 72

Сложение смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение смешанной дроби с целым числом;

– сложение смешанной дроби с правильной дробью;

– сложение смешанных дробей с общим знаменателем;

– сложение смешанных дробей с разными знаменателями;

– преобразование неправильных дробей в смешанное число.

Тезаурус

Смешанная дробь – сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака плюс.

Целая часть смешанной дроби – натуральное число в смешанной дроби.

Дробная часть смешанной дроби – правильная дробь в смешанной дроби.

Переместительное свойство сложения – от перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее мы говорили, что смешанная дробь – это сумма натурального числа и правильной дроби. При сложении смешанных дробей используют законы сложения. Рассмотрим это на примере:

Каждую смешанную дробь представим, как сумму целой и дробной части.

Вспомним переместительное свойство сложенияот перестановки слагаемых местами сумма не меняется. Перегруппируем слагаемые. Запишем сначала сумму целых частей, а затем сумму дробных частей. Сложим отдельно целые и дробные части обеих дробей. Полученную сумму запишем смешанной дробью, то есть уберём знак плюс между натуральным числом и правильной дробью.

Для удобства будем считать, что у каждого натурального числа есть дробная часть, равная нулю, а у каждой правильной дроби есть целая часть, равная нулю. С учётом этого складывать натуральные числа и правильные дроби со смешанными дробями можно по тому же правилу.

Например:

Проведём те же преобразования, что и в предыдущем примере: отдельно сложим целые и дробные части обоих чисел. Запишем сумму целой и дробной части в виде смешанной дроби, т. е. без знака плюс.

Рассмотрим пример, в котором к смешанной дроби прибавляют простую дробь.

Отдельно складываем целые части и дробные части. Сумму натурального числа и дроби записываем смешанным числом, т. е. без знака плюс.

При сложении двух смешанных дробей сумма дробных частей может оказаться неправильной дробью. Посмотрим на примере, как действовать в таком случае.

Сумма дробных частей получилась равной семи пятым. Преобразуем неправильную дробь в смешанную. Семь пятых – это одна целая и две пятых. С учётом этого сумма данных смешанных чисел равна четырём целым и двум пятым.

Если необходимо сложить смешанные дроби, дробные части которых имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести дробные части к общему знаменателю, а потом выполнить сложение.

Общий знаменатель дробных частей равен пятнадцати. Сумма будет равна семи целым тринадцати пятнадцатым. Обратите внимание на запись решения данного примера. Здесь уже нет промежуточных вычислений сумм целых и дробных частей. Записывать эти вычисления не нужно, достаточно понимать последовательность своих действий.

Рассмотрим ещё одно выражение:

В этом выражении у обоих слагаемых есть и целая, и дробная части. Дробные части имеют различные знаменатели. Приводим дробные части к общему знаменателю. Отдельно складываем целые и дробные части, не записывая это подробно. Сумма дробных частей оказалась равной сорока трём тридцатым, это неправильная дробь. Преобразуем её в смешанную дробь. Сорок три тридцатых – это одна целая тринадцать тридцатых. Выполним сложение семи и одной целой тринадцати тридцатых. Получим восемь целых тринадцать тридцатых.

Вычислим:

При решении этого выражения можно выполнить действия по порядку: сначала найти суммы в скобках, затем сложить полученные суммы.

В этом случае нам придётся приводить дроби к общему знаменателю. Выполним это решение:

Можно решить это выражение другим способом, вспомнив сочетательный и переместительные свойства сложения:

Во втором случае решение получилось короче, нам не пришлось приводить дроби к общему знаменателю.

Сегодня мы рассмотрели сложение смешанных дробей с натуральными числами, правильными дробями и смешанными дробями. Во всех этих случаях мы действовали по одному правилу: отдельно складывали целые и дробные части слагаемых, а затем складывали полученные результаты.

Тренировочные задания

№ 1. Выберите выражения, в решении которых допущены ошибки или решение не доведено до верного ответа:

В первом выражении приведено полное, верное решение: отдельно сложены целые и дробные части смешанных дробей. Дробные части приведены к общему знаменателю. Сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, эта дробь правильно преобразована в смешанную дробь. Сложение натурального числа и смешанной дроби выполнено верно.

Во втором выражении при сложении дробных частей, правильно приведённых к общему знаменателю, также получилась неправильная дробь, верно произведено сокращение этой неправильной дроби, но она не преобразована в смешанную дробь. В ответе получилось число, дробная часть которого является неправильной дробью. Это неверная запись ответа, хотя вычисления произведены правильно.

В третьем выражении неправильно выполнено сложение дробных частей. Дроби не приводятся к общему знаменателю, складывается числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, что не является верным нахождением суммы двух дробей. В ответе получилась сократимая дробь, которая сокращена верно.

Ответ: ошибки допущены во 2 и 3 выражениях.

№ 2. Вычислите периметр прямоугольного участка земли, если его ширина м, а длина на м больше.

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны попарно равны, достаточно знать длину и ширину прямоугольника. Ширина известна, она равна м, а о длине сказано, что она на м больше. Найдём длину прямоугольника, для этого к ширине прибавим м.

(м) – длина прямоугольника.

При сложении мы привели дробные части к общему знаменателю, сложили их, преобразовали получившуюся неправильную дробь в смешанную дробь и сложили её с суммой целых частей.

Теперь найдём периметр прямоугольника. Сложим длины четырёх его сторон:

(м) – периметр прямоугольника

Заметим, что промежуточные вычисления – отдельное сложение целых и дробных частей – записывать не обязательно.

Сложение дробей — как складывать дроби 🤔

Понятие дроби

Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:

  • обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.

  2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

  • От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
  • При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

  • 90 : 15 = 6,
  • 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

  • если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
  • если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

  1. найти НОК всех знаменателей;
  2. проставить к каждой дроби дополнительные множители;
  3. умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
  4. полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
  5. произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Например:


Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычитание, дробь, знаменатель, сложение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Сложение целых и дробных чисел. Сложение дробей с целыми числами и разными знаменателями

Смешанное число – число с обыкновенной дробью, такое как 5 ½. Если хотите знать, как сложить два таких числа, то вот как это делается.

Шаги

1 Сложение целых чисел и дробей по отдельности

  1. 1 Сложите целые числа. Целые числа 1 и 2, так что 1 + 2 = 3.
  2. 2 Найдите наименьший общий знаменатель (НОЗ) обеих дробей, т. е. наименьшее число, делящиеся на оба эти знаменателя. Так как знаменатели дробей – 2 и 4, то наименьший общий знаменатель – 4, так как это наименьшее число, которое делится на 2 и на 4.
  3. 3 Переведите дроби так, чтобы у них был общий знаменатель, 4. Знаменатель каждой должен быть равен 4, но их значение не должно измениться, вот, как это делается:
    • Так как знаменатель дроби ½, а для получения 4 нужно умножить на 2, то надо и числитель умножить на 2. 1 * 2 = 2, так что теперь дробь выглядит так 2/4. Дробь 2/4 = 1/2, мы удвоили и числитель, и знаменатель, но значение дроби не изменилось.
    • Дробь 3/4 уже имеет знаменатель 4, так что ничего менять не надо.
  4. 4 Сложите дроби. Если есть общий знаменатель, для этого нужно просто сложить числители.
  5. 5 Переведите любые неправильные дроби в смешанные числа. Неправильная дробь – такая, в которой числитель равен знаменателю или больше. Вот как это делается:
    • Во-первых, разделите числитель на знаменатель. Попробуйте столбиком, 4 помещается в 5 1 раз. Это значит, что целых единиц – 1, а помимо этого есть еще и остаток – тоже 1.
    • У нас получилось 1 целая и 1 в остатке, то есть окончательный ответ — 1 1/4.
  6. 6 Для получения окончательного ответа сложите сумму целых чисел и сумму дробей. 1 + 2 = 3 и 1/2 + 3/4 = 1 1/4, итак 3 + 1 1/4 = 4 1/4.

2 Перевод смешанных чисел в неправильные дроби и их сложение

  1. 1 Переведите смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте знаменатель на число целых единиц и прибавьте к числителю.
    • Чтобы перевести 1 1/2 в неправильную дробь, умножаем число целых единиц 1 на знаменатель 2 и складываем с числителем.
      • 1 * 2 = 2, и 2 + 1 = 3. Пишем 3 в знаменатель и получаем 3/2.
    • Для перевода 2 3/4 в неправильную дробь, умножаем число целых единиц 2 на знаменатель 4, получается 2 * 4 = 8.
      • Далее пишем это число в числитель, получается 8 + 3 = 11, знаменатель остается неизменным и получается 11/4.
  2. 2 Найдите наименьшее общее кратное двух знаменателей – наименьшее число, которое без остатка делится на оба знаменателя. Если знаменатели одинаковые – этого делать не надо.
    • Если один из знаменателей делится на другой, то он и есть наименьшее общее кратное, например, если знаменатели 2 и 4.
  3. 3 Сделайте знаменатели одинаковыми. Умножьте знаменатель на число, которое даст вам наименьшее общее кратное. Умножьте числитель на это же число. Проделайте это с обеими дробями.
    • Знаменатель дроби 3/2 для получения нового знаменателя 4 нужно умножить на 2, значит и числитель надо умножить на 2. Теперь дробь будет выглядеть как 6/4.
    • В дроби 11/4 уже есть знаменатель 4, так что ничего менять не надо.
  4. 4 Сложите две дроби. Для этого просто нужно сложить числители, знаменатель остается неизменным.
  5. 5 Переведите неправильную дробь в смешанное число. Вот как:
    • Во-первых, разделите числитель на знаменатель. Разделите 17 на 4, получается 4 и 1 в остатке.
    • Запишем количество целых единиц – 4, и остаток – 1, знаменатель не изменился. Получается — 4 1/4.

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

  • Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

  • Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Сложение дробей с целым числом. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

  • Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

  • Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

    Чтобы к дроби прибавить целое число, достаточно выполнить ряд действий, а вернее подсчетов.

    К примеру у вас 7 — целое число, его нужно прибавить к дроби 1/2.

    Действуем следующим образом:

    • 7 умножаем на знаменатель (2), получается 14,
    • к 14 прибавляем верхнюю часть (1), выходит 15,
    • и подставляем знаменатель.
    • в итоге получается 15/2.

    Таким нехитрым способом можно прибавлять целые числа к дробным.

    А чтобы выделить целое число из дроби, надо поделить числитель на знаменатель, а остаток — и будет дробь.

    Операция прибавления к правильной обыкновенной дроби целого числа не сложна и подчас заключается просто в образовании смешанной дроби, в которой целая часть ставится левее дробной части, например такая дробь будет смешанной:

    Однако чаще при добавлении к дроби целого числа получается неправильная дробь, у которой числитель оказывается больше знаменателя. Выполняется эта операция так: целое число представляют в виде неправильной дроби с тем же знаменателем, что и прибавляемая дробь и потом просто складывают числители обеих дробей. На примере это буду выглядеть так:

    5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

    По-моему это очень просто.

    Например, мы имеем дробь 1/4 (это то же самое, что 0,25, то есть четверть от целого числа).

    И к этой четверти можно прибавить любое целое число, например 3. Получится три с четвертью :

    3,25. Или в дроби это выражается так: 3 1/4

    Вот по образцу этого примера можно складывать любые дроби с любыми целыми числами.

    Нужно возвести целое число в дробь со знаменателем 10 (6/10). Далее, привести имеющуюся дробь к общему знаменателю 10 (35=610). Ну и выполнить операцию как с обычными дробями 610+610=1210 итого 12.

    Можно сделать это двумя способами.

    1). Дробь можно перевести в целое число и осуществить сложение. Например, 1/2 это 0,5; 1/4 равняется 0,25; 2/5 это 0,4 и тд.

    Берем целое число 5, к которому нужно прибавить дробь 4/5. Преобразуем дробь: 4/5 это 4 разделить на 5 и получаем 0,8. Прибавляет 0,8 к 5 и получаем 5,8 или же 5 4/5.

    2). Второй способ: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

    Сложение дробей простое математическое действие, пример, вам нужно сложить целое число 3 и дробь 1/7. Чтобы сложить эти два числа, у вас должно быть один знаменатель, поэтому вы должны три умножить на семь и разделить на эту цифру, тогда вы получаете 21/7+1/7, знаменатель один, складываете 21 и 1, получается ответ 22/7.

    Просто взять и прибавить целое число к этой дроби.Допустим надо 6+1/2=6 1/2. Ну и если это десятичная дробь то можно например так 6+1,2=7,2.

    Чтобы сложить дробь и целое число, нужно к целому числу прибавить дробное и записать их, в виде комплексного числа, например при сложение обыкновенной дроби с целым числом, получим: 1/2 +3 =3 1/2; при сложении десятичной дроби: 0,5 +3 =3,5.

    Дробь сама по себе не является целым числом, по тому что она по своему количеству до него не дотягивает, а потому и нет необходимости переводить целое число в эту дробь. Поэтому целое число остается целым и полноценно демонстрирует полный номинал, а дробь к нему плюсуется, и демонстрирует то, сколько этому целому числу не хватает до прибавления следующего полного балла.

    Академический пример.

    10 + 7/3 = 10 целых и 7/3.

    Если конечно есть целые, то они суммируются с целыми.

    12 + 5 7/9 = 17 и 7/9.

    Смотря какое целое число и какая дробь.

    Если оба слагаемых положительные , следует приписать к целому числу эту дробь. Получится смешанное число. Причем, могут быть 2 случая.

    Случай 1.

    • Дробь правильная, т.е. числитель меньше знаменателя. Тогда полученное после приписывания смешанное число и будет ответом.

    4/9 + 10 = 10 4/9 (десять целых четыре девятых).

    Случай 2.

    • Дробь неправильная, т.е. числитель больше знаменателя. Тогда требуется небольшое преобразование. Неправильную дробь следует превратить в смешанное число, другими словами выделить целую часть. Делается это так:

    После этого к целому числу нужно прибавить целую часть неправильной дроби и к полученной сумме приписать ее дробную часть. Таким же образом к смешанному числу прибавляется целое.

    1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 целых три четвертых).

    2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 целых одна вторая).

    Если одно из слагаемых или оба отрицательные , то сложение производим по правилам сложения чисел с разными или одинаковыми знаками. Целое число представляется в виде отношения этого числа и 1, а затем и числитель, и знаменатель умножается на число, равное знаменателю той дроби, к которой целое число прибавляется.

    3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (минус 1 целая четыре пятых).

    4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (минус 8 целых одна третья).

    Замечание.

    После знакомства с отрицательными числами, при изучении действий с ними учащиеся 6 класса должны понимать, что к отрицательной дроби прибавить положительное целое число то же самое, что вычитать из натурального числа дробь. Это действие, как известно, выполняется так:

    На самом деле для того чтобы произвести сложение дроби и целого числа нужно просто напросто привести имеющиеся целое число к дробному, а сделать это проще простого. Нужно просто взять знаменатель дроби (имеющейся в примере) и сделать его знаменателем целого числа, умножив его на этот знаменатель и разделив, вот пример:

    2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

выполните вычитание дробей

Вы искали выполните вычитание дробей? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выполните сложение или вычитание дробей, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «выполните вычитание дробей».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как выполните вычитание дробей,выполните сложение или вычитание дробей,вычесть из дроби целое число,вычисление дробей с разными знаменателями,вычитание дробей правило,вычитание дробей с разными,вычитание дробей с разными знаменателями и числителями,вычитание дробей с разными знаменателями правило,вычитание дробей с разными числителями,вычитание дробей с разными числителями и знаменателями,вычитание дробей с целыми,вычитание дробей с целыми числами с разными знаменателями,вычитание и сложение дробей с целыми числами,вычитание из дробей целого числа,вычитание неправильных дробей,вычитание простых дробей,вычитание с дробей с разными числителями,вычитание целого числа из дробей,дроби с целыми числами как решать,дробь вычесть дробь с разными знаменателями,дробь минус целое число,из дроби вычесть целое число,как выполнить вычитание дробей с разными знаменателями,как выполнить вычитание и сложение дробей с разными знаменателями,как выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями,как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями,как вычесть дроби,как вычесть дроби с одинаковыми знаменателями,как вычесть дроби с разными знаменателями,как вычесть дроби с разными знаменателями и числителями,как вычесть дроби с разными числителями и знаменателями,как вычесть дробь,как вычесть дробь из дроби,как вычесть дробь из дроби с разными знаменателями,как вычесть дробь из дроби с разными числителями и знаменателями,как вычесть дробь с разными знаменателями,как вычесть из дроби дробь,как вычесть из дроби дробь с разными знаменателями,как вычесть из дроби число,как вычесть из смешанной дроби смешанную дробь с разными знаменателями,как вычесть смешанные дроби с разными знаменателями,как вычислить дроби,как вычислить дроби с разными знаменателями,как вычислить дроби с разными числителями и знаменателями,как вычислить дробь из целого числа,как вычислить дробь с разными знаменателями,как вычислить из дроби целое число,как вычислить из целого числа дробь,как вычислить целое число из дроби,как вычислять дроби с разными знаменателями,как вычитать дроби с одинаковыми знаменателями,как вычитать дроби с разными знаменателями и целыми числами,как вычитать дроби с разными знаменателями и числителями,как вычитать дроби с разными знаменателями с целыми числами,как вычитать дроби с целыми числами,как вычитать дроби с целыми числами и разными знаменателями,как вычитать неправильные дроби,как вычитать обыкновенные дроби,как вычитать смешанные дроби с разными знаменателями,как дробь вычесть дробь,как дробь вычитать,как дробь вычитать на дробь,как дробь отнять от дроби с разными знаменателями,как из дроби вычесть дробь,как из дроби вычесть дробь с разными знаменателями,как из дроби вычесть дробь с разными числителями и знаменателями,как из дроби вычесть целое число,как из дроби вычислить целое число,как из целого числа вычислить дробь,как найти разность дробей с разными знаменателями,как отнимать дроби с разными знаменателями дроби,как отнимать дроби с разными знаменателями и числителями,как отнять от дроби дробь с разными знаменателями,как посчитать дроби с разными знаменателями,как решать дроби обыкновенные с разными знаменателями,как решить дроби с разными знаменателями и числителями,как решить дробь с разными знаменателями,как считать дроби с разными знаменателями,отнимание дробей,отнимание дробей с разными знаменателями,правила вычитания дробей,правила дробей вычитание,правило вычитание дробей,правило вычитание дробей с разными знаменателями,правило вычитания дробей,правило вычитания дробей с разными знаменателями,правило дробей вычитание,при вычитании дробей с разными знаменателями,разность дробей,разность дробей с разными знаменателями,решение дробей с разными знаменателями,сложение и вычитание дробей с буквами,сложение и вычитание дробей с целыми числами,сложение и вычитание неправильных дробей,целое число минус дробь,число минус дробь. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и выполните вычитание дробей. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычесть из дроби целое число).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же выполните вычитание дробей Онлайн?

Решить задачу выполните вычитание дробей вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Пример сложения дробей с целыми числами

Дроби — это числовые значения, которых недостаточно для завершения единицы, и они состоят из двух основных частей: знаменатель, что это говорит нам о чем мы говорим: половинки, трети, четверти и т. д. Y числитель, что указывает сколько их из этих средств, трети, четверти и т. д. Поскольку дроби являются значениями, они участвуют в арифметических операциях, таких как сложение.

Для суммирования дробей существует два основных требования:

  • Все в правильной или неправильной форме (не смешанные)
  • Что у них у всех одинаковый знаменатель

Однако иногда суммы включать как дроби, так и целые числа, поэтому в первую очередь трудно понять, как их решить.

Сумма дробей с целыми числами

Сумма дробей с целыми числами это другая операция суммы смешанных фракций. Разница объясняется тем, что мы можем запутаться в этом:

Сумма смешанных фракций

Все термины представляют собой смешанные дроби (дроби с целой частью и собственной частью). Если вас интересует эта операция, вы можете узнать о ней здесь: Пример суммы смешанных фракций.

Сумма дробей с целыми числами

В этой операции используются дробные части (правильные, неправильные или смешанные) и целые числа.

Далее мы изучим шаги для решения сумма дробей с целыми числами:

  • Преобразуйте все термины в правильные или неправильные дроби
  • Найдите общий знаменатель для всех терминов
  • Накопите числители с общим знаменателем.
  • Представьте результат как неправильную или смешанную дробь

Пример сложения дробей с целыми числами

Есть группа дробей, которые необходимо добавить:

Преобразуйте все термины в правильные или неправильные дроби

Найдите общий знаменатель для всех терминов

Знаменатели, найденные в задаче: 1, 4, 5, 8, 10. Чтобы найти общий знаменатель для всех из них, вы можете начать с умножения самых маленьких, чтобы посмотреть, сможем ли мы его найти:

  • 4*5 = 20. Число 20 кратно всем, кроме 8.
  • 4*8 = 32. Число 32 кратно 1, 4 и 8, но не 5 или 10.
  • 5*8 = 40. Число 40 кратно 1, 4, 5, 8 и 10: всего.

Определено, что 40 является общим знаменателем для всех них. Теперь вам просто нужно умножить числители и знаменатели на множитель, который приведет их к знаменателю 40.

Это уже все дроби с общим знаменателем, и они будут добавляться напрямую.

Накопите числители с общим знаменателем.

Представьте результат как неправильную или смешанную дробь

Теперь вы знаете, как правильно решить сумму дробей с целыми числами.

Вам также может понравиться:

  • Сумма дробей
  • Сумма смешанных фракций
  • Сумма дробей с разными знаменателями
  • Вычитание дробей
  • Умножение дробей
  • Деление на фракции
  • Корень квадратный из дробей

Дроби — Сложение и вычитание смешанных чисел

Как вы помните, смешанное число состоит из целого числа и правильной дроби. Любое смешанное число можно также представить в виде неправильной дроби, в которой числитель больше знаменателя, как показано в следующем примере:

Пример 1

Добавить смешанный числа, мы сначала складываем целые числа вместе, а затем дроби.

Если сумма дроби — неправильная дробь, то преобразуем ее в смешанное число. Вот пример. Целые числа 3 и 1 в сумме дают 4. Дроби 2/5 и 3/5, добавьте 5/5 или 1. Добавьте 1 к 4, чтобы получить ответ, который равен 5.

Пример 2

Если знаменатели дроби различны, то сначала найдите эквивалентные дроби с общий знаменатель перед сложением.Например, добавим 4 1/3 к 3 2/5. Используя методы, которые мы изучили, вы можете найти наименьший общий знаменатель из 15. Ответ 7 11/15.

Вычитание смешанные числа очень похожи на их сложение. Но что происходит, когда дробное часть числа, которое вы вычитаете, больше, чем дробная часть числа, из которого вы вычитаете?

Вот пример: давайте вычтем 3 3/5 из 4 1/3.Сначала вы найдете ЖК-дисплей; здесь 15.

4 1/3 — 3 3/5

4 5/15 — 3 9/15

 

Запись обе дроби как эквивалентные дроби со знаменателем 15.

3 + 1 5/15 — 3 9/15

3 + 20/15 — 3 9/15

 

С тех пор вы пытаетесь вычесть большую дробь из меньшей, вам нужно «одолжить» единицу из целого числа 4, изменить его на 15/15 и добавить его к дроби.

3 20/15 — 3 9/15

15/11

 

Сейчас задача становится 3 20/15 минус 3 9/15 и ответ 11/15.

 

назад до

Как складывать смешанные дроби с разными знаменателями

Этапы решения

Чтобы сложить смешанные дроби с разными знаменателями, нам просто нужно выполнить три шага.Конечно, это означает знание того, как делать каждый шаг, поэтому давайте разберемся с этим вместе. Во-первых, смешанное число — это число, в котором есть дробная часть и целая часть.

Когда мы хотим сложить смешанные числа с разными знаменателями, первым делом мы преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, где неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя. При преобразовании смешанного числа в неправильную дробь знаменатель останется прежним.Чтобы найти числитель, мы умножаем целую часть числа на знаменатель дробной части, а затем прибавляем числитель дробной части.

Например, предположим, что мы переводим 3 1/4 в неправильную дробь. Мы знаем, что знаменатель дроби остается прежним, поэтому он будет равен 4. Чтобы найти числитель, мы умножаем целое число 3 на знаменатель 4, а затем прибавляем числитель 1, чтобы получить 3*4 + 1 = 13. Таким образом, мы что 3 1/4 = 13/4.

Вторым шагом в сложении смешанных дробей с разными знаменателями является сложение двух неправильных дробей, которые вы нашли на первом шаге. Для этого вам нужно будет найти общий знаменатель, а затем сложить числители. Это можно сделать с помощью проиллюстрированного правила.

Например, предположим, что мы складываем 3 1/4 + 1 1/2. Мы уже преобразовали 3 1/4 в 13/4. Чтобы преобразовать 1 1/2, мы сохраняем знаменатель 2 и находим числитель, используя наше правило преобразования.1 1/2 = (1*2 + 1)/2 = 3/2. Теперь складываем неправильные дроби 13/4 и 3/2, используя наше правило сложения.

Мы видим, что 13/4 + 3/2 = 19/4.

Последним шагом в сложении смешанных дробей с разными знаменателями является преобразование неправильной дроби, которую вы нашли во втором шаге, обратно в смешанное число. Для этого вы выполняете указанное деление (в данном случае 19 разделить на 4). Частное будет целым числом смешанного числа, остаток будет числителем дроби смешанного числа, а знаменатель дроби смешанного числа останется прежним.

Рассмотрим наш результат 19/4 из нашего примера. Чтобы преобразовать это число в смешанное, мы выполняем деление, чтобы получить 19/4 = 4 остаток 3. Теперь мы знаем, что целое число в смешанном числе будет 4, числитель дроби в смешанном числе будет 3, и знаменатель дроби в смешанном числе будет равен 4. Следовательно, 19/4 = 4 3/4.

Как только вы ознакомитесь с этими шагами, сложение смешанных чисел с разными знаменателями станет легкой задачей! Давайте посмотрим на эти шаги в красивой, выложенной манере.

Калькулятор сложения дробей

Использование калькулятора

Сложите и вычтите правильные и неправильные дроби с помощью этого калькулятора и посмотрите, сколько работы потребуется для решения.

Выберите количество дробей в вашем уравнении, а затем введите числители и знаменатели в доступные поля. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы решить уравнение и показать работу.

Вы можете складывать и вычитать 3 дроби, 4 дроби, 5 дробей и до 9 дробей за раз.

Как складывать и вычитать дроби

Когда знаменатели совпадают

Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, мы просто добавляем или вычитаем числители, как указано, и помещаем результат над общим знаменателем. При необходимости мы можем упростить дробь до меньших членов или смешанных чисел.

Когда знаменатели отличаются или отличаются

Если дроби имеют разные знаменатели, первый шаг — найти эквивалентные дроби, чтобы все знаменатели были одинаковыми.Мы находим Наименьший общий знаменатель (LCD) затем перепишите все дроби в уравнении как эквивалентные дроби, используя LCD в качестве знаменателя. Когда все знаменатели одинаковы, просто добавьте или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем. Полученную дробь можно упростить до наименьших членов или записать в виде смешанного числа.

Как работать с отрицательными дробями

Когда уравнение требует добавления отрицательной дроби, мы можем переписать уравнение как вычитание положительной дроби.Точно так же, если уравнение требует вычитания отрицательной дроби, это то же самое, что добавление положительной дроби, и его можно переписать таким образом. Этот калькулятор переписывает отрицательные дроби, когда показывает работу, затраченную на поиск ответа.

Упрощение операций с отрицательными числами

Независимо от того, работаете ли вы с дробями, целыми или десятичными числами, используйте эти рекомендации при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел.

Оригинал

Добавление положительного числа

+

+

Добавление отрицательного числа

+

Вычитание положительного числа

+

Вычитание отрицательного числа

Изменения в

+

+

Добавление положительного числа

+

Вычитание положительного числа

+

Вычитание положительного числа

+

+

Добавление положительного числа

 

Чтобы ознакомиться с аналогичными и более простыми методами работы с дробями, вы также можете посетить Помогите с дробями.

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Результаты обучения

  • Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть смешанные числа с разными знаменателями, мы сначала преобразуем дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. Затем мы можем выполнить все шаги, которые мы изучили, для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

В нашем первом видео мы показываем процесс сложения смешанных чисел с разными знаменателями с помощью блоков шаблонов.

Теперь попробуем сложить смешанные числа с разными знаменателями без помощи блоков шаблонов.

Пример

Добавить: [латекс]2\фракция{1}{2}+5\фракция{2}{3}[/латекс]

Решение:
Поскольку знаменатели разные, мы перепишем дроби как эквивалентные дроби с помощью LCD, [латекс]6[/латекс].Потом добавим и упростим.


Мы запишем ответ как смешанное число, потому что в задаче нам дали смешанные числа.

Пример

Вычесть: [латекс]4\фракция{3}{4}-2\фракция{7}{8}[/латекс]

Показать решение

Решение
Так как знаменатели дробей разные, мы перепишем их как эквивалентные дроби с ЖК [латекс]8[/латекс]. Оказавшись в таком виде, мы будем вычитать. Но сначала нам нужно будет одолжить [latex]1[/latex].


Нам дали смешанные числа, поэтому мы оставляем ответ как смешанное число.

Пример

Вычесть: [латекс]3\фракция{5}{11}-4\фракция{3}{4}[/латекс]

Показать решение

Решение:
Мы видим, что ответ будет отрицательным, так как мы вычитаем [латекс]4[/латекс] из [латекс]3[/латекс]. Как правило, когда мы знаем, что ответ будет отрицательным, легче вычитать неправильные дроби, а не смешанные числа.

[латекс]3\фракция{5}{11}-4\фракция{3}{4}[/латекс]
Замена эквивалентных дробей на ЖК-дисплее. [латекс]3\frac{5\cdot 4}{11\cdot 4}-4\frac{3\cdot 11}{4\cdot 11}[/latex]

[латекс]3\фракция{20}{44}-4\фракция{33}{44}[/латекс]

Перепишите как неправильные дроби. [латекс]\frac{152}{44}-\frac{209}{44}[/latex]
Вычесть. [латекс]-\frac{57}{44}[/латекс]
Перепишите как смешанное число. [латекс]-1\фракция{13}{44}[/латекс]

В следующем видео мы покажем еще четыре примера сложения и вычитания смешанных чисел, которые имеют как одинаковые, так и разные знаменатели.Метод, используемый для этих примеров, использует неправильные дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — Преалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Найдите наименьший общий знаменатель (LCD)
  • Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея
  • Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  • Определение и использование дробных операций
  • Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
  • Вычислить переменные выражения с дробями

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

  1. Найдите две дроби, эквивалентные
    Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
  2. Упрощение:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Найдите наименьший общий знаменатель

В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Но как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить одну четверть и один цент? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно.Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс один цент, вы заменяете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна центам, а один дайм равен центам, поэтому сумма равна центам. См. (Рисунок).

Вместе четверть и десятицентовик стоят центов или доллара.

Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем. С монетами, когда мы конвертируем в центы, знаменатель равен Так как в одном долларе есть центы, центы равны и центы равны Итак, мы складываем, чтобы получить центы.

Вы научились складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Теперь посмотрим, что нужно делать с дробями, имеющими разные знаменатели.

Во-первых, мы будем использовать фрагменты дробей для моделирования нахождения общего знаменателя и

Начнем с одной плитки и плитки. Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать для сопоставления и , и точно.

Если мы попробуем кусочки, то они точно совпадут с куском, но точно не совпадут с куском.

Если мы попробуем кусочки, они точно не покроют кусок или кусок.

Если мы попробуем куски, то увидим, что ровно из них закрывают кусок, и ровно из них закрывают кусок.

Если бы мы попробовали кусочки, они бы тоже сработали.

Даже меньшие плитки, такие как и также точно покроют кусок и кусок.

Знаменатель наибольшей части, покрывающей обе дроби, является наименьшим общим знаменателем (НОД) двух дробей.Итак, наименьший общий знаменатель и равен

.

Обратите внимание, что все плитки, которые охватывают и имеют что-то общее: Их знаменатели являются общими кратными и знаменатели и Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, и поэтому мы говорим, что это наименьший общий знаменатель (НКО) дробей и

Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Нахождение наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять LCD.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Чтобы найти НОК двух дробей, найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую мы использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Найти ЖК-дисплей для дробей и

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: и

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: и

Чтобы найти НОК двух дробей, найдите НОК их знаменателей.Обратите внимание, что шаги, показанные ниже, похожи на шаги, которые мы предприняли, чтобы найти LCM.

Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей.

  1. Разложите каждый знаменатель на простые числа.
  2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставляя простые числа в столбцах.
  3. Снести колонны.
  4. Умножьте множители. Произведение представляет собой НОК знаменателей.
  5. НОК знаменателей — это НОК дробей.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей и

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: и

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: и

Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей

В разделе Умножение и деление смешанных чисел и сложных дробей мы видели, что сложная дробь — это дробь, в которой числитель или знаменатель содержит дробь.Мы упростили сложные дроби, переписав их как задачи на деление. Например,

Теперь рассмотрим сложные дроби, в которых можно упростить числитель или знаменатель. Чтобы следовать порядку операций, сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности. Затем делим числитель на знаменатель.

Упростите сложные дроби.

  1. Упростите числитель.
  2. Упростите знаменатель.
  3. Разделить числитель на знаменатель.
  4. Если возможно, упростите.

Упрощение:

Упрощение: .

Упрощение: .

Упрощение:

Упрощение: .

Упрощение: .

Ключевые понятия

  • Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей.
    1. Разложите каждый знаменатель на простые числа.
    2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставляя простые числа в столбцах.
    3. Снести колонны.
    4. Умножьте множители. Произведение представляет собой НОК знаменателей.
    5. НОК знаменателей — это НОК дробей.
  • Эквивалентные дроби Свойство
  • Преобразуйте две дроби в эквивалентные дроби с их ЖК-дисплеем в качестве общего знаменателя.
    1. Найдите ЖК-дисплей.
    2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖКИ.
    3. Используйте свойство «Эквивалентные дроби», чтобы умножить числитель и знаменатель на число из шага 2.
    4. Упростите числитель и знаменатель.
  • Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
    1. Найдите ЖК-дисплей.
    2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
    3. Сложение или вычитание дробей.
    4. Запишите результат в упрощенной форме.
  • Сводка операций с дробями
    • Умножение дробей: Умножить числители и умножить знаменатели.
    • Деление дробей: Умножьте первую дробь на обратную вторую.
    • Сложение дробей: Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентные формы с помощью ЖК-дисплея.
    • Вычитание дробей: Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентные формы с помощью ЖК-дисплея.
  • Упрощение сложных дробей.
    1. Упростите числитель.
    2. Упростите знаменатель.
    3. Разделить числитель на знаменатель.
    4. Если возможно, упростите.
Письменные упражнения

Объясните, почему для сложения или вычитания дробей необходимо иметь общий знаменатель.

Объясните, как найти ЖК двух дробей.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ После просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Глоссарий

наименьший общий знаменатель (ЖКД)
Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, нам нужно сделать несколько дополнительных шагов.Общий подход обсуждается ниже. В этом уроке мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что вы освоитесь с этой процедурой.


шагов Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями

Шаг 1: Даны две разные дроби, знаменатели которых НЕ совпадают.

Шаг 2: Сделайте знаменатели одинаковыми, найдя наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Этот шаг точно такой же, как нахождение наименьшего общего знаменателя (LCD).

Шаг 3: Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную ей дробь со знаменателем, равным наименьшему общему кратному, который вы нашли на шаге №2. .

Шаг 4: Теперь добавьте или вычтите «новые» дроби из шага №3. Всегда сокращайте ответ до самых низких условий.


Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Пример 1: Сложите дроби с разными знаменателями.

Знаменатели двух дробей не равны .Нам нужно сделать их равными, найдя их наименьшее общее кратное, которое будет служить их наименьшим общим знаменателем (LCD).

Начните с перечисления кратных каждого знаменателя и определите наименьшее число, общее для них обоих.

Первая дробь уже имеет знаменатель, равный НОК = 15, поэтому оставим ее в покое.

Вторая дробь требует некоторой корректировки, чтобы сделать ее знаменатель равным 15. Сделайте это, умножив ее числитель и знаменатель на число 3.

  • Когда их знаменатели сравняются, сложите дроби, добавив их числители, а затем скопировав общий знаменатель.

Дробь {{11} \over {15}} является нашим окончательным ответом, потому что она уже находится в наименьшем члене.


Пример 2: Сложите дроби с разными знаменателями.

Мы пока не можем сложить две дроби, потому что у них разные знаменатели, а именно 5 и 9. Начните с перечисления их кратных и выберите наименьшее число, общее для обеих дробей.Это станет их общим знаменателем.

Теперь преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с НОК в качестве знаменателя, затем продолжите обычное сложение.

Ищите возможность сократить ответ до наименьшего члена. Числитель и знаменатель {{33} \over {45}} делятся на 3 .


Пример 3: Сложите дроби с разными знаменателями.

Иногда нет необходимости находить наименьший общий знаменатель методом списка.Мы можем немедленно найти его, если оба числа являются простыми.

  • Простое число — это число, которое делится только на 1 и само на себя.

Обратите внимание, что знаменатели 3 и 5 — простые числа. ЖК будет просто их произведением, то есть 3 х 5 = 15.


Пример 4: Сложите дроби с разными знаменателями  .

Решение :

Найдите наименьшее общее кратное знаменателей.

Внесите необходимые коррективы в знаменатель и действуйте как обычно.Сократите свой окончательный ответ до наименьшего члена.


Пример 5: Сложите дроби с разными знаменателями  .

Решение :

Поскольку знаменатели 11 и 13 оба являются простыми числами, наименьший общий знаменатель будет их произведением.

Преобразуйте текущие знаменатели двух дробей в ЖКИ и продолжите обычное сложение.


Пример 6: Вычитание дробей с разными знаменателями  .

Вычитание этих дробей с неравными знаменателями очень похоже на сложение.

Приравняйте их знаменатели, используя принцип наименьшего общего кратного. Затем вычтите их числители соответственно.

Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную ей дробь со знаменателем, равным НОК = 30 , затем вычтите их числители. Обязательно сократите свой ответ до наименьшего члена.


Пример 7: Вычитание дробей с разными знаменателями.

Поскольку оба знаменателя являются простыми числами, их НОК является просто их произведением, таким образом, 7 x 5 = 35.


Пример 8: Вычитание дробей с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, определив НОК знаменателей.

Перепишите две дроби с общим знаменателем, равным НОК = 42 . Вычтите их числители и, если возможно, уменьшите ответ до наименьшего члена.


Пример 9: Вычитание дробей с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, найдя наименьшее общее кратное знаменателей.

Вносим коррективы в существующие дроби, чтобы их знаменатель был равен LCD = 40 . После этого вычтите их числители и скопируйте общий знаменатель.


Практика с рабочими листами

Вас также может заинтересовать:

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Равные дроби
Обратная дробь

4.11: Сложение и вычитание смешанных чисел (часть 2)

Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем

Теперь мы будем вычитать смешанные числа без использования модели. Но это может помочь представить модель в уме, когда вы читаете шаги.

КАК: вычесть смешанные числа с общими знаменателями

Шаг 1. Перепишите задачу в вертикальной форме.

Шаг 2. Сравните две дроби.

  • Если верхняя фракция больше нижней, перейдите к шагу 3.
  • Если нет, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью.

Шаг 3. Вычтите дроби.

Шаг 4. Вычтите целые числа.

Шаг 5. Упростите, если возможно.

Пример \(\PageIndex{10}\): вычесть

Найдите разницу: \(5 \dfrac{3}{5} − 2 \dfrac{4}{5}\).

Раствор

Перепишите задачу в вертикальной форме. \(\begin{split} & 5 \dfrac{3}{5} \\ — & 2 \dfrac{4}{5} \\ \hline \end{split}\)
Поскольку \(\dfrac{3}{5}\) меньше, чем \(\dfrac{4}{5}\), возьмите 1 из 5 и добавьте его к \(\dfrac{3}{ 5}\): \(\left(\dfrac{5}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{8}{5}\right)\)
Вычитание дробей. \(\begin{split} & 4 \textcolor{red}{\dfrac{8}{5}} \\ — & 2 \textcolor{red}{\dfrac{4}{5}} \\ \hline \ \ & \; \textcolor{red}{\dfrac{4}{5}} \end{split}\)
Вычесть целые части.Результат в простейшей форме. \(\begin{split} & \textcolor{red}{4} \dfrac{8}{5} \\ — & \textcolor{red}{2} \dfrac{4}{5} \\ \hline \ \ & 2 \dfrac{4}{5} \end{split}\)

Так как задача была дана со смешанными числами, мы оставляем результат как смешанные числа.

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Найдите разницу: \(6 \dfrac{4}{9} − 3 \dfrac{7}{9}\).

Ответить

\(2\dfrac{2}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Найдите разницу: \(4 \dfrac{4}{7} − 2 \dfrac{6}{7}\).

Ответить

\(1\dfrac{5}{7}\)

Точно так же, как и со сложением, мы можем вычитать смешанные числа, преобразуя их сначала в неправильные дроби. Мы должны записать ответ в том виде, в каком он был задан, поэтому, если нам даны смешанные числа для вычитания, мы запишем ответ как смешанное число.

КАК: ВЫЧИТАТЬ СМЕШАННЫЕ ЧИСЛА С ОБЩИМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ КАК НЕПРАВИЛЬНЫЕ Дроби

Шаг 1. Перепишите смешанные числа в виде неправильных дробей.

Шаг 2. Вычтите числители.

Шаг 3. Запишите ответ в виде смешанного числа, по возможности упростив дробную часть.

Пример \(\PageIndex{11}\): вычесть

Найдите разницу путем преобразования в неправильные дроби: \(9 \dfrac{6}{11} − 7 \dfrac{10}{11}\).

Раствор

Перепишите как неправильные дроби. \(\dfrac{105}{11} — \dfrac{87}{11}\)
Вычесть числители. \(\dfrac{18}{11}\)
Перепишите как смешанное число. \(1 \dfrac{7}{11}\)

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Найдите разницу путем преобразования в неправильные дроби: \(6 \dfrac{4}{9} − 3 \dfrac{7}{9}\).

Ответить

\(2\dfrac{2}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Найдите разницу путем преобразования в неправильные дроби: \(4 \dfrac{4}{7} − 2 \dfrac{6}{7}\).

Ответить

\(1\dfrac{5}{7}\)

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть смешанные числа с разными знаменателями, мы сначала преобразуем дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. Затем мы можем выполнить все шаги, которые мы использовали выше для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример \(\PageIndex{12}\): добавить

Добавить: \(2 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{2}{3}\).

Раствор

Поскольку знаменатели разные, мы перепишем дроби как эквивалентные дроби с ЖКИ, \(6\). Потом добавим и упростим.

Мы запишем ответ как смешанное число, потому что в задаче нам дали смешанные числа.

Упражнение \(\PageIndex{23}\)

Добавить: \(1 \dfrac{5}{6} + 4 \dfrac{3}{4}\).

Ответить

\(6\dfrac{7}{12}\)

Упражнение \(\PageIndex{24}\)

Добавить: \(3 \dfrac{4}{5} + 8 \dfrac{1}{2}\).

Ответить

\(12\dfrac{3}{10}\)

Пример \(\PageIndex{13}\): вычесть

Вычесть: \(4 \dfrac{3}{4} — 2 \dfrac{7}{8}\).

Раствор

Так как знаменатели дробей разные, перепишем их как эквивалентные дроби с ЖКИ \(8\). Оказавшись в таком виде, мы будем вычитать. Но сначала нам нужно будет одолжить \(1\).

Нам дали смешанные числа, поэтому мы оставляем ответ как смешанное число.

Упражнение \(\PageIndex{25}\)

Найдите разницу: \(8 \dfrac{1}{2} − 3 \dfrac{4}{5}\).

Ответить

\(4\dfrac{7}{10}\)

Упражнение \(\PageIndex{26}\) ​​

Найдите разницу: \(4 \dfrac{3}{4} − 1 \dfrac{5}{6}\).

Ответить

\(2\dfrac{11}{12}\)

Пример \(\PageIndex{14}\):

Вычесть: \(3 \dfrac{5}{11} − 4 \dfrac{3}{4}\).

Раствор

Мы видим, что ответ будет отрицательным, так как мы вычитаем \(4\) из \(3\). Как правило, когда мы знаем, что ответ будет отрицательным, легче вычитать неправильные дроби, а не смешанные числа.

Замена эквивалентных дробей на ЖК-дисплее.

\(3 \dfrac{5 \cdot 4}{11 \cdot 4} — 4 \dfrac{3 \cdot 11}{4 \cdot 11}\)

\(3 \dfrac{20}{44} — 4 \dfrac{33}{44}\)

Перепишите как неправильные дроби. \(\dfrac{152}{44} — \dfrac{209}{44}\)
Вычесть. \(- \dfrac{57}{44}\)
Перепишите как смешанное число. \(- 1 \dfrac{13}{44}\)

Упражнение \(\PageIndex{27}\)

Вычесть: \(1 \dfrac{3}{4} − 6 \dfrac{7}{8}\).

Ответить

\(-\dfrac{41}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{28}\)

Вычесть: \(10 \dfrac{3}{7} — 22 \dfrac{4}{9}\).

Ответить

\(-\dfrac{757}{63}\)

Практика делает совершенным

Модель Добавление смешанных чисел

В следующих упражнениях используйте модель для нахождения суммы. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.

  1. \(1 \dfrac{1}{5} + 3 \dfrac{1}{5}\)
  2. \(2 \dfrac{1}{3} + 1 \dfrac{1}{3}\)
  3. \(1 \dfrac{3}{8} + 1 \dfrac{7}{8}\)
  4. \(1 \dfrac{5}{6} + 1 \dfrac{5}{6}\)

Сложение смешанных чисел с общим знаменателем

В следующих упражнениях доп.

  1. \(5 \dfrac{1}{3} + 6 \dfrac{1}{3}\)
  2. \(2 \dfrac{4}{9} + 5 \dfrac{1}{9}\)
  3. \(4 \dfrac{5}{8} + 9 \dfrac{3}{8}\)
  4. \(7 \dfrac{9}{10} + 3 \dfrac{1}{10}\)
  5. \(3 \dfrac{4}{5} + 6 \dfrac{4}{5}\)
  6. \(9 \dfrac{2}{3} + 1 \dfrac{2}{3}\)
  7. \(6 \dfrac{9}{10} + 8 \dfrac{3}{10}\)
  8. \(8 \dfrac{4}{9} + 2 \dfrac{8}{9}\)

Модель Вычитание смешанных чисел

В следующих упражнениях используйте модель, чтобы найти разницу.Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.

  1. \(1 \dfrac{1}{6} — \dfrac{1}{6}\)
  2. \(1 \dfrac{1}{8} — \dfrac{1}{8}\)

Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем

В следующих упражнениях найдите разницу.

  1. \(2 \dfrac{7}{8} — 1 \dfrac{3}{8}\)
  2. \(2 \dfrac{7}{12} — 1 \dfrac{5}{12}\)
  3. \(8 \dfrac{3}{7} — 4 \dfrac{4}{7}\)
  4. \(19 \dfrac{13}{15} — 13 \dfrac{7}{15}\)
  5. \(8 \dfrac{3}{7} — 4 \dfrac{4}{7}\)
  6. \(5 \dfrac{2}{9} — 3 \dfrac{4}{9}\)
  7. \(2 \dfrac{5}{8} — 1 \dfrac{7}{8}\)
  8. \(2 \dfrac{5}{12} — 1 \dfrac{7}{12}\)

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

В следующих упражнениях запишите сумму или разность в виде смешанного числа в упрощенной форме.

  1. \(3 \dfrac{1}{4} + 6 \dfrac{1}{3}\)
  2. \(2 \dfrac{1}{6} + 5 \dfrac{3}{4}\)
  3. \(1 \dfrac{5}{8} + 4 \dfrac{1}{2}\)
  4. \(7 \dfrac{2}{3} + 8 \dfrac{1}{2}\)
  5. \(2 \dfrac{5}{12} — 1 \dfrac{7}{12}\)
  6. \(6 \dfrac{4}{5} — 1 \dfrac{1}{4}\)
  7. \(2 \dfrac{2}{3} — 3 \dfrac{1}{2}\)
  8. \(2 \dfrac{7}{8} — 4 \dfrac{1}{3}\)
Смешанная практика

В следующих упражнениях выполните указанную операцию и запишите результат в виде смешанного числа в упрощенной форме.

  1. \(2 \dfrac{5}{8} \cdot 1 \dfrac{3}{4}\)
  2. \(1 \dfrac{2}{3} \cdot 4 \dfrac{1}{6}\)
  3. \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{4}{7}\)
  4. \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}\)
  5. \(1 \dfrac{5}{12} \div \dfrac{1}{12}\)
  6. \(2 \dfrac{3}{10} \div \dfrac{1}{10}\)
  7. \(13 \dfrac{5}{12} — 9 \dfrac{7}{12}\)
  8. \(15 \dfrac{5}{8} — 6 \dfrac{7}{8}\)
  9. \(\dfrac{5}{9} — \dfrac{4}{9}\)
  10. \(\dfrac{11}{15} — \dfrac{7}{15}\)
  11. 4 — \(\dfrac{3}{4}\)
  12. 6 ​​- \(\dfrac{2}{5}\)
  13. \(\dfrac{9}{20} \div \dfrac{3}{4}\)
  14. \(\dfrac{7}{24} \div \dfrac{14}{3}\)
  15. \(9 \dfrac{6}{11} + 7 \dfrac{10}{11}\)
  16. \(8 \dfrac{5}{13} + 4 \dfrac{9}{13}\)
  17. \(3 \dfrac{2}{5} + 5 \dfrac{3}{4}\)
  18. \(2 \dfrac{5}{6} + 4 \dfrac{1}{5}\)
  19. \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{10}{19}\)
  20. \(\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{8}{9}\)
  21. \(6 \dfrac{7}{8} — 2 \dfrac{1}{3}\)
  22. \(6 \dfrac{5}{9} — 4 \dfrac{2}{5}\)
  23. \(5 \dfrac{2}{9} — 4 \dfrac{4}{5}\)
  24. \(4 \dfrac{3}{8} — 3 \dfrac{2}{3}\)
Математика на каждый день
  1. Шитье Рената шьет одинаковые рубашки для мужа и сына.Согласно выкройкам, которые она будет использовать, ей потребуется \(2 \dfrac{3}{8}\) ярдов ткани для рубашки мужа и \(1 \dfrac{1}{8}\) ярдов ткани для рубашки сына. Рубашка. Сколько ткани ей нужно, чтобы сшить обе рубашки?
  2. Шитье У Полины есть \(3 \dfrac{1}{4}\) ярдов ткани, чтобы сшить куртку. Куртка использует \(2 \dfrac{2}{3}\) ярдов. Сколько ткани останется у нее после изготовления жакета?
  3. Печать Нишант печатает приглашения на своем компьютере.Бумага имеет ширину \(8 \dfrac{1}{2}\) дюймов, и он устанавливает для области печати границу в \(1 \dfrac{1}{2}\) дюймов с каждой стороны. Насколько широка область печати на листе бумаги?
  4. Обрамление картины Тесса купила рамку для выпускной фотографии своего сына. Размер изображения 8 дюймов. Рамка картины имеет ширину \(2 \dfrac{5}{8}\) дюймов с каждой стороны. Какой ширины будет картина в рамке?

Самопроверка

(a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *