Распределительный закон примеры: 1. Распределительный закон умножения. Умножение в столбик на однозначное число

Содержание

Урок 9. распределительный закон — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 9

Распределительный закон

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— распределительный закон умножения;

— общий множитель.

Тезаурус

Раскрытие скобок – это замена выражения со скобками на равное ему выражение без скобок, а также от произведений числа и разности – к разности произведений.

Вынесение общего множителя за скобки – это замена суммы произведений к произведению числа и суммы, а также от разности произведений к произведению числа и разности.

Распределительный закон умножения: чтобы число умножить на сумму двух чисел, надо это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
  2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

  1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
  2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
  3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для любых чисел а, b и с верно равенство:

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

Оно выражает распределительный закон умножения: чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Посмотрим, как можно применить этот закон на практике.

Вычислим и сравним значения выражений 4 ∙ (3 + 5) и 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5.

Решение:

4 ∙ (3 + 5) = 4 ∙ 8 = 32

4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = 12 + 20 = 32

Оба выражения имеют одинаковое значение, поэтому можно сделать вывод, что распределительный закон справедлив.

4 ∙ (3 + 5) = 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = 32

Отметим, что распределительный закон верен не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Например, верно следующее равенство:

4 ∙ (5 + 6 + 7 + 8) = 4 ∙ 5 + 4 ∙ 6 + 4 ∙ 7 + 4 ∙ 8

Кроме того, если b больше или равно с (b ≥ c), то верно равенство:

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Например: 7 ∙ (9 – 5) = 7 ∙ 9 – 7 ∙ 5.

Говорят, что в произведениях 4 ∙ (3 + 5) и 7 ∙ (9 – 5) раскрыли скобки и получили соответствующую сумму 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 и разность 7 ∙ 9 – 7 ∙ 5.

Переход от произведений числа и суммы и числа, и разности соответственно к сумме произведений и разности произведений называют раскрытием скобок.

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Переход от суммы произведений к произведению числа и суммы и от разности произведений к произведению числа и разности соответственно называют вынесением общего множителя за скобки.

a ∙ b + a ∙ с = а ∙ (b + c)

a ∙ b – a ∙ с = а ∙ (b – c)

Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления.

Например, вычислим:

  1. 27 ∙ 41 + 27 ∙ 59 = 27 ∙ (41 + 59) = 27 ∙ 100 = 2700
  2. 55 ∙ 67 – 55 ∙ 66 = 55 ∙ (67 – 66) = 55 ∙ 1 = 55
  3. 356 ∙ 73 + 644 ∙ 27 + 73 ∙ 644 + 27 ∙ 356 = 73 ∙ (356 + 644) + 27 ∙ (644 + 356) = 73 ∙ 1000 + 27 ∙ 1000 = 1000 ∙ (73 + 27) = 1000 ∙ 100 = 100000

Любое из чисел a, b и с в равенствах а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с и а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с (если b ≥ c) может быть нулём, поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите, используя распределительный закон 125∙(8+ 10).

Решение: для вычисления значения данного выражения раскроем скобки 125∙(8+ 10)=125∙8+ 125∙10= 1000+ 1250= 2250.

Ответ: 2250.

№ 2. Найдите значение выражения 5 ∙ 38 – 30 ∙ 5. Выберите правильный ответ.

Варианты ответа: 40; 45; 42; 35.

Решение: для вычисления значения данного выражения, применим распределительный закон умножения. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

5 ∙ 38 – 30 ∙ 5 = 5 ∙ (38 – 30) = 5 ∙ 8 = 40

Ответ: 40.

§ Законы арифметики для начальной школы

Разберем основные законы арифметики, которые иначе называют свойствами сложения и умножения.

Переместительный закон сложения

Запомните!

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
(Значение суммы при перестановке слагаемых не меняется.)

Примеры:

Сочетательный закон сложения

Запомните!

Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.
(Порядок выполнения действий при вычислении суммы не влияет на конечный результат.)

Например:

  • 6 + 4 + (3 + 2) = 6 + (4 + 3) + 2 = (6 + 4) + 3 + 2 = 15

Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере сложение!

Переместительный закон умножения

Запомните!

От перемены мест множителей произведение не меняется.
(Значение произведения при перестановке множителей не меняется.)

Примеры:

Сочетательный закон умножения

Запомните!

Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.
(Порядок выполнения действий при расчёте произведения не влияет на конечный результат.)

По традиции пример:

  • 2 · (4 · 3) = (2 · 4) · 3 = 8 · 3 = 24

Распределительный закон умножения относительно сложения

Запомните!

Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

Например:

  • 8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88

«Распределительный закон» 5 класс урок 1

Поурочный план учителя: Степановой Натальи Викторовны

МБОУ «Старокрымский УВК №1 «Школа-гимназия»

Математика 5 класс

Натуральные числа и нуль.

Урок №20. 27.09.2019

Тема урока: «Распределительный закон»

Цель: ввести распределительный закон умножения, сформировать навыки применения распределительного закона относительно законов сложения, вычитания и умножения

Планируемые УУД:

  • Предметные:

  • Знать формулировку распределительного закона

  • Уметь применять распределительный закон при раскрытии скобок и вынесении множителя за скобки

  • Метапредметные:

  • Познавательные – умение выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации; развитие навыков самостоятельной исследовательской деятельности

  • Регулятивные – умение организовать выполнение заданий согласно инструкциям учителя, анализировать результаты своей работы на уроке, умение контроля и оценки процесса и результатов деятельности

  • Коммуникативные

    — умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, высказывать и аргументировать свою точку зрения, умение отвечать на вопросы, обсуждать вопросы со сверстниками

  • Личностные: — потребность в справедливом оценивании своей работы и работы одноклассников, применение полученных знаний в практической деятельности. Развитие находчивости, активности при решении математических задач, способности к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: учебник «Математика 5 класс» авторы С.М. Никольский М.К. Потапов Н.Н. Решетников А.В. Шевкин, дидактические материалы, раздаточный материал, доска, компьютер.

Ход урока

  1. Организационный момент

Приветствие.

Проверить отсутствующих в классе, готовность учащихся к уроку наличие учебника, тетради, карандашей, дневника, настроить на работу.

  1. Проверка домашнего задания:

  1. Актуализация знаний учащихся

Устный счет:

45+89+55=

5*12*4=

83+17+27=

25*12*4

127+123+16+534=

50*(39*2)=

67*5*2=

Ребята! Что позволило нам решить такие примеры быстро? Что мы с вами использовали? Какие законы сложения и умножения мы использовали?

Назовем их и запишем формулы этих законов на доске.

a+b=b+a ab=ba a(bc)=(ab)c a+(b+c)=(a+b)+c

  1. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Ребята, предлагаю вам ещё решить устно следующие примеры:

156*48+156*52=

67*251+251*33=

62*114+38*114=

На первый взгляд эти примеры вычислить очень сложно. Значит, для выполнения данного задания нам не хватает знаний. Возникла проблемная ситуация.

  1. Первичное усвоение новых знаний

Для решения нашей проблемы я предлагаю решить следующую задачу:

Задача:

В саду посажены фруктовые деревья в 8 рядов. В каждом ряду посажено по 5 груш и по 7 яблонь. Сколько всего деревьев посажено в саду?

(осуществляется работа в парах)

1 способ

(7+5)∙8=96(д)

2 способ

7∙8+5∙8=96(д)

Переходим к обсуждению проделанной нами работы и ее результатов. Сколько разных способов получилось у вас при решении задачи? Мы рассмотрели 2 способа решения

Обсудим 1 способ решения. В задаче в 1 способе, выражение содержит скобки и два действия: сложение и умножение.

Обсудим 2 способ решения. В задаче во 2 способе выражение содержит три действия: два действия на умножение и одно на сложение.

Сравним полученные выражения. Что в них общего? Одинаковые результаты

Какой вывод можно сделать из этого факта?

Можно сделать такой вывод: в задаче первое выражение равно второму выражению

Давайте попытаемся записать эти результаты в буквенном выражении?

Записываем выражение. У нас получилось буквенное выражение очень похожее на какое-то свойство.

Это свойство назвали распределительным свойством умножения относительно сложения.

Давайте запишем тему нашего урока, и определим цели и задачи.

Работа с учебником, стр.27 (зачитываем распределительный закон)

  1. Первичная проверка понимания

А поможет ли нам распределительный закон решить примеры, данные в начале урока?

156*48+156*52=(48+52)*156=15600

67*251+251*33=(67+33)*251=25100

62*114+38*114=(62+38)*114=11400

107 – на доске и в тетрадях

Решаем примеры на карточках:

1.

— в тетрадях, с последующим комментированием

  1. Физкультминутка

Раз – подняться, потянуться,

Два – согнуться, разогнуться.

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре — руки шире,

Пять – руками помахать,

Шесть – за парту сесть опять.

109 — на доске и в тетрадях

Решаем примеры на карточках:

2.

— в тетрадях, с последующим комментированием

  1. Первичное закрепление

Вариант 1 Вариант 2

64+51+49+36=200 44+27+56+63=200

5*28*4*5=2800 5*5*31*4=3100

36*25=900 24*25=600

16*55+24*55=2200 12*40+18*40=1200

46*68-46*58=460 21*47-21*37=210

— самостоятельно, с последующей проверкой

  1. Итоги урока. Рефлексия.

— Какую цель мы ставили с вами в начале урока?

— Удалось ли нам решить поставленную задачу?

— Каким способом?

— Какие получили результаты?

— Где мы сможем применить новые знания?

— Что на уроке у вас хорошо получилось?

— Над чем еще надо поработать?

Оцените свою работу на уроке и отношение к новой теме.

  1. Подведение итогов. Выставление оценок.

  2. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению:

п.1.8, стр.27,выучить определения, №108(1,2ст.), №110, стр.29

Распределительное свойство умножения | Математика

Распределительное свойство умножения — важное правило, полезное в устном счете и при раскрытии скобок.

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения верно и для большего количества чисел. Например, для трех слагаемых распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид:

   

Распределительное свойство умножения упрощает устный счет.

Примеры:

   

   

Этот пример можно решить также с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания:

   

   

   

   

или

   

   

   

   

   

С помощью распределительного свойства умножения можно раскрывать скобки.


Примеры:

   

   

   

   

(Более подробно тема раскрытия скобок рассматривается после изучения отрицательных чисел).

Распределительное свойство умножения можно применить и в обратном порядке:

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b плюс c».

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b минус c».

Более подробно вынесение общего множителя за скобки изучают в курсе алгебры 7 класса.

Распределительный закон | Презентация к уроку по математике (6 класс):

Открытый урок математики в 6 классе (урок проводится по модульной системе – 3 по 30 мин)

Тема урока: Распределительный закон

Тип урока: открытие новых знаний

Цели урока:

Образовательные: расширить и углубить знания о  распределительном законе умножения, формировать умение применять распределительный закон при раскрытии скобок и вынесении общего множителя за скобки.

Развивающие: способствовать развитию наблюдательности, умение находить наиболее рациональные пути решения выражений, развивать вычислительные навыки, продолжить формирование и развитие логического мышления, математической речи обучающихся.

Воспитательные: воспитание чувства ответственности за результат, воспитывать культуру умственного труда, развивать коммуникативные качества личности, развивать умение себя оценивать

Универсальные учебные действия:

Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке; уметь работать по коллективно составленному плану; уметь вносить необходимые коррективы в действие; уметь оценивать правильность выполнения действий.

Познавательные: уметь добывать новые знания, находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Коммуникативные: уметь математически грамотно излагать свои мысли.

Личностные: способствовать самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Автор учебника: С.М. Никольский.

Оборудование: раздаточный материал, сигнальные карточки,  мультимедийная аппаратура.

Содержание урока

Действия обучающихся

Наглядность, раздаточный материал

1-30

  1. Организационный момент. 2 – 3 мин
  1. приветствие гостей;
  1. проверка готовности к уроку: учебник, тетрадь, дневник, пенал.
  1. Вступительное слово учителя:

Один из мудрецов однажды сказал: «Не для школы, а для жизни мы учимся»

— Как вы понимаете это высказывание?

Вывод: Если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться достигать их, тогда у вас все получится.

Я желаю вам сегодня на уроке убедиться в справедливости этих слов великого французского философа – Ж.Ж. Руссо

  1. Подготовка к действию 

У каждого на парте лежит карточка самооценки.

Посмотрите, какие сегодня вас ждут задания на уроке и что будет оцениваться.

Ответы обучающихся

Перед обучающимися лежит

карточка самооценки

 

Слайд 2

«Не для школы, а для жизни мы учимся»

Ж.Ж. Руссо

  1. Проверка домашнего задания 5 — 7 мин

Вспомним критерии оценивания домашнего задания:

1.Аккуратность – 1б

2.Правильность – 4б.

3 Знание правил: дополнительный 1 балл

Оценили друг друга по 1-му критерию (взаимопроверка)

Проверка правильности задания (на экране ответы)

0 ошибок – 4 балла

1-2 ошибки – 3 балла

3-4 ошибки – 2 балла

5 и более – 1 балл

Проверка знания правил (фронтально, в паре)

— Объясните, как перемножить или разделить два отрицательных числа?

Рассказать друг другу

— Объясните, как перемножить или разделить  отрицательное и положительное числа?

Рассказать друг другу

— Чему равно частное от деления нуля на любое целое число, не равное 0?

— -Какое еще очень важное правило на деление мы должны знать? (на 0 делить нельзя)

Оценивание:

Оцените себя и поставьте в карточку сумму баллов за аккуратность и правильность + дополнительный балл за знание правил.

Оценивают аккуратность 1б

Сверяют ответы с ответами на экране

Ответ:

Чтобы перемножить или разделить два отрицательных числа нужно перемножить или разделить их модули и перед результатом поставить знак «+»

Ответ: Чтобы перемножить или разделить отрицательное и положительное числа нужно перемножить или разделить их модули и перед результатом поставить знак «-»

0 : a = 0

Делить на 0 нельзя

Оценивают себя

Слайд 3

Проверка домашнего задания

№339

а) -5      б)-5       в)-8

г) 90      д) 8       е) -8

№ 341

б) х = 11       з) х = 3872

д) х = 56       л) х = -8

№ 342

г) -611

Слайд 4

Правила. Билет № 19

— Объясните, как перемно-жить или разделить два отрицательных числа?

—  Объясните, как перемно-жить или разделить отрица-тельное и положительное числа?

0 : а =___

  1. Математическая разминка 7 мин

1) Устный счет 3 мин

70 : 5                 · 3

     · 7                       :  

      -18                    — 1 ·

    : 5                       + 3  ·

      + 64          

     80                  6

— Повторим умножение и деление целых чисел

Перед вами листочек под №1 с примерами. Ваша задача написать ответы. На выполнение задания 3 минуты

Проверка и оценивание: (Озвучивает ученик ответы)

0 ошибок – 5 баллов

1-2 ошибки – 4 балла

3-4 ошибки – 3 балла

5 ошибок – 2 балла

6 и более -1 балл

Фронтальный опрос:

-Расположите ответы примеров в порядке возрастания.

-Назовите:

— наименьшее число (-84)

— противоположные числа (36 и -36; 4 и -4)

-сравните -36 и 20, -84 и -36

— сложите модули отрицательных чисел (142)

Поставьте дополнительный 1 балл, если ответили на 4 и более вопросов.

Считают устно

Записывают ответы

Оценивают себя

Слайд 5

Математическая разминка

Устный счет

70 : 5

     · 7

      -18

    : 5

      + 64

Слайд 6

 · 3

:

— 1

+ 3

_____

Слайд 7

Математическая разминка

  1. -12 ∙ (-3)
  2.  60 : (-5)
  3.  -7 ∙ 12
  4.  0 : (-54)
  5. (-3)2
  6.  -36 : 1
  7.  -100 : (-25)
  8.  -60 : 15
  9. -1 ∙(-20)
  10. -48 : 8

36

-12

-84

0

9

-36

4

-4

20

-6

  1. Самостоятельная работа (Тесты) 7 мин

И последнее задание на повторение – это самостоятельная работа в виде тестов. Возьмите листочек под №2

Запишите в тетради «Тест, вариант и номера 5-ти заданий»  Вычисления аккуратно можно делать ниже

 На выполнение работы — 5 минут

Взаимопроверка и оценивание:

0 ошибок – 5 баллов

1- ошибка – 4 балла

2 ошибки – 3 балла

3-4 ошибки – 2 балла

Итог 1-30

Слово учителя:

Каждый из вас должен подвести итог и определить, что знаете хорошо, а над чем еще нужно поработать.

Положите в тетрадь листочки с математической разминкой и тест. Старший в группе соберите тетради.

Релаксация (видеоролик) 1,5 мин

Решают, записывают в тетрадях ответ

взаимопроверка

Сдают тетради.

Слайд 8

Проверка тестов

1в            2в

1.-1        1.-2

2.-4         2.-1

3.-2         3.-3

4.-3         4.-1

5.-3         5.-2

Видеоролик о том, как распускаются цветы

Содержание урока

Действия обучающихся

Нагдядность, раздаточный материал

2-30

  1. Введение в тему урока. Мотивация.  5 мин

Продолжаем урок и девизом следующей работы на уроке предлагаю  знакомое вам высказывание

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед

— Вспомним, какие законы сложения и умножения вам известны. Для этого нужно установить соответствие между математической записью и названием законов.

Задание на листочке №3

Проверка (высвечивается на экране)

— Какие законы мы уже применяли при вычислении целых чисел (положительных и отрицательных)?

— С какой целью мы применяли эти законы?

— Какой закон мы не применяли при вычислении целых чисел?

— Вы догадались, какая тема сегодня будет на уроке?

— Запишите число, классная работа, тема урока

Распределительный закон

Переместительный и сочетательный

Для удобного вычисления.

Распределительный закон

Устанавливают соответствие

Слайд 9

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед

Слайд 10

(ab)c = a(bc)                 сочетательный

                                        закон сложения

ab = ba                      переместительный

                                        акон  сложения

a(b + c) = ab + ac  сочетательный   закон                                     умножения

(a + b) +c = a + (b + c)  переместительный

               закон умножения

a+ b = b + a        распределительный                           закон умножения

Слайд 11

  1. Постановка проблемной ситуации 1 мин

— Попробуйте решить устно примеры:

а) -125 · (8 + 10)

б) 3 · 96 + 96 · 7 + 93 · 41 — 51 · 93

— Что поможет быстро решить эти примеры? Кто догадался?

Распределительный закон

Слайд 8

  1.  Постановка цели и задачи урока 2 мин

— Какие задачи мы поставим на уроке, чтобы справиться с заданием?

Задачи (вывесить на доску)

  1. Расширить знания о распределительном законе
  2. Научиться применять распределительный закон при решении примеров с целыми числами

— Для чего нам это нужно? (Эти знания помогут в старших классах при изучении алгебры)

Ответы обучающихся

На доске

  1. Изучение нового материала 20 мин

1 часть

— На экране математическая запись какого закона? (распределительного закона)

Учитель озвучивает запись: Произведение числа a и суммы чисел b и с равно сумме произведений ab и ac

Кто озвучит математическую запись относительно вычитания?

         a (b + c) = ab + ac         относительно сложения

         a (b — c) = ab – ac        относительно вычитания

Обратить внимание!

— Чем отличается правая часть от левой части? ( Правая часть не содержит скобки).

Получается, что скобки раскрыты.

Вывод: Такое преобразование называется «раскрытие скобок»

(У обучающихся печатный листок  с теоретическим и практическим материалом)

Обучающиеся выполняют задания в листочках (работа в парах)

1 Записать заголовок Раскрытие скобок

2.Раскройте скобки в примерах с натуральными числами относительно сложения и вычитания:

5 · (14 + 8) = _________________

5 · (14 — 8) = __________________

Проверка на слайде

3. Прокомментируйте раскрытие скобок с целыми числами относительно сложения.

 -5 · (-14 + 8) = -5 · (-14) + (-5) · 8

4. Раскройте скобки в примере с целыми числами относительно вычитания:

-5 · (-14 — 8) = __________________________

Проверка записи (на слайде): -5 · (-14 – 8) =-5 · (-14) – (-5) ·8

5.Раскройте скобки:

4 · (-13 + 96) = __________________

4 · (-13 — 96) = ___________________

-6 · (-27 + 68) = __________________

-6 · (-27 — 68) = ___________________

Проверка (на слайде)

Итог работы:

— Что мы сейчас делали? (Учились раскрывать скобки)

— Вернемся к примеру: -125 ( 8 + 10) .

 -Что нужно сделать при помощи распределительного закона?

— Кто посчитал? Ответ -2250

Учитель записывает  на доске решение:

-125 ( 8 + 10) = -125 · 8 + (-125) · 10 = -1000 + (-1250) = -2250

    2 часть

На экране перед вами равенства какого закона?  Учитель озвучивает запись.

      ab + ac = a (b + c)

       ab — ac = a (b — c)

— Что вы заметили? ( Правая и левая части поменялись местами).

— Обратите внимание на левую часть равенства. Как можно назвать множитель a, если он встречается в обоих произведениях?  ( общий множитель)

— Что происходит с общим множителем после знака равно? (множитель вынесли за скобки).

Вывод: Такое преобразование называется «вынесение общего множителя за скобки»

Обучающиеся выполняют задания в листочках (работа в парах)

1 Записать заголовок Вынесение общего множителя за скобки

2.Вынесите общий множитель за скобки в  примерах с положительными числами относительно сложения и вычитания:

4 · 15 + 4 · 5 = ________________

4 · 15 — 4 · 5= __________________

Проверить на слайде

3. Прокомментируйте вынесение общего множителя за скобки с целыми числами относительно сложения.

  -4 · (-15) + (-4) · (-5) =  -4·(-15 + (-5))

4. Вынести общий множитель за скобки в примере с целыми числами относительно вычитания:

  -4 · (-15) — (-4) · (-5) = __________________________

Проверка записи (на слайде): -4·(-15 — (-5)) = -4 ( -15 + 5)

5.Вынести общий множитель за скобки:

8 · 23 + 8 · 67 = __________________

-8 · 23 + (-8) · 67 = ________________

-8 · 23 – (-8) · 67 = ________________

8 · 23 — 8 · 67 = ___________________

Проверка (на слайде)

Итог работы:

— Что мы сейчас делали? (Учились выносить общий множитель за скобки)

— Вернемся к примеру: (учитель записывает на доске)

 3 · 96 + 96 · 7 + 93 · 41 — 51 · 93 = 96 · (3 + 7) + 93 · (41 – 51)=

= 96 · 10 + 93 · (-10) = 960 + (- 930) =  960 – 930 = 30

Оценивание работы в парах

1-2 ошибки —  5 баллов

3- ошибки -4 балла

4-6 ошибок – 3 балла

Ответы обучающихся

Обучающийся комментирует

Работают в парах

Объясняют как получили ответ

Слайд 13

Слайд 14

Раскрытие скобок

Слайд 15

5 · (14 + 8) = 5· 14 + 5 · 8

5 · (14 — 8) = 5· 14 — 5 · 8

Слайд 16

-5 · (-14 + 8) = -5 · (-14) + (-5) · 8

Слайд 17

-5 · (-14 — 8) = -5 · (-14) — (-5) · 8

Слайд 18

Раскрытие скобок

4 · (-13 + 96) = 4 · (-13) + 4 · 96

4 · (-13 — 96) =  4 · (-13) — 4 · 96

-6 · (-27 + 68) = -6 · (-27) + (-6) · 68

-6 · (-27 — 68) = -6· (-27) – (-6)   68

Слайд 19

 ab + ac = a (b + c)

ab — ac = a (b — c)

Слайд 20

Вынесение общего множителя за скобки»

Слайд 21

4 · 15 + 4 · 5 = 4 (15 + 5)

4 · 15 — 4 · 5=  4 ( 15 – 5)

Слайд 22

-4 · (-15) + (-4) · (-5) =  -4·(-15 + (-5))

Слайд 23

4·(-15 — (-5)) = -4 ( -15 + 5)

Слайд 24

Вынесение общего множителя за скобки

8 · 23 + 8 · 67 = 8 ( 23 + 67)

-8 · 23 + (-8) · 67 = -8 ( 23 + 67)

-8 · 23 – (-8) · 67 =  -8 ( 23-67)

8 · 23 — 8 · 67 = 8 ( 23- 67)

Содержание урока

Действия обучающихся

Наглядность, раздаточный материал

3-30

  1. Закрепление изученного материала

1.Беседа о задачах поставленнях на урок. 2 мин

—С какими новыми понятиями познакомились на уроке?

(раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки)

—Как вы думаете мы справились с поставленной первой задачей?

—А над второй задачей урока будем продовжать работать.

2.Смена вида деятельности.

—Предлагаю разгадать кроссворд. ( работа в парах)

—На выполнение работы 2 мин.

 

Слайд 25

Картинка продуктов, в которых содержится калий

Кроссворд

з

а

к

о

н

ы

о

т

р

и

ц

а

т

е

л

ь

н

ы

е

м

о

д

у

л

ь

п

р

о

т

и

в

о

п

о

л

о

ж

н

ы

е

р

а

с

п

р

е

д

е

л

и

т

е

л

ь

н

ы

й

  1.  Переместительный, сочетательный и распределительный…»
  2. Как называют числа со знаком « — » ?
  3. Противоположные числа имеют одинаковый …
  4. Числа, которые отличаются только знаками называются.
  5. Закон умножения.

3. Проверка и знакомство с ключевым словом «калий» 3мин

—Что это за слово? (микроэлемент)

— Наступила зима и очень важно правильно питаться , чтобы получать достаточное количество микроэлементов для расту-щего детского организма. Калий отвечает за деятельность мышцы сердца, улучшает снабжение головного мозга кисло- родом.                                                                                                                                   Посмотрите в каких продуктах содержится больше всего  калия

Оценивание кроссворда: 1 мин

Записано ключевое слово – 5 баллов

Нет 1-го слова – 4 балла

Нет 2-х слов – 3 балла      

Нет 3-х слов – 2 балла

Ответы обучающихся

4.Работа в группах   5 мин

Учитель раздает карточки для групп. Инструктаж

 Задание1

Верно ли применен распределительный закон (Да. Нет)

а) -2 · (5 + 7) = -10 -14

б) (-7 -5 -8) · ( -2) = 14 — 10 + 16.

 Задание 2

Вместо __ поставить знак «+» или «-» так, чтобы равенство было верным

-2 · (6 + 9) = ___2 · 6 ___2 · 9

-5 · ( -6 -7) = ___5 · 6___5 · 7

 Задание 3

Примените распределительный закон, если а, b, с – целые числа

1)—a ·( b+ c) = ______________  

2) a ·(- b+ c) = ______________

3) -a ·( -b+ c) = ______________

4) a ·( -b — c) = ______________

5) -a · b + a · с = a ·(_______________)

6) -a · b — a · с = -a ·(_______________)

Проверка на слайде 

Оценивание:

1 ошибка – 5 баллов    

2- 3 ошибки – 4 балла

4-5  ошибки – 3 балла  

  1. ошибок – 2 балла

5.Работа с учебником. 5 мин (решение с комментированием у доски)

№ 355 (а,б), №357 (б,г)

 

Слайд 26

Задание 1

а) да; б) нет.

Задание 2

-2 · (6 + 9) =  -2 · 6  — 2 ·9

-5 · ( -6 -7) = + 5 · 6 + 5 · 7

 Задание 3

1)—a ·( b+ c) = — ab—ac

2) a ·(- b+ c) = — ab + ac

3) -a ·( -b+ c) = -ab — ac

4) a ·( -b — c) = -ab — ac

5) -a · b + a · с = a ·(-b +c)

6) -a · b — a · с = -a ·( b + с

  1. Рефлексия  10 мин

1.Оценивание:

—В течении всего урока вы заполняли лист самооценки , посчитайте количество баллов всего, разделите на  6 выставьте полученную оценку

2. Домашнее задание: ( учитель комментирует)

Решить № 350(1 столбик), № 356 (1 ст) № 359 (1ст),

творческое задание: составить кроссворд с ключевым словом Витамины

3. -Какие  задачи мы поставили в начале изучения темы?

-Достигли мы поставленных задач?

— Закончить предложения: (запись на слайде)

На уроке я узнал…

На уроке я научился….

Теперь я могу…

4.- Я вам расскажу притчу, и хочу, чтобы вы сопоставили свою работу на уроке с ответами героев из этой притчи.

Шел мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого он спросил?: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.

У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?,  и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».

А третий, улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: « А я принимал участие в строительстве храма!»

-Кто ответил бы также как первый человек, поднимите красного цвета  карточку.

Кто ответил бы как второй человек, поднимите желтого цвета карточку.

Кто ответил бы как третий человек, поднимите зеленую карточку.

Урок окончен.

Ответы обучающихся

Слайд 27

Домашнее задание: Решить № 350(1 ст),

№ 356 (1 ст) № 359

(1ст), творческое задание: составить кроссворд с ключевым словом Витамины

Слайд 28

Закончить предложения

На уроке я узнал…

На уроке я научился…

Теперь я могу…

Приложение 1

Ф.И.____________________________ класс______

Листок самооценки

№ п/п

Задания на уроке

Баллы

1

 Проверка домашнего задания:

  1. Аккуратность  1б
  2. Правильность 4б
  3. Знание правил 1б

2

Математическая разминка:

  1. Устный счет — 1б
  2. Работа по карточке (запись ответа)  — 5 б
  3. Ответы на 4 и болем дополнительные задания + 1б

3

Самостоятельная работа (Тест) 5б

4

Работа в парах 5б

5

Работа в группе 5б

6

Кроссворд  (работа в паре)  5 б

 

Всего баллов

Самооценка за урок

Ф.И.____________________________ класс______

Листок самооценки

№ п/п

Задания на уроке

Баллы

1

 Проверка домашнего задания:

  1. Аккуратность  1б
  2. Правильность 4б
  3. Знание правил 1б

2

Математическая разминка:

  1. Устный счет — 1б
  2. Работа по карточке (запись ответа)  — 5 б
  3. Ответы на 4 и болем дополнительные задания + 1б

3

Самостоятельная работа (Тест) 5б

4

Работа в парах 5б

5

Работа в группе 5б

6

Кроссворд  (работа в паре)  5 б

 

Всего баллов

Самооценка за урок

Приложение 2

Математическая  разминка

  1. -12 · ( -3) =____
  2.  60 : ( -5) = ____
  3.   -7 · 12 =_____
  4.  0 : ( -54) =_____
  5. ( -3)2 = ______
  6.  -36 : 1=____
  7.  -100 : ( -25) =_____
  8. -60 : 15 =______
  9. -1 · ( -20) = ______
  10.  -48 : 8 = _______

Расположите числа в порядке возрастания:

___________________________________________________

Математическая  разминка

  1. -12 · ( -3) =____
  2.  60 : ( -5) = ____
  3.   -7 · 12 =_____
  4.  0 : ( -54) =_____
  5. ( -3)2 = ______
  6.  -36 : 1=____
  7.  -100 : ( -25) =_____
  8. -60 : 15 =______
  9. -1 · ( -20) = ______
  10.  -48 : 8 = _______

Расположите числа в порядке возрастания:

___________________________________________________

Приложение 3

Тест

1 вариант

Тест

2 вариант

Приложение 4

Тема урока. Распределительный закон

a · (b + c) = ab + ac – относительно  сложения

a · (b — c) = ab — ac – относительно  вычитания

Чем отличается правая часть от левой?

1.______________________________________________

2. Раскрыть скобки в примерах с натуральными числами:

5 · (14 + 8) = ________________________;

5 · (14 — 8) = ________________________.

3.Прокоментируйте пример раскрытия скобок с целыми числами (положительными и отрицательными):

-5 · (-14 + 8) = -5 · (-14) + (-5) · 8

4. Раскройте скобки с целыми числами относительно вычитания:

-5 · (-14 — 8) =___________________________

5. Раскройте скобки:

1) 4 · (-13 + 96) = __________________________________

2) 4 · (-13 — 96) = __________________________________

3) -6 · (-27 + 68) =_____________________________________

4) -6 · (-27 — 68) =_____________________________________

6. Вычислите устно:

-125 · (8 + 10) = _______________________________________

___________________________________________________

ab + ac = a · (b + c)

ab — ac = a · (b — c)

Как изменился распределительный закон?

Почему подчеркнут множитель a в левой части?

Что происходит с множителем a в правой части?

1.____________________________________________________

2.Подчеркнуть и вынести общий множитель за скобки  в примерах с натуральными числами

4 · 15 + 4 · 5 = _____________________

4 · 15 — 4 · 5 = _____________________

3. Прокоментируйте пример вынесение общего множителя за скобки с целыми числами(положительными и отрицательными):

-4 · (-15) + (-4) · (-5) = -4 · (-15) + (-5))

4. Вынести общий множитель за скобки с целыми числами относительно вычитания:

-4 · (-15) — (-4) · (-5) = ____________________________

5. Вынести общий множитель за скобки:

1) 8 · 23 + 8 · 67 = __________________________

2) -8 · 23 + (-8) · 67 = __________________________

3) -8 · 23 – (-8) · 67 = __________________________

4) 8 · 23 — 8 · 67 = __________________________

6. Вычислите устно:

3· 96 + 96 · 7 + 93 · 41 — 51 · 93 =______________________

Приложение 5

Работа в группе №___

Задание 1

Верно ли применен распределительный закон (Да. Нет)

а) -2 · (5 + 7) = -10 – 14 _____;

б) (-7 -5 -8) · (-2) = -14 -10 + 16 ____.

Задание 2

Вместо     поставить знак «+» или «-» так, чтобы равенство было верным

-2 · (6 + 9) =     2 · 2 · 6        2 · 9

-5 · (-6 — 7) =          5 · 6        5 · 7

Задание 3.

Примените распределительный закон, если a, b и с целые числа:

  1.  — a · (b + с) = _________________________________
  2.  a · (-b + с) = _________________________________
  3. — a · (-b + с) = _________________________________
  4.  a · (-b — с) = _________________________________
  5. — a · b + a · с = a · (____________)
  6. — a · b — a · с = -a · (____________)

Приложение 6

Приложение 7

Кроссворд

1. Переместительный, сочетательный и распределительный…»

2.Как называют числа со знаком « — » ?

3.Противоположные числа имеют одинаковый …

4.Числа, которые отличаются только знаками называются.

5.Закон умножения.

Кроссворд

  1.  Переместительный, сочетательный и распределительный…»
  2. Как называют числа со знаком « — » ?
  3. Противоположные числа имеют одинаковый …
  4. Числа, которые отличаются только знаками называются.
  5. Закон умножения.

Кроссворд

1. Переместительный, сочетательный и распределительный…»

2.Как называют числа со знаком « — » ?

3.Противоположные числа имеют одинаковый …

4.Числа, которые отличаются только знаками называются.

5.Закон умножения.

Пример распределительный закон умножения относительно сложения. Сочетательное и распределительное свойства умножения

Цели урока:

  1. Получить равенства, выражающие распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
  2. Научить учащихся применять это свойство слева направо.
  3. Показать важное практическое значение этого свойства.
  4. Развивать у учащихся логическое мышление. Закрепить навыки работы на компьютере.

Оборудование: компьютеры, плакаты со свойствами умножения, с изображениями машин и яблок, карточки.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одно свойство умножения, которое имеет важное практическое значение, помогает быстро производить умножение многозначных чисел. Повторим ранее изученные свойства умножения. По ходу изучения новой темы проверим домашнее задание.

2. Решение устных упражнений.

I . На доске запись:

1 – понедельник
2 – вторник
3 – среда
4 – четверг
5 – пятница
6 – суббота
7 – воскресенье

Задание. Задумайте день недели. Умножить номер задуманного дня на 2. Прибавить к произведению 5. Умножить сумму на 5. Увеличить произведение в 10 раз. Назвать результат. Вы загадали… день.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II . Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №8. Экспресс-контроль. Заполните пустые клетки в цепочке. Вариант 1.

III . На доске:

  • a + b
  • (a + b) * c
  • m – n
  • m * c – n * c

2) Упростить:

  • 5 * x * 6 * y
  • 3 * 2 * а
  • а * 8 * 7
  • 3 * а * b

3) При каких значениях x равенство обращается в верное:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Почему?

Какие свойства умножения применялись?

3. Изучение нового материала.

На доске плакат с изображениями машин.

Рисунок 1.

Задание для 1 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Записать выражения.

  1. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых?
  2. Сколько грузовых машин во 2-ом ряду? Сколько легковых?
  3. Сколько машин всего в гараже?
  4. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько грузовых машин в двух рядах?
  5. Сколько легковых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых машин в двух рядах?
  6. Сколько всего машин в гараже?

Найти значения выражений 3 и 6. Сравнить эти значения. Записать выражения в тетрадь. Прочитать равенство.

Задание для 2 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Что означают выражения:

  • 4 – 3
  • 4 * 2
  • 3 * 2
  • (4 – 3) * 2
  • 4 * 2 – 3 * 2

Найти значения двух последних выражений.

Значит, между этими выражениями можно поставить знак =.

Прочитаем равенство: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

Плакат с изображениями красных и зелёных яблок.

Рисунок 2.

Задание для 3 группы учащихся (девочек).

Составить выражения.

  1. Какова масса одного красного и одного зелёного яблока вместе?
  2. Какова масса всех яблок вместе?
  3. Какова масса всех красных яблок вместе?
  4. Какова масса всех зелёных яблок вместе?
  5. Какова масса всех яблок?

Найти значения выражений 2 и 5 и сравнить их. Записать это выражение в тетрадь. Прочитать.

Задание для 4 группы учащихся (девочек).

Масса одного красного яблока 100 г, одного зелёного 80 г.

Составить выражения.

  1. На сколько г масса одного красного яблока больше, чем зелёного?
  2. Какова масса всех красных яблок?
  3. Какова масса всех зелёных яблок?
  4. На сколько г масса всех красных яблок больше, чем зелёных?

Найти значения выражений 2 и 5.Сравнить их. Прочитать равенство. Только ли для этих чисел верны равенства?

4. Проверка домашнего задания.

Задание. По краткой записи условия задачи поставить главный вопрос, составить выражение и найти его значение при данных значениях переменных.

1 группа

Найти значение выражения при а = 82,b = 21, c = 2.

2 группа

Найти значение выражения при а = 82, b = 21, с= 2.

3 группа

Найти значение выражения при а = 60, b = 40, с = 3.

4 группа

Найти значение выражения при а = 60, b =40, с = 3.

Работа в классе.

Сравнить значения выражений.

Для 1 и 2 групп:(а + b) * с и а * с + b * с

Для 3 и 4 групп:(а – b) * с и а * с – b * с

(а + b) * с = а * с + b * с
(а – b) * с = а * с – b * с

Итак, для любых чисел а, b, с верно:

  • При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
  • При умножении разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
  • При умножении суммы или разности на число умножение распределяется на каждое число, заключённое в скобках. Поэтому это свойство умножения называется распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

Прочитаем формулировку свойства по учебнику.

5. Закрепление нового материала.

Выполнить №548. Примените распределительное свойство умножения.

  • (68 + а) * 2
  • 17 * (14 – x)
  • (b – 7) * 5
  • 13 * (2 + y)

1) Выбирай задания на оценку.

Задания на оценку «5».

Пример 1. Найдём значение произведения 42 * 50. Представим число 42 в виде суммы чисел 40 и 2.

Получим: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Теперь применим распределительное свойство:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Аналогично решить №546:

а) 91 * 8
в) 6 * 52
д) 202 * 3
ж) 24 * 11
з) 35 * 12
и) 4 * 505

Представить числа 91,52, 202, 11, 12, 505 в виде суммы десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Пример 2. Найдём значение произведения 39 * 80.

Представим число 39 в виде разности 40 и 1.

Получим: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3 200 – 80 = 3 120.

Решить из №546:

б) 7 * 59
е) 397 * 5
г) 198 * 4
к) 25 * 399

Представить числа 59, 397, 198, 399 в виде разности десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «4».

Решить из №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить из № 546 (б, г, е, к). Применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «3».

Решить №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить №546 (б, г, е, к).

Для решения задачи №552 составить выражение и выполнить рисунок.

Расстояние между двумя сёлами 18 км. Из них выехали в разные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час m км, а другой n км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

(Устно. Примеры записаны на обратной стороне доски.)

Вместо поставьте пропущенные цифры:

Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №7. Экспресс-контроль. Восстановите пропавшие цифры.

6. Подведение итогов урока.

Итак, мы рассмотрели распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Повторим формулировку свойства, прочитаем равенства, выражающие свойство. Применение распределительного свойства умножения слева направо можно выразить условием «раскрыть скобки», т. к. в левой части равенства выражение было заключено в скобки, а в правой скобок нет. При решении устных упражнений на отгадывание дня недели мы тоже использовали распределительное свойство умножения относительно сложения.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * № + 250, а затем решали уравнение вида:
100 * № + 250 = а

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Навигация по странице.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):

  • Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
  • Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
  • Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
  • Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
  • И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

  • Никакое целое число нельзя делить на нуль.
  • Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
  • Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
  • Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
  • В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
  • Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
  • Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
  • Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
  • Любые другие свойства деления целых чисел.

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.


В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.


Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Законы арифметических действий

Нам известны следующие законы сложения и умножения:

1. от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

5 + 4 = 4 + 5 = 9.

Это переместительный закон сложения.

2. Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые, т. е. чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое:

6 + (4 + 5) = (6 + 4) + 5 = 15.

Это сочетательный закон сложения.

3. От перемены мест множителей произведение не меняется:

7 ⋅ 4 = 4 ⋅ 7 = 28.

Это переместительный закон умножения.

4. Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители, т. е., чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

(3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 3 ⋅ (4 ⋅ 5) = 60.

Это сочетательный закон умножения.

5. Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения:

(20 + 6) ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 40 + 12 = 52.

Это распределительный закон умножения относительно сложения.
Применяя законы сложения и умножения, можно упростить вычисления:

48 + 79 + 52 = (48 + 52) + 79 = 100 + 79 = 179,
4 ⋅ 76 ⋅ 25 = 76 ⋅ (4 ⋅ 25) = 76 ⋅ 100 = 7600.

В этих примерах использовался сочетательный закон сложения и умножения.

Пример #1.
Вычисли, меняя множители местами и объединяя их в группы:

2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 

Решение:
Множители можно менять местами:
2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 9 ⋅ 2 ⋅ 5.

Множители можно объединять в группы:
9 ⋅ 2 ⋅ 5 = 9 ⋅ (2 ⋅ 5) = 9 ⋅ 10 = 90.

Любое чётное число выгодно объединять с 5, т. к. произведение с ним даёт полные десятки.

Если множители не менять местами и не объединять, то получить результат будет сложнее, но тоже можно:

2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 18 ⋅ 5 = 90.


Выполни умножение 44 ⋅ 2 постепенно.


Число 44 можно записать в виде суммы: 40 + 4 — и затем выполнить умножение:

44 ⋅ 2 = (40 + 4) ⋅ 2 = 40 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 80 + 8 = 88.

Обрати внимание, что каждое слагаемое в скобках умножается на число 2 отдельно, и полученные произведения потом складываются.


Вычисли устно: 67 + 21 + 33.


Применяя переместительный и сочетательный законы сложения, получим:
(67 + 33) + 21 = 100 + 21 = 121.


Данное равенство: 9 ⋅ 5 = 48 —
верно или ошибочно?


Произведение чисел 9⋅5 = 45 и поэтому не будет равным числу 48;
значит, данное равенство ошибочно.


Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним, определяя значение выражения ((27 − 0) ⋅ 14 + 79) : 2?


Вычисляя значение данного выражения, последним действием производим деление.


Сумма чисел 3338 + 2744 ближе всего к числу:


3338 + 2744 = 6082 ~ 6000


В автобусе 25 мест(-а). Какое наименьшее число автобусов необходимо, чтобы 182 чел. увезти в аэропорт?


182 : 25 = 7, ост. 7.

Оставшимся 7 чел. нужен ещё один автобус.

Поэтому необходимое число автобусов 7+1 = 8.

Проверка: 25⋅7 + 7 = 175 + 7 = 182.


В конце рабочего дня 7 гномов (A, B, C, D, E, F и G) в алфавитном порядке собрались у лифта, чтобы подняться на поверхность земли.

К сожалению, одновременно все гномы не могут подняться на лифте, т. к. за раз лифт может поднять груз не больше, чем 475 кг.
Некоторые гномы не знают свой вес, однако известен общий вес некоторых гномов. A + G = 356 кг, B + F = 408 кг, C + D + E = 464 кг.


Распространяемая собственность: определение, использование и примеры — видео и расшифровка урока

Распределительное свойство

Примеры Распределительного Свойства

Начнем с простого арифметического применения: 5(3 + 5). Используя свойство распределения, мы можем решить задачу следующим образом: 5(3) + 5(5) = 15 + 25 = 40.

Конечно, обычно мы сначала складываем 3 и 5, а затем умножаем 5 на 8, чтобы получить получить тот же ответ.Но этот базовый пример позволяет нам продемонстрировать свойство дистрибутивности до того, как мы перейдем к более сложным проблемам.

Распределительное свойство также может помочь, когда вам нужно вычислить уравнения, используя ментальную арифметику, что упрощает работу с некоторыми числами. Допустим, вы купили три бутерброда в местной забегаловке по 5,85 доллара каждый, включая налог; однако вы не уверены, достаточно ли у вас денег, чтобы оплатить чек. Вы можете думать о 5,85 доллара как о 6–0,15 доллара. Затем подумайте о задаче так: 3(5.85) = 3(6 — 0,15) = 3(6) — 3(0,15) = 18 — 0,45 = 17,55.

Приложения в алгебраических выражениях

Мы также можем использовать распределительное свойство с переменными. Упростим следующее уравнение: 7(2 х + 7) — 11 х .

  1. 7(2 x ) + 7(7) — 11 x (с применением распределительного свойства)
  2. 14 x + 49 — 11 x (упрощение)
  3. 3 x + 49 (сочетание одинаковых членов)

Мы также используем распределительное свойство, когда умножаем два двучлена.2 — 7 x — 15 (сочетание одинаковых терминов)

Распределительное свойство и изменение знаков

Будьте осторожны, когда в выражении используется отрицательный знак.Например, выражение -( x — 4) на самом деле означает, что мы распределяем -1 как для x , так и для 4, например: -1( x ) — (-1)(4) = — x + 4.

Убедитесь, что вы распределили знак минус перед каждым термином в скобках, как показано здесь:

Упростим этот пример: 5(4 х — 7) — 4(-3 х + 8).

  1. 5(4 x ) — 5(7) — 4(-3 x ) — 4(8) (с применением распределительного свойства)
  2. 20 x — 35 + 12 x — 32 (упрощение)
  3. 32 x — 67 (сочетание одинаковых терминов)

Распределяющее свойство и геометрия

Когда вы изучаете курс геометрии, не думайте, что вы можете на время забыть об алгебре — эти две математические темы очень тесно связаны.2 + 5 x — 84 = 0 (запись в виде квадратного уравнения)

  • ( х + 12)( х — 7) (разложение)
  • Возможные решения для x : -12 и 7.Мы знаем, что сторона прямоугольника не может быть отрицательной, поэтому x должно быть равно 7. Ширина x = 7, а длина 7 + 5 = 12.

    Расширение свойства распределения

    Свойство распределения может быть продлен на дополнительные сроки. Например, a ( x + y + z ) = x + a + az .

    Мы также можем использовать свойство, обратное распределительному, то есть разложение на множители.2 — 37 x , мы получим x ( x — 37).

    Резюме урока

    Распределительное свойство позволяет нам умножать один множитель на множество различных множителей, которые складываются и/или вычитаются вместе. Это свойство часто делает проблемы решаемыми в уме или, по крайней мере, более легкими для решения.

    Результат обучения

    Когда вы закончите этот урок, вы сможете вспомнить и применить свойство распределения для решения различных типов математических задач.

    Распределительная собственность | Определение, использование и примеры

    Определение свойства распределения

    В математике распределительное свойство говорит, что сумма двух или более слагаемых, умноженная на число, дает тот же ответ, что и распределение множителя, умножение каждого слагаемого по отдельности и сложение произведений вместе.

    PEMDAS и распределительная собственность
    Порядок работы PEMDAS Использование распространяемого свойства
    (5 + 7 + 3) × 4 (5 + 7 + 3) × 4
    = 15 × 4 = (5 × 4) + (7 × 4) + (3 × 4)
    = 60 = 20 + 78 + 12
    = 60

    Что такое распределительная собственность?

    Свойство распределения — одно из наиболее часто используемых свойств в математике.Он используется для упрощения и решения уравнений умножения путем распределения множителя для каждого числа в скобках, а затем сложения этих произведений вместе, чтобы получить ответ.

    Ступени распределения свойств
    Ступенька
    7 × 7 + 5 + 8 = ? Данное уравнение
    77 + 75 + 78 = ? Распределить множитель
    49 + 35 + 56 = ? Умножить
    = 140 Добавить

    Распределительное свойство связывает три основные математические операции в две пары: умножение и сложение; и умножение и вычитание.

    Распределительное свойство утверждает, что для действительных чисел a, b и c всегда выполняются два условия:

    • a(b + c) = ab + ac
    • а(б — в) = аб — ас

    Вы можете использовать распределительное свойство, чтобы превратить одно сложное уравнение умножения в две более простые задачи на умножение, а затем сложить или вычесть два ответа по мере необходимости.

    Распределительное свойство умножения

    Распределительное свойство такое же, как распределительное свойство умножения, и его можно использовать вместо сложения или вычитания.

    Вот примеры распределительного свойства умножения в действии:

    Распределительное свойство сложения и вычитания
    Распределительное имущество сверх дополнения Распределительное свойство над вычитанием
    6 × (10 + 5) 6 × (10 — 5)
    = (6 × 10) + (6 × 5) = (6 × 10) — (6 × 5)
    = 60 + 30 = 60 — 30
    = 90 = 30

    Распределительное имущество подразделения

    Свойство распределения не применимо к делению в том же смысле, что и к умножению, но идея распределения или «расщепления» может использоваться при делении.

    Распределительный закон деления можно использовать для упрощения задач на деление путем разбиения или распределения числителя на более мелкие части, чтобы облегчить решение задач на деление.

    Вместо того, чтобы пытаться решить 1255, вы можете использовать распределительный закон деления, чтобы упростить числитель и превратить эту единственную задачу в три меньших, более простых задачи на деление, которые вы сможете решить намного проще.

    505 + 505 + 255

    10 + 10 + 5

    25

    Примеры свойств дистрибутива

    Эти примеры задач, которые могут помочь вам понять силу свойства распределения:

    1. 11 × (10 + 5) = ?
    2. 11(10 + 5) = ?
    3. 11(10) + 11(5) = ?
    4. 110 + 55 = ?

    Слишком просто? Давайте попробуем решить задачу из реальной жизни, используя денежные суммы:

    .

    Вы покупаете девять упакованных ланчей для членов Математического клуба по 7 долларов.90 каждый. Используя ментальную арифметику, сколько вам должны возместить за обеды? Вы заметили, что 7,90 доллара всего на 0,10 доллара отличается от 8, поэтому вы используете Распределительное свойство:

    .
    • 9(7,90 долл. США) = ?
    • 9(8 – 0,10 долл. США) = ?
    • 9(8$) — 9(0,10$) = ?
    •  72 – 0,90 доллара = 71,10 доллара 

    Казначей Математического клуба должен возместить вам 71 доллар 10 центов за обед.

    Как использовать свойство распределения?

    В основных операциях Распределительное свойство применяется к умножению множимого на все члены в круглых скобках.Это верно независимо от того, добавляете вы термины или вычитаете:

    2(3 + 4 + 5) – 6(7 + 8) = ?

    Свойство Распределение позволяет распределить множители или множители за пределами круглых скобок (в данном случае 2 и -6) на каждое слагаемое в круглых скобках:

    2(3) + 2(4) + 2(5) — 6(7) -6(8) = ?

    6 + 8 + 10 — 42 — 48 = ?

    24 — 90 = -66

    Вы можете использовать характеристики Распределяющего свойства, чтобы «разбить» то, что слишком сложно сделать с помощью ментальной арифметики:

    9 × 1847 = ?

    Разверните множитель и распределите множимое на каждое разрядное значение:

    9(1000) + 9(800) + 9(40) + 9(7) = ?

    9 000 + 7 200 + 360 + 63 = ?

    Ассоциированные (групповые) дополнения для более легкого умственного сложения:

    (9 000 + 7 200) + (360 + 63) = ?

    16 200 + 423 = 16 623

    Алгебра распределительных свойств

    В алгебре Распределяющее свойство используется, чтобы упростить алгебраические выражения, комбинировать одинаковые термины и находить значения переменных.Это работает с одночленами и при умножении двух двучленов:

    3(5а + 12) — (а + 8) = ?

    Раздать 3 и -1:

    3(5a) + 3(12) + (-1)(a + 8) = ?

    15а + 36 — а — 8 = ?

    Объедините похожие термины:

    14а + 28 = ?

    Вычесть 28 с обеих сторон:

    14а = -28

    Разделите обе части на 14:

    а = -2

    Вот еще один пример использования распределительного свойства для упрощения алгебраического выражения:

    (3x + 4)(x -7)

    (3x + 4)(x + -7)

    Использовать свойство распространения:

    (3x)(x) + (3x)(−7) + (4)(x) + (4)(-7)

    Упростить:

    3×2 − 21x + 4x − 28

    Объедините похожие термины:

    3×2 – 17x – 28

    Возможно, вы знакомы с шагами по решению биномов в виде метода FOIL :

    .
    • F первые члены каждого двучлена умножаются
    • O маточные члены — первый член первого двучлена и второй член второго двучлена умножаются
    • I внутренние члены — перемножаются второй член первого двучлена и первый член второго двучлена
    • L ast terms — умножаются последние члены каждого бинома

    Отрицательные и положительные знаки с распределительным свойством

    Distributive Property работает со всеми действительными числами, включая положительные и отрицательные целые числа.Особенно в алгебре нужно обращать особое внимание на отрицательный знак в выражениях.

    Просмотрите шаги, которые мы использовали в этой задаче, выше:

    3(5а + 12) — (а + 8) = ?

    Мы добавили знак + после первого члена и распределили -1 между , и 8, вот так:

    3(5a + 12) + (-1)(a + 8) = ?

    Затем мы распределили знак минус между обоими членами во вторых скобках:

    15а + 36 — а — 8 = ?

    Мы можем показать это распределение отрицательного знака с помощью двух общих формул, одной для сложения и одной для вычитания:

    • -(а + б) = — а — б
    • -(а — б) = — а + б

    Распределительное свойство в геометрии

    Мы можем применить Распределительное Свойство к геометрии при работе с задачами, включающими площадь прямоугольников .Хотя алгебра может показаться не связанной с геометрией, эти две области тесно связаны.

    Предположим, нам представлен рисунок, на котором отсутствуют числа, но показаны отношения.

    Мы понятия не имеем, что такое ширина и длина, но нам говорят, что прямоугольник имеет площадь 65 квадратных метров. Как рассчитать ширину и длину?

    Мы знаем, что площадь равна ширине, умноженной на длину (w × l), что в данном случае равно x для ширины и x + 8 для длины, или (x)(x + 8).

    Запишите, что мы знаем:

    х (х + 8) = 65 м2

    Распространить x:

    x2 + 8x = 65 м2

    Преобразуйте его в квадратное уравнение (вычтите, чтобы одна сторона была равна 0):

    x2 + 8x – 65 = 0

    Фактор квадратного уравнения:

    (х — 5)(х + 13) = 0

    х — 5 = 0 и х + 13 = 0

    х = 5 и х = -13

    У нас не может быть отрицательного числа для ширины или длины, поэтому правильный ответ состоит в том, что x, ширина, равна 5.Это означает, что длина x + 8 равна 13. Мы можем проверить нашу работу:

    (5м)(8м) = 65м2

    Коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойство? [Видео и практика]

    Как вы, возможно, уже поняли за годы уроков математики и домашних заданий, математика по своей природе является последовательной, а это означает, что каждое понятие основано на предыдущей работе. Арифметические навыки необходимы для овладения алгебраическими понятиями, которые затем развиваются для дальнейшего использования в вычислениях и так далее.По мере того, как вы со временем выстраиваете эти концепции, математический процесс может стать автоматическим, но причина или оправдание работы могут быть давно забыты.

    В этом видео мы вернемся к основам, чтобы рассмотреть коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства действительных чисел, которые учитывают математическую механику алгебры и не только.

    Коммутативное свойство

    Имена свойств, которые мы собираемся рассмотреть, помогают расшифровать их значения.Рассмотрим слово , коммутативное . О чем вы думаете, когда видите это слово? Когда я смотрю на это слово, я вижу слово «коммутировать». Это слово напоминает мне о «перемещении», которое свойство коммутативности позволяет вам делать при сложении или умножении алгебраических членов. Математическое свойство коммутативности выглядит следующим образом: \)

    Давайте на минутку вспомним определение алгебраического термина: это число, переменная или произведение коэффициентов и переменных.{2}\) и так далее. Чтобы доказать, что перемещение или перестановка терминов допустимы, давайте рассмотрим несколько примеров использования свойства коммутативности в задачах на сложение.

    Пример 1

    Если мы сложим \(5+3\), то получим \(8\). Но если мы поменяем наши условия и сделаем это \(3 + 5\), мы все равно получим \(8\). Итак, \(5+3=3+5\).

    Пример 2

    Давайте немного изменим один из наших терминов для следующего примера. \(5+(-3)=2\) и \((-3)+5=2\). Итак, \(5+(-3)=(-3)+5\). Обратите внимание, что существует очень важное различие между сложением отрицательного целого числа и операцией вычитания.Важно отметить это различие, потому что свойство коммутативности не применяется к операции вычитания. Например, \(5-3\) не дает того же, что и \(3-5\). Это свойство также не относится к делению. \(100\дел 2\neq 2\дел 100\).

    \(100\div 2=50\)

    \(2\div 100=\frac{1}{50}\)

    Пример 3

    Однако свойство коммутативности применимо к умножению. Например, \(4\умножить на 3\умножить на 5=5\умножить на 3\умножить на 4\). Давайте посчитаем, чтобы убедиться.{2}\)

    \(3+10+3=10+3+3\)

    \(16=16\)

    После добавления каждой стороны у нас останется 16 с обеих сторон, т.е. истинный. \(16=16\).

    Следующее свойство, которое мы рассмотрим, это ассоциативное свойство.

    Ассоциативное свойство

    Опять же, название дает полезный намек на его значение. Что приходит на ум, когда вы слышите слово , ассоциативное с ? Для меня выделяется слово ассоциированное , которое могло бы также навести на ум слово группа .Соответственно, свойство ассоциативности позволяет нам группировать термины, которые соединяются сложением или умножением различными способами. Скобки используются для группировки терминов и устанавливают порядок операций. Работа внутри скобок всегда выполняется в первую очередь. Математически это свойство выглядит следующим образом:

    Ассоциативность сложения : \((a+b)+c=a+(b+c)\)

    Ассоциативность умножения : \((a\ cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)

    Давайте рассмотрим пример использования этого свойства в задаче на сложение.

    Пример 1

    Этот пример покажет, что добавление сначала двух последних терминов или добавление первых двух терминов просто не имеет значения. Давайте посмотрим на \(3+(4+5)=(3+4)+5\). Итак, сначала делаем то, что в скобках. \(4+5=9\) и \(9+3=7\).

    \(3+9=7+5\)

    \(3+9=12\) и \(7+5=12\)

    \(12=12\)

    Итак \(12= 12\), потому что это обе стороны уравнения. Точно так же не имеет значения и порядок, в котором мы выполняем умножение.

    Пример 2

    Допустим, у нас есть \((3\cdot 4)\cdot 5=3\cdot (4\cdot 5)\).

    \(12\cdot 5=3\cdot 20\)

    \(60=60\)

    Коммутативное свойство умножения показывает, что при умножении допустимо переставлять члены. Напротив, ассоциативное свойство умножения перемещает скобки в порядке умножения.

    Распределительное свойство

    Наконец, последнее свойство, которое мы рассмотрим, — это свойство распределения, которое выглядит следующим образом: \(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)

    Нотация, опять же, диктует, что это свойство применимо только к операциям умножения и сложения.В частности, если термин умножается на выражение в круглых скобках, то умножение выполняется для каждого из терминов. Вот пример, доказывающий, что этот алгебраический ход оправдан. \(2(3+7)=2\cdot 3+2\cdot 7\)

    Скобки слева говорят нам сначала добавить 3+7.

    Сумма произведений в правой части уравнения дает тот же результат, что и умножение в левой.


    Обзор

    Хорошо, теперь, когда мы рассмотрели три свойства, давайте проверим вашу память.{2}\)

    Думаешь, понял? Посмотрим! Ответ для числа 1 является ассоциативным свойством, потому что скобки перемещаются в порядке умножения. Ответом на вопрос номер два является распределительное свойство, потому что 3 умножается на оба члена в скобках. Это оставляет нас с ответом на вопрос номер три, являющимся коммутативным свойством, потому что мы просто переставили члены.

    Как видно из нашей работы в этом видео, вы использовали коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства в течение довольно долгого времени, даже не задумываясь над тем, «почему».Вас попросят снова подумать об этих концепциях на курсах математики более высокого уровня, когда некоторые из этих свойств просто не выдерживают критики! До тех пор продолжайте уверенно использовать эти правила, чтобы управлять своей работой и мыслительными процессами.

    Надеюсь, отзыв был полезен. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

    Распределительная собственность – определение и примеры

    Среди всех свойств в математике довольно часто используется распределительное свойство . Это связано с тем, что любой метод умножения числа на другое число использует распределительное свойство.Это свойство было введено в начале 18 века, когда математики начали анализировать абстракции и свойства чисел.

    Слово дистрибутивное взято от слова « распределять », что означает, что вы делите что-то на части. Это свойство распределяет или разбивает выражения на сложение или вычитание двух чисел.

    Что такое распределительная собственность?


    Распределительное свойство — это свойство умножения, используемое при сложении и вычитании.Это свойство утверждает, что два или более условия сложения или вычитания с числом равны сложению или вычитанию произведения каждого из слагаемых с этим числом.

    Распределительное свойство умножения

    В соответствии с распределительным свойством умножения произведение числа на сложение равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Распределительное свойство умножения также верно для вычитания, где вы можете либо сначала вычесть числа и умножить их, либо сначала умножить числа, а затем вычесть.

    Рассмотрим три числа a , b и c , сумма a и b умноженная на c равна сумме каждого сложения умноженного на 1 5 4 90 0, c A + B + b ) × C = C = AC + BC

    Аналогично, вы можете написать свойство распределения умножения для вычитания,

    ( A B ) × C ) × C ) × C ) × C = ac bc

    Распределительное свойство с переменными

    Как было сказано ранее, распределительное свойство довольно часто используется в математике.Следовательно, это действительно полезно и для упрощения алгебраических уравнений.

    Чтобы найти неизвестное значение в уравнении, мы можем выполнить следующие шаги:

    • Найдите произведение числа с другими числами в скобках.
    • Расположите члены так, чтобы постоянные члены и переменные члены находились на противоположных сторонах уравнения.
    • Решите уравнение.

    Пример приведен в последнем разделе.

    Распределительное свойство с показателями

    Распределительное свойство также полезно в уравнениях с показателями.Показатель степени означает, сколько раз число умножается само на себя. Если вместо числа имеется уравнение, свойство также выполняется.

    Вам необходимо выполнить следующие шаги, чтобы решить задачу экспоненты, используя распределительное свойство:

    • Разверните данное уравнение.
    • Найти все продукты.
    • Добавьте или вычтите одинаковые термины.
    • Решите или упростите уравнение.

    Пример приведен в последнем разделе.

    Распределительное свойство с дробями

    Применение распределительного свойства к уравнениям с дробями немного сложнее, чем применение этого свойства к любой другой форме уравнения.

    Используйте следующие шаги для решения уравнений с дробями с использованием свойства распределения:

    • Найдите дроби.
    • Преобразование дробей в целые числа с помощью свойства распределения. Для этого умножьте обе части уравнений на НОК.
    • Найти продукты.
    • Изолируйте термины с переменными и термины с константами.
    • Решите или упростите уравнение.

    Пример приведен в последнем разделе.

    Примеры

    Чтобы решить задачи на распределение слов, вам всегда нужно вычислять числовое выражение, а не искать ответы. Прежде чем приступать к словесным задачам, мы рассмотрим некоторые основные задачи.

    Пример 1

    Решите следующее уравнение, используя свойство распределения.

    9 ( x – 5) = 81

    Решение

    • Шаг 1: Найдите произведение числа с другими числами в скобках.

    9 ( x ) – 9 (5) = 81

    9x – 45 = 81

    • против уравнения.

    9 x – 45 + 45 = 81 + 45

    9 x = 126

    • Шаг 3: Решите уравнение.
    9 x = 126

    = 126/9

    = 126/9

    1 x = 14

    1 x = 14

    1 x = 14

    1 x = 14

    1 x

    (7 x + 4) 2

    Решение

    • Шаг 1: Расширьте уравнение. Шаг 2: Найти все

    (7 x + 4) (7 x + 4) = 49 x

    2

    2 + 281 x + 16

    1 x + 16

    02 + 16

    • Шаг 3: Добавьте тому подобное условия. Пример 3:

      x – 5 = x /5 + 1/10

      Решение

      • Шаг 1: Найдите дроби.

      В правой части две дроби.

      • Шаг 2: Найдите НОК 5, 10, что равно 10.

      Умножьте на НОК с обеих сторон.

      10 ( x – 5) = 10 ( x /5 + 1/10)

      10 x – 50 = 2 x + 1

        900 термы с константами.
    • 10351

      10 x — 2 x = 1 + 50

      = 51

      x = 51/8

      1

      Пример 4

      У вас есть два друга, Майк и Сэм, родившиеся в один день.Вам нужно подарить им на день рождения такой же комплект из рубашек и брюк. Если рубашка стоит 12 долларов, а брюки — 20 долларов, каковы общие затраты на покупку подарков?

      Решение

      Есть два способа решить эту проблему.

      Метод 1:

      • Шаг 1: Найдите общую стоимость каждого комплекта.

      12 долларов + 20 долларов = 32 доллара

      • Шаг 2: Поскольку друзей двое, умножьте общую стоимость на 2.

      $32 × 2

      • Шаг 3: Найдите общую стоимость.

      32 доллара × 2 = 64 доллара

      Способ 2:

      • Шаг 1: Так как друзей двое, удвойте стоимость рубашки.

      12 $ × 2 = 24 $

      • Шаг 2: Так как друзей двое, удвойте стоимость брюк.

      20 $ × 2 = 40 $

      • Шаг 3: Найдите общую стоимость.

      24 доллара + 40 долларов = 64 доллара

      Пример 5

      У трех друзей по две десятицентовика, три пятака и десять пенни каждый.Сколько денег у них всего?

      Решение

      Опять же, есть два способа решить эту проблему.

      Метод 1:

      • Шаг 1: Найдите общую стоимость монет каждого типа.

    DimeiMe:

    2 × 10 ¢ = 20 ¢

    Никели:

    3 × 5 ¢ = 15 ¢

    копейки:

    10 × 1 ¢ = 10 ¢

      • Шаг 2: Есть трое друзей, поэтому умножьте монеты каждого типа на 3 .

    Dimeime:

    3 × 20 ¢ = 60 ¢

    Никели:

    3 × 15 ¢ = 45 ¢

    копейки:

    3 × 10 ¢ = 30 ¢

    6
  • 1 Шаг 3: Найти все количество денег.
  • 60 центов + 45 центов + 30 центов = 135 центов

    Шаг 4: Конвертируйте в доллары.

    135/100 = 1,35 доллара США

    Метод 2:

    • Шаг 1: У каждого человека есть две десятицентовика, три пятака и десять пенни.

    2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

    • Шаг 2: Сумма денег у каждого человека.

    2 × 10 центов + 3 × 5 центов + 1 × 10 центов = 45 центов

    • Шаг 3: Всего денег у трех человек.

    45 центов + 45 центов + 45 центов = 135 центов

    • Шаг 4: Переведите в доллары.Пример 6 Найдите длину и ширину прямоугольника, если его площадь равна 18 кв.

      Решение

      • Шаг 1: Определите длину и ширину прямоугольника.

      Длина представлена ​​как x .

      Следовательно, ширина = x + 3

      • Шаг 2: Площадь прямоугольника составляет 18 квадратных единиц.

      Площадь = длина × ширина

      x ( x + 3) = 18

      • Шаг 3: Используйте свойство распределения.

      x 2 + 3 x = 18

      • Шаг 4: Перепишите в виде квадратного уравнения.

      x 2 + 3 x – 18 = 0

      • Шаг 5: Факторизация и решение.

    x 2 + 6 x

    — 3 x

    — 18 = 0

    x

    02 ( x

    02 + 6) — 3 ( x + 6) = 0

    ( x – 3)( x + 6) = 0

    x = 3, −6

    • Шаг 6: Сформулируйте ответ.

    Длина не может быть отрицательной. Следовательно, длина = x = 3, а ширина = x + 3 = 6

     

    Что такое распределительное свойство?

    Что такое распределительное свойство? Вы изучали определение распределительной собственности в школе, но до сих пор не уверены, что это такое и почему это важно?

    Свойство распределения — ключевое математическое свойство, которое необходимо знать для решения многих задач по алгебре. В этом руководстве мы подробно объясним, что такое распределительное свойство, почему оно важно, когда его следует использовать, какие еще математические правила для него нужно знать, а также рассмотрим несколько примеров, чтобы вы могли увидеть распределительное свойство в действие.

     

    Что такое распределительная собственность?

    Распределительное свойство, иногда называемое распределительным свойством умножения, говорит нам, как решать определенные алгебраические выражения, включающие как умножение, так и сложение. Буквальное определение распределительного свойства состоит в том, что умножение числа на сумму равнозначно выполнению каждого умножения по отдельности.

    В форме уравнения свойство распределения выглядит следующим образом: $a(b+c) = ab + ac$

    (Помните, в математике, когда два числа/множителя стоят рядом друг с другом, это означает их умножение.)

    Как и многие математические определения, распределительное свойство легче понять, если посмотреть на несколько примеров. Вот простой:

    $$5 (2 +7)$$

    Обычно, если у вас есть такая задача, вы должны сложить 2 и 7 вместе, чтобы получить 9, а затем умножить 5 на 9, чтобы получить 45. Это самый простой способ решить уравнение, и он также следует порядок операций, который говорит вам сначала упростить то, что в скобках, прежде чем переходить к другим операциям, таким как умножение.

     

    Решение этого уравнения с использованием распределительного свойства будет выглядеть так:

    $$5 (2+7)$$

    Распределительное свойство означает выполнение умножения перед сложением в круглых скобках, поэтому мы распределим 5 между обоими значениями в круглых скобках:

    $$5(2) + 5(7)$$

    Вычислите умножение:

    $10 + 35$$

    Затем сложите два числа вместе:

    $10+35=45$$

    Мы получаем тот же ответ, что и при решении задачи первым способом, который показывает, что свойство дистрибутивности работает.

    Теперь, почему вы хотите использовать свойство распределения, если это занимает больше времени, чем первый метод? Свойство дистрибутивности пригодится, когда в скобках есть термины, которые нельзя сложить вместе, например, это уравнение: ${3/4}(a + 2b)$. Поскольку здесь задействованы переменные, нет простого способа упростить $a + 2b$.

    В этих более сложных уравнениях свойство дистрибутивности может помочь нам привести уравнение к форме, облегчающей его упрощение или решение.Мы увидим примеры того, как это сделать позже в этом руководстве.

     

     

    3 Ключевые правила, относящиеся к распределенному свойству

    При использовании распределительного свойства вам часто приходится использовать или знать другие математические правила и свойства для решения или упрощения уравнений. Вот три самых важных из них, которые нужно знать.

     

    Коммутативные законы

    Законы перестановки утверждают, что вы можете поменять местами числа при сложении или умножении и все равно получить тот же ответ.

    Итак, $x + y = y + x$ и $x(y) = y(x)$

    Вероятно, они уже интуитивно понятны для вас, но они являются важной частью дистрибутивного свойства, которое не будет работать без них. Вы можете использовать их, когда вам нужна помощь в упрощении некоторых уравнений, чтобы привести их в более удобную форму.

     

    Порядок действий

    Когда у вас есть сложное уравнение, которое выглядит так, как будто его можно упростить несколькими способами, порядок операций дает вам правильный способ выполнения этих операций.Аббревиатура PEMDAS позволяет легко запомнить, над какими операциями нужно работать в первую очередь. От первого до последнего, вот порядок, в котором вы должны выполнять операции:

      • Скобки

      • Экспоненты

      • Умножение и деление (выполните их одновременно слева направо)

      • Сложение и вычитание (выполняйте их одновременно, работая слева направо)

    Важно знать порядок операций, потому что вам часто придется помнить его при упрощении уравнений, включающих множество различных операций.2 + bx + c = 0$ , так что вы можете использовать квадратное уравнение для решения $\bi x$ .

     

    Распределительное свойство умножения Примеры задач

    В этом разделе мы рассмотрим три примера упрощения задач с использованием распределительного свойства. Вы заметите, что каждая из них содержит переменные в круглых скобках, что является ключевым признаком того, что свойство распределения необходимо.

     

    Пример 1

    $$\bo4\bi x(\bo5\bi x + \bo6) = -\bo7$$

    Во-первых, мы собираемся распределить $4x$ между $5x$ и 6.2+ 24x +7 = 0$

    $

    Это уравнение теперь имеет правильную формулу для решения относительно $x$ по квадратичной формуле (x равно $-0,7$ и $-0,5$), или вы могли бы сохранить уравнение в этой форме, если бы вы просто просят упростить.

     

    Пример 2

    $$\bo3\bi x(\bi x-\bo4) + \bo5(\bo4\bi x + \bo6)$$

    В этом уравнении есть два набора скобок, поэтому нам нужно дважды использовать распределительное свойство. Распределите 3x по его набору скобок и 5x по его набору скобок:

    $$3x(x) + 3x(-4) + 5(4x) + 5(6)$$

    Умножьте это:

    $$3x^2- 12x + 20x^2+ 30$$

    Сложите вместе два члена $x^2$, чтобы упростить

    $23x^2- 12x + 30$$

    Пример 3

    $$-\bo7(\bi x + \bo4) + \bo8(\bo2 — \bo4\bi x)$$

    Этот пример немного сложнее, потому что перед цифрой 7 стоит знак минус.Когда значение, находящееся сразу за скобками, отрицательное, знак минус должен распространяться на каждый член в скобках.

    Распределить -7 по его набору скобок и 8 по его набору скобок:

    $$(-7)(x) + (-7)(4) + (8)(2) + (8)(-4x)$$

    Умножьте те из них:

    $$-7x -28 + 16 — 32x$$

    Теперь упростим:

    $$-39x — 12$$

     

     

    Резюме: что такое определение свойства распределения?

    Что такое распределительная собственность? Распределительное свойство умножения утверждает, что $a(b+c) = ab + ac$.Он часто используется для уравнений, когда термины в скобках нельзя упростить, поскольку они содержат одну или несколько переменных. Используя распределительное свойство, вы можете упростить или решить уравнения, с которыми в противном случае было бы трудно работать.

    При использовании распределительного свойства не забудьте распределить отрицательные знаки, если они стоят перед круглыми скобками, и помните о других важных математических правилах, таких как квадратичная формула, порядок операций и коммутативные свойства.

     

    Что дальше?

    Вы изучаете логарифмы и натуральные логарифмы на уроках математики? У нас есть руководство по всем правилам естественного журнала, которые вам нужно знать.

    Что такое динамическое равновесие и какое оно имеет отношение к ржавым автомобилям? Узнайте, прочитав наше полное руководство по динамическому равновесию.

    Рациональные числа — еще одна важная математическая концепция, которую вы должны понимать. Прочтите наше руководство по рациональным числам, чтобы узнать о них все, что вам нужно!

     

    Распределительное свойство умножения + примеры |Smartick

    Здравствуйте! Мы снова вернулись.Сегодня мы рассмотрим одно из свойств умножения : распределительное свойство умножения.

    Как вы знаете, у умножения есть разные свойства, давайте рассмотрим их:

    • Совместное имущество
    • Ассоциативное свойство
    • Идентификационное свойство
    • Распределительное имущество

    Давайте сосредоточимся на

    распределительном свойстве умножения

    Распределительное свойство умножения гласит, что когда число умножается на сумму двух чисел, первое число может быть распределено на оба этих числа и умножено на каждое из них по отдельности, а затем сложение двух произведений вместе дает тот же результат как умножение первого числа на сумму.

    Давайте посмотрим на свойство распределения на этом примере:

    Согласно распределительному свойству 2 × (3 + 5) будет равно 2 × 3 + 2 × 5

    Давайте проверим, так ли это.

    2 × (3 + 5) = 2 × 8 = 16

    2 × 3 + 2 × 5 = 6 + 10 = 16

    В обоих случаях мы получаем один и тот же результат, 16, и поэтому мы можем показать, что распределительное свойство умножения верно.

    Я надеюсь, что это объяснение поможет вам понять это важное свойство умножения.

    Иди и тренируйся! В Smartick у нас есть множество упражнений, которые помогут вам лучше изучить математику.

    Узнать больше:

    Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

    Дайан Акерман

    Smartick — увлекательный способ изучения математики
    • 15 минут веселья в день
    • Адаптируется к уровню вашего ребенка
    • Миллионы учеников с 2009 года

    Группа создания контента.
    Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создать наилучший математический контент.

    Распределительная собственность — ChiliMath

    Распределительное свойство умножения над сложением позволяет нам исключить символ группировки, обычно в виде скобки. Следующая диаграмма иллюстрирует основной шаблон или формулу, как ее применять.


    Основная «формула» распределительной собственности

    Несколько заметок:

    • Это делается путем умножения внешнего члена на каждый член в скобках.
    • Итак, возьмем терм a, находящийся вне скобок, и распределим его по каждому терму внутри скобок.
    • Обратите внимание, что ab означает a, умноженное на b.
    • Аналогично, ac означает a, умноженное на c.

    Объединение похожих терминов с использованием распространяемого свойства

    Пример 1: Распределить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

    Можно ли сразу объединить x-термины? Не так быстро! Термин 2x находится внутри скобок, а 3x снаружи.Мы не можем их объединить, потому что они находятся в разных местах.

    Что нам нужно сделать, так это сначала исключить символ скобки, прежде чем мы сможем комбинировать одинаковые члены, которые возникнут при добавлении или вычитании. Вот где полезность этого свойства вступает в игру.

    На этом этапе скобки больше нет, и все x-термины можно комбинировать. Я бы переставил их, разместив похожие термины рядом, прежде чем выполнять требуемую операцию.


    Пример 2: Распределить, затем упростить приведенное ниже выражение.

    Поскольку здесь две круглые скобки, мы должны применить это свойство дважды. Это должно избавиться от группирующих символов и позволить нам комбинировать похожие термины.

    После удаления двух скобок теперь можно объединять одинаковые термины. Перед выполнением необходимой операции сложения или вычитания обязательно переставьте термины таким образом, чтобы похожие термины располагались рядом.


    Пример 3: Распределить, затем упростить приведенное ниже выражение.

    Надеюсь, теперь вы видите схему. Имея три круглых скобки, мы также должны применить их три раза.

    Так как теперь все термины не заключены в круглые скобки, продолжайте объединять похожие термины.


    Пример 4: Распределить, затем упростить приведенное ниже выражение.

    Решение:


    Пример 5: Распределить, затем упростить приведенное ниже выражение.

    Решение:


    Пример 6: Распределить, затем упростить приведенное ниже выражение.

    Решение:

    Сначала примените распределительное свойство к внутренним скобкам и объедините похожие термины. Наконец, избавьтесь от символа квадратной скобки, раздав еще раз.


    Вы также можете использовать Распределительное свойство при решении уравнений .

    Решение линейных уравнений с использованием распределительного свойства

    Пример 7: Решите приведенное ниже линейное уравнение, используя Распределительное свойство.

    Как видите, внешнее число 3, находящееся непосредственно слева от скобки, предполагает, что мы можем применить это свойство для устранения символа группировки.

    • Возьмите это число 3 и умножьте на каждый член в скобках.
    • После этого символ скобки должен исчезнуть. Затем мы можем приступить к обычным шагам решения уравнения. В этом примере мы изолируем переменную «x» слева от уравнения. После распределения вычтите обе части на 3, а затем разделите -\,6 на обе стороны уравнения, чтобы получить окончательный ответ.

    Пример 8: Решите приведенное ниже линейное уравнение, используя Распределительное свойство.

    Наличие двух скобок в левой части уравнения означает, что мы должны распределять дважды.

    Избавившись от группирующих символов, теперь мы можем комбинировать одинаковые термины и изолировать переменную в левой части уравнения.


    Пример 9: Используйте Распределительное свойство для решения уравнения.

    Решение:

    Начните с распределения 4 в первой скобке, а затем распределения — 1 во второй скобке.Далее объедините похожие термины, возникшие после устранения скобок. Наконец, решите x, изолировав его в левой части.


    Пример 10: Используйте Распределительное свойство для решения уравнения.

    Решение:

    Здесь мы видим две круглые скобки, что означает, что мы будем распределять дважды, по одной с каждой стороны уравнения, чтобы исключить символы группировки. Затем решите линейное уравнение, как обычно. 😀

    .

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *