Произведение чисел это умножение или сложение: Урок 37. умножение числа на произведение — Математика — 4 класс

Содержание

Что такое произведение чисел (онлайн калькулятор на умножение)

 Одна из важных математических операций это произведение чисел. Что же скрыто за этими словами как произведение, умножение…? Именно об этом в нашей статье.
 Давайте наверное начнем с банальных вещей. Когда у нас появляется много чего-то, то довольно сложно это хранить даже в виде информации. Нам каким-то образом это приходится компактно сокращать. Вот скажем у нас появилось более чем две пары носков в шкафу, а точнее пусть их будет 15… Как нам из записать на бумаге. Да, конечно, мы можем взять и записать 2+2+2… и так далее, пока не перечислим цифру два, с которой ассоциируется одна из пар носков на их количество, то есть на 15. Но это ведь право не удобно, особенно если представить, что речь идет не только о наших носках в шкафу, но и о случае их хранения в магазине! И здесь проще записать словами так. У нас две пары носков взято какое-то количество раз! 

 Вот, здесь где-то и образуется эта самая магия перехода от обычной суммы к произведению, когда мы подразумеваем, что берем какое-то число какое-то количество раз. Самое время дать определение.

Определение произведения чисел

Произведение двух чисел это есть не что иное, как взятое одно из чисел в количестве другого числа.

Еще раз! Если произведение будет С, то номинальное значение одного из чисел пусть а, взятое в количестве b раз и будет этим произведением. Можно записать скажем так

С=а1+а2+а3+а4…+аb  где 1,2,3,4…b будут индексом указывающим на то, какое это число а по порядку и не более того!

 

 

Пример  Найти произведение чисел:

1) 1.2⋅3 ;

Ответ.1,2⋅3=3,6

2) 4⋅5⋅13

Ответ: 4⋅5⋅13=260


Свойства произведения чисел

Коммутативность: n⋅m=m⋅n
Ассоциативность: (n⋅m)⋅k=n⋅(m⋅k)
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.

Дистрибутивность: (n+m)⋅k=n⋅k+m⋅k

 

Пример Найти произведение чисел удобным способом:

1) 5⋅17⋅2 ; 2) 7⋅2⋅15⋅5

Решение. По свойства умножения имеем:

5⋅17⋅2=(5⋅2)⋅17=10⋅17=170
7⋅2⋅15⋅5=(7⋅(2⋅15))⋅5=(7⋅30)⋅5=210⋅5=1050
Ответ.

5⋅17⋅2=170
7⋅2⋅15⋅5=1050

 

Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.

Пример Найти произведение чисел

1) 156⋅32 ; 2) 4,71⋅3,1

Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое, полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в столбик

 

Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе нужно отделить справа три знака:

 

Ответ.

156⋅32=4992
4,71⋅3,1=14,601

Побалуемся с произведением!?

Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.

Умножение натурального числа.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:

Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел

.
Числа 7 и 12 называются множителями.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим  2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

2⋅5=5⋅2

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
mn=n⋅m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(ab) ⋅c

=a⋅(bc)

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или  0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения  3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12  б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:

Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

понятие, виды, примеры решения задач

Время чтения: 4 минуты

1 408

Определение

Произведением чисел в математике называется результат их умножения.

Пример: Найдите произведение чисел.

14×15=210

Здесь 14 и 15 называются — множители.

Свойства

1. Коммутативность.

Пример: Вычислить произведение чисел.

17×12=204 и 12×17=204

Переместительный закон: При перестановке множителей результат не меняется.

2. Ассоциативность.

Пример: 

11×19×32=6688

(11×19)×32=6688

11×(19×32)=6688

Сочетательный закон: Если группу множителей заменить их произведением, результат не изменится.

3. Дистрибутивность.

Пример:

(15+12)×9=243 и 15×9+12×9=243

Распределительный закон:

Умножая сумму на число, можно на это число каждое слагаемое умножить и результаты сложить. 

Большие числа, а также десятичные дроби умножают в столбик.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Произведение цифр числа

Пример: найти произведение цифр числа 428

4×2×8=64

Произведение суммы и разности чисел

(23+14)×(23-14)=37×9=333

Наименьшее произведение чисел

При умножении любого числа на 0, получится ноль. Наименьшее произведение чисел равно нулю.

Сумма двух произведений чисел

(7×8)+(9×3)=56+27=83

Ответ: 83

Пример: Найди сумму и произведение чисел 14 и 72

Решение:

14+72=86 — сумма

14×72=1008 — произведение

Оценить статью (4 оценки):

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Популярные статьи

Математика Умножение числа на произведение

И чтобы окончательно проснуться, я предлагаю вам отправиться на прогулку в зимний лес.

Смотрите, как дорога петляет.

Чему равна протяженность дороги до зимнего леса?                

Протяженность дороги будет равна 9 км.

В первую строчку запишите 9 км.

Переведите км в метры.                

9 км — 9000 м

 

Вот мы и пришли в зимний лес.

Посмотрите, а это следы зверей виднеются на снегу. Они похожи на буквы. Из них же можно составить слова.

 

Ребята, я предлагаю написать математический диктант. Я диктую примеры, а вы записываете ответы у себя в тетрадях.

  1. Увеличьте 56 на 14.                                                       70
  2. Найдите произведение 24 и 2.                                    48
  3. Уменьшите 35 на 23.                                                     12
  4. Напишите число, которое больше 44 на 28.              72
  5. Первое слагаемое 19, второе – на 14 больше.          33
  6. Сумма 65, первое слагаемое 33, второе -?               32
  7. Найдите разность чисел 83 и 45.                                38
  8. Какое число  меньше 72 на 32-?.                                40
  9. Найдите частное чисел 65 и 5.                                    13

Давайте проверим ваши ответы.               


Расположите ответы в порядке возрастания, запишите их. И вы узнаете, как называется тема нашего урока.

Давайте проверим, что же должно было получиться.

12 — у,

13 — м,

32 — н,

33 — о,

38 — ж,

40 — е,

48 — н,

70 — и,

72 — е

 

Мы продолжаем открывать секреты удивительного действия Умножения.

 

Работа над новым материалом

 

Посмотрите, на поляну прибежали зайцы.

Как можно посчитать, сколько всего зайцев?       

        

Умножить число на произведение можно разными способами:

1) Вычислить произведение чисел и умножить на него число.

2) Умножить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель.

3) Умножить число  на второй множитель и результат умножить на первый множитель.

 

3·(4·2)=3·12=24

(3·4)·2=12·2=24

(3·2)·4=6·4=24

 

Закрепление материала

 

Как можно умножить число на произведение?               

(2·3)·5=?

1) произведение чисел 5 и 3 равно 15. Произведение умножаем на число: 2·15=30

2) умножаем число 3 на первый множитель 2, получаем 6 и результат умножаем на второй множитель: 6·5=30.

3) умножаем число пять на второй множитель три, получаем 15 и результат умножаем на первый  множитель: 15·2=30.

 

Почему при разных способах умножения получаются одинаковые ответы?               

В основе разных способов умножения лежит сочетательный закон умножения.

 

Наши зайчики убежали. Смотрите, а с елочек посыпались шишки. А шишки непростые. На них записаны выражения.

Вычислите результат удобным способом.

12·(5·3)

39·(2·5)

17·(6·10)

9·(4·25)

15·(4·7)

10·(29·2)

Давайте проверим наши ответы.

12·(5·3)=180

39·(2·5)=390

17·(6·10)=1020

9·(4·25)=900

15·(4·7)=420

10·(29·2)=580

 

Молодцы! Вы решили примеры. А кто же это прыгает по деревьям?

Это белочки.

Кто из вас был самым внимательным и сможет ответить на вопрос, сколько было белочек?                

Правильно! В лесу было 8 белочек.

А что запасают белки на зиму?                

Давайте поможем белочке собрать запасы на зиму, решив задачу.

8 белочек готовились к зиме. Каждая белочка за день собирала 6 грибов. Сколько грибов собрали белочки за 5 дней?

Что известно в задаче?                

Какой вопрос в задаче?                

Можно сразу ответить на вопрос?                

Давайте запишем условие задачи в таблице.

Еще раз прочитайте задачу. Запишите решение задачи разными способами.

Сколько способов вы нашли?                

Проверьте себя.               

6·(8·5)=240 (г.)

(6·8)·5=240 (г.)

(6·5)·8+240 (г.)

Ответ: 240 грибов собрали белочки за 5 дней.

 

Самостоятельная работа

 

А вы любите кататься с горки на санках?                

Тогда вперед! Кто быстрее поднимется на горку, решив примеры.

1700 · 4       

710 — 494

254 + 190   

18 972 + 280

720 : 60     

234 · 30

8 005 — 253    

6 900 : 300

Давайте проверим:

1700 · 40 = 68000  

710 — 494 = 216

254 + 190 = 444    

18 972 + 280 = 19252

720 : 60 = 12

234 · 30 = 7020

8 005 — 253 = 7752  

6 900 : 300 = 23

 

А нам пришла пора возвращаться назад.

 

Этап подведения итогов

 

Давайте повторим:

Как можно умножить число на произведение?     

          

Запомните! Умножить число на произведение можно разными способами:

1) Вычислить произведение чисел и умножить на него число.

2) Умножить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель.

3) Умножить число  на второй множитель и результат умножить на первый множитель.

Сумма и произведение цифр числа. Решение задачи на Python

Одной из часто используемых задач для начинающих изучать программирование является нахождение суммы и произведения цифр числа. Число может вводиться с клавиатуры или генерироваться случайное число. Задача формулируется так:

Дано число. Найти сумму и произведение его цифр.

Например, сумма цифр числа 253 равна 10-ти, так как 2 + 5 + 3 = 10. Произведение цифр числа 253 равно 30-ти, так как 2 * 5 * 3 = 30.

Обычно предполагается, что данная задача должна быть решена арифметическим способом. То есть с заданным число должны производиться определенные арифметические действия, позволяющие извлечь из него все цифры, затем сложить их и перемножить.

И здесь на помощь приходят операции деления нацело и нахождения остатка. Если число разделить нацело на 10, произойдет «потеря» последней цифры числа. Например, 253 ÷ 10 = 25 (остаток 3). С другой стороны, эта потерянная цифра есть остаток от деления. Получив эту цифру, мы можем добавить ее к сумме цифр и умножить на нее произведение цифр числа.

Пусть n – само число, suma – сумма его цифр, а mult – произведение. Тогда алгоритм нахождения суммы и произведения цифр можно словесно описать так:

  1. Переменной suma присвоить ноль.
  2. Переменной mult присвоить единицу. Присваивать 0 нельзя, так как при умножении на ноль результат будет нулевым.
  3. Пока значение переменной n больше нуля повторять следующие действия:
    1. Найти остаток от деления значения n на 10, то есть извлечь последнюю цифру числа.
    2. Добавить извлеченную цифру к сумме и увеличить на эту цифру произведение.
    3. Избавиться от последнего разряда числа n путем деления нацело на 10.

В языке Python операция нахождения остатка от деления обозначается знаком процента — %. Деление нацело — двумя слэшами — //.

Код программы на языке Python

n = int(input())
 
suma = 0
mult = 1
 
while n > 0:
    digit = n % 10
    suma = suma + digit
    mult = mult * digit
    n = n // 10
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

253
Сумма: 10
Произведение: 30

Изменение значений переменных можно записать в сокращенном виде:

...
while n > 0:
    digit = n % 10
    suma += digit
    mult *= digit
    n //= 10
...

Приведенная выше программа подходит только для нахождения суммы и произведения цифр натуральных чисел, то есть целых чисел больше нуля. Если исходное число может быть любым целым, следует учесть обработку отрицательных чисел и нуля.

Если число отрицательное, это не влияет на сумму его цифр. В таком случае достаточно будет использовать встроенную в Python функции abc(), которая возвращает абсолютное значение переданного ей аргумента. Она превратит отрицательное число в положительное, и цикл while с его условием n > 0 будет работать как и прежде.

Если число равно нулю, то по логике вещей сумма его цифр и их произведение должны иметь нулевые значения. Цикл срабатывать не будет. Поскольку исходное значение mult — это 1, следует добавить проверку на случай, если заданное число — это ноль.

Программа, обрабатывающая все целые числа, может начинаться так:

n = abs(int(input()))
 
suma = 0
mult = 1
if n == 0:
    mult = 0
...

Заметим, если в самом числе встречается цифра 0 (например, 503), то произведение всех цифр будет равно нулю. Усложним задачу:

Вводится натуральное число. Найти сумму и произведение цифр, из которых состоит это число. При этом если в числе встречается цифра 0, то ее не надо учитывать при нахождении произведения.

Для решения такой задачи в цикл добавляется проверка извлеченной цифры на ее неравенство нулю. Делать это надо до умножения на нее значения переменной-произведения.

n = int(input())
 
suma = 0
mult = 1
 
while n > 0:
    digit = n % 10
    if digit != 0:  
        suma += digit
        mult *= digit
    n = n // 10
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Обратим внимание, что заголовок условного оператора if digit != 0: в Python можно сократить до просто if digit:. Потому что 0 — это false. Все остальные числа считаются истиной.

Приведенный выше математический алгоритм нахождения суммы и произведения цифр числа можно назвать классическим, или универсальным. Подобным способом задачу можно решить на всех императивных языках, независимо от богатства их инструментария. Однако средства языка программирования могут позволить решить задачу другим, зачастую более простым, путем. Например, в Python можно не преобразовывать введенную строку с числу, а извлекать из нее отдельные символы, которые преобразовывать к целочисленному типу int:

a = input()
 
suma = 0
mult = 1
 
for digit in a:
    suma += int(digit)
    mult *= int(digit)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Если добавить в код проверку, что извлеченный символ строки действительно является цифрой, то программа станет более универсальной. С ее помощью можно будет считать не только сумму и произведение цифр целых чисел, но и вещественных, а также цифр, извлекаемых из произвольной строки.

n = input()
 
suma = 0
mult = 1
 
for digit in n:
    if digit.isdigit():
        suma += int(digit)
        mult *= int(digit)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

это3 чи3с9ло!
Сумма: 15
Произведение: 81

Строковый метод isdigit() проверяет, состоит ли строка только из цифр. В нашем случае роль строки играет одиночный, извлеченный на текущей итерации цикла, символ.

Глубокое знание языка Python позволяет решить задачу более экзотическими способами:

import functools
 
n = list(input())
n = [int(digit) for digit in n]
 
suma = sum(n)
mult = functools.reduce(lambda x, y: x*y, n)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Встроенная функция list() преобразует переданную ей строку в список. Так если заданная строка — "234", то получится список ['2', '3', '4'].

Выражение [int(digit) for digit in n] представляет собой генератор списка. В данном случае будет получен список чисел: [2, 3, 4].

Встроенная функция sum() считает сумму элементов переданного ей аргумента.

Функция reduce() модуля functools() принимает два аргумента — лямбда-выражение и в данном случае список. Здесь в переменной x происходит накопление произведения, а y принимает каждое следующее значение списка.

Урок математики по теме «Сумма и произведение. Знак умножения». 2-й класс

Цели:

  • Провести исследовательскую работу с целью знакомства с новым арифметическим действием, выяснить приемы краткой рациональной записи действия, отрабатывать умения делать выводы, обобщения, раскрыть конкретный смысл действия умножения, использовать  соответствующую терминологию, учить решать задачи при помощи данных действий, самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель.
  • Создать условия для овладения соответствующим вычислительным навыком; использовать фантазию, воображение при выполнении учебных действий, а также  творческую самостоятельность, соединяя игровую и обучающую форму деятельности, Обеспечить выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
  • Формировать умение объяснять свой выбор, строить фразы, отвечать на поставленный вопрос, аргументировать.
  • Формировать желание выполнять учебные действия; уверенность в своих возможностях, аккуратность при выполнении заданий, ответственность, любознательность, интерес к предмету.

Планируемые результаты:

  • Иметь представления о действии умножения как сложении одинаковых слагаемых.
  • Знать смысл действий (операций) умножения над целыми неотрицательными числами.
  • Понимать и использовать сочетания слов «по … в каждом…», «… раз по …», составлять числовые выражения. Давать ответы в виде развернутых предложений на вопросы учителя или сказочного персонажа, уметь выполнять инструкции учителя.
  • Уметь в процессе учебной деятельности контактировать с товарищами и вести диалоги. Понимать и выполнять учебные требования, предъявляемые со стороны учителя и мультимедиа-персонажей.

Оборудование: смайлики для осуществления обратной связи с учащимися, конспект, презентация, мультимедийный проектор, учебник, рабочая тетрадь, ТПО, черный фломастер, карточки.

План урока:

I. Оргмомент.
II. Устный счет.
    1. Карточки.
    2. Задание «Бусы».
    3. Группировка чисел.
    4. Геометрический материал.
    5. Итог устного счета.
    6. Проверка индивидуальной работы.
III. Формулировка целей и задач урока.
IV. Создание проблемной ситуации.
V. Изучение нового.
VI. Закрепление.
Игра «Помоги приземлиться летчику».
VII. Физминутка.
VIII. Закрепление.
    1. Работа в тетрадях (с. 92,  3).
    2. Самопроверка.
    3. Игра «Ёжики».
    4. Задача.
    5. Самопроверка.
    6. Веселые задачи (устная работа).
    7. Кроссворд.
IX. Итог.
X. Эмоциональный отклик.

ХОД УРОКА

Слайд 1

I. Оргмомент

Учитель.

Прозвенел, друзья, звонок.
Начинается урок.

Слайд  2

Учитель. Сегодня наш урок проводится в необычном месте. Это кабинет информатики. Информатика близка к математике. Она изучает не только работу вычислительных систем, и в частности компьютера, но и сведения из окружающего мира.
А нам информатика поможет разобраться с очередным секретом математики. И с нами вместе будут проводники из мира информатики:

Слайд  3

Мышка и её друг Смайлик, который, несомненно, вам знаком. Они помогут вам легко и быстро познакомиться с новым материалом.
У вас на столах тоже есть Смайлик, посмотрите на него, но он нам понадобится позже, поэтому отложите пока его в сторону.

II. Устный счет

Учитель. Перед тем, как приступить к изучению новой темы, нужно настроиться на математический лад.

Отдохнуть вы все успели?
А теперь вперед – за дело.
Математика нас ждет.
Начинаем устный счет.

– Пока мы будем выполнять устный счет, некоторые ребята будут работать по карточкам самостоятельно. Они расшифруют тему нашего урока. Посмотрите, у кого на столах есть красные конвертики, поднимите руку. Откройте конверт, достаньте карточку. Вам нужно найти значение выражений, а затем мы вместе откроем шифровку. Задание понятно? Приступайте к выполнению.

1. Карточки.

Ананьев Несмашная Стеблев

40 – 30
7 + 7
36 – 30
23 + 35

С
Е
П
З

44 – 40
70 – 20
8 + 4
14 + 11

А
У
И
Р

66 – 6
9 + 8
60 – 30
16 + 21
5 + 6

Н
М
B
О
Д

2. Задание «Бусы»

Учитель. Первое задание устного счета вам предлагает Мышка, а Смайлик будет ей помогать.

Слайд  4

Из разных цифр собрали бусы
А в тех кружках, где чисел нет,
Поставьте минусы и плюсы,
Чтоб верный получить ответ.

– Дополняем первую ленточку бус.

Дети устно называют пример с вычислением.

– Кто не согласен с ответом, поднимите вверх Смайлика, который лежит у вас на столах.
Дополняем вторую ленточку бус. Дополняем третью ленточку бус. Дополняем четвертую ленточку бус.

(Проверка осуществляется  с помощью презентации)

3. Группировка чисел

Учитель. Мы посчитали, а теперь вспомним, что мы знаем о числах.

Слайд  5

– Раздели числа на группы. Назовите группы.
– Как называются числа первой группы? (Двузначные некруглые).
– Как называются числа второй группы? (Двузначные круглые).
– В каком порядке стоят двузначные некруглые? (Возрастания).
– В каком порядке стоят двузначные круглые? (Убывания).
– Назовите число в котором цифра разряда десятков на единицу больше цифры разряда единиц. (76).
– Что вы можете рассказать об этом числе? (Двузначное, некруглое, сумма цифр 13, единиц – 6, десятков – 7, предшествует число 75, последующее число 77).

4. Геометрический материал

Учитель. Хорошо. А теперь геометрический материал.

Слайд  6

– Разделите все геометрические фигуры на две группы. Фигуры с какими номерами входят в первую группу? Во вторую группу?
– Что общего между фигурами каждой группы? (Есть углы, нет углов).
– Назовите фигуры первой группы.
– Что вы помните о квадрате?
– Что вы помните о прямоугольнике?

5. Итог устного счета

Учитель.Мышка довольна тем, как вы быстро и правильно умеете считать и как много знаете о числах и геометрических фигурах.

Слайд  7

6. Проверка индивидуальной работы

Учитель. А сейчас мы проверим ребят, которые выполняли работу по карточкам.

Дети по очереди называют число и соответствующую букву.

Слайд  8

III. Формулировка темы и целей урока

Учитель. Прочитайте тему нашего урока. Какое слово вам знакомо? С помощью какого арифметического действия находится сумма? Значение какого вы еще не знаете? Сегодня мы узнаем значение этого слова.

Слайд  9

– Посмотрите на доску. Что записано на ней? (Суммы).
– Какую сумму вычислить легче? (5 + 5) Чему равно значение суммы?
– Можем ли мы сразу найти значение второй суммы? (Нет)
– Сегодня на уроке мы познакомимся с новым действием, которое поможет нам легко и быстро находить значение подобных выражений. Это действие умножение и с результатом этого действия – произведением. Мы  познакомимся с математическим знаком, который используется при записи данного действия, попробуем решать задачи с помощью умножения. Будем развивать вычислительные навыки, память. Вы должны быть внимательны и аккуратны.

IV. Создание проблемной ситуации

Учитель. Смайлик приготовил для вас следующее задание.

Слайд  10

– Из следующих сумм назови только ту, в которой все слагаемые одинаковые.

1 + 1 + 1 + 2
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
3 + 2 + 3 + 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5

– Чему равно каждое слагаемое в сумме?
– Сколько раз повторяется слагаемое?
– Можем ли мы данное выражение записать по-другому? (Пока не можем.)

Учитель. Мышка поможет нам в этом.

V. Изучение нового

Учитель. Сумму, состоящую из одинаковых слагаемых можно записать по-другому – в виде ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 • 6

– Для обозначения произведения используется специальный знак в виде точки. Данное действие называется действием умножения.
– Запись  читается так: ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ 5 И 6. (Повторить хором).
– Число 5 в произведении показывает, какое слагаемое повторяется, и записывается на первом месте. Число 6 показывает сколько раз оно повторяется,  записывается на втором месте.

– Откройте учебники на странице 91. Прочитайте правило самостоятельно, постарайтесь запомнить чтобы потом ответить на мои вопросы.
– Как можно записать сумму, состоящую из одинаковых слагаемых?
– Скажите, что показывает число 5 в произведении? На каком месте пишется?
– Что показывает число 6 в произведении? На каком месте пишется?

Учитель. Мышка предлагает проверить правильность своих ответов.

Слайд  11

– Кто ответил так же, поднимите Смайлик.
– Вы были абсолютно правы.

VI. Закрепление

Игра «Помоги приземлиться летчику»

Учитель. Смайлик нашел ответ на свой вопрос и предлагает вам игру.

Слайд  12

– Помоги приземлиться летчику.
– Найди для каждой суммы своё произведение, прочитай правильно.
– Называем устно, проверяем на компьютере (2 + 2 + 2 произведение чисел 2 и 3)
– Я показываю сумму, вы находите произведение.

9 + 9 …
7 + 7 …
12 + 12 …
3 + 3 …

– Молодцы, вы хорошо справились с заданием. Смайлик очень доволен. Кому было сложно, поднимите Смайлика.

VII. Физминутка (Приложение 3)

Учитель. Вы хорошо потрудились, а теперь отдохнём. Встали, вышли из-за парт. Попробуйте повторить движения за утенком.

Слайд 13

VIII. Закрепление

Учитель. Мы продолжаем свою работу.

Слайд  14

– Прочитайте произведения. Что обозначают числа, образующие каждое произведение? (Первое число показывает какое слагаемое использовали, второе – сколько раз). Попробуйте заменить суммой первое произведение.
– Мышка хочет проверить усвоение вами материала и приготовила вам свое задание…

1. Работа в тетрадях

Учитель. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Прочитайте задание мышки. Выполните его в тетрадях. Образец выполнения перед вами. Выполните задание по образцу.

2. Самопроверка

Учитель. А теперь проверим выполнение данной работы.

Слайд  15

– Кто выполнил задание безошибочно, поднимите Смайлик.
– Кто сделал одну ошибку?
– Кто сделал 2 и более ошибок.
– Мышка говорит вам…

Слайд  16

4. Игра «Ёжики»

Учитель. Следующую игру вам предлагает Смайлик.
Нужно подобрать к произведению сумму, вычислить значение сумм. А потом мы сделаем вывод о том, как связано значение суммы и соответствующего произведения. (Произведение чисел 10 и 4 можно заменить суммой 10 + 10 + 10 + 10, значение суммы равно 40)
– Кто не согласен, поднимите Смайлик.

Слайд  17

Вывод: Что вы можете сказать о значении сумм и соответствующих произведений? Значение сумм и соответствующих произведений равны.

5. Задача

Учитель. Мышка любит решать разные задачи. Одну из них она предлагает вам.

Слайд  18

– Прочитайте условие задачи.
– О чем говорится в задаче?
– Что известно?
– Что нужно найти?
– Какое действие будем использовать для нахождения ответа задачи?
– Как сложение заменить умножением?
– Как будет звучать ответ задачи?
– Выполните задание мышки.
– Открыли тетради, записали слово задача. Не записывая условия, пишем только решение и ответ. В решении указываем, как найти ответ задачи при помощи сложения, затем при помощи умножения, а также находим значение выражения. И записываем ответ задачи.

Слайд  19

6. Самопроверка

Учитель. Проверьте запись в тетрадях.

– Кто выполнил задание безошибочно, поднимите Смайлик.

Слайд  20

– Мышка снова довольна вашей работой.

7. Веселые задачи

Учитель. Смайлик и Мышка довольны вашей работой и у них есть для вас веселые задачи. Сейчас мы решим некоторые из них.

Слайды  21-29

– Мы выбираем картинку. Слушаем задачу. Решаем её сложением, а затем выполняем дополнительное задание. Будьте внимательны.

Наша Маша рано встала,
Кукол всех она считала:
2 матрешки на окошке,
2 Аринки на перинке,
2 Танюшки на подушке.
Помоги нашей подружке
Посчитать её игрушки.

– Сколько кукол у Маши? Как нашли? Как сумму заменить произведением?

Сбежала от Федоры посуда:
3 стакана, 3 чашки, 3 блюда.
Кто сосчитать готов,
Сколько всего беглецов?

У этого цветка 4 лепестка.
А сколько лепестков
У двух таких цветков?

Как-то раз в лесу густом,
Под березовым кустом,
Собрались грибы лесные,
Все красавцы удалые,
Ученик, ты не зевай
И грибы скорей считай.
5 груздей и 5 волнушек,
5 лисичек, 5 горькушек.
Кто ответить нам готов,
Сколько же всего грибов?

Насушила грибов
Белочка-хозяйка.
Справа – 6, слева – 6
Все пересчитай-ка.

3 зайчонка в час обеда
Захотели пообедать.
В огороде зайцы сели
И по семь морковок съели.
Кто считать, ребята, ловок
Сколько съедено морковок?

Какой шум и гам в лесу!
То кричат ребята.
И с испуга в 2 дупла
Спрятались бельчата.
Сколько маленьких бельчат
В дуплах проживает?
Там по 9 хвостиков
В темноте мелькают.

8. Кроссворд

– А теперь выполним задание Смайлика. Он стал очень умным, многое узнал и хочет проверить вас. Он предлагает вам решить кроссворд.

Каждый вопрос читает учитель. Дети отвечают. Затем следует ответ – заполнение клеток.

  1. Как можно записать сумму одинаковых слагаемых? (В виде произведения.)
  2. Назовите арифметическое действие, результатом которого является произведение? (Умножение.)
  3. Как выглядит знак, использующийся при записи произведения? (Точка.)
  4. В виде какого арифметического действия можно представить произведение? (Сложения.)

– Посмотрите, в нашем кроссворде появилось еще одно незнакомое слово. Прочитайте его. А вот что обозначает это слово, мы узнаем на следующем уроке математики.

– Подошел к завершению наш урок. Мышка и Смайлик хотят проверить, что вы запомнили на уроке.

Слайд   30

Учитель. А теперь мы проверим, как вы усвоили материал урока. Откройте тетради на печатной основе с. 39 найдите  2. Прочитайте задание, выполните его самостоятельно в рабочих тетрадях. Проверим устно.

– Кто согласен с ответом, поднимите Смайлик.

IX. Итог

– С какими новыми математическими терминами  познакомились на уроке? (Произведение, умножение.)
– Какие слагаемые можно заменить произведением? (Одинаковые.)
– Как называется действие, результатом которого является произведение? (Умножение.)
– Что вы можете сказать о значении произведения? (Равно значению соответствующей суммы.)

X. Эмоциональный отклик

Учитель. А теперь я хочу узнать. Понравился ли вам урок. На столах у вас есть Смайлик, который помогал вам на уроке. Но у него чего-то не хватает. Чего? Возьмите черный фломастер или карандаш и нарисуйте Смайлику ротик.

Слайд  31

– Если урок вам понравился, то улыбающийся. Если нет, то грустный, как на экране.
– Покажите Смайликов. Я вижу, что урок вам понравился. Вы тоже очень хорошо работали.
– Молодцы! Смайлик и Мышка считают, что за урок вы заслужили оценку 5!

Слайд  32

– Урок окончен! Спасибо за урок!

Приложение 1

Приложение 2

Умножение как один из видов действий над числами

Умножение

Что за действие?

  • Действие умножения – суммирование одинаковых слагаемых.
  • Умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) – это действие, выполняющееся по следующим правилам

Как показать?

  • а) На соотнесение рисунка и математической записи:

Как показать?

  • б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых:

Как показать?

  • в) На замену сложения умножением:

Как показать?

  • г) На понимание смысла определения действия умножения:

Как изучается в начальной школе?

  • Выражения вида 3*5 называют произведением .
  • Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями ).
  • Запись вида 3*5=15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения или произведением.

Правило взаимосвязи компонентов умножения:

  • Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Правило проверки действия умножения:

  • 1) Произведение делят на множитель.
  • 2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.
  • Например : 18*4=72.

Проверка : 1) 72/4=18;

2) 18=18

Табличное умножение.

  • Приемы составления таблиц умножения:
  • 1) Последовательное сложение одинаковых слагаемых

Табличное умножение.

  • 2) Прием прибавления к предыдущему результату:

Табличное умножение.

  • 3) Прием перестановки множителей:

От перестановки множителей произведение не меняется.

  • На основе этого правила составляется таблица умножения :

Табличное умножение.

Табличное умножение

Приемы запоминания таблицы умножения

  • 1. Прием счета двойками, тройками, пятерками.

2. Прием последовательного сложения

  • Например: 6-7 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6. Найти значение произведения чисел 6 и 7 таким способом достаточно сложно. Но для случаев 8 • 3 или 9 • 2 этот способ достаточно удобен.

3. Прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата)

  • 6 • 7 = 6 • 6 + 6 = 36+ 6 = 42

или

  • 6 • 7 = 6 • 8 — 6 = 48 — 6 = 42

4. Прием взаимосвязанной пары:

  • 2*6 = 6*2 (перестановка множителей )

5. Прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя

  • 3 • 2 3 • 3 3 • 4 3 • 5
  • 3 • 6 3 • 7 3 • 8 3 • 9

6. Прием «порции»

  • Например, «порция» состоит из трех случаев: 9 • 5; 9 • 6; 9 • 7. Первым для заучивания предлагается случай 9 • 6, а от него, используя прием 3, ребенок переходит к случаям 9 • 5 и 9 • 7.
  • В следующий раз «порция» снова содержит три случая 9 • 4; 9 • 3; 9 • 2. Здесь опорным случаем является случай 9 • 3.

7. Прием запоминающегося случая в качестве опорного

  • Например, 5 • 6 = 30, значит 5 • 7 = 30 + 5 = 35.
  • Используются легко запоминающиеся случаи:

6 • 5

6 • 8

5 • 4

5 • 9

7 • 7

6 • 6

5 • 5

и т. п. 

8. Прием внешней опоры

Найди результаты умножения и проверь себя по рисунку:

8. Прием внешней опоры

Что такое умножение? — Определение, факты и примеры

Что такое умножение?

Умножение, одна из четырех основных арифметических операций, дает результат объединения групп одинакового размера.

Здесь в каждой группе по 3 мороженого, а таких групп две. Итак, всего мороженого 2 раза по 3 или 3 + 3 или 6. Другими словами, умножение — это многократное сложение.

Умножение обозначается крестиком «×», звездочкой «*» или точкой «·».Когда мы умножаем два числа, мы получаем ответ, который называется «произведение». Количество объектов в каждой группе называется множителем, а количество таких равных групп называется множителем.

Например:

3 × 7 = 7 + 7 + 7 = 21

5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30

На данном изображении 4 цветка имеют по 8 лепестков. Чтобы найти общее количество лепестков, мы можем умножить количество цветов на количество лепестков в каждом цветке.Таким образом, множимое равно 8, множитель равен 4, а произведение равно 4 × 8 или 32. То есть всего 32 лепестка.

Умножение с помощью числовой строки

Представление оператора умножения на числовой прямой может быть выполнено путем скачков множителя количество раз, размер которого эквивалентен множимому от нуля.

Например, :

4 × 2 = 8

 

Свойства умножения

Коммутативное свойство: когда мы умножаем два числа, порядок не имеет значения.Для чисел a и b a × b = b × a.

Ассоциативное свойство : Для чисел a, b и c (a × b) × c = a × (b × c).

Распределительное свойство : Для чисел a, b и c: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

 

Интересные факты:

  • Если мы умножим число на 1, произведение останется тем же числом. 1 — это элемент идентичности при умножении.
  • Если мы умножаем число на 0, произведение равно нулю.2-16 лет+55=0$. Теперь мы пришли к квадратному уравнению, которое в основном такое же, как и то, которое мы получили выше.

    $2.$ Первый использованный нами подход (представленный в виде алгоритма и лишенный алгебраических обозначений) восходит к нововавилонским временам. «Стандартная» задача состояла в том, чтобы найти размеры двери по ее периметру и площади.

    Питон | Умножить все числа в списке (4 разных способа)

    Учитывая список, вывести значение, полученное после умножения всех чисел в списке.
    Примеры: 
       

     Ввод: list1 = [1, 2, 3]
    Выход : 6
    Объяснение: 1*2*3=6
    
    Ввод: список1 = [3, 2, 4]
    Выход: 24
     

     

     

    Метод 1: Обход

    Инициализировать значение произведения равным 1 (не 0, поскольку 0, умноженный на что-либо, возвращает ноль). Пройдите до конца списка, умножьте каждое число на произведение. Значение, хранящееся в продукте, в конце даст вам окончательный ответ.
    ниже Python внедрение вышеуказанного подхода:

    Python

    8

    Def MultiLylist (MyList):

    Результат = 1

    31 для x в

    Результат = Результат * x

    Возвращение Результат

    list1 = [ 1 , 2 , 3 ]

    List2

    = [ 3 , 2 , 4 ] 9013 1

    Распечатать (MultiLylist (list1))

    Print (MultiLylist (list2))

    Выход:

     6
    24
    
    
    
     

     

    Способ 2: использование numpy.prod()

    Мы можем использовать numpy.prod() из import numpy, чтобы получить произведение всех чисел в списке. Он возвращает целое число или значение с плавающей запятой в зависимости от результата умножения.
    ниже Python3 Реализация вышеуказанного подхода:

    Python3

    8

    Numpy Numpy

    List1 = [ 1 , 2 , 3 3 ]

    -

    = [ [ 3 , 2 , 4 ]

    Результат1 = Numpy.prod (list1)

    Realse2 = Numpy.Prod (list2)

    Print (Результат1)

    Распечатать

    (Результат2)

    Выход:  
     

     6
    24
     

     

    Метод 3 Использование лямбда-функции: Использование numpy.array

    Определение Lambda не включает оператор «return» , оно всегда содержит возвращаемое выражение.Мы также можем разместить лямбда-определение везде, где ожидается функция, и нам вообще не нужно назначать его переменной. Это простота лямбда-функций. Функция reduce() в Python принимает функцию и список в качестве аргумента. Функция вызывается с лямбда-функцией и списком, и возвращается новый сокращенный результат . Это выполняет повторяющуюся операцию над парами списка.
    ниже Python3 Реализация вышеуказанного подхода:

    Python3

    3

Import Уменьшить

List1 = [ 1 , 2 , , 3 ]

= [ 3 , 2 , 4 ]

Результат1 = under ( lambda x, y: x х, у: х * у), список2)

печать (результат1)

пр int (результат2)

Вывод:  
 

 6
24
 

 

Метод 4 Использование функции prod математической библиотеки: Использование math.prod

Начиная с Python 3.8 функция prod была включена в математический модуль стандартной библиотеки, поэтому нет необходимости устанавливать внешние библиотеки.
ниже python3 внедрение вышеуказанного подхода:

Python3

8

8

List1 = [ 1 , 2 , 3 ] ]

-

= [ 3 , 2 , 4 ]

Realse1 = математика.Prod (list1)

Realse2 = Math.Prod (list2)

Print (Результат1)

Print

Выход:  
 

 6
24
 

 


NumberNut.com: Арифметика: Умножение: от одного до десяти


Поздравляем. У вас есть ручка на сложение и вычитание. Пришло время перейти на следующий уровень в арифметике. Умножение покажется вам простым. Умножение — это, по сути, сложение, то есть повторяется снова и снова.

Сложение: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Умножение: 5 x 3 = 15
Вместо того, чтобы выписывать кучу слагаемых в длинной задаче на сложение, мы можем сгруппировать их вместе и умножить.

Вот и все. Вы можете быстро добавить несколько групп. Вы можете использовать умножение, чтобы выяснить, сколько страниц в книге с десятью (10) главами.Вы также можете использовать умножение, чтобы узнать толщину книги, если знаете толщину одной страницы.

Значения, которые вы умножаете, называются коэффициентами . Ответ в задаче на умножение называется произведением . Вы находите произведение, когда умножаете два или любое количество факторов. При умножении используется множество символов. Ваша основная работа будет использовать «x» (x). Это называется " раз " символ . Если бы вы прочитали вслух задачу на умножение перед своим классом, вы бы сказали: «Два раза два равно четырем.«Когда вы записываете числа, вы получаете «2 x 2 = 4».

Пример:
Двадцать пять раз шестьдесят восемь равно одной тысяче семистам. 25 x 68 = 1700
Коэффициенты: 25 и 68
Произведение: 1700

Нам нравится начинать с малого, поэтому давайте посмотрим на числа от одного (1) до десяти (10). Вот несколько примеров использования числа два (2).

2 x 1 = 2 (один набор из двух равен двум: 2 = 2)
2 x 2 = 4 (два набора из двух равняется четырем: 2 + 2 = 4)
2 x 3 = 6 (три набора из два равно шести: 2 + 2 + 2 = 6)
2 x 4 = 8 (четыре набора из двух равняется восьми: 2 + 2 + 2 + 2 = 8)
2 x 5 = 10 (пять наборов из двух равняется десяти: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10)
2 x 6 = 12 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12)
2 x 7 = 14 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14)
2 x 8 = 16 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16)
2 x 9 = 18 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18)
2 x 10 = 20 (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20)

Вы видите шаблоны ? Вы видите, как умножение облегчает запись чисел в математической задаче? Когда дело доходит до этого, делать все это добавление (снова и снова) — пустая трата времени.Вам нужно запомнить таблицу, которая является ядром умножения.

Извините за это, но вам нужно будет запомнить несколько значений здесь. Точно так же, как вы изучили основы сложения и сложения чисел от 1 до 10, вам нужно сделать то же самое для умножения. Мы мало что можем сделать, кроме как показать вам таблицу. Числа в верхней и левой части сетки — это два числа, которые вам нужны, чтобы умножить . Ваш ответ (продукт) находится в сетке, где пересекаются две линии.Мы расскажем об этом подробнее на других страницах, но вот основная схема.

На схеме мы выделяем четырежды девять (4 х 9). Если вы посмотрите на график, то увидите, что 4 х 9 = 36.

Как выполнять арифметические действия со значащими цифрами

При выполнении математических операций в химии вам необходимо следовать некоторым правилам, чтобы убедиться, что ваши суммы, разности, произведения и частные честно отражают степень точности, присутствующую в исходных измерениях. Вот тут-то и появляются значимые цифры.

Вы можете быть честным (и избежать скептических насмешек угрюмых химиков), если будете делать расчеты по одному, следуя нескольким простым правилам. Одно правило применяется к сложению и вычитанию, а другое правило — к умножению и делению.

  • Сложение или вычитание: Округлите сумму или разность до того же числа знаков после запятой, что и измерение с наименьшим числом знаков после запятой. Такое округление является честным, потому что вы признаете, что ваш ответ не может быть более точным, чем наименее точное измерение, которое вошло в него.
  • Умножение или деление: Округлите произведение или частное так, чтобы оно имело то же количество значащих цифр, что и наименее точное измерение — измерение с наименьшим количеством значащих цифр.
Обратите внимание на разницу между двумя правилами. Когда вы добавляете или вычитаете, вы назначаете значащие цифры в ответе на основе количества знаков после запятой в каждом исходном измерении. Когда вы умножаете или делите, вы назначаете значащие цифры в ответе на основе наименьшего количества значащих цифр из исходного набора измерений.

Вот пример. Выразите следующую сумму с нужным количеством значащих цифр:

35,7 мили + 634,38 мили + 0,97 мили = ?

Ответ: 671,1 миль. Сложение трех значений дает необработанную сумму 671,05 миль. Однако измерение 35,7 миль распространяется только на десятое место. Следовательно, вы округляете ответ до десятых, от 671,05 до 671,1 мили.

Теперь попробуем пример с умножением. Выразите следующий продукт с соответствующим количеством значащих цифр:

27 футов * 13.45 футов = ?

Из двух измерений одно имеет две значащие цифры (27 футов), а другое — четыре значащих цифры (13,45 футов). Таким образом, ответ ограничивается двумя значащими цифрами. Вам нужно округлить сырой продукт, 363,15 фута². Вы можете написать 360 футов², но это может означать, что последний 0 является значащим, а не просто заполнителем. Для ясности выразите произведение в экспоненциальном представлении как 3,6 * 10² футов².

неравенств - Когда произведение набора чисел больше их суммы?

неравенство - Когда произведение набора чисел больше, чем их сумма? - Математическое переполнение
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 179 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетите биржу стека
  1. 0
  2. +0
  3. Войти
  4. Зарегистрироваться

MathOverflow — это сайт вопросов и ответов для профессиональных математиков.Регистрация занимает всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил

Просмотрено 14 тысяч раз

$\begingroup$

Возможно, это слишком общий вопрос, но меня также интересуют решения для особых случаев.Скажем, у вас есть некоторое конечное множество положительных действительных чисел $x_i$, когда это так, что $\sum_i x_i > \prod_i x_i$? А когда они равны?

Особым случаем, вызвавшим это, был спор о том, равно ли какое-либо число сумме своих простых множителей.

Приветствуются любые ссылки или быстрые пруфы.

спросил 28 фев, 2010 в 15:10

ШеймусШимус

35711 золотой знак22 серебряных знака1010 бронзовых знаков

$\endgroup$ 5 $\begingroup$

Если у вас есть набор положительных целых чисел (то есть дубликаты не допускаются), то сумма больше произведения тогда и только тогда, когда набор имеет вид {1,x}.Сумма равна произведению только для одноэлементных множеств {x} и множества {1,2,3}.

Для рассмотрения остальных дел:

  • Если набор пуст, сумма равна 0, а произведение равно 1, поэтому сумма < произведения
  • Если в множестве есть два элемента {x,y}, ни один из которых не равен 1, то $xy\ge 2\max(x,y)>x+y$.
  • Если в наборе три элемента {1,2,x}, где $x>3$, сумма равна $x+3$, а произведение равно большему числу $2x$.
  • Если в наборе есть любые другие три элемента, то его произведение как минимум в три раза превышает максимальное, а его сумма меньше этого.
  • Если в наборе есть {1,2,3,x}, то произведение равно 6x, а сумма равна x+6, меньше для всех $x\ge 4$.
  • Если множество имеет любой другой вид с $k>3$ элементами, то по индукции сумма наименьших $k-1$ элементов меньше их произведения. Умножение или добавление наибольшего элемента не меняет неравенство.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.