Примеры по математике 2 класс до 100 на плюс и минус: Онлайн тренажер по математике. Сложение, вычитание до 100, табличное умножение и деление ⏳

Содержание

Распечатать примеры по математике 2 класс на плюс минус :: quiporbepu

08.06.2016 12:04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данный онлайн генератор позволяет быстро создавать математические примеры для 1-3 классов. Для примеров по математике используйте настройки, которые позволяют задать минимальные и максимальные числа, знак операции — плюс, минус, умножение. Примеры по математике для 2 класса, примеры с решениями 2 класс материал по математике для 2 класса. Материал для 2 класса. Примеры. Сложение и вычитание чисел от 1 до 100. Примеры по математике на сложение и вычитание — генератор примеров для разных классов для распечатки или интерактивного решения. Полученные примеры можно распечатать — на каждом листе выводится по 3 колонки из 34 примеров примеров. Начало Математика — Арифметика — Примеры 2 класс — Учимся считать 1 — Учимся считать 2 — Чёт-нечет — Проценты — Задачи 3 класс Сложение — Сложение от 1 до 100 — Сложение столбиком — Сложение легко! Примеры по математике, 2 класс. Как пользоваться книгой. На каждой странице приведены 6-7 столбиков по 52 примера. Генератор примеров и уравнений, имеет внутренние настройки, изменяя которые вы сможете создать примеры для детей разного возраста и уровня подготовки ( от 5 лет до 2-3 класса). Чтобы получить и распечатать примеры по математике, вам нужно Пособие содержит 3000 примеров по математике. Тема «Сотня» — одна из базовых тем, изучаемых во втором классе. Как и любая другая, она требует внимательного осмысления и хорошего закрепления. Примеры по математике для начальных классов. Страницы с примерами автоматически создаются в различных диапазонах от 0 до 100. Распечатать. Пособие содержит 3000 примеров по математике. Тема «Сотня» – одна из базовых тем, изучаемых во втором классе. Как и любая другая, она требует внимательного осмысления и хорошего закрепления. Если одно из двух чисел, делимое или делитель, отрицательно, результат получается отрицательным – плюс на минус дает минус Чтобы распечатать, скопируйте картинку в любой редактор. Обычно таблицу деления дети проходят на математике в третьем классе.

 

Читайте также:

 

решебник по русскому языку 5-6 класс разумовская львова капинос львов

 

химия 8 класс новошинский новошинская параграф

 

гдз информатика 9 класс составить программу n

 

Тематическое планирование по математике (2 класс) вариант1.2

№ урока

Дата

Наименование разделов и тем

Деятельность учащихся

Уч.материал

Речевой материал

 

1 четверть (28ч),

 

Числа от 1 до 100. Нумерация (18 ч)

1

 

 

Повторение.

Числа от 1 до 20.

Определять место каждого числа в этой последовательности, а также место числа 0 среди изученных чисел

Выполнять задания творческого и поискового характера,

Применять знания и способы действий в измененных условиях. Применять знания и способы действий в измененных условиях.

-Работать в группе: планировать работу, распределять работу между членами группы. Совместно оценивать
результат работы.

-Измерять отрезки и выражать их длины в см и мм

-Знать единицы измерения длины  сантиметр и дециметр, миллиметр; уметь сравнивать именованные числа, решать задачи.

-Чертить отрезки заданной длины (в см и мм).

-узнать денежные единицы; уметь преобразовывать величины; знать разрядный состав числа; уметь решать задачи вида «цена, количество, стоимость»

— решать задачи обратные данной, составлять схемы к задачам; усвоить понятие «отрезок»; -уметь решать выражения.

— решать примеры на сложение и вычитание без перехода и с переходом

через десяток

-определять разрядный состав числа, складывать и вычитать числа; знать, как образуются числа второго десятка, название чисел, состоящих из круглых десятков.

—контролировать и оценивать свою работу, ее результат, делать выводы на будущее.

Уметь составлять краткую запись к задачам; решать простые и составные задачи.

Усваивать единицы измерения времени «час, минута»; решать обратные и составные задачи; выработать каллиграфическое написание цифр.

Упорядочивать объекты по длине (на глаз, наложением, с
использованием мерок).

Различать и называть прямую линию, кривую, отрезок, луч, ломаную.

Выявлять причины появления ошибки и определять способы действия, помогающие предотвратить ее в последующих письменных работах.

Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить средства и способы её осуществления.

-Устанавливать соотношение между часами и минутами.

Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.Математика: Учебник: 2 класс:.– М.: Просвещение, 2014 г.,

1 часть.

Стр. 1-3

Число, действие сложение и вычитание, пример, написал (а).

2

 

Повторение.

Сложение в пределах 20.

Стр. 4

Число, действие сложение и вычитание, пример, увеличь на…, уменьши на….

3

 

Повторение.

Вычитание в пределах 20.

Стр. 5

Число, плюс, минус, пример, увеличь на…, уменьши на….

4

 

Десятки. Счёт десятками от 10 до 50.

Стр. 6

Единицы, десяток, десятки, двадцать, тридцать, сорок, пятьдесят.

5

 

Десятки. Счёт десятками от 50 до 100.

Стр. 7

Единицы, десяток, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто, сто, сотня.

6

 

Числа от 11 до 100. Образование чисел.

Стр. 8

Будем учиться записывать числа, в которых есть десятки и единицы.

7

 

Числа от 11 до 100. Поместное значение цифр.

Стр. 8

Единицы, десяток, первая цифра обозначает десятки, вторая цифра – единицы.

8

 

Однозначные и двузначные числа.

Стр. 9

Однозначные, двузначные числа

9

 

Контрольная работа №1 «Повторение изученного в 1 классе».

 

 

10

 

Анализ контрольной работы.

 

 

11

 

Миллиметр.

 

Стр. 10-12

Миллиметр, сантиметр, дециметр.

12

 

Получение чисел 11, 12, 13, 14,15 путём сложения однозначных чисел.

Стр. 8

Число 11 состоит из чисел….

13

 

Получение чисел 16, 17, 18, 19 путём сложения однозначных чисел.

Стр. 9

Число 18 состоит из чисел….

14

 

Наименьшее трёхзначное число. Сотня.

Стр. 12

10 единиц, 10 десятков, сотня, 100 единиц, трёхзначное число.

15

 

Метр. Таблица мер длины.

Стр. 13

Миллиметр, сантиметр, дециметр, метр. Метр – единица длины.

16

 

Сложение и вычитание вида 35+5, 35 – 30, 35 – 5.

Стр. 14

Сложение, вычитание, состав чисел.

17

 

Замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых.

Стр. 15 —

Двузначное число, разряд десятков, разряд единиц.

18

 

Единицы стоимости. Рубль. Копейка.

Стр.16

Единицы стоимости, рубль, копейка. Сто копеек равно одному рублю. В одном рубле сто копеек.

19

 

Задачи, обратные данной.

Стр. 26

Задачи, обратные данной.

20

 

Сумма и разность отрезков.

Стр. 27

Чтобы узнать длину большого отрезка нужно сложить длины двух маленьких отрезков.

21

 

Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Стр. 28-29

Уменьшаемое, разность.

22

 

Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.

Стр. 30

Вычитаемое, разность

23

 

 

Единицы времени. Час. Минута.

Стр. 31

Час, минута, время, единицы времени, минутная стрелка, часовая стрелка.

24

 

 

Длина ломаной.

Стр. 32

Длина, ломаная, сумма отрезков.

25

 

Порядок выполнения действий. Скобки.

Стр. 38

Скобки, сумма чисел, разность чисел.

26

 

Числовые выражения.

Стр. 40

Выражения, числовые выражения, значение выражения.

27

 

Контрольная работа №2 «Числовые выражения».

 

 

28

 

Анализ контрольной работы.

 

 

29

 

Свойства сложения.

Стр. 44

Складывать числа можно в любом порядке. Слагаемое, сумма.

 

2 четверть (25ч)

 

Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание (25ч)

30

 

Свойства сложения.

Выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями. Работать с дополнительными текстами и задачами; пользоваться эвристическими приемами для нахождения  решения задач математических задач.

Уметь составлять краткую запись к задачам; решать простые и составные задачи, примеры.

Вычислять периметр многоугольника.

Применять знания и способы действий в измененных условиях.

Решать  примеры в два действия; самостоятельно чертить отрезок и измерять его; уметь преобразовывать величины.

Знать состав двузначных чисел; решать  примеры в два действия; самостоятельно чертить отрезок и измерять его; уметь преобразовывать величины

Решать примеры на сложение и вычитание без перехода и с переходом через десяток.

Моделировать и объяснять ход выполнения устных приемов сложения и вычитания в пределах 100.

Выполнять устно сложение и вычитание в пределах 100.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать наиболее удобный.

Составлять краткую запись к задачам; решать простые и составные задачи.

Записывать условие и вопрос к задаче разными способами; знать состав двузначных чисел; решать  примеры в два действия; самостоятельно чертить отрезок и измерять его; уметь преобразовывать величины.

Читать и записывать буквенные выражения, находить их значение;

 Решать примеры, используя прием группировки;

Вычислять значение буквенного выражения с одной переменной при заданных значениях буквы.

Использовать различные приемы при вычислении значения.

Стр. 45

Складывать числа можно в любом порядке. Слагаемое, сумма.

 

 

 

 

 

31

32

 

Периметр многоугольника.

Стр. 42

Периметр, многоугольник. Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон.

33

 

 

Приём вычислений вида 36+2, 36+20

Стр. 58

Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

34

 

 

Приём вычислений вида 36-2, 36-20

Стр. 59

Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

35

 

Приём вычислений вида 26+4

Стр. 60

Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

36

37

 

Приём вычислений вида 30-7

Стр. 61

Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

38

39

 

Приём вычислений вида 60-24

Стр. 62

Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

40

 

 

Закрепление изученного. Решение задач.

Стр. 63-65

Решение задач, больше на…, меньше на…

41

42

 

 

Приём вычислений вида 26+7

Стр. 66

Число 7 состоит из чисел 4 и 3.

Единицы складывают с единицами.

43

44

 

Приём вычислений вида 35-7

Стр. 67

Число 7 состоит из чисел 5 и 2.

Единицы вычитают из единиц.

45

 

Закрепление изученного.

Стр. 68

Слагаемое, сумма. Уменьшаемое, вычитаемое, разность.

46

 

 

Буквенные выражения.

Стр. 76-79

Буквенные выражения.

Выражения, содержащие не только числа, но и буквы, называют буквенными.

Выражение 8 + d читают так: 8 плюс дэ.

47

48

 

 

Уравнение. Решение уравнений методом подбора.

Стр. 80-83

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

49

 

 

Проверка сложения..

Стр. 84

Сложение можно проверить вычитанием.

50

 

 

Проверка вычитания.

Стр. 86

Вычитание можно проверить сложением.

51

 

 

Контрольная работа за2 четверть.

 

Сложение можно проверить вычитанием. Вычитание можно проверить сложением.

52

 

 

Анализ контрольной работы

 

 

53

 

 

Проверка сложения и вычитания.

Стр. 88-89

Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

54

 

 

Закрепление изученного.

Стр. 90

Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое.

 

3 четверть (37ч)

 

Сложение и вычитание чисел от 1 до 100. Письменные вычисления (27ч)

55

56

 

 

Сложение вида 45+23.

Решать примеры на сложение и вычитание без перехода и с переходом через десяток.

Выполнять проверку вычислений.

Использовать различные приемы проверки правильности выполненных вычислений.

Отличать прямой угол от острого и тупого при помощи модели прямого угла.

Составлять краткую запись к задачам; решать простые и составные задачи.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирая новые приемы сложения; самостоятельно делать вывод;

Знать состав чисел второго десятка.

Уметь решать примеры на сложение и вычитание без перехода и с переходом через десяток.

Отличать прямоугольник от других геометрических фигур, усвоить понятие «прямоугольник»; находить периметр прямоугольника.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирая удобный.

Прогнозировать результат вычислений.

Применять письменные приемы сложения двузначных чисел с записью вычислений в столбик.

Выполнять вычисления и проверку.

Решать примеры на сложение и вычитание без перехода и с переходом через десяток.

Определять и высказывать под руководством педагога самые простые общие правила.

Знать о квадрате и прямоугольнике, как о четырехугольнике, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны.

Развивать умение учеников находить периметр многоугольников.

Объяснять смысл действия умножения.

Заменять сумму одинаковых слагаемых произведением – суммой одинаковых слагаемых

Решать текстовые задачи на умножение.

Находить периметр любой геометрической фигуры

Решать проблемную ситуацию  при умножении на 0 и 1.

-усвоить, что если получается сумма одинаковых слагаемых, то задачу можно решить умножением.

Понимать, что означает каждое число в такой записи.

понимать свойство Переместительного закона умножения

Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др. Математика: Учебник: 2 класс:.– М.: Просвещение, 2014 г., 2 часть.

Стр. 4

Складывая единицы с единицами, а десятки с десятками, удобно записывать вычисления столбиком.

57

58

 

 

Вычитание вида 57 – 26.

Стр. 5

Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.

Вычитаю единицы, вычитаю десятки.

59

 

 

Проверка сложения и вычитания.

Стр. 6

Проверяю сложение вычитанием. Проверяю вычитание сложением.

60

 

Закрепление изученного. Проверочная работа.

Стр. 7

Складывая единицы с единицами, а десятки с десятками, удобно записывать вычисления столбиком.

61

62

 

 

Сложение вида 37+48.

Стр. 12

Пишу под единицами 5, а 1 десяток запомню и прибавлю к десяткам.

63

64

 

 

Сложение вида 37+53.

Стр. 13

Пишу под единицами 0, а 1 десяток запомню и прибавлю к десяткам.

65

66

 

Угол. Виды углов.

Прямоугольник.

Стр. 8, 14

Угол, острый угол, тупой угол, стороны угла, вершины угла, прямой угол. Прямоугольник..

67

68

 

 

Сложение вида 87 + 13

Стр. 16

Складывая единицы с единицами, а десятки с десятками, удобно записывать вычисления столбиком.

69

 

 

Решение задач.

Стр. 17

Простая задача, больше на…, меньше на…

70

71

 

 

Вычисления вида. 32+8, 40-8.

Стр. 18

Точка над цифрой 4 показывает, что 1 десяток взят для вычитания единиц.

72

73

 

 

Вычитание вида 50 – 24.

Стр. 19

Из 0 нельзя вычесть 4. Беру 1 десяток из 5 десятков. Чтобы не забыть, ставлю точку над цифрой 5.

74

 

 

Контрольная работа № 4 «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100. Письменные вычисления».

Стр. 22

Число, плюс, минус, пример, увеличь на…, уменьши на….

75

 

 

Анализ контрольной работы.

Стр. 24-27

 

76

77

 

 

Вычитание вида 52 – 24

Стр. 29

Из 2 нельзя вычесть 4. Беру 1 десяток из 5 десятков. Чтобы не забыть, ставлю точку над цифрой 5.

78

 

 

Закрепление изученного.

Стр. 30

Складывая единицы с единицами, а десятки с десятками, удобно записывать вычисления столбиком.

79

 

 

Свойство противоположных сторон прямоугольника.

Стр. 32

Противоположные стороны прямоугольника равны.

80

 

 

Квадрат.

 

Стр. 34

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

81

 

 

Закрепление пройденного материала.

Стр. 40-45

 

82

 

 

Конкретный смысл действия умножения.

Стр. 48

Сложение одинаковых слагаемых можно заменить новым действием – умножением.

83

 

 

Вычисления результата умножения с помощью сложения.

Стр. 50

По 3 взять 4раза или 3 умножить на4.

84

 

 

Задачи на умножение.

 

Стр. 51

Умножить, сложение.

85

 

 

Периметр прямоугольника.

Стр. 52

Периметр, прямоугольник.

86

 

 

Умножение ноля и единицы.

Стр. 53

При умножении ноля на любое число получается ноль.

87

 

 

Название компонентов и результата умножения.

Стр. 54

Первый множитель, второй множитель, произведение.

88

 

 

Контрольная работа № 5 «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100».

Стр. 55

Сложение одинаковых слагаемых можно заменить новым действием – умножением.

89

 

 

Анализ контрольной работы.

Стр. 55

Первый множитель, второй множитель, произведение.

90

 

 

Переместительное свойство умножения.

Стр. 56

От перестановки множителей результат умножения не изменится.

91

 

 

Закрепление изученного. Решение задач.

Стр. 57

Переместительное свойство умножения.

 

4 четверть (41ч)

 

Умножение и деление. (18ч)

92

93

 

 

Конкретный смысл действия деления.

 

Изучать названия компонентов и результата действия деления, а также название соответствующего выражения.

Решать примеры и задачи пользуясь названиями компонентов.

Устанавливать связь между компонентами и результатом умножения.

Названия компонентов и результата умножения и деления;

Выполнять умножение и деление
на 10;

Решать текстовые задачи арифметическим способом;

Решать задачи в 1 действие, раскрывающие конкретный смысл
умножения и деления

 «Таблица умножения»,

 умножение и деление чисел, использование соответствующих терминов.

Выполнять умножение с числами 2, 3.

Выполнять деление с числами 2, 3.

Самостоятельно решать примеры и задачи с использованием правил умножения и деления на 2

Понимать, что такое «таблица умножения»

 Умножение и деление чисел, использование соответствующих терминов.

Контролировать и оценивать свою работу, ее результат, делать выводы на будущее

Выявлять причины появления ошибки и определять способы действия, помогающие предотвратить ее в последующих письменных работах.

Стр. 58

Деление. Знак деления – две точки.

94

95

 

 

Закрепление изученного.

Стр. 59

6 разделить на 2, получится 3.

96

97

98

 

 

Названия компонентов и результата деления.

Стр. 62

Делимое, делитель, частное.

99

 

 

Что узнали .Чему научились.

Стр. 63

Первый множитель, второй множитель, произведение.

100

101

 

 

Умножение и деление. Закрепление.

Стр. 66

Делимое, делитель, частное.

102

 

 

Приёмы умножения и деления на 10.

Стр. 74

Умножение и деление с числом 10.

103

104

 

 

Задачи с величинами цена, количество, стоимость.

Стр. 76

Цена, количество, стоимость.

105

106

 

 

Задачи на нахождение неизвестного множителя.

Стр. 72

Если произведение двух множителей разделить на один из них, то получится другой множитель.

107

 

 

Закрепление изученного материала. Решение задач.

Стр. 72

От перестановки множителей результат умножения не изменится.

108

 

 

Контрольная работа №6  «Умножение и деление».

Стр. 77

 

109

 

 

Анализ контрольной работы.

 

 

111

112

113

 

 

Умножение числа 2 и на 2.

 

Стр. 80

Таблица умножения.

Дважды два – четыре.

114

115

116

 

 

Приёмы умножения числа 2.

Стр. 81

Таблицу умножения надо выучить.

 

117

118

119

 

Деление на 2.

 

Стр. 83

Делимое, делитель, частное.

120

121

 

Закрепление изученного. Решение задач.

Стр. 84

Если произведение двух множителей разделить на один из них, то получится другой множитель.

122

123

124

 

Умножение числа 3 и на 3.

Стр. 90

Таблица умножения на 3. Трижды два – шесть.

Трижды три – девять.

125

126

127

 

Деление на 3.

Стр. 91

Делимое, делитель, частное.Таблица умножения на 3.

128

 

Контрольная работа № 7.  «Итоговая работа за 2 класс».

 

 

129

 

Анализ контрольной работы.

 

 

130

 

Деление на 3.

 

Таблица умножения на 3.

131

 

 

Что узнали. Чему научились.

Стр. 96

Делимое, делитель, частное.

Первый множитель, второй множитель, произведение.

132

133

134

135

136

 

 

Закрепление изученного. Резервные часы.

Стр. 97- 99

От перестановки множителей результат умножения не изменится.

Разряды для начинающих

Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.

Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо то и нужна. Мы поговорим о разрядах.

Что такое разряд?

Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.

Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.

Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц

Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков

Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен

Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того, что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.

Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:

В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:

В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:

Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635

Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч,  разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.

Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.

На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.


Группировка предметов

После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.

Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:

Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»

Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.

А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:

Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число  содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.

Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:

1 × 3 = 3

Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:

10 × 2 = 20

Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:

100 × 1 = 100

Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123

3 + 20 + 100 = 123

То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:

10 × 12 = 120

А единицы три раза:

1 × 3 = 3

Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:

Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»

Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123

120 + 3 = 123

Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.

Сгруппируем сотню:

Сгруппируем два десятка:

Сгруппируем три единицы:

Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:

1 × 123 = 123


Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.

Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 2 = 20 (два десятка)

100 × 5 = 500 (пять сотен)

3 + 20 + 500 = 523

Ещё  можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)

3 + 520 = 523

Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:

1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)


Где применить разряды?

Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:

Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):

Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):

Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2. Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):

Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.


Переполнение разряда

Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.

Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.

А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:

Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.

Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.

Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.

Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд

Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.

Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:


Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130

10 × 13 = 130

Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:

Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.

Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:

Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.

12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200

100 × 12 = 1200

В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.


Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.

Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:


Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15

В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.

Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:

Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.

От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.

Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:

К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.


Пример 5. Вычесть из числа 653 число 286

В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:

Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:

Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.

Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84

В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:

Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:

Получили окончательный ответ 116.

Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.

Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:

Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:

Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200

Получили окончательный ответ 116.


Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899

Вычтем из 100000 единицу, получим 99999

Теперь из 99999 вычитаем 91899

К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000

Получили окончательный ответ 8101.


Второй способ вычитания заключается в том, чтобы рассматривать цифру, находящуюся в разряде, как самостоятельное число. Решим несколько примеров этим способом.

Пример 8. Вычесть из числа 75 число 36

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельное число.

Итак, в разряде единиц числа 75 располагается число 5, а в разряде единиц числа 36 располагается число 6. Из пяти не вычесть шести, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков.

В разряде десятков располагается число 7. Берем от этого числа одну единицу и мысленно дописываем её слева от числа 5

А поскольку от числа 7 взята одна единица, это число уменьшится на одну единицу и обратится в число 6

Теперь в разряде единиц числа 75 располагается число 15, а в разряде единиц числа 36 число 6. Из 15 можно вычесть 6, получится 9. Записываем число 9 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагалось число 7, но мы взяли с этого числа одну единицу, поэтому сейчас там располагается число 6. А в разряде десятков числа 36 располагается число 3. Из 6 можно вычесть 3, получится 3. Записываем число 3 в разряде десятков нового числа:


Пример 9. Вычесть из числа 200 число 84

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельно число.

Итак, в разряде единиц числа 200 располагается ноль, а в разряде единиц числа 84 — располагается четыре. От нуля не вычесть четыре, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в разряде десятков тоже ноль. Ноль не сможет дать нам единицу. В таком случае за следующее принимаем число 20.

Берём одну единицу от числа 20 и мысленно дописываем её слева от нуля, располагающегося в разряде единиц. А поскольку от числа 20 взята одна единица, это число обратится в число 19

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Десять минус четыре равно шесть. Записываем число 6 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагался ноль, но этот ноль вместе со следующей цифрой 2 образовал число 20, от которого мы брали одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде десятков числа 200 располагается число 9, а в разряде десятков числа 84 располагается число 8. Девять минус восемь равно одному. Записываем число 1 в разряде десятков нашего ответа:

Переходим к следующему числу, находящемуся к разряду сотен. Раньше там располагалось число 2, но это число вместе с цифрой 0 мы приняли за число 20, от которого взяли одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде сотен числа 200 располагается число 1, а в числе 84 разряд сотен пустой, поэтому мы переносим эту единицу к новому числу:

Этот метод поначалу кажется сложным и лишенным всякого смысла, но на деле он самый лёгкий. В основном мы будем им пользоваться при сложении и вычитании чисел в столбик.


Сложение в столбик

Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сложить 61 и 23.

Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:

Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:

Получили 61 + 23 = 84.


Пример 2. Сложить 108 и 60

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:

Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.

Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:

Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:

Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.

Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:

А куда девать цифру 1 из числа 14? Здесь начинается самое интересное. Эту единицу мы переносим на следующий разряд. Она будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.

Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем целиком, образуя окончательный ответ.

Получили ответ 124.

Говоря традиционным методом сложения, при сложении 6 и 8 единиц получилось 14 единиц. 14 единиц это 4 единицы и 1 десяток. Четыре единицы мы записали в разряде единиц, а один десяток отправили на следующий разряд (к разрядам десятков). Затем сложив 2 десятка и 9 десятков, мы получили 11 десятков, плюс добавили 1 десяток, который остался при сложении единиц. В результате получили 12 десятков. Эти двенадцать десятков мы записали целиком, образуя окончательный ответ 124.

Этот простенький пример демонстрирует школьную ситуацию, в которой говорят «четыре пишем, один в уме». Если вы будете решать примеры и у вас после сложения разрядов останется цифра, которую надо держать в уме, запишите её над тем разрядом, куда она будет потом добавлена. Это позволит вам не забыть о ней:


Пример 2. Сложить числа 784 и 548

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 4+8=12. Число 12 не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому мы из 12 вынимаем цифру 2 из разряда единиц и записываем её в разряд единиц нашего ответа. А цифру 1 переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятки. Складываем 8 и 4 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции (единица осталась от 12, на рисунке она выделена синим цветом). Складываем 8+4+1=13. Число 13 не вместится в разряд десятков нашего ответа, поэтому мы запишем цифру 3 в разряде десятков, а единицу перенесём на следующий разряд:

Теперь складываем сотни. Складываем 7 и 5 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции: 7+5+1=13. Записываем число 13 в разряд сотен:


Вычитание в столбик

Пример 1. Вычтем из числа 69 число 53.

Запишем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками. Затем вычитаем по разрядам. Из единиц первого числа вычитаем единицы второго числа. Из десятков первого числа вычитаем десятки второго числа:

Получили ответ 16.


Пример 2. Найти значение выражения 95 − 26

Записываем в столбик данное выражение:

Разряд единиц числа 95 содержит 5 единиц, а разряд единиц числа 26 содержит 6 единиц. От пяти единиц нельзя вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Этот десяток и имеющиеся пять единиц вместе составляют 15 единиц. Из 15 единиц можно вычесть 6 единиц, получится 9 единиц. Записываем цифру 9 в разряде единиц нашего ответа:

Теперь вычитаем десятки. Разряд десятков числа 95 раньше содержал 9 десятков, но мы взяли с этого разряда один десяток, и сейчас он содержит 8 десятков. А разряд десятков числа 26 содержит 2 десятка. Из восьми десятков можно вычесть два десятка, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нашего ответа:

Воспользуемся нестандартным способом вычитания при котором каждая цифра, входящая в число, рассматривается как отдельное число. При вычитании больших чисел в столбик этот способ очень удобен.

В разряде единиц уменьшаемого располагается число 5. А в разряде единиц вычитаемого число 6. Из пятёрки не вычесть шестёрку. Поэтому берем одну единицу у числа 9. Взятая единица мысленно дописывается слева от пятёрки. А поскольку у числа 9 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате пятёрка обращается в число 15. Теперь можно из 15 вычесть 6. Получается 9. Записываем число 9 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к разряду десятков. Раньше там располагалось число 9, но поскольку мы взяли у него одну единицу оно обратилось в число 8. В разряде десятков второго числа располагается число 2. Восемь минус два будет шесть. Записываем число 6 в разряде десятков нашего ответа:


Пример 3. Найдем значение выражения 2412 − 2317

Записываем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 2412 располагается число 2, а в разряде единиц числа 2317 располагается число 7. Из двойки не вычесть семёрку, поэтому берем единицу у следующего числа 1. Взятую единицу мысленно дописываем слева от двойки:

В результате двойка обращается в число 12. Теперь можно из 12 вычесть 7. Получается 5. Записываем цифру 5 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к десяткам. В разряде десятков числа 2412 раньше располагалось число 1, но поскольку мы взяли у него одну единицу, оно обратилось в 0. А в разряде десятков числа 2317 располагается число 1. Из нуля не вычесть единицу. Поэтому берем одну единицу у следующего числа 4. Взятую единицу мысленно дописываем слева от нуля. А поскольку у числа 4 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате ноль обращается в число 10. Теперь можно из 10 вычесть 1. Получается 9. Записываем цифру 9 в разряде десятков нашего ответа:

В разряде сотен числа 2412 раньше располагалось число 4, но сейчас там располагается число 3. В разряде сотен числа 2317 также располагается число 3. Три минус три равно нулю. То же самое и с разрядами тысяч в обоих числах. Два минус два равно нулю. А если разность старших разрядов равна нулю, то этот ноль не записывают. Поэтому окончательным ответом будет число 95.


Пример 4. Найти значение выражения 600 − 8

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 600 располагается ноль, а в разряде единиц числа 8 само это число. Из нуля не вычесть восьмерку, поэтому берем единицу у следующего числа. Но следующее число это тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем число 60. Берем одну единицу у этого числа и мысленно дописываем её слева от нуля. А поскольку у числа 60 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Из 10  можно вычесть 8, получится 2. Записываем число 2 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. В разряде десятков раньше располагался ноль, но сейчас там располагается число 9, а во втором числе разряд десятков отсутствует. Поэтому число 9 переносится к новому числу:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде сотен. В разряде сотен раньше располагалось число 6, но сейчас там располагается число 5, а во втором числе разряд сотен отсутствует. Поэтому число 5 переносится к новому числу:


Пример 5. Найти значение выражения 10000 − 999

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 10000 располагается 0, а в разряде единиц числа 999 располагается число 9. Из нуля не вычесть девятку, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем 1000 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1000. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 999. А взятую единицу дописали слева от нуля.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Десять минус девять равно одному. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало ноль. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел тоже дало ноль. А девятка из разряда тысяч была перенесена к новому числу:


Пример 6. Найти значение выражения 12301­ − 9046

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 12301 располагается число 1, а в разряде единиц числа 9046 располагается число 6. Из единицы не вычесть шесть, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде располагается ноль. Ноль ничего нам дать не сможет. Тогда за следующее число принимаем 1230 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1230. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 1229. А взятую единицу мысленно дописали слева от единицы, находящейся в разряде единиц.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Одиннадцать минус шесть равно пять. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало число 5. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел дало число 2. Вычитание чисел, находящихся в разряде тысяч обоих чисел дало число 3.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните сложение:

Решение:

Задание 2. Выполните сложение:

Решение:

Задание 3. Выполните сложение:

Решение:

Задание 4. Выполните сложение:

Решение:

Задание 5. Выполните сложение:

Решение:

Задание 6. Выполните сложение:

Решение:

Задание 7. Выполните сложение:

Решение:

Задание 8. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 9. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 10. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 11. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 12. Выполните вычитание:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Каталог программ — ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ

Вид программы

  Наименование программы

  Описание программы

Буквы, цифры и прочее 
 
 
 
Карточки с цифрами для печати по математикеДля печати карточек с цифрами и  математическими знаками. Можно задать размер карточек.
Числовой лабиринт (числа по порядку)Представлен квадрат с цифрами, в котором нужно найти путь — цифры по порядку, начиная от 1. 
Русский алфавит — карточки для печатиДля печати карточек с русскими буквами. Можно задать высоту и ширину карточек. Также можно выбрать печать: как произносится буква и/или звук, характеристика буквы.
Английский алфавит — карточки для печатиДля печати карточек с английскими буквами. Можно задать высоту и ширину карточек. Также можно выбрать печать транскрипции и/или русского произношения.
12 месяцевЗадание поможет ребенку быстро выучить 12 месяцев, а также сопоставлять названия месяцев с их порядковым номером в календаре.
Часы для изучения времени детям2 задания: циферблат со стрелками для печати (сделать часы самому) и программа для заполнения времени на часах.
Главные праздники РоссииДля изучения и запоминания основных праздников
Cтраны, их столицы и основной языкДля изучения стран, их столиц и основного языка
Раскраска
Умная раскраска «Цифры»Раскрасить клеточки, в которых сумма равна заданному числу от 1 до 10. Получится число.
Умная раскраска «Примеры до 10»Раскрасить клеточки, в которых сумма или разность равна заданному числу. Получится пример в пределах 10 или 20, который нужно решить.
Умная раскраска «Примеры до 20»
Умная раскраска «Слова-3»Раскрасить клеточки, в которых сумма или разность равна заданному числу до 100. Получатся слова.
 Состав числа Состав числа до 10Домики для каждого числа от 3 до 10. Без ответов.
 Состав числа от 11 до 20Домики для каждого числа от 11 до 20. Без ответов.
Математический лабиринт (состав числа до 100)Представлен квадрат с цифрами, в котором нужно найти путь — ответ на пример, который равен заданному числу.  Можно задать сумму, ответ на пример и размер квадрата.
Сложение и вычитание
(простые примеры)
 
 
Сложение и вычитание в пределах 10Примеры на сложение и вычитание в пределах 10.  Без ответов.
Сложение и вычитание в пределах 20Примеры на сложение и вычитание в пределах 20. Без ответов.
Сложение и вычитание в пределах 100Примеры на сложение и вычитание в пределах 100.  С ответами.
Сложение и вычитание в пределах 100 (с автопроверкой)Примеры на сложение и вычитание в пределах 100.  Примеры решаются в программе. Кнопка автоматической проверки ответов. Можно напечатать в формате А4 без ответов.
Сложение и вычитание в пределах 10,20…100Примеры на сложение и вычитание в пределах 10,20,30…100. Задается уровень сложности — сумма, в пределах которой формируются примеры для карточки. С ответами.
Сложение и вычитание в пределах 10,20…100 ФГОСПримеры на сложение и вычитание в пределах 10,20,30…100. Задается уровень сложности — сумма, в пределах которой формируются примеры для карточки. Карточки соответствуют пособию для начальной школы «Тренировочные примеры по математике» ФГОС. Без ответов.
Найти правильные примеры (сложение и вычитание от 10 до 100)Даны ответы и примеры. Нужно найти примеры, которым соответствует ответ.

Найти правильные примеры 2 (сложение и вычитание от 10 до 100 + задание на логику)

Даны ответы и примеры. Нужно найти примеры, которым соответствует ответ. В конце карточки решить логическое задание.
Сложение и вычитание
(логические примеры)

 

Цепочки примеров в пределах 10 (сложение и вычитание)Примеры на сложение и вычитание в пределах суммы (указана в наименовании программы). Принцип решения : каждый ответ на пример является первым числом следующего примера. Таким образом, если в каком-либо примере допущена ошибка, то итоговый ответ будет не правильным. В карточке дан ответ в виде трех чисел — итоговый ответ для каждого столбика. 
Цепочки примеров в пределах 20 (сложение и вычитание)
Цепочки примеров в пределах 100 (сложение и вычитание)
Цепочки примеров в пределах 10,20…100 (сложение и вычитание)
Цепочки примеров в пределах 1000 (сложение и вычитание)
Числовые пирамиды в пределах 10,20…100Заполнить все ступени пирамиды по принципу: каждое верхнее число получается путем сложения двух чисел под ним.
Числовые пирамиды большие (в пределах 50,100 и больше)
Математический лабиринт (сложение и вычитание в пределах 10-100)Представлен квадрат с цифрами, в котором нужно найти путь — ответ на пример, который равен заданному числу.  Можно задать сумму и размер квадрата.
Ответ задать нельзя (ответ можно задать в программе Математический лабиринт — состав числа до 100)
Арифметический маршрут 1 (сложение и вычитание в пределах 10-100)Заполнить пустые клетки, чтобы каждое из равенств было верным. В виде цепочки примеров.
Математический кроссворд (сложение и вычитание в пределах 100)Заполнить пустые клетки, чтобы каждое из равенств было верным. В виде кроссворда.
Головоломка «Квадрат слагаемых»Заполнить квадрат, чтобы сумма чисел в строках и столбцах была равно числу за периметром. Выбор суммы (от 10 до 100) и размера квадрата. Без ответов.
Головоломка «Судоку мини»Заполнить все клетки в квадрате, чтобы сумма за пределами поля была верной. Числа внутри квадрата не повторяются (от 1 до 9). Без ответов.
Головоломка «Квадрат юного математика»Дано поле с цифрами. В каждом ряду вычеркнуть по 2 цифры, чтобы сумма была равно числу за полем. Выбор суммы от 10 до 100. С ответами.
Головоломка «Геометрия чисел» (сложение и вычитание)В квадратиках поставить цифры, чтобы их сумма была равна числу внутри поля. Выбор суммы от 10 до 100. Без ответов.
Примеры
все действия
Цепочки примеров в пределах 100 (все действия)Примеры в пределах суммы (указана в наименовании программы). Принцип решения : каждый ответ на пример является первым числом следующего примера. Таким образом, если в каком-либо примере допущена ошибка, то итоговый ответ будет не правильным. В карточке дан ответ в виде трех чисел — итоговый ответ для каждого столбика.
Цепочки примеров в пределах 1000 (все действия)
Арифметический маршрут 2 (все действия до 100)Заполнить пустые клетки, чтобы каждое из равенств было верным. В виде цепочки примеров.
Математический кроссворд 2 (все действия до 100)Заполнить пустые клетки, чтобы каждое из равенств было верным. В виде кроссворда.
Примеры
порядок действий
Порядок действий в пределах 20 (сложение и вычитание)Примеры в пределах 20, в которых два действия (плюс и минус) и скобки. С ответами.
Порядок действий в пределах 100 (все действия)Примеры в пределах 100, в которых четыре разных действия (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки. С ответами.
Порядок действий в пределах 1000 (все действия)Примеры в пределах 1000, в которых четыре разных действия (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки. С ответами.
Сложные примеры на порядок действийПримеры в пределах 1000, в которых  более четырех действия (плюс, минус, умножить, разделить) и две скобки. С ответами.
Примеры
в столбик
Сложение и вычитание в столбикФормируются примеры в столбик с выбором уровня сложности: от двузначных чисел до 100 000.
С ответами.
Примеры в столбик на сложение, вычитание и умножение: заполнить пропуски
Умножение трехзначного числа на однозначное по схеме
Умножение в столбик
Деление в столбик
Умножение и деление в столбик
Таблица умножения
(примеры для изучения)
Таблица умножения — карточкиДля печати карточек с таблицей умножения. Можно задать высоту и ширину карточек. Варианты использования приведены в описании программы.
Таблица умножения для изучения (умножение и деление на каждое число и вразброс) В настройках программы задается множитель, для которого формируются примеры: от 2 до 9, а также сразу на все множители вразброс.  Формируются примеры: 3 столбика на умножение и 3 столбика на деление.
Таблица умножения для изучения (с автопроверкой)Предназначена для решения в самой программе. Задается множитель от 2 до 9 или примеры на все множители вразброс. Есть функция проверки ответов. Программа также подсчитывает количество правильных ответов и время решения примеров.
Таблица умножения (примеры на умножение)Примеры на знание таблицы умножения на все числа вразброс.
Таблица умножения (примеры на умножение и деление)Можно формировать карточки с примерами:
 — только на умножение,
 — только на деление,
 — на умножение и деление.
Таблица умножения
(игры и головоломки)
Игра «Крестики-нолики» на таблицу умноженияКарточки с играми, в которых идет закрепление таблицы умножения.
Игра «Найди примеры» на таблицу умножения
Головоломка «Квадрат множителей»Заполнить квадрат 2х2, чтобы произведение чисел в строках и столбцах было равно числу за периметром.
Математический лабиринт (таблица умножения)Представлен квадрат с цифрами, в котором нужно найти путь — ответ на пример, который равен заданному числу.  Можно задать множитель и размер квадрата.
Таблица умножения
(сложные примеры)
Умножение и деление по типам (табличное, внетабличное, круглых чисел)Примеры по типам:
— на таблицу умножения,
— умножение и деление больших чисел (за пределами таблицы),
— чисел, оканчивающихся нулями.
Без ответов.
Деление с остатком на число (с выбором уровня сложности)Выбор уровня сложности:
— выбор делимого (в пределах 100, 1000, 10000)
— выбор делителя (число от 2 до 9, любое 1-значно, 2-згачное или 3-значное число)
Деление с остатком (простые и логические примеры)Выбор типа задания и уровня сложности:
— выбор делимого (в пределах 100 или 1000)
— выбор типа примеров (простые примеры или цепочки примеров).
Разные задания
1-4 класс
Сравнение чисел в пределах 10,20,100Вычислить примеры и поставить знак неравенства. Разные уровни сложности.
Выражения с именованными числамиЗадания с единицами измерения длины, массы и времени: преобразования и вычисления. Разные уровни сложности.
Задачи на движениеЗадачи на разные типы движения.
Комплексные задания
Математический диктант для дошкольниковПрограмма формирует комплексные задания, которые помогают закрепить знания ребенка за соответствующий класс. В программах собраны все задания, которые изучались в течение года. Особенно эти задания полезны летом для повторения пройденного материала в небольшом объеме.
Математический диктант 1 класс
Задание на неделю 1 класс
Математический диктант 2 класс
Задание на неделю 2 класс
Задание на неделю 3 класс
Задание на неделю 4 класс
Математический диктант 5 класс
Дроби
Основное свойство дробиПрограмма формирует различные примеры с дробями с учетом особенностей каждой программы.
Сложение и вычитание простых дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями
Дроби обыкновенные (разные виды операций)
Десятичные дроби (разные виды операций)

Дроби десятичные : сложение и вычитание в столбик

Дроби смешанные
Разные задания
5-7 класс
Простые процентыЗадания на вычисления различных видов процентов.
Корни квадратныеЗадания на вычисление квадратных корней.

Отрицательные числа (сложение и вычитание)

Примеры на сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. С ответами.
Раскрыть скобкиЗадание на раскрытие скобок, которые закрепляют вычисление и преобразование буквенных выражений.
Головоломки на логику
 
 
 
 
Сколько квадратов?Посчитать, сколько квадратов изображено на рисунке.
КубикиСоставить проекции фигуры из кубиков: вид спереди, сбоку и сверху.
Головоломка «Спички» Переложить спичку, чтобы получилось верное равенство.
Продолжить ряд чиселНайти закономерность чисел и вычислить следующее число.
Логические задачиЗадания похожи на задачу Энштейна: на основе нескольких высказываний ответить на вопрос. Есть уровни сложности.
Судоку
Классическое судоку 9х9Формирование различных видов судоку.
С ответами.
Судоку неравенства 9х9
Судоку чет-нечет 9х9
Судоку точки 9х9
Судоку римское 9х9
Судоку 5 (Самурай, Крест)
Геометрия
Квадрат: периметр и площадьЗадания  (простые и логические) на нахождение сторон, периметра и площади квадрата. С ответами.
Прямоугольник: периметр и площадьЗадания  (простые и логические) на нахождение сторон, периметра и площади прямоугольника. С ответами.
Квадрат и прямоугольник: логические задачи на площадь и периметрЛогические задачи на нахождение площади и периметра квадрата и прямоугольника. Разные виды задач. С ответами.
Треугольник: периметр и площадьПростые и логические задачи на нахождение характеристик треугольника. С ответами.
Трапеция: периметр и площадьПростые и логические задачи на нахождение характеристик трапеции. С ответами.
Задания со словами
Чтение по слогамНужно соединить слоги или поменять их местами, чтобы составить слово. Есть уровни сложности.
Общие буквыПоставить в пустой клетке букву, чтобы получилась пара слов.
Расшифровка слов по числамСоставить слово из букв. Буквы выбрать из таблицы по представленным числам.
АнаграммыПереставить буквы, чтобы получилось слово.
Найди слова (по прямой)В таблице с буквами найти все слова, которые представлены в списке.
Найди слова 2 (по ломаной)
Найди слова из 1000 букв
Игра «Балда»Формируется поле для заполнения с исходным словом.
Сборники заданий
 
Сборник заданий для дошкольниковЗадания по математике в пределах 10 и 20: состав числа, примеры на сложение и вычитание, логические задания и другие.
Сборник заданий для 1 классаПримеры в пределах 20, порядок действий до 20, логические задания, умная раскраска и другие.
Сборник для изучения таблицы умноженияКарточки для изучения, карточки с примерами, игры и логические задания.
Программы для работы
НМЦК для одной позицииФормируется обоснование НМЦК с описанием и расчетами всех показателей.
НМЦК для списка
НМЦК услуг охраныФормы расчетов для обоснования НМЦК согласно Приказу Росгвардии №45 (для 44-ФЗ)
Коммерческие предложенияИспользует созданную Вами базу для автоматического формирования коммерческого предложения с учетом выбранных характеристик.
Документы для сделокАвтоматически формируются документы: счет на оплату, счет-фактура, товарная накладная или акт выполненных работ / услуг.
Анализ ФХДФормирование полного финансового анализа организации на основе бухгалтерских данных баланса и формы 2.
Расчет пени по коммунальным платежам (155 ЖК РФ)Расчет пени по коммунальным платежам согласно ЖК РФ и вывод расчетов на печать.

Таблица сложения чисел (1, 2 класс) и игра

Как выучить таблицу сложения? Просто воспользуйтесь игрой:

Игра на сложение — играть онлайн

Таблица сложения нужна, чтобы научиться быстрому сложению чисел. Здесь представлена таблица сложения (или прибавления) для первого класса (числа от 1 до 10). Для начала таблица в виде картинки (удобно для печати, а также можно скачать).

Онлайн сложение

+

Основы сложения — видео

Уроки, после которых всё понятно.

1 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 41 + 4 = 51 + 5 = 61 + 6 = 71 + 7 = 81 + 8 = 91 + 9 = 10
2 + 1 = 32 + 2 = 42 + 3 = 52 + 4 = 62 + 5 = 72 + 6 = 82 + 7 = 92 + 8 = 102 + 9 = 11
3 + 1 = 43 + 2 = 53 + 3 = 63 + 4 = 73 + 5 = 83 + 6 = 93 + 7 = 103 + 8 = 113 + 9 = 12
4 + 1 = 54 + 2 = 64 + 3 = 74 + 4 = 84 + 5 = 94 + 6 = 104 + 7 = 114 + 8 = 124 + 9 = 13
5 + 1 = 65 + 2 = 75 + 3 = 85 + 4 = 95 + 5 = 105 + 6 = 115 + 7 = 125 + 8 = 135 + 9 = 14
6 + 1 = 76 + 2 = 86 + 3 = 96 + 4 = 106 + 5 = 116 + 6 = 126 + 7 = 136 + 8 = 146 + 9 = 15
7 + 1 = 87 + 2 = 97 + 3 = 107 + 4 = 117 + 5 = 127 + 6 = 137 + 7 = 147 + 8 = 157 + 9 = 16
8 + 1 = 98 + 2 = 108 + 3 = 118 + 4 = 128 + 5 = 138 + 6 = 148 + 7 = 158 + 8 = 168 + 9 = 17
9 + 1 = 109 + 2 = 119 + 3 = 129 + 4 = 139 + 5 = 149 + 6 = 159 + 7 = 169 + 8 = 179 + 9 = 18

Возможно, вам также будет интересна таблица вычитания. Там также есть игра на вычитание.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица сложения чисел (1, 2 класс) и игра

Модуль числа — теория и решение задач

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом \( |\mathbf{a}|\text{ }\ge \text{ }\mathbf{0}\)

То есть, если \( \mathbf{a}\) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если \( \mathbf{a}\text{ }>\text{ }\mathbf{0},\) то \( \displaystyle \left| a \right|=a\).

Если \( a\) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если \( a\text{ }<\text{ }\mathbf{0},\) то \( |\mathbf{a}|\text{ }=\text{ }-\mathbf{a}\)

А если \( a=0\)? Ну, конечно! Его модуль также равен \( 0\):

Если \( a=0\), то \( |\mathbf{a}|=\mathbf{a}\), или \( \displaystyle \left| 0 \right|=0\).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

\( \left| -4 \right|\text{ }=\text{ }\left| 4 \right|\text{ }=\text{ }4;\)

\( \left| -7 \right|\text{ }=\text{ }\left| 7 \right|\text{ }=\text{ }7.\)

А теперь потренируйся:

  • \( \left| 9 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -3 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| 16 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  •  \( \left| 8 \right|\text{ }=\text{ }?;\)
  • \( \left| -17 \right|\text{ }=\text{ }?.\)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: \( \left| 2-\sqrt{5} \right|=?\)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим \( 2-\sqrt{5}\):

\( 2<\sqrt{5}\) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если \( 2<\sqrt{5}\), то какой знак имеет \( 2-\sqrt{5}\)? Ну конечно, \( 2-\sqrt{5}<0\)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

\( \left| 2-\sqrt{5} \right|=-\left( 2-\sqrt{5} \right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2\)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

  • \( \left| \sqrt{3}-1 \right|=?\)
  • \( \left| 3-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| 2-\sqrt{7} \right|=?\)
  • \( \left| \sqrt{13}-4 \right|=?\)

Ответы:

\( \sqrt{3}-1; 3-\sqrt{7}; \sqrt{7}-2; 4-\sqrt{13.}\)

Как сделать из 123456789 число 100 или 0 / Хабр

В «Занимательной арифметике» известного популяризатора наук Якова Исидоровича Перельмана в конце первой главы я нашел пример следующих «Арифметических курьезов»:

100 = 1+2+3+4+5+6+7+8*9
100 = 12+3-4+5+67+8+9
100 = 12-3-4+5-6+7+89
100 = 123+4-5+67-89
100 = 123-45-67+89

Первое из этих решений я нашел еще в начальной школе на олимпиаде по математике, и теперь подумав, что, может быть, та победа повлияла на мое будущее становление, я решил воздать должное этой задаче и найти все возможные решения, написав соответствующий скрипт на Python.

Пусть задача поставлена так: есть строка цифр 123456789 (пусть я и правда не очень интересуюсь нулем), между которыми можно в любых местах поставить 4 арифметических операции (+, -, *, /) или не ставить ничего (то есть ставить пустую строку, тогда образуются двух- и более -значные числа) так, чтобы общее выражение давало в результате 100, как в примерах из книги выше. Ничего другого нельзя, никаких скобок, никаких перестановок, никаких дублей, никаких выкидываний.

Я не учился программированию, и реализовал задачу, как придумал. Поэтому у меня есть вопрос: «Как это можно было сделать лучше?».

А придумал я так: для того чтобы перебрать все возможные варианты вставки символов промежутков (а их пять: либо пустая строка, либо +, -, *, /), я представлял их как варианты числа по основанию 5, дополненные слева нулями. Длина такого числа восемь символов, поскольку цифр девять, и между ними тогда имеется восемь промежутков. Нули соответствуют пустым строкам, все остальные — арифметическим операциям. Вот что получилось:

Copy Source | Copy HTML<br/>from __future__ import division # for 2.x version<br/> <br/>s = '123456789'<br/>d = {'0':'', '1':'+', '2':'-', '3':'*', '4':'/'}<br/>sum_num = 100<br/>count =  0<br/> <br/>def to_new_base(n, new_base):<br/>    s = []<br/>    if n ==  0:<br/>        s.append('0')<br/>    while n:<br/>        s.append(str(n % new_base))<br/>        n = n // new_base<br/>    num = '{0:0>8}'.format(''.join(s[::-1]))<br/>    return num<br/> <br/> <br/>for n in xrange(int('44444444', 5)):<br/>    num = to_new_base(n, 5)<br/>    expr = ''<br/>    for i, j in zip(s, num):<br/>        expr += i + d[j]<br/>    expr += '9'<br/>    if eval(expr) == sum_num:<br/>        print('{0} = {1}'.format(expr, sum_num))<br/>        count += 1<br/> <br/> <br/>print 'So, {0} expressions for {1}'.format(count, sum_num) <br/>

Для 100 нашлось 101 такое решение, причем некоторые из них довольно забавные, особенно с дробями:

123+45-67+8-9 = 100
123+4-5+67-89 = 100
123+4*5-6*7+8-9 = 100
123-45-67+89 = 100
123-4-5-6-7+8-9 = 100
12+34+5*6+7+8+9 = 100
12+34-5+6*7+8+9 = 100
12+34-5-6+7*8+9 = 100
12+34-5-6-7+8*9 = 100
12+3+4+5-6-7+89 = 100
12+3+4-56/7+89 = 100
12+3-4+5+67+8+9 = 100
12+3*45+6*7-89 = 100
12+3*4+5+6+7*8+9 = 100
12+3*4+5+6-7+8*9 = 100
12+3*4-5-6+78+9 = 100
12-3+4*5+6+7*8+9 = 100
12-3+4*5+6-7+8*9 = 100
12-3-4+5-6+7+89 = 100
12-3-4+5*6+7*8+9 = 100
12-3-4+5*6-7+8*9 = 100
12*3-4+5-6+78-9 = 100
12*3-4-5-6+7+8*9 = 100
12*3-4*5+67+8+9 = 100
12/3+4*5-6-7+89 = 100
12/3+4*5*6-7-8-9 = 100
12/3+4*5*6*7/8-9 = 100
12/3/4+5*6+78-9 = 100
1+234-56-7-8*9 = 100
1+234*5*6/78+9 = 100
1+234*5/6-7-89 = 100
1+23-4+56+7+8+9 = 100
1+23-4+56/7+8*9 = 100
1+23-4+5+6+78-9 = 100
1+23-4-5+6+7+8*9 = 100
1+23*4+56/7+8-9 = 100
1+23*4+5-6+7-8+9 = 100
1+23*4-5+6+7+8-9 = 100
1+2+34-5+67-8+9 = 100
1+2+34*5+6-7-8*9 = 100
1+2+3+4+5+6+7+8*9 = 100
1+2+3-45+67+8*9 = 100
1+2+3-4+5+6+78+9 = 100
1+2+3-4*5+6*7+8*9 = 100
1+2+3*4-5-6+7+89 = 100
1+2+3*4*56/7-8+9 = 100
1+2+3*4*5/6+78+9 = 100
1+2-3*4+5*6+7+8*9 = 100
1+2-3*4-5+6*7+8*9 = 100
1+2*34-56+78+9 = 100
1+2*3+4+5+67+8+9 = 100
1+2*3+4*5-6+7+8*9 = 100
1+2*3-4+56/7+89 = 100
1+2*3-4-5+6+7+89 = 100
1+2*3*4*5/6+7+8*9 = 100
1-23+4*5+6+7+89 = 100
1-23-4+5*6+7+89 = 100
1-23-4-5+6*7+89 = 100
1-2+3+45+6+7*8-9 = 100
1-2+3*4+5+67+8+9 = 100
1-2+3*4*5+6*7+8-9 = 100
1-2+3*4*5-6+7*8-9 = 100
1-2-34+56+7+8*9 = 100
1-2-3+45+6*7+8+9 = 100
1-2-3+45-6+7*8+9 = 100
1-2-3+45-6-7+8*9 = 100
1-2-3+4*56/7+8*9 = 100
1-2-3+4*5+67+8+9 = 100
1-2*3+4*5+6+7+8*9 = 100
1-2*3-4+5*6+7+8*9 = 100
1-2*3-4-5+6*7+8*9 = 100
1*234+5-67-8*9 = 100
1*23+4+56/7*8+9 = 100
1*23+4+5+67-8+9 = 100
1*23-4+5-6-7+89 = 100
1*23-4-56/7+89 = 100
1*23*4-56/7/8+9 = 100
1*2+34+56+7-8+9 = 100
1*2+34+5+6*7+8+9 = 100
1*2+34+5-6+7*8+9 = 100
1*2+34+5-6-7+8*9 = 100
1*2+34-56/7+8*9 = 100
1*2+3+45+67-8-9 = 100
1*2+3+4*5+6+78-9 = 100
1*2+3-4+5*6+78-9 = 100
1*2+3*4+5-6+78+9 = 100
1*2-3+4+56/7+89 = 100
1*2-3+4-5+6+7+89 = 100
1*2-3+4*5-6+78+9 = 100
1*2*34+56-7-8-9 = 100
1*2*3+4+5+6+7+8*9 = 100
1*2*3-45+67+8*9 = 100
1*2*3-4+5+6+78+9 = 100
1*2*3-4*5+6*7+8*9 = 100
1*2*3*4+5+6+7*8+9 = 100
1*2*3*4+5+6-7+8*9 = 100
1*2*3*4-5-6+78+9 = 100
1*2/3+4*5/6+7+89 = 100
1/2*34-5+6-7+89 = 100
1/2*3/4*56+7+8*9 = 100
1/2/3*456+7+8+9 = 100

Потом я решил просмотреть полную зависимость числа возможных решений таких разложений от всех возможных сумм, в том числе и нецелых. Для этого цикл стал функцией, работающей на заполнение словаря:

Copy Source | Copy HTML<br/>figure = {}<br/>xlist = []<br/>ylist = []<br/> <br/>def func():<br/>    for n in range(int('44444444', 5)):<br/>        num = to_new_base(n, 5)<br/>        expr = ''<br/>        for i, j in zip(line, num):<br/>            expr += i + d[j]<br/>        expr += '9'<br/>        num_sum = eval(expr)<br/>        if num_sum in figure:<br/>            figure[num_sum] += 1<br/>        else:<br/>            figure[num_sum] = 1<br/> <br/>    for key in sorted(figure):<br/>        xlist.append(key)<br/>        ylist.append(figure[key]) <br/>

Списки зависимости ylist=f(xlist) рисуются с помощью matplotlib. Зависимость имеет пик в нуле со 167 решениями:

Левая ветвь не симметрична правой, потому что перед вариантом 1*2*3*4*5*6*7*8*9 по условию задачи минус мы поставить не можем. Чем ближе к нулю, тем чаще встречаются действительные числа, которые можно представить несколькими возможными способами.

Отдельное рассмотрение для решений в области [-1.1, 1.1]: наибольшее число решений приходится, собственно, на ноль, потом на целые числа -1, 1, потом на полуцелые -0.5, 0.5.

Проверено, что любое из целых чисел от 0 до 100 может быть выражено таким способом:

Может быть, эта задача понравится и просто, чтобы задать кому-то, например собственному ребенку или приятелю, на скорость счета и умение обращаться с числами, как когда-то мне она была задана в начальной школе и нужно было найти одно решение, хотя, как я теперь вижу, их было намного больше. А можете попробовать сами в уме или на бумаге найти хотя бы одно из 167 решений для нуля.

UPD: Не подумайте, что все эти графики это что-то серьезное. Здесь нет ничего серьезного, кроме постановки задачи, кода и предложения питонистам попробовать написать что-то более быстрое.

UPD2: Отличный вариант улучшения кода был написан в комментарии hellman

У ребенка проблемы с математикой? 12 признаков и 7 способов помочь

У многих родителей во всем мире, как и у вас, есть ребенок , которому трудно с математикой . Без надлежащих ресурсов или надежной системы поддержки эта реальность может быть пугающей.

Но не волнуйтесь, вы не одиноки! Дети, которые не любят математику, чаще всего жалуются на то, что она слишком сложная или что они недостаточно умны. К сожалению, это убеждение может серьезно повлиять на успехи любого ребенка в математике.

Родители часто отмечают, что причины и симптомы могут различаться у разных детей, поэтому мы опишем и поможем вам понять:

  • Что вызывает трудности у детей с математикой
  • Общие признаки у детей, у которых проблемы с математикой
  • Как это сделать родители и учителя могут помочь ребенку, у которого проблемы с математикой

Давайте начнем помогать вашему ребенку добиться успеха, а не бороться с математикой. 👇

3 Основные причины, по которым у ребенка возникают проблемы с математикой

Математика может быть трудной, потому что это кумулятивный предмет — он год за годом развивает сам себя.Вот почему так много родителей беспокоятся, когда их дети, кажется, отстраняются от математики или отстраняются от нее.

Родителям важно знать, что это не обязательно означает, что их ребенку не хватает интеллекта или целеустремленности. Хотите верьте, хотите нет, но дети, у которых проблемы с пониманием математики, часто прилагают огромные усилия — умственные и физические.

Итак, что именно заставляет ребенка бороться с математикой? Исследования сузили ответ до трех вещей:

Отсутствие строительных блоков

Как упоминалось ранее, математика накапливается, поэтому изучение и понимание основ является обязательным.Если ребенок отстает в одной области из-за непонимания, переход к более сложным темам останется проблемой.

Например, если ребенок еще не усвоил основы сложения, ему будет очень трудно понять принцип умножения.

В 2015 году Университет Акрона опубликовал исследование под названием «Важность сильной математической основы». Исследователи протестировали 39 девяти- и десятиклассников на дроби, соотношения и пропорции.Участники должны были ответить на вопросы от третьего до седьмого класса.

Только семь участников смогли пройти оценку. Увидев эти результаты, автор исследования Жасмин Ристон написала:

[Учащихся] просто обучали математическим понятиям, соответствующим их текущему уровню обучения, а не основанным на текущих математических знаниях, которые они принесли в класс. Из-за этого учащиеся не осваивали каждый стандарт уровня класса, прежде чем перейти к обучению более высокого уровня.Это отсутствие мастерства создает огромные пробелы в понимании учащимися, мешая учащимся устанавливать необходимые содержательные связи и получать концептуальное понимание.

Беспокойство по поводу математики

Посреди трудностей легко почувствовать, что мы единственные, кто сталкивается с определенной проблемой. Для родителей ребенка, борющегося с математикой, это ничем не отличается. И хотя нас это тревожит, мы надеемся, что родители во всем мире найдут утешение в том, что их ребенок не единственный, кто может испытывать беспокойство, когда дело доходит до математики.

Чувство напряжения и беспокойства, которое мешает манипулированию числами и решению математических задач в самых разных повседневных жизненных и академических ситуациях.

На самом деле, в нашем руководстве по преодолению математической тревожности подчеркивается, что около 93% из взрослых американцев испытывают математическую тревожность в той или иной степени, в то время как 17% американцев в целом страдают от высокого уровня математической тревожности.

Симптомы математики могут включать в себя:

  • Убежание
  • Отсутствие отклика
  • Низкое достижение
  • Отрицательный самообслуживание
  • Ощущение постоянства
  • Интенсивные эмоциональные реакции
  • Физиологические эффекты, такие как нервозность, клейкие руки, увеличение сердца скорость, расстройство желудка и головокружение

И по этой причине дети могут испытывать трудности с математикой с детства и во взрослом возрасте.

Трудности в обучении

Существует множество нарушений обучаемости математике, в том числе одна из наиболее распространенных: дискалькулия . Другие названия для него включают математика или числовая дислексия .

Согласно д-ру Даниэлю Ансари, профессору развивающей когнитивной неврологии Западного университета Канады, дети с дискалькулией:

  • Часто испытывают трудности с рабочей памятью
  • Имеют проблемы с запоминанием математических фактов
  • Могут понимать логику математических фактов, не знает, как и когда применять свои знания для решения задач
  • Может не понимать величин или понятий, таких как наибольшее и наименьшее, или разницу между словом пять  и числительным 5

Исследователи не совсем уверены, что вызывает дискалькулию но подозреваю, что это связано со структурой и функциями мозга.Поскольку могут быть задействованы различные факторы, такие как развитие, окружающая среда, генетический состав или травма, то, как проявляются симптомы, вероятно, будет различаться, поскольку нет двух одинаковых детей.

12 Признаки того, что у детей проблемы с математикой

1. Отрицательно отзывается о математике

Заметить, что у ребенка проблемы с математикой, бывает непросто. Один из наиболее заметных признаков заключается в том, что они говорят о предмете.

Когда ваш ребенок говорит что-то вроде «Я ненавижу математику» или «Я плохо разбираюсь в математике» и пытается избегать занятий, связанных с математикой, обычно это признак того, что у него проблемы с предметом.

2. Беспокойство по поводу математики

Будь то урок, контрольная работа или работа над домашним заданием, ваш ребенок становится все более беспокойным, когда приходит время заниматься математикой.

Несмотря на то, что они могут понимать концепции, беспокойство по поводу математики приводит к тому, что они забывают, что они узнали, или как их применять, когда придет время.

3.  Более низкие оценки по математике, но более высокие по другим предметам

Слышите ли вы это от учителя или видите в его табеле успеваемости, ваш ребенок хорошо успевает по всем предметам, кроме математики.

Более низкие оценки по математике могут заставить их сосредоточиться на предметах, в которых они уже преуспели, и тратить мало времени на практику или изучение математики.

4. Проблемы с соединением математических семей

По мере того, как учащиеся узнают больше математических фактов, они должны начать видеть взаимосвязь между определенными числами и уравнениями.

У вашего ребенка могут быть проблемы с математикой, если он не видит связи, например, между 2+3=5 и 5-3=2 .

5. Трудности с управлением временем

Управление временем затруднено для многих людей, в том числе и взрослых, поэтому этот признак может показаться несколько расплывчатым. Обратите внимание, есть ли у вашего ребенка проблемы с оценкой времени, соблюдением установленного расписания или чтением часов — аналоговых или цифровых.

6. Проблемы с применением математических понятий к реальным задачам

Ваш ребенок может понимать математические понятия, но с трудом понимает, как они применимы к вещам за пределами класса. Например:

  • Узнать, сколько дней осталось до дня рождения
  • Подсчитать стоимость чего-либо и сколько сдачи они должны вернуть
  • Определить, сколько определенного ингредиента использовать, помогая вам готовить еду

7 .Умственные математические трудности

Хотя это может быть полезно в раннем возрасте, решение математических задач с помощью пальцев для счета может быть признаком того, что у вашего ребенка проблемы с математикой.

Это связано с тем, что по мере взросления дети будут сталкиваться с большими числами и более сложными уравнениями, требующими умственной арифметики — чего-то, что может препятствовать счету на пальцах.

8. Не пытается найти альтернативные подходы к решению задач

В тот момент, когда возникает препятствие при решении математической задачи, ваш ребенок может разочароваться и двигаться дальше, прежде чем подумать или попробовать другое потенциальное решение.

9. Проблемы с основными математическими понятиями и запоминанием фактов

Память может оказать значительное влияние на мышление с помощью чисел. Несмотря на то, что в прошлом его учили фундаментальным математическим понятиям и фактам, ваш ребенок с трудом запоминает и правильно их применяет.

10. Проблемы с усвоением сложных математических понятий и фактов

Из-за кумулятивного характера математики ключевым моментом является установление связи между предыдущими и новыми уроками.

Если у ребенка возникнут трудности с опорой на более ранние математические понятия, это ограничит способность ребенка закреплять новые математические навыки осмысленным и долгосрочным образом.

11. Трудно концентрировать внимание

Каждый ребенок учится по-своему — некоторые могут сесть за парту и выполнять определенные задания, в то время как другие выигрывают от более активной практической работы.

Если ваш ребенок нервничает, теряет место в задаче или кажется умственно уставшим при выполнении математических действий, возможно, у него проблемы с математикой (особый способ выполнения).

12. Недостижение контрольных точек

Как правило, дети достигают определенных математических целей примерно в одном возрасте, но иногда у них возникают проблемы с развитием этих навыков с одинаковой скоростью, и они отстают.

Учащиеся 1-го и 2-го классов, например, могут с трудом переходить от счета единицами к двойкам, пятеркам и десяткам, в то время как другие учатся с легкостью.

Ознакомьтесь с инфографикой ниже, в которой описаны этапы математики и то, что вы можете ожидать в разном возрасте!

Нажмите, чтобы развернуть

Как помочь ребенку, у которого проблемы с математикой (7 способов)

Как родитель, одна из ваших главных целей — помочь вашему ребенку добиться успеха. Однако важно помнить, что первым шагом к решению проблемы является ее идентификация.

Знакомство с указанными выше признаками поможет вам выявить проблемы, с которыми ваш ребенок может столкнуться в математике.

И чтобы сделать еще один шаг вперед, мы выделили семь советов, которые вы можете использовать дома, чтобы превратить математику в предмет, который ваш ребенок любит, а не боится!

Превратите математику в развлечение

Некоторым детям достаточно изменить точку зрения, чтобы превратить математику из чего-то, чего они боятся, в то, что они любят. Традиционный подход с ручкой и бумагой не всегда работает, и именно тогда вам нужно проявить творческий подход.

Совет: Подумайте о том, чтобы заново познакомить вашего ребенка с математикой через призму игры. Это может принимать различные формы, такие как текстовые задачи, математические книги, математические приложения и многое другое.

Или попробуйте Prodigy Math Game — увлекательное математическое приложение, адаптированное к учебной программе, которым пользуются более 100 миллионов учащихся и учителей. Весь внутриигровой образовательный контент бесплатен и доступен дома или в классе.

🌟 Кроме того, существует планов Премиум-членства , которые помогут максимально эффективно использовать математику и помогут вам с легкостью поддержать учебный процесс вашего ребенка.Став участником, вы откроете дополнительные внутриигровые награды для вашего ребенка , а даст вам доступ к новым родительским функциям, таким как цели и награды, области практики и листы практики.

Ознакомьтесь с нашими Премиум-планами прямо сейчас!

Поиск ежедневных приложений

Математика окружает нас повсюду и присутствует в нашей повседневной жизни, но знают ли об этом ваши дети? Включение математики в свою повседневную жизнь может помочь им понять и оценить ее актуальность.

Так чего же ты ждешь? Начните учиться, делая!

Совет: Вовлекайте своего ребенка в такие занятия, как покупки, приготовление пищи или работа в саду! Каждое из этих реальных приложений включает в себя числа, факты и концепции, которые могут помочь укрепить знания и понимание, а также удовольствие от математики.

Ежедневно занимайтесь с ребенком

На первый взгляд этот совет может показаться таким же простым, как сидеть рядом с ребенком, пока он делает домашнее задание, и следить за его выполнением. Но участие в образовании вашего ребенка имеет много преимуществ.

По словам автора и психолога по развитию Ребекки Фрейзер-Тилл, участие родителей способствует успеваемости, улучшает социальные навыки и может повысить самооценку.

Совет: Выделяйте время для занятий математикой хотя бы 10 минут каждый вечер.Это поможет закрепить то, что они изучают в классе, и держать в поле зрения основные понятия, когда учителя знакомят их с более сложными понятиями в классе. Даже если у вашего ребенка нет домашнего задания по математике, попробуйте наши бесплатные, красочные рабочие листы, которые можно распечатать:

Определение проблемных областей

Если вы можете определить их самостоятельно, замечательно! Если нет, свяжитесь с учителем вашего ребенка, чтобы получить более подробное и точное представление о том, как вы можете помочь повысить способность вашего ребенка к успеху.

Совет: Вместе с учителем вашего ребенка разработайте план действий дома. Это также отличная возможность поделиться способами обучения, которые лучше всего подходят для вашего ребенка дома — то, о чем их учитель может не знать.

Примите положительное отношение

Несмотря на то, что дети могут отрицательно относиться к математике, ваше отношение к предмету может сначала измениться. Проведенное в 2017 году исследование School Science and Mathematics показало, что отношение родителей к математике может значительно предсказать отношение учеников к математике.

В большинстве случаев негативное отношение возникает просто потому, что ученики говорят себе, что не могут заниматься математикой; они все равно никогда не будут его использовать; и так далее. Школьные факторы усугубляются, когда они подкрепляются дома, например, негативное отношение родителей к математике.

Совет: Даже если вы презираете математику, старайтесь изо всех сил поддерживать позитивное отношение к ней в присутствии вашего ребенка. Не стоит просто восклицать, что вы никогда не были хороши в математике, или отмахиваться от проблемы и просить их обратиться к своему учителю.Вместо этого поощряйте своего ребенка, когда он застревает, и попытайтесь решить проблему вместе, пока вы не найдете решение! Практикуя это, родители могут оказать положительное влияние на отношение своего ребенка к математике. В результате это может повысить общую успеваемость детей и их интерес к математике во взрослой жизни.

Наймите репетитора

Некоторые родители давно не ходят в школу и не знакомы с некоторыми стратегиями обучения. Другим просто неудобно быть «учителем» дома.Вот почему некоторые родители рассматривают вариант онлайн-репетиторства.

Совет: Math Geek Mama расскажет, как найти репетитора по математике для вашего ребенка!

    1. Word of рта от друзей или семьи
    2. Проверить библиотеку или общественный центр доски объявлений
    3. Спросите вашего ребенка учитель или школьный консультант
    4. Найти местный или онлайн-репетитор, используя веб-сайты

    Prodigy также предлагает онлайн-репетиторство по математике один на один! Каждый ребенок учится по-разному.Репетиторы Prodigy Math — это сертифицированные учителя, которые адаптируют свой стиль и уроки, чтобы обучать вашего ребенка так, как он учится лучше всего.

    Запросите бесплатную сессию

    Рассмотрите потенциальные проблемы с обучаемостью

    Если у вашего ребенка действительно проблемы с обучаемостью, чем раньше вы обратитесь за помощью, тем лучше!

    Это может быть непростой задачей, но в долгосрочной перспективе своевременная и надлежащая поддержка может помочь обеспечить наилучший образовательный путь для вашего ребенка.

    Совет: Если с вами еще не связались, свяжитесь с учителем вашего ребенка или школьным администратором, чтобы обсудить, как они могут помочь. Поскольку нарушения обучаемости, как правило, выявляются в школе, они могут использовать процесс, называемый реакцией на вмешательство, чтобы помочь точно определить, есть ли у ребенка нарушения обучаемости.

    Заключительные мысли: У вашего ребенка проблемы с математикой?

    Проблемы с математикой могут заставить детей чувствовать, что они не умны, и повлиять на их самооценку.Однако это обычная борьба.

    Более того, как видите, есть практические способы помочь! Одна из величайших вещей, которую вы можете сделать сегодня, , — это дать им понять, что все борются, даже вы, и что у всех есть сильные стороны!

    Поделитесь личным примером того, как вы боролись с математикой, и, если возможно, как вы это преодолели. Затем попробуйте включить некоторые из полезных советов, перечисленных выше.

    Математика может быть сложной задачей, но совместное путешествие поможет повысить уверенность вашего ребенка и мотивировать его продолжать попытки!

    Вы хотите, чтобы ваш ребенок преуспевал в математике.Мы можем помочь.

    Да, Математическая игра Prodigy — это основанная на школьной программе платформа, вдохновленная фэнтези, которую используют многие дети. Но он также поставляется с невероятно ценными инструментами и функциями для таких родителей, как вы. Посмотрите минутное видео ниже:

    Готовы мотивировать и помогать поддерживать их на этом пути?

    Создайте бесплатную родительскую учетную запись сегодня!

    Математические навыки и вехи по возрасту

    Дети начинают изучать математику в тот момент, когда начинают исследовать мир. Каждый навык — от определения фигур до счета и поиска закономерностей — основан на том, что они уже знают.

    Есть определенные математические вехи, которые большинство детей достигают примерно в одном возрасте. Но имейте в виду, что дети развивают математические навыки с разной скоростью. Если у детей еще нет всех навыков, перечисленных для их возрастной группы, это нормально.

    Вот как обычно развиваются математические навыки по мере взросления детей.

    • Начать предсказывать последовательность событий (например, бегущая вода означает время купания)
    • Начать понимать основные причины и следствия (встряхивание погремушки вызывает шум)
    • Начать классифицировать вещи простыми способами (некоторые игрушки издают шум, не надо)
    • Начать понимать относительный размер (ребенок маленький, родители большие)
    • Начать понимать слова, описывающие количества ( больше , больше , достаточно )
    • Понять, что числа означают «сколько» (используя пальцы, чтобы показать, сколько им лет)
    • Начать перечислять числа, но может пропустить некоторые из них
    • Понимать слова, которые сравнивают или измеряют предметы ( под , позади , быстрее )
    • Сопоставьте основные формы (треугольник с треугольником, круг с кругом)
    • Изучите измерения, заполняя и опорожняя контейнеры
    • Начните видеть закономерности в повседневной жизни и в тонкостях gs как напольная плитка
    • Распознавать формы в реальном мире
    • Начинать сортировать предметы по цвету, форме, размеру или назначению
    • Сравнивать и сопоставлять, используя такие классификации, как рост, размер или пол
    • Сосчитайте не менее 20 точно указывать и считать предметы в группе
    • Понимать, что цифры обозначают названия чисел (5 означает пять )
    • Использовать пространственное мышление для составления головоломок бросить игрушку в ванну с водой)
    • Сложить, сосчитав пальцы на одной руке — 1, 2, 3, 4, 5 — и начиная с 6 на второй руке
    • Определить большее из двух чисел и распознавать цифры до 20
    • Копировать или рисовать симметричные фигуры
    • Начать использовать самые простые карты, чтобы найти «спрятанное сокровище»
    • Начать понимать основные понятия времени, такие как утро или дни недели
    • Следуйте многоступенчатым инструкциям, в которых используются такие слова, как сначала и далее
    • Понимайте значение таких слов, как маловероятно или возможно
    • Предскажите, что будет дальше в шаблоне, и создайте собственные шаблоны
    • различать двухмерные и трехмерные фигуры и называть основные из них (кубы, конусы, цилиндры)
    • считать до 100 единицами, двойками, пятерками и десятками
    • писать и узнавать цифры от 0 до 100 и слова для чисел от одного до двадцати
    • Сложение и вычитание до 20
    • Чтение и построение простой гистограммы
    • Распознавание и определение стоимости монет
    • Переход от практических методов к использованию бумаги и карандаша решать математические задачи
    • Работать с деньгами
    • Складывать и вычитать с перегруппировкой (также известной как заимствование)
    • Понимать разрядное значение достаточно хорошо, чтобы решать задачи с десятичными точками
    • Знать, как выполнять умножение и деление с помощью семейств фактов (наборы связанных математических фактов, например, 3 × 4 = 12 и 4 × 3 = 12)
    • Создать числовое предложение или уравнение из задача со словом
    • Начните применять математические понятия к реальному миру (например, разрезание рецепта пополам)
    • Практикуйтесь в использовании более чем одного способа решения задач
    • Запишите и сравните дроби и десятичные знаки и расположите их по порядку на числовой прямой
    • Сравнение чисел с использованием > (больше) и < (меньше)
    • Начало дву- и трехзначного умножения (например, 312 × 23)
    • Полное деление в большую сторону с остатком или без него
    • Оценка и округление
    • Начните базовую алгебру с одного неизвестного числа (например, 2 +  x  = 10)
    • Используйте координаты для определения местоположения точек на сетке, также известной как графическое отображение упорядоченных пар
    • Работа с дробями, процентами s и пропорции
    • Работа с линиями, углами, типами треугольников и другими основными геометрическими фигурами
    • Использование формул для решения сложных задач и нахождения площади, периметра и объема фигур
    • Понимание того, что числа могут быть представлены разными способами (в виде дробей, десятичных знаков, оснований и переменных)
    • Используйте числа в реальных жизненных ситуациях (например, расчет продажной цены или сравнение студенческих кредитов)
    • Начните видеть, как математические идеи строятся друг на друге
    • Начните понимать понимать, что некоторые математические задачи не имеют реальных решений
    • использовать математический язык для передачи мыслей и решений
    • использовать графики, карты или другие представления для изучения и передачи информации

    Помните, что дети развиваются с разной скоростью.Некоторые могут получить некоторые математические навыки позже, чем другие дети, или иметь некоторые навыки, которые являются более развитыми для их возраста.

    Если вас беспокоят успехи в математике, узнайте, почему у некоторых детей возникают проблемы с математикой, и какие шаги нужно предпринять.

    Расскажите нам, что вас интересует

    Об авторе

    Об авторе

    Аманда Морин является руководителем идейного лидерства в Understood и автором «Руководства для всех родителей по специальному образованию».Она работала классным руководителем и специалистом по раннему вмешательству более десяти лет.

    Отзыв от

    Отзыв от

    Брендан Р. Ходнетт, MAT — учитель специального образования в Мидлтауне, штат Нью-Джерси, и адъюнкт-профессор в Хантер-колледже.

    Уловка Гаусса – семинар для сотрудников

    Начало работы

    Можете ли вы сложить в уме первые 10 чисел? Как насчет первых 100 или первой тысячи? В твоей голове!

    Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком.История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро смог сложить первые 100 чисел. Мне нравится думать об учителе, который использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс в течение длительного времени, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период тишины, пока класс работает в поте лица. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы занять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым 8-летним ребенком.

    В мгновение ока Гаусс выдал 5050.Но он мог не только так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и обосновать правильность своего ответа. И то же самое вы сделаете перед тем, как провести этот семинар для персонала.

    Вы можете прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Было бы неплохо написать кое-что о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие у него были бытовые проблемы и тому подобное. Стоило бы достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг (Брауншвейг).Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой восточно-западной границы Германии.

    Так в чем фишка и как с ее помощью произвести впечатление на друзей и коллег?

     Пример 1

    Сначала я сложу целые числа от 1 до 10 с большим трудом, чтобы вы могли увидеть, как все работает. Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

    S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

     Интересно, что если мы сложим числа в обратном направлении, то получим тот же ответ.Ну очевидно же! Но давайте все же.

    S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

    И что? Что ж, я облегчу понимание «ну и что», поместив эти два способа написания S друг под другом.

     S =   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

    S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +   1.

    Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим все дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но потерпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

     К счастью для Гаусса и нас,

     1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

     Все эти пары чисел в сумме дают 11! Это означает, что

     2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11.

     Там есть здесь десять одиннадцатых, поэтому

     2S = 10 × 11 = 110,

     Таким образом, S = 5 × 11 = 55.

     Но этот трюк нельзя повторять снова и снова. Так что мы будем доить его изо всех сил.

     Пример 2

    Приступим к сложению чисел Гаусса, всех целых чисел от 1 до 100.Снова пусть S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100.

    Теперь вы видите, что я был довольно ленив и опустил все числа от 6 до 97. Но мы с вами знаем, что они действительно есть. Многоточие (…) говорит нам именно об этом.

    О повороте!

    S = 100 + 99 + 98 + … + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

    Теперь давайте объединим эти две вещи и посмотрим, что получится.

    S =     1 +   2 +   3 + 4 + 5 +       …       + 98 + 99 + 100.

    S = 100 + 99 + 98 +       …       + 5 + 4 +   3 +   2 +     1.

    Здесь магическая сумма равна 101. Каждая пара чисел, одна над другой, дает в сумме 101. Итак, 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101.

    Единственная проблема, которая у нас сейчас есть, это выяснить, сколько 101-х есть. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые в сумме дают 101. Итак, 2S = 100 × 101.

     Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

     И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

     Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

     Пример 3

    Я приведу еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаюсь обобщить то, что мы делали. Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые первые 67 целых чисел.

    S = 1 + 2 + 3 + … + 65 + 66 + 67.

    S = 67 + 66 + 65 + … +   3 +   2 +   1.

    На этот раз ключ 68. Ведь 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 = …

    Таким образом, 2S = 68 + 68 + 68 + … + 68 + 68 + 68. 

    Затем мы снова сталкиваемся с попыткой выяснить, сколько этих сумм. Но мы начали с шестидесяти семи номеров, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68-х. Таким образом, 2S = 67 × 68, или S = ​​67 × 34 = 2278,

    .

    Есть какие-нибудь предположения относительно общей закономерности?

    Обобщение

    Думаю, у нас должно быть достаточно информации, чтобы найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится.Давайте посмотрим, что у нас есть, чтобы увидеть, можем ли мы сделать предположение, догадку о том, что происходит на самом деле.

     Мы начали с                  n = 10 и получили S = ​​10 × 11 ÷ 2;

    затем                                   n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

    затем                                  n = 67 дало нам S = 67 × 68 ÷ 2.

     Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2.Итак, у нас есть

      Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равна S = (n x (n +1)) / 2. 

     Можем ли мы это оправдать, доказать?

     Пусть S будет суммой чисел от 1 до n, каким бы ни было n.

     Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n – 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

     Проверенным методом получаем 

     S = 1 +      2     +     3     + … + (n – 2) + (n – 1) + n.

    S = n + (n – 1) + (n – 2) + … +     3      +     2     + 1.

     Итак, делая то, что сейчас естественно, мы получаем

     2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

    Поскольку изначально было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак,

    2S = n × (n + 1).

    Таким образом, S = (n x (n+1))/2, 

    Похоже, мы разобрались с догадкой. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

     (i)      Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

    (ii)     Конечно, S должно быть целым числом, так как мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все испортить?

    (iii)    Что эта формула говорит словами?

     Ещё немного

    Но вам не обязательно складывать только первые несколько чисел. Предположим, что мы хотели сложить все числа от 8 до 93.Как мы могли это сделать?

    Мне кажется, что мы могли бы сделать это как минимум тремя способами, но я не буду возиться с тем, где вы складываете числа вместе по одному.

    Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы делали в других примерах. Я оставлю вас сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите.

    Метод 2: С другой стороны, мы могли бы сначала прибавить 1 к 7, а затем 1 к 93, используя нашу формулу.Тогда мы могли бы вычесть меньшее из большего. Вот так:

    В 1 + 2 + … + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел равна (7 x 8)/2 = 28.  

    В 1 + 2 + … + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел равна (93 x 94)/2 = 4371. 

    Таким образом, нам нужна сумма 4371 – 28 = 4343.

     Возможно, вы захотите подумать над следующими вопросами, прежде чем продолжить.

    (iv)    Существует ли формула для суммы чисел от любого выбранного вами числа (например, 8) до любого другого выбранного вами числа (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

    (v)     Видите, как мы постепенно усложняем ситуацию? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

    (vi)    В свете мыслей в (v), куда нам следует двигаться дальше? Каков следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пытались перейти от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были одним. Можем ли мы добиться какого-либо прогресса, если шаги больше, чем один?

    (vii)   В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не являются простым сложением первых стольких чисел? Какой может быть эта формула на словах?

    Семинар

    Вам снова придется думать о том, как лучше представить этот материал для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

     Настройте их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса.Пусть они поработают над этим некоторое время. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в уме. Это должно привести к поиску закономерностей в числах от 1 до 100, которые могли бы облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 99 и так далее. Обычно они не задумываются о том, чтобы сложить вместе два лота по S сумм. Но вы можете быстро складывать числа от 1 до 100 и другим способом.

     Попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им прибавить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

     Тогда они должны думать, что ты знаешь, чего они не знают? Предложите им сделать несколько примеров и попросите их предположить, что это за закономерность.

     В зависимости от того, насколько хорошо идут дела, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, где общая разность не равна 1 (см. раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже сделать доказательство.

     Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его важности на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем в ссылке, которую я дал выше.Немного истории никогда не сбивается с пути.

    Ответы на некоторые вопросы

    В этом разделе мы завершаем работу, которую мы проделали в разделах со 2 по 6. Конечно, насколько далеко вы продвинетесь с этой задачей, будет зависеть от алгебраической уверенности ваших сотрудников, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если считаете, что она зайдет. как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение за вами, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

     Сейчас я попытаюсь найти формулу суммы строки чисел, в которой шаг от одного числа к другому всегда одинаков. Я сделаю два примера, а затем решу задачу в целом.

      Первый пример: Сложите числа 2 + 4 + 6 + … + 64 + 66 + 68.

     Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это одно, как и деление всех чисел в сумме на 2 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад».Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед и назад имеем

    .

     S =   2 +   4 +   6 + … + 64 + 66 + 68.

    S = 68 + 66 + 64 + … +   6 +   4 +   2.

     Это означает, что 2S = 70 + 70 + 70 + … + 70 + 70 + 70.

     Единственная проблема сейчас в том, сколько терминов существует? Ну, если бы мы разделили все исходные числа на 2, у нас было бы 1 + 2 + 3 + … + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, в S должно быть 34 члена. Таким образом, 2S = 34. × 70 и S = ​​(34 х 70)/2 = 1190.

    Вы можете проверить это одним из других способов, но он немного похож на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

    Второй пример: Сложите числа 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

    Мы можем сделать это несколькими способами. Прямое сложение — это одно, как и деление всех чисел в сумме на 3 по известной нам формуле. Тем не менее, я возвращаюсь к проверенному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем.Итак, вперед и назад имеем

    .

    S = 9 + 12 + 15 + … + 54 + 57 + 60.

    S = 60 + 57 + 54 + … + 15 + 12 +   9.

    Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 + … + 69 + 69 + 69.

     Единственная проблема сейчас в том, сколько терминов существует? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, то получили бы 3 + 4 + 5 + … + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 – 2 = 18 терминов, в S должно быть 18 терминов. Таким образом, 2S = 18 × 69 и S = ​​(18 × 69)/2 = 621,

    .

     Вы можете проверить это одним из других способов.Есть ли здесь закономерность? Эти слова кажутся знакомыми?

      Общий пример: Прежде всего, можем ли мы угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и где-то заканчиваются, но где шаг между числами всегда одинаков. Можем ли мы, исходя из имеющейся у нас информации, угадать, какой может быть формула, прежде чем мы продираемся сквозь алгебраическую путаницу, с которой нам придется столкнуться, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы перемножаем вместе, чтобы получить S?

     Ну, мы знаем, что когда мы прибавляли от 1 к n, числа были n и n + 1.Когда мы прибавили от 2 к 68, получилось 34 и 70; когда мы добавили от 9 до 60, они были 18 и 69.

     Очевидно, что в каждом случае большее число является общей суммой, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа являются просто суммой наименьшего и наибольшего чисел.

     А как насчет 34 и 18? И как они соотносятся с n, полученным при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве они не просто количество чисел, которые мы добавляем? Значит ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе?

      Гипотеза 2: Если S является суммой любой из этих строк, где есть общее различие, S = ( (количество терминов)(сумма первого и последнего чисел))/2

     Проверьте формулу для некоторых других наборов чисел, которые где-то начинаются и увеличиваются на постоянную величину.Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

     На данном этапе у нас есть предположение, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает для множества примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для любого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И мы сначала покажем это методом слов, а потом посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

     Предположим, что набор чисел представляет собой некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разность, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

     Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

     S = первое число +    второе число     + … + предпоследнее число + последнее число

    S = последнее число  + предпоследнее число + … +    второе  число    + первое число.

     Теперь первое число + последнее число = второе число + предпоследнее число. Это потому, что мы идем вверх по общей разнице, идущей от первого числа ко второму числу, и вниз по общей разнице, идущей от последнего числа к предпоследнему числу.Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак,

     2S = (первый номер + последний номер) + (первый номер + последний номер) + … + (первый номер + последний номер) + (первый номер + последний номер).

     Но в скобках есть одна из сумм для каждого члена исходной суммы. Таким образом, 2S = (количество терминов)(первое число + последнее число), и, следовательно, S = (количество терминов)(первое число + последнее число) ÷ 2,

    .

     Это то, о чем мы догадывались выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, которые растут одинаковыми шагами.Эти наборы называются Арифметические прогрессии .

     Между прочим, математики работали во многом так же, как мы, до изобретения алгебры. Даже в работах Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это не так уж плохо, но может стать очень громоздким. Появление алгебры значительно улучшило математическую жизнь.

     Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член равен а, общая разность равна d, а количество членов равно n.Затем

     S =  a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n – 3)d] + [a + (n – 2)d] + [a + (n – 1)d ]

    S = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 1)d] + [a + (n – 1)d] + …+ (a + 2d) + (a + d) +

     Так 2S = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + … + [2a + (n – 1)d] + [2а + (n – 1)d] + [2а + (n – 1)d]

    или S = ​​n[2a + (n – 1)d] ÷ 2.

     Преимущество этого метода заключается в том, что легче увидеть, что сумма каждой пары соответствующих терминов одинакова.Другой заключается в том, что он записывает ответ с точки зрения первого термина, количества терминов и общей разницы. Единственным недостатком, по-видимому, является то, что он скрывает тот факт, что формула включает «первое число плюс последнее число», записывая это выражение как [2a + (n – 1)d]. И форма, которую мы записали в Гипотезе 2, легче запомнить.

    Глоссарий по математике: Математические термины и определения

    Это глоссарий общих математических терминов, используемых в арифметике, геометрии, алгебре и статистике.

    Abacus : ранний счетный инструмент, используемый для базовой арифметики.

    Абсолютное значение : Всегда положительное число, абсолютное значение относится к расстоянию числа от 0.

    Острый угол : Угол, градусная мера которого составляет от 0° до 90° или меньше 90° в радианах.

    Addend : Число, связанное с проблемой сложения; добавляемые числа называются слагаемыми.

    Алгебра : Раздел математики, в котором числа заменяются буквами для нахождения неизвестных значений.

    Алгоритм : Процедура или набор шагов, используемых для решения математических вычислений.

    Угол : Два луча имеют одну и ту же конечную точку (называемую вершиной угла).

    Биссектриса угла : Линия, делящая угол на два равных угла.

    Площадь : Двухмерное пространство, занимаемое объектом или формой, выраженное в квадратных единицах.

    Массив : Набор чисел или объектов, которые следуют определенному шаблону.

    Атрибут : Характеристика или характеристика объекта, например размер, форма, цвет и т. д., позволяющая группировать его.

    Среднее : Среднее равно среднему. Сложите ряд чисел и разделите сумму на общее количество значений, чтобы найти среднее значение.

    База : Нижняя часть фигуры или трехмерного объекта, на которую опирается объект.

    База 10 : Система счисления, которая присваивает разрядное значение числам.

    Гистограмма : График, который представляет данные визуально, используя столбцы разной высоты или длины.

    BEDMAS или PEMDAS Определение: Аббревиатура, используемая для того, чтобы помочь людям запомнить правильный порядок операций при решении алгебраических уравнений. BEDMAS означает «скобки, показатели степени, деление, умножение, сложение и вычитание», а PEMDAS означает «скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание».

    Кривая колокола : Форма колокола, созданная при построении линии с использованием точек данных для элемента, который соответствует критериям нормального распределения.Центр кривой нормального распределения содержит точки с наивысшим значением.

    Биномиальное : Полиномиальное уравнение с двумя членами, обычно соединенными знаком плюс или минус.

    Box and Whisker Plot/Chart : Графическое представление данных, которое показывает различия в распределениях и отображает диапазоны наборов данных.

    Исчисление : раздел математики, включающий производные и интегралы. Исчисление — это изучение движения, в котором изучаются изменяющиеся значения.

    Вместимость : Объем вещества, который может вместить контейнер.

    Сантиметр : Метрическая единица измерения длины, сокращенно см. 2,5 см примерно равны дюйму.

    Окружность : Полное расстояние по кругу или квадрату.

    Хорда : сегмент, соединяющий две точки окружности.

    Коэффициент : Буква или цифра, обозначающая числовую величину, прикрепленную к термину (обычно в начале).Например, x — это коэффициент в выражении x (a + b), а 3 — это коэффициент в члене 3 y.

    Общие множители : Множитель, общий для двух или более чисел, общие множители — это числа, которые делятся точно на два разных числа.

    Дополнительные углы: Два угла, которые вместе равны 90°.

    Составное число : положительное целое число, имеющее по крайней мере один фактор помимо собственного.Составные числа не могут быть простыми, потому что их можно точно разделить.

    Конус : Трехмерная форма только с одной вершиной и круглым основанием.

    Коническое сечение : Сечение, образованное пересечением плоскости и конуса.

    Константа : значение, которое не изменяется.

    Координата : упорядоченная пара, которая дает точное местоположение или положение на координатной плоскости.

    Конгруэнтность : Предметы и фигуры одинакового размера и формы.Конгруэнтные формы можно превратить друг в друга с помощью переворота, вращения или поворота.

    Косинус : В прямоугольном треугольнике косинусом называется отношение длины стороны, примыкающей к острому углу, к длине гипотенузы.

    Цилиндр : трехмерная форма с двумя круглыми основаниями, соединенными изогнутой трубкой.

    Decagon : многоугольник/форма с десятью углами и десятью прямыми линиями.

    Десятичный : действительное число в стандартной десятичной системе счисления.

    Знаменатель : Нижнее число дроби. Знаменатель – это общее количество равных частей, на которые делится числитель.

    Градус : Единица измерения угла, представленная символом °.

    Диагональ : сегмент линии, соединяющий две вершины многоугольника.

    Диаметр : Линия, проходящая через центр круга и делящая его пополам.

    Разница : Разница — это ответ на задачу на вычитание, в которой одно число вычитается из другого.

    Цифра : Цифры – это цифры от 0 до 9, встречающиеся во всех числах. 176 — это трехзначное число, состоящее из цифр 1, 7 и 6.

    Дивиденд : число, разделенное на равные части (внутри скобок в длинном делении).

    Делитель : число, которое делит другое число на равные части (вне скобок в длинном делении).

    Край : Линия — это место, где встречаются две грани в трехмерной структуре.

    Эллипс : Эллипс выглядит как слегка сплющенный круг и также известен как плоская кривая. Планетарные орбиты имеют форму эллипсов.

    End Point : «Точка», в которой заканчивается линия или кривая.

    Равносторонний : Термин, используемый для описания фигуры, все стороны которой имеют одинаковую длину.

    Уравнение : оператор, который показывает равенство двух выражений путем соединения их знаком равенства.

    Четное число : Число, которое можно разделить или делится на 2.

    Событие : этот термин часто относится к результату вероятности; это может ответить на вопрос о вероятности того, что один сценарий произойдет вместо другого.

    Оценить : Это слово означает «вычислять числовое значение».

    Показатель степени : число, обозначающее многократное умножение термина, показанное в виде надстрочного индекса над этим термином.Показатель степени 3 4 равен 4.

    Выражения : Символы, представляющие числа или операции между числами.

    Face : Плоские поверхности трехмерного объекта.

    Коэффициент : число, которое точно делится на другое число. Делители 10 равны 1, 2, 5 и 10 (1 х 10, 2 х 5, 5 х 2, 10 х 1).

    Факторинг : Процесс разложения чисел на все их множители.

    Факторная запись : Часто используемая в комбинаторике, факториальная запись требует, чтобы вы умножали число на каждое меньшее число.В факториальной записи используется символ ! Когда вы видите x !, нужен факториал x .

    Факторное дерево : Графическое представление, показывающее факторы определенного числа.

    Последовательность Фибоначчи : Последовательность, начинающаяся с 0 и 1, в которой каждое число является суммой двух предшествующих ему чисел. «0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…» — это последовательность Фибоначчи.

    Рисунок : Двумерные фигуры.

    Конечный : Не бесконечный; имеет конец.

    Flip : Отражение или зеркальное отображение двумерной формы.

    Формула : Правило, численно описывающее взаимосвязь между двумя или более переменными.

    Дробь : Нецелая величина, содержащая числитель и знаменатель. Дробь, представляющая половину 1, записывается как 1/2.

    Частота : количество раз, когда событие может произойти за определенный период времени; часто используется в расчетах вероятностей.

    Furlong : Единица измерения, соответствующая длине стороны одного квадратного акра. Один фарлонг составляет примерно 1/8 мили, 201,17 метра или 220 ярдов.

    Геометрия : Изучение линий, углов, форм и их свойств. Геометрия изучает физические формы и размеры объектов.

    Graphing Calculator : Калькулятор с расширенным экраном, способным отображать и рисовать графики и выполнять другие функции.

    Теория графов : раздел математики, посвященный свойствам графов.

    Наибольший общий делитель : наибольшее число, общее для каждого набора делителей, которое точно делит оба числа. Наибольший общий делитель 10 и 20 равен 10.

    Шестиугольник : Многоугольник с шестью сторонами и шестью углами.

    Гистограмма : график, на котором используются столбцы, равные диапазонам значений.

    Гипербола : тип конического сечения или симметричной открытой кривой. Гипербола — это множество всех точек плоскости, разность расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости является положительной постоянной.

    Гипотенуза : Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, всегда противоположная самому прямому углу.

    Identity : Уравнение, верное для переменных любого значения.

    Неправильная дробь : Дробь, знаменатель которой больше или равен числителю, например 6/4.

    Неравенство : Математическое уравнение, выражающее неравенство и содержащее знак больше (>), меньше (<) или не равно (≠).

    Целые числа : все целые числа, положительные или отрицательные, включая ноль.

    Иррациональное : число, которое не может быть представлено в виде десятичной или дробной части. Число, подобное пи, иррационально, потому что оно содержит бесконечное количество повторяющихся цифр. Многие квадратные корни также являются иррациональными числами.

    Равнобедренный : Многоугольник с двумя сторонами одинаковой длины.

    Километр : Единица измерения, равная 1000 метрам.

    Узел : Замкнутый трехмерный круг, который встроен и не может быть распутан.

    Похожие термины : термины с одной и той же переменной и одинаковыми показателями/степенями.

    Как дроби : Дроби с одинаковым знаменателем.

    Линия : прямой бесконечный путь, соединяющий бесконечное количество точек в обоих направлениях.

    Отрезок линии : прямой путь с двумя конечными точками, началом и концом.

    Линейное уравнение : Уравнение, содержащее две переменные и отображаемое на графике в виде прямой линии.

    Линия симметрии : Линия, которая делит фигуру на две равные части.

    Логика : Здравое рассуждение и формальные законы рассуждения.

    Логарифм : Степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Если n x = a , логарифм a с основанием n равен x .Логарифм противоположен возведению в степень.

    Среднее : Среднее совпадает со средним. Сложите ряд чисел и разделите сумму на общее количество значений, чтобы найти среднее значение.

    Медиана : Медиана — это «среднее значение» в ряду чисел, упорядоченных от меньшего к большему. Когда общее количество значений в списке нечетное, медианой является средняя запись. Когда общее количество значений в списке четное, медиана равна сумме двух средних чисел, деленной на два.

    Середина : Точка, которая находится ровно посередине между двумя точками.

    Смешанные числа : Смешанные числа относятся к целым числам в сочетании с дробями или десятичными знаками. Пример 3 1 / 2 или 3,5.

    Режим : режим в списке чисел — это значения, которые встречаются чаще всего.

    Модульная арифметика : Система арифметики для целых чисел, в которой числа «зацикливаются» при достижении определенного значения модуля.

    Monomial : Алгебраическое выражение, состоящее из одного термина.

    Кратность : Кратность числа — это произведение этого числа на любое другое целое число. 2, 4, 6 и 8 кратны 2.

    Умножение : Умножение – это многократное сложение одного и того же числа, обозначенного символом x. 4 х 3 равно 3 + 3 + 3 + 3.

    Множимое : Количество, умноженное на другое. Произведение получается путем умножения двух или более множимых.

    Натуральные числа : Обычные счетные числа.

    Отрицательное число : число меньше нуля, обозначаемое символом -. Минус 3 = -3.

    Сеть : двухмерная форма, которую можно превратить в двухмерный объект путем склеивания/склеивания и складывания.

    N-й корень : n -й корень числа показывает, сколько раз нужно умножить число само на себя, чтобы получить заданное значение.Пример: 4-й корень из 3 равен 81, потому что 3 х 3 х 3 х 3 = 81.

    Норма : Среднее значение; установленный образец или форма.

    Нормальное распределение : Также известное как распределение Гаусса, нормальное распределение относится к распределению вероятностей, которое отражается через среднее значение или центр кривой нормального распределения.

    Числитель : первое число в дроби. Числитель делится на равные части знаменателем.

    Числовая линия : линия, точки которой соответствуют числам.

    Числовое значение : письменный символ, обозначающий числовое значение.

    Тупой угол : Угол, измеряемый от 90° до 180°.

    Тупоугольный треугольник : Треугольник, у которого есть хотя бы один тупой угол.

    Octagon : многоугольник с восемью сторонами.

    Шансы : Отношение/вероятность вероятностного события. Вероятность того, что монета подбросит и она упадет орлом, составляет один к двум.

    Нечетное число : Целое число, которое не делится на 2.

    Операция : Относится к сложению, вычитанию, умножению или делению.

    Порядковый номер : Порядковые номера указывают относительное положение в наборе: первое, второе, третье и т. д.

    Порядок операций : Набор правил, используемых для решения математических задач в правильном порядке. Это часто вспоминают с аббревиатурами BEDMAS и PEMDAS.

    Исход : Используется в вероятности для обозначения результата события.

    Параллелограмм : Четырехугольник с двумя наборами противоположных сторон, которые параллельны.

    Парабола : незамкнутая кривая, точки которой равноудалены от фиксированной точки, называемой фокусом, и фиксированной прямой линии, называемой директрисой.

    Pentagon : Многоугольник с пятью сторонами. Правильные пятиугольники имеют пять равных сторон и пять равных углов.

    Процент : Отношение или дробь со знаменателем 100.

    Периметр : Общее расстояние вокруг внешней стороны многоугольника. Это расстояние получается путем сложения единиц измерения с каждой стороны.

    Перпендикуляр : две линии или отрезки, пересекающиеся и образующие прямой угол.

    Пи : Пи используется для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, обозначаемого греческим символом π.

    Плоскость : когда набор точек соединяются вместе, образуя плоскую поверхность, простирающуюся во всех направлениях, это называется плоскостью.

    Многочлен : Сумма двух или более мономов.

    Многоугольник : сегменты линий, соединенные вместе, образуют замкнутую фигуру.Прямоугольники, квадраты и пятиугольники — это лишь несколько примеров многоугольников.

    Простые числа : Простые числа — это целые числа больше 1, которые делятся только на себя и на 1.

    Вероятность : Вероятность события.

    Продукт : Сумма, полученная путем умножения двух или более чисел.

    Правильная дробь : Дробь, знаменатель которой больше числителя.

    Транспортир : Полукруглое устройство, используемое для измерения углов.Ребро транспортира делится на градусы.

    Квадрант : одна четверть ( qua ) плоскости в декартовой системе координат. Плоскость разделена на 4 секции, каждая из которых называется квадрантом.

    Квадратное уравнение : Уравнение, в котором одна сторона может быть равна 0. Квадратные уравнения просят вас найти квадратный многочлен, равный нулю.

    Четырехугольник : Четырехсторонний многоугольник.

    Четверной : Умножить или умножить на 4.

    Качественный : Свойства, которые должны быть описаны с использованием качеств, а не чисел.

    Quartic : многочлен степени 4.

    Quintic : многочлен степени 5.

    Частное : Решение задачи на деление.

    Радиус : расстояние, определяемое путем измерения отрезка, проходящего от центра круга до любой точки круга; линия, идущая от центра сферы к любой точке внешнего края сферы.

    Соотношение : отношение между двумя величинами. Соотношения могут быть выражены словами, дробями, десятичными знаками или процентами. Пример: коэффициент, указанный, когда команда выигрывает 4 из 6 игр, составляет 4/6, 4:6, четыре из шести или ~67%.

    Ray : Прямая линия с одной конечной точкой, которая продолжается бесконечно.

    Диапазон : разница между максимальным и минимальным значением в наборе данных.

    Прямоугольник : Параллелограмм с четырьмя прямыми углами.

    Повторяющееся десятичное число : Десятичное число с бесконечно повторяющимися цифрами. Пример: 88 разделить на 33 равно 2,6666666666666… ​​(«2,6 повторений»).

    Отражение : Зеркальное отображение формы или объекта, полученное путем отражения формы по оси.

    Остаток : Число, оставшееся, когда количество не может быть разделено поровну. Остаток может быть выражен целым числом, дробью или десятичной дробью.

    Прямой угол : Угол, равный 90°.

    Прямоугольный треугольник : Треугольник с одним прямым углом.

    Ромб : параллелограмм с четырьмя сторонами одинаковой длины и без прямых углов.

    Разносторонний треугольник : Треугольник с тремя неравными сторонами.

    Сектор : область между дугой и двумя радиусами окружности, иногда называемая клином.

    Наклон : Наклон показывает крутизну или наклон линии и определяется путем сравнения положения двух точек на линии (обычно на графике).

    Квадратный корень : число, возведенное в квадрат, умножается само на себя; квадратный корень числа — это любое целое число, которое дает исходное число при умножении на себя. Например, 12 x 12 или 12 в квадрате равно 144, поэтому квадратный корень из 144 равен 12.

    Stem and Leaf : Графический органайзер, используемый для организации и сравнения данных. Подобно гистограмме, графы ствола и листа организуют интервалы или группы данных.

    Вычитание : Операция нахождения разницы между двумя числами или количествами путем «отнятия» одного от другого.

    Дополнительные углы : Два угла являются дополнительными, если их сумма равна 180°.

    Симметрия : две половинки, идеально совпадающие и идентичные по оси.

    Касательная : Прямая линия, касающаяся кривой только в одной точке.

    Термин : Часть алгебраического уравнения; номер в последовательности или серии; произведение действительных чисел и/или переменных.

    Мозаика : Конгруэнтные плоские фигуры/формы, которые полностью покрывают плоскость, не накладываясь друг на друга.

    Перемещение : Перемещение, также называемое скольжением, представляет собой геометрическое движение, при котором фигура или фигура перемещается из каждой из своих точек на одинаковое расстояние и в одном направлении.

    Поперечное : Линия, которая пересекает/пересекает две или более линий.

    Трапеция : Четырехугольник с ровно двумя параллельными сторонами.

    Древовидная диаграмма  : Используется в вероятности для отображения всех возможных исходов или комбинаций события.

    Треугольник : Трехсторонний многоугольник.

    Трехчлен : Многочлен с тремя членами.

    Единица измерения : стандартная величина, используемая при измерении. Дюймы и сантиметры — единицы длины, фунты и килограммы — единицы веса, а квадратные метры и акры — единицы площади.

    Униформа : Термин, означающий «все одинаковые». Униформа может использоваться для описания размера, текстуры, цвета, дизайна и многого другого.

    Переменная : буква, используемая для представления числового значения в уравнениях и выражениях.Пример: в выражении 3 x + y переменными являются как y , так и x .

    Диаграмма Венна : Диаграмма Венна обычно изображается в виде двух перекрывающихся кругов и используется для сравнения двух наборов. Перекрывающаяся часть содержит информацию, которая верна для обеих сторон или наборов, а каждая неперекрывающаяся часть представляет собой набор и содержит информацию, которая верна только для их набора.

    Volume : Единица измерения, описывающая, сколько места занимает вещество или вместимость контейнера, выраженная в кубических единицах.

    Вершина : Точка пересечения двух или более лучей, часто называемая углом. Вершина — это место, где встречаются двумерные стороны или трехмерные ребра.

    Вес : Мера того, насколько что-то тяжело.

    Целое число : Целое число является положительным целым числом.

    X-Axis : Горизонтальная ось в координатной плоскости.

    X-Intercept : значение x, при котором линия или кривая пересекает ось x.

    X : римская цифра 10.

    x : Символ, используемый для представления неизвестной величины в уравнении или выражении.

    Ось Y : Вертикальная ось в координатной плоскости.

    Y-Intercept : значение y, где линия или кривая пересекает ось y.

    Ярд : единица измерения, равная примерно 91,5 сантиметрам или 3 футам.

    больше или равно

    Символ больше или равен используется для обозначения неравенства в математике.Он говорит нам, что данная переменная больше или равна определенному значению. Например, если задано x ≥ 3, это означает, что x больше или равно 3. Он определяет диапазон значений, которые может принимать x, начиная с 3 и до бесконечности.

    Что больше или равно?

    «Больше или равно», как следует из названия, означает, что переменная больше или равна определенному значению. Термин «больше чем» используется для выражения того, что одна величина больше другой величины.Термин «равно» используется для выражения того, что две величины равны. Когда эти термины объединяются друг с другом, они образуют новый термин, который больше или равен , и этот термин используется, чтобы показать, что предел количества или суммы может быть равен или больше заданного предела.

    Например, чтобы человек был избран президентом, ему должно быть не менее 35 лет. Это означает, что возраст человека должен быть больше или равен 35 годам.

    Больше или равно символу

    Символ «Больше или равно» используется в линейных неравенствах, когда мы не знаем, больше или равно значение переменной определенному значению. Это выражается символом ‘≥’ . Этот символ представляет собой символ «больше чем» (>) со спальной чертой под ним. Спящая линия под знаком «больше» означает «равно».

    Вот несколько примеров для «Больше или равно».

    • x ≥ 100 означает, что значение x должно быть больше или равно 100.
    • a ≥ — 2 означает, что значение ‘a’ должно быть больше или равно -2.

    Больше или равно применению

    Символ «больше или равно» используется в математике для выражения связи между двумя выражениями. В следующей таблице показано, где и как используется символ «больше или равно», а также примеры и значения.

    Символ Пример Значение
    Больше или равно, ≥

    х ≥ 2

    2 ≥ х ≥ −1

    Значение x больше или равно 2.

    Значение x находится в диапазоне от -1 до 2, включая оба значения.

    ☛Статьи по теме

    Ознакомьтесь с важными темами, приведенными ниже, чтобы узнать больше о большем или равном и связанных с ним темах.

    Часто задаваемые вопросы о большем или равном

    Что больше или равно в математике?

    Больше или равно, как следует из названия, означает, что что-то либо больше, либо равно некоторому количеству. Больше или равно представлено символом «≥». Например, x ≥ −2 означает, что значение x больше или равно -2.

    Что такое символ больше или равно?

    Символ «больше или равно» выглядит как «≥».Открытая сторона символа должна быть перед большим значением. Строка под символом показывает, что значение может быть больше или равно пределу. Например, x ≥ 5.
    Здесь значение x должно быть равно или больше 5.

    Как объяснить больше или равно?

    Больше или равно — это нечто большее или равное заданной величине. Например, если флорист зарабатывает 5 долларов или больше 5 долларов в день, то это может быть как 5 долларов, так и больше 5 долларов.Теперь, если мы предположим, что заработок равен х, то это можно выразить как х ≥ 5 долларов.

    В чем разница между больше и больше или равно?

    Символ «больше» записывается как >, тогда как знак «больше или равно» представляется как ≥. «Больше чем» означает, что некоторая переменная или число может иметь любое значение, превышающее заданный предел. Принимая во внимание, что больше или равно указывает, что число или переменная может быть больше или равно заданному пределу.

    В чем разница между больше или равно и меньше или равно?

    Знак «больше или равно» говорит о том, что сумма больше или равна минимальному пределу, тогда как знак «меньше или равно» прямо противоположен знаку «больше и равно». Меньше или равно означает, что сумма равна или меньше максимального предела.

    В чем разница между больше или равно и равно?

    Символ «Больше или равно» ( ≥) означает, что значение больше или равно заданному пределу; тогда как равенство (=) означает, что количество фиксировано.Оно не меньше и не больше заданного значения, оно в точности равно значению.

    4 больше или равно 3?

    Нет, мы не можем сказать, что 4 больше или равно 3. Потому что 4 больше 3 и не равно 3. Таким образом, правильным предложением будет 4 больше 3.

    Какая польза от больше или равно?

    Больше или равно используется, чтобы показать, что одна переменная больше или равна заданной величине. Например, если у компании есть политика запуска продукта либо по той же цене, либо по более высокой, чем старая цена.Можно сказать, что цена нового продукта больше или равна старой цене.

    .

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.