Пример столбиком умножение: Онлайн калькулятор. Умножение столбиком.

Содержание

Умножение в столбик — ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ

Описание

Примеры на умножение в столбик решать просто. Но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

Программа представляет собой тренажер для счета. Она имеет внутренние настройки, изменяя которые можно создать примеры для детей разного возраста и уровня подготовки: на однозначное , двузначное  или трехзначное число.

Поэтому программа будет полезна как для учеников начальной школы 3-4 классов, так и для более старших классов.

Программа счета написана в Excel с помощью макросов. Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. При записи примеров разряды чисел формируются друг под другом, что позволяет легко ориентироваться в примерах. В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

Генератор примеров по математике будет очень удобен как для родителей, так и для учителей: не нужно заранее покупать задачники и пособия по математике с примерами. Можно скачать файл и сгенерировать карточки в любое время независимо от подключения к интернету и распечатать.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

 Также есть программы, в которых можно выбрать уровень сложности. В них можно начать с решения легких примеров, а затем перейти к более сложным.

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

 

Как умножать в столбик | BeginPC.ru

Все мы изучали в школе методы выполнения арифметических операций над числами. Чтобы облегчить процесс счета и ускорить его в разные времена для этого применялись различные устройства. Старшее поколение возможно еще помнит счеты и логарифмическую линейку, в то время как молодым известен только электронный калькулятор в различных его проявлениях.

Тем не менее, есть еще один универсальный способ выполнения арифметических операций без использования вспомогательных устройств известный всем с детства, это выполнения операций в столбик на листе бумаги. Мы уже рассматривали ранее сложение, вычитание и деление, а сейчас давай освежим нашу память и вспомним, как выполняется умножение в столбик.

Чтобы перемножить два числа в столбик (например 381 на 29), их нужно записать одно под другим, удобнее большее число располагается над меньшим. Кроме того необходимо разместить числа так, чтобы их разряды оказались друг над другом, то есть единицы над единицами, десятки над десятками, сотни над сотнями и так далее. Все точно также как и в случае сложения в столбик. После этого проводим под ними горизонтальную черту и пишем слева от них знак умножения «×».

Подготовительные операции выполнены, теперь переходим непосредственно к процессу перемножения. Счет идет справа налево, берем разряд единиц двух множителей в данном примере 1 и 9 и перемножаем их воспользовавшись знанием таблицы умножения. У нас получается 9, поскольку получившееся число меньше 10, то оно просто записывается под чертой в разряде единиц.

Теперь нам нужно перемножить цифру из разряда единиц нижнего числа на цифру из разряда десятков верхнего, то есть 9 на 8. В результате получается число 72, но поскольку оно больше 9, то оно разбивается на две части. Разряд единиц записывается под чертой левее ранее записанной цифры, то есть в разряде десятков, а 7 пишем над нашим столбиком, но со смещением на одну позицию вправо, над сотнями.

Следующим шагом нужно перемножить разряд единиц нижнего числа с разрядом сотен верхнего 9 на 3. Таблица умножения подсказывает, что в результате получится 27, но наверху над сотнями у нас еще записана цифра 7, значит ее нужно прибавить к 27 и в результате получится 34. Снова результат получился больше 9, значит записываем 4 под чертой в разряде сотен, но поскольку больше цифр в верхнем числе нет, то записываем 3 под чертой со смещение на одну позицию влево.

Половину дела мы сделали, перемножили 9 из нижнего множителя со всеми цифрами из верхнего. Теперь нужно сделать то же самое со второй цифрой из нижнего числа. Для этого считаем 2×1=2. Результат меньше 9, значит просто записываем его под чертой в столбце десятков, но уже на строчку ниже.

Следуя алгоритму, находим произведение чисел 2 и 8, в результате получается 16. Поскольку он больше 9, то он разбивается на две части, 6 записываем в столбце сотен под чертой, а 1 наверху столбика. Поскольку там уже есть 7 от предыдущего шага вычислений, то зачеркиваем ее, чтобы не запутаться.

Остался последний шаг, вычисляем 2×3=6 и наверху есть цифра 1, значит 6+1=7. Поскольку 7 меньше 10, то записываем ее под чертой левее предыдущей. В итоге под чертой у нас оказались два числа, как результат выполнения следующих операций 381×9=3427 и 381×2=762. Остался сущий пустяк, сложить эти два числа между собой способом сложения в столбик. Единственное что нужно отметить это то, что в позиции ниже 9 и правее 2 находится 0, который мы не записали.

В результате мы нашли произведение двух чисел методом умножения в столбик и получили результат 11049. Кажется все очень сложно, но на самом деле долго объяснять, а когда дело доходит до практических вычислений все оказывается довольно быстро.

Фактически данный способ сводится к разбиению одного из множителей на составляющие его цифры, перемножение этих чисел с другим множителем и умножении получившегося числа на соответствующий разряд, а затем сложение получившихся чисел.

Предыдущий пример выглядит следующим образом, 9×381=3429 и поскольку 9 из разряда единиц, то 3429×1=3429. Идем дальше 2×381=762, поскольку 2 это десятки, то 762×10=7620. Осталось сложить 3429+7620=11049. Таким образом 29×381=11049.

С тем же успехом можно было сделать наоборот, 1×29×1=29, 8×29×10=2320, 3×29×100=8700. Теперь считаем 29+2320+8700=11049, результат тот же, надеюсь это никого не удивляет.

Умение выполнять арифметические операции без помощи калькулятора может сослужить хорошую службу даже в наш век повсеместного использования компьютеров. Впрочем, пересчитывать единицы информации все таки гораздо проще в онлайн-конвертере.

Как умножают в столбик в разных странах

Начало тут


Рабочая тетрадь по-индийски

Если присмотреться — понятно, что в клеточках тот же наш столбик,
только то, что у нас «в уме» — записывается рядом, через косую черту. Не запутаешься.

В примере справа аналогия еще более очевидна,
кст израильские школьники умножают именно так —
строчки в обратно порядке по сравнению с нашим способом
(и то что «в уме» тоже записывают явно, дополнительной строкой).

Индийская система — похоже, что самая удобная,
в итоговой табличке между косыми направляющими числа группируются по разрядам и
удобно складываются все разом — десятки с десятками, сотни с сотнями,
ничего не потеряется при переходе через разряд.

Латиноамериканское умножение на тот же манер

В чертеже справа, развернутом на уголок, просматривается определенное сходство с
японо-китайской системой из предыдущего поста:

Как вообще получается, что счет на пересекающихся линиях дает верный результат?

Умножим 34 х 25 по-китайски и обычным способом(только запишем промежуточный результат
по-индийски, то что должно быть «в уме» — через косую черту)

Из сопоставления примеров можно убедиться,
что метод «на палочках» — не какой-то магический трюк, а графическое представление
того же поразрядого умножения в столбик.

(Это по поводу вчерашнего — на «Малышах» разместила «2х2 по-китайски»,
там частью даже перепугались — что, дескать, за фокус, как можно такое давать детям =)

АПД
Видео, где как раз раскрыт момент перехода к использованию таблицы умножения —


субтитры на разных языках

скептики сомневаются, работает ли метод кроме как в приделах первых трех-четырех десятков,
дескать попробуйте 72 на 89 умножить —
китаянка уверенной рукой чертит пучок линеек, и точечки — тюк-тюк-тюк,
по ходу рассказывает, что как раз тут-то детям и предлагают не пересчитывать,
а воспользоваться табличным значением для 8х7 и тд:
восемь рядов по семь, семь столбцов по девять.

Офф — помню еще когда в бухгалтериях пользовались счетами. Была одна дама — умножала на костяшках с пулеметной скоростью, туда-сюда, щелк-щелк.
так что и китайцам не удивляюсь, наловчились и считают, быстрей, чем мы в столбик.


А еще мимоходом нашлось удивительное —
древние майя пользовались такой же схемой умножения,
как современные китайцы в начальной школе:


http://www.taringa.net

Урок 12. умножение чисел столбиком — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 12

Умножение чисел столбиком

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— умножение натуральных чисел столбиком;

— приёмы рационального вычисления многозначных чисел.

Тезаурус

Умножение- арифметическое действие повторения данного числа слагаемым столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе, множителе. Результат умножения- произведение.

Результат умножения на вторую цифру необходимо записывать под второй цифрой результата первого действия умножения.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
  2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

  1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
  2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
  3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все знакомы с таблицей умножения: её используют для умножения однозначных чисел. Следует выучить её наизусть. Кроме того, надо помнить, что для любого натурального числа а верны равенства:

а + 0 = а

а ∙ 0 = 0

а ∙ 1 = а

Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел, и тем более двух многозначных чисел, требует применения не только таблицы умножения, но и законов сложения и умножения.

Вычислим произведение 723 ∙ 5 = ?

Можно представить число 723 в виде суммы разрядных слагаемых, и каждое из этих слагаемых умножить на 5, а затем сложить полученные результаты.

723 ∙ 5 = (700 + 20 + 3) ∙ 5 = 700 ∙ 5 + 20 ∙ 5 + 3 ∙ 5 = 3500 + 100 + 15 = 3615

А можно записать вычисление значения этого выражения столбиком:

При умножении трёх на пять получаем пятнадцать. Пять записываем в разряд единиц, единицу прибавляем в разряд десятков. При умножении двух на пять получаем десять, плюс единица, которую мы запомнили, получаем в разряде десятков единицу, единицу добавляем к разряду сотен. При умножении семи на пять получим тридцать пять, плюс один – тридцать шесть. Ответ: 3615.

Рассмотрим ещё одно выражение.

329 ∙ 34 = ?

Запишем это произведение в столбик:

Сначала умножаем целиком верхнее число на последнюю цифру нижнего числа. Результат записываем под чертой под самой правой цифрой. 

Умножаем число сверху по цифре (знаку) справа налево.

329 ∙ 4 = 1316

Переходим к умножению числа 329 на 3. Умножаем по тем же правилам, что и в предыдущем вычислении.

329 ∙ 3 = 987

Результат умножения на вторую цифру необходимо записывать под второй цифрой результата первого действия умножения.

Полученные числа под чертой складываем по правилам сложения в столбик.

Рассмотрим такое выражение:

25 ∙ 589 ∙ 5 ∙ 125 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 8 = ?

Чтобы найти значение этого выражения, не обязательно перемножать все числа в столбик: достаточно воспользоваться сочетательным законом умножения. Объединим попарно некоторые множители:

(25 ∙ 4) ∙ 589 ∙ (5 ∙ 2) ∙ (125 ∙ 8) = 100 ∙ 589 ∙ 10 ∙ 10000 = 589 ∙ 10000000 = 589000000

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите: 3256 ∙ 25 = ?

Решение: вычислим данное произведение в столбик:

Ответ: 81400.

№ 2. Пете ко Дню рождения надо было купить конфет. Он купил конфеты трёх видов: «Батончики», «Мишка на севере», «Грильяж». «Батончиков» он купил 56 штук, «Мишек на севере» – в 15 раз больше, чем «Батончиков», а «Грильяжа» на 50 конфет больше, чем «Батончиков». Сколько всего конфет купил Петя?

Варианты ответы: 1020, 1002, 1000, 992.

Решение:

  1. 56 ∙ 15 = 840 (шт.) – «Мишка на севере».
  2. 56 + 50 = 106 (шт.) – «Грильяж».
  3. 56 + 840 + 106 = 1002 (шт.) – всего.

Ответ: 1002 штуки.

Деление и умножение многочленов уголком и столбиком

Теорема

Пусть Pk(x), Qn(x) – многочлены от переменной x степеней k и n, соответственно, причем k ≥ n. Тогда многочлен Pk(x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)   Pk(x) = Sk–n(x) Qn(x) + Un–1(x),
где Sk–n(x) – многочлен степени k–n, Un–1(x) – многочлен степени не выше n–1, или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где pi , qi – известные коэффициенты, si , ui – неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1)   :
;
(2)   .
Первый член в правой части – это многочлен степени k. Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1. Приравняем коэффициенты при x k:
pk = sk-n qn.
Отсюда sk-n = pk / qn.

Преобразуем уравнение (2):
.
Введем обозначение:   .
Поскольку sk-n = pk / qn, то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому   – это многочлен степени не выше k – 1,   . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)   .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена Un–1(x).

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты si , ul. Причем sk–n ≠ 0. Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Qn(x), получим:
(4)   .
По аналогии с десятичными числами, Sk–n(x) называется целой частью дроби или частным, Un–1(x) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

Деление многочленов уголком

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10. Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10. Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2, то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):


Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.


1.1   Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   .


1.2   Умножаем 2x 2 на x 2 – 3x + 5:
. Результат записываем в левый столбик:

1.3   Берем разность многочленов в левом столбике:

.


Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1   Разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   ;

2.2   Умножаем на знаменатель:   ;

2.3   И вычитаем из последней строки левого столбика:   ;

Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1   ;
3.2   ;
3.3   ;

Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2. Поэтому дробь – правильная.

Ответ

;
2x 2 – 4x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Ответ

.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

Решение

Умножаем многочлены столбиком.

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Ответ

.

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

Решение

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Умножение и деление в столбик: примеры

Математика сродни головоломкам. Особенно это касается деления и умножения в столбик. В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Советы тем, кто хочет хорошо знать математику

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

  1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
  2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
  3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

  • Записать эти дроби нужно так, чтобы число 33 было под 25.
  • Теперь правую тройку нужно умножить на 25. Получится 75. Записать его полагается так, чтобы пятерка оказалась под тройкой, на которую выполнялось умножение.
  • Потом умножать 25 на первую 3. Опять будет 75, но написано оно будет так, чтобы 5 оказалось под 7 предыдущего числа.
  • После сложения этих двух чисел получается 825. В десятичных дробях запятыми отделены 4 цифры. Поэтому в ответе нужно отделить запятой тоже 4 цифры. Но их всего три. Для этого перед 8 придется написать 0, поставить запятую, перед ней еще один 0.
  • Ответом в примере окажется число 0,0825.

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

  • До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
  • Записать делимое. Справа от него — делитель.
  • Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
  • Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
  • Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
  • Записать результат от умножения этого числа на делитель.
  • Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
  • Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
  • Снова подобрать число для ответа.
  • Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082 : 863.

  • Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
  • После вычитания получается остаток 345.
  • К нему нужно снести цифру 2.
  • В числе 3452 четыре раза умещается 863.
  • Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
  • Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

  • Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
  • Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
  • Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
  • Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
  • Снести к остатку 0.
  • Снова взять по 8.
  • Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
  • Теперь брать нужно 7.
  • Результат умножения — 224, остаток — 16.
  • Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Умножение натуральных чисел в столбик: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом можно умножать столбиком натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные).

Правила умножения в столбик

Чтобы найти произведение двух натуральных чисел с любым количеством разрядов можно выполнить умножение в столбик. Для этого:

  1. Пишем первый множитель (начинаем с того, у которого больше разрядов).
  2. Под ним записываем второй множитель (с новой строки). При этом важно, чтобы одинаковые разряды обоих чисел были расположены строго друг под другом (десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.)
  3. Под сомножителями чертим горизонтальную линию, которая будет отделять их от результата.
  4. Начинаем выполнять умножение:
    • Крайнюю правую цифру второго множителя (разряд – единицы) поочередно умножаем на каждую цифру первого числа (справа налево). При этом если ответ оказался двузначным, в текущем разряде оставляем последнюю цифру, а первую переносим в следующий, сложив со значением, полученным в результате умножения. Иногда в результате такого переноса в ответе появляется новый разряд.
    • Затем переходим к следующей цифре второго множителя (десятки) и выполняем аналогичные действия, записывая результат со сдвигом на один разряд влево.
  5. Получившиеся числа складываем и получаем ответ. Правила и примеры сложения чисел в столбик мы рассмотрели в отдельной публикации.

Примеры умножения в столбик

Пример 1

Умножим двузначное число на однозначное, например 32 на 7.

Пояснение:

В данном случае второй множитель состоит только из одного разряда – единицы. Поочередно умножаем 7 на каждую цифру первого множителя. При этом произведение чисел 7 и 2 равняется 14, следовательно, в ответе цифру 4 оставляем в текущем разряде (единицы), а один прибавляем к результату умножения 7 на 3 (7⋅3+1=22).

Пример 2

Найдем произведение двузначного и трехзначного чисел: 416 и 23.

Пояснение:

  • Записываем множители друг под другом (в верхней строке – 416).
  • Поочередно умножаем цифру 3 числа 23 на каждый разряд числа 416, получаем – 1248.
  • Теперь умножаем 2 на каждую цифру 416, и полученный результат (832) записываем под числом 1248 со смещением на один разряд влево.
  • Остается только сложить числа 832 и 1248, чтобы получить ответ, который равняется 9568.

Умножение числового столбца на такое же число

Предположим, вы хотите умножить числовой столбец на такое же число в другой ячейке. Уловка умножения числового столбца на одно число заключается в добавлении символов $ к адресу ячейки этого числа в формуле перед копированием формулы.

В нашем примере таблицы ниже мы хотим умножить все числа в столбце A на число 3 в ячейке C2. Формула = A2 * C2 даст правильный результат (4500) в ячейке B2.Но копирование формулы в столбец B не сработает, потому что ссылка на ячейку C2 изменится на C3, C4 и т. Д. Поскольку в этих ячейках нет данных, результат в ячейках с B3 по B6 будет нулевым.

Чтобы умножить все числа в столбце A на ячейку C2, добавьте символы $ к ссылке на ячейку следующим образом: $ C $ 2 , что вы можете увидеть в примере ниже.

Использование символов $ сообщает Excel, что ссылка на C2 является «абсолютной», поэтому при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2.Для создания формулы:

  1. В ячейке B2 введите знак равенства (=).

  2. Щелкните ячейку A2, чтобы ввести ячейку в формулу.

  3. Введите звездочку (*).

  4. Щелкните ячейку C2, чтобы ввести ячейку в формулу.

  5. Теперь введите символ $ перед C и символ $ перед 2: $ C $ 2 .

  6. Нажмите Enter.

Совет: Вместо того, чтобы вводить символ $, вы можете поместить точку вставки до или после ссылки на ячейку, которую вы хотите сделать «абсолютной», и нажать клавишу F4, которая добавляет символы $.

Теперь мы вернемся немного назад, чтобы увидеть простой способ скопировать формулу вниз по столбцу после того, как вы нажмете Enter в ячейке B2.

  1. Выберите ячейку B2.

  2. Дважды щелкните маленький зеленый квадрат в правом нижнем углу ячейки.

Формула автоматически копируется в ячейку B6.

После копирования формулы столбец B возвращает правильные ответы.

4. Умножение матриц

Важно: Мы можем умножать матрицы только в том случае, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Пример 1

a) Умножение матрицы 2 × 3 на матрицу 3 × 4 возможно, и это дает матрицу 2 × 4 в качестве ответа.

b) Допускается умножение матрицы 7 × 1 на матрицу 1 × 2; это дает матрицу 7 × 2

c) НЕЛЬЗЯ умножить матрицу 4 × 3 на матрицу 2 × 3.

Как умножить 2 матрицы

Сначала мы используем буквы, чтобы увидеть, что происходит. Позже мы увидим пример чисел.

В качестве примера возьмем обычную матрицу 2 × 3, умноженную на матрицу 3 × 2.

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]`

Ответом будет матрица 2 × 2.

Умножаем и складываем элементы следующим образом. Мы обрабатываем по 1-й строке первой матрицы, поэлементно умножая на 1-й столбец второй матрицы. Мы прибавляем получившихся продуктов. Наш ответ находится в позиции a 11 (вверху слева) матрицы ответов.

Мы делаем аналогичный процесс для 1-й строки первой матрицы и 2-го столбца второй матрицы.Результат помещается в позицию a 12 .

Теперь о 2-й строке первой матрицы и 1-м столбце второй матрицы. Результат помещается в позицию a 21 .

Наконец, мы делаем вторую строку первой матрицы и второй столбец второй матрицы. Результат помещается в позицию a 22 .

Итак, результат умножения наших двух матриц будет следующим:

`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]` `= [(au + bw + cy, av + bx + cz), (du + ew + fy, dv + ex + fz)] `

Теперь давайте посмотрим на числовой пример.

Пользователи телефона

ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы пользуетесь телефоном, вы можете прокрутить любую -ю матрицу на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.

Пример 2

Умножить:

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

Ответ

Это 2 × 3 умножить на 3 × 2, что даст нам 2 × 2 отвечать.

`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((0xx3 + -1xx1 + 2xx6,0xx-1 + -1xx2 + 2xx1), (4xx3 + 11xx1 + 2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`

`= ((0-1 + 12,0-2 + ​​2), (12 + 11 + 12, -4 + 22 + 2))`

`= ((11,0), (35,20))`

Наш ответ — матрица 2 × 2.

Умножение матриц 2 × 2

Процесс одинаков для матрицы любого размера. Мы умножаем на строк первой матрицы и на столбцов второй матрицы поэлементно. Затем мы добавляем продукты:

`((a, b), (c, d)) ((e, f), (g, h))` `= ((ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh )) `

В этом случае мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 2 и в результате получаем матрицу 2 × 2.

Пример 3

Умножить:

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

Ответ

`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`

`= ((8 xx -2 + 9xx4,8xx3 + 9xx0), (5xx-2 + -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

`= ((-16 + 36,24 + 0), (- 10+ -4,15 + 0))`

`= ((20,24), (- 14,15))`

Матрицы и системы одновременных линейных уравнений

Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя умножение матриц.

Пример 4

Система уравнений

−3 x + y = 1

6 x -3 y = −4

можно записать как:

`((-3,1), (6, -3)) ((x), (y)) = ((1), (- 4))`

Матрицы

идеальны для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко образуют массивы . Мы можем опустить алгебраические символы. Компьютеру требуются только первая и последняя матрицы для решения системы, как мы увидим в разделе «Матрицы и линейные уравнения».

Примечание 1 — Обозначение

Care с записью умножением матриц .

Следующие выражения имеют различных значений:

AB — это матричное умножение

A × B — это перекрестное произведение , которое возвращает вектор

A * B используется в компьютерной нотации, но не на бумаге

A B точечное произведение , которое возвращает скаляр .

[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. В главе «Вектор».]

Примечание 2 — Коммутативность умножения матриц

Имеет ли `AB = BA`?

Посмотрим, правда ли это на примере.

Пример 5

Если

`A = ((0, -1,2), (4,11,2))`

и

`B = ((3, -1), (1,2), (6,1))`

найдите AB, и BA.

Ответ

Мы выполнили AB выше, и ответ был:

`AB = ((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`

`= ((11,0), (35,20))`

Теперь BA — это (3 × 2) (2 × 3), что даст 3 × 3:

`BA = ((3, -1), (1,2), (6,1)) ((0, -1,2), (4,11,2))`

`= ((0-4, -3-11,6-2), (0 + 8, -1 + 22,2 + 4), (0 + 4, -6 + 11,12 + 2))`

`= ((-4, -14,4), (8,21,6), (4,5,14))`

Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.

Фактически, для большинства матриц вы не можете изменить порядок умножения и получить тот же результат.

В общем случае при умножении матриц закон коммутативности не выполняется, т.е. AB BA . Есть два распространенных исключения:

.
  • Идентификационная матрица: IA = AI = A .?
  • Инверсия матрицы: A -1 A = AA -1 = I.

В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.

Пример 6 — Умножение на идентификационную матрицу

Учитывая, что

`A = ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

найдите AI .

Ответ

`AI = ((-3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5)) ((1,0,0), (0,1,0), (0 , 0,1)) `

`= ((- 3 + 0 + 0,0 + 1 + 0,0 + 0 + 6), (3 + 0 + 0,0 + -1 + 0,0 + 0 + 0), (4 + 0 + 0,0 + 2 + 0,0 + 0 + 5)) `

`= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`

`= A`

Мы видим, что умножение на единичную матрицу не меняет значения исходной матрицы.

То есть

AI = A

Упражнения

1. Если возможно, найдите BA и AB .

`A = ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`B = (4 \ \ -1 \ \ \ 5)`

Ответ

`BA = (4 \ \ -1 \ \ \ 5) ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`

`= (-8 + (- 3) +0 \ \ \ 4 + 1 + 10 \ \ \ 28 + 0 + (- 5))`

`= (- 11 \ \ 15 \ \ 23)`

AB невозможно.(3 × 3) × (1 × 3).

2. Определите, если B = A -1 , учитывая:

`A = ((3, -4), (5, -7))`

`B = ((7,4), (5,3))`

Ответ

Если B = A -1 , то AB = I.

`AB = ((3, -4), (5, -7)) ((7,4), (5,3))`

`= ((21-20,12-12), (35-35,20-21))`

`= ((1,0), (0, -1))`

`! = I`

Таким образом, B НЕ является инверсией A.2 + 0)) `

`= ((1,0), (0,1))`

`= I`

4. Оцените следующее умножение матриц, которое используется для управления движением роботизированного механизма.

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

Ответ

`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `

`= ((2 (0,5) -4 (0,866) +0), (2 (0,866) +4 (0,5) +0), (0 + 0 + 0))`

`= ((- 2,464), (3,732), (0))`

Интерпретация этого заключается в том, что рука робота движется из позиция (2, 4, 0) в позицию (-2.46, 3.73, 0). То есть это перемещается в плоскости x-y , но его высота остается на уровне z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят, на сколько градусов нужно переместиться.

Интерактивное умножение матриц

Умножение матриц

Вы можете умножить только два матрицы если их Габаритные размеры являются совместимый , что означает, что количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.

Если А знак равно [ а я j ] является м × п матрица и B знак равно [ б я j ] является п × п матрица, продукт А B является м × п матрица.

А B знак равно [ c я j ] , где c я j знак равно а я 1 б 1 j + а я 2 б 2 j + … + а я п б п j .

(Запись в я th ряд и j th столбец обозначается двойным индексом а я j , б я j , и c я j . Например, запись а 23 — запись во второй строке и третьем столбце.)

Определение матричного умножения указывает на построчное умножение, где записи в я th ряд А умножаются на соответствующие записи в j th столбец из B а затем добавляем результаты.

Умножение матриц НЕ коммутативно. Если ни то, ни другое А ни B — единичная матрица, А B ≠ B А .

Умножение строки на столбец

Мы начнем с того, что покажем вам, как умножить 1 × п матрица п × 1 матрица. Первый — это всего лишь одна строка, а второй — один столбец. По приведенному выше правилу товар является 1 × 1 матрица; другими словами, одно число.

Сначала назовем записи в строке р 1 , р 2 , … , р п , а записи в столбце c 1 , c 2 , … , c п . Тогда произведение строки и столбца — это 1 × 1 матрица

[ р 1 c 1 + р 2 c 2 + … + р п c п ] .

Пример:

Найдите товар.

[ 1 4 0 ] ⋅ [ 2 — 1 5 ]

Мы должны умножить 1 × 3 матрица 1 × 3 матрица.Количество столбцов в первом равно количеству строк во втором, поэтому они совместимы.

Товар есть:

[ ( 1 ) ( 2 ) + ( 4 ) ( — 1 ) + ( 0 ) ( 5 ) ] знак равно [ 2 + ( — 4 ) + 0 ] знак равно [ — 2 ]

Умножение больших матриц

Теперь, когда вы знаете, как умножать строку на столбец, умножать матрицы большего размера очень просто.Для входа в я th ряд и j th столбец матрицы продуктов, умножьте каждую запись в я th строку первой матрицы на соответствующую запись в j th столбец второй матрицы и складываем результаты.

Возьмем следующую задачу, умножая 2 × 3 матрица с 3 × 2 матрица, чтобы получить 2 × 2 матрица как продукт.Элементы матрицы продукта называются е я j когда они в я th ряд и j th столбец.

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 — 1 0 2 — 1 ] знак равно [ е 11 е 12 е 21 год е 22 ]

Получить е 11 , умножить строку 1 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 11 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 3 — 1 2 ] знак равно 1 ( 3 ) + 0 ( — 1 ) + 1 ( 2 ) знак равно 5

Получить е 12 , умножить строку 1 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 12 знак равно [ 1 0 1 ] ⋅ [ 5 0 — 1 ] знак равно 1 ( 5 ) + 0 ( 0 ) + 1 ( — 1 ) знак равно 4

Получить е 21 год , умножить строку 2 первой матрицы по столбцу 1 второй.

е 21 год знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 3 — 1 2 ] знак равно 0 ( 3 ) + 1 ( — 1 ) + 2 ( 2 ) знак равно 3

Получить е 22 , умножить строку 2 первой матрицы по столбцу 2 второй.

е 22 знак равно [ 0 1 2 ] ⋅ [ 5 0 1 ] знак равно 0 ( 5 ) + 1 ( 0 ) + 2 ( — 1 ) знак равно — 2

Записывая матрицу продуктов, получаем:

[ е 11 е 12 е 21 год е 22 ] знак равно [ 5 4 3 — 2 ]

Таким образом, мы показали:

[ 1 0 1 0 1 2 ] ⋅ [ 3 5 — 1 0 2 — 1 ] знак равно [ 5 4 3 — 2 ]

Как сделать длинные суммы умножения (tu x tu) — Пошаговое руководство — Метод быстрой колонки

Суммы длинного умножения (tu x tu) — Пошаговое объяснение — Быстрый метод

Научиться умножать двухзначное число на другое двухзначное число может показаться довольно сложной задачей.Но как только вы поймете эту технику, вы сможете легко и быстро умножать двузначные или трехзначные числа, используя метод столбцов. Существует много способов умножения больших чисел, например метод сетки, метод развернутого столбца, метод столбца и т. Д. Посмотрите это видео, в котором показано Как сделать длинную сумму умножения с использованием метода столбца.

Некоторым детям будет проще понять и использовать один метод. Детям могут быть показаны различные методы умножения чисел, это может помочь, когда они впервые узнают принципы, лежащие в основе длинных сумм умножения.Когда они станут более уверенными, они смогут перейти к быстрому и эффективному способу вычисления длинных сумм умножения. Это поможет им в тестах и ​​экзаменах, где время, потраченное на вычисление суммы, имеет значение. Школы могут научить решать длинные суммы умножения различными способами.

Пошаговое объяснение длинных сумм умножения (метод столбцов)

Ниже приведен пример того, как вычислить длинную сумму умножения с помощью быстрого и эффективного метода столбцов.

Сумма умножения: 43 x 12 =

  1. Запишите числа в столбцы.Не забудьте поставить десятки и единицы для каждого числа друг под другом.

    4 3
    x 1 2

  2. Сначала умножьте 43 x 2

    4 3
    x 1 2 (2 x 3 = 6) затем (2 x 4 = 8) Напишите ответы на эти суммы внизу, как если бы вы добавляли сумму.
    8 6

    Нет чисел для переноса. Если есть числа для переноса, это можно сделать так же, как и с суммой сложения.

  3. Следующее умножение 43 x 10
    Хотя мы собираемся умножить 43 x 10, мы сначала поместим 0 под 6. Мы делаем это, потому что знаем, что всякий раз, когда число умножается на 10, ответ заканчивается на 0.
    Затем мы можем продолжить вычисление суммы.

    4 3
    x 1 2
    8 6
    4 3 0 (1 x 3 = 3) затем (1 x 4 = 4) Напишите ответы на эти суммы внизу, как вы бы добавили сумму.

    В этом примере нет номеров для переноса. Если есть числа, которые нужно перенести, это можно сделать так же, как и с суммой сложения.

  4. Наконец, прибавляем 86 + 430.
    Мы начинаем с добавления чисел в столбце единиц (6 + 0 = 6)
    Складываем десятки (8 + 3 = 11). Обратите внимание, что число 11 состоит из 1 десятки и 1 единицы, поэтому нам нужно перенести 1 десятку в столбец сотен и записать его в нашу сумму.
    Сложите сотни (1 + 4 = 5).

    4 3
    x 1 2
    1 8 6
    + 4 3 0
    5 1 6

Ответ на 43 x 12 = 516

Для получения дополнительных пошаговых примеров того, как вычислить длинные суммы умножения с помощью метода столбцов, посетите канал обучения Teach My Kids Learning Channel.

Видео, показывающее, как сделать длинную сумму умножения, используя метод столбца.

Как умножить два столбца в SQL

Проблема:

хочет умножить значения из двух столбцов таблицы.

Пример:

В нашей базе данных есть таблица с именем покупка с данными в следующих столбцах: id , name , price , количество и Discount_id .

id name цена количество Discount_id
1 ручка 7 3 1
2 ноутбук 5 8 2
3 резина 11 3 1
4 пенал 24 2 3

Давайте умножим цену на количество товаров, чтобы узнать, сколько вы заплатили за каждый товар в своем заказе.

Решение:
ВЫБЕРИТЕ имя,
 цена * количество AS total_price
ОТ покупки;
 

Этот запрос возвращает записи с названием продукта и его общей ценой:

наименование total_price
ручка 21
ноутбук 40
резина 33
пенал 48
Обсуждение:

Вам нужно выбрать имя каждой записи (в нашем случае имя ) и вычислить для него результат умножения одного числового столбца на другой ( цена и количество )? Все, что вам нужно сделать, это использовать оператор умножения (*) между двумя столбцами множимого ( цена * количество ) в простом запросе SELECT .Этому результату можно присвоить псевдоним с ключевым словом AS ; в нашем примере мы присвоили столбцу умножения псевдоним total_price .

Обратите внимание, что вы также можете использовать данные из двух столбцов из разных таблиц. В нашей базе данных есть еще одна таблица с именем Discount , в которой есть столбцы с именами id и value ; последний представляет собой процентную скидку на товар с данным идентификатором.

Посмотрите на пример ниже.

Решение:
ВЫБЕРИТЕ p.name,
 п.цена * п.количество * (100-дневное значение) / 100 AS total_price
ОТ покупки p
ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ скидка d НА d.id = p.discount_id;
 

Вот результат:

наименование total_price
ручка 18,90
ноутбук 32,00
резина 29,70
пенал 33.60

Как видите, перемножать значения из разных объединенных таблиц довольно просто. В нашем примере выше мы умножили цену каждого продукта на его количество из одной таблицы ( покупка ), а затем умножили эту общую цену на процентную скидку, используя таблицу Discount .

Умножение матриц — примеры

М. Борна

На этой странице вы можете увидеть множество примеров умножения матриц.

Вы можете повторно загружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел и матриц. Вы также можете выбрать матрицы разного размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна справочная информация о матрицах, вернитесь к «Введение в матрицы» и «4. Умножение матриц»).

Пример

Умножение матриц A и B .

А = 6 7–1–2
0 -4 8 1
5 -3 2 3
, В = 4 6 7 9
-2 10 8–1
5 -3 11 0
1 2 3 12

Ответ

Для экономии работы мы сначала проверяем, можно ли их умножить.

У нас есть (3 × 4) × (4 × 4), и поскольку количество столбцов в A такое же, как количество строк в B (в данном случае средние два числа равны 4), мы можем перемножить эти матрицы. Нашим результатом будет матрица (3 × 4).

Первый шаг — записать две матрицы рядом, как показано ниже:

AB = 6 7–1–2
0 -4 8 1
5 -3 2 3
4 6 7 9
-2 10 8–1
5 -3 11 0
1 2 3 12

Мы умножаем отдельные элементы вдоль первой строки матрицы A на соответствующие элементы в первом столбце матрицы B и складываем результаты.Это дает нам число, которое нам нужно поместить в первую строку, первую позицию столбца в матрице ответов.

6 7–1–2
0 -4 8 1
5 -3 2 3
4 6 7 9
-2 10 8–1
5 -3 11 0
1 2 3 12

6 × 4 + 7 × -2 + -1 × 5 + -2 × 1 = 3

После этого мы умножаем элементы по первой строке матрицы A на соответствующие элементы по второму столбцу матрицы B , затем складываем результаты.Это дает нам ответ, который нам нужно будет поместить в первую строку, второй столбец матрицы ответов.

6 7–1–2
0 -4 8 1
5 -3 2 3
4 6 7 9
-2 10 8–1
5 -3 11 0
1 2 3 12

6 × 6 + 7 × 10 + -1 × -3 + -2 × 2 = 105

Продолжаем по строкам и столбцам следующим образом:

6 7–1–2
0 -4 8 1
5 -3 2 3
4 6 7 9
-2 10 8–1
5 -3 11 0
1 2 3 12
= 6 × 4 + 7 × -2 + -1 × 5 + -2 × 1 6 × 6 + 7 × 10 + -1 × -3 + -2 × 2 6 × 7 + 7 × 8 + -1 × 11 + -2 × 3 6 × 9 + 7 × -1 + -1 × 0 + -2 × 12
0 × 4 + -4 × -2 + 8 × 5 + 1 × 1 0 × 6 + -4 × 10 + 8 × -3 + 1 × 2 0 × 7 + -4 × 8 + 8 × 11 + 1 × 3 0 × 9 + -4 × -1 + 8 × 0 + 1 × 12
5 × 4 + -3 × -2 + 2 × 5 + 3 × 1 5 × 6 + -3 × 10 + 2 × -3 + 3 × 2 5 × 7 + -3 × 8 + 2 × 11 + 3 × 3 5 × 9 + -3 × -1 + 2 × 0 + 3 × 12
= 3 105 81 23
49-62 59 16
39 0 42 84

Посмотреть другой пример?

Вы можете обновить эту страницу, чтобы увидеть другой пример с матрицами другого размера и другими числами; ИЛИ

Выберите нужные вам размеры матрицы и нажмите кнопку.

Как перемножить две матрицы

Умножение матриц

Есть ровно два способа умножения матриц. Первый способ — умножить матрицу на скаляр. Это называется скалярным умножением. Второй способ — умножить матрицу на другую матрицу. Это известно как умножение матриц.

Скалярное умножение

скалярное умножение — это на самом деле очень простая матричная операция. Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто берем скаляр и умножаем его на каждую запись в матрице.Приведем пример.

Вопрос 1 : Рассчитать 2A2A2A, если

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 1

Вопрос просит нас узнать, что такое 2A2A2A. Другими словами, мы находим

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 2

Обратите внимание, что если мы умножим 2 на каждую запись в матрице, мы получим:

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 3

Очень просто! Давай сделаем еще один.

Вопрос 2 : Рассчитать 0A0A0A, если

Уравнение 2: Пример скалярного умножения 2 pt.1

Опять пытаемся найти 0A0A0A. Это означает, что мы будем искать ответ на

. Уравнение 2: пример скалярного умножения 2, часть 2

Матрица будет необычной формы, но концепция останется прежней. Мы по-прежнему умножаем скаляр 0 на каждую запись в матрице. Так мы получим:

Уравнение 2: пример скалярного умножения 2, часть 3

Обратите внимание, что все элементы в матрице равны 0. Это известно как нулевая матрица 3 x 2.

Теперь, когда мы хорошо знакомы со скалярным умножением, почему бы нам не перейти к матричному умножению?

Как умножить матрицы

Чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам сначала нужно узнать, что такое скалярное произведение.

Что такое скалярное произведение?

Точечное произведение (также известное как умножение векторов) — это способ вычисления произведения двух векторов. Например, пусть два вектора будут:

Уравнение 3: Пример скалярного произведения, часть 1

Как мне умножить эти два вектора? Просто умножьте соответствующие записи и сложите продукты. Другими словами,

Уравнение 3: Пример скалярного произведения, часть 2

Итак, умножая векторы, мы получаем одно значение. Однако обратите внимание на то, что два вектора имеют одинаковое количество записей.Что, если один из векторов имеет другое количество входов, чем другой? Например, пусть

Уравнение 4: Пример отказа скалярного произведения ч.1

Если бы я умножил соответствующие записи и сложил их все вместе, то получил бы:

Уравнение 4: Пример отказа скалярного продукта, часть 2

Здесь проблема. Первые три записи имеют соответствующие записи для умножения, но последняя запись не имеет. Итак, что нам здесь делать? Ответ: мы ничего не можем здесь сделать. Это просто означает, что мы не можем вычислить скалярное произведение этих двух векторов.

Итак, в заключение, мы не можем найти скалярное произведение двух векторов с разным количеством элементов. В них должно быть с одинаковым количеством записей.

Умножение матриц 2 x 2

Так в чем был смысл изучения скалярного произведения? Что ж, мы будем использовать скалярное произведение, когда умножим две матрицы вместе. При умножении матрицы на другую матрицу мы хотим рассматривать строки и столбцы как вектор. Более конкретно, мы хотим обрабатывать каждую строку в первой матрице как векторы, а каждый столбец во второй матрице как векторы.Приведем пример.

Вопрос 3 : Найдите A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, если

Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 1

Умножение двух матриц даст нам:

Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 2

Теперь строки и столбцы, которые мы фокусируем, — это

. Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 3

, где r1r_ {1} r1 — первая строка, r2r_ {2} r2 — вторая строка, а c1, c2c_ {1}, c_ {2} c1, c2 — первый и второй столбцы.Теперь мы будем рассматривать каждую строку и столбец, которые мы видим здесь, как вектор.

Обратите внимание, что умножение матрицы 2 x 2 на другую матрицу 2 x 2 дает матрицу 2 x 2. Другими словами, в матрице должно быть 4 элемента.

Уравнение 5: Пример матричного умножения 2 x 2, часть 4

Как именно мы получаем первую запись? Обратите внимание, что первая запись находится в первой строке и первом столбце. Поэтому мы просто берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c1c_ {1} c1. Таким образом, первая запись будет

. Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2 pt.{nd} 2-й столбец. Итак, мы берем скалярное произведение r2r_ {2} r2 и c1c_ {1} c1 и скалярное произведение r2r_ {2} r2 и c2c_ {2} c2. Это дает нам:

Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 7

Вот и все! Это то, что мы получаем, когда умножаем матрицы 2 x 2. В общем, формула умножения матриц для матриц 2 x 2 составляет

Формула 1: Формула умножения матрицы 2 x 2

3×3 матричное умножение

Теперь процесс умножения матриц 3 x 3 очень похож на процесс умножения матриц 2 x 2.Опять же, почему бы нам не сделать пример умножения матриц?

Вопрос 4 : Найдите A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, если

Уравнение 6: Пример умножения матрицы 3 x 3, часть 1

Во-первых, обратите внимание, что их умножение должно дать нам еще одну матрицу 3 x 3. Другими словами,

Уравнение 6: Пример умножения матрицы 3 x 3, часть 2

Теперь давайте пометим все наши строки в первой матрице и столбцы во второй матрице. {st}, поэтому мы берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c1c_ {1} c1.{nd} 2-й столбец. Таким образом, мы берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c2c_ {2} c2. Это дает нам:

Уравнение 6: пример умножения матрицы 3 x 3, часть 5

Если мы продолжим находить все записи и производить скалярное произведение, соответствующее строкам и столбцам, то мы получим окончательный результат.

Уравнение 6: Пример матричного умножения 3 x 3, часть 6

Готово! Обратите внимание, что чем больше матрицы, тем более утомительным становится умножение матриц. Это потому, что нам приходится иметь дело со все большим количеством цифр! В общем, формула умножения матриц для матриц 3 x 3 составляет

Формула 2: Формула умножения матрицы 3 x 3

Как умножить матрицы разных размеров?

Пока что у нас есть перемноженные матрицы одинаковой размерности.Кроме того, мы знаем, что умножение двух матриц с одинаковой размерностью дает матрицу одинаковой размерности. Но что будет, если мы умножим матрицу разных размеров? Как мы узнаем размеры вычисленной матрицы? Во-первых, нам нужно увидеть, как умножение матриц дает вам определенную матрицу.

Определена ли матрица?

Бывают случаи, когда невозможно перемножить две матрицы. В таких случаях мы называем матрицу undefined .Как мы можем определить, не определены ли они?

Произведение двух матриц определяется только в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк второй матрицы .

Попробуем использовать это определение в этом примере.

Вопрос 5 : Пусть

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 1

Определено ли A ∙ BA \ bullet BA ∙ B?

Во-первых, обратите внимание, что первая матрица имеет 3 столбца . Также вторая матрица имеет 3 строки .Поскольку они оба равны 3, то я знаю, что определено A ∙ BA \ bullet BA ∙ B.

Теперь, когда мы знаем, что оно определено, как мы можем узнать размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B?

Размер собственности

Чтобы найти размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, нам нужно сначала взглянуть на размеры и отдельно.

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 2

Теперь поместим размеры матриц рядом, вот так:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы pt.3

Теперь мы собираемся взять первое число и последнее число и объединить их, чтобы получить размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B. Посмотрите, что первое число — 2 , а последнее — 4 . Таким образом, габариты A ∙ BA \ Bullet BA ∙ B будут:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 4

Теперь, когда мы знаем размеры матрицы, мы можем просто вычислить каждую запись, используя скалярные произведения. Это даст нам:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы pt.5

Теперь, когда мы очень хорошо знаем, как умножать матрицы, почему бы не взглянуть на некоторые правила умножения матриц?

Свойства умножения матрицы

Итак, какими свойствами на самом деле обладает матричное умножение? Во-первых, давайте все формально определим.

Пусть X, Y, ZX, Y, ZX, Y, Z — матрицы, InI_ {n} In — единичная матрица, а OnO_ {n} On — нулевая матрица. Если все пять из этих матриц имеют равные размеры, то у нас будет следующая матрица для свойств умножения матриц:

Формула 3: свойства умножения матриц

Ассоциативное свойство утверждает, что порядок умножения не имеет значения.Другими словами, вычисление X ∙ YX \ bullet YX ∙ Y, а затем умножение на ZZZ даст вам тот же результат, что и вычисление Y ∙ ZY \ bullet ZY ∙ Z, а затем умножение на XXX. Приведем пример.

Вопрос 6 : Показать, что ассоциативное свойство работает с этими матрицами:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства, часть 1

Глядя на левую часть уравнения в ассоциативном свойстве, мы видим, что (XY) Z (XY) Z (XY) Z дает:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства pt.2

Теперь, глядя на правую часть уравнения в ассоциативном свойстве, мы видим, что X (YZ) X (YZ) X (YZ) дает:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства, часть 3

Посмотрите, как левая и правая части уравнения равны. Следовательно, мы знаем, что ассоциативное свойство действительно работает! Опять же, это означает, что порядок умножения матриц не имеет значения!

Теперь следующее свойство — распределительное свойство . В распределительной собственности указано, что:

Формула 4: Распределительная собственность

Мы видим, что нам разрешено использовать технику фольги и для матриц.Чтобы показать, что это свойство работает, давайте рассмотрим пример.

Вопрос 7 : Показать, что свойство распределения работает для следующих матриц:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 1

Посмотрите, что левая часть уравнения — это X (Y + Z) X (Y + Z) X (Y + Z). Отсюда вычисления, которые дают нам:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 2

Теперь давайте проверим, дает ли правая часть уравнения то же самое. Обратите внимание, что правая часть уравнения — это XY + XZXY + XZXY + XZ.Вычисление дает нам:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 3

Обратите внимание, что левая часть уравнения в точности совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, мы можем подтвердить, что распределительное свойство действительно работает.

Коммутативно ли матричное умножение?

Мы знаем, что умножение матриц удовлетворяет как ассоциативным, так и дистрибутивным свойствам, однако мы вообще не говорили о коммутативности. Означает ли это, что умножение матриц его не удовлетворяет? На самом деле это не так, и мы можем проверить это на примере.

Вопрос 8 : Если матричное умножение коммутативно, то должно выполняться следующее:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч.1

Покажите, что XYeqYXXY eq YXXYeqYX, если

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 2

Сначала мы вычисляем левую часть уравнения. Вычисление XYXYXY дает нам:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 3

Теперь вычисляя правую часть уравнения, мы имеем:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства pt.4

Как видите,

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 5

Потому что у нас

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 6

Эти две матрицы совершенно разные.

Теперь есть еще несколько свойств умножения матриц. Однако эти свойства имеют дело с нулевой и единичной матрицами.

Умножение матрицы на нулевую матрицу

Свойство умножения матриц для нулевой матрицы утверждает следующее:

Формула 5: умножение матрицы для нулевой матрицы

, где ООО — нулевая матрица.

Это означает, что если вы умножите нулевую матрицу на другую ненулевую матрицу, то вы получите нулевую матрицу. Давайте проверим, так ли это на примере.

Вопрос 9 : Покажите, что уравнение OX = OOX = OOX = O и XO = OXO = OXO = O выполняется, если:

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 1

Давайте сначала посмотрим на уравнение

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 2

Обратите внимание, что вычисление OXOXOX дает нам:

Уравнение 11: Умножение матрицы для примера с нулевой матрицей pt.3

Мы видим, что OX = OOX = OOX = O, поэтому уравнение выполняется. Аналогично, если мы посчитаем XOXOXO, получим:

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 4

Мы видим, что уравнение XO = OXO = OXO = O выполняется, так что мы закончили.

Умножение матрицы для матрицы идентичности

А как насчет свойства умножения матриц для единичных матриц? Что ж, в собственности указано следующее:

Формула 6: умножение матрицы для матрицы идентичности

, где InI_ {n} In — это единичная матрица размера n × nn \ умноженная на nn × n.Опять же, мы можем видеть, что следующие уравнения действительно выполняются на примере.

Вопрос 10 : Покажите, что уравнения XI2 = XX I_ {2} = XXI2 = X и I2X = XI_ {2} X = XI2 X = X выполняются со следующими матрицами

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы, часть 1

Итак, для уравнения XI2 = XX I_ {2} = XXI2 = X, мы имеем:

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы, часть 2

Итак, уравнение верно. Аналогично уравнению I2X = XI_ {2} X = XI2 X = X, имеем:

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы pt.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *