Правило умножения на нуль: Умножение на единицу и на ноль. Свойства нуля и единицы

Содержание

умножение на ноль – главное правило Что такое ноль

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так.

При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Вконтакте

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

  • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
  • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
  • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то

ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?

Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель — сколько раз это слагаемое повторяется. Заменяем сумму произведением.

Запишем решение.

Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.

Запишем решение.

Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?

Рассмотрим произведения.

Выполним действия и сделаем вывод.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.

Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.

1 * а = а

Рассмотрим произведения.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.

Произведения во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 1= а

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.

Проверьте себя.

Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.

Рассмотрим произведения, где первый множитель — нуль.

Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.

Значит, при умножении нуля на число получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

0 * а = 0

Рассмотрим произведения, где второй множитель — нуль.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.

Сравним произведения и их значения.

0*4=0

Произведения второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 0 = 0

А вот делить на нуль нельзя.

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.

Проверьте себя.

Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Найдите значения выражений.

2. Найдите значения выражений.

3. Сравните значения выражений.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0

Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.

Решение:

Как работать с математическим калькулятором

Клавиша Обозначение Пояснение
5 цифры 0-9 Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/-
. точка (запятая) Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5
+ знак плюс Сложение чисел (целые, десятичные дроби)
знак минус Вычитание чисел (целые, десятичные дроби)
÷ знак деления Деление чисел (целые, десятичные дроби)
х знак умножения Умножение чисел (целые, десятичные дроби)
корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x 2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1 / x дробь Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число
% процент Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%»
( открытая скобка Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10
) закрытая скобка Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки
± плюс минус Меняет знак на противоположный
= равно Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат.
удаление символа Удаляет последний символ
С сброс Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»

Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах

Сложение.

Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }

Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }

Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Вычитание.

Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }

Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }

Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }

Умножение.

Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }

Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }

Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }

Деление.

Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }

Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }

Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }

Извлечение корня из числа.

Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }

Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }

Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }

Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }

Возведение числа в квадрат.

Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }

Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }

Перевод в десятичные дроби.

Вычисление процентов от числа

Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }

Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }

18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }

Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?

Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель — сколько раз это слагаемое повторяется. Заменяем сумму произведением.

Запишем решение.

Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.

Запишем решение.

Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?

Рассмотрим произведения.

Выполним действия и сделаем вывод.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.

Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.

1 * а = а

Рассмотрим произведения.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.

Произведения во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 1= а

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.

Проверьте себя.

Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.

Рассмотрим произведения, где первый множитель — нуль.

Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.

Значит, при умножении нуля на число получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

0 * а = 0

Рассмотрим произведения, где второй множитель — нуль.

Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.

Сравним произведения и их значения.

0*4=0

Произведения второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.

Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.

Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.

Запишем этот вывод в виде равенства.

а * 0 = 0

А вот делить на нуль нельзя.

Решите примеры.

Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.

Проверьте себя.

Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Найдите значения выражений.

2. Найдите значения выражений.

3. Сравните значения выражений.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

3. Умножение и деление натуральных чисел

3.  Умножение и деление натуральных чисел

п1. Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число m на натуральное число n  — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Свойства умножения: 

  1. Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
  2. Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
  3. Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
  4. Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.

Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)

п2. Деление

Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. 

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

На нуль делить нельзя!

Свойства деления: 

  1. При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
  2. При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
  3. При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х  = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.  х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

48 : х = 4 х = 48 : 4

х = 12

п3. Деление с остатком

Остаток всегда меньше делителя.

Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное  с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d.  а = с · b + d

п4. Упрощение выражений

Свойства умножения:

  1. Распределительное свойство    умножения относительно      сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
  2. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а — b)с = ас — bc.

3а + 7а = (3 + 7)а = 10а

Решить уравнение: 

3у + 7у + 25 = 85

(3 + 7)у + 25 = 85

10у + 25 = 85

10у  = 85 – 25

10у = 60

у = 60 : 10

у = 6

п5. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Правила порядка выполнения действий:

  1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
  2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
  3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

 

п6. Квадрат и куб

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: 

а · а · а · а · а · а = а6

Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение  а6 — называют степенью.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n2 (эн в квадрате):  n2 = n · n

Таблица квадратов:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n2

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

 

Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе):  n3 = n · n · n

Таблица кубов:

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

 

Первая степень числа равна самому числу.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 78

Числа от 1 до 1000


Умножение и деление


Умножение на однозначное число

Ответы к стр. 78

Вспомни правила умножения с числами 0 и 1 (с. 107 — 108). Вычисли:

1 • 8 = 8     312 • 1 = 312     0 • 35 = 0
1 • 1 = 1     703 • 1 = 703     0 • 100 = 0

918 • 0 = 0    10 • 1 = 10
617 • 0 = 0    10 • 0 = 0

340. (Устно.)

0 дес. • 5 + 3 дес. = 3 дес.
0 тыс. • 7 + 4 тыс. = 4 тыс.
0 сот. • 3 + 2 сот. = 2 сот.
0 сот. • 1 + 1 сот. = 1 сот.

341. 803 • 5     50801 • 4     41008 • 6
      4019 • 7     90048 • 7     70032 •  8

× 803     × 50801     × 41008
      5               4               6
 4015     203204      246048

× 4019     × 90048     × 70032
        7               7               8
 28133      630336      560256

342. Начерти три отрезка. Длина первого 8 см 5 мм, что на 7 мм больше длины второго и на 1 см 5 мм меньше длины третьего отрезка.

1) 8 см 5 мм − 7 мм = 7 см 8 мм — длина второго отрезка
2) 8 см 5 мм + 1 см 5 мм = 10 см — длина третьего отрезка

343. Комбайнер убирал 9 дней пшеницу на двух полях. На первом поле он собрал 400 т пшеницы, а на втором − 320 т. Сколько тонн зерна убирал комбайнер за 1 день, если ежедневная выработка была одинаковой?

1) 400 + 320 = 720 (т) − собрал с двух полей
2) 720 : 9 = 80 (т) − убирал за 1 день
О т в е т: за 1 день комбайнер убирал 80 т зерна.

344. На мельницу отправили пшеницу на 10 машинах, по 42 ц на каждой, а ячменя в 3 раза меньше, чем пшеницы. На сколько центнеров больше отправили пшеницы, чем ячменя?

1) 10 • 42 = 420 (ц) − пшеницы отправили на мельницу
2) 420 : 3 = 140 (ц) − ячменя отправили на мельницу
3) 420 − 140 = 280 (ц) − пшеницы больше, чем ячменя
О т в е т: пшеницы отправили на 280 ц больше, чем ячменя.

345. Запиши выражения и вычисли их значения.
1) Произведение чисел 8 и 3125 уменьшить на 5186.
2) Наименьшее шестизначное число увеличить в 10 раз, а результат уменьшить в 1000 раз.
3) Частное чисел 872 и 8 увеличить в 7 раз.

1) 8 • 3125 − 5186 = 25000 − 5186 = 19814
×3125      25000
       8          5186
25000        19814

КУПИТЕ ПРОДУКТЫ ИЛИ ТОВАРЫ С ДОСТАВКОЙ (НЕ ДЛЯ ВСЕХ РЕГИОНОВ) НА ДОМ

2) 100000 • 10 : 1000 = 1000000 : 1000 = 1000
3) 872 : 8 • 7 = 109 • 7 = 763
 872|8          ×109
   8    |109           7
 —072               763  
     72                   
       0                   

346. Рассмотри рисунки и объясни, чем похожи и чем различаются рисунки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 1 и 4.

Рисунки 1 и 2 схожи тем, что на них изображены окружности, большая и маленькая, большая голубая, а маленькая розовая. Отличие рисунков в том, что на первом рисунке окружности находятся рядом друг с другом и не имеют общих точек соприкосновения, а на втором они касаются друг друга и имеют одну общую точку соприкосновения.
Рисунки 2 и 3 сходи тем, что на них изображены окружности, большая и маленькая, большая голубая, а маленькая розовая. Отличие рисунков в том, что на втором рисунке окружности касаются друг друга и имеют одну общую точку соприкосновения, а на третьем они пересекаются и имеют 2 общих точки пересечения.
Рисунки 3 и 4 схожи тем, что на них изображены окружности, большая и маленькая, большая голубая, а маленькая розовая. Отличие рисунков в том, что на третьем рисунке окружности пересекаются и имеют 2 общих точки пересечения, а на 4 одна окружность находится внутри другой и общих точек соприкосновения или пересечния у них нет.
Рисунки 1 и 4 схожи тем, что на них изображены окружности, большая и маленькая, большая голубая, а маленькая розовая, в обоих случаях общих точек соприкосновения или пересечения у окружностей нет. Отличие рисунков в том, что на первом рисунке окружности находятся рядом друг с другом, а на четвертом одна окружность находится внутри другой.

347. Сколько в числе 15400 десятков? сотен? тысяч? Сколько единиц в числе, содержащем 208 дес.? 32 сот.?

В числе 15400 содержится 1540 десятков, 154 сотни и 15 тысяч.
В числе, содержащем 208 десятков, содержится 2080 единиц.
В числе, содержащем 32 сотни, содержится 3200 единиц.

348. 45010 − (3908 + 17613)     6008 • 9     97168 • 6
         60000 − 2407 + 5849      91005 • 3     7 • 23844

45010 − (3908 + 17613) = 45010 − 21521 = 23489
3908     45010
 17613       21512
 21521       23489

60000 − 2407 + 5849 = 57593 + 5849 = 63442
— 60000      + 57593
    2407          5849
  57593        63442

× 6008     × 91005
        9               3
 54072      273015

× 97168      × 23844
          6                7
 583008       166908

349. Переставляя карточки с цифрами, сделай равенство верным.
[6] [2] : [3] [1] = [3] 

[6][3] : [2][1] = [3]
[3][6] : [1][2] = [3]
[6][3] : [3] = [2][1]
[3][6] : [3] = [1][2]


Вычисли.
609 • 7   32009 • 3

× 609     × 32009
      7               3
 4263       96027

ЗАДАНИЕ НА ПОЛЯХ
Ребус

× 739
      9
 6651

ГДЗ по математике. Учебник. 4 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 4 класс

4 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 78

4.8 (95.52%) от 308 голосующих

Математика — Центр дополнительного образования

Техника устного счета

Умножение на 9, 11, 99, 101

Проще всего умножать и делить числа на 10, 100 и т.д. При этом к множимому приписывается столько нулей, сколько их имеется в множителе. Отсюда получаем простое правило для умножения на 9, 11, 99, 101.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Но это правило не стоит применять, когда число записано с помощью единиц и нулей. В этом случае легче произвести умножение на 9 непосредственно.

Чтобы умножить какое-нибудь число на 11, нужно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само это число.

Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Нужно мысленно приписать справа к данному числу его само, и прочесть то, что получиться.

При умножении на 99 нужно, очевидно, увеличить данное число в 100 раз, и от полученного числа отнять само данное число.

Умножение на 2, 4

Умножение на 2 начинают со старших разрядов.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Умножение и деление на 5, 25, 50

Умножение на 5 сводится к делению пополам (надо умножить на 10 и результат разделить пополам).

Деление на 5 – это удвоение данного числа и последующее деление на 10.

При умножении на 25 мы умножаем на 100 и результат делим на 4.

При делении на 25 – умножаем на 4 (т. е. два раза на 2) и делим на 100.

При умножении на 50 умножаем на 100 и делим пополам; при делении на 50 сперва удваиваем, потом делим на 100.

Умножение на 3, 6 и 7

При умножении двузначного числа на 3, 6 или 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем.

86 x 380 x 3=240
6 x 3=18
86 x 3=258
35 x 730 x 7=210
5 x 7=35
35 x 7=245

Трёхзначное число умножается на 3 по такому же правилу: сначала умножаются сотни, потом десятки, потом единицы, затем всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно. Лучше сначала умножить на три, а затем результат удвоить.

519 x 6519 x 3500 x 3 = 1500
10 x 3 = 30
9 x 3 = 27

1557

1557 x 2 = 1500 x 2 + 57 x 2 = 3114

Умножение многозначных чисел на 7 требует особой тренировки.

Проценты

При вычислении процентов от некоторого числа удобно связывать проценты с представлением доли этого числа. Для некоторых процентов приведём таблицу соответствий.

%

Доли

50

2

25

4

20

5

Умножение двузначных чисел, близких к 100

Покажем на примере:

93 x 98 = (93 — 2)

 x 100 +

2 x 7 = 9114

 

   |

дополнение до 100
для второго числа

произведение дополнений
исходных чисел до 100

Обоснование этого способа дано ниже:

(100 — a) (100 — b) = (100 – а) x 100 – 100 x b + ab =
= 100 ((100 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 100 соответственно.

Умножение чисел, близких к 1000

Покажем на примере:

987 x 996 = (987 – 4) x 1000 + 4 x 13 = 983052

Обоснование:

(1000 — a) (1000 — b) = (1000 – а) x 1000 – 1000 x b + ab =
= 1000 ((1000 – a) – b) + ab,

где а и b — дополнения первого и второго сомножителей до 1000 соответственно.

Информация к размышлению

Предложите способ для быстрого умножения и деления чисел на 125, для умножения на 2,5, на 0,75, на 1,25.

Корень квадратный в уме

Каким способом можно быстро извлечь корень квадратный из целого числа, имеющего в десятичной записи не более четырех знаков? Предполагается, что корень извлекается из данного числа нацело.

Найдите корни , . Попробуйте найти .

Алгоритм извлечения корня квадратного

Рассмотрим на примере .

Для нахождения произведем следующие действия:

1) десятичную запись числа 273529 разобьем на группы по две цифры, начиная справа;

2) для старшей группы, образующей число 27, подберем такую цифру, чтобы ее квадрат был наибольшим, но не превосходил числа 27; такой цифрой будет 5, ее запишем в качестве первой цифры ответа;

3) из старшей группы цифр вычтем найденный в предыдущем пункте квадрат первой цифры ответа и к полученной разности 27 – 25 = 2 припишем справа следующую группу цифр 35; получим число 235;

4) удвоив записанное в ответе число 5, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 235; такой цифрой будет 2 (ибо 102 x 2 = 204 < 235, но 103 x 3 = 309 > 235), ее и запишем в качестве второй цифры ответа;

5) из числа 235 вычтем найденное в предыдущем пункте произведение 204 и к остатку 31 снесем следующую группу цифр 29; получим число 3129;

6) удвоив записанное в ответе число 52, припишем справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходило числа 3129; такой цифрой будет 3 (ибо 1043 x 3 = 3129), ее и запишем в качестве третьей цифры ответа;

7) разность между снесенным числом 3129 и полученным в предыдущем пункте произведением равна 0, поэтому корень квадратный из числа 273529 извлекается нацело и равен записанному в ответе числу 523.

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Алгебраическое умножение.

Комплексное умножение — более сложная операция для понимания как с алгебраической, так и с геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически и возьмем определенные комплексные числа для умножения, скажем, 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два слагаемых, поэтому, умножив их, мы получим четыре слагаемых: (3 + 2 i )(1 + 4 i ) = 3 + 12 и + 2 и + 8 и 2 .

Теперь 12 i + 2 i упрощаются до 14 i, , конечно. А как насчет 8 i 2 ? Помните, мы ввели i как сокращение от √–1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это нечто, квадрат которого равен –1. Таким образом, 8 i 2 равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i )(1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu  –  yv ), действительная часть произведения, есть произведение действительных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv  +  yu ), мнимая часть произведения произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте рассмотрим некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное число

В приведенной выше формуле для умножения, если v равно нулю, вы получаете формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x  +  yi u = сюй  +  юй и .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i — это просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваивайте расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C в 2 раза от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы рассмотрели только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (т. е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ж. Это было, когда w было реальным числом u чуть выше. На самом деле, это верно в целом:

Проверка этого тождества является упражнением в алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не нужно иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | ZW | 2  = | г | 2 | с | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw равно ( xu  –  yv ) + ( xv  +  yu ) i. Напомним из раздела об абсолютных значениях, что

| г | 2 = х 2 + у 2

Точно так же у нас есть

| с | 2 = u 2 + v 2

и, поскольку zw = ( xu  –  yv ) + ( xv  +  yu ) i,

| wz | 2 = ( xu  –  yv ) 2 + ( xv  +  yu ) 2

Итак, чтобы показать | ZW | 2  = | г | 2 | с | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( Xu YV ) 2 + ( XV + Yu ) 2 = ( x 2 + Y 2 ) ( U 9005 2 9005 2 ) ( U 9005 2 2 ) ( U 9005 2 9005 2 ) ( U 9005 2 2 ) ( U 9005 2 2 ) ( U 2 2 ) ( U 2 2 ) ( U 2 2 ). v 2 )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. Для нашего следующего частного случая умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2  = –1. Как насчет i 3 ? Это просто i 2 умножить на на , и это -1 умножить на i. Следовательно, i 3  = – i. Вот интересно: куб и есть собственное отрицание.Далее рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат –1. Таким образом, i 4  = 1. Другими словами, i является корнем четвертой степени из 1. Вы можете показать, что – i является еще одним корнем четвертой степени из 1. А поскольку и -1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и – i. Это наблюдение связано с Фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4  = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие полномочия I легко найти сейчас, когда мы знаем I 4 = 1. Например, I 5 IS I Times I 4 , и это только I. . Вы можете уменьшить мощность i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i 11  = i 7  = i 3  = – i.

Как насчет отрицательных сил и ? Чему равно число i, ? то есть i –1 ? По той же причине, по которой вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i –1  = i 3  = – i. Таким образом, обратное число i равно – i. Представьте себе число, обратное значение которого является его собственным отрицанием! Конечно, легко проверить, что i раз – i равно 1, так что, конечно, i и – i обратны.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем случае по основной теореме алгебры число n корней из единицы равно n, , так как имеется n корней уравнения n -й степени z u  – 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ±1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ±√2/2 ±  i √2/2 были квадратными корнями из i и – i, , а теперь с помощью формулы умножения это легко проверить. Таким образом, восемь восьми корней из единицы равны ±1, ± i, и ±√2/2 ± i √2/2. Обратите внимание, как эти восемь корней единства равномерно распределены по единичному кругу.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте немного подождем их.

Умножение комплексного числа на

i. Чтобы найти геометрическую интерпретацию комплексного умножения, давайте рассмотрим следующее умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z   i = ( x  +  yi i = – y  +  xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на х единиц правее мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z   i расположена на y единиц левее и х единиц выше. Произошло то, что умножение на i привело к повороту к точке z  90° против часовой стрелки вокруг начала координат к точке z   i. Говоря короче, умножение на дает поворот на 90° против часовой стрелки около 0.

Таким же образом можно проанализировать, что делает умножение на – i . Вы обнаружите, что умножение на – i дает поворот на 90° по часовой стрелке относительно 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке, когда говорим о поворотах или углах, мы будем следовать стандартному соглашению, что подразумевается вращение против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — на дает поворот на -90° относительно 0 или, если хотите, поворот на 270° относительно 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока мы увидим результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, а другой — на i , что приводит к вращению. Общий случай представляет собой комбинацию масштабирования и поворота.

Пусть z и w — точки комплексной плоскости C .Нарисуйте линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих линий являются абсолютными значениями | г | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | ZW | что равно | г | | с |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы будем определять направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом of z , иногда обозначаемым arg( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — линия от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, являющийся суммой углов arg( z ) + arg( w ). (На диаграмме arg( z ) составляет около 20°, а arg( w ) составляет около 45°, поэтому arg( zw ) должно быть около 65°.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где zw находится в C :


а. Правило умножения можно использовать для вычисления вероятность одного события И другого события б.Существует нулевая вероятность наблюдения 2 взаимоисключающих события в одном случайном испытании в. Случайное испытание всегда имеет только 2 возможных исхода. д. Событие может иметь только один исход 2. При медицинском исследовании заболеваемости, связанной с определенным тип рака у экспериментальных мышей, исследователи оценивают, мышь жива или мертва через 1 год после рождения, и являются ли мыши есть опухоли или нет в тот же момент времени. Как живые, так и мертвые мыши исследуют на наличие опухолей. Однако не все мыши с опухолями умирают, и не все мыши умирают, потому что у них есть опухоли.Выберите (один) ответ, который отражает утверждение, которое ДОЛЖНО быть истинным, учитывая информация выше. B. Вероятность смерти мыши ИЛИ наличия опухоли равна к Pr(умирание) X Pr(опухоль) C. Вероятность наличия опухоли у мыши и вероятность мыши, не имеющей опухоли, должны в сумме равняться единице A. Вероятность того, что у мыши появится опухоль и она умрет, равна сумма вероятности наличия опухоли и вероятности умирающий.

Стенограмма видео

В вопросе один.Мы хотим выбрать утверждения, которые верны в части. Правило умножения можно использовать для вычисления вероятности одного события и другого события. Теперь правило умножения — это, например, перехват B. Его вероятность B. Да, умноженная на вероятность данного B. Или это может быть вероятностью mhm A стать вероятностью B при заданном a. Да, в этом смысле это правда, что мы можем вычислить вероятность одного события и другого события, но просто имея некоторую информацию о перекрестном событии или вероятности кондиционера или только об отдельных событиях.Так что да, это правда. B. Существует нулевая вероятность наблюдения двух взаимоисключающих событий. Одно испытание. Да потому что вероятность пересечения B нулевая, если A и B взаимоисключающие, потому что A пересекаются с B. Объявлен набор, потому что взаимоисключающие. Таким образом, вероятность набора объявлений равна нулю. Так что это правда. См. случайное испытание всегда имеет два возможных исхода. Все это неправда, потому что у меня может быть ситуация, когда я могу играть в шахматы, а результатом боли в груди может быть поражение на ветру или ничья.Так что это три исхода не к чему. Так что это неправда. Так что это утверждение не соответствует действительности. D событие может иметь только один исход. Это не правда. Например, если я бросил монету, моим результатом может быть ветер, извините, не смог себя вести или решка. Это результат. Так что это неправда. Да это заявление структурное. Хорошо, давайте посмотрим на второй вопрос. Я допускаю, что событие TB, когда у мыши есть humo R и D, будет событием, когда мышь умирает. В то время как мы хотим выбрать утверждение, которое верно во все времена, теперь о вероятности того, что у мыши будет опухоль и она умрет.Так и сейчас невероятность. Конец — это термины, обозначающие пересечение. Все плюс нотации мудры союз так и умирает. Таким образом, и смерть — это некоторая вероятность иметь юмор и вероятность умереть. Ну, это неправда, потому что P.T. Union D. это P.T. Plus P.D. Minus P.T. Intersect the. Теперь вы можете видеть, что поэтому P. T перехватывает. D. Это petey плюс pd минус P. T. Union de Итак, здесь отсутствует эта часть. Так что это утверждение не соответствует действительности. Теперь я предполагаю, что вероятность смерти мыши или наличия опухоли равна вероятности смерти.Перевод вероятности юмора. Значит, он говорит об этой смерти или обо всем своем союзе. Наличие опухоли равно вероятности смерти, терминов вероятность или наличие опухоли. Ну, это неправда. Ну, как вы можете видеть здесь, вероятность объединения T. На самом деле вероятность D. Плюс вероятность T минус вероятность пересечения T. Хорошо, так что это не этот вопрос, это неправда. Теперь я вижу, что вероятность того, что у мыши есть опухоль, и вероятность того, что суммы не должны быть в сумме равны единице.Это правильно, потому что это сценарий, который мы создали для юмора. И отсутствие необходимости терпеть эту часть ветки дерева должно составлять единицу. Так что это утверждение верно.

вероятностных правил

вероятностных правил

Вероятностные правила


«ИЛИ» или союзы

Взаимоисключающие события

Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Другое слово, которое означает, что взаимоисключающее является непересекающимся.

Если два события не пересекаются, то вероятность того, что они оба произойдут одновременно, равна 0.

 Непересекающиеся: P(A и B) = 0
 

Если два события являются взаимоисключающими, то вероятность каждого из них равна сумме вероятности каждого события.

Специальное правило добавления

Действителен, только если события являются взаимоисключающими.

 Р(А или В) = Р(А) + Р(В)
 
Пример 1:

Дано: P(A) = 0.20, P(B) = 0,70, A и B не пересекаются

Мне нравится использовать так называемое совместное распределение вероятностей. (Поскольку дизъюнктность ничего не значит в общее, совместное — это то, что у них общего, поэтому значения, находящиеся во внутренней части таблица — пересечения или «и» каждой пары событий). «Маргинал» — это другое слово для итогов — это называется маргинальным, потому что они появляются на полях.

Б Б’ Маргинальный
А 0.00 0,20 0,20
А’ 0,70 0,10 0,80
Маргинальный 0,70 0,30 1,00

Значения красного цвета даны в задаче. Общая сумма всегда равна 1.00. Остальные значения получаются сложением и вычитанием.

Не взаимоисключающие события

В событиях, которые не являются взаимоисключающими, есть некоторое совпадение.Когда P(A) и P(B) равны добавлено, вероятность пересечения (и) добавляется дважды. Чтобы компенсировать этот двойной Кроме того, пересечение должно быть вычтено.

Общие правила добавления

Действует всегда.

 Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В)
 
Пример 2:

Учитывая P(A) = 0,20, P(B) = 0,70, P(A и B) = 0,15

Б Б’ Маргинальный
А 0.15 0,05 0,20
А’ 0,55 0,25 0,80
Маргинальный 0,70 0,30 1,00

Интерпретация таблицы

Определенные вещи можно определить из совместного распределения вероятностей. Взаимоисключающий события будут иметь нулевую вероятность.Все включенные события будут иметь ноль напротив пересечение. Все включено означает, что вне этих двух событий нет ничего: P(A или B) = 1.

Б Б’ Маргинальный
А A и B взаимно Эксклюзивно, если это значение равно 0 . .
А’ . A и B включают все включено, если это значение равно 0 .
Маргинальный . . 1,00

«И» или пересечения

Независимые события

Два события независимы, если возникновение одного не меняет вероятности другого происходит.

Примером может быть бросок 2 на кубике и подбрасывание орла на монете. Роллинг 2 не влияют на вероятность переворота головы.

Если события независимы, то вероятность того, что они оба произойдут, является произведением вероятности каждого события.

Специальное правило умножения

Действительно только для независимых событий

 Р(А и В) = Р(А) * Р(В)
 
Пример 3:

P(A) = 0,20, P(B) = 0,70, A и B независимы.

Б Б’ Маргинальный
А 0,14 0,06 0,20
А’ 0.56 0,24 0,80
Маргинальный 0,70 0,30 1,00

0,14 потому, что вероятность A и B равна вероятности A, умноженной на вероятность B или 0,20 * 0,70 = 0,14.

Зависимые события

Если возникновение одного события влияет на вероятность возникновения другого, то события зависимы.

Условная вероятность

Вероятность того, что событие B произойдет так, что событие A уже произошло, читается как «вероятность B при данном A» и записывается: P(B|A)

Общее правило умножения

Работает всегда.

 Р(А и В) = Р(А) * Р(В|А)
 
Пример 4:

Р(А) = 0,20, Р(В) = 0,70, Р(В|А) = 0,40

Хороший способ думать о P(B|A) состоит в том, что 40 % A — это B. 40 % из 20 %, которые были в событии A, — это 8%, таким образом, пересечение равно 0.08.

Б Б’ Маргинальный
А 0,08 0,12 0,20
А’ 0,62 0,18 0,80
Маргинальный 0,70 0,30 1.00

Новый взгляд на независимость

Следующие четыре оператора эквивалентны

  1. A и B являются независимыми событиями
  2. Р(А и В) = Р(А) * Р(В)
  3. Р(А|В) = Р(А)
  4. Р(В|А) = Р(В)

Последние два связаны с тем, что если два события независимы, возникновение одного из них не меняет вероятность появления другого. Это означает, что вероятность появления В, произошло ли А или нет, это просто вероятность того, что Б произойдет.

Продолжить с условными вероятностями.


Содержание
Джеймс Джонс

Статистический обзор с формулой и правилами для среднего, дисперсии, ковариации, коэффициент корреляции

Статистический Обзор

Эта страница содержит основные правила для среднего, дисперсии, Ковариация и корреляция для ожидания случайных величин. Это резюме может быть чрезвычайно полезным, если вы не занимаетесь регулярно статистикой или являетесь новичком. ученик.Доказательства этих правил можно приобрести за символическую плату на странице заказа.

Доказательства обычно представляют собой задачи или тестовые вопросы, не связанные с исчислением. курс статистики. Правила и их доказательства являются частью Статистического обзора. что составляет примерно 27 страниц шрифтом 10 пунктов. Кому-то полезный отзыв кто какое-то время был вдали от статистики, но вдруг находит статью с использованием этих Правила. Студенты также найдут их полезными.Если у вас есть MathType, вы можете отредактируйте файл.

ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДЛЯ МАСШТАБИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Формулы и правила для среднего значения случайной величины X

Формулы для среднего

, где p i — вероятность появления значения х я .

Правила для среднего

Правило 1.

Математическое ожидание константы c является константой.
Е(с) = с

Правило 2.

Добавление постоянного значения с к каждому члену увеличивает среднее или ожидаемое значение на постоянный.
Е( х +с) = Е( х )+с

Правило 3.

Умножение случайной величины на постоянное значение с приводит к умножению ожидаемого значения или подразумевают под этой константой.
Е(с х ) = сЕ( х )

Правило 4.

Ожидаемое значение или среднее значение суммы двух случайных величин равно сумме средних значений. Это также известно как аддитивный закон ожидания.
E( X + Y ) = E( X )+E( Y )

Формулы и правила для дисперсии, ковариации и стандартного отклонения Случайные величины

Формулы для дисперсии

или
или

Формулы для стандартного отклонения

Формулы для ковариации

или
или

Правила отклонения

Правило 1.

Дисперсия константы равна нулю.

Правило 2.

Добавление постоянного значения с к случайной величине не изменяет дисперсию, потому что ожидание (среднее) увеличивается на ту же величину.

Правило 3.

Умножение случайной величины на константу увеличивает дисперсию на квадрат постоянный.

Правило 4.

Дисперсия суммы двух или более случайных величин равна сумме каждой из их дисперсии только тогда, когда случайные величины независимы.

и в терминах сигма

Когда две случайные величины независимы, так что

Правила ковариации

Правило 1.

Ковариация двух констант c и k равна нулю.

Правило 2.

Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

Правило 3.

Ковариация является комбинационной, как видно из определения.

Правило 4.

Ковариация случайной величины с константой равна нулю.

Правило 5.

Добавление константы к одной или обеим случайным переменным не изменяет их ковариации.

Правило 6.

При умножении случайной величины на константу ковариация умножается на эту константу.

Правило 7.

Аддитивный закон ковариации утверждает, что ковариация случайной величины с сумма случайных величин есть просто сумма ковариаций с каждым из случайных переменные.

Правило 8.

Ковариация переменной сама с собой является дисперсией случайной величины. По определению,

Формулы и правила для коэффициента корреляции случайных величин

Правила корреляции Коэффициент

Правило 1.

Добавление константы к случайной величине не меняет их коэффициент корреляции.

Правило 2.

Умножение случайной величины на константу не меняет их корреляции коэффициент.Для двух случайных величин
Z = a+b X и W = c+d Y , где a,b,c и d константы,

Поскольку квадратный корень из дисперсии всегда положителен, коэффициент корреляции может быть отрицательным только тогда, когда ковариация отрицательна. Это приводит к

Правило 3.

Коэффициент корреляции всегда не меньше -1 и не больше +1.

Формулы и правила для выборочного среднего, дисперсии, ковариации и стандарта Отклонение и коэффициент корреляции случайных величин

Правила выборочной статистики

Правило 1.

Среднее значение выборки вычислено

Правило 2.

Выборочная дисперсия равна
или

Стандартное отклонение выборки s равно
или

Правило 3.

Коэффициент корреляции выборки такой же, как корреляция генеральной совокупности коэффициент.

Каково правило умножения на 0? – QuickAdviser

Каково правило умножения на 0?

Правило гласит, что все, что умножается на 0, равно 0. Запомните это правило, и все задачи на умножение на 0 сразу станут проще. Если вы видите 0 в своей задаче на умножение, то ваш ответ 0.Неважно, где находится ваш 0.

При умножении на 0 Произведение всегда?

ноль
Умножение на ноль Умножение на 0 делает произведение равным нулю. Произведение любого действительного числа на 0 равно 0.

Что является обратной величиной 1?

Обратное значение 1 равно 1. Обратное или мультипликативное обратное число — это число, которое мы должны умножить, чтобы получить ответ, эквивалентный мультипликативному тождеству 1. Обратное число 1 равно 1.

Существует ли обратное значение нуля?

В действительных числах у нуля нет обратной величины, потому что никакое действительное число, умноженное на 0, не дает 1 (произведение любого числа с нулем равно нулю).Эта мультипликативная обратная существует тогда и только тогда, когда числа a и n взаимно просты.

Чему равно число, обратное числу 5?

1/5
Обратное число 5 равно 1/5. Каждое число имеет обратную величину, кроме 0. Нет ничего, что можно было бы умножить на 0, чтобы получить произведение 1, поэтому у него нет обратной величины. Обратные числа используются при делении дробей.

Почему 0 0 бесконечность?

В математике такие выражения, как 1/0, не определены. Но предел выражения 1/x при стремлении x к нулю равен бесконечности.Точно так же такие выражения, как 0/0, не определены. Таким образом, 1/0 — это не бесконечность, а 0/0 — не неопределенность, поскольку деление на ноль не определено.

Чему равно число, обратное числу 5 8?

Обратное число 5/8 равно 8/5.

Какой пример умножения на ноль?

Умножение на ноль Когда мы умножаем на ноль, ответ равен нулю. Пример: 12 × 0 = 0 Также, когда ноль стоит перед умножением: Пример: 0 × 5 = 0

Как вычислить произведение длинного умножения?

Умножение положительных или отрицательных целых чисел или десятичных чисел в качестве множимого и множителя для вычисления произведения с использованием длинного умножения.Решение показывает работу стандартного алгоритма.

Где я могу найти примеры алгоритмов длинного умножения?

Длинное умножение — это алгоритм, и вы можете найти примеры алгоритмов умножения в Википедии. Гудман, Лен. «Долгое умножение». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком В. Вайсштейном. http://mathworld.wolfram.com/LongMultiplication.html

Куда писать множитель в длинном калькуляторе умножения?

Начиная с цифры единиц нижнего числа, множителя, умножьте его на последнюю цифру верхнего числа.Запишите ответ под строкой равенства. Если этот ответ больше девяти, запишите разряд единиц в качестве ответа и несите цифру десятков. Действуйте справа налево.

Умножение векторов – Гиперучебник по физике

Обсуждение

умножение скаляра на вектор

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но оставляет его направление неизменным. Скаляр изменяет размер вектора. Скаляр «масштабирует» вектор. Например, полярный форм-вектор…

r  =  r    + θ  θ̂

умножить на скаляр равно…

a   r  =  ar    + θ  θ̂

Умножение вектора на скаляр является дистрибутивным.

a ( A + B ) = a A + a   B

Следовательно, прямоугольный форм-вектор…

r = x х + y х

умножить на скаляр равно…

a   r = ax   î + a   ĵ

скалярный продукт

Геометрически скалярное произведение двух векторов равно единице, умноженной на проекцию второго на первый.

Символ, используемый для обозначения этой операции, представляет собой небольшую точку средней высоты (·), откуда и произошло название «точечный продукт». Поскольку это произведение имеет только величину, оно также известно как скалярное произведение .

A  ·  B  =  AB  cos θ

Скалярный продукт является распределительным…

А  · ( Б  +  С ) =  А  ·  Б  +  А  ·  С 0 0

и коммутативный…

А  ·  Б  =  Б  ·  А

Поскольку проекция вектора на самого себя оставляет его величину неизменной, скалярное произведение любого вектора на самого себя равно квадрату величины этого вектора.

A  ·  A  =  AA  cos 0° =  A 2

Применение этого следствия к единичным векторам означает, что скалярное произведение любого единичного вектора с самим собой равно единице. Кроме того, поскольку вектор не имеет перпендикулярной к себе проекции, скалярное произведение любого единичного вектора на любой другой равно нулю.

х  ·  х  =  х  ·  х  =   ·  = 90(1)(0)

х  ·  х  = х  ·   =  ·  х = 0 0 (1)(1)

Используя эти знания, мы можем вывести формулу скалярного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме.Полученный продукт выглядит так, как будто это будет ужасный беспорядок, но он состоит в основном из членов, равных нулю.

А  ·  В  =  ( х î + у Ĵ + г к ) · ( B х î + Б у ĵ + B z   )  
 
А  ·  В  =  А x   î  ·  B x   î  +  А x   î  ·  Б и   х  +  А x   î  ·  B z    
+ А и   х  ·  B x   î  +  А и   х  ·  Б и   х  +  А и   х  ·  B z    
+ A z    ·  B x   î  +  A z    ·  Б и   х  +  A z    ·  B z    
А  ·  В  =  A x B x  +  A y B y  +  A z

6 6 z

 
 

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их параллельных компонентов.Отсюда мы можем вывести теорему Пифагора для трех измерений.

· = А. А. сов 0 ° = х х + у у + г г

A 2 = A x 2 + A Y 2 + A Z 2

55.

перекрестное произведение

Геометрически перекрестное произведение двух векторов представляет собой площадь параллелограмма между ними.

Символ, используемый для обозначения этой операции, представляет собой большой диагональный крест (×), откуда и произошло название «перекрестное произведение». Поскольку это произведение имеет величину и направление, оно также известно как векторное произведение .

A  ×  B  =  AB  sin θ 

Вектор (n hat) представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной двумя векторами. Направление определяется правилом правой руки, которое мы вскоре обсудим.

Перекрестное произведение является распределительным…

  A  × ( B  +  C ) = ( A  ×  B ) + ( A  ×  5 C )

, но , а не коммутативный…

А  ×  В  = — В  ×  А

Изменение порядка перекрестного умножения на противоположное меняет направление произведения.

Поскольку два одинаковых вектора образуют вырожденный параллелограмм без площади, векторное произведение любого вектора на себя равно нулю…

А  ×  А  = 0

Применение этого следствия к единичным векторам означает, что векторное произведение любого единичного вектора с самим собой равно нулю.

х  × х  =  х  х х  =   × ° = 90(1)(1)

Следует отметить, что векторное произведение любого единичного вектора на любой другой будет иметь величину, равную единице. (В конце концов, синус 90° — это единица.) Однако направление не является интуитивно очевидным. Правило правой руки для перекрестного умножения связывает направление двух векторов с направлением их произведения. Поскольку перекрестное умножение , а не коммутативно, порядок операций важен.

  1. Держите правую руку горизонтально, большой палец должен быть перпендикулярен остальным. Ни в коем случае не сгибайте большой палец.
  2. Укажите пальцами в направлении первого вектора.
  3. Расположите ладонь так, чтобы при сгибании пальцев они указывали в направлении второго вектора.
  4. Теперь ваш большой палец указывает в направлении векторного произведения.

Правосторонняя система координат , которая является обычной системой координат, используемой в физике и математике, представляет собой систему, в которой любое циклическое произведение трех координатных осей положительно, а любое антициклическое произведение отрицательно.Представьте себе часы с тремя буквами x-y-z вместо обычных двенадцати цифр. Любое произведение этих трех букв, которое работает круглосуточно в том же направлении, что и последовательность x-y-z, есть циклическое и положительное. Любой продукт, который работает в противоположном направлении, является антициклическим и отрицательным.

Перекрестное произведение циклических пар
единичных векторов равно положительным .
Перекрестное произведение антициклической пары
единичных векторов равно отрицательному .

Используя эти знания, мы можем вывести формулу векторного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме. Полученный продукт выглядит так, как будто он будет ужасным беспорядком, и это так!

A × B = ( A x î + A Y ĵ + A Z ĵ + A Z ) A Z ) A Z ) A Z 999090+ A Z 99. ) A Z 99. ) A Z 99. ) a Z .  +  B y   ×  +  B z   )

Произведение двух трехчленов состоит из девяти членов.

А × В  =  А x   î  ×  B x   î  +  А x   î  ×  Б и   х  +  А x   î  ×  B z  
 +  А и   х  ×  B x   î  +  А и   х  ×  Б и   х  +  А и   х  ×  B z  
 +  A z    ×  B x   î  +  A z    ×  Б и   х  +  A z    ×  B z  

Три из них равны нулю.Устраните их.

А × В  =  A x B y    −  А х В z   х
 −  A y B x    +  А и В z   и
 +  А z В x   х  −  А z B y   î

Сгруппировать термины по единичному вектору и фактору.

× B = ( у Б г г Б у ) î + ( г В х х В г ) Ĵ + ( х В у — у Б х ) к

Есть более простой способ записать это. Для тех из вас, кто знаком с матрицами, перекрестное произведение двух векторов является определителем матрицы, первая строка которой представляет собой единичные векторы, вторая строка — первый вектор, а третья строка — второй вектор.Символически…

А  ×  В  =  î х к̂
  А x     А у     А z  
  В x     Б у     Б z  

Расширение определителя 3×3 по его первой строке — это первый шаг.Это дает нам три определителя 2×2.

А  ×  В  =    А у     А z     î  —    А x     А z     х  +    А x     А у     к̂
  Б у     Б z     В x     Б z     В x     Б у  

Эти определители 2×2 можно быстро найти.Они также дают нам решение, предварительно отсортированное по единичному вектору, поэтому нет необходимости сортировать члены и множители.

× B = ( у Б г г Б у ) î + ( г В х х В г ) Ĵ + ( х В у — у Б х ) к

Почему любое число в нулевой степени равно 1?

Серьезно? Этому определенно учили в старших классах, но, как всем известно, большая часть того, чему учили в старших классах, теперь кажется излишним.Я имею в виду, вы помните, что вам приходилось вспоминать, что митохондрии являются электростанцией клетки, когда вы платите налоги? Ага, я тоже.

Тем не менее, эта статья ставит дразнящий вопрос! Эти вопросы показывают, что много лет назад мы мысленно сфотографировали и обрамили определенные математические выражения, но теперь забыли все события, которые привели к этой картине. Эти выражения стали решающими постулатами — принципами, которые мы слепо принимаем без всякого скептицизма. Их доказательства долго ускользали от нас.

Напомню, что правило — число, возведенное в нулевую степень, равно единице — не является произвольным или условным; в математике нет ничего произвольного. На самом деле это верно для многих таких простых, но непонятных запросов, в том числе почему факториал нуля равен единице.

Это в высшей степени базовые или первичные проблемы, поскольку они глубоко укоренены в самой конституции соответствующих им дисциплин. Таким образом, они требуют глубоких концептуальных знаний, которых большинству из нас не хватает, вероятно, потому, что мы никогда не применяли их эффективно.

Во-первых, вернемся к основам.


Рекомендуемое видео для вас:


Показательная функция

Показательная функция — это функция, которая принимает вид функция, может быть любым числом. Изначально константы возводились только до положительных чисел. Однако область определения функции расширилась, а число, до которого можно было возвести константу, расширилось до дроби, отрицательной, отрицательной дроби или даже до комплексного числа!

Экспоненциальная функция (Фото предоставлено Picknick/Wikimedia Commons)

Функция представляет собой большую операцию самоумножения числа, которое умножается само на себя, на чьих плечах находится число в степени, или число, умноженное на число self — умножает.Например, 3³ представляет операцию 3x3x3, что равно 27. Однако рассмотрим (81)½. Его результатом является число, которое при возведении в степень 2 дает нам 81 (9, если вы не знали). Проще говоря, дробная степень представляет собой корень из основного числа.

Кроме того, отрицательные степени представляют собой обратную экспоненциальную функцию, так что теперь функция является показательной функцией с положительной степенью, деленной на единицу. Например, 3-2 означает (1/3)².Другой принцип, который необходимо помнить, заключается в том, что когда две экспоненциальные функции с одним и тем же основанием умножаются друг на друга, результатом является основание, возведенное в сумму обеих степеней. Например, (3×3) x (3) равно 27, или 3³, или 32+1.

Еще один способ взглянуть на экспоненциальную функцию — с точки зрения комбинаций. 2³ представляет все наборы из трех чисел, где каждое число является одним из двух чисел, скажем, 1 и 0. Два числа можно комбинировать 8 способами — (000), (001), (010), (011), ( 100), (101), (110), (111), что дает 2³ как 8.

Итак, что представляет собой 2º?

Почему любое число в нулевой степени равно 1?

Принимая во внимание бесчисленное множество способов определения экспоненциальной функции, можно найти xº, обращаясь к каждому отдельному определению, что действительно является самым правильным способом.

Во-первых, обратимся к комбинированному определению. Чтобы получить более ощутимую идею, замените числа физическими объектами. Как расположить ручку и карандаш в наборах, в которых их нет? Только один, не размещая их вообще!

Что ж, признаю, это звучит очень подозрительно.Итак, вместо этого мы обратимся к следующему принципу. Рассмотрим этот шаблон:

Шаблон 1 : Шаблон также может быть расширен до отрицательных чисел, что дает: Шаблон 2 Подводя итог, мы можем написать, что xa-1  равно xa /x (это сокращение даже не требует длинная схема; мы можем прийти к ней, искусно подменив сам принцип умножения). Теперь, когда a равно 1, значение xº становится x¹/x, что равно 1.

Однако, на мой взгляд, наиболее поучительным доказательством был бы метод умножения.Если мы умножим xª на x-b, результатом в соответствии с правилом умножения будет xa+(-b) или xa-b. Теперь, если числа a и b равны, результатом будет xº.

Теперь, поскольку x-b можно записать как 1/xb, приведенное выше умножение можно записать как xª , деленное на xb. И если a и b равны, то два числа равны, что дает нам xº = 1! Например, 3³, умноженное на 3-3, равно 33 x 1/ 33, что дает 3º=1.

Значит, доказано!

Рекомендуем к прочтению

Была ли эта статья полезной?

Да Нет

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.