Правило умножение десятичных дробей: Умножение десятичных дробей / Десятичные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Содержание

Как умножать и делить десятичные дроби. Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения. Умножение десятичных дробей столбиком























Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

  • В увлекательной форме ввести учащимся правило умножения десятичной дроби на натуральное число, на разрядную единицу и правило выражения десятичной дроби в процентах. Выработать умение применения полученных знаний при решении примеров и задач.
  • Развивать и активизировать логическое мышление учащихся, умение выявлять закономерности и обобщать их, укреплять память, умение сотрудничать, оказывать помощь, оценивать свою работу и работу друг друга.
  • Воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, умение общаться.

Оборудование: интерактивная доска, плакат с цифрограммой, плакаты с высказываниями математиков.

Ход урока

  1. Организационный момент.
  2. Устный счёт – обобщение раннее изученного материала, подготовка к изучению нового материала.
  3. Объяснение нового материала.
  4. Задание на дом.
  5. Математическая физкультминутка.
  6. Обобщение и систематизация полученных знаний в игровой форме при помощи компьютера.
  7. Выставление оценок.

2. Ребята, сегодня у нас урок будет несколько необычным, потому что я буду проводить его не одна, а со своим другом. И друг у меня тоже необычный, сейчас вы его увидите. (На экране появляется компьютер-мультяшка). У моего друга есть имя и он умеет разговаривать. Как тебя зовут, дружок? Компоша отвечает: “Меня зовут Компоша”. Ты сегодня готов помогать мне? ДА! Ну тогда давай начнём урок.

Мне сегодня пришла зашифрованная цифрограмма, ребята, которую мы должны вместе решить и расшифровать.

(На доске вывешивается плакат с устным счётом на сложение и вычитание десятичных дробей, в результате решения которого ребята получают следующий код 523914687. )

5 2 3 9 1 4 6 8 7
123456789

Расшифровать полученный код помогает Компоша. В результате расшифровки получается слово УМНОЖЕНИЕ. Умножение – это ключевое слово темы сегодняшнего урока. На мониторе высвечивается тема урока: “Умножение десятичной дроби на натуральное число”

Ребята, мы знаем, как выполняется умножение натуральных чисел. Сегодня мы с вами рассмотрим умножение десятичных чисел на натуральное число. Умножение десятичной дроби на натуральное число можно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. Например: 5,21·3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значит, 5,21·3 = 15,63. Представив 5,21 в виде обыкновенной дроби на натуральное число, получим

И в этом случае получили тот же результат 15,63. Теперь, не обращая внимания на запятую, возьмём вместо числа 5,21 число 521 и перемножим на данное натуральное число. Здесь мы должны помнить, что в одном из множителей запятая перенесена на два разряда вправо. При умножении чисел 5, 21 и3 получим произведение равное 15,63. Теперь в этом примере запятую перенесём влево на два разряда. Таким образом, во сколько раз один из множителей увеличили, во столько раз уменьшили произведение. На основании сходных моментов этих способов, сделаем вывод.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) не обращая внимания на запятую, выполнить умножение натуральных чисел;
2) в полученном произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их в десятичной дроби.

На мониторе высвечиваются следующие примеры, которые мы разбираем вместе с Компошей и ребятами: 5,21·3 = 15,63 и 7,624·15 = 114,34. После показываю умножение на круглое число 12,6·50 = 630 . Далее перехожу на умножение десятичной дроби на разрядную единицу. Показываю следующие примеры: 7,423·100 = 742,3 и 5,2·1000 = 5200. Итак, ввожу правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу:

Чтобы умножить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной единицы.

Заканчиваю объяснение выражением десятичной дроби в процентах. Ввожу правило:

Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо её умножить на 100 и приписать знак %.

Привожу пример на компьютере 0,5·100 = 50 или 0,5 = 50% .

4. По окончании объяснения даю ребятам домашнее задание, которое тоже высвечивается на мониторе компьютера: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Чтобы ребята немного отдохнули, на закрепление темы делаем вместе с Компошей математическую физкультминутку. Все встают, показываю классу решённые примеры и они должны ответить, правильно или не правильно решён пример. Если пример решён правильно, то они поднимают руки над головой и делают хлопок ладонями. Если же пример решён не верно, ребята вытягивают руки в стороны и разминают пальчики.

6. А теперь вы немного отдохнули, можно и решить задания. Откройте учебник на странице 205, № 1029. в этом задании надо вычислить значение выражений:

Задания появляются на компьютере. По мере их решения, появляется картинка с изображением кораблика, который при полной сборке уплывает.

№ 1031 Вычисли:

Решая это задание на компьютере, постепенно складывается ракета, решив последний пример, ракета улетает. Учитель делает небольшую информацию учащимся: “ Каждый год с казахстанской земли с космодрома Байконур взлетают к звёздам космические корабли. Рядом с Байконуром Казахстан строит свой новый космодром “Байтерек”.

№ 1035. Задача.

Какое расстояние пройдёт легковая машина за 4 часа, если скорость легковой машины 74,8 км/ч.

Данная задача сопровождается звуковым оформлением и вынесением на монитор краткого условия задачи. Если задача решена, верно, то машина начинает двигаться вперёд до финишного флажка.

№ 1033. Запиши десятичные дроби в процентах.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Решая каждый пример, при появлении ответа появляется буква, в результате чего появляется слово

Молодцы .

Учитель спрашивает Компошу, к чему бы появилось это слово? Компоша отвечает: “Молодцы, ребята!” и прощается со всеми.

Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки.

Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями , сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и

умножение действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы умножения десятичных дробей

Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей . Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные .

Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

Пример.

Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

Решение.

Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то . Можно провести сокращение дроби , после чего выделить целую часть из неправильной дроби , а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

Ответ:

1,5·0,75=1,125 .

Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в .

Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

Пример.

Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

Решение.

Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

Тогда . Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь :

Ответ:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите

округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

Пример.

Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

Решение.

Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

Ответ:

5,382…·0,2≈1,076 .

Умножение десятичных дробей столбиком

Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел .

Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

  • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
  • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.

Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

Пример.

Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

Решение.

Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12 ). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

Ответ:

3,37·0,12=7,6044 .

Пример.

Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

Решение.

Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

Ответ:

3,2601·0,0254=0,08280654 .

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

Умножение десятичной дроби на натуральное число

По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

Пример.

Вычислите произведение 15·2,27 .

Решение.

Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

Ответ:

15·2,27=34,05 .

При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

Пример.

Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

Решение.

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

Ответ:

0,(42)·22=9,(3) .

А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

Пример.

Выполните умножение 4·2,145… .

Решение.

Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

Ответ:

4·2,145…≈8,60 .

Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

Пример.

Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

Решение.

Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

Ответ:

0,0783·100=7,83 .

Пример.

Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

Решение.

Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

§ 1 Применение правило умножения десятичных дробей

В этом уроке Вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, такую как 0,1, 0,01 и т.д. Кроме того, мы рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.

Решим задачу:

Скорость движения автомобиля составляет 59,8 км/ч.

Какой путь преодолеет автомобиль за 1,3 часа?

Как известно, чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.

Давайте запишем числа в столбик и начнем их перемножать, не замечая запятых: 8 умножить на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножить на 9 это 27, да еще плюс 2, получаем 29, 9 пишем, 2 в уме. Теперь 3 умножаем на 5, будет 15 и еще прибавляем 2, получаем 17.

Переходим ко второй строке: 1 умножить на 8, будет 8, 1 умножить на 9, получаем 9, 1 умножить на 5, получаем 5, складываем эти две строчки, получаем 4, 9+8 равно 17, 7 пишем 1 в уме, 7+9 это 16 да еще 1, будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 да еще 1 получаем 7.

А теперь посмотрим, сколько знаков после запятых стоит в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой и во второй дроби одна цифра после запятой, всего два знака. Значит, справа в полученном результате нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, при умножении 59,8 на 1,3 получили 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.

Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби надо:

Первое: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые

Второе: в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Если же цифр в полученном произведении меньше, чем надо отделить запятой, то тогда впереди необходимо приписать один или несколько нулей.

Например: 0,145 умножить на 0,03 у нас в произведении получается 435, а запятой необходимо отделить 5 цифр справа, поэтому мы приписываем перед цифрой 4 еще 2 нуля, ставим запятую и приписываем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.

§ 2 Свойства умножения десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что действуют для натуральных чисел. Давайте выполним несколько заданий.

Задание №1:

Решим данный пример, применив распределительное свойство умноженияотносительно сложения.

5,7 (общий множитель) вынесем за скобку, в скобках останется 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, и теперь 4 надо умножить на 5,7, получаем 22,8.

Задание № 2:

Применим переместительное свойство умножения.

2,5 сначала умножим на 4, получим 10 целых, а теперь нужно 10 умножить на 32,9 и получаем 329.

Кроме этого, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:

При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т.е. большую или равную 1, оно увеличивается или не изменяется, например:

При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньшую 1, оно уменьшается, например:

Давайте решим пример:

23,45 умножить на 0,1.

Мы должны 2 345 умножить на 1 и отделить три знака запятой справа, получим 2,345.

Теперь давайте решим другой пример: 23,45 разделить на 10, мы должны перенести запятую влево на один знак, потому что 1 ноль в разрядной единице, получим 2,345.

Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. это значит разделить число на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1 во множителе.

Используя полученное правило, найдем значения произведений:

13,45 умножить на 0,01

перед цифрой 1 стоит 2 нуля, поэтому перенесем запятую влево на 2 знака, получим 0,1345.

0,02 умножить на 0,001

перед цифрой 1 стоит 3 нуля, значит переносим запятую на три знака влево, получаем 0,00002.

Таким образом, в этом уроке Вы научились перемножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01 и т.д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.

Список использованной литературы:

  1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. — М: 2013.
  2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор — Попов М.А. — 2013 год
  3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год
  4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. — 2010 год
  5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы — Попов М.А. — 2012 год
  6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. — 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009

Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 . Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2 .

Аналогично можно убедиться, что:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на одну цифру.

А как умножить десятичную дробь на 100 ?

Имеем: a * 100 = a * 10 * 10 . Тогда:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Рассуждая аналогично, получаем, что:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Умножим дробь 7,1212 на число 1 000 .

Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2 .

Эти примеры иллюстрируют следующее правило.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .

Итак, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.

Следовательно, если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз .

Покажем, что десятичная форма записи дробей дет возможность умножать их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.

Найдем, например, произведение 3,4 * 1,23 . Увеличим первый множитель в 10 раз, а второй − в 100 раз. Это означает, что мы увеличили произведение в 1 000 раз.

Следовательно, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.

Имеем: 34 * 123 = 4182 . Тогда для получения ответа надо число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0 . Перенося запятую в числе 4 182,0 на три цифры влево, получим число 4,182 , которое в 1 000 раз меньше числа 4 182 . Поэтому 3,4 * 1,23 = 4,182 .

Этот же результат можно получить, руководствуясь следующим правилом.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1 ) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;

2 ) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

В тех случаях, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведение дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.

Например, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006 ; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825 .

В тех случаях, когда один из множителей равен 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., удобно пользоваться следующим правилом.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .

Например, 1,58 * 0,1 = 0,158 ; 324,7 * 0,01 = 3,247 .

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

ab = ba − переместительное свойство умножения,

(ab) с = a(b с) − сочетательное свойство умножения,

a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.

В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Содержание урока

Сложение десятичных дробей

Как мы знаем, десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.

Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.

Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой» .

Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой» :

Получили ответ 8,5. Значит, выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

На самом деле не всё так просто как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.

Разряды в десятичных дробях

У десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.

Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

Разряды в десятичных дробях хранят в себе нéкоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых

Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых

Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных

Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .

Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345

Сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345 .

При сложении десятичных дробей соблюдаются те же правила что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой» . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4

В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.

Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27

Записываем в столбик данное выражение:

Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:

Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:

Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8

Записываем в столбик данное выражение

Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

Пример 5 . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:

Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:

Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:

Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Вычитание десятичных дробей

При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39

Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4 . Найти значение выражения 3−1,2

В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3

Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:

Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:

Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

Отделяем запятой целую часть от дробной:

Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Умножение десятичной дроби на обычное число

Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Например, умножим 2,54 на 2

Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

Например, умножим 2,88 на 10

Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

2,88 × 100 = 288

Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001

Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

Например, умножим 3,25 на 0,1

Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.

Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:

Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.

А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.

Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»

Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице» , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5

Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

Пример 2. Найти значение выражения 4: 5

Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8

Пример 3. Найти значение выражения 5: 125

Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:

Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04

Деление чисел без остатка

Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:

Допишем ноль к остатку 4

Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:

40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2 . Разделить 84 на 5 без остатка

Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:

Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0

Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:

и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:

Деление десятичной дроби на обычное число

Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

  • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
  • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

Например, разделим 4,8 на 2

Запишем этот пример уголком:

Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4

Пример 2. Найти значение выражения 8,43: 3

Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

Например, разделим 5,95 на 1,7

Запишем уголком данное выражение

Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:

Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

(9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18: 6 = 3

Как видно из примера, частное не поменялось.

Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

5,91 × 10 = 59,1

Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

2,1: 100 = 0,021

Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

2,1: 1000 = 0,0021

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63

Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630

Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

6,3: 0,001 = 6300

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Разбор умножения десятичных дробей столбиком. Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения

Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

Правило умножения десятичных дробей

1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры .

Найти произведение десятичных дробей:

Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

Вы уже знаете, что a * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. Например, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 . Несложно догадаться, что эта сумма равна 2, т.е. 0,2 * 10 = 2 .

Аналогично можно убедиться, что:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Вы, наверное, догадались, что при умножении десятичной дроби на 10 надо в этой дроби перенести запятую вправо на одну цифру.

А как умножить десятичную дробь на 100 ?

Имеем: a * 100 = a * 10 * 10 . Тогда:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Рассуждая аналогично, получаем, что:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Умножим дробь 7,1212 на число 1 000 .

Имеем: 7,1212 * 1 000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2 .

Эти примеры иллюстрируют следующее правило.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .

Итак, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз.

Следовательно, если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз .

Покажем, что десятичная форма записи дробей дет возможность умножать их, руководствуясь правилом умножения натуральных чисел.

Найдем, например, произведение 3,4 * 1,23 . Увеличим первый множитель в 10 раз, а второй − в 100 раз. Это означает, что мы увеличили произведение в 1 000 раз.

Следовательно, произведение натуральных чисел 34 и 123 в 1 000 раз больше искомого произведения.

Имеем: 34 * 123 = 4182 . Тогда для получения ответа надо число 4 182 уменьшить в 1 000 раз. Запишем: 4 182 = 4 182,0 . Перенося запятую в числе 4 182,0 на три цифры влево, получим число 4,182 , которое в 1 000 раз меньше числа 4 182 . Поэтому 3,4 * 1,23 = 4,182 .

Этот же результат можно получить, руководствуясь следующим правилом.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1 ) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;

2 ) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

В тех случаях, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведение дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.

Например, 2 * 3 = 6, тогда 0,2 * 3 = 0,006 ; 25 * 33 = 825, тогда 0,025 * 0,33 = 0,00825 .

В тех случаях, когда один из множителей равен 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., удобно пользоваться следующим правилом.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т.д. цифры .

Например, 1,58 * 0,1 = 0,158 ; 324,7 * 0,01 = 3,247 .

Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

ab = ba − переместительное свойство умножения,

(ab) с = a(b с) − сочетательное свойство умножения,

a(b + с) = ab + ac − распределительное свойство умножения относительно сложения.

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

  • 70,1 · 10 = 701
  • 0,023 · 100 = 2,3
  • 5,6 · 1 000 = 5 600
  • Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

    Считаем и ноль целых!

    • 12 · 0,1 = 1,2
    • 0,05 · 0,1 = 0,005
    • 1,256 · 0,01 = 0,012 56
    • Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

      Правило умножения десятичных дробей

      1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

      2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

      Найти произведение десятичных дробей:

      Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

      Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

      Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

      Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

      Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

      И еще пара примеров на умножение десятичных дробей:

      www.for6cl.uznateshe.ru

      Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

      Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

      Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .

      Навигация по странице.

      Общие принципы умножения десятичных дробей

      Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

      Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

      Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

      Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то. Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби, а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

      Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

      Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

      Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

      Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

      Тогда. Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

      Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

      Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

      Умножение десятичных дробей столбиком

      Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

      Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

      • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
      • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
      • Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

        Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

        Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

        Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

        В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

        Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

        Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

        Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

        На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

        Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

        Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

        Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

        Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

        Умножение десятичной дроби на натуральное число

        По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

        Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

        Вычислите произведение 15·2,27 .

        Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

        При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

        Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

        Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

        Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

        А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

        Выполните умножение 4·2,145… .

        Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

        Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

        Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

        Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

        Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

        Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

        Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

        Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

        5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

        При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

        Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

        Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

        Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число.

        Так как 0,4=4/10=2/5 и, то. Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

        При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

        Так как 2/3=0,6666… , то. После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

        Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

        www.cleverstudents.ru

        29. Умножение десятичных дробей. Правила


        Найдем площадь прямоугольника со сторонами равными
        1,4 дм и 0,3 дм. Переведем дециметры в сантиметры:

        1,4 дм = 14 см; 0,3 дм = 3 см.

        Теперь вычислим площадь в сантиметрах.

        S = 14 3 = 42 см 2 .

        Переведем квадратные сантиметры в квадратные
        дециметры:

        д м 2 = 0,42 д м 2 .

        Значит, S = 1,4 дм 0,3 дм = 0,42 дм 2 .

        Умножение двух десятичных дробей выполняется так:
        1) числа перемножаются без учета запятых.
        2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
        столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
        вместе взятых. Например:

        1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

        Примеры умножения десятичных дробей в столбик:

        Вместо умножения любого числа на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ,
        можно разделить это число на 10 ; 100 ; или 1000 соответственно.
        Например:

        22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

        При умножении десятичной дроби на натуральное число, мы должны:

        1) перемножить числа, не обращая внимания на запятую;

        2) в полученном произведении поставить запятую так, чтобы справа
        от нее было столько же цифр, сколько в десятичной дроби.

        Найдем произведение 3,12 10 . По указанному выше правилу
        сначала умножаем 312 на 10 . Получим: 312 10 = 3120 .
        А теперь отделяем запятой две цифры справа и получаем:

        3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

        Значит, при умножении 3,12 на 10 мы перенесли запятую на одну
        цифру вправо. Если умножить 3,12 на 100 , то получим 312 , то есть
        запятую перенесли на две цифры вправо.

        3,12 100 = 312,00 = 312 .

        При умножении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т. д., надо
        в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей
        стоит в множителе. Например:

        0,065 1000 = 0065, = 65 ;

        2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

        Задачи на тему «Умножение десятичных дробей»

        school-assistant.ru

        Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

        Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

        Правило. производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

        При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

        Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

        243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

        843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

        Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

        Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

        Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

        Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

        При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

        Запись умножения десятичных дробей в столбик:

        Запись деления десятичных дробей в столбик:

        Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

        Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

        Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!























    Назад Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Цель урока:

    • В увлекательной форме ввести учащимся правило умножения десятичной дроби на натуральное число, на разрядную единицу и правило выражения десятичной дроби в процентах. Выработать умение применения полученных знаний при решении примеров и задач.
    • Развивать и активизировать логическое мышление учащихся, умение выявлять закономерности и обобщать их, укреплять память, умение сотрудничать, оказывать помощь, оценивать свою работу и работу друг друга.
    • Воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, умение общаться.

    Оборудование: интерактивная доска, плакат с цифрограммой, плакаты с высказываниями математиков.

    Ход урока

    1. Организационный момент.
    2. Устный счёт – обобщение раннее изученного материала, подготовка к изучению нового материала.
    3. Объяснение нового материала.
    4. Задание на дом.
    5. Математическая физкультминутка.
    6. Обобщение и систематизация полученных знаний в игровой форме при помощи компьютера.
    7. Выставление оценок.

    2. Ребята, сегодня у нас урок будет несколько необычным, потому что я буду проводить его не одна, а со своим другом. И друг у меня тоже необычный, сейчас вы его увидите. (На экране появляется компьютер-мультяшка). У моего друга есть имя и он умеет разговаривать. Как тебя зовут, дружок? Компоша отвечает: “Меня зовут Компоша”. Ты сегодня готов помогать мне? ДА! Ну тогда давай начнём урок.

    Мне сегодня пришла зашифрованная цифрограмма, ребята, которую мы должны вместе решить и расшифровать. (На доске вывешивается плакат с устным счётом на сложение и вычитание десятичных дробей, в результате решения которого ребята получают следующий код 523914687. )

    5 2 3 9 1 4 6 8 7
    123456789

    Расшифровать полученный код помогает Компоша. В результате расшифровки получается слово УМНОЖЕНИЕ. Умножение – это ключевое слово темы сегодняшнего урока. На мониторе высвечивается тема урока: “Умножение десятичной дроби на натуральное число”

    Ребята, мы знаем, как выполняется умножение натуральных чисел. Сегодня мы с вами рассмотрим умножение десятичных чисел на натуральное число. Умножение десятичной дроби на натуральное число можно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. Например: 5,21·3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значит, 5,21·3 = 15,63. Представив 5,21 в виде обыкновенной дроби на натуральное число, получим

    И в этом случае получили тот же результат 15,63. Теперь, не обращая внимания на запятую, возьмём вместо числа 5,21 число 521 и перемножим на данное натуральное число. Здесь мы должны помнить, что в одном из множителей запятая перенесена на два разряда вправо. При умножении чисел 5, 21 и3 получим произведение равное 15,63. Теперь в этом примере запятую перенесём влево на два разряда. Таким образом, во сколько раз один из множителей увеличили, во столько раз уменьшили произведение. На основании сходных моментов этих способов, сделаем вывод.

    Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
    1) не обращая внимания на запятую, выполнить умножение натуральных чисел;
    2) в полученном произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их в десятичной дроби.

    На мониторе высвечиваются следующие примеры, которые мы разбираем вместе с Компошей и ребятами: 5,21·3 = 15,63 и 7,624·15 = 114,34. После показываю умножение на круглое число 12,6·50 = 630 . Далее перехожу на умножение десятичной дроби на разрядную единицу. Показываю следующие примеры: 7,423·100 = 742,3 и 5,2·1000 = 5200. Итак, ввожу правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу:

    Чтобы умножить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной единицы.

    Заканчиваю объяснение выражением десятичной дроби в процентах. Ввожу правило:

    Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо её умножить на 100 и приписать знак %.

    Привожу пример на компьютере 0,5·100 = 50 или 0,5 = 50% .

    4. По окончании объяснения даю ребятам домашнее задание, которое тоже высвечивается на мониторе компьютера: № 1030, № 1034, № 1032.

    5. Чтобы ребята немного отдохнули, на закрепление темы делаем вместе с Компошей математическую физкультминутку. Все встают, показываю классу решённые примеры и они должны ответить, правильно или не правильно решён пример. Если пример решён правильно, то они поднимают руки над головой и делают хлопок ладонями. Если же пример решён не верно, ребята вытягивают руки в стороны и разминают пальчики.

    6. А теперь вы немного отдохнули, можно и решить задания. Откройте учебник на странице 205, № 1029. в этом задании надо вычислить значение выражений:

    Задания появляются на компьютере. По мере их решения, появляется картинка с изображением кораблика, который при полной сборке уплывает.

    № 1031 Вычисли:

    Решая это задание на компьютере, постепенно складывается ракета, решив последний пример, ракета улетает. Учитель делает небольшую информацию учащимся: “ Каждый год с казахстанской земли с космодрома Байконур взлетают к звёздам космические корабли. Рядом с Байконуром Казахстан строит свой новый космодром “Байтерек”.

    № 1035. Задача.

    Какое расстояние пройдёт легковая машина за 4 часа, если скорость легковой машины 74,8 км/ч.

    Данная задача сопровождается звуковым оформлением и вынесением на монитор краткого условия задачи. Если задача решена, верно, то машина начинает двигаться вперёд до финишного флажка.

    № 1033. Запиши десятичные дроби в процентах.

    0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

    Решая каждый пример, при появлении ответа появляется буква, в результате чего появляется слово Молодцы .

    Учитель спрашивает Компошу, к чему бы появилось это слово? Компоша отвечает: “Молодцы, ребята!” и прощается со всеми.

    Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки.

    Умножение десятичных дробей на натуральное число – примеры и правило

    Автор Беликова Ирина На чтение 2 мин Просмотров 11

    Умножение дробей это всегда проблема для учеников. Особенно трудно дается умножение и деление дробей. Поэтому обговорим тему умножения десятичных дробей на натуральные числа отдельно.

    Что такое натуральное число?

    Натуральные числа были первыми, придуманными в мире числовыми обозначениями. Эти числа возникли естественным путем, так как они необходимы для повседневного счета. К натуральным числам относятся все значения от 1 до бесконечности. К натуральным числам не относятся дроби и иррациональные значения.

    Число 5 натуральное, а вот 5,1 – нет.

    Что такое десятичная дробь?

    Десятичные дроби возникли позже всех прочих подвидов дробей. С усложнением технологий в мире возникла проблем слишком громоздких вычислений с использованием обыкновенных дробей. Поэтому стали использовать десятичные дроби.

    У десятичной дроби есть знаменатель, но он не отражается в записи. Понять, какое число стоит в знаменателе дроби можно по количеству знаков после запятой в числе. В знаменателе десятичной дроби всегда находится степень числа 10. Эта степень и равняется количеству знаков после запятой.

    Рассмотрим пример:

    3,758 – у этой дроби есть целая и дробная часть. Преобразуем десятичную дробь в смешанную дробь с чертой. После запятой в дроби 3 знака, значит в знаменателе будет находится число 10 в степени 3. Это 1000.

    Значит:

    $3,758=3 {758over{1000}}$ – так будет выглядеть преобразованная десятичная дробь.

    Благодаря простоте записи во всем мире для расчетов используются десятичные дроби.

    Умножение десятичной дроби на натуральное число

    Разберем в подробности умножение десятичной дроби на натуральное число. Запишем алгоритм:

    • Сначала десятичная дробь преобразуется в натуральное число. Для этого просто убирается запятая. Обязательно запоминается количество знаков после запятой.
    • Выполняется умножение чисел.
    • В результате справа налево отсчитывается количество знаков, которое мы запомнили в начале. Ставится разделяющая запятая. Получившееся число и есть результат умножения десятичной дроби на натуральное число.

    Разберем операцию на примере:

    3,58*7

    • Выполняем перенос запятой в дроби: 3,58 преобразуется в число 358. Мы перенесли запятую на 2 знака. Важно понимать, что получившееся число не равно начальному. То есть число 3,58 не будет равно числу 358.
    • Выполняем умножение преобразованного числа

    358*7=2506

    • Следующий шаг это обратное преобразование числа в дробь. Вспомним, что в самом начале мы передвинули запятую на 2 знака. Теперь на те же 2 знака нужно отсчитать и поставит запятую снова

    Число 2506 преобразуется в 25,06

    Что мы узнали?

    Мы вспомнили, что такое десятичная дробь и натуральное число. Описали алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число. Привели пример умножения десятичных дробей на натуральное число.

    УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

    Умножение десятичных дробей

    на натуральные числа (п. 34)

    Цель деятельности педагога: создать условия для развития умений давать определение произведения десятичной дроби на натуральное число, умножать десятичную дробь на натуральное число, в том числе и на 10, 100, 1000 и т. д.

    Предметные: умножают десятичную дробь на натуральное число; прогнозируют результат вычислений.

    Личностные: объясняют самому себе свои наиболее заметные достижения, понимают причины успеха в своей учебной деятельности, дают адекватную оценку результатам учебной деятельности, проявляют интерес к предмету.

    Метапредметные:

    – регулятивные: определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средства её достижения;

    – познавательные: записывают выводы в виде правил «если … , то …»;

    – коммуникативные: умеют организовывать учебное взаимодействие в группе (распределяют роли, договариваются друг с другом и т. д.).

    Ресурсный материал: план изучения нового материала записать на доске.

    Ход урока

    I. Анализ контрольной работы.

    II. Объяснение нового материала.

    На доске написан план изучения нового материала.

    1. Что называют произведением десятичной дроби на натуральное число?

    2. Правило умножения десятичной дроби на натуральное число.

    3. Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

    Примечание: необходимо вспомнить, какие числа называются натуральными.

    III. Закрепление.

    1. Прочитать ответы на 2-й и 3-й пункты плана, постараться запомнить и рассказать соседу.

    2. № 1306 (а, б, в, г) – у доски 4 человека, № 1308 – устно.

    3. № 1310 (а, б, в) – по два произведения (объяснение «по цепочке»).

    4. № 1311 (1, 4, 7), 1315 (а, г) – самостоятельно.

    5. На повторение № 1315 (б, в).

    IV. Итог урока.

    1. Повторить теоретический материал к п. 34.

    2. Самостоятельная работа.

    а) Найти значение выражения 3,51х, если х = 0; х = 1; х = 10; х = 100;

    х = 1000.

    б) Упростите выражение 0,3m + 0,7m – 0,4m + m.

    V. Домашнее задание: п. 34; № 1330 (а, б), 1331, 1333 (а–в), 1337.


     

    Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения. Как умножать десятичные дроби

    В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100 , 10 и др.)

    В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

    Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

    Посмотрим, как решаются такие задачи.

    Пример 1

    Вычислите произведение 1 , 5 и 0 , 75 .

    Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0 , 75 – это 75 / 100 , а 1 , 5 – это 15 10 . Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 125 1000 мы запишем как 1 , 125 .

    Ответ: 1 , 125 .

    Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

    Пример 2

    Умножьте одну периодическую дробь 0 , (3) на другую 2 , (36) .

    Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

    0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 — 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 — 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

    Следовательно, 0 , (3) · 2 , (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .

    Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

    Ответ: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

    Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

    Пример 3

    Вычислите произведение 5 , 382 … и 0 , 2 .

    Решение

    У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5 , 38 · 0 , 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1 , 076 .

    Ответ: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .

    Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

    Определение 1

    Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

    1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.

    2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

    Разберем примеры таких расчетов на практике.

    Пример 4

    Умножьте десятичные дроби 63 , 37 и 0 , 12 столбиком.

    Решение

    Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

    Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4 . Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

    Ответ: 3 , 37 · 0 , 12 = 7 , 6044 .

    Пример 5

    Подсчитайте, сколько будет 3 , 2601 умножить на 0 , 0254 .

    Решение

    Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

    Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

    Ответ: 3 , 2601 · 0 , 0254 = 0 , 08280654 .

    Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

    Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:

    Определение 2

    Если мы умножим десятичную дробь на 0 , 1 , 0 , 01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

    Так, для умножения 45 , 34 на 0 , 1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4 , 534 .

    Пример 6

    Умножьте 9 , 4 на 0 , 0001 .

    Решение

    Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9 , 4 · 0 , 0001 = 0 , 00094 .

    Ответ: 0 , 00094 .

    Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0 , (18) · 0 , 01 = 0 , 00 (18) или 94 , 938 … · 0 , 1 = 9 , 4938 … . и др.

    Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

    Пример 7

    Подсчитайте, сколько будет 15 · 2 , 27 .

    Решение

    Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

    Ответ: 15 · 2 , 27 = 34 , 05 .

    Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

    Пример 8

    Вычислите произведение 0 , (42) и 22 .

    Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

    0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 — 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

    0 , 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3

    Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9 , (3) .

    Ответ: 0 , (42) · 22 = 9 , (3) .

    Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

    Пример 9

    Вычислите, сколько будет 4 · 2 , 145 … .

    Решение

    Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

    4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .

    Ответ: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .

    Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

    Умножение десятичной дроби на 10 , 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:

    Определение 3

    Чтобы умножить десятичную дробь на 1000 , 100 , 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3 , 2 , 1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

    Покажем на примере, как именно это делать.

    Пример 10

    Выполните умножение 100 и 0 , 0783 .

    Решение

    Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007 , 83 ​​​​​Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7 , 38 .

    Ответ: 0 , 0783 · 100 = 7 , 83 .

    Пример 11

    Умножьте 0 , 02 на 10 тысяч.

    Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0 . В итоге получилось 0 , 02000 ,перенесем запятую и получим 00200 , 0 . Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200 .

    Ответ: 0 , 02 · 10 000 = 200 .

    Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.

    Пример 12

    Вычислите произведение 5 , 32 (672) на 1 000 .

    Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5 , 32672672672 … , так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326 , 726726 … Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326 , (726) .

    Ответ: 5 , 32 (672) · 1 000 = 5 326 , (726) .

    Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.

    Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.

    Пример 13

    Умножьте 0 , 4 на 3 5 6

    Решение

    ​Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .

    Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1 , 5 (3) .

    Ответ: 1 , 5 (3) .

    Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.

    Пример 14

    Вычислите произведение 3 , 5678 . . . · 2 3

    Решение

    Второй множитель мы можем представить как 2 3 = 0 , 6666 …. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3 , 568 и 0 , 667 . Посчитаем столбиком и получим ответ:

    Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2 , 379856 ≈ 2 , 380 .

    Ответ: 3 , 5678 . . . · 2 3 ≈ 2 , 380

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Как обычные числа.

    2. Считаем число знаков после запятой у 1-ой десятичной дроби и у 2-ой. Их число складываем.

    3. В итоговом результате отсчитываем справа налево такое число цифр, сколько получилось их в пункте выше, и ставим запятую.

    Правила умножения десятичных дробей.

    1. Умножить, не обращая внимания на запятую.

    2. В произведении отделяем после запятой такое количество цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

    Умножая десятичную дробь на натуральное число, необходимо:

    1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;

    2. В результате ставим запятую так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.

    Умножение десятичных дробей столбиком.

    Рассмотрим на примере:

    Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа , не обращая внимания на запятые. Т.е. 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

    Результатом является 311. Далее считаем число знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В 1-ой десятичной дроби 2 знака и во 2-рой — 2. Общее число цифр после запятых:

    2 + 2 = 4

    Отсчитываем справа налево четыре знака у результата. В итоговом результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В этом случае необходимо слева дописать не хватающее количество нулей.

    В нашем случае не достает 1-ой цифры, поэтому дописываем слева 1 ноль.

    Обратите внимание:

    Умножая любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы.

    Например :

    70,1 . 10 = 701

    0,023 . 100 = 2,3

    5,6 . 1 000 = 5 600

    Обратите внимание:

    Для умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей перед единицей.

    Считаем и ноль целых!

    Например:

    12 . 0,1 = 1,2

    0,05 . 0,1 = 0,005

    1,256 . 0,01 = 0,012 56

    Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями , сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей . Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

    Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел .

    Навигация по странице.

    Общие принципы умножения десятичных дробей

    Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

    Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей . Иными словами, умножение конечных десятичных дробей , умножение конечной и периодической десятичных дробей , а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные .

    Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

    Пример.

    Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

    Решение.

    Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то . Можно провести сокращение дроби , после чего выделить целую часть из неправильной дроби , а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

    Ответ:

    1,5·0,75=1,125 .

    Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в .

    Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

    Пример.

    Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

    Решение.

    Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

    Тогда . Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь :

    Ответ:

    0,(3)·2,(36)=0,(78) .

    Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел ), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

    Пример.

    Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

    Решение.

    Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

    Ответ:

    5,382…·0,2≈1,076 .

    Умножение десятичных дробей столбиком

    Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел .

    Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком . Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

    • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
    • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.

    Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

    Пример.

    Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

    Решение.

    Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

    Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12 ). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

    В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

    Ответ:

    3,37·0,12=7,6044 .

    Пример.

    Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

    Решение.

    Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

    Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

    На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

    Ответ:

    3,2601·0,0254=0,08280654 .

    Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

    Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

    Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

    Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

    Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

    Умножение десятичной дроби на натуральное число

    По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

    Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

    Пример.

    Вычислите произведение 15·2,27 .

    Решение.

    Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

    Ответ:

    15·2,27=34,05 .

    При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

    Пример.

    Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

    Решение.

    Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

    Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

    Ответ:

    0,(42)·22=9,(3) .

    А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

    Пример.

    Выполните умножение 4·2,145… .

    Решение.

    Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

    Ответ:

    4·2,145…≈8,60 .

    Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

    Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

    Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

    Пример.

    Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

    Решение.

    Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

    Ответ:

    0,0783·100=7,83 .

    Пример.

    Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

    Решение.

    Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

    Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

    Правило умножения десятичных дробей

    1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

    2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

    Примеры .

    Найти произведение десятичных дробей:

    Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

    Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

    Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

    Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

    Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

    На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

    Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

    Десятичная запись данного числа — это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:

    Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:

    Выходит, что.

    Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

    Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

    Умножить на 100 — это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:

    Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

    Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:

    Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:

    Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:

    Упражнение. Разделить 124,478 на 100.

    Разделить на 100 — это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

    Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.

    И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.

    Пример 1

    Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

    После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

    Пример 2

    Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.

    Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

    Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.

    Эквивалентные десятичные записи

    Запись 52 означает следующее:

    Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.

    Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.

    Теперь посмотрим на десятичную дробь:

    Если приписать ноль, то получается:

    Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.

    Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.

    Пример 3

    Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

    Пример 4

    Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.

    То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.

    Пример 5

    В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

    Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 — очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

    Пример . Умножить 25,34 на 0,1.

    Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на — то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

    Аналогично умножить на 0,01 — это разделить на 100:

    Пример. 5,235 разделить на 0,1.

    Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на — это все равно, что умножить на 10:

    То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.

    Умножить на 10 и разделить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.

    Разделить на 10 и умножить на 0,1 — это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию:

    Презентация «Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.»

    Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000… Выполнила: учитель математики Киселева Г.М. МБОУ СШ №6 г.Камышин Волгоградская область

    Эпиграф. Счет и вычисления – основа порядка в голове. Песталоцци Три десятых…Скажи про такую ошибку, И, пожалуй, на лицах увидишь улыбку. …Три десятых -и стены возводятся косо! Три десятых- и рухнут вагоны с откоса! Ошибись лишь на три десятых аптека - Станет ядом лекарство ,убьет человека… В. Лифщиц «Три десятых»

    Выполните вычисления столбиком: Задание для 1 ряда Задание для 2 ряда Задание для 3 ряда 1) 0,234 · 10 2) 2,2 · 100 3) 0,034 · 1000 1,9 · 10 0,45 · 100 0,78 · 1000 2,86 · 10 34,56 · 100 0,006 · 1000 Внимание! Какую интересную закономерность Вы заметили?

    Внимание! Попробуйте сами сформулировать правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

    Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в разрядной единице. Внимание! Попробуйте повторить правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

    Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., Молодцы! Правило выучили. Давайте посмотрим, как оно применяется при выполнении упражнений Чтобы надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в разрядной единице.

    Обратите внимание! 25,4 · 100 = 25,4 · 100 = 2540 Если при умножении в десятичной дроби после запятой не хватает цифр, добавляем нули. 0

    Вычислите: 1) 0,24 • 10 = 2) 5, 034 • 100 = 3) 1,1 • 10 = 4) 7,6 • 1000 = 5) 0, 01 • 100 = 6) 0,345 • 10 = 2,4 503,4 11 7600 1 3,45

    Вычислите: 0,7 · 10 — 2,9 · 100 Ответ: 410

    0,13 · 10 + 3,9 · 100 Вычислите: Ответ: 520

    х : 1,5 = 100 х : 10 = 0,24 х : 0,99 = 1000 150 Решите уравнения: 2,4 990

    Решите задачу: Скорость улитки 0,2 м/с, а скорость черепахи в 10 раз больше. С какой скоростью передвигается черепаха? На сколько скорость передвижения черепахи больше, чем улитки? Ответ: 2м/с; на 1,8 м/с

    Решите самостоятельно: Вариант 1 Вариант 2 1) 0, 02 • 100 1) 2,7 • 100 2) 7,1 • 100 2) 0,05 • 100 3) 12,6 • 1000 3) 3, 02 • 1000 4) 0, 001 • 10 4) 0, 008 • 10 5) 3,4 • 10 000 5) 6,21 • 10 000

    Выполните самопроверку. Вариант 1 Вариант 2 1) 20 1) 270 2) 710 2) 5 3) 12600 3) 3020 4) 0,01 4) 0,08 5) 34000 5) 62100 Оцените выполненную работу.

    Правила десятичного умножения Числа и операции M05.A Приведение в соответствие с общими основными якорями оценки Департамента образования Пенсильвании и enVision.

    Презентация на тему: » Десятичные правила умножения Числа и операции M05.A Согласование с общими якорями оценки и enVision Департамента образования Пенсильвании.» — Транскрипт:

    ins[data-ad-slot=»4502451947″]{display:none !важно;}} @media(max-width:800px){#place_14>ins:not([data-ad-slot=»4502451947″]){display:none !important;}} @media(max-width:800px){#place_14 {ширина: 250px;}} @media(max-width:500px) {#place_14 {ширина: 120px;}} ]]>

    1 Десятичные правила умножения чисел и операции M05.Согласование с Департаментом образования Пенсильвании Common Core Assessment Anchors и учебником по математике enVision Тема 7 Умножение десятичных знаков (темы с 7-1 по 7-4) © 2012-2013 Caryn Dingman www.mrsdingman.com

    2 2 умножить десятичные дроби на 10, 100, 1000 EnVision Math Тема 7 Анкер оценки PA M05.A Умножить на: Переместить десятичную точку вправо: 10 знаков 101 место 1002 места 10003 места Пример: 1 X. 45 =.45 10 X 45 = 4, 5 100 X 45 = 45, 00 1000 X 45 = 450, 00

    3 3 умножьте десятичные дроби на целое число enVision Math Topic 7 PA Assessment Anchor M05.A © 2012-2013 Caryn Dingman www.mrsdingman.com 1. Умножьте, как если бы каждый множитель был целым числом. 2. Подсчитайте количество знаков после запятой в каждом множителе. 3. Переместите это общее количество цифр справа, чтобы поставить десятичную точку в произведении.

    4 4 умножить десятичные дроби на десятичные дроби enVision Math Topic 7 PA Assessment Anchor M05.A © 2012-2013 Caryn Dingman www.mrsdingman.com


    Урок о том, как умножать десятичные дроби

    Способы умножения десятичных дробей

    В этой статье вы узнаете, как выполнить умножение двух десятичных дробей и умножить десятичное число и целое число. Умножение десятичных чисел очень близко к умножению целых или целых чисел.Существуют разные политики копий десятичных чисел. И реальные цифры.

    Давайте посмотрим на правила коллективных десятичных знаков.

    Умножение десятичных дробей на десятичные дроби

    Обращайтесь с десятичными числами как с числами, избавляясь от десятичной точки, а также умножая.

    Площадь десятичной точки после оставления цифр равна полному количеству десятичных знаков в обоих числах.

    Помните, что десятичная точка должна ставиться с правой стороны произведения.

    Пример 1

    Умножение: 43,5 × 4,1

    Сначала выполните умножение без учета десятичной точки.

    Обработайте десятичные дроби как числа: 435 × 41 = 17835

    Теперь поставьте десятичную точку в элементе (17835), чтобы получить столько знаков после запятой в произведении, сколько осталось в множимых.

    Теперь каждое множимое содержит один десятичный знак. Следовательно, общее количество десятичных разрядов равно 2. В результате в элементе размещается два десятичных разряда.

    Следовательно, 43,5 × 4,1 = 178,35.

    Пример 2.

    Найти 81,32 × 8,3.

    Считайте десятичные числа целыми числами и умножьте их.

    8132 × 83 = 674956.

    В этом случае полное количество десятичных разрядов в множимых равно 3.

    Десятичное число 81.32 содержит два десятичных разряда, а 8.3 состоит из 1 десятичного разряда. Следовательно, количество знаков после запятой в обоих числах равно 3.

    Площадь такое же количество знаков после запятой в элементе, как и в суммах множимых. Начинать.

    Счет справа от позиции.

    Следовательно, 81,32 × 8,3 = 674,956.

    Умножение десятичных дробей на целые числа.

    Правила умножения десятичного числа и целого числа аналогичны умножению только десятичных дробей. Единственная разница в этом случае состоит в том, что одно из множимых является числом.

    Вот несколько правил:

    Предполагайте десятичное число сразу числом, избавляясь от десятичной точки и умножая.

    Продукт размещает такое же количество десятичных знаков, как и десятичные знаки в числе.

    Всегда, начиная с правой стороны продукта, отсчитывайте десятичную точку.

    Пример 3.

    Вычислить 4,5 × 3.

    Выполнить умножение без учета десятичной точки.

    45 × 3 = 135.

    Разместите в продукте такое же количество десятичных знаков, сколько осталось в десятичном числе. Ниже массив десятичных разрядов равен 1,

    .

    По этой причине 4.5 × 3 = 13,5.

    Пример 4

    Найдите продукт 91.3012 и 83.

    Выполните процедуру умножения, игнорируя десятичную точку.

    913012 х 83 =.

    Разместите столько же десятичных знаков, сколько осталось в десятичном числе. Здесь десятичное число имеет четыре знака после запятой, и по этой причине произведение также будет содержать четыре десятичных разряда.

    Ответ: 7577,9996.

    Свойства умножения десятичных чисел.

    Произведение двух десятичных чисел остается неизменным даже при изменении порядка умножения. Например: 4 × 0,8 = 0,8 × 1,4 = 1,12, а также.

    Пункт десятичного числа и 1 — сами десятичные числа, например.

    2,519 × 1 = 2,519.

    Пункт десятичного числа без нет. Например: 008 × 0 = 0,

    .

    Многократные десятичные числа могут изменить порядок групп без изменения произведения.Например: 02 × (11,2 × 2,3) = (1,02 × 2,3) × 11,2.

    Произведение целого числа на десятичное число остается одним и тем же при умножении чисел в любом порядке. Например: 1,8 × 11 = 11 × 1,8 = 19,8.

    Получение частичного: Умножение десятичных знаков | Математика Новой Зеландии

    Назначение

    Этот модуль требует, чтобы учащиеся применяли свое представление о числе десятичных дробей для оценки и вычисления произведения десятичных дробей. При этом они обобщают эффект умножения и деления на десять и на сто.

    Конкретные результаты обучения

    • Выразите умножение двух десятичных знаков как произведение дробей, например. 0,4 х 0,7 как 4/10 х 7/10 = 28/100.
    • Соедините произведение двух дробей с десятичным ответом, например 28/100 = 0,28.
    • Знать действие умножения и деления десятичного числа на десять или на сто.
    • Используйте умножение и деление на десять или сто, чтобы найти размер произведения десятичных знаков, например.грамм. 0,4 х 0,7 — это произведение 4 х 7, деленное на сто.
    • Используйте известные эталоны, особенно половину и единицу, для оценки произведения двух десятичных знаков, например. 0,4 х 0,7 немного меньше, чем 0,5 х 0,7.

    Описание математики

    В этом разделе учащиеся разовьют чувство числа, связанное с умножением десятичных знаков. Для разумных оценок произведений десятичных дробей требуется гибкая связь понимания разряда с целыми числами, значения умножения и умножения с дробями.

    В век калькуляторов сомнительно использовать время обучения, чтобы полностью сконцентрироваться на алгоритмах с карандашом и бумагой. Скорее, акцент должен быть сделан на том, чтобы дать учащимся стратегии распознавания разумности ответов и оценки произведений десятичных дробей.

    Десятичная система включает ограниченный набор эквивалентных дробей для ситуаций, когда одна единица не соответствует назначению. Обычно ситуации, когда требуются десятые, сотые, тысячные и т. д. единиц, связаны с измерением.Префиксы деци (десятые), санти (сотые) и милли (тысячные) применяются к основным единицам, таким как метры и литры, для получения необходимой степени точности. Десятые, сотые, тысячные и т. д. являются результатом деления на десять предыдущей большей единицы. Следовательно, понимание эффекта умножения и деления десятичного числа на десять, сто и тысячу является основополагающим для оценки произведений десятичных дробей. Эффект деления на десять состоит в том, чтобы сделать каждую единицу одной десятой от ее предыдущего размера, представленного как сдвиг цифр на одну позицию вправо.Например, 3,9 ÷ 10 = 0,39, 3,9 ÷ 100 = 0,039, 3,9 ÷ 1000 = 0,0039.

    Применение умножения к ситуациям измерения часто включает множитель и скорость. Скорость — это соотношение между двумя показателями, такими как 60 километров в час (скорость), 456 килограммов на кубический метр (плотность) или 30 человек на квадратный километр (также плотность). Множитель применяется к ставке, в результате которой мера, например. 3 килограмма мяса по 12,50 долларов за килограмм стоят 37,50 долларов.

    Десятичные числа правильнее было бы называть десятичными дробями.Деци — это префикс, означающий одну десятую, чтобы указать, что десятичные дроби являются степенями одной десятой или отрицательными степенями десяти, например. 1/1000 = (1/10)³ или 10⁻³. Оценка размера произведений требует понимания умножения десятичных дробей. Знание 1/10 х 1/10 = 1/100 и 1/10 х 1/100 = 1/1000 и т. д. позволяет узнать размер произведений для таких факторов, как 0,6 х 0,4 и 0,3 х 0,08. Выражение обоих умножений в виде дробей дает  6/10 x 4/10 = 24/100 и 3/10 x 8/100 = 24/1000, поэтому произведения равны 0.24 и 0,024 соответственно. Таким образом, хорошее понимание умножения дробей является необходимым условием для умножения десятичных дробей с чувством размера произведения.

    Возможности для адаптации и дифференциации

    Возможности обучения в этом модуле можно различать, предоставляя или удаляя поддержку учащихся и изменяя требования к заданиям. Способы отличить включают:

    • Использование физических объектов для соединения десятичных знаков в виде чисел с физическими величинами.Модель площади широко используется в подразделении. Возможно, вам придется вернуться к модели площади (массива) в контексте простых целых чисел, чтобы напомнить учащимся о том, что множители — это длины сторон, а произведения — это площади.
    • Непосредственно смоделируйте запись уравнений, подчеркнув дробное значение десятичных знаков и символов, x как «из» и = как «такой же, как». Например, 0,3 x 0,9 = означает «Сколько будет три десятых от девяти десятых? ”
    • Используйте калькуляторы, чтобы подтвердить предсказания о результатах умножения десятичных дробей.В случае расхождений между прогнозами и результатами попросите учащихся выяснить, где их прогнозы оказались ошибочными. Эта стратегия помогает вызвать когнитивный конфликт и устранить распространенные заблуждения. Модель площади особенно хороша для выявления случаев неправильной интерпретации размера единиц.
    • Поощряйте учащихся к совместной работе в партнерстве. Учащимся нужно время, чтобы разработать математические аргументы, а репетиция этих аргументов со сверстником важна для развития ясности и принятия риска.
    • Сначала используйте скорости, с которыми учащиеся более знакомы, например количество предметов в пакете или скорость в километрах в час. Переходите к более незнакомым показателям, таким как плотность и расход топлива.
    • Сложите различные уровни абстракции, т. е. материалы, изображения (диаграммы), уравнения. Используйте символы как средство связи между ситуациями. Мышление с помощью закономерностей в уравнениях и объяснение того, почему возникают закономерности, лежит в основе математики.

    Контексты этого модуля связаны со скоростями, которые неизбежны при умножении.Ситуации включают потребление электроэнергии и топлива, плотность и стоимость. При необходимости адаптируйте контексты, чтобы они соответствовали интересам и опыту ваших учащихся. Например, вашим учащимся может быть более знакомо использование длины ткани в десятичной сумме на метр, стоимости бензина за литр или стоимости овощей, морепродуктов или других ингредиентов за килограмм. Для студентов, которые имеют whānau в других странах, таких как Индия или Самоа, курс обмена валюты может представлять интерес.

    Требуемые ресурсы

    • Калькуляторы
    • Блоки стоимости места
    • Несколько штук площадью 1 кв. м, изготовленных из газетной или мясной бумаги
    • Копимастеры Один, Два, Три, Четыре и Пять.
    • PowerPoints One, Two, Three и Four.
    • Видео раз, два, три и четыре.

    Деятельность

    Первая сессия

    На этом занятии учащиеся знакомятся с умножением десятичных дробей в повседневных ситуациях. Они освежают свое понимание умножения дробей и размера десятичных знаков с использованием модели площади. Прежде чем приступить к выполнению этого модуля, учащиеся должны проработать модули «Получение частичных до дробей» и «Получение частичных для десятичных дробей».

    1. Начните с первых трех слайдов PowerPoint One. Для каждого сценария:
      Какую операцию нам нужно выполнить, чтобы решить эту проблему?
      Считайте значащие цифры целыми числами для вычисления произведения:
      451 x 100 = 45 100              45 x 208 = 9 360                                  15 x 537 = 8 055 
    2. Попросите учащихся выбрать правильный из четырех вариантов. Ожидайте, что они будут оправдывать свой выбор, используя чувство величины чисел. Например:
      • Слайд 1: Если вы наберете 4.5 юаней за 1 доллар, то вы должны получить 45 юаней за 10 долларов и 450 юаней за 100 долларов.
      • Слайд 2: 4,5 равно четырем с половиной. 4½ x 2 = 10, поэтому ответ должен быть близок к 10 долларам.
      • Слайд 3: 0,537 кг — это чуть больше половины килограмма. Ответ должен составлять примерно половину от 15,00 долларов, что составляет 7,50 долларов.
    3. Укажите, что модуль предназначен для умножения десятичных дробей, и что смысл чисел будет важным при определении того, является ли ответ разумным или нет.Запишите расчет 0,4 х 0,6 = ? на борту.
    4. Спросите значение символов:
      Что означает 0,4? (четыре десятых)
      Что означает 0,6? (шесть десятых)
      Что означает x? (из)
      Что означает равенство? (такая же сумма как)
    5. Попросите учащихся предсказать ответ на вопрос 0,4 x 0,6 = ? Многие могут выбрать 2,4, поскольку оба коэффициента имеют десятичную точку в «середине», как и 2,4.
    6. На четвертом слайде PowerPoint One показано, как можно использовать площадную модель для поиска ответа.Модель важна для понимания метрических единиц длины, площади, а затем и объема. Четыре десятых из шести десятых показаны оранжевым прямоугольником. Показана одна единица из 24, заполняющих прямоугольник.
      Насколько велика область, представляющая 0,4 x 0,6? (24 сотых)
      Какой ответ на 0,4 х 0,6? (0,24)
    7. Возможно, вам придется поставить цифры 0,24 на диаграмму разряда, чтобы напомнить учащимся о вложенном характере разряда. В этом случае 20 сотых вложены в 2 десятых.На слайдах 5 и 6 представлены еще два примера простого умножения десятичных дробей. В обоих случаях попросите своих учеников сначала предсказать ответы, прежде чем использовать модель области, чтобы подтвердить и понять правильный ответ. Вы можете предоставить Copymaster One, чтобы учащиеся могли нарисовать свою собственную модель умножения.
    8. Предоставьте учащимся Copymaster Two, чтобы они могли попрактиковаться в решении простых задач на десятичное умножение. Ищите своих учеников:
      • Используйте соответствующий факт умножения целых чисел.
      • Преобразуйте десятичные дроби в дроби, чтобы обозначить правильные длины сторон.
      • Поймите, что когда находятся десятые доли десятых, ответ будет в сотых долях.
      • Сохраните ссылку на один из них, чтобы найти ответ.
      • Правильно выразить ответ в виде десятичной дроби.
    Вторая сессия

    На следующих двух занятиях учащиеся узнают больше о структуре разрядов десятичных дробей. Они связывают свои знания об умножении дробей с нахождением десятичных разрядных единиц, особенно десятых десятых, десятых сотых и сотых сотых.Узнайте об эффекте умножения и деления числа на десять и на сто.

    1. Сделайте несколько квадратных метров из мясной бумаги.
      Кто может отметить одну десятую часть одной десятой на этом квадратном метре? (Вы можете использовать плоскую плашку, чтобы отметить площадь)
      Как вы назовете одну десятую одной десятой? (одна сотая квадратного метра (м²))
      Обратите внимание, что одна сотая часть квадратного метра — это квадратный дециметр (дм²), хотя эта единица редко используется в Новой Зеландии.
      Как можно записать нахождение одной десятой одной десятой?  (1/10 x 1/10 = 1/100 или 0,1 x 0,1 = 0,01)
    2. Вспомните, на последнем сеансе вы выполняли такие вычисления, как 0,6 x 0,5 = ?
      Как записать этот расчет с использованием дробей? (6/10 x 5/10 = 30/100)
      Почему ответ не 0,030? (тридцать сотых равны трем десятым)
    3. Таким же образом найдите:
      • Одна десятая сотой равна одной тысячной (1/10 x 1/100 = 1/1000 или 0.1 x 0,01 = 0,001), который можно пометить длинной единицей разряда (1 см x 10 см).
      • Одна сотая одной сотой равна одной десятитысячной (1/100 x 1/100 = 1/10000 или 0,01 x 0,01 = 0,0001), которую можно обозначить площадью куба с единичным разрядом (1 см x 1 см). Обратите внимание, что одна десятитысячная часть одного квадратного метра составляет один квадратный сантиметр (1 см²).
    4. Попросите своих учеников воссоздать эти единицы, используя квадраты на Copymaster One. Они должны маркировать схемы с указанием операции и самой установки, т.е.грамм. 1/10 х 1/100 = 1/1000).
    5. Когда ученики вернутся, задайте такие задачи, как:
      • Если 0,6 х 0,05 = 6/10 х 5/100, почему ответ не 0,0030?
      • Если 0,12 х 0,12 = 12/100 х 12/100, то какой ответ? Почему?
      • Если 2,5 х 0,4 = 25/10 х 4/10, то какой ответ? Почему?
    6. Вы можете потратить много времени на предыдущие примеры, попросив учащихся нарисовать диаграммы, чтобы поддержать их мышление.
    7. Раздайте учащимся «Копимастер 3», в котором рассматриваются закономерности, возникающие при умножении или делении числа на десять.Учащиеся могут решать задачи в парах, используя общий калькулятор.
    8. Обсудите несколько шаблонов, чтобы проверить, правильно ли учащиеся определяют изменения и соответствия между последовательными уравнениями. Посмотрите, обобщили ли они эффект умножения и деления на десять.
    9. Посмотрите видеоролики 1, 2, 3 и 4, чтобы понять, почему числа ведут себя так, как они ведут себя при умножении и делении на десять. Для каждого видео попросите своих учеников предвидеть, что произойдет.
      Каков результат умножения/деления на десять?
    10. Поставьте следующие задачи для решения учащимися в парах:
      3.7 x 10 =         3,7 x 100 =       3,7 ÷ 10 =        3,7 ÷ 10 =        1/10 x 3,7 =        1/100 x 3,7 =
      Имейте в виду, что учащиеся могут не заметить, что 3,7, деленное на десять, дает тот же результат, что и одна десятая от 3. . Это важная связь, если они хотят использовать эффект для оценки результатов десятичного умножения.
    Третья сессия
    1. Начните с PowerPoint 3 в качестве руководства по применению десятичного умножения в реальном контексте. Вы можете обсудить плотность, которая представляет собой отношение массы к объему.Использование нескольких объектов с разной плотностью поможет проиллюстрировать атрибут. Например, баскетбольный мяч и деревянный брусок могут иметь одинаковый объем, но значительно различаться по массе.
    2. Проработайте слайды, предлагая учащимся решить задачи. Ваши ученики:
      • Имеются ли разумные ожидания относительно размера каждого ответа, используя ориентиры, такие как 0,5, как половину?
      • Поймите, что десятичные дроби можно рассматривать как дроби, чтобы установить размер ответа?
      • Признали, что деление на десять может быть использовано для нахождения ответа в десятичной форме?
    3. Copymaster Four содержит набор задач на умножение десятичных дробей.Пусть ваши ученики решают задачи небольшими группами. Большинство проблем связаны со скоростью, такой как киловатты в час или литры на 100 километров. Коэффициенты в реальной жизни, как правило, менее знакомы учащимся, чем простые коэффициенты, с которыми они обычно сталкиваются при умножении, например. шариков за мешок. После того, как учащиеся попытаются решить задачи, стоит обсудить полученные оценки.
    Четвертая сессия

    Этот урок посвящен умножению десятичных дробей. Начало явно противостоит распространенным заблуждениям о десятичных дробях как окно к пониманию, которое учащиеся разработали до сих пор.Заключительная часть занятия включает в себя игру, в которой требуется умножение десятичных знаков.

    1. Проработайте четыре слайда PowerPoint Four. На каждом слайде учащимся предлагается:
      • Этот студент прав или не прав?
      • Объясните, почему они правильные или неправильные.
      • Предложите ученику что-нибудь, что улучшит его понимание десятичных дробей.
    2. В ходе обсуждения сосредоточьтесь на следующих вопросах:
      • Слайд 1: «Добавление нулей» — это правило, которое обычно учат учащиеся.Когда число умножается на десять, все единицы разряда становятся в десять раз больше. Таким образом, цифры перемещаются на одно место влево относительно десятичной точки. Правильный ответ: 10 х 2,8 = 28,
      • .
      • Слайд 2: Думая, что десятичная точка является разделителем, учащиеся могут независимо оперировать обеими сторонами десятичной точки. Роль десятичной точки состоит в том, чтобы отмечать разряд единиц. Десятичные разряды связаны. Феликс мог подумать, что ответ равен одной десятой произведения 6 х 48 = 288, то есть 28.8. Он также мог использовать дробное умножение 6 x 48/10 = 288/10 = 28 8/10.
      • Слайд 3: Студенты обычно сопоставляют количество знаков после запятой в произведении с количеством знаков в множителях. Лен мог подумать, что ответ равен одной десятой одной десятой (1/100) произведения 8 x 3 = 24, то есть 0,24. Он также мог использовать дробное умножение 8/10 x 3/10 = 24/100, или 0,24.
      • Слайд четвертый: Эмма сделала вывод, что нули справа не влияют на размер десятичной дроби.Например, она считает, что 3,70 имеет то же значение, что и 3,7. В большинстве случаев это верно, за исключением случаев, когда ноль в числе 3,70 представляет собой степень точности, например, количество сантиметров, округленное до ближайшего сантиметра. Ее ответ правильный, возможно, из-за того, что она случайно использовала неправильную идею Лена. Эмма должна знать, что 1,5 — это то же самое, что и полтора. Ответ должен быть полтора лота по восемь десятых, то есть двенадцать десятых. Таким образом, правильный ответ должен быть 1,2.
    3. После обсуждения в классе познакомьте с игрой «Десятичные пути» (Пять копирайтеров).Правила следующие:
    4. Каждому игроку нужна ручка другого цвета, чем его противник.
    5. Для каждой игры требуется одна копия игрового поля. Игровую доску можно заламинировать, а вместо фломастеров использовать ручки для белой доски.
      • Играть
        Игроки по очереди:
        • Соедините один фактор слева от их панели с одним фактором справа, например. 0,3 и 0,8.
        • Рассчитать произведение факторов, например, 0,3 х 0,8 = 0.24.
        • Нарисуйте на игровом поле круг с этим продуктом. Если этого продукта нет на доске, игрок пропускает этот ход.
      • После того, как круг окрашен, другой игрок не может забрать его.
      • Цель игры состоит в том, чтобы создать путь из кругов от старта игрока до его финиша. Выигрывает тот, кто сделает это первым. Если ни один игрок не может проложить путь, игра считается ничьей. Обратите внимание, что путь можно построить в любом порядке.
      • Ищите своих учеников:
        • Свободно рассчитывайте продукты, используя комбинацию основных фактов и знаний о расчетных значениях.
        • Играйте стратегически, сначала захватывая круги в центре доски.
        • Думайте заранее, чтобы захватить самые выгодные круги.

    Домашняя ссылка

    Семья и Ванау,

    На этой неделе мы изучали умножение десятичных дробей.Мы использовали модель площади, чтобы показать, как можно оценить ответ на десятичное умножение, используя наши знания о дробях. Многие повседневные ситуации связаны с десятичными дробями. Мы изучили курсы валют, расход электроэнергии и топлива, плотность дров.

    Как умножать проценты с помощью десятичных дробей и дробей

    1. Развитие карьеры
    2. Как умножать проценты с помощью десятичных дробей и дробей
    Автор: редакция Indeed

    6 мая 2021 г.

    Вычисление процентов может помочь вам в повседневной жизни.Типичными примерами, когда вам может понадобиться умножить проценты, являются налог с продаж, скидки, оставленные чаевые, получение комиссионных или расчет процентов. Умение умножать проценты — полезный навык, особенно если вам нужно решить процентные задачи без калькулятора. В этой статье мы обсудим, что такое процент, как умножать проценты, как преобразовать проценты в десятичные дроби и дроби и как умножить процент на другой процент, целое число, десятичную дробь и дробь.

    Что такое процент?

    Процент или процент — это соотношение между двумя числами, выраженное в сотых долях. Процент часто используется для определения дробной части целого. Иногда вы увидите, что это называется «на сотню», «на каждые 100» или «из 100».

    Проценты — это общепринятый математический термин, который часто используется в базовой математике, статистике, вероятности и других математических вычислениях. Многие отрасли промышленности используют проценты ежедневно. Например, в финансовой отрасли вы используете проценты для определения нормы прибыли, доли рынка, процентных ставок и тенденций роста.Потребители сталкиваются с процентами каждый раз, когда ходят за покупками, так как магазин прибавляет налог с продаж к их счету в виде процента.

    Умножение с процентами

    Если у вас есть математическая задача, требующая умножения одного или нескольких процентов, вы должны сначала преобразовать процент в десятичную или дробную часть. Вы не можете правильно решить математическую задачу на умножение без предварительного преобразования. В большинстве случаев, если не указано направление, не имеет значения, конвертируете ли вы проценты в десятичные дроби или дроби.Если нет причин использовать один из них вместо другого, это является личным предпочтением, и вы можете выбрать любой из них.

    Сам по себе процент представляет собой часть целого. При умножении процентов на другое число операция создает новое значение, равное заданному проценту от исходного числа. Если процентная сумма меньше 100, произведение будет меньше исходного числа. Например, 50% x 300 = 150. Если процентная сумма больше 100, произведение будет больше исходного числа.Например, 200% x 300 = 600.

    Связано: Как рассчитать проценты

    Как преобразовать проценты в десятичные числа

    Процесс преобразования процентов в десятичные числа прост, просто выполните следующие действия:

    1 .Начните с процента

    Найдите процент, который вы хотите преобразовать в десятичную дробь. Для этой математической задачи используйте значение 78%.

    2. Разделить на 100

    Возьмите процентное значение 78% и составьте задачу на деление, чтобы разделить его на 100.

    78% / 100 = .78

    Каждый раз, когда вы делите на 100, вы перемещаете десятичную точку на два знака влево. Этот маленький трюк поможет вам очень быстро преобразовать проценты в десятичные дроби. Вместо того, чтобы ставить задачу на деление, просто найдите десятичную точку и переместите ее на два знака влево.

    3. Удалите знак процента

    Последний шаг — перепроверить, что вы удалили знак процента. Как только вы разделите процент на 100, знак процента больше не применяется, потому что значение теперь является десятичным, а не процентным.Вот несколько примеров преобразования процента в десятичную дробь:

    65% = 0,65

    13,45% = 0,1345

    279% = 2,79

    . из процента в дробь

    Процесс преобразования процента в дробь прост, просто выполните следующие действия:

    1. Начните с процента

    Найдите процент, который вы хотите преобразовать в десятичную дробь. Для этой математической задачи используйте значение 78%.

    2. Разделить на 100

    Возьмите процентное значение 78% и задайте задачу деления в виде дроби, чтобы разделить его на 100. символ деления. Однако вместо того, чтобы решать задачу деления для получения десятичного значения, мы оставим задачу деления в виде дроби и, если возможно, сократим ее.

    78/100 = 39/50

    Если процент не является целым числом, вы можете умножить как верхнюю, так и нижнюю часть дроби на 10 для каждого числа после запятой.Например:

    62,5/100 = 625/1000

    3. Удалите знак процента

    Последний шаг — перепроверить, удалили ли вы знак процента. Как только вы поместите процент больше 100, знак процента больше не применяется, потому что значение теперь представляет собой дробь, а не процент. Вот несколько примеров преобразования процента в десятичную дробь:

    28% = 7/25

    325% = 13/4 или 3 1/4

    1,76% = 176/10000

    . 3 простых шага (с примерами)

    Как умножать проценты

    Когда вы умножаете процент на другой процент, вы должны преобразовать оба процента в десятичные дроби, прежде чем сможете умножать.Вот шаги:

    1. Преобразование

    Возьмите математическую задачу и решите, хотите ли вы преобразовать оба процента в десятичные дроби или дроби. Таким образом, вы можете видеть это в обоих направлениях, этот пример покажет обе конверсии.

    Для десятичных дробей:

    Если математическая задача 25% x 32%, преобразуйте проценты в десятичные дроби.

    25% = 0,25

    32% = 0,32

    Для дробей:

    Если математическая задача 25% x 32%, преобразуйте проценты в дроби.

    25% = 25/100 = 1/4

    32% = 32/100 = 8/25

    2. Подставьте

    Теперь, когда вы преобразовали проценты в десятичные или дробные числа, подставьте новые значения в эта проблема.

    Для решения в виде десятичных дробей:

    0,25 x 0,32 = ?

    Для решения в виде дробей:

    1/4 x 8/25 = ?

    3. Решите

    Последний шаг — выполнить операцию умножения и перемножить два числа, чтобы получить окончательный ответ.Если вы используете дроби, не забудьте проверить, можете ли вы уменьшить окончательный ответ.

    Для решения в виде десятичных дробей:

    0,25 x 0,32 = 0,08

    Для решения в виде дробей:

    1/4 x 8/25 = 8/100 = 2/25

    Связано: Как вычислить средний процент : Формула и примеры

    Как умножить процент на целое число

    Когда вы умножаете процент на целое число, вы должны преобразовать процент в десятичную или дробную часть, прежде чем сможете умножать.Вот шаги:

    1. Преобразование

    Возьмите математическую задачу и решите, хотите ли вы преобразовать оба процента в десятичные дроби или дроби. Таким образом, вы можете видеть это в обоих направлениях, этот пример покажет обе конверсии.

    Для решения с десятичным числом:

    Если математическая задача 66% x 5, преобразуйте процент в десятичное число.

    66% = 0,66

    Для решения с дробью:

    Если математическая задача 66% x 5, преобразуйте процент в дробь.

    66% = 66/100 = 2/3

    2. Замените

    Теперь, когда вы преобразовали проценты в десятичные или дробные числа, подставьте новые значения в задачу.

    Для решения с десятичной дробью:

    0,66 x 5 = ?

    Для решения с дробью:

    2/3 x 5 = ?

    3. Решите

    Последний шаг — выполнить операцию умножения и перемножить два числа, чтобы получить окончательный ответ. Если вы используете дроби, не забудьте проверить, можете ли вы уменьшить окончательный ответ.

    Для решения с десятичной дробью:

    0,66 x 5 = 3,3

    Для решения с дробью:

    2/3 x 5 = 2/3 x 5/1 = 10/3 = 3 1/3

    Как умножить процент на десятичную дробь

    Когда вы умножаете процент на десятичную дробь, вы должны преобразовать процент в десятичную дробь, прежде чем сможете умножать. В этом случае не имеет смысла преобразовывать проценты в дроби. Вот шаги:

    1. Преобразование

    Возьмите математическую задачу и преобразуйте проценты в десятичные числа.

    Если математическая задача составляет $1,60 x 275%, преобразуйте процент в десятичную дробь.

    275% = 2,75

    2. Замените

    Теперь, когда вы преобразовали процент в десятичное число, подставьте новое значение в задачу.

    $1,60 x 2,25 = ?

    3. Решите

    Последний шаг — выполнить операцию умножения и перемножить два числа, чтобы получить окончательный ответ. Поскольку в этом примере используются деньги, не забудьте сохранить символ доллара в своем окончательном ответе.

    $1,60 x 2,25 = $3,60

    Связанный: Как вычислить процентную разницу

    Как умножить процент на дробь

    Когда вы умножаете процент на дробь, вы должны преобразовать процент в дробь, прежде чем сможете умножать. В этом случае не имеет смысла преобразовывать проценты в десятичные дроби. Вот шаги:

    1. Преобразование

    Возьмите математическую задачу и преобразуйте проценты в дроби.

    Если математическая задача 45% x 8/15, преобразуйте процент в дробь.

    45% = 45/100 = 9/20

    2. Замените

    Теперь, когда вы преобразовали проценты в дроби, подставьте новое значение в задачу.

    9/20 x 8/15 = ?

    3. Решите

    Последний шаг — выполнить операцию умножения и перемножить два числа, чтобы получить окончательный ответ. Поскольку в этом примере используется дробь, не забудьте уменьшить окончательный ответ.

    9/20 x 8/15 = 72/300 = 6/25

    Умножение десятичных чисел: свойства

    Умножение десятичных чисел: Вам не приходило в голову, что история десятичных дробей восходит к древним временам в таких странах, как Индия и Китай? Десятичные числа даже были приняты египтянами в систему счета.Примерно к \(1500 г.\) они стали неотъемлемой частью системы счета во всем мире, когда почти все профессиональные математики приняли десятичные дроби.
    Все основные операции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, можно выполнять над десятичными числами. В этой теме мы обсудим, как выполнять умножение десятичных чисел.

    Изучите концепцию десятичных дробей

    Как мы умножаем десятичные дроби?

    Мы умножаем десятичные числа так же, как умножаем целые числа.Во-первых, мы рассматриваем данные десятичные числа без учета их десятичных знаков и умножаем их как целые числа. Затем мы ставим десятичную точку перед количеством цифр с крайней правой стороны произведения, которое равно сумме общего количества десятичных цифр в двух заданных десятичных числах.

    Изучение концепций экзамена на Embibe

    Пример:
    Умножим \(3,7\) и \(5,28\)
    Для этого умножения рассмотрим \(3.7\) как \(37\) и \(5.28\) как \(528.\). Затем мы умножим \(37\) и \(528\), чтобы получить \(19536\) как их произведение.
    Заметим, что \(3.7\) имеет одну цифру после запятой, а \(5.28\) имеет две цифры после запятой. Имеем \(1 + 2 = 3.\)
    В произведении \(19536,\) мы поставим десятичную точку перед 3 цифрами с крайнего правого края. Таким образом, мы получаем \(19.536\) как произведение \(3.7\) и \(5.28.\)

    Основная процедура умножения десятичных чисел применяется ко всем случаям умножения десятичных чисел.Тем не менее, мы все еще можем обсудить умножение десятичных чисел на следующие три подкатегории:

    а) Умножение десятичных чисел на \(10 100\) и \(1000\)
    б) Умножение десятичного числа на целое число
    в) Умножение двух десятичных чисел

    Умножение десятичных чисел на 10, 100 и 1000

    Когда мы умножаем десятичное число на \(10,100\) или \(1000,\), мы сдвигаем десятичную точку вправо на столько знаков, сколько нулей после \(1\) в множителе.
    Посмотрите, например, на таблицу ниже.
    Умножение на 10 Когда мы умножаем десятичное число \(4,39\) на \(10,\), мы сдвигаем десятичную точку на один разряд вправо и получаем \(43,9\), потому что в числе 10 есть один ноль.
    Умножение на 100 Когда мы умножаем десятичное число \(4,39\) на \(100,\), мы сдвигаем запятую на два знака вправо и получаем \(439,00\) или \(439\) (нам не нужно писать \ (0\) только после запятой), потому что \(100\) содержит два нуля.
    Умножение на 1000 Когда мы умножаем десятичное число \(4,39\) на \(1000,\), мы сдвигаем десятичную точку на три знака вправо и получаем \(4390,\), потому что в \(1000\) три нуля. Обратите внимание, что мы добавили ноль после \(439\), чтобы сдвинуть десятичную точку на три знака справа.
    Эту ситуацию также можно объяснить, используя основное правило умножения десятичных дробей. Без учета десятичной точки мы рассматриваем \(4.39\) как \(439.3}} \right)\) десятичная точка перемещается на три позиции вправо \(4.39 \times 1000 = 4390\)

    Практические экзаменационные вопросы

    Умножение десятичных дробей на целые числа

    Мы будем следовать шагам, указанным ниже, для умножения десятичных чисел на целые числа.

    1. Шаг 1:  Не обращайте внимания на десятичную точку и умножайте два числа, как обычно.
    2. Шаг 2:  Результат или произведение, полученное после умножения, будет иметь такое же количество знаков после запятой, как и данное десятичное число (поскольку данное целое число не имеет десятичного знака).
    3. Шаг 3:  Найдите десятичную точку в полученном произведении после  Шаг 2 .

    Пример 1: \(2,3\,{\rm{m}}\) ткани необходимо для изготовления одной рубашки. Сколько метров ткани нужно, чтобы сшить \(25\) таких рубашек?
    Здесь ткань, необходимая для изготовления одной рубашки \( = 2,3\,{\rm{m}}\)

    Общее количество ткани, необходимое для изготовления \(25\) рубашек \( = 2,3 \times 25 = 57,5\,{\rm{m}}\)

    Пример 2: Джоуи испекла \(12\) печенья.Если вес одного печенья равен \(0,003\,{\text{кг}},\), каков вес всех печений?
    Как мы уже говорили, при умножении десятичных дробей на целые числа мы изначально игнорируем десятичную точку. Итак, \(12 \times 3 = 36\)
    В этом случае мы наблюдаем, что целое число \(12\) имеет \(0\) знаков после запятой, а десятичное число \(0,003\) имеет \(3 \) десятичные знаки. Таким образом, общее количество знаков после запятой равно \(0 + 3 = 3.\)
    . Но произведение \(36\) состоит только из двух цифр. В этом случае мы напишем один ноль перед \(36\), а затем пропишем десятичную точку, чтобы получить \(0.036.\)(Если в произведении больше знаков после запятой, чем количество цифр, перед размещением десятичной точки в произведении можно вставить нули.
    \( \Стрелка вправо 12 \times 0,003 = 0,036\)
    Следовательно , общий вес всех \(12\) файлов cookie равен \(0,036\,{\text{кг}}.\)

    Умножение двух десятичных чисел

    Основное правило умножения двух десятичных чисел объяснялось ранее.

    Следуйте инструкциям ниже:

    1. Шаг 1. Сначала игнорируйте десятичную точку и умножайте два числа, как обычно, считая их целыми числами.
    2. Шаг 2. После умножения добавьте общее количество знаков после запятой в обоих числах. Произведение, полученное после умножения, будет иметь это общее количество знаков после запятой, помещенное перед самой правой цифрой произведения.
    3. Шаг 3: Найдите десятичную точку в произведении, полученном после  Шага 2 .

    Пример 1: Умножение двух десятичных дробей \(3,23 \умножить на 4,3\)

    Таким образом, \(3,23 \times 4,3 = 13,889\)

    Пример 2: Рассмотрим умножение двух десятичных чисел, \(6.35\) и \(1.8.\) Умножение \(635\) и \(18\) (без учета их десятичных знаков) дало \(11430.\) Поставив десятичную точку в произведении, получим \ (11.430.\)
    Нам не нужно писать 0 в крайнем правом углу после запятой. Следовательно, произведение \(6,35\) и \(1,8\) будет \(11,43.\)

    Умножение показано на рисунке ниже.

    Таким образом, \(6,35 х 1,8 = 11,430 = 11,43.\)

    Попытка пробных тестов

    Свойства умножения десятичных чисел 1.Произведение двух десятичных чисел остается неизменным, даже если порядок умножения меняется местами. Например: \(0,3 х 0,5 = 0,5 х 0,3 = 0,15)
    2. Произведение \(1\) и любого десятичного числа есть само десятичное число.
    Например, \(7,542 \умножить на 1 = 7,542\)
    3. Произведение любого десятичного числа на ноль равно \(0.\) Например: \(0,023 \times 0 = 0\)
    4. Произведение целого числа на десятичное число остается неизменным при перемножении чисел в любом порядке.Например, \(1,1 х 18 = 1,1 х 18 = 19,8.\)

    Решенные примеры – Умножение десятичных чисел

    Q.1. Умножьте 12,625 и на 0,816 .
    Ответ:

    Следовательно, \(12,625 х 0,816 = 10,302000). Обратите внимание, что после запятой идут \(6\) цифр. Мы знаем, что нули справа от десятичной точки можно опустить. Следовательно, мы имеем \(12,625 \times 0.816 = 10,302\)

    Q.2. Найдите произведение 21,37 и 5,9 .
    Ответ:

    Следовательно, \(21,37 \умножить на 5,9 = 126,083.\) Произведение имеет \(3\) цифр после запятой.

    Q.3. Стоимость коробки шоколада \(₹65.75.\) Рупали нужно 10 таких коробок. Какую сумму она должна заплатить? А если ей нужно \(100\) коробок, сколько она должна заплатить?
    Ответ:
    Стоимость \(10\) коробок больше, чем стоимость одной коробки.Итак, очевидно, что мы должны умножать.
    Мы знаем, что \(6575 \× 10 = 65750.\)
    Следовательно, \(65,75 \× 10 = 657,50\)
    Следовательно, Рупали заплатил \(₹657,50\) за покупку \(10\) коробок шоколада.
    Точно так же, если Рупали хочет купить \(100\) коробок, ей придется заплатить \(65,75 вон \х100 = 6575 вон.\)

    Q.4. Найти \(5,3145 \умножить на 1000.\)
    Ответ: Количество нулей в множителе \(\left({1000} \right)\) после \(1\) равно \(3.\) Таким образом, десятичная точка переместится на три знака вправо.
    Следовательно, \(5,3145 \х1000 = 5314,5\)

    Q.5. Гопи пошел в продуктовый магазин со своей матерью. Его мать купила 10 бананов по \(₹2,50\) каждый. Помогите Гопи рассчитать сумму, которую должна заплатить его мать.
    Ответ:
    W
    e имеют стоимость одного банана \(= 2,50 ₹.\)
    Таким образом, стоимость \(10\) бананов \(= 2,50 ₹ \x 10.\)
    Следовательно, стоимость \(10\) бананов стоит \(₹25.\) (сдвиг десятичной точки на один знак вправо)

    Сводка В этой статье мы обсудили умножение десятичных чисел, в том числе умножение десятичных чисел на \(10,100\) и \(1000.\). Мы также обсудили, как умножать десятичные числа на целые числа и как умножать два десятичных числа. Мы также описали несколько основных свойств умножения десятичных чисел. Прохождение этой статьи поможет учащимся получить полное представление об умножении десятичных чисел.

    Часто задаваемые вопросы (FAQ) – Умножение десятичных чисел

    Давайте рассмотрим некоторые часто задаваемые вопросы об умножении десятичных чисел:

    Q.1. Как умножить десятичную дробь на 100?
    Ответ:
    Чтобы умножить десятичное число на 100, сдвиньте запятую на два знака вправо, так как в числе 100 два нуля.

    Q.2. Что такое недесятичное число?
    Ответ:
    Все числа без дробной части не являются десятичными.Мы не используем десятичную точку для их представления. И отрицательные, и положительные целые числа (включая целые числа и натуральные числа) можно назвать недесятичными числами.
    Пример: 47,5963,9235 и т. д.

    Q.3. Как умножать положительные и отрицательные десятичные дроби?
    Ответ:
    Положительные и отрицательные десятичные дроби умножаются так же, как два десятичных дроби. Затем к продукту будет прикреплен соответствующий знак по правилу \(”{\text{Отрицательно}} \times {\text{Положительно}} = {\text{Отрицательно}}.”\)
    Таким образом, мы сохраним знак минус перед числовой частью полученного произведения.
    Пример:\( – 0,8 \умножить на 0,4 = – 0,32\)

    Q.4. Каковы четыре правила умножения десятичных дробей?
    Ответ : Четыре правила умножения десятичных дробей:
    1. Выполняйте умножение аналогично целым числам.
    2. Предположим, что в произведении десятичных разрядов больше, чем число цифр, нули можно вставить перед размещением десятичной точки в произведении так, что только один ноль будет там слева от десятичной запятой, а десятичные разряды в произведение будет равно общему количеству знаков после запятой в обоих числах.
    3. Десятичная запятая должна быть поставлена ​​в произведении так, чтобы произведение имело количество знаков после запятой, равное общему количеству знаков после запятой данных десятичных чисел.
    4. Нули в крайнем правом углу после запятой в результирующем произведении можно опустить.

    Q.5. Что означают 3 знака после запятой?
    Ответ: «Три десятичных знака» — это то же самое, что «ближайшая тысячная». Это также означает, что после запятой будет три цифры.

    Узнайте о десятичных числах

    Мы надеемся, что эта подробная статья об умножении десятичных чисел поможет вам в подготовке. Если вы застряли, сообщите нам об этом в разделе комментариев ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

    167 просмотров

    Умножение десятичных дробей: правила, шаги и примеры

    Умножение десятичных дробей: правила, шаги и примеры

    Вы знаете, как умножать числа, состоящие из более чем одной цифры, но когда это десятичная дробь, вы забываете, что делать с десятичной точкой? Этот урок научит вас шагам умножения десятичных дробей.Затем посмотрите эти шаги в действии на примерах.

    Умножение десятичных знаков: цены на газ

    Семья Эрнандес планирует путешествие. Г-н Эрнандес подсчитал, что их машина будет расходовать примерно 96 галлонов бензина на поездку туда и обратно. Если бензин стоит 3,45 доллара за галлон, сколько семья Эрнандес потратит на бензин? Мы знаем, что бензин стоит 3,45 доллара за галлон, а Эрнандесы будут использовать 96 галлонов. Нам нужно умножить, чтобы найти общую стоимость использованного газа. Но одно из чисел, на которое мы будем умножать, содержит десятичную точку.Как мы будем это делать?

    Во-первых, мы должны знать, что десятичная точка — это символ, используемый для отделения целого числа от дробной части числа, десятых, сотых и т. д. В нашем уравнении $3,45 — это десятичная дробь. Десятичная точка отделяет целых три доллара от сорока пяти центов.

    Умножение десятичных дробей: шаг за шагом

    Разобьем это умножение на шаги.

    Шаг 1: Завершите умножение как обычно, как если бы десятичной дроби не было.

    В данном случае мы умножаем 96 на 3,45.

    Начните с 6 в разряде единиц и умножьте 6 на 345. Затем умножьте 9 в разряде десятков на 345 и сложите эти произведения, чтобы получить окончательный ответ. Посмотрите на числа, которые мы перемножили вместе.

    Шаг 2: Определите общее количество цифр после запятой в числах, которые вы перемножаете.

    Сколько цифр справа от запятой? В нашей задаче 3.45 имеет две цифры после запятой. 96 — целое число, поэтому в нем

    нет десятичной точки. Итак, числа, которые мы умножаем, имеют в общей сложности две цифры после десятичной точки.

    Шаг 3: Поместите такое же количество цифр после запятой в произведении.

    Поскольку числа 3,45 и 96 имеют две цифры после запятой, нам понадобятся две цифры произведения после запятой. Таким образом, вместо 33 120 в конечном продукте будет фактически 331.20. Семья Эрнандес потратит в общей сложности 331,20 доллара на бензин во время поездки.

    Умножение двух десятичных знаков

    Давайте вернемся к путешествию Эрнандеса для другого примера. На самом деле Эрнандесы использовали меньше газа, чем предполагал мистер Эрнандес.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.