Правило сложение дробей: Сложение и вычитание дробей

Содержание

Как решать сложение дробей. Как складывать дроби с разными знаменателями

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему — сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли.

Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

  • правильные;
  • неправильные;
  • смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 +

4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

  • Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.


Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
  • Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.


  • Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 — 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 — 1 15 = 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 — 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .

Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 — 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 — 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = (1064 + 1) — 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 — 13 62 = 1 1 — 13 62 = 62 62 — 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 — 13 62 = 1065 1 — 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 — 13 62 = 66030 62 — 13 62 = = 66030 — 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 — 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 — 3 5 = (629 + 1) — 3 5 = 629 + 1 — 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 — 3 2 = 24 4 — 6 4 = 19 4 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог — 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 6 4 — 5 6 = = 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 — 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 — 5 + 3 5 = 98 + 17 20 — 5 — 3 5 = 98 — 5 + 17 20 — 3 5

Завершим расчеты: 98 — 5 + 17 20 — 3 5 = 93 + 17 20 — 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

  • Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
  • Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
  • Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

  • найти НОК для всех знаменателей;
  • поставить для всех дробей дополнительные множители;
  • умножить все числители на дополнительный множитель;
  • полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
  • произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Повторение «Правила сложения обыкновенных дробей»

Текст этой презентации

Слайд 1

СКАЗКАПравила сложенияв царстве обыкновенных дробей

Слайд 2


 
1) 2) 3) 4) 5) 6)
 
 
 
 
 
сказка

Слайд 3

Сказка ложь, Но в ней намёк, Добрым молодцам И красным девицам урок.

Слайд 4

В 3/9 царстве, в 3/10 государстве жили-были обыкновенные дроби. Были они разные.
Египтяне употребляли только дроби с числителем единица и дробь 2/3.
Римляне тоже пользовались одним знаменателем, равным 12.
В древнем Вавилоне предпочитали, наоборот, -постоянный знаменатель, равный 60.
Дроби в древней Руси назывались долями, позднее «ломаными числами». 1/2 — полтина, 1/4 -четь, 1/8 – полчеть, 1/3 – треть, 1/6 – полтреть, 1/12 — полполтреть

Слайд 5

Действия с дробями в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».

Слайд 6

Поставил царь перед своими подданными проблему:
найти интересные способы сложения обыкновенных дробей. … И дал на раздумье только одну ночь.

Слайд 7

Первым вышел простак и предложил складывать дроби так:
Загудели дроби. Как же так?

Слайд 8

Вторым вышел Тугодум. Он изобрёл оригинальный способ:
Восхитился царь!
2
3

Слайд 9

Слайд 10

Чем хорош этот способ?
Просто меняем знаменатели – способ легкий!
Чем плох?
Сокращать ответ приходится

Слайд 11

А Зануда прочитал в умной книге, что сначала нужно найти НОК знаменателей
8 4 2 1
2 2 2
6 3 1
2 3
НОК (8;6) = 2*2*2*3=24
Не по душе пришёлся подданным этот способ!
3
4

Слайд 12

Тогда Умник говорит: 8 и 6 делятся на 2. 8 : 2 = 4, 6 : 2 = 3. Поменяем местами.
3
4
Вот увидите: этот способ в XXI веке будет самым удобным у шестиклассников!

Слайд 13

Слайд 14

А царь спросил у Умника:как сложить три дроби?
Задумались подданные…

Слайд 15

Но тут вышли три мудреца и предложили свой способ:
Делим больший знаменатель на два других 12:6=2, 12:8=неудача! Тогда 12+12=24 и проверяем снова. 24:8=3, 24:6=4, 24:12=2

Слайд 16

Слайд 17

Если ты ленишься думать – пользуйся способом Тугодума (просто меняй знаменатели). Если ты посообразительней – твой способ Умника. Если ты – творец, то НОК дробей возникает у тебя в голове сразу.
Итак:

Слайд 18

Вот и сказочке конец, а кто слушал и понял – молодец!

Сложение дробей с разными знаменателями – примеры, правило (5 класс, математика)

Автор Беликова Ирина На чтение 3 мин Просмотров 22

Сложение дробей с разными знаменателями это, пожалуй, самая сложная тема математики 5 класса. Чтобы не допускать ошибок в будущем и настоящем, разберем подробнее эту тему и выявим наиболее распространенные ошибки.

Что такое дробь?

Дробью называют незавершенную операцию деления. Это значит, что любую дробь можно превратить в привычное число, поделив числить на знаменатель. Чаще всего результатом такого деления является десятичная дробь. Почему люди не используют все время десятичные дроби, если все равно все сводится к такому виду записи.

Проблема в том, что большая часть обыкновенных дробей не переводится в десятичные. Получается бесконечная дробь. А сокращение дроби в результате деления приведет к уменьшению точности вычислений. Поэтому и используются обыкновенные дроби.

Если переводить это определение в реальную жизнь, то можно сказать, что знаменатель это количество частей, на которое разделили целое, а числитель – части, которые взяли себе, отбросив в сторону основные.

Почему нельзя складывать дроби с разными знаменателями?

Несколько сотен лет назад этого правила не было. Тогда в расчетах купцов часто встречались следующие рассуждения: 3 сотые части бочонка были куплены вместе с двумя третьими соболиного меха и так далее. Такой метод исчисления крайне неудобен.

Знаменатели в мире дробей это как единицы измерения в физике. Нельзя складывать вместе слонов и зайцев, пироги и пельмени, ${2over{3}}$ и ${4over{9}}$. Просто потому, что это разные числа. Поэтому для того, чтобы сложить

Как найти общий знаменатель дробей?

В знаменателе всегда стоит какое-то число. Общим знаменателем дробей называется наименьшее общее кратное этих чисел. В самом простом случае, оба знаменателя представлены простыми числами. Тогда кратное находится как произведение этих чисел.

В произвольном случае, нужно следовать правилу:

  • Числа раскладываются на простые множители. Не обязательно чисел будет два. Ведь не всегда складывается две дроби, в примере может быть любое количество чисел.
  • В знаменателях ищут общие простые множители. Эти множители желательно выделить отдельно. Так мы находим общую часть чисел.
  • Если общей части у чисел нет, то кратное находится как произведение чисел друг на друга.
  • Кроме общей части у чисел остаются множители, характерные для каждого числа в отдельности. Для того, чтобы найти кратное, выписывается общая часть и умножается на каждый из уникальных множителей

Рассмотрим отдельно пример нахождения НОК для чисел 27 и 48

  • 27=3*3*3

    48=2*2*2*2*3

  • Общей частью чисел является только один множитель 3
  • НОК=3*(3*3)*(2*2*2*2) – произведение 3 было взято из разложения числа 27, произведение 2 является уникальной частью числа 48
  • Подведем итог: НОК=3*9*16=432
  • Большие числа часто получаются при нахождении общего знаменателя. Ученики могут испугаться этого и начать искать ошибку, теряя время. Поэтому нужно верить в свои силы.

    Пример

    Рассмотрим небольшой пример сложения дробей:

    ${3over{22}}+{7over{47}}+{5over{44}}$ – заметим, что первый и третий множители имеют схожие делители. Сложение лучше произвести сначала для них.

    22=11*2

    44=11*2*2

    Для того, чтобы найти сумму дробей нужно домножить 3/22 на 2.

    ${3over{22}}={6over{44}}$

    ${3over{22}}+{5over{44}}={6over{44}}+{5over{44}}={11over{44}}={1over{4}}$ – заметим, что дробь сократилась. Таким образом? у нас получилось упростить конечные вычисления.

    Пример принимает следующий вид:

    ${3over{22}}+{7over{47}}+{5over{44}}={1over{4}}+{7over{47}}$ – число 47 является простым. Это можно узнать по таблице простых чисел. Значит, для нахождения НОК этих чисел, их нужно перемножить.

    4*47=188

    ${1over{4}}+{7over{47}}={{1*47+7*4}over{188}}={75over{188}}$

    Что мы узнали?

    Мы поговорили о дробях. Узнали, зачем нужно приводить дроби к одному знаменателю перед сложением. Поговорили о том, как найти общий знаменатель. Рассмотрели небольшой пример сложения дробей с разными знаменателями.

    «Сложение и вычетание дробей с разными знаменателями»

    Тема урока: Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

    образовательные: повторить правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями; ввести правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями; формировать умение складывать и вычитать дроби с разными знаменателями;

    развивающие: развитие вычислительных способностей, внимательности, вариативного мышления, умения осуществлять само- и взаимоконтроль;

    воспитательные: воспитание познавательного интереса к изучаемому материалу.

    Оборудование: проектор, интерактивная доска,

    Раздаточный материал: сигнальные карточки, карточки-алгоритмы.

    Этап урока

    Время

    Деятельность преподавателя

    Деятельность учащихся

    Самоопределение к деятельности (орг. момент)

    3 мин.

    Приветствие

    — Ребята, откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

    Слайд 1.

    — Ребята, какой серьёзной темой мы начали заниматься в этой четверти?

    Слайд 2.

    — В древности и в средние века учение о дробях считалось хотя и самым трудным, но и самым важным разделом арифметики. Римский оратор Цицерон писал: «Без знания дробей никто не может признаться знающим арифметику».

    Слайд 3.

    -В Древнем Египте Действия с дробями могли производить только самые просвещённые люди своего времени – жрецы, и знания свои они хранили в глубокой тайне. Сейчас действия с дробями может производить каждый уважающий себя пятиклассник.

    — Чему мы уже научились?

    —  Как вы думаете, куда дальше в изучении дробей мы продолжим продвигаться?

    Приветствуют преподавателя.

    Записывают число, «Классная работа».

    Отвечают на вопрос учителя:

    — мы начали изучать тему: «Обыкновенные дроби».

    Слушают объяснение преподавателя.

    Отвечают на вопросы преподавателя:

    — сокращать дроби, отмечать их на координатном луче, приводить к общему знаменателю, сравнивать дроби с равными знаменателями, с равными числителями;

    — мы должны научиться производить с ними арифметические действия.

    Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

    7 мин.

    Слайд 4.

    — Выполните задания, предложенные в презентации:

    — Какая из дробей лишняя; почему?

    ; ;

    — Сравните дроби:

    — Какие правила сравнения дробей вы использовали?

    Слайд 5.

    Математики Древнего Египта вместо обычных знаков + и – использовали знаки «идущие ноги». Определите, какой знак они обозначали.

    Слайд 6.

    — Вычислите:

    — Какой пример вызвал затруднения?

    — Как решили первых два примера?

    — Как решили третий пример?

    — Почему получились разные ответы в 4-м примере?

    Выполняют задания, предложенные в презентации, отвечают на вопросы преподавателя.

    (, это неправильная дробь, остальные дроби – правильные;

    числитель и знаменатель этой дроби – однозначные числа).

    — Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, перекрёстное правило.

    Выполняют задание, предложенное в презентации.

    Отвечают на вопросы преподавателя:

    — Не знаем правило сложения дробей с разными знаменателями;

    Постановка учебной задачи

    2 мин.

    — Чем же мы будем сегодня заниматься?

    — Как будет называться тема сегодняшнего урока?

    -Запишите тему урока в тетрадь.

    Слайд 7.

    – Сформулируйте цели урока.

    Слайд 8.

    — будем учиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

    Самостоятельно формулируют тему урока:

    « Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

    Записывают тему урока в тетрадь.

    -Самостоятельно формулируют цели урока: 1)Построить алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями,

    2) научиться выполнять действия по построенному алгоритму.

    «Открытие» детьми нового знания

    5 мин.

    Работа с презентацией. (В презентации на примере деления квадрата показано сложение и вычитание дробей с разными знаменателями)

    Слайд 9.

    — Ребята, попробуйте самостоятельно вывести правило сложения дробей с разными знаменателями.

    Слайд 10.

    Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

    1. Привести дроби к одинаковому знаменателю, желательно наименьшему, используя основное свойство дроби.

    2. Сложить получившиеся дроби с одинаковым знаменателем.

    Работают с презентацией.

    Самостоятельно выводят правило сложения дробей с разными знаменателями.

    Первичное закрепление во внешней речи

    7 мин

    — Выполните №440 с комментированием (5 учащихся по очереди вызываются к доске).

    Слайд 11.

    Ответы примеров нужно записать в таблицу.

    — Ребята, что нужно сделать для того, чтобы достичь в чём-то успеха?

    Слайд 12.

    — Чей портрет изображён на слайде?

    — Алекса́ндр Васи́льевич Суво́ров — национальный герой России, великий русский полководец, не потерпевший ни одного поражения в своей военной карьере, один из основоположников русского военного искусства.

    — Как он достиг такого успеха?

    — Какие замечательные слова оставил А.В.Суворов нам в напутствие:

    — Дисциплина — мать победы.

    — Легко в учении — тяжело в походе, тяжело в учении — легко в походе.

    — За ученого трех неученых дают. Нам мало трех, давай нам шесть, давай нам десять на одного, — всех побьем, повалим, в полон возьмем…

    — Как бы плохо ни приходилось, никогда не отчаивайся, держись, пока силы есть.

    — Действительно, чем больше труда мы приложим на уроке, тем легче нам будет и на контрольной работе, и на экзамене.

    Одновременное решение примеров на доске и в тетрадях с комментирова-нием.

    В результате выполнения задания получили слово «Успех».

    Отвечают на вопрос преподавателя:

    — А.В.Суворова.

    Отвечают на вопрос преподавателя.

    Физкультминутка

    3 мин.

    Упражнения на внимание, зрение, осанку.

    Слайды 13, 14, 15.

    Выполняют упражнения на внимание, зрение, осанку.

    Самостоя-тельная работа с самопровер-кой

    10 мин.

    Самостоятельная работа с самопроверкой.

    Слайд 16.

    — Ребята, поднимите сигнальные карточки те, кто выполнил самостоятельную работу на «5»,

    на «4».

    Выполняют самостоятельную работу, затем выполняют самопроверку по образцу и выставляют себе оценки.

    При помощи сигнальных карточек показывают преподавателю, кто как справился с самостоятельной работой.

    Включение в систему знаний и повторение

    5 мин

    — Решите задачу (слайд 17):

    В третьем взводе 24 суворовца. взвода занимается самбо, взвода — плаванием, — футболом. Сколько суворовцев третьего взвода занимается спортом?

    Учащиеся, выполнившие самостоятельную работу на «5» и «4», решают задачу (сначала решают самостоятельно, затем сверяют свои решения).

    Остальные с помощью карточек-алгоритмов решают в тетрадях № 442 (а,б)

    Задание на самоподготовку

    1 мин.

    — Запишите задание на самоподготовку:

    1) № 447, стр.123;

    2) Придумать и решить задачу на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

    Записывают задание на самоподготовку.

    Итог урока

    2 мин.

    — Что нового узнали на уроке?

    – Какую цель мы ставили в начале урока?

    – Наша цель достигнута?

    – Что нам помогло справиться с затруднением?

    – Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

    – Оцените при помощи сигнальных карточек свою работу на уроке.

    Слайд 19.

    Пусть каждый день и каждый час
    Вам новое добудет.
    Пусть добрым будет ум у вас,
    А сердце умным будет. (С.Маршак)

    Осуществляют рефлексию собственной деятельности.

    Вопрос Видео: Использование правила сложения в вероятности

    Стенограмма видео

    Для двух событий 𝐴 и 𝐵 вероятность 𝐴 составляет три пятых, вероятность 𝐵 составляет три четверти, а вероятность 𝐴 союза 𝐵 составляет пять шестых. Определите вероятность пересечения 𝐴 𝐵.

    Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся правилом сложения вероятностей. Это означает, что вероятность 𝐴 объединения 𝐵 равна вероятности 𝐴 плюс вероятность 𝐵 минус вероятность 𝐴 пересечения 𝐵.В этом вопросе нам говорят, что вероятность 𝐴 составляет три пятых, вероятность 𝐵 составляет три четверти, а вероятность 𝐴 объединения 𝐵 составляет пять шестых. Нас просят вычислить вероятность 𝐴 пересечения 𝐵.

    Мы можем изменить это уравнение, добавив вероятность 𝐴 пересечения 𝐵 и вычитая пять шестых с обеих сторон. Таким образом, вероятность 𝐴 пересечения 𝐵 равна трем пятым плюс три четверти минус пять шестых. Чтобы складывать и вычитать дроби, мы начинаем с нахождения общего знаменателя.В этом случае нам нужно найти наименьшее общее кратное пяти, четырем и шести. Это равно 60, так как 60 — наименьшее число в таблице умножения на четыре, пять и шесть.

    Умножение числителя и знаменателя нашей первой дроби на 12 дает нам 36 на 60. Поскольку четыре, умноженные на 15, равно 60, мы можем умножить числитель и знаменатель второй дроби на 15, чтобы получить 45 на 60. Умножая числитель и знаменатель третьей дроби на 10, мы видим, что пять на шесть равнозначно 50 на 60.Поскольку у всех трех дробей теперь знаменатель равен 60, мы можем просто сложить, а затем вычесть числители. 36 плюс 45 равно 81. А вычитая 50, мы получаем 31.

    Если вероятность 𝐴 составляет три пятых; вероятность 𝐵, три четверти; вероятность 𝐴 объединения 𝐵, пять шестых, то вероятность 𝐴 пересечения 𝐵 по правилу сложения вероятностей равна 31 на 60 или тридцать одна шестидесятая.

    дробных сумм | Как найти сумму дробей

    В этом посте мы узнаем, как найти сумму дробей .

    Прежде чем приступить к сложению дробей, рекомендуется узнать, как вычислить наименьшее общее кратное ( НОК) двух или более чисел.

    Чтобы вычислить сумму дробей , важно, чтобы дроби имели одинаковый знаменатель .

    Сумма дробей с одинаковым знаменателем

    Чтобы сложить дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители и оставить тот же знаменатель.

    Например:

    Так как у двух дробей один и тот же знаменатель, нам нужно сохранить тот же знаменатель , который равен 4, и добавить числители .

    3 + 2 = 5

    И результат суммы дробей:

    Сумма дробей с разными знаменателями

    К сложите дроби с разными знаменателями , первое, что вам нужно сделать, это найти общий знаменатель: это наименьшее общее кратное знаменателей, которые у вас есть.Затем мы умножаем каждый числитель на число, на которое мы умножили знаменатель. Наконец, мы складываем полученные числители и сохраняем тот же знаменатель.

    Например,

    Первое, что нужно сделать, это найти общий знаменатель между 3 и 5. Для этого мы вычисляем наименьшее общее кратное между обоими числами.

    НОК(3,5) = 15

    Таким образом, 15 является общим знаменателем двух дробей.

    Теперь нам нужно умножить каждый числитель на число, на которое мы умножили знаменатель.Для этого мы делим НОК на исходный знаменатель и умножаем результат на числитель этой дроби.

    Для первой дроби:

    15/3 = 5

    5 х 2 = 10

    Итак, 10 — числитель первой дроби.

    Для второй фракции:

    15 / 5 = 3

    3 х 4 = 12

    Итак, 12 — числитель второй дроби.

    Теперь все, что нам осталось сделать, это добавить числители:

    10 + 12 = 22

    И результат суммы дробей:

    Я надеюсь, что из этого поста вы узнали, как находить сумму дробей.

    Не стесняйтесь оставлять свои комментарии!

    А если вы хотите узнать больше о математике, войдите в Smartick, чтобы получить бесплатную пробную версию!

    Узнать больше:

    Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

    Дайан Акерман

    Smartick — увлекательный способ изучения математики
    • 15 минут веселья в день
    • Адаптируется к уровню вашего ребенка
    • Миллионы учеников с 2009 года

    Группа создания контента.
    Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создать наилучший математический контент.

    Сложение дробей: распространенная ошибка | Клио Корвид | CW: Математика

    Это одна из самых частых ошибок, которую учащиеся допускают при сложении дробей:

    Это неверно.

    Долгое время я думал, что студенты делают это исключительно из-за путаницы с умножением. Хотя мы учим складывать целые числа перед умножением, сложение дробей — более сложный процесс.

    Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели.Вот и все.

    Это математически правильно, но.

    Для математика в целом это нормально. Учителя математики, которые относятся к родственным, но разным видам, склонны хотеть, чтобы ученики упрощали.

    Обычно, как учитель средней школы, я хочу, чтобы учащиеся продемонстрировали понимание процесса умножения (особенно когда речь идет, скажем, об умножении рациональных функций), поэтому я разделяю два этапа «умножение» и «упрощение», но, чтобы не расстраивать учителей начальных классов, которые могут читать это, мы также должны упростить:

    Теперь мы можем перейти в пятый класс!

    Резюме: Чтобы умножить два числа, записанные в (правильной или неправильной) дробной форме, умножьте числители и умножьте знаменатели.Если необходимо, желательно или ожидается, «упростите», исключив любые общие факторы. (Не говорите «отменить», иначе половина учителей математики в Интернете будет кричать на вас.)

    2/2 = 1, поэтому нам не нужно его записывать.

    Деление дробей более сложное, особенно когда происходит вложение, и это может сильно запутать. Тем более, что учителя настаивают на поиске моделей реального мира и стремлении к концептуальному пониманию вместо того, чтобы просто позволить ученикам KFC (жареный цыпленок, ням!).

    Это отдельный разглагольствования, потому что я хочу вернуться к дополнению, но я это я, так что вот врезка.

    Многие учителя просто учат алгоритму: Чтобы разделить дроби, умножьте на обратное. Но чтобы избежать причудливой схмантической (строгой, правильной) лексики, они учат «сохранить-изменить-перевернуть»: то есть оставить первую дробь прежней, изменить знак на умножение, а затем перевернуть вторую дробь:

    Сохранить -Change-Flip, или «Деление есть умножение обратного»

    В какой-то момент Хранитель Акронимов заметил, что KCF очень близок к распространенному названию фаст-фуда, поэтому они сохранили-изменили-перевернули саму аббревиатуру на KFC, «Оставь первое, переверни второе, поменяй знак.

    Понятно, что учителя математики на другом конце кричали о бессмысленных алгоритмах и бессодержательных аббревиатурах, а … пока хорошо, но потом… начал настаивать на том, что обучение делению дробей должно основываться на глубоком концептуальном понимании процесса деления. , и должен был быть максимально изолирован от умножения.

    Возникают такие вопросы, как: «У Джимми пять и три четверти доллара, а фунт гороха стоит один и две трети доллара.Сколько фунтов гороха Джимми может купить?»

    Что, если так выразиться, не такое чертовски бессмысленное занятие, но все же. В какой-то момент, я думаю, нам нужно перестать настаивать на том, что каждое математическое выражение отражает сценарий реального мира и что бывают моменты ( ад-а-а-а-а! ), когда мы просто перебрасываем числа и буквы для практики.

    Кроме того, я думаю, что это заключает в себе совершенно фундаментальное понимание деления в целом:

    Математически деление эквивалентно умножению на обратное.

    Как бы там ни было, грандиозный. KFC болезненно близок к этому, но он был покрыт жидким тестом и обжарен до милоты.

    Конец боковой панели.

    Итак, вернемся к сложению (и, как следствие, к вычитанию).

    Умножение, не так уж сложно. Деление, еще один шаг (замените делитель обратным, а затем умножьте). Добавление?

    Нельзя складывать дроби с разными знаменателями. Поклонник Common Core скажет вам, что концептуально это означает, что мы вообще не добавляем дроби.Что мы делаем, так это переписываем те же единицы, а затем добавляем количество этих единиц. То есть:

    Потому что 3 яблока и 2 яблока составляют 5 яблок.

    В двух средних выражениях диаграммы 1/7 не является числовым значением, это единица «1/7 от целого», что бы ни представляло «целое». Итак, если целое — это неделя, 3/7 + 2/7 означает «три дня плюс два дня».

    Но если мы хотим пропустить понятия (или сократить их после объяснения), мы можем сказать: «Сделайте знаменатели одинаковыми, затем добавьте числители и оставьте знаменатель в покое.”

    Тем не менее, бывают случаи, когда конкурирующая эффективность приводит к разным стратегиям. Например, проще всего научить: когда знаменатели разные, умножьте каждую дробь на версию 1, эквивалентную другому знаменателю, деленному на себя.

    Эм, что?

    Это:

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Этот метод работает всегда, но бывают случаи, когда он менее эффективен. Это работает лучше всего, когда знаменатели взаимно просты (или относительно просты, выберите свой терминологический яд).Объясните среднестатистическому ( чеков Единого основного государственного стандарта ) пятикласснику, что такое co-prime. Я буду ждать.

    Это не значит, что пятиклассник не мог понять понятие взаимной простоты, но слово «первоклассная» даже не фигурирует в Единых основных государственных стандартах. Ни разу.

    Хорошо, это еще одна разглагольствования о том, что ключевое слово для чего-то, называемого Фундаментальной теоремой арифметики, нигде не встречается в CCSS. Еще один день.

    Часть той же тирады:

    СЕРЬЕЗНО?!?

    В любом случае, этот метод сложения дробей требует еще одного шага, когда знаменатели имеют общий множитель, и часто может привести к большим числам, чем младшим учащимся.

    Возьмем, к примеру, простой случай:

    Работает, но, как говорят дети, «слишком много делаешь».

    Используя модели, довольно легко увидеть, что 1/2 + 1/4 = 3/4. Также довольно легко увидеть, что 1/2 = 2/4. Если мы хотим придерживаться моделей, нет смысла преобразовывать эти дроби в восьмые.

    Учителя часто учат понятию «наименьшее общее кратное», что имеет смысл для математиков, хорошо разбирающихся в Фундаментальной теореме арифметики , которая гласит некоторую версию:

    «Все целые числа больше единицы могут однозначно выражается как произведение степеней простых чисел.

    Но если вы имеете дело с математическими стандартами, которые не включают такие слова, как «арифметика» или «простое число» ( Я смотрю на вас, CCSS! ), это немного сложнее.

    Для студентов, которые все еще борются с основами теории чисел, концепция «наименьшего общего кратного» содержится в «Еще одном алгоритме»: перечислите несколько кратных каждого числа, а затем найдите первое число, которое совпадает.

    Для 2 и 4 ничего страшного: 2 умножается на 2, 4… вот и все, готово.

    Как насчет:

    Что? НЕТ!

    Если я, обладатель степени бакалавра математики и компьютерных наук, хочу найти наименьшее общее кратное, я использую свое понимание вышеупомянутой Фундаментальной теоремы арифметики:

    Хорошо, это было не так сложно, не так ли?

    Но вместо этого студентов часто учат:

    28, 56, … подождите … 74, … могу я воспользоваться калькулятором? … 102, 130, 158…

    Ой, я ошибся, но так как мне не разрешено пользоваться калькулятором, я этого не знаю.Теперь я ненавижу математику. Поздравляю, мисс Крабаппл.

    Или мы могли бы просто пойти дальше и сделать то, что я предложил вначале, умножив каждую дробь на форму одной, используя знаменатель другой дроби.

    Но опять же, мисс Крэбэппл стоит над нами и косится на нас, когда мы касаемся калькулятора:

    Я не буду умножать этот знаменатель без калькулятора. Забудь это.

    Знаешь что, к черту этот шум, я просто собираюсь сделать то же самое, что и с умножением:

    Это неправильно.Кроме… может иногда?

    Раньше я думал, что это единственная причина, по которой студенты так поступали: правило сложения слишком сложное, правило умножения простое, просто примените более простое правило.

    И хотя я думаю, что это может быть причиной того, что некоторые студенты делают это, есть и другая причина. Действительно, сегодня я использовал именно тот сценарий, где… вы можете захотеть сесть за это… это имеет смысл.

    Я писал отчет о том, какая часть моих учеников сообщила о карантине COVID-19.Я перечислил каждый класс, а затем предоставил общее количество.

    Я придумаю числа, потому что FERPA:

    • Первый час: 27.06
    • Второй час: 25.12
    • Третий час: 26.08
    • Итого: 26/78 = 1/3
    • 9012

      Нет ничего математически ошибочного в приведенных выше пулях. Каждый час имеет определенное соотношение респондентов. Чтобы получить общее количество, я сложил значения для трех классов… за исключением того, что я НЕ делал этого:

      Это неверно. Но почему нет?

      Итак, объясните ученику, почему это неправильно.

      С каждым классом связана фракция. Проверить.

      Мы хотим узнать общую дробь. Проверить.

      «Комбинированный» осуществляется добавлением. Проверить.

      Итак, мы хотим сложить дроби… правильно? НЕПРАВИЛЬНО!

      Реальность такова: учащиеся, которые делают это, выполняют какую-то правильную математическую операцию. Он предполагает добавление. В нем участвуют дроби. Это просто не «сложение дробей».

      Непонимание восходит к фундаментальному непониманию того, что представляют собой дроби, и что представляет собой «сложение дробей».Вместо того, чтобы в отчаянии вскидывать руки и снова повторять одно и то же объяснение, мы, учителя, должны сделать шаг назад и пересмотреть, что вообще означает дробь.

      В репетиторстве после школы есть две учебные группы. У одного из них двое учеников, мальчик и девочка. У другого четверо учеников, одна из которых девочка. Какую часть всей группы репетиторов после школы составляют девочки?

      Это совершенно правильная математическая задачка, которую вы, возможно, захотите задать учащимся в какой-то момент в той или иной версии.В этом вообще нет ничего странного. Также: это включает в себя дроби. Он предполагает добавление. Это не связано с добавлением дробей. Действительно, я не могу придумать, как написать задачу на сложение дробей, которая даст нам желаемый результат 2/6 (то есть 1/3).

      Мы могли бы определить другой оператор, чтобы результатом была сумма числителей, деленная на сумму знаменателей, возможно, упрощенная.

      Теперь все в порядке с нашим определением.

      Затем мы могли бы изучить свойства этого оператора.Его инверсия бесполезна:

      Хм.

      … но это из-за фундаментальной ошибки в наших рассуждениях. Мы не можем упростить без потери ключевой информации.

      Если бы вместо этого мы определили наш оператор, запрещающий упрощение, проблем бы не было. Наша инверсия работает нормально.

      Круто круто круто. (Если вы не сказали это голосом Джейка Перальты, я разочарован.)

      Это потому, что с нашим новым оператором «целое» — это то, что представлено каждым целым числом. Один полный студент из группы из двух целых студентов в сочетании с одним целым студентом из группы из четырех целых студентов составляет двух целых студентов из группы из шести целых студентов.2/6 = 1/3 не является допустимым преобразованием, если мы хотим сохранить то количество учеников, с которым мы начали.

      Что приводит к другому важному понятию, которое мы, учителя математики, часто просто замалчиваем: 1/3 равно , а не 2/6. Числовое значение, представленное 1/3, равно , равному числовому значению, представленному 2/6. Численно они идентичны; контекстуально их может и не быть.

      В вероятностных упражнениях мы можем предпочесть придерживаться 52-х, даже если есть более простые формы дробей, потому что мы имеем дело с покерными колодами, и мы хотим усилить это.13/52 — это , числовое значение эквивалентно 1/4, но только первое открыто напоминает нам о нашем контексте.

      Добавление к дробям, тем временем, включает в себя предположение, что «целое» в данном контексте — это то, дробью чего мы являемся.

      Это более сложная концепция, чем «каждое число представляет счет чего-то». И мы обычно учим дроби в первую очередь в терминах «каждое число представляет счет чего-то»… а затем раздражаемся, когда ученики верят нам на слово, делая:

      ОТРЕЗАЙТЕ ЭТО!

      Теперь, прежде чем вы скажете: «Подождите, я преподаю в пятом классе, и уж точно НЕ учу дроби таким образом!»

      Судя по материалам, которые я видел, да, большинство учебных программ преподают дроби именно так.

      Источник: Brain Quest Workbook, 5 класс

      Когда вы учите, что «1/5 представляет собой одну часть звезды, разделенную на пять частей»… это самое заметное сообщение.

      Некоторое время назад был мем с предполагаемым вопросом, ответом и руганью учителя в следующих строках:

      В. Джимми съел половину пиццы. Дэн съел треть пиццы, но Дэн съел больше пиццы, чем Джимми. Как это возможно?

      Ответ ученика: Пицца Дэна была больше.

      Ответ учителя: Нет, это невозможно.1/3 меньше 1/2.

      Я не знаю, было ли это реальной проблемой или это было придумано, чтобы показать, насколько умны ученики и насколько глупы учителя. Не в этом дело.

      Дело в том, что пункт показывает самую настоящую путаницу между тем, что разрешено изображать дробями, при каких условиях мы можем приравнивать дроби и над чем работают стандартные операторы над дробями.

      Складывать и вычитать имеет смысл только тогда, когда дроби представляют части сопоставимых целых чисел.То есть, когда нашей основной базовой единицей является то, чем дробь является дробью, а не когда нашей основной базовой единицей является то, что представляют собой наши отдельные числа.

      Это не простая концепция. Это не интуитивное понятие. Если наши ученики не понимают, как складывать дроби, возможно, поэтому.

      Возникает вопрос: почему это не создает проблемы для умножения и деления? Разве умножение не просто повторяющееся сложение?

      Если вы еще не читали, прочтите замечательный разглагольствования Кита Девлина «Это не повторяющееся дополнение.В нем он указывает, что умножение дробей часто является первым случаем, когда этот аргумент серьезно ломается:

      «И говорить им, что умножение — это повторяющееся сложение, определенно требует отмены позже.

      Сколько позже? Как только ребенок перейдет от умножения целых чисел к умножению на дроби».

      Когда мы складываем дроби, концептуально лучше всего работает, если мы думаем о знаменателях как о единицах. Обратите внимание, что это не означает, что базовая единица является знаменателем.Скорее, что бы мы ни определяли как «целое» (будь то реальный или абстрактный объект), наши дробные единицы являются частями этого целого одинакового размера.

      Когда мы умножаем дроби, не имеет значения, концептуально мы думаем о знаменателях как о единицах или как о числовых значениях. Почему бы нет?

      Добавление вещей означает, что мы добавляем вещи одной и той же единицы. Единица должна быть одинаковой. Семь бананов плюс пять связок бананов — это ни в коем случае не 12… нам нужно знать, сколько бананов в каждой связке.

      Умножение вещей означает, что мы умножаем числа И единицы измерения.Рассмотрим 3/4 умножить на 1/2. Мы могли бы:

      • Разделить наше «целое» на восемь частей. Возьмите 3 · 1 = 3 из этих частей, что составляет 3/8.
      • Запишите наши дроби в виде множителей и единиц: 3 · 1/4 · 1 · 1/2, затем умножьте числа (3 · 1 = 3) и единицы (1/4 · 1/2 = 1/8), затем рекомбинировать (3/8).

      Математически это один и тот же процесс, поскольку при умножении умножаются как числовые значения, так и единицы измерения. Концептуально они разные, но на самом деле не имеет значения, как учащиеся понимают их при умножении дробей.Любое понимание даст им один и тот же результат.

      Обратите внимание, что, хотя проблема с умножением единиц не может быть проблемой с дробями, это проблема в другом месте, например, в геометрии.

      {A, B, C} — точки, лежащие на одной прямой, причем B находится между A и C. Если |AB|= 3 см, а |BC|= 5 см, какова длина |AC|? Чтобы ответить на этот вопрос, учащиеся должны убедиться, что единицы измерения совпадают, а затем добавить числовые значения: |AC|= 8 см.

      ABCD — прямоугольник. Если |АВ| = 3 см и |BC| = 5 см, найдите площадь и периметр треугольника ABCD.Периметр — это сумма четырех отрезков, поэтому 16 см… одна и та же единица. Площадь изделия: 15 см²… новая единица.

      Поскольку на уроках геометрии мы часто пропускаем разделы, я слышал, что студентов путают с этим:

      ABCD — квадрат со стороной 1. Найдите площадь и периметр ABCD. Периметр равен 4, а площадь равна 1… как периметр может быть больше площади?

      Ответ заключается в том, что мы сравниваем две разные единицы измерения, но поскольку мы их не записываем, это сбивает с толку.

      Дело в том, что умножение и сложение — принципиально разные операторы. Каждый вызывает недоумение по-своему.

      Тем из нас, кто знает, как выполнять основные операции с дробями, легко увидеть, что лежащие в их основе процессы просты. Как учителя, мы хотим посмотреть на эти темы с точки зрения учащихся, которые не понимают .

      Предварительное исчисление по алгебре — Умножение и сложение дробей

      Вопрос требует следующего:

      Часть I — доказательство для \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d} \end{уравнение*} Часть II — доказательство \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\times \frac{c}{c}=\frac{a}{b} \end{уравнение*} Часть III — доказательство \begin{уравнение*} \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \end{уравнение*} Часть IV — Какова «математическая тема» этого вопроса (теория чисел, логика и т. д.).»

      Часть V — ссылка, если ответ не полный.

      ОТВЕТЫ В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ:

      Часть V — Ниже вы найдете полные ответы на вопросы, но я включил ссылку в конце этого поста на соответствующую информацию по этой теме.

      Часть IV — Тема математики — элементарная арифметика. Обсуждения и доказательства в рамках этой темы иногда используют концепции и результаты из других областей, таких как основы математики, алгебры и логики.

      Чтобы доказать тождество Частей I, II и III, нам нужны определение, некоторые постулаты и некоторые простые результаты, которые мы можем назвать «законами».

      Нам нужно начать с корректного определения дроби, если мы хотим предоставить полное и достоверное математическое доказательство. Для наших целей здесь будет достаточно следующего определения:

      .

      Определение : дробь символически представлена ​​в виде $\frac{a}{b}$, где a — целое неотрицательное число, называемое числителем, а b — целое положительное число, называемое знаменателем.Дробь — это значение a в том контексте, что это значение представляет собой количество единиц, таких, что b единиц требуется для того, чтобы сумма равнялась 1.

      Обратите внимание, насколько близко это определение соответствует обычной физической модели дроби в терминах кусков пирога. Также обратите внимание, что это определение дает основание говорить, что дробь — это число, поскольку числитель — это число, а дробь только обеспечивает контекст.

      Основные принципы, которые нам понадобятся:

      • Лишние или ненужные скобки можно удалить, например.ж., ((а)) то же, что и (а), а в некоторых случаях (а) то же, что и а.

      • Мультипликативный закон тождества $1 \cdot a = a$. Поскольку мы предполагаем, что умножение коммутативно, это также дает $a = a \cdot 1$.

      • Мультипликативный ассоциированный закон, расширенный на дроби, т. е. $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$.

      • Мультипликативный закон коммутации, расширенный на дроби, т. е. $a\cdot b=b\cdot a$, где переменные могут быть дробями.

      • Закон 1 (множительное тождество как дробь)

        Дано $a\neq0$, \begin{уравнение*} \frac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}}=\mathbf{1}. \end{уравнение*}

        Доказательство : Этот закон следует непосредственно из нашего определения дроби.

        Напоминание : это закон о дробях, а не закон о делении.

      • Закон 2 (доля 0$)

        Дано $a\neq0$,

        \begin{уравнение*} \фракция{0}{а}=0.\end{уравнение*}

        Доказательство : Используя наше определение дроби, этот закон говорит, что если у нас нет мелких единиц, размер которых таков, что для суммы, равной 1, требуется a из них, то у нас нет и более крупных единиц. . Если наши законы и теоремы применимы только к положительным целым числам, то нам не нужен этот закон. Это закон о дробях, а не закон о делении.

      • Закон 3 (сложение дробей с общим знаменателем) Дано $c\neq0$, \begin{уравнение*} \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.\end{уравнение*} Доказательство : Этот закон точно соответствует определению дроби. Здесь контекст, обеспечиваемый знаменателями для каждой из дробей, одинаков. Каждый из двух членов в левой части уравнения выражает отдельные единицы, подлежащие подсчету, и делает это как отдельные дроби. Использование знака плюс, распространенного на дроби, просто означает, что мы должны складывать единицы, представленные дробью, в контексте размера единицы, выраженного знаменателем. (Если мы хотим, мы можем сделать это расширение сложения дробей явным законом.) Правая часть выражает то же самое, но использует одну дробь для выражения суммы. Правая часть также находится в одном и том же контексте размера единицы, поэтому одни и те же единицы учитываются в обеих частях уравнения.

      • Нам также нужно расширить наше простое определение умножения, чтобы правильный множитель мог быть дробью:

        Определение : Умножение, расширенное до дробей Если $b\neq0$ и $X$ являются неотрицательными целыми числами, \begin{уравнение*} X\cdot\left(\frac{a}{b}\right)=\boldsymbol{X}\cdot\frac{a}{b}=\underset{X \text{копий}}{\underbrace{\frac {a}{b}+\frac{a}{b}+\ldots +\frac{a}{b}}} , \end{уравнение*} и для ясности, для $X<3$,

        \начать{выровнять*} 2\cdot\left(\frac{a}{b}\right)&=2\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{a}{b} \\ 1\cdot\frac{a}{b}&=\frac{a}{b} \\ 0\cdot\frac{a}{b}&=0.\конец{выравнивание*}

      • При работе с произведением двух фракций нам потребуется:

        Лемма: из $a\neq0$ и $b\neq0$ следует $a\cdot b\neq0$.

        Доказательство : По определению умножения $a \cdot b$ — это сумма $1$ или более копий $b$. Переменная $b$, в свою очередь, представляет собой сумму $b$ копий числа $1$. Всего вместе складывается $a\cdot b$ единиц, что является просто положительным числом и, следовательно, не нулевым.

      Это все, что нам действительно нужно, хотя мы можем сократить наше доказательство с помощью следующей теоремы.

      Теорема 2 (константа, умноженная на дробь)

      Дано $b\neq0$, \begin{уравнение*} c\cdot\frac{a}{b}=\frac{c\cdot a}{b}. \end{уравнение*} Доказательство :

      Случай: $c=0$.

      Согласно нашему определению умножения, распространенному на дроби, \begin{уравнение*} 0\cdot\frac{a}{b}=0. \end{equation*}
      По свойству нуля, $0\cdot a=0$, и используя эти равные выражения в числителе дробей с одинаковым знаменателем, мы имеем тождество \begin{уравнение*} \frac{0\cdot a}{b}=\frac{0}{b}.\end{уравнение*} По закону 2 ($0$ в виде дроби), \begin{уравнение*} =0. \end{уравнение*} Следовательно, поскольку оба выражения равны нулю, \begin{уравнение*} 0\cdot\frac{a}{b}=\frac{0\cdot a}{b}. \end{уравнение*}

      Случай: $c=1$.

      Согласно нашему определению умножения, распространенному на дроби, \begin{уравнение*} 1\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}. \end{уравнение*} По свойству мультипликативного тождества \begin{уравнение*} \frac{1\cdot a}{b}=\frac{a}{b}. \end{уравнение*} Тогда, поскольку оба выражения равны $\frac{a}{b}$, \begin{уравнение*} 1\cdot\frac{a}{b}=\frac{1\cdot a}{b}.\end{уравнение*}

      Случай $c=2$:

      Согласно нашему определению умножения, распространенному на дроби, \begin{уравнение*} 2\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{a}{b}. \end{уравнение*} По закону $3$ (сложение дробей с общим знаменателем) \begin{уравнение*} =\фракция{а+а}{б}. \end{уравнение*} По определению умножения \begin{уравнение*} =\frac{2\cdot a}{b}. \end{уравнение*}

      Случай $c>2$:

      Согласно нашему определению умножения, распространенному на дроби, мы имеем \begin{уравнение*} c \ cdot \ frac {a} {b} = \ underset {c \ text {копий}} {\ underbrace {\ frac {a} {b} + \ frac {a} {b} + \ ldots + \ frac { а}{б}.}} \end{уравнение*} Используя закон 3 (сложение дробей с общим знаменателем), примененный к нашим первым двум сложениям, мы имеем \begin{уравнение*} c \ cdot \ frac {a} {b} = \ frac {a + a} {b} + \ underset {c-2 \ text {copy}}} {\ underbrace {\ frac {a} {b} + \ frac {a}{b}+\ldots +\frac{a}{b}}} , \end{уравнение*} $\text{и мы}$ продолжаем применять закон 3 до тех пор, пока не получим \begin{уравнение*} c \ cdot \ frac {a} {b} = \ frac {\ overset {c} {\ overbrace {a + a + \ ldots + a}}} {b}, \end{уравнение*} а затем, используя определение умножения, \begin{уравнение*} =\frac{c\cdot a}{b}, \end{уравнение*} так что

      \begin{уравнение*} c\cdot\frac{a}{b}=\frac{c\cdot a}{b}.\end{уравнение*} .

        К.Э.Д.
        

      Обратите внимание, что здесь мы предполагаем, что переменные в приведенной выше теореме являются неотрицательными целыми числами. Мы, конечно, хотим, чтобы эти переменные в конечном итоге были другими числами, такими как дроби. На самом деле теорема, которую мы пытаемся доказать, состоит в том, что \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}, \end{уравнение*} можно рассматривать как часть этого процесса. В частности, мы заменяем переменную c в теореме 2 (константа, умноженная на дробь) на дробь.

      Поскольку мы предполагаем мультипликативный закон коммутации, в нашем доказательстве мы также учитываем следующее, что подтверждается теоремой 2 (константа умножается на дробь):

      Учитывая $b\neq0$, \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\cdot c=\frac{a\cdot c}{b}. \end{уравнение*}

      Подтверждение части III \begin{уравнение*} \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \end{уравнение*} Доказательство: это Закон 3

      Подтверждение части II \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\times \frac{c}{c}=\frac{a}{b} \end{уравнение*} Доказательство:

      $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{c}=\frac{a}{b}\cdot 1$ ​​по закону 1 (мультипликативная идентичность как дробь)

      $=\frac{a\cdot 1}{b}$ по теореме 2 (константа, умноженная на дробь)

      $=\frac{a}{b}$ по мультипликативному закону тождества

      Подтверждение части I

      Мы хотим доказать следующее:

      Пусть $a, b, c$ и $d$ — целые неотрицательные числа, где $b\neq0$ и $d\neq0$.Затем

      \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}. \end{уравнение*} $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}$

      $=\frac{1\cdot a}{b}\cdot\frac{c}{d}$ мультипликативный закон тождества

      $=\left(\frac{1\cdot a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ мультипликативный ассоциированный закон

      $=\left(1\cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ Теорема 2 (константа, умноженная на дробь)

      Заметив по нашей лемме, что $b\cdot d{\neq}0$,

      = $\left(\frac{b\cdot d}{b\cdot d}\cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ мультипликативное тождество в виде дроби

      Здесь мы только что ввели суть дела в виде множителя $\frac{b\cdot d}{b\cdot d}$, который позволяет нам, по существу, сначала масштабироваться на $b \cdot d$, а затем изменить масштаб на тот же коэффициент позже в процессе.Продолжая эти формальные шаги:

      $=\left(\left(\frac{b\cdot d}{b\cdot d}\right)\cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ мультипликативный ассоциированный закон

      $=\left(\left(\frac{1\cdot b\cdot d}{b\cdot d}\right)\cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{ d}$ закон мультипликативной идентичности

      $=\left(\left(\frac{1\cdot \left(b\cdot d\right)}{b\cdot d}\right)\cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ мультипликативный ассоциативный закон

      $=\left(\left(\frac{1}{b\cdot d}\cdot \left(b\cdot d\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\cdot \frac{c}{d}$ Теорема 2 (константа умножается на дробь)

      $=\left(\frac{1}{b\cdot d}\cdot \left(\left(b\cdot d\right)\cdot \frac{a}{b}\right)\right)\cdot \frac{c}{d}$ мультипликативный ассоциативный закон

      $=\left(\frac{1}{bd}\cdot \left(\frac{\left(b\mathrm{*}d\right)\mathrm{*}a}{b}\right)\right )$ * $\frac{c}{d}$ Теорема 2 (константа, умноженная на дробь)

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\frac{b\mathrm{*}\left(\mathrm{d*}a\right)}{b} \right)\right)$ * $\frac{c}{d}$ мультипликативный ассоциированный закон

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\frac{b}{b}\mathrm{*}\left(\mathrm{d*}a\right) \right) \right)$ * $\frac{c}{d}$ Теорема 2 (константа умножается на дробь)

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(1\mathrm{*}\left(\mathrm{d*}a\right)\right) \right)$ * $\frac{c}{d}$ мультипликативное тождество в виде дроби

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left( \left(\mathrm{d*}a\right)\right) \right)$ * $\frac{c {d}$ закон мультипликативной идентичности

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\mathrm{d*}a \right) \right)$ * $\frac{c}{d}$ удаление лишние скобки

      $=\left(\frac{1}{b\mathrm{*}d}\mathrm{*}\left( \left(\mathrm{d*}a\right)\mathrm{*}\frac{c }{d}\right)\right)$ мультипликативный ассоциативный закон

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\frac{\left(\mathrm{d*}a\right)\mathrm{*}c}{d} \right)\right)$ Теорема 2 (константа умножается на дробь)

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\frac{\mathrm{d*}\left(a\mathrm{*}c\right)}{d} \right)\right)$ мультипликативный ассоциативный закон

      $ = \ влево (\ гидроразрыва {1} {b * d} \ mathrm {*} \ влево (\ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {d} \ mathrm {*} \ влево (а \ mathrm {*} c\right)\right) \right)$ Теорема 2 (константа умножается на дробь)

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(1\mathrm{*}\left(a\mathrm{*}c\right)\right) \right)$ мультипликативное тождество в виде дроби

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(\left(a\mathrm{*}c\right)\right) \right)$ закон мультипликативной идентичности

      $=\left(\frac{1}{b*d}\mathrm{*}\left(a\mathrm{*}c\right) \right)$ удаление лишних скобок

      $=\left(\frac{1\mathrm{*}\left(a\mathrm{*}c\right)}{b*d}\right)$ Теорема 2 (константа умножается на дробь)

      $=\left(\frac{\left(a\mathrm{*}c\right)}{b*d}\right)$ мультипликативный закон тождества

      $=\frac{ a*c}{b*d}$ удаление ненужных скобок

      Следовательно, \begin{уравнение*} \frac{a}{b}\text{ * }\frac{c}{d}=\frac{a\mathrm{*}c}{b\mathrm{*}d} \end{уравнение*}
      Q.Э.Д.

      Похоже, есть проблемы со всеми остальными «доказательствами» на этой странице, а также с «дубликатом» в разделе «Понимание умножения дробей». Вопрос о правиле дробного произведения не является тривиальным, но на ResearchGate можно найти 38-страничный документ, в котором подробно описаны проблемы с текущими ответами здесь и на странице «дубликаты». Этот документ также содержит 2 полных и действительных доказательства правила дробного произведения, а также описание, которое дает интуитивное понимание правила.Документ можно найти по адресу {https://www.researchgate.net/publication/342927518_On_the_Fraction_Product_Rule}.

      Следует отметить, что я не считаю приведенные выше доказательства самыми элегантными из возможных. Одним из способов создания более коротких доказательств является скрытие сложности доказательств внутри других теорем. Также имейте в виду, что, разработав совсем другое определение дроби, можно создать гораздо более четкие и короткие доказательства. В этом случае некоторая сложность «скрыта» в ясном и лаконичном определении числа.

      Сложите две дроби вместе — WebMath

      Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Исчисление производных, Исчисление интеграции, Правило частного, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование массы, Преобразование мощности, Преобразование скорости, Преобразование температуры , Анализ объемных данных, Поиск среднего анализа данных, Поиск стандартного отклонения Анализ данных, Гистограммы Десятичные числа, Преобразование в дробь Электричество, Стоимость факторинга, Целые коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Добавление дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Разделение дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, ВычитаниеДроби, Что это такоеГеометрия, КоробкиГеометрия, КругиГеометрия, ЦилиндрыГеометрия, ПрямоугольникиГеометрия, Прямоугольные треугольникиГеометрия, СферыГеометрия, КвадратыГрафика, ЛинииГрафика, Любая функцияГрафика, КругиГрафика hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек, Кредит, График платежей, Лотерея , Нахождение коэффициентовМатематика, Практика полиномовМатематика, Практика Основыметрической системы, Преобразование чисел, Сложение чисел, Расчет с числами, Расчет с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение чисел в ряду, Числовые числа в ряду, Размещение значений чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание парабол, Вычисление полиномов, Сложение полиномов, Сложение КвадратМногочлены, ДелениеМногочленов, Разложение на множители КвадратовМногочлены, Разложение на множители ТрехчленовМногочлены, Факторизация с помощью GCFМногочлены, УмножениеМногочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что это такоеКвадратные уравнения, Квадратное F ormulaКвадратные уравнения, Решить факторингомРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Каковы ониВыход на пенсию, Сбережение для продажной цены, Расчет научной нотации, Преобразование научной нотации, Разделение научной нотации, Умножение фигур, Прямоугольники, Упрощение, Все, что угодно, Упрощение экспонент, Как термины , Прямоугольные треугольникиWindchill, Фигура

      Дроби, Определение и правила дробей, Проверка дробей

      Калькулятор свободных фракций (Раду Цуркан)

      Оператор: + — * /

       

       

      Определение дроби

      Число, записанное в виде $\frac{a}{b}$ или a/b, где $a$ — целое число, а $b$ — целое число, отличное от нуля, называется дробью .
      Число $a$ равно числителю , а $b$ равно знаменателю . Дробь представляет собой либо часть целого, либо любое количество равных частей.
      Знаменатель показывает, сколько равных частей составляет целое, а числитель показывает, сколько этих частей мы имеем в виду.

      Примеры дробей

      Пример 1: Бекки, Мерри и Джон хотят поровну разделить плитку шоколада.
      Какую часть бруска займет каждый из них?
      В какой части бара Бекки и Мерри будут вместе?

      Детям нужно разделить брусок на три части.Таким образом, каждый возьмет $\frac{1}{3}$ плитки шоколада.
      Две девушки вместе будут иметь две части, следовательно, математически говоря, они будут иметь $\frac{2}{3}$ бруска.

      Пример 2: Какая часть солдат желтая?


      Пример 3: Какой части яблок не хватает?

      Правила дроби

      Сложение: (те же знаменатели)
      $\frac{A}{B} +\frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{1}{5} +\frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}$

      Вычитание: (те же знаменатели)
      $\frac{A}{B} -\frac{C}{B} = \frac{A — C}{B}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{4}{5} — \frac{2}{5} = \frac{4 — 2}{5} = \frac{2}{5}$

      Сложение: (разные знаменатели)
      $\frac{A}{B} +\frac{C}{D} = \frac{A\cdot D}{B\cdot D} +\frac{B\cdot C}{B\cdot D} = \frac{A\cdot D + B\cdot C}{B\cdot D}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{3}{5} +\frac{1}{2} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2 }= \frac{3\cdot 2 + 5 \cdot 1}{5 \cdot 2}=\frac{11}{10}$

      Вычитание: (разные знаменатели)
      $\frac{A}{B} -\frac{C}{D} = \frac{A\cdot D}{B\cdot D} -\frac{B\cdot C}{B\cdot D} = \frac{A\cdot D — B\cdot C}{B\cdot D}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{3}{5} -\frac{1}{2} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} — \frac{5 \cdot 1}{5\cdot 2 }= \frac{3\cdot 2 — 5 \cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{1}{10}$

      Умножение:
      $\frac{A}{B}\times\frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{3}{5} \times \frac{7}{8} = \frac{3\cdot 7}{5\cdot 8} = \frac{15}{56}$

      Деление:
      $\frac{A}{B}\div\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\times\frac{D}{C}= \frac{A\ cdot D}{B\cdot C}$
      Пример

      Пример:
      $\frac{3}{5} \div \frac{2}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{9}{2} = \frac{3\times 9} {5\times 2} = \frac{27}{10}$

      Свойства дробей

      Свойство I: Все заштрихованные части окружностей представляют собой половину $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}$ и $\frac{3}{6}$, следовательно, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$

      Мы получим $\frac{2}{4}$, если умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ на $2$.

      Получим $\frac{3}{6}$, умножив числитель и знаменатель $\frac{1}{2}$ на $3$.


      Пусть $a$ — целое число, а $b$ и $c$ — ненулевые целые числа.
      Затем:

      $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ и $\frac{a}{b}=\frac{a:c}{b:c}$

      Свойство II: Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то дробь с большим числителем больше.
      Если $a$, $b$ и $c$ являются целыми числами и $c \ne 0$, то:

      $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$, если $a>b$

      Пример: $\frac{4}{5} > \frac{3}{5} > \frac{2}{5}$

      Свойство III: Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
      Если $a$, $b$ и $c$ — целые числа, а $b$ и $c$ ненулевые, то:

      $\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$, если $b

      Пример: $\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{20}$

      Тест фракций

      1. Теннисист выиграл 6$ из первых 12$ сетов. Затем он выиграл все оставшиеся сеты по $6$. Какую часть сетов выиграл игрок?
      $\frac{1}{3}$ $\фракция{2}{3}$ $\фракция{1}{2}$

      2. У мальчика было $\$36$. После пары часов покупок у него осталось $\$8$.Какую часть своих денег он потратил?
      $\frac{2}{9}$ $\фракция{2}{7}$ $\фракция{7}{9}$

      3. В классе с 30$ учениками было $12$ девочек. Затем к классу присоединились $6$ мальчиков. Какую часть класса составляют девочки?
      $\frac{1}{2}$ $\фракция{3}{5}$ $\фракция{1}{3}$

      4. Если дробь $\frac{n}{40}$ находится между $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$, то н это
      $8$ $9$ $10$

      5. $\frac{6}{24}$ равно:
      $\frac{1}{4}$ $\фракция{3}{4}$ $\фракция{6}{12}$

      6.Какая из дробей вдвое больше $\frac{3}{8}$?
      $\frac{6}{16}$ $\фракция{3}{16}$ $\frac{3}{4}$     

      7. * Какая из следующих дробей наибольшая: $\frac{12}{13}, \frac{13}{14}, \frac{14} {15}$ или $\frac{15}{16}$?
      $\frac{15}{16}$ $\фракция{12}{13}$ $\frac{14}{15}$     

      8. В какой из следующих последовательностей дроби расположены в порядке убывания?
      1: $\frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}$;

      2: $\frac{4}{3}, \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{3}{5}$;

      3: $\frac{21}{11}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}$

      $2$ $3$ $1$     

      9. * В какой из следующих последовательностей дроби расположены в возрастающем порядке?
      1: $\frac{13}{19}, \frac{13}{23}, \frac{17}{23}$;

      2: $\frac{13}{23}, \frac{17}{23}, \frac{13}{19}$;

      3: $\frac{13}{23}, \frac{13}{19}, \frac{17}{23}$;

      $1$ $2$ $3$     

      10. Вычислить $\frac{20+4\cdot3}{120}$:
      $\frac{2}{5}$ $\фракция{3}{5}$ $\frac{4}{15}$     

      11. Рассчитайте $\frac{1+2+3+4+5}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}$:
      $5$ $1$ $\frac{1}{8}$     

      Подробнее о дробях на математическом форуме

      Форум дробей

      Просмотреть образовательные ресурсы по добавлению дробей

      Сложение дробей — еще один математический навык, который ваш ребенок начнет осваивать в четвертом классе вместе с умножением дробей.Изучая, как складывать дроби, ваш ученик также узнает о наименьших общих знаменателях или наименьших общих кратных. Погрузитесь в наши ресурсы, чтобы начать, или прокрутите ниже, чтобы увидеть некоторые основы добавления дробей. Добавление дробей может быть немного сложным, потому что для того, чтобы сложить дроби вместе, их знаменатели должны быть одинаковыми. Сначала найдя общий знаменатель или кратное, дроби можно затем сложить вместе, используя некоторые общие правила.

      Общие правила

      1. Найдите общий знаменатель с помощью метода наименьшего общего знаменателя Давайте посмотрим на 1 4 + 5 6 :
        1. Найдите наименьшее общее кратное между 4 и 6.Мы можем найти числа, кратные числу, умножив его на другое число, отличное от 0. Первые три числа, кратные 4, — это 4, 8 и 12, а первые три кратные 6 — это 6, 12 и 18. Наименьшее число, которое является кратным между двумя (наименьшее общее кратное) равно 12.
        2. Как только вы нашли наименьшее общее кратное для использования в качестве наименьшего общего знаменателя, умножьте знаменатель и числитель каждой дроби на число так, чтобы знаменатель стал Обычный знаменатель и числитель изменений для создания эквивалентных дробей: 1 / 4 / 3 0 = 3 / 12 , 5 /

          6

          x 6 / 2 / 2 / 2 = 10 12

        3. Продолжайте следовать остальным общим правилам: 3 / 12 +

          5 10 / 12 = 13 / 12 / 12 = 1

          12 / 12 /

        Другой способ найти общий знаменатель — умножить два знаменателя друг на друга.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.