Правило деление столбиком: РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Правило деления в столбик на двузначное число. Деление столбиком на двузначное число

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление в столбик — это неотъемлемая часть учебного материала младшего школьника. От того, насколько он правильно научится выполнять это действие, будут зависеть дальнейшие успехи в математике.

Как правильно подготовить ребенка к восприятию нового материала?

Деление в столбик — это сложный процесс, который требует от ребенка определенных знаний. Чтобы выполнить деление, необходимо знать и уметь быстро вычитать, складывать, умножать. Немаловажными являются знания разрядов чисел.

Каждое из этих действий следует довести до автоматизма. Ребенок не должен долго думать, а также уметь вычитать складывать не только числа первого десятка, а в пределах сотни за несколько секунд.

Важно формировать правильное понятие деления, как математического действия. Еще при изучении таблиц умножения и деления, ребенок должен четко понимать, что делимое — это число, которое будет делиться на равные части, делитель — указывать, на сколько частей нужно разделить число, частное — это сам ответ.

Как пошагово объяснить алгоритм математического действия?

Каждое математическое действие предполагает четкое соблюдение определенного алгоритма. Примеры на деление в столбик должны выполняться в таком порядке:

  1. Запись примера в уголок, при этом места делимого и делителя должны быть строго соблюдены. Чтобы помочь на первых этапах ребенку не запутаться, можно сказать, что слева пишем большее число, а справа — меньшее.
  2. Выделяют часть для первого деления. Оно должно делиться на делимое с остатком.
  3. При помощи таблицы умножения определяем, сколько раз может поместиться делитель в выделенной части. Важно указать ребенку, что ответ не должен превышать 9.
  4. Выполнить умножение полученного числа на делитель и записать его в левой части уголка.
  5. Далее, нужно найти разницу между частью делимого и полученным произведением.
  6. Полученное число записывают под чертой и сносят следующее разрядное число. Такие действия выполняются до того периода, пока в остатке не останется 0.

Наглядный пример для ученика и родителей

Деление в столбик можно наглядно объяснить на этом примере.

  1. Записывают в столбик 2 числа: делимое — 536 и делитель — 4.
  2. Первая часть для деления должна делиться на 4 и частное должно быть менее 9. Для этого подходит цифра 5.
  3. 4 поместиться в 5 всего 1 раз, поэтому в ответе записываем 1, а под 5 — 4.
  4. Далее, выполняется вычитание: из 5 отнимается 4 и под чертой записывается 1.
  5. К единице сносится следующее разрядное число — 3. В тринадцати (13) — 4 поместится 3 раза. 4х3= 12. Двенадцать записывают под 13-ю, а 3 — в частное, как следующее разрядное число.
  6. Из 13 вычитают 12, в ответе получают 1. Снова сносят следующее разрядное число — 6.
  7. 16 снова делится на 4. В ответ записывают 4, а в столбик деления — 16, подводят черту и в разнице 0.

Решив примеры на деление в столбик со своим ребенком несколько раз, можно достичь успехов в быстром выполнении задач в средней школе.

Дети во 2-3 классе осваивают новое математическое действие – деление. Школьнику непросто вникнуть в суть данного математического действия, поэтому ему необходима помощь родителей. Родителям нужно понимать, как именно преподносить ребенку новую информацию. ТОП-10 примеров расскажут родителям о том, как нужно учить детей делению чисел столбиком.

Обучение делению в столбик в форме игры

Дети устают в школе, они устают от учебников. Поэтому родителям нужно отказаться от учебников. Подавайте информацию в форме увлекательной игры.

Можно поставить задачи таким образом:

1 Организуйте ребенку место для обучения в форме игры. Посадите его игрушки в круг, а ребенку дайте груши или конфеты. Предложите ученику разделить 4 конфеты между 2 или 3 куклами. Чтобы добиться понимания со стороны ребенка, постепенно прибавляйте количество конфет до 8 и 10. Даже если малыш будет долго действовать, не давите и не кричите на него. Вам потребуется терпение. Если ребенок делает что-то неправильно, исправляйте его спокойно. Затем, как он завершит первое действие деления конфет между участниками игры, попросит его вычислить, сколько конфет досталось каждой игрушке. Теперь вывод. Если было 8 конфет и 4 игрушки, то каждой досталось по 2 конфеты. Дайте ребенку понять, что разделить – это значит распределить равное количество конфет всем игрушкам.

2 Обучать математическому действию можно с помощью цифр. Дайте ученику понять, что цифры можно квалифицировать, как груши или конфеты. Скажите, что количество груш, которое требуется разделить – это делимое. А количество игрушек, на которых приходятся конфеты – это делитель.

3 Дайте ребенку 6 груш.

Поставьте перед ним задачу: разделить количество груш между дедушкой, собакой и папой. Затем попросите его поделить 6 груш между дедушкой и папой. Объясните ребенку причину, по которой получился неодинаковый результат при делении.

4 Расскажите ученику о делении с остатком. Дайте ребенку 5 конфет и попросите его раздать их поровну между котом и папой. У ребенка останется 1 конфета. Расскажите ребенку, почему получилось именно так. Данное математическое действие стоит рассмотреть отдельно, так как это может вызвать сложности.

Обучение в игровой форме может помочь ребенку быстрее понять весь процесс деления чисел. Он сможет усвоить, что наибольшее число делится на наименьшее или наоборот. То есть, наибольшее число – это конфеты, а наименьшее – участники. В столбике 1 числом будет количество конфет, а 2 – количество участников.

Не перегружайте ребенка новыми знаниями. Обучать нужно постепенно. Переходить к новому материалу нужно тогда, когда предыдущий материал закреплен.

Обучение делению в столбик при помощи таблицы умножения

Ученики до 5 класса смогут разобраться в делении быстрее, при условии того, что они хорошо знают умножениz.

Родителям необходимо разъяснить, что деление имеет сходство с таблицей умножения. Только действия противоположны. Для наглядности нужно привести пример:

  • Скажите ученику, чтобы он произвол умножение значений 6 и 5. Ответ – 30.
  • Подскажите школьнику, что число 30 является результатом математического действия с двумя числами: 6 и 5. А именно, результатом умножения.
  • Разделите 30 на 6. В результате математического действия получится 5. Школьник сможет убедиться в том, что деление – это то же, что и умножение, но наоборот.

Можно воспользоваться таблицей умножения для наглядности деления, если ребенок хорошо ее усвоил.

Обучение делению в столбик в тетради

Начинать обучение нужно тогда, когда ученик понял материал о делении на практике, с помощью игры и таблицы умножения.

Нужно начинать делить таким образом, применяя простые примеры. Так, деление 105 на 5.

Объяснять математическое действие нужно подробно:

  • Напишите в тетради пример: 105 разделить на 5.
  • Запишите это, как при делении в столбик.
  • Расскажите, что 105 – делимое, а 5 – делитель.
  • С учеником определите 1 цифру, которая допускает деление. Значение делимого – 1, эта цифра не делится на 5. А вот второе число – 0. В итоге получится 10, это значение допускается разделить данный пример. Число 5 два раза входит в число 10.
  • В столбике деления, под числом 5, напишите цифру 2.
  • Попросите ребенка число 5 умножить на 2. По итогу умножения получится 10. Это значение нужно записать под числом 10. Далее нужно написать в столбике знак вычитания. От 10 нужно отнять 10. Получится 0.
  • Запишите в столбике число, получившееся в результате вычитания – 0. У 105 осталось число, которое не участвовало в делении – 5. Это число нужно записать.
  • В итоге получится 5. Это значение нужно разделить на 5. Результат – цифра 1. Это число нужно записать под 5. Результат деления – 21.

Родителям нужно объяснить, что это деление не имеет остатка.

Начать деление можно с цифр 6,8,9, затем переходить к 22, 44, 66 , а после к 232, 342, 345 , и так далее.

Обучение делению с остатком

Когда ребенок усвоит материал о делении, можно усложнять задачу. Деление с остатком – это следующая ступень обучения. Объяснять нужно на доступных примерах:

  • Предложите ребенку разделить 35 на 8. Запишите в столбик задачу.
  • Чтобы ребенку было максимально понятно, можно показать ему таблицу умножения. В таблице наглядно видно, что в число 35 входит 4 раза число 8.
  • Запишите под числом 35 число 32.
  • Ребенку нужно от 35 вычесть 32. Получится 3. Число 3 является остатком.

Простые примеры для ребенка

На этом же примере можно продолжить:

  • При делении 35 на 8 получается остаток 3. К остатку нужно дописать 0. При этом после цифры 4 в столбике нужно поставить запятую. Теперь результат будет дробным.
  • При делении 30 на 8 получается 3. Эту цифру нужно записать после запятой.
  • Теперь нужно под значением 30 написать 24 (результат умножения 8 на 3). В итоге получится 6. К цифре 6 тоже нужно дописать ноль. Получится 60.
  • В число 60 помещается цифра 8 входит 7 раз. То есть, получится 56.
  • При вычитании 60 от 56 получается 4. К этой цифре тоже нужно подписать 0. Получается 40. В таблице умножения ребенок может увидеть, что 40 – это результат умножения 8 на 5. То есть, в число 40 цифра 8 входит 5 раз. Остатка нет. Ответ выглядит так – 4,375.

Данный пример может показаться ребенку сложным. Поэтому нужно много раз делить значения, у которых будет остаток.

Обучение делению с помощью игр

Родители могут использовать игры на деление для обучения школьника. Можно дать ребенку раскраски, в которых нужно определить цвет карандаша путем деления. Нужно выбирать раскраски с легкими примерами, чтобы ребенок мог решить примеры в уме.

Картинка будет поделена на части, в которых будут результаты деления. А цвета, которые нужно использовать, будут примерами. Например, красный цвет помечен примером: 15 разделить на 3. Получится 5. Нужно найти часть картинки под этим номером и раскрасить ее. Математические раскраски увлекают детей. Поэтому родителям стоит попробовать данный способ обучения.

Обучение делению столбиком наименьшего числа на наибольшее

Деление данным методом предполагает, что частное будет начинаться с 0, а после него будет стоять запятая.

Чтобы ученик корректно усвоил полученную информацию, ему необходимо привести такого плана пример.

Инструкция

Прежде чем научить делить двузначные числа, необходимо объяснить ребенку, число представляет собой сумму десятков и единиц. Это избавит его от будущей довольно распространенной ошибки, которую допускают многие дети. Они начинают делить первые и вторые цифры делимого и делителя друг на друга.

Для начала поработайте с чисел на однозначные. Лучше всего эта техника отрабатывается с применением знаний таблицы умножения. Чем больше будет подобной практики, тем лучше. Навыки такого деления должны быть доведены до автоматизма, тогда ребенку будет легче перейти к более сложной теме двузначного делителя, который, как и делимое, представляет собой сумму десятков и единиц.

Наиболее распространенный способ деления двузначных чисел – это метод подбора, который подразумевает последовательное делителя на числа от 2 до 9 так, чтобы итоговое произведение равнялось делимому. Пример: разделите 87 на 29. Рассуждения ведите следующим образом:

29 умножить на 2 равно 54 – мало;
29 х 3 = 87 – правильно.

Обратите внимание ученика на вторые цифры (единицы) делимого и делителя, на которые удобно ориентироваться при использовании таблицы умножения. Например, в приведенном примере второй цифрой делителя является 9. Подумайте, на сколько нужно умножить число 9, чтобы число единиц произведения равнялось 7? Ответ в данном случае только один – на 3. Это существенно облегчает задачу двузначного деления. Проверьте свою догадку умножением всего числа 29.

Если задание выполняется письменно, то целесообразно воспользоваться методом деления в столбик. Этот подход аналогичен предыдущему за исключением того, что учащемуся не нужно держать цифры в голове и делать устные расчеты. Лучше для письменной работы вооружиться карандашом или черновым листком.

Источники:

  • умножение двузначных чисел на двузначные таблицы

Тема деления чисел является одной из самых ответственных в математической программе 5 класса. Без овладения этими знаниями невозможно дальнейшее изучение математики. Делить числа приходиться в жизни каждый день. И всегда полагаться на калькулятор не стоит. Чтобы разделить два числа, нужно запомнить определенную последовательность действий.

Вам понадобится

  • Лист бумаги в клетку,
  • ручка или карандаш

Инструкция

Запишите делимое и на одной строке. Разделите их вертикальной чертой высотой в две строки. Проведите горизонтальную черту под делителем и делимым перпендикулярно предыдущей черте. Справа под этой чертой будет записываться частное. Ниже и левее делимого, под горизонтальной чертой, запишите ноль.

Перенесите одну самую левую, но еще не переносившуюся цифру делимого вниз под последнюю горизонтальную черту. Пометьте перенесенную цифру делимого точкой.

Сравните число под последней горизонтальной чертой с делителем. Если число меньше делителя, то продолжите с шага 4, иначе перейдите к шагу 5.

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой — так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

  • Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов — 19.
  • Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов — 197.
  • Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
  • Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
  • 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например , 64 разделим на 5.

  • 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
  • Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
  • 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
  • 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
  • 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.

Как правильно делить столбиком на двузначное число. Деление натуральных чисел столбиком, примеры, решения

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой — так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

  • Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов — 19.
  • Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов — 197.
  • Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
  • Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
  • 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например , 64 разделим на 5.

  • 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
  • Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
  • 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
  • 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
  • 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.

Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .

В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.

Навигация по странице.

Правила записи при делении столбиком

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105 , а делителем – 5 5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808 на 51 234 (614 808 – шестизначное число, 51 234 – пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1 ) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058 и 4 (здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3 ). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:

Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком

Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.

Пример.

Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .

Решение.

Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .

Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.

Сначала записываем делимое 8 и делитель 2 так, как того требует метод:

Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Поехали: 2·0=0 ; 2·1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8 . Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4 . При этом запись примет следующий вид:

Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.

В нашем примере получаем

Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).

Ответ:

8:2=4 .

Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.

Пример.

Разделим столбиком 7 на 3 .

Решение.

На начальном этапе запись выглядит так:

Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3 на 0 , 1 , 2 , 3 и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7 . Получаем 3·0=07 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6 (оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2 (на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).

Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7 и 3 будет завершено.

Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .

Ответ:

7:3=2 (ост. 1) .

Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.

Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.

    Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

    Первой слева цифрой в записи делимого 140 288 является цифра 1 . Число 1 меньше, чем делитель 4 , поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14 , с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.

Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.

    Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).

    Умножаем делитель 4 на числа 0 , 1 , 2 , …, пока не получим число, которое равно 14 или больше 14 . Имеем 4·0=014 . Так как на последнем шаге мы получили число 16 , которое больше, чем 14 , то под выделенным числом записываем число 12 , которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3 , так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.

    На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.

    Нам нужно вычесть столбиком из числа 14 число 12 (для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2 . Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2 меньше делителя 4 , то можно спокойно переходить к следующему пункту.

    Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.

    Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2 записываем цифру 0 , так как именно цифра 0 находится в записи делимого 140 288 в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20 .

    Это число 20 мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель 4 на 0 , 1 , 2 , …, пока не получим число 20 или число, которое больше, чем 20 . Имеем 4·0=0

    Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).

    Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2 , так как именно она находится в записи делимого 140 288 в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2 .

    Число 2 принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4 пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2 . Имеем 4·0=02 . Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0 (оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0 (на 0 мы проводили умножение на предпоследнем шаге).

    Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2 под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4 . Так как 2

    Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8 (так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288 ). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28 .

    Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4 пунктов.

Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.

Осталось последний раз провести действия из пунктов 2 , 3 , 4 (предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288 и 4 в столбик:

Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.

Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).

Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.

Пример.

Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .

Решение.

На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида

После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид

Повторив цикл, будем иметь

Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136 и 9

Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .

Ответ:

7 136:9=792 (ост. 8) .

А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.

Пример.

Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .

Решение.

Удобнее всего выполнить деление столбиком.

Ответ:

7 042 035:7=1 006 005 .

Деление столбиком многозначных натуральных чисел

Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.

На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.

Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.

Пример.

Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .

Решение.

Так как в записи делителя 206 участвуют 3 знака, то смотрим на первые 3 цифры слева в записи делимого 5 562 . Эти цифры соответствуют числу 556 . Так как 556 больше, чем делитель 206 , то число 556 принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.

Теперь умножаем делитель 206 на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556 , либо больше, чем 556 . Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0556 . Так как мы получили число, которое больше числа 556 , то под выделенным числом записываем число 412 (оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2 (так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:

Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144 , это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.

Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2 , так как она находится в записи делимого 5 562 в этом столбце:

Теперь мы работаем с числом 1 442 , выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.

Умножаем делитель 206 на 0 , 1 , 2 , 3 , … до получения числа 1 442 или числа, которое больше, чем 1 442 . Поехали: 206·0=0

Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:

Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Давайте сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

Найдем значение частного чисел 265 и 53.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5. Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим . Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном.

Значение частного чисел 265 и 53 — 5. Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

Найдем значение частного чисел 184 и 23.

В частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 — это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим . А 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим . Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном.

Значение частного чисел 184 и 23 — 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления. Найдем значение частного чисел 768 и 24.

Первое неполное делимое — 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 — это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим . . Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного.

Продолжим деление. Следующее неполное делимое — 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим . Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного.

Значение частного чисел 768 и 24 — 32.

Найдем значение частного чисел 15 344 и 56.

Первое неполное делимое — 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 — это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим . А 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим . А . Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. Это 414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. . . Помните: 8 — это пробная цифра. Проверим ее. . А 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. . Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Продолжим деление. Следующее неполное делимое — 224 единицы. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 — это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. . И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном.

Значение частного чисел 15 344 и 56 — 274.

Мы сегодня учились делить письменно на двузначное число.

Список литературы

  1. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова — М.: Просвещение, 2010.
  2. Узорова О.В., Нефедова Е.А. Большой задачник по математике. 4 класс. — М.: 2013. — 256 с.
  3. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 1 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. — 3-е изд., перераб. — Минск: Нар. асвета, 2008. — 134 с.: ил.
  4. Математика. 4 класс. Учебник. В 2 ч./Гейдман Б.П. и др. — 2010. — 120 с., 128 с.
  1. Ppt4web.ru ().
  2. Myshared.ru ().
  3. Viki.rdf.ru ().

Домашнее задание

Выполните деление

К сожалению, дети в настоящее время практически не умеют производить вычисления в уме. Это произошло из-за того, что современные технологии предлагают каждому ребенку решить задачу парой кликов. Многим детям Интернет заменил не только учебники, но и определенные навыки. Все чаще можно услышать от подрастающего поколения, что математику знать совсем не обязательно, так как всегда под рукой есть калькулятор или телефон. Но истинное значение данной науки заключается в развитии мышления, а не в преодолении страха быть обманутым торговцем на рынке.

Деление в столбик помогает учащимся младших классов познакомиться с операциями над числами. Благодаря ему закрепляется в памяти таблица умножения, а также оттачивается мастерство выполнения действий сложения и вычитания.

Для осуществления этого арифметического действия необходимо познакомиться с его компонентами:

1. Делимое — число, которое подвергается делению.

2. Делитель — число, на которое делят.

3. Частное — результат, получаемый при делении.

4. Остаток — часть делимого, которая не поддается делению.

Американская и европейская модели деления в столбик

Правила деления в столбик одинаковы во всех странах. Существует лишь разница в графической части, то есть в его записи. В европейской системе разделительная черта, или так называемый уголок, ставится с правой стороны от делимого числа. Делитель записывается над чертой уголка, а частное — под горизонтальной чертой уголка.

Деление в столбик по американской модели предусматривает постановку уголка с левой стороны. Частное записывается над горизонтальной линией уголка, прямо над делимым числом. Делитель записывается под горизонтальной чертой, слева от вертикальной. Сам процесс выполнения действия не отличается от европейской модели.

Деление столбиком на двузначное число

Чтобы на двузначное, необходимо записать его согласно схеме, после чего осуществить действие. Деление в столбик начинается с высших разрядов делимого числа. Берутся две первые цифры, если образованное ими число по значению больше делителя. В противном случае отделяются три первые цифры. Образованное ими число делится на делитель, остаток спускается вниз, а результат записывается в разделительном уголке. После этого переносится цифра из следующего разряда делимого числа, и процедура повторяется. Так продолжается до тех пор, пока число не будет разделено полностью.

Если необходимо разделить число с остатком, то он записывается отдельно. Если же требуется полностью разделить число, то после окончания разрядов числа в ответе ставится запятая, обозначающая начало дробной части, и вместо разрядных чисел каждый раз сносится вниз ноль.

Деление многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик . Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.

Итак, поделим 354 на 2 . Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:

Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.

Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое , для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.

3 больше 2 , значит 3 и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:

Для того чтобы 3 разделить на 2 вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.

2 × 1 = 2 (2

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 меньше 3 , а 4 больше, значит, берем первый пример и множитель 1 .

Записываем 1 в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:

Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:

Полученное значение сравниваем с делителем. 15 больше 2 , значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15 на 2 вновь вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим наибольшее произведение, которое меньше 15 :

2 × 7 = 14 (14

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Искомый множитель 7 , записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:

Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое . Спускаем следующий разряд делимого:

Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:

2 × 7 = 14

Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:

Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно .

Усложним задачу и приведем другой пример:

1020 ÷ 5

Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:

Разряд тысяч делимого составляет 1 , сравниваем с делителем:

1

Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:

10 > 5 – мы нашли неполное делимое.

Делим 10 на 5 , получаем 2 , записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.

10 – 10 = 0

0 мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:

Сравниваем второе неполное делимое с делителем.

2

Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0 :

20 ÷ 5 = 4

Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0 , значит пример решён правильно .

И ещё 2 правила деления в столбик:

1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:

Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.

2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:

Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.

  1. Размещаем делимое слева, делитель справа. Помним, что делимое мы делим, поразрядно выделяя неполные делимые и деля их последовательно на делитель. Разряды в неполное делимое выделяются слева направо от старших к младшим.
  2. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить.
  3. Определяем первый неполный делитель:

а) выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;

б) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в) , если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4 ;

в) добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б) .

  1. Определяем сколько разрядов будет в частном, и ставим столько точек на месте частного (под делителем) сколько будет в нем разрядов. Одна точка (один разряд) за все первое неполное делимое и остальных точек (разрядов) столько же, сколько осталось разрядов в делимом после выделения неполного делимого.
  2. Делим неполное делимое на делитель, для этого находим число, при умножении которого на делитель получилось бы число либо равное неполному делимому, либо меньше его.
  3. Найденное число записываем на место очередного разряда частного (точки), а результат умножения его на делитель записываем под неполным делимым и находим их разность.
  4. Если найденная разность меньше или равна неполному делимому значит, мы правильно поделили неполное делимое на делитель.
  5. Если в делимом остались еще разряды, то продолжаем деление, иначе переходим к пункту 10 .
  6. Опускаем к разности следующий разряд делимого и получаем очередное неполное делимое:

а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;

б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;

в) переходим к пункту (а).

10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0 , то мы правильно выполнили деление .

Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Напомним, что разделить натуральное число   a   на натуральное число   b   – это значит представить число   a   в виде:

a = bc + r ,

где частное   c   и остаток   r   – целые неотрицательные числа, причем остаток   r   удовлетворяет неравенству:

      Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

      Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

      Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

      Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен, если результатом деления является многочлен.

      Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком, в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

      Определение. Разделить многочлен   a(x)   на многочлен   b(x)   с остатком – это значит представить многочлен   a(x)   в виде

a(x) = b(x) c(x) + r(x) ,

где многочлен   c(x)   – частное, а многочлен   r(x)   – остаток, причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

      Очень важно отметить, что формула

a(x) = b(x) c(x) + r(x)

является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной   x .

      При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

      Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком», что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

      К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

      Пример. Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x4x3 + 5x2 – 8x + 1

на многочлен

x2x + 1 .

      Решение. Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

  1. Делим первый член делимого   2x4   на первый член делителя   x2.   Получаем первый член частного   2x2 .
  2. Умножаем первый член частного   2x2   на делитель   x2x + 1,   а результат умножения
  3. 2x4 – 2x3 + 2x2

    пишем под делимым   2x4 – x3 + 5x2 – 8x + 1 .

  4. Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток
  5. x3 + 3x2– 8x .

    Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше   2),   то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

  6. Делим первый член остатка   x3   на первый член делителя   x2 .   Получаем второй член частного   x .
  7. Умножаем второй член частного   x   на делитель    x2x + 1 ,    а результат умножения
  8. x3x2 + x

    пишем под первым остатком   x3 + 3x2– 8x .

  9. Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток
  10. 4x2 – 9x + 1 .

    Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

  11. Делим первый член второго остатка   4x2   на первый член делителя   x2 .   Получаем третий член частного   4.
  12. Умножаем третий член частного   4   на делитель   x2x + 1 ,   а результат умножения
  13. 4x2 – 4x + 4

    пишем под вторым остатком.

  14. Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток

    – 5x – 3 .

    Степень этого остатка равна   1,   что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.

  15. Таким образом,
  16. 2x4x3 + 5x2 – 8x + 1 =
    = (x2x + 1) (2x2 + x +
    + 4) – 5x – 3 ,

    где

      Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Узнаем как выполняется деление в столбик

К сожалению, дети в настоящее время практически не умеют производить вычисления в уме. Это произошло из-за того, что современные технологии предлагают каждому ребенку решить задачу парой кликов. Многим детям Интернет заменил не только учебники, но и определенные навыки. Все чаще можно услышать от подрастающего поколения, что математику знать совсем не обязательно, так как всегда под рукой есть калькулятор или телефон. Но истинное значение данной науки заключается в развитии мышления, а не в преодолении страха быть обманутым торговцем на рынке.

Деление в столбик помогает учащимся младших классов познакомиться с операциями над числами. Благодаря ему закрепляется в памяти таблица умножения, а также оттачивается мастерство выполнения действий сложения и вычитания.

Для осуществления этого арифметического действия необходимо познакомиться с его компонентами:

1. Делимое – число, которое подвергается делению.

2. Делитель – число, на которое делят.

3. Частное – результат, получаемый при делении.

4. Остаток – часть делимого, которая не поддается делению.

Американская и европейская модели деления в столбик

Правила деления в столбик одинаковы во всех странах. Существует лишь разница в графической части, то есть в его записи. В европейской системе разделительная черта, или так называемый уголок, ставится с правой стороны от делимого числа. Делитель записывается над чертой уголка, а частное – под горизонтальной чертой уголка.

Деление в столбик по американской модели предусматривает постановку уголка с левой стороны. Частное записывается над горизонтальной линией уголка, прямо над делимым числом. Делитель записывается под горизонтальной чертой, слева от вертикальной. Сам процесс выполнения действия не отличается от европейской модели.

Деление столбиком на двузначное число

Чтобы разделить многозначное число на двузначное, необходимо записать его согласно схеме, после чего осуществить действие. Деление в столбик начинается с высших разрядов делимого числа. Берутся две первые цифры, если образованное ими число по значению больше делителя. В противном случае отделяются три первые цифры. Образованное ими число делится на делитель, остаток спускается вниз, а результат записывается в разделительном уголке. После этого переносится цифра из следующего разряда делимого числа, и процедура повторяется. Так продолжается до тех пор, пока число не будет разделено полностью.

Если необходимо разделить число с остатком, то он записывается отдельно. Если же требуется полностью разделить число, то после окончания разрядов числа в ответе ставится запятая, обозначающая начало дробной части, и вместо разрядных чисел каждый раз сносится вниз ноль.

Деление в столбик развивает внимательность и усидчивость, логическое мышление и память. Важно помнить, как выполняется данное действие, чтобы при необходимости поделиться драгоценными знаниями со своими детьми и оказать им помощь в выполнении домашних заданий.

Урок 66. приём письменного деления на однозначное число — Математика — 3 класс

Математика

3 класс

Урок № 66

Приём письменного деления на однозначное число

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Как выполняется письменное деление на однозначное число?

Как применяется алгоритм деления трёхзначного числа на однозначное?

Тезаурус

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место – позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом.

Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами:
— единицы называют единицами 1-го разряда;
— десятки называют единицами 2-го разряда;
— сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.

Деление (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению.

Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое приумножении на делитель даёт делимое.

Основная и дополнительная литература:

1. Моро М. И. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017. С. 92-94.

2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 3 кл. — М.: Просвещение, 2018. С. 84-85.

3. Рудницкая В. Н. Математика. Дидактические материалы.Ч.1 3 кл. – М. «Вентана- Граф», 2016, с. 23-24.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы займёмся делением.

Вам предстоит научиться выполнять деление трёхзначных чисел в столбик.

Вы справитесь с этим без проблем, если хорошо знаете таблицу умножения.

Три математических действия — сложение, вычитание и умножение в столбик вы уже умеете выполнять. Осталось одно, но самое сложное. Помните, чем сложнее – тем интереснее!

Деленье нам служит на деле, 
Оно нам поможет всегда. 
Кто поровну трудности делит, 
Разделит успехи труда. 

Мы уже выяснили, что невозможно быстро и точно делить без знания таблицы умножения.

Но не только.

Надо ещё хорошо знать компоненты деления и взаимосвязь между ними, быстро и точно выполнять вычитание и конечно уметь работать с разрядами.

Вспомним компоненты деления: число, которое делим – делимое, число на которое делим – делитель, результат деления – значение частного.

В тех случаях, когда деление выполнить устно сложно, выручает умение делить в столбик, или уголком.

Это название придумали не случайно. Привычный знак деления заменён на уголок.

Записываем делимое, рядом чертим уголок. В верхнем углу записываем делитель, а в нижний угол вписываем цифры частного.

Обратите внимание, цифры делимого и частного имеют названия в зависимости от разряда, который обозначают.

Кроме этого, делимое придётся раскладывать на неполные делимые – первое, второе, третье. Это те числа, которые делим на делитель, пока не разделим всё число.

Рассмотрим пример 938 : 7

Шаг 1

Записываем числа, разделив их «уголком».

Шаг 2

Сколько раз число 7 может содержаться в числе 9? Правильно, только один раз. Поэтому первым записанными нами результатом будет 1.

Шаг 3

Умножаем делитель 7 ∙ 1 и получаем 7. Полученный результат записываем под первым числом нашего делимого 938 и вычитаем, как обычно, в столбик. То есть из 9 мы вычитаем 7 и получаем 2. Записываем результат.

Шаг 4

Число, которое мы видим, меньше делителя, поэтому его надо увеличить. Для этого объединим его со следующим неиспользованным числом нашего делимого – это будет 3. Приписываем 3 к полученному числу 2.

Шаг 5 

Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе 23? Правильно, три раза. Фиксируем число 3 в частном. А результат произведения – 21 (7 ∙ 3) записываем внизу под числом 23 в столбик.

Шаг 6 

Теперь осталось найти последнее число нашего частного. Используя уже знакомый алгоритм, продолжаем делать вычисления в столбике.  Путём вычитания в столбике (23 — 21) получаем разницу. Она равняется 2.

Из делимого у нас осталось неиспользованным одно число – 8. Объединяем его с полученным в результате вычитания числом 2, получаем – 28.

Шаг 7

Анализируем, сколько раз наш делитель 7 содержится в полученном числе? Правильно, 4 раза. Записываем полученную цифру в результат. Итак, мы полученное в результате деления столбиком частное = 134.

Рассмотрим ещё деление в столбик на примере 512 : 8.

1 шаг. Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг. Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5

3 шаг. Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг. Ставим точку под делителем.

5 шаг. После 51 стоит еще цифра 2, а значит, в ответе будет ещё одно число, то есть, частное – двузначное число. Ставим вторую точку:

6 шаг. Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг. Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг. Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

9 шаг. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Ответ: 64

Как и в остальных случаях выполнения письменных приёмов вычислений, при делении очень важно не отступать от алгоритма.

Запомните:

Когда число цифр разряда меньше делителя, надо добавить к нему число цифр следующего разряда.

Если при делении неполного делимого остался остаток, спускаем его под черту и к нему приписываем цифру следующего разряда.

Остаток не может быть больше делителя!

Если цифра неполного делимого меньше делителя, то в частном пишем 0.

Вы сегодня получили ключ к успеху в математике. Смело открывайте им замки любой сложности.

Задания тренировочного модуля:

Укажите правильно выполненное деление в столбик.

Правильный ответ:

Заполните пустые ячейки таблицы.

Правильный вариант:

Деление в столбик | Наука делать уроки

Деление на однозначное число, когда первое неполное делимое — это двузначное число

Пример: 192 разделить на 4

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 4. Значит будем делить десятки. 19 десятков можно разделить  на 4.

Образуем первое неполное делимое:  19 десятков — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 19 на 4, получим 4.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 4 на 4, получим 16.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 19 из 16, получим 3.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 3 с делителем 4. Десятков осталось меньше, чем 4, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 3 десятка и 2 единицы, всего 32 единицы.
  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 32 на 4, получим 8.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 4,  получим 32.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 32 из 32, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 4, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  192 разделить на 4 получится 48 

Деление на однозначное число, когда в записи частного есть цифра 0

Пример: 612 разделить на 2

 

Начнём деление с сотен.

Образуем первое неполное делимое:  6 сотен — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 3 цифры.

  • Узнаем, сколько сотен будет в частном: разделим 6 на 2, получим 3.
  • Узнаем, сколько сотен  разделили: умножим 3 на 2, получим 6.
  • Узнаем, сколько сотен не разделили: вычтем 6 из 6, получим 0.

Проверим цифру сотен частного: сравним остаток 0 с делителем 2; сотен осталось меньше, чем 2, значит, цифру сотен частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 0 сотен да ещё 1 десяток, всего 1 десяток.
  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 1 на 2, получим 0.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 0 на 2, получим 0.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 0 из 1, получим 1.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 1 с делителем 2. Десятков осталось меньше, чем 2, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем третье неполное делимое: 1 десяток и 2 единицы, всего 12 единиц.
  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 12 на 2, получим 6.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 6 на 2,  получим 12.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 12 из 12, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 6, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  612 разделить на 2 получится 306

Деление на двузначное число

Пример: 828 разделить на 36

 

Начнём деление с сотен. 8 сотен не делится на 36.  Значит, будем делить десятки. 82 десятка можно разделить  на 36.

Образуем первое неполное делимое:  82 десятка — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 82 на 36, получим 2.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 2 на 36, получим 72.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 72 из 82, получим 10.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 10 с делителем 36. Десятков осталось меньше, чем 36, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем третье неполное делимое: 10 десятков и 2 единицы, всего 102 единицы.
  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 102 на 36, получим 3.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 3 на 36,  получим 102.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 102 из 102, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 36, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  828 разделить на 36 получится 23

Часто пробная цифра частного не подходит и её нужно изменять.

Пример: 168 разделить на 28

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 28.  Значит, будем делить десятки. 16 десятков нельзя  разделить  на 28. Делим единицы. 168 можно разделить на 28.

Образуем первое неполное делимое:  168 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить   16  на 2, получится 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  168 на 28, а мы разделили на 20. Эту цифру надо проверить: умножим 8 на 28, получится 224. Число 224 – это больше, чем делимое, значит 8 нам не подходит и надо взять цифру меньше. Пробуем цифру 7. Умножим 7 на 28, получится 196. Число 196 тоже больше, чем делимое. Пробуем число 6. Умножим 6 на 28, получится 168. Число 6 нам подходит.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 6 на 28,  получим 168.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 168 из 168, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 28, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  168 разделить на 28 получится 6

 

Деление на двузначное число, когда первое неполное делимое — трёхзначное число

Пример: 488 разделить на 61

 

Начнём деление с сотен. 4 сотни нельзя разделить на 61. Будем делить десятки. 48 десятков нельзя разделить на 61. Будем делить единицы. 488 единиц можно разделить на 61.

Образуем первое неполное делимое:  488 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить не на 61, а на 60.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 488 на 60. Для этого разделим 48 на 6,  получим 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  488 на 61, а мы разделили на 60. Эту цифру надо проверить: умножим 61 на 8, получится 488.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 61,  получим 488.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 488 из 488, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 61, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  488 разделить на 61 получится 8

Часто пробная цифра частного не подходит и её нужно изменять.

Пример: 651 разделить на 93

 

Начнём деление с сотен. 6 сотен нельзя разделить на 93. Будем делить десятки. 65 десятков нельзя разделить на 93. Будем делить единицы. 651 единицу можно разделить на 93.

Образуем первое неполное делимое:  651 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить не на 93, а на 90.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 651 на 90. Для этого разделим 65 на 9,  получим 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  651 на 93, а мы разделили на 90. Эту цифру надо проверить: умножим 93 на 8, получится 744. Мы получили число 744, которое больше, чем наше делимое. Значит, цифру единиц частного подобрали неверно. Возьмём цифру единиц частного на 1 меньше не 8, а 7. Проверим. Для этого 7 умножим на 93. Получится 651. Число 7 нам подходит.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 7 на 93,  получим 651.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 651 из 651, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 93, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  651 разделить на 93 получится 7

Деление на числа, оканчивающиеся нулями

Пример: 480 разделить на 60

 

Начнём деление с сотен. 4 сотни не делятся на 60. Будем делить десятки. 48 не делится на 60. Делим единицы. 480 единиц на 60 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  480 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 480 разделим на 10 и полученное частное  48 разделим на 6, получим 8.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 60,  получим 480.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 480 из 480, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 60, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  480 разделить на 60 получится 8 

Деление на трёхзначное число

Пример: 856 разделить на 214

 

Начнём деление с сотен. 8 сотен не делятся на 214. Будем делить десятки. 85 не делится на 214. Делим единицы. 856 единиц на 214 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  856 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы подобрать цифру частного будем делить не на 214, а на 200. Для этого разделим 8 на 2, получим 4. Проверим цифру 4. Умножим  214 на 4, получится 856.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 4 на 214,  получим 856.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 856 из 856, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 856, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  856 разделить на 214 получится 4 

Деление  с остатком

Пример: 152 разделить на 40

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 40. Будем делить десятки. 15 десятков не делится на 40. Делим единицы. 152 единицы на 40 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  152 единицы — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим  152 на 10 и полученное частное 15 разделим на 4, получится 3.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 40 на 3,  получим 120.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 120 из 152, получим 32.

32 – это остаток.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 32 с делителем 40. Единиц осталось меньше, чем 40 , значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  152 разделить на 40 получится 3 и  остаток 32

Деление  четырехзначного  числа  на  двузначное.

Пример: 5130 разделить на 90

 

Начнём деление с тысяч. 5 тысяч нельзя разделить на 90. Будем делить сотни. 51 сотню  нельзя разделить на 90. Будем делить десятки. 513 десятков  можно разделить на 91.

Образуем первое неполное делимое:  513 десятков — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 513 на 10 и полученное частное 51 разделим на 9, получим 5.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 90 на 5, получим 450.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 450 из 513, получим 63.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 63 с делителем 90. Десятков осталось меньше, чем 90, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 63 десятка – это 630 единиц.
  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 630 на 10 и полученное частное 63 разделим на 9, получим 7.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 7 на 90,  получим 630.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 630 из 630, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 630, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  5130 разделить на 90 получится 57

Объясни, как выполнено деление, по плану:

 

  • Назови первое неполное делимое;
  • Расскажи, как нашли первую цифру частного;
  • Расскажи, как проверили эту цифру частного;
  • Назови второе неполное делимое;
  • Расскажи, как нашли вторую цифру частного;
  • Расскажи, как проверили эту цифру частного;

Проверь результат, выполнив умножение.

Деление на десятичную дробь | Математика

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

      1) 35,1 : 1,8

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1 : 1,8 =351 : 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1 : 1,8 = 19,5.

    2) 14,76 : 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76 : 3,6 = 147,6 : 36. Теперь выполняем деление десятичной дроби на натуральное число. Результат: 14,76 : 3,6 = 4,1.

  3) 70 : 1,75

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70 : 1,75 = 7000 : 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70 : 1,75 = 7000 : 175 =40.

  4) 0,1218 : 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком.  Имеем: 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58 = 2,1.

 5) 0,0456 : 3,8

И в делимом, и в делителе переносим запятую на один знак вправо. После этого делим десятичную дробь на натуральное число: 0,0456 : 3,8 = 0,456 : 38=0,012.

 

И еще пара примеров деления на десятичную дробь:

12,972 : 1,84 = 1297,2 : 184 = 7,05

268,8 : 0,56 = 26880 : 56 = 480

шагов длинной дивизии: урок для детей — видео и расшифровка урока

Постановка задач

При делении в длинное мы записываем уравнения, используя длинную скобку деления. Делимое (число, на которое делится делимое) помещается внутрь скобки, а делитель (число, на которое делится делимое) — слева от скобки. Задача Алекса будет выглядеть так, с делимым (56) в скобках и делителем (4) вне скобок:

Как только вы начнете решать задачу, частное , ответ на задачу о делении, будет помещено над скобкой.

Решение

Существует четыре основных шага решения задачи на деление в длину:

  1. Разделить
  2. Умножить
  3. Вычесть
  4. Выпадающая последняя цифра

Давайте проделаем эти шаги с задачей Алекса на деление в длину.

1. Разделить

Начнем с того, что посмотрим на цифру, стоящую в старшем разряде значения делимого, которая всегда является первой цифрой (в данном случае это 5). Вы узнаете, сколько раз делитель входит в число старшего разряда.Итак, в этом случае вам нужно найти, сколько раз 4 входит в 5. Частное равно 1, и это идет над скобкой над первой цифрой делимого:

2. Умножьте

Затем умножьте делитель вне скобки на частное в верхней части скобки. В случае Алекса это будет 4 x 1, что равно 4. Поместите ответ (4) под первой цифрой делимого:

3.Вычтите

Теперь вычтите результат умножения, найденный на последнем шаге, из первой цифры делимого. В этом случае это будет 5 — 4, что равно 1.

5. Раскройте следующую цифру

До сих пор была разделена только одна цифра в делимом, поэтому другую цифру еще нужно разделить. Для этого опустите его и добавьте к оставшемуся 1:

Закончите, разделив это число на делитель: 16 / 4 = 4.Поместите этот ответ справа от частного над скобкой, что даст вам окончательный ответ: 14.

Остаток

Иногда делитель не идеально вписывается в делимое, как это было в нашей последней задаче. В этих случаях задачи деления создают остатков или остаточных чисел. Давайте посмотрим на пример, и вы увидите, что шаги в основном одинаковы. Скажем, Алекс хочет сделать 4 стены из 38 блоков:

При попытке разделить первую цифру делимого вы заметите, что она меньше делителя.Итак, все число нужно разделить: сколько раз 4 можно разделить на 38, не переходя? (Не стесняйтесь использовать свою таблицу умножения для помощи.) Ответ 9:

Затем умножьте частное (9) на делитель (4), чтобы получить 36. 36 идет под делимое:

Вычесть это число из делимого:

Вы заметите, что осталось 2.Это называется остаток. Когда у вас есть остаток, вы записываете частное следующим образом:

Итак, в этом случае каждая стена будет состоять из 9 блоков, а останется 2 блока.

Краткое содержание урока

Полное деление — это метод поиска ответа на сложные задачи на деление путем записи каждого шага процесса. Для задач на длинное деление не забудьте следовать процессу деления, умножения, вычитания и раскрывающегося списка, пока не будет разделена каждая цифра делимого.Частное — это ответ на задачу о делении. Иногда делитель не будет идеально вписываться в делимое. Эти остаточные числа называются остатками .

Длинное полиномиальное деление | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Если вы делите многочлен на нечто более сложное, чем простой одночлен (то есть на нечто более сложное, чем одночленный многочлен), вам потребуется использовать другой метод упрощения.Этот метод называется «долгое полиномиальное деление», и он работает точно так же, как длинное (числовое) деление, которым вы занимались в начальной школе, за исключением того, что теперь вы делите переменные.

  • Разделить
    x 2 – 9 x – 10 на x + 1

Вспомните время, когда вы выполняли деление в длинное со старыми простыми числами.Вам будет дано одно число (называемое делителем), которое вы должны разделить на другое число (называемое делимым). Вы установили символ длинного деления, вставили два числа в нужные места, а затем начали строить догадки о том, что должно стоять над символом.

MathHelp.com

И ты не сразу угадал весь ответ; вместо этого вы начали работать с «передней» частью (то есть с большей разрядной частью) числа, которое вы делили.Например, если бы вы делили 1137 на 82, вы бы посмотрели на «8» и «10» и предположили, что, возможно, «1» должна стоять сверху, над «11», потому что 8 вписывается один раз в 11.

Полное деление многочленов работает почти так же:

Во-первых, я настрою деление, поместив делимое (то, на что оно делится) внутрь, а делитель (то, что делит) снаружи и слева:

На данный момент я буду игнорировать все, что находится за ведущими терминами.Как и в случае с числовым делением, я буду смотреть только на начальные x делителя и начальные x 2 делимого.

Если я разделю ведущие x 2 внутри на ведущие x впереди, что я получу? Я бы взял x. Поэтому я помещу x поверх символа деления, прямо над x 2 внутри:

Теперь я возьму эти х сверху и умножу их через делитель, х + 1.Во-первых, я умножу x (сверху) на x (сбоку) и перенесу полученное x 2 вниз, поместив его непосредственно под x 2 от дивиденда:

Затем я умножу x (сверху) на 1 (сбоку) и перенесу 1 x снизу, поместив его прямо под –9 x в делимом:

Затем я нарисую горизонтальную черту «равно» под тем, что я только что поместил под делимым, чтобы я мог выполнить вычитание.

Чтобы вычесть многочлены, я сначала меняю все знаки во второй строке…

…и добавляю. Первый член ( x 2 ) будет сокращаться (по замыслу), а -9 x  — 1 x станет -10 x :

Мне нужно не забыть вынести этот последний член (то есть член «вычесть десять») из делимого:

В этот момент я начинаю игнорировать дивиденды и вместо этого работаю над итоговой суммой своего длинного деления.

Я смотрю на x из делителя и нового ведущего члена -10 x в нижней строке деления. Если я разделю -10 x на x , я получу -10, поэтому я положу это сверху, прямо над -9 x :

Теперь я умножу -10 (сверху) на ведущие x (сбоку) и перенесу -10 x вниз, прямо под -10 x предыдущей строки:

…и я умножу –10 (сверху) на 1 (сбоку) и перенесу –10 вниз, прямо под –10 предыдущей строки:

Я нарисую еще одну горизонтальную черту «равно», и поменяю знаки на всех членах в нижнем ряду:

Затем я добавляю:

По дизайну 10 x отменены.По воле случая, 10-е тоже отменили. Тогда мой ответ сверху символа деления:

.

Так как остаток от деления выше был равен нулю (то есть, так как ничего не оставалось), то деление «вышло четным». Когда вы выполняете обычное деление чисел и деление «выходит четным», это означает, что число, на которое вы делите, является множителем числа, которое вы делите.

Например, если вы разделите 50 на 10, ответом будет аккуратная цифра «5» с нулевым остатком, потому что 10 — это коэффициент 50.

В случае вышеприведенного полиномиального деления нулевой остаток говорит нам, что x  + 1 является множителем x 2  — 9 x  — 10, что вы можете подтвердить, разложив на множители исходное квадратичное делимое, x 2  – 9 x  – 10. Каждый раз, когда вы получаете нулевой остаток, делитель является множителем делимого.


Между прочим, обратите внимание на то, как я выяснил, что поставить поверх символа деления в приведенном выше упражнении: я разделил начальный член того, на что я делил, на начальный член того, на что я делил.Независимо от того, будет ли конкретное деление иметь ненулевой остаток, этот метод всегда будет давать правильное значение для того, что вам нужно сверху. Таким образом, полиномиальное длинное деление проще, чем численное длинное деление, где вам приходилось угадывать и проверять, чтобы выяснить, что было наверху.


Давайте сделаем еще один пример с делением, которое получается «четным», чтобы мы могли проверить наш результат, выполнив факторизацию и отмену.

  • Упростить

Это преобразование дроби можно выполнить двумя способами: я могу разложить квадратное число на множители, а затем отменить общий множитель, например:

Но что, если я не знаю, как разложить на множители (или если мне нужно «показать свою работу» для деления на длинное полиномиальное деление на тесте)? Как и ранее, я начну деление в длинную очередь, работая с ведущими членами делителя и делимого.

Старший член делимого равен x 2 , а старший член делителя равен x . Разделив x 2 на x , мы получим x , вот что я положил сверху, прямо над x 2 в делимом:

Затем я умножаю x сверху на делитель x  + 7 и подкладываю полученное x 2  + 7 под делимым:

Затем я рисую горизонтальную полосу «равно», меняю знаки, прибавляю и опускаю +14 вниз, получая 2 x  + 14 под полосой «равно»:

Деление ведущего 2 x на ведущее число делителя x дает мне 2, и это то, что я поместил поверх символа деления, прямо над 9 x в делимом:

Затем я умножаю это 2 сверху на x + 7 и помещаю результат 2 x + 14 внизу:

Затем меняю знаки и прибавляю, получая нулевой остаток:

Ответом на деление является частное, представляющее собой полином над вершиной символа длинного деления:


URL-адрес: https://www.Purplemath.com/modules/polydiv2.htm

Как делить десятичные дроби [Видео и практические вопросы]

Привет, ребята! Добро пожаловать в это видео о делении десятичных дробей! Деление десятичных дробей может показаться не самым полезным инструментом, но на самом деле оно может пригодиться в нескольких ситуациях повседневной жизни.

Теперь вам может быть интересно, когда деление десятичных дробей может быть полезным.Допустим, у вас на банковском счету было 26,84 доллара, и вы хотели купить бензин для своей машины, не выходя за рамки бюджета. Каждый галлон стоит 3,69 доллара, и вы хотели бы сообщить обслуживающему персоналу, сколько галлонов залить в вашу машину. Сколько галлонов газа вы должны просить?

Или, скажем, вы строите дом и вам нужны куски дерева длиной 4,85 фута. В местном магазине продаются большие бревна длиной 28 футов. В магазине задаешься вопросом: сколько деревяшек можно вырезать из каждого бруса?

В таких ситуациях вам поможет способность делить числа на десятичные дроби.

Деление десятичных дробей

Начнем с простого примера. Скажем, вы хотели разделить 4,5 на 0,5.

Первым делом вы должны написать задачу, как и любую другую задачу на деление в длину. Это должно выглядеть так:

 
При решении этой задачи было бы значительно проще работать с целыми числами вместо десятичных знаков.

Самый простой способ сделать это — умножить каждое число в выражении на 10.Как правило, каждый раз, когда вы умножаете число на 10, вы, по сути, перемещаете десятичную точку на один разряд вправо. Если мы умножим 0,5 и 4,5 на 10, мы получим:

 
Теперь вы должны решить \(45\div 5\), как обычно. Поскольку это относительно простая задача, нам не нужно проходить этапы деления в большую сторону. \(5\умножить на 9=45\).

Вам может быть интересно, нужно ли нам что-то делать, чтобы изменить этот ответ. В конце концов, мы изменили оба числа в нашем выражении.Как ответ может быть правильным для нашего исходного выражения? Однако, если вы достанете свой калькулятор, вы увидите, что деление 4,5 на 0,5, наше исходное выражение, также дает 9, точно так же, как деление 45 на 5. поделю \(15,75\дел 3,5\).

 
Первый шаг — умножить каждое число на 10, чтобы превратить эти десятичные числа в целые числа. Начиная с 3,5, это даст нам 35.Однако, если мы посмотрим на другое число в нашем выражении, 15,75, мы заметим, что умножить его на 10 один раз недостаточно. Это дало бы нам 157,5, что все еще не является целым числом. Так что же нам делать в этом случае?

Помните ключевое правило при делении чисел на десятичные дроби — вам нужно сделать то же самое с обоими числами в выражении. Чтобы сделать 15,75 целым числом, нам нужно дважды умножить его на 10, или, можно сказать, нам нужно умножить его на 100. Это фактически сдвигает десятичный разряд на два знака вправо, давая нам 1575.

Как мы уже говорили, нам нужно сделать то же самое с обоими числами, поэтому теперь мы умножаем 3,5 на 10 дважды (или на 100). Мы перемещаем десятичную дробь на два знака вправо и добавляем ноль, чтобы заполнить пустое место. Итак, теперь у нас есть \(1575\div 350\).

 
Теперь проблема в длинном делении. 350 не входит в число 1, 15 или 157, поэтому нам нужно угадать, сколько раз оно входит в число 1575. 350 входит в 1000 примерно 3 раза, поэтому 4 будет хорошей оценкой количества раз, когда оно входит в 1575.Давайте сделаем небольшое умножение, чтобы перепроверить. \(350\умножить на 4\).

Итак, когда мы умножаем, \(4\times 0=0\), и мы умножаем \(4\times 5\), чтобы получить \(20\). Переносим \(2\), \(4\умножить на 3=12\), затем добавляем \(2\), что дает нам \(14\). Итак, у нас есть \(1400\), что лучше всего подходит для \(1575\). Итак, теперь мы пишем \(4\) над нашим \(5\), так что теперь у нас есть \(1,575-1,400\), что оставляет нас с остатком \(175\).

3
\ (\ phantom {0,00} \) 4
350 350 1,575
1 400
\ (\ phantom {0,} \ )175

 
Итак, теперь мы хотим обязательно добавить десятичную дробь после 4 сверху.

\ (\ phantom {0,00} \) 4. \ (\ Phantom {0} \)
350 350 1,575,0
1 400 \ (\ phantom {.0}\)
\(\phantom{0,}\)1,750

 
Теперь методом проб и ошибок разделим \(1,750\div 350\). Учитывая, что мы видели ранее, что \(350\times 4=1400\), мы можем видеть, что \(350\times 5\) даст нам ровно \(1750\), что означает, что мы добавляем \(5 \) сразу после десятичного знака рядом с нашим \(4\).Это дает нам окончательный ответ \(4.5\).

\ (\ phantom {0,00} \) 4.5
350 1,575,0
1 400 \ (\ phantom {0,0} \)
\ (\ phantom {0,} \) 1,750
— \ (\ phantom {,} \) 1,750
\ (\ phantom {000} \) 0


деление десятичных дробей может сначала показаться пугающим, помните, что это по существу то же самое, что и обычное длинное деление.Не забывайте о стратегии, которую мы обсуждали, чтобы превратить наши числа с десятичными знаками в целые числа: умножьте оба числа в выражении на число, кратное 10, чтобы переместить десятичную точку столько раз, сколько необходимо. Обращайтесь с обоими числами одинаково, и вы обязательно получите правильный ответ.

Надеюсь, это видео было полезным! Увидимся, ребята, в следующий раз!

Когда ноль мешает — Доктора-математики

Я собирался перейти от арифметики к алгебре, но обсуждение деления в длинных числах заставило меня задуматься о некоторых более обычных трудностях, о которых спрашивали студенты в этой области.Здесь я покажу несколько вопросов о процессе деления в длинное число, в котором ноль вызвал затруднения.

Ноль в частном

Когда вы встречаете шаг деления в большую сторону, где делитель больше, чем текущее рабочее делимое, вам нужно поставить ноль в частном. Здесь у студентов часто возникают проблемы:

 Проблемы с нулем; Написание остатков

Когда я выполняю деление в длинное, у меня возникают проблемы с некоторыми ответами, где ответ правильный, за исключением одного элемента в середине, который иногда содержит ноль.Например, когда я сделал это:

   38/1294058

Я получил ответ 3465 r23/28, но когда я проверил ответ, он прочитал 34065 r23/38.

Где я ошибаюсь? 

Вы видите здесь три разные темы для обсуждения? Основным будет ноль в частном, который пропустил Лейси; но есть также ее (или в книге) использование «r» с дробью, а не остатком, и запись 38/1294058 (формат, используемый в для деления ), где мы должным образом написали бы 1294058/38 или 1294058 ÷38.К тому же ответ дан не верный! Я не смог найти вероятного исправления, поэтому просто принял проблему как данность. (Это было прекрасно, потому что, делая это, я ничего не выдавал: Лейси уже знала правильный ответ, и, очевидно, задача, которую я задавал, была не той, которую она должна была решать!).

 Вероятно, вы просто забыли вписать ноль в частное, когда вам нужно было "сбить" лишнюю цифру из делимого, потому что остаток был больше делителя. Я решу проблему таким образом, чтобы избежать этого:

       ____34054_р_6
    38 ) 1294058
         114
         ---
          154
          152
          ---
            20
             0 <-- проблема здесь
            --
            205
            190
            ---
             158
             152
             ---
               6

(Я не знаю, где один из нас скопировал неправильно, но я все равно решу эту проблему!) 

Здесь я тщательно следовал стандартному процессу, на самом деле записывая произведение, 0, где более эффективным методом было бы пропустить этот шаг и просто записать 0 в частном:

 ____34054_р_6
    38 ) 1294058
         114
         ---
          154
          152
          ---
            205 <-- для двух цифр нужно две цифры
            190 в частном
            ---
             158
             152
             ---
               6 

Написать еще немного, не спеша, вот и все, что нужно здесь.Как и в прошлый раз, помните, что правильность должна быть развита раньше эффективности. (В конце я указал на другие проблемы в задаче.)

Ноль в частном после запятой

Мать прислала нам этот вопрос о разделении в 2006 году:

 Добавление нулей в задаче на длинное деление

Я пытался запомнить правила длинного деления при делении небольшого числа, например 6, на большее число, например 351. Я учу свою дочь и хочу убедиться, что правильно понимаю правила сложения нулей.

Нули вступают в игру дважды. Мы должны добавить нули к делимому, чтобы добавить десятичные разряды; и для такого маленького числа у нас будут нули в начале частного. Доктор Рик просто медленно проходил процесс, уделяя особое внимание тому, как организовать работу:

 Я предпочитаю не нагромождать слишком много правил, а помочь учащемуся увидеть, что в данном случае вы делаете именно то, что всегда делаете в делении. На самом деле нет никаких новых правил; единственное, что нужно помнить, что цифры 6, 6.0, 6.00, 6.000 и т. д. — все это названия одного и того же числа.

Я начну с рассмотрения задачи деления
      ___
  351) 6

Сколько раз 351 входит в число 6? Нет — это 0, поэтому я ставлю 0 в частное над единицей делимого, умножаю 0 на 351 и вычитаю это из 6.

        0
      ___
  351) 6
       -0
       --
        6

Затем я должен записать следующую цифру. Следующей цифры нет...но есть, если я пишу 6 как 6.0. Когда я добавляю десятичную точку к делимому, я также ставлю единицу в частное прямо над ним.

        0.
      _____
  351 ) 6,0
       -0
       --
        6 0

Теперь (поскольку на данном этапе я игнорирую десятичную точку) я пытаюсь разделить 60 на 351, и 60 все еще недостаточно велико; 60 разделить на 351 снова 0, так что...

        0,0
      _____
  351 ) 6,0
       -0
       --
        6 0
       - 0
        ---
        6 0

Пришло время снова сбить очередную цифру делимого, а его опять нет... если я не напишу дивиденд как 6,00:
 

… и так далее. Еще раз обратите внимание на ценность того, чтобы не пытаться двигаться слишком быстро. Как только все обретет смысл, тогда мы сможем искать пути улучшения процесса:

 Как только ребенок поймет, как это работает, просто следуя основным правилам, я могу раскрыть некоторые секреты, которые облегчат задачу! Вам не нужно так много писать, потому что вы знаете, как работают числа. Всякий раз, когда цифра частного равна нулю, вы знаете, что при умножении нуля на делитель вы получите ноль; и вы знаете, что вычитание 0 из любого числа оставляет его таким же.Вы можете проделывать эти операции в уме, потому что они ничего не делают! Все, что вам нужно записать, это:

        0,0 1 7
      _________
  351 ) 6.0 0 0
       -3 5 1
        -----
        2 4 9 0
       -2 4 5 7
        -------
            3 3

Единственная опасность, связанная с пропуском этих шагов, состоит в том, что вы можете потерять представление о том, где следующая цифра в частном. Вот почему я подчеркиваю, что цифра идет прямо над цифрой единиц частичного дивиденда.Если вы обнаружите, что это оставляет пробел слева от цифры, которую вы добавляете, это означает, что вы забыли записать ноль; так вставь. 

Вот еще один пример такой же проблемы, но репетитор, который написал нам, столкнулся с учеником:

 Десятичное умножение и деление

Я репетирую с ученицей 6-го класса, и мне трудно объяснить ей, почему иногда нужно поставить ноль в десятом разряде, в частном - как своего рода заполнитель, говорю я ей.Например, мы делили 0,5 на 0,025. Она не против умножить оба числа на 10, так что задача становится 0,25/5, но когда мы начнем писать цифры для частного, она не поверит, что ответ равен 0,05. Она настаивает на том, что он должен быть 0,5.

Я пытался показать ей, что 0,5 х 5 = 2,5, а не 0,25. И я попытался использовать 25 кубов с основанием 10 для представления 25 сотых, а затем попросить ее разделить их на пять групп, по пять сотых в каждой. Она по-прежнему говорит, что нельзя ставить ноль после запятой.Кажется, что чего-то просто не хватает. Во-первых, она твердо помнит, что ее учитель сказал никогда не добавлять ноль после запятой, поэтому она отказывается верить ни одному из моих объяснений. (Во-вторых, она все еще немного шатается в десятичном умножении.)

Есть ли у вас какой-либо другой способ объяснить десятичное деление, когда числа не являются строго аналогичными обычному делению, т. Е. Когда вы должны поставить ноль в десятых или сотых местах и ​​т. д.? (Я подозреваю, что мой ученик не единственный, кому может понадобиться помощь в этой области.) 

Я показал Сьюзан несколько способов, чтобы помочь ученице преодолеть ее «фобию нулей» и увидеть, что означает козырей, заученных правил .

 Похоже, ученик застрял в правилах и не осмеливается понять, что происходит. Утверждение, что «вы не можете поставить этот ноль после запятой», должно исходить от того, что учительница сказала в каком-то другом контексте, и она считает, что математика — это правила. Вероятно, это случается чаще, чем нам хотелось бы думать; слишком много учителей делают акцент на правилах, а не на причинах.Итак, давайте сначала посмотрим, откуда может появиться это правило, и, возможно, мы сможем отделить его от этой проблемы. Все, о чем я могу думать, это то, что если у вас есть число, вы не можете вставить ноль между десятичной точкой и другими цифрами, не изменив его значение. Вам придется попросить ее привести пример, когда ее учитель мог использовать это правило, а затем показать, почему оно здесь неприменимо.

Я объясняю десятичное умножение и деление в терминах дробей (при условии, что учащийся понимает дроби!).В таком случае,
 
                  25 5 25 10 25 * 10 10 25
   0,025 / 0,5 = ---- / -- = ---- * -- = -------- = ---- * --
                 1000 10 1000 5 1000 * 5 1000 5

Таким образом, ответ будет 1/100 от 5 или 0,05.

Вероятно, это будет слишком сложно для вашего ученика. Вот альтернативный способ показать то же самое:

    0,025 1000 * 0,025 25 25 1
    ----- = ------------ = --- = -- * ---
     0.5 1000 * 0,5 500 5 100 

Сьюзен сказала, что попробует мои идеи, но я так и не услышал о результатах. Самым важным было бы сломать зависимость от правил. Неправильное запоминание правил хуже, чем отсутствие правил вообще!

Длинное деление

Длинное деление — это метод деления чисел, состоящих из нескольких цифр, вручную. Ниже мы видим обозначения, которые используются при делении в большую сторону.

Эта задача на деление спрашивает: "Сколько раз 6 входит в число 564?" Чтобы найти ответ, мы выполняем длинное деление, как показано в примере ниже.

Как выполнить деление в длинное число


  1. Читая слева направо, мы сначала хотим найти наименьшую последовательность цифр (в делимом, 564), в которую делитель 6 может входить хотя бы один раз. 6 не может войти в число 5 в 564. Поскольку это невозможно, перейдите к следующему образующемуся числу, а именно 56. 6 может войти в число 56 всего 9 раз, чтобы получить 54.

  2. Запишите первое значение числа частное выше дивиденда. В этом случае напишите 9 над 6 в 56, чтобы указать, что 6 входит в 56 всего 9 раз.Позиция, в которой написана цифра 9, важна. При делении в длинное следите за тем, чтобы числа совпадали. Начальная точка частного должна быть над последней цифрой (читая слева направо) в наименьшей последовательности чисел, в которую может входить делитель; в данном случае над 6 в 56. Следующее число, образующее частное, должно быть записано непосредственно справа от первого.

  3. Запишите произведение, в данном случае 6 × 9 = 54, ниже 56, и выполните вычитание; в этом случае остаток равен 2.

  4. Поместите 4 в 564 рядом с остатком, чтобы сформировать 24, помня, что выравнивание важно.

  5. Повторите процесс, начиная с шага 1, считая 24 новым делимым. Продолжайте этот процесс до тех пор, пока остаток не станет равным 0, или мы найдем повторяющийся шаблон. В этом случае, поскольку 6 × 4 = 24, вычтите 24 из 24, чтобы получить 0, и деление в длину будет завершено. Если в другой задаче остаток не равен 0, переходите к шагу 6. ​​

  6. Если остаток все еще есть, а новых чисел из делимого для уменьшения больше нет, добавьте десятичную точку и 0, затем уменьшите 0 до остатка и продолжайте описанный выше процесс (включая добавление 0) до тех пор, пока не останется остатка или пока не будет найден повторяющийся шаблон.

В приведенном выше примере, поскольку остаток равен 0, частное равно 94, а это означает, что решение задачи 564 ÷ 6 равно 94.

Когда числа не делятся точно, мы можем либо сказать, что ответом является частное и остаток, либо мы можем пойти дальше, выполнив несколько дополнительных шагов, чтобы найти решение с использованием десятичных дробей. В некоторых случаях мы можем найти точное решение, но в других мы можем только аппроксимировать значение, если десятичная дробь не оканчивается.Используя пример, аналогичный приведенному выше, если бы делимое было 566 вместо 564:

После шага 6, когда мы уменьшаем 0 до остатка 2, мы получаем 20. 6 входит в 20 всего 3 раза, чтобы получить 18, в результате чего остаток равен 2. Независимо от того, сколько раз мы складываем и уменьшаем 0, результат будет таким же, повторяющийся десятичный, поэтому частное равно 94,3, где строка над 3 указывает, что оно повторяется бесконечно.


Деление целых чисел | Преалгебра

Результаты обучения

  • Разделите целые числа и проверьте ответ с помощью умножения
  • Определите и примените свойства деления одного
  • Определите и примените свойства деления нуля
  • Использовать алгоритм длинного деления для деления многозначных чисел
  • Определите делитель, делимое и остаток в задаче на деление

Разделение целых чисел

Мы сказали, что сложение и вычитание являются обратными операциями, потому что одно отменяет другое.Точно так же деление является обратной операцией умножения. Мы знаем [латекс]12\дел 4=3[/латекс], потому что [латекс]3\cdot 4=12[/латекс]. Знание всех фактов числа умножения очень важно при делении.

Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно делимому. Мы знаем, что [латекс]24\дел 8=3[/латекс] правильный, потому что [латекс]3\cdot 8=24[/латекс].

пример

Разделить. Затем проверьте умножением.

  1. [латекс]42\дел 6[/латекс]
  2. [латекс]\фракция{72}{9}[/латекс]
  3. [латекс]7\overline{)63}[/латекс]

Решение:

1.
[латекс]42\дел 6[/латекс]
Разделите [латекс]42[/латекс] на [латекс]6[/латекс]. [латекс]7[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]7\cdot 6[/латекс]

[латекс]42\quad\галочка [/латекс]
2.
[латекс]\фракция{72}{9}[/латекс]
Разделите [латекс]72[/латекс] на [латекс]9[/латекс]. [латекс]8[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]8\cdot 9[/латекс]

[латекс]72\quad\галочка [/латекс]
3.
[латекс]7\overline{)63}[/латекс]
Разделите [латекс]63[/латекс] на [латекс]7[/латекс]. [латекс]9[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]9\cdot 7[/латекс]

[латекс]63\quad\галочка [/латекс]

 

 

Чему равно частное при делении числа само на себя?

[латекс]\frac{15}{15}=1\text{ потому что }1\cdot 15=15[/latex]

Деление любого числа [латекс]\текст{(кроме 0)}[/латекс] само по себе дает частное [латекс]1[/латекс].Кроме того, любое число, деленное на [latex]1[/latex], дает частное от числа. Эти две идеи изложены в Свойствах Разделения Единого.

Свойства разделения одного

Любое число (кроме 0), деленное само на себя, равно единице. [латекс]а\дел а=1[/латекс]
Любое число, деленное на единицу, равно числу. [латекс]а\дел 1=а[/латекс]

 

пример

Разделить.Затем проверьте умножением:

  1. [латекс]11\дел 11[/латекс]
  2. [латекс]\фракция{19}{1}[/латекс]
  3. [латекс]1\overline{)7}[/латекс]
Показать решение

Решение:

1.
[латекс]11\дел 11[/латекс]
Число, разделенное само на себя, равно [латекс]1[/латекс]. [латекс]1[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]1\cdot 11[/латекс]

[латекс]11\quad\галочка [/латекс]

 

2.
[латекс]\фракция{19}{1}[/латекс]
Число, деленное на [latex]1[/latex], равно самому себе. [латекс]19[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]19\cdot 1[/латекс]

[латекс]19\quad\галочка [/латекс]

 

3.
[латекс]1\overline{)7}[/латекс]
Число, деленное на [latex]1[/latex], равно самому себе. [латекс]7[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]7\cdot 1[/латекс]

[латекс]7\quad\галочка [/латекс]

 

 

Предположим, у нас есть [latex]\text{\$0}[/latex], и мы хотим разделить его между [latex]3[/latex] людьми. Сколько получит каждый? Каждый человек получит [латекс]\текст{\$0}[/латекс]. Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс].

Теперь предположим, что мы хотим разделить [латекс]\текст{\$10}[/латекс] на [латекс]0[/латекс].Это означает, что нам нужно найти число, которое мы умножим на [latex]0[/latex], чтобы получить [latex]10[/latex]. Этого не может быть, потому что [латекс]0[/латекс], умноженное на любое число, равно [латекс]0[/латекс]. Говорят, что деление на ноль равно undefined .

Эти две идеи составляют Свойства Разделения Зеро.

Свойства деления Зеро

Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс]. [латекс]0\дел а=0[/латекс]
Деление числа на ноль не определено. [латекс]а\дел 0[/латекс] не определено

 

Еще один способ объяснить, почему деление на ноль не определено, состоит в том, чтобы помнить, что деление на самом деле представляет собой многократное вычитание. Сколько раз мы можем отнять [латекс]0[/латекс] от [латекс]10?[/латекс] Поскольку вычитание [латекс]0[/латекс] никогда не изменит итоговое значение, мы никогда не получим ответ. Поэтому мы не можем разделить число на [latex]0[/latex].

пример

Разделить. Проверить умножением:

  1. [латекс]0\дел 3[/латекс]
  2. [латекс]\frac{10}{0}[/латекс].
Показать решение

Решение

1.
[латекс]0\дел 3[/латекс]
Ноль, разделенный на любое число, равен нулю. [латекс]0[/латекс]
Проверить умножением.

[латекс]0\cdot 3[/латекс]

[латекс]0\quad\галочка [/латекс]

 

2.
[латекс]10/0[/латекс]
Деление на ноль не определено. не определено

 

попробуй

Разделить. Затем проверьте умножением:

 

Когда делитель или делимое содержит более одной цифры, обычно проще использовать запись [latex]4\overline{)12}[/latex]. Этот процесс называется длинным делением. Давайте рассмотрим этот процесс, разделив [латекс]78[/латекс] на [латекс]3[/латекс].

Разделите первую цифру делимого [latex]7[/latex] на делитель [latex]3[/latex].
Делитель [латекс]3[/латекс] может входить в [латекс]7[/латекс] два раза, так как [латекс]2\раз 3=6[/латекс] . Напишите [латекс]2[/латекс] над [латекс]7[/латекс] в частном.
Умножьте [латекс]2[/латекс] в частном на [латекс]2[/латекс] и запишите произведение [латекс]6[/латекс] под [латекс]7[/латекс].
Вычтите это произведение из первой цифры делимого. Вычтите [латекс]7 - 6[/латекс] .Запишите разницу 1 под первой цифрой делимого.
Сократите следующую цифру делимого. Опусти [латекс]8[/латекс].
Разделите [латекс]18[/латекс] на делитель [латекс]3[/латекс]. Делитель [латекс]3[/латекс] входит в [латекс]18[/латекс] шесть раз.
Напишите [латекс]6[/латекс] в частном над [латекс]8[/латекс].
Умножьте [латекс]6[/латекс] в частном на делитель и запишите произведение [латекс]18[/латекс] под делимым.Вычтите [латекс]18[/латекс] из [латекс]18[/латекс].

Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше не осталось цифр, поэтому деление закончено.

[латекс]\текст{Так} 78\дел 3=26[/латекс].

Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить делимое. Умножьте [латекс]26\умножить на 3[/латекс], чтобы убедиться, что произведение равно делимому, [латекс]78[/латекс].

[латекс]\begin{array}{c}\hfill \stackrel{1}{2}6\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 3}\\ \hfill 78 \end{array }[/латекс]

Да, значит, наш ответ правильный. [латекс]\галочка[/латекс]

Разделить целые числа

  1. Разделите первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше первой цифры делимого, разделите первые две цифры делимого на делитель и так далее.
  2. Запишите частное над делимым.
  3. Умножьте частное на делитель и запишите произведение под делимым.
  4. Вычтите этот продукт из дивиденда.
  5. Сократите следующую цифру делимого.
  6. Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить.
  7. Проверьте, умножив частное на делитель.

В видео ниже мы показываем еще один пример использования деления в длину.

пример

Разделить [латекс]2,596\дел 4[/латекс].Проверить умножением:

Показать решение

Решение

Это равно делимому, значит, наш ответ правильный.

 

 

пример

Разделить [латекс]4,506\дел 6[/латекс]. Проверить умножением:

Показать решение

Решение

Это равно делимому, значит, наш ответ правильный.

 

 

пример

Разделить [латекс]7,263\дел 9[/латекс]. Проверьте умножением.

Показать решение

Решение

Это равно делимому, значит, наш ответ правильный.

 

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример использования деления в длину для деления четырехзначного целого числа на двузначное целое число.

До сих пор все задачи на деление решались равномерно. Например, если бы у нас было [латекс]24[/латекс] печенья и мы хотели сделать пакеты из [латекс]8[/латекс] печенья, у нас было бы [латекс]3[/латекс] пакетов. Но что, если бы было [латекс]28[/латекс] печенье, и мы хотели бы сделать пакеты из [латекс]8?[/латекс] Начните с [латекс]28[/латекс] печенья.


Попробуйте разложить печенье по восемь штук.


Есть группы [latex]3[/latex] из восьми файлов cookie, а также остались [latex]4[/latex] файлы cookie. Мы называем файлы cookie [latex]4[/latex], которые остались поверх остальных, и показываем их, записывая R4 рядом с [latex]3[/latex]. (R означает остаток.) ​​

Чтобы проверить это деление, мы умножаем [латекс]3[/латекс] на [латекс]8[/латекс], чтобы получить [латекс]24[/латекс], а затем добавляем остаток [латекс]4[/латекс].

[латекс]\begin{array}{c}\hfill 3\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 8}\\ \hfill 24\\ \hfill \underset{\text{___} }{+4}\\ \hfill 28\end{массив}[/latex]

пример

Разделить [латекс]1,439\дел 4[/латекс].Проверьте умножением.

Показать решение

Решение

Итак, [латекс]1,439\дел 4[/латекс] равно [латекс]359[/латекс] с остатком [латекс]3[/латекс]. Наш ответ правильный.

 

 

пример

Разделите, а затем проверьте умножением: [латекс]1,461\дел 13[/латекс].

Показать решение

Решение

Наш ответ правильный.

 

 

пример

Разделите и проверьте умножением: [латекс]74,521\дел 241[/латекс].

Показать решение

Решение

Перепишем задачу, чтобы настроить ее на деление в большую сторону. [латекс] 241\overline{)74,521}[/латекс]
Сначала попробуем разделить [латекс]241[/латекс] на [латекс]7[/латекс]. Поскольку это не сработает, мы пробуем [латекс]241[/латекс] в [латекс]74[/латекс]. Это все равно не сработает, поэтому мы пытаемся преобразовать [латекс]241[/латекс] в [латекс]745[/латекс]. Поскольку [латекс]2[/латекс] трижды делится на [латекс]7[/латекс], мы пробуем [латекс]3[/латекс].Поскольку [latex]3\times 241=723[/latex] , мы пишем [latex]3[/latex] поверх [latex]5[/latex] в [latex]745[/latex]. Обратите внимание, что [latex]4[/latex] будет слишком большим, потому что [latex]4\times 241=964[/latex] , что больше, чем [latex]745[/latex].
Умножьте [латекс]3[/латекс] на [латекс]241[/латекс] и вычтите это произведение из [латекс]745[/латекс].
Теперь сбросьте [латекс]2[/латекс] и повторите эти шаги. [латекс]241[/латекс] не делится на [латекс]222[/латекс].

Мы пишем [latex]0[/latex] поверх [latex]2[/latex] в качестве заполнителя, а затем продолжаем.

Теперь сбросьте [латекс]1[/латекс] и повторите эти шаги. Попробуйте [латекс]9[/латекс]. Поскольку [latex]9\times 241=2,169[/latex] , мы пишем [latex]9[/latex] поверх [latex]1[/latex]. Умножьте [латекс]9[/латекс] на [латекс]241[/латекс] и вычтите это произведение из [латекс]2221[/латекс].
Больше нет номеров для ввода, так что мы закончили.Остаток — [латекс]52[/латекс]. Итак, [латекс]74 521\дел 241[/латекс] равно [латекс]309[/латекс] с остатком [латекс]52[/латекс].
Проверить умножением.

 

Иногда может быть неочевидно, сколько раз делитель входит в число цифр делимого. Нам придется угадывать и проверять числа, чтобы найти наибольшее число, которое идет на цифры, не выходя за их пределы.

Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример использования деления в длину для деления целых чисел при наличии остатка.

 

Делящие полиномы

Частное двух полиномиальных функций не обязательно имеет область определения всех действительных чисел. Значения для x , которые делают функцию в знаменателе 0, ограничены доменом. Это будет обсуждаться более подробно позднее. Пока предположим, что все функции в знаменателе отличны от нуля.

Пример 10: Рассчитайте: (f/g)(−1), учитывая f(x)=−3x3+7x2−11x−1 и g(x)=3x−1.

Решение: Сначала определите (f/g)(x).

Замените -1 на переменную x.

Тематические упражнения

Часть A: Деление на одночлен

Разделить.

1. 81y59y2

2. 36y99y3

3. 52x2y4xy

4. 24xy52xy4

5. 25x2y5z35xyz

6. −77x4y9z22x3y3z

7.125a3b2c−10abc

8. 36a2b3c5−6a2b2c3

9. 9x2+27x−33

10. 10x3−5x2+40x−155

11. 20x3−10x2+30x2x

12. 10x4+8x2−6x24x

13. −6x5−9x3+3x−3x

14. 36a12−6a9+12a5−12a5

15. −12x5+18x3−6x2−6x2

16. −49a8+7a5−21a37a3

17. 9x7−6x4+12x3−x23x2

18.8x9+16x7−24x4+8x3−8x3

19. 16a7−32a6+20a5−a44a4

20. 5a6+2a5+6a3−12a23a2

21. −4x2y3+16x7y8−8x2y5−4x2y3

22. 100a10b30c5−50a20b5c40+20a5b20c1010a5b5c5

23. Найдите частное чисел −36x9y7 и 2x8y5.

24. Найдите частное 144x3y10z2 и −12x3y5z.

25. Найдите частное 3a4−18a3+27a2 и 3a2.

26.Найдите частное 64a2bc3−16a5bc7 и 4a2bc3.

Часть B: Деление на многочлен

Разделить.

27. (2x2−5x−3)÷(x−3)

28. (3x2+5x−2)÷(x+2)

29. (6x2+11x+3)÷(3x+1)

30. (8x2−14x+3)÷(2x−3)

31. х3-х2-2х-12х-3

32. 2х3+11х2+4х-5х+5

33. 2х3-х2-4х+32х+3

34.−15x3−14x2+23x−65x−2

35. 14x4−9x3+22x2+4x−17x−1

36. 8x5+16x4-8x3-5x2-21x+102x+5

37. х2+8х+17х+5

38. 2х2-5х+5х-2

39. 6х2-13х+9-2х+1

40. −12x2+x+13x+2

41. х3+9х2+19х+1х+4

42. 2х3-13х2+17х-11х-5

43. 9x3−12x2+16x−153x−2

44. 3х4-8х3+5х2-5х+9х-2

45.(6x5−13x4+4x3−3x2+13x−2)÷(3x+1)

46. (8x5−22x4+19x3−20x2+23x−3)÷(2x−3)

47. 5х5+12х4+12х3-7х2-19х+3х2+2х+3

48. 6x5-17x4+5x3+16x2-7x-32x2-3x-1

49. х5+7 х4-х3-7 х2-49 х+9х2+7х-1

50. 5x6−6x4−4x2+x+25x2−1

51. х3-27х-3

52. 8x3+1252x+5

53. (15x5−9x4−20x3+12x2+15x−9)÷(5x−3)

54.(2x6−5x5−4x4+10x3+6x2−17x+5)÷(2x−5)

55. х5-2х3+3х-1х-1

56. х4-3х2+5х-13х+2

57. а2−4а+2

58. а5+1а5+1

59. а6-1а-1

60. х5-1х-1

61. х5+х4+6х3+12х2-4х2+х-1

62. 50x6−30x5−5x4+15x3−5x+15x2−3x+2

63. 5х5-15х3+25х2-55х

64. −36x6+12x4−6x26x2

65.150x5y2z15−10x3y6z5+4x3y2z410x3y2z5

66. 27м6+9м4−81м2+19м2

67. Разделите 3x6−2x5+27x4−18x3−6x2+7x−10 на 3x−2.

68. Разделите 8x6+4x5-14x4-5x3+x2-2x-3 на 2x+1.

Часть C: Деление полиномиальных функций

Вычислите (f/g)(x) , зная функции.

69. f(x)=40x8 и g(x)=10x5

70. f(x)=54x5 и g(x)=9x3

71.f(x)=12x2+24x−15 и g(x)=2x+5

72. f(x)=−8x2+30x−7 и g(x)=2x−7

73. f(x)=18x2−36x+5 и g(x)=3x−5

74. f(x)=−7x2+29x−6 и g(x)=7x−1

75. f(x)=10x3−9x2+27x−10 и g(x)=5x−2

76. f(x)=15x3+28x2−11x+56 и g(x)=3x+8

77. f(x)=2x4+5x3−11x2−19x+20 и g(x)=x2+x−5

78. f(x)=4x4−12x3−20x2+26x−3 и g(x)=2x2+2x−3

Учитывая f(x)=6x3+4x2−11x+3 и g(x)=3x−1 , найдем следующее.

79. (ф/г)(х)

80. (ж/г)(−1)

81. (ф/г)(0)

82. (ф/г)(1)

Учитывая f(x)=5x3−13x2+7x+3 и g(x)=x−2 , найдите следующее.

83. (ф/г)(х)

84. (ж/г)(−3)

85. (ф/г)(0)

86. (ф/г)(7)

Часть D: Темы на доске обсуждений

87.Как вы используете свойство дистрибутивности при делении многочлена на одночлен?

88. Сравните длинное деление действительных чисел с полиномиальным делением. Приведите пример каждого.

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *