Как вычитать дроби с одинаковыми знаменателями: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Содержание

Как вычитать обыкновенные дроби: с одинаковыми, разными знаменателями

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти разность обыкновенных (простых) дробей с разными или одинаковыми знаменателями, и как выполняется вычитание смешанных дробей. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

Вычитание дробей

С одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби отнимается числитель второй дроби. Знаменатель при этом остается тем же.

 
Примечание: Следует проверить новую дробь, полученную путем вычитания. Возможно, ее можно сократить.

С разными знаменателями

Чтобы вычесть одну дробь из другой, знаменатель которой отличаются от первой, нам нужно:

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Затем выполнить вычитание – как для дробей с одинаковыми знаменателями.

Разность смешанных дробей

Чтобы найти разность смешанных дробей, сперва отдельно вычитаем их целые части, затем – отдельно дробные. Полученные результаты складываем.

X

a/b

Y

c/d

= (XY) + (

a/b

c/d

)

 
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, сперва их приводим к наименьшему общему знаменателю, затем – вычитаем.

Примеры задач

Задание 1

Найдите разность дробей 

8/14

 и 

3/14

.

 
Решение

У данных дробей один и тот же знаменатель, следовательно:

 
Задание 2

Найдите разность дробей 

6/7

 и 

9/20

.

 
Решение

Сперва приводим дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 140. Значит, дополнительный множитель для первой дроби – 20, для второй – 7.

6/7

=

6⋅20/7⋅20

=

120/140

 
Теперь у нас дроби с одинаковыми знаменателями, и мы можем вычесть из первой вторую:

120/140

63/140

=

120-63/140

=

57/140

 
Задание 3

Отнимите из дроби 3

5/7

 дробь 2

3/7

.

 
Решение

Так как дробные части имеют одинаковые знаменатели, мы сразу можем выполнить вычитание:

3

5/7

 – 2

3/7

 = 3 – 2 + (

5/7

 – 

3/7

) = 1 + 

5-3/7

 = 1

2/7

Как отнять дроби с одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание дробей

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему — сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

  • Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

  • Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

    Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

    О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

    Свойство дроби

    Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

    Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

    Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

    Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

    Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
    1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

    Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

    • 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
      2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
    • 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
      7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
    • 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
      5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

    Все вместе это выглядит так:

    Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

    Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

    Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

    Находим кратное чисел 18 и 15:

    • Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
    • Число 15 состоит из 5 х 3.
    • Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

    После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

    • 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
    • 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

    Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

    Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

    (4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

    Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

    Вычитание и имеющих целые части

    Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

    • Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
    • Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
    • Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
    • При получении неправильной дроби выделить целую часть.

    Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

    Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

    Вычитание дробей из целого числа

    Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

    7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

    Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

  1. Разложить эти числа на простые множители
  2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
  3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
  4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например.

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

  • Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.


Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
  • Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.


  • Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Рекомендуем также

Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Вычитание правильной дроби из целого числа

Найдите числитель и знаменатель. Дробь включает два числа: число, которое расположено над чертой, называется числителем, а число, которое находится под чертой – знаменателем. Знаменатель обозначает общее количество частей, на которые разбито некоторое целое, а числитель – это рассматриваемое количество таких частей.

  • Например, в дроби ½ числителем является 1, а знаменателем 2.

Определите знаменатель. Если две и более дроби имеют общий знаменатель, у таких дробей под чертой находится одно и то же число, то есть в этом случае некоторое целое разбито на одинаковое количество частей. Складывать дроби с общим знаменателем очень просто, так как знаменатель суммарной дроби будет таким же, как у складываемых дробей. Например:

  • У дробей 3/5 и 2/5 общий знаменатель 5.
  • У дробей 3/8, 5/8, 17/8 общий знаменатель 8.
  • Определите числители. Чтобы сложить дроби с общим знаменателем, сложите их числители, а результат запишите над знаменателем складываемых дробей.

    • У дробей 3/5 и 2/5 числители 3 и 2.
    • У дробей 3/8, 5/8, 17/8 числители 3, 5, 17.
  • Сложите числители. В задаче 3/5 + 2/5 сложите числители 3 + 2 = 5. В задаче 3/8 + 5/8 + 17/8 сложите числители 3 + 5 + 17 = 25.

  • Запишите суммарную дробь. Помните, что при сложении дробей с общим знаменателем он остается без изменений – складываются только числители.

    • 3/5 + 2/5 = 5/5
    • 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
  • Если нужно, преобразуйте дробь. Иногда дробь можно записать в виде целого числа, а не обыкновенной или десятичной дроби. Например, дробь 5/5 легко преобразуется в 1, так как любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, есть 1. Представьте пирог, разрезанный на три части. Если вы съедите все три части, то вы съедите целый (один) пирог.

    • Любую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную; для этого разделите числитель на знаменатель. Например, дробь 5/8 можно записать так: 5 ÷ 8 = 0,625.
  • Если возможно, упростите дробь. Упрощенная дробь – эта дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей.

    • Например, рассмотрим дробь 3/6. Здесь и у числителя, и у знаменателя есть общий делитель, равный 3, то есть числитель и знаменатель нацело делятся на 3. Поэтому дробь 3/6 можно записать так: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.
  • Если нужно, преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь (смешанное число). У неправильной дроби числитель больше знаменателя, например, 25/8 (у правильной дроби числитель меньше знаменателя). Неправильную дробь можно преобразовать в смешанную дробь, которая состоит из целой части (то есть целого числа) и дробной части (то есть правильной дроби). Чтобы преобразовать неправильную дробь, например, 25/8, в смешанное число, выполните следующие действия:

    • Разделите числитель неправильной дроби на ее знаменатель; запишите неполное частное (целый ответ). В нашем примере: 25 ÷ 8 = 3 плюс некоторый остаток. В данном случае целый ответ – это целая часть смешанного числа.
    • Найдите остаток. В нашем примере: 8 х 3 = 24; полученный результат вычтите из исходного числителя: 25 — 24 = 1, то есть остаток равен 1. В данном случае остаток – это числитель дробной части смешанного числа.
    • Запишите смешанную дробь. Знаменатель не меняется (то есть равен знаменателю неправильной дроби), поэтому 25/8 = 3 1/8.
  • Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

    ,

    ,

    Вычитание правильной дроби из единицы.

    Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

    Пример вычитания правильной дроби из единицы:

    Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

    Вычитание правильной дроби из целого числа.

    Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

    • Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
    • Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
    • Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

    Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

    Пример вычитания дробей:

    В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

    Вычитание дробей с разными знаменателями.

    Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

    Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

    Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

    Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

    Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

    • найти НОК для всех знаменателей;
    • поставить для всех дробей дополнительные множители;
    • умножить все числители на дополнительный множитель;
    • полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
    • произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

    Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

    Вычитание дробей, примеры:

    Вычитание смешанных дробей.

    При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

    Первый вариант вычитания смешанных дробей.

    Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

    Например:

    Второй вариант вычитания смешанных дробей.

    Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

    Например:

    Третий вариант вычитания смешанных дробей.

    Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

    Пример:

    Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

    Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

    В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

    Содержание урока

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

    1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Сложение дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

    1. Найти НОК знаменателей дробей;
    2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
    3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
    4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
    5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

    Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

    Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

    1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Вычитание дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

    Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

    Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
    2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

    Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

    Получили ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

    Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Деление дроби на число

    Допустим, у нас имеется половина пиццы:

    Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

    Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

    Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

    Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

    Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

    Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

    Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

    Действия с дробями.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования — мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

    Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

    Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

    Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

    А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями — это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

    Сложение и вычитание дробей.

    Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

    Короче, в общем виде:

    А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

    Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

    Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

    Ещё пример:

    Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

    Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

    Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

    Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

    И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

    Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений…

    Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой… Должно получиться 29/16.

    Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах… И ничего не забыл.

    А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да…

    Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

    Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

    И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби — на х. Получится вот что:

    Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки…

    В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

    Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

    И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе — само число, в знаменателе — единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами — то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

    Ну, по сложению — вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой — повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

    Вычислить:

    Ответы (в беспорядке):

    71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

    Умножение/деление дробей — в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.

    При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!

    Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:

    У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину: ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.

    Приведем напоследок пример:

    Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.

    Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется .

    Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!

    Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное — число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.

    Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!

    Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Тема урока: «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

    Тип урока: урок закрепления изученного материала.

    1.Организационный момент. Мотивация. (1 мин)

    Здравствуйте ребята! Садитесь. У нас с вами сегодня необычный урок, к нам пришли гости. Поздоровайтесь. Улыбнитесь друг другу, ведь от улыбки станет всем теплей, поднимется настроение.

    На уроке мы посмотрим, что мы с вами успели унести в багаже знаний, а что еще необходимо понять. У вас на партах лежат оценочные листы, где вы сможете отметить качество своей работы, за каждое выполненное задание выставлять оценки в оценочный лист. Математика, друзья,

    Абсолютно всем нужна.

    На уроке работай старательно,

    И успех тебя ждёт обязательно!

    2.Актуализация опорных знаний. (10 мин) Давайте вспомним, что с вами мы уже знаем по нашей теме. Начнем со стихотворение я начинаю а вы заканчиваете предложение: Каждый может за версту
    Видеть дробную черту.
    Над чертой –( числитель), Под чертою – (знаменатель).
    Дробь такую, непременно, Надо звать (обыкновенной).Молодцы ребята. А теперь поиграем в игру «Доскажи словечко»:

    1.Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь является________(правильной, неправильной), например_____

    2. Если числитель дроби больше знаменателя, то дробь является________(правильной, неправильной), например_____

    3. Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна____, например_____

    4. Число, состоящее из целого числа и дроби, называется ___ числом, например: ___.

    Посмотрите на экран и распределите данные дроби на группы (Слайд 1) а) правильные дроби; б) неправильные дроби;( на слайде появляются дроби, учащиеся называют правильная или неправильная дробь) ;

    Чем же мы занимались на прошлом уроке.Какие действия с дробями мы умеем выполнять.( узнали как складываются и вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями)Вспомним правила сложения и вычитания дробей. Закончите предложение: — Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями надо (сложить их числители, а знаменатель оставить прежним) — Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями надо (из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним)

    3.Постановка темы и задачи урока. (2 мин)Как вы думаете, чему еще мы можем научиться или мы уже все умеем( решать задачи с дробями, уравнения, упрощать выражения)

    Чем же мы будим заниматься на уроке : ( усовершенствовать умения решать примеры на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями)

    (Слайд 2)Значит какая тема сегодняшнего нашего урок: («Сложени и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»)

    Откроем тетради и запишем число и тему сегодняшнего урока.(Записывают число и тему в тетради.)

    4. Обобщение и систематизация знаний. ( 5 мин.)(Слайд3) Самостоятельная работа.

    Выполним самостоятельную работу и посмотрим как вы умеете складывать дроби.Кто выполнил поднимает руку. Давайте проверим правильность выполнения задания. Оцените себя. Раздает карточки трех уровней сложности с проверкой по эталону ( Приложение 1) (Выполняют самостоятельную работу, проверяют по правильность решений по слайду. Оценивают себя в оценочных листах).

    5. Физминутка. (3 мин)

    ( Слайд 4) Молодцы ребята. Устали давайте немножко отдохнем. На экране будут появляться дроби если: Правильная дробь – наклон влево,наклон вправо,Неправильная дробь – приседание.1 – на носочки руки вверх. Начинаем.

    6.Применение знаний и умений в новой ситуации. (5 мин.) 6.1. Практическая работа. Работа в группе.

    Отдохнули. Молодцы. Давайте продолжим работу. Предлагаю вам применить свои знания на практике. (Слайд 5)(Приложение 2)Выполним практическую работу, и конечно как в каждой практике должен быть руководитель группы. Назначаю руководителем группы Андрея. Читайте инструкцию по выполнению задания и выполняйте задание не забывая записывать результаты в ваши отсчеты по практике: на блюдце мандарин, салфетки.

    (Задание дети выполняют самостоятельно. По мере выполнения задания каждая группа сдает учителю заполненную инструкцию, результат проверяется сразу)

    Руководитель группы озвучивает результаты и выставляют оценки в листы.

    6.2. Фронтальная работа.(7 мин)( Приложение 3)

    Давайте попробуем применить наши знания. Работа у доски. Найдите значение выражения, ( По очереди выходят к доске, решают с проговариванием) а)+а, если а=;; б) с -, если с= ;;; в) , если . 6.3.Закончите решения уравнений: На доске записаны незаконченные уравнения. Пожалуйста ребята кто желает закончить решения уравнений. 1) 2) 3);; На доске записаны незаконченные уравнения. Ребята кто желает закончить решения уравнений. 6.3.Назовите недостающие числа.(Слайд 6) Посмотрите на слайд и назовите числа которых здесь не хватает: 1); 2); 3); 4) ; 5) ; 6).Молодцы ребята, оцените себя

    7. Контроль усвоения, обсуждения допущенных ошибок и их коррекции.( 7 мин) Закрепление знаний. Решение задач.(Приложение 4)А давайте подумаем какие еще действия мы можем выполнять применяя правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями (решения задач) . Предлагая решить задачи у доски.( учащиеся по одному решают задачи у доски)№1. Путь от дома до школы состоит из трех отрезков, длины которых равны м;м;м. Найдите длину всего пути от дома до школы. Решение: ++= (м ) – длина всего пути. Ответ: метра. №2. В декабре израсходовали на отопление школы тонн угля, а в январе на тонн больше, чем в декабре. Сколько всего угля израсходовали за два месяца? Решение: 1)+= (т) – угля израсходовали в январе. 2)+= (т) – угля израсходовали за два месяца. Ответ:. №3. На пришкольном участке картофелем засажено участка. Луком засажено на участка больше, чем морковью, и на поля меньше, чем картофелем. Какая часть участка засеяно картофелем, луком, морковью вместе? Решение: 1)-=(уч.) – засеяно луком; 2) — =( уч.) – засеяно морковью; 3) ++= (уч.) – засеяно, картофелем, луком, морковью всего. Ответ:

    9.Подведение итогов урока.(2 мин)

    Какую тему мы сегодня изучали? (Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями)

    — А какие задачи мы для этого ставили? (научиться складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями)

    – Наши задачи выполнены? (да)

    –Выставление оценок индивидуально, выставление общей оценки за урок.

    9.Рефлексия. Домашнее задание. (2 мин.)

    Домашнее задание у вас будет необычное. ( по выбору): — Придумать сказку, стихотворение, загадку с участием дробей;

    — Нарисовать сказочную карту Страны Нарисовать сказочную карту Страны Обыкновенных дробей с Планеты чисел; — Придумать необычную задачу об обыкновенных дробях, нарисовать рисунки, схемы и т.п.

    (Учащиеся внимательно слушают информацию о домашнем задании в зависимости от уровня освоения темы урока.) Рефлекия. Выберите понравившиеся предложения и дополните своими мыслями.

    Ребята а теперь покажите с каким настроением вы выполняли сегодня задания на уроке, на доске висит поезд с вагончиками которые представляют этапы урока,предлагаю оценить каждый из них, опустив «веселое личико» или «грустное» в зависимости от того, понравилось ли вам выполнять те задания, которые были на уроке.Спасибо за урок!Приложение1.

    Вариант 1 Вариант 2. Вариант 3.

    Приложение 2.

    Инструкция – отчет к практической работе

    1. Очистите мандаринку.

    2.Разделите мандаринку на дольки. Сколько всего долек получилось? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    3.Возьмите каждый по одной дольке. Какую часть мандаринки взял каждый? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    4.Какую часть мандаринки взяли вы все вместе? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________________

    4.Какая часть мандаринки осталась? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________Приложение 31.Найдите значение выражения: а)+а, если а=;; б) с -, если с= ;;; в) , если . 2. Закончите решения уравнений : 1) 2) 3);;3.Назовите недостающие числа. 1) ; 2); 3); 4) ; 5) ; 6). Приложение 4

    Задачи

    1 уровень

    1. Путь от дома до школы состоит из трех отрезков, длины которых равны м;м;м. Найдите длину всего пути от дома до школы.

    2 уровень

    2. В декабре израсходовали на отопление школы тонн угля, а в январе на тонн больше, чем в декабре .Сколько всего угля израсходовали за два месяца?

    3 уровень

    3. На пришкольном участке картофелем засажено участка. Луком засажено на участка больше, чем морковью, и на поля меньше, чем картофелем. Какая часть участка засеяно картофелем, луком, морковью вместе?

    Приложение 5.

    ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

    Дата ____________

    Ф.И. ___________________________

    Оценки

    1 задание

    Самостоятельная работа

    2 задание

    Практическая работа.

    3 задание

    Фронтальная работа.

    4 задание

    Решение задач

    Итого:

    Нет ошибок – 5 баллов,

    1 ошибка – 4 балла,

    3 ошибки – 2 балла,

    2 ошибки – 1 балл,

    4-5 ошибок – 0 баллов.

    Литература.

    Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика : 5 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М. : Вентана-Граф, 2012.

    Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по математике для 5 класса. – Харьков. Гимназия. 2005.

    Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995.

    http://www.myshared.ru/theme/matematika-5-klass-drobi-prezentatsiya/1/

    5.Н.Л.Андреенкова. Методическое пособие с электронным интерактивным приложением. – М.: Планета, 2013. – 320 с.

    Раздаточный материал 1.Самостоятельная работа.Вариант 1.

    Инструкция – отчет к практической работе

    1. Очистите мандаринку.

    2.Разделите мандаринку на дольки. Сколько всего долек получилось? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    3.Возьмите каждый по одной дольке. Какую часть мандаринки взял каждый? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    4.Какую часть мандаринки взяли вы все вместе? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________________

    4.Какая часть мандаринки осталась? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________

    Задачи

    1 уровень

    1. Путь от дома до школы состоит из трех отрезков, длины которых равны м;м;м. Найдите длину всего пути от дома до школы.

    2 уровень

    2. В декабре израсходовали на отопление школы тонн угля, а в январе на тонн больше, чем в декабре .Сколько всего угля израсходовали за два месяца?

    3 уровень

    3. На пришкольном участке картофелем засажено участка. Луком засажено на участка больше, чем морковью, и на поля меньше, чем картофелем. Какая часть участка засеяно картофелем, луком, морковью вместе?

    Раздаточный материал 1.Самостоятельная работа.Вариант 2.

    Инструкция – отчет к практической работе

    1. Очистите мандаринку.

    2.Разделите мандаринку на дольки. Сколько всего долек получилось? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    3.Возьмите каждый по одной дольке. Какую часть мандаринки взял каждый? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    4.Какую часть мандаринки взяли вы все вместе? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________________

    4.Какая часть мандаринки осталась? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________

    Задачи

    1 уровень

    1. Путь от дома до школы состоит из трех отрезков, длины которых равны м;м;м. Найдите длину всего пути от дома до школы.

    2 уровень

    2. В декабре израсходовали на отопление школы тонн угля, а в январе на тонн больше, чем в декабре .Сколько всего угля израсходовали за два месяца?

    3 уровень

    3. На пришкольном участке картофелем засажено участка. Луком засажено на участка больше, чем морковью, и на поля меньше, чем картофелем. Какая часть участка засеяно картофелем, луком, морковью вместе?

    Раздаточный материал 1.Самостоятельная работа.Вариант 3.

    Инструкция – отчет к практической работе

    1. Очистите мандаринку.

    2.Разделите мандаринку на дольки. Сколько всего долек получилось? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    3.Возьмите каждый по одной дольке. Какую часть мандаринки взял каждый? Запишите ответ.

    Ответ: _______________________________

    4.Какую часть мандаринки взяли вы все вместе? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________________

    4.Какая часть мандаринки осталась? Запишите выражение для вычисления и ответ.

    Решение: _____________________

    Задачи

    1 уровень

    1. Путь от дома до школы состоит из трех отрезков, длины которых равны м;м;м. Найдите длину всего пути от дома до школы.

    2 уровень

    2. В декабре израсходовали на отопление школы тонн угля, а в январе на тонн больше, чем в декабре .Сколько всего угля израсходовали за два месяца?

    3 уровень

    3. На пришкольном участке картофелем засажено участка. Луком засажено на участка больше, чем морковью, и на поля меньше, чем картофелем. Какая часть участка засеяно картофелем, луком, морковью вместе?

    Фронтальная работа:1.Найдите значение выражения: а)+а, если а=;; б) с -, если с= ;;; в) , если . 2. Закончите решения уравнений : 1) 2) 3);; 3.Назовите недостающие числа. 1) ; 2); 3); 4) ; 5) ; 6).

    Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/439976—slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-odinakovymi-

    Сложение и вычитание дробей

    То, каким образом мы будем складывать или вычитать дроби, напрямую зависит от знаменателей этих дробей. Самое простое: сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. С него и начнем.

    Cложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вспоминаем законы сложения дробей из четвертого класса.

    Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
    Чтобы вычесть друг из друга дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

    Убедимся в справедливости этого высказывания на примере. Разделим круг на 5 равных частей. Возьмем из этих пяти 1-у часть и 2 части. Сложим. Вместе они составят 3 части. А поскольку изначально круг был разделен на 5 таких частей, то это 3/5 круга.

    1/5 + 2/5 = 3/5

    Уберем из целого круга 2 зеленые части (2/5). Останется 3 части (3/5).

    5/5 — 2/5 = 3/5

    Но если знаменатели разные, то ни сложить, ни вычесть такие дроби сразу нельзя.

    Можно складывать и вычитать дроби только с одинаковыми знаменателями.

    При сложении смешанных дробей отдельно складываются/вычитаются целые части, отдельно дробные, и опять же только при условии одинаковых знаменателей у дробных частей.

    $5\frac27+3\frac17=(5+3)+(\frac27+\frac17)=8+\frac37=8\frac37$
    $5\frac27-3\frac17=(5-3)+(\frac27-\frac17)=2+\frac17=2\frac17$

    Если при вычитании смешанных дробей складывается такая ситуация, что числитель первой дробной части (уменьшаемое) меньше числителя второй (вычитаемого), то нужно взять единичку от целой части первого числа, представить ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части, и прибавить эту дробь к дробной части. Целая часть станет на единицу меньше, а дробная будет теперь представлять собой неправильную дробь (числитель больше знаменателя). Зато легко можно будет провести вычитание.

    $5\frac17-3\frac27=\mathit4\mathit+\mathit1\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}\mathit=\mathit4\mathit+\frac{\mathit7}{\mathit7}\mathit+\frac{\mathit1}{\mathit7}\mathit-\mathit3\frac{\mathit2}{\mathit7}=4\frac87-3\frac27=(4-3)+(\frac87-\frac27)=1+\frac67=1\frac67$

    Что же делать, если знаменатели разные? Разберемся.1}{\cancel6_2}=\frac12$

    Чтобы привести дроби к одинаковому знаменателю, принято находить наименьший общий знаменатель, а это то же самое, что наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей. Вспомним, как находить НОК, статья по ссылке >>

    $\frac59+\frac16=?$

    9 | 3   6 | 2
    3 | 3   3 | 3
    1 |      1
    НОК(6;9) = 3 * 3 * 2 = 18

    $\frac59+\frac16=\frac{5\ast2}{9\ast2}+\frac{1\ast3}{6\ast3}=\frac{10}{18}+\frac3{18}=\frac{13}{18}$

    Еще примеры:

    Если в результате сложения или вычитания получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную. Если  получается сократимая дробь, результат необходимо сократить.

    Вспоминаем: чтобы сократить дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число — наибольший общий делитель (НОД). Статья о том, как найти НОД по ссылке >>

    Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения:

    $\frac ab+\frac cd=\frac cd+\frac ab$
    $(\frac ab+\frac cd)+\frac pq=\frac ab+(\frac cd+\frac pq)$

    Их нужно применять в заданиях на нахождение наиболее простого способа сложения нескольких дробей.

    Пример. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

    Если все равно что-то в теме не поняли, задавайте вопросы в комментариях.

    Как научиться вычитать дроби с разными знаменателями. Вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Как решать примеры с дробями — практика.

    Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

    У нас есть общий коэффициент 32 и 30, они оба делятся на два. Хорошо, как мы видели раньше, мы хотим найти общий знаменатель. Если бы у них был один и тот же знаменатель, мы могли бы просто добавить их немедленно, но мы хотим найти общий знаменатель, потому что сейчас они не одинаковы. Ну, что мы хотим найти, это кратное, общее кратное из двух и 12, и идеально мы найдем самый низкий общий кратный два и 12, и, как и раньше, давайте начнем с большего числа двух чисел. Теперь мы можем сказать, что 12 раз один из них равен 12, чтобы мы могли видеть, что 12 — делится на два.

    Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

    Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

    Таким образом, 12 на самом деле является наименее распространенным кратным двух и двенадцати, поэтому мы могли бы записать обе эти фракции как что-то сверх Ну, чтобы перейти от двух до двенадцати, вы умножаетесь на Шесть, поэтому мы также умножим числитель на шесть.

    Один из них — половина из двух, шесть — половина. Таким образом, это будет равно шести, это будет равно шести плюс 11, шесть плюс 11 и снова, приостановите видео и посмотрите, сможете ли вы это обработать, Ну, у нас здесь разные знаменатели, и мы хотим найти, мы хотим переписать их, чтобы у них были одни и те же знаменатели, поэтому нам нужно найти общий множественный, в идеале наименее общий. Итак, что же наименее распространенное кратное четыре и пять? Хорошо, давайте начнем с большего числа, и давайте посмотрим на его кратность и продолжим увеличивать их, пока не получим тот, который делится на четыре.

    • Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

    Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

    7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

    От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

    Так что пять не делится на четыре. 10 не делится на четыре, или отлично делится на четыре, это то, о чем мы заботимся. 15 не идеально делится на четыре. 20 делится на четыре, фактически, это пять раз четыре. Итак, что мы можем сделать, мы могли бы записать обе эти фракции как имеющие значение 20 в знаменателе, или 20 в качестве знаменателя. Итак, чтобы перейти от четырех до 20 в знаменателе, мы умножились на пять. Поэтому мы также делаем это для числителя. Ну, чтобы идти от пяти до 20, вам нужно умножить на четыре.

    Сложение и вычитание числовых дробей

    Поэтому мы должны сделать то же самое с числителем. Для того, чтобы вы вступили в операции сложения и вычитания алгебраических дробей, потребуется краткий пересмотр этих операций, но на этот раз с численными дробями. Существует два случая, когда происходит сложение или вычитание числовых дробей.

    На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

    Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

    29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

    От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

    Случай 1: Равные знаменатели. Чтобы добавить или вычесть числовые дроби с одинаковыми знаменателями, сохраните знаменатель и добавьте числители. Случай 2: разные знаменатели. Из знаменателей разделим его на знаменатель начальных дробей и умножим его на числитель.

    Сложение и вычитание алгебраических дробей

    Затем просто добавьте полученные числители. Как и в случае численных дробей, алгебраические дроби суммируются или вычитаются, подчиняясь двум различным случаям. Для добавления или вычитания алгебраических дробей с равными знаменателями применяются те же правила, которые применяются к числовым дробям.

    имеющих одинаковый знаменатель

    Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

    • Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

    Рассмотрим, как это выглядит на примере:

    Чтобы добавить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями, следуйте тем же принципам, которые даны при решении численных долей разных знаменателей. «Цифры имеют свои собственные намерения и язык». Математика, 8 класс. — 7 изд. — Сан-Паулу: Современный.

    Хотя это теоретически простой предмет, на практике это сбивает с толку многих студентов, особенно когда у них мало времени на учет, что очень часто происходит на общенациональном экзамене из-за большого количества вопросов. Итак, давайте вспомним, как правильно выполнять четыре основные операции при вовлечении фракций.

    1/4 + 2/4 = 3/4.

    К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

    Дроби с различными знаменателями и их вычитание

    Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

    Что касается фракции, то а называется числителем, а Ь — знаменателем. Если знаменатели равны, добавьте или вычтите только числители, сохранив общий знаменатель. Когда знаменатели разные, вы должны сделать их равными для применения предыдущего правила.

    Если фракции имеют один и тот же знаменатель, просто примените предыдущее правило. Чтобы умножить дроби, умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, не обязательно имея равные знаменатели. Чтобы разделить дроби на другую, умножьте первую на обратную на вторую.

    Это также показывает, что, умножая или деля часть на целое число, мы должны помнить, что любое целое число, деленное на единицу, равно самому себе. Таким образом, правила одинаковы. Расчет встроенной фракции с шагами и деталями вычислений: упрощение, сложение, вычитание, умножение, деление, мощность, обратные дроби.

    О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

    Свойство дроби

    Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

    Дробь также может быть определена как рациональное число. Функция фракции используется как калькулятор фракций, она предлагает возможность реализации онлайновых вычислений фракций, что позволяет упростить фракцию, помещая ее в ее неприводимую форму, что позволяет упростить фракции, а затем возвращают результат в виде уменьшенной фракции.

    Некоторые напоминания о фракциях

    Чтобы вычесть две фракции, калькулятор уменьшит фракции до того же знаменателя, а затем вычитает числители, калькулятор уменьшит долю, т.е. упростит ее, прежде чем возвращать результат. Калькулятор также возвращает детали расчетов, которые позволили сделать продукт фракции. Расчет доли в строке с мощностью может быть Можно поднять долю до целочисленной мощности и получить результат этого вычисления мощности фракции в виде неприводимой фракции. Таким образом, калькулятор фракций, доступный через функцию фракции, позволяет просто вычислить мощности фракций в строке. Литеральные фракции Литеральная дробь — это дробь, содержащая буквы. Результат будет возвращен как упрощенная дробь.

    • Все шаги, которые позволяют суммировать дробь, возвращаются калькулятором.
    • Калькулятор возвращает каждый шаг вычисления.
    • Мощность фракции в строке.
    Дробное число записи не изменяется при умножении или делении его числителя и знаменателя на то же число, отличное от нуля.

    Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

    Какая часть шоколадной таблетки есть? Решение: Чтобы иметь возможность ответить, легче поставить обе фракции в один и тот же знаменатель. Добавление и вычитание дробей Для вычисления суммы или разности двух чисел в дробной записи: сначала уменьшите два числа в дробной записи до одного знаменателя. Затем мы добавляем или вычитаем числители и сохраняем общий знаменатель.

    • Примеры: Это упрощает фракции.
    • Сначала он ест четверть пиццы.
    • На втором этапе он ест две четверти пиццы.
    • Г-н Матенфоли съедает треть первого шоколадного декаста.
    • Затем он ест три трети второго диванчика того же размера, что и первый.
    Свойство, используемое для обозначения того же знаменателя.

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

    Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

    Упрощение фракций в расчетах

    Чтобы упростить, одним из способов является поиск кратных числителей и знаменателей. Фракции и десятичные значения имеют решающее значение для развития математических навыков, которые приводят к успеху в учебе, а затем к эффективности во многих профессиях. Эти навыки также необходимы в повседневной жизни. Нам это нужно постоянно, и мы часто используем его, даже не осознавая этого.

    Лорти-Форг, Тиан и Зиглер провели инвентаризацию текущей литературы о понимании и манипулировании фракциями и десятичными числами. Для этой цели они рассмотрели четыре важных момента, чтобы понять знания, которые мы имеем о фракциях и десятичных числах, их развитии и использовании, которое мы делаем из них. В этой статье обсуждается развитие знаний и навыков, связанных с фракциями и десятичными знаками, и присущие им трудности. В следующей статье будут рассмотрены культурные вариации в изучении фракций и десятичных знаков и некоторые возможные вмешательства для содействия этому обучению.

    Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

    Развитие знаний и навыков, связанных с фракциями. Лорти-Форгу и его коллеги напомнили нам прежде всего о том, что американская школьная система рекомендует, чтобы изучение фракций было постепенным в 4, 5 и 6 классах, сначала с добавлением и вычитанием фракций, имеющих Общих знаменателей, за которыми следует умножение и деление этих дробей. Они также предполагают, что отношение к решению проблемы с участием отношения, пропорции или скорости, например, должно преподаваться в 7 и 8 классах. Для сравнения, в Квебеке, если большинство ожиданий относительно знания и использования фракций находятся в 5 классе начальной школы, согласно Программе образования Квебека, ученичество начинается в 1 классе В соответствии с прогрессией обучения.

    Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
    1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

    Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

    • 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
      2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
    • 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
      7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
    • 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
      5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

    Все вместе это выглядит так:

    В некоторых исследованиях основное внимание уделялось развитию знаний и процедурных навыков с фракциями, не зависящими от школьных программ. В недавнем исследовании Зиглера и Пайка, в частности, американским детям в классах 6-8 приходилось решать фракции. Результаты показывают, что ученики 6-го класса достигают 41% операций, а ученики 8-го класса достигают 57%. В целом, дети лучше дополняют и вычитают, чем в умножениях и делениях. Кроме того, в вычитании они лучше, когда знаменатель является общим для двух фракций.

    При умножении, что удивительно, они также лучше, когда знаменатель является общим между двумя фракциями. Как правило, ошибки в основном связаны с обобщением правильных правил для целых чисел, которые дети применяют к фракциям, например, с добавлением числителей и знаменателей. Другие ошибки часто связаны с обобщением правил другой арифметической операции над дроби, таких как сохранение общего знаменателя при умножении, а также его умножение.

    Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

    Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

    Развитие знаний и навыков, связанных с десятичными числами. Что касается преподавания десятичных чисел в американской школьной системе, то он должен начинаться уже пятый год с четырех операций и двухзначных чисел после десятичной точки. Обучение продолжается в 6 классе, где числа добавляются к более чем двум цифрам после десятичной точки, а затем в 7 классе, с инструкцией по решению проблемы, включающей перекодирование между дроби и десятичными знаками.

    В исследовании Хиберта и Вирна детям 5-9 классов приходилось решать операции с десятичными числами. Студенты 5-го класса достигли 20% дополнений, 21% вычитаний и 30% умножений, а ученики 9-го класса достигли 80% дополнений, 82% вычитаний и 75% умножений. Молодые люди обычно лучше разбираются в дополнениях и вычитаниях, когда два операнда имеют одинаковое количество десятичных знаков. Они также лучше при умножении целого числа и десятичного числа, чем два десятичных числа между ними.

    Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

    Находим кратное чисел 18 и 15:

    • Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
    • Число 15 состоит из 5 х 3.
    • Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

    После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

    • 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
    • 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

    Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

    Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

    (4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

    Аналогично производится и сложение дробей, имеющих различные знаменатели.

    Вычитание и сложение дробей, имеющих целые части

    Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

    • Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
    • Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
    • Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
    • При получении неправильной дроби выделить целую часть.

    Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

    Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

    Вычитание дробей из целого числа

    Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

    7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

    Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

    Для них все числа одинаковы.

    При сложении и вычитании дробей действует «знаменательное» правило — складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями. Так сказать, слияние знаменателей. Сложение и вычитание дробей возможно только при условии слияния знаменателей. А условием слияния знаменателей является их абсолютное равенство. Кстати, в термоядерном синтезе, по уверению наших ученых, сливаются только ядра одинаковых элементов: синтез водорода, синтез гелия и так далее. Почему не происходит слияние ядер различных элементов? Неужели термоядерный синтез в физике подчиняется законам сложения дробей??? Но это так, только что мне в голову пришло. Записал здесь, чтобы не забыть такой интересный вопрос.

    Сложение дробей

    Обычно я тупо перемножаю знаменатели и получаю общий знаменатель, не заморачиваясь со всякими там наименьшими общими кратными (НОК). После сложения всё лишнее сократится. Выглядит это приблизительно так.

    Естественно, для тупых бюрократических функций правильность выполнения всех действий имеет принципиальное значение. Какой же это шаман, который даже танец с бубном правильно станцевать не может? Математике-то по барабану — делайте, как хотите, лишь бы результат был правильным. Вот как нас нас математики учат правильно складывать дроби.

    Как видите, в конце нам ничего сокращать не нужно. Но зато со знаменателями возиться приходится — искать наименьшее общее кратное. Школьникам нужно делать так, как учителя требуют. Иначе хороших оценок не видать. Взрослым можно делать как угодно. Им плохие оценки не угрожают.

    Это ещё не всё про сложение дробей. Теперь возьмем любимые цацки математиков — буковки — и посмотрим, как сложение дробей выглядит в буквах. Сами математики почему-то стесняются нам показывать этот фокус. Сперва складываем две дроби с одинаковыми знаменателями.

    Вот такая простая формула сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели у складываемых дробей разные, формула по интереснее будет.

    Вот какая крутая формула сложения дробей с разными знаменателями. Ну, и как из двух разных буковок выковырять наименьшее общее кратное? Математики, ау! Такая фигня, как НОК, математической формулой не предусмотрена. Это всё тупые бюрократические функции из министерства учебников придумали. С точки зрения математики, поиск наименьшего общего кратного не является обязательным элементом сложения дробей.

    Ради математической справедливости нужно рассмотреть сложение дробей в древневавилонском отображении, то есть, заменить дробь умножением числа на обратное число.

    В первой строчке сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Дальше — сложение дробей с разными знаменателями. Как видите, всё чудненько работает, только грамматика записи чуть-чуть другая. Впрочем, эта грамматика нисколько не противоречит современным формам записи математических выражений. Приведенные формулы можно считать доказательством того, что в древнем Вавилоне могли легко складывать дроби. Я не думаю, что тогда люди были глупее нас. Судя по нашим школьным учебникам математики — гораздо умнее. За пять тысяч лет можно не только поумнеть, но значительно поглупеть. Особенно, если постоянно забивать мозги всякой дрянью.

    Естественно, я буду не я, если к формулам сложения дробей не притяну за уши убогое определение рациональных чисел. То, в котором буквы «пэ» и «кью».

    Что такое число «ка»? Это число, которое исчезает в результате сокращения дроби. Если при сложении дробей получилась несократимая дробь, значит у нас k=1 , если в результате сложения дробей получилось целое число, значит у нас k=1, q=1 .

    В формулы сложения дробей вместо буковок a, b, c, d можно подставлять всё, что угодно — целые числа, дробные, квадратные корни, математические выражения… Эти формулы будут работать всегда. Это настоящая математика, которая не зависит ни от научной моды, ни от маразма научных правителей. С буковками p и q более печальная история. Маразм современных математиков разрешает подставлять вместо них только целые числа с целью получения рационального числа. Но это только в теории чисел. В других разделах математики в числителе и знаменателе дроби можно встретить всё, что угодно.

    Вычитание дробей

    Вычитание дробей выполняется точно так же, как и сложение, только знак плюс заменяется на знак минус. Я не стану полоскать вам мозги диссертацией про вычитание дробей с целью начитывания учебных часов. Если вы поняли принципы сложения дробей, то с вычитанием у вас проблем не будет. Формулы вычитания дробей могу показать, с тем же рациональным маразмом в конце, который нам напоминает о необходимости сокращения дроби в конце. Математиков тошнит от не сокращенных дробей.

    И это ещё не конец. Теперь мы запишем формулы сложения и вычитания дробей в чистом виде, без всякого рационального маразма.

    Верхние формулы показывают сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нижние формулы для дробей с разными знаменателями.

    А в заключение мы возьмем формулу сложения и вычитания дробей с разными знаменателями и посмотрим, как она превращается в сложение и вычитание целых чисел. То простое сложение, которому учат ещё в детском садике.

    Вот так выглядит преобразование сложения и вычитания дробей в сложение и вычитание целых чисел. Если математики вам таких преобразований не показывают, значит они не хотят, чтобы вы что-то понимали в математике. Но чаще всего математики сами ничего не понимают в математике, а тупо повторяют то, чему их научили.

    После сложения и вычитания дробей мы рассмотрим

    Урок «Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

    Тема: Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Учебник: Математика 6 класс, Н.А. Тарасенкова, 2014

     

    Цели урока: 

    • закрепить правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями, изучить новый материал, научить вычитать дроби с одинаковыми знаменателями,
    • развивать математическую речь, внимание,
    • воспитывать аккуратность, интерес к предмету, активность, усидчивость

     

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Друзья мои! Я очень рада

    Войти в приветливый ваш класс

    И для меня уже награда

    Вниманье ваших умных глаз.

     

    2. Мотивация урока.

    А знаете ли вы, что названия “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий учёный-математик Максим Плануд. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У нас есть поговорка: “попал в тупик”, т.е. попал в такое положение, откуда нет выхода. У немцев аналогичная поговорка гласит: “попасть в дроби”. Она означает, что человек, попавший в “дроби”, оказался в затруднительном положении. Но  сегодня на уроке мы докажем, что дроби не смогут нас поставить в трудное положение.

    Над какой темой мы работали на предыдущих уроках?

    Как вы думаете, всё ли вы уже знаете о дробях? Хотите узнать новое? Не боитесь трудностей? А что (кто) поможет вам справиться с трудностями? Пожелайте друг другу удачи.

    Все результаты заносим в таблицу результатов, а затем в конце урока подведем итоги.

     

    3. Актуализация опорных знаний (за каждый правильный ответ 1 балл). Проверка д/з (за полностью правильно выполненное д/з 1 балл).

    1) Что такое обыкновенная дробь и как она записывается?

    2) Что такое числитель, знаменатель и что они показывают?

    3) Какая дробь называется правильной, неправильной?

    4) Какие дроби больше единицы, меньше единицы, равны ей?

    5) Как сравнивают дроби с одинаковым числителем, с одинаковым знаменателем?

    6) Показать на кубиках разные дроби.

    7) Показать с помощью кубиков примеры на сложение дробей с одинаковым знаменателем.

    8) Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

    9) Запишите с помощью букв правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями

    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ с взаимопроверкой

    1) 1/5+2/5  2) 2/8+6/8  3) 4/12+5/12

    4) 3/17+11/17  5) 12/25+11/25 6) 17/32+9/32

    ОТВЕТЫ (за каждый правильный 1 балл)

    1) 3/5  2) 8/8=1 3) 9/12  4) 14/17 5) 23/25 6) 26/32

     

    4. Изучение нового материала.

    На кубиках показать примеры на вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

    Решить устно задачи:

    В вагоне было 60 мест из которых 50 занято. На остановке вышло 25 человек. Какая часть вагона осталась занятой?

     Буханку хлеба разрезали на 8 равных частей. На тарелку положили 7 долей, а потом 4 доли съели. Сколько частей осталось на тарелке?

    Составить и записать совместно тему урока, правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, правило с помощью букв.

    При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

    С помощью букв правило вычитания можно записать так:

    5. Закрепление нового материала.

    Устно № 1015, 1016, 1017,1033

    Решить № 1034, 1036.

    Все правильные ответы по 1 баллу.

     

    6. Физкультминутка.

    Поднимает руки класс — это «раз»

    Повернулась голова — это «два»

    «Руки вниз, вперёд смотри — это «три».

    Руки в стороны пошире развернули на «четыре»

    С силой их к плечам прижать — это «пять»

    Всем ребятам надо сесть — это «шесть».

     

    7. Творческая работа

    МИКРОФОН (средний ряд – ребята задают по очереди друг-другу примеры на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями), составление из заданных дробей кругового примера (повторить, что такое круговой пример), в результате каждого вычисления получается правильная дробь (начальная дробь 10/17, дополнительные дроби 3/17, 5/17, 6/17, 8/17). Например, ответ 10/17+6/17-8/17+5/17-3/17=10/17. Все правильные ответы по 1 баллу.

     

    8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

    — Что нового узнали на уроке?

    — Чему научились?

    — Решаем примеры на сложение и вычитание и получаем слово МОЛОДЦЫ! на доске (у детей МОЛОДЕЦ!). Все правильные ответы по 1 баллу.

    Вычитание дробей

    При вычитании дробей первое, что нужно проверить, это знаменатели такие же.

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Дроби с одинаковым знаменатели называются подобными дробями.

    Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, вычтите числители , и запишите разницу над знаменателем.

    5 7 − 4 7 знак равно 1 7

    Пример :

    Находить 4 5 − 2 5 .

    Так как знаменатели одинаковые, вычтите числители.

    знак равно 4 − 2 5

    знак равно 2 5

    Вы можете получить ответ, которого нет в самые низкие условия , даже если дроби, которые вы складывали и вычитали, были одинаковыми. В этом случае вы должны уменьшить дробь .

    8 9 − 2 9 знак равно 6 9 знак равно 6 ÷ 3 9 ÷ 3 знак равно 2 3

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Если знаменатели не совпадают, то вы должны использовать эквивалентные дроби у которых есть общий знаменатель .Для этого нужно найти наименьший общий множитель (НОК) двух знаменателей.

    Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, переименуйте дроби с общим знаменателем. Затем вычтите и упростите.

    Например, предположим, что вы хотите добавить:

    6 7 − 2 3

    LCM 3 и 11 является 33 . Итак, нам нужно найти дроби, эквивалентные 6 7 и 2 3 который имеет 21 в знаменателе.Умножьте числитель и знаменатель 6 7 от 3 , и умножить числитель и знаменатель 2 3 от 7 .

    6 × 3 7 × 3 − 2 × 7 3 × 7 знак равно 18 21 − 14 21

    Теперь у нас есть похожие знаменатели, и мы можем вычитать, как описано выше.

    знак равно 4 21


    Вычитание дробей

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — это «просто пирог!

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями так же просто, как их сложение. Но мы ничего не будем принимать на веру. Таким образом, вы можете ожидать такого же подробного объяснения, как всегда. Итак, давайте начнем наше обсуждение, как если бы это была первая страница, которую вы увидели, зайдя на наш сайт.

    Итак,…

    Правила вычитания дробей гласят, что знаменатели должны быть одинаковыми . Период . А так как наш знаменатель уже то же самое…

    Начнем с Правило ….

    Уравнение выше показывает Правило для вычитания дробей с одинаковым знаменателем. Таким образом, если вы вычитаете дроби с одинаковым (общим) знаменателем ( b ), ответом будет разница между числителями ( a – c ) над их общим знаменателем.

    Помните, что дробь относится к количеству частей в « целых », а ЦЕЛОЕ, о котором мы говорим, всегда является числом в знаменателе (внизу). Таким образом, при вычитании дробей, относящихся к «одному и тому же» целому, все, что нам нужно сделать, это вычесть части и сохранить нашу точку отсчета.

    Ага!

    В следующем разделе я приведу пару примеров, а также покажу, как при необходимости уменьшать дроби с помощью простой факторизации.

    Сокращение дробей после вычитания

    Ситуация такая. Вы вычли дроби, но ваш ответ по-прежнему может не показывать наименьшую эквивалентную дробь. Так как же убедиться, что ваш ответ показан в самом низком эквиваленте?

    Давайте рассмотрим простой пример, чтобы вы поняли идею…

    Обратите внимание, что первоначальный ответ на нашу примерную задачу — «2/4». Чтобы определить, является ли наш ответ простейшей формой, мы должны разложить числитель и знаменатель на его простых чисел .Щелкните здесь для обзора простых чисел.

    То, что мы ищем, — это простые числа, которые являются общими как для числителя, так и для знаменателя. Если мы найдем эти общие числа, мы сможем их отменить. Результатом будет наименьшая эквивалентная дробь.

    Поскольку «2» — это общий множитель как в числителе, так и в знаменателе нашего примера, это означает, что наш ответ не равен в его простейшей форме. Таким образом, мы сократим (/) одну из двоек как в числителе, так и в знаменателе, разделив на «2».Результатом является сокращенная дробь в ее простейшей форме.

    Вот правило…

    Всегда помните…

    Что бы вы ни сделали с числителем дроби, вы должны сделать и со знаменателем. Итак, если вам нужно разделить числитель на число, вы также должны разделить знаменатель на того же числа . Таким образом, вы не измените общее значение дроби.

    Давайте решим задачу посложнее, чтобы убедиться, что она у вас есть…

    В этой задаче «2» и «3» встречаются как в числителе, так и в знаменателе.Обратите внимание, как мы только отменяем один к одному ! Сначала делим числитель и знаменатель на «2», затем делим и числитель, и знаменатель на «3». Итак, в числителе осталось 1 x 1 x 1 = 1 , а в знаменателе 1 x 1 x 2 x 1 = 2 . Это оставляет использование с уменьшенной дробью, равной 1/2 .

    Видите, что мы только что сделали?

    ОТЛИЧНО!

    Кстати, щелкните здесь, чтобы просмотреть удобную таблицу, показывающую разложение на простые множители чисел от 2 до 1000.

    Теперь у вас есть все, что вам нужно, чтобы стать «мастером» в вычитании дробей с одинаковым знаменателем… и многое другое.

    Дополнительная справка

    Упростить дроби

    Таблица простых чисел

    Таблица простой факторизации

    Рабочие листы по вычитанию дробей

    Урок по вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями

    Пример 1: Ник был на вечеринке и увидел пиццу, разделенную на восемь равных частей (ломтиков).К тому времени, как он добрался до стола с едой, там было всего 7 кусков пиццы. Если Ник съел 2 из этих кусочков, то какая часть пиццы осталась для других гостей?
    Анализ: Нам нужно найти разницу между 7 восьмыми и 2 восьмыми. Знаменатель дроби называет единицу. Числитель показывает, сколько их.
    Решение:
     

    Пять восьмых пиццы осталось на съедение другим гостям.

    На прошлом уроке мы научились складывать дроби с общим знаменателем. Точно так же это работает и при вычитании дробей. Чтобы вычитать дроби, знаменатели должны быть одинаковыми — они должны иметь общий знаменатель .

    Это приводит нас к следующей процедуре вычитания дробей с общим знаменателем.

    Процедура:  Чтобы вычесть две или более дроби с одинаковыми знаменателями, вычтите числители и поместите полученную разницу над общим знаменателем.При необходимости упростите результат.

    Применяя эту процедуру к примеру 1, получаем:

    Давайте рассмотрим несколько примеров вычитания дробей с помощью этой процедуры.

    Пример 2: 
    Анализ: Вычтите числители и поместите разницу в общий знаменатель, 4.
    Решение:

    В примере 2 нам нужно было упростить результат: мы сократили две четверти до наименьших членов.

    Пример 3: 
    Анализ: Вычтите числители и поместите разницу в общий знаменатель, 6.
    Решение:

    В примере 4 мы упростили результат, превратив неправильную дробь в смешанное число. Затем мы сократили дробную часть смешанного числа до меньших членов.

    Избегайте этой распространенной ошибки!

    Напомним, что черта дроби разделяет числитель и знаменатель дроби. Это указывает на то, что будет выполнено деление числителя на знаменатель. Вычитание знаменателей и числителей математически неверно. Чтобы понять, почему это неправильно, посмотрите на пример ниже.

    Пример 5: 
    Анализ: Вычитание числителей и  ошибочное  вычитание знаменателей дает следующий результат:
    Результат:
    Объяснение: Мы получаем нулей в знаменателе нашего результата. Это значит, что нам нужно делить на ноль. Но деление на ноль не определено!

    Чтобы понять, почему деление на ноль не определено, давайте посмотрим на связь между умножением и делением. Если x любое число, то:

    12 разделить на 6 равно 2   потому что   6 умножить на 2 будет 12.   Правда
    20 разделить на 4 равно 5   потому что   4 раза по 5 будет 20.   Правда
    3 разделить на 1 равно 3   потому что   1 умножить на 3 равно 3.   Правда
    3 разделить на 0 равно х   будет означать, что   0 x равно 3.   Ложь

    Свойство умножения нуля утверждает, что произведение нуля и любого числа равно нулю.Поскольку любое число, умноженное на 0, равно 0, не существует значения x, которое делало бы это последнее утверждение верным. Поэтому деление на ноль не определено, и мы не вычитаем знаменатели!

    Поскольку деление на ноль не определено, вы можете понять, почему определение дроби указывает ненулевой знаменатель, следующим образом:

    Давайте рассмотрим еще несколько примеров:

    Пример 6: 
    Анализ: Если на тарелке 7 ломтиков пиццы и 7 съедены, то не осталось (0) ломтиков.
    Решение:

    В примере 6 обе дроби имеют один и тот же числитель . Вычитая числители, мы получаем 7 минус 7 равно 0. Это имеет смысл, так как любое число минус само себя равно нулю.  Когда мы подводим эту разницу к общему знаменателю, наш результат равен 0 восьмых. Однако вам может быть интересно, почему 0 восьмых равно 0. Помните, что знаменатель дроби называет единицу, а числитель указывает, сколько их там.Итак, если у нас 0 восьмых, то это просто 0. Короче говоря, мы упростили результат до нуля. Посмотрите на примеры с 7 по 9 ниже.

    В каждом приведенном выше примере мы упростили результат до нуля путем деления числителя (0) на знаменатель. Напомним, что дробная черта говорит нам делить числитель на знаменатель, а ноль, деленный на любое ненулевое число, равен нулю. Следовательно, любая дробь с нулем в числителе и ненулевым числом в знаменателе равна нулю.  Вкратце это описано ниже.

    До сих пор мы вычитали только две дроби за раз. Мы можем вычесть более двух дробей, используя описанную выше процедуру. Это показано в примере 10.

    Пример 10: 
    Анализ: Вычтите числители и поместите разницу в общий знаменатель, 5.
    Решение:

    Резюме:  Чтобы вычесть две или более дроби с одинаковыми знаменателями, вычтите числители и поместите полученную разницу над общим знаменателем.При необходимости упростите результат.


    Упражнения

    Указания: Вычтите дроби в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

    Примечание: Чтобы записать дробь три четверти, введите 3/4 в форму.Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

    1.
     
     
    2.
     
     
    3.
     
     
    4.
     
     
    5.
     
     

     

    Почему им нужен один и тот же знаменатель?

    Сегодня мы узнаем, почему при сложении и вычитании дробей у них должен быть один и тот же знаменатель.

    Если вы еще не знали, когда мы складываем и вычитаем дроби, они должны быть однородными .Подробнее об однородных и разнородных фракциях можно прочитать в этом посте.

    Это действительно легко понять с помощью наглядных пособий, которые мы рассмотрим ниже. Настоящая причина связана с определением самой дроби, которая является представлением частей суммы, которая должна быть одинакового размера .

    Когда вы складываете или вычитаете дроби, вы не можете выразить результат в виде дроби, если не разделите сумму на равные части.

    Сложение дробей

    Например, если вы хотите добавить 1 / 2 + 1 / 3

    У нас есть:

    • 1 из 2 равных частей целого блока (зеленый на изображении).
    • 1 из 3 равных частей юнита (фиолетовый на изображении).

    Чтобы сделать сложение, мы должны принять во внимание цветные части. Поскольку каждая часть имеет разный размер, мы не можем выразить эту величину в виде дроби.

    У нас есть 3 части (1 представлена ​​зеленым прямоугольником и 2 представлена ​​фиолетовыми прямоугольниками), но они не одного размера .

    Так что мы можем сделать? Мы можем выразить дроби, которые хотим добавить, в виде дроби, которая позволит нам рассматривать их как части одинакового размера .

    Как вы можете видеть на следующих изображениях, вы можете выразить дробь 1 / 2 как 3 / 6 и дробь 1 / 3 как 2 1

    Теперь у нас есть количества, которые мы хотим сложить, выраженные в виде дробей, состоящих из частей одинакового размера !

    Теперь мы можем посчитать цветные части и выразить их в виде дроби. Есть пять равных частей: 5/6.

    Итак, 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6 .

    Вычитание дробей

    Теперь, если мы попытаемся вычесть, например, 1 / 2 и 1 / 3 , мы получим ту же проблему. Чтобы вычесть 1 / 3 из 1 / 2 , нам нужно вычесть части того же размера, что и те, что у нас есть .

    Итак, нам нужно выразить обе дроби однородно, и тогда мы можем отнять части, указанные вычитанием.

    Если мы выражаем 1 / 2 AS 3 / 6 и 1 / 3 AS 2 / 6 , для вычета 1 / 2 1 / 3 , отнимаем 2 из 3 равных частей 3 / 6 , и получаем 1 часть, или 1 / 6 . Итак, находим, что 1 / 2 1 / 3 = 1 / 6 .

    Легко понять, почему знаменатели должны быть одинаковыми при сложении и вычитании дробей, не так ли?

    Если вам понравился этот пост, поделитесь им, чтобы другие тоже могли узнать!

    С Smartick вы можете узнать больше о дробях и других математических понятиях, а также работать над упражнениями, которые адаптируются для каждого учащегося в режиме реального времени.Попробуйте бесплатно!

    Подробнее:

    Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

    Дайан Акерман

    Smartick — увлекательный способ изучения математики
    • 15 минут веселья в день
    • Адаптируется к уровню вашего ребенка
    • Миллионы учеников с 2009 года

    Группа создания контента.
    Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создать наилучший математический контент.

    Интерактивный урок математики | Складывание и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Математическая онлайн-игра: Складывание и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Складывание и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями в этом онлайн-уроке математики для детей. В этой интерактивной математической игре учащимся будет удобно находить сумму и разность математических задач, содержащих дроби с одинаковыми знаменателями. После прохождения этого урока математики учащиеся должны продемонстрировать владение следующими математическими навыками:

    * Используйте полоски дробей для решения математических задач на сложение или вычитание, содержащих дроби.

    * Сложите или вычтите числители, если знаменатели совпадают. По возможности упрощайте дроби.

    * Решите текстовые задачи, содержащие дроби.

    * Вставьте пропущенную дробь, чтобы закончить уравнение.

    Практика с гидом

    Ученикам нравится использовать интерактивные уроки математики iKnowit.com, потому что их занятия по математике напоминают веселую игру. Всякий раз, когда ученик правильно отвечает на вопрос, анимированный персонаж на экране проделывает забавный трюк или весело танцует.Фразы положительного подкрепления появляются на экране и за правильный ответ.

    В случае неправильного ответа откроется страница подробного объяснения с легко читаемой графикой, показывающей, как получить правильный ответ на вопрос. Эта функция помогает учащимся учиться на своих ошибках по мере прохождения урока.

    Если учащийся «застревает» и его нужно немного подтолкнуть в правильном направлении, он или она может щелкнуть значок «Подсказка» в левом нижнем углу экрана.Появится окно с подсказкой, которая поможет ученику правильно решить задачу. Учитель или родитель могут включить или выключить функцию подсказки по своему желанию.

    Зарегистрируйтесь, чтобы получить доступ ко всем функциям

    Участники, которые зарегистрируют учетную запись iKnowit.com, смогут получить доступ к полезным административным инструментам, которые мы предлагаем на сайте. Учителя или родители могут создавать список классов или семейный список, добавлять учеников, назначать уроки и отслеживать успеваемость своих учеников. оценки. Учителя назначат код класса и дадут каждому ученику индивидуальное имя пользователя и пароль.Когда учащиеся входят в систему, они видят удобную для детей версию сайта с вкладкой «Задания от учителя» в верхней части страницы, а также рекомендуемыми математическими темами для ознакомления.

    Мы рекомендуем вам просмотреть сотни уроков математики, доступных на нашем веб-сайте. У нас есть темы, охватывающие различные понятия, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, разрядное значение, время и деньги, дроби, измерения и многое другое. Чтобы увидеть больше математических игр для четвертого класса, перейдите на нашу страницу по математике для четвертого класса.

    Уровень

    Этот урок относится к уровню D и обычно подходит для учащихся четвертого класса.

    Стандартное выравнивание по общему ядру

    4.NF.3
    Числа и операции — дроби
    Создавайте дроби из единичных дробей, применяя и расширяя понимание операций над целыми числами.

    Вас также может заинтересовать…

    Как вычитать дроби с переменными — видео и расшифровка урока

    Решение задачи

    Чтобы вычесть дроби с переменными, мы выполняем следующие шаги:

    1. Найдите общий знаменатель, перемножив два знаменателя вместе.
    2. Переделайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
    3. Как только вы найдете общий знаменатель в обеих дробях, вычтите числитель и, наконец…
    4. Упростите дробь, полученную в результате третьего шага, максимально разложив на множители числитель и знаменатель и убрав все общие множители, которые есть в обоих.

    Формула, которую мы используем для шагов 1-3, выглядит следующим образом:

    Применение шагов

    Хорошо, теперь, когда у нас есть общее представление о том, что нам нужно сделать, чтобы вычесть дроби с переменными, давайте взглянем на применение этих шагов к реальной задаче.Это действительно поможет укрепить наше понимание!

    Предположим, вы работаете над задачей с двумя неизвестными и дошли до точки, где нужно вычесть (3 x / 6 x 2) — (2 y / 4 y 3).

    Это тот случай, когда мы вычитаем дроби с переменными. Здорово! Мы можем практиковаться, используя наши шаги!

    Первый шаг — найти общий знаменатель, перемножив два знаменателя. Это дает 6 x 2 * 4 y 3 = 24 x 2 y 3.Это было достаточно легко!

    Второй шаг состоит в том, чтобы манипулировать дробями, чтобы получить общий знаменатель для обеих дробей. Для этого мы можем использовать нашу формулу.

    Мы получаем это (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y 3) = (12 x y 3/24 x 2 y 2 — (12 x 2 y / 24 x 2 y 3). Хорошо, еще не слишком сложно — просто вопрос умножения!

    Третий шаг — вычесть числители теперь, когда у нас есть общий знаменатель.

    У нас сейчас есть это (3 x /6 x 2) — (2 y /4 y /4 y 3) = (12 x 9 — 12 x 2 y ) / 24 x 2 y 3.

    Мы почти закончили! Четвертый и последний шаг — максимально упростить, разложив на множители числитель и знаменатель, а затем исключить любые одинаковые множители, которые есть в обоих. Во-первых, давайте фактор.

    В числителе мы делим 12, x и y от двух членов, чтобы получить (12 x y ( y 2 — x )) / ) / ) 2 и 3.При этом мы понимаем, что мы сокращаем 12, поскольку 12 * 2 = 24, мы можем сокращать x и мы можем сокращать y . Это потому, что эти факторы находятся как в числителе, так и в знаменателе.

    Фу! Все сделано! Мы получаем, что (3 x / 6 x 2) / (2 y / 4 y 3) = ( y 2 — x ) / 2 x 9009

    Резюме урока

    Хорошо, давайте на минутку-другую повторим важную информацию, которую мы узнали на этом уроке.Мы специально узнали, что для того, чтобы найти общий знаменатель , мы просто перемножаем два знаменателя вместе. Это часть процесса выяснения того, как вычитать дроби с переменными. Как мы видели, когда рассматривали исходную задачу, просто выполнить вычитание за один шаг явно невыполнимая задача. Вот почему так замечательно иметь шаги для решения проблемы. Мы просто тщательно прорабатываем проблему, шаг за шагом, и достигаем желаемого.

    Эти шаги следующие:

    1. Найдите общий знаменатель, перемножив два знаменателя вместе.
    2. Переделайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
    3. Как только вы найдете общий знаменатель в обеих дробях, вычтите числители и, наконец…
    4. Упростите дробь, полученную в результате третьего шага, максимально разложив на множители числитель и знаменатель и убрав все общие множители, которые есть в обоих.

    Мы можем взять сложную задачу и разбить ее на несколько более простых задач, чтобы найти решение, сделать вычитание дробей с переменными намного проще, чем мы думали!

    Дроби — Сложение и вычитание дробей

    Легко складывать и вычитать как дроби, так и дроби с одинаковым знаменателем. Ты просто добавьте или вычтите числители и оставьте тот же знаменатель. Хитрый часть появляется, когда вы складываете или вычитаете дроби, которые имеют разные знаменатели.Для этого нужно знать, как найти наименьший общий знаменатель. В На предыдущем уроке вы научились упрощать или уменьшать дробь, находя эквивалентная или равная дробь, в которой числитель и знаменатель имеют нет общих факторов. Для этого вы разделили числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

    В этом уроке вы узнаете, что вы также можете умножать числитель и знаменатель на один и тот же множитель, чтобы сделать равные дроби.

    Пример 1

    В этом примере поскольку 12 разделить на 12 равно единице, а любое число, умноженное на 1, равно самому себе, мы знаем, что 36/48 и 3/4 являются эквивалентными дробями, или дробями, имеющими такое же значение. В общем, чтобы получить эквивалентную дробь, вы можете умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на любое ненулевое число.

    Так как только нравится дроби можно складывать или вычитать, сначала нам нужно преобразовать разные дроби равным подобным дробям.Мы хотим найти наименьший или наименее распространенный знаменатель, потому что работа с меньшими числами облегчает наши вычисления. Наименьший общий знаменатель двух дробей — это наименьшее число. которое можно разделить на оба знаменателя. Есть два способа найти наименьший общий знаменатель двух дробей:

    Пример 2

    Метод 1:
    Запишите кратные обоих знаменателей, пока не найдете общее кратное.

    Первый способ состоит в том, чтобы просто начать записывать все кратные обоих знаменателей, начиная с самими цифрами. Вот пример этого метода. Несколько 4 — это 4, 8, 12, 16 и т. д. (поскольку 1 × 4 = 4, 2 × 4 = 8, 3 × 4 = 12, 4 × 4 = 16 и т. д.). Кратные числа 6 равны 6, 12,… — это число, которое мы ищем, 12, потому что оно первое, что появляется в обоих списках кратных. Это наименьшее общее кратное, которое мы будем использовать как наш наименьший общий знаменатель.

    Метод 2:
    Используйте простую факторизацию.

    На второй метод, мы используем простую факторизацию, то есть мы записываем каждый знаменатель как произведение его простых множителей. Простые множители числа 4 равны 2 умножить на 2. Простое число делители 6 равны 2 умножить на 3. Для нашего наименьшего общего знаменателя мы должны использовать каждый фактор, который появляется в любом числе. Поэтому нам нужны факторы 2 и 3, но мы должны использовать 2 дважды, так как оно дважды используется при разложении на множители. на 4.Мы получаем тот же ответ для нашего наименьшего общего знаменателя, 12.

    Пример 3

    простое факторизация 4 = 2 × 2
    простая факторизация 6 = 2 × 3
    ЖК-дисплей = 2 × 2 × 3 = 12

    Теперь, когда мы у нас есть наименьший общий знаменатель, мы можем сделать эквивалентные дроби с помощью умножение числителя и знаменателя каждой дроби на коэффициент (ы) нужный.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *