Как умножить дробь: § Умножение дробей

Содержание

Урок 75. умножение смешанных дробей — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 75

Умножение смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– умножение смешанной дроби на натуральное число;

– возведение смешанной дроби в степень;

– умножение смешанных дробей.

Тезаурус

Распределительный закон умножения – чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Переместительный закон умножения – от перестановки множителей произведение не меняется.

Площадь прямоугольника – произведение длины на ширину.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках вы научились умножать обыкновенные дроби и записывать смешанные дроби в виде неправильных.

Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Чтобы записать смешанную дробь неправильной дробью, надо знаменатель дробной части умножить на целую часть, прибавить числитель дробной части и полученное число записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Этих умений достаточно, чтобы сегодня научиться умножать смешанные дроби.

Правило умножения смешанных дробей звучит так: чтобы умножить смешанные дроби, нужно записать их в виде неправильных дробей и выполнить умножение с обыкновенными дробями.

Результат получился тот же, что и при умножении.

Рассмотрим ещё один случай применения распределительного закона умножения для упрощения вычислений.

Найдём сумму произведения трёх целых четырёх пятых и пяти восьмых с произведением четырёх целых одной пятой и пяти восьмых.

В этих произведениях есть одинаковый множитель – пять восьмых. Его по распределительному закону вынесем за скобки, в которых останется сумма трёх целых четырёх пятых и четырёх целых одной пятой. Найдём значение суммы в скобках. Складываем отдельно целые части – три и четыре – это будет семь, и дробные части – четыре пятых и одну пятую – это будет пять пятых.

Сумму целой и дробной части записываем смешанной дробью – семь целых пять пятых и умножаем на пять восьмых. Так как дробная часть получившейся смешанной дроби – неправильная дробь, равная одному, то смешанную дробь заменяем на восемь целых. Умножаем восемь на пять восьмых – это пять.

Расставим порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках. В скобках есть умножение и сложение. Умножение выполняется в первую очередь, затем сложение. Четвёртым действием будет вычитание из числа суммы в скобках. Пятое действие – нахождение частного в знаменателе. Шестое действие – деление числителя исходной дроби на знаменатель. Деление заменяется умножением, а умножать мы научились:

Итак, чтобы умножить смешанные дроби необходимо:

• представить эти смешанные дроби неправильными дробями;

• выполнить умножение неправильных дробей;

• сократить, если возможно;

• представить неправильную дробь, полученную в результате умножения, смешанной дробью.

При возведении смешанной дроби в степень нужно:

• представить эту смешанную дробь неправильной дробью;

• возвести полученную неправильную дробь в нужную степень.

Тренировочные задания

№ 1. Поставьте на места пропусков числа так, чтобы вычисления были верными.

Умножение дробей: простая инструкция — Лайфхакер

Умножение дробей друг на друга

Обыкновенные дроби

Всё просто: числитель умножьте на числитель, а знаменатель на знаменатель. Потом проверьте, можно ли сократить дробь. Например:

Правило работает для дробей и с разными, и с одинаковыми знаменателями. Если дробь большая, допустим 24/35, постарайтесь сразу сократить её — так будет легче вести подсчёты.

Если в примере есть смешанное число, сначала преобразуйте его в неправильную дробь, а потом умножайте способом, описанным выше. Полученный результат переведите обратно в смешанное число.

Вспомните основы 💡

Десятичные дроби

Процесс умножения происходит в три шага:

  1. Запишите дроби в столбик и умножьте как натуральные числа, пока не думая о запятых.
  2. Посмотрите, сколько знаков после запятой было в каждой дроби, и сложите их количество.
  3. Двигаясь справа налево, отсчитайте в результате умножения столько же цифр, сколько получилось в предыдущем шаге. Поставьте там запятую. Это и есть ответ. Например:

Если умножаете на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, то переместите запятую влево на столько знаков, сколько их после запятой в множителе: 0,18 × 0,1 = 0,018; 0,5 × 0,001 = 0,0005.

Освежите знания 👈

Умножение дробей на натуральные числа

Обыкновенные дроби

Нужно умножить только числитель, а знаменатель оставить без изменений. Если результат — неправильная дробь, выделите из неё целую часть, чтобы получить смешанное число. Например:

Если нужно умножить смешанное число, переведите его в неправильную дробь и умножайте по тому же принципу. То есть:

Есть и второй способ: разделить знаменатель на данное вам натуральное число, а числитель не трогать. Этот способ удобнее применять, когда знаменатель делится на это натуральное число без остатка. Например:

Сравните этот метод с первым — результат одинаковый.

Десятичные дроби

В этом случае используйте такой же способ, как для умножения дроби на дробь. Перемножьте числа столбиком, потом отсчитайте столько цифр, сколько их было после запятой в десятичной дроби, и там поставьте запятую. То есть:

Если нужно умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, просто переместите запятую вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы. Например: 0,045 × 10 = 0,45; 0,045 × 100 = 4,5.

Читайте также 🧮👌🤓

Дробь на умножение: Умножение дробей

Урок 62. умножение натурального числа на дробь — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 62

Умножение натурального числа на дробь

Перечень рассматриваемых вопросов:

– произведение двух дробей;

– взаимно обратные дроби;

– умножение натурального числа на дробь.

Тезаурус

Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Взаимно обратные дроби – это дроби, произведение которых равно единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС./ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017, стр. 272.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Например,

Можно ли умножить дробь на натуральное число n? Конечно, да! Натуральное число n можно представить в виде обыкновенной дроби n/1 и применить правило умножения дробей. Итак, чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.

Например:

Вычислим произведение четырёх пятых и трёх. Умножение можно заменить сложением, то есть три раза сложить дробь четыре пятых. Применяем правило сложения обыкновенных дробей и получаем:

Если произведение дробей равно единице, то такие дроби называют взаимно обратными.

Например,

Дроби ¼ и 4/1 называются взаимно обратными.

Чтобы умножить простую и смешанную дробь, можно записать последнюю в виде неправильной дроби и выполнить умножение обыкновенных дробей.

Например,

Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной, и эту дробь возводят в степень.

Решим задачу: в равностороннем треугольнике длина стороны равна 4/7 м. Найдите периметр треугольника.

Решение. Как мы знаем, периметр – это сумма длин всех сторон. В треугольнике три стороны, а т. к. треугольник равносторонний – стороны равны. Получается, что сумму длин всех сторон можно представить как произведение натурального числа 3 на обыкновенную дробь

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите значение выражения, результат запишите в виде смешанной дроби.

Переведём смешанные дроби в неправильные, после чего перемножим числители и знаменатели, а результат запишем в виде смешанной дроби. Получим:

№ 2. Вычислите значение произведения, результат сократите.

Умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатели тоже перемножим. Получим:

Ответ:

Калькулятор дробей

Как перевести смешанную дробь в обыкновенную

Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i nd = i · d + nd

Например,

5 34 = 5 · 4 + 34 = 234

Как перевести обыкновенную дробь в смешанную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:

  1. Поделить числитель дроби на её знаменатель
  2. Результат от деления будет являться целой частью
  3. Остаток отделения будет являться числителем

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

  1. Записать дробь в виде десятичная дробь1
  2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
  3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:

  1. Записываем дробь в виде: 0.361
  2. Умножаем на 10 два раза, получим 36100
  3. Сокращаем дробь 36100 = 925

Как перевести дробь в проценты

Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.

Как перевести проценты в дробь

Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.

Сложение дробей

Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
  3. Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
  3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Умножение дробей

Алгоритм действий при умножении двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
  3. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  4. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Деление дробей

Алгоритм действий при делении двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
  3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Как умножать дроби с разными и одинаковыми знаменателями

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

  • обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.

Дроби могут быть двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
  2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:

Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.

Основные правила дробей

  • Если делитель равен нулю — у дроби нет значения
  • Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет
  • Две дроби a/b и c/d называют равными, если a * d = b * c.
  • Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится равная ей дробь.

Умножение дробных чисел

Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.

Как умножить дробь на дробь

Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:

Как умножить смешанные дроби

Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как умножить дробь на натуральное число

Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.

Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.

Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.

 

Решение задач

Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.

Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.

Как решаем: перемножим делимое и натуральное число.

Ответ: 

Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.

Как решаем:

  • перемножим числители между собой и знаменатели соответственно
  • сократим полученное
  • выделим целую часть

Ответ:

Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.

Как решаем:

  • переводим смешанное число в неправильную дробь,
  • умножаем делимое на натуральное число,
  • сократим полученное,
  • преобразуем в смешанное число.

Ответ: 

Если вопрос не ждет и ответ нужно получить как можно быстрее, можно использовать онлайн калькулятор. Умножение будет быстрым и точным:

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Умножение дробей, формулы и примеры решений

Содержание:

Умножение дроби на число

Умножение дроби $\frac{a}{b}$ на число $n$ равносильно сложению одинаковых слагаемых:

Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти произведение  $\frac{1}{3} \cdot 4$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot 4=\frac{1 \cdot 4}{3}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$

Ответ.   $\frac{1}{3} \cdot 4=1 \frac{1}{3}$

Аналогично выполняется умножения числа на дробь.

Слишком сложно?

Умножение дробей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Найти произведение  3$\cdot \frac{1}{4}$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3 \cdot 1}{4}=\frac{3}{4}$

Ответ.   $3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Умножение дробей

Определение

Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.

Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.

Пример

Задание. Найти произведение дробей  $\frac{1}{3}$  и  $\frac{4}{5}$ 

Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5}=\frac{4}{15}$

Ответ.   $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$

Пример

Задание. Умножить  $\frac{13}{14}$  на  $\frac{14}{39}$ 

Решение. Необходимо найти произведение $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления. Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:

Ответ.   $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}=\frac{1}{3}$

Умножение смешанных дробей

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как обыкновенных дробей.

Пример

Задание. Найти произведение дробей 3$\frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}$

Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу

$3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=\frac{3 \cdot 3+1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 5+2}{5}=\frac{10}{3} \cdot \frac{22}{5}=$

Ответ.   $3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=14 \frac{2}{3}$

Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число, либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.

Пример

Задание. Умножить смешанную дробь 3$\frac{3}{4}$ на 2

Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу

Либо

$=(6+1)+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}=7 \frac{1}{2}$

Ответ.   $3 \frac{3}{4} \cdot 2=7 \frac{1}{2}$

Читать следующую тему: деление дробей.

Умножение и деление обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор

Умножение дробей

Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (это произведение будет числителем результата), и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (это произведение будет знаменателем результата):

Правило умножения обыкновенных дробей в виде формулы:

Для упрощения вычислений, ещё до выполнения умножения дробей, можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.

При сокращении числителей со знаменателями их обычно зачёркивают и рядом пишут число, которое получилось после сокращения:

В примере мы сократили  25  и  20  на общий делитель —  5,  а  27  и  12  на общий делитель —  3.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь или наоборот — умножить дробь на натуральное число, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменений:

Пример.

Деление дробей

При делении одной обыкновенной дроби на другую, нужно перевернуть вторую дробь и после этого умножить первую дробь на вторую, т. е. нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй (это произведение будет числителем результата), а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй (это произведение будет знаменателем результата):

Для проверки правильности выполненного деления, можно полученное частное умножить на делитель и посмотреть, получится ли у нас делимое, если делимое получено верно, значит деление было выполнено правильно:

Теперь осталось только сократить полученную дробь:

Правило деления обыкновенных дробей в виде формулы:

Иногда могут встретиться записи такого вида:

Так как дробная черта означает деление, то такие записи можно переписать в более удобном виде:

В записях, в которых дробная черта используется несколько раз, знак = ставится у дробной черты, означающей последнее по порядку действие деления:

Деление дроби на натуральное число

Чтобы обыкновенную дробь разделить на натуральное число или наоборот — натуральное число разделить на дробь, нужно просто представить натуральное число в виде дроби.

Примеры.

Калькулятор умножения и деления дробей

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение или деление обыкновенных дробей. Просто введите две дроби, выберите нужную операцию и нажмите кнопку Вычислить.

правила, примеры, решения, умножение дробей с разными знаменателями

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a/b и c/d это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.

Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:

58·34=5·38·4=1532

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 711 на 98.

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.

Все решение можно записать так:

711·98=7·911·8=6388

Ответ: 711·98=6388. 

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

  Вычислите произведение дробей 415 и 556.

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

415·556=4·5515·6=22090

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10.

Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220:1090:10=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.

Ответ: 415·556=249.

  

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 415·556.

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

415·556=4·5515·6

Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.

Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее: .

Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:

2·113·3=229=249

Ответ: 415·556=249. 

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

ab·cd=cd·ab=a·cb·d

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n  можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

ab·n=ab·n1=a·nb·1=a·nb

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 227 на 5.

Решение 

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:

227·5=2·527=1027

Ответ: 227·5=1027 

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 512.

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК(40, 12)=4, значит, 4012=40:412:4=103

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.

В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 512·8=313.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

ab·n=n·ab=a·nb

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 120, 125, 37 и 58.

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 120·125·37·58. Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 120·125·37·58=1·12·3·520·5·7·8.

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1·12·3·520·5·7·8=1·(2·2·3)·3·52·2·5·5·7(2·2·2)=3·35·7·2·2·2=9280

Ответ: 1·12·3·520·5·7·8=9280.

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 78·12·8·536·10.

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 78 с числом 8, а число 12 с дробью 536, поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
78·12·8·536·10=78·8·12·536·10=7·88·12·536·10=71·2·2·3·52·2·3·3·10==7·53·10=7·5·103=3503=11623

Ответ: 78·12·8·536·10=11623.

Правила умножения дробей

 

 

Для того чтобы произвести арифметические действия умножения над дробями, следует перемножить их числители и знаменатели, а результат записать в соответствующей форме.

Умножение простой дроби на число

При умножении простой дроби на натуральное число, ее числитель следует умножить на этот множитель, а знаменатель оставить без изменения.

3

8

× 4 =

3 × 4

8

=

12

8

= 1

4

8

= 1

1

2

Умножение смешанной дроби на число

При необходимости умножения смешанной дроби на натуральное число следует произвести данное арифметическое действие с целым числом этой дроби и её числителем.

1

2

5

× 3 = 1 × 3 +

2 × 3

5

= 3

6

5

= 4

1

5

Умножение дроби на дробь

Когда нужно умножить простую дробь на простую дробь, следует перемножить числители, а затем знаменатели.

3

6

×

4

8

=

3 × 4

6 × 8

=

12

48

=

1

4

Умножение смешанной дроби на смешанную дробь

При выполнении операции умножения смешанных чисел, их следует записать в виде неправильных дробей, после чего перемножить их по соответствующим правилам.

2

1

3

× 4

3

5

=

7

3

×

23

5

=

7 × 23

3 × 5

=

161

15

= 10

11

15

Калькулятор дробей

Использование калькулятора

Используйте этот калькулятор дробей для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Ответы представляют собой дроби в наименьшем значении или смешанные числа в сокращенном виде.

Введите правильные или неправильные дроби, выберите математический знак и нажмите Рассчитать. Это калькулятор дробей с шагами, указанными в решении.

Если у вас отрицательные дроби, вставьте знак минус перед числителем.Итак, если одна из ваших дробей -6/7, вставьте -6 в числитель и 7 в знаменатель.

Иногда в математических задачах используется слово «из», например Что такое 1/3 от 3/8? Of означает, что вам нужно умножить, поэтому вам нужно решить 1/3 × 3/8.

Для математических вычислений со смешанными числами (целыми и дробными) используйте Калькулятор смешанных чисел.

Математика в дробях с разными знаменателями

Есть 2 случая, когда вам нужно знать, имеют ли ваши дроби разные знаменатели:

  • если складываете дроби
  • , если вы вычитаете дроби

Как сложить или вычесть дроби

  1. Найдите наименьший общий знаменатель
  2. Вы можете использовать ЖК-калькулятор, чтобы найти наименьший общий знаменатель для набора дробей
  3. Для первой дроби найдите, на какое число нужно умножить знаменатель, чтобы получить наименьший общий знаменатель.
  4. Умножьте числитель и знаменатель вашей первой дроби на это число
  5. Повторите шаги 3 и 4 для каждой фракции
  6. Для сложения уравнений добавьте числители дробей
  7. Для уравнений вычитания вычтите числители дробей
  8. Преобразовать неправильные дроби в смешанные числа
  9. Уменьшить дробь до наименьшего значения

Как умножать дроби

  1. Умножить все числители вместе
  2. Умножить все знаменатели вместе
  3. Уменьшить результат до минимума

Как разделить дроби

  1. Перепишите уравнение, как в «Сохранить, изменить, перевернуть»
  2. Оставить первую дробь
  3. Поменять знак деления на умножение
  4. Переверните вторую дробь, переключив верхнее и нижнее числа
  5. Умножить все числители вместе
  6. Умножить все знаменатели вместе
  7. Уменьшить результат до минимума

Формулы фракций

Есть способ складывать или вычитать дроби, не находя наименьший общий знаменатель (ЖКД). Этот метод предполагает перекрестное умножение дробей. См. Формулы ниже.

Вы можете обнаружить, что проще использовать эти формулы, чем производить математические вычисления, чтобы найти наименьший общий знаменатель.

Формулы для умножения и деления дробей следуют тому же процессу, что и описанный выше.

Формула сложения дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} + \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad + bc} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} + \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) + (6 \ times1)} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {14} {24} = \ dfrac {7} {12} \)

Формула вычитания дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} — \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad — bc} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} — \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {(2 \ times4) — (6 \ times1)} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)

Формула умножения дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} \ times \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ac} {bd} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} \ times \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times1} {6 \ times4} \)

\ (= \ dfrac {2} {24} = \ dfrac {1} {12} \)

Формула деления дробей:

\ (\ dfrac {a} {b} \ div \ dfrac {c} {d} = \ dfrac {ad} {bc} \)

Пример шагов:

\ (\ dfrac {2} {6} \ div \ dfrac {1} {4} = \ dfrac {2 \ times4} {6 \ times1} \)

\ (= \ dfrac {8} {6} = \ dfrac {4} {3} = 1 \ dfrac {1} {3} \)

Сопутствующие калькуляторы

Для выполнения математических операций над смешанными дробями чисел используйте нашу Калькулятор смешанных чисел. Этот калькулятор также может преобразовывать неправильные дроби в смешанные числа и показывает проделанную работу.

Если вы хотите упростить отдельную дробь до наименьших значений, используйте наш Упростите калькулятор дробей.

Для объяснения того, как множить числа, чтобы найти наибольший общий множитель (GCF), см. Калькулятор наибольшего общего коэффициента.

Если вы вручную упрощаете большие дроби, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки.

Банкноты

Этот калькулятор выполняет вычисление сокращения быстрее, чем другие калькуляторы, которые вы можете найти. Основная причина в том, что он использует алгоритм Евклида для уменьшения дробей, который можно найти на Математический форум.

Умножение дробей

Умножьте вершины, умножьте основания.

Есть 3 простых шага для умножения дробей

1.Умножьте верхние числа (числители , ).

2. Умножьте нижние числа (знаменатели ).

3. При необходимости упростите дробь.

Пример:

1 2 × 2 5

Шаг 1 . Умножьте верхние числа:

1 2 × 2 5 знак равно 1 × 2 знак равно 2

Шаг 2 .Умножаем нижние числа:

1 2 × 2 5 знак равно 1 × 2 2 × 5 знак равно 2 10


Шаг 3 . Упростим дробь:

2 10 знак равно 1 5

С пиццей

Вот с пиццей …

Вы видите, что половина двух пятых — это две десятых?
Вы также видите, что две десятых проще одной пятой?

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Другой пример:

1 3 × 9 16

Шаг 1 .Умножьте верхние числа:

1 3 × 9 16 знак равно 1 × 9 знак равно 9

Шаг 2 . Умножаем нижние числа:

1 3 × 9 16 знак равно 1 × 9 3 × 16 знак равно 9 48


Шаг 3 .Упростим дробь:

9 48 знак равно 3 16


(На этот раз мы упростили, разделив верхнюю и нижнюю части на 3)

Рифма

♫ «Умножение дробей: нет большой проблемы,
Верхнее умножение сверху на нижнее умножение на низ.

« И не забудьте упростить,
Прежде, чем пришло время прощаться »♫

Дроби и целые числа

А как насчет умножения целых чисел на дроби и ?

Превратите целое число в дробь, поставив его над единицей.

Затем продолжайте, как прежде.

Пример:

2 3 × 5

Превратите 5 в 5 1 :

2 3 × 5 1

А теперь как обычно.

Умножение вершин и оснований:

2 3 × 5 1 знак равно 2 × 5 3 × 1 знак равно 10 3

Дробь уже настолько проста, насколько это возможно.

Ответ = 10 3

Или вы можете просто представить себе целое число как «верхнее» число:

Пример:

3 × 2 9

Умножение вершин и оснований:

3 × 2 9 знак равно 3 × 2 9 знак равно 6 9

Упростить:

6 9 знак равно 2 3

Смешанные фракции

Вы также можете прочитать, как умножить смешанные дроби

Умножение дробей — методы и примеры

Как умножать дроби?

В этой статье обсуждаются все шаги, которые необходимо знать при умножении дробей, включая умножение правильных и неправильных дробей, смешанную дробь и умножение дроби на целое число.Вот шаги для умножения дробей:

  • Умножьте числители вместе и поместите произведение поверх полученной дроби
  • Умножьте знаменатели вместе и запишите результат внизу новой дроби
  • Уменьшите или упростите результат, если возможно

Пример 1:

1/2 × 2/5

Шаг 1. Умножьте числители:

1/2 × 2/5 = 1 × 2 = 2

Шаг 2 .Умножьте знаменатели:

2 x 5 = 10

Шаг 3. Упростите дробь:

2/10 = 1/5

Пример 2:

1/3 × 9/16

Шаг 1. Умножьте числители:

1/3 × 9/16 = 1 × 9 = 9

Шаг 2. Умножьте знаменатели:

3 × 16 = 48
Шаг 3. Упростите дробь:

9 / 48 = 3/16

Пример 3:

Умножение: 4/5 x 7/6

Сначала умножьте числители, чтобы получить: 4 × 7 = 28.

Затем умножьте знаменатели, чтобы получить: 5 × 9 = 45.

Результат = 28/45

Поскольку нет общих делителей 28 и 45, эта дробь уже находится в самом низком выражении. Окончательный ответ — 28/45.

Пример 4:

Умножение: 9/4 x 14/15

Вы можете выполнить все операции в одной математической строке. Не забудьте поставить числитель вверху, а знаменатели — внизу.

9/4 x 14/15 = (9 x 14) / (4 x 15) = 126/60

Умножение более чем на 2 дроби

Отмена — отличный способ умножения с более чем двумя множителями.

Пример 5:

Умножение (1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5).

Начните с исключения общих факторов.

(1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5).

= 1/5

Как умножить дроби на целые числа?

Дроби можно умножать на целые числа точно так же, как умножаются другие дроби.Самая важная процедура состоит в том, чтобы переписать целое число как дробь, введя знаменатель 1. Затем можно применить те же методы умножения дроби.

Целое число N можно преобразовать в дробь со знаменателем 1 следующим образом:

N = N / 1

Пример 6:

Умножение: 3/5 × 60.

3/5 × 60 = 3/5 x 60/1

Умножьте числители:

3 x 60 = 180

Умножьте знаменатели:

1 x 5 = 5

Результат — 180/5, упростите ответ до минимально возможного термины.

180/5 = 36.

Как умножить смешанные дроби?

Смешанная фракция — это фракция, состоящая из целой и дробной части. Например, 7½ — это смешанная дробь, состоящая из целого числа 7 и дробной части ½.

Ниже приведены ключевые шаги при умножении смешанных дробей или смешанной дроби на правильную или неправильную дробь:

  • Первым шагом является преобразование всех дробей в неправильную дробь.
  • Умножьте числители и поместите произведение вверху.
  • Умножьте знаменатели и поместите произведение внизу.
  • По возможности упростите результат.

Пример 7:

Умножение: 2 5 / 6 x 3 1 / 4

Начните с преобразования каждой смешанной дроби в эквивалентную неправильную дробь.

2 5 / 6 x 3 1 / 4 = 17/6 x 13/4 = 221/24

Окончательный ответ можно упростить или преобразовать обратно в смешанное число путем деления.Преобразование обратно в смешанную дробь похоже на деление с остатком. Частное становится целой частью, а остаток становится новым числителем.

Как умножить отрицательные дроби?

Те же правила умножения отрицательных чисел применяются при умножении дробей:

  • + x + = +
  • + x — = —
  • — x — = +

Пример 8:

Умножение : 2/3 × (–3/4)

2/3 × (–3/4) = –6/12 = –1/2.

Пример 9:

Умножение: (–4/3) × (–7/5)

(–4/3) × (–7/5) = 28/15.

Практические вопросы

Умножьте следующие дроби:

  1. 1/3 × 4/5
  2. –3/7 × 2/11
  3. 9/10 × 35/36
  4. 3/8 × 10
  5. 5 / 3 × 7/2 × 6/7
  6. 6 × 4¾
  7. –11/3 × (–3/11)
  8. Мой грузовик проезжает 10 2 / 3 миль на галлон. Предположим, что бак пуст и я заправляю его 5 1 / 2 галлонов, как далеко я могу уехать с грузовиком?
  9. Для рецепта требуется 1/2 столовой ложки соли.Сколько нужно соли, чтобы приготовить 20 подобных рецептов?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое умножение дробей? — Определение, факты и примеры

Умножение дробей

Дробь — это часть целого .

Яблочный пирог, разрезанный на 4 равных ломтика и один ломтик, отделенный друг от друга, как показано на рисунке.

Здесь яблочный пирог разрезан на 4 равные части, каждая из которых составляет одну четвертую часть пирога. Сколько будет яблочного пирога в 5 таких кусочках?

Это будет произведение 5 × 1 4. Мы также можем оценить умножение как повторное сложение, и это проще.

5 × 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 5 4

Мы также можем преобразовать это в смешанное число, 5 4 = 1 1 4. Следовательно, из 5 кусочков пирога будет одна с четвертью яблочного пирога.

Но повторное сложение — не всегда более простой метод, особенно когда множитель также является дробью.

Рассмотрим произведение 2 5 × 3 4.

Дробь 3 4 может быть представлена ​​следующим образом:

Теперь требуемый продукт составляет две пятых этой заштрихованной части.

Чтобы найти это, вам нужно разделить эти три заштрихованные части на 5 равных частей. Более простой способ сделать это — разделить каждую из этих 4 частей на 5 равных частей.

Итак, две пятых от трех четвертых — это две заштрихованные части из каждой из этих трех частей, то есть 6 заштрихованных частей из 20, как показано.

Другой способ геометрического представления:

В дроби, представляющей произведение, целое делится на 20 равных частей, и заштрихованные части, общие для обоих факторов, являются знаменателем, а 6 представляет числитель произведения.

Алгебраически правило умножения двух дробей:

Шаг 1 : Умножьте числители дробей множителя.

Шаг 2 : Умножьте знаменатели.

Шаг 3 : При необходимости упростите продукт.

Пример:

5 6 x 3 8 = 5 x 3 6 x 8 = 15 48

Здесь 3 — общий множитель числителя и знаменателя. Итак, чтобы упростить дробь, разделите числитель и знаменатель на 3.

15 ÷ 3 48 ÷ 3 = 5 6

Таким образом, 5 6 x 3 8 = 5 16.

Правило:

Если a b и c d дроби с b, d ≠ 0, то a b x c d = ac bd

Интересные факты

  • Слово «дробь» происходит от латинского слова «fractio», что означает «разбивать».

  • При умножении двух дробей, если одна из дробей больше 1, это увеличивает размер второй дроби как произведения. Если оно меньше 1, это уменьшит размер второй фракции как продукта.

Обзор дробей: умножение и деление дробей

Purplemath

Умножать дроби просто: вы умножаете верхние числа и умножаете нижние числа.Например:

Когда это возможно, вы уменьшаете дробь, отбрасывая общие множители; то есть вы вычеркиваете любые множители с одной стороны дробной линии, которые дублируются с другой стороны линии. Однако в приведенном выше примере ничего не уменьшается, потому что 8 и 45 не имеют общих множителей.

MathHelp.com

Если вы не уверены, можно ли что-то отменить, вы всегда можете разложить числитель и знаменатель на множители и проверить наличие повторяющихся множителей:

Ничего не дублируется между верхом и низом, поэтому ничего не отменяется.

Однако часто что-то отменяется:

Для умножения я умножаю все верхние числа (числители) друг на друга и умножаю все нижние числа (знаменатели) друг на друга. Однако, чтобы немного облегчить себе жизнь, я сначала исключу все факторы, общие как для числителей, так и для знаменателей:

Тогда упрощенный продукт —

7 / 2 .

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в умножении дробей. Попробуйте введенное упражнение, введите свое упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)


Разделить дроби так же просто, как и умножить их; есть только один дополнительный шаг.Когда вы делите на дробь, первое, что вы делаете, — это «перевернуть-п-умножить». То есть вы берете вторую дробь, переворачиваете ее вверх ногами (то есть «находите обратную»), а затем умножаете первую дробь на эту перевернутую дробь.

Моим первым шагом будет преобразовать это в умножение, перевернув 9 / 4 , чтобы получить 4 / 9 .Затем я могу продолжить простое умножение, исключив все повторяющиеся множители:

Тогда мой упрощенный ответ:

4 / 15 .

Это немного сложно, но я могу справиться с целым числом 5, преобразовав его в дробь.Помните, что любое целое число является дробью, если вы поставите его над «1». Итак, я преобразовываю 5 в дробь 5 / 1 и переверну с умножением:

Тогда мой упрощенный ответ:

1 / 6 .

Для этого упражнения мне сначала нужно преобразовать смешанные числа в (неправильную) дробную форму.(Умножение и деление дробей — это места, где дроби оооочень намного лучше, чем смешанные числа!) Как только у меня есть дроби, я могу перевернуть-n-умножить.

Тогда мой ответ смешанный:

1 37 / 68 .

Примечание. Когда входные данные представляют собой смешанные числа, как в последнем примере выше, книга (или преподаватель, или оценщик) обычно также ожидает смешанные числа на выходе. Итак, если ваш ответ является неправильной дробью, вам нужно будет преобразовать ее обратно в форму смешанного числа.Не забывайте этот шаг!


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в делении дробей. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

Далее мы переходим к гораздо более сложному сложению и вычитанию дробей …


URL: https://www.purplemath.com/modules/fraction3.htm

Каковы правила умножения дробей?

Обновлено 21 декабря 2020 г.

Лиза Мэлони

Умножение — одна из самых простых операций, которые вы можете выполнять с дробями, потому что вам не нужно беспокоиться о том, имеют ли дроби одинаковый знаменатель или нет; просто умножьте числители вместе, умножьте знаменатели вместе и, если необходимо, упростите полученную дробь.Однако есть несколько вещей, на которые следует обратить внимание, включая смешанные числа и отрицательные знаки.

Умножение прямо через

Первое и самое важное правило умножения дробей состоит в том, что вы умножаете только числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Если у вас есть две дроби 2/3 и 4/5, их умножение даст новую дробь:

\ frac {2 × 4} {3 × 5}

\ frac {8} {15}

При этот момент вы бы упростили, если бы могли, но, поскольку 8 и 15 не имеют общих множителей, эту дробь нельзя упростить дальше.

Чтобы увидеть больше примеров, включая умножение дробей, которые необходимо уменьшить, посмотрите видео ниже:

Следите за отрицательными знаками

Если вы умножаете дроби с отрицательными членами, убедитесь, что у вас есть эти отрицательные знаки через ваши расчеты. Например, если вам даны две дроби -3/4 и 9/6, вы должны умножить их вместе, чтобы получить новую дробь:

\ frac {-3 × 9} {4 × 6}

\ frac {-27} {24}

Поскольку -27 и 24 имеют общий делитель 3, вы можете вынести 3 из числителя и знаменателя, в результате получится:

\ frac {-9} {8}

Обратите внимание, что -9/8 представляет собой значение, сильно отличающееся от 9/8.Если бы этот отрицательный знак потерялся по пути, ваш ответ был бы неправильным.

Да, неправильные дроби можно умножать

Еще раз взгляните на только что приведенный пример. Вторая дробь, 9/6, неправильная дробь. Или, другими словами, его числитель был больше, чем знаменатель. Это никак не меняет способ работы вашего умножения, хотя в зависимости от вашего учителя или ограничений задачи, над которой вы работаете, вы можете предпочесть упростить результат последнего примера, который сам является неправильной дробью, до смешанное число:

\ frac {-9} {8} = -1 \, \ frac {1} {8}

Умножение смешанных чисел

Это прекрасно ведет к обсуждению того, как умножать смешанные числа: Преобразование смешанное число на неправильную дробь и умножьте как обычно, как описано в последнем примере.Например, если вам нужно умножить дробь 4/11 и смешанное число 5 2/3, вы сначала умножите целое число 5 на 3/3 (это число 1 в виде дроби знаменатель которого совпадает со знаменателем дробной части смешанного числа), чтобы преобразовать его в дробь:

5 × \ frac {3} {3} = \ frac {15} {3}

Затем добавьте дробную часть смешанного числа, что дает вам:

5 \, \ frac {2} {3} = \ frac {15} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {17} {3}

Теперь вы готовы умножить две дроби вместе:

\ frac {17} {3} × \ frac {4} {11}

Умножение числителя и знаменателя дает:

\ frac {17 × 4} { 3 × 11}

\ frac {68} {33}

Вы не можете больше упрощать члены этой дроби, но при желании можете преобразовать ее обратно в смешанное число:

2 \, \ frac {2} {33}

Умножение — это обратное деление

Вот удобный Уловка: если вы знаете, как умножать на дроби, вы уже знаете, как делить на дроби.Просто переверните вторую дробь вверх дном и умножьте ее, вместо того чтобы делить. Итак, если у вас есть:

\ frac {3} {4} ÷ \ frac {2} {3}

Это то же самое, что писать:

\ frac {3} {4} × \ frac {3} { 2}

, которые затем можно умножить как обычно.

Умножение дробей — ChiliMath

Чтобы умножить дроби, достаточно выполнить 3 предложенных ниже шага. Понятно, что ни одна дробь не может иметь знаменатель \ color {red} 0, потому что это будет неопределенный член.

Шаги в умножении дробей

Даны две дроби с ненулевыми знаменателями:

Шаг 1: Умножьте числители.

  • Это будет числитель «новой» дроби.

Шаг 2: Умножьте знаменатели.

  • Это будет знаменатель «новой» дроби.

Шаг 3: Упростите полученную дробь, уменьшив ее до наименьшего члена, если необходимо.


Прежде чем мы рассмотрим некоторые примеры, есть другие способы обозначить умножение.

  • Точечный символ как оператор умножения
  • Скобка как оператор умножения

Примеры умножения дробей

Пример 1 : Умножение.

Умножьте числители дробей.

Аналогичным образом умножьте знаменатели.

Результирующая дробь после умножения уже имеет уменьшенную форму, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен \ color {blue} +1.Это и станет нашим окончательным ответом!


Пример 2 : Умножение.

Шаг 1. Умножьте верхние числа.

Шаг 2: Умножьте нижние числа.

Шаг 3. Упростите ответ, сократив его до наименьшего члена.

Разделите верхнюю и нижнюю на наибольший общий коэффициент (GCF), равный 10.


Пример 3 : Умножьте.

Вы можете столкнуться с проблемой, когда вам будет предложено умножить три дроби.

Общая идея остается такой же, как и при умножении двух дробей, как показано в предыдущих примерах.

Шаг 1. Рассчитайте произведение числителей.

Шаг 2: Вычислите произведение знаменателей.

Шаг 3. Уменьшите дробь до ее простейшего вида.

Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий делитель, равный 12.


Пример 4 : Умножьте целое число на дробь.

Умножить на 0,5. Умножение дроби на число. Умножение дробей на целое число.

В этой статье ты узнаешь как легко умножить любое число на \(0,5\), для этого тебе даже не понадобится калькулятор. \(0,5-\) это десятичная дробь, приведём её к виду обыкновенной дроби:

При умножении на \(0,5\) можно заменить умножением на \(\frac{1}{2}\). Обратная дробь одной пятой \(-2\)  То есть для того чтобы умножить на \(0,5\)  надо разделить на \(2.\)  Легко не так ли?


 

Пример 1.  Умножьте \(10\) на \(0,5\).

Решение: \(10*0,5=10*\frac{1}{2}=10:2=5\)

Ответ: \(5\).


Пример 2.  Умножьте \(30\) на \(0,5\).

Решение: \(30*0,5=30*\frac{1}{2}=30:2=15\)

Ответ: \(15\).


Пример 2.  Умножьте \(34\) на \(0,5\).

Решение: \(34*0,5=34*\frac{1}{2}=34:2=17\)

Ответ: \(17\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Южный федеральный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-7 классов. Я люблю математику за то, что она развивает в нас упорство, смелость, находчивость и системность. Благодаря ей можно научиться видеть скрытые связи между, на первый взгляд, совершенно разными вещами, а также посмотреть на различные ситуации под самым неожиданным углом. Каждый ребёнок по-своему уникален, поэтому в обучении просто необходим индивидуальный подход. Моя цель — не только помочь ребёнку понять эту увлекательную науку, но и дать возможность понять себя, свои слабые и сильные стороны через изучение математики.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Криворожский педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Ещё с детства я знала, что стану учителем математики. Ведь ни один предмет, кроме математики не развивает настолько хорошо логику, мозг. Математика учит находить закономерность, анализировать, делать выводы. При решении задач привожу примеры из жизни. Научу вашего ребенка не зазубривать, а понимать материал.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 класса. Помогу Вам разобраться в любой интересующей теме по математике . Даже, если кажется, что какая-либо задача является совсем невыполнимой, с моей помощью она не только станет для Вас решаемой, но также весьма интересной и увлекательной! Жду Вас на занятиях!.

Математика 10 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Функция

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Математика 11 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Умножение дробей онлайн с решением. Калькулятор умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели, первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Правила умножения дробей

Произведение двух дробей равно дроби. В числителе которой произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей.

Как умножать обыкновенные дроби

Для умножения обыкновенных дробей нужно найти произведение числителей и произведение знаменателей. Первое произведение записать числителей а второе знаменателем.

Разберём пример: умножим дроби 1/4 × 1/3. Для этого перемножим числители 1 × 1 = 1 и знаменатели 4 × 3 = 12 в итоге у нас получится дробь 1/12

Как умножать натуральное число на дробь

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно числитель умножить на это число а знаменитель оставить без изменения.

Как умножать 3 и более дробей

При умножении 3 и более дробей мы пользумеся теми же правилами что и при умножении двух дробей.

Разберём пример: умножим правильную дробь 1/4 на натуральное число 5 и на смешанную дробь 3 целые 1/8.

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 1/8 = 25/8. Затем перемножить числители 1*5*25 = 125 и знаменатели 4*8 = 32. Полученное записать в виде дроби 125/32. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как умножить смешанную дробь на целое число

Чтобы умножить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем числитель неправильной дроби умножить на целое число. Знаменатель оставить без изменения.

Разберём пример: умножим смешанную дробь 2 целые 1/4 на целое число 6.

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 2 целые 1/4 = 9/4. Затем умножить числитель неправильной дроби на целое число 9*6 = 54 а знаменатель останется без изменения 4. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как перемножить смешанные дроби

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно их перевести в неправильные. Затем перемножить числители и знаменатели.

Разберём пример: умножим смешанную дробь 1 целая 2/5 на смешанную дробь 2 целые 1/3.

Переведём смешанные дроби в нерпавильные 1 целая 2/5 = 7/5 и 2 целые 1/3 = 7/3. Затем перемножим числители 7*7 = 49 и знаменатели 5*3 = 15. Получится дробь 49/15. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Умножение дробей с разными знаками. Умножение и деление отрицательных чисел

В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел.

Содержание урока

Умножение рациональных чисел

Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь

Также, необходимо знать основные законы умножения, такие как: переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и умножение на ноль.

Пример 1. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами, у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками

Модуль числа равен , а модуль числа равен . Перемножив полученные модули, как положительные дроби, мы получили ответ , но перед ответом поставили минус, как от нас требовало правило. Чтобы обеспечить перед ответом этот минус, умножение модулей выполнялось в скобках, перед которыми и поставлен минус.

Короткое решение выглядит следующим образом:

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Чтобы перемножить отрицательные рациональные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 5. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Короткое решение будет выглядеть значительно проще:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальное перепишем, как есть

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Решение для данного примера можно записать покороче

Пример 7. Найти значение выражения

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Сначала в ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили в ней целую часть. Обратите внимание, что целая часть была выделена от модуля дроби . Получившееся смешанное число было заключено в скобки, перед которыми поставлен минус. Это сделано для того, чтобы выполнялось требование правила. А правило требовало, чтобы перед полученным ответом стоял минус.

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Сначала перемножим и и полученное число перемножим с оставшимся числом 5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение.

Ответ: значение выражения равно −2.

Пример 9. Найти значение выражения:

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Пример 10. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а вычислим данное выражение слева направо в порядке следования сомножителей. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Третье действие:

Четвёртое действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 11. Найти значение выражения

Вспоминаем закон умножения на ноль. Этот закон гласит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения равно нулю:

Пример 12. Найти значение выражения

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения равно нулю:

Пример 13. Найти значение выражения

Можно воспользоваться порядком действий и сначала вычислить выражение в скобках и полученный ответ перемножить с дробью .

Ещё можно воспользоваться распределительным законом умножения — умножить каждое слагаемое суммы на дробь и полученные результаты сложить. Этим способом и воспользуемся.

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует сложение и умножение, то в первую очередь нужно выполнять умножение. Поэтому в получившемся новом выражении возьмём в скобки те параметры, которые должны быть перемножены. Так мы хорошо увидим, какие действия выполнить раньше, а какие позже:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Видно, что данный пример можно было решить даже в уме. Поэтому следует развивать в себе навык анализа выражения до начала его решения. Вполне вероятно, что его можно решить в уме и сэкономить много времени и нервов. А на контрольных и экзаменах, как известно время очень дорого стоит.

Пример 14. Найти значение выражения −4,2 × 3,2

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось .

Пример 15. Найти значение выражения −0,15 × 4

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь .

Пример 16. Найти значение выражения −4,2 × (−7,5)

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Деление рациональных чисел

Правила деления целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы уметь делить рациональные числа, нужно уметь

В остальном же применяются те же методы деления обыкновенных и десятичных дробей. Чтобы разделить обыкновенную дробь на другую дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

А чтобы разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, затем выполнить деление, как на обычное число.

Пример 1. Найти значение выражения:

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить такое выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Итак, умножим первую дробь на дробь обратную второй.

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. А как вычислять такие выражения мы уже знаем. Для этого нужно перемножить модули этих рациональных чисел и перед полученным ответом поставить минус.

Дорешаем данный пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Таким образом, значение выражения равно

Подробное решение выглядит следующим образом:

Короткое решение будет выглядеть так:

Пример 2. Найти значение выражения

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Короткое решение будет выглядеть следующим образом:

Пример 3. Найти значение выражения

Это деление отрицательных рациональных чисел. Чтобы вычислить данное выражение, опять же нужно первую дробь умножить на дробь обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Как вычисляется подобное выражение мы уже знаем. Нужно перемножить модули рациональных чисел и перед полученным ответом поставить плюс.

Дорешаем этот пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Пример 4. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первое число −3 умножить на дробь, обратную дроби .

Обратная для дроби это дробь . На неё и умножим первое число −3

Пример 6. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу 4.

Обратное для числа 4 это дробь . На неё и умножим первую дробь

Пример 5. Найти значение выражения

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу −3

Обратное для числа −3 это дробь . На неё и умножим первую дробь:

Пример 6. Найти значение выражение −14,4: 1,8

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным ответом поставить минус

Обратите внимание, как модуль делимого был разделён на модуль делителя. В данном случае, чтобы сделать это правильно, потребовалось суметь .

Если нет желания возиться с десятичными дробями (а это бывает часто), то эти , затем перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем заняться непосредственно делением.

Вычислим предыдущее выражение −14,4: 1,8 этим способом. Переведём десятичные дроби в смешанные числа:

Теперь переведём полученные смешанные числа в неправильные дроби:

Теперь можно заняться непосредственно делением, а именно разделить дробь на дробь . Для этого нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

Пример 7. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −2,06 в неправильную дробь, и умножим эту дробь на дробь, обратную второй:

Многоэтажные дроби

Часто можно встретить выражение, в котором деление дробей записано с помощью дробной черты. Например, выражение может быть записано следующим образом:

В чём же разница между выражениями и ? На самом деле разницы никакой. Эти два выражения несут одно и то же значение и между ними можно поставить знак равенства:

В первом случае знак деления представляет собой двоеточие и выражение записано в одну строку. Во втором случае деление дробей записано с помощью дробной черты. В результате получается дробь, которую в народе договорились называть многоэтажной .

При встрече с такими многоэтажными выражениями, нужно применять те же правила деления обыкновенных дробей. Первую дробь необходимо умножать на дробь, обратную второй.

Использовать в решении подобные дроби крайне неудобно, поэтому можно записать их в понятном виде, используя в качестве знака деления не дробную черту, а двоеточие.

Например, запишем многоэтажную дробь в понятном виде. Для этого сначала нужно разобраться, где первая дробь и где вторая, потому что сделать это правильно удаётся не всегда. В многоэтажных дробях имеется несколько дробных черт, которые могут запутать. Главная дробная черта, которая отделяет первую дробь от второй, обычно бывает длиннее остальных.

После определения главной дробной черты можно без труда понять, где первая дробь и где вторая:

Пример 2.

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление целого числа −3 на обыкновенную дробь

А если бы мы по ошибке приняли вторую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим дробь на целое число 5В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является число −3, а делителем — дробь .

Пример 3. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление дроби на целое число 2

А если бы мы по ошибке приняли первую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим целое число −5 на дробь В этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является дробь , а делителем — целое число 2.

Несмотря на то, что многоэтажные дроби неудобны в работе, сталкиваться мы с ними будем очень часто, особенно при изучении высшей математики.

Естественно, на перевод многоэтажной дроби в понятный вид уходит дополнительное время и место. Поэтому можно воспользоваться более быстрым методом. Данный метод удобен и на выходе позволяет получить готовое выражение, в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй.

Реализуется этот метод следующим образом:

Если дробь четырехэтажная, например как , то цифру находящуюся на первом этаже поднимают на самый верхний этаж. А цифру, находящуюся на втором этаже поднимают на третий этаж. Полученные цифры нужно соединить значками умножения (×)

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй. Удобство да и только!

Чтобы не допускать ошибок при использовании данного метода, можно руководствоваться следующим правилом:

С первого на четвёртый. Со второго на третий.

В правиле речь идет об этажах. Цифру с первого этажа нужно поднимать на четвертый этаж. А цифру со второго этажа нужно поднимать на третий этаж.

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь вышеприведённым правилом.

Итак, цифру находящуюся на первом этаже поднимаем на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднимаем на третий этаж

В результате, минуя промежуточную запись мы получаем новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратной второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только первый, второй и четвёртый этажи. Третий этаж отсутствует. Но мы не отходим от основной схемы: цифру с первого этажа поднимаем на четвёртый этаж. А поскольку третий этаж отсутствует, то цифру находящуюся на втором этаже оставляем, как есть

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первое число −3 уже умножено на дробь, обратную второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Попробуем вычислить многоэтажную дробь , пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только второй, третий и четвёртый этажи. Первый этаж отсутствует. Поскольку первый этаж отсутствует, подниматься на четвёртый этаж нечему, но зато мы можем поднять цифру со второго этажа на третий:

В результате, минуя промежуточную запись мы получили новое выражение , в котором первая дробь уже умножена на число, обратное делителю. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Использование переменных

Если выражение сложное и вам кажется, что оно запутает вас в процессе решения задачи, то часть выражения можно занести в переменную и далее работать с этой переменной.

Математики часто так и делают. Сложную задачу разбивают на более лёгкие подзадачи и решают их. Затем собирают решённые подзадачи в одно единое целое. Это творческий процесс и этому учатся годами, упорно тренируясь.

Использование переменных оправдано, при работе с многоэтажными дробями. Например:

Найти значение выражения

Итак, имеется дробное выражение в числителе и в знаменателе котором дробные выражения. Другими словами, перед нами снова многоэтажная дробь, которую мы так не любим.

Выражение, находящееся в числителе можно занести в переменную с любым названием, например:

Но в математике в подобном случае переменным принято давать название из больших латинских букв. Давайте не будем нарушать эту традицию, и обозначим первое выражение через большую латинскую букву A

А выражение, находящееся в знаменателе можно обозначить через большую латинскую букву B

Теперь наше изначальное выражение принимает вид . То есть, мы сделали замену числового выражения на буквенное, предварительно занеся числитель и знаменатель в переменные A и B.

Теперь мы можем отдельно вычислить значения переменной A и значение переменной B. Готовые значения мы вставим в выражение .

Найдём значение переменной A

Найдём значение переменной B

Теперь подставим в главное выражения вместо переменных A и B их значения:

Мы получили многоэтажную дробь в которой можно воспользоваться схемой «с первого на четвёртый, со второго на третий», то есть цифру находящуюся на первом этаже поднять на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднять на третий этаж. Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Таким образом, значение выражения равно −1.

Конечно, мы рассмотрели простейший пример, но нашей целью было узнать, как можно использовать переменные для облегчения себе задачи, чтобы свести к минимуму допущение ошибок.

Отметим также, что решение для данного примера можно записать не применяя переменные. Выглядеть оно будет как

Это решение более быстрое и короткое и в данном случае его целесообразнее так и записать, но если выражение окажется сложным, состоящим из нескольких параметров, скобок, корней и степеней, то желательно вычислять его в несколько этапов, занося часть его выражений в переменные.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками . Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения чисел с разными знаками

Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками : чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить , и перед полученным произведением поставить знак минус.

Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|) , а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами . Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0 , которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b) . А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.

Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел . Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.

Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.

Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками . Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.

Пример.

Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5 .

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4 , а модуль 5 равен 5 , а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20 . Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20 . На этом умножение завершено.

Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20 .

Ответ:

(−4)·5=−20 .

При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей , умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.

Пример.

Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и .

Решение.

Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь , а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби , от исходного произведения мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида . Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно . Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем .

Умножение дробей.

Навигация по странице:

Умножение дроби на натуральное число.

Определение.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же.

Примеры умножения дроби на натуральное число

Пример 1.

Найти произведение дроби и натурального числа:
3 · 2 = 3 · 2 = 6
777

Пример 2.

Найти произведение дроби и натурального числа:
1 · 4 = 4 = 2·2 = 2
222

Умножение обыкновенных дробей.

Примеры умножения обыкновенных дробей

Пример 3.

Найти произведение двух дробей:
3 · 2 = 3 · 2 = 6
757 · 535

Пример 4.

Найти произведение двух дробей:
10 · 3 = 10 · 3 = 2 · 5 · 3 = 5 = 5
949 · 42 · 2 · 3 · 32 · 36

Смотрите также:

Умножение смешанных чисел.

Примеры умножения смешанных чисел

Пример 5.

Найти произведение двух смешанных чисел:
21 · 12 = 2 · 2 + 1 · 1 · 3 + 2 = 5 · 5 = 5 · 5 = 25 = 6 · 4 + 1 = 41
2323232 · 3666

Пример 6.

Найти произведение смешанного числа и целого числа:
41 · 6 = 4 · 3 + 1 · 6 = 13 · 6 = 26
333

Пример 7.

Найти произведение смешаного числа и обыкновенной дроби:
21 · 3 = 2 · 7 + 1 · 3 = 15 · 3 = 15 · 3 = 3 · 3 = 9 = 7 + 2 = 12
7575757 · 57777

Смотрите также:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Как умножить дроби на целые числа

Нужно научиться умножать дроби на целые числа? Или как дроби разделить на целые числа? Этот процесс, вероятно, проще, чем вы думаете! Мы разбиваем 4 простых шага, которые нужно выполнить для умножения дробей на целые числа, а также один дополнительный шаг для деления дробей и целых чисел. Изучите этот важный математический навык, а затем проверьте свои знания, пройдя нашу викторину в конце этого руководства.

Как умножить дроби на целые числа: 4 шага

Умножение дробей на целые числа может показаться пугающим, но на самом деле процесс довольно прост: нужно выполнить всего четыре шага.Мы проведем вас через каждый из этапов с помощью нашего первого примерного вопроса, а затем предоставим два дополнительных примера, чтобы вы имели твердое представление о том, как умножать дроби на целые числа.

Пример вопроса 1: ⅜ x 6

Шаг 1. Превратите целое число в дробь

Ваш первый шаг — превратить целое число в отдельную дробь. Это просто: вы просто даете ему знаменатель 1. Итак, в нашем примере 6 превращается в 6 / 1 .Это верно, потому что 6, разделенное на 1 группу, все равно равно 6. Это верно для любого целого числа: 3 = 3 / 1 , 17 = 17 / 1 и т. Д.

Теперь у нас ⅜ x 6 / 1

Шаг 2. Умножьте числители

Затем мы умножаем два числителя (верхнее число в дроби).

3 x 6 = 18, так что теперь у нас есть числитель для нашего ответа: 18 / __

Шаг 3. Умножьте знаменатели

Теперь умножьте два знаменателя (нижнее число на дробь).Когда вы умножаете дробь на целое число, это будет легко, потому что вы просто умножаете на 1.

8 x 1 = 8.

Добавьте его к нашему ответу, чтобы получить: 18 /8. Поехали!

Шаг 4. Упростите

Но мы еще не закончили. Возможно, дробь можно упростить. Самая простая форма дроби — это когда верхняя и нижняя часть дроби являются наименьшими целыми числами, которые они могут быть. Например, дробь 18 /8 не является самой простой формой, потому что ее все еще можно уменьшить до 9 /4, разделив верхнюю и нижнюю части дроби на 2.

9 /4 — это дробь в ее простейшей форме, но вы можете изменить ее на смешанное число, поскольку 9 /4 больше 1.

4 переходит в 9 дважды с остатком 1, поэтому ответ также можно записать как 2 ¼.

Вы также можете указать ответ в виде десятичной дроби. У нас есть целое руководство по преобразованию дробей в десятичные (а также и наоборот), но вот как это сделать просто. 2 остается неизменным, поскольку это целое число.Вы, наверное, уже знаете, что ¼ равно 0,25, поэтому оно становится значением в правой части десятичной дроби, давая окончательный ответ 2,25.

Пример вопроса 2: 4 x ⅖

Шаг 1: 4 /1 x

Шаг 2: 4 x 2 = 8

Шаг 3: 5 x 1 = 5

Шаг 4: Наш ответ, 8 /5, нельзя упростить дальше как неправильную дробь (где числитель больше знаменателя), но его можно преобразовать в смешанное число.5 переходит в 8 один раз, а осталось 3, поэтому ответ смешанного числа — 1 ⅗.

Чтобы преобразовать ⅗ в десятичную дробь, сначала нам нужно получить знаменатель равным 10. Для этого просто умножьте обе части дроби на 2, получив 6 /10. Теперь мы хотим, чтобы знаменатель был равен 1, чтобы избавиться от дроби, поэтому мы делим каждую часть дроби на 10. Это дает нам ,6 /1, что также равно просто 0,6. Объедините это с целым числом (1) из ответа, и ваш окончательный ответ в десятичной форме будет 1.6.

Пример вопроса 3: 5 x 2 3 /7

Шаг 1: Дробь представляет собой смешанное число, поэтому сначала нам нужно преобразовать ее в неправильную дробь. Помните, что при сложении или вычитании дробей знаменатели должны быть одинаковыми. Чтобы у целого числа 2 был тот же знаменатель, превратите его в дробь, 2 /1, затем умножьте верхнюю и нижнюю на 7. Вы получите 14 /7, что при добавлении к 3 / 7, это 17 /7.Также сделайте 5 дробью. Теперь имеем: 5 /1 x 17 /7

Шаг 2: 5 x 17 = 85

Шаг 3: 7 x 1 = 7

Шаг 4: Теперь у нас есть 85 /7. Его нельзя упростить, но можно превратить в смешанное число. 7 превращается в 85 двенадцать раз, а остаток — 1. Наш окончательный ответ — 12 1 /7, или 12,14 в десятичной форме.

5 шагов к разделению дробей на целые числа (и наоборот)

Разделение двух дробей аналогично умножению на обратную величину второй дроби.Это означает, что, когда вы освоите умножение дробей на целые числа, вы в значительной степени знаете, как делить дроби на целые числа!

Ниже мы проведем вас через шаги и объясним два примера: в одном вы делите дробь на целое число (используя те же значения, что и в примере № 1 выше), а в другом — целое число делите на дробь.

Пример вопроса 4: ⅜ / 6

Шаг 1. Превратите целое число в дробь

Так же, как мы делали, когда умножали дроби на целые числа, превратим 6 в дробь, добавив к знаменателю 1: 6 /1

Шаг 2. Переверните второе число

Это дополнительный шаг, необходимый для деления дробей.Сейчас у нас ⅜ / 6 /1. Переверните второе число и измените знак деления на знак умножения: ⅜ x ⅙

Как только вы это сделаете, вы решите проблему так же, как и в приведенных выше примерах.

Шаг 3. Умножение числителей

3 х 1 = 3

Шаг 4: Умножение знаменателей

8 х 6 = 48

Это дает нам 3 /48

Шаг 5. Упростите

Не забывайте упрощать! Мы можем разделить числитель и знаменатель на 3, что даст нам окончательный ответ: 1 /16 или 0.0625.

Пример вопроса 5: 4 / ⅖

Шаг 1: 4 /1 / ⅖

Шаг 2: 4 /1 x 5 /2

Шаг 3: 4 x 5 = 20

Шаг 4: 1 x 2 = 2

Шаг 5: 20 /2 упрощается до 10!

3 совета по предотвращению ошибок

Теперь вы знаете основные шаги, как умножать дроби на целые числа, а также как делить дроби на целые числа, но все же можно допустить небрежные ошибки при решении этих проблем, даже если вы хорошо понимаете концепции.Снизьте свои шансы на ошибку, следуя этим трем советам.

# 1: Знайте, ожидать ли большого или малого числа

Один из лучших способов проверить и избежать глупых ошибок — быстро узнать, не отличается ли ваш ответ от ожидаемого. Когда вы делите или умножаете дроби и целые числа, вы можете ожидать определенных закономерностей.

Ответ, скорее всего, будет> 1

  • Дробь, умноженная на целое число
  • Целое число, умноженное на дробь
  • Целое число, разделенное на дробь

Ответ, скорее всего, будет <1

  • Дробь, деленная на целое число

Очевидно, что знание этого трюка не даст вам правильного ответа, но если вы работаете над проблемой вроде ⅖ / 4 и получаете число больше 1, вы можете быть уверены, что вам нужно вернуться и перепроверьте свою работу.

# 2: Упорядочивайте числители и знаменатели

Можно легко запутать числители и знаменатели, особенно когда речь идет о делении и вы переворачиваете дроби. Большинство ошибок совершается, когда люди умножают неправильные числа или ставят ответ числителя в знаменатель (или наоборот).

Избегайте этого, сохраняя свою работу аккуратной и всегда ясно давая понять, что такое числители, а что знаменатели. Например, после того, как вы умножите числители, добавьте тире под своим ответом (например, 4 / ___), чтобы вы вспомнили, что вы только что решили, и что следующее значение, которое вы решите, будет знаменателем.

# 3: Всегда старайтесь упрощать

Как только вы закончите умножение и запишите свой ответ, у вас может возникнуть соблазн сразу перейти к следующему вопросу. Потратьте несколько дополнительных секунд на то, чтобы понять, можно ли упростить ваш ответ. Некоторые учителя снимают баллы за правильные, но не упрощенные ответы, и вы определенно не хотите получать вычеты после того, как вы выполнили всю работу правильно! Упростите, насколько можете, и, если значение вашей дроби больше 1, преобразуйте его в смешанное число, если это то, что предпочитает ваш учитель (у некоторых есть другие предпочтения, поэтому попросите убедиться, что вы выполняете все необходимые шаги. ).

Викторина: деление и умножение дробей на целые числа

Готовы проверить свои знания умножения дробей на целые числа? В этом разделе десять вопросов. Для каждого вы будете умножать дроби на целые числа или делить дроби на целые числа. Попробуйте, а затем проверьте свои ответы с помощью ключа ниже.

# 1: 5 x 4 /3

# 2: 2 /9 x 11

# 3: 12 x

# 4: ½ / 3

# 5: 4 /9 x 7

# 6: ⅞ x 2

# 7: 8 / ⅔

# 8: 5 /12 x 5

# 9: 5/ 4 /7

# 10: 4 /15 x 9

Ключ ответа

# 1: 6 ⅔
# 2: 2 4 /9
# 3: 2 ⅖
# 4: ⅙
# 5: 3 1 /9
# 6: 1 ¾
# 7: 12
# 8: 2 1 /12
# 9: 8 ¾
# 10: 2 6 /15

Что дальше?

Хотите узнать больше о десятичных дробях, дробях и процентах? Ознакомьтесь с 3 этапами преобразования десятичных дробей в дроби (и обратно)

Если вы не уверены, какие уроки математики в старшей школе вам следует посещать, это руководство поможет вам составить расписание, чтобы быть уверенным, что вы готовы к поступлению в колледж!

Теперь, когда вы являетесь экспертом в умножении и делении дробей, испытайте себя, научившись переводить градусы Цельсия в градусы Фаренгейта!

Умножение дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число, помните, что умножение — это повторное сложение.

Пример 1:

Умножить 1 7 ⋅ 3 .

Запишите умножение в виде сложения. Добавлять 1 7 три раза.

1 7 ⋅ 3 знак равно 1 7 + 1 7 + 1 7

Теперь нам просто нужно добавить дроби с одинаковыми знаменателями.Знаменатели оставьте неизменными, а числители сложите.

знак равно ( 1 + 1 + 1 ) 7 знак равно 3 7

Пример 2:

Умножить 5 ⋅ 3 16 .

5 ⋅ 3 16 знак равно 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 знак равно 5 ⋅ 3 16 знак равно 15 16

Другой способ подумать об этом — переписать целое число в виде дроби со знаменателем 1 .

5 ⋅ 3 16 знак равно 5 1 ⋅ 3 16

Затем умножьте числители и знаменатели , согласно обычным правилам для умножение дробей .

знак равно 5 ⋅ 3 1 ⋅ 16 знак равно 15 16

В некоторых случаях ваш ответ может быть больше, чем 1 , поэтому вы захотите переписать его как смешанное число .Вам также может потребоваться уменьшить фракцию чтобы получить его в простейшем виде.

Пример 3:

Умножить 1 4 ⋅ 10 .

1 4 ⋅ 10 знак равно 10 4

И числитель, и знаменатель имеют общий множитель: 2 . Разделите оба на 2 .

знак равно 5 2

Перепишите эту неправильную дробь как смешанное число.

знак равно 2 1 2

Как умножить дроби на разные знаменатели

Шаги по умножению дробей

Давайте посмотрим на эту задачу о вечеринке с пиццей. Чтобы умножить дроби, нужно всего несколько простых шагов.

Шаг 1. Настройте проблему. 1/2 от 1/3 = 1/2 x 1/3. Вы заметите, что в вашей задаче в отличие от знаменателя , что означает, что нижние числа отличаются друг от друга.Хотя это важно при сложении или вычитании дробей, это не проблема при умножении.

Шаг 2: Умножьте верхние числа, называемые числителями . 1 x 1 = 1. Это числитель вашего ответа.

Шаг 3: Умножьте знаменатели. 2 x 3 = 6. Это знаменатель вашего ответа.

Шаг 4: Составьте ответ: 1/6. Ваш брат и сестра получат по 1/6 пиццы!

Умножение на фракции пиццы

Упрощение дробей

Иногда получается дробь, которая должна быть упрощенной .Это означает, что числитель и знаменатель составляют , а не наименьшее целое число, которое они могут быть. Он не меняет размер дроби (кусок пиццы в предыдущем примере), а просто упрощает задачу.

Вот пример! Вы живете в одной комнате со своей младшей сестрой. Мама говорит, что сегодня вам нужно убрать минимум 2/3 вашей половины комнаты, а затем вы можете выйти на улицу поиграть. Какую часть комнаты всей комнаты вы уберете сегодня? Умножьте, а затем упростите!

Шаг 1: Постройте проблему: 2/3 x 1/2 =

Шаг 2: Умножьте числители: 2 x 1 = 2

Шаг 3: Умножьте знаменатели: 3 x 2 = 6

Шаг 4 : Соберите ответ: 2/6.Это не самые маленькие числа, поэтому вам нужно будет упростить!

Шаг 5: Разделите числитель и знаменатель на 2.

2 ÷ 2 = 1. Это ваш новый числитель.

6 ÷ 2 = 3. Это ваш новый знаменатель.

Итак, 2/6 упрощается до 1/3. Это ваш ответ! Вы должны убрать по крайней мере 1/3 всей комнаты, прежде чем вы сможете выйти на улицу!

Умножение доли спальни

Попробуем еще один пример! Вы спрашиваете маму, можете ли вы вместо этого убрать 2/8 своей половины комнаты.Какая это часть всей комнаты?

2/8 x 1/2 = 2/16

Эта дробь упрощена? Как вы можете сказать? Попробуйте найти число, которое делится на 2 и 16. 2 ÷ 2 = 1, а 16 ÷ 2 = 8, поэтому 2/16 = 1/8. Если вы не можете найти число, которое делится и на числитель, и на знаменатель, ваша дробь может быть уже в простейшей форме.

Дополнительную информацию об упрощении дробей см. В уроке «Как упрощать дроби: урок для детей».

Краткое содержание урока

Умножение дробей обычно состоит из четырех-пяти шагов. Сначала вы умножаете числители на , затем умножаете знаменатели на , даже если они не похожи. Наконец, посмотрите на свою дробь и определите, находится ли она в простейшей форме. Если нет, вы должны найти число, на которое можно разделить числитель и знаменатель, чтобы упростить дробь.

Как умножать и делить дроби [Видео]

Умножение и деление дробей

Многие студенты по-настоящему боятся дробей.Однако, если вы помните, что представляет собой дробь , и несколько математических правил того, как работать с ними алгебраически, вы сможете уверенно обращаться с дробями. В этом видео мы рассмотрим, как умножать и делить дроби. Давайте начнем.

Мы должны начать с определения того, что такое дробь. Дробь представляет собой отношение «части» к «целому» или части к целому. Значение над линией деления называется числителем , а значение под линией деления — знаменателем .

Умножение дробей

Для умножения дробей просто умножьте «прямо поперек», то есть «числитель умноженный на числитель», разделенный на «знаменатель умноженный на знаменатель». Давайте рассмотрим несколько быстрых примеров:

\ (\ frac {2} {3} \ times \ frac {2} {5} \)

Здесь мы хотим умножить \ (\ frac {2} {3} \) от \ (\ frac {2} {5} \). Как мы уже говорили ранее, мы будем размножаться прямо. Итак, у нас будет 2 умножить на 2 на 3 умножить на 5, что равно четырем на пятнадцать.Итак, наш ответ \ (\ frac {4} {15} \).

\ (\ frac {2} {3} \ times \ frac {2} {5} = \ frac {2 \ times 2} {3 \ times 5} = \ frac {4} {15} \)

А теперь попробуем еще. Мы собираемся попробовать \ (\ frac {4} {7} \) раз \ (\ frac {3} {11} \).

\ (\ frac {4} {7} \ times \ frac {3} {11} \)

Опять та же концепция. Мы собираемся умножить 4 на 3, разделить на 7 умножить на 11. Это дает нам \ (\ frac {12} {77} \).

\ (\ frac {4} {7} \ times \ frac {3} {11} = \ frac {4 \ times 3} {7 \ times 11} = \ frac {12} {77} \)

Довольно просто, правда? Теперь давайте посмотрим на деление дробей.

Деление на дроби

При делении на дроби процесс немного отличается. Прежде чем мы перейдем к механике процесса, давайте рассмотрим интуитивно понятный пример деления дроби на два. Эффект деления на 2 заключается в простом разрезании дроби пополам или простом умножении дроби на 1.

Итак, \ (\ frac {4} {5} \) разделить на 2 — это то же самое, что сказать \ (\ frac {4} {5} \) раз \ (\ frac {1} {2} \).

\ (\ frac {4} {5} \ div 2 = \ frac {4} {5} \ times \ frac {1} {2} \)

Тогда это будет умножено на точно так же, как мы делал раньше.Итак, у нас 4 умножить на 1 равно четырем, более 5 умножить на 2 будет 10. Что затем упрощается до \ (\ frac {2} {5} \).

\ (\ frac {4} {5} \ div 2 = \ frac {4} {5} \ times \ frac {1} {2} = \ frac {4} {10} = \ frac {2} {5} \)

Другими словами, \ (\ frac {2} {5} \) вдвое меньше \ (\ frac {4} {5} \).

Аналогично, деление дроби на 3 приведет к дроби, которая составляет одну треть размера оригинала:

\ (\ frac {2} {5} \ div 3 = \ frac {2} {5} \ times \ frac {1} {3} = \ frac {2} {15} \)

\ (\ frac {2} {5} \) разделить на 3 — это то же самое, что сказать \ (\ frac {2 } {5} \) раз \ (\ frac {1} {3} \), что дает вам \ (\ frac {2} {15} \).

Итак, \ (\ frac {2} {15} \) составляет одну треть размера \ (\ frac {2} {5} \).

Прежде чем обобщать этот процесс, давайте рассмотрим некоторые важные термины. Рассмотрим связь между 2 и \ (\ frac {1} {2} \). Эти числа называются обратными друг другу, что означает, что числитель одного числа является знаменателем другого, и наоборот. Помните, что 2 можно записать в виде дроби, записав ее над 1, например: \ (\ frac {2} {1} \). Следовательно, \ (\ frac {2} {1} \) и \ (\ frac {1} {2} \) являются обратными величинами.То же самое верно для 3 и \ (\ frac {1} {3} \), потому что 3 можно записать как \ (\ frac {3} {1} \). Следовательно, 3 и \ (\ frac {1} {3} \) являются обратными величинами.

Имея это в виду, какую закономерность вы видите в процессе деления дробей?

Сохранить, изменить, перевернуть

Процесс деления дробей такой же, как умножение первой дроби на обратную величину второй. Сокращенная версия этого многословного объяснения, которое может помочь вам запомнить процесс деления, — «Сохранить, изменить, перевернуть»:

Оставить первую дробь, как есть
Измените операцию с деления на умножение;
Отобразите (или обратную величину) вторую дробь.

После выполнения этой корректировки просто следуйте правилам умножения дробей путем умножения числителей и деления на произведение знаменателей.

Вот пример использования процесса «Сохранить, изменить, перевернуть»:

Допустим, мы хотим разделить \ (\ frac {3} {5} \) на \ (\ frac {7} {5} \). Мы оставим первую дробь как есть, изменим операцию с деления на умножение и перевернем второе число. Теперь мы просто умножаем числители, 3 умножить на 5 будет пятнадцать, а более 5 умножить на 7 — это 35.Затем мы упрощаем до \ (\ frac {3} {7} \).

\ (\ frac {3} {5} \ div \ frac {7} {5} = \ frac {3} {5} \ times \ frac {5} {7} = \ frac {15} {35 } = \ frac {3} {7} \)

Надеюсь, это видео было полезно! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Как умножить дроби за 6 шагов

Дроби пронизывают многие области профессиональной и личной жизни. От суммирования пробега до расчета ежемесячного бюджета дроби играют важную роль в повседневной математике, которую вы будете использовать на протяжении всей своей карьеры.

Это особенно верно для должностей в рамках определенных отраслевых ролей, таких как финансы, бухгалтерский учет, бухгалтерский учет и других ролей, где вы будете полагаться на математику при выполнении работы. Понимание числовых отношений также важно для развития вашего критического мышления и навыков решения проблем, поскольку процесс анализа информации, вычисления значений и обработки решений важен для многих типов рабочих ролей.

В этой статье мы обсудим различные типы дробей и их пошаговое умножение с примерами, которые помогут вам почувствовать себя уверенно в этом жизненном математическом навыке.

Связанные: математические навыки: определение, примеры и способы их развития

Как умножать дроби шаг за шагом

Существует три типа дробей: правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа. Для каждого типа дроби требуется свой метод умножения.

Как умножить правильные дроби

Правильные дроби — это типичные значения, о которых вы думаете, когда слышите слово «дробь». Эти дроби состоят из числителя, значение которого меньше знаменателя.

Например, дроби 1/4, 3/8 и 9/10 являются примерами правильных дробей. Кроме того, правильные дроби — это дроби, которые можно преобразовать в десятичные числа, поскольку они представляют собой значения меньше единицы.

Чтобы умножить правильные дроби, выполните следующие действия:

1. Умножьте числители дробей вместе

Выровняйте дроби, с которыми вы работаете, горизонтально по бумаге. Умножьте все ваши числители вместе, чтобы получить часть вашего продукта.Вот пример:

1/2 x 2/3 x 1/4 = даст вам новый числитель 2.

2. Умножьте знаменатели дробей вместе

. все знаменатели ваших дробей. Продукт становится вашим новым знаменателем. Используя предыдущий пример, вот результат:

1/2 x 2/3 x 1/4 = даст вам числитель 2 и знаменатель 24.

3. Упростите или уменьшите произведение

Как только вы дойдете до конечного продукта, сократите его до минимального уровня.Чтобы уменьшить, найдите «наивысший общий множитель» обоих чисел — число, которое войдет в числитель и знаменатель равномерно. Используя пример из вышеперечисленных шагов, коэффициент будет 2 , поэтому:

2/24 уменьшится до 1/12.

Ответ: 1/12.

Как умножить неправильные дроби

Неправильные дроби состоят из числителя, значение которого превышает знаменатель дроби.

Например, дробь 25/12 — неправильная дробь.Деление числителя на знаменатель неправильной дроби обычно дает смешанное число, однако неправильные дроби, такие как 24/8, 36/9 и 12/3, дают целочисленный ответ. Имея это в виду, вы всегда должны преобразовывать смешанную дробь в неправильную дробь перед умножением.

Чтобы умножить неправильные дроби, вы будете использовать те же шаги, что и для правильных дробей выше, но вам, вероятно, придется преобразовать их в смешанные дроби в конце.

1.Умножьте числители дробей вместе

Вот пример:

6/2 x 5/4 = даст вам числитель 30

2. Умножьте знаменатели дробей вместе

Используя В предыдущем примере умножьте знаменатели:

6/2 x 5/4 = даст вам знаменатель 8

3. Преобразуйте в правильную дробь

Большинство математических процедур потребуют правильного ответа. форма дроби — дробь, знаменатель которой имеет большее значение, чем числитель.Когда неправильная форма преобразована в правильную дробь, она становится смешанной дробью. Чтобы получить смешанное число из неправильной дроби, разделите числитель на знаменатель.

Используя наш предыдущий пример:
Разделите 30 на 8, что равно 3. 3 будет целым числом смешанной дроби. После деления останется 6, и она будет числителем, а знаменатель останется равным 8. Результат будет: 3 и 6/8. 6/8 можно сократить до ¾, поэтому окончательный ответ: 3 и ¾.

Как умножать смешанные числа

Смешанные числа состоят из правильной дроби и целого числа. Например, 3 1/2, 4 5/8 и 2 2/3 являются примерами смешанных чисел. Хотя выполнять операции сложения и вычитания со смешанными числами довольно просто, вам нужно преобразовать их в неправильные дроби, как мы сделали выше, чтобы иметь возможность их умножать или делить.

1. Преобразование в неправильные дроби

Если вы начинаете с двух или более дробей, каждая из которых состоит из целого числа и дроби, вам нужно будет преобразовать их в неправильные дроби.Например:

2 и ¼ X 3 и ½

Чтобы преобразовать 2 и ¼, умножьте целое число на знаменатель, добавьте числитель и поместите его над существующим знаменателем:

2 x 4 = 8 + 1 = 9 будет 9/4

И сделайте то же самое для 3 и ½:

3 x 2 = 6 + 1 = 7 будет 7/2

2. Умножьте, используя тот же метод

После того, как вы преобразовали смешанное число в неправильную дробь, просто умножьте дроби, используя тот же метод, что и обычные дроби.Используя неправильные дроби из предыдущего шага, умножьте:

9/4 x 7/2 = 63/8
Поскольку вы изначально умножили на неправильную дробь, ваше произведение также будет неправильной дробью: 63/8.

3. Упростите и преобразуйте в правильную дробь

Так же, как при умножении правильных и неправильных дробей, вам нужно будет сократить результат до наименьшего числа. Если вы воспользуетесь предыдущим примером, это даст вам результат 63/8, который нельзя упростить дальше, чем он есть.

Теперь преобразуйте полученную дробь в смешанную числовую дробь, разделив числитель на знаменатель:

63/8 = 7

8 не делится на 63 равномерно, поэтому после деления у вас останется 7. и это будет числитель в вашей смешанной дроби над исходным знаменателем. Таким образом, ответ будет следующим:

7 и ⅞

Связанное: Навыки счета: определение и примеры

Что такое умножение дроби на целое число?

Умножение дроби на целое число

Мы знаем, что умножение — это повторное сложение.Итак, умножение дроби на целое число эквивалентно сложению дроби целое число раз.

Например:

3 x 14 может отображаться как,

Алгебраически это означает, что 3 x 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1 + 1 + 1 4 = 3 4

Рассмотрим произведение 5 x 2 3.

Это эквивалентно сложению 23,5 раза. Поскольку повторное сложение может быть выполнено умножением, это можно сделать, умножив числитель на 5.

То есть 5 x 23 = 5×24 = 103

Другой способ взглянуть на это — рассмотреть целое число 5 как дробь со знаменателем 1. Чтобы умножить две дроби, умножьте числители и знаменатели по отдельности, а затем запишите их произведения как числители и знаменатели соответственно.

5 x 23 = 51 + 23 = 5x21x3 = 103

Так как произведение представляет собой неправильную дробь, преобразуйте его в смешанное число. Разделите 10 на 3. Частное равно 3, а остаток равен 1.

Таким образом, 103 = 313.

Это можно четко определить в геометрической интерпретации, как показано:

Пример:

Екатерина делает торт, для которого ей нужно использовать три четверти стакана масла. Если она решит испечь три торта, какое количество масла потребуется?

Для трех лепешек количество используемого масла должно быть в 3 раза больше трех четвертей стакана масла.

3 x 34 = 31 x 34 = 3x31x3 = 94

Преобразует неправильную дробь в смешанное число.

9 ÷ 4 = Q 2 R 1

Таким образом, 94 = 21 4

Следовательно, по новому рецепту потребуется 2 с четвертью стакана масла.

Интересный факт:

  • Если множимое является смешанной дробью, сначала преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножьте.

Пример: 5 x 62 3

Сначала преобразуем 62 3 в неправильную дробь.

623 = (6×3) +23 = 203

Итак, 5 x 623 = 5 x 203 = 51 x203 = 1003

Теперь преобразуем 1003 в смешанную дробь.

120 ÷ 3 = 33 кв. 1

Таким образом, 1003 = 3313

Умножение дробей | Математика для гуманитарных наук Corequisite

Результаты обучения

  • Умножение дробей
    • Умножение двух или более дробей
    • Умножить дробь на целое число

Введение

Прежде чем мы начнем, вот несколько важных терминов, которые помогут вам понять концепции работы с дробями в этом разделе.

  • произведение: результат умножения
  • Коэффициент : что-то умножается — для [latex] 3 \ cdot 2 = 6 [/ latex] и 3, и 2 являются множителями 6
  • числитель: верхняя часть дроби — числитель дроби [латекс] \ frac {2} {3} [/ latex] равен 2
  • знаменатель : нижняя часть дроби — знаменатель дроби [латекс] \ frac {2} {3} [/ latex] равен 3

Примечание об инструкциях

Учебники по математике и учителя используют много разных слов, чтобы дать ученикам инструкции о том, что им делать с той или иной задачей.Например, в примере этого модуля вы можете увидеть такие инструкции, как «Найти» или «Упростить». Важно понимать, что означают эти слова, чтобы вы могли успешно решать задачи этого курса. Вот краткий список слов, которые могут помочь вам понять, как решать проблемы в этом модуле.

Инструкция Интерпретация
Найти Выполните указанные математические операции, которые могут включать сложение, вычитание, умножение, деление.
Упростить 1) Выполните указанные математические операции, включая сложение, вычитание, умножение, деление.

2) Напишите математическое утверждение в кратчайшие сроки, чтобы не было никаких других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями и порядком операций

Оценить Выполните указанные математические операции, включая сложение, вычитание, умножение, деление
Уменьшить Напишите математическое утверждение в наименьшем или наименьшем значении, чтобы не было никаких других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями или делением

Умножение дробей

Подобно тому, как вы складываете, вычитаете, умножаете и делите при работе с целыми числами, вы также используете эти операции при работе с дробями.Часто бывает необходимо умножать дроби. Модель может помочь вам понять умножение дробей.

Умножая дробь на дробь, вы получаете «дробь дроби». Предположим, у вас есть [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] моноблока и вы хотите найти [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] [latex] \ frac { 3} {4} [/ latex]:

Разделив каждую четвертую пополам, вы можете разделить моноблок на восьмые.

Затем выберите половину из них, чтобы получить [latex] \ frac {3} {8} [/ latex].

В обоих вышеупомянутых случаях, чтобы найти ответ, вы можете перемножить числители и знаменатели.

Умножение двух дробей

[латекс] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} = \ frac {\ text {произведение числителей}} {\ text {произведение знаменателей}} [/ латекс]

Умножение более двух дробей

[латекс] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} \ cdot \ frac {e} {f} = \ frac {a \ cdot c \ cdot e} {b \ cdot d \ cdot f} [/ latex]

Пример

Умножьте [латекс] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {5} [/ latex].

Показать решение Умножьте числители и знаменатели.

[латекс] \ frac {2 \ cdot 4} {3 \ cdot 5} [/ латекс]

Упростите, если возможно. Эта доля уже на самом низком уровне.

[латекс] \ frac {8} {15} [/ латекс]

Ответ

[латекс] \ frac {8} {15} [/ латекс]

На заметку: если у дроби есть общие множители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к ее упрощенной форме, удалив общие множители.

Например,

  • Для [latex] \ frac {8} {15} [/ latex] множители 8 равны: 1, 2, 4, 8, а множители 15: 1, 3, 5, 15.[latex] \ frac {8} {15} [/ latex] упрощен, поскольку нет общих множителей 8 и 15.
  • Учитывая [латекс] \ frac {10} {15} [/ latex], множители 10 равны: 1, 2, 5, 10 и множители 15: 1, 3, 5, 15. [латекс] \ frac {10} {15} [/ latex] не упрощается, потому что 5 является общим множителем 10 и 15.

Вы можете сначала упростить, прежде чем умножать две дроби, чтобы облегчить вашу работу. Это позволяет вам работать с меньшими числами при умножении.

В следующем видео вы увидите пример того, как умножить две дроби, а затем упростить ответ.

Подумай об этом

Умножьте [латекс] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {3} {5} [/ latex]. Упростите ответ.

Чем этот пример отличается от предыдущих на этой странице? Воспользуйтесь рамкой ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби вместе.

Показать решение Умножьте числители и знаменатели.

[латекс] \ frac {2 \ cdot 1 \ cdot 3} {3 \ cdot 4 \ cdot 5} [/ латекс]

Сначала упростите, отбросив (разделив) общие множители 3 и 2.3, разделенное на 3, равно 1, а 2, разделенное на 2, равно 1.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {2 \ cdot 1 \ cdot3} {3 \ cdot (2 \ cdot 2) \ cdot 5} \\\ frac {\ cancel {2} \ cdot 1 \ cdot \ cancel {3}} {\ cancel {3} \ cdot (\ cancel {2} \ cdot 2) \ cdot 5} \\\ frac {1} {10} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {3} {5} [/ latex] = [латекс] \ frac {1} {10} [/ латекс]

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.