Как умножать дроби на дроби: § Умножение дробей

Содержание

Урок математики по теме: "Умножение дробей". 6-й класс

Цели урока:

  • Обучающие:
    • сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, правило умножения обыкновенных дробей;
    • вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.
  • Развивающиея:
    • развитие аналитического мышления учащихся;
    • формирование умения выделять главное и обобщать.
  • Воспитывающие:
    • формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи урока:

  • настроить детей на рабочий лад;
  • повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;
  • проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;
  • сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;
  • отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;
  • проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

  • Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.
  • Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный, использование ИКТ.

Оборудование: учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин; сборник математических диктантов;  мультимедийный проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.) (Приложение. Слайд 2)

Учитель.

Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности истекших дней
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины
Всё время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить
Свершать открытья.

– На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

2. Вводный контроль (3 мин.)

Учитель. Начнём урок с повторения. (Приложение. Слайд 3)

1 вариант                                                    2 вариант

1)     =              п                           1)   =         л 
2)     =          л                           2)   =        о
3)    =       а                           3)   =     м
4)     =              н                           4)    =         а
5)   =              у                           5)   =          т
6)      =          д                           6)    =        ь 

ПЛАНУД                                                                         ЛОМАТЬ

Сначала на слайде видны примеры и таблицы ответов, затем  ответы и слова.
Рассказывает учащийся, подготовленный дома.

Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке.

Происходит слово “дробь” от слова “дробить, разбивать, ломать на части”. Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Для запоминания: “Человек стоит на земле”. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.
Задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

  1. Какие правила вы применяли?
  2. Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?
  3. Как выполнить сложение смешанных чисел?
  4. Как выполнить вычитание смешанных чисел?

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся формулируют правила.

3. Сообщение темы урока (4 мин.)

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?
Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.
Учитель. Сегодня на уроке будем работать над темой:
«Умножение дробей». Сформулируем правило умножения дробей, научимся его применять.

Подготовительная работа (Приложение. Слайд 4)

Замените сумму произведением:

5 + 5 + 5 =  5 • 3
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2  =  2 • 7
а  + а  + а  + а  + а  +  а  =  а•6

Замените произведение суммой (Приложение. Слайд 5):

3 • 5  =  3 + 3 + 3 + 3 + 3
8 • 2 = 8 + 8
b • 3 = b + b + b

4. Изучение нового материала (10 мин.)

Задача. (Приложение. Слайд 6)
Скорость улитки  см /мин. Какое расстояние проползёт улитка за 4 минуты?
– Что неизвестно в задаче?
– Как найти расстояние, зная скорость и время? (Скорость умножить на время)
– Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать.
– Как быть?
– Как быстрее получить? (Заменить произведение суммой одинаковых слагаемых).
 • 4 =   +  +  +  =   =   2см.
Что значит умножить  на 4? (Найти сумму четырёх слагаемых каждое из которых равно ).
Сравните  • 4 и , что интересного заметили? (Числитель дроби  равен произведению числителя дроби  и числа 4, а знаменатель остался без изменения.)
Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число

. (Приложение. Слайд 7)

– Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Записывают в буклет правило умножения дроби на число (начало правила уже вписано, нужно только закончить).

5. Закрепление новых знаний (10 мин.)

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. (Приложение. Слайд 8)

№ 413 б, в – на доске, г – с комментированием на месте, ж, з – самостоятельно.

б)  
,                   .

Физкультминутка (3 мин.)

Сокращение дробей. Если верно – поднимаем руки вверх, неверно –  делаем круговые движения головой. (Приложение. Слайд 9)

6/8 = 1/3; 21/49 = 3/8; 15/20 = 3/4; 16/32 = 1/3.

6. Работа с учебником (5 мин.)

Цель: научиться умножать дробь на дробь.

– Самостоятельно рассмотрите по учебнику задачу 2 на стр 71. Попробуйте сформулировать правило умножения дроби на дробь.

Дети формулируют правило, оно появляется на слайде. (Приложение. Слайд 10)

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;
2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

– Выполните умножение дробей (учащиеся проговаривают правило): № 419 (в; е – на доске; з; и – с комментированием с места; к; л – сам-но, 2 человека за доской).

– Нужно ли в данном случае находить отдельно произведение числителей и произведение знаменателей? (Нет, нужно сначала сократить дробь, а затем умножить оставшиеся множители.)
Прочитайте текст в учебнике на стр74 под рубрикой «Говори правильно».

– Выполните умножение дробей (на доске):

а)
б)
– Составьте алгоритм умножения трёх и более дробей (Приложение. Слайд 11)

При умножении и трёх и более дробей:

  1. Удобнее сначала в числителе записать произведение всех числителей, в знаменателе – произведение всех знаменателей.
  2. Сократить получившуюся дробь.
  3. Выполнить умножение оставшихся множителей.
  4. Если надо, выделить целую часть.

7. Рефлексия (1 мин.) (Приложение. Слайд 12)

Я хорошо понял, как умножать дроби (приклеить на круг зелёную полоску).
Я не всё понял, у меня были ошибки (приклеить на круг жёлтую полоску).
Я не понял, как умножать дроби (приклеить на круг красную полоску).

Приклеивают полоски на круг и показывают.

8.

Домашнее задание (1 мин.) (Приложение. Слайд 13)

п.13 (1, 2), № 457 (а, б, ж,  з),  № 463 (а, б), дополнительное задание в буклете.

9. Итог урока (2 мин.)

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Учащиеся отвечают правило.

Умножение дробей. - tutomath репетитор по математике

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\( \frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \( \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \( \bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Урок 17. Умножение дробей | Уроки математики и физики для школьников и родителей


                                     ВИДЕО УРОК

Здесь многое придётся делать по–новому, потому что действие умножение дробей во многом отличается от умножения над натуральными числами.
Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь.
Произведением дробей называют такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе – знаменателем произведения.
При умножении следует делать (если возможно) сокращение.

ПРИМЕР:
Приведём пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей.
Рассмотрим квадрат со стороной  1 ед., при этом его площадь равна  1 ед2.
Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами  1/4 ед.  и  1/8 ед., при этом исходный квадрат будет состоять из

прямоугольников. Следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет  1/32  долю площади исходного квадрата, то есть она равна  1/32  ед2.  Теперь закрасим часть исходного квадрата.
Стороны закрашенного прямоугольника равны  5/8 еди  3/4 ед., значитего площадь равна произведению дробей  5/8  и  3/4то есть,
Но закрашенный прямоугольник состоит из  15  маленьких прямоугольников, значит его площадь равна  15/32 ед2. Следовательно,
Так как

то последнее равенство можно переписать как
что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей.
С помощь этого правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

Выполните умножение обыкновенной дроби  7/11  на обыкновенную дробь  9/8.
Произведение числителей умножаемых дробей  7  и  9  равно  63, а произведение знаменателей  11  и  8  равно  88. Таким образом, умножение обыкновенных дробей  7/11  и  9/8  даёт дробь  63/88. Краткая запись решения:
ОТВЕТ:  63/88

Помните про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и при выделении целой части из неправильной дроби.
Выполните умножение обыкновенной дроби  4/15  на обыкновенную дробь  55/6.
Применим правило умножения обыкновенных дробей:
Очевидно, что полученная дробь сократима. Выполним сокращение дроби. 

НОД (220; 90) = 10.
Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби:
Краткая запись решения:
ОТВЕТ:  24/9 

Сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть когда дробь имеет вид
Для этого числа
заменяют их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя. Решим предыдущий пример другим способом. Выполните умножение обыкновенной дроби  4/15  на обыкновенную дробь  55/6.
Применим правило умножения обыкновенных дробей:
Так как
6 = 2 ∙ 3, то
Теперь сокращаем общие простые множители:
Вычислим произведения в числителе и знаменателе дроби, после чего выделим целую часть из неправильной дроби.
Краткая запись решения:
ОТВЕТ:  24/9 

Для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть умножаемые дроби можно менять местами:
Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.
Смысл умножения обыкновенной дроби на натуральное число выясняется из следующего определения: умножить обыкновенную дробь (множимое) на натуральное число (множитель) – значит найти эту дробь множимого. Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо умножить натуральное число на числитель дроби и это произведение сделать числителем, а знаменателем подписать знаменатель данной дроби.
С помощью букв правило умножение дроби  a/b  на натуральное число  n  имеет вид:
Эта формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей:
Представив натуральное число как дробь со знаменателем  1, получим:
Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем  1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнить по этому же правилу.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Выполните умножение дроби  2/27  на  5.
Умножение числителя  2  на число  5  даёт  10, поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение  2/27  на  5  равно дроби  10/27.
ОТВЕТ:  10/27 
При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она ещё и неправильная, то представить её в виде смешанной дроби. Выполните умножение дроби  5/12  на  8.
По формуле умножения дроби на натуральное число имеем:
Полученная дробь сократима. Выполним сокращение дроби. Так как 

НОК (40: 12) = 4, то
Осталось  выделить целую часть:
Краткое решение примера:
Сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложением на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так:
ОТВЕТ:  31/3 

Умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть произведение дроби на натуральное число, равно произведению этого натурального числа на дробь.
Умножение смешанных чисел.
Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножить по правилу умножения дроби на дробь.
ПРИМЕР:
Если же перемножают смешанное число на целое, то проще множить отдельно целую и дробную части. ПРИМЕР:
Законы и правила умножения натуральных чисел справедливы и для дробей. Их использование упрощает устные и письменные вычисления.
Произведение дробных чисел подчиняется переместительному, сочетательному и  распределительному закону.                                                                                            Если один из сомножителей – целое число, то умножение может быть выполнено на основании распределительного закона.                42/5 ∙ 3 = (4 + 2/5) ∙ 3 = 4 ∙ 3 + 2/5  ∙ 3 = 12 + 6/5 = 131/5.    97/8 ∙ 8 = 9 ∙ 8 + 7/8 ∙ 8 Если один из двух сомножителей увеличим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение увеличится во столько же раз. Если один из сомножителей уменьшим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение уменьшится во столько же раз. Умножение трёх и большего количества дробей. Свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей. Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трёх и большего количества дробей. При этом всё происходит по аналогии с умножением трёх и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, можно самим расставить скобки любым из доступных способов. 3/4 ∙ (79/31 ∙ 11/3) = (3/4 ∙ 4/3) ∙ 79/31 = (122/5 ∙ 435/17) ∙ 5/31 = (122/5 ∙ 5/31) ∙ 435/17 = 2 ∙ 435/17 = 8610/17. Выполните умножение четырёх обыкновенных дробей:   
Запишем произведение, которое нам нужно вычислить:
В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей.
Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение:
ОТВЕТ:  9/280

Выполните умножение пяти чисел:
РЕШЕНИЕ: В этом произведении удобно сгруппировать дробь  7/8  с числом  8, а число  12  с дробью  5/36, это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
ОТВЕТ:  116 2/3

Задания к уроку 17

Конспект урока по математике "Умножение дробей" 6 класс

Урок математики по теме: "Умножение дробей". 6-й класс

Цели урока:

Обучающие: 1)сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, правило умножения обыкновенных дробей;

2)вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.

Развивающие:

1)развитие аналитического мышления учащихся;

2)формирование умения выделять главное и обобщать.

Воспитывающие:

формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи урока:

настроить детей на рабочий лад;

повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;

проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;

сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;

отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;

проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.

Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный, использование ИКТ.

Оборудование: учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин; сборник математических диктантов; мультимедийный проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.) (Приложение. Слайд 2)

Учитель. Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности истекших дней

До их причины,

До оснований, до корней,

До сердцевины

Всё время схватывая нить

Судеб, событий,

Жить, думать, чувствовать, любить

Свершать открытья.

– На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

2. Вводный контроль (3 мин.)

Учитель. Начнём урок с повторения. (Приложение. Слайд 3)

1 вариант 2 вариант

1) 2-2/3 =1 1/3 п 1)5-7/12 =4 5/12 л

2) 2 ½-1/3 =2 1/6 л 2) 3 1/5-1/7=3 2/35 о

3) 3 1/4+4 1/5 =7 9/20 а 3) 2 1/8+3 1/3=5 11/24 м

4) 2/5-1/3 =1/15 н 4) 2/3+1/9 =7/9 а

5) 1/6+5/12=7/12 у 5) 5-3 5/6=1 1/6 т

6) 2-1 11/12 =1/12 д 6) 3/5+6/25 =21/25 ь

ПЛАНУД ЛОМАТЬ

Сначала на слайде видны примеры и таблицы ответов, затем ответы и слова.

Рассказывает учащийся, подготовленный дома.

Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке.

Происходит слово “дробь” от слова “дробить, разбивать, ломать на части”. Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Для запоминания: “Человек стоит на земле”. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.

Учитель: задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

Какие правила вы применяли?

Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?

Как выполнить сложение смешанных чисел?

Как выполнить вычитание смешанных чисел?

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся формулируют правила.

3. Сообщение темы урока (4 мин. )

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?

Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.

Учитель. Сегодня на уроке будем работать над темой:

«Умножение дробей». Сформулируем правило умножения дробей, научимся его применять.

Подготовительная работа (Приложение. Слайд 4)

Замените сумму произведением:

5 + 5 + 5 = 5 • 3

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 7

а + а + а + а + а + а = а•6

Замените произведение суммой (Приложение. Слайд 5):

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

8 • 2 = 8 + 8

b • 3 = b + b + b

4. Изучение нового материала (10 мин.)

Задача. (Приложение. Слайд 6)

Скорость улитки 2/3 см /мин. Какое расстояние проползёт улитка за 4 минуты?

– Что неизвестно в задаче?

– Как найти расстояние, зная скорость и время? (Скорость умножить на время)

– Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать.

– Как быть?

– Как быстрее получить? (Заменить произведение суммой одинаковых слагаемых).

2/3• 4 =2/3 +2/3+2/3+2/3 =8/3 = 2 2/3 см.

Что значит умножить 2/3 на 4? (Найти сумму четырёх слагаемых каждое из которых равно 2/3).

Сравните 2/3 • 4 и 8/3 , что интересного заметили? (Числитель дроби 8/3 равен произведению числителя дроби 2/3 и числа 4, а знаменатель остался без изменения.)

Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число. (Приложение. Слайд 7)

– Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Записывают в буклет правило умножения дроби на число (начало правила уже вписано, нужно только закончить).

5. Закрепление новых знаний (10 мин.)

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. (Приложение. Слайд 8)

№ 427 б, в – на доске, г – с комментированием на месте, ж, з – самостоятельно.

б) 5/18*12=5*12/18=10/3=3 1/3

в) 7/15*40=7*40/15=56/3=18 2/3

г) 7/8*24=7*24/8=21

ж) 2/3*1=2/3

з)19/20*0=0 .

Физкультминутка (3 мин.)

Сокращение дробей. Если верно – поднимаем руки вверх, неверно – делаем круговые движения головой. (Приложение. Слайд 9)

6/8 = 1/3; 21/49 = 3/8; 15/20 = 3/4; 16/32 = 1/3.

6. Работа с учебником (5 мин.)

Цель: научиться умножать дробь на дробь.

– Самостоятельно рассмотрите по учебнику задачу 2 на стр 71. Попробуйте сформулировать правило умножения дроби на дробь.

Дети формулируют правило, оно появляется на слайде. (Приложение. Слайд 10)

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

– Выполните умножение дробей (учащиеся проговаривают правило): № 433 (в; е – на доске; з; и – с комментированием с места; к; л – сам-но, 2 человека за доской).

в)4/7*5/6=10/21

е)11/12*8/9=11/27

з)11/15*3/5=11/25

и)15/16*5/9=25/48

к)12/25*9/16=27/100

л)14/17*34/63=4/9

– Нужно ли в данном случае находить отдельно произведение числителей и произведение знаменателей? (Нет, нужно сначала сократить дробь, а затем умножить оставшиеся множители.)

– Прочитайте текст в учебнике на стр71 под рубрикой «Говори правильно».

– Выполните умножение дробей (на доске):

а) 4/7*14/25*5/16=4*14*5 /7*25*16=3/10

б) 24/7*21/15*35/36=24*21*35 /7*15*36=14/9=1 5/9

– Составьте алгоритм умножения трёх и более дробей (Приложение. Слайд 11)

При умножении и трёх и более дробей:

Удобнее сначала в числителе записать произведение всех числителей, в знаменателе – произведение всех знаменателей.

Сократить получившуюся дробь.

Выполнить умножение оставшихся множителей.

Если надо, выделить целую часть.

7. Рефлексия (1 мин.) (Приложение. Слайд 12)

Я хорошо понял, как умножать дроби (приклеить на круг зелёную полоску).

Я не всё понял, у меня были ошибки (приклеить на круг жёлтую полоску).

Я не понял, как умножать дроби (приклеить на круг красную полоску).

Приклеивают полоски на круг и показывают.

8. Домашнее задание (1 мин.) (Приложение. Слайд 13)

п.13 (1, 2), № 472 (а, б, ж, з), № 478 (а, б), дополнительное задание в буклете.

9. Итог урока (2 мин.)

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Учащиеся отвечают правило.

Урок разработали

учителя математики

Гарайшина Г.Р.

Закирова Н.И.

Нуриахметов А.Р.

Так как дробь  равна частному 2 : 3, то и частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты. Например, выражние (41,3 - 4,4) : (15,3 + 33,9) можно записать так: . Выполнив указанные действия, найдем значение этого выражения: 0,75 или .

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Например, − дробные выражения.
Выражение, стоящее над чертой, называют числителем, а выражение, стоящее под чертой, — знаменателем дробного выражения. Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.
С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями.

Пример 1. Найдем значение выражения .
Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6, получим:

Пример 2. Найдем произведение  и .
Решение. 

Пример 3. Найдем сумму .
Решение. .
При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже выполнять сложение:

.

Правила умножения дробей с разными знаменателями. Составление системы уравнений

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Действия с дробями

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение дробей с разными знаменателями
  • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко - два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
  3. Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью - НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби - число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  4. Найти НОК знаменателей дробей;
  5. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  6. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  7. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  8. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
  9. Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

    Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

    Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

  10. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  11. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  • Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.
  • Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби - число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби - число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок - дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби - число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби - число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби - число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД - это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

    А НОК - это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

    НОД (20 и 30) = 10

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

    Получили красивый ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    НОД для (105 и 150) равен 15

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    • обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь
    • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Умножение обыкновенных дробей

    Рассмотрим пример.

    Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.

    Умножение двух обыкновенных дробей

    Правило умножения обыкновенных дробей:

    Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

    Пример 1

    Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

    Ответ: $\frac{15}{77}$

    Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

    Пример 2

    Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

    Решение.

    Используем правило умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

    В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

    \[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

    Ответ: $\frac{1}{24}.$

    При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

    Пример 3

    Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

    Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

    \[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

    Ответ: $\frac{1}{20}.$

    При умножении дробей можно применять переместительный закон:

    Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

    Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

    где $\frac{a}{b}$ -- обыкновенная дробь, $n$ -- натуральное число.

    Пример 4

    Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    \[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

    Ответ: $\frac{12}{17}.$

    Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

    Пример 5

    Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

    По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

    \[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

    В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

    \[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Ответ: $1\frac{2}{5}.$

    При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

    Деление обыкновенных дробей

    Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

    Деление двух обыкновенных дробей

    Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

    \[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

    В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

    \[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

    Ответ: $1\frac{5}{9}.$

    Табличка на двери

    "Умножение дробей" 5 класс

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная школа с. Репьевка Базарно-Карабулакского муниципального района Саратовской области»

    План открытого урока по математике

    Абушаева Р.М.

    учитель математики

    2020 г.

    Педагогические цели урока

    1.Создать условия для формирования и усвоения новой учебной информации.

    2. Создание условий для развития мышления логики, познавательного интереса, способности к конструктивному творчеству

    3. Создать условия для формирования способности учащихся к новому способу действия.

    Задачи урока

    Образовательные (формирование познавательных УУД):

    Ознакомление уч-ся с правилом умножения обыкновенных дробей

    Выработка умений умножения обыкновенных дробей и их применение к решению практических задач.

    Развивающие (формирование регулятивных УУД):

    Выработка умений обрабатывать информацию и ранжировать ее по компонентам; представлять информацию в виде алгоритма; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

    Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

    Выработка умений слушать и вступать в диалог, участвовать в обсуждении проблемы, интегрироваться в пару, в группу со сверстником/ами и строить продуктивное взаимодействие; формирование коммуникативной компетенцию учащихся; воспитание ответственности и аккуратности.

    Тип урока

    Урок открытия нового знания

    Планируемые образовательные результаты

    Предметные

    Метапредметные

    Личностные

    формулировать и записывать с помощью букв правило умножения обыкновенных дробей;

    вычислять произведение обыкновенных дробей.

    познавательные: строить логическую цепочку рассуждений;

    регулятивные: осуществлять целеполагание; адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы в исполнение, как в конце действия, так и по ходу его реализации;

    коммуникативные: владеть устной и письменной речью; отображать в речи содержание совершаемых действий.

    Формировать готовность к самообразованию на основе мотивации учебной деятельности и личностного смысла изучения математики, заинтересованность в приобретении математических знаний и способов действий

    Условия реализации урока

    Информационные ресурсы (в том числе ЦОР и Интернет)

    Учебная литература

    Методические ресурсы (методическая литература, стратегическая технология и тактические технологии

    Оборудование

    Электронное приложение, презентация

    дидактический материал

    Методическое пособие. Групповая (парная) работа, эвристическая беседа, работа с текстом учебника.

    проектор

    Опорные понятия, термины

    Обыкновенная дробь, произведение, числитель, знаменатель, сокращение дроби.

    Форма проведения урока

    Урок – исследование

    Формы контроля

    Блиц-опрос, фронтальная проверка, анализ результатов исследования, самостоятельная работа

    ХОД УРОКА

    Мотивация к учебной деятельности. Организационный момент (1-2 мин). (Включение учащихся в учебную деятельность на личностно значимом уровне).

    Деятельность

    учителя

    Название используемых ЭОР

    (презентация)

    Деятельность

    учеников

    Формируемые УУД

    Здравствуйте, дорогие ребята!

    (приветствие)

    Я рада приветствовать Вас на уроке математики и прошу обратить внимание на доску. Прочитайте, что там написано.

    Как Вы понимаете это высказывание?

    Абсолютно точно! Это высказывание будет девизом нашего сегодняшнего урока! Мы будем мыслить, рассуждать, исследовать и только так получать знания по математике!

    А какую тему мы изучаем, какую область математики мы «осиливаем» сейчас?

    Что из этого раздела мы уже знаем и умеем?

    Чтобы продуктивно работать на уроке нам нужно достать из наших сундучков знания, которые мы уже имеем. Предлагаю Вам игру «Лото».

    Слайд

    «Дорогу осилит - идущий, математику – мыслящий!»

    присаживаются)

    Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий!

    (пример ответа ученика) Я понимаю это так: если человек знает куда идти, то он осилит дорогу, также и в математике, если ты мыслишь, то встречаясь с проблемой, всегда сможешь найти способ её решения!

    Мы изучаем тему «Обыкновенные дроби».

    Мы умеем складывать дроби с одинаковыми, разными знаменателями, складывать и вычитать смешанные дроби.

    Личностные:

    Уважение личности и её достоинства, доброжелательное отношение к окружающим.

    Регулятивные:

    Формирование способности к организации своей деятельности.

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Актуализация знаний (5-6мин). Выявление места и причины затруднения. (Готовность мышления и осознание потребности к построению нового способа действия учащихся).

    (Проводится инструктаж игры «Лото»)

    Необходимо выполнить задания на листе, полученный результат найти на соответствующей карточке и приложить её обратной стороной к заданию. В результате получится шифр. Если какое-то задание Вы выполнить не можете, положите на него знак «?».

    (Контролирует выполнение заданий)

    (Фронтальная работа, вместе с учащимися заполняют табло на доске, анализируют шифр)

    Какой у Вас получился шифр?

    (Подводит учащихся к формулировке проблемного вопроса – как умножить обыкновенную дробь на дробь).

    Слайд «Игра «ЛОТО»

    Выполните сложение

    Выполните вычитание

    Сократите дробь

    Выделите целую часть из дроби

    Выполните сложение

    Выполните умножение

    Внимательно слушают, задают вопросы, если они есть).

    (Выполняют задания, пара, заполнившая карточку «Лото» поднимает руку, после того как большинство выполнили задание – фронтальная проверка)

    КАК УМНОЖИТЬ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ НА ?

    (В результате работы приходят к проблемному вопросу – как умножить обыкновенную дробь на дробь, так как решить последний пример им не удалось, в силу того, что задание новой не изученной темы)

    Личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи и приводить примеры

    Регулятивные: Умение слушать, дополнять и уточнять, умение ориентироваться в ситуации

    Познавательные: выделение существенной информации, обоснование и актуализация личного жизненного опыта

    Коммуникативные: Выражать с достаточной полнотой и точностью свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Постановка учебной задачи. Целеполагание. (2 мин.)

    Что ж, сегодня наши мыслительные операции будут направлены на то, чтобы найти ответ на этот проблемный вопрос, этому и посвятим наш урок. Итак, тема нашего урока… ?

    Курс задан, какова цель урока?

    Тема урока:

    Умножение обыкновенных дробей

    (формулируют с учителем тему урока, записывают её в тетрадь)

    Умножение обыкновенных дробей!

    Научиться умножать обыкновенные дроби, вывести правило умножения обыкновенных дробей и закрепить.

    Личностные:  

    Ответственное отношение к учению; готовность и способность учащихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию; умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию.

     Коммуникативные:

    Адекватно используют речевые средства и аргументируют свою позицию; представляют конкретное содержание и сообщают его в письменной и устной форме; учитывают разные мнения, владеют монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

    Познавательные:

    Анализируют и осмысливают текст задачи.

    Этап урока (название, время)

    1. Проблемное объяснение нового знания. Построение проекта выхода из затруднения. Реализация построенного проекта. (Построение и фиксация нового знания) (5-6 мин).

    Для достижения цели и получения ответа на проблемный вопрос предлагаю Вам выполнить небольшое исследование.

    Обратите внимание на доску. Охарактеризуйте условие и данные.

    Как найти площадь данного прямоугольника?

    Что произойдет с площадью прямоугольника, если длину и ширину одновременно уменьшить в 10 раз?

    Как это можно записать в виде равенства с обыкновенными дробями?

    Но ребята, посмотрите внимательно, что у нас получилось – сами того не предполагая мы выполнили умножение обыкновенных дробей!

    Проанализируйте равенство, выделите закономерности- как же выполнить умножение обыкновенных дробей.

    (по схеме: УЧЕНИК-УЧИТЕЛЬ-УЧЕНИК формулируется правило)

    Молодцы!!! А теперь давайте проверим верно ли вы сформулировали правило. Для этого к чему обращаемся?

    Молодцы!!! Вот и наше открытие!

    Запишем правило в тетради в буквенной форме.

    Рассмотрим произведение дробей:

    Что бы Вы здесь предприняли?

    Действительно, чтобы вычисления не были слишком громоздкими, Вы можете для начала в процессе умножения сократить дроби.

    Выполним это действие.

    Слайд «Юный исследователь»

    Чему равна площадь данного прямоугольника?

    4*5=20 см2

    Слайд «Результат исследования»

    Дан прямоугольник со сторонами 4см и 5 см. Нужно найти площадь прямоугольника.

    Нужно длину умножить на ширину и получится 20 квадратных сантиметров.

    (Выслушиваются ответы)

    Площадь уменьшится в 100 раз.

    (внимательно изучают, предлагают свои варианты ответов)

    Нужно числители перемножить и знаменатели перемножить!

    (по схеме: УЧЕНИК-УЧИТЕЛЬ-УЧЕНИК формулируется правило)

    Чтобы умножить обыкновенные дроби нужно числители перемножить и результат записать в числитель, знаменатели перемножить и результат записать в знаменатель.

    Открывают учебник и читают правило.

    записывают)

    Сократили дроби.

    Выполняют вместе с учителем.

    Личностные:  

    готовность и способность учащихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию; умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию; умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности; коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;

    Регулятивные:

    Критически оценивают полученный ответ; осуществляют самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию; вносят изменения в результат своей деятельности, исходя из оценки этого результата самим обучающимся, учителем, товарищами.

    Коммуникативные:

    Адекватно используют речевые средства и аргументируют свою позицию; представляют конкретное содержание и сообщают его в письменной и устной форме; учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве, договариваются о совместной деятельности, приходят к общему решению; контролируют действия партнера; владеют монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

    Познавательные:

    Моделируют в графической форме понятия, связанные с понятием обыкновенной дроби; выполняют вычисления с обыкновенными дробями; анализируют и осмысливают текст задачи, переформулируют условие, извлекают необходимую информацию, моделируют условие с помощью рисунков; строят логическую цепочку рассуждений; проводят несложные исследования, связанные со свойствами дробных чисел, опираясь на числовые эксперименты.

    Этап урока (название, время, цель

    1. Первичная проверка знаний (3 мин)

    Цель: Устное закрепление материала.

    А теперь, ребята, я предлагаю Вам стать настоящими экспертами! Наш любимый стеснительный друг Петя Васечкин уже решил задания и доверил Вам проверку! Найдите ошибку в данных заданиях.

    (направляет деятельность учащихся на нахождение ошибок, выявление их характер)

    Оцените работу этапа «Работа экспертов»

    (После определения ошибки, она выделяется анимацией в примере на доске)

    Слайд «Работа экспертов»

    1)

    2)

    3)

    (анализируют, находят ошибки и их характер)

    Арифметическая ошибка.

    Не сокращена дробь.

    Неправильную дробь нужно переводить в число.

    Личностные:  

    Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

    Регулятивные:

    Критически оценивают полученный ответ; осуществляют самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию.

    Коммуникативные:

    Адекватно используют речевые средства и аргументируют свою позицию; представляют конкретное содержание и сообщают его в письменной и устной форме; контролируют действия партнера; владеют монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

    Познавательные:

    Выполняют вычисления с обыкновенными дробями.

    Этап урока (название, время, цель

    1. Релаксирующая деятельности. Физкультминутка

    Цель: смена видов деятельности для релаксации

    Этап урока (название, время)

    1. Первичное закрепление с комментированием во внешней речи(5 мин)

    Цель: Применение нового знания в типовых заданиях

    Для закрепления правила, нужно…

    (2 ученика вызываются к доске, выполняют задания)

    Задания на закрепление

    Вычислить:

    1) 1)

    2) 2)

    3) 3)

    Ответы:

    решить примеры!

    (все решают самостоятельно, затем проводят проверку решений на доске)

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)

    Цель: Самопроверка умения применять новое знание в типовых условиях

    Эмоциональный настрой обучающихся.

    (Раздаются карточки с заданиями, время работы 5 минут, затем взаимопроверка).

    1 вариант. 2 вариант

    1. 1.

    1. 2.

    3. 3.

    1. 4.

    5. 5.

    Кто выполнил все 5 заданий правильно?

    Кто выполнил 4 задания правильно?

    (Проводится анализ: количество выполнивших заданий, количество допустивших ошибки, характер ошибок, выявляется степень усвоения материала)

    1 вариант

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    2 вариант

    (Решают задания на карточке, подписывают их, затем обмениваются с соседом по парте и выполняют с помощью доски взаимопроверку).

    (Проводится анализ: количество выполнивших заданий, количество допустивших ошибки, характер ошибок, выявляется степень усвоения материала )

    (поднимают руки)

    Личностные:  

    Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

    Регулятивные:

    Осуществляют самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию; вносят необходимые дополнения и коррективы в план и способ действия в случае расхождения реального действия и его результата; вносят изменения в результат своей деятельности, исходя из оценки этого результата.

    Познавательные:

    Выполняют вычисления с обыкновенными дробями.

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Включение нового знания в систему знаний и повторение (5-8 мин) Цель: Включение нового знания в систему знаний, повторение и закрепление ранее изученного

    Регулятивные: Критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль, проверять ответ на соответствие условию

    Познавательные: Владеть общими приёмами решения задач

    Коммуникативные:

    Организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока) (2-3 мин)

    Цель: Соотнесение цели урока и его результатов, самооценка работы на уроке, осознание метода построения нового знания

    Игра «Микрофон»

    Предлагаю обучающимся закончить предложения на выбор

    • сегодня я узнал…

    • было интересно…

    • было трудно…

    • я выполнял задания…

    • я понял, что…

    • теперь я могу…

    • я почувствовал, что…

    • я приобрел…

    • я научился…

    • у меня получилось …

    • я смог…

    • я попробую…

    • меня удивило…

    • урок дал мне для жизни…

    мне захотелось…

    • сегодня я узнал…

    • было интересно…

    • было трудно…

    • я выполнял задания…

    • я понял, что…

    • теперь я могу…

    • я почувствовал, что…

    • я приобрел…

    • я научился…

    • у меня получилось …

    • я смог…

    • я попробую…

    • меня удивило…

    • урок дал мне для жизни…

    мне захотелось…

    (заканчивают предложения , анализируя собственную деятельность на уроке)

    Регулятивные: Осознавать уровень и качество усвоения знаний и умений

    Познавательные: Осуществлять анализ результатов деятельности с выделением существенных признаков

    Этап урока (название, время, цель)

    1. Домашнее задание – 3 мин

    Записываем домашнее задание.

    есть ли вопросы?

    (контролирует запись домашнего задания в дневник или тетрадь)

    Умножение дробей. Дроби. Умножение и деление дробей

    Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

    Как умножить целое число на дробь – немного терминов

    Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

    Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
    Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

    Как умножить целое число на дробь

    Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


    Сокращение

    Во втором примере полученную дробь можно сократить.
    Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


    Неправильные дроби

    Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
    Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
    Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
    Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

    Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


    Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

    В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

    Что такое дробь?

    Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

    Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

    Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ - третью; ¼ - четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

    Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель - сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель - под ней.

    Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

    Разновидности дробей

    Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

    Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь - число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 - целая часть, ½ - дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

    Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное - больше либо равно 1.

    Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

    Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

    Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

    Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

    Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

    • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
    • в конкретном примере неполное частное - целое;
    • и остаток - числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

    Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

    Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

    Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

    • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
    • полученное произведение прибавляется к числителю;
    • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

    Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

    Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - числитель.

    Ответ : 98 / 10.

    Умножение дробей обыкновенных

    Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

    Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе - это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

    Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

    Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

    Умножение дробей десятичных

    Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

    • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
    • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
    • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
    • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
    • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

    Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

    Решение .

    Умножение смешанных дробей

    Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

    • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
    • найти произведение числителей;
    • найти произведение знаменателей;
    • записать получившийся результат;
    • максимально упростить выражение.

    Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

    Умножение числа на дробь (дроби на число)

    Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

    Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

    • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
    • найти произведение, несмотря на запятую;
    • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

    Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

    Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

    Ответ : 7 1 / 2.

    Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

    Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

    Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

    Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

    Ответ : 88 1 / 2.

    Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

    Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

    Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

    Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

    Ответ : 65.

    Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

    Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

    Ответ : 3900.

    Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

    Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

    Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

    Ответ : 0,56.

    Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

    Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

    Ответ : 0,004.

    Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Обозначение:

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.

    До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
    2. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Правильное решение:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

    Умножение обыкновенной дроби на дробь.

    Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

    \(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

    Рассмотрим пример:
    Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

    \(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

    Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

    Умножение дроби на число.

    Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

    Воспользуемся этим правилом при умножении.

    \(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

    Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

    Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

    \(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

    Умножение смешанных дробей.

    Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

    Пример:
    \(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

    Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

    Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
    Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
    \(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

    Пример:
    \(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

    Вопросы по теме:
    Как умножить дробь на дробь?
    Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

    Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
    Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

    Как умножать смешанные дроби?
    Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

    Как умножить число на дробь?
    Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

    Пример №1:
    Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

    Решение:
    а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
    б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

    Пример №2:
    Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

    Решение:
    а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
    б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

    Пример №3:
    Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
    Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

    Пример №4:
    Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

    Решение:
    а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

    Пример №5:
    Могут ли взаимно обратные дроби быть:
    а) одновременно правильными дробями;
    б) одновременно неправильными дробями;
    в) одновременно натуральными числами?

    Решение:
    а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

    б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

    в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

    Пример №6:
    Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

    Решение:
    а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
    б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

    Пример №7:
    Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

    Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

    Умножение дробей - как умножить дроби?

    Умножение дробей начинается с умножения заданных числителей, за которым следует умножение знаменателей. Затем результирующая дробь дополнительно упрощается и при необходимости сокращается до самых низких значений.

    Есть интересный стишок для запоминания приведенных выше шагов. "Умножение дробей - не большая проблема; верхнее умножение на верхнее нижнее умножение на низ. И не забывайте упрощать, пока не пришло время прощаться."Теперь давайте заглянем в будущее, чтобы узнать больше об умножении дробей.

    Введение в умножение дробей

    Умножение дробей не похоже на сложение или вычитание дробей, где знаменатель должен быть одинаковым. Здесь любые две дроби с разными знаменателями легко перемножаются. Единственное, что следует иметь в виду, это то, что дроби не должны быть в смешанной форме, они должны быть либо правильными, либо неправильными дробями.Давайте узнаем, как умножать дроби, выполнив следующие шаги:

    1. Умножьте числители.
    2. Умножить знаменатели.
    3. Уменьшите полученную фракцию до наименьшего значения.

    Например, умножим следующие дроби: 2/3 × 4/5. Начнем с умножения числителей: 2 × 4 = 8, затем знаменатели: 3 × 5 = 15. Это можно записать как (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15. Теперь продукт уже находится на самом низком уровне, поэтому нам не нужно его сокращать, и мы даем это в качестве ответа.

    Визуальное представление умножения дробей

    Теперь давайте посмотрим на визуальное представление умножения дробей. Визуализация умножения дробей с использованием дробных квадратов - очень интересный метод для понимания концепции. Вы знаете, что такое дробные квадраты? Дробные квадраты - это представление данной дроби в форме квадратов, где числитель обозначен заштрихованной частью. Давайте посмотрим, как умножить дробь с помощью дробных квадратов.Умножим эти две дроби: 2/3 × 1/2.

    На приведенном выше рисунке дробный квадрат слева состоит из 2 частей, заштрихованных оранжевым, из 3 равных частей. Эта оранжевая область представляет две трети дробного квадрата. Точно так же вторая заштрихованная область представляет половину квадрата дроби. Умножив эти две дробные квадраты, мы получим 2/6. Его можно свести к простейшему виду и представить в виде одной части из трех квадратов. Таким образом, 2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3. Теперь, когда у вас есть представление об умножении дробей, давайте продолжим изучение этой темы.

    Умножение дробей

    Умножение дробей на целые числа: Умножение дробей на целые числа - простая идея. Давайте рассмотрим этот пример: 4 × 2/3. Сначала мы представим этот пример с помощью дробных квадратов. Четыре раза две трети представлены как:

    Теперь заменим полученную неправильную дробь на смешанную. 8/3 = \ (2 \ frac {2} {3} \). Две целых и две трети, что равно 8/3.В итоге получаем следующее представление.

    Умножение правильных дробей: Умножение правильных дробей - самый простой из всех. Например, возьмем 2/3 × 4/6. Здесь 2/3 и 4/6 - правильные дроби. Чтобы их умножить, сделаем следующие шаги:

    • Умножим числители вместе: 2 × 4 = 8.
    • Затем умножьте знаменатели вместе: 3 × 6 = 18. Это также можно записать как: (2 × 4) / (3 × 6) = 8/18.
    • Затем уменьшите полученную дробь до наименьшего значения, равного 4/9.

    Умножение неправильных дробей: Теперь давайте разберемся с умножением неправильных дробей. Мы уже знаем, что неправильная дробь - это такая дробь, у которой числитель больше знаменателя. Умножая две неправильные дроби, мы часто получаем неправильную дробь. Например, чтобы умножить 3/2 × 7/5, которые являются двумя неправильными дробями, нам нужно предпринять следующие шаги:

    • Умножьте числители и знаменатели.(3 × 7) / (2 × 5) = 21/10.
    • Дробь 21/10 не может быть далее уменьшена до наименьшего значения.
    • Следовательно, ответ: 21/10, что можно записать как \ (2 \ frac {1} {10} \).

    Умножение смешанных дробей: Смешанные дроби - это дроби, состоящие из целого числа и дроби, например \ (2 \ frac {1} {2} \). При умножении смешанных дробей нам нужно преобразовать смешанные дроби в неправильную дробь перед умножением. Например, если это число \ (2 \ frac {2} {3} \), вы должны изменить его на (3 × 2 + 2) / 3 = 8/3.Рассмотрим пример. Чтобы умножить \ (2 \ frac {2} {3} \) и \ (3 \ frac {1} {4} \), можно использовать следующие шаги:

    • Заменить указанные смешанные фракции на неправильные. (8/3) × (13/4)
    • Умножьте числители неправильных дробей, а затем умножьте знаменатели. Это даст 104/12.
    • Теперь уменьшите полученную дробь до наименьшего значения, что составит 26/3.
    • Далее, преобразует ответ обратно в смешанную дробь, которая будет: \ (8 \ frac {2} {3} \)

    Обратите внимание, что в приведенном выше примере показано, как смешанные дроби могут быть представлены дробными квадратами.Первые два блока показывают целое число 2, а третий представляет дробь 2/3. Теперь, когда мы увидели умножение дробей в различных формах, давайте пересмотрим шаги, которые объясняют, как умножаются две данные дроби. На следующем рисунке показаны шаги умножения двух смешанных дробей.

    Важные примечания:

    Вот несколько важных примечаний, которые помогут при умножении дробей.

    • Обычно учащиеся упрощают дробь после умножения.Однако, чтобы упростить вычисления, проверьте, находятся ли уже две умножаемые дроби в их низших формах. Если нет, сначала упростите их, а затем умножьте. Например, \ (\ begin {align} \ frac {4} {12} \ times \ frac {5} {13} \ end {align} \) будет сложно умножить напрямую.
    • Теперь, если мы сначала упростим дробь, мы получим: \ (\ begin {align} \ frac {1} {3} \ times \ frac {5} {13} = \ frac {5} {39} \ end { выровнять}\).
    • Упрощение также может быть выполнено для двух дробей. Если есть общий множитель между числителем одной дроби и знаменателем другой дроби, вы можете упростить их и продолжить.Например, \ (\ begin {align} \ frac {5} {28} \ times \ frac {7} {9} \ end {align} \) можно упростить до \ (\ begin {align} \ frac {5 } {4} \ times \ frac {1} {9} \ end {align} \) перед умножением.

    Часто задаваемые вопросы об умножении дробей

    Как умножить дроби?

    Чтобы умножить любые две дроби, мы можем выполнить следующие шаги:

    • Умножьте числители.
    • Умножить знаменатели.
    • Упростите полученную дробь до наименьших значений.

    Как умножить смешанные дроби?

    Для умножения смешанных дробей можно использовать следующие шаги:

    • Заменить смешанную дробь на неправильную.
    • Упростите, если возможно.
    • Умножьте числители, а затем знаменатели.
    • Убедитесь, что ответ дан в кратчайшие сроки

    Как умножить дробь на целое число?

    Чтобы понять умножение дроби на целое число, мы можем взять простой числовой пример умножения.2/7 × 3. Начните с переписывания целого числа (3 в этом примере) в виде дроби, 3/1. Теперь мы можем применить шаги, которые мы используем для умножения дробей.
    2/7 × 3/1 = (2 × 3) / (7 × 1) = 6/7.

    Как умножить дробь на дробь?

    Умножение двух дробей - это простейшая форма арифметических операций между двумя дробями. Сначала нужно умножить числители обеих дробей, а затем - знаменатели. Затем, при необходимости, результирующая дробь упрощается до самых низких значений.

    Как решать дроби?

    Решение дробей состоит из двух простых шагов. Во-первых, фракции, если они даны в форме смешанных фракций, должны быть преобразованы в неправильные фракции. Затем мы можем выполнить необходимые арифметические операции между дробью и упростить ответ до самых младших членов.

    Как складывать или умножать дроби?

    Сложение дробей отличается от умножения дробей. При умножении сначала умножаются числители двух дробей, затем знаменатели умножаются, чтобы получить результирующую дробь.Но в процессе сложения дробей нам сначала нужно уравнять знаменатели обеих дробей, а затем мы складываем числители, чтобы получить результирующую дробь.

    Какое правило умножается на дроби?

    Есть два простых правила умножения дробей. Сначала умножьте числители, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь. Во-вторых, нам нужно упростить полученную дробь, чтобы получить окончательный ответ. Это можно понять на простом примере.2/6 × 4/7 = (2 × 4) / (6 × 7) = 8/42 = 4/21

    Как научить умножению дробей?

    Умножению дробей можно научить так же, как и умножению целых чисел. Важным аспектом перед умножением дробей является преобразование смешанной дроби в неправильную дробь. После этого шага мы умножаем числители обеих дробей, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь.

    Умножение дробей на дроби - бесплатный урок с видео

    На этом уроке 5-го класса ученики сначала замечают сокращение для умножения дробей типа 1 / n (например, 1/3 x 1/4).Отсюда мы приходим к общему ярлыку или правилу умножения дробей. Урок также содержит много словесных задач.

    В видео ниже я сначала объясняю, как это (1/2) x (1/3) означает 1/2 от 1/3, и мы находим это визуально. Далее мы находим, что составляет 2/3 от 1/4. Во-первых, мы находим 1/3 от 1/4 как 1/12. Следовательно, 2/3 должно быть вдвое больше, или 2/12. После введения быстрого способа умножения дробей (умножение числителей, умножение знаменателей) я решаю несколько простых задач и задачу со словами.Наконец, в видео я обосновываю общее правило дробного деления.


    Мы изучили, как найти дробную часть целого числа с помощью умножения.

    Например,

    3

    5

    из 80 записывается как умножение:

    3

    5

    × 80 =

    240

    5

    = 48.

    Обратите внимание слово из переводит здесь в УМНОЖЕНИЕ .

    Мы можем использовать ту же идею, чтобы найти дробную часть из дробь !
    Половина это.
    Как умножение,

    1

    2

    ×

    1

    3

    =

    1

    6

    .
    Четвертая часть это.
    Как умножение,

    1

    4

    × 1

    3

    =

    1

    12

    .

    1.Найдите дробную часть данного доля. Вы можете представить себе оставшийся кусок пиццы, который вы должны
    разделить поровну с одним, двумя или тремя другими людьми. Напишите предложение умножения.

    а. Найти

    1

    2

    из

    1

    2

    ×

    1

    4

    =
    б. Найти

    1

    2

    из
    г. Найти

    1

    2

    из
    г. Найти

    1

    3

    из
    e. Найти

    1

    3

    из
    ф. Найти

    1

    3

    из
    г. Найти

    1

    4

    из
    ч. Найти

    1

    4

    из
    i. Найти

    1

    4

    из
    Вы заметили ярлык? Если да, вычислите

    1

    5

    × 1

    6

    =
    Сокращение: умножение дробей типа 1/ n

    Для умножения дробей вида 1/ n , где

    n - целое число, просто умножьте знаменатель
    , чтобы получить новый знаменатель →

    1

    4

    × 1

    5

    =

    1

    20

    или

    1

    2

    × 1

    6

    =

    1

    12

    2.Умножить.

    а.

    1

    9

    ×

    1

    2

    б.

    1

    13

    ×

    1

    3

    г.

    1

    5

    ×

    1

    20

    Теперь мы изучили, как найти 1/2, 1/3 или 1/5 некоторых фракций. А как насчет того, чтобы найти
    другую дробную часть? Давайте снова сравним это с поиском дробных частей целых чисел.

    Обзор: Найти

    3

    4

    из 16, или другими словами

    3

    4

    × 16, сначала можно найти

    1

    4

    из 16, что составляет 4.
    Тогда просто возьмите это три раза, то есть 12. Другими словами,

    3

    4

    × 16 = 12.

    Мы можем использовать ту же идею при нахождении дробной части из другая дробь.

    Пример. Найти

    2

    3

    из

    1

    4

    .Сначала находим

    1

    3

    из

    1

    4

    , что составляет

    1

    12

    .
    Затем,

    2

    3

    из

    1

    4

    вдвое больше, или

    2

    12

    .
    Пример. Найти

    4

    5

    из

    1

    7

    .
    Сначала находим

    1

    5

    из

    1

    7

    , что составляет

    1

    35

    .Затем

    4

    5

    из

    1

    7

    в четыре раза больше, или

    4

    35

    .
    Умножение дроби на дробь означает получение дроби часть из дроби.
    Это все равно, что взять определенную часть остатки, когда то, что осталось, - это дробь.

    3. На фотографиях видно, сколько пиццы осталось, и вы получаете определенная часть остатков. Сколько
    вы получите? Раскрасьте картинку, чтобы показать ответ.

    4. Решите произведение умножения, используя две подсказки. умножения. Наконец, по возможности упростите.

    а.

    2

    3

    ×

    1

    8

    =

    Первая находка 1/3 от 1/8, затем умножьте результат на 2.

    1

    3

    ×

    1

    8

    =

    1

    24

    и

    1

    24

    × 2 = =
    б.

    3

    4

    ×

    1

    10

    =

    Первая находка 1/4 от 1/10, затем умножьте результат на 3.

    1

    4

    ×

    1

    10

    = и × 3 =
    г.

    3

    5

    ×

    1

    6

    =

    Первая находка 1/5 от 1/6, затем умножьте результат на 3.

    1

    5

    ×

    1

    6

    = и × 3 = =
    г.

    5

    6

    ×

    1

    9

    =

    Первая находка 1/6 из 1/9, затем умножьте результат на 5.

    1

    6

    ×

    1

    9

    = и × 5 =
    e.

    2

    3

    ×

    1

    7

    =

    ф.

    3

    8

    ×

    1

    4

    =

    Ярлык для умножения дробей

    Умножьте числители, чтобы получить числитель для ответа.
    Умножьте знаменатели, чтобы получить знаменатель ответа.

    Изучите примеры справа.

    Не забывайте всегда отдавать окончательный
    ответ как смешанное число и
    наименьшее число (упрощенное).

    3

    7

    ×

    4

    9

    =

    3 × 4

    7 × 9

    =

    12

    63

    =

    4

    21

    4

    5

    ×

    11

    8

    =

    4 × 11

    5 × 8

    =

    44

    40

    =

    11

    10

    = 1

    1

    10

    5.Умножить. Дайте свои ответы в кратчайшие сроки (упрощенно) и, если возможно, в виде смешанных чисел.

    а.

    3

    9

    ×

    2

    9

    б.

    11

    12

    ×

    1

    6

    г.

    1

    3

    ×

    3

    13

    г. 9 ×

    2

    3

    e.

    2

    9

    ×

    6

    7

    ф. 10 ×

    5

    7

    СРАВНИТЬ
    Объездной путь Ярлык

    5

    6

    ×

    1

    2

    =?

    Первая находка 1/6 от 1/2, затем умножьте результат на 5.

    1

    6

    ×

    1

    2

    =

    1

    12

    и

    1

    12

    × 5 =

    5

    12

    5

    6

    ×

    1

    2

    =

    5 × 1

    6 × 2

    =

    5

    12

    2

    8

    ×

    3

    5

    =?

    Найти 1/8 из 3/5, затем умножьте этот результат на 2.И чтобы найти
    1/8 из 3/5, сначала найдите 1/8 из 1/5, а затем умножьте это на 3.

    1

    8

    ×

    1

    5

    =

    1

    40

    . Это умноженное на 3 дает

    1

    40

    × 3 =

    3

    40

    .
    Тогда, умноженное на 2, будет

    3

    40

    × 2 =

    6

    40

    =

    3

    20

    .

    2

    8

    ×

    3

    5

    =

    2 × 3

    8 × 5

    =

    6

    40

    =

    3

    20

    «Окольными путями» мы производим каждое умножение отдельно.
    В ярлык, мы можем просто сделай их все сразу.

    6. Умножить. Дайте свои ответы в краткой форме (упрощенно) и как смешанные числа, если возможно.

    а.

    3

    4

    ×

    7

    8

    =
    б.

    7

    10

    ×

    8

    5

    =
    г.

    9

    20

    ×

    4

    5

    =
    г.

    2

    5

    ×

    1

    3

    =
    e.

    1

    4

    ×

    2

    7

    =
    ф.

    9

    4

    ×

    1

    3

    =
    г.

    2

    3

    ×

    11

    8

    =
    ч.

    2

    9

    ×

    3

    10

    =

    7. Осталась 1/4 пиццы. Мари съела 2/3 из этого.

    а. Какую часть пиццы оригинальной она ела?

    г. Какая часть пиццы оригинала осталась сейчас?

    8. Тереза ​​покрасила 5/8 комнаты.

    а. Какая часть еще осталась покрасить?

    г. Итак, Тереза ​​нарисовала половину того, что все еще оставалось.
    Нарисуйте столбиковую модель ситуации.
    Какая часть комнаты еще осталась рисовать?

    9. Тед выполнил 2/3 работы, порученной ему боссом.

    а. Что еще осталось сделать?

    г. Теперь Тед выполнил треть того, что еще оставалось делать.
    Нарисуйте столбиковую модель ситуации.
    Какая (дробная) часть исходная работа все еще не выполнена?

    Какая часть завершена?

    10. Салли хочет приготовить 1/3 рецепта справа.
    Сколько она потребность каждого ингредиента?
    Рожковое пирожное

    3 стакана подслащенных чипсов из рожкового дерева
    8 столовых ложек оливкового масла первого отжима
    2 яйца
    1/2 стакана меда
    1 чайная ложка ванили
    3/4 стакана цельнозерновой муки
    3/4 чайной ложки разрыхлителя
    1 стакан грецких орехов или других орехов

    11.Для предстоящей тусовки Элисон нужно приумножить рецепт кофе
    . Предположим, что половина гостей пьет на одну порцию,
    половину другой порции и две порции. Находить сколько ей понадобится кофе , если есть:

    a. 30 гостей

    г. 50 гостей

    г. 80 гости.

    Кофе (5 порций)

    3 1/2 чашки воды
    1/4 чашки кофе

    Найдите недостающие факторы.
    а. ×

    6

    7

    =

    1

    7

    б. ×

    1

    4

    =

    5

    16

    г. ×

    3

    8

    =

    1

    16

    г. ×

    2

    5

    =

    3

    10


    Здесь вы можете найти бесплатные распечатанные рабочие листы для умножения дробей на дроби.


    Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.



    Пошаговый калькулятор для умножения и деления дробей

    Как умножить дроби с разными знаменателями?

    Так же, как вы их умножаете, если бы у них был одинаковый знаменатель! Ознакомьтесь с нашим руководством ниже для получения более подробной информации.

    Общие вопросы
    Как умножать дроби с разными знаменателями?

    Так же, как вы их умножаете, если бы у них был одинаковый знаменатель! Ознакомьтесь с нашим руководством ниже для получения более подробной информации.

    Как умножать дроби на целые числа?

    Сначала преобразуйте любые дроби с целыми числами в неправильные дроби. Вы можете сделать это с помощью нашего руководства здесь.

    Затем вы можете умножить неправильные дроби и дроби, как обычно, используя наше руководство ниже!

    Как разделить дроби на целые числа?

    Сначала преобразуйте любые дроби с целыми числами в неправильные дроби. Вы можете сделать это с помощью нашего руководства здесь.

    Затем вы можете разделить неправильные дроби и дроби обычным образом, используя наше руководство ниже!

    Как делить дроби на целые числа?

    Считайте целое число числом, деленным на 1. Затем вы делите, переворачивая дробь и умножая. Ознакомьтесь с нашим руководством ниже!

    Умножение и деление дробей может показаться запутанным, но на самом деле это намного проще, чем сложение и вычитание дробей.

    Главное помнить, что если у нас есть одно и то же число в числителе и знаменателе, они сокращаются:

    5 × 35 × 2 = 5 × 35 × 2 = 32

    Посмотрите наш пример ниже. или попробуйте наш калькулятор .

    352 ÷ 620
    1. Переверните вторую дробь (при делении): Самое забавное в делении то, что на самом деле это просто умножение. Нам просто нужно сначала перевернуть вторую дробь: 352 ÷ 620 = 352 × 206
    2. Упростим дроби: Теперь мы упростим наши дроби, чтобы упростить умножение.

      Упростите дробь 1: Наша первая дробь - смешанное число, поэтому мы преобразуем ее в неправильную дробь. Если вы не знаете, как это сделать, ознакомьтесь с этим руководством. 352 = (3 + 52) = 515 +52 = 517
      Упростить дробь 2: наша вторая дробь не имеет целых чисел, но мы можно немного уменьшить, разделив верхнюю и нижнюю на одно и то же число. 620 = 6 ÷ 220 ÷ 2 = 310

    3. Объедините дроби: Теперь, используя наши две упрощенные дроби, мы умножаем их объединением наши две дроби:
    4. 517 × 310 = 5 × 317 × 10
    5. Отмена: Теперь наша любимая часть - отмена чисел.По сути, мы собираемся посмотреть, есть ли что-нибудь, на что мы можем разделить как число вверху, так и число внизу. В этом случае мы можем разделить и 10, и 5 на 5: 5 × 317 × 10 = 15 × 317 × 102 = 1 × 317 × 2
    6. Умножить / Упростить: Теперь мы просто умножаем 1 × 317 × 2 = 334

    Калькулятор умножения и деления дробей

    Попробуйте сами - введите две дроби, чтобы умножить или разделить.

    Вычислить 👏🏿👏🏾👏🏼

    1. Переверните вторую дробь: самое забавное в делении - это то, что на самом деле это просто умножение.Нам просто нужно сначала перевернуть вторую дробь:
      ÷ = ×
      Теперь мы просто умножаем.
    2. Упростите дроби: Перед умножением мы должны упростить каждую дробь.
      Если есть один отрицательный знак, мы вынесем его на передний план, а если есть два, они аннулируют.
      Мы также можем разделить верх и низ на одно и то же число, если это возможно. Если это невозможно, оставим это в покое.
      Упростить дробь 1:
      Упростить дробь 2:
    3. Объединить дроби: Далее, поскольку умножение дробей означает умножение числителей, а затем умножение знаменателей, мы объединим две дроби в одну.
      Если ОДНА из дробей отрицательна, результат будет отрицательным.
      Но если ОБА отрицательны, результат будет положительным.

    4. Отмена: Теперь наша любимая часть - отмена номеров. По сути, мы собираемся посмотреть, есть ли что-нибудь, на что мы можем разделить как число вверху, так и число внизу. Если нет, оставим это в покое.
      Вам не обязательно выполнять этот шаг, но он значительно упростит умножение 😎.
    5. Умножение / Упрощение: Наконец, все, что осталось сделать, это умножить верхнюю и нижнюю.И мы закончили!

    Далее

    Умножение дробей - обучение с видом на горы

    Мы закончили сложение и вычитание дробей прямо перед перерывом, и теперь мы ударяем по умножению и делению дробей. Мы начали с умножения дробей и составили мега-якорную диаграмму. Я обучаю студентов TAG 4-го класса, поэтому технически я преподаю им стандарты 5-го класса, но им часто требуется пересмотр стандартов 4-го класса, поэтому мы объединили все это в один.

    Вот наша диаграмма привязки больших умножающихся дробей! Мы рассмотрели умножение целых чисел на дроби, умножение дробей на дроби и умножение смешанных чисел. Ух!

    Поскольку часть общего ядра требует, чтобы они использовали визуальные модели областей для умножения дробей, мы немного повеселились с калькой! Каждый ребенок получил по два одинаковых листа кальки и разбил их на части. Затем, когда вы кладете их друг на друга, вы можете увидеть, где они образуют модель области, которая совпадает с умноженными знаменателями, а перекрывающиеся цветные секции являются вашим числителем.Им это понравилось! Мы повесили их на окно, потому что, когда мы делали это таким образом, вы действительно могли видеть перекрытие на кальке.

    Дети также скопировали заметки в свой математический журнал, а затем показали пошаговые модели площадей. Они также использовали кальку для этого, но они показали шаги, чтобы добраться до окончательной модели области. Нам было так весело практиковаться в умножении дробей! (Мой вид на горы сегодня был покрыт облаками и туманом! Я был так огорчен.)

    Наконец, мы поработали над карточками задач на умножение дробей.Я пишу о них в Уголке карточек задач, потому что они являются отличным примером того, как я формирую карточки задач, чтобы различать и удовлетворять потребности студентов. Но вот вам возможность взглянуть на них! Если вам нужны карточки с заданиями на умножение дробей, вы можете купить их всего за 2,25 доллара в моем магазине TpT.

    Если вы ищете еще больше ресурсов для обучения операциям с дробями, зайдите в мой магазин и посмотрите пакет ресурсов Ultimate Fraction Operations!



    Просмотры сообщений: 1 201

    Рабочие листы по умножению дробей

    Умножение пар дробей.По возможности упрощайте ответы. Включает две задачи со словами.

    4-6 классы

    Зарегистрированные участники могут использовать шкаф для документов Суперучитель, чтобы сохранять свои любимые рабочие листы.

    Быстрый доступ к наиболее часто используемым файлам И настраиваемым рабочим листам!

    Пожалуйста, войдите в свою учетную запись или станьте участником и присоединитесь к нашему сообществу сегодня, чтобы воспользоваться этой полезной функцией.

    В этом рабочем листе есть поле с пояснениями, чтобы показать студентам, как умножать дроби, а также 11 практических задач.

    5-е и 6-е классы

    Умножайте дроби для решения каждой задачи со словами. Обязательно упростите, если возможно, и покажите свою работу.

    С 4-го по 6-й классы

    Разрежьте и используйте эти 30 карточек с заданиями для дополнительной практики, обучения в небольших группах, охоты за мусором в классе или занятий со сверстниками.

    5 и 6 классы

    Фигуры с дробями отображаются вверху страницы. Ученики умножаются на фракции одинаковой формы. Пример: Умножьте дроби на шестиугольники.

    С 4-го по 6-й классы

    Умножение дробей на целые числа

    На этом рабочем листе есть визуальные представления задач умножения дробей.

    5-й класс

    Решите эти задачи на умножение дробей о поездке в ремесленный магазин.

    4-6 классы

    Каждая из этих задач со словами требует, чтобы учащиеся умножили целое число на дробь или другое целое число.

    5-е и 6-е классы

    Эти задачи со словами требуют от учащихся умножать дроби на целые числа.

    4-й и 5-й классы

    Вот 30 карточек с заданиями, которые вы можете использовать на своей документ-камере, для обучения в небольших группах или для классных игр.

    5-е и 6-е классы

    Смешанные навыки: умножение дробей, целых чисел и смешанных чисел

    Используйте математические вычисления для сравнения произведений дробей и целых чисел на дроби.

    5 класс

    Определите, что произойдет, если вы умножите неправильную дробь на целое число.Будет ли произведение больше или меньше 1? Что произойдет, если умножить обычную дробь на целое число? Будет произведение больше или меньше 1?

    5 класс

    Умножение дробей | NZ Maths

    Назначение

    Цель этой серии уроков - развить понимание умножения дробей.

    Конкретные результаты обучения

    • Запишите словами действия и результаты нахождения дроби до дроби.
    • Запишите записанные уравнения умножения и ответьте на них.
    • Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые включают деление единицы.
    • Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
    • Ставьте и решайте собственные задачи умножения дробей.
    • Понимание и использование числовых свойств при умножении дробей.
    • Изучите и продемонстрируйте взаимную связь между умножением и делением.

    Описание математики

    Эта серия уроков основана на понимании учащимися и использовании эквивалентных дробей при решении задач на сложение и вычитание дробей. Как и в предыдущих разделах работы, упор делается на то, чтобы учащиеся моделировали операции с дробями, используя ряд материалов и записывали, используя слова и символы. Хорошие знания об основах умножения и деления имеют основополагающее значение для успешной работы учащихся с эквивалентными дробями и их понимания, а в этом разделе - умножения дробей.

    Есть три ключевых понятия, лежащих в основе умножения дробей. Во-первых, умножение двух дробей предполагает нахождение дроби от другой дроби. Например, 1/2 x 1/4 интерпретируется как 1/2 от 1/4. Во-вторых, когда умножаются две дроби меньше единицы, произведение всегда меньше любого из множителей. Умножая целые числа, учащиеся ожидают, что произведение окажется больше любого из этих множителей. Умножение дробей требует концептуального сдвига для студентов, которые должны четко понимать, что они находят часть части.В-третьих, понимая свойство коммутативности, студенты могут упростить задачи, изменив порядок факторов.

    При умножении дробей учащиеся начинают понимать, что слова «времена» и «из» взаимозаменяемы. Использование модели массива для визуализации и решения проблем, связанных с нахождением дробной части, путем разбиения области на части, по горизонтали и вертикали, способствует переходу от понимания целого числа к дробному.

    Начиная с задач, связанных с работой с частями агрегата без подразделения (например,1/3 из 3/8), устанавливает концептуальное понимание операции умножения с дробями. Как только это будет ясно понято, работа с частями единицы, которые включают подразделение (например, 3/4 из 2/3), сосредотачивает внимание студентов на записи и вычислениях, поскольку они исследуют отношения между числами.

    Использование реалистичного контекста для нахождения дробных частей очень важно. Если учащиеся ответят на эти вопросы и создадут собственный контекст, это поможет им осознать практическое применение умножения дробей.

    Эти идеи представлены в пяти занятиях, однако, поскольку они включают сложные концепции, которые имеют фундаментальное значение для успеха ученика с дробями, эти занятия можно продлить на более длительный период времени.

    Хотя игры вводятся и используются на занятиях для обобщения идей, их также можно добавить к занятиям в классе или группе, или отправить домой для семейных задач и развлечения.

    Необходимые ресурсные материалы

    Деятельность

    Сессия 1

    SLO:

    • Просмотрите поиск дробной части целого числа.
    • Помните, что доля дроби дает меньшую часть.
    • Запишите словами действия и результаты нахождения дробной части.
    • Решать задачи, связанные с нахождением дробной части, используя региональную модель.

    Деятельность 1

    1. Начните это занятие с постановки этих трех задач. Попросите учащихся в парах обсудить решения каждого из них:
      В классе Нины 33 ребенка.Ее спросили, сколько человек будет в ее команде, если в нее войдет 1/3 класса. Она сказала 12. Она права?
      15 учеников в классе Джо сидели на циновке. Это было 3/5 класса. Сколько учеников в классе Джо?
      На циновке 18 учеников класса Роли. 2/5 еще не пришли в класс. Сколько на улице?
      Попросите учащихся поделиться своими решениями.
    2. Напишите в классной таблице:
      Определение дробей целых чисел.
      Класс Нины: 1/3 из 33:
      Класс Джо: 3/5 чего-то 15, поэтому 5/5:
      Класс Роли: 3/5 чего-то 18, поэтому 2/5:
      Приходите отдельные ученики и запишите свои результаты в таблицу классов, и объяснят свои решения от имени своей группы.
      Напомните студентам, что они находили дроби целых чисел.

    Деятельность 2

    1. Спросите: Что делать, если вы найдете долю дроби. Будет ли результат больше или меньше обеих дробей?
      Обсудить. Запишите идеи в таблицу класса.
    2. Раздайте парам учащихся полоски бумаги и цветные ручки.
      Поставьте задачу: Можете ли вы использовать материалы, чтобы показать половину или половину?
      Попросите учащихся поделиться результатами.

      Задайте другую задачу: Используйте материалы, чтобы показать три четверти одной половины.
      Попросите учащихся рассказать о том, что они сделали, и обсудить результаты.

    3. Раздайте ученикам полоски фракций (Мастер материалов 7-7), чтобы они дополняли бумажные полоски. Дайте студентам время ознакомиться с полосками дробей, читая показанные дроби и рассказывая о делениях, которые они видят.
      Задайте вопрос: Чему равна одна треть от половины?
      Попросите учащихся найти половину на стене дробей и поискать деление половины на трети, определяя, что одна шестая равна одной трети половины.
      Раздайте и обсудите Приложение 1. Объясните, что они могут сослаться на дробную стенку или использовать полоски бумаги и ножницы, чтобы завершить ее. Подчеркните важность написания реалистичных историй для каждого из них.

    4. Попросите учащихся разделить на пары и проверить свои результаты.
      Просмотрите фокус обучения на данный момент: Мы находили дроби целых чисел и находили дробные части площади.

    Деятельность 3

    1. Завершите занятие, предложив нескольким студентам прочитать вслух (в произвольном порядке) текстовые задачи, которые они написали.Остальные ученики работают в парах над изображениями бумажных полосок или дробной стенкой и отвечают.
    2. Произносите вслух задачи, основанные на этих примерах, используя повторное сложение для достижения решений:
      Одна треть от половины равна одной шестой, так что же такое две трети от половины? (2/6 или 1/3)
      Пятая часть половины равна одной десятой, так что сколько три пятых половины? (3/10)
      Одна треть от одной трети - это одна девятая, так что каковы две трети от одной трети? (2/9)
      Одна четверть одной половины равна одной восьмой, так сколько же три четверти одной половины? (3/8).
    3. Сделайте вывод, что дробная часть результата является меньшей частью.

    Сессия 2

    SLO:

    • Поймите, что термины «времена» и «времена» взаимозаменяемы.
    • Запишите записанные уравнения умножения и ответьте на них.
    • Используйте массивы для моделирования уравнений умножения.
    • Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые включают деление единицы.

    Деятельность 1

    См. Проблему 1 из сеанса 1.
    В классе Нины 33 ребенка. Ее спросили, сколько человек было бы в ее команде, если бы это была треть класса. Она сказала 12. Она права?
    Нахождение дробей целых чисел.
    Класс Нины: 1/3 из 33:
    Поза: Нина записала уравнение для этой задачи как 33 ÷ 1/3 = 11. Она права? Почему? Почему нет? (33 ÷ 1/3 = 99, потому что в 33 целых 99 третей)
    Запишите 1/3 из 33 = 11 и 1/3 x 33 = 11.
    Обсудите.

    Деятельность 2

    Напишите в таблице классов
    1/4 x 2 =?
    2/3 x 12 =?
    Предложите учащимся работать в парах над решением задач, а затем в паре поделиться своими результатами, включая любые использованные картинки или диаграммы.

    Деятельность 3

    Изучите дроби дробей:
    Раздайте учащимся доску для размышлений листов (Приложение 2). Попросите каждого ученика заполнить доску для обсуждения каждой из этих двух задач.
    2/3 x 9/10 =?
    1/2 из 4/9 =?
    Предложите учащимся использовать диаграммы, подобные тем, которые используются в Приложении 1.
    Они должны выглядеть следующим образом:
    2/3 x 9/10 = 6/10

    1/2 от 4/9 = 2/9

    Имейте они обсуждают свои аналитические доски с партнером.

    Деятельность 4

    Попросите учащихся найти свою копию Приложения 1 (Сессия 1, Задание 2, Шаг 3). Попросите учащихся записать уравнения для каждого из примеров.
    Попросите их обсудить все, что они замечают о числах в этих уравнениях (в которых они умножают единичные дроби).
    Спросите, это то, что вы заметили, верно в уравнениях 2/3 x 9/10 и 1/2 x 4/9? (Когда мы умножаем целые числа, произведение больше, чем множители. Когда мы умножаем дроби, произведение меньше обоих множителей).

    Деятельность 5

    1. Раздайте каждой паре учащихся набор наклеек с дробями.
      Дайте им время изучить оборудование, затем попросите пары учеников продемонстрировать все, что они обнаружили с помощью этого оборудования.
    2. Попросите их вместе смоделировать несколько примеров с использованием оборудования и записать диаграмму и уравнения в таблице классов / групп. Например:

      NB: В этих примерах учащиеся понимают, что фиолетовая дробь является результатом умножения двух множителей.
    3. Задайте учащимся эти задачи для решения , используя перекрывающиеся дроби , записывая каждое уравнение с факторами и произведениями по мере их выполнения.
      3/5 x 3/4 =?
      2/3 x 2/5 =?
      1/5 x 1/4 =?
      5/6 x 1/2 =?
    4. Завершите занятие, подведя итоги обучения на этом занятии на диаграмме для класса / группы. Например:
      Когда мы умножаем целые числа, произведение больше обоих множителей.
      Когда мы умножаем дроби, произведение меньше обоих множителей, потому что мы находим дробную часть.

    Сессия 3

    SLO:

    • Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
    • Ставьте и решайте собственные задачи умножения дробей.
    • Проработайте и покажите понимание умножения смешанных чисел, то есть дробей больше единицы, например 1/2 от 2 2/3.
    • Помните, что проблемы умножения смешанных числовых дробей могут быть решены путем преобразования как неправильных дробей, так и применения свойства распределения.

    Деятельность 1

    1. Начните это занятие, обратившись к примерам, использованным в занятии 2, и резюме из сеанса 2, занятие 5, шаг 4.
      Если это еще не стало ясно, выделите то, что они замечают, с числами в уравнениях.
      При умножении дробей произведение меньше обоих множителей.
      Произведение - это результат умножения числителей и знаменателей.

    2. Сделайте наложения дробей доступными для учащихся.
      Каждая пара должна заполнить (по крайней мере, один) плакат формата A3 с одной задачей умножения дробей, который включает схему наложения дробей в разделе оборудования. Они будут использоваться для отображения класса.

    Деятельность 2

    Учащиеся играют в игру Умножение (Приложение 3)
    Как играть
    Играйте с партнером.
    Побеждает тот, кто соберет наибольшее количество наборов из 3 карт.
    Всего 15 наборов.

    1. Дилер тасует карты и раздает по 7 каждому игроку. Остальные кладутся стопкой лицом вниз перед двумя игроками.
    2. Игроки проверяют свои руки на предмет наличия всех трех комплектов: карточки с изображением, выражения и продукта (одной дроби). Полные наборы кладутся лицом вверх перед игроком.
    3. Дилер начинает с того, что просит у своего партнера карту, которую он хочет собрать, для которой у него в руке есть хотя бы одна карта участника.В запросе должно быть указано, как будет выглядеть графическая карта, или указать уравнение или указать продукт.
      Если у партнера нет этой карты, он говорит: « Multiplifraction », и дилер берет карту из стопки.
    4. Затем другой игрок делает свой запрос.
    5. Игра продолжается до тех пор, пока не будут использованы все карты.

    Деятельность 3

    1. Задача: «У Ману осталось 2 1/2 запасных банки краски, оставшихся после покраски его дома.Он использует 3/4 этого, чтобы покрасить свой сарай. Сколько это банок? »
      Попросите учащихся изучить проблему в парах, а затем вынести свои решения на обсуждение в группе / классе.
    2. Попросите выбранных учащихся продемонстрировать свои решения в таблице класса.
      Попросите учащихся признать двумя способами, они могут подойти к проблеме:
      3/4 x 2 + 3/4 x 1/2 = 1 1/2 + 3/8 = 1 7/8 (распределительная собственность) или
      3 / 4 x 5/2 = 15/8 = 1 7/8 (превращение смешанного числа в неправильную дробь)
      На диаграмме классов нарисуйте, как это будет выглядеть:

    3. Предложите учащимся работать в парах, чтобы изучить каждую из этих проблем и показать оба пути решения.
      «Марианна 3 1/3 метра ткани. Она использует 2/3 этого, чтобы сделать свое школьное платье формальным. Сколько метров она использовала? »
      «Площадь спальни Оуэна составляет 8 1/4 квадратных метра. 3/4 из них занято мебелью. Сколько квадратных метров свободной площади у него есть? »

    4. Попросите пары учеников поделиться обоими решениями для каждой из этих задач:
      2/3 x 3 1/3
      3/4 x 8 1/4

    Деятельность 4

    1. Проведите мозговой штурм по нескольким контекстам дроби, а затем попросите каждого студента написать задачу слов , в которой оба множителя представляют собой смешанные числа.(Например: 2 1/2 x 3 1/6). Посоветуйте им использовать целые числа меньше 10.
      По мере того, как каждый из них решает свою задачу со словами, попросите их поработать над своими решениями.
    2. Изучите хотя бы одну задачу со словами, созданную учащимся.
      Выделите еще раз два варианта решения проблемы, :
      • Замена смешанной цифры на неправильную дробь.
      • нахождение суммы четырех частичных произведений
        Например: 2 1/2 x 3 1/6
      • преобразование смешанного числа в неправильную дробь: 5/2 x 19/6 = 95/12 = 7 11/12 или
      • нахождение суммы четырех частичных произведений
        2 x 3 = 6
        2 x 1/6 = 2/6
        1/2 x 3 = 1 1/2
        1/2 x 1/6 = 1/12
        Показать с диаграмма, подобная этой:

        Нахождение суммы частичных произведений: 6 + 2/6 + 1 1/2 + 1/12 = 6 + 4/12 + 1
        6/12 + 1/12 = 7 11 / 12
    3. Возьмем еще двух учеников, которые создали задач.Запишите их в таблицу класса.
      Предложите учащимся работать в парах, чтобы решить задачу по своему выбору.
    4. Попросите учащихся поделиться своими решениями в паре.
    5. Попросите учащихся решить другую задачу самостоятельно, а затем записать в свои математические дневники, как они узнали на этом занятии.

    Сессия 4

    SLO:

    • Понимать и использовать свойство коммутативности при умножении дробей.
    • Поймите и объясните свойство распределения при умножении на дроби.

    Деятельность 1

    1. Пусть класс / группа сядут парами на циновке. Начните с того, что скажите одному ученику, чтобы все ученики могли услышать: «Пожалуйста, раздайте записок каждой паре учеников». Напишите слово раздать в таблице класса:
      Попросите учащихся дать определения раздать и записать свои предложения.
      (Если вы регулярно добавляете математический словарь класса, вы можете записать здесь свои идеи.Например: «распространять», «распространять», «раздавать».)
      Покажите эту диаграмму из Сессия 3 , действие 4, шаг 2 и напишите под ней «распределительное свойство».
      Объясните, что это математический термин, обозначающий процесс расширения и решения проблемы таким образом.

      Спросите, почему это можно назвать «распределительным свойством», и запишите предложения студентов.
    2. Попросите учащихся подумать и предложить другую задачу о дробях, которую можно было бы решить, используя свойство распределения.Запишите предложения.

    Деятельность 2

    1. Запишите это уравнение и вопросы в таблице класса:
      1/4 x 1/2 = 1/2 x 1/4 Верно? Ложь?
      Попросите учащихся поработать в парах, чтобы выбрать свой ответ (верный или неверный), и, используя бумагу, распространенную в упражнении 1, шаг 1, доказать, что они знают, двумя разными способами (например, используя модель области и алгоритм).
    2. Укажите, что одна сторона класса - это «истинная» сторона, а другая - «ложная».Попросите учащихся обозначить свое мышление, перейдя в ту сторону комнаты.
    3. Попросите некоторых студентов обосновать свою позицию и предъявить «доказательства».
    4. Укрепите это понимание, предложив 8 студентам встать в группу в центре комнаты.
      Попросите другого ученика показать, «используя» группу из 8 учеников, что равно 1/4 из 1/2. (1/8 или один ученик).
      Соберите группу из 8 учеников. Попросите другого студента «использовать» группу, чтобы продемонстрировать 1/2 из 1/4 (1/8 или один студент).

    Деятельность 3

    1. Спросите, работает ли это при использовании целых чисел.
      Поставьте и напишите задачу 5 x 2/3 = 2/3 x 5 Верно? Ложь?
      Повторите упражнение 2, шаги 1-3 выше.
    2. Попросите 5 групп по 3 ученика встать в группу в центре комнаты.
      Попросите другого ученика показать, «используя» пять групп по три ученика модель 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3:
      Попросите 1/3 учеников в каждой группе сядьте, осталось 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика = 2 ученика = 10.Затем этих студентов снова распределяют по группам по три, составляя 3 1/3 группы. Снова соберите 5 групп по 3 ученика и объедините их в одну группу из 15. Попросите другого ученика «использовать» группу, чтобы продемонстрировать, что 2/3 из 5 групп (15 учеников) составляют 10 учеников. Пусть они перегруппируются, чтобы получилось 3 1/3 группы.

    Деятельность 4

    1. Напишите в таблице классов: Коммутативное свойство . Объясните, что это общий математический термин, обозначающий то, что происходило в пунктах 2 и 3 выше.Попросите учащихся предложить, что может означать «коммутатив», и записать их предложения. («Сменить место», «поехать») и подтвердите, что это означает, что порядок чисел может быть изменен без изменения результата).
    2. Напишите в таблице классов: Изменение порядка не меняет результат, когда мы :
      • сложить дроби. Правда? Ложь? (верно)
      • вычесть дроби. Правда? Ложь? (ложь)
      • умножить дроби.Правда? Ложь? (верно)
      • делить дроби. Правда? Ложь? (ложь) (поощрять предсказание)
      Предложите учащимся обсудить их в парах, а затем прийти к соглашению всем классом.

    Деятельность 5

    Завершите занятие, предложив учащимся предложить сводные утверждения для сегодняшнего обучения и записать их в таблице класса.

    Сессия 5

    SLO:

    • Сообщите другим о своем понимании умножения дробей.
    • Изучите и продемонстрируйте взаимную связь между умножением и делением.

    Деятельность 1

    1. Начните это занятие с обзора выводов занятия 4.
      Попросите одного студента: «Пожалуйста, раздайте плакатам формата A3 каждой паре студентов». Установите ограничение по времени и попросите учащихся поработать в парах над созданием плаката, который включает контекст истории и объясняет либо распределительное свойство , либо коммутативное свойство применительно к умножению дробей.
      (Вы также можете попросить учащихся подготовить электронную презентацию, чтобы объяснить родителям любое из этих свойств).
    2. Быстро завершившие игру Multiplifraction или игры на дроби из третьего сеанса.

    Деятельность 2

    Попросите учащихся сформировать пары. Раздайте карты из Приложения 4 каждой паре. Пусть пары рассортируют карты по стопкам «Истина» и «Ложь». Затем пары должны делиться парами, по очереди читать карточку и обсуждать, и обосновывают свое решение , используют примеры .

    Деятельность 3

    1. Завершите это занятие, просмотрев классные заметки на каждом занятии.
    2. Задайте эту задачу: 1/2 x 1/4> 1/2 ÷ 1/4. Правда? Ложь?
      Попросите учащихся самостоятельно принять решение.
      Выберите несколько студентов, чтобы они объяснили, как они думают.
      Завершите сеанс, указав, что они будут изучать это дальше в другом сеансе.

    Домашняя ссылка

    Уважаемые родители и ванау,

    Мы изучали умножение дробей и были бы признательны, если бы вы поиграли со своим ребенком в игру « Умножение ».Карты включены в колоду. Вашему ребенку будет приятно объяснить инструкции к игре, как в нее играли в классе. Мы надеемся, что вам тоже понравится.

    Рабочий лист умножения дробей

    Добро пожаловать на нашу страницу рабочих листов по умножению дробей.

    Здесь вы найдете ряд бесплатных листов для печати и поддержку, чтобы помочь Ваш ребенок научится умножать дроби на целые или другие дроби.

    У нас есть калькулятор, который поможет вам умножить две дроби.

    Вы можете умножать смешанные числа или дробь на целое число.

    Все тренировки показаны поэтапно, поэтому вы можете увидеть, как они работают.

    Эта страница поддержки поможет вам узнать все о том, как умножать дроби вместе.

    Есть несколько рабочих примеров и вспомогательный лист для печати.

    Здесь вы найдете подборку разработанных рабочих листов дроби. чтобы помочь ребенку понять, как умножить дробь на другая дробь или умножение дроби на целое число.

    Листы тщательно сортируются так, чтобы самые легкие листы идет первым, а самый сложный лист - последний.

    Прежде чем ваш ребенок займется умножением дробей, его следует умеет переводить неправильные дроби в смешанные числа, а также используя простейшую форму.

    Использование этих листов поможет вашему ребенку:

    • умножить 2 дроби вместе;
    • умножить дробь на целое число;
    • применяют свое понимание простейшей формы;

    Для умножения смешанных дробей воспользуйтесь ссылкой ниже!

    Взгляните на некоторые из наших других страниц поддержки умножения и деления дробей, если вам нужна дополнительная помощь. с умножением или делением дробей.

    У нас есть другие рабочие листы, которые помогут вашему ребенку научиться и практиковаться в умножении и делении дробей.

    Все листы тщательно сортируются с разными уровнями поддержки.

    Взгляните на наш полный ассортимент ниже.

    На этой странице поддержки показано, как преобразовать неправильные дроби. в смешанные числа и как преобразовать смешанные числа в неправильные дроби.

    Вы также найдете вспомогательные листы для печати и несколько Практикуйте рабочие листы по математике для этого навыка изучения дробей.

    Это также иногда называют сокращением дробей до их простейшей формы.

    Это предполагает деление числителя и знаменателя на общий коэффициент, чтобы уменьшить дробь до эквивалентной дроби с наименьший возможный числитель и знаменатель.

    На приведенной ниже странице дроби для печати содержится дополнительная информация, примеры и практика по упрощению дробей.

    Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *