Как складывать дроби с разными знаменателями с целыми: Сложение дробей с целыми частями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

Содержание

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$  или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны

целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится

складывать дроби с разными знаменателями. Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1 : (-3) как $\frac{1}{-3}$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1 : (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Как складывать дроби — Лайфхакер

Какие бывают дроби

Дробь — это число, которое состоит из одной или из нескольких равных частей единицы. Говоря упрощённо, это число обозначает часть чего‑либо, например один кусок торта, или целое с несколькими дополнительными частями, например один целый торт и ещё три куска другого.

Обыкновенные дроби состоят из числителя (вверху) и знаменателя (внизу), разделённых горизонтальной или косой чертой. Знаменатель отражает то, на сколько частей можно разделить наш условный торт, а числитель — сколько из них в наличии: 1/2, 3/4, 9/10.

Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. У правильных числитель меньше знаменателя (5/8, 7/15), а у неправильных наоборот — больше (8/5, 15/7). Из неправильной дроби можно выделить целую и дробную части: 13/5, 21/7. Получившееся число будет называться смешанной дробью.

Бывают ещё десятичные дроби. У них в знаменателе стоит степень числа 10, и они записываются по‑другому — через запятую: 0,5, 0,98. Хотя десятичные дроби можно представить и в виде обыкновенных: 5/10, 98/100.

Как складывать дроби

Обыкновенные с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, просто суммируйте их числители, а знаменатели оставьте без изменений. Например: 1/5 + 2/5 = 3/5; 9/6 + 10/6 = 19/6 = 31/6.

Обыкновенные с разными знаменателями

Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдите наименьшее число, которое без остатка делится на оба ваших знаменателя. Например, для дробей 5/6 и 4/9 это число 18.

Затем разделите его на ваши знаменатели — и вы получите так называемый дополнительный множитель (18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2). Это число, на которое нужно умножить обе части дроби, чтобы привести её к новому знаменателю. То есть: 5 x 3/6 x 3 + 4 x 2/9 x 2 = 15/18 + 8/18.

Остаётся только повторить процесс из предыдущего пункта, сложив числители. В нашем примере получится 23/18, или 15/18, если выделить целую часть.

Смешанные дроби

Складывать такие дроби можно несколькими способами. Самый простой — суммировать целые и дробные части отдельно. Например, вам нужно сосчитать, сколько будет 31/5 + 42/3. Сначала складываем 3 + 4 и получаем 7. Потом переходим к дробным частям: 1/5 + 2/3 = 1 x 3/5 x 3 + 2 x 5/3 x 5 = 3/15 + 10/15 = 13/15. А вместе — 713/15.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из неё тоже нужно выделить целое и добавить к полученной ранее целой части.

Десятичные дроби

Первым делом нужно уравнять количество цифр после запятой. Например, вы хотите сложить числа 33,142 и 5,6. Добавьте два нуля ко второй дроби — 5,600. Теперь сложите между собой числа до запятой (33 + 5) и после (142 + 600). Получится 38,742.

Если вы ещё не очень хорошо освоили работу с десятичными дробями, суммируйте их столбиком, как обычные числа. Следите за тем, чтобы запятая была под запятой. Такой метод сложения облегчит вам подсчёты в том случае, когда после запятой появляется «лишняя» цифра.

Например, нужно найти сумму чисел 1,742 и 5,6. Вы уже знаете, что 1 + 5 = 6, а 742 + 600 = 1 342, но в столбике вы сразу увидите, что единицу из 1 342 нужно перенести, добавить к целой части. В итоге получится 7,342.

Читайте также 🧐

Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Итак, как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями и целыми числами?

Как вычитать дроби с одинаковыми знаменателями? Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, вычти числители и напиши разницу над знаменателем. Пример: Найдите 45−25 . Так как знаменатели одинаковые, вычтите числители.

Дополнительно Как складывать и вычитать многочлены? Шаги для сложения и вычитания многочленов

  1. Шаг 1: Расположите многочлены в их стандартной форме.
  2. Шаг 2: Поместите многочлен рядом друг с другом по горизонтали.
  3. Шаг 3: Сначала разделите похожие термины.
  4. Шаг 4: Расположите похожие термины вместе.
  5. Шаг 5: Кроме того, знаки всех многочленов остаются прежними.

Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями?

Как вычитать дроби с целыми числами и знаменателями?

Как складывать и вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями?

Как вычитать дроби с одинаковыми знаменателями? Как и в случае сложения, вычитание дробей с одинаковым знаменателем (также называемым общим знаменателем) очень просто: Просто вычесть второй числитель из первого и оставить знаменатель таким же. В некоторых случаях вам, возможно, придется сократить ответ до минимальных условий.

Как проще всего вычитать дроби?

Вычтите дроби простым методом

  1. Перемножьте две дроби и вычтите второе число из первого, чтобы получить числитель ответа. …
  2. Умножьте два знаменателя вместе, чтобы получить знаменатель ответа. …
  3. Поставив числитель над знаменателем, вы получите ответ.

Также как вычитать дроби с одинаковыми числителем и знаменателем? Как и в случае сложения, вычитание дробей с одинаковым знаменателем (также называемым общим знаменателем) очень просто: Просто вычесть второй числитель из первого и оставить знаменатель таким же. В некоторых случаях вам, возможно, придется сократить ответ до минимальных условий.

Как шаг за шагом вычитать дроби?

Есть 3 простых шага для вычитания дробей

  1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.
  2. Вычтите верхние числа (числители). Поместите ответ в тот же знаменатель.
  3. Упростите дробь (при необходимости).

Каковы правила вычитания многочленов? Шаги для вычитания многочленов по горизонтали:

  • Приведите многочлены к их стандартной форме.
  • Поместите многочлен рядом друг с другом горизонтально.
  • Через круглые скобки поменяйте знак второго многочлена на противоположный ему знак.
  • Разделите похожие термины и расположите их вместе.
  • Выполните расчеты.

Как складывать и вычитать многочлены с разными показателями?

Как вы вычитаете примеры многочленов?

Например:

  1. Вычесть: 3а 3 + 5а 2 – 7а + 10 из 6а 3 — 8а 2 + а + 10.
  2. Вычтите: x – 4y – 2z из 7x – 3y + 6z. …
  3. Вычесть: -6x 2 — 8лет 3 +15з от х 2 — у 3 +з. …
  4. Вычтите: 2x – 5y + 3z из 5x + 9y – 2z. Сначала нам нужно заключить первую часть, которую нужно вычесть, в круглые скобки с префиксом отрицательного знака (-). …

Нужно ли при сложении вычитать дроби с одинаковыми знаменателями? При сложении и вычитании дробей в первую очередь нужно проверить, совпадают ли знаменатели. Если знаменатели совпадают, то это довольно просто: просто сложите или вычтите числители и запишите результат над тем же знаменателем.

Как вычитать дроби с целыми числами? При вычитании дробей из целых чисел преобразуйте целое число в дробь, а затем приведите к общему знаменателю и вычтите два числителя. При вычитании смешанных чисел из целых чисел, превращая целое число в смешанное, следя за тем, чтобы у дробей был один и тот же общий знаменатель.

Как вычесть смешанные дроби без общих знаменателей?

Вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

  1. Переименуйте дроби, используя общий знаменатель.
  2. Вычитание целых чисел из целых чисел. Возможно, вам придется сначала перегруппироваться.
  3. Вычитание дробей из дробей. .
  4. Упростите, если нужно.

Как складывать дроби со смешанными числами и знаменателями? Сложение смешанных чисел с одинаковыми знаменателями

  1. Чтобы сложить смешанные числа с одинаковым знаменателем, выполните следующие действия:
  2. Сначала сложите целые числа.
  3. Затем сложите дроби. Сложите числители и оставьте знаменатель прежним.
  4. Теперь упростите.

Как сложить смешанные и правильные дроби с одинаковыми знаменателями?

Как вычитать дроби с одинаковыми числителем и знаменателем? Чтобы ВЫЧИТАТЬ дроби с одинаковыми или одинаковыми знаменателями, просто вычесть числители, затем скопировать общий знаменатель. Всегда сокращайте свой окончательный ответ до наименьшего термина.

Как шаг за шагом вычитать непохожие дроби?

Как вычесть дроби с разными знаменателями

  1. Шаг 1. Найдите наименьший общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель (LCD) — это наименьшее общее кратное двух знаменателей, с которыми вы работаете. …
  2. Шаг 2: Найдите эквивалентную дробь. …
  3. Шаг 3: вычтите новые числители. …
  4. Шаг 4. При необходимости упростите ответ.

Как складывать дроби с одинаковыми числителем и знаменателем?

Похожие страницы:

Сложение дробей. — tutomath репетитор по математике

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

Решение:

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Как сложить обыкновенные дроби: с одинаковыми/разными знаменателями

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно сложить обыкновенные (простые) дроби с одинаковыми/разными знаменателями и смешанные дроби. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

Сложение дробей

С одинаковыми знаменателями

В данном случае все предельно просто. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями суммируются числители, а знаменатель остается неизменным.

 
Примечание: полученную путем сложения новую дробь в некоторых случаях можно сократить.

С разными знаменателями

Для того, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, выполняем следующие действия:

1. Приводим заданные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Складываем полученные результаты как дроби с одинаковыми знаменателями.

Сумма смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные дроби, необходимо отдельно просуммировать целые части, и отдельно дробные.

X

a/b

+ Y

c/d

= (X + Y) + (

a/b

+

c/d

)

 
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, значит их сперва нужно привести к наименьшему общему знаменателю, и только после этого складывать.

Примеры задач

Задание 1

Найдите сумму дробей 

4/11

 и 

7/11

.

 
Решение

Т.к. у нас дроби с одинаковыми знаменателями, то:

 
Задание 2

Найдите сумму дробей 

5/12

 и 

4/7

.

 
Решение

В данном случае нам сначала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 84, следовательно, дополнительный множитель для первой дроби – число 7, для второй – 12.

 
Таким образом, мы получили дроби с одинаковыми знаменателями, и теперь их можно сложить:

35/84

+

48/84

=

35+48/84

=

83/84

 
Задание 3

Найдите сумму дробей 2

6/13

 и 5

3/13

.

 
Решение

Дробные части имеют один и тот же знаменатель, значит мы сразу же можем выполнить сложение:

2

6/13

 + 5

3/13

 = 2 + 5 + (

6/13

 + 

3/13

) = 7 + 

6+3/13

 = 7

9/13

Сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель кратко Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про сложение обыкновенных дробей, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое сложение обыкновенных дробей, общий знаменатель , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика.

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 • 2 • 3 • 5 = 90

  1. Найти дополнительные множители для каждой дроби . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этогонаименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.

    90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби 3/15.

    90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби 4/18.

  2. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби.После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
  3. Проверяем полученную дробь.
    • Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
    • Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
  4. Еще раз весь пример целиком.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

  1. Отдельно сложить их целые части.

    Пример.

    Складываем целые части.

    3 + 4 = 7
  2. Отдельно сложить дробные части.

    Если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

  3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
  4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Еще один пример на сложение дробей.

См. также

  • десятичные дроби ,
  • как читать десятичные дроби ,
  • перевод обыкновенной дроби в десятичную ,
  • нахождение обыкновенной дроби от числа ,
  • деление обыкновенных дробей ,
  • умножение обыкновенных дробей ,
  • вычитание обыкновенных дробей ,
  • взаимно обратные числа , взаимно обратные дроби ,
  • сравнение обыкновенных дробей ,
  • периодическая дробь ,
  • сокращение обыкновенных дробей ,
  • смешанные числа , выделение целой части обыкновенной дроби ,
  • сокращение обыкновенных дробей ,

Как ты считаеешь, будет ли теория про сложение обыкновенных дробей улучшена в обозримом будующем? Надеюсь, что теперь ты понял что такое сложение обыкновенных дробей, общий знаменатель и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Из статьи мы узнали кратко, но емко про сложение обыкновенных дробей

Как вычислить разность дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

  • Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

  • Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

    Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

    О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

    Свойство дроби

    Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

    Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

    Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

    Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

    Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
    1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

    Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

    • 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
      2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
    • 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
      7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
    • 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
      5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

    Все вместе это выглядит так:

    Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

    Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

    Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

    Находим кратное чисел 18 и 15:

    • Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
    • Число 15 состоит из 5 х 3.
    • Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

    После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

    • 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
    • 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

    Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

    Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

    (4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

    Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

    Вычитание и имеющих целые части

    Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

    • Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
    • Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
    • Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
    • При получении неправильной дроби выделить целую часть.

    Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

    Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

    Вычитание дробей из целого числа

    Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

    7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

    Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной .

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac{3}{7}\) и \(1\frac{1}{7}\).

\(5\frac{3}{7}-1\frac{1}{7} = (5-1) + (\frac{3}{7}-\frac{1}{7}) = 4\frac{2}{7}\)

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

\(4\frac{2}{7}+1\frac{1}{7} = (4 + 1) + (\frac{2}{7} + \frac{1}{7}) = 5\frac{3}{7}\)

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Рассмотрим пример:

Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac{1}{4}\) и \(3\frac{3}{4}\).

У уменьшаемого \(6\frac{1}{4}\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac{3}{4}\). То есть \(\frac{1}{4}

\(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\)

Следующий пример:

\(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\)

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Пример: \(3-1\frac{2}{5}\)

Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\)

\(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\)

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание .

Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\)

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}\),

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

\(4-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {1})-2\frac{3}{7} = (3 + \color{red} {\frac{7}{7}})-2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7}-2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}\)

Пример №1:
Выполните вычитание правильной дроби из единицы: а) \(1-\frac{8}{33}\) б) \(1-\frac{6}{7}\)

Решение:
а) Представим единицу как дробь со знаменателем 33. Получим \(1 = \frac{33}{33}\)

\(1-\frac{8}{33} = \frac{33}{33}-\frac{8}{33} = \frac{25}{33}\)

б) Представим единицу как дробь со знаменателем 7. Получим \(1 = \frac{7}{7}\)

\(1-\frac{6}{7} = \frac{7}{7}-\frac{6}{7} = \frac{7-6}{7} = \frac{1}{7}\)

Пример №2:
Выполните вычитание смешанной дроби из целого числа: а) \(21-10\frac{4}{5}\) б) \(2-1\frac{1}{3}\)

Решение:
а) Займем у целого числа 21 единицу и распишем так \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac{5}{5} = 20\frac{5}{5}\)

\(21-10\frac{4}{5} = (20 + 1)-10\frac{4}{5} = (20 + \frac{5}{5})-10\frac{4}{5} = 20\frac{5}{5}-10\frac{4}{5} = 10\frac{1}{5}\\\\\)

б) Займем у целого числа 2 единицу и распишем так \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac{3}{3} = 1\frac{3}{3}\)

\(2-1\frac{1}{3} = (1 + 1)-1\frac{1}{3} = (1 + \frac{3}{3})-1\frac{1}{3} = 1\frac{3}{3}-1\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\\)

Пример №3:
Выполните вычитание целого числа из смешанной дроби: а) \(15\frac{6}{17}-4\) б) \(23\frac{1}{2}-12\)

а) \(15\frac{6}{17}-4 = 11\frac{6}{17}\)

б) \(23\frac{1}{2}-12 = 11\frac{1}{2}\)

Пример № 4:
Выполните вычитание правильной дроби из смешанной дроби: а) \(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5}\)

\(1\frac{4}{5}-\frac{4}{5} = 1\\\\\)

Пример №5:
Вычислите \(5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8}\)

\(\begin{align}&5\frac{5}{16}-3\frac{3}{8} = 5\frac{5}{16}-3\frac{3 \times \color{red} {2}}{8 \times \color{red} {2}} = 5\frac{5}{16}-3\frac{6}{16} = (5 + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {1} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = \\\\ &= (4 + \color{red} {\frac{16}{16}} + \frac{5}{16})-3\frac{6}{16} = (4 + \color{red} {\frac{21}{16}})-3\frac{3}{8} = 4\frac{21}{16}-3\frac{6}{16} = 1\frac{15}{16}\\\\ \end{align}\)

Инструкция

Принято разделять обыкновенные и десятичные дроби , знакомство с которыми начинается еще в средней школе. В настоящее нет такой области знаний, где не применялось бы это . Даже в мы говорим первая 17 века, и все сразу , что имеются ввиду 1600-1625 года. Также часто приходится сталкиваться с элементарными действиями над , а также их преобразованием из одного вида в другой.

Приведение дробей к общему знаменателю является, пожалуй, наиболее важным действием над . Это основа проведения абсолютно всех вычислений. Итак, допустим есть две дроби a/b и c/d. Тогда, для того чтобы привести их к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (М) чисел b и d, и далее умножить числитель первой дроби на (М/b), а числитель второй на (M/d).

Сравнение дробей, еще одна немаловажная задача. Для того чтобы это сделать, приведите заданные простые дроби к общему знаменателю и потом сравните числители, чей числитель окажется больше, та дробь и больше.

Для того чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей, нужно привести их к общему знаменателю, а после произвести нужное математическое с этих дробей. Знаменатель же остается без изменения. Допустим нужно из a/b вычесть c/d. Для этого требуется найти наименьшее общее кратное M чисел b и d, и после вычесть из одного числителя другой, не меняя при этом знаменатель: (a*(M/b)-(c*(M/d))/M

Достаточно просто умножить одну дробь на другую, для этого следует просто перемножить их числители и знаменатели:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно дробь делимого умножить на дробь обратную делителю. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Стоить напомнить, что для того чтобы получить обратную дробь, нужно числитель и знаменатель поменять местами.

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с . При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

  • Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

  • Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Вопрос:

Мой сын изучает дроби, и он неплохо разбирается в том, как складывать и вычитать их, когда нижние числа совпадают. Например, он может добавить 5/7 и 1/7. Но у нас возникли проблемы с пониманием того, как складывать дроби, когда числа разные. Как сложить 3/8 и 1/4??

Ответ:

Решение, как, вероятно, подчеркивал учитель вашего сына, состоит в том, чтобы найти общий знаменатель .Знаменатель, кстати, является нижним числом.

Причина, по которой вам нужен общий знаменатель, заключается в том, что вы не можете складывать дроби с разными знаменателями. Просто это так не работает, к сожалению. Таким образом, единственный способ сделать это — иметь одинаковое число в нижней части обеих дробей!

Один из способов найти общий знаменатель — перемножить два знаменателя. Например, при сложении 1/2 с 1/3 общий знаменатель равен 3*2=6. Однако не меняйте только низы на 6.Верх тоже надо менять. Поскольку вы умножили 2 на 3, чтобы получить 6, вам также нужно умножить вершину на 3. Аналогично для второй дроби вы должны умножить верх и низ на 2, как показано ниже:

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = ? $$ $$ \frac{1}{2}*\frac{3}{3}+\frac{1}{3}*\frac{2}{2}= $$

Обратите внимание, что мы ничего не изменили при умножении на 3/3 или 2/2. Поскольку каждый из них сводится к 1/1, это действительно то же самое, что умножение на 1, которое ничего не меняет.Именно в этом наша цель — переписать дробь в эквивалентной форме, но с новым знаменателем! Например, мы можем захотеть переписать 1/2 как 2/4 или 3/5 как 9/15. Дробь больше не будет выражаться простым языком, а будет в такой форме, в которой мы можем выполнять сложение (или вычитание).

$$ \frac{1}{2}*\frac{3}{3}+\frac{1}{3}*\frac{2}{2}= \frac{3}{6}+\frac{ 2}{6} = \frac{5}{6} $$

Все, что мы сделали, это изменили 1/2 на 3/6, а также изменили 1/3 на 2/6. Они эквивалентны, поэтому нам разрешено это делать.Теперь, когда у них одинаковый знаменатель, мы можем просто сложить числители! Не делайте ошибку, добавляя знаменатели — это останется прежним! Кроме того, вычитание работает точно так же. Посмотрите эти примеры ниже и посмотрите, сможете ли вы понять, как мы нашли общий знаменатель и сложили дроби.

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{5} = \frac{1}{2}*\frac{5}{5}+\frac{1}{5}*\frac{ 2}{2}= \frac{5}{10}+\frac{2}{10} = \frac{7}{10} $$ $$ \frac{2}{7}+\frac{1}{3} = \frac{2}{7}*\frac{3}{3}+\frac{1}{3}*\frac{ 7}{7}= \frac{6}{21}+\frac{7}{21} = \frac{13}{21} $$ $$ \frac{4}{5}-\frac{1}{2} = \frac{4}{5}*\frac{2}{2}-\frac{1}{2}*\frac{ 5}{5}= \frac{8}{10}-\frac{5}{10} = \frac{3}{10} $$

Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Ранее мы показали, что при сложении (или вычитании) дроби с разными знаменателями, надо сначала поменять непохожие дроби на равнозначные подобные дроби.То же самое относится складывать (или вычитать) смешанные числа, имеющие разные знаменатели.

ПРИМЕР 1

Найдите сумму .

Раствор

Знаменатели не имеют общего делителя, кроме 1. Поэтому наименьший общий знаменатель — это произведение 5 и 3, или 15.

Теперь воспользуемся правилом сложения смешанных чисел, имеющих тот же знаменатель.

Сумма .

Вычитание смешанных чисел с разными знаменателями аналогично их добавлению.

ПРИМЕР 2

Вычесть .

Раствор

Как обычно, мы используем ЖК-дисплей (который равен 100), чтобы найти эквивалент дроби. Затем мы вычитаем эквивалентные смешанные числа с тот же знаменатель. Опять же, давайте поставим задачу вертикально.

Следовательно, ответ .

ПРИМЕР 3

Найдите сумму .

Раствор

Установите задачу вертикально и используйте ЖК-дисплей, который равен 60.

С .

ПРИМЕР 4

Найдите недостающее измерение.

Раствор

Общая длина фигуры в футах.Чтобы найти недостающее измерение, мы нужно добавить футы и футы, а затем вычесть эту сумму из .

Отсутствует размер в футах. Мы можем проверить этот ответ, добавив , и , получив .

iLearn, Inc.

Математика для 5 класса: как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями или с разными знаменателями

Видео выше является образцом из последнего из 8 уроков о том, как складывать и вычитать дроби.Чтобы получить БЕСПЛАТНЫЙ ДОСТУП, чтобы увидеть весь урок и более 600 других уроков, щелкните ссылку вверху.

Вы получите неограниченный бесплатный доступ к урокам самого высокого качества:

  • 8 уроков по сложению и вычитанию дробей
  • Более 40 уроков по дробям
  • Всего более 600 уроков, от первого класса до алгебры

Как и в примере выше, эти уроки не являются записями скучных лекций учителей (или репетиторов).Они представляют собой увлекательные мультимедийные объяснения математической темы, которые значительно облегчают понимание математики.

Обзор 8 уроков о том, как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, показан ниже.

Нажмите кнопку регистрации, чтобы создать бесплатную учетную запись и сразу же начать обучение… это самый простой способ!


Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

В этой серии уроков описывается, как складывать и вычитать дроби и смешанные числа с разными знаменателями.

Все уроки этой серии представляют дроби как расстояния на числовой прямой, а не как конкретные объекты. Обоснование этого подхода хорошо известно благодаря исследованиям и в настоящее время предписано в Единых основных государственных стандартах.


Поиск общего знаменателя: общая стратегия

Урок 1 серии посвящен самой общей стратегии поиска общего знаменателя — умножению знаменателей.Эта общая стратегия применима к любой ситуации, когда складывают или вычитают две дроби с разными знаменателями.


Нахождение общего знаменателя: один знаменатель как множитель другого

Урок 2 рассказывает, как складывать дроби, когда один знаменатель является множителем другого. В этом случае нет необходимости умножать знаменатели, так как один знаменатель уже является произведением другого знаменателя и некоторого неизвестного множителя.Студенты изучают это как особый случай, который применяется только тогда, когда один знаменатель является множителем другого.


Наименее распространенное кратное

В третьем уроке рассказывается, как найти наименьшее общее кратное двух знаменателей. Этот урок является подготовкой к следующему уроку, на котором учащиеся узнают, как использовать наименьшее общее кратное в качестве общего знаменателя.


Наименьшее общее кратное как общий знаменатель

В уроке 4 рассказывается, как использовать наименьшее общее кратное в качестве общего знаменателя для сложения или вычитания дробей.Студентов учат, что это альтернатива общей стратегии умножения знаменателей для нахождения общего знаменателя, но не является обязательным подходом.


Сложение и вычитание дробей с разными (разными) знаменателями

Урок 5 посвящен сложению и вычитанию дробей любым методом для нахождения общего знаменателя. Студенты должны сложить и вычесть две дроби с разными (разными) знаменателями, сначала найдя общий знаменатель.Им разрешено использовать любой применимый метод.


Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями

Урок 6 посвящен сложению и вычитанию смешанных чисел. Учащихся учат сначала преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби, а затем находить общий знаменатель дробей перед сложением или вычитанием.

« Вернуться к темам по математике по классам

Как складывать дроби с разными знаменателями

(распечатанные рабочие листы находятся внизу сообщения)

Мы знаем, что при сложении дробей с одинаковым знаменателем вы можете складывать их вместе над знаменателем.При необходимости дробь можно упростить.

Но что происходит, когда у вас разные знаменатели?

Необходимо сделать еще один шаг, и мы рассмотрим его здесь.

Как складывать дроби с разными знаменателями

При сложении дробей с разными знаменателями вы должны сначала найти наименьшее общее кратное дробей и преобразовать их в эквиваленты.

Давайте рассмотрим пример:

3/9 + 1/6 =

Первый шаг — найти наименьшее или наименьшее общее кратное наших знаменателей, которые в данном примере равны 6 и 9.

Кратные 6: 6, 12, 18

Кратные 9: 9, 18, 27

Из приведенных выше кратных видно, что 18 является нашим наименьшим общим кратным между двумя знаменателями.

Мы можем составить эквивалентную дробь для 3/9 со знаменателем 18, умножив числитель и знаменатель на 2. В результате получится 6/18.

Мы можем составить эквивалентную дробь для 1/6, умножив и числитель, и знаменатель на 3. В результате получится 3/18.

Так как обе дроби теперь эквивалентны с одним и тем же знаменателем, мы можем сложить числители вместе и получить 9/18.

Мы можем посмотреть на этот результат и увидеть, что 9 — это коэффициент 18, поэтому его можно еще упростить. Упрощенная форма 9/18 равна 1/2.

Если вам нужно освежить знания об упрощении дробей, прочтите мой пост здесь.

Вы также можете посмотреть мой пост о поиске наименьшего общего или наименьшего общего кратного здесь.

Обязательно посмотрите мое видео на YouTube выше, чтобы увидеть больше примеров сложения дробей с разными знаменателями.

Вы также можете бесплатно загрузить рабочий лист для печати и лист ответов для дополнительной практики ниже.

4.5: Сложение и вычитание дробей

Пол и Тони заказывают пиццу, разрезанную на восемь равных частей. Таким образом, каждый кусочек составляет 1/8 всей пиццы. Пол съедает два куска (выделены светло-серым цветом на рисунке \(\PageIndex{1}\)), или 2/8 всей пиццы. Тони съедает три куска (заштрихованные светло-красным цветом (или более темным оттенком серого в черно-белой печати) на рисунке \(\PageIndex{1}\)), или 3/8 всей пиццы.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Пол съедает два ломтика (2/8), а Тони съедает три ломтика (3/8).

Должно быть ясно, что вместе Пол и Тони съедают пять кусочков, или 5/8 всей пиццы. Это отражает тот факт, что

\[ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.\nonumber \]

Здесь показано, как сложить две дроби с общим (одинаковым) знаменателем. Сохраните общий знаменатель и добавьте числители. То есть

\[ \begin{align*} \frac{2}{8} + \frac{3}{8} &= \frac{2 + 3}{8} ~ && \textcolor{red}{ \text{ Сохранить знаменатель; добавить числители.}} \\ &= \frac{5}{8} ~ && \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{align*} \]

Сложение дробей с общими знаменателями

Пусть a/c и b/c — две дроби с общим (одним и тем же) знаменателем. Их сумма определяется как

\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\nonumber \]

То есть, чтобы сложить две дроби, имеющие общие знаменатели, сохранить общий знаменатель и сложить их числители.

Аналогичное правило справедливо и для вычитания.

Вычитание дробей с общим знаменателем

Пусть a/c и b/c — две дроби с общим (одним и тем же) знаменателем. Их разница определяется как

\[ \frac{a}{c} — \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}.\nonumber \]

То есть, чтобы вычесть две дроби, имеющие общие знаменатели, сохранить общий знаменатель и вычесть их числители.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Найдите сумму 4/9 и 3/9.

Раствор

Сохраните общий знаменатель и добавьте числители.

\[ \begin{aligned} \frac{4}{9} + \frac{3}{9} &= \frac{4+3}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить знаменатель ; добавить числители.}} \\ &= \frac{7}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Добавить:

\[ \frac{1}{8} + \frac{2}{8}\номер \]

Ответить

3/8

Пример \(\PageIndex{2}\)

Вычтите 5/16 из 13/16.

Раствор

Сохраните общий знаменатель и вычтите числители.

\[ \begin{aligned} \frac{13}{16} — \frac{5}{16} &= \frac{13-5}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить знаменатель ; вычесть числители.}} \\ &=\frac{8}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Конечно, как мы узнали из раздела 4.1, мы всегда должны сокращать наш окончательный ответ до самых низких значений. Один из способов добиться этого в данном случае — разделить числитель и знаменатель на 8, наибольший общий делитель 8 и 16.

\[ \begin{aligned} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Разделить числитель и знаменатель на 8.}} \\ = \frac{1 }{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель и знаменатель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Вычесть:

\[ \frac{11}{12} — \frac{7}{12}\номер \]

Ответить

1/3

Пример \(\PageIndex{3}\)

Упростить:

\[ \frac{3}{x} — \left( — \frac{7}{x} \right) .\номер\]

Раствор

Обе дроби имеют общий знаменатель.

\[ \begin{align} \frac{3}{x} — \left( — \frac{7}{x} \right) &= \frac{3}{x} + \frac{7}{x } ~ & \textcolor{red}{ \text{ Добавить противоположное.}} \\ &= \frac{3+7}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить знаменатель, добавить числители.} } \\ &= \frac{10}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить.}} \end{aligned}\nonumber \]

Сложение дробей с разными знаменателями

Рассмотрим сумму

\[ \frac{4}{9} + \frac{1}{6}.\номер\]

Мы не можем сложить эти дроби, потому что у них нет общего знаменателя. Так что делать?

голов

Для того, чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, нам нужно:

  1. Найдите общий знаменатель данных дробей.
  2. Составьте дроби с общим знаменателем, равным исходным дробям.

Если мы выполним два пункта в «Цели», то сможем найти сумму заданных дробей.

Итак, с чего начать? Нам нужно найти общий знаменатель, но не просто какой-то общий знаменатель. Давайте договоримся, что мы хотим, чтобы числа были как можно меньше, и найти наименьший общий знаменатель .

Определение: наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (LCD) для набора дробей — это наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей данных дробей.

Рассмотрим еще раз сумму, которую мы хотим найти:

\[ \frac{4}{9} + \frac{1}{6} .\номер\]

Знаменатели равны 9 и 6. Мы хотим найти наименьший общий знаменатель, наименьшее число, которое делится и на 9, и на 6. На ум приходит ряд кандидатов: 36, 54 и 72 делятся на 9 и 6. , назвать несколько. Но наименьшее число, которое делится и на 9, и на 6, — это 18. Это наименьший общий знаменатель для 9 и 6.

Теперь переходим ко второму пункту в «Цель». Нам нужно составить дроби со знаменателем 18, которые эквивалентны 4/9 и 1/6.В случае 4/9, если мы умножим и числитель, и знаменатель на 2, мы получим

.

\[ \begin{aligned} \frac{4}{9} &= \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить числитель и знаменатель на 2. }} \\ &= \frac{8}{18}. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель и знаменатель.}} \end{aligned}\nonumber \]

В случае 1/6, если мы умножим и числитель, и знаменатель на 3, мы получим

\[ \begin{aligned} \frac{1}{6} &= \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить числитель и знаменатель на 3.}} \\ &= \frac{3}{18}. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель и знаменатель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Обычно мы строим нашу работу следующим образом.

\[ \begin{align} \frac{4} + \frac{1}{6} &= \frac{4 \cdot \textcolor{red}{2}}{9 \cdot \textcolor{red}{2 }} + \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{6 \cdot \textcolor{red}{3}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD = 18.} } \\ &= \frac{8}{18} + \frac{3}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упрощение числителей и знаменателей.}} \\ &= \frac{8+3}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохраняйте общий знаменатель; добавить числители.}} \\ &= \frac{11}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Подведем итоги процедуры.

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями

  1. Найдите ЖК, наименьшее число, которое делится на все знаменатели заданных дробей.
  2. Создайте дроби, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя, которые эквивалентны исходным дробям.
  3. Сложите или вычтите полученные эквивалентные дроби. Упростить, в том числе сократить окончательный ответ до минимальных условий.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Упростить: \( \displaystyle \frac{3}{5} — \frac{2}{3}\).

Раствор

Наименьшее число, которое делится и на 5, и на 3, равно 15.

\[ \begin{align} \frac{3}{5} — \frac{2}{3} &= \frac{3 \cdot \textcolor{red}{3}}{5 \cdot \textcolor{red }{3}} — \frac{2 \cdot \textcolor{red}{5}}{3 \cdot \textcolor{red}{5}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD = 15.}} \\ &= \frac{9}{15} — \frac{10}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числители и знаменатели.}} \\ &= \frac{9- 10}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; вычесть числители.}} \\ &= \frac{-1}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Хотя этот ответ вполне приемлем, деление отрицательного на положительное дает нам отрицательный ответ, поэтому мы могли бы также написать

.

\[ = — \frac{1}{15}.\номер\]

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Вычесть:

\[ \frac{3}{4} — \frac{7}{5}\номер \]

Ответить

-13/20

Пример \(\PageIndex{5}\)

Упростить: \(-\frac{1}{4} — \frac{5}{6}\).

Раствор

Наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6, равно 12.

\[ \begin{aligned} -\frac{1}{4} — \frac{5}{6} &= — \frac{1 \cdot \textcolor{red}{3}}{4 \cdot \textcolor {red}{3}} — \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{6 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD =12.}} \\ &= — \frac{3}{12} — \frac{10}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упрощение числителей и знаменателей.}} \\ &= \frac{-3-10}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; вычесть числители.}} \\ &= \frac{-13}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Вычесть: \(-\frac{3}{8} — \frac{1}{12}\)

Ответить

— 24.11

Пример \(\PageIndex{6}\)

Упростить: \(\frac{5}{x} + \frac{3}{4}\).

Раствор

Наименьшее число, которое делится и на 4, и на x, равно 4x.

\[ \begin{align} \frac{5}{x} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot \textcolor{red}{4}}{x \cdot \textcolor{red} {4}} + \frac{3 \cdot \textcolor{red}{x}}{4 \cdot \textcolor{red}{x}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD = } 4x.} \\ = = \frac{20}{4x} + \frac{3x}{4x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упрощение числителей и знаменателей.}} \\ = \frac{20 + 3x}{4x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; добавить числители.}} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Добавить:

\[ \frac{5}{z} + \frac{2}{3}\номер \]

Ответить

\[ \frac{15+2z}{3z}\номер \]

Пример \(\PageIndex{7}\)

Упростить: \(\frac{2}{3}- \frac{x}{5}\).

Раствор

Наименьшее число, которое делится и на 3, и на 5, равно 15.

\[ \begin{align} \frac{2}{3} — \frac{x}{5} = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{5}}{3 \cdot \textcolor{red} {5}} — \frac{x \cdot \textcolor{red}{3}}{5 \cdot \textcolor{red}{3}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD = 15 .}} \\ = \frac{10}{15} — \frac{3x}{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числители и знаменатели.}} \\ = \frac{10 — 3x }{15} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; вычесть числители.}} \end{выровнено}\номер \]

Наименее распространенное кратное

Сначала мы определяем кратность числа.

Определение: множители

Multiply номер D , 2 D , 2 D , 3 D , 4 D и т. Д. То есть несколько D , являются номерами ND , где n — натуральное число.

Например, число, кратное 8, равно 1 · 8, 2 · 8, 3 · 8, 4 · 8 и т. д.или эквивалентно 8, 16, 24, 32 и т. д.

Определение: наименьшее общее кратное

наименьшее общее кратное (НОК) набора чисел — это наименьшее число, кратное каждому числу данного набора. Процедура поиска LCM следующая:

  1. Перечислите все числа, кратные каждому числу в заданном наборе чисел.
  2. Перечислите общие кратные.
  3. Выберите наименьшее из общих кратных.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 16.

Раствор

Список кратных 12 и 16.

Кратность 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,…

Кратность 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112,…

Выберите общие кратные.

Общие кратные: 48, 96,…

НОК является наименьшим из общих кратных.

НОК(12,16) = 48

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Найдите наименьший общий знаменатель чисел 6 и 9.

Ответить

18

Важное замечание

наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным знаменателей.

Например, предположим, что ваша проблема 5/12 + 5/16. ЖК-дисплей — это наименьшее число, которое делится и на 12, и на 16. Это число равно 48, что также является НОК 12 и 16. Следовательно, процедура поиска НОК может также использоваться для поиска ЖК-дисплея.

Наименьшее общее кратное с использованием простой факторизации

Вы также можете найти LCM, используя простую факторизацию.

LCM с помощью простой факторизации

Чтобы найти LCM для набора чисел, выполните следующую процедуру:

  1. Запишите разложение каждого числа на простые множители в компактной форме с использованием показателей степени.
  2. LCM находится путем записи каждого множителя, который появляется на шаге 1, в наибольшей степени этого множителя.

Пример \(\PageIndex{8}\)

Используйте разложение на простые множители, чтобы найти наименьшее общее кратное, найти наименьший общий знаменатель чисел 18 и 24.1 = 3.} \\ = 48. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить.}} \end{aligned}\nonumber \]

Обратите внимание, что этот ответ идентичен LCM из примера 8, который был найден путем перечисления кратных и выбора наименьшего общего кратного.

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Используйте простую факторизацию, чтобы найти наименьший общий знаменатель чисел 18 и 24.

Ответить

72

Пример \(\PageIndex{10}\)

Упростить: \(\frac{5}{28} + \frac{11}{42}\).

Раствор

Фактор знаменателей в компактной форме с использованием показателей степени.

28 = 2 · 2 · 7=2 2 · 7

42 = 2 · 3 · 7=2 1 · 3 1 · 7 1

Чтобы найти ЖКИ, запишите каждый появляющийся множитель в наибольшей степени появляющегося множителя. Появляются множители 2, 3 и 7. Наибольшая степень числа 2, которая появляется, равна 2 2 . Наибольшая степень числа 3, которое появляется, равна 3 1 .1 = 7.} \\ = 84 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножение.}} \end{aligned}\nonumber \]

Создайте эквивалентные дроби с помощью нового ЖК-дисплея, а затем сложите.

\[ \begin{align} \frac{5}{28} + \frac{11}{42} = \frac{5 \cdot \textcolor{red}{3}}{28 \cdot \textcolor{red} {3}} + \frac{11 \cdot \textcolor{red}{2}}{42 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с LCD = 84 .}} \\ = \frac{15}{84} + \frac{22}{84} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упрощение числителей и знаменателей.}} \\ = \frac{37}{84} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; добавить числители.}} \end{aligned}\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Упростить: \( \frac{5}{24} + \frac{5}{36}\)

Ответить

25/72

Пример \(\PageIndex{11}\)

Упростить: \(- \frac{11}{24} — \frac{1}{18}\).

Раствор

Фактор знаменателей в компактной форме с использованием показателей степени.2 = 9.} \\ = 72. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить.}} \end{aligned}\nonumber \]

Создайте эквивалентные дроби с помощью нового ЖК-дисплея, а затем вычтите.

\[ \begin{aligned} — \frac{11}{24} — \frac{1}{18} = — \frac{11 \cdot \textcolor{red}{3}}{24 \cdot \textcolor{ red}{3}} — \frac{1 \cdot \textcolor{red}{4}}{18 \cdot \textcolor{red}{4}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем = 72.}} \\ = — \frac{33}{72} — \frac{4}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числители и знаменатели.}} \\ = \frac{-33-4}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Сохранить LCD; вычесть числители.}} \\ = \frac{-37}{72} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]

Конечно, деление отрицательного на положительное дает отрицательный ответ, поэтому мы также можем записать наш ответ в виде

.

\[ — \frac{11}{24} — \frac{1}{18} = — \frac{37}{72}.\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Упростить: \( — \frac{5}{24} — \frac{11}{36}\)

Ответить

−37/72

Сравнение дробей

Самый простой способ сравнить дроби — создать эквивалентные дроби.

Пример \(\PageIndex{12}\)

Расставьте дроби −1/2 и −4/5 на числовой прямой, затем сравните их, используя соответствующий символ неравенства.

Раствор

Наименьшим общим знаменателем для 2 и 5 является число 10. Сначала составьте эквивалентные дроби с ЖКИ, равным 10.

\[ \begin{array}{c} — \frac{1}{2} = — \frac{1 \cdot \textcolor{red}{5}}{2 \cdot \textcolor{red}{5}} = — \frac{5}{10} \\ — \frac{4}{5} = — \frac{4 \cdot \textcolor{red}{2}}{5 \cdot \textcolor{red}{2} } = — \frac{8}{10} \end{массив}\номер\]

Чтобы нанести десятые доли, разделите интервал между −1 и 0 на десять равных приращений.

Поскольку -4/5 лежит левее -1/2, мы получаем, что -4/5 меньше -1/2, поэтому мы пишем

\[ — \frac{4}{5} < - \frac{1}{2}.\nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Сравните -3/8 и -1/2.

Ответить

\[ — \frac{1}{2} < - \frac{3}{8}\номер \]

Упражнения

В упражнениях 1-10 перечислите кратные заданным числам, а затем перечислите общие кратные.Выберите LCM из списка общих кратных.

1. 9 и 15

2. 15 и 20

3. 20 и 8

4. 15 и 6

5. 16 и 20

6. 6 и 10

7. 20 и 12

8. 12 и 8

9. 10 и 6

10. 10 и 12


В упражнениях 11-20 для заданных чисел рассчитайте НОК с помощью простой факторизации.

11. 54 и 12

12. 108 и 24

13.18 и 24

14. 36 и 54

15. 72 и 108

16. 108 и 72

17. 36 и 24

18. 18 и 12

19. 12 и 18

20. 12 и 54


В упражнениях 21–32 сложите или вычтите дроби, как указано, и упростите результат.

21. \(\frac{7}{12} — \frac{1}{12}\)

22. \(\frac{3}{7} — \frac{5}{7}\)

23. \(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}\)

24. \(\frac{1}{7} + \frac{3}{7}\)

25.\(\frac{1}{5} — \frac{4}{5}\)

26. \(\frac{3}{5} — \frac{2}{5}\)

27. \(\frac{3}{7} — \frac{4}{7}\)

28. \(\frac{6}{7} — \frac{2}{7}\)

29. \(\frac{4}{11} + \frac{9}{11}\)

30. \(\frac{10}{11} + \frac{4}{11}\)

31. \(\frac{3}{11} + \frac{4}{11}\)

32. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{7}\)


В упражнениях 33-56 сложите или вычтите дроби, как указано, и упростите результат.

33.\(\frac{1}{6} — \frac{1}{8}\)

34. \(\frac{7}{9} — \frac{2}{3}\)

35. \(\frac{1}{5} + \frac{2}{3}\)

36. \(\frac{7}{9} + \frac{2}{3}\)

37. \(\frac{2}{3} + \frac{5}{8}\)

38. \(\frac{3}{7} + \frac{5}{9}\)

39. \(\frac{4}{7} — \frac{5}{9}\)

40. \(\frac{3}{5} — \frac{7}{8}\)

41. \(\frac{2}{3} — \frac{3}{8}\)

42. \(\frac{2}{5} — \frac{1}{8\)

43. \(\frac{6}{7} — \frac{1}{6}\)

44.\(\frac{1}{2} — \frac{1}{4}\)

45. \(\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\)

46. \(\frac{4}{9} + \frac{7}{8}\)

47. \(\frac{7}{9} + \frac{1}{8}\)

48. \(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\)

49. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\)

50. \(\frac{5}{6} + \frac{1}{4}\)

51. \(\frac{1}{2} — \frac{2}{7}\)

52. \(\frac{1}{3} — \frac{1}{8}\)

53. \(\frac{5}{6} — \frac{4}{5}\)

54. \(\frac{1}{2} — \frac{1}{9}\)

55.\(\frac{1}{3} + \frac{1}{8}\)

56. \(\frac{1}{6} + \frac{7}{9}\)


В упражнениях 57–68 сложите или вычтите дроби, как указано, сначала используя разложение на простые множители, чтобы найти наименьший общий знаменатель.

57. \(\frac{7}{36} + \frac{11}{54}\)

58. \(\frac{7}{54} + \frac{7}{24}\)

59. \(\frac{7}{18} — \frac{5}{12}\)

60. \(\frac{5}{54} — \frac{7}{12}\)

61. \(\frac{7}{36} + \frac{7}{54}\)

62.\(\frac{5}{72} + \frac{5}{108}\)

63. \(\frac{7}{24} — \frac{5}{36}\)

64. \(\frac{11}{54} + \frac{7}{72}\)

65. \(\frac{11}{12} + \frac{5}{18}\)

66. \(\frac{11}{24} + \frac{11}{108}\)

67. \(\frac{11}{54} — \frac{5}{24}\)

68. \(\frac{7}{54} — \frac{5}{24}\)


В упражнениях 69-80 сложите или вычтите дроби, как указано, и упростите результат.

69. \(\frac{−3}{7} + \left( \frac{−3}{7} \right)\)

70.\(\frac{−5}{9} + \left( \frac{−1}{9} \right)\)

71. \(\frac{7}{9} — \left( \frac{−1}{9} \right) \)

72. \(\frac{8}{9} — \left( \frac{−4}{9} \right)\)

73. \(\frac{7}{9} + \left( \frac{−2}{9} \right)\)

74. \( \frac{2}{3} + \left( \frac{−1}{3} \right)\)

75. \(\frac{−3}{5} — \frac{4}{5}\)

76. \(\frac{−7}{9} — \frac{1}{9}\)

77. \(\frac{−7}{8} + \frac{1}{8}\)

78. \(\frac{−2}{3} + \(\frac{1}{3}\)

79.\(\frac{−1}{3} − \left( \frac{−2}{3} \right)\)

80. \(\frac{−7}{8} − \left( \frac{−5}{8} \right)\)


В упражнениях 81-104 сложите или вычтите дроби, как указано, и упростите результат.

81. \(\frac{−2}{7}\) + \frac{4}{5}\)

82. \(\frac{−1}{4} + \frac{2}{7}\)

83. \(\frac{−1}{4} − \left( \frac{−4}{9} \right)\)

84. \(\frac{−3}{4} −left( \frac{−1}{8} \right)\)

85. \(\frac{−2}{7} + \frac{3}{4}\)

86.\(\frac{−1}{3} + \frac{5}{8}\)

87. \(\frac{−4}{9} — \frac{1}{3}\)

88. \(\frac{−5}{6} — \frac{1}{3}\)

89. \(\frac{−5}{7} − \left( \frac{−1}{5} \right)\)

90. \(\frac{−6}{7} − \left( \frac{−1}{8} \right)\)

91. \(\frac{1}{9} + \left( \frac{−1}{3} \right)\)

92. \(\frac{1}{8} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

93. \(\frac{2}{3} + \left( \frac{−1}{9} \right)\)

94. \(\frac{3}{4} + \left( \frac{−2}{3} \right)\)

95.\(\frac{−1}{2} + \left( \frac{−6}{7} \right)\)

96. \(\frac{−4}{5} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

97. \(\frac{−1}{2} + \left( \frac{−3}{4} \right)\)

98. \(\frac{−3}{5} + \left( \frac{−1}{2} \right)\)

99. \(\frac{−1}{4} — \frac{1}{2}\)

100. \(\frac{−8}{9} — \frac{2}{3}\)

101. \(\frac{5}{8} — \left( \frac{−3}{4} \right)\)

102. \(\frac{3}{4} — \left( \frac{−3}{8} \right)\)

103. \(\frac{1}{8} — \left( \frac{−1}{3} \right)\)

104.\(\frac{1}{2} — \left(\frac{−4}{9} \right)\)


В упражнениях 105-120 сложите или вычтите дроби, как указано, и запишите свой ответ в наименьших терминах.

105. \(\frac{1}{2} + \frac{3q}{5}\)

106. \(\frac{4}{7} — \frac{b}{3}\)

107. \(\frac{4}{9} — \frac{3a}{4}\)

108. \(\frac{4}{9} — \frac{b}{2}\)

109. \(\frac{2}{s} + \frac{1}{3}\)

110. \(\frac{2}{s} + \frac{3}{7}\)

111. \(\frac{1}{3} — \frac{7}{b}\)

112.\(\frac{1}{2} — \frac{9}{s}\)

113. \(\frac{4b}{7} + \frac{2}{3}\)

114. \(\frac{2a}{5} + \frac{5}{8}\)

115. \(\frac{2}{3} — \frac{9}{t}\)

116. \(\frac{4}{7} — \frac{1}{y}\)

117. \(\frac{9}{s} + \frac{7}{8}\)

118. \(\frac{6}{t} — \frac{1}{9}\)

119. \(\frac{7b}{8} — \frac{5}{9}\)

120. \(\frac{3p}{4} — \frac{1}{8}\)


В упражнениях 121-132 определите, какое из двух данных утверждений верно.

121. \(\frac{−2}{3} < \frac{−8}{7}\) или \(\frac{− 2}{3} > \frac{−8}{7}\)

122. \(\frac{−1}{7} < \frac{−8}{9}\) или \(\frac{− 1}{7} > \frac{−8}{9}\)

123. \(\frac{6}{7} < \frac{7}{3}\) или \(\frac{6}{7} > \frac{7}{3}\)

124. \(\frac{1}{2} < \frac{2}{7}\) или \(\frac{1}{2} > \frac{2}{7}\)

125. \(\frac{−9}{4} < \frac{−2}{3}\) или \frac{− 9}{4} > \frac{−2}{3}\)

126. \(\frac{−3}{7} < \frac{−9}{2}\) или \(\frac{− 3}{7} > \frac{−9}{2}\)

127.\(\frac{5}{7} < \frac{5}{9}\) или \frac{5}{7} > \frac{5}{9}\)

128. \(\frac{1}{2} < \frac{1}{3}\) или \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\)

129. \(\frac{−7}{2} < \frac{−1}{5}\) или \(\frac{− 7}{2} > \frac{−1}{5}\)

130. \(\frac{−3}{4} < \frac{−5}{9}\) или \(\frac{− 3}{4} > \frac{−5}{9}\)

131. \(\frac{5}{9} < \frac{6}{5}\) или \(\frac{5}{9} > \frac{6}{5}\)

132. \(\frac{3}{2} < \frac{7}{9}\) или \(\frac{3}{2} > \frac{7}{9}\)


Ответы

1.45

3. 40

5. 80

7. 60

9. 30

11. 108

13. 72

15. 216

17. 72

19. 36

21. \(\frac{1}{2}\)

23. \(\frac{2}{9}\)

25. \(\frac{−3}{5}\)

27. \(\frac{−1}{7}\)

29. \(\frac{13}{11}\)

31. \(\frac{7}{11}\)

33. \(\frac{1}{24}\)

35. \(\frac{13}{15}\)

37.\(\frac{31}{24}\)

39. \(\frac{1}{63}\)

41. \(\frac{7}{24}\)

43. \(\frac{29}{42}\)

45. \(\frac{5}{6}\)

47. \(\frac{65}{72}\)

49. \(\frac{10}{21}\)

51. \(\frac{3}{14}\)

53. \(\frac{1}{30}\)

55. \(\frac{11}{24}\)

57. \(\frac{43}{108}\)

59. \(\frac{−1}{36}\)

61. \(\frac{35}{108}\)

63. \(\frac{11}{72}\)

65.\(\frac{43}{36}\)

67. \(\frac{−1}{216}\)

69. \(\frac{−6}{7}\)

71. \(\frac{8}{9}\)

73. \(\frac{5}{9}\)

75. \(\frac{− 7}{5}\)

77. \(\frac{− 3}{4}\)

79. \(\frac{1}{3}\)

81. \(\frac{18}{35}\)

83. \(\frac{7}{36}\)

85. \(\frac{13}{28}\)

87. \(\frac{− 7}{9}\)

89. \(\frac{−18}{35}\)

91. \(\frac{− 2}{9}\)

93.\(\frac{5}{9}\)

95. \(\frac{−19}{14}\)

97. \(\frac{− 5}{4}\)

99. \(\frac{− 3}{4}\)

101. \(\frac{11}{8}\)

103. \(\frac{11}{24}\)

105. \(\frac{5+6 q}{10}\)

107. \(\frac{16 − 27 a}{36}\)

109. \(\frac{6 + s}{3 s}\)

111. \(\frac{b — 21}{3b}\)

113. \(\frac{12 b + 14}{21}\)

115. \(\frac{2 t — 27}{3t}\)

117. \(\frac{72 + 7 с}{8 с}\)

119.\(\frac{63 b — 40}{72}\)

121. \(\frac{− 2}{3} > \(\frac{− 8}{7}\)

123. \(\frac{6}{7} < \frac{7}{3}\)

125. \(\frac{− 9}{4} < \frac{− 2}{3}\)

127. \(\frac{5}{7} > \frac{5}{9}\)

129. \(\frac{− 7}{2 } < \frac{− 1}{5}\)

131. \(\frac{5}{9} < \frac{6}{5}\)

элементарная теория чисел. Если сумма двух неприводимых дробей является целым числом, то знаменатели равны

элементарная теория чисел. Если сумма двух неприводимых дробей является целым числом, то знаменатели равны
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 179 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетите биржу стека
  1. 0
  2. +0
  3. Войти
  4. Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация занимает всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Я должен показать следующее: «Если сумма двух неприводимых дробей с положительными знаменателями является целым числом, то знаменатели равны.» $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=k, \text{где k целое число}$$ Поскольку дроби неприводимы, $(a,b)=1$ и $(c,d)=1$. Верно? Но как мне продолжить??

спросил 24 фев, 2014 в 0:00

Мэри СтарМэри Стар

12.1k1010 золотых знаков4242 серебряных знака144144 бронзовых знака

$\endgroup$ 3 $\begingroup$

Уравнение означает $ad+bc=bd k$.Отсюда следует, что $b$ делит $ad$, а значит, и $d$. Остальное для вас…

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.