Как привести дроби к общему знаменателю при сложении: Сложение обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор

Содержание

Сократить дробь и привести к общему знаменателю. Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК. Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения

У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:

\(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\)

Пример разных знаменателей у дробей:

\(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\)

Как привести к общему знаменателю дроби?

У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.

Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.

\(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\)

Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.

\(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\)

Мы привели к общему знаменателю дроби:

\(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\)

Наименьший общий знаменатель.

Рассмотрим еще пример:

Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю.

Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.

Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.

Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.

\(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\)

Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ

Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.

Например:
Приведите дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{16}\) к наименьшему общему знаменателю.

Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:

\(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\)

Приведение дробей к общему знаменателю

Дроби И имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель 25. Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дробей. Для этого найдем число, которое делится на 8 и на 3, например, 24. Приведем дроби к знаменателю 24, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:

Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8:

Приведем дроби и к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей. Так как НОК (8, 12) = 24, то дроби можно привести к знаменателю 24. Найдем дополнительные множители дробей: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогда

К общему знаменателю можно приводить несколько дробей.

Пример. Приведем дроби к общему знаменателю. Так как 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:

Сравнение дробей

На рис. 4.7 изображен отрезок АВ длины 1. Он разделен на 7 равных частей. Отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .


Длина отрезка AD больше длины отрезка AС т. е. дробь больше дроби

Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше, т. е.

Например, или

Чтобы сравнить любые две дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.

Пример. Сравнить дроби

Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда Так как 21 > 20, то

Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.

Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они будут иметь вид Так как первая дробь меньше

второй, то r

Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя.

Дробь называется неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Например, дроби-правильные, а дроби -неправильные.

Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.

  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  • Понятие о НОК
  • Приведение дробей к одному знаменателю
  • Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

  1. Разложить эти числа на простые множители
  2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
  3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
  4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Информация

В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

  • Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
  • Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 20

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Схема приведения к общему знаменателю

  1. Нужно определить, какое будет наименьшее общее кратное для знаменателей дробей. Если Вы имеете дело со смешанным или целым числом, то его нужно сначала превратить в дробь, а уже потом определять наименьшее общее кратное. Чтобы целое число превратить в дробь, нужно в числителе записать само это число, а в знаменателе — единицу. Например, число 5 в виде дроби будет выглядеть так: 5/1. Чтобы смешанное число превратить в дробь, нужно целое число умножить на знаменатель и прибавить к нему числитель. Пример: 8 целых и 3/5 в виде дроби = 8×5+3/5 = 43/5.
  2. После этого необходимо найти дополнительный множитель, который определяется делением НОЗ на знаменатель каждой дроби.
  3. Последний шаг — умножение дроби на дополнительный множитель.

Важно запомнить, что приведение к общему знаменателю нужно не только для сложения или вычитания. Для сравнения нескольких дробей с разными знаменателями также необходимо сначала привести каждую из них к общему знаменателю.

Приведение дробей к общему знаменателю

Для того чтобы понять, как привести к общему знаменателю дробь, необходимо разобраться в некоторых свойствах дробей. Так, важным свойством, используемым для приведения к НОЗ, является равенство дробей. Другими словами, если числитель и знаменатель дроби умножается на число, то в результате получает дробь, равная предыдущей. В качестве примера приведём следующий пример. Для того чтобы привести дроби 5/9 и 5/6 к наименьшему общему знаменателю, нужно выполнить следующие действия:

  1. Сначала находим наименьшее общее кратное знаменателей. В данном случае для чисел 9 и 6 НОК будет равно 18.
  2. Определяем дополнительные множители для каждой из дробей. Делается это следующим образом. Делим НОК на знаменатель каждой из дробей, в результате получаем 18: 9 = 2, а 18: 6 = 3. Эти числа и будут дополнительными множителями.
  3. Приводим две дроби к НОЗ. Умножая дробь на число, нужно умножить и числитель, и знаменатель. Дробь 5/9 можно умножить на дополнительный множитель 2, в результате чего получится дробь, равная данной, — 10/18. То же самое делаем со второй дробью: 5/6 умножаем на 3, в результате чего получаем 15/18.

Как видим из представленного выше примера, обе дроби были приведены к наименьшему общему знаменателю. Чтобы окончательно разобраться в том, как найти общий знаменатель, необходимо освоить еще одно свойство дробей. Оно заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на одно и то же число, которое называется общим делителем. Например, дробь 12/30 можно сократить до 2/5, если разделить ее на общий делитель — число 6.

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. ( см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного» :

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).

Данные дроби не являются несократимыми.

Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).

Дети и учеба — Информационный портал

  • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  • Понятие о НОК
  • Приведение дробей к одному знаменателю
  • Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

  1. Разложить эти числа на простые множители
  2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
  3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
  4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

5 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Информация

В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

  • Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
  • Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 20

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

  1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
  2. Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
  3. Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

  1. Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
  2. Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
  3. При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 84: 21 = 4; 72: 12 = 6 . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24: 8 = 3; 24: 12 = 2 . Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96 .

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a ; b ) . Например, НОК(16; 24) = 48 ; НОК(8; 12) = 24 .

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4 . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

  1. Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
  2. Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702 , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!

Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:

\(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\)

Пример разных знаменателей у дробей:

\(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\)

Как привести к общему знаменателю дроби?

У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.

Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.

\(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\)

Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.

\(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\)

Мы привели к общему знаменателю дроби:

\(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\)

Наименьший общий знаменатель.

Рассмотрим еще пример:

Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю.

Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.

Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.

Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.

\(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\)

Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ

Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.

Например:
Приведите дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{16}\) к наименьшему общему знаменателю.

Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:

\(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\)

Зачастую выясняется, что действия с дробями не вызывают сложностей у учеников. Основной проблемой становится нахождение общего знаменателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, нужно запомнить правило приведения дробей к общему знаменателю и понимать, зачем вообще этот общий знаменатель нужен.

Что такое дробь?

В 5 классе ученикам объясняют, что дробь это разделенное на кусочки целое. Причем знаменатель обозначает количество частей, на которое разделили какой-то предмет, а числитель количество этих частей, которое взяли для расчета.

Но в математике существует другое определение: дробью зовут незавершенную операцию деления. Это значит, что как любую дробь можно превратить в деление, так и любое деление можно превратить в дробь. Например:

$${5\over{7}}=5:7$$

$$7:13={7\over{13}}$$

$$12:9={12\over{9}}$$

Можно бесконечно приводить примеры, но смысл от этого не изменится: черта дроби заменяет знак деления.

Зачем нужно находить общий знаменатель?

Для того, чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно превратить две операции деления в одну. Это возможно только при условии одинакового делителя. В виде формул это выглядит так:

а:в-с:е=(а*е):(в*е)-(с*в):(в*е)=((а*е)-(с*в)):(в*е)

То есть для того, чтобы сложить или вычесть дроби, потребуется привести их к общему знаменателю. Иначе просто не получится правильно решить пример.

Для умножения и деления дробей, приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Для этих операций существует другое теоретическое обоснование, которое предполагает другой порядок действий.

Как найти общий знаменатель дробей

Для того, чтобы найти общий знаменатель дробей, нужно найти наибольшее общее кратное знаменателей. Приведем пример, решим небольшое выражение:

$${3\over{5}}+{7\over{15}}$$

Найдем НОК знаменателей. Число 15 делится на число 5, значит

$${3\over{5}}+{7\over{15}}={{3*3}\over{15}}+{7\over{15}}={9\over{15}}+{7\over{15}}={16\over{15}}=1 {1\over{15}}$$- обратите внимание, что при увеличении числителя, так же увеличился и знаменатель. В конце решения примера с дробями при возможности следует выделять целую часть выражения.

Привести дроби к общему знаменателю можно только пользуясь основным свойством дроби. Формулировка этого свойства звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это значит, что при приведении дроби к общему знаменателю, требуется учитывать и увеличение числителя.

НОК можно найти аналитически, как мы это сделали в примере. Но чаще всего приходится прибегать к разложению на простые множители. Для того, чтобы найти НОК двух чисел следует:

  • Разложить эти числа на простые множители
  • Проверить, каких простых множителей не хватает в разложении.
  • Берется число с наименьшим количеством множителей и к его разложению добавляют числа, которое есть в других разложениях, но отсутствуют в основном. При этом учитывается и количество чисел. Это значит, что если в основном разложении одно число 3, а в других разложениях два числа 3, то нужно домножить основное разложение на две тройки.

Что мы узнали?

Мы поговорили о приведении дробей к общему знаменателю. Рассказали, зачем это нужно, и какие операции с дробями можно выполнять без приведения к общему знаменателю. Привели пример и рассказали, как меняется числитель при приведении дробей к общему знаменателю.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.7 . Всего получено оценок: 115.

Приведение дробей к общему знаменателю

Дроби И имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель 25. Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дробей. Для этого найдем число, которое делится на 8 и на 3, например, 24. Приведем дроби к знаменателю 24, для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:

Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8:

Приведем дроби и к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей. Так как НОК (8, 12) = 24, то дроби можно привести к знаменателю 24. Найдем дополнительные множители дробей: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогда

К общему знаменателю можно приводить несколько дробей.

Пример. Приведем дроби к общему знаменателю. Так как 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:

Сравнение дробей

На рис. 4.7 изображен отрезок АВ длины 1. Он разделен на 7 равных частей. Отрезок АС имеет длину , а отрезок AD имеет длину .


Длина отрезка AD больше длины отрезка AС т. е. дробь больше дроби

Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше, т. е.

Например, или

Чтобы сравнить любые две дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.

Пример. Сравнить дроби

Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда Так как 21 > 20, то

Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.

Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они будут иметь вид Так как первая дробь меньше

второй, то r натуральных чисел следует, что r

Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя.

Дробь называется неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Например, дроби-правильные, а дроби -неправильные.

Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.

Тема 3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Приведение дробей к общему знаменателю.

При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2) сравнить (сложить, вычесть)полученные дроби.

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю

2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;

2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Тема 4. Умножение и деление обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо :

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначают чертой, называют дробным выражением.

Нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо его значение разделить на дробь

Тема 5. Отношение и пропорции.

Понятие отношения.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Понятие пропорции. Свойства пропорции

Верное равенство двух отношений называют пропорцией.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведение средних членов.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

Прямая и обратная пропорциональные зависимость.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличение (уменьшение)одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается)во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличение (уменьшение) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Приведение к общему знаменателю трех дробей с использованием разложения на множители

Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.

Пример. 7.Привести дроби , и к общему знаменателю.

Решение.У знаменателей каждой из дробей присутствует численный коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число 12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем дробей будет . Дополнительные множители для числителей дробей находим, как и ранее: для первой дроби – , для второй – , для третьей – .

; ; .

Ответ. , и .

Пример 8.Привести дроби , и к общему знаменателю.

Решение.Знаменатель первой дроби можно разложить на множители . Мы видим, что он уже содержит в себе знаменатели двух других дробей в виде множителей, следовательно, для первой дроби знаменатель менять не нужно, а для двух других найдем дополнительные множители: вторая дробь – , третья дробь – .

; .

Ответ. , и .

Пример 9.Привести дроби , и к общему знаменателю.

Решение.Очевидно, что основной частью метода приведения к общему знаменателю здесь будет разложение на множители для дальнейшего поиска дополнительным множителей. Разложим первый знаменатель методом группировки множителей:

.

Второй и третий знаменатели раскладываются с вынесением общего множителя, причем, проделаем это таким образом, чтобы получить в качестве множителей выражения соответствующие множителям первого знаменателя, чтобы проще находить затем дополнительные множители.

; .

Общий знаменатель дробей должен содержать все различные множители, которые мы нашли, т. е. будет равен:

Дополнительные множители: первая дробь – , вторая дробь – ,

третья дробь

; ; .

Ответ. , и .

Пример на вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Основное внимание на уроке мы уделили сложным случаям нахождения общих знаменателей у дробей. В дальнейшем это умение пригодится для проведения простейших операций с дробями, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим один такой пример.

Пример 10.Найдите значение выражения при .

Решение.В подобных примерах подстановка числового значения в исходное выражение не является рациональной, сначала следует проделать все возможные операции в буквенном виде, т. е. упростить выражение, а уже затем подставлять числа. В данном случае необходимо вычесть дроби, они уже с одинаковыми знаменателями, поэтому поступаем, как и в случае обыкновенных дробей.

.

Сокращение дроби на множитель мы имеем полное право проводить, т. к. значение подставляемой в дальнейшем переменной не входит в область недопустимых значений (см. урок №1). Недопустимым значением переменной в данном случае является: .

Ответ. .

На следующих уроках мы более подробно рассмотрим технику сложения и вычитания алгебраических дробей и убедимся, что она аналогична методам работы с обыкновенными дробями.

Домашнее задание

1. Привести к общему знаменателю дроби и .

2. Привести к общему знаменателю дроби и .

3. Привести к общему знаменателю дроби , и .

 

Урок 10:Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи).

Данный урок является логическим продолжением предыдущего, т. к. на прошлом уроке рассматривалась техника сложения и вычитания алгебраических дробей, а в рамках сегодняшнего урока будут рассмотрены более сложные случаи тех же операций над дробями. Дополнительно в рассматриваемых примерах будет делаться акцент на применение формул сокращенного умножения и на замену знака множителя на противоположный. Оказывается, что подобные процедуры могут существенно помочь при решении сложных примеров на сложение и вычитание алгебраических дробей.

 

Пример №1 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вспомним изученное на прошлом уроке правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:

Примечательно то, что оно одинаково применимо и для простейших случаев, рассмотренных ранее, и для более сложных, которые мы сейчас разберем на примерах.

Пример 1.Сложить и вычесть указанные дроби: .

Решение.Очевидно, что указанные дроби уже с одинаковым (общим) знаменателем, и мы можем воспользоваться упомянутым ранее правилом их сложения/вычитания.

.

Прокомментируем последовательность действий. В процессе применения правила сложения/вычитания дробей следует помнить, что такой знак, как минус перед дробью, относится ко всему числителю, и вычитать его необходимо в скобках. После приведения подобных слагаемых необходимо попытаться разложить знаменатель и числитель дроби на множители в надежде сократить на какой-то из них, что мы успешно и проделали. Затем при удачном стечении обстоятельств дробь сокращается, как в нашем случае, например, на . При этом стоит помнить, что любые сокращенные элементы необходимо учесть в области недопустимых значений переменных, так как они пропадают из дроби, и о них можно забыть. В нашем случае запишем, что .

Ответ. .

Пример №2 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 2. Сложить и вычесть указанные дроби: .

Решение.В указанном условии неочевидно, одинаковы ли знаменатели у дробей. Чтобы это проверить, разложим их на множители. При разложении на множители первого знаменателя видим, что он почти такой же, как и у второй дроби, противоположен только знак второго множителя. Чтобы привести знаменатели к одинаковому виду, вынесем минус из второго множителя второй дроби, и он окажется перед дробью, так как знак знаменателя и числителя относятся и ко всей дроби сразу:

.

Знаменатель третьей дроби тоже очень похож на знаменатель первой до разложения. Поступим с ним аналогично – вынесем минус и разложим на множители:

.

Все полученные преобразования дробей подставим в исходное условие (знак перед третьей дробью получится положительным, т. к. «минус на минус дает плюс»).

.

В числителе воспользовались формулой квадрата разности. После сокращения учтем, что .

Ответ. .

Рассмотрим теперь пример на применение умения складывать дроби с одинаковыми знаменателями в других целях.

Пример на применение сложение/вычитания дробей при доказательстве положительности выражения

Пример 3.Доказать, что выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной.

Решение.Поскольку необходимо исследовать выражение при всех допустимых значениях переменной, определим эти значения. По уже известному принципу, это все значения , кроме . Следовательно, . Выполним действия:

.

После приведения подобных слагаемых мы воспользовались формулой квадрата разности , далее, т. к. , то . Числитель и знаменатель положительные числа, значит, и дробь положительна.

Доказано.

На следующих уроках мы поговорим уже о сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, используя похожую на изученную нами технику.

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Упростить выражение .

3. Упростить выражение .

 

Урок 11:Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями – одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

 

Операции с дробями примеры. Приведение дроби к общему знаменателю. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:


Примеры (1):


Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):


Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.


*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:


Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:


В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:


*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Задача. На базу привезли 13 тонн овощей. Картофель составляет ¾ от всех завезённых овощей. Сколько килограмм картофеля завезли на базу?

С произведением закончим.

*Ранее обещал вам привести формальное объяснение основного свойства дроби через произведение, пожалуйста:

3. Деление дробей.

Деление дробей сводится к их умножению. Здесь важно запомнить, что дробь являющаяся делителем (та, на которую делят) переворачивается и действие меняется на умножение:

Данное действие может быть записано в виде так называемой четырёхэтажной дроби, ведь само деление «:» тоже можно записать как дробь:

Примеры:

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Числителем, а то, на которое делят — знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель — в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

  • Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби , надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
— Переведение дробей в неправильный вид:
— 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
— Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
— 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

  1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
  2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
  3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

  1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример:

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.

Как решать примеры с дробями – общие правила

Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:

  • Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
  • Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
  • Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
  • Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
  • Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.

Как решать примеры с дробями – практика

Правило 1, пример 1:

Вычислить 3/4 +1/4.

Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.

Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Вычислить: 3/4 – 1/4

Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.

Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Вычислить: 3/4 + 1/6

Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.

Ответ: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Ответ: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Вычислить: 3/4 * 1/4

Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.

Ответ: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Вычислить 2/5 * 10/4.

Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.

2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Ответ: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Вычислить: 3/4: 5/6

Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.

Ответ: 9/10.


Как решать примеры с дробями – дробные уравнения

Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.

Рассмотрим пример:

Решить уравнение 15/3x+5 = 3

Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).

Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.

Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:

  1. Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
  2. Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
  3. То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
  4. Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
  5. Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
  6. Находим x: x = -50/36.
  7. Сокращаем: -50/36 = -25/18

Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.


Как решать примеры с дробями – дробные неравенства

Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.

Последовательность действий:

  • Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
    2. 2-x=0 => x=2
  • Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
  • Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
  • Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.


  • Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.


  • Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).

Ответ: x = Ø

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y — знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X — числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя — дробь является правильной, если наоборот — неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

  • Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого — три.
  • Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
  • Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

  • Умножение — числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
  • Деление — сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея

Результаты обучения

  • Определите наименьший общий знаменатель двух дробей
  • Используйте ЖК-дисплей двух дробей, чтобы преобразовать их в эквивалентные дроби
  • Сложите две дроби с разными знаменателями

В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Но как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Давайте снова подумаем о монетах.Можете ли вы добавить одну четверть и один цент? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно. Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс один цент, вы заменяете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна [латекс]25[/латекс] центов, а один дайм равен [латекс]10[/латекс] центов, поэтому сумма составляет [латекс]35[/латекс] центов. См. изображение ниже.

Вместе четверть и десятицентовик стоят [латекс]35[/латекс] центов или [латекс]\фрак{35}{100}[/латекс] доллара.


Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем.С монетами, когда мы конвертируем в центы, знаменатель [латекс]100[/латекс]. Поскольку в одном долларе [латекс]100[/латекс] центов, [латекс]25[/латекс] центов составляют [латекс]\фракция{25}{100}[/латекс] и [латекс]10[/латекс] центов равно [латекс]\фракция{10}{100}[/латекс]. Итак, мы добавляем [латекс]\frac{25}{100}+\frac{10}{100}[/latex], чтобы получить [latex]\frac{35}{100}[/latex], то есть [латекс] 35[/латекс] центов.

Вы научились складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Теперь посмотрим, что нужно делать с дробями, имеющими разные знаменатели.
Во-первых, мы будем использовать фрагменты дробей для моделирования нахождения общего знаменателя [латекс]\фракция{1}{2}[/латекс] и [латекс]\фракция{1}{3}[/латекс].

Мы начнем с одной плитки [latex]\frac{1}{2}[/latex] и плитки [latex]\frac{1}{3}[/latex]. Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать для точного сопоставления с [латекс]\фракция{1}{2}[/латекс] и [латекс]\фракция{1}{3}[/латекс].
Если мы попробуем кусочки [латекс]\frac{1}{4}[/latex], [latex]2[/latex] из них точно совпадут с [latex]\frac{1}{2}[/latex] часть, но они не совсем совпадают с частью [латекс]\frac{1}{3}[/latex].


Если мы попробуем части [латекс]\frac{1}{5}[/latex], они не полностью покроют часть [латекс]\frac{1}{2}[/latex] или [латекс] \frac{1}{3}[/latex] кусок.


Если мы попробуем кусочки [латекса]\frac{1}{6}[/latex], мы увидим, что ровно [latex]3[/latex] из них покрывают [латекс]\frac{1}{2} [/latex] кусок, и ровно [latex]2[/latex] из них покрывают [latex]\frac{1}{3}[/latex] кусок.


Если бы мы попробовали детали из [латекса]\frac{1}{12}[/latex], они бы тоже сработали.


Плитки даже меньшего размера, такие как [латекс]\frac{1}{24}[/latex] и [латекс]\frac{1}{48}[/latex], точно покрывают [латекс]\frac Часть {1}{2}[/latex] и часть [latex]\frac{1}{3}[/latex].

Знаменатель наибольшей части, покрывающей обе дроби, является наименьшим общим знаменателем (НОД) двух дробей. Таким образом, наименьший общий знаменатель [латекс]\frac{1}{2}[/latex] и [латекс]\frac{1}{3}[/latex] равен [латекс]6[/латекс].

Обратите внимание, что все тайлы, покрывающие [латекс]\frac{1}{2}[/latex] и [латекс]\frac{1}{3}[/latex], имеют нечто общее: их знаменатели являются общими кратными [латекс]2[/латекс] и [латекс]3[/латекс], знаменатели [латекс]\фракция{1}{2}[/латекс] и [латекс]\фракция{1}{3}[ /латекс].Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей равно [латекс]6[/латекс], поэтому мы говорим, что [латекс]6[/латекс] является наименьшим общим знаменателем (НОК) дробей [латекс]\frac{ 1}{2}[/latex] и [латекс]\frac{1}{3}[/latex].

Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Нахождение наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять LCD.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Чтобы найти НОК двух дробей, найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую мы использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Пример

Найдите ЖК-дисплей для дробей: [латекс]\frac{7}{12}[/latex] и [латекс]\frac{5}{18}[/latex]

Решение:

Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
Перечислите простые числа [latex]12[/latex] и простые числа [latex]18[/latex], по возможности выстроив их в столбцы.
Снести столбцы.
Умножьте множители. Продукт LCM. [латекс]\текст{LCM}=36[/латекс]
LCM [латекс]12[/латекс] и [латекс]18[/латекс] равен [латекс]36[/латекс], поэтому ЖКД [латекс]\frac{7}{12}[/ латекс] и [латекс]\frac{5}{18}[/латекс] равно 36. LCD [латекс]\frac{7}{12}[/latex] и [латекс]\frac{5}{18}[/latex] равен 36.

 

Чтобы найти НОК двух дробей, найдите НОК их знаменателей.Обратите внимание, что шаги, показанные ниже, похожи на шаги, которые мы предприняли, чтобы найти LCM.

Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей

  1. Разложите каждый знаменатель на простые числа.
  2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставляя простые числа в столбцах.
  3. Снести колонны.
  4. Умножьте множители. Произведение представляет собой НОК знаменателей.
  5. НОК знаменателей — это НОК дробей.

Пример

Найдите наименьший общий знаменатель дробей: [latex]\frac{8}{15}[/latex] и [latex]\frac{11}{24}[/latex]

Показать решение

Решение:
Чтобы найти ЖК, находим НОК знаменателей.
Найдите LCM [латекс]15[/латекс] и [латекс]24[/латекс].


LCM [латекс]15[/латекс] и [латекс]24[/латекс] составляет [латекс]120[/латекс]. Таким образом, LCD [латекс]\frac{8}{15}[/latex] и [латекс]\frac{11}{24}[/latex] составляет [латекс]120[/латекс].

Ранее мы использовали плитки дробей, чтобы увидеть, что ЖК-дисплей [латекс]\frac{1}{4}\text{and}\frac{1}{6}[/latex] равен [latex]12[/latex] . Мы видели, что три куска [латекса]\frac{1}{12}[/latex] точно покрывают [латекс]\frac{1}{4}[/latex] и два куска [латекса]\frac{1}{12} [/latex] кусочки, точно покрытые [латексом]\frac{1}{6}[/latex], поэтому

[латекс]\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\text{and}\frac{1}{6}=\frac{2}{12}[/latex].


Мы говорим, что [латекс]\фракция{1}{4}\текст{и}\фракция{3}{12}[/латекс] являются эквивалентными дробями, а также что [латекс]\фракция{1}{6} \text{и}\frac{2}{12}[/latex] — эквивалентные дроби.

Свойство эквивалентных дробей можно использовать для алгебраического преобразования дроби в эквивалентную. Помните, что две дроби эквивалентны, если они имеют одинаковое значение. Свойство Equivalent Fractions повторяется ниже для справки.

Эквивалентные дроби Свойство

Если [latex]a,b,c[/latex] — целые числа, где [latex]b\ne 0,c\ne 0,\text{then}[/latex]

[латекс]\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\text{ и }\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{ а}{б}[/латекс]

Чтобы складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, нам сначала нужно преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.Давайте посмотрим, как заменить [латекс]\фракция{1}{4}\текст{ и }\фракция{1}{6}[/латекс] эквивалентными дробями со знаменателем [латекс]12[/латекс] без использования моделей.

Пример

Преобразование [латекс]\фракция{1}{4}\текст{ и }\фракция{1}{6}[/латекс] в эквивалентные дроби со знаменателем [латекс]12[/латекс], их LCD.

Решение:

Найдите ЖК-дисплей. ЖК-дисплей [latex]\frac{1}{4}[/latex] и [latex]\frac{1}{6}[/latex] имеет значение [latex]12[/latex].
Найдите число, на которое нужно умножить [латекс]4[/латекс], чтобы получить [латекс]12[/латекс]. [латекс]4\cdot\color{красный}{3}=12[/латекс]
Найдите число, на которое нужно умножить [латекс]6[/латекс], чтобы получить [латекс]12[/латекс]. [латекс]6\cdot\color{красный}{2}=12[/латекс]
Используйте свойство «Эквивалентные дроби», чтобы преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. [латекс]\frac{1}{4}[/latex]      [латекс]\frac{1}{6}[/latex]

[латекс]\frac{1\cdot\color{red}{3}}{4\cdot\color{red}{3}}[/latex]      [латекс]\frac{1\cdot\color{red} {2}}{6\cdot\color{red}{2}}[/latex]

Упростите числители и знаменатели. [латекс]\frac{3}{12}[/latex]               [латекс]\frac{2}{12}[/latex]

Полученные дроби не уменьшаем. Если бы мы это сделали, мы бы вернулись к нашим первоначальным дробям и потеряли бы общий знаменатель.

Преобразование двух дробей в эквивалентные дроби с их ЖК-дисплеем в качестве общего знаменателя

  1. Найдите ЖК-дисплей.
  2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖКИ.
  3. Используйте свойство «Эквивалентные дроби», чтобы умножить числитель и знаменатель на число, найденное на шаге 2.
  4. Упростите числитель и знаменатель.

Пример

Преобразование [латекс]\фракция{8}{15}[/латекс] и [латекс]\фракция{11}{24}[/латекс] в эквивалентные дроби со знаменателем [латекс]120[/латекс], их LCD.

Показать решение

Решение:

ЖК-дисплей [латекс]120[/латекс]. Мы начнем с шага 2.
Найдите число, на которое нужно умножить [латекс]15[/латекс], чтобы получить [латекс]120[/латекс]. [латекс]15\cdot\color{красный}{8}=120[/латекс]
Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120. [латекс]24\cdot\color{красный}{5}=120[/латекс]
Использовать свойство «Эквивалентные дроби». [латекс]\frac{8\cdot\color{red}{8}}{15\cdot\color{red}{8}}[/latex]        [латекс]\frac{11\cdot\color{red} {5}}{24\cdot\color{red}{5}}[/latex]
Упростите числители и знаменатели. [латекс]\frac{64}{120}[/latex]        [латекс]\frac{55}{120}[/latex]

 

В следующем видео мы покажем еще два примера использования метода столбца для нахождения наименьшего общего знаменателя двух дробей.

4 способа научить учащихся составлять общий знаменатель

Обучение учащихся сложению и вычитанию дробей может быстро утомить их. Все небольшие возможности для ошибок с составлением эквивалентных дробей, сложением/вычитанием, и только когда они думают, что сделали… бум… им, возможно, придется преобразовать или упростить ответ.Это определенно может быстро надоесть. Одна область, в которой я почти довела себя до совершенства (потому что в преподавании нет ничего идеального), это научить моего ученика приводить к общему знаменателю. В этом посте я поделюсь четырьмя способами, которыми я учу студентов приводить к общему знаменателю, порядком, которым я учу каждый способ, и моим обоснованием этого.

Использование манипуляций для поиска эквивалентных дробей

Это примерно то, на что похоже. Учащиеся используют манипуляции, либо полоски дробей, либо эквивалентную диаграмму дробей (аналогичную тому, что показано на приведенной ниже диаграмме), чтобы преобразовать дроби в эквивалентные дроби с тем же знаменателем.

Эту стратегию они не могут воспроизвести без реальных манипуляций или подобных ресурсов, но она формирует концептуальное понимание того, что учащиеся находят эквивалентные дроби.

Найдите наименьшее общее кратное

Это надежная стратегия, которую мы все знаем и любим. Для этой стратегии учащиеся перечисляют кратные для каждого знаменателя и выбирают наименьшее общее кратное в качестве знаменателя. Мои ученики перечисляют первые пять, потому что обычно это все, что им нужно сделать.Когда я обучаю этой стратегии, я явно связываю ее с работой, которую мы проделали с манипуляторами.

Точно так же, когда мы говорим о следующих двух стратегиях, мы связываем их со стратегией нахождения наименьшего общего кратного, потому что, по сути, следующие две стратегии являются «кратчайшим путем» к нахождению кратного и преобразованию дробей в эквивалентные дроби.

Преобразование только одной из дробей

Как упоминалось выше, я обучаю этой стратегии и следующей только после того, как я научил наименьшему общему кратному, потому что она основана на ней.Тем не менее, это одна из стратегий, которую я пытаюсь заставить своих учеников использовать, если они в состоянии это сделать. Это экономит так много времени и оставляет меньше места для ошибок, если они конвертируют только одну дробь. Это также избавляет их от необходимости перечислять кратные, если они могут использовать свое чувство числа, чтобы увидеть, является ли больший знаменатель кратным меньшему.

Для этой стратегии учащиеся изучают знаменатели и используют свои знания о множителях, чтобы определить, могут ли они преобразовать дробь с меньшим знаменателем в эквивалентную дробь с тем же знаменателем, что и у другой дроби.Я использую этот язык, чтобы подсказывать своим ученикам при работе с этой стратегией:  Является ли больший знаменатель кратным меньшему знаменателю?

Умножение знаменателей

На самом деле это моя наименее любимая стратегия, но ученикам она очень нравится. Обычно я не учу этому и обращаюсь к этому только в том случае, если это приходит от студентов. Причина, по которой мне это не нравится, заключается в том, что это может рассматриваться как трюк, и студенты могут просто делать это вслепую, не понимая, что они делают.Тем не менее, это действительно полезно для некоторых студентов.

Для этой стратегии учащиеся умножают знаменатели друг на друга, чтобы получить эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем. Я говорю им делать это только в том случае, если это дает им знаменатель меньше 30. Все, что выше 30, становится слишком большим и сложным, когда они пытаются упростить свои ответы.

Анкерная диаграмма и бесплатная версия для печати

После обучения четырем стратегиям преобразования дробей в одинаковые знаменатели я покажу якорную диаграмму, которая служит обзором, а также способом обсудить «стратегию», какую стратегию использовать.

У меня заранее подготовлена ​​примерно половина схемы (работает все, кроме примера). Мы работаем над одной и той же якорной диаграммой несколько дней (темп зависит от учеников). Мы практикуем стратегии несколько раз в качестве обзора на маркерных досках, прежде чем записать пример задачи вместе на графике и на их печатных формах. Распечатки остаются в их математических тетрадях, чтобы они могли обращаться к ним по мере необходимости.

Щелкните или на изображении ниже, чтобы получить бесплатную распечатку, соответствующую якорной диаграмме.


Общие вопросы

Вы обучаете всем четырем способам?

Не всегда. Это зависит от потребностей моих учеников, но в большинстве случаев я учу всем четырем способам или обращаюсь к ним в какой-то момент. Я обнаружил, что многих моих учеников старшие братья и сестры учат трюку умножения знаменателя. Это единственная стратегия, которой я не всегда учу, но обращаюсь, если она возникает.

В какой последовательности вы знакомите и обучаете различным способам?

Я следую этой последовательности при вводе и обучении различным стратегиям.Я считаю, что эта последовательность создает прочную концептуальную основу, и каждый способ опирается на другой для более глубокого понимания, сохраняя при этом необходимую основу.

  1. Использование манипуляций для преобразования в эквивалентные дроби
  2. Нахождение наименьшего общего кратного
  3. Преобразование только одной из дробей (путем обсуждения того, что больший знаменатель кратен меньшему знаменателю)
  4. Умножение знаменателей

Однако на диаграмме и в печатных формах я перечисляю стратегии в том порядке, в котором они обычно используются моими учениками (пропускаю № 3, если я решу не использовать его с этой группой учеников).

Вам нужно больше ресурсов фракции для вашего класса?

Нажмите на ссылки ниже, чтобы ознакомиться с несколькими рекомендуемыми ресурсами или статьями для дробей.

Мини-буклет с обзором фракций для 4-го класса: я использую этот ресурс из своего магазина TeachersPayTeachers, прежде чем преподавать навыки фракций для 5-го класса. Это позволяет мне быстро просмотреть навыки дроби 4-го класса и убедиться, что у моих учеников есть необходимая концептуальная основа.

Маты для свободных дробей: я использую эти бесплатно загружаемые маты для дробей, чтобы помочь своим ученикам складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

БЕСПЛАТНОЕ руководство по фракционному темпу: в этом сообщении в блоге я публикую контрольный список «Я могу» для учащихся и рассказываю, как я развиваю свои фракционные навыки в 5-м классе.

Математические задания на дроби в шоколадной тематике: эти задания в моем магазине TeachersPayTeachers идеально подходят для занятий дробями на тему вкусного шоколада.

Ресурс «Вычитание смешанных чисел с перегруппировкой»: этот ресурс TpT посвящен теме пиццы и действительно помогает моим ученикам концептуально понять перегруппировку с помощью смешанных чисел.

Вычитание смешанных чисел с перегруппировкой с использованием манипулятивных действий. В этом сообщении в блоге рассказывается о трех способах, с помощью которых вы можете помочь своим учащимся более конкретно вычитать смешанные числа с помощью манипулятивных действий.

Умножение и деление дробей: Когда вы будете готовы перейти от сложения и вычитания дробей, это идеальный универсальный ресурс для умножения и деления дробей.

 

iLearn, Inc.

Общие знаменатели

Есть три разных способа найти общий знаменатель.Один из них можно использовать только в определенных случаях, а два других можно использовать с любыми двумя дробями. Каждый из них имеет преимущества и недостатки.

Однако есть важные причины, по которым учащиеся должны сначала изучить наиболее общую стратегию. Это стратегия, изложенная в уроке в видео выше. Три стратегии:

  • Использование произведения знаменателей в качестве общего знаменателя
  • Использование наименьшего общего кратного в качестве общего знаменателя
  • Когда один знаменатель кратен другому, используя больший знаменатель в качестве общего знаменателя

В этом курсе мы начнем с первого подхода к нахождению общего знаменателя, перечисленного выше, — используя произведение знаменателей в качестве общего знаменателя — по нескольким причинам.

Самая важная причина заключается в том, что с математической точки зрения это самая общая стратегия, и ее можно использовать со всеми дробями.

Подход применяется к нахождению общих знаменателей с дробями, имеющими только числа в числителе и знаменателе, и может использоваться с любыми двумя такими дробями. Вдобавок, однако, та же самая стратегия может быть использована позже в алгебре для нахождения общих знаменателей для сложения и вычитания дробей с переменными в них.Эти дроби, содержащие переменные, называются «рациональными выражениями», но вам не нужно беспокоиться об этой ситуации, пока вы не доберетесь до алгебры.

Однако изучение метода, изложенного в этом уроке, будет означать, что будет намного легче понять обоснование метода, который потребуется позже в алгебре для рациональных выражений. Эта общая стратегия является единственной стратегией, которую можно использовать для сложения и вычитания дробей (рациональных выражений) после введения переменных.(Следует также отметить, что метод, описанный в предыдущем уроке, является методом, указанным в Общегосударственных стандартах по математике.)

Вторая стратегия, которой обучают в этом курсе, основана на использовании наименьшего общего кратного для нахождения общего знаменателя. Это также общая стратегия, поскольку ее можно использовать для любых двух дробей, записанных только числами. Однако ее нельзя использовать в качестве общей стратегии, когда переменные включены в дроби в алгебре.

По этой причине наиболее общей стратегией, которую можно применить для нахождения общего знаменателя для любых двух дробей, является стратегия, описанная в уроке в видео выше. Эта стратегия основана на умножении знаменателей двух отдельных дробей для нахождения общего знаменателя.

Еще одна важная причина для изучения этой общей стратегии заключается в том, что она позволяет легко сравнивать размер любых двух дробей, используя общий знаменатель, чтобы определить, какая из них больше или меньше.

Имея представление о произведении знаменателей как об общем знаменателе, учащиеся могут научиться быстрому и простому методу сравнения дробей, основанному на «перекрестном умножении», без необходимости вычислять произведение в качестве знаменателя. Поскольку учащиеся изучают обоснование подхода и понимают, почему перекрестное умножение работает, этот процесс не изучается как «механический процесс» без смысла. Наоборот, это становится осмысленным процессом, преимуществом которого является быстрота и простота.Пример приведен ниже.

Единственным недостатком использования этой общей стратегии поиска общего знаменателя является то, что результатом не всегда является «наименьший общий знаменатель» или «наименьший общий знаменатель». Это означает, что дробь, которая получается после использования этого подхода к нахождению общего знаменателя, а затем к сложению или вычитанию дробей, не всегда выражается в простейших или наименьших терминах.

Если вам необходимо выразить результат сложения или вычитания дробей в наименьших терминах, вам, возможно, придется упростить полученную дробь до наименьших членов, что часто называют «уменьшением» дроби.Процесс упрощения дробей и приведения дробей к наименьшим терминам преподается в других уроках, к которым вы можете получить доступ, подписавшись на все бесплатные уроки.

Вот пример использования этой общей стратегии для сложения двух дробей:

1/4 + 5/6 = __.

В этом примере общий знаменатель равен произведению двух знаменателей — 4 и 6, поэтому общий знаменатель равен 24.Когда дроби записываются с этим знаменателем, проблема становится:

6/24 + 20/24 = 26/24

Сумма 26/24. Эту дробь также можно было бы переписать в простейшем виде как 13/12.

Второй метод, который можно использовать для всех дробей, содержащих только числа, заключается в использовании наименьшего общего кратного в качестве общего знаменателя. Этот метод рассматривается в другом уроке.

Чтобы проиллюстрировать различия в этом подходе, мы можем добавить те же самые две дроби в последнем примере, используя наименьшее общее кратное:

1/4 + 5/6

Первым шагом было бы найти наименьшее общее кратное для 4 и 6 следующим образом:

Некоторые числа, кратные 4, включают:

4 8 12 16 20

Некоторые числа, кратные 6, включают:

6 12 18 24 30

Наименьшее кратное, общее для обоих, равно 12, поэтому 12 — это наименьшее общее кратное, которое станет общим знаменателем.Тогда проблема станет:

3/12 + 10/12 = 13/12

Их сумма равна 13/12, так что вы получите тот же результат, что и раньше.

При сравнении шагов, необходимых для выполнения каждого из них, проще умножить знаменатели, чтобы получить общий знаменатель, чем найти наименьшее общее кратное. (Однако в более общей стратегии может потребоваться дополнительный шаг, чтобы записать результат в наименьших терминах, как в приведенном выше примере.)

Вот пример двух дробей, которые можно сложить, используя третью стратегию.

1/4 + 5/12 = __.

В этом случае 12 кратно 4, поэтому самый простой способ получить общий знаменатель — использовать больший знаменатель, 12. Это означает, что нужно переписать только первую дробь, что дает следующее:

3/12 + 5/12 = 8/12

Обратите внимание, что этот результат затем нужно будет переписать в наименьших терминах, 2/3, если это потребуется.

Во всех случаях, когда знаменатель одной дроби кратен другому знаменателю, простейшей стратегией является использование большего знаменателя в качестве общего знаменателя. Ничего не получится, если вместо этого использовать произведение знаменателей или наименьшее общее кратное.

Наконец, использование самой общей стратегии — произведения знаменателей — позволяет легко сравнивать дроби с помощью стратегии перекрестного умножения.Вот пример.

Какая дробь больше?

8/7 или 6/5

Чтобы быстро определить ответ, нужно всего лишь умножить 7 на 6 и 5 на 8 и сравнить результат. Это дает числитель для двух дробей, которые получатся, если переписать их с общим знаменателем 35, произведением двух знаменателей.

В этом случае числитель первой дроби станет равным 40, что является результатом перекрестного умножения знаменателя второй дроби, 5, на числитель первой дроби, 8.

Числитель второй дроби станет 42, что является результатом перекрестного умножения знаменателя первой дроби, 7, на числитель второй дроби, 6.

Это означает, что вторая дробь, 6/5, является большей дробью. Мы знаем это, потому что обе получившиеся дроби будут иметь один и тот же знаменатель, 35, который является произведением двух первоначальных знаменателей.

Если записать с общим знаменателем, две дроби станут:

40/35 или 42/35

Поскольку 42 больше 40, вторая дробь больше двух.

В уроке, показанном на видео выше, использование произведения знаменателей в качестве общего знаменателя для сложения или вычитания дробей проиллюстрировано с помощью числовых линий. Есть две причины для такого подхода.

Во-первых, прежде чем преподавать стратегию поиска общего знаменателя, урок сначала иллюстрирует, почему необходим общий знаменатель. Это то, чему редко учат, но это делает процесс нахождения общего знаменателя гораздо более понятным и интуитивным.

Во-вторых, использование числовых линий позволяет легко понять, почему этот подход всегда приводит к общему знаменателю. Это означает, что учащиеся могут понять, почему преподается этот подход, а также как его использовать.

« Вернуться к темам по математике по классам

Общий знаменатель — определение, как найти общий знаменатель, примеры, часто задаваемые вопросы

Общий знаменатель полезен для выполнения многочисленных математических операций над числами.Важным понятием в математике является сложение и вычитание дробей. Дроби включают числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу). Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, такие знаменатели называются общими знаменателями. Рассмотрим следующие примеры: 1/2 + 1/2 = 1 и 3/4 + 1/4 = 1. В обоих случаях знаменатели у дробей общие, поэтому вычислить ответ несложно.

Однако, если вам дана задача с другими знаменателями, как бы вы ее решили.Расчет 2/5 + 3/4 выполнить сложно из-за разных знаменателей. Поскольку знаменатели у дробей неодинаковые, приходится решать их другим методом. Давайте рассмотрим эту тему, чтобы узнать больше об общих знаменателях.

Что такое общий знаменатель?

Две или более дроби, имеющие одинаковый знаменатель, называются общим знаменателем. Общий знаменатель помогает легко выполнять числовые вычисления.Число, указанное в нижней части дроби, называется знаменателем . Знаменатель показывает, на сколько равных частей делится предмет.

На приведенном выше рисунке первая пицца состоит из 4 ломтиков. Таким образом, оно представляется как 1, то есть целое. Когда мы убираем один кусочек, у нас остается 3 из 4 кусочков. Таким образом, доля оставшихся ломтиков равна 3/4. Это также означает, что 1/4 часть была удалена. Если мы сложим эти два, то получим: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1.Далее, в зависимости от размера пиццы, вы можете разделить ее на сколько угодно частей.

Как найти общий знаменатель?

Хотя пример с пиццей показывает, насколько просто найти общий знаменатель, такая ситуация может возникнуть не всегда. Могут быть случаи, когда вас попросят сложить дроби с разными знаменателями, например 3/7 + 12/13. В таких случаях нам нужно найти общий знаменатель, а затем решить дроби.Давайте рассмотрим более простой пример 1/3 + 1/6. Ниже приведены два метода с общим знаменателем для нахождения ответа:

При нахождении общего знаменателя методом НОК вы найдете наименьшее общее кратное данных чисел. В этом уравнении наименьшее общее кратное равно 6. Следовательно, уравнение принимает вид 1/3 + 1/6 = (1 x 2 + 1)/6 = (2 + 1)/6 = 3/6 = 1/2. Если вы перекрестите умножение, вы найдете решение как: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = (2 + 1)/6 = 3/6 = 1/2

Примеры общего знаменателя

Примеры общих знаменателей в нашей повседневной жизни включают кусочки пиццы, деньги, приготовление пищи и выпечку и так далее.Например, пицца может быть нарезана на четыре части, а возможные части пиццы могут составлять 1/4. 2/4, 3/4 соответственно. Кроме того, мы можем найти общие знаменатели в случаях, когда мы разделяем равные количества количества. В такой ситуации общие знаменатели будут равны 1/2 и 1/2 или 1/4 и 1/4 соответственно.

Практически многие примеры из повседневной жизни, где количества были разделены, могут быть выражены в виде общего знаменателя. Еще один хороший пример общего знаменателя можно найти в кулинарии и выпечке — вам нужны дроби и знаменатели, чтобы измерить ингредиенты для приготовления торта.

Метод общего знаменателя

Методы общего знаменателя, как объяснялось выше, включают вычисление наименьшего общего кратного или перекрестное умножение. Общие знаменатели – это произведения знаменателей данных дробей. Однако нужно помнить, что помимо этого общими знаменателями являются также факторы, которые являются общими для дробей, и факторы, делающие каждую дробь различной. Общий знаменатель включает в себя все факторы из каждой дроби.

Связанные темы

Ниже перечислены несколько тем, связанных с общим знаменателем, посмотрите.

Часто задаваемые вопросы об общем знаменателе

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель — это тот, в котором знаменатель, т. е. число под дробью, везде одинаков, что упрощает процесс вычислений. Если у двух дробей нет общего знаменателя, то вам нужно вычислить общий знаменатель, чтобы получить ответ.

Как найти общий знаменатель?

Для суммы, подобной 3/4 + 1/4 = 1, общий знаменатель равен 4. Однако, когда вам дается вычисление, такое как 3/4 + 1/2, вам нужно будет найти общий знаменатель для обоих 3/4 + 1/2. Вы можете сделать это, либо найдя наименьшее общее кратное, либо перекрестно умножив приведенное выше уравнение.

Какой общий знаменатель чисел 3 и 4?

В отличие от предыдущего примера, в данном случае ни 3, ни 4 не являются делителями друг друга.В этом случае вы можете вычислить значение общего знаменателя, умножив оба числа, чтобы получить 12.

Какое другое название общего знаменателя?

Другим возможным названием общего знаменателя является общий делитель. Далее, исходя из знаменателей, общим знаменателем может быть lcm двух знаменателей. Кроме того, если один знаменатель является множителем другого знаменателя, то мы можем взять большее число в качестве наименьшего общего знаменателя.

Как найти наименьший общий знаменатель?

Наименьший общий знаменатель зависит от вида знаменателя.Для знаменателей с взаимно простыми числами наименьший общий знаменатель равен произведению двух знаменателей. Кроме того, наименьший общий знаменатель равен lcm двух заданных знаменателей. Рассмотрим два значения знаменателя: 4, 6. Наименьшим общим знаменателем является lcm числа 4, 6, то есть число 12.

Что такое наибольший общий знаменатель?

Наибольший общий знаменатель двух или более дробей, не равных нулю, — это наибольшее положительное целое число, на которое делится каждый из данных знаменателей.

Может ли общий знаменатель быть равен нулю или 1?

Для дроби с общим знаменателем, равным нулю, она становится неопределенной. А для дробей с целыми числами в числителях и 1 в знаменателе общий знаменатель равен 1. В случае, когда целые числа рассматриваются как дроби, общий знаменатель равен 1.

Чему научило меня сложение дробей о продукте. | Джон Кресс

Бесполезные результаты поиска Google

Шаг 1: Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.

Шаг 2: Сложите верхние числа (числители), поместите ответ над знаменателем.

Шаг 3. Упростите дробь (при необходимости)

Приведенные выше инструкции — это то, что вы получаете в верхней части поиска Google по запросу «обучение сложению дробей». Человек, написавший эти указания, никогда никого не учил складывать дроби. Я знаю это, потому что знаю.

Моя порция скромного пирога (пицца)

Ранее на этой неделе я работал волонтером в средней школе Нью-Йорка.Я проехал на ветхом эскалаторе семь пролетов (технически я ехал на четырех и шел на три, так как эскалатор не работал до конца), вошел в класс и оказался в паре со студентом, который еще не научился (пока!) складывать дроби. . Так началась его опека.

За исключением того, что у него был не самый просвещенный наставник. Видите ли, я могу перечислить шаги, перечисленные в начале этого поста, но:

  1. Что, если знаменатели не совпадают? Как помочь учащемуся понять, что такое наименьший общий знаменатель и как его найти, не используя пугающий жаргон?
  2. Что делать, если учащийся не понимает, зачем ему тогда нужно умножать числитель на то же значение, что и знаменатель? Вы просто просите его поверить вам на слово или пытаетесь объяснить, как вы конвертируете исходную дробь в эквивалентную дробь?
  3. Что, если объяснение того, что представляет собой смешанное число с использованием метафоры «кусочки пиццы», заставляет ваш желудок урчать и заставляет ученика чувствовать себя плохо из-за того, что ему нужна метафора «пицца», которой его учили много школьных классов назад.

Хотите воспитать вновь обретенное уважение к учителям (или осознать, насколько легко вам это удается на работе?). Попробуйте преподавать базовую математику.

И какое это имеет отношение к продукту?

Обучение дробям напоминает мне о напряженности, с которой мы сталкиваемся при обучении и поддержке пользователей нашего продукта. Мы сталкиваемся со сложными задачами, когда:

  1. Мы пытаемся упростить сложные функциональные возможности и функции продукта при обучении пользователей, не упрощая до такой степени, что важные действия пользователя или знания приносятся в жертву.
  2. Мы решаем, нужно ли пользователю глубокое концептуальное знание функции продукта или ее использование, чтобы по-настоящему воспользоваться ею, или же пользователю следует просто дать четкие и сухие указания, «верим нам на слово».
  3. Мы рвем на себе волосы, пытаясь сократить длину (количество слов, продолжительность видео) документации по нашему продукту, чтобы пользователи могли ее использовать.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.