Если числитель одинаковый а знаменатель разный: Числитель одинаковый а знаменатель разный. Сравнение дробей. Сравнение дробей с разными знаменателями

Содержание

§ Сравнение дробей. Сравнение дробей с разными знаменателями

Также как и натуральные числа обыкновенные дроби можно сравнивать.

Рассмотрим две неравные дроби на числовой оси. Меньшая дробь будет располагаться левее, а большая — правее.

Равные дроби соответствует одной и той же точке на числовой оси.

На рисунке хорошо видно, что < . Но необязательно пользоваться числовой осью, чтобы сравнивать дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Запомните!

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Пример. Сравним и .

В обеих дробях одинаковый знаменатель равный 5.

В первой дроби числитель равен 1 и он меньше числителя второй дроби, который равен 4.

Поэтому первая дробь меньше второй .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Запомните!

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Пример. Сравним и . Ответ:

Правило выше легче понять, если представить, что у вас в руках куски торта. В первом случае торт разделили на 2 части (знаменатель дроби равен 2), и у вас в руках половина торта, а во втором — торт поделили на 8 частей, и у вас в руках маленькая часть торта.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Запомните!

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.

После приведения дробей к общему знаменателю, дроби сравниваются по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравним и .
  • Приводим дроби к общему знаменателю.
  • Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями.

Это объясняется тем, что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.


Как делать сложение дробей. Сложение и вычитание дробей

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

  • Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

  • Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

    Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

    О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

    Свойство дроби

    Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

    Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

    Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

    Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

    Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:

    1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

    Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

    • 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
      2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
    • 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
      7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
    • 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
      5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

    Все вместе это выглядит так:

    Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

    Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

    Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

    Находим кратное чисел 18 и 15:

    • Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
    • Число 15 состоит из 5 х 3.
    • Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

    После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

    • 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
    • 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

    Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

    Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

    (4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

    Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

    Вычитание и имеющих целые части

    Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

    • Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
    • Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
    • Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
    • При получении неправильной дроби выделить целую часть.

    Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

    Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

    Вычитание дробей из целого числа

    Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

    7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

    Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Числителем, а то, на которое делят — знаменателем.

Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель — в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби

. Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

  • Основные задачи на дроби

Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.

Вам понадобится

Инструкция

Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби , надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
— Переведение дробей в неправильный вид:
— 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
— Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
— 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.

Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.

Обратите внимание

Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет

При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.

1. Сумма дробей, разность дробей.

Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.

Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.

Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:


Примеры (1):


Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…

Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.

Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.

Примеры (2):


Ещё:

А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.

Примеры (3):

*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.


*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.

Ещё пример:


Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.

Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.

Рассмотрим простые примеры:


В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.

Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .

То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.

Теперь посмотрите на эти примеры:

К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.

Способ ВТОРОЙ .

Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:

*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.

Пример:

*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.

Рассмотрим пример:

Видно что числитель и знаменатель делится на 5:

Способ ТРЕТИЙ.

Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.

Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?

Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.

Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:

— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители

— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них

— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел

Рассмотрим примеры:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разложении большего числа не хватает одной пятёрки

=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разложении большего числа не хватает двойки и тройки

=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению

Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.

Рассмотрим примеры:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

в разложении большего числа не хватает тройки

=> НОК(51,119) = 3∙7∙17

А теперь применим первый способ:

*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.

Ещё примеры:


*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.

ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!

— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.

— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).

— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).

— если необходимо, то результат сокращаем.

— если необходимо, то выделяем целую часть.

2. Произведение дробей.

Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:

Примеры:

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

  • Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.


Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
  • Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.


  • Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми числителями.

План-конспект открытого урока по теме:

Ершова Ирина Васильевна учитель математики

Предмет: математика.

Класс: 5.

Тип урока: изложение нового материала.

Цели урока:

Образовательная: добиться усвоения правила сравнения дробей с одинаковыми числителями;.

Воспитательная: воспитывать трудовые навыки; эстетическое начало; уделить внимание нравственным принципам.

Развивающая: развивать общеучебные навыки анализа, синтеза, классификации, устной речи, самостоятельной работы, работы в группах и коллективе, зрительного представления, творческого воображения, ориентировки в пространстве, повышать общий культурный уровень.

Задачи урока:

сформировать о представление о зависимости величины дроби от знаменателя;

— добиться усвоения правила сравнения дробей с одинаковыми числителями;

— добиться умения комплексного применения правил сравнения дробей.

Оборудование и пособия: интерактивная доска, слайды, набор «доли и дроби», нотные листки с нанесенной нотной разметкой

Этапы урока.

1.Актуализация опорных понятий и вхождение в тему.

2. Целеполагание.

3 Изложение нового материала.

4. Немного философии.

5. Первоначальное закрепление

6. Тренировочное закрепление.

7. Тематическая физкультминутка

8. Задание «музыкальная композиция»

9. Подведение итогов. Измерение достижения цели.

Ход урока.

  1. Актуализация опорных понятий.

Организационный момент начала урока. Приветствие.

Интерактивное задание.

Соотнесите картинки и дроби.

Назовите числитель и знаменатель каждой из дробей.

Ответы:

Выпишите пары дробей, изображенных картинкой одинакового цвета и поставьте знак сравнения.

Ответы:

Каким правилом вы при этом пользовались? Вспомните правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

  1. Целеполагание .

А теперь давайте сравним следующие дроби.

Что длится дольше: пол-урока или треть урока?

Запишите это в виде неравенства дробей.

Какие часы показывают большее время: четверть второго или полвторого?

Запишите это в виде неравенства дробей.

Обратите внимание на числители и знаменатели дробей: что из них является одинаковым, а что различным? Таким образом, мы приступили к сравнению дробей с одинаковыми числителями.

Давайте посмотрим на записанные неравенства и попытаемся понять, по какому правилу можно сравнить дроби, у которых одинаковые числители. Попытайтесь сформулировать это правило.

  1. Изложение нового материала .

А теперь предлагаю вашему вниманию видеоролик, который покажет вам, верно ли вы сформулировали правило.

Пришло четверо гостей, и торт разделили на 4 части. Видите, какой кусок достался каждому гостю?

А теперь гостей пришло больше, например 7, тогда торт разрезали на 7 частей. И части получились более мелкие.

Формулируем правило сравнения дробей с одинаковыми числителями:

Какие слова здесь следует выделить, как главные?

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

В этом важное отличие от правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

  1. Немного философии .

Знаете ли вы, что Лев Николаевич Толстой был не только писателем, но еще и вел педагогическую деятельность? У него была своя школа в Ясной Поляне, где он преподавал также и математику. Им был написан учебник «Арифметика» в двух частях с указаниями для учителя. «Арифметика» Толстого резко отличалась по своему содержанию не только от учебников арифметики своего времени, но и от учебников арифметики  последующих десятилетий. Он говорил: «Математика имеет задачей не обучение счислению, но обучение приёмам человеческой мысли при исчислении».

И вот как он воплотил эту идею как раз в нашей теме. (Слайд). Как вы понимаете смысл этих слов?

  1. Первоначальное закрепление .

Поставьте знаки сравнения, руководствуясь правилом сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Ответы:

  1. Тренировочное закрепление .

    1. Расположите эти дроби в порядке возрастания (интерактивное задание):

Что значит расположить дроби в порядке возрастания? – Это значит расположить их по порядку от самой меньшей к самой большей.

Какая дробь, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми числителями, будет наименьшей? – Та, у которой знаменатель наибольший. За ней – та, у которой знаменатель следующий по убыванию величины и так далее до дроби с самым меньшим знаменателем.

Ответы:

    1. Подберите такие знаменатели, чтобы дроби располагались в порядке убывания:

Что значит расположить дроби в порядке убывания? – Это значит расположить их по порядку от самой большей к самой меньшей.

Какая дробь, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми числителями, будет наибольшей? – Та, у которой знаменатель наименьший. За ней – та, у которой знаменатель следующий по величине и так далее до дроби с самым большим знаменателем.

Значит, для решения надо расставить произвольные знаменатели (исключая нуль), расположив их в порядке возрастания.

Например:

Решение: для этого в знаменателе ставим произвольные числа, расположенные в порядке возрастания. (Нуль в знаменателе исключен, поскольку операция деления на нуль не определена).

  1. Дроби в словах.

Какие слова «спрятались» в этих словах? Расположите их по порядку от самой маленькой к самой большей.

Вот какие дроби «спрятались» в этих словах. В словах «треть» и «четверть» мы слышим части «третья» «четвертая». Со словом «половина» рассуждаем по-другому. На сколько частей надо поделить целое, чтобы получить половину? — На две. Значит, в знаменателе 2. Сколько из них возьмем? — Одну. Отсюда получаем дробь: одна вторая. А слово «полтора» просто надо запомнить — это один с половиной.

И вот как мы теперь запишем их по возрастанию:

  1. Тематическая физкультминутка.

Я буду называть цепочку из дробей.

Если следующая дробь оказывается больше предыдущей, вы принимаете положение стоя, если меньше – сидя.

Цепочка дробей и правильная последовательность действий:

8 Задание «музыкальная композиция»

Кому знакомы эти знаки? Это ноты, мы видим, что у каждой из них свой «хвостик». Что он обозначает? – Разную длительность звучания.

Чтобы записать мелодию с помощью нот, главное, что требуется, это обозначить для каждой ноты два данных: высоту и ее длительность.

Перед вами (у вас на нотных листочках) – запись некоторой мелодии . В этой записи уже расставлены ноты по высоте, а вот длительность надо отметить вам самим. Для этого под каждой нотой записана дробь, которой она выражена, а вам уже остается приписать правильный «хвостик» к каждой нотке. И тогда вы получите знакомую мелодию, которая вам всем хорошо знакома.

Может, те из вас, кто занимается в музыкальной школе, смогут определить, что это за мелодия? Что ж, проверим.

Звуковой файл с записью мелодии «Два веселых гуся».

Вот какие ноты мы только что записали.

  1. Подведение итогов

Бусы рассыпались на части. Помогите снова их собрать.

В кружочках написаны слова в разбросанном порядке. Нужно собрать их в правильном порядке так, чтобы получилось правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Повторяем и проговариваем правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Сложение обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем примеры. Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет. Действия с дробями

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!

Как складывать десятичные дроби

Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:

  • Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.

Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.

Сложение дробей с равными знаменателями

Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.


Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного

Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:

  • 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
  • Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.


  • Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.

Сложение дробей методом умножения крест на крест

Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

  • Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

  • Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

    Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

    О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

    Свойство дроби

    Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

    Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

    Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

    Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

    Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
    1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

    Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

    • 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
      2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
    • 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
      7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
    • 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
      5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

    Все вместе это выглядит так:

    Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

    Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

    Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

    Находим кратное чисел 18 и 15:

    • Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
    • Число 15 состоит из 5 х 3.
    • Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

    После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

    • 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
    • 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

    Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

    Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

    (4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

    Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

    Вычитание и имеющих целые части

    Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

    • Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
    • Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
    • Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
    • При получении неправильной дроби выделить целую часть.

    Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

    Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

    Вычитание дробей из целого числа

    Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

    7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

    Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Табличка на двери

Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

Два друга – Саша и Паша – гуляли во дворе и разговаривали. И тут Саша вспомнил, что их друг – робот Электроша – недавно рассказывал им про обыкновенные дроби.

– Паша, а ты помнишь, как нам Электроша рассказывал про обыкновенные дроби?

– Да, Саша, помню, – ответил мальчик. – Электроша говорил, что записи такого вида называют обыкновенными дробями или просто дробями. Он ещё говорил, что у каждого компонента дроби есть своё название.

– Ага, я помню, – согласился с другом Саша. Над чертой – это числитель, а под чертой – знаменатель. Вроде я ничего не путаю.

– А помнишь, – продолжил Саша, – Электроша обещал нам рассказать о том, какие ещё бывают дроби. Пойдём к нему и расспросим обо всём.

И мальчики пошли к своему другу Электроше.

– Привет, Электроша. Помнишь, когда ты рассказывал об обыкновенных дробях, ты говорил, что бывают ещё и другие виды дробей. Вот мы и пришли к тебе, чтобы ты нам рассказал, какие же «необыкновенные» дроби ещё бывают.

– Хорошо, ребята, сейчас я вам всё расскажу. Но сначала выполните несколько устных заданий.

– Итак, приступим. Давайте рассмотрим дробь, у которой числитель равен знаменателю. Саша, ты помнишь, что обозначает числитель, а что знаменатель?

– Да, Электроша, помню, – ответил мальчик. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей надо разделить что-то целое, а числитель показывает, сколько таких частей надо взять.

Электроша продолжил:

– Давайте посмотрим на эту дробь . Паша, ты можешь её прочитать и объяснить?

– Да, могу. «Шесть шестых». Что-то целое надо разделить на 6 частей и взять 6 частей. Подожди, Электроша. Но если что-то, например пиццу, разделить на 6 кусков и взять все 6 кусков, то это значит, что мы взяли целую пиццу.

– Да, Паша, ты абсолютно прав. Если числитель равен знаменателю, то такая дробь равна единице.

В буквенном виде это можно записать так: . Здесь  – это любое натуральное число.

А теперь давайте посмотрим на эту дробь . Что в ней непривычного?

– У неё чиcлитель больше знаменателя, – сказал Саша.

– Да, это действительно так, – согласился Электроша. Давайте подумаем, как можно понять такие дроби. Чтобы нам было удобнее, изобразим прямоугольник.

Саша решил сам объяснить дробь: знаменатель равен 7, значит, прямоугольник надо разделить на 7 равных частей. Нам надо взять 9 частей. Но в прямоугольнике их всего 7. Как же быть?

Робот успокоил мальчика: ничего страшного, давай нарисуем ещё один такой же прямоугольник и точно так же разделим его на 7 частей. Тогда нам у второго прямоугольника надо взять 2 части. И вместе у нас получится .

– Вам понятно? – спросил робот у ребят.

– Да, – ответили мальчики.

У дробей такого вида есть особое название.

Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

– А вы сами можете мне сказать, какие дроби называют правильными? – спросил Электроша.

Паша решил ответить:

– Наверное дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Да? Я прав?

– Правильно, – согласился с мальчиком Электроша. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

– Ну раз вам ясно, выполните задание. Среди записанных дробей выберите правильные дроби, неправильные дроби: .

Паша, начинай ты.

– Итак, – начал рассуждения мальчик, – числитель первой дроби равен 7, а знаменатель – 3. Числитель больше знаменателя, значит, перед нами неправильная дробь.

Вторая дробь – . Числитель равен знаменателю, значит, эта дробь неправильная и она равна 1.

Числитель третьей дроби меньше знаменателя, значит,  – это правильная дробь.

– Ты молодец, Паша. Теперь очередь Саши немного порешать.

– Итак, – начал Саша. – Числитель и знаменатель дроби равны, значит, это неправильная дробь и она равна 1.

Числитель дроби –  больше, чем знаменатель, – отнесём дробь к неправильным.

5 меньше 13 – значит, дробь  – это правильная дробь.

– Вы хорошо справились, – похвалил мальчиков Электроша.

Сравните, пожалуйста, 5 и 7.

– Ну, это легко, – сказал Саша. Конечно же, 7 больше 5.

– А теперь попробуйте сравнить  и .

– Ой, а мы не умеем! – воскликнул Паша. Как, разве дроби можно сравнивать?

– Конечно, можно, – ответил робот. Это же числа. Их можно сравнивать, складывать, отнимать, умножать, делить и так далее, но об этом мы поговорим позже.

Сегодня мы научимся сравнивать дроби.

Итак, давайте начертим два равных прямоугольника. Посмотрите на эти дроби. Что вы про них можете сказать?

– Знаменатели этих дробей одинаковые, – сказал Саша.

– Правильно, – ответил Электроша, – раз знаменатели у них одинаковые, значит, и делить прямоугольники мы будем на одно и то же количество частей. Прямоугольники у нас равны, значит, и части обоих прямоугольников у нас будут равны. Закрасим у первого прямоугольника 5 частей, ведь числитель первой дроби равен 5. А у второго прямоугольника – 7 частей. Теперь посмотрите внимательно на наши прямоугольники. У какого из них закрашено больше частей?

– У второго, – сказал Саша.

– Да, ты прав. У второго прямоугольника закрашена больше, чем у первого, поэтому мы можем написать, что  больше, чем .

Сформулируем правило: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, а меньше та, у которой числитель меньше.

Если вам всё понятно, то выполните задание.

Сравните дроби: .

– Можно, я начну? – спросил Саша.

– Да, начинай, – согласился Электроша.

– Знаменатели обеих дробей равны. Числитель первой дроби равен 3, а числитель второй дроби равен 5. 3 меньше 5, значит,  меньше .

– Молодец, Саша. А скажи, чему равна дробь ? – спросил у мальчика робот.

– Ну, это просто. Числитель равен знаменателю, значит, дробь  равна 1.

– И получается, что  меньше 1? – удивился мальчик.

– Да, Саша, – сказал Электроша. – Запомните правило: все правильные дроби меньше единицы.

Теперь, Паша, сравни вторую пару дробей.

– Знаменатели обеих дробей равны, – начал Паша. 7 больше 6, значит, получим, что  больше .

Правильно, и из этого примера тоже можно сформулировать правило.

Паша, может, ты сам попробуешь рассказать нам правило?

– Хорошо, попробую.  равно 1.  – это неправильная дробь, потому что числитель больше знаменателя. Получается, что неправильная дробь больше единицы. Так?

– Да, – сказал робот. – Ты прав. Все неправильные дроби больше или равны единице.

А теперь давайте ещё раз посмотрим на эти пары дробей.

И заменим дроби  и  единицами.

У нас получилось, что , а .

Тогда мы можем записать, что , и сформулировать свойство:

Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

Обратите внимание, что, когда речь идёт о сравнении правильной и неправильной дроби, не имеет значения, какой у этих дробей знаменатель – одинаковый или нет.

– Я всё понял, – сказал Саша. То есть я даже могу сравнить дроби, ну, например,  и ?

– Да, Саша. Сравни дроби, которые ты записал.

И мальчик начал решать.

– Числитель первой дроби больше знаменателя, значит, это неправильная дробь.

Числитель второй дроби меньше знаменателя – это правильная дробь.

А неправильная дробь всегда больше правильной. Значит, можно записать, что .

– Молодец, Саша, ты всё правильно решил.

– Теперь давайте с вами начертим координатный луч и отметим на нём единичный отрезок и точки с координатами  и .

– Обратите внимание, – сказал Электроша, – на координатном луче из двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.

– Ага, – сказал Паша, – я понял.

– А раз понял, – продолжил робот, – выполните ещё одно задание.

Точка с какой координатой будет располагаться на координатном луче правее: ?

– А можно, я решу это задание? – спросил у робота Саша.

– Да, конечно.

– Для того, чтобы ответить на вопрос, нам надо сравнить координаты этих точек. Знаменатели дробей одинаковые, значит, большей будет та дробь, у которой числитель больше. То есть это . Получается, что точка с координатой  на координатном луче лежит правее, чем точка с координатой .

– Ты очень хорошо справился с заданием, Саша.

Теперь давайте попробуем сравнить вот эти дроби: , .

Для того, чтобы было удобнее сравнивать, давайте начертим два одинаковых прямоугольника и разделим один на 5 частей, а второй – на 10.

Сколько нам надо закрасить частей в каждом прямоугольнике, Паша?

– Поскольку числитель первой дроби равен 3, то и закрашивать надо 3 части.

Числитель второй дроби тоже равен 3, поэтому и во втором прямоугольнике надо закрасить 3 части.

– Да, ты всё правильно сказал. Посмотрите на закрашенные части и скажите, какая часть больше?

– Во втором прямоугольнике закрашенная часть меньше, чем в первом.

Получается, что .

– А как вы думаете, ребята, почему так получилось? Ведь мы же закрашивали одинаковое количество частей.

Мальчики задумались, и тут Паша сказал:

– Я понял. Мы делили прямоугольники на разное количество частей, вот эти части и получились разными.

– Ты совершенно прав. Нетрудно увидеть, что чем больше количество частей, тем меньше сами части. Например, если разрезать пиццу на 3 части и на 6 частей. Размер кусков получится разный.

Поэтому можно составить такое правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Вам всё понятно, мальчики?

– Да, Электроша, мы всё поняли, – сказали ребята.

– Это хорошо, тогда вам нетрудно будет выполнить ещё одно моё задание.

Сравните дроби: .

Решать начал Паша.

– Первая пара дробей – дроби с одинаковыми знаменателями. А мы помним правило. Получим, что дробь .

Саша продолжил решение.

Дробь  – неправильная, так как числитель больше знаменателя. А дробь  – правильная. Вспомним правило и запишем, что .

И последнюю пару дробей сравнить несложно. Это дроби с одинаковым числителем. Мы помним, как сравниваются такие дроби, и можем записать, что .

– И с этим заданием вы отлично справились, – похвалил мальчиков Электроша.

«Сложение дробей с одинаковыми знаменателями»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №21 г. Элисты»

Республики Калмыкии

 

 

 

Конспект открытого урока математики
в 4 классе

«Сложение дробей с одинаковыми знаменателями»

 

 

подготовила

учитель начальных классов

Бондарева И.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тип урока: ОНЗ.

Тема: «Сложение дробей с одинаковыми знаменателями».

 

Цель: формирование умений складывать дроби с одинаковыми знаменателями;

Задачи:  повторить понятие дроби, закрепить умение читать и сравнивать дроби; тренировать вычислительные навыки, умение решать задачи на нахождение части.

 

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, сравнение, аналогия, обобщение.

Демонстрационный материал: карточки с числами; карточки для составления опорного конспекта; алгоритм сложения дробей с одинаковыми знаменателями; эталон для самопроверки самостоятельной работы.

Раздаточный материал: чистые листы-блоки для построения алгоритма сложения дробей с одинаковыми знаменателями, по 4–5 штук для каждой группы; правила работы в группе; таблицы для самооценки на этапе рефлексии.

 

1.      Организация урока

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число, классная работа.                              Минутка чистописания.

2.      Мотивация к учебной деятельности

Народная мудрость гласит: «Учение ключ к уменью», и поэтому я вам желаю на сегодняшнем уроке успехов в учебной деятельности.
И начнём урок с повторения.

3.      Актуализация знаний

А) 100 – 1 : 3 + 27 : 4 + 135 : 25 : 2 : 5

Блиц-опрос:

•         Почему в конце цепочки получилось дробное число

•         Как называется число, записанное над чертой?

•         Как называется число, записанное под чертой?

•         Что  показывает  числитель  дроби?

•         Что показывает знаменатель дроби?

•         Как  найти  часть  от числа?

•         Как  найти число по  части?

•         Как  сравнить  дроби  с  одинаковыми  знаменателями?

•         Как  сравнить  дроби  с  одинаковыми числителями,  но  разными   знаменателями?

— Назовите дробь, большую, чем 3/5 (4/5;  ¾)

— Назовите дробь, меньшую, чем 3/5 (2/5;  3/6)

Проведем блиц-турнир:

А) Какая часть квадрата закрашена на рисунках?

Б) В году 365 дней. В феврале 28 дней, а в июле 319. Какую часть года составляет февраль, а какую — июль?

В) Вороненок спит 9 часов в сутки, а учится 5. Какую часть суток он спит, а какую- учится?         

Г) Длина пойманной воронятами змеи составляет 60 см. Какую часть метра составляет длина змеи?

Д) Вес одного яблока 200 гр. Какую часть кг весит это яблока?

Е) Вороненок гулял 1 час, 15 мин. Он ловил бабочек, а остальные 45 мин. учился летать. Какую часть часа вороненок ловил бабочек, а какую – учился летать?

4.      Формулирование темы урока

 

(Работа в парах)

На ваших партах лежат карточки, где записаны дроби.

— Что вы заметили? (во всех дробях одинаковый знаменатель)

— Расположите дроби в порядке возрастания

— Какое правило помогло вам выполнить задание?

— Какое получилось слово?

-Попробуйте сформулировать тему урока (Сложение дробей с одинаковыми знаменателями)

 

Практическая работа

1.     Возьми мандарин, раздели его на дольки

2.     Посчитай сколько всего долек ,запиши———————

3.     Отложи своему лучшему другу дольки и запиши сколько ты отложил—-

4.     Отложи второму своему другу дольки, запиши сколько ты отложил——

5.     Съешь 2 дольки .

6.     Какая часть досталась тебе, запиши——————

7.     Сколько всего долек получили твои друзья—————              Физминутка

Найди сумму двух дробей и проиллюстрируйте решение на чертеже

А) Начертите отрезок 6 см. и разбейте его на 6 частей. Отметьте 1\6 и 4\6.

Б) Начертите отрезок 7 см. и разбейте его на 7 частей . Отметьте 2\7 затем 3\7. Сколько всего получилось?

Сформулируйте правило как сложить дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями надо сложить их числителями, а знаменателя оставить тот же

Самостоятельная работа.(подпишите листочки)

Работа по учебнику.

Работа на разный уровень сложности.

— Каждый подумает и выберет себе пример. ( решение в тетради. Проверка.

                                         254016       4032

1  уровень.   6048 х 42 : 63 + 87016 =91048

                                     7560                                2880                20          2100

2 уровень  . 28 х 270 + ( 4478 – 1598) : 144 х 105 =9960

                                                 640            850        654

3.уровень   418560 : ( 34 х 25 – 196 ) х 708 =453120

 

   

 

  1. Рефлексия учебной деятельности

— Какова была цель сегодняшнего урока? (Научиться складывать дроби с одинаковым знаменателем. Составить алгоритм сложения дробей с одинаковыми знаменателями)

— Достигли цели? Докажите.

Учащиеся повторяют алгоритм сложения дробей или правило.

— У кого были трудности при открытии нового способа? В чем?

— У кого были трудности при выполнении самостоятельной работы? В чем?

— Справились ли вы с трудностями?

— Что мы должны помнить? (Преодолевая трудности, мы учимся.)

– В чем еще надо потренироваться?

Перед вами круг разделенный на 4 части.

Если «Я понял все, могу работать сам и объяснить другому, то закрашиваете 4\4

Если «Я понял все , могу работать пользуясь правилом, то закрашиваете 3\4

Если «Я понял все, но у меня остались вопросы, то закрашиваете 2\4

 

Отметки за тестирование

Список использованной литературы:

 

  1. Л.Г.Петерсон. Математика. 4 класс, учебник-тетрадь. – М.:Ювента, «Перспектива»
  2. Н.В.Елкина, Т.И.Тарабарина.  1000  загадок. Ярославль, «Академия  развития», 1997

 

Интернет-ресурсы:

  1. http://openclass.ru/lessons/186943
  2. 5000  забавных  изображений. www.CD.BOOM.COM

 

 


Скачано с www.znanio.ru

Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A

Коэффициенты для суммы углов

Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
1. sin(A + B) не является равным sinA + sinB. В этом случае не срабатывает простое раскрытие скобок, как в алгебре.
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).

Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.

Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.

Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)

Нахождение sin(A + B)

Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей. Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).

Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Нахождение cos(A + B)

Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.

Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.

Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).

Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
            cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B

Нахождение tan(A + B)

Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
      tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
            tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]

Коэффициенты для 75 градусов

Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.


Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения или вы упрщаете выражения сначала или просто пропускаете его! Все зависит от калькулятора: некоторые вычисля.т разницу, некоторые нет!

Коэффициенты углов, больших, чем 90 градусов

До сих пор рассматривалось соотношение острых углов (между 0 и 90 градусами). Другие треугольники с тупым углом (более 90 градусов) и до 180 градусов могут появиться в последующих задачах. Для упрощения классификации углов по размеру, они делятся на сектора (квадранты).

Квадрант есть четвертой частью круга. Так как круг делится на 360 градусов, квадранты имеют по 90 градусов. 0-90 градусов это первый квадрант, 90-180 — второй, 180-270 — третий и 270-360 — четвертый.

Используя линии, обозначающие границы квадранта, 0 или 360 это горизонталь направо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонталь слева и 270 сверху вниз. Теперь, используем этот метод для построения графиков.

Большие углы определяется вектором вращения, начиная с нуля и вращением против часовой стрелки. Горизонтальные элементы х: положительные справа, отрицательные слева. Вертикальные элементы у: положительные вверх, отрицательные вниз. Вращающийся вектор является р. Таким образом, синус угла есть y/r, косинус х/r, и тангенс у/х. Вектор r — всегда положителен. Таким образом, знак отношения может быть вычислен для различных секторов.

Здесь приведены знаки для трех отношений в четырех квадрантах. Кроме того, как эквивалентный угол в первой четверти «переключается» когда вектор переходит из одного квадранта в другой. В первой четверти, стороны определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. При перемещении к большим углам в остальных секторах, противоположная сторона всегда есть вертикальная (у). То, что называется смежное, всегда есть горизонталью (х). Гипотенуза это всегда вращающийся вектор (r). Вы можете видеть картину как изменяются тригонометрические соотношения для углов.

Отношения в четырех квадрантах

Отношения для различных углов

Теперь у вас есть два пути получить формулы для различных углов. Во-первых, используя геометрическую конструкцию, такую, которая, например, была использована для суммы углов, реверсивную так, что (A — B) есть угол B вычитающийся из угла A.

В рассуждениях, аналогичных тем, которые были использованы для суммы углов, здесь представлены несколько сокращенные формулы для синуса и косинуса:
        sin(A — B) = sin A cos B — cos A sin B
and
        cos(A — B) = cos A cos B + sin A sin B
      Геометрическая конструкция

Формулы суммы и разницы

Второй способ нахождения формулы для разницы углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным. Из нашего исследования знаков для различных секторов, отрицательные углы с 1-го квадранта будут в 4 квадранте. Проводя эту подстановку, получим тот же результат, который был получен геометрически в предыдущем разделе.

Поиск формулы тангенса проходит тем же методом, или заменой синуса и косинуса в формулах или более непосредственно, превращая tg(-B) = — tg B. В любом случае вы получите:
          tan(A — B) = [tan A — tan B]/[1 + tan A tan B]

Отношения с помощью четырех секторов

Вы можете вывести несколько отношений с формулами суммы и разности. Вы уже сделали соотношение для 75 градусов. Теперь можно выполнить то же для 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов в 15 градусов интервалы через четыре квадранта. Построив их на 360 градусов, вы можете увидеть, как эти три соотношения изменяются, когда вектор проходит через четыре квадранта.

«Волна» синуса и косинуса колеблется вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены на 90 градусов друг относительно друга. Этот факт станет важным позже.

Кривая тангенса начинается, как синусоида, но вскоре она стремится достичь бесконечности на 90 градусах. Двигаясь » вне видимости» в положительном направлении, она «приходит» с отрицательного направления с другой стороны на 90 градусах. Проходя через точку в 180 градусов, функция тангенса повторяет то, что она «делала» проходя 0 или 360 градусов. На 270 градусах она повторяет то же, было на 90 градусах.

Пифагор в тригонометрии

Формула часто может быть упрощена, так как были найдены выводы формулы тангенса от формул синуса и косинуса, а также изменение ее членов одного отношения к другому отношению, использeущеuj другие члены. При этом, теорема Пифагора, выраженная в тригонометрическом соотношении, очень удобна.

Предположим, что прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 1. Тогда одна из сторон будет иметь длину sinA, а другая — cosA. Отсюда, согласно теореме Пифагора: cos2 A + sin2 A = 1. Это выражение всегда истинно для любого значения A.

Немного о том, как это было записано. Cos2 A означает (cos A)2. Если вы написали это как cos A2, уравнение будет означать что-то другое. A есть число в нескольких угловых значениях, которое представляет угол. A2 было бы то же самое число, возведенное в квадрат. Его значение зависело бы от использованного числового значения, поэтому это не очень хороший член для использования. Это означает квадрат синуса ли косинуса, не сам угол.

Формула Пифагора может быть выражена иначе. Например, две другие формы:
cos2 A = 1 — sin2 A, и sin2 = 1 — cos2 A.

Умножение углов

Формулы сумм, вместе с теоремой Пифагора, используются для углов, которые в 2, 3 или больше раз кратны любым оригинальным углам. Здесь приводятся формулы для 2А и 3А.

Формула суммы работает, когда оба угла одинаковые или различны: sin(A + B) или sin(A + A). Однако, sin(A + A) в действительности sin 2A. Поэтому, sin 2A есть sin A cos A + cos A sin A. Оба члена выражения есть одним и тем же произведением, записанным в разном порядке, так что это выражение может быть упрощено до sin 2A = 2 sin A cos A.

Подобным образом, cos 2A = cos A cos A — sin A sin A, что также может быть записано как: cos 2A = cos2 A — sin2 A. Используя теорему Пифагора, изменяем это к виду: cos 2A = 2cos2 A — 1. Наконец, tg 2A = 2 tg A/[1 — tg2 A].

Теперь тройной угол (3А) используется, чтобы показать, как получены следующие кратные углы. В основном, это так же просто, как запись 3A = 2 + A и повторного применения формулы суммы. Но тогда, чтобы получить в результате формулу в работающем виде, необходимо заменить часть 2А, на выражения с простым углом А.

На рисунках внизу вы можете видеть, что с каждым разом вычисления становятся сложнее.

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Производные от формул суммы

УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ       Соотношения для 3A

Свойства равнобедренного треугольника

Вы уже видели, что прямоугольный треугольник является полезным строительным блоком для других фигур. Равнобедренный треугольник имеет несколько различных видов использования. Дело в том, что его использование основывается на том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равные углы между основанием и боковыми равными сторонами. Перпендикуляр из третьего угла на третью сторону делит ее пополам. Таким образом весь треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.

Любой треугольник, за исключением прямоугольного треугольника, можно разделить на три прилегающих равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и построить перпендикуляры из точек разделения. Там, где любые два из этих перпендикуляров встречаются, если линии тянутся к углам исходного треугольника, три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равностороннего треугольника. Таким образом, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника должен также встретиться в одной точке.

Это утверждение справедливо, как мы покажем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Разница с тупым прямоугольным треугольником в том, что место встречи перпендикуляров лежит снаружи исходного треугольника, а не внутри.

Что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры от средней точки гипотенузы другой стороны будут делить пополам эти две стороны — вы получаете два из трех! Место встречи находится гипотенузе.

Углы в окружности

Основное свойство окружности это то, что ее центр находится на одинаковом расстоянии от любой точки окружности. Это расстояние есть радиусом окружности.

Если вы нарисуете любой треугольник внутри круга, перпендикуляры из средней точки его сторон встретятся в центре окружности а радиусы из углов треугольника делят его на три равнобедренных треугольника

Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A+B, один угол B+C, и один угол A+ C. Три угла в сумме дают 2A + 2B + 2С, а это как известно равно 180 градусов.

В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Поэтому, согласно предыдущего пункта, 180 — 2A должен быть такой же, как и 2B + 2С, например.

Рассмотрим угол правый нижний угол, опирающийся на окружность. Угол в центре равен 2B + 2С. Углом, опирающийся на окружность равен B + C. Вы видите, что для любого сегмента круга, угол в центре всегда в два раза больше угла, опирающегося на окружность.

Утверждение выше приводит к интересным фактам об углах в окружностях. Вместо определения углов со стороной треугольника, используют дугу (часть окружности) круга. Часть окружности, которая определяется углом в центре называется хордой окружности.

Угол в центре в два раза больше чем угол на окружности

Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре. Таким образом, все углы в круге, с основанием на той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Угол на окружности будет равен 60 градусам.

Особый случай представляет собой полукруг (точный полукруг). Угол в центре представляет собой прямую линию (180 градусов). Каждый угол в полукруге равен 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник в полукруге является прямоугольным треугольником.

Определения

Выше мы часто использовали углы, которые дополняют углы до прямого угла (90 градусов) или до двух прямых углов (180 градусов). Когда два угла образовывают угол 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными. Если два угла добавить до 90 градусов (один прямой угол), их называют комплементарными

Вопросы и задачи

1. Синус угла А равен 0,8 и синус угла B равен 0.6. Из различных зависимостей, полученных до сих пор, найдите следующее: тангенс А, тангенс B, синус (A + B), косинус (A + B), синус (A — B), косинус (A — B), тангенс (А + B) и тангенс (A — B) без использования таблиц или тригонометрических клавиш калькулятора.

2.На экваторе Земля имеет радиус 4000 км. Углы вокруг экватора измеряется в меридианах долготы, с линией с севера на юг проходящей через Гринвич (Англия), в качестве нулевого отсчета. Два места используются для наблюдения за луной: первое это Кения, на экваторе 37,5 к востоку от Гринвича, а другой является Суматра, на экваторе к востоку 100,5. Как далеко друг от друга эти два места, если расстояние измерять мнимой прямой, проходящей через Землю?

3.Если бы наблюдения были сделаны горизонтально от точки наблюдения в вопросе 2 (к востоку от первой, к западу от второй), под каким углом была бы линия пересечения наблюдений?

4.В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник. В Кении, высота линии визирования с центром на спутнике составляет 58 градусов выше горизонтали на восток. На Суматре, высота составляет 58 градусов выше горизонтали на запад. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками рассчитанное в вопросе 2.

5. Косинус определенного угла в два раза больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

6. Синус определенного угла равен именно 0.28. Найдите косинус и тангенс этого угла. Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.

7. Синус определенного угла равен 0.6. Найдите синус углов, больших чем заданный в два и три раза.

8. Найдите синус и косинус угла, большего ровно в два раза чем угол из вопроса 7.

9. Используя 15 градусов, как единичный угол, и формулы для отношения 2А и 3А найдите значения синусов 30 и 45 градусов.

10. Используя 30 градусов, как единичный угол, найти значения синусов 60 и 90 градусов.

11. Используя 45 градусов, как единичный угол, найдите значения тангенсов 60 и 90 градусов.

12. Используя 60 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.

13. Используя 90 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.

14. Используя формулы тангенса для умножения углов и таблицы, найдите тангенсы утроенных углов в 29, 31, 59 и 61 градусов. Посчитайте изменения знака между утроенным углом 29 и 31 градусов и между 59 и 61 градусов.

15. Синус угла составляет 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.

16. Задача сводится к алгебраической выражению вида 8cos2 A + cos A = 3. Решите для косинуса А, и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение придет. Приведите приближенные значения из таблицы или используя калькулятор.

Сравнение дробей с разными знаменателями — видео и расшифровка урока

Общие знаменатели

Общий знаменатель — это кратное, общее для обоих знаменателей. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, вам нужно найти наименьший общий знаменатель (LCD) или наименьшее кратное, которое делят знаменатели.

Так какая часть твоего любимого шоколадного батончика будет больше: 2/3 или 4/5? У двух дробей разные знаменатели, поэтому нам нужно найти LCD.

Первым шагом является перечисление кратных каждого знаменателя:

Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18

Кратные 5: 5, 10, 15, 20

Первое кратное оба 3 и 5 делят на 15, поэтому нам нужно составить эквивалентные дроби со знаменателем 15.

Равные дроби

Равные дроби — это дроби, представляющие одну и ту же часть целого. Чтобы найти эквивалентную дробь, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

В нашем примере нам нужно, чтобы 2/3 и 4/5 имели знаменатель 15. Мы можем умножить 2/3 на 5/5 и 4/5 на 3/3, чтобы найти эквивалентные дроби со знаменателем 15.

Теперь, когда обе дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем легко их сравнить.

Сравнение дробей

Если дроби имеют одинаковый знаменатель, то большей дробью будет та, у которой больший числитель. Если числители одинаковые, то дроби равнозначные.

В нашем примере 12/15 больше, чем 10/15, поэтому 4/5 шоколадного батончика будет больше. Скажи маме, что хочешь 4/5 своего любимого шоколадного батончика, пожалуйста.

Практические задачи

Давайте попробуем несколько примеров.

Сравните 3/8 и 1/2. Какая дробь больше? Попробуйте решить эту проблему самостоятельно, а затем посмотрите на решение. Вы можете поставить видео на паузу во время работы.

Знаменатели разные, поэтому первым шагом будет перечисление кратных каждому числу.

Кратные 8: 8, 16, 24

Кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10

Первое кратное, которое они разделяют, или LCD, равно 8. Так как 3/8 уже имеет знаменатель 8 , мы можем оставить его в покое.

Следующим шагом является нахождение эквивалентной дроби для 1/2 со знаменателем 8. Если мы умножим и числитель, и знаменатель на 4, мы получим 4/8.

Далее мы рассмотрим две дроби, 3/8 и 4/8; дробь с большим числителем является большей дробью.4/8 больше 3/8, значит 1/2 больше 3/8.

Итоги урока

Мы можем сравнивать дроби с разными знаменателями, находя наименьший общий знаменатель , или наименьшее кратное, которое делят знаменатели. Затем мы делаем эквивалентных дробей или дробей, представляющих одну и ту же часть целого. Когда знаменатели (нижнее число) одинаковы, число с большим числителем (верхнее число) является большей дробью.

Сравнение дробей. Методы, объяснение и примеры

Сравнение дробей означает определение большей и меньшей дроби между любыми двумя или более дробями. Поскольку дроби состоят из двух частей — числителя и знаменателя, их сравнивают по определенному набору правил. Давайте узнаем больше о сравнении дробей на этой странице.

Как сравнивать дроби?

Сравнение дробей включает набор правил, связанных с числителем и знаменателем.При сравнении любых двух дробей мы узнаем большую и меньшую дробь. Нам нужно сравнивать дроби в нашей повседневной жизни. Например, когда нам нужно сравнить соотношение ингредиентов при соблюдении рецепта или сравнить результаты экзаменов и т. д. Итак, давайте рассмотрим различные методы сравнения дробей, чтобы лучше понять концепцию.

Что такое дробь?

Прежде чем исследовать концепцию сравнения дробей, давайте вспомним дроби. Дробь является частью целого и состоит из двух частей — числителя и знаменателя.Числитель — это число в верхней части дробной черты, а знаменатель расположен под дробной чертой.

Теперь поговорим подробнее о сравнении дробей.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями становится легче определить большую или меньшую дробь. Проверив, совпадают ли знаменатели, мы можем просто найти дробь с большим числителем.Если и числители, и знаменатели равны, дроби также равны. Например, сравним 6/17 и 16/17

  • Шаг 1: Обратите внимание на знаменатели данных дробей: 6/17 и 16/17. Знаменатели одинаковы.
  • Шаг 2: Теперь сравните числители. Мы видим, что 16 > 6,
  • Шаг 3: Дробь с большим числителем является большей дробью. Следовательно, 6/17 < 16/17.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Для сравнения дробей с разными знаменателями нам нужно преобразовать их в одинаковые знаменатели, для чего мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.Когда знаменатели сделаны одинаковыми, мы можем легко сравнивать дроби. Например, сравним 1/2 и 2/5.

  • Шаг 1: Обратите внимание на знаменатели данных дробей: 1/2 и 2/5. Они разные. Итак, давайте найдем НОК 2 и 5. НОК(2, 5) = 10,
  • Шаг 2: Теперь переведем их так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Умножим первую дробь на 5/5, то есть 1/2 × 5/5 = 5/10.
  • Шаг 3: Теперь умножим вторую дробь на 2/2, то есть 2/5 × 2/2 = 4/10.
  • Шаг 4: Сравните дроби: 5/10 и 4/10. Поскольку знаменатели одинаковы, мы сравним числители и увидим, что 5 > 4 .
  • Шаг 5: Дробь с большим числителем является большей дробью, то есть 5/10 > 4/10. Следовательно, 1/2 > 2/5

Следует отметить, что если знаменатели разные, а числители одинаковые, то мы можем легко сравнивать дроби, глядя на их знаменатели.Дробь с меньшим знаменателем имеет большее значение, а дробь с большим знаменателем имеет меньшее значение. Например, 2/3 > 2/6.

Десятичный метод сравнения дробей

В этом методе мы сравниваем десятичные значения дробей. Для этого числитель делится на знаменатель и дробь преобразуется в десятичную. Затем сравниваются десятичные значения. Например, давайте сравним 4/5 и 6/8.

  • Шаг 1: Запишите 4/5 и 6/8 в десятичных дробях.4/5 = 0,8 и 6/8 = 0,75.
  • Шаг 2: Сравните десятичные значения. 0,8 > 0,75
  • Шаг 3: Дробь с большим десятичным значением будет большей дробью. Следовательно, 4/5 > 6/8

Сравнение дробей с помощью визуализации

Мы можем использовать различные графические методы и модели для визуализации более крупных фракций. Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, на котором показаны модели A и B, представляющие две дроби.Мы можем легко определить, что 4/8 < 4/6, потому что 4/6 покрывает большую заштрихованную область, чем 4/8. Обратите внимание, что меньшая часть занимает меньшую площадь того же целого. Здесь следует принять во внимание, что размер моделей A и B должен быть точно таким же, чтобы сравнение было достоверным. Затем каждая модель делится на равные части, соответствующие их соответствующим знаменателям.

Сравнение дробей с помощью перекрестного умножения

Для сравнения дробей методом перекрестного умножения мы умножаем числитель одной дроби на знаменатель другой дроби.Давайте разберемся в этом с помощью примера. Сравните 1/2 и 3/4. Обратите внимание на приведенный ниже рисунок, который лучше объясняет это.

  • Шаг 1: Когда мы умножаем данные дроби крестом для их сравнения, мы должны иметь в виду, что если мы умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй дроби, мы должны писать произведение рядом с первая фракция. Здесь 1 × 4 = 4, и мы будем писать 4 рядом с первой дробью. (Напишите произведение рядом с выбранным числителем)
  • Шаг 2: Аналогично, когда мы умножаем числитель второй дроби на знаменатель первой дроби, мы должны писать произведение рядом со второй дробью.Здесь 3 × 2 = 6, и мы будем писать 6 возле второй дроби.
  • Шаг 3: Теперь сравним произведения 4 и 6. Поскольку 4 < 6, можно легко сравнить соответствующие дроби, то есть 1/2 < 3/4. Следовательно, 1/2 < 3/4

Похожие темы

Часто задаваемые вопросы о сравнении дробей

Что означает сравнение дробей?

Сравнение дробей означает сравнение заданных дробей, чтобы определить, является ли одна дробь меньше, больше или равна другой дроби.Как и целые числа, мы можем сравнивать дроби, используя одни и те же символы: <,> и =. Существуют различные методы и правила сравнения дробей в зависимости от числителя и знаменателя, а также от вида дробей.

Каково правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем?

Когда знаменатели данного набора дробей одинаковы, дробь с меньшим числителем является меньшей дробью, а дробь с большим числителем — большей дробью.При равенстве числителей дроби считаются равными. Например, если нам нужно сравнить 2/5 и 4/5, нам просто нужно проверить и сравнить числители. Поскольку 2 < 4, можно сказать, что 2/5 < 4/5.

По какому правилу сравнивать дроби с одинаковым числителем?

Если дроби имеют одинаковый числитель, то дробь с меньшим знаменателем больше. Например, сравним дроби с одним и тем же числителем. Даны дроби 1/2 и 1/6.Теперь из них дробь с меньшим знаменателем равна 1/2. Таким образом, 1/2 является большей из данных дробей.

Что такое эквивалентные дроби?

Дроби, имеющие разные числители и знаменатели, но равные по своим значениям, называются равнозначными дробями. Например, 5/10 и 6/12 являются эквивалентными дробями, поскольку обе они в упрощенном виде равны 1/2.

Какой самый простой способ сравнения дробей?

Самый простой и быстрый способ сравнения дробей — преобразовать их в десятичные числа.Дробь с большим десятичным значением является большей дробью.

Зачем нужно сравнивать дроби?

Сравнение дробей является важным компонентом, который помогает учащимся развить представление о числе относительно размера дроби. Это помогает им понять, что стратегии, которые они используют для сравнения целых чисел, не обязательно применимы при сравнении дробей. Например, 1/4 больше 1/8, хотя целое число 8 больше 4.

Как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнивать дроби с разными знаменателями, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и преобразовать данные дроби в подобные дроби, сделав их знаменатели одинаковыми, и тогда числители можно будет легко сравнить.Например, давайте сравним 7/12 и 9/16.

  • Шаг 1: Поскольку данные дроби имеют разные знаменатели, мы найдем НОК знаменателей. НОК 12 и 16 = 48,
  • Шаг 2: Теперь мы преобразуем дроби таким образом, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Умножим первую дробь на 4/4, то есть 7/12 × 4/4 = 28/48.
  • Шаг 3: Теперь давайте умножим вторую дробь на 3/3, то есть 9/16 × 3/3 = 27/48.
  • Шаг 4: Сравните дроби: 28/48 и 27/48.Поскольку знаменатели одинаковые, сравним числители и увидим, что 28 > 27.
  • Шаг 5: Дробь с большим числителем является большей дробью, то есть 28/48 > 27/48. Следовательно, 12.07 > 16.09

Сравнение дробей | Helping with Math

Примечание: эта страница содержит устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются. Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего членского предложения.

Важно, чтобы ваш ребенок мог сравнивать разные дроби и определять, какая из них больше, какая меньше или равны.

Обсудите с детьми, как в дроби при увеличении нижнего числа (знаменателя) дробь становится меньше. Исследуйте это вместе с ними на реальных примерах (популярны шоколадные батончики и пицца!).

Просмотрите три различные ситуации сравнения ниже. Примечание. Эта строка числа дробей поможет при сравнении дробей.

Тот же числитель, другой знаменатель

В данном случае имеется одинаковое количество разных вещей. В данном случае речь идет о третей и шестой. Убедитесь, что ваш ребенок понимает, что трети больше, чем шестые. Правило сравнения здесь состоит в том, что дробь с меньшим знаменателем является наибольшей

.

Другой числитель, тот же знаменатель

Здесь у нас другое количество одного и того же – семь восьмых и три восьмых.Семь — большее число, чем три. Правило сравнения здесь состоит в том, что дробь с наибольшим числителем является наибольшей.

Другой числитель, Другой знаменатель

Это более сложная задача, чем два сравнения выше. В зависимости от уровня вашего ребенка, вы можете пропустить этот шаг, а затем вернуться к нему позже.

Эти дроби сравниваются путем замены знаменателей на общее число. Это можно сделать, умножив верхнюю и нижнюю часть дроби на одно и то же число, так как это даст дробь с эквивалентным значением.Сделайте это, как показано ниже, с обеими дробями, чтобы получить общий знаменатель, а затем сравните их.

Итак, в приведенном выше примере, когда знаменатели равны, дробь с наибольшим числителем является наибольшей.

Некоторые учащиеся могут отвечать на вопросы о том, какая дробь больше, говоря, что это зависит от размера целого, и, в зависимости от формулировки вопроса, они могут быть правы! Поощряйте их думать о том, какая доля больше или меньше, и будьте точны в своих вопросах.например «какая самая большая дробь ?» не просто «, какое число больше?»

Рабочие листы

Потренируйтесь сравнивать дроби с помощью рабочих листов выше.

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби.Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Это позволит новичку почувствовать себя ученым в белом халате.

Смысл сравнения дробей в том, чтобы выяснить, какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос, какая из двух дробей больше или меньше, используйте операции отношения, такие как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющих сразу ответить на вопрос, какая дробь больше, а какая меньше.Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему это так.

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем

Дроби, которые нужно сравнить, разные. Лучший случай, когда дроби имеют одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае действует следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.Дробь с меньшим числителем меньше.

Например, сравните дроби и и ответьте, какая из этих дробей больше. Знаменатели одинаковые, а числители разные. У дроби числитель больше, чем у дроби. Это означает, что больше, чем . Вот так мы отвечаем. Ответьте большим знаком (>).

Этот пример легко понять, если подумать о пицце, разделенной на четыре части. Пицца больше, чем пицца:

Все согласятся, что первая пицца больше второй.


Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковы, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Если сравнивать две дроби с одинаковыми числителями, то больше та, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравнить дроби и .Эти дроби имеют одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби. Значит, дробь больше дроби. Вот как мы отвечаем:

Этот пример легко понять, если подумать о пицце, разделенной на три и четыре части. Пицца больше, чем пицца:

Все согласятся, что первая пицца больше второй.


Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Часто приходится сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, необходимо привести их к одному (общему) знаменателю. Тогда вы легко сможете определить, какая дробь больше, а какая меньше.

Приведем дроби и к одному (общему) знаменателю. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и равен 6.

Теперь найдите дополнительные множители для каждой дроби.Разделите НОК на знаменатель первой дроби. НОК равно 6, а знаменатель первой дроби равен 2. Разделим 6 на 2, получим дополнительный множитель 3. Запишем его над первой дробью:

Теперь найдите второй дополнительный множитель. Разделите НОК на знаменатель второй дроби. НОК равно 6, а знаменатель второй дроби равен 3. Разделив 6 на 3, получим дополнительный множитель 2. Запишем его над второй дробью:

Умножить дроби на их дополнительные множители:

Мы пришли к выводу, что дроби с разными знаменателями превратились в дроби с одинаковыми знаменателями.И мы уже умеем сравнивать такие дроби. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та, у которой числитель больше, больше :

.

Правило правилом, но попробуем разобраться, почему больше . Для этого выделим в дроби целую часть. В дроби ничего выделять не нужно, потому что дробь правильная.

Выделив всю часть дроби , получим следующее выражение:

Выделив в дроби целую часть, получим следующее выражение:

Теперь легко понять, почему больше .Нарисуем эти дроби как пиццы:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.


Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

При вычитании смешанных чисел иногда оказывается, что все идет не так гладко, как хотелось бы. Часто бывает, что при решении примера ответ оказывается не таким, каким должен быть.

При вычитании чисел вычитаемое должно быть больше вычитающего. Только тогда вы получите нормальный ответ.

Например, 10-8=2

10 — минус

8 — вычитаемое

2 — разница

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому нормальный ответ равен 2.

Теперь посмотрим, что произойдет, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Пример 5-7 = -2

5 — минус

7 — вычитаемое

-2 — разница

В этом случае мы выходим за пределы привычных нам чисел и вступаем в мир отрицательных чисел, куда нам идти слишком рано или даже опасно.Для работы с отрицательными числами нужна соответствующая математическая подготовка, которой мы еще не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, вы можете пока пропустить такой пример. Допустимо работать с отрицательными числами только после того, как вы их изучили.

Та же ситуация с дробями. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только тогда можно будет получить нормальный ответ. А чтобы знать, больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнивать дроби.

Например, решить пример.

Это пример вычитания. Чтобы решить ее, вы должны проверить, больше ли вычитаемая дробь вычитаемой. больше

, поэтому мы можем смело вернуться к примеру и решить его:

Теперь решите этот пример

Проверить, больше ли вычитаемая дробь, чем вычитаемая. Находим, что меньше:

В этом случае разумно остановиться и не продолжать дальнейшие вычисления.Мы вернемся к этому примеру, когда будем изучать отрицательные числа.

Также желательно проверять смешанные числа перед вычитанием. Например, найдите значение выражения .

Сначала мы проверяем, больше ли уменьшаемое смешанное число вычитаемого. Для этого переведите смешанные числа в неправильные дроби:

.

Получились дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нам нужно привести их к одному (общему) знаменателю.Мы не будем подробно описывать, как это сделать. Если у вас возникнут трудности, обязательно повторите действия с дробями.

Приведя дроби к одному знаменателю, получим следующее выражение:

Теперь нам нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби.Значит, дробь больше дроби.

Это означает, что вычитатель больше, чем вычитатель.

Значит, мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:


Пример 3. Найти значение выражения

Проверить, больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби:

Мы получили дроби с разными числителями и разными знаменателями.Приведите эти дроби к одному (общему) знаменателю:

Теперь давайте сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , поэтому дробь меньше дроби

Это означает, что уменьшительное число также меньше, чем вычитающее

.

Это гарантированно приведет нас в мир отрицательных чисел. Так что имеет смысл остановиться здесь и не продолжать вычисления. Мы продолжим, когда будем изучать отрицательные числа.


Пример 4. Найти значение выражения

Проверить, больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби:

Получились дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведите их к одному (общему) знаменателю:

Теперь нам нужно сравнить дроби и . У дроби числитель больше, чем у дроби. Значит, дробь больше дроби.

Это означает, что вычитатель больше, чем вычитатель.

Следовательно, можно смело продолжать вычислять наш пример:

Сначала мы получили ответ. Мы уменьшили эту дробь на 2 и получили дробь , но и этот ответ нас не устроил, поэтому мы выделили в этом ответе целую часть. В результате получили ответ.


Упражнения

Задача 1. Сравните дроби:

Решение:

Задача 2. Сравните дроби:

Решение:

Задание 3. Сравните дроби:

Решение:

Задание 4. Сравните дроби:

Решение:


Видеоурок

Как сравнивать дроби

Чем отличаются дроби?

В отличие от дробей две или более дроби имеют разные знаменатели.Это означает, что числа в нижней части разных дробей различны. В отличие от дробей, каждая из них делится на части разного размера, поэтому их нельзя легко сравнивать или добавлять.

Например, 1 / 4 и 1 / 3 не являются дробями, потому что у них разные знаменатели. Первая фракция делится на 3 части, а вторая фракция делится на 4 части.

Подобные дроби — это дроби, у которых знаменатели в нижней части совпадают.Например, 1 / 4 и 3 / 4 . Обе эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 4.

Мы видим, что 3 / 4 больше, чем 1 / 4 , потому что у нас есть 3 квартала по сравнению с 1 кварталом. Мы сравниваем детали одинакового размера.

Однако сразу не ясно, какая из разнородных дробей 2 / 3 и 3 / 5 больше.

Как сравнивать дроби с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, выполните следующие действия:

  1. Найдите первое число, которое появится в таблице умножения каждого знаменателя. Это общий знаменатель.
  2. Запишите каждую дробь в виде эквивалентной дроби, имеющей этот общий знаменатель.
  3. Чем больше числитель этих дробей, тем больше дробь.

В качестве примера сравним неодинаковые дроби 1 / 4 и 2 / 6 .

Шаг 1 — найти первое число, которое появится в таблице умножения обоих знаменателей. Таблица умножения на 4 — это 4, 8, 12, 16, 20, 24. Таблица умножения на 6 — это 6, 12, 18, 24.

Нам нужно только перечислить числа до 24, потому что 4 × 6 = 24. Однако мы видим, что 12 — это число, которое появляется первым. Мы будем использовать 12 в качестве общего знаменателя.

Шаг 2 — записать обе дроби как эквивалентные дроби с общим знаменателем. Запишем обе дроби от 12.

1 / 4 = 3 / 12 и 2 / 6 = 4 /

10 10

Шаг 3 — сравнить дроби по их числителю.

3 меньше 4, поэтому 4 / 12 меньше 3 / 12 .

Это позволяет нам сравнивать исходные дроби.

1 / 4 меньше 2 / 6 .

Мы можем записать это как 1 / 4 2 / 6 .

Мы можем использовать знаки неравенства большего меньшего и меньшего для сравнения дробей. Знак » всегда открывается в сторону большей дроби и указывает на меньшую дробь.

Вот еще один пример сравнения дробей с разными знаменателями. У нас есть 3 / 4 и 7 / 8 .

Мы видим, что 8 — это первое число в таблице умножения на 4 и 8.Мы удваиваем числа в первой дроби, так что 3 / 4 = 6 / 8 .

Мы можем оставить 7 / 8 такими же.

Теперь, когда обе дроби не равны 8, мы можем их сравнить.

6 меньше 7, поэтому 6 / 8 меньше 7 / 8 .

Поэтому мы можем сказать, что 3 / 4 меньше, чем 7 / 8 .

Мы пишем 3 / 4 7 / 8 . Стрелка знака указывает на меньшую дробь.

Как сравнивать неправильные дроби с разными знаменателями

Чтобы сравнить неправильные дроби с разными знаменателями, сначала запишите каждую дробь как эквивалентную ей дробь, чтобы обе они имели одинаковый знаменатель. Теперь самая большая неправильная дробь будет иметь наибольший числитель. Две неправильные дроби можно сравнивать только в том случае, если у них один и тот же знаменатель в нижней части.

Например, вот неправильные дроби 5 / 4 и 6 / 5 . Неправильные дроби — это просто дроби, у которых числитель сверху больше, чем знаменатель снизу.

Общий знаменатель этих дробей равен 20. 20 — первое число как в таблице умножения на 4, так и в таблице умножения на 5.

Написание фракций как эквивалентные фракции с знаменателями 20, 5 / 4 = 25 / 20 и 6 / 5 = 24 / 20 / 20 .

25 больше числителя 24, поэтому 25 / 20 больше 24 / 20 .

Следовательно, 5 / 4 больше, чем 6 / 5 .

Вот еще один пример сравнения размера двух неправильных дробей.

У нас есть 10 / 3 и 9 / 2 .

Мы пишем 10 / 3 = 20 / 6 и 9 / 2 = 7 50 9 / 90.

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель, и теперь их можно заказать.

20 меньше 27, поэтому 20 / 6 меньше 27 / 6 .

Следовательно, 10 / 3 меньше 9 / 2 .

Сравнение дробей с использованием десятичных дробей

Преобразование различных дробей в десятичные — это метод, который можно использовать для сравнения их размера.Дроби можно превратить в десятичные, разделив числитель на знаменатель. Чем больше десятичное число, тем больше дробь.

Например, здесь у нас есть дроби 2 / 5 и 3 / 4 .

Превратим 2 / 5 в десятичную дробь, разделив 2 на 5.

2 ÷ 5 = 0,4.

Превратим 3 / 4 в десятичную дробь, разделив 3 на 4.

3 ÷ 4 = 0,75.

Наибольшее десятичное число равно 0,75. Следовательно, большая часть равна 3 / 4 .

Мы говорим, что 2 / 5 меньше 3 / 4

Наименьшее общее кратное. Сравнение дробей — Полный курс арифметики

Урок 23

КАК СРАВНИТЬ Дроби


МЫ УБЕДИМСЯ, что для сложения дробей или для сравнения дробей, имеющих разные знаменатели, мы должны построить общий знаменатель.Какой знаменатель мы должны выбрать? Мы должны выбрать наименьшее общее кратное исходных знаменателей. Поэтому учащийся должен четко понимать, что это значит.

Вот несколько первых кратных 6:

6, 12, 18, 24, 30.

А вот первые несколько кратных 8:

8, 16, 24, 32, 40.

24 – это общее кратное 6 и 8. Это их наименьшее общее кратное, которое мы обозначаем как НОК.

В LCM впервые числа, кратные 6, встречаются с кратными 8.


Пример 1.   Найти НОК чисел 9 и 12.

  Решение . Перебирайте числа, кратные 12, пока не дойдете до числа, кратного 9.

12,  24,   36 .

36 – это первое число, кратное 12, которое также кратно 9. 36 – это их LCM.

Пример 2.   Найти НОК 2 и 8.

8 сам по себе является их LCM.

Когда большее число само кратно меньшему числу, то большее число само по себе является их НОК.

Пример 3.   Найти НОК 5 и 20.

  Решение . 20 — это их LCM.

Теперь произведение двух чисел всегда будет общим кратным.Произведение 6 и 4, например, равно 24, а 24 является общим кратным, но это не их наименьшее общее кратное. Их наименьшее общее кратное равно 12,

.

Сравните урок 22, вопрос 4.

Пример 4.   Что такое НОК 10 и 27?

Ответ . 10 и 27 не имеют общих делителей, кроме 1. Следовательно, их НОКМ равен 10 × 27 = 270,

.

(1 является общим делителем каждой пары чисел, но некоторые пары имеют 1 в качестве единственного общего делителя.10 и 27 такая пара.)

Пример 5.   Что такое НОК 8 и 12?

Ответ . 24. Их НОК не равен 8 × 12, потому что 8 и 12 имеют общие делители, кроме 1; например, 4.

(Чтобы найти НОК из простых множителей, см. урок 33.)

Сравнение дробей

В уроке 20 мы увидели, как сравнивать дроби, у которых одинаковые числители или одинаковые знаменатели. Теперь мы увидим, как сравнивать любые две дроби.


Пример 6.   Что больше,   1
2
или 3
8
?

Ответить . Приведите общий знаменатель. Выберите LCM из 2 и 8, что само по себе равно 8. Пример 2 выше.

Будем менять 1
2
 в эквивалентную дробь со знаменателем 8:
Знаменатели теперь одинаковы, и мы можем сравнить 4
8
 с  3
8
.

Видим:

4
8
больше 3
8
.

То есть

1
2
больше 3
8
.

Пример 7.Что больше,   3
4
или 25
32
?

Ответить . Снова сделаем знаменатели одинаковыми, а затем сравним числители. В качестве общего знаменателя мы выберем НОК 4 и 32, что само по себе равно 32.

  Мы вышлем  3
4
 со знаменателем 32.   При умножении обоих

члена по 8,

Сейчас мы сравниваем   3
4
или
24
32
   с    25
32
.
  25 больше 24; поэтому 25
32
больше 3
4
.

Пример 8.   Что больше,   5
6
или 7
9
?

Ответить . В качестве общего знаменателя выберите НОК из 6 и 9.

Ответить . Выберите 18.

5
6
 =  15
18
,    7
9
 =  14
18
.
  Чтобы изменить  5
6
 , мы умножили оба члена на 3.  Чтобы изменить  7
9
 , мы

умножил оба члена на 2.

Мы выбираем общее кратное знаменателей, потому что мы меняем знаменатели, умножая их

Теперь 15 больше, чем 14.Следовательно, 5
6
больше 7
9
.

Сложение дробей (как мы увидим в Уроке 25) включает в себя ту же технику, что и их сравнение, потому что знаменатели — единицы измерения — должны быть одинаковыми. Например,

5
6
 +  7
9
 = 15
18
 +  14
18
 
       =  29
18
.

В следующем разделе, вопрос 4, мы увидим, как сравнивать дроби путем перекрестного умножения.

В этот момент, пожалуйста, «переверните» страницу и выполните несколько задач .

или

Перейдите к следующему разделу.

Введение | Главная | Содержание


Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: [email protected]


теория чисел. При сравнении дробей дробь с меньшей разницей между числителем и знаменателем больше, чем другая

Я никогда не встречал этого утверждения ни в одном учебнике; в любом случае это неправильно .Похоже, что утверждение состоит в том, что если у вас есть две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с $a < b$ и $c < d$, то $|a - б| < |с - г| \iff \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Это неверно. Мы можем написать $\frac{a}{b} = 1 — \frac{ba}{b}$ и $\frac{c}{d} = 1 — \frac{dc}{d}$, так что вы’ повторно сравнивая $\frac{ba}{b}$ и $\frac{dc}{d}$ (в зависимости от того, что больше, соответствующая дробь меньше). Первый числитель может быть меньше второго, но фактическое сравнение этих дробей, конечно, может идти в любом направлении.

Например,

  • Вот один с $b — a < d - c$, но $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$: рассмотрим $\frac{2}{3} > \frac {3}{5}$.

  • Вот пример с $b — a < d - c$, но $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$: рассмотрим $\frac{2}{3} = \frac{ 4{6}$.

  • Вот один, где $b — a < d - c$, но $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$: рассмотрим $\frac{2}{3} < \frac{ 5}{7}$.

Итак, все результаты возможны; тест ерунда.

Редактировать: Просто для удовольствия/полноты, вот таблица, показывающая пары $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ с каждой возможной комбинацией двух сравнений:

$$\begin{массив}{с|с|с|с} & \frac{a}{b}<\frac{c}{d} & \frac{a}{b}=\frac{c}{d} & \frac{a}{b}>\frac{c {д}\\ \хлайн\\ b-ad-c & \frac57,\frac23 & \frac46,\frac23 & \frac35,\frac23 \\ \end{массив}$$ (Если вам нужны примеры с дробями больше $1$, переверните каждую дробь вверх ногами.Каждое из неравенств между дробями изменит направление, так что у вас все еще будет полный набор примеров.)


Редактировать: Глядя на этот фрагмент видео, возможно (не очень ясно), что то, что он мог сказать, эквивалентно следующему утверждению, где равно : если у вас есть две дроби $\frac{a {b}$ и $\frac{c}{d}$ с $a > b$ и $c > d$, а если $a — b < c - d$ и $b > d$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.Доказательство:

$$\frac{a}{b} = 1 + \frac{ab}{b} < 1 + \frac{cd}{b} < 1 + \frac{cd}{d} = \frac{c} {г}$$

Для дробей меньше $1$ соответствующее утверждение будет таким: если у вас есть две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с $a < b$ и $c < d$, а если $b - a < d - c$ и $b > d$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$:

$$\frac{a}{b} = 1 — \frac{ba}{b} > 1 — \frac{ba}{d} > 1 — \frac{dc}{d} = \frac{c} {г}$$ Но это так много условий на гипотезу, что мне интересно, как часто это будет полезно.

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.