Деление и умножение дробей правило: Умножение и деление обыкновенных дробей

Содержание

Умножение дробей, деление дробей

Умножение обыкновенных дробей

Определение 1

Умножение дробей рассматривается как действие нахождения дроби от дроби.

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

Готовые работы на аналогичную тему

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей:

При делении обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$ необходимо делимое умножить на число, которое является обратным делителю:

Пример 6

Выполнить деление дробей $\frac{7}{4}$ и $\frac{3}{5}$.

Решение.

Числом, обратным делителю $\frac{3}{5}$, является дробь $\frac{5}{3}$. Воспользуемся правилом деления обыкновенных дробей:

\[\frac{7}{4}:\frac{3}{5}=\frac{7}{4}\cdot \frac{5}{3}=\frac{7\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac{35}{12}\]

Ответ: $\frac{35}{12}.$

Результат деления дробей необходимо проверять на сократимость дроби и на возможность выделения целой части из неправильной дроби.

Пример 7

Выполнить деление дробей $\frac{8}{15}:\frac{12}{35}$.

Решение.

Применим правило деления дробей:

\[\frac{8}{15}:\frac{12}{35}=\frac{8}{15}\cdot \frac{35}{12}=\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}\]

Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

Умножение и деление обыкновенных дробей — Kid-mama

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений  

Например:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель.  

Например:
Деление дробей
Чтобы  разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений.  

Например:

Для того, чтобы понять, как делить одну дробь на другую, нужно сначала вспомнить, что такое взаимно обратные числа :

Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых равно единице. Например, числа — взаимно обратные, так как 

Чтобы найти обратное число у дроби, нужно просто перевернуть эту дробь.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю. 

Например:

При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1.

Ещё примеры деления дробей:

Тренажёр 1

Умножение и деление обыкновенных дробей

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20

Информация

Выполните умножение или деление и введите ответ. Сократите дробь, если это возможно. Неправильную дробь переведите в смешанное число, иначе будет засчитана ошибка.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
Тренажёр 2

Деление обыкновенных дробей

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20

Информация

Тренируемся делить обыкновенные дроби. Если вы забыли, как это делается, напоминаем, что деление на дробь выполняется при помощи умножения на обратную дробь. Подробно обо всех случаях деления читайте в статьях:

Некоторые примеры сложно решить в уме, поэтому решайте их на бумаге. В каждом примере необходимо ввести только ответ. Если получилась неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную, то есть выделить целую часть. После того, как введете все числа, нажмите кнопку «Проверить». При неправильном значении число выделится красным цветом, а в скобках рядом будет показан правильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7
  8. 8
  9. 9
  10. 10
  11. 11
  12. 12
  13. 13
  14. 14
  15. 15
  16. 16
  17. 17
  18. 18
  19. 19
  20. 20
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Деление дробей. Правила. Примеры. — tutomath репетитор по математике

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\\\)

Пример:

Выполните деление обыкновенных дробей  .

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

\(\bf \frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n}\\\)

Рассмотрим пример:

Выполните деления дроби на натуральное число \(\frac{4}{7} \div 3\).

Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби \(3 = \frac{3}{1} \).

\(\frac{4}{7} \div 3 = \frac{4}{7} \div \frac{3}{1} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4 \times 1}{7 \times 3} = \frac{4}{21}\\\)

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Рассмотрим пример:

Выполните деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Пример:

Выполните деление смешанных дробей.

\(2\frac{3}{4} \div 3\frac{1}{6} = \frac{11}{4} \div \color{red} {\frac{19}{6}} = \frac{11}{4} \times \color{red} {\frac{6}{19}} = \frac{11 \times 6}{4 \times 19} = \frac{11 \times \color{red} {2} \times 3}{2 \times \color{red} {2} \times 19} = \frac{33}{38}\\\)

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби  и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Пример:

\(2 \div 5 = \frac{2}{1} \div \color{red} {\frac{5}{1}} = \frac{2}{1} \times \color{red} {\frac{1}{5}} = \frac{2 \times 1}{1 \times 5} = \frac{2}{5}\\\)

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:
Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13}\) б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8}\)

Решение:
а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13} = \frac{5}{9} \times \frac{13}{8} = \frac{65}{72}\\\\\)

\( \frac{8}{13}\) – делитель, \( \frac{13}{8}\) – обратная дробь делителя.

б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8} = \frac{14}{5} \div \frac{15}{8} = \frac{14}{5} \times \frac{8}{15} = \frac{14 \times 8}{5 \times 15} = \frac{112}{75} = 1\frac{37}{75}\\\\\)

\( \frac{15}{8}\) – делитель, \( \frac{8}{15}\) – обратная дробь делителя.

Пример №2:
Вычислите деление: а) \(5 \div 1\frac{1}{4}\) б) \(9\frac{2}{3} \div 8\)

Решение:

а) \(5 \div 1\frac{1}{4} = \frac{5}{1} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{5} = \frac{\color{red} {5} \times 4}{1 \times \color{red} {5}} = \frac{4}{1} = 4 \\\\\)

б) \(9\frac{2}{3} \div 8 = \frac{29}{3} \div \frac{8}{1} = \frac{29}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{29 \times 1}{3 \times 8} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}\\\\\)

Дроби — как объяснить ребенку действия с дробями

Тема дробей — одна из самых непростых для школьников. Понять их неподготовленному ребенку, а тем более выполнять с ними операции, может быть достаточно сложно. Но даже самая трудная задача может стать простой и понятной, если правильно к ней подойти. Для детей нужно использовать фантазию, наглядность и элементы игры. А также – сохранять спокойствие и терпеливо объяснять, даже если это потребуется сделать много раз.

Как объяснить суть дробей ребенку?

Слово «дробь» будто говорит само за себя — оно означает дробление, деление. В школьной программе к изучению дробей приступают только в 5 классе, освоив все действия с целыми числами. Но знакомство с ними целесообразно начинать заранее, еще в старшем дошкольном возрасте. Это формирует пространственные представления у детей и тренирует логическое мышление.

Для начала нужно объяснить ребенку понятие долей. Это очень легко сделать на наглядных повседневных примерах. Самый простой и доступный — еда. Например, пирог — целый. Разделить его можно на несколько одинаковых частей. Один кусочек такого пирога и будет называться одной долей из всех возможных. Поделив пирог на четыре части, один кусочек называют одной четвертой частью.

Таким образом делить можно все, что угодно: яблоки, апельсины, плитки шоколада, конфеты в коробке и т. д. Еще один прекрасный наглядный материал для изучения дробей — кубики конструктора Lego. С их помощью можно поделить целое на равные части очень легко. Дети быстро запоминают форму кубиков, и им не требуется постоянно пересчитывать количество выступающих элементов на них.

Если ребенок увидит практическое применение дробей и востребованность их в реальной жизни, ему будет проще понять их и осознать важность получения математических знаний и навыков.

Что нужно знать о дробях?

1. Дробь — число нецелое, оно обозначает количество долей целого.

2. Дробь меньше целого.

3. Чем на большее число долей поделено целое, тем эти доли меньше и наоборот — чем долей меньше, тем они, соответственно, больше.

Для обозначения долей в математике используют понятие обыкновенная дробь. С ее помощью можно записать абсолютно любое необходимое количество долей.

Обыкновенная дробь представляет собой две части, именуемые числителем и знаменателем. Записываются они разделенными горизонтальной чертой либо наклонной вправо линией. Знаменатель пишется внизу либо справа от дробной черты, он показывает общее количество частей от целого, на которое оно было поделено. А числитель пишется вверху или слева от дробной черты и показывает, сколько долей целого сейчас взяли.

Вернемся к нашему пирогу. Очевидно, что разделить его реально на сколько угодно равных частей. В зависимости от того, на сколько частей его разделили, меняется и знаменатель дроби. У пирога, разделенного одной прямой линией на две части, знаменатель будет равен 2, у разделенного на три части — 3 и т. д. Числитель же, в свою очередь, показывает, сколько частей сейчас взято. Если взяли только одну часть из двух, то получится дробь 1/2, только две из трех — 2/3 и т. д.

Что такое смешанные дроби?

В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.

У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.

Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.

Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.

Примеры:

  • 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
  • 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6

Задание:

Выделите целую часть из неправильных дробей:

Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.

Примеры:

  • 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
  • 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9

Задание:

1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:

2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:

Десятичные дроби

Дроби, в знаменателях которых есть числа, кратные десяти — 10, 100, 1000 и т. д. — в математике можно обозначать следующим образом. Сначала пишется целая часть, а потом числитель из дробной части, отделенный запятой.

Например, 5 4/10 попробуем записать в виде десятичной дроби. Пишем целую часть (5), ставим запятую и далее пишем числитель дробной части (4). Получаем: 5,4. Читается эта дробь так: «пять целых и четыре десятых». Число, представленное в таком виде, именуется десятичной дробью.

Существуют также десятичные дроби без целой части. Например: 7/100. Как быть в таком случае? Чтобы записать подобную дробь, пишут ноль, ставят запятую и далее записывают числитель дроби — 0,07. Такая дробь читается как «ноль целых, семь сотых».

Десятичные дроби очень удобны, они используются в точных вычислениях. Десятичная система исчисления  применяется человечеством с самых древних времен. Она интуитивна понятна и проста.

Задание:

Преобразовать следующие дроби в десятичные:

Сокращение дробей

Сокращение дробей выполняют для того, чтобы их упростить. Если числитель и знаменатель дроби таковы, что делятся на одно и то же число (имеют общий делитель), то можно просто разделить их на это число, упростив тем самым дробь. Эта математическая операция называется сокращением дробей. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пару таких примеров.

Пример 1. Сократить дробь 8/12

Решение будет следующим. Наибольшее число, на которое делятся и 8, и 12, — это 4. Поэтому, чтобы сократить дробь, просто поделим ее числитель и знаменатель на 4:

8/12 = 8:4 / 12:4 = 2/3

Пример 2. Сократить дробь 10/25

Решение. Наибольшее число, на которое делятся и 10, и 25, — это 5. Потому, чтобы сократить дробь, поделим ее числитель и знаменатель на 5:

10/25 = 10:5 / 25:5 = 2/5

Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель — единицу.

Задание:

Сократите следующие дроби:

Сложение дробей

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. В этом случае операция предельно простая. Складываются числители дробей, а знаменатель остается прежним.

Примеры:

  • 1/7 + 2/7 = 3/7
  • 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1

Задание:

Выполни сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Но все усложняется, если нужно сложить дроби с разными знаменателями. В этом случае необходимо привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Чтобы это сделать, необходимо найти наименьшее общее кратное. Это такое число, которое делится на оба эти числа без остатка. Например: 3/7 + 2/6. Наименьшее общее кратное для чисел 7 и 6 будет 42.

Далее ищем дополнительные множители для каждой из дробей. Для этого найденное на предыдущем этапе наименьшее общее кратное делим по очереди на знаменатель каждой из дробей:

  • 42 / 7 = 6 — это будет дополнительный множитель для 3/7;
  • 42 / 6 = 7 — это, соответственно, дополнительный множитель для 2/6.

Обе части каждой из наших дробей, и числитель и знаменатель, умножаем на свой, определенный выше, множитель:

  • 3*6 / 7*6 = 18/42;
  • 2*7 / 6*7 = 14/42.

Складываем полученные дроби аналогичным образом, как уже разобранные выше дроби с одинаковыми знаменателями:

Если это возможно, то дробь сокращают. Если дробь получилась неправильная, то следует целую часть из нее выделить.

Задание:

Выполни сложение дробей с разными знаменателями:

 

Вычитание дробей

Эта операция проводится аналогично сложению. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить тем же.

Пример:

7/9 — 2/9 = (7-2) / 9 = 5/9

Задание:

Выполни вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для дробей с разными знаменателями также придется найти наименьшее общее кратное и дополнительные множители. Затем, по аналогии со сложением, произвести вычитание.

Пример:

6/7 — 8/10 = (6*10-8*7) / 70 = (60-56) / 70 = 4/70

Задание:

Выполни вычитание дробей с разными знаменателями:

Умножение дробей

Существует два варианта умножения дробей. Рассмотрим каждый из них в деталях.

Умножение обыкновенных дробей

В этом случае числители обеих дробей перемножаются — это будет новый числитель. Знаменатели обеих дробей также перемножаются — это будет новый знаменатель.

Пример:

2/5 * 3/4 = (2*3) / (5*4) = 6/20 = 3/10

Если это возможно, то следует сократить дроби перед перемножением. Это облегчит дальнейшие действия.

Пример:

24/35 * 25/36 = (24*25) / (35*36) = (2*5) / (7*3) = 10/21

Умножение смешанных дробей

Чтобы это сделать, необходимо превратить дроби в неправильные и далее действовать по алгоритму, приведенному в первом пункте.

Пример:

4 2/7 * 5 3/5 = 30/7 * 28/5 = (30*28) / (7*5) = (6*4) / (1*1) = 24/1 = 24

Задание:

Выполните умножение дробей:

  • 5/7 * 6/8;
  • 6/11 * 2/3;
  • 2 3/7 * 4 5/9;
  • 4 6/7 * 7 9/10.

Деление дробей

Освоив умножение, с делением также можно справиться легко. Правило деления дробей заключается в следующем: при делении одной дроби на другую нужно первую перемножить на обратную (перевернутую) вторую дробь. Или, иными словами, числитель первой умножить на знаменатель второй (это будет новый числитель), а знаменатель первой умножить на числитель второй (это будет новый  знаменатель).

Пример:

4/7 : 2/5 = 4/7 * 5/2 = 20/14 = 10/7 = 1 3/7

Бывают ситуации, когда дробь нужно разделить на целое число. В этом случае следует представить дробь как неправильную. Числителем у нее будет это целое число, а знаменателем просто единица. Далее действовать нужно по уже знакомому правилу деления дробей из предыдущего случая.

Пример:

5/9 : 2 = 5/9 : 2/1 = (5*1) / (9*2) = 5/18

Задание:

Выполните деление дробей:

  • 6/11 : 3;
  • 7/15 : 2;
  • 9/12 : 4.

Сравнение дробей

Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.

Пример:

1/5 < 4/5, так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.

Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.

Пример:

1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.

Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.

Пример:

Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.

Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно.  Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.

Задание:

Определите, какие дроби изображены на рисунке, и сравните их:

Итак, мы рассмотрели дроби, правила всех действий с ними. Надеемся, что наши объяснения и рекомендации будут очень полезны. Начинайте знакомить детей с дробями еще до школы. Хорошо усвоив эти понятия, ребенок без труда справится затем и с записью дробей, и с действиями с ними.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

Читайте также:


 

Действия с дробями: правила, примеры, решения

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

  • При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
  • При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
  • При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
  • При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

  • дробная черта означает знак деления;
  • деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
  • применение свойства действий с действительными числами;
  • применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

ad±cd=a·d-1±c·d-1=a±c·d-1=a±cd;ab±cd=a·pb·p±c·rd·r=a·ps±c·es=a·p±c·rs;ab·cd=a·db·d·b·cb·d=a·d·a·d-1·b·c·b·d-1==a·d·b·c·b·d-1·b·d-1=a·d·b·cb·d·b·d-1==(a·c)·(b·d)-1=a·cb·d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+1:1093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+1:1093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+1:1093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.  Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

  1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
  2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
    Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
    lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
  3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

  1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
  2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
    x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
  3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)==x-2·x·3·x213·x+1-2×2·ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x)

Ответ: x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)=3·x-2·x·x13·x+1-2ln x2·ln x+1·sin (2·x-x).

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x0,7-π·ln3x-2-5x+12,5==x0,7-π·ln3x-2-52,5x+12,5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1-xcos x-1cos x·1+1x.

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1+1x=11+1x=xx+1x=x+1x

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x·1-xcos x·x-x+1cos x·x=x·1-x-1+xcos x·x==x-x-x-1cos x·x=-x+1cos x·x

Ответ: 1-xcos x-1cos x·1+1x=-x+1cos x·x.

Умножение и деление алгебраических дробей. Примеры и решение

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

где  b≠0  и  d≠0.

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2 · a + b .
a2b2a

Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2 · a + b = 2a2 · a + b =
a2 — b2a(a + b)(a — b)a

2a2(a + b) .
(a + b)(ab)a

Теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b) = 2a .
(a + b)(ab)aab

Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) · x — 2 .
x + 3

Решение:

(2x + 6) · x — 2 = (2x + 6)(x — 2) .
x + 3x + 3

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x — 2) = 2(x + 3)(x — 2) =
x + 3x + 3

= 2(x — 2) = 2x — 4.


Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a · b = ab    или    b · a = ab ,
cccc

где c≠0.

Возведение алгебраических дробей в степень

Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.

Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:

Пример. Выполнить возведение в степень:

а) (a2)3 ;          б) (-2x3)2.
by2

Решение:

а) (a2)3(a2)3 = a6 ;
b(b)3b3

б) (-2x3)2(2x3)2 = 4x6.
y2(y2)2y4

Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.

Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:

a : c = a · d = ad.
bdbcbc

Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.

Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:

Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:

ab + ac : abac = ab + ac · bc =
bcbcbcabac

(ab + ac)bc.
bc(abac)

Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:

(ab + ac)bc = ab + ac =
bc(abac)abac

a(b + c) = b + c.
a(bc)bc

Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.

Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:

ab = a · c = ac.
cbb

Пример. Выполнить деление:

Решение:

6xy2x = 6xy2 · y = 6y3.
yx

Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.

Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:

a : ca : c = a · 1 = a.
bb1bcbc

Пример. Выполнить деление:

Решение:

2xy : 6y2xy : 6y = 2xy · 1 =
33136y


правила, свойства и примеры для 5 класса

В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном встречается операция упрощения выражений. Иногда последние представлены в виде обыкновенных дробей. Правила деления и умножения дробных тождеств нужно знать, чтобы не совершать ошибок при вычислениях. Специалисты рекомендуют изучить теорию, а потом перейти к ее практическому применению.

Оглавление:

Общие сведения

Многие начинающие математики путают правила работы с обыкновенными выражениями, поскольку при делении забывают «переворачивать» делитель. Некоторые не отличают обыкновенное дробное выражение от десятичного. Кроме того, следует также знать правила деления числа на определенное значение. Итак, дроби бывают только двух типов:

  1. Обыкновенными (правильными и неправильными).
  2. Десятичными (конечными и бесконечными).

Правильная — дробное выражение, у которого числитель меньше знаменателя, а у неправильного — числитель больше знаменателя (пример 2/3 и 7/3). У конечной десятичной дробной величины после запятой находится определенное количество знаков. Если же она является бесконечной, то делится на 2 типа: бесконечная периодическая (0,85 (3)) и непериодическая (1,56471238971235). Первая отличается от второй повторяющимися знаками, которые следует выделять круглыми скобками 0,(36) через определенный промежуток.

Обыкновенное дробное выражение записывается в десятичной форме. Кроме того, существует и обратное утверждение: любую десятичную дробь возможно записать в виде обыкновенной. Существует еще определенный вид дробных чисел, называющихся смешанными. Они состоят из целой части и обыкновенной дроби, т. е. 4 (½). Деление дробей в 5 классе требует некоторых подготовительных операций.

Подготовительные операции

Чтобы разделить одну дробную величину на другую, требуется произвести некоторые действия. Для этого следует руководствоваться правилом: любое смешанное число должно быть преобразовано в неправильную обыкновенную дробь. В этом случае математики рекомендуют воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Записать величину: 12 (2/5).
  2. Умножить знаменатель на целую часть, а затем прибавить числитель: 12*5+2=62.
  3. Записать результат в виде неправильной дробной величины: 62/5.

Обратную операцию по преобразованию неправильной дроби в смешанное число математики рекомендуют выполнять на завершающих этапах вычисления. Выполняется конвертация по такой методике:

  1. Записывается искомая величина: 62/5.
  2. Выделяется целая часть при делении: 12.
  3. От числителя искомого значения отнимается произведение знаменателя на величину, полученную во 2 пункте: 62−12*5=62−60=2.
  4. Записывается конечный результат: 12 (2/5).

Правило деления целого числа на дробь: произвести преобразование целого в дробь деление на 1, т. е. 4=4/1. Следует также рассмотреть признаки делимости чисел. Они помогут правильно вычислять выражения и быстро сократить полученный результат. К ним относятся:

  1. На 1 делится любое число без остатка.
  2. Если последняя цифра является четной, величину возможно разделить на 2.
  3. Величина делится на 3, когда сумма ее цифр делится на это значение.
  4. Число делится на 4, когда сумма двух крайних справа цифр можно разделить на последнее.
  5. Если величина заканчивается на 5 или 0, значит, 5 является ее делителем.
  6. Деление на 6 выполняется нацело в том случае, когда выполняются второе и третье правила.
  7. Чтобы разделить величину на 7, нужно от произведения всех цифр, не затрагивая последнюю, отнять двойной разряд единиц. В этом случае результат должен делиться на семерку.
  8. При делении на 8 нужно соблюдение второго и четвертого условий.
  9. Если число делится на 9, то на нее должна делиться и сумма цифр, составляющих искомую величину.

Математики рекомендуют заготовить специальные карточки на плотной бумаге или в виде презентаций на компьютере. Для этих целей может подойти программа PowerPoint, входящая в расширенный выпуск Microsoft Office.

Описанных рекомендаций будет достаточно, чтобы выполнить деление обыкновенных дробей. Правило, которое используется при этой операции, включает в себя преобразование величин, выполнение вычислений, а затем приведение к общему виду.

Деление и умножение дробей

При делении обыкновенных дробей рекомендуется на начальных этапах использовать алгоритм. Последний не понадобится, когда учащийся выполняет операцию большое количество раз. Методика имеет следующий вид:

  1. Записать 2 дроби: 3 (2/5) и 12 (2/5).
  2. Преобразовать их в неправильные дробные выражения: (5*3+2)/5=17/5 и (12*5+2)/5=62/5.
  3. Развернуть делитель (вторую дробь) и сменить знак деления «:» на противоположный (*), сократив на «5»: (17/5)*(5/62)=17/62.
  4. Упростить результат при необходимости.

Деление целого значения на дробь выполняется по такому же алгоритму. При умножении обыкновенных дробных величин нет необходимости их переворачивать. Методика является очень простой и сводится к перемножению числителей и знаменателей, а затем результат упрощается.

Таким образом, для выполнения операций деления и умножения двух обыкновенных дробей рекомендуется изучить признаки делимости, алгоритмы и определения, а затем переходить к практике.

деления дробей — математика для сделок: том 1

Логика деления дробей аналогична умножению дробей. Это предполагает отдельную работу с числителями и знаменателями. После того, как вы сделаете свои первоначальные расчеты, вы сложите все вместе, чтобы получить свой ответ. Однако есть небольшая хитрость, которую нам нужно будет изучить, когда мы проработаем некоторые вопросы.

Прежде чем мы перейдем ко всему этому, давайте вернемся к делению целых чисел, а затем перейдем к дробям.

Начните с 20 отверток:

Теперь разделите эти 20 отверток на 10 (или на группы по 10).

[латекс] \ LARGE20 ÷ 10 = 2 [/ латекс]

В итоге получается 2 группы по 10.

Теперь разделите эти 20 отверток на 5 (или на группы по 5).

[латекс] \ LARGE20 ÷ 5 = 4 [/ латекс]

В итоге получается 4 группы по 5.

Теперь разделите эти 20 отверток на 2 (или на группы по 2).

[латекс] \ LARGE20 ÷ 2 = 10 [/ латекс]

В итоге получается 10 групп по 2 человека.

Взгляните на математику здесь. Вы видите закономерность? Что вы придумали? Вы заметили, что, когда вы берете исходную сумму (в данном случае 20) и делите ее на число, которое продолжает уменьшаться (10, затем 5, затем 2), мы получаем ответ, который становится больше.

[латекс] \ LARGE20 ÷ 10 = 2 [/ латекс]

[латекс] \ LARGE20 ÷ 5 = 4 [/ латекс]

[латекс] \ LARGE20 ÷ 2 = 10 [/ латекс]

Следуйте этой логике на дроби, помня, что дроби не только меньше 10, 5 и 2, но и 1.Используя этот шаблон, мы определяем, что разделение 20 отверток на число меньше 1 даст нам больший ответ, чем если бы мы разделили 20 на 10, 5 или 2.

Попробуйте это. Возьмите 20 отверток и разделите их пополам. Как вы думаете, каким будет ваш ответ?

[латекс] \ LARGE20 ÷ \ dfrac {1} {2} =? [/ Латекс]

По нашей логике ответ должен быть больше 10, и на самом деле это так.

[латекс] \ LARGE20 ÷ \ dfrac {1} {2} = 40 [/ латекс]

Но это не значит, что у нас останется 40 отверток.Это означает, что у нас получается 40 частей отверток. Вы должны представить, что каждая отвертка была разделена на две части. Двадцать отверток, разделенных пополам, в итоге дадут нам 40 штук. Теперь возникает вопрос: как это сделать математически? Ответ заключается в использовании так называемого обратного. Вот определение.

Взаимное : число, которое связано с другим числом, так что их продукт равен 1.

Это означает, что если вы возьмете такое число, как 5, а затем умножите его на обратное, вы получите ответ 1.Начнем с целого числа 5. Мы также можем записать число 5 в виде дроби.

[латекс] \ LARGE5 = \ dfrac {5} {1} [/ латекс]

Используя наше определение взаимности, нам нужно найти число, которое при умножении на 5 / 1 дает нам ответ 1.

Чтобы найти ответ, мы должны вернуться к умножению дробей. Помните, что, умножая дроби, мы просто умножаем числители вместе, а затем умножаем знаменатели вместе.Из этого можно сделать вывод, что:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {1} \ times \ dfrac {1} {5} = 1 [/ латекс]

В конце концов, чтобы найти величину, обратную дроби, мы просто берем числитель и делаем его знаменателем, а знаменатель превращаем в числитель. По сути, мы просто переворачиваем дробь. Вот еще несколько примеров взаимности.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {3} {8} \ text {и} \ dfrac {8} {3} [/ latex]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {2} {9} \ text {и} \ dfrac {9} {2} [/ latex]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {24} {17} \ text {и} \ dfrac {17} {24} [/ латекс]

Хорошо, теперь, когда у нас есть проблема взаимности, возникает вопрос: зачем вообще нужны взаимные ответы? Что ж, ответ кроется в правиле деления дробей.

Правило деления дробей состоит в том, что вы берете первую дробь и умножаете ее на обратную величину второй дроби. Да, вы правильно поняли: деление приводит к умножению, но только после того, как сначала перевернет вторую дробь.

Переворачивание второй дроби (нахождение обратной величины) изменяет значение уравнения. Чтобы уравнение оставалось математически неизменным, мы должны заменить вопрос деления на вопрос умножения. Взгляните на следующий пример, чтобы увидеть, как это делается.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} ÷ \ dfrac {3} {8} =? [/ Латекс]

Шаг 1 : Поместите вопрос в форму, с которой вы сможете работать. Это включает в себя нахождение обратной величины второй дроби и последующее ее умножение на первую.

[latex] \ LARGE \ text {Обратно} \ dfrac {3} {8} \ text {is} \ dfrac {8} {3} [/ latex]

[латекс] \ LARGE \ text {Проверить:} \ dfrac {3} {8} \ times \ dfrac {8} {3} = \ dfrac {24} {24} = 1 [/ латекс]

Итак, мы получаем:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} ÷ \ dfrac {3} {8} \ text {становится} \ dfrac {1} {2} \ times \ dfrac {8} {3} =? [/ латекс]

Шаг 2 : Выполните ту же процедуру, что и при умножении дробей.Умножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе.

Умножить числители вместе

[латекс] \ LARGE1 \ times8 = 8 [/ латекс]

Умножаем знаменатели вместе

[латекс] \ LARGE2 \ times3 = 6 [/ латекс]

Шаг 3 : Возьмите эти ответы и снова разделите их на дробь.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} \ times \ dfrac {8} {3} = \ dfrac {8} {6} [/ latex]

Шаг 4 : Составьте ответ в кратчайшие сроки, а затем, если необходимо, в смешанное число.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {4} {3} = 1 \ dfrac {1} {3} \ text {Смешанное число} [/ latex]

Окончательный ответ:

[латекс] \ LARGE \ dfrac {1} {2} ÷ \ dfrac {3} {8} = 1 \ dfrac {1} {3} [/ латекс]

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {9} ÷ \ dfrac {7} {4} =? [/ Латекс]

Шаг 1 : Поместите вопрос в форму, с которой вы сможете работать. Это включает в себя нахождение обратной величины второй дроби и последующее ее умножение на первую.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {9} ÷ \ dfrac {7} {4} \ text {становится} \ dfrac {5} {9} \ times \ dfrac {4} {7} [/ латекс]

Шаг 2 : Умножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе.

Умножение числителей вместе

[латекс] \ LARGE5 \ times4 = 20 [/ латекс]

Умножение знаменателей вместе

[латекс] \ LARGE9 \ times7 = 63 [/ латекс]

Шаг 3 : Возьмите эти ответы и снова разделите их на дробь.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {9} \ times \ dfrac {4} {7} = \ dfrac {20} {63} [/ латекс]

Шаг 4 : Составьте ответ в кратчайшие сроки, а затем, если необходимо, в смешанное число. В этом случае ответ будет как наименьшим, так и уже правильной дробью, так что мы закончили.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {5} {9} ÷ \ dfrac {7} {4} = \ dfrac {20} {63} [/ латекс]

Попробуйте эти практические вопросы и посмотрите видео-ответы, чтобы узнать, как вы справились.

[латекс] \ LARGE \ dfrac {7} {8} ÷ \ dfrac {7} {16} = [/ латекс]

[латекс] \ LARGE4 \ dfrac {7} {8} ÷ 2 \ dfrac {3} {4} = [/ латекс]

Примечание. Этот метод немного отличается от того, что мы делали ранее, поскольку он включает деление смешанных чисел. Как вы думаете, что вы собираетесь делать, когда имеете дело с этим?

ОТВЕТ : Вы должны сначала заменить смешанное число на неправильную дробь.Затем вы можете проработать вопрос так же, как мы это делали раньше.

Что такое правила дроби? — Определение, факты и примеры

Что такое правила дроби?

Дробь : Дробь — это часть целого или совокупности, состоящая из числителя и знаменателя.

Пример : Если мы подаем 1 часть торта с 8 равными частями, мы получили 1 8 торта.

Давайте посмотрим, как решать операции с дробями.

Сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

При сложении или вычитании двух дробей; нам нужно убедиться, что знаменатели совпадают.

Шаги :

  • Сложите или вычтите числители.

  • Знаменатель оставим прежним.

  • Сократите ответ, если возможно.

Пример : Решить 1 4 + 1 4

Пример : вычтите 1 4 из 3 4

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями:

Если знаменатели не совпадают:

  • Сначала сделайте их одинаковыми

  • Затем сложите или вычтите одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример : Чтобы решить 1 4 + 1 2 , мы сначала сделаем знаменатели одинаковыми.

Мы меняем знаменатель 2 и делаем его равным 4, умножая его на 2. Однако нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы сохранить значение дроби неизменным.

Умножение 1 2 2 2 = 2 4

Поскольку знаменатели совпадают, теперь мы можем сложить обе дроби.

Точно так же мы используем эти правила для вычитания.

Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби, просто умножаем числители и знаменатели.

Пример :

2 3 3 15 =?

Сначала упростим дробь 3 15 до наименьшего члена.

На дроби

При делении на две дроби:

  • Обратить вторую дробь, то есть поменять местами ее числитель и знаменатель, чтобы получить обратную величину.

  • Умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.

Пример :

Решение неправильных дробей:

Дроби, числитель которых больше знаменателя, называются неправильными дробями. Когда мы решаем неправильные дроби, результатом может быть смешанное число (целая дробь и правильная дробь).

Пример :

38 7 =?

  • Разделите числитель на знаменатель.

38 ÷ 7 = 5 частных и 3 остатка

  • Запишите ответ целиком.

5

  • Затем запишите остаток над знаменателем.

5 3 7

Следовательно, 38 7 = 5 3 7

Таким образом, решая неправильную дробь 38 7 , получаем смешанное число 5 3 7

Интересные факты

Алгебраические правила работы с дробями.

Измененные уравнения и выражения для соответствия новому формату.

Пересмотрено и исправлено произношение IPA.

Правописание исправлено.

Удалены неработающие ссылки, обновлена ​​лицензия, реализована новая разметка, реализован новый протокол Geogebra.

Добавлены «Ссылки».

Начальная версия.

Правила дроби
Операция Уравнения Примеры Описание
Сложение двух дробей [2] Чтобы сложить дроби, преобразуйте каждую дробь так, чтобы у них был общий знаменатель. Сложите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшаем фракцию. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
Вычитание двух дробей Чтобы вычесть дроби, преобразуйте каждую дробь так, чтобы она имела общий знаменатель.Вычтите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшаем фракцию. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
Умножение двух дробей [2] Для умножения дробей умножьте числители и умножьте знаменатели. Уменьшаем фракцию. См. Операции над дробями: Умножение.
Умножение дроби на целое число. Чтобы умножить дробь и целое число, умножьте числитель на целое число.Знаменатель остается неизменным. Если возможно, уменьшите фракцию.
Разделение на две дроби [2] Чтобы разделить дроби, переверните делитель вверх ногами, а затем умножьте на делимое. Уменьшаем фракцию. См. Операции над дробями: деление.
Деление дроби на целое число. Чтобы разделить дробь на целое, преобразовать целое число в дробь, разделить дроби.
Возведение дроби в степень. См. Операции с дробями: Возведение в степень.
Преобразование смешанного числа в неправильную дробь. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель и добавьте произведение в числитель. Знаменатель остается неизменным. См. Как преобразовать смешанное число в дробь.
Преобразование неправильной дроби в смешанное число. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель на знаменатель, используя остаток. Смешанное число — это частное плюс остаток, деленный на знаменатель. См. Как преобразовать дробь в смешанное число.
Нулевой числитель. Применяя свойство умножения на ноль, нулевой числитель с нулевым знаменателем равен нулю. См. Свойство умножения на 0.
Нулевой знаменатель. Поскольку деление на ноль не определено, нулевой знаменатель делает дробь неопределенной.
Один знак минус. Поскольку, примените ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
Два знака минус. Поскольку, примените ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
Если дробь имеет тот же ненулевой числитель и знаменатель, значение дроби равно 1. Все, кроме 0, разделенное само на себя, равно 1.
Любое целое число можно разделить на дробь. Поскольку, примените свойство умножения на 1:. См. Свойство умножения на 1.
Уменьшение дробей. Даны два произвольных значения a и b , и значения c , d и e такие, что a = c · d и b c · e ,.См. Уменьшение дробей.
Строительные фракции. Дан дробь a / b и число d , кратное d , найдите e такое, что b · e = d , тогда a / b = ( a · e ) / ( b · e ).
Операции над сложными дробями. Упростите сложные дроби, затем используйте правила для простых дробей. Чтобы управлять сложной дробью, преобразуйте ее в простую дробь, а затем следуйте правилам для простых дробей. См. Комплексная дробь.
Преобразование десятичного числа в дробь. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробную, измените десятичную дробь на целое и разделите ее на 10 n , где n — количество цифр после десятичной точки.
Преобразование процента в дробь. Чтобы преобразовать процент в дробь, используйте процентное значение в числителе, 100 в качестве знаменателя, а затем упростите.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, сравните числители. Соотношение между дробями такое же, как и между знаменателями.
Сравнение дробей с разными знаменателями. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, либо преобразуйте их в десятичную дробь, либо преобразуйте их в общий знаменатель, а затем сравните их.
Таблица 1

Правила умножения дробей | Study.com

Нет необходимости в ЖК-дисплее

Максвелл помнил из других уроков математики, что ЖК-дисплей означает «наименьший общий знаменатель». Он обнаружил, что причина, по которой вам не нужно искать ЖК-дисплей при умножении дробей, заключается в том, что вы просто умножаете поперек слева направо, и знаменатели НЕ должны совпадать.

Числитель Времена Числитель

Первое правило умножения дробей — умножение числителей дробей.

Числитель дроби — это число, которое появляется сверху.

В приведенной выше дроби цифра 3 является числителем, потому что она находится сверху.

Итак, если мы умножаем

Сначала нам нужно умножить два числителя. Числители в этой задаче — 3 и 2, потому что они стоят над дробями.

3 x 2 = 6

Знаменатель, умноженный на знаменатель

После умножения числителей слева направо следующим шагом будет умножение знаменателей дробей в задаче.Знаменатель — это число внизу дроби.

4 и 5 являются знаменателями в нашем уравнении, потому что они появляются внизу каждой дроби.

4 x 5 = 20. Итак, число 20 будет знаменателем окончательного ответа.

Наше уравнение будет выглядеть так:

Упростите

Последний шаг в умножении дробей — это упростить или разбить ответ на наименьшие члены путем сокращения.Чтобы упростить дробь, вы должны разделить верхнюю и нижнюю части на наибольшее число, которое может делиться на оба числа точно.

Эту дробь все же можно уменьшить, поскольку числитель и знаменатель делятся на два поровну.

Это самая низкая доля.(Нет числа, которое можно разделить на 3 и 10)

Итак, наиболее точный ответ для нашей задачи:

Примеры умножения дробей

Попрактикуемся с другой задачей.

Числитель x числитель. Два числителя — 6 и 1, поэтому мы умножим 6 x 1 = 6.

Запишите 6 в качестве числителя ответа.

Знаменатель x знаменатель.7 и 4 являются знаменателями, поэтому мы умножим 7 x 4 = 28.

Запишите 28 в качестве знаменателя в ответе.

Упростить —

Это можно уменьшить или упростить, разделив числитель и знаменатель на 2

Пример из реальной жизни

Максвелл действительно начинает получать удовольствие от умножения дробей, но ему интересно, когда он будет использовать то, что он узнал, в своей повседневной жизни.Его учитель говорит ему, что он может умножать дроби, когда готовит или строит что-нибудь.

Его учитель предлагает ему решить эту задачу со словами:

Из песен в музыкальной библиотеке Эндрю 1/4 песен в стиле рэп. Половина рэп-песен исполнена приглашенным рэпером. Какая часть песен в музыкальной библиотеке Эндрю — это рэп-песни с участием приглашенного рэпера?

Максвелл понимает, что ему придется умножить 1/4 на 1/2, чтобы получить ответ.

Он умножает 1 x 1 и получает 1.Затем он умножает 4 x 2, чтобы получить 8. Он обнаруживает, что 1/8 часть песен в музыкальном сборнике представлена ​​приглашенным рэпером.

Максвелл все время слушает музыку и даже не осознавал, что, сортируя музыку, он может одновременно умножать дроби.

Резюме урока

Запомните эти указатели для умножения дробей:

  • Нет необходимости в ЖК-дисплее
  • Числитель — это число в верхней части дроби
  • Знаменатель — это число внизу дроби
  • Для умножения дробей вы умножаете их слева направо (числитель умножается на числитель, знаменатель умножается на знаменатель)
  • Упростите свой ответ на самые низкие термины

правил деления дробей | Учиться.com

Ключевые термины для дивизиона

В любой задаче деления у вас есть дивиденд, делитель и частное. Помните, что мы всегда делим дивиденд на делитель. Итак, в нашей задаче 3/2 — это делимое, а 1/2 — это делитель! Частное — это ответ на любую проблему деления. В нашей задаче ищем частное.

Дивиденд, делитель и частное

Нам нужно пройти еще одно определение, прежде чем мы узнаем, как делить дроби.Возможно, это новое слово для вас. Поговорим о слове взаимный.

Чтобы получить , равное любой дроби, просто поменяйте местами числитель и знаменатель. Думайте об этом как о переворачивании дроби вверх дном. Например, дробь 5/8 обратно пропорциональна 8/5. Обратите внимание, как мы только что поменяли местами 5 и 8. Теперь давайте пройдемся по шагам деления дробей.

Шаг 1: Измените операцию и возьмите взаимное значение

Первый шаг к разделению дробей очень важен.Когда мы делим дроби, нам нужно изменить операцию с деления на умножение. И поскольку мы меняем операцию на умножение, мы также должны взять обратную величину делителя.

Помните, что наша задача состоит из 3/2 деления на 1/2. Итак, наш делитель 1/2. Обратное значение 1/2 равно 2/1. Помните, мы просто меняем местами 1 и 2.

После изменения операции на умножение и взятия обратной величины делителя, теперь у нас есть 3/2 x 2/1.

Шаг 1 деления дробей

Шаг 2: Умножение прямо на

На этом шаге мы должны умножить два числителя вместе, чтобы получить числитель нашего ответа.Мы также должны умножить два знаменателя, чтобы получить знаменатель нашего ответа. Итак, для нашей задачи мы умножаем 3 x 2 = 6 на числитель. Мы также умножаем 2 x 1 = 2 на знаменатель. Итак, у нас есть 6/2.

Шаг 2 деления дробей

Шаг 3. Упростите, если необходимо

Последний и последний шаг — упростить. Помните, что наш результат на шаге 2 — 6/2. Наибольший общий делитель числителя 6 и знаменателя 2 — это число 2.Итак, после деления 6 на 2 мы получаем 3. После деления 2 на 2 получаем 1. Окончательный ответ 3/1, или всего 3.

Теперь мы можем сказать, что если бы у нас был кусок ленты, 3/2 фута длиной, мы получим 3 куска после разделения ленты на куски длиной 1/2 фута.

Резюме урока

Чтобы разделить дроби, мы должны сначала изменить операцию умножения и найти , обратное делителю. Затем умножаем прямо и упрощаем. Запомните эти три простых шага, чтобы разделить дроби.

Правила деления дробей — Как обсуждать

Правила деления дробей

Какие правила при умножении дробей? Умножение дробей — правила. Есть несколько простых правил умножения двух дробей. Перемножьте вершины вместе и поместите их поверх получившейся дроби. Умножьте средства и разместите их под результатом.

Какова основная процедура деления на дроби?

Разделить фракции можно за 3 простых шага:
Шаг 1 .Переверните вторую дробь (ту, которую вы хотите разделить). (теперь это взаимность).
Шаг 2 . Умножьте первую дробь на это обратное.
Шаг 3 . Упростите дробь (при необходимости).

Как проще всего разделить дроби?

Существует несколько методов фракционирования. Самый простой и наиболее усвоенный метод — «переверни и умножь». Чтобы разделить дроби, возьмите величину, обратную делителю (дробь), и умножьте делимое.

Какие есть стратегии деления дробей?

Есть 3 простых шага для деления дробей: переверните вторую дробь (которую вы хотите разделить) (теперь это обратная дробь). Умножьте первую дробь на обратную. Упростите дробь (при необходимости).

Как умножать и делить дроби?

Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители и знаменатели и упростите результат. Чтобы разделить дроби, просто переверните числитель и знаменатель одной из дробей, умножьте результат на другую дробь и упростите.

Как умножить дроби в простейшей форме?

Умножение дробей относительно просто. Вот шаги: Умножьте числители. умножьте знаменатели. приведите дробь к простейшему виду.

Что происходит, когда дроби умножаются на целое число?

Когда вы умножаете дробь на другую или дробь на целое число, форму ответа определяют правила, определяющие дробь. Если хотя бы одно из значений отрицательное, также используйте правила для положительных и отрицательных знаков, чтобы определить, будет ли результат положительным или отрицательным.

Какова формула умножения дробей?

Умножение смешанных чисел с помощью формулы для умножения дробей Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби Используйте алгебраическую формулу для умножения дробей: a / b * c / d = ac / bd Уменьшите дроби и, если возможно, упростите.

Каковы правила умножения дробей и целых

Умножение дробей на целые числа аналогично повторному сложению, когда дробь складывается столько раз, сколько целое число.Одно из самых важных правил умножения дробей — это умножение дробей, числители умножаются вместе, а знаменатели умножаются вместе.

Какова основная процедура умножения двух дробей?

Чтобы умножить две дроби, умножьте числители и знаменатели.

Каковы правила деления дробей?

Общее правило разделения дробей простое. После деления дробей следует инверсия и умножение.Это единственная операция, позволившая переломить перелом.

Каковы правила при умножении дробей в калькуляторе

Правило умножения двух дробей состоит в том, что вам нужно умножить два средних знаменателя и два средних числителя, а затем два полученных значения образуют новую дробь, которую можно упростить на в индивидуальном порядке. Например, давайте возьмем несколько примеров и посмотрим на их дробные формы после умножения :.

Каковы правила при умножении дробей и смешанных чисел


Шаг 1 : Запишите смешанные числа как неправильные дроби.
Шаг 2 : Перепишите задачу деления с неправильными дробями.
Шаг 3 : Используйте KCF.
Шаг 4 : Умножить.
Шаг 5 : Упростить. Чтобы разделить смешанные числа, вам нужно заменить дроби неправильной дробью и превратить задачу в вопрос об умножении.

Как записать дробь в виде смешанного числа?

Смешанные дроби, также называемые смешанными числами, состоят из целого числа, добавленного к дроби, например B.6 3/5. Чтобы записать смешанные дроби словами, напишите целое число, разделенное словом, а затем дробь.

Какая формула умножения смешанных дробей?

Умножение смешанных чисел по формуле умножения дробей. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. Чтобы умножить дроби, используйте алгебраическую формулу: a / b * c / d = ac / bd. Уменьшите дроби и, если возможно, упростите.

Как умножить дроби на переменные?

Для умножения и деления дробей с помощью переменных: множите все числители и знаменатели и используйте правила умножения и деления дробей: $$ \\ frac {A} {B} \\ cdot \\ frac {C} {D} = \ \ frac {AC} {BD} $$.(Умножение дробей, умножение «на») [хорошая математика исключает все общие множители, например, E.

Каковы правила умножения дробей на отрицательные

Правила умножения отрицательных дробей в точности такие же, как и при умножении отрицательных чисел в целом. Положительные времена бывают положительными, положительными. Например, 3/4 × 7/2 = 21/8. Отрицательный для положительного или положительный для отрицательного отрицательного.

Как вы понимаете дроби как деление?

Общее практическое правило деления дробей простое.После деления дробей следует инверсия и умножение. Это единственная операция, позволившая переломить перелом. Лучший способ сделать это — прочитать простые шаги, приведенные ниже.

Как разделить дроби на отрицательные числа?

Разделите отрицательную дробь на отрицательное число. Для этого делите числа как обычно, игнорируя отрицательные знаки. Отрицательное число, разделенное на отрицательное, всегда положительно, будь то целое число или дробь.Помните, что делить — значит умножать на противоположное.

3 — целое число?

Целое число 3 — нечетное число. Целое число 3 — простое число. 1 меньше 3, поэтому 3 — неправильное число.

Является ли отрицательное 10 целым числом?

Нет, минус десять не является целым числом, потому что отрицательные числа не могут быть целыми. Минус десять можно записать численно с 10. Однако 10 — это действительное целое число.

Каковы правила при умножении дробей Рабочий лист

Правило: при умножении дробей умножайте числители, а затем знаменатели.Правила умножения дробей настолько просты, что их так же легко применять к множеству различных задач.

Как вы рассчитываете дробные дроби?

Чтобы разделить дроби, возьмите величину, обратную делителю (дробь), и умножьте делимое. Это самый быстрый способ разделить фракции. Верхняя и нижняя части умножаются на одно и то же число, и поскольку это число является обратной величиной нижней части, нижняя часть становится единицей.

Какова основная процедура деления формулы на дроби

Умножьте числитель и знаменатель двух дробей.Упростите количество дробей. В общем, когда a / b — дробь, деленная на c / d. Затем вы можете решить деление как a / b c / d = a / b × d / c. a / b c / d = a × d / b × c. a / b c / d = реклама / bc Вы можете увидеть это в приведенных выше выражениях.

Как шаг за шагом вычитать дроби?

Есть 3 простых шага для вычитания дробей.
Шаг 1 . Убедитесь, что меньшие числа (знаменатели) соответствуют
Шаг 2 . Вычтите несколько первых чисел (числителей).Замените свой ответ тем же знаменателем.
Шаг 3 . Упростите дробь (при необходимости).

Как разделить целое число на дробь?

Чтобы разделить целое число на дробь, сначала разделите целое число на дробь. Затем подсчитайте количество доступных дробей, и это будет частное.

Как умножить дроби на десятичные?

Как преобразовать дроби в десятичные. Найдите число, которое вы можете умножить на нижнюю часть дроби, чтобы получить 10, 100 или 1000, или 1, за которой следует 0.Умножьте верхнее и нижнее поля на это число. Затем просто введите верхнее число и поместите десятичную точку в нужном месте (один пробел справа для каждого нуля в нижнем числе).

Какая формула деления дробей?

Деление смешанных чисел с помощью формулы деления на дроби Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби Использование формулы алгебраического деления: a / b c / d = ad / bc Сокращайте дроби и упрощайте, где это возможно.

Как проще всего разделить дроби на числа

Самый простой и распространенный способ — это отразить и умножить.Чтобы разделить дроби, возьмите величину, обратную делителю (дробь), и умножьте делимое. Как разделить дроби на целые числа? Чтобы разделить целое число на дробь, сначала разделите целое число на дробь.

Как записать задачу о делении дробью?

Традиционный способ написания задач деления — использовать круглые скобки деления. Другой способ записать вычисления деления — использовать дроби. Дробь делит верхнее число или числитель на нижнее число или знаменатель.Вам может потребоваться преобразование между традиционным и дробным делением в математических классах средней школы или колледжа.

В чем проблема деления на дроби?

Перерыв — это, по сути, вопрос развода. 1/2 равно 1 ÷ 2. Многие задачи требуют, чтобы вы переводили задачи деления на дроби. Задача деления, такая как 17 ÷ 8, равна 2, а остаток равен единице. Когда придет время записать дробь, получится смешанное число. Ответ 2r1 становится 2 1/8.

Вы учите студентов, как делить дроби?

Обучение студентов делению дробей является одним из основных стандартов математической практики.Одна из самых ценных вещей в обучении ваших учеников делению на дроби — важность ответа. Рассмотрим следующий пример: Почему число в решении больше, чем используемые дроби?

Как разделить дробь на трети?

Если вы делите дробь ½ на, возьмите долю полученного дивиденда или что-то еще, ½, а затем разделите ее по горизонтали на трети. Итак, теперь вы можете легко увидеть ⅓ множества, создав общий знаменатель. Затем подсчитайте количество деталей, которое ей понадобится для изготовления нового набора.

Как лучше всего решить задачу с дробями?

После преобразования целого числа в дробь можно использовать трехэтапную стратегию для дальнейшего решения проблемы. Если у вас такой же знаменатель, вам не нужно находить или умножать противоположное. Вы можете легко разделить дроби, чтобы получить ответ. Знаменатели компенсируют друг друга и дают вам единицу.

Как целое число разделить на дробь?

Прежде чем приступить к делению, необходимо преобразовать целое число в дробь.Чтобы преобразовать целое число в дробь, преобразуйте числитель в целое число, а знаменатель в единицу. 3 → ³⁄₁ После преобразования целого числа в дробь вы можете использовать трехэтапную стратегию для дальнейшего решения проблемы.

Что произойдет, если разделить на дробь?

Если разделить на дробь, получится целое число. Если разделить на дробь, получится большее число. Когда вы делите на дробь, вы умножаете целое число на знаменатель.

Как студенты могут узнать значение дробей?

Значение дробей Учащиеся могут неформально использовать дроби с отдельными предметами, такими как карандаши, торты, стулья и т. Д.Если целое — это набор из 4 карандашей, то один карандаш представляет 14 целых чисел.

Почему так важны основные факты умножения и деления?

Основные факты о умножении и делении считаются решающими для будущих достижений в математике. Они составляют основу для изучения умножения и деления нескольких значений, площадей, дробей, процентов, объемов, соотношений и десятичных знаков.

Когда лучше всего изучать дроби?

Самая трудная часть изучения дробей, естественно, происходит в 6 и 7 классах, где понятие дробей полностью объяснено.Распределение — это основа, на которой строятся концепции процента, коэффициента и ставки.

Какие стратегии деления на дроби? Рабочий лист

Подчеркните тот факт, что простое правило дробного деления — это перевернуть и умножить. Поощряйте детей регулярно тренироваться, чтобы деление дробей и целых чисел больше не было головоломкой! Пусть ребята попрощаются с неразберихой с двумя фракциями!

Можно ли делить дроби, как в обычной математической задаче?

Если вы просто разделите дроби, как в обычной математической задаче, вы, скорее всего, создадите сложные дроби и получите что-то вроде этого: Это непростой процесс.К счастью, вы можете использовать ярлык, который значительно упрощает разделение дробей.

Как я могу помочь своему ребенку понимать дроби?

Использование дробей — отличный способ научить детей. В этом рабочем листе детям предлагается выполнить задания, связанные с едой, разбитые на отдельные слова. Пицца состоит из четырех частей: половинки, трети или четвертинки. Может ли ваш ребенок указать, какие фракции они представляют?

Как получить тот же знаменатель при сложении дробей?

Сложить дроби с одинаковым знаменателем (также называемым общим знаменателем) легко: просто сложите числители и сохраните тот же знаменатель.Иногда вам нужно сократить ответ до мельчайших членов или изменить его с неправильной дроби на смешанное число.

Каковы некоторые стратегии деления дробей в Excel

В Excel введите дроби в столбец, например, напишите первую дробь в A1 и вторую дробь в A2, а в третьем столбце введите A1 * A2 для деления введите A1 / A2. Ответы автоматически появятся в столбце, в который вы их запишите, нажав Enter.

Есть ли способ хранить дроби в Excel?

Чтобы сохранить дроби для этих типов чисел, сначала выберите параметр «Дроби», выберите ячейку, в которую вы хотите преобразовать нарушения, и выберите параметр «Формат ячеек» из списка всплывающих меню.

Как преобразовать два числа в дроби в Excel?

В Excel, если два числа разделены косой чертой («/»), это число будет преобразовано в десятичный формат. Чтобы сохранить дроби для этого типа числа, сначала включите параметр «Дроби», выберите ячейку, в которую вы хотите преобразовать нарушения, и выберите «Формат ячеек» из списка всплывающих меню.

Как сделать делитель в Excel?

Например, щелкните правой кнопкой мыши ячейку A2 и введите знак =, введите символ деления (/) косую черту, например = B2 / C2, и нажмите Enter, где b — делимое, а c — делитель, который дает желаемый результат.Например, если вы введете = 20/5, Excel сгенерирует 4.

Как решить дробь умножения?

Краткое содержание статьи X. Чтобы решить задачу умножения дробей в математике, поместите две дроби рядом друг с другом. Умножьте верхнюю часть левой дроби на верхнюю часть правой дроби и напишите этот ответ выше, затем умножьте нижнюю часть каждой дроби и напишите этот ответ ниже.

Каковы стратегии умножения?

Стратегии умножения.Пять стратегий умножения, которые я использую для обучения умножению, включают равные группы или группы, матрицы, повторное сложение, пропуск подсчета или серии чисел. Умножаем на группировку. Первая стратегия умножения — научиться умножать путем группирования: процесс деления предметов на равные группы.

Что такое умножение в третьем классе?

Умножение 1. Третий год — год умножения. Хотя это, вероятно, было представлено детям во втором классе, детям третьего класса будет предложено освоить таблицы умножения и лучше понять эту ключевую операцию.

Как превратить число в дробь?

Преобразуйте целое число в дробь, установив его равным 1. Затем продолжайте, как прежде. Затем продолжайте, как прежде.
Шаг 1 . Возвращает вторую дробь (инвертированную):
Шаг 2 . Умножьте первую дробь на это обратное:
Шаг 3 . Упростите дробь: дробь и так проста, как кажется.

Каковы шаги сложения дробей?

Чтобы сложить дроби, вам нужно выполнить три простых шага:
Шаг 1 : Сопоставьте меньшие числа (знаменатели).
Шаг 2 : сложите первые числа (числители), поместите этот ответ над знаменателем.
Шаг 3 : Упростите дробь (при необходимости).

Вам нужно упростить при сложении дробей?

Вы можете складывать дроби так же, как и другие типы чисел. Однако наиболее важно то, что дроби должны иметь один и тот же знаменатель, прежде чем их можно будет сложить. Как только вы найдете сумму двух дробей, вам может потребоваться упростить или уменьшить ее.

Как складывать или вычитать дроби?

Есть простое правило, которое вы можете использовать для сложения или вычитания двух дробей.Для числителя умножьте числитель каждой дроби на знаменатель другой дроби и сложите (или вычтите) два произведения. Умножьте знаменатели, чтобы получить знаменатель последней дроби.

Что такое алгоритм деления дробей?

Традиционный алгоритм дробного деления состоит из переворота и умножения делителя. Интерпретируйте и вычисляйте частичные дроби и решайте словесные задачи, связанные с делением дробей на дроби, используя визуальные модели дробей и уравнения, чтобы проиллюстрировать проблему.

Как делить дроби с помощью моделей?

Разделение с помощью модели балки С помощью моделей балки можно визуализировать процесс разделения. Вся полоса разбита на простые блоки (полоски). Затем разделите каждую единицу пополам. Чтобы завершить расчет, посчитайте общее количество мелких деталей, которые вам понадобятся для всего стержня.

Правила умножения дробей

Есть несколько простых правил умножения двух дробей. Перемножьте вершины вместе и поместите их поверх получившейся дроби.Умножьте между ними средства и поставьте их в конце результата. Если возможно, упростите результат. Эти правила часто обобщаются во фразе «умножать вверх и вниз».

Каковы правила сложения и вычитания дробей?

При сложении или вычитании дробей знаменатель обеих дробей должен быть одинаковым, чтобы операция работала. Это правило имеет смысл, потому что вы не можете складывать дроби из разных групп. Например, нельзя складывать 1/2 и 1/4, потому что они представляют разные группы.

Какое правило сложения дробей?

Для сложения дробей знаменатели должны быть одинаковыми. Используйте наименьшее общее кратное знаменателя, но каждый раз, когда вы умножаете знаменатель на число, вы должны умножать числитель на то же число.

Как правильно делить десятичные дроби?

Шаги для разделения десятичных знаков. Перемещайте десятичную точку делителя вправо, пока делитель не станет целым числом. Переместите десятичную точку делимого на такое же количество цифр вправо, что и десятичная точка делимого.

Каковы правила умножения десятичных знаков?

Вот правила умножения десятичных чисел: Умножение чисел на целые: выровняйте числа по правому краю, не выравнивая десятичные точки. Начиная справа, как и в случае с целыми числами, умножьте каждую цифру верхнего числа на каждую цифру нижнего числа.

Вы выравниваете десятичные дроби при делении?

Разделите как обычно и убедитесь, что частное выровнено правильно, чтобы десятичная точка была правильной.Поместите каждую цифру частного непосредственно над последней цифрой делимого, используемого в этом цикле. Как и в случае с целочисленным делением, иногда десятичное деление не выполняется равномерно.

Как разделить на десятичную дробь?

При делении числа с запятой на целое число десятичных знаков разделить довольно просто. Как обычно, разделите число по столбцу. Возьмите десятичную дробь прямо из дивиденда.

Что такое 0,45 в виде дроби?

Чтобы записать дробь, необходимо указать числитель и 1 в знаменателе.Теперь умножьте числитель и знаменатель на 10, пока в числителе не получите целое число. = = = 45/100. И наконец: потому что дробь 45/100.

Как вы умножаете и делите смешанные числа?

Нет простого способа умножать и делить смешанные числа. Единственный вариант — преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и умножить или разделить как обычно. Как умножать или делить смешанные числа. Предположим, вы хотите умножить 13/5 на 21/3. Преобразуйте все смешанные числа в неправильные дроби.

Какая формула вычитания дробей?

Вычитание смешанных чисел с помощью формулы вычитания Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби Используйте алгебраическую формулу для вычитания дробей: a / bc / d = (ad bc) / bd Уменьшите дроби и, если возможно, упростите.

Каковы правила сложения дробей?

Сложите дроби. Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть одинаковыми. Используйте наименьшее общее кратное знаменателя, но каждый раз, когда вы умножаете знаменатель на число, вы должны умножать числитель на то же число.

Что такое сложение и вычитание дроби?

Чтобы сложить и вычесть дроби с одинаковым или меньшим знаменателем, поместите две дроби рядом друг с другом. Сложите или вычтите числители или первые числа и запишите результат в новой дроби выше. Нижнее число ответа — знаменатель исходных дробей. Читайте дальше, чтобы узнать, как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями!

Обратить и умножить — математика для учителей начальных классов

Метод пропущенного множителя — особенно хороший способ понять дробное деление.Он основан на том, что мы знаем об умножении и делении, и подчеркивает, что эти операции имеют одинаковую взаимосвязь, независимо от того, являются ли числа целыми, дробями или чем-либо еще. Это имеет смысл. Но мы видели, что не всегда получается хорошо. Например,

можно переписать как

Вы хотите спросить:

  • Для числителя:. Мы можем заполнить пустую цифру 3.
  • В знаменателе:. Мы можем заполнить бланк с помощью.(Почему это работает?)

Итак имеем:

Вы узнали о дробях вроде

в разделе «Что такое дробь?» глава. Это означает, что каждому ребенку достается по 3 пирога. Итак, сколько получает отдельный ребенок (один ребенок целиком)? Вы можете нарисовать картинку, которая поможет вам в этом разобраться. Но мы также можем использовать правило ключевой дроби, чтобы помочь нам.

Этот процесс будет ключом к пониманию того, почему правило «перевернуть и умножить» для дробного деления действительно имеет смысл.

Пример

пирога делят поровну дети. Сколько пирога получает каждый ребенок?

Технически, мы могли бы просто записать ответ как

и готово! Ответ эквивалентен этой дроби, так почему бы и нет?

Есть ли способ сделать этот образ более дружелюбным? Что ж, если мы изменим эти смешанные числа на «неправильные» дроби, это немного поможет:

Это немного лучше, но все еще не ясно, сколько пирога получит каждый ребенок.Давайте воспользуемся правилом ключевой дроби, чтобы сделать дробь еще удобнее. Давайте умножим числитель и знаменатель на 3. (Почему на три?) Помните, это означает, что мы умножаем дробь на, что является просто специальной формой 1, поэтому мы не меняем ее значение.

Теперь умножьте числитель и знаменатель на 4. (Почему четыре?)

Теперь мы видим, что ответ есть. Это означает, что разделить пироги среди детей — это то же самое, что разделить 92 пирога между 63 детьми.(В обеих ситуациях каждый ребенок получает одинаковое количество пирога.)

Пример

Давайте сейчас забудем о контексте и сосредоточимся на расчетах, чтобы мы могли более четко увидеть, что происходит. Попробуйте это:

Умножение числителя и знаменателя на 5 (почему мы выбрали 5?) Дает

Теперь умножьте числитель и знаменатель на 3 (почему мы выбрали 3?):

самостоятельно

  1. Каждая из следующих дробей представляет собой прекрасную дробь, но ее можно было бы записать в более простой форме.Так сделай это! Напишите каждый из них в более простой форме, следуя приведенным выше примерам.

Думай / Пара / Поделиться

  • Джессика вычислила второе упражнение следующим образом:

Ее решение правильное, или она что-то не понимает? Тщательно объясните, что происходит с ее решением, и что вы будете делать как учитель Джессики.

  • Последнее упражнение Исаак вычислил следующим образом:

Его решение правильное, или он что-то не понимает? Тщательно объясните, что происходит с его решением, и что вы будете делать как учитель Исаака.

Возможно, сами того не осознавая, вы только что нашли другой метод деления дробей.

Пример: 3/5 ÷ 4/7

Считай. Мы знаем, что дробь — это ответ на проблему деления, то есть

И теперь мы знаем, как упростить такие уродливые дроби! Умножьте числитель и знаменатель на 5:

.

Теперь умножьте их на 7:

Готово! Итак

Пример: 5/9 ÷ 8/11

Давай сделаем еще один! Рассмотрим:

Давайте умножим числитель и знаменатель на 9 и 11 одновременно.(Почему бы и нет?)

(Вы видите, что здесь произошло?)

Итак, у нас

самостоятельно

Вычислите каждое из следующих значений, используя методику упрощения в приведенных выше примерах.

Рассмотрим проблему. Жанин написала:

Она остановилась перед тем, как завершить свой последний шаг, и воскликнула: «Разделить одну дробь на другую — это то же самое, что перевернуть первую дробь на вторую!»

Думай / Пара / Поделиться

Сначала проверьте здесь каждый шаг работы Джанин и убедитесь, что она правильно сделала то, что делала до этого момента.Тогда ответьте на эти вопросы:

Теперь у нас есть несколько методов решения задач, требующих деления дробей:

На дроби:

  • Нарисуйте рисунок, используя метод прямоугольника, и используйте его для решения задачи разделения.
  • Найдите общий знаменатель и разделите числители.
  • Перепишите деление как задачу умножения отсутствующих множителей и решите эту задачу.
  • Упростите уродливую дробь.
  • Инвертируйте вторую дробь (делимое), а затем умножьте.

Думай / Пара / Поделиться

Обсудите с партнером свое мнение о наших четырех методах решения задач дробного деления:

  • Какой метод деления на дроби самый простой, чтобы понять, почему работает ?
  • Какой метод деления на дроби проще всего использовать в вычислениях ?
  • Каковы преимущества и недостатки каждого метода? (Думайте и как будущий учитель, и как кто-то, решающий здесь математические задачи.)

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *