Что в примере решается первым умножение или деление: какой правильный и сможете ли вы решить пример

Содержание

Деление на 0 возможно. Действия с нулём. Сложение и умножение

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети
    самостоятельно сформулировали цель
    и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность.Стимулирование на учебную деятельность .
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число.
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0: а = 0.
Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания.В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностейСамостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
солнышко – я доволен собой, у меня всё получилось
белое облако– всё хорошо, но я мог работать лучше;
серое облако– урок обычный, ничего интересного;
капелька– ничего не получилось
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

В курсе школьной арифметики все математические операции проводятся с вещественными числами. Множество этих чисел (или непрерывное упорядоченное поле) имеет ряд свойств (аксиом): коммутативность и ассоциативность умножения и сложения, существование нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Также аксиомы порядка и непрерывности, применяемые для сравнительного анализа, позволяют определить все свойства вещественных чисел.

Поскольку деление является операцией, обратной умножению, при делении на ноль вещественных чисел неизбежно возникновение двух неразрешимых проблем. Во-первых, проверка результата деления на ноль при помощи умножения не имеет числового выражения. Каким бы числом не было частное, если его умножить на ноль, делимое получить невозможно. Во-вторых, в примере 0:0 ответом может служить абсолютно любое число, которое при перемножении с делителем всегда обращается в ноль.

Деление на ноль в высшей математике

Перечисленные трудности деления на ноль привели к наложению табу на эту операцию, по крайней мере, в рамках школьного курса. Однако в высшей математике находят возможности обойти этот запрет.

Например, за счет построения другой алгебраической структуры, отличной от знакомой всем числовой прямой. Примером такой структуры является колесо. Здесь существуют свои законы и правила. В частности, деление не привязано к умножению и превращается из бинарной операции (с двумя аргументами) в унарную (с одним аргументом), обозначается символом /х.

Расширение поля вещественных чисел происходит за счет введения гиперреальных чисел, которое охватывает бесконечно большие и бесконечно малые величины. Такой подход позволяет рассматривать термин «бесконечность» как некое число. Причем это число при расширении числовой прямой теряет свой знак, превращаясь в идеализированную точку, соединяющую два конца этой прямой. Такой подход можно сравнить с линией смены дат, когда при переходе между двумя часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 можно оказаться в следующем дне или же в предыдущем. При этом становится верным утверждение х/0=∞ для любых х≠0.

Чтобы устранить неопределенность 0/0, для колеса вводится новый элемент ⏊=0/0. При этом в данной алгебраической структуре есть свои нюансы: 0·х≠0; х-х≠0 в общем случае. Также х·/х≠1, поскольку деление и умножение больше не считаются обратными операциями. Но данные особенности колеса хорошо объясняются с помощью тождеств дистрибутивного закона, действующего в такой алгебраической структуре несколько иначе. Более подробные разъяснения можно найти в специализированной литературе.

Алгебра, к которой все привыкли, является, по сути, частным случаем более сложных систем, например, того же колеса. Как видим, делить на ноль в высшей математике можно. Для этого требуется выйти за границы привычных представлений о числах, алгебраических операциях и законах, которым они подчиняются. Хотя это вполне естественный процесс, сопровождающий любой поиск новых знаний.

Каждый из нас со школы вынес как минимум два незыблемых правила: «жи и ши — пиши с буквой И» и «на ноль делить нельзя «. И если первое правило можно объяснить особенностью Русского языка, то второе вызывает вполне логичный вопрос: «А почему?»

Почему нельзя делить на ноль?

Не совсем понятно, почему об этом не говорят в школе, но с точки зрения арифметики ответ очень даже прост.

Возьмем число 10 и поделим его на 2 . Это подразумевает, что мы взяли 10 каких-либо предметов и расставили их по 2 равным группам, то есть 10: 2 = 5 (по 5 предметов в группе). Этот же пример можно записать и с помощью уравнения x * 2 = 10 х здесь будет равен 5 ).

Теперь, на секунду представим, что на ноль делить можно, и попробуем 10 делить на 0 .

Получится следующее: 10: 0 = х , следовательно х * 0 = 10 . Но наши расчеты не могут быть верны, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0 . В математике не существует такого числа, которое при умножении на 0 давало бы, что-то кроме 0 . Следовательно, уравнения 10: 0 = х и х * 0 = 10 не имеют решения. Ввиду этого и говорят, что на ноль делить нельзя.

Когда можно делить на ноль?

Есть вариант, при котором деление на ноль все же имеет некоторый смысл. Если мы делим сам ноль то получаем следующее 0: 0 = х , а значит х * 0 = 0 .

Предположим, что х=0 , тогда уравнение не вызывает никаких вопросов, все идеально сходится 0: 0 = 0 , а значит и 0 * 0 = 0 .

Но что если х ≠ 0 ? Предположим, что х = 9 ? Тогда 9 * 0 = 0 и 0: 0 = 9 ? А если х=45 , то 0: 0 = 45 .

Мы действительно можем делить 0 на 0 . Но это уравнение будет иметь бесконечное множество решений, так как 0: 0 = чему угодно .

Почему

0: 0 = NaN

Пробовали ли Вы когда-нибудь поделить 0 на 0 на смартфоне? Так как ноль деленный на ноль дает абсолютно любое число, программистам пришлось искать выход из данной ситуации, ведь не может же калькулятор игнорировать ваши запросы. И они нашли своеобразный выход: при делении ноль на ноль вы получите NaN (not a number — не число) .

Почему

x: 0 = а x: -0 = —

Если Вы попробуете на смартфоне разделить какое-либо число на ноль,то ответ будет равен бесконечности. Все дело в том, что в математике 0 иногда рассматривается не как «ничего», а как «бесконечно малая величина». Следовательно, если любое число поделить на бесконечно малую величину, получится бесконечно большая величина (∞) .

Так можно ли делить на ноль?

Ответ, как это часто бывает, неоднозначен. В школе, лучше всего, зарубить себе на носу, что на ноль делить нельзя — это избавит Вас от ненужных сложностей. А вот если будете поступать на математический факультет в университете, на ноль все-таки делить придется.

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

А вот еще интересное утверждение. «Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?». Вот что будет, если

А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними.

Тема 11. Методика изучения умножения и деления чисел в пределах 100

План.

  1. Основные понятия математики.

  2. Табличное умножение и деление:

а) Раскрытие смысла действий умножения и деления; подготовка учащихся к изучению таблицы умножения и деления.

б) Методика изучения таблицы умножения и деления.

2. Методика изучения внетабличных случаев умножения и деления в пределах 100.

  1. Изучение деления с остатком.

  1. Основные понятия математики

Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется та­кое целое неот­рицательное число ab, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) ab = a + a + … + a (b раз) при b > 1;

2) a1 = 1 при b = 1;

3) a0 = 0 при b = 0.

Данное определение имеет следующее теоретико-множественное обоснование. Пусть даны b попарно непересекающихся множеств A1, A2, …, Ab, каждое из которых содержит a элементов. Тогда их объединение содержит a·b элементов.

Деление чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные по­парно непересекающиеся подмножества. При этом решаются две задачи: нахождение числа элементов в каждом подмножестве (деление на части) и нахождение числа та­ких подмножеств (деление по содержанию).

Пусть a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Частным чисел a и b называется:

— число подмножеств в этом разбиении, если b — число элементов каждого подмно­же­ства в разбиении множества A;

— число элементов в каждом подмножестве, если b — число подмножеств в разбие­нии множества A.

Если даны числа a и b, такие, что a=n(A), b=n(B), a>b, и множество A можно раз­бить на n подмножеств, равномощных множеству B, то говорят, что число a больше b в n раз, а число b меньше числа a в n раз.

Невозможность деления на нуль также имеет свое теоретико-множественное ис­толкование. Если a0, а b=0, то невозможность деления a на b вытекает из невозмож­ности представления непустого конечного множества A (n(A) = a) в виде объединения пустых подмножеств.

  1. Табличное умножение и деление

Тема «Умножение и деление чисел в пределах 100» является одной из ос­новных тем начального курса математики.

В изучении этой темы выделяются такие виды умножения и деления:

  1. Табличное умножение и деление.

  2. Внетабличное умножение и деление.

  3. Деление с остатком.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения одно­значных натуральных чисел на однозначное число и соответствующие случаи деления.

Примеры: 53=15 15:3=5

74=28 28:7=4 и т.п.

При изучении этого вида умножения и деления необходимо:

  1. познакомить детей с новыми для них действиями умножения и деле­ния,

  2. изучить таблицу умножения и деления.

Таким образом, табличное умножение и деление, в свою очередь, разбива­ется на два вопроса:

  1. знакомство с действиями умножения и деления;

  2. изучение таблицы умножения и деления.

1а. Знакомство с действиями умножения и деления.

Отметим, что, значит, познакомить детей с действиями умножения и деле­ния.

Это значит:

  • раскрыть смысл каждого из этих действий;

  • ввести соответствующую терминологию;

  • рассмотреть некоторые свойства действий, установить зависимости между ними.

Прежде всего, следует отметить, что работа по раскрытию смысла этих действий начинается еще в 1 классе. Здесь:

  • ведется счет группами;

  • вычисляются суммы нескольких одинаковых слагаемых;

  • решаются простые задачи: на нахождение суммы нескольких одинако­вых слагаемых, на деление по содержанию, и деление на равные части.

Задачи на деление решаются там только практически (устно).

Во 2 классе эта работа получает свое естественное продолжение. Вначале происходит знакомство с действием умножения. Смысл этого действия раскры­вается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких одина­ковых слагаемых.

Пример. Задача. В одном пучке 3 морковки. Сколько морковок в 4-х таких пучках?

Выполнив соответствующую демонстрацию, учитель с детьми выясняет, что для ответа на вопрос задачи нужно найти сумму 4-х слагаемых, каждое из которых равно 3.

3+3+3+3=12 (м.)

Обращается внимание на то, что все слагаемые полученной суммы одина­ковые. Поэтому эту сумму можно прочитать по-другому: по 3 взять четыре раза и записать так 34=12. Т.Е. сложение одинаковых слагаемых называют умноже­нием. Точка обозначает знак действия умножения.

Дается образец чтения этой записи 34=12.

  1. по 3 взять четыре раза.

  2. 3 умножить на 4.

Обращается внимание на смысл каждого числа в этой записи:

3 – это слагаемое, 4 – показывает, сколько одинаковых слагаемых.

Смысл действия деления раскрывается в ходе решения простых задач двух видов:

Задача. 6 морковок раздали кроликам по две каждому. Сколько кроликов получили морковки?

Для решения этой задачи необходимо выполнение практических действий с предметами, как учителем, так и учащимися.

Разговор может быть таким:

У. — У меня 6 морковок, а вы положите столько же треугольников. Будем раздавать их кроликам по 2, я у доски, а вы на партах. (Раздвигаются по 2 морковки и выставляются изображения кроликов). Сколько кроликов получили морковки?

Д. – 3.

У. – Давайте запишем решение этой задачи. Мы морковки раздавали, делили, и решение будем записывать новым действием – делением. Это записывается так: 6:2=3 (к.) Ответ: 3 кролика.

« : » — знак деления.

Аналогично рассматриваются задачи на деление на равные части. При этом также необходима демонстрация с использованием предметной наглядности.

Пример. 6 морковок раздали 3 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику?

Здесь нужно показать и принцип деления на равные части. Выставив изо­бражение 3-х кроликов, выясняем, сколько морковок надо взять, чтобы дать им по одной морковке? — 3. Берем и раздаем.

Операцию повторяем до тех пор, пока не кончатся все морковки.

Эта за­дача решается также действием деления.

6:3=2 (мор.) Ответ: 2 морковки.

После знакомства с каждым из действий вводятся названия компонен­тов и результата каждого из этих действий (методика уже известна).

Изучается переместительное свойство умножения. (Методика изучения свойств действий нами рассмотрена (см. тему № 3).

Рассматривается зависимость между компонентами и результа­том вначале для действия умножения, затем – деления. (Методику рассмотре­ния зависимости смотреть в теме +, — в пределах 10).

При рассмотрении зависимости между компонентами и результатом дей­ствия умножения мы подводим детей к выводу: если произведение разделить на первый множитель, получим второй множитель и т.д.

И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умноже­ние, можно составить два примера на деление.

Пример. 53=15

15:5=3

15:3=5.

Здесь же рассматриваются и некоторые частные случаи умноже­ния и деления с числами 1 и 10:

а) с числом 1.

Сначала берется случай умножения 1 на число, большее 1.

13=1+1+1=3,

15=1+1+1+1+1=5.

П осле решения ряда примеров на основе смысла действия умножения подводим детей к выводу: 1 = .

С лучай 1 постулируется. Детям сообщается правило и приводятся примеры.

Деление на 1 вводится на основе зависимости между компонентами и ре­зультатом действия умножения.

Из решения соответствующих примеров 15=5;  5:1=5 подводим де­-

тей к выводу : 1 = .

Умножение 10 и деление на 10 рассматривается с использованием знания нумерации и связи между действиями умножения и деления:

103  1 д.  3 = 3 д.  103=30

310=103.

Случаи вида 30:10 рассматриваются на основе зависимости между ком­понентами и результатом действия деления.

Все перечисленные нами вопросы помогут нам при рассмотрении сле­дующего вопроса, т.е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.

6/2(1+2)=? — Вопросы на DTF

Вы сидите тихим вечером, никого не трогаете, и тут прилетает вопрос:

{«id»:100136,»type»:»num»,»link»:»https:\/\/dtf.ru\/ask\/100136-6-2-1-2″,»gtm»:»»,»prevCount»:null,»count»:46}

{«id»:100136,»type»:1,»typeStr»:»content»,»showTitle»:false,»initialState»:{«isActive»:false},»gtm»:»»}

{«id»:100136,»gtm»:null}

26 310 просмотров

Казалось бы, ответ очевиден, но не спешите. Все зависит от того, кто спрашивает.

_____________________________________________________________________

Учительница алгебры: «6/2(1+2)=?»

В примере опущен оператор умножения, поскольку его не обязательно указывать перед скобками.

Полная запись будет выглядеть так:

Решаем слева-направо:

_____________________________________________________________________

Математик: «6/2(1+2)=?»

Отсутствие знака умножения несет смысл, это указывает на то, что ‘2(1+2)’ является отдельным выражением.

Полная запись будет выглядеть так:

Приоритет отдается скобкам, изнутри наружу.

_____________________________________________________________________

Учительница алгебры изменила задачу, додумав то, чего не было изначально. Она преобразовала выражение, и лишь затем правильно решила новое выражение.

«6/2(1+2)» не одно и то же, что «6/2*(1+2)»

Попробую объяснить.

_____________________________________________________________________

Выражение: «6/2(1+2)»

Давайте заменим скобки на переменную «a=1+2»

Выражение примет вид: «6/2a»

Что такое «2a»? Я пока не знаю. Но воспринимаю его как единое целое. Если хотите, это слово «2a».

Чтобы двигаться дальше, нужно вычислить значение переменной «a=1+2=3»

Затем я узнаю, что «2a=2*3=6»

Окончательно решаю уравнение: «6/6=1».

_____________________________________________________________________

Выражение:«6/2*(1+2)»

Заменим скобки на переменную «a=1+2»
Выражение примет вид: «6/2*a»

Я не знаю, что такое «a», но явно вижу, что «2» это отдельное число, которое пока не связано с переменной. Нам нужно будет провести операцию умножения в будущем, не обязательно делать это прямо сейчас. Деление и умножение имеют равный приоритет, значит выражение можно представить в виде «(6/2)*a».

Времени терять не будем, вычисляем «6/2=3»

Получаем выражение: «3*a»

Самое время узнать, что «a=1+2=3»

Решаем оставшееся: «3*3=9»

Ответ: «6/2*(1+2)»=9

_____________________________________________________________________

Какой ответ даст ваш калькулятор? 🙂

Вы такого не ожидали? Калькулятор не умеет читать мысли.

Если вы хотите знак умножения, то пишите его явно.

Компьютер, и большинство программ-калькуляторов, считают запись «6/2(1+2)» ошибкой.

Если одни явно исправляют формулу на «6/2*(1+2)», то другие делают это втайне от пользователя, выдавая правильный ответ 9, на измененное выражение.

Прежде чем давать ответ, убедитесь, что спрашивающий, под записью «6/2(1+2)», имеет в виду «6/2*(1+2)», а не «6/2(1+2)» 🙂

Табличное умножение и деление — Мегаобучалка

Тема «Умножение и деление чисел в пределах 100» является одной из основных тем начального курса математики. Изучается она по программе 1-3 во 2-м классе, по программе 1-4 — во 2-м и 3-м классе. В изучении этой темы выделяются такие виды умножения и деления:

1. Табличное умножение и деление.

2. Внетабличное умножение и деление.

3. Деление с остатком.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначное число и соответствую­щие случаи деления.

Примеры: 5 · 3 = 15; 15 : 3 = 5

7 · 4 = 28; 28 : 7 = 4 и т.п.

При изучении этого вида умножения и деления необходимо:

1) познакомить детей с новыми для них действиями умножения и деле­ния;

2) изучить таблицу умножения и деления. Таким образом, табличное умножение и деление, в свою очередь, разбивается на два вопроса:

1) знакомство с действиями умножения и деления;

2) изучение таблицы умножения и деления.

а) Знакомство с действиями умножения и деления

Отметим, что познакомить детей с действиями умножения и деления, это значит:

— раскрыть смысл каждогоиз этих действий;

— ввести соответствующую терминологию;

— рассмотреть некоторые свойства действий, установить зависимос­ти между ними.



Прежде всего, следует отметить, что работа по раскрытию смысла этих действий начинается еще в 1 классе. Здесь:

— ведется счет группами;

— вычисляются суммы нескольких одинаковых слагаемых;

— решаются простые задачи: на нахождение суммы нескольких одинако­вых слагаемых, на деление по содержанию, и деление на равные части.

Задачи на деление решаются там только практически (устно). Во 2-м классе эта работа получает свое естественное продолжение. Сначала происходит знакомство с действием умножения. Смысл этого действия раскрывается через решение простых задач на нахождение суммы нескольких одинаковых слагаемых.

Задача. В одном пучке 3 морковки. Сколько морковок в 4-х таких пучках?

Выполнив соответствующую демонстрацию, учитель с детьми выясняет, что для ответа на вопрос задачи нужно найти сумму 4-х слагаемы каждое из которых равно 3.

3 + 3 + 3 + 3 = 12 (морк.)

Обращается внимание на то, что все слагаемые полученной суммы одинаковые. Поэтому эту сумму можно прочитать по-другому: по 3 взять четыре раза и записать так

3 · 4=12. Т.е. сложение одинаковых слагаемых называют умножением. Точка обозначает знак действия умножения.

Дается образец чтения этой записи 3 · 4=12.

1) по 3 взять четыре раза.

2) 3 умножить на 4.

Обращается внимание на смысл каждого числа в этой записи: 3 — этослагаемое, 4 — показывает, сколько одинаковых слагаемых.

Смысл действия деления раскрывается в ходе решения простых задач двух видов:

— деление по содержанию;

— деление на равные части.

Задача. 6 морковок раздали кроликам по две каждому. Сколько кроликов получили морковки?

Для решения этой задачи необходимо выполнение практических действий с предметами, как учителем, так и учащимися. Разговор может быть таким.

Учитель. У меня 6 морковок, а вы положите столько же треугольников. Будем раздавать их кроликам по 2, я у доски, а вы на партах. (Раздвигаются по 2 морковки и выставляются изображения кроликов). Сколько кроликов получили морковки?

Дети. 3.

Учитель. Давайте запишем решение этой задачи. Мы морковки раздавали, делили, и решение будем записывать новым действием — делением. Это записывается так:

6 : 2 = 3 (к.) Ответ: 3 кролика.

» : » — знак деления.

Аналогично рассматриваются задачи на деление на равные части. При этом также необходима демонстрация с использованием предметов наглядности.

Пример. 6 морковок раздали 3 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику?

Здесь нужно показать и принцип деления на равные части. Выставив изображение 3-х кроликов, выясняем, сколько морковок надо взять, чтобы дать им по одной морковке? — 3. Берем и раздаем.

Операцию повторяем до тех пор, пока не кончатся все морковки. Эта за­дача решается также действием деления. 6 : 3 = 2 (морк.) Ответ: 2 морковки.

После знакомства с каждым из действий вводятся названия компонентов и результата каждого из этих действий (методика уже известна).

Изучается переместительное свойство умножения (методика изуче­ния свойств действий нами рассмотрена отдельно).

Рассматривается зависимость между компонентами и результатом вна­чале для действия умножения, затем — деления (методику рассмотрения зависимости смотреть в теме №2).

При рассмотрении зависимости между компонентами и результатом действия умножения мы подводим детей к выводу:если произведение разделить на первый множитель, получим второй множитель и т.д.И как следствие этого, показываем, что для каждого примера на умноже­ние, можно составить два примера на деление.

Пример. 5 • 3 = 15;

15 : 5 = 3;

15 : 3 = 5.

Здесь же рассматриваются и некоторые частные случаи умножения и деления с числами 1 и 10:

а) с числом I.

Сначала берется случай умножения 1 на число, большее 1.

1 З = 1 + 1 + 1 = З;

15 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.

После решения ряда примеров на основе смысла действия умноже­ния подводим детей к выводу: 1 = .

Случай 1 постулируется. Детям сообщается правило и приводят­ся примеры.

. Деление на 1 вводится на основе зависимости между компонентами и результатом действия умножения.

Из решения соответствующих примеров 15 = 5; => 5 : 1 = 5 подводим детей к выводу : 1 = .

Умножение 10 и деление на 10 рассматривается с использованием знания нумерации и связи между действиями умножения и деления:

10 3 => 1д. 3 = 3д. => 10 3 = 30.

310 =103.

Случаи вида 30 : 10 рассматриваются на основе зависимости между компонентами и результатом действия деления.

Все перечисленные нами вопросы помогут нам при рассмотрении сле­дующего вопроса, т.е. при изучении таблицы умножения. Рассматривая их, мы вели подготовку детей к изучению таблицы умножения.

Задачка с двумя решениями. Какое правильное?

Вчера опубликовал в блоге простую задачку, на которую ответили почти 1000 человек. Мнение у людей разделились как и во всем интернете: половина утверждает, что ответ «1» , а другая половина уверена, что ответ «16».

Чем аргументируют единичку? Обычно эти люди пишут, что задачка не корректно написана «нет знака умножения», «знак деления не так написан», «а вы представьте это с переменной», «а вы запишите это дробью» и всякие другие отмазки.

А отмазки это потому, что тут всем понятно где тут знак деления и умножения и всего лишь нужно вспомнить то, что после действий в скобках остальные операции выполняются равноправно и последовательно. В школе зачастую в уравнениях были операции сложения, вычитания и умножения. А деление было обычно дробью (длинной горизонтальной чертой) и все привыкли делать после сложения и вычитания сразу умножение. Вот и все. Однако это не отменяет того, что деление «оно и в Африке деление». Мое мнение такое, что это абсолютно простейший пример на применение абсолютно простейшего правила.

Однако сейчас пообщался с товарищем, который много занимался математикой и закончил мехмат МГУ. Так вот у него другое мнение на эту проблему и я не могу его игнорировать. Итак, вот как он видит эту проблему…

В общем, что хотел сказать. Проблема эта известна давно. Такие титаны науки как Александров и Колмогоров хотели даже по этой причине изменить правила арифметики, но их не поддержали. А проблема следующая. Есть арифметика, а есть алгебра. И в алгебре запись вида a:bcd принято понимать как a:(bcd). Из-за этой фигни в алгебре не принято изображать знак деления как «:», а используют в качестве знака деления черту дроби, для которой есть отдельное правило — сначала выполняют операции над чертой, потом под чертой, потом делают деление.

Это из книги Методика преподавания алгебры (Репьев В.В)

А это из курса лекций по методике преподавания алгебры Шустеф Ф.М.

Короче пример «хайповый».

Репьев стр. 80-81, Шустеф стр. 43. Ещё хотел оригинал учебника Александрова и Колмогорова, а так же учебник Гончарова посмотреть, на которые Шустеф ссылается, но не нашёл их в открытом доступе. Либо с регистрацией, либо за деньги.

С точки зрения арифметики ответ будет 16. Но если заменить цифры буквами и смотреть на это дело со стороны алгебры, то всё выглядит немного по другому. Отсюда и куча «срача» в интернет по поводу этого примера 🙂 В общем, надо избегать такой постановки задачи.

Такое моё мнение.

А вы чью сторону поддерживаете?

П.С. А тут уже не только люди, но и калькуляторы разделились на два лагеря!

П.С.2. Проблема дошла не только до калькуляторов, но и до математиков:


Порядок действий: введение, правила и примеры

Порядок действий: введение, правила и примеры. В математике порядок операций очень важен и широко используется для получения правильного результата. Порядок операций важен, потому что он гарантирует, что все люди смогут читать и вычислять задачу одинаково. Чтобы избежать неправильного результата, мы используем порядок операций.

Порядок действий

Это правило указывает правильную последовательность шагов для вычисления математического выражения.Чтобы запомнить этот порядок, мы используем PEMDAS , что означает скобки, экспоненты, умножения, деления, сложения и вычитания. Другими словами, вы должны начинать вычисления в любой математической задаче сначала со скобок, затем с показателем степени, затем умножением и делением слева направо, затем сложением и вычитанием слева направо. Если в задаче несколько одинаковых операций, сначала решите самую левую, а затем правую. Мы также можем решить сложную математическую задачу, в которой математическое выражение используется онлайн-калькулятором PEMDAS.

PEMDAS используется в Соединенных Штатах, учителя используют PEMDAS, чтобы запомнить порядок операций. В Азии учителя используют БОДМАС, чтобы запомнить порядок операций. BODMAS означает скобки, порядок, деление/умножение, сложение и вычитание.

Правила порядка работы

Порядок работы подчиняется некоторым правилам. Кратко обсудим их.

Круглые скобки 

В порядке операций всегда начинайте с операций, содержащихся в скобках.Круглые скобки используются для группировки частей выражения. Если скобок несколько, сначала раскройте крайнюю левую, а затем правую. Круглые скобки обозначаются маленькими скобками ().

Пример 1

Раскройте скобки 4/2 * 3 + (4 + 8) – 23 + (3×6).

Решение 

Шаг 1: сначала решить крайнюю левую скобку.

4/2 * 3 + (4 + 8) – 23 + (3×6)

4/2 * 3 + (12) – 23 + (3×6)

4/2 * 3 + 12 – 23 + (3×6)

Шаг 2: Теперь разрешите следующую скобку.

4/2 * 3 + 12 – 23 + (18)

4/2 * 3 + 12 – 23 + 18

Пример 2

Решение скобок 7/3 * 3 + (14 – 8) ) – 3 + (14/2).

Решение 

Шаг 1: сначала решите крайнюю левую скобку.

7/3 * 3 + (14 – 8) – 3 + (14/2)

7/3 * 3 + (6) – 3 + (14/2)

7/3 * 3 + 6 – 3 + (14/2)

Шаг 2: Теперь разрешите следующую скобку.

7/3 * 3 + 6 – 3 + (14/2)

7/3 * 3 + 6 – 3 + (7)

7/3 * 3 + 6 – 3 + 7

Показатель степени 

После скобок вычислить все показатели степени, присутствующие в выражении.Экспоненты — это способ умножения числа на само себя в степени, например, 3 4

— это 3, умноженное само на себя четыре раза, поэтому вы должны решить это, умножив 3 * 3 * 3 * 3. Если в этом выражении присутствует более одного показателя степени, сначала решите самый левый, а затем правый. Если в выражении нет показателя степени, игнорируйте E в PEMDAS и переходите к следующему шагу.

Пример 1

Решите показатель степени 4/2 3 * 3 + 4 + 8 – 3 2 .

Решение 

Шаг 1: сначала решить крайний левый показатель.

4/2 3 * 3 + 4 + 8 – 3 2  

4/(2x2x2) * 3 + 4 + 8 – 3 2  

3 + 3 + 8 * 3 2  

Шаг 2: Теперь решите следующий показатель степени.

4/8 * 3 + 4 + 8 – 3×3

4/8 * 3 + 4 + 8 – 9

Пример 2 – 8 2 – 3 + 14/2.

Решение 

Шаг 1: сначала решить крайний левый показатель.

7 2 /3 * 3 + 14 – 8 2 – 3 + 14/2

7×7/3 * 3 + 14 – 8 2 – 3 + 14/2

* 3 + 14 – 8 2 – 3 + 14/2

Шаг 2: Теперь решите следующий показатель степени.

49/3 * 3 + 14 – 8 2 – 3 + 14/2

49/3 * 3 + 14 – 8×8 – 3 + 14/2

49/3 * 3 + 14 – 16 – 3 + 14/2

Умножение и деление

После круглых скобок и возведения в степень в порядке выполнения операций ищите любое умножение и деление.Помните, что деление не обязательно предшествует умножению, эти операции выполняются слева направо.

Пример 1

Решите умножение и деление 4/2 * 3 + 4 + 8 – 9/3.

Решение 

Шаг 1: Начните слева и разделите самую левую дробь.

4/2 * 3 + 4 + 8 – 9/3

2 * 3 + 4 + 8 – 9/3

Шаг 2: Теперь умножьте.

2 * 3 + 4 + 8 – 9/3

6 + 4 + 8 – 9/3

Шаг 3: Теперь переместитесь вправо и проверьте, нет ли операции, связанной с умножением или делением.Пример 2 2.

Решение 

Шаг 1: Начните слева и разделите самую левую дробь.

27/3 * 3 + 14 – 8 – 3 + 2 x 14/2

9* 3 + 14 – 8 – 3 + 2 x 14/2

Шаг 2: Теперь умножьте.

9 * 3 + 14 – 8 – 3 + 2 x 14/2

27 + 14 – 8 – 3 + 2 x 14/2

Шаг 3: Теперь переместитесь вправо и проверьте, нет ли связанных операций к умножению или делению.

27 + 14 – 8 – 3 + 2 x 14/2

27 + 14 – 8 – 3 + 28/2

Шаг 4: Теперь разделите.

27 + 14 – 8 – 3 + 28/2

27 + 14 – 8 – 3 + 14

Сложение и вычитание

решить, так как в выражении есть только сложение и вычитание. Так же, как умножение и деление, мы будем складывать и вычитать слева направо.

Пример 1

Решите сложение и вычитание 6 + 4 + 8 – 3.

Решение

Шаг 1: Начните слева и добавьте крайний левый член.

6 + 4 + 8 – 3

10 + 8 – 3

Шаг 2: Теперь добавьте еще раз.

10 + 8 – 3

18 – 3

Шаг 3: Теперь осталось только одно слагаемое, вычтите его.

18 – 3

15

Пример 2

Решите сложение и вычитание 27 + 14 – 8 – 3 + 14.

Решение 

Шаг 1: Начните слева и добавьте крайний левый член.

27 + 14 – 8 – 3 + 14

41 – 8 – 3 + 14

Шаг 2: Теперь вычтите.

41 — 8 — 3 + 14

33 — 3 + 14

Шаг 3: Теперь вычтите снова

33 — 3 + 14

30 + 14

Шаг 4: Теперь только один термин , добавьте его.

30 + 14

44

Как рассчитать порядок операций?

Чтобы рассчитать порядок операций, выполните четыре шага.

  1. Раскрыть скобки.
  2. Решите показатель степени.
  3. Решить умножение и деление.
  4. Сложение и вычитание.

Давайте возьмем несколько примеров, чтобы понять, как вычислить любое математическое выражение в соответствии с порядком работы. Калькулятор порядка операций очень важен для точных результатов таких задач.

Пример 1

Оценка 4/2 * 3 + (4 + 8) –3 2 + (3×6).

Решение 

Шаг 1: Раскройте скобки.

4/2 * 3 + (4 + 8) –3 2 + (3×6)

4/2 * 3 + (12) –3 2 + (3×6)

4/ 2 * 3 + 12–3 2 + (3×6)

4/2 * 3 + 12 – 3 2 + (18)

4/2 * 3 + 12 – 3 2 + 18

Шаг 2: Решите показатель степени. Шаг 3: Решите умножение и деление слева направо.

4/2 * 3 + 12 – 9 + 18

2 * 3 + 12 – 9 + 18

6 + 12 – 9 + 18

Шаг 4: Сложение и вычитание слева направо.

6 + 12 — 9 + 18

18 — 9 + 18

18 — 9 + 18

9 + 18

27

Пример 2

Оценить 7/14 * 2 + (4 — 8) -6 2 + (13×2).

Решение 

Шаг 1: Раскройте скобки.

7/14 * 2 + (4 – 8) –6 2 + (13×2)

7/14 * 2 + (-4) –6 2 + (13×2)

7 /14 * 2 – 4 – 6 2 + (13×2)

7/14 * 2 – 4 –6 2 + (26)

7/14 * 2 – 4 –6 2 + 26

Шаг 2: Решите показатель степени.Шаг 3: Решите умножение и деление слева направо.

7/14 * 2 – 4 – 36 + 26

0,5 * 2 – 4 – 36 + 26

1 – 4 – 36 + 26

Шаг 4: Сложение и вычитание слева направо.

1 — 4 — 36 + 26

-3 — 36 + 26

-3 — 36 + 26

-39 + 26

-39 + 26

-19 + 26

Заказать

Вывод

Заключение

Порядок фракции используется для избежания неправильного расчет.Он использует PEMDAS (круглые скобки, экспонента, умножение и деление, сложение и вычитание) для упорядочения выражения. Другими словами, вы должны начинать вычисления в любой математической задаче сначала со скобок, затем с показателем степени, затем умножением и делением слева направо, затем сложением и вычитанием слева направо. Эта тема не сложная. Как только вы получите базовые знания по этой теме, вы легко решите любую проблему, связанную с порядком операций.

Подробнее:

Подробнее Статьи «Архив управления операциями»

Порядок операций применяется для упрощения каждого уравнения и поиска только одного правильного ответа

Так много нас там побывало.Нам дано гигантское, смехотворно длинное многоступенчатое уравнение, которое нам нужно решить. Мы решаем это. Фу! Друг решил, получил другой ответ… но, кажется, мы оба сделали вычисления правильно.

Что происходит!?

Возьмите этот сценарий, например:

Студент 1 решил задачу следующим образом:

Этот студент решил в порядке слева направо. Каждое вычисление было выполнено правильно, и был найден ответ 402.

Студент 2 сделал что-то совсем другое: 

Этот ученик следовал порядку операций и правильно выполнил все вычисления. В этом случае ответ, который они нашли, был 306.

.

Два ответа. Все вычисления правильные, но оба ответа НЕ верны. Кто из них прав и откуда мы знаем?!

Введите порядок операций.

Попробуйте решить





Каков порядок операций?

Много лет назад именно в такой ситуации оказались математики! Они поняли, что есть много способов решить эти сложные уравнения, и даже если все вычисления будут выполнены правильно, можно найти множество, казалось бы, правильных ответов.

Они решили, что так не пойдет. Каким-то образом, вероятно, еще до того, как появились алгебраические обозначения, математики пришли к общему пониманию того, что существует порядок, в котором следует составлять уравнения, чтобы найти только один правильный ответ.

Сегодня это то, что мы называем порядком операций.

Порядок операций применяется ко всем уравнениям и является математическим навыком, который вы будете использовать всю оставшуюся жизнь, как только вы его выучите, поэтому будьте внимательны.

Порядок операций говорит нам, что: (Возможно, это можно было бы сделать графически более интересным?)

  1. Во-первых, вы имеете дело со скобками.
  2. ТОГДА вы учитываете показатели степени.
  3. После этого вы умножаете ИЛИ делите слева направо.
  4. Наконец, вы складываете ИЛИ вычитаете слева направо.

Соблюдение этих правил порядка выполнения операций поможет вам каждый раз находить правильный ответ.

ПЕМДАС

Всем известно, что длинные списки инструкций бывает трудно запомнить, поэтому учителя математики приняли аббревиатуру, чтобы помочь учащимся запомнить порядок операций.PEMDAS или, если вы предпочитаете приговор, P аренда Извините, моя дорогая тетя Салли.

В этом запоминающем устройстве каждое слово или буква напоминает нам об операции, и операции должны выполняться именно в таком порядке.

Давайте посмотрим поближе:

 

  • Пожалуйста, или P означает круглые скобки: любые операции, которые находятся внутри круглых скобок, должны быть выполнены в первую очередь.
  • Извините или E означает показатели степени:  после того, как все скобки будут заполнены, примените показатели степени.
  • My или M означает умножение: этот шаг может быть немного запутанным, поскольку он выполняется в сочетании со следующим шагом.
  • Дорогой или D означает деление: помните, что умножение и деление выполняются в ПОРЯДКЕ слева направо.
  • Тетя или А означает сложение: сложение также выполняется в сочетании с вычитанием слева направо.
  • Sally или S означает вычитание: последний шаг, но помните, что его нужно выполнять одновременно со сложением и всегда слева направо.

Это глупое предложение. Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли. Это просто полезный способ запомнить, что это шаги, которые нам нужно выполнить в этом конкретном порядке, чтобы найти правильное решение: круглые скобки, показатели степени, умножение/деление, сложение/вычитание.

 

Давай потренируемся

Давайте решим это уравнение, имея в виду PEMDAS.

P EMDAS говорит нам сначала обработать скобки, чтобы мы могли упростить уравнение, как это.

Мы оглядываемся назад на P E MDAS и видим, что показатели степени следующие в нашем списке.Мы можем продолжить уравнение, используя эту информацию.

Снова смотрим на PE MD AS. Далее идут умножение и деление, поэтому следующий шаг упрощения выглядит так.

И, наконец, мы добрались до конца PEMD AS , и пришло время складывать и вычитать. Закончим решение уравнения так.

Мы сделали это! Мы следовали порядку операций и нашли ответ 1996. Хорошо сделано.

Теперь, когда вы освоились, давайте попробуем еще одну практическую задачу.

Возьмите это уравнение:   

 

P EMDAS говорит нам начинать со скобок, поэтому мы упростим уравнение для начала.

Далее, P E MDAS говорит заняться показателями. Имея это в виду, следующее упрощение будет выглядеть так.

Теперь, когда мы позаботились о скобках и показателях степени, мы перейдем к следующему шагу. Ссылка на PE MD AS покажет нам, что это умножение и деление.

Помните, мы работаем с ними по порядку слева направо.

Мы можем пойти дальше и упростить вот так.

И наш последний шаг в соответствии с PEMD AS — сложение и вычитание, опять же, слева направо. Мы закончим наше уравнение следующим образом.

Наш ответ после выполнения порядка операций PEMDAS: 111 . Отличная работа!

Вы готовы к действию!

Теперь, когда у вас есть некоторая практика за плечами и вы понимаете, как следовать порядку операций, вы готовы решать любые многоступенчатые уравнения, которые встречаются на вашем пути.Удачи и помните, Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли !!!!

Порядок работы Лекция

Посмотрите видео ниже о PEMDAS , где мы научим вас всему, что вам нужно знать! Расшифровку вы также найдете ниже👇🏼 

Нажмите, чтобы показать больше

Давайте приступим к делу. Так что, скорее всего, вы уже знакомы с понятием порядка операций, но давайте продолжим и поговорим об этом.

Таким образом, порядок операций — это набор математических правил, которые указывают нам, как оценивать данное математическое выражение.И лучший способ подумать о порядке операций — взглянуть на вот эту аббревиатуру, PEMDAS.

P 👉🏻 обозначает круглые скобки, которые являются высшими по порядку.

E 👉🏻 обозначает показатели степени.

М 👉🏻 означает умножение.

D 👉🏻 означает деление.

A 👉🏻 означает сложение.

S 👉🏻 означает вычитание.

P 👉🏻 для скобок — это наивысший порядок, за которым следует E, а затем остальные здесь.

Что это значит? Итак, если бы мне пришлось предоставить вам очень простой пример, скажем, пять плюс скобки три плюс два.И давайте просто добавим два раза здесь.

Что бы вы сделали в первую очередь? Что ж, если мы продолжим и посмотрим на нашу PEMDAS, в ней говорится, что вы должны сначала следовать скобкам. Поэтому мы должны сначала оценить, что находится внутри скобок.

Итак, три плюс два равно пяти, и теперь я могу переписать то, что находится слева и справа. Итак, у меня пять плюс пять умножить на два, и теперь я могу вернуться к своему акрониму PEMDAS, чтобы посмотреть, что мне делать дальше.

И вы заметите, что умножение предшествует сложению.Поэтому я должен сначала умножить. Итак, пять раз два равно 10, и теперь очень просто пять плюс 10 равно 15.

Как видите, здесь у меня есть математическое выражение. И с моим порядком операций PEMDAS я смог оценить это очень хорошо и эффективно.

Одна из вещей, которую я хочу прояснить, это то, что у некоторых студентов есть небольшое неправильное представление о концепции PEMDAS, когда речь идет об умножении, делении, сложении и вычитании. Что я имею в виду?

Итак, я хочу очень быстро повторить умножение, деление, сложение и вычитание.Обратите внимание, что я покрасил и умножение, и деление в один и тот же зеленый цвет, что означает, что умножение и деление оцениваются точно так же.

Итак, позвольте мне продолжить и привести вам сначала пример того, как ученики совершают эту распространенную ошибку. Итак, давайте просто скажем, что пять разделить на пять, умножить на три.

Хорошо. Теперь многие студенты скажут: «Эй, дивизия, верно?» У меня сначала деление, а здесь умножение. Во-вторых, я собираюсь пойти дальше и сначала умножить, потому что М предшествует делению, а это неверно.

Умножение и деление на самом деле находятся в одном и том же ранге, а это означает, что если у вас есть сценарий, в котором у вас есть только деление и умножение, вы должны пойти дальше и подойти к задаче слева направо. Итак, слева направо здесь, верно?

То, что я нарисовал синим цветом. Итак, я собираюсь сначала разделить, а затем умножить. Итак, пять разделить на пять — это один, а один раз три — это три.

То же самое касается сложения и вычитания. Если у меня есть пять минус пять плюс три, не продолжайте и не прибавляйте сначала, мы будем сначала вычитать, верно?

Мы собираемся идти слева направо, потому что сложение и вычитание по-прежнему имеют одинаковый ранг.Итак, пять минус пять равно нулю и нулю. Плюс три — это три. Так что это распространенное заблуждение некоторых студентов.

Если вы не знаете эту аббревиатуру или не знали об этом распространенном заблуждении, запишите это в своей тетради.

Итак, давайте перейдем к следующему слайду. Так что PEMDAS — это то, что вы должны запомнить. Вы можете использовать поговорку « Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли », чтобы вспомнить PEMDAS.

… продолжение в видео!


Нравятся наши видео? Ознакомьтесь с нашей невероятной обучающей платформой для учащихся от детского сада до 8-го класса.

 

Практические вопросы

Вопрос 1

[(9 – 2) + (3 x 3)] – 1 = ?

Раскройте ответ



Вопрос 5

[14 ÷ (8 – 6)] x 3 = ?

Раскройте ответ

Часто задаваемые вопросы

ключевых слов для математических операций

Первым шагом в решении текстовой задачи всегда является чтение задачи.Вам нужно уметь переводить слов в математические символы, ориентируясь на ключевых слов , которые указывают на математические процедуры, необходимые для решения задачи — как на операцию, так и на порядок выражения. Точно так же, как вы можете перевести испанский язык на английский, вы можете перевести английские слова в символы, язык математики. Многие (если не все) ключевые слова, обозначающие математические операции, являются знакомыми словами.

Для начала вы переводите английские фразы в алгебраические выражения. Алгебраическое выражение представляет собой набор чисел, переменных, операций и символов группировки. Вы переведете неизвестное число как переменную x или n . Символы группировки обычно представляют собой набор круглых скобок, но они также могут быть наборами скобок или фигурных скобок.

При переводе выражений необходимо хорошо знать основные ключевые слова, которые преобразуются в математические операции: ключевые слова сложения, ключевые слова вычитания, ключевые слова умножения и ключевые слова деления, которые рассматриваются в следующих четырех разделах.

Добавление ключевых слов

Вот некоторые распространенные примеры дополнительных ключевых слов:

Первые два ключевых слова (SUM и TOTAL) называются ведущими ключевыми словами , потому что они стоят в начале выражения. Вторые два ключевых слова (ПЛЮС и УВЕЛИЧЕНИЕ НА) — это ключевые слова, которые указывают точное размещение знака плюс. Последние четыре ключевых слова встречаются в текстовых задачах и могут указывать на сложение.

Если выражение начинается с ведущих ключевых слов СУММА или ИТОГО, ведущее ключевое слово определяет соответствующее И.Затем знак плюс физически заменяет И в выражении.

Пример 1: Переведите следующее: сумма пяти и числа

Следующие шаги помогут вам перевести эту проблему:

1. Подчеркните слова до и после И, когда они соответствуют ведущему ключевому слову СУММА ИЗ.

    • сумма пяти и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком плюс.

  • Выражение переводится как 5 + x .

Пример 2: Переведите следующее: сумма числа и минус три

Используйте следующие шаги для перевода этой проблемы:

1. Ключевое слово ИТОГО ИЗ является ведущим ключевым словом, определяющим И, поэтому подчеркните слова до и после И: «число» и «минус три».

    • сумма числа и отрицательной тройки

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком плюс.

    • Выражение переводится как x + −3.

Пример 3: Переведите следующее: сумма семи и отрицательных четырех

Переведите этот пример следующим образом:

1.Слово СУММА является ведущим ключевым словом, определяющим И, поэтому подчеркните слова до и после И: «семь» и «минус четыре».

    • сумма семи и отрицательных четырех

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком плюс.

    • Выражение переводится как 7 + −4.

Напоминание: Ключевое слово AND переводится как «плюс», потому что ведущее ключевое слово SUM OF. С другими ведущими ключевыми словами (обсуждаемыми в следующих разделах) И может означать другие вещи. Также обратите внимание, что вы не упрощаете выражение и получаете «3» за ответ, потому что вы просто переводите слова в символы, а не выполняете математические операции.

Два других ключевых слова в списке дополнительных ключевых слов, PLUS и INCREASED BY, могут быть правильно переведены с помощью стратегии прямого перевода . В стратегии прямого перевода вы переводите каждое слово в соответствующий ему алгебраический символ, по одному, в том же порядке, в котором они написаны, как показано в примере 4.

Пример 4: Переведите следующее: число, увеличенное на двадцать четыре

  • Выражение переводится как x + 24.

Некоторые дополнительные ключевые слова, такие как ПРИБЫЛЬ, БОЛЬШЕ, УВЕЛИЧЕНИЕ и ПОВЫШЕНИЕ, обычно встречаются в задачах-рассказах, как в примере 5.

Пример 5: Переведите следующую сюжетную задачу в математическое выражение о весе полузащитника: Защитный полузащитник весил двести двадцать два фунта в начале весенней тренировки.Он набрал семнадцать фунтов после четырех недель тренировок с командой.

  • Выражение переводится как 222 + 17.

Примечание: Не все числа, упомянутые в словесной задаче, должны быть включены в математическое выражение. Число «четыре» — это просто интересный факт, а не информация, необходимая для написания выражения о весе полузащитника.

Вам также может быть интересно, почему ответ не 239 фунтов. Это потому, что вопрос просит вас перевести проблему истории в математическое выражение, а не оценивать выражение.

Пример 6: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о текущей почасовой оплате кассира: Кассир в бакалейной лавке зарабатывал 6,25 доллара в час. Он получил прибавку в размере 25 центов в час.

  • Выражение переводится как 6,25 + 0,25.

Примечание: Почасовая оплата указана в долларах, а надбавка — в центах. Каждый раз, когда вы добавляете два числа, которые имеют единиц , убедитесь, что оба числа измеряются в одних и тех же единицах; если это не так, преобразуйте одно из чисел в те же единицы, что и другое.Измерение обоих чисел в одних и тех же единицах называется однородных единиц. В этом примере вы конвертируете его прибавку, 25 центов, в 0,25 доллара, поскольку его почасовая оплата измеряется в долларах, а не в центах, поэтому прибавка также должна быть в долларах.

Вычитание ключевых слов

Ключевые слова на вычитание также включают ведущие ключевые слова, ключевые слова, которые можно переводить по одному слову за раз, и ключевые слова, встречающиеся в задачах-рассказах. Посмотрите на следующий список ключевых слов вычитания:

  • РАЗНИЦА МЕЖДУ _____ И _____

Одно ключевое слово вычитания (РАЗНИЦА МЕЖДУ) представляет собой выражение, состоящее из двух частей, которое начинается с ведущего ключевого слова, определяющего соответствующее И.Вы можете использовать те же методы подчеркивания и обведения ключевых слов, которые показаны в предыдущем разделе, для перевода этих выражений.

Пример 7: Переведите следующее: разница между четырьмя и шестью

Вот как вы переводите Пример 7:

1. Поскольку ключевое слово РАЗНИЦА МЕЖДУ является ведущим ключевым словом, определяющим соответствующее И, подчеркните слова до и после И: «четыре» и «шесть».

    • разница между четырьмя и шестью

2.Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком минус.

    • Выражение переводится как 4 – 6.

Примечание: И не всегда переводится как сложение. Здесь РАЗНИЦА МЕЖДУ — это ведущее ключевое слово, которое определяет, что И означает вычитание.

Другие ключевые слова вычитания, такие как MINUS и DECREASED BY, используют стратегию прямого перевода. Пример 8 представляет собой задачу на вычитание слов, которая переводится по одному ключевому слову за раз в точном порядке выражения.

Пример 8: Переведите следующее: двадцать четыре уменьшить на число

  • Выражение переводится как 24 – x .

В задаче на вычитание вы можете найти ключевые слова на вычитание LOSS, LESS, FEWER и TAKE AWAY, как показано в примере 9.

Пример 9: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о текущей стоимости материалов на стройплощадке: Строительная компания хранила на строительной площадке материалы на сумму 1253 доллара. Компания понесла убытки в размере 300 долларов из-за ущерба, нанесенного ураганом.

  • Выражение переводится как 1 253 – 300.

Умножение ключевых слов

Вот некоторые распространенные примеры ключевых слов умножения:

  • ПРОДУКТ _____ И _____

Для двух ключевых слов умножения, MULTIPLY и PRODUCT OF, ведущее ключевое слово определяет соответствующее BY или AND, как показано в примере 10.

Пример 10: Переведите следующее: произведение семи и числа

Переведите этот пример следующим образом:

1. Поскольку ПРОИЗВЕДЕНИЕ является ведущим ключевым словом, которое соответствует И, подчеркните слова до и после И: «семь» и «число».

    • произведение семи и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените AND знаком времени.

    • Выражение переводится как 7 × x .

Примечание: Имейте в виду, что И не всегда означает сложение. Ключевое слово PRODUCT OF определяет, что И в этом выражении означает умножение.

Выражение умножения, переведенное методом прямого перевода, показано в примере 11.

Пример 11: Переведите следующее: число, умноженное на пятнадцать

Выражение переводится как x x 15.

Некоторые ключевые слова умножения, такие как DOUBLE, TWICE и TRIPLE, преобразуются в число и операцию умножения, как показано в примерах 12 и 13.

Пример 12: Переведите следующее: дважды число

Выражение преобразуется в 2 × x .

Пример 13: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение: У Дженнифер в банке было 15 долларов.За следующие две недели она удвоила свои деньги.

Выражение преобразуется в 2 × 15.

Одним из ключевых слов, указывающих на умножение, является OF. Однако в текстовых задачах вы можете увидеть более одного употребления слова «из». Единственная OF, которая указывает на умножение, — это та, которая следует за ключевым словом PERCENT, знаком процента, ключевым словом FRACTION или дробью. См. примеры 14 и 15.

Пример 14: Переведите следующее: двадцать пять процентов от четырехсот долларов

Выражение преобразуется в 0.25 × 400.

Примечание: Помните, что перед умножением процент заменяется десятичной дробью.

Пример 15: Переведите следующее: одна треть от двадцати семи

Выражение переводится как .

Ключевые слова отдела

Некоторые распространенные примеры ключевых слов разделения:

  • ЧАСТЬ _____ И _____

Некоторым людям трудно различить ключевые слова ПРОИЗВЕДЕНИЕ ИЗ и ЧАСТНОЕ ИЗ.Вот подсказка, которая поможет вам запомнить, какое из них указывает на деление, а какое на умножение: ЧАСТНОЕ — более сложное слово, чем «ПРОИЗВЕД», а деление — более сложная операция, чем умножение.

Помните: Ведущие ключевые слова определяют соответствующее И или BY для обозначения деления, обычно обозначаемого символом ÷.

Пример 16: Переведите следующее: частное семи и числа

1. Поскольку ключевое слово ЧАСТНОЕ ИЗ является ведущим ключевым словом, определяющим И, подчеркните слова до и после И: «семь» и «число».

    • частное семи и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком деления.

    • Выражение переводится как 7 ÷ n .

Примечание: Здесь ключевое слово ЧАСТНОЕ определяет И для обозначения деления.

Пример 17: Переведите следующее: разделите минус тридцать шесть на девять

1. Поскольку слово DIVIDE является ведущим ключевым словом, определяющим BY, подчеркните слова до и после BY: «минус тридцать шесть» и «девять».

    • минус тридцать шесть разделить на девять

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующий BY, который оно определяет.

3.Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените BY знаком деления.

    • Выражение переводится как .

Примечание: Первое число идет в числителе при использовании дроби для обозначения деления. Число в числителе (-36) помещается внутри «дома» при использовании длинного символа деления.

Некоторые ключевые слова раздела можно переводить по одному слову. Вместо этого вы просто следуете предложению и заменяете его алгебраическими обозначениями по ходу дела.

Пример 18: Переведите следующее: число, деленное на 16

Выражение переводится как .

Часто в сюжетных задачах ключевым словом, указывающим на деление, является PER. Когда в сюжетной задаче требуется указать скорость транспортного средства в милях в час, настройте выражение, чтобы разделить количество миль на количество часов. Вы не только напрямую переводите «мили» ÷ «часы», но также определяете количество миль и количество часов, находя их в другом месте задачи.См. пример 19.

Пример 19: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о скорости: Требуется три часа, чтобы проехать 150 миль до дома бабушки. Как найти среднюю скорость в милях в час?

В вопросе вы найдете «мили» ÷ «часы». В первой части задачи вы найдете количество миль, 150 миль, и количество часов, три часа.

Выражение переводится как 150 ÷ ​​3.

Что такое порядок операций?

Раздел математики, который обычно имеет дело с неотрицательными действительными числами, включая иногда трансфинитные количественные числа, и с применением к ним операций сложения, вычитания, умножения и деления.Основными арифметическими действиями являются сложение, вычитание, деление и умножение. Для выполнения различных операций требуется определенный порядок. Если требуется выполнить несколько операций, существует порядок, которому необходимо следовать, известный как БОДМАС.

Каков порядок операций?

Порядок операций означает, что если задано арифметическое выражение, содержащее множество операций, таких как умножение, сложение, деление, то вычисления выполняются в определенном порядке, заданном BODMAS.Чтобы вычислить значение выражения, следуйте правилу BODMAS.

Правило BODMAS используется для упорядочения любой операции, включающей +, −, × и ÷. Порядок эксплуатации:

B: скобки

O: Заказать

D: Division

D: Division

м: Умновидение

A: Дополнение

S: вычитание

Таким образом, согласно этому правилу, если задано арифметическое выражение, следуйте этому правилу, чтобы вычислить результат, что означает, что скобки должны быть решены в первую очередь, затем в четырех типах операторов необходимо сначала проверить, есть ли оператор деления, затем , разделить, а затем умножить и аналогично для сложения и вычитания.

Еще один порядок работы — PEMDAS. Это похоже на правило BODMAS, давайте посмотрим на полную форму, P для скобок, E для возведения в степень, M для умножения, D для деления (в зависимости от того, что наступит раньше между M и D), A для сложения, S это для вычитания. Решение вычислений в правильном порядке помогает получить правильное решение.

Примеры задач

Вопрос 1: Решить 2+7×8-5

Решение:

Применяя BODMAS

+2 = 2 900 + (7 × 90) – 3 5

=(2 + 56) – 5

=58 – 5

=53

Вопрос 2: Можно ли выполнить сложение перед делением в любом арифметическом выражении?

Ответ:

Нет, всегда соблюдается правило BODMAS.По правилу BODMAS сложение происходит после деления, следовательно, сложение должно производиться после деления.

Вопрос 3. Найдите значение выражения: (8 × 6 – 7) + 65

Решение:

Поскольку здесь представлены скобки, сначала решите их

(7 × 6 ) в этом оператор умножения имеет наивысший приоритет, поэтому он будет

(48 – 7) = 41

Таким образом, окончательный результат будет 41 + 65 = 106

Вопрос 4: Найдите значение 6 × 6 + 6× 6+ 6× 6

Решение:

Здесь есть только два оператора: сложение и умножение.

Следовательно, сначала решите умножение

36 + 36 + 36

= 108

Пример 5 + 8) – (70/5 – 6)

Теперь решим соответствующие скобки ,

(2 × 2 × 7 + 8) – (14 – 6)

(4 × 7 + 8) – (8 )

(28 + 8) – (8)

(36) – (8)

28

Совокупный интеллект: BODMAS или PEMDAS: Это элементарно!

Выросший в Индии, я выучил мнемонические слова БОДМАС (произносится: бодмас!), которые помогают мне запоминать порядок операций при решении уравнений.Это означает:

+ девяносто одна тысяча триста тридцать четыре A S S
B Кронштейны
О Order
D Отдел
М умножение
S

Моя жена, которая выросла здесь в У.С., использует фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли», чтобы запомнить порядок действий.

4 S S
P Скобки
Е Экспоненты
М Умножение
D Отдел
S

Но, держитесь, есть разница между Бодмас и Пемдасом, в Индии мы, кажется, выступают деление перед умножением, а тут мы как бы умножаем перед делением! Ой! что здесь происходит, кто прав?

И то, и другое, но мнемоника не показывает, что некоторые операции имеют одинаковый приоритет:

(Умножение и деление) и

(Сложение и вычитание)

Таким образом, M&D и D&M совершенно одинаковы. а также A&S и S&A.

Почему это? Простой, потому что деление можно заменить операцией умножения, а вычитание можно заменить сложением следующим образом:

x / y = x * (1/y)

и x – y = (x + (-y) )

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.order.operations.html

PEMDAS: Порядок операций

PEMDAS — это способ запомнить порядок операций, которые используются для упрощения числовых выражений и даже представлены в том, как мы подходим к решению уравнений.В этом уроке мы рассмотрим, что такое PEMDAS, и рассмотрим несколько примеров того, как он работает.

Содержание

  1. Зачем нам нужен PEMDAS?
  2. Что означает PEMDAS?
  3. Примеры использования PEMDAS и порядок операций

реклама

Зачем нам PEMDAS?

Рассмотрим вычисление \(1+3\умножить на 5\). Что из этого правильно?

\(1+3 \умножить на 5 = 4 \умножить на 5 = 20\)

или

\(1 + 3\умножить на 5 = 1 + 15 = 16\)

Если подумать, то оба подхода кажутся разумными для расчета.Проблема в том, что два подхода дают разные ответы! Чтобы избежать путаницы, существует стандартный согласованный порядок выполнения операций (где операция представляет собой что-то вроде сложения или умножения), известный как порядок операций .

Кстати, правильный расчет: \(1 + 3\умножить на 5 = 1 + 15 = 16\)

Что такое PEMDAS?

Легче всего запомнить порядок операций с помощью сокращения «PEMDAS». Вы даже можете добавить, чтобы запомнить это сокращение: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».Это означает:

P квадратные скобки: Выполнить все операции, указанные в скобках. Если операций много, вы также должны соблюдать порядок операций внутри круглых скобок.

E экспоненты: Вычислите любые экспоненты, которые вы видите.

M умножение и D ivision: Выполните любое умножение или деление, которое вы видите, как правило, слева направо.

Сложение и вычитание Выполняйте любое сложение и вычитание слева направо.2 = 1 + 3 \умножить на 16\)

Далее нам предстоит выполнить любое умножение или деление (MD). Вы можете проверить на своем калькуляторе, что \( 3 \times 16 = 48\). Теперь у нас есть:

\(1 + 3 \умножить на 16 = 1 + 48\)

Наконец, мы прибавим/вычтем (AS), чтобы получить окончательный ответ:

\(1 + 48 = \в коробке{49}\)

Как видите, нам просто нужно пройтись по каждой части PEMDAS и тщательно выполнить все расчеты. Давайте попробуем другой пример, применяя те же правила, но просто взглянем на саму математику.2 = 9\). Увидеть разницу? Если есть круглые скобки, это означает, что вы возводите в квадрат весь член, иначе отрицание «едет» как часть умножения.

реклама

Заключение

Порядок операций применяется не только к числовым примерам, но также и к любой математической задаче, включая те, которые встречаются позже в алгебре и исчислении. Удостоверьтесь, что вы нашли время, чтобы работать с этими правилами, чтобы они были вашей второй натурой и не замедляли вас на продвинутых курсах! Вы также должны проявлять особую осторожность при использовании графических калькуляторов и правильно применять круглые скобки, поскольку они всегда будут использовать порядок операций при выполнении вычислений.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), сообщающие о новинках!

Связанные

Изучение порядка операций (PEMDAS)

В этом видео мы научимся решать уравнения, используя порядок операций.
Использовать PEMDAS :

P арентезис
E экспонент
M умножение
D ivision
A дополнение

5 S

5 вычитание

Примеры порядка операций

Пример 1

Сначала решим число с показателем степени

.

Тогда мы разделим 28 на 4

Теперь мы складываем два числа

Следовательно, ответ

Пример 2

Сначала мы вычитаем числа в скобках

(16-4)+3\х2=(12)+3\х2

Затем умножаем 3 на 2
(12)+3\times2=12+6

Теперь складываем 12 и 6

Следовательно, ответ

После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре и алгебре и попрактикуйтесь в решении задач.

Стенограмма видеоурока

В этом видео мы научимся решать уравнения, используя порядок операций.

PEMDAS означает:

Скобки
Показатель степени
Умножение
Деление
Сложение
Вычитание

Умножение и деление можно поменять местами. Кто из двух придет первым.

То же верно для сложения и вычитания.

Квадратный корень имеет тот же порядок, что и показатель степени.

Хотя столбцы абсолютных значений имеют тот же порядок, что и скобки.

Приведу пример.

У нас есть

Сначала выполните операцию внутри полос абсолютного значения.

Кто-то может подумать, что это

Но это не так.

Давайте сделаем

Здесь мы должны вычислить первое.

Мы придумаем

Значит будет

И ответ

Обратите внимание, что если мы сохраним этот

Ответ будет другим.

Перейдем к квадратным корням.

У нас есть

Мы не можем просто сложить их вместе.

Сначала мы должны сделать Экспоненту.

Итак, будет

Добавьте их, и у нас будет

Вот и все.

Снова обработайте квадратный корень того же порядка, что и показатель степени.

И столбцы абсолютных значений в том же порядке, что и скобки.

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.