4 класс алгоритм умножения столбиком: «Алгоритм умножения столбиком » 4 класс ПНШ

Содержание

«Алгоритм умножения столбиком » 4 класс ПНШ

Конспект урока по математике

Тема: «Алгоритм умножения столбиком »

4 класс ПНШ

Цель: Познакомить с алгоритмом умножения столбиком.

Задачи:

— уметь устанавливать значимость учебно- познавательной деятельности;

— уметь контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей;

Формирование УУД:

Личностные: развитие доброжелательности, готовности к сотрудничеству;

Регулятивные: сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки с помощью детей, учителя; соотнести результат своей деятельности с целью и оценить его.

Познавательные: общеучебные – самостоятельное определение цели, построение речевого высказывания, выбор эффективных способов решения задач; логические – выбор критериев для сравнения, доказательство;

Коммуникативные:

готовность слушать собеседника и вести диалог, признавать возможность существования различных точек зрения, излагать свое мнение и аргументировать свою точку зрения.

1.

Самоопределение к учебной деятельности

Проверка учащихся к уроку,

мотивирование ученика к учебной деятельности на уроке.

-Гриб помножим на сосну, 
Лист помножим на весну, 
Теплый ветер — на зерно, 
Землянику — на звено. 
 
Множим солнце на лучи, 
Всех мальчишек — на мячи, 
Всех девчонок на «хи-хи», 
Всех поэтов на стихи. 
 
Множим крыши на людей, 
А метро — … на лошадей, 
Голубей — на чердаки, 
Поваров — на черпаки. 

-Что будем делать на уроке?(умножать)

Готовность к уроку. Самоопределение в учебную деятельность

2. Актуализация знаний

Формирование познавательного интереса

— Выполним умножение столбиком многозначного числа на однозначное.( 2052*3).

-С какого разряда первого множителя нужно начинать умножение?

-Какое число нужно записывать в соответствующий разряд результата, если при умножении в этом разряде получается однозначное число, и какое- если двузначное?

-Если имеется переход через разряд, как его нужно учитывать при дальнейших вычислениях?

— Выполним умножение многозначного на двузначное.

-На какое разрядное слагаемое второго множителя сначала умножаем первый множитель?

-как умножаем далее?

-Чем отличается расположение записи результата умножения на три единицы ,от результата на два десятка?

— С какого разряда ведется запись на два десятка?

-Какое действие выполняется между результатами?

Сформирован познавательный интерес

Диалог

3.

Постановка учебной проблемы

Подготовка к изучению нового

Что удивляет? Что интересного заметили? Какие видите факты?

Какова тема урока? (ответы)

— Верно, мы будем учиться умножать многозначные числа на многозначные.

-Какие цели поставим чтобы этому научится.(… Вспомним таблицу умножения, узнаем как правильно умножать многозначное число на многозначное и т.д.).

Побуждение к формулированию учебной проблемы и темы урока

Метод беседы

4. Поиск решения учебной проблемы

-Давайте умножим 2052 на 123 и ответим на вопрсы:

-Как нужно записывать множители?

-На какое разрядное слагаемое второго множителя нужно умножить первый множитель?

— На какое разрядное слагаемое второго множителя нужно умножать далее ?

-Как нужно действовать , если какое-то разрядное слагаемое равно-0?

-Когда нужно заканчивать умножение?

— Что делают с полученными результатами?

Когда будет получен окончательный результат?

Аналитически мыслят

— побуждение к выдвижению гипотез;- побуждение к проверке гипотез. Подводящий к знанию без проблемы диалог.

5. Физминутка.

Активный отдых

— Чтобы хорошо понять материал

зарядимся.

Физминутка. 

Отдохнули

6. Первичное закрепление

Сформировать внутреннюю позицию к деятельности

Сформировать умение планировать свою деятельность в соответствии с поставленной задачей

Сформировать умение умножать

-№57 стр. 24 учебника

Сформированность внутренней позиции к деятельности (Л)

Умение планировать свою деятельность в соответствии с поставленной задачей(Р)

Словесный метод(выполнение с комментированием)

7. Закрепление. Самостоятельная работа с самопроверкой

Формировать умение планировать учебное сотрудничество

Карточки Самостоятельная работа.

А сейчас вы будете работать самостоятельно. Потом поменяйтесь карточками и проверте друг друга.

Сравнение

Умение планировать учебное сотрудничество(К)

(взаимопроверка)

8. Включение нового в систему знаний и повторение

№56 стр. 24

9. Рефлексия деятельности

Сформировать

уметь оценивать результат своей деятельности.

Сформировать умение устанавливать значимость познавательной деятельности.

Какие цели мы ставили? Удалось ли их достичь?

-Как нужно записывать множители?

-Как нужно действовать , если какое-то разрядное слагаемое равно-0?

-Когда нужно заканчивать умножение?

— Что делают с полученными результатами?

Способность оценивать результат своей деятельности.

Способность устанавливать значимость познавательной деятельности.

10. Д/З

Т№1 стр.

Урок 48. алгоритм письменного умножения на двузначное число — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 48. Алгоритм письменного умножения на двузначное число

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Алгоритм умножения на двузначное число.

— Правила записи выражения при умножении столбиком.

Глоссарий по теме:

Алгоритм – установленная последовательность действий, выполняемых по строго определённым правилам. Безошибочное следование этим правилам приводит к решению поставленной задачи.

Двузначное число – число, состоящее из двух знаков.

Неполное произведение – результат умножения на число единиц, десятков.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Петерсон Л. Г. Математика. 3 класс. 3 ч. – М.: 2013. – С. 42-44.

2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч. – М.: Просвещение, 2017.

3. Дорофеев Г. В., Миракова Т. Н., Бука Т. Б. Математика. 4 класс. Учебник. Часть 2. М.: Просвещение, 2012. – С. 37-39.

4. Рудницкая В. Н., Юдачёва Т. В. Математика. Учебник для 3 класса нач. шк. Часть 2. – М.: Вентана-Граф, 2015. – С. 87-88.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Умножим 37 на 64.

Вычисления удобно записывать вместе в виде одного столбика. Для этого сначала записываем второй множитель под первым так, чтобы десятки оказались под десятками, а единицы под единицами. Умножение в столбик начинают с низшего разряда единиц. Умножим первый множитель на число единиц, то есть 37 умножим на 4, получим первое неполное произведение 148.

Умножим первый множитель на число десятков, то есть 37 умножим на 6, получим второе неполное произведение 222 десятка.

Обрати внимание, что второе неполное произведение подписывают под первым так, чтобы десятки оказались под десятками. При этом последний 0 в разряде единиц подразумевается, но не записывается. Другими словами, в записи суммы число десятков сдвигают на 1 разряд влево.

Сложим неполные произведения, получим ответ 2368.

Из всего сказанного составим алгоритм письменного умножения на двузначное число.

1.Умножим первый множитель на число единиц.

2.Умножим первый множитель на число десятков.

3.Сложим неполные произведения.

4.Читаем ответ.

Итак, чтобы умножить любое число на двузначное, можно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить.

Задания тренировочного модуля:

1. Подчеркните строку в записи умножения столбиком, в которой допущена ошибка.

Правильный вариант: строка с числом 158

2. В кинотеатре 18 рядов по 32 места в каждом ряду. Сколько мест в 8 рядах?

Выберите один правильный вариант ответа.

Варианты ответа: 32; 256; 576

Правильный вариант: 256

Конспект урока по математике ЗАПИСЬ УМНОЖЕНИЯ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО СТОЛБИКОМ(4 класс)

Урок 73
 ЗАПИСЬ УМНОЖЕНИЯ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
СТОЛБИКОМ

Цели: составить алгоритм умножения на двузначное число столбиком; совершенствовать вычислительные навыки; формировать умения решать задачи; развивать умение рассуждать.

Ход урока

I. Устный счет.

1. Поставьте знаки арифметических действий так, чтобы выполнялся данный порядок действий:

2. Поставьте знаки >, < или =:

9 · (5 + 4) … 9 · 5 + 4                             8 · 7 – 16 … 8 · (7 – 2)

24 : 8 + 4 … 24 : (8 + 4)                          63 : 7 + 2 … 63 : (7 + 2)

3 · (5 + 4) – 8 … 3 · 5 + 4                       42 : 6 + 36 … 42 : (6 + 36)

8 : (9 – 7) – 1 … 4 · 4 – 8                        6 · 7 – 42 … 42 : 7 – 6

3. Задача.

На трёх тарелках лежали груши, по 7 штук на каждой. С каждой взяли по 4 груши.

– На какие вопросы можно ответить, выполнив действия:

4. Из 20 счётных палочек выложите фигуру, как на рисунке.

а) Переложите семь палочек так, чтобы получить два больших и два маленьких квадрата.

б) Уберите четыре палочки так, чтобы получить один большой и пять маленьких квадратов.

II. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите схемы на доске.

– Что они обозначают?

– Сегодня на уроке составим алгоритм умножения на двузначное число столбиком.

III. Работа по теме урока.

1. Задание 42.

– Используя запись в строчку, объясните, как выполнено умножение чисел.

132 · 23 = 132 · (20 + 3) = 132 · 20 + 132 · 3 = 2640 + 396 = 3036

– Выполните умножение столбиком числа 132 сначала на число 3, а потом на число 20.

– После этого выполните сложение столбиком полученных результатов умножения.

– Можно эти три записи объединить в одну.

– Подчеркните синим цветом цифру единиц второго множителя и соответствующий результат умножения.

– Подчеркните красным цветом цифру десятков второго множителя и соответствующий результат умножения.

– Обведите в рамку ту часть записи, которая соответствует выполнению сложения столбиком полученных результатов поразрядного умножения.

– Чем отличается порядок вычисления значений промежуточных произведений при записях в строчку и столбиком?

– При какой форме записи удобнее складывать полученные значения промежуточных произведений?

2. Задание 43.

Учащиеся выполняют умножение.

IV. Продолжение работы по теме урока.

1. Задание 44.

Учащиеся выполняют умножение на двузначное число столбиком.

2. Задание 45.

– Прочитайте задачу.

– Что известно?

– Что требуется узнать?

– Решите задачу.

Запись:

Решение:

Ответ: 288 тетрадей.

3. Задание 46.

– Проверьте, верно ли выполнено умножение столбиком. (Верно.)

– Что можно заметить необычного в записи умножения столбиком числа 23194 на число 22? (В результате умножения на 20 не записано число ноль.)

– При умножении первого множителя на число десятков второго множителя разрешается сокращать запись: можно не писать 0 в разряде единиц полученного промежуточного результата, а начинать его записывать сразу с разряда десятков.

– Перепишите первые три записи умножения столбиком, сделав их сокращенными.

3. Решение задачи.

Корзину моркови дачник разделил на пучки. У него получилось 8 пучков по 5 шт. и в 2 раза меньше пучков по 7 шт.

Заполните пустые ячейки таблицы:

 

Сколько получилось пучков по 7 шт.?

8 · 5

 

8 · 5 + 8 · 2 · 7

 

 

Сколько всего морковок получилось в пучках
по 7 шт.?

8 · 5 – 8 : 2 · 7

 

V. Итог урока.

– Что нового узнали на уроке?

– Как выполнить умножение на двузначное число столбиком?

Домашнее задание. № 47.


 


 

Скачано с www.znanio.ru

ПНШ 4 класс. Математика. Учебник № 1, с. 24

Алгоритм умножения столбиком

Ответы к с. 24

56. Устно сделай прикидку, сколько цифр будет в записи результата умножения чисел 2365 и 43. Проверь предположение с помощью алгоритма умножения столбиком.

Самый большой разряд первого множителя — тысячи: 2000, а второго — десятки: 40. При их перемножении получается число 80000, следовательно, в результате умножения будет 5 цифр. Поскольку мы не учли остальные разрядные слагаемые, при реальном вычислении умножение всех разрядных слагаемых может дать переход через разряд с последующим увеличением (при сложении промежуточных результатов) результата умножения до 6 чисел. Таким образом, в записи результата умножения может быть 5 или 6 цифр.
  ×2365
       43
 7095
  9460  
101695
В результате умножения получилось 6 цифр.

57. В первой строке записаны задания на умножение столбиком, а во второй — выполнение этих заданий, но порядок выполнения заданий не соответствует порядку их предъявления.
×467            ×467         ×467
  504                54           540


 +1868     +   1868     18680
 23350     233500     233500
 25218     235368     252180
Установи соответствие между записями из первой и второй групп и запиши в тетрадь полные записи выполнения умножения столбиком для данных чисел.
Можно ли восстановить записи без проведения вычислений, если считать, что все вычисления выполнены верно. Как это сделать? Объясни.

      ×467        ×467         ×467
      504            54           540
+   1868      1868     18680
 233500      23350      233500
 235368      25218      252180
Можно.
В первом исходном столбце при перемножении чисел разряда единиц получается: 7 • 4 = 28, то есть последняя цифра в результате умножения — 8, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Подходят результаты 25218 и 235368. Самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — сотни: 500. При их перемножении получается число 200000, следовательно, в результате умножения будет 6 чисел. Из двух результатов подходит 235368.
Во втором исходном столбце при перемножении чисел разряда единиц получается: 7 • 4 = 28, то есть последняя цифра в результате умножения — 8, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Подходит результат 25218, послкольку ответ 235368 уже принадлежит результату умножения первого столбика. Кроме того, самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — десятки: 50. При их перемножении получается число 20000, следовательно, в результате умножения будет 5 чисел.
Для третьего столбика остаётся ответ 252180. Это проверяется умножением чисел разряда единиц: 7 • 0 = 0, то есть последняя цифра в результате умножения — 0, она не изменится при сложении промежуточных результатов. Кроме того, самый большой разряд первого множителя — сотни: 400, а второго — сотни: 500. При их перемножении получается число 200000, следовательно, в результате умножения будет 6 чисел.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 1. Чекин А.Л. 2012 г.

Математика. 4 класс. Чекин А.Л.

Конспект урока математики «Запись умножения на двузначное число столбиком» | План-конспект урока по математике (3 класс):

Этап урока

Методы и приемы

Хроно-

метраж

Содержание урока

Формируемые УУД

Деятельность учителя, формы деятельности учащихся

Деятельность ученика

I.Этап самоопределения к деятельности

Психологический настрой

3 мин

-Здравствуйте, ребята!

-Меня зовут Виктория Дмитриевна и сегодня я проведу у вас урок математики.

И прекрасна, и сильна –
Математики страна.
Уравненья и задачи,
Устный счет здесь всякий раз.
Пожелаю вам удачи!
За работу! В добрый час!

—  За активную работу я буду давать вам смайлики.  Тот, кто соберет больше смайликов, получит 5. Начнем нашу работу.

-Здравствуйте.

Слушают и анализируют информацию.

К: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

II.Актуализация знаний и мотивация

Практический:

Устный счет

— Открываем тетради, записываем число, «Классная работа».

— Посмотрите на слайд и вычислите устно.

Вычислите устно:         

62*(8+2)

7*(10+3)

— У всех получилось?

— А почему? Забыли правило. Какое?

— Давайте вспомним его. Кто может рассказать?

— Сейчас на слайде будут появляться примеры (№28 в р. т.), ваша задача решить их устно и записать в тетрадь только ответы.

— Миша, прочитай свои ответы.

Записывают число.

Вычисляют.

— Нет.

— Умножение числа на сумму.

П: Выделение известной информации и структурирование знаний

III. Постановка учебной задачи

Наглядный: презентация

Словесный: беседа

— Посмотрите на слайд. Попробуйте решить этот пример столбиком.

— В чем трудность, почему не решили пример?

        

— Чем отличается новый пример от тех, что мы решали раньше?

—  Выполните так, как умеете.

 — Как вы будете решать, каким правилом пользоваться?

132•23=132• (20+3)=

— Маша, выходи к доске и выполни умножение столбиком числа 132 на число 3, а потом числа 132 на 20. После этого выполни сложение столбиков двух полученных результатов умножения.

— Ребята, посмотрите, как можно эти три записи объединить в одну.

— Перепишите себе в тетрадь. Подчеркните одной чертой цифру единиц второго множителя и соответствующий результат умножения. Подчеркните двумя чертами цифру десятков второго множителя и соответствующий результат умножения. Обведите в рамку ту часть записи, которая соответствует выполнению сложения столбиком полученных результатов поразрядного умножения.

— Чем отличается порядок вычисления значений промежуточных произведений при записи в строчку и столбиком?

— При какой форме записи удобнее складывать полученные значения промежуточных произведений.

— Удобен для вас способ вычисления значений промежуточных произведений в строчку?

— Много ли времени вы тратите на решение этих примеров?

 — Может, есть другой способ записи, чтобы было легко, просто, да к тому же быстро и удобно?

— Что вам хочется узнать?

 — Давайте определим тему урока: Запись умножения на двузначное число столбиком.

— Чему должны научиться на уроке, поставим для себя цель.

— Не решали такие примеры, не получается решить тем способом, который нам знаком.

— Здесь двузначные множители, а раньше были однозначные или однозначные с нулями на конце.

— Правилом поразрядного умножения.

Один ученик выходит решать пример у  доски, остальные решают в тетради.

Маша выполняет на доске, остальные у себя в тетради.

Смотрят на слайд.

Переписывают в тетрадь.

— При записи в строчку — начинаем с десятков, при записи в столбик – с единиц.

— Нет.

— Да.

— Записывать и выполнять умножение столбиком.

П.:осознание и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

П: структурирование знания;

К: умение с достаточной полнотой выражать свои мысли

П: самостоятельное формулирование темы и цели урока

IV.Открытие нового знания

Словесный: беседа

Наглядный: иллюстрация в учебнике

— Откройте учебник на с. 20. Давайте выполним номер 43 в парах.

— Ваня, выходи к доске и запиши примеры и их ответы  в столбик.

— Давайте попробуем составить алгоритм умножения многозначных чисел на двузначное число в столбик. (Алгоритм появляется на доске)

Алгоритм «Умножение на двузначное число»

1. Читаю пример, записываю его в столбик.

2. Умножаю первый множитель на число единиц второго множителя. Получу первый промежуточный результат.

3. Умножаю первый множитель на число десятков второго множителя. Получу второй промежуточный результат.

4. Складываю полученные значения промежуточных произведений.

5. Читаю ответ.

Выполняют задание в парах.

Ваня записывает примеры и ответы.

П: анализ

К: умение с достаточной полнотой выражать свои мысли

Динамическая пауза

 3 мин

— А теперь давайте немного отдохнем. Смотрите на слайд и повторяйте движения.

Выполняют упражнения.

V.Первичное закрепление во внешней речи

Словесный: беседа

Практический: решение примеров

— Выполним номер 44 на странице 20.

— Прочитайте задание номер 45. А теперь откройте свои рабочие тетради на странице 14. Посмотрите на задание номер 27.

— Лена, выйди к доске и заполни таблицу.

— Читаем каждое предложение в задаче и говорим, что и в какой столбик запишем.

— Как ответить на вопрос задачи? Что нужно знать?

— Каким действием?

— А, зная, сколько получил один ученик, сможем узнать, сколько получил 21 ученик?

— Каким действием?

— Катя, выйди к доске и запиши решение.

— Ребята, у всех получился такой ответ?

— А может кто- то решил другим способом?

Выходят к доске и решают примеры.

Открывают рабочие тетради.

Лена выполняет у доски, остальные в рабочей тетради.

— Сколько получил один ученик.

— Сложением.

— Да.

— Умножением.

П: поиск и выделение необходимой информации

П: анализ 

К: умение с достаточной полнотой выражать свои мысли

VI. Самостоятельная работа с проверкой

Частично-поисковый: самостоятельная работа

— Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. Откройте с. 22 № 50.

-На решение вам 5 минут.

-Итак, давайте проверим, взгляните на слайд.

-Встаньте те, у кого нет ошибок.

-Молодцы.

Выполняют самостоятельную работу.

Проверяют решение.

П: выполнение действий по алгоритму

VII. Включение в систему знаний

Словесный: беседа

— Посмотрите на задание номер 29 в рабочей тетради. Предлагаю поработать в группах.

— Выполнять это задание вы будете на листах.

— Представители групп вывесьте свои работы.

— А сейчас группа номер 3 представит свою работу.

Выполняют задание в группах.

Крепят на доску работы.

Представляют работу.

К: работа в команде — умение устанавливать рабочие отношения

VIII. Рефлексия деятельности

-Итак, ребята, наш урок подходит к концу.

— Посчитайте свои смайлики, и мы определим того, кто сегодня на уроке работал активнее всех.

— Молодец, Петя! Ты хорошо работал на уроке и поэтому я поставлю тебе 5.

— Давайте вспомним, какую тему мы изучали сегодня.

— Какие цели мы ставили? Как вы думаете, вы достигли их?

— На слайде вы видите картинки чемодана, мясорубки и корзины.

Чемодан – все, что пригодится в дальнейшем.

Мясорубка – информацию переработаю.

Корзина – все выброшу.

— Предлагаю вам выбрать, как вы поступите с информацией, полученной на уроке.

— Запишите домашнее задание со слайда.

-Ребята, спасибо за урок, до свидания!

Считают смайлики.

— Запись умножения на двузначное число столбиком.

Отвечают на вопросы.

Выбирают картинку.

Несколько человек комментируют свой выбор.

Записывают домашнее задание

П:Рефлексия способов и условий действий

Л:Самооценка

Урок математики 4 класс «Алгоритм письменного умножения на двузначное число»

ПРИМЕРЫ МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК УРОКОВ

НОМЕРА СТРАНИЦ УЧЕБНИКА ТЕМА Продолжение КОЛИ- ЧЕСТВО ЧАСОВ 68, 69 «Странички для любознательных» дополнительные задания творческого и поискового характера: задачи-расчёты; определение «верно» или «неверно»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ Развёрнутый план урока по теме «Замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых» ТЕМА: «Замена двузначного числа суммой разрядных слагаемых» (ч. 1: с. 15) ЦЕЛЕВЫЕ УСТАНОВКИ:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ

162 МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ УРОКОВ Конспект урока по теме «Решение текстовых задач» Тема: Решение задач на нахождение четвёртого пропорционального (ч. 1: с. 46) Целевые установки: предметные: познакомить

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока ФИО Попенкова Татьяна Сергеевна КЛАСС 3 УМК «Начальная школа XXI век» ПРЕДМЕТ Математика ТЕМА Умножение многозначного числа на двузначное. ТИП Урок открытия нового знания. ЦЕЛЬ

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Данная рабочая программа учебного предмета «Математика» для обучающихся 4 класса муниципального казённого общеобразовательного учреждения «Большеокинская СОШ» разработана на основе

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по математике для обучающихся 3 класса на 206-207 учебный год ОС «Планета Знаний» Пояснительная записка Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными положениями

Подробнее

Предмет математика класс 2 г

Предмет математика класс 2 г Тема урока Место урока по теме (в разделе/главе) Закрепление изученного по теме «Умножение и деление» «Умножение и деление» 18 из 20 Тип урока Форма урока, форма учебной деятельности,

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа учебного предмета «Математика» составлена в соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта общего образования и на основе программы,

Подробнее

Рабочая программа по математике 2 класс

МБОУ «Кипринская основная общеобразовательная школа» Рабочая программа по математике 2 класс Составитель: учитель нач. классов Пыстогова В. В. 2018 2019 учебный год 1 Пояснительная записка Рабочая программа

Подробнее

Метапредметные результаты

1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Личностные результаты У учащегося будут сформированы: -понимание того, что одна и та же математическая модель отражает одни и те же отношения между различными объектами; -элементарные

Подробнее

13 часов часов часов часа 5

Тематический план по математике 4 класс Раздел/тема Общее кол-во часов Кол-во контрольных работ 1 Числа от 1 до 1000. Сложение и вычитание. Повторение 2 Числа, которые больше 1000. Нумерация 13 часов 1

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 4 класса разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, примерной программы начального

Подробнее

II Пояснительная записка

Количество часов Всего 136 часов: в неделю 4 часа. II Пояснительная записка Планирование составлено на основе УМК «Гармония» Рабочая программа по математике разработана на основе Примерной программы по

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по математике для обучающихся 3 класса по ОС «Планета знаний» на 207-208 учебный год Пояснительная записка. Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Программа по математике для 2 класса является структурной частью Основной образовательной программы начального общего образования и разработана на основе следующих нормативных документов:

Подробнее

1: ЧИСЛА ОТ 1 ДО ПОВТОРЕНИЕ

п/п Тема урока Количество часов Планируемые сроки проведения Раздел 1: ЧИСЛА ОТ 1 ДО 1000. ПОВТОРЕНИЕ 13 ч 1. Повторение. Нумерация. 1 1 неделя Порядок действий в числовых выражениях. Сложение и вычитание.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа предмета «Математика» для 2 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (2009 г). Курс «Математика»

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Адаптированная рабочая программа по математике для детей с ограниченными возможностями здоровья (задержка психического развития) ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Адаптированная рабочая программа разработана на основе

Подробнее

ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

МАТЕМАТИКА 2 класс ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для 2 класса разработана на основе Примерной программы начального общего образования, авторской программы: Л. Г. Петерсон«Математика»,

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа по математике для 4 классов составлена в соответствии с правовыми и нормативными документами: Федеральный Закон от 29.12.2012 г. 273-ФЗ «Об образовании в Российской

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа разработана на основе требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования. И реализуется с использованием Программы

Подробнее

I. Место предмета в учебном плане

I. Место предмета в учебном плане В Федеральном базисном образовательном плане на изучение математики в каждом классе начальной школы отводится 4 часа в неделю, всего 540 часов. II. Содержание учебного

Подробнее

Математика. Пояснительная записка.

Математика Программа: ШКОЛА РОССИИ. Концепция и программы для Начальных классов. Часть 1. Математика. Авторы: М. И. Моро, Ю. М. Калягин, М.А,Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова, С. В. Степанова. —

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа по математике для 2 класса общеобразовательной школы составлена на основе Закона Российской Федерации от 0 июля 992 года 3266- «Об образовании»; Приказа Министерства

Подробнее

План-конспект. Тема: Степень числа. 5 класс

План-конспект Тема: Степень числа. 5 класс 1.Цель урока: организовать деятельность учащихся по открытию нового знания, создать условия для осознания и осмысления учебной информации по теме: «Степень числа»

Подробнее

Умножение числа на 10.»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 2 Урок математики в 3 классе «Сочетательное свойство умножения. Умножение числа на 10.» Учитель: Гурьянова Е.С. г. Навашино

Подробнее

Конспект урока математики. 3 класс

Конспект урока математики 3 класс УМК: «Планета знаний» Тема: «Строим фигуры из кубиков» Тип урока: открытие нового знания. Цель: сформировать представление о том, что объем фигуры измеряют единичными

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Учитель: Кривцовой О. И. Класс: 2 «Б» УМК: «Школа России» Предмет: математика. Тема урока: Периметр прямоугольника. Вычисление периметра. урока: урок открытия новых знаний Место

Подробнее

Математики обнаружили идеальный способ перемножения чисел / Хабр

Разбивая крупные числа на мелкие, исследователи превысили фундаментальное математическое ограничение скорости


Четыре тысячи лет назад жители

Вавилонии

изобрели умножение. А в марте этого года математики усовершенствовали его.

18 марта 2019 два исследователя описали самый быстрый из известных методов перемножения двух очень больших чисел. Работа отмечает кульминацию давнишнего поиска наиболее эффективной процедуры выполнения одной из базовых операций математики.

«Все думают, что метод умножения, который они учили в школе, наилучший, но на самом деле в этой области идут активные исследования», — говорит Йорис ван дер Хувен, математик из Французского национального центра научных исследований, один из соавторов работы.

Сложность множества вычислительных задач, от подсчёта новых цифр числа π до обнаружения крупных простых чисел сводится к скорости перемножения. Ван дер Хувен описывает их результат как назначение своего рода математического ограничения скорости решения множества других задач.

«В физике есть важные константы типа скорости света, позволяющие вам описывать всякие явления, — сказал ван дер Хувен. – Если вы хотите знать, насколько быстро компьютеры могут решать определённые математические задачи, тогда перемножение целых чисел возникает в виде некоего базового строительного блока, по отношению к которому можно выразить такую скорость».

Почти все учатся перемножать числа одинаково. Записываем числа в столбик, перемножаем верхнее число на каждую цифру нижнего (с учётом разрядов) и складываем результат. При перемножении двух двузначных чисел приходится проделать четыре более мелких перемножения для получения итогового результата.

Школьный метод «переноса» требует выполнения n2 шагов, где n – количество цифр в каждом из перемножаемых чисел. Вычисления с трёхзначными числами требуют девяти перемножений, а со стозначными – 10 000.

Метод переноса нормально работает с числами, состоящими из нескольких цифр, однако начинает буксовать при перемножении чисел, состоящих из миллионов или миллиардов цифр (чем и занимаются компьютеры при точном подсчёте π или при всемирном поиске больших простых чисел). Чтобы перемножить два числа с миллиардом цифр, нужно будет произвести миллиард в квадрате, или 1018, умножений, – на это у современного компьютера уйдёт порядка 30 лет.

Несколько тысячелетий считалось, что быстрее перемножать числа нельзя. Затем в 1960 году 23-летний советский и российский математик Анатолий Алексеевич Карацуба посетил семинар, который вёл Андрей Николаевич Колмогоров, советский математик, один из крупнейших математиков XX века. Колмогоров заявил, что не существует обобщённого способа умножения, требующего меньше, чем n2 операций. Карацуба решил, что такой способ есть – и после недели поисков он его обнаружил.


Анатолий Алексеевич Карацуба

Умножение Карацубы заключается в разбиении цифр числа и повторной их комбинации новым способом, который позволяет вместо большого количества умножений провести меньшее количество сложений и вычитаний. Метод экономит время, поскольку на сложения уходит всего 2n шагов вместо n2.


Традиционный метод умножения 25х63 требует четыре умножения на однозначное число и несколько сложений


Умножение Карацубы 25х63 требует трёх умножений на однозначное число и несколько сложений и вычитаний.
a) разбиваем числа
b) перемножаем десятки
c) перемножаем единицы
d) складываем цифры
e) перемножаем эти суммы
f) считаем e – b – c
g) собираем итоговую сумму из b, c и f

При росте количества знаков в числах метод Карацубы можно использовать рекурсивно.


Традиционный метод умножения 2531х1467 требует 16 умножений на однозначное число.


Умножение Карацубы 2531х1467 требует 9 умножений.

«Сложение в школе проходят на год раньше, потому что это гораздо проще, оно выполняется за линейное время, со скоростью чтения цифр слева направо», — сказал Мартин Фюрер, математик из Пенсильванского государственного университета, создавший в 2007 быстрейший на то время алгоритм умножения.

Имея дело с крупными числами, умножение Карацубы можно повторять рекурсивно, разбивая изначальные числа почти на столько частей, сколько в них знаков. И с каждым разбиением вы меняете умножение, требующее выполнения многих шагов, на сложение и вычитание, требующие куда как меньше шагов.

«Несколько умножений можно превратить в сложения, учитывая, что с этим компьютеры будут справляться быстрее», — сказал Дэвид Харви, математик из Университета Нового Южного Уэльса и соавтор новой работы.

Метод Карацубы сделал возможным умножать числа с использованием лишь n1,58 умножений на однозначное число. Затем в 1971 году Арнольд Шёнхаге и Фолькер Штрассен опубликовали метод, позволяющий умножать большие числа за n × log n × log(log n) небольших умножений. Для умножения двух чисел из миллиарда знаков каждое метод Карацубы потребует 165 трлн шагов.


Йорис ван дер Хувен, математик из Французского национального центра научных исследований

Метод Шёнхаге-Штрассена используется компьютерами для умножения больших чисел, и привёл к двум другим важным последствиям. Во-первых, он ввёл в использование технику из области обработки сигналов под названием быстрое преобразование Фурье. С тех пор эта техника была основой всех быстрых алгоритмов умножения.

Во-вторых, в той же работе Шёнхаге и Штрассен предположили возможность существования ещё более быстрого алгоритма – метода, требующего всего n × log n умножений на один знак – и что такой алгоритм будет наибыстрейшим из возможных. Это предположение было основано на ощущении, что у такой фундаментальной операции, как умножение, ограничение операций должно записываться как-то более элегантно, чем n × log n × log(log n).

«Большинство в общем-то сошлось на том, что умножение – это такая важная базовая операция, что с чисто эстетической точки зрения ей требуется красивое ограничение по сложности, — сказал Фюрер. – По опыту мы знаем, что математика базовых вещей в итоге всегда оказывается элегантной».

Нескладное ограничение Шёнхаге и Штрассена, n × log n × log(log n), держалось 36 лет. В 2007 году Фюрер побил этот рекорд, и всё завертелось. За последнее десятилетие математики находили всё более быстрые алгоритмы умножения, каждый из которых постепенно подползал к отметке в n × log n, не совсем достигая её. Затем в марте этого года Харви и ван дер Хувен достигли её.

Их метод является улучшением большой работы, проделанной до них. Он разбивает числа на знаки, использует улучшенную версию быстрого преобразования Фурье и пользуется другими прорывами, сделанными за последние 40 лет. «Мы используем быстрое преобразование Фурье гораздо более грубо, используем его несколько раз, а не один, и заменяем ещё больше умножений сложением и вычитанием», — сказал ван дер Хувен.

Алгоритм Харви и ван дер Хувена доказывает, что умножение можно провести за n × log n шагов. Однако он не доказывает отсутствия более быстрого метода. Гораздо сложнее будет установить, что их подход максимально быстрый. В конце февраля команда специалистов по информатике из Орхусского университета опубликовала работу, где утверждает, что если одна из недоказанных теорем окажется верной, то этот метод и вправду будет скорейшим из способов умножения.

И хотя в теории этот новый алгоритм весьма важен, на практике он мало что поменяет, поскольку лишь немного выигрывает у уже используемых алгоритмов. «Всё, на что мы можем надеяться, это на трёхкратное ускорение, — сказал ван дер Хувен. – Ничего запредельного».

Кроме того, поменялись схемы компьютерного оборудования. Двадцать лет назад компьютеры выполняли сложение гораздо быстрее умножения. Разрыв в скоростях умножения и сложения с тех пор серьёзно уменьшился, в результате чего на некоторых чипах умножение может даже обгонять сложение. Используя определённые виды оборудования, «можно ускорить сложение, заставляя компьютер умножать числа, и это какое-то безумие», — сказал Харви.

Оборудование меняется со временем, но лучшие алгоритмы своего класса вечны. Вне зависимости от того, как компьютеры будут выглядеть в будущем, алгоритм Харви и ван дер Хувена всё ещё будет самым эффективным способом умножать числа.

Стандартный алгоритм умножения

Полный урок с пояснениями и упражнениями по стандартному алгоритму умножения (умножение столбиками), предназначенный для четвертого класса. Во-первых, урок объясняет (шаг за шагом), как умножить двузначное число на однозначное число, а затем есть упражнения по этому поводу. Далее урок показывает, как умножать, как умножать трех- или четырехзначное число, и содержит множество упражнений на этот счет. Есть также много словесных задач, которые нужно решить.



Стандартный алгоритм умножения основан на принцип, который вы уже знаете: умножение на части (частичные произведения): просто умножьте единицы и десятки отдельно и доп.

Однако стандартным способом , добавляя выполняется одновременно с умножением. Расчет выглядит компактнее и занимает меньше места, чем «простой способ умножения», который вы изучили.

Стандартный способ умножения «Легкий способ»

1      
6   3
×      4

2

1      
3
×     4

2  5  2

Умножьте единицы:
4 × 3 = 12

Поместите 2 на место единиц,
но напишите цифру десятков (1)
над столбцом десятков как
небольшая заметка на память.
Вы перегруппировываетесь
(или нести).

Затем умножьте десятки,
, прибавив к 1 десятку. что
перегруппировались.

4 × 6 + 1 = 25

Напишите 25 перед 2.
Обратите внимание, , что 25 десятков
означает 250!

6  3
×     4

1 2
+ 2 4 0

2  5  2

В «простом способе» мы умножаем по частям, а сложение производится отдельно.

Стандартный способ умножения «Легкий способ»

3      
7   5
×      7

5

3      
5
×     7

5  2  5

Умножьте единицы:
7 × 5 = 35
Перегруппируйте 3 десятка.

Умножить и сложить десятки:
7 × 7 + 3 = 52

7  5
×      7

3 5
+ 4 9 0

5  2  5

1.Умножьте, используя оба методы: стандартный и простой.

2. Умножить, используя оба методы: стандартный и простой.

3. Умножить. Будьте осторожны с перегруппировка.


4. Решить. Также напишите числовые предложения (сложение, вычитание, умножение) на пустые строки.

а.  Что какова стоимость покупки трех стульев по 48 долларов каждый?

_________________________________________________

И стоимость шести стульев? ____________________________

б. Вы зарабатывать 77 долларов в день. Сколько дней нужно работать
для того, чтобы иметь $ 600 или больше? Угадай и проверь.

_________________________________________________

_________________________________________________

С 3- или 4-значным номером вы должны перегруппироваться много раз .

3     
2  3 8
×         4

2

1 3      
2   3  8
×         4

2

 

1 3      
3  8
×     4

5  2

Сначала умножьте единицы.

4 × 8 = 32

Напишите 2 в числе
разместить и перегруппироваться
3 десятка до
столбец десятков.

Затем умножьте десятки,
добавив 3 перегруппированных
десятков.

4 × 3 + 3 = 15

Напишите 5 в разряде десятков
и перегруппируйте 1 сотню.

Затем умножьте сотни,
добавление перегруппированных
сот.

4 × 2 + 1 = 9

Напишите 9 в разряде сотен.

1     
7  6  5 2
× 5

0

2 1      
7   6 5 2
× 5

6   0

 

3 2 1      
7 5 2
×    5

2   6  0

 

3 2 1      
7   6   5  2
×      5

3 8 2 6 0

Умножьте единицы:

5 × 2 = 10

Напишите 0 в
местах и ​​перегруппируйте
1 десяток.

Тогда десятки. Добавить
перегруппированная десятка:

5 × 5 + 1 = 26

Напишите 6 десятками
разместить и перегруппировать
2 сотни.

Умножить
сотен.

5 × 6 + 2 = 32

Напишите 2 в
разряд сотен,
и перегруппировать
3 тысячи.

Умножить тысячи:

5 × 7 + 3 = 38

Напишите 38 перед
260.

5. Умножьте, используя оба методы: стандартный и простой.

6. Умножьте, используя стандартный метод.

7. Решите текстовые задачи. Также напишите числовые предложения (сложение, вычитание,
умножения), чтобы показать, что вы вычисляете.

а.  В школе 304 ученика. Чтобы перейти к
музей, они наняли автобусы, которые могут
каждое место 43 пассажира.Сколько автобусов
они нуждались?
Подсказка: угадай и проверь.
б.  В школе также работают 24 учителя. Сколько
места остались пусто в тех автобусах когда все
студенты и все преподаватели присоединились к поездке?

Это мое старое видео ниже также объясняет, как обучать алгоритму умножения. Сначала видео проходит алгоритм частичных произведений (умножение по частям), а затем объясняет стандартный алгоритм умножения (как в уроке на этой странице).


Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторское право © Мария Миллер.



Рабочие листы стандартного алгоритма умножения PDF

ВАЖНЫЕ ФАКТЫ О примере метода стандартного алгоритма

Стандартный алгоритм умножения — идеальный инструмент для умножения карандашом и бумагой.Это побуждает детей находить решения для общих математических задач.

Какими бы большими ни были цифры в числе, стандартный алгоритм поможет легко и быстро получить правильные ответы без стресса. С этой целью наши рабочие листы могут похвастаться случайными упражнениями с многозначными числами в диапазоне от 2 до 1 цифр; 2 на 2 цифры; 3 на 2 цифры; 4 на 2 цифры и много лотов.

Обратите внимание: примеры метода стандартного алгоритма умножения

Ниже приведены конкретные примеры стандартного алгоритма умножения, которым вы будете постепенно следовать, чтобы получить правильный ответ.

Поскольку мы начинаем с наших примеров, вы должны принять к сведению, что каждый раз, когда ваш ответ состоит из двух цифр, переносите первую цифру над числом рядом с первым верхним правым числом, а вторую размещайте непосредственно под числом в строке, в которой вы были. используя для умножения.

Пример 2.   Двузначное умножение: стандартный алгоритм | Умножение 2 цифр на 1 цифру

Умножить 25 х 4

Это очень легко решить.Это требует только следующих шагов.

Во-первых, выровняйте числа, которые вы умножаете, т.е. поместите большие числа сверху, а меньшие сразу под ними, следуя разрядам десятков и единиц. Не забудьте написать знак умножения сразу под первым верхним числом.

 

Во-вторых, начнем умножать. Так как есть только один множитель, мы умножаем только один раз.

  • 4 x 5 = 20  →   (мы пишем 0 под первым столбцом, затем переносим 2 в следующий столбец
  • 4 x 2 = 8, (8 + 2, которые мы несли) = 10.Пишем 10 под вторым столбцом.

Эй! , это просто все. Так быстро и легко

Таким образом, это показывает, что 25 x 4 = 100

Пример 2.   3-значное умножение: стандартный алгоритм | Умножение трехзначного числа на двузначное

Умножить 152 x 27

Нет стресса. Так просто. Просто следуйте инструкциям ниже постепенно.

Во-первых, мы выстраиваем наши числа так, чтобы большие числа были вверху, а меньшие — чуть ниже.Поскольку у нас есть до 3 цифр, мы поместим их вместо сотен, десятков и единиц.

 

Во-вторых, напишите знак умножения (x) прямо под верхним числом, затем проведите линию под нижним числом, после чего мы начнем нашу первую фазу умножения

 

Мы начнем с умножения чисел в нижней части на все числа.

Сверху, начиная с первого номера (7) до последнего номера (2)

  • 7 x 2 = 14  →   (мы пишем 4 под первым столбцом, затем переносим 1 в следующий столбец
  • 7 x 5 = 35  →   (35 + 1, которую мы несли) = 36.Мы пишем 6 во второй колонке и переносим 3 .
  • 7 x 1 = 7 →   (7 + 3, которые мы перенесли) = 10. Мы пишем 10 ниже третьего столбца.

 

Хм, вау! Хорошо. Давайте продолжим нашу вторую фазу умножения, на этот раз с числом в десятых разрядах внизу, снова умножая на все числа наверху.

Холааа, пока я не забыл, вы поставите ноль под единицами вашего нового продукта 10 6 4

я.е., ниже 4 . Ноль (0) ставится там, чтобы показать, что вы переходите к умножению значения десятых разрядов.

Итак, приступим ко второй фазе умножения.

  • 2 x 2 = 4 →   (запишем 4 слева от 0, т.е. ниже второго столбца.
  • 2 x 5 = 10 →   Мы записываем 0 слева от 4 и переносим 1 в следующий столбец.
  • 2 x 1 = 2 →   (2 + 1, которую мы несли) = 3.Пишем 3 слева от 0.

152
х 27

1064

+ 3040

4104

Наконец, мы добавляем верхний и нижний продукты

Бравоооооо! Мы закончили. Все это время было так прекрасно.

Таким образом, это будет означать, что 152 x 27 = 4 104

Каков стандартный алгоритм умножения? — Видео и стенограмма урока

Как это работает

Этот стандартный алгоритм можно использовать для умножения любых двух чисел, независимо от того, насколько они малы или велики.Посмотрите на эти примеры умножения с использованием стандартного алгоритма умножения.

Примеры умножения

Как видите, этот метод умножения использует как умножение, так и сложение. Здесь происходит то, что мы умножаем верхнее число на нижнее число по одной цифре за раз, работая справа налево, в противоположном направлении, которое мы читаем. Обратите также внимание, что мы пишем наши числа в столбцах, а не в одной строке.

Для 12, умноженных на 3, мы сначала делаем 3 * 2, что дает нам 6. Мы записываем 6 под цифрой 3. Затем мы делаем 3 * 1. Это дает нам 3, которые мы записываем слева от 6. И мы закончили с ответом 36.

Для 49 * 2 мы начинаем с умножения 2 * 9. Это дает нам 18, поэтому мы записываем 8 и переносим 1, как вы делать, когда вы добавляете действительно большие числа. Затем мы умножаем 2 * 4. Это дает нам 8. Мы перенесли 1, поэтому мы добавляем эту 1 к 8: 8 + 1 дает нам 9, которую мы записываем слева от 8.И мы закончили с ответом 98.

Для 157 * 23 мы делаем тот же процесс умножения справа налево, но мы делаем каждую цифру меньшего числа отдельно. Как видите, у нас есть строка для 3 (3 * 157 = 471) и отдельная строка для 2 (2 * 157 = 314). Обратите внимание, что линия для цифры 2 начинается прямо под цифрой 2 и продолжается слева. Это пустое место справа считается 0. После того, как мы умножили все цифры нашего нижнего числа на верхнее число, мы складываем все наши строки.Получаем 471 + 3 140 = 3 611. Соблюдаем правила сложения больших чисел и переносим куда надо.

Умножение на одну цифру

Теперь давайте рассмотрим еще пару примеров.

В качестве примера умножения на однозначное число умножьте 87 * 4.

Чтобы умножить эти два числа по стандартному алгоритму, вы начинаете с умножения 4 на 7. Получается 28, поэтому вы записываете 8 под 4 и переносите 2. Затем вы умножаете 4 на 8.Вы получаете 32. Поскольку вы несли 2, вы прибавляете 2 к 32, чтобы получить 34. Вы записываете 34 слева от 8, так как больше нет чисел для умножения. Если бы они были, то вы бы просто записали 4 и несли 3. Теперь все готово. Ваш ответ 348.

Умножение 87 * 4

Умножение на большее число

В качестве примера умножения на большее число умножим 3487 * 351.

При умножении на число, состоящее более чем из одной цифры, необходимо умножать верхнее число на каждую цифру нижнего числа отдельно. Начнем с умножения 1 * 3487. Получаем 3487. Затем умножаем 5*3487 по одной цифре и переносим куда надо. Получаем 17 435. Затем умножаем 3*3487 по одной цифре и снова переносим куда надо. Получаем 10 461. Обратите внимание, что у нас появляется все больше и больше пустых мест справа по мере того, как мы умножаем каждую цифру в нашем числе.Когда мы умножаем 5 на 3487, у нас есть одно пустое место справа. Когда мы продолжим и умножим 3 на 3487, у нас теперь будет два пустых места справа. Рассматривая эти пустые места как ноль, мы добавляем 3 487 + 174 350 + 1 046 100, чтобы получить ответ 1 223 937.

Умножение 3487 * 351

Итоги урока

Давайте повторим. Стандартный алгоритм — это способ умножения с использованием частичных произведений или умножения по частям.Что вы делаете с этим алгоритмом, так это умножаете верхнее число на нижнее по одной цифре за раз, работая справа налево. Итак, если вы умножаете 450 * 12, вы сначала умножаете 450 * 2, а затем умножаете 450 на 1. Когда вы умножаете 450 на 1, у вас будет пустое пространство справа, которое рассматривается как 0. Когда вы закончите, вы сложите все свои частичные ответы, чтобы получить окончательный ответ.

Умножение 450 * 12

Умножьте целое число, состоящее из четырех цифр, на целое однозначное число и умножьте два двузначных числа, используя стратегии, основанные на разрядности и свойствах операций.Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.

Оценщик четыре:

В этом упражнении учащиеся играют в игру «Соедини четыре», но чтобы разместить фигуру на доске, они должны правильно решить задачу на сложение, умножение или процентное соотношение. Студенты могут регулировать сложность задач, а также то, насколько близко оценка должна быть к фактическому результату.Это задание позволяет учащимся попрактиковаться в оценке сложения, умножения и процентного соотношения больших чисел (сотни). Это задание включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по изучаемым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с апплетом Java.

Тип: обучающая игра

Оценочная викторина:

В этом упражнении учащихся проверяют на их способность вычислять суммы, произведения и проценты.Студент может регулировать сложность задач и то, насколько они должны быть близки к фактическому ответу. Это задание позволяет учащимся попрактиковаться в оценке сложения, умножения или процента от больших чисел. Это задание включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по изучаемым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с апплетом Java.

Тип: обучающая игра

Арифметическая тренировка:

Этот интерактивный Flash-апплет предлагает учащимся три способа отработать базовые навыки работы с фактами, связанные с умножением и делением.Пользователи контролируют уровень сложности, выбирая размер пустой сетки умножения, отображаемой апплетом. В режиме умножения пользователи вводят продукт, который завершает предложение умножения. В факторном режиме пользователи щелкают ячейку сетки, соответствующую данному продукту. В режиме «Разделение» пользователи вводят недостающий множитель в отображаемое предложение умножения. Звуковой эффект и функция синхронизации являются необязательными.

Тип: обучающая игра

Кто хочет стать матионером?:

Эта онлайн-игра воспроизводит популярную игру «Кто хочет стать миллионером?» формате, используя факты умножения.Это интересный способ для детей практиковать умножение!

Тип: обучающая игра

Проект детской площадки:

Учащимся понравится проектировать игровую площадку своей «мечты», применяя при этом математические и научные навыки на этом сложном уроке по инженерному проектированию.Учащиеся находят площадь и периметр своих игровых площадок. Они также будут использовать лист бюджета, чтобы принять решение о том, что включить в свою игровую площадку, учитывая физические свойства материалов, которые они «покупают».

Тип: план урока

Умножение модели:

Этот практический урок, основанный на концепции, предназначен для того, чтобы помочь вам оценить, насколько хорошо ваши ученики понимают и могут использовать различные стратегии и представления двузначного умножения.

Тип: план урока

Моделирование умножения для мастерства:

На этом уроке учащиеся будут работать над умножением многозначных чисел, используя различные стратегии. Урок начинается с повторения однозначных и однозначных чисел и переходит к двузначным и двузначным числам.Учащиеся будут использовать массивы, рамки массивов с десятичными блоками и модели областей для изучения и обоснования своих решений.

Тип: план урока

Многозначное умножение с использованием кадров массива:

Это вводный урок, и он ограничен умножением двузначных чисел на однозначные.Учащиеся будут работать с десятичными блоками, чтобы смоделировать их умножение.

Тип: план урока

Нарисуйте план этажа дома своей мечты:

Этот урок поможет вашим учащимся узнать о площади и периметре, воображая и рисуя план этажа дома своей мечты.Им будет так весело рисовать и создавать чертежи, что они забудут, что на самом деле учатся находить площадь и периметр.

Тип: план урока

Ура массивам!:

Учащиеся будут определять простые и составные числа с помощью массивов.Урок начинается с веселого ситуационного рассказа.

Тип: план урока

Ой! Что я сделал?:

В этом уроке используется метод обнаружения для изучения различных ошибок в различных стратегиях умножения. Цель состоит в том, чтобы помочь учащимся понять принцип умножения, а не заставлять их использовать каждую стратегию.

Тип: план урока

Умножение вокруг блока:

Учащиеся будут опираться на свое понимание системы позиционных значений и умножения с использованием моделей с основанием десять, чтобы лучше понять умножение двузначных чисел на двузначные с использованием моделей площади.Они будут работать с партнерами в процессе обучения, чтобы помочь им развить использование математического языка при объяснении своего мышления и расчетов другим.

Тип: план урока

Quilt Challenge Аарона и Ани: решение проблем и интерпретация остатков:

В этой ситуационной истории Аарон и Аня находят большой кусок яркой ткани.Они решают разрезать его на квадраты, чтобы сделать одеяло. Учащиеся находят площадь ткани, умножая две цифры на две цифры. Они будут изучать факторы, определяя самый большой квадрат стеганого одеяла, который можно вырезать для 25 учеников. Ткань останется; студенты должны будут определить и обосновать остатки на основе нескольких различных сценариев. Наконец, учащиеся создадут свой собственный квадрат лоскутного одеяла, используя бумагу с сеткой.

Тип: план урока

Престижность для Kicks — MEA:

В этом MEA учащиеся будут работать в совместных группах, чтобы решать многошаговые задачи с целыми и десятичными числами, используя различные математические операции сложения, вычитания и умножения.Студентов попросят помочь владельцу дисконтного обувного магазина, который планирует однодневную распродажу, выбрать кроссовки известного бренда для однодневной распродажи. Студенты определят, какой из них принесет больше клиентов, а также принесет наибольшую прибыль. Студенты должны будут прочитать таблицу данных, ранжировать кроссовки известных брендов от 1 до 6, рассчитать общую прибыль на пару и общую потенциальную прибыль от продаж, определяемую количеством кроссовок на складе. В проблему добавляется изюминка, когда добавляются дополнительные складские позиции, плюс удаляется одна из марок и добавляются две новые марки.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Тип: план урока

Давайте мыслить небольшими единицами:

На этом уроке учащиеся составят и заполнят таблицы для выражения больших единиц измерения в единицах меньшего размера в рамках одной системы единиц.Они будут использовать таблицу, чтобы делать сравнения и объяснять свои рассуждения.

Тип: план урока

Умножение двузначного массива:

В этом уроке рассматривается концептуальный подход к умножению двух двузначных чисел.Учащиеся будут создавать, исследовать, описывать и записывать массивы, построенные из фрагментов с позиционными значениями. Урок дает понимание, которое облегчит умножение многозначных чисел.

Тип: план урока

Удивительные массивы 3X1 или 1X3:

Этот урок является третьим уроком в разделе, начинающемся с Amazing Arrays и Amazing Arrays 2X1.

На этом уроке учащиеся решают задачу на умножение, рисуя массивы и сегментируя площади несколькими способами, чтобы решить задачу. Учащиеся также будут применять распределительное свойство, изучать повороты моделей площадей, чтобы продемонстрировать коммутативное свойство умножения, и сопоставлять задачу со словом с ее массивом.

Тип: план урока

Случайный продукт:

Вы пытаетесь углубить понимание учащимися двузначного умножения на двузначное? Тогда это игра для вас.Эта игра позволяет учащимся продемонстрировать свои способности в умножении и рассуждении. Учащиеся будут размещать числа, нарисованные на листе для записи, чтобы создать максимально возможное произведение.

Тип: план урока

Сдача ноутбуков в аренду:

Этот увлекательный MEA знакомит учащихся с компанией под названием «Предоставление ноутбуков взаймы», которая нуждается в их помощи в выборе лучших ноутбуков для школьных занятий.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Тип: план урока

Уроки тенниса:

В этом MEA учащимся предлагается взять на себя работу профессионального теннисиста и решить, какие факторы являются наиболее важными при выборе места для занятий теннисом.Учащиеся будут выполнять математические расчеты, создавать таблицу с двумя столбцами для часов и минут, разрабатывать процедуру ранжирования объектов и предоставлять письменный отзыв родителям, чей ребенок нуждается в групповых уроках тенниса и пишет письма, чтобы попросить совета. Они ранжируют свой выбор от лучших к худшим объектам для уроков тенниса. Учащиеся предоставят подробное письменное объяснение того, как они решили ранжировать факторы, и свое решение для оценки помещений для уроков тенниса.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации.Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Тип: план урока

Боксерская математика — использование модели площади для умножения:

Обычная ошибка учащихся при обучении умножению состоит в том, что они относятся к умножению как к сложению, умножая единицы на единицы и десятки на десятки.На этом уроке ваши ученики избегут этой ошибки, поскольку они будут учиться использовать модель площади для умножения двузначных чисел. После групповой практики студентов учат игре, чтобы закрепить их обучение.

Тип: план урока

Отели: Где остановиться:

Этот MEA позволяет учащимся изучить создание модели для ранжирования отелей.Учащимся предоставляется первая часть задачи и данные, включающие стоимость, подаваемое питание, возможность размещения с домашними животными и близость к шоссе. Они определят, какой отель получит самую высокую рекомендацию. Вторая часть задачи добавляет две гостиницы и дополнительные данные, связанные со скидками. Учащиеся должны применить и протестировать свою модель и внести изменения по мере необходимости. Все выводы предоставляются клиенту в письменном виде. Студенты могут использовать эту информацию, чтобы спланировать семейный отдых и выяснить, в каких отелях они могли бы остановиться во время путешествия.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Тип: план урока

Удивительные массивы 2X1:

Это практический урок по расширению и практике рисования массивов с использованием моделей площадей, которые показывают двузначное число, умноженное на однозначное число.Студенты также должны использовать распределительное свойство умножения и уравнения, которые они представляют.

Тип: план урока

Массив для благотворительности!:

Учащиеся будут использовать рамки массива, чтобы узнать, сколько пенни собрал каждый класс в своей школе на благотворительность.Учащиеся продемонстрируют и объяснят рамку массива, а также определят, сколько пенни пойдет каждой из семи благотворительных организаций, для которых они собрали пенни. Этот урок можно использовать как часть введения в умножение двузначных чисел на двузначные.

Тип: план урока

Развлечения для вечеринок:

В этом MEA учащиеся решат, какого артиста должен нанять владелец развлекательной компании.Они будут основывать свои решения на информации, предоставленной в резюме. Студенты рассчитают стоимость найма артиста (умножение целых чисел), а также сравнит статистику своих конкурсов талантов и посещаемость (сравнение дробей). Учащиеся будут писать письма владельцу развлекательной компании, оценивая артистов и предоставляя объяснение и обоснование их стратегии для этого.

Упражнения по выявлению моделей, MEA, являются открытыми, междисциплинарными действиями по решению проблем, которые предназначены для того, чтобы выявить мысли учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации.Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.

Тип: план урока

Умножение: как использовать модель области:

В этом видеоруководстве от Khan Academy просмотрите демонстрацию того, как настроить площадную модель для умножения двузначного числа на двузначное число на миллиметровой или сетчатой ​​бумаге, а затем связать ее со стандартным алгоритмом.

Тип: Учебник

Умножение: 4 цифры умножить на 1 цифру (с использованием расширенной формы):

В этом видеоуроке Академии Хана показан пример умножения четырехзначного числа на однозначное путем расширения четырехзначного числа и умножения на каждую цифру в модели площади.Это видео поможет сформировать понимание перед обучением стандартному алгоритму. Умножение на 4-значный коэффициент больше, чем в некоторых стандартах, которые ограничивают множители 3-значным числом.

Тип: Учебник

2-Digit by 2-Digit Multiplication Song | 4-5 классы

Описание видео:

Следуйте за Стэном в его доме и дворе, пока он решает задачи на умножение 2 на 2 цифры со своими лучшими друзьями Беном и Стеллой.Они научат вас, как выполнять длинное умножение с двумя цифрами, а плюшевая игрушка Стэна прольет свет на то, что делать с десятичными числами.

2-Digit by 2-Digit Multiplication Текст песни:

СТИХ ПЕРВЫЙ
Вот как вы умножаете пятьдесят девять на двадцать пять;
Пять раз девять — сорок пять; нести четыре и писать пять.
Пять раз пять — двадцать пять;
, затем добавьте четыре и двадцать девять.
Мы пишем ноль, когда умножаем десятки.
Дважды девять — восемнадцать;
пишут восьмерку, но несет один.
Пять раз два равно десяти;
, затем добавьте единицу, и вы получите одиннадцать.
Сложите числа, и это будет продукт.
Я сказал: «Сложите числа, и это будет произведение».

ПРИПЕВ
Нам нужно писать ноль, когда мы умножаем десятки.
Сложите числа и получите продукт.

СТИХ ВТОРОЙ
Сейчас на сцену выходит двадцать три раза по девятнадцать.
Трижды девять — двадцать семь;
пишите семерку, несите десятки.
Дважды девять — восемнадцать; сложите два и получите двадцать.
Тогда пишем ноль, когда… умножаем десятки.
Трижды один будет три — два раза один будет два —
и теперь мы знаем, что делать…
сложить два числа и
получить четыреста тридцать семь.
Сложите два числа и затем
получите четыреста тридцать семь.
сложите два числа, а затем…
ПОСЕТИТЕ NUMBEROCK.COM

МОСТ
Когда мы делаем длинное умножение
, мы проверяем его с помощью обратной операции.
Продукт становится дивидендом.
Делитель — это множитель или множимое.
Затем вычисляем с точностью, делаем деление в большую сторону;
, если частное является другим множителем,
, тогда мы знаем, что получили правильный ответ.

КОНЦОВКА
Я чучело, и я здесь, чтобы сказать вам, что…
Если числа содержат десятичные дроби, дополнительная работа минимальна.
Просто умножьте все, как раньше,
, и останется еще один шаг.
Подсчитайте количество знаков после запятой,
затем переместите влево в произведении столько пробелов;
, где стоит десятичная точка,
и каждый пробел слева делится на десять.

Узнать больше

Эта песня предназначена для стандартов обучения TEKS и Common Core как для 4-го, так и для 5-го класса. Ознакомьтесь с соответствующими стандартами здесь или углубитесь в длинное умножение здесь.

Если вы заинтересованы в том, чтобы получить идеи о том, как спланировать строгий урок рассказывания времени в соответствии со стандартами, мы рекомендуем ознакомиться с рекомендациями Instructure для общих основных стандартов 4.NBT.5 и 5.NBT.5. Эти страницы помогают разбить стандартный язык, указать соответствующий классу уровень строгости для каждой концепции и предлагают различные предложения для занятий (начальные уроки), которые помогают учащимся достичь своих учебных целей.

Чтобы продолжить просмотр библиотеки математических видеоматериалов Numberock, щелкните здесь. Чтобы получить доступ к растущей библиотеке премиум-контента Numberock, нажмите здесь.

4.НБТ.5 5.НБТ.5
 

Алгоритм умножения — Academic Kids

От академических детей

Эта статья требует внимания.
Пожалуйста, улучшите ( https://academickids.com:443/encyclopedia/index.php?title=Multiplication_algorithm&action=edit ) эту статью.

Алгоритм умножения — это алгоритм (или метод) умножения двух чисел. В зависимости от размера чисел используются разные алгоритмы. Эффективные алгоритмы умножения существуют с момента появления десятичной системы счисления.

Длинное умножение

Основное преимущество позиционных систем счисления перед другими системами записи чисел заключается в том, что они облегчают обычный школьный метод длинного умножения : умножить первое число на каждую цифру второго числа, а затем сложить все правильно сдвинутые числа. Результаты.Чтобы выполнить этот алгоритм, нужно знать произведения всех возможных цифр, поэтому таблицу умножения приходится запоминать. Люди используют этот алгоритм с основанием 10, в то время как компьютеры используют тот же алгоритм с основанием 2. Алгоритм намного проще с основанием 2, поскольку в таблице умножения всего 4 элемента. Вместо того, чтобы сначала вычислять продукты, а затем складывать их все вместе на втором этапе, компьютеры добавляют продукты к результату, как только они вычисляются. Современные чипы реализуют этот алгоритм для 32-битных или 64-битных чисел аппаратно или в микрокоде.Чтобы умножить два числа с n цифр, используя этот метод, нужно около n 2 операций. Более формально: временная сложность умножения двух n -значных чисел с использованием длинного умножения равна Ο( n 2 ).

Пример

 23958233
               5830
           _________
           00000000
          71874699
        1

864 1197 ------------- 139676498390

Сдвигает и добавляет

Старый метод умножения, не требующий таблицы умножения, — это алгоритм умножения Крестьянина; на самом деле это метод умножения с основанием 2.

Аналогичный метод до сих пор используется в компьютерах, где двоичное число умножается на небольшую целочисленную константу. Поскольку умножение двоичного числа на степень двойки может быть выражено в терминах битовых сдвигов, серии битовых сдвигов и операций сложения, которые приводят к выполнению умножения без использования какой-либо условной логики или аппаратного умножителя. Для многих процессоров это зачастую самый быстрый способ выполнения этих простых умножений.

Алгоритмы умножения для компьютерной алгебры

Умножение Карацубы

Для систем, которым необходимо умножать числа в диапазоне нескольких тысяч цифр, таких как системы компьютерной алгебры и бигнум-библиотеки, длинное умножение слишком медленное.Эти системы используют умножение Карацубы на , которое было открыто в 1962 году и работает следующим образом. Чтобы умножить два n -значных чисел x и y , представленных в базе W , где n четно и равно 2 m (если n нечетно, или числа не равны той же длины, это можно исправить, добавив нули в левый конец x и/или y ), мы можем написать

x
x = x 1 m м + x 2
y = y 1 w m + y 2

с м -нигит номеров x 1 , x 2 , y 1 и y 2 .Продукт предоставляется

xy
xy = x 1 y 1 m 2 м + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) W м + x 2 y 2

Итак, мы должны быстро определить номера x 1 y 1 , x 1 Y 2 + x 2 y 1 и x 2 y 2 .Суть метода Карацубы заключается в наблюдении, что это можно сделать с помощью только трех, а не четырех умножений:

  1. вычислить x 1 y 1 , вызвать результат A
  2. вычислить x 2 y 2 , назвать результат B
  3. вычислить ( x 1 + x 2 )( y 1 + y 2 911 результат), C 013 2 911 результат вызова
  4. вычислить C A B ; это число равно x 1 y 2 + x 2 y 1 .

Чтобы вычислить эти три произведения m -значных чисел, мы можем снова применить тот же прием, эффективно используя рекурсию. Как только числа вычислены, нам нужно их сложить, что занимает около n операций.

Если T ( n ) обозначает время, необходимое для умножения двух n -значных чисел методом Карацубы, то мы можем написать

Т ( н ) = 3 Т ( н /2) + сп + d

для некоторых констант c и d , и это рекуррентное соотношение может быть решено, что дает временную сложность Θ( n ln(3)/ln(2) ).Число ln(3)/ln(2) приблизительно равно 1,585, поэтому этот метод значительно быстрее длинного умножения. Из-за накладных расходов на рекурсию умножение Карацубы не очень быстро для малых значений n ; поэтому типичные реализации переключаются на длинное умножение, если n ниже некоторого порога.

Тум-Кук

Другой метод умножения называется Toom-Cook или Toom3. Метод Toom-Cook разбивает каждое число для умножения на несколько частей.Карацуба — это особый случай Toom-Cook, состоящий из двух частей. Трехсторонний Toom-Cook может выполнить умножение размера N 3 за стоимость пяти умножений размера N, улучшение в 9/5 по сравнению с улучшением метода Карацубы в 4/3. Использование большего количества деталей в конечном итоге противоречит закону убывающей отдачи.

Методы преобразования Фурье

Существуют еще более быстрые алгоритмы, основанные на быстром преобразовании Фурье . Идея, предложенная Штрассеном (1968), заключается в следующем: умножение двух чисел, представленных в виде строк цифр, практически совпадает с вычислением свертки этих строк из двух цифр.Вместо вычисления свертки можно сначала вычислить дискретные преобразования Фурье, умножить их запись на запись, а затем вычислить обратное преобразование Фурье результата. (См. Теорему свертки.) Самый быстрый известный метод, основанный на этой идее, был описан в 1971 году Шнхаге и Штрассеном (алгоритм Шнаге-Штрассена) и имеет временную сложность п ))).

Распределенный проект GIMPS по поиску простых чисел в Интернете имеет дело с числами, состоящими из нескольких миллионов цифр, а также использует алгоритм умножения на основе преобразования Фурье.

Использование теоретико-числовых преобразований вместо дискретных преобразований Фурье позволит избежать проблем с ошибками округления за счет использования модульной арифметики вместо комплексных чисел.

Полиномиальное умножение

Все приведенные выше алгоритмы умножения также могут быть расширены для умножения многочленов.

См. также

Внешние ссылки

Иллюстративная математика — Учителя | Кендалл Хант

Объем и последовательность

Рассказ

Основные идеи в 4 классе включают: развитие понимания и беглости с многозначным умножением, а также развитие понимания деления для нахождения частных с многозначными делимыми; развивать понимание эквивалентности дробей, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и умножения дробей на целые числа; понимание того, что геометрические фигуры можно анализировать и классифицировать на основе их свойств, таких как наличие параллельных сторон, перпендикулярных сторон, определенных угловых величин и симметрии.

Математическая работа для 4 класса разбита на 9 блоков:

  1. Факторы и множители
  2. Эквивалентность и сравнение дробей
  3. Расширение операций до дробей
  4. От сотых до сотен тысяч
  5. Мультипликативное сравнение и измерение
  6. Умножение и деление многозначных чисел
  7. Углы и измерение углов
  8. Свойства двумерных фигур
  9. Собираем все вместе

Раздел 1: Коэффициенты и множители

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся применяют понимание умножения и площади для работы с множителями и кратными.

В этом разделе учащиеся расширяют свои знания об умножении, делении и площади прямоугольника, чтобы углубить свое понимание факторов и узнать о кратных.

В 3 классе учащиеся узнали, что они могут умножить длины двух сторон прямоугольника, чтобы найти его площадь, и разделить площадь на длину одной стороны, чтобы найти длину другой стороны.

Для представления этих идей они использовали диаграммы с площадями, писали выражения и уравнения и выучили термины «факторы» и «продукты».

В этом разделе учащиеся возвращаются к понятию площади, чтобы понимать множители и кратные числа. Имея прямоугольник с определенной площадью, учащиеся находят как можно больше пар целых чисел длин сторон. Они понимают эти длины сторон как пары множителей целочисленной площади, а площадь как кратное каждой длины стороны.

Учащиеся также узнают, что число может быть классифицировано как простое или составное в зависимости от количества пар множителей, которые оно имеет.

На протяжении всего блока учащиеся сталкиваются с различными контекстами, связанными со школой, собраниями и праздниками.Они предназначены для разговоров о жизни и опыте учащихся. Рассматривайте их как возможность узнать об учениках как о личностях, создать позитивное учебное сообщество и формировать каждый урок на основе информации об учениках.


Раздел A: Факторы и множители
Согласование стандартов
Адресация 4.OA.B.4, 4.OA.C.5
Раздел Цели обучения
  • Определить, является ли число простым или составным.
  • Объясните, что значит быть множителем или кратным целому числу.
  • Соотнесите длины сторон и площади прямоугольника с множителями и кратными

В этом разделе учащиеся возвращаются к представлениям о площади и множителях из 3-го класса и знакомятся с понятием кратных. Они начинают с построения прямоугольников с заданными длинами сторон и определения возможных площадей, когда известна только одна длина стороны. Перед изучением новой терминологии учащиеся используют плитки и диаграммы, чтобы улучшить свое понимание.

Далее учащиеся строят прямоугольники заданной площади. Они видят, что длины сторон прямоугольников представляют пары факторов заданного значения площади. Учащиеся также наблюдают коммутативное свойство умножения, когда видят, что прямоугольники с одинаковой парой длин сторон имеют одинаковую площадь независимо от их ориентации.

Построить 5 различных прямоугольников заданной ширины. Запишите площадь каждого прямоугольника в таблицу.

\(\hspace{1in}\)площадь прямоугольника\(\hspace{1in}\)
2 плитки шириной
3 плитки шириной
4 плитки шириной

Учащиеся обнаруживают, что для некоторых целых чисел площади можно построить только один прямоугольник, а для других значений возможно более одного прямоугольника.Точно так же некоторые числа имеют только одну пару множителей (само число и 1), а другие числа имеют более одной пары множителей. Студенты узнают, что мы называем первые числа «простыми», а вторые — «составными числами».

Раздел завершается необязательным игровым днем, который дает возможность увидеть беглость учащихся с умножением и делением в пределах 100.

PLC: Урок 1, Упражнение 2, Какие области вы можете построить?


Раздел B: Поиск пар и множителей
Согласование стандартов
Адресация 4.ОА.А.3, 4.ОА.Б, 4.ОА.Б.4
Раздел Цели обучения
  • Применять беглость умножения в пределах 100 и взаимосвязь между умножением и делением для нахождения пар множителей и кратных.

В этом разделе учащиеся применяют и углубляют свое понимание идей множителей и множителей, играя в игры и решая задачи в контексте. Упражнения побуждают учащихся искать закономерности в множителях, кратных, простых и составных числах и использовать их для прогнозирования и обобщения своих наблюдений.

Двадцать учеников играют в игру с 20 шкафчиками в ряд.
Первый ученик начинает с первого шкафчика и открывает все шкафчики.
Второй ученик начинает со второго шкафчика и закрывает все остальные шкафчики.
Третий ученик останавливается у каждого третьего шкафчика и открывает его, если он закрыт, или закрывает, если он открыт.

 

К каким номерам шкафчиков прикасается третий ученик?
Сколько учеников трогают шкафчик 17?

На последнем уроке учащиеся могут использовать идеи из этого раздела для создания геометрических фигур.

ПЛК: Урок 6, Занятие 1, Сомнительные шкафчики

Расчетное количество дней: 6–8

Блок 2: Эквивалентность и сравнение дробей

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся составляют и рассуждают об эквивалентных дробях, сравнивают и упорядочивают дроби со следующими знаменателями: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 100.

В этом разделе учащиеся расширяют свои представления об эквивалентных дробях и сравнении дробей.

В 3 классе учащиеся делили фигуры на части одинаковой площади и выражали площадь каждой части в виде доли единицы.Они узнали, что любая единичная дробь \(\frac{1}{b}\) получается из целого, разделенного на \(b\) равных частей. Они использовали единичные дроби для построения неединичных дробей, включая дроби больше 1, и представляли их на полосах дробей и ленточных диаграммах. Знаменатели этих дробей были ограничены 2, 3, 4, 6 и 8. Студенты также работали с дробями на числовой прямой, установив идею дробей как чисел и эквивалентных дробей как одной и той же точки на числовой прямой.

Здесь учащиеся следуют аналогичной последовательности представлений.Они используют полоски дробей, ленточные диаграммы и числовые линии, чтобы понять размер дробей, генерировать эквивалентные дроби, а также сравнивать и упорядочивать дроби со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 100.

Учащиеся делают вывод, что дробь \(\frac{a}{b}\) эквивалентна дроби \(\frac{(n \times a)}{(n \times b)}\), поскольку каждая единичная дробь разбивается на \(n\) раз больше равных частей, делая размер части в \(n\) раз меньше \(\frac{1}{(n \times b)}\) и количество частей в все \(n\) раз больше \((n \times a)\).Например, мы можем видеть, что \(\frac{3}{5}\) эквивалентно \(\frac{6}{10}\), потому что, когда каждая пятая часть разделена на 2 части, есть \(2 \times 3\) или 6 заштрихованных частей, в два раза больше, чем раньше, и размер каждой части в два раза меньше, \(\frac{1}{(2 \times 5)}\) или \(\frac{1} {10}\).

По мере прохождения модуля учащиеся используют эквивалентные дроби и ориентиры, такие как \(\frac{1}{2}\) и 1, чтобы рассуждать об относительном расположении дробей на числовой прямой, а также сравнивать и упорядочивать дроби.


Раздел A: Размер и расположение фракций
Согласование стандартов
Адресация 4.NF.A.1, 4.NF.A.2
Раздел Цели обучения
  • Понимать дроби со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 с помощью физических представлений и диаграмм.
  • Рассуждение о расположении дробей на числовой прямой.

В этом разделе учащиеся возвращаются к идеям и представлениям дробей из 3-го класса, работая со знаменателями, которые теперь включают 5, 10 и 12.Они используют физические полосы дробей, диаграммы полос дробей, ленточные диаграммы и числовые линии, чтобы понять размер дробей и отношения дробей.

Учащиеся рассуждают о связи между дробями, в которых один знаменатель кратен другому (например,  \(\frac{1}{5}\) и  \(\frac{1}{10}\) или \( \frac{1}{6} \) и  \(\frac{1}{12}\)). Они рассматривают различные способы представления этих отношений. Учащиеся также сравнивают дроби с эталонными показателями, такими как \(\frac{1}{2}\) и 1.

Работа в этом разделе готовит учащихся к рассуждениям об эквивалентности и сравнении дробей на последующих уроках.

ПЛК: Урок 4, Задание 2, Дроби в числовых рядах


Раздел B: Эквивалентные дроби
Согласование стандартов Цели обучения разделов
  • Сгенерируйте эквивалентные дроби со следующими знаменателями: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 100.
  • Используйте визуальные представления, чтобы рассуждать об эквивалентности дробей, в том числе с помощью эталонных показателей, таких как $\frac{1}{2}$ и 1.

В этом разделе учащиеся развивают способность рассуждать и составлять эквивалентные дроби. Они начинают с использования числовых линий в качестве инструмента для нахождения эквивалентных дробей и проверки эквивалентности двух дробей.

Благодаря повторяющимся рассуждениям учащиеся замечают регулярность в визуальных представлениях и начинают понимать численный способ определения эквивалентности и получения эквивалентных дробей (MP8). Они обобщают, что дробь \(\frac{a}{b}\) эквивалентна дроби \(\frac{n \times a}{n \times b} \).

Обратите внимание, что учащимся не нужно описывать это обобщение в алгебраической записи. Однако, учитывая их понимание размера дробей и отношений между дробями, они должны быть в состоянии объяснить это с помощью дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 100. 

По мере идентификации и создания эквивалентных дробей учащиеся применяют свои знания о множителях и множителях из предыдущего раздела.

ПЛК: Урок 8, Упражнение 1, Удобные номерные строки


Раздел C: Сравнение дробей
Согласование стандартов
Адресация 4.НФ.А, 4.НФ.А.1, 4.НФ.А.2
Раздел Цели обучения
  • Используйте визуальные представления или численный процесс, чтобы рассуждать о сравнении дробей.

К тому времени, когда они доходят до этого раздела, учащиеся имеют расширенный набор представлений и стратегий для рассуждений о размере дробей. Здесь они развивают эти навыки и работают над сравнением дробей с разными числителями и разными знаменателями.

Для проведения сравнений учащиеся могут использовать визуальные представления, эквивалентные дроби и свое понимание размера дробей (например, по отношению к контрольным точкам, таким как \(\frac{1}{2}\) и 1).Они могут полагаться на значение числителя и знаменателя и выбирать способ сравнения на основе имеющихся чисел. Учащиеся записывают результаты сравнения с помощью символов  \(<\),  \(=\) или  \(>\).

В конце раздела учащиеся учатся записывать эквивалентные дроби с определенным знаменателем как способ сравнения любых дробей, еще одна возможность применить идею множителей и кратных. Несмотря на числовую стратегию, учащимся по-прежнему рекомендуется использовать гибкие методы для рассуждений об относительном размере дробей.

ПЛК: Урок 12, Занятие 1, Величайший из них

Расчетное количество дней: 16–17

Модуль 3: Расширение операций до дробей

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся узнают, что дробь $\frac{a}{b}$ является произведением целого числа $a$ и единичной дроби $\frac{1}{b}$, или $\ frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$, и что $n \times \frac{a}{b} = \frac{(n \space \times \space a)} {б}$. Учащиеся учатся складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, а также складывать и вычитать десятые и сотые доли.

В этом разделе учащиеся углубят свое понимание того, как дроби могут быть составлены и разложены, и узнают о действиях над дробями.

В 3 классе учащиеся разделили целое на равные части и определили одну из частей как единичную дробь. Они узнали, что неединичные дроби и целые числа состоят из единичных дробей. Они использовали визуальные модели дробей, включая ленточные диаграммы и числовые линии, для представления и сравнения дробей. В предыдущем разделе учащиеся расширили эту работу и рассуждали об эквивалентности дробей.

Здесь учащиеся умножают дроби на целые числа, складывают и вычитают дроби с одинаковым знаменателем, складывают десятые и сотые доли. Для этого они полагаются на знакомые понятия и представления. Например, учащиеся представили умножение на ленточной диаграмме с группами одинакового размера и целым числом в каждой группе. Здесь они используют ленточную диаграмму, которая показывает дробь в каждой группе.

\(3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\)

В младших классах учащиеся использовали числовые линии для представления сложения и вычитания целых чисел.Здесь они используют числовые линии для представления разложения дробей на суммы, а также для рассуждений о сложении и вычитании дробей с одинаковым знаменателем, включая смешанные числа.

\( \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3}\)

\(\frac{11}{6} – \frac{7}{6} = \frac{4}{6}\)​​​​​​​

Затем учащиеся применяют эти навыки в контексте измерений и данных. Они анализируют линейные графики, показывающие дробные длины, и находят суммы и разности, чтобы ответить на вопросы о данных.

Наконец, учащиеся используют эквивалентность дробей, чтобы найти сумму десятых и сотых долей. Например, чтобы найти \(\frac{3}{10} + \frac{15}{100}\), они считают, что \(\frac{3}{10}\) эквивалентно \(\frac{ 30}{100}\), поэтому сумма равна \(\frac{30}{100} + \frac{15}{100}\), что равно \(\frac{45}{100}\).


Раздел A: Равные группы дробей
Согласование стандартов
Адресация 4.NF.B.4, 4.NF.B.4.a, 4.NF.B.4.b, 4.NF.B.4.с
Раздел Цели обучения
  • Знать, что $n \times \frac{a}{b} = \frac{(n \space \times \space a)}{b}$.
  • Изобразите и объясните, что дробь $\frac{a}{b}$ кратна $\frac{1}{b}$, а именно $a \times \frac{1}{b}$.
  • Представлять и решать задачи на умножение дроби на целое число.

В этом разделе учащиеся расширяют свое прежнее понимание умножения как равных групп целых чисел объектов, чтобы теперь включить равные группы дробных частей.

Сколько ты видишь? Как вы их видите?

Учащиеся начинают с рассуждений о группах, содержащих единичные дроби. Например, они интерпретируют 5 тарелок с половинкой апельсина на каждой как \(5 \times \frac{1}{2}\), что равно \(\frac{5}{2}\). Позже они также рассуждают о группах неединичных дробей и пишут выражения для представления величин. Например, 5 групп \(\frac{3}{4}\) можно выразить как \(5 \times \frac{3}{4}\) или \(\frac{15}{4}\) .

Позже ученики рассуждают с помощью диаграмм и уравнений. Путем повторных рассуждений они видят закономерность в произведении целого числа и дроби (MP8). Числитель в полученной дроби является произведением целого числа на числитель дробного множителя, а знаменатель такой же, как и в дробном множителе.

\(4 \times \frac{2}{3} =  \frac{8}{3}\)

Эти диаграммы также помогают учащимся увидеть, что некоторые дроби могут быть представлены более чем одним выражением умножения.Учащиеся могут сделать вывод, что \(\frac{8}{3}\) равно \(8 \times \frac{1}{3}\), что также эквивалентно \(4 \times 2 \times \frac{1 {3}\) и \(2 \times 4 \times \frac{1}{3}\), и поэтому эквивалентно \(4 \times\frac{2}{3}\) и \(2 \times\frac{4}{3}\) соответственно.

Обводя диаграмму различными способами, учащиеся могут визуализировать различные комбинации групп, понимать их эквивалентность и наблюдать за ассоциативным свойством умножения. Выполняя эту работу, учащиеся тренируются в поиске и использовании структуры (MP7).

Затем учащиеся решают задачи на умножение дробей, используя диаграммы и уравнения, чтобы показать свои рассуждения. Эти диаграммы также будут полезны в старших классах, когда учащиеся понимают дроби как частные.

ПЛК: Урок 2, Занятие 1, Сортировка карт: Выражения и диаграммы


Раздел B: Сложение и вычитание дробей
Согласование стандартов
Адресация 4.MD.B.4, 4.NF.B.3, 4.NF.B.3.a, 4.NF.B.3.b, 4.NF.B.3.c, 4.NF.B.3.d, 4.NF.B.4. с
Раздел Цели обучения
  • Создание и анализ линейных графиков, которые отображают данные измерений в долях единицы ($\frac18, \frac14, \frac12$).
  • Представлять и решать задачи на сложение и вычитание дробей и смешанных чисел, включая измерения, представленные в виде линейных графиков.
  • Используйте различные стратегии для сложения и вычитания дробей и смешанных чисел с одинаковыми знаменателями.

В этом разделе учащиеся учатся складывать и вычитать дроби, разлагая их на суммы меньших дробей, записывая эквивалентные дроби и используя числовые линии для обоснования своих рассуждений.

Учащиеся начинают думать о дроби как о сумме единичных дробей с одинаковым знаменателем, а затем как о сумме других более мелких дробей. Они представляют собой различные способы разложения дроби путем рисования «скачков» на числовых линиях и написания различных уравнений.

\(\frac{13}{10} = \frac{10}{10} + \frac{3}{10}\)

Описание: Числовая строка.21 равноотстоящая галочка. Первая отметка, 0. Одиннадцатая, 1. Двадцать первая, 2. Стрелка, отмеченная десятью десятыми, от первой отметки до одиннадцатой отметки. Стрелка, отмеченная тремя десятыми, от одиннадцатой отметки до точки на четырнадцатой отметке, отмеченная тринадцать десятых. 

\(\frac{13}{10} = \frac{5}{10} + \frac{8}{10}\)

Описание: Числовая строка. 21 равноотстоящая галочка. Первая отметка, 0. Одиннадцатая, 1. Двадцать первая, 2. Стрелка, отмеченная пятью десятыми, от первой отметки до шестой отметки. Стрелка, обозначенная восемью десятыми, от шестой отметки до точки на четырнадцатой отметке, отмеченная тринадцатью десятыми.   

Работа с числовыми рядами помогает учащимся увидеть, что дробь больше 1 можно разложить на целое число и дробь, а затем представить в виде смешанного числа. Это, в свою очередь, может помочь нам складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем. Например, чтобы найти значение \(3 — \frac{2}{5}\), полезно сначала разложить 3 на \(2 + \frac{5}{5}\), а затем вычесть \ (\frac{2}{5}\) из \(\frac{5}{5}\).

Позже в этом разделе учащиеся организуют измерения дробной длины (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{8}\ ) дюймов) на линейных графиках. Они применяют свои способности интерпретировать линейные графики и складывать и вычитать дроби для решения задач, связанных с данными измерений.

В чем разница между наибольшей и наименьшей длиной обуви?
Объясните или покажите свои рассуждения.

 

ПЛК: Урок 10, Занятие 1, Что осталось?


Раздел C: Добавление десятых и сотых долей
Согласование стандартов
Адресация 4.NF.A.1, 4.NF.A.2, 4.NF.B.3.c, 4.NF.B.3.d, 4.NF.B.4, 4.NF.B.4. в, 4.NF.C.5
Раздел Цели обучения
  • Причина эквивалентности для добавления десятых и сотых долей.
  • Рассуждение об эквивалентности для решения задач на сложение и вычитание дробей и смешанных чисел.

В этом разделе учащиеся применяют свое понимание эквивалентности дробей, чтобы складывать десятые и сотые доли.

В предыдущем разделе учащиеся узнали, что \(\frac{1}{10} = \frac{10}{100}\).Они используют это рассуждение, чтобы складывать десятые и сотые доли, создавая эквивалентные дроби. Они также применяют знания, полученные в предыдущем разделе, для стратегического использования декомпозиции, а также ассоциативных и коммутативных свойств для сложения трех или более десятых и сотых, включая смешанные числа.

Этот раздел заканчивается необязательным уроком, который позволяет учащимся применить полученные знания об умножении, сложении и вычитании дробей и смешанных чисел для решения задачи проектирования.

ПЛК: Урок 15, Упражнение 2, Стеки блоков

Расчетное количество дней: 18–20

Модуль 4: от сотых до сотен тысяч

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся читают, пишут и сравнивают числа в десятичном представлении. Они также расширяют понимание разрядности многозначных целых чисел и позволяют складывать и вычитать в пределах 1 000 000.

В этом разделе учащиеся учатся выражать как маленькие, так и большие числа с основанием десять, расширяя свое понимание, включая числа от сотых до сотен тысяч.

На предыдущих уроках учащиеся сравнивали, складывали, вычитали и записывали эквивалентные дроби для десятых и сотых. Здесь они более подробно рассматривают отношения между десятыми и сотыми долями и учатся выражать их в десятичной системе счисления. Учащиеся анализируют и представляют дроби на квадратных сетках из 100, где вся сетка представляет 1. Они рассуждают о размере десятых и сотых долей, записанных в виде десятичных дробей, находят десятичные дроби на числовой прямой, сравнивают и упорядочивают их.

Затем учащиеся изучают большие числа.Они начинают с использования десятичных блоков и диаграмм для построения, чтения, записи и представления целых чисел за пределами 1000. Учащиеся видят, что десятки тысяч относятся к тысячам так же, как тысячи относятся к сотням, сотни к десяткам, а десятки к единицам.

Разбираясь в этой структуре (MP7), учащиеся видят, что значение цифры в разряде в десять раз превышает значение того же разряда в разряде справа от него.

Затем учащиеся рассуждают о размере многозначных чисел и размещают их на числовых рядах.Для этого им необходимо рассмотреть значение цифр. Они также сравнивают, округляют и упорядочивают числа до 1 000 000. Они также используют рассуждения о разрядности для сложения и вычитания чисел в пределах 1 000 000 с использованием стандартного алгоритма.

На протяжении всего модуля учащиеся связывают эти понятия с контекстом реального мира и используют полученные знания для определения обоснованности своих ответов.


Раздел A: десятичные дроби с десятыми и сотыми долями
Согласование стандартов
Адресация 4.NF.C, 4.NF.C.5, 4.NF.C.6, 4.NF.C.7
Раздел Цели обучения
  • Представлять, сравнивать и упорядочивать десятичные дроби с точностью до сотых, рассуждая об их размере.
  • Запишите десятые и сотые доли в десятичной системе счисления.

Ранее учащиеся узнали, что в 1 десятой содержится 10 сотых, и изучили десятые и сотые доли в записи дроби. В этом разделе они учатся представлять и рассуждать о десятых и дробях в десятичной системе счисления.

Учащиеся связывают \(\frac{1}{10}\) с обозначением 0,1 и \(\frac{1}{100}\) с 0,01. Они учатся читать 0,1 как «одну десятую», а 0,01 — как «сотую», точно так же, как эти числа называются при записи дробями. Чтобы увидеть связи между записью дроби, десятичной записью и названием слова, учащиеся рассуждают с единичными квадратами (представляющими 1), разделенными на сотые доли.

Квадраты в этом разделе заштрихованы слева направо, чтобы отразить цифры в десятичной дроби.Например, число 1,33 представлено затенением полного квадрата, представляющего 1, 3 столбцов в следующем большом квадрате и 3 маленьких квадратов в соседнем столбце.

Структура единичной квадратной сетки помогает проиллюстрировать эквивалентность \(\frac{10}{100}\) и \(\frac{1}{10}\). Это также позволяет учащимся увидеть, что 0,10 эквивалентно 0,1, и обобщить его на другие эквивалентные десятые и сотые доли, например \(0,20 = 0,2\) и \(0,5 = 0,50\).

В этих материалах десятичные дроби меньше 1 обозначаются начальным нулем.Попробуйте объяснить учащимся, что ноль иногда опускается, и это не влияет на значение десятичной дроби.

Далее в этом разделе учащиеся используют ориентиры, такие как 0,5 и отношение между десятыми и сотыми долями, чтобы найти и пометить десятичные дроби на числовой прямой. Они сравнивают и упорядочивают десятичные числа в зависимости от размера и записывают операторы сравнения, используя символы <, > и =.

ПЛК: Урок 3, Занятие 1, Точки на числовых линиях


Раздел B: Отношения между разрядами и значениями до 1 000 000
Согласование стандартов
Адресация 4.НБТ.А.1, 4.НБТ.А.2, 4.НБТ.Б.4
Раздел Цели обучения
  • Читать, представлять и описывать относительную величину многозначных целых чисел до 1 миллиона.
  • Знайте, что в многозначном целом числе значение цифры в одном разряде в десять раз больше, чем в разряде справа от него.

В этом разделе учащиеся понимают целые числа до разряда сотен тысяч, учатся читать и писать их и углубляют свое понимание разрядного значения.

Учащиеся начинают с использования десятичных блоков и диаграмм для представления и рассуждения о многозначных числах. Они быстро видят пределы использования блоков с основанием десять для представления больших чисел, когда наименьший куб представляет 1. Например, эта коллекция представляет 1325. Однако если наименьший блок имеет значение в 10 или в десять раз больше, то та же коллекция будет представлять 13 250. Приведенные здесь рассуждения подготавливают их к размышлению об отношениях место-значение.

Когда учащиеся анализируют и рисуют диаграммы с основанием 10 и записывают многозначные числа в расширенной форме, они наблюдают структуру и начинают понимать значение цифры в каждой позиции (MP7).Они видят отношение «в десять раз» между значением цифры в одном месте и значением той же цифры в месте справа от нее. Например, \(300,\!000 = 10 \умножить на 30,\!000\), поэтому 3 из 347 000 имеет значение, в десять раз превышающее значение 3 из 34 700.

Учащиеся также видят это соотношение «десять раз», когда они находят числа в числовой строке. Если конечные точки числовой прямой в десять раз больше точек другой числовой прямой, точки, находящиеся в одном и том же положении на двух числовых прямых, также связаны коэффициентом 10.


Учащиеся используют эти наблюдения структуры для сравнения, упорядочивания и округления чисел в следующем разделе.

ПЛК: Урок 6, Занятие 2, Что такое 10 000?


Раздел C: сравнение, заказ и округление
Согласование стандартов
Адресация 4.НБТ.А.2, 4.НБТ.А.3
Раздел Цели обучения
  • Сравнивать, упорядочивать и округлять многозначные целые числа в пределах 1 000 000.

В 3 классе учащиеся сравнивали, упорядочивали и округляли числа в пределах 1000. В этом разделе они расширяют эту работу, включая числа в пределах 1 000 000.

Учащиеся начинают с того, что размещают многозначные числа на числовой прямой с возрастающей степенью точности, а затем проводят сравнения. При сравнении чисел, в том числе тех, в которых в некоторых местах отсутствуют цифры, они используют структуру для определения размера чисел и значения значения цифр (MP7).
 

Можно ли заполнить два пробела одной цифрой, чтобы получилось:

\(\boxed{4} \ \boxed{\phantom{0}} \ , \boxed{3} \ \boxed{0} \ \boxed{0}\) меньше, чем \(\boxed{3} \ \ в штучной упаковке {\ фантом {0}} \ , \ в штучной упаковке {4} \ \ в штучной упаковке {0} \ \ в штучной упаковке {0} \) ?

\(\boxed{\phantom{0}} \ \boxed{4} \ , \boxed{3} \ \boxed{0} \ \boxed{0}\) меньше, чем \(\boxed{\phantom{0 }} \ \boxed{3} \ , \boxed{4} \ \boxed{0} \ \boxed{0}\)?


Раньше учащиеся округляли числа до ближайшего кратного 10 или 100.Здесь они округляют числа в пределах 1 000 000 до ближайших кратных 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000. Когда число находится ровно посередине между двумя последовательными числами, кратными 1000, 10 000 или 100 000, оно округляется в большую сторону в соответствии с соглашением, используемым в классе 3 при округлении до ближайшего числа, кратного 10 или 100.

Учащиеся применяют свое понимание разряда и округления для решения контекстных задач. Они также занимаются аспектами математического моделирования, рассматривая последствия округления больших чисел в различных ситуациях (MP4).

ПЛК: Урок 16, Занятие 1, Округление до чего?


Раздел D: Сложение и вычитание
Согласование стандартов
Адресация 4.НБТ.А, 4.НБТ.А.2, 4.НБТ.Б.4, 4.НФ.Б.3.с
Раздел Цели обучения
  • Сложение и вычитание целых многозначных чисел по стандартному алгоритму.

В 3 классе учащиеся использовали различные представления и стратегии для сложения и вычитания в пределах 1000, в том числе стратегии, основанные на разрядности.В этом разделе они опираются на эти стратегии, а также изучают стандартный алгоритм сложения и вычитания. Они начинают работать в соответствии с ожиданием конца класса беглости сложения и вычитания в пределах 1 000 000.

Как и в более ранних классах, учащиеся обращают внимание на взаимосвязь между сложением и вычитанием и находят суммы и разности, составляя и разлагая числа. Они сравнивают алгоритм, использующий расширенную форму, и стандартный алгоритм и наблюдают за ролью разрядного значения в обоих алгоритмах.

Учащиеся начинают с нахождения сумм, которые не требуют составления единицы в любом заданном месте, и продвигаются к тем, которые требуют составления единицы несколько раз.

Точно так же они начинают с вычитания чисел, не требующих разложения единицы, и переходят к различиям, требующим многократного разложения. Студенты практикуют сложение и вычитание чисел как в контексте, так и вне его.

ПЛК

: Урок 20, Упражнение 1, Сложение и вычитание больших чисел

Расчетное количество дней: 22–23

Модуль 5: Мультипликативное сравнение и измерение

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся интерпретируют, представляют и решают задачи мультипликативного сравнения, используя понимание взаимосвязи между умножением и делением.Они используют это мышление для преобразования единиц измерения в данной системе из более крупных единиц в более мелкие.

В этом модуле учащиеся понимают умножение как способ сравнения величин. Они используют это понимание для решения задач, связанных с измерением.

В младших классах учащиеся связывали две величины и проводили аддитивное сравнение, где ключевой вопрос был «Сколько еще?» Здесь они проводят мультипликативное сравнение, в основе которого лежит вопрос «Во сколько раз больше?» Например, если у Май 3 кубика, а у Тайлера 18 кубиков, мы можем сказать, что у Тайлера в 6 раз больше кубиков, чем у Май.

Сначала учащиеся рассуждают, используя конкретные манипуляции и дискретные образы. Позже они рассуждают более абстрактно, используя ленточные диаграммы и уравнения. Особое внимание уделяется сравнительному языку, такому как «_____ раз больше (или больше), чем ____», что дает учащимся возможность следить за точностью при математическом общении (MP6).


Напишите уравнение умножения, чтобы сравнить
страниц, прочитанных Еленой и Клэр.
Используйте символ для представления неизвестного.

Затем учащиеся используют идею и язык мультипликативных соотношений, чтобы узнать о различных единицах длины, массы, емкости и времени, а также преобразовать более крупные единицы в более мелкие в рамках одной и той же системы измерения. Например, они описывают 1 километр как длину, в 1000 раз превышающую метр. Затем учащиеся используют свои новые знания для решения задач измерения.

Фрисби Елены пролетела в 3 раза дальше, чем фрисби Клэр.
Фрисби Андре пролетел в 4 раза дальше, чем Тайлер.

Как далеко Елена и Тайлер забросили фрисби?

студент расстояние
Хань 17 ярдов
Линь \(51\frac{1}{2}\) футов
Клэр \(21 \frac{1}{3}\) футов
Андре 22 ярда 2 фута
Елена
Тайлер

Раздел A: Мультипликативное сравнение
Согласование стандартов
Адресация 4.НБТ.Б.5, 4.ОА.А.1, 4.ОА.А.2, 4.ОА.А.3
Раздел Цели обучения
  • Анализ, описание и представление ситуаций мультипликативного сравнения.
  • Решите одноэтапные и двухэтапные задачи на мультипликативное сравнение.

В этом разделе учащиеся учатся сравнивать две величины с точки зрения умножения и решать задачи мультипликативного сравнения.

В младших классах учащиеся проводили сравнения в терминах сложения и вычитания.Чтобы описать количество кубиков на изображении, они могут сказать: «У Хана на 3 кубика больше, чем у Андре» или «У Андре на 3 кубика меньше, чем у Хана». Здесь они делают это сравнение, говоря: «У Хана в 2 раза (или вдвое) больше кубиков, чем у Андре».

Учащиеся начинают со сравнений, включающих небольшие факторы и знакомые ситуации (например, сравнение блоков), используя знакомый язык мультипликативного сравнения (например, «дважды» или «вдвое больше»). Они переходят от использования конкретных представлений (фактических кубов) к дискретным диаграммам (показывая кубы или показывая секции, каждый из которых представляет отдельные объекты).По мере того как они сталкиваются с более крупными факторами и более абстрактными ситуациями, учащиеся интерпретируют и используют диаграммы, где каждый раздел представляет любое количество.
 

У Диего в 5 раз больше кубиков, чем у Кирана.

Диего прочитал в 8 раз больше книг, чем Лин. Лин прочитал 7 книг. Сколько книг прочитал Диего?

Учащиеся пишут уравнения умножения для выражения сравнений. По мере того, как задачи становятся более сложными, они рассуждают с заданными диаграммами (или диаграммами, которые они рисуют) и используют деление, чтобы найти недостающий фактор.

Джада прочитала несколько страниц. Всего Хан прочитал 60 страниц. На диаграмме показано, как сравниваются их страницы.
Во сколько раз Хан прочитал больше страниц Джады?

Описание: схема. два прямоугольника. нижний прямоугольник, страницы Хана. разделен на 3 равные части, каждая из которых помечена вопросительным знаком, общая длина 60. Верхний прямоугольник, страницы Джады. Тот же размер, что и у одной из трех частей нижнего прямоугольника, помечен вопросительным знаком.

ПЛК: Урок 2, Упражнение 2, Диаграммы для решения задач мультипликативного сравнения


Раздел B: Преобразование измерений
Согласование стандартов
Адресация 4.MD.A.1, 4.MD.A.2, 4.OA.A.2, 4.OA.A.3
Раздел Цели обучения
  • Преобразование больших единиц в меньшие в заданной системе измерения.
  • Решите многошаговые задачи, включающие мультипликативное сравнение и измерение.
  • Знать относительные размеры километров, метров и сантиметров, литров и миллилитров, килограммов и граммов, фунтов и унций.

Учащиеся сталкивались с единицами измерения в младших классах и в повседневной жизни. Они измеряли и оценивали длины в сантиметрах и метрах, определяли количество минут в часе и измеряли интервалы времени, а также решали задачи, связанные с емкостью и массой.

В этом разделе учащиеся расширяют эти концепции, чтобы преобразовать измерения в одной и той же системе (метрической или обычной) из более крупных единиц в более мелкие.Эти преобразования требуют понимания мультипликативных отношений между единицами измерения.

Учащиеся начинают с изучения длины в метрических единицах. Чтобы развить чувство мультипликативной связи между сантиметрами и метрами, учащиеся строят из бумаги с сеткой сантиметровую длину отрезок длиной 1 метр. Они признают, что 1 метр в 100 раз длиннее 1 сантиметра, и используют это рассуждение для перевода метров в сантиметры. Позже они придают смысл 1 километру, связывая его с несколькими более короткими измерениями, такими как длина баскетбольной площадки или футбольного поля.

Позже учащиеся изучают отношения между граммами и килограммами, миллилитрами и литрами, унциями и фунтами, а также часами, минутами и секундами. Когда они решают задачи и используют умножение для преобразования, у них развивается чувство относительного размера единиц.

Расположите животных и расстояние их перемещения в порядке от самого короткого до самого длинного.

животное пройденное расстояние за день
трехпалый ленивец 30 метров
улитка 2500 см
верблюд 40 километров
гигантская черепаха 500 метров

PLC: Урок 8, Занятие 1, Какова длина одного километра?


Раздел C: Приступим к работе
Согласование стандартов
Адресация 4.MD.A.1, 4.MD.A.2, 4.MD.A.3, 4.NBT.B, 4.NF.B.4, 4.NF.B.4.c, 4.OA. А.2
Раздел Цели обучения
  • Решение многошаговых задач, включающих мультипликативное сравнение и измерение.

В этом разделе учащиеся используют стратегии мультипликативного сравнения и преобразования измерений для решения многошаговых задач. Преобразовывая обычные и метрические единицы длины, массы и емкости, они продолжают развивать свое понимание относительных размеров единиц в той же системе.

Проблемы здесь связаны с единицами измерения, введенными в предыдущем разделе (фунты, унции, километры, метры, сантиметры), некоторыми из предыдущих классов (ярды, футы и дюймы), а также некоторыми новыми (галлонами, квартами и чашками). ). Разбираясь в ситуациях, создавая представления и записывая уравнения для решения задач, учащиеся практикуют количественные и абстрактные рассуждения (MP2).

Учащиеся также изучают мультипликативные отношения в геометрическом контексте.Они анализируют соотношение между длинами сторон и периметрами четырехугольников, попутно выполняя преобразование единиц измерения.


Найдите периметр фигуры C и длину недостающей стороны фигуры D.
Периметр C во сколько раз больше периметра D?

С

Надпись: C

Периметр = ______________

Д

Надпись: D

Периметр = 12 в


Раздел заканчивается необязательным уроком, на котором учащиеся применяют понимание этого раздела, чтобы разобраться в измерениях, связанных с животными, и проанализировать утверждения о них.

ПЛК: Урок 15, Занятие 2, Каменные Башни

Расчетное количество дней: 17–18

Модуль 6: Умножение и деление многозначных чисел

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся умножают и делят многозначные целые числа, используя стратегии частичного произведения и частичного частного, и применяют эти знания для решения многоэтапных задач с использованием четырех операций.

В этом разделе учащиеся расширяют свои знания об умножении и делении, чтобы находить произведения и частные многозначных чисел.

В 3 классе учащиеся узнали, что они могут найти стоимость продукта, разложив один фактор на более мелкие части, найдя частичные продукты, а затем объединив их. Чтобы поддержать это рассуждение, они использовали диаграммы с основанием десять (разложение двузначных множителей на десятки и единицы) и диаграммы площадей (разложение длины одной стороны на меньшие числа). Здесь учащиеся используют эти знания для умножения до четырех цифр на однозначные числа и для умножения пары двузначных чисел.

Учащиеся начинают с описания особенностей геометрических и числовых моделей, используя идеи и язык, связанные с умножением и мультипликативными отношениями (такими как множители, кратные, двойные и тройные).

Далее учащиеся рассуждают о произведениях многозначных чисел. Они переходят от использования диаграмм к использованию алгоритмов для записи частичных продуктов.

Учащиеся узнают, что они могут умножать множители на разрядное значение, по одной цифре за раз, а затем упорядочивать частичные произведения по вертикали.Вот два способа показать частичные произведения для \(3,\!419 \times 8\).


Позже учащиеся делят дивиденды до четырехзначного числа на однозначные делители. Студенты видят, что это помогает разложить делимое на меньшие числа и найти частичные частные, точно так же, как это помогло разложить множители и найти частичные произведения.

Они также признают, что иногда наиболее продуктивно разложить дивиденд по разрядной стоимости. Например, чтобы найти \(465 \div 5\), мы можем разделить каждые 400, 60 и 5 на 5.

Учащиеся знакомятся с различными способами записи процесса деления, включая алгоритм, записывающий неполные частные в вертикальном порядке.

В конце модуля учащиеся применяют свои расширенные знания об операциях для решения многошаговых задач об измерении в различных контекстах — календарных днях, расстоянии и численности населения.

\(\begin{align} 400\div 5&= 80\\ 60\div 5 &= 12\\ 5 \div 5 &= \phantom{0}1 \\ \overline {\hspace{5mm}465 \div 5} &\overline{\hspace{1mm}=  93 \phantom{000}} \end{align}\)


Раздел A: особенности шаблонов
Согласование стандартов Цели обучения разделов
  • Создание шаблона числа или формы, который следует заданному правилу.
  • Выявление очевидных особенностей числового шаблона, которые не были явно указаны в самом правиле.

В этом разделе учащиеся наблюдают и описывают особенности геометрических и числовых моделей. Учитывая правило шаблона, они предсказывают значения или характеристики будущих терминов в последовательности шаблонов. Чтобы делать прогнозы, учащиеся используют свое понимание операций и стоимости.

Раздел начинается с более конкретных паттернов, таких как формы с признаками, которые изменяются количественно и, таким образом, вызывают сложение или умножение.Затем он переходит к шаблонам с повторяющимися объектами или числами, которые требуют от учащихся более абстрактных рассуждений.

Позже учащиеся изучают закономерности в характеристиках прямоугольников — длине стороны, периметре и площади — которые изменяются по правилу. Попутно учащиеся применяют свои знания о множителях и множителях.

Если шаблон продолжится, может ли 50 представлять длину большей стороны или площадь одного из прямоугольников?
Если да, то какой шаг? Если нет, то почему?

ПЛК: Урок 1, Упражнение 2, Все выше и выше


Раздел B: Многозначное умножение
Согласование стандартов
Адресация 4.МД.А.2, 4.НБТ.Б.4, 4.НБТ.Б.5, 4.ОА.А.3
Раздел Цели обучения
  • Умножение целого числа, состоящего из максимум четырех цифр, на однозначное целое число и 2 двузначных числа с использованием стратегий, основанных на разрядности и свойствах операций.

В этом разделе учащиеся используют свои знания об умножении, разрядности и площади прямоугольников для умножения однозначных чисел и чисел до четырех цифр, а также для умножения пар двузначных чисел.

Ключевым моментом здесь является идея декомпозиции факторов — особенно по разрядной стоимости — как продуктивного способа поиска продуктов. Учащиеся изучают эту идею с помощью конкретных и визуальных представлений: массивов, десятичных диаграмм и прямоугольников с сетками. По мере того, как они разлагают более крупные факторы, они видят пределы этих представлений, мотивируя более эффективные представления и стратегии.

В 3 классе учащиеся увидели, что прямоугольники могут помочь нам рассуждать об умножении: длины сторон прямоугольника могут представлять два множителя, а его площадь может представлять произведение.Когда множители становятся больше (например, \(3\умножить на 2,\!135\)), возникает необходимость рисовать прямоугольники, длины сторон которых не соответствуют масштабу. Когда прямоугольники больше не точно представляют площадь, термин «диаграммы площадей» не используется. Вместо этого в материалах для учителей используются «прямоугольные диаграммы», а в материалах для учащихся — «диаграммы».

Учащиеся используют такие диаграммы как наглядный инструмент для разложения факторов по разрядному значению и систематизации частичных произведений.

Лин нарисовал диаграмму для представления \(3\times2{,}135\).

Дополните схему.
Используйте его, чтобы найти значение \(3\times2{,}135\).

 

Преимущества разложения множителей по разрядному значению становятся более очевидными, когда учащиеся умножают пары двузначных чисел.

Они рассматривают например, почему диаграмма A может быть более полезной, чем диаграмма B, для нахождения значения \(49 \times 57\).

Позже учащиеся знакомятся с алгоритмом, использующим частичные произведения, другим способом записи рассуждений, которые они использовали с диаграммами.Они узнают, что частичные продукты могут быть перечислены вертикально, а не внутри прямоугольников прямоугольной диаграммы.

Учащиеся используют этот алгоритм для умножения двузначных чисел, аналогичным образом соединяя частичные произведения со значениями на соответствующей диаграмме.

Алгоритмы, использующие частичные произведения, подготавливают учащихся к пониманию стандартного алгоритма умножения, который учащиеся предварительно изучают в этом разделе, но будут внимательно изучать в 5 классе.

ПЛК: Урок 9, Занятие 1, Алгоритм для Ноя


Раздел C: многозначный раздел
Согласование стандартов
Адресация 4.МД.А.3, 4.НБТ.Б.6, 4.ОА.А.3, 4.ОА.Б.4
Раздел Цели обучения
  • Деление чисел, состоящих не более чем из четырех цифр, на одноразрядные делители, чтобы найти целочисленные частные и остатки, используя стратегии, основанные на позиционном значении, свойствах операций и связи между умножением и делением.

В 3 классе учащиеся усвоили деление в отношении умножения и групп одинакового размера. Они рассуждали о проблемах деления в контексте и находили целые числа в частном от двузначных делимых и однозначных делителей.Здесь учащиеся находят частные от больших дивидендов (до четырех цифр), исследуют новые стратегии деления и способы их представления, а также интерпретируют ситуации деления, связанные с остатками.

Учащиеся начинают с решения задач в различных ситуациях, в том числе о группах одинакового размера, множителях и кратных, а также о площади прямоугольников. Этот опыт укрепляет понимание учащимися взаимосвязи между умножением и делением. Они также развивают у учащихся интуицию в отношении ситуаций, связанных с делением (включая те, в которых может быть задействован остаток), прежде чем сосредоточиться на поиске значения частного.

Учащиеся сначала рассуждают о задачах на деление любым удобным для них способом, а затем используют десятичное представление. Они вспоминают, что для нахождения значения \(64 \div 4\), например, нужно было сначала разложить 4 десятка и 4 единицы на 4 группы (по 1 десятку и 1 единице в каждой группе), а затем разложить оставшиеся 2 десятка на 20 и положить по 5 единиц в каждую группу.

Учащиеся видят, что так же, как они могут постепенно распределять блоки десятков и единиц по группам, они могут разлагать делимое на части и находить частичные частные.

Хотя не существует единого способа разложить делимое, часто бывает полезно сделать это по разрядному значению, как в случае с частичными произведениями.

Учащиеся учатся использовать серию уравнений и метод вертикальной записи для организации частичных частных.

\(\begin{align} \\ 720\div 9&= 80\\ 18\div 9 &= \phantom{0}2\\ \overline {\hspace{5mm}738 \div 9} &\overline{\ hspace{1mm}= 82 \phantom{000}}\end{align} \)

Далее в этом разделе учащиеся более подробно рассматривают задачи на деление, не имеющие целых чисел, и интерпретируют остатки в контексте задачи.

ПЛК: Урок 15, Занятие 1, Фреска Елены


Раздел D. Приступим к работе: решение задач с большими числами
Согласование стандартов
Адресация 4.МД.А.2, 4.МД.А.3, 4.НБТ.Б.4, 4.НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6, 4.ОА.А.2, 4 .ОА.А.3, 4.ОА.С.5
Раздел Цели обучения
  • Используйте четыре операции для решения задач, связанных с многозначными целыми числами, и оцените обоснованность ответов.

В последнем разделе этого модуля учащиеся решают различные контекстуальные задачи, связанные с многозначными числами и всеми четырьмя операциями. К проблемам можно подходить разными способами, предоставляя учащимся возможность стратегически выбирать свои стратегии и представления. Многие из них также включают в себя несколько шагов и обоснований, побуждая учащихся практиковаться в построении логических рассуждений и критике рассуждений других (MP3).
 

Джада планирует разрезать лист бумаги для плакатов, переставить части и склеить их скотчем, чтобы сделать баннер высотой 8 дюймов и длиной 8 футов.

Хватит ли ей бумаги, чтобы сделать знамя?

Есть ли больше людей, которые говорят только по-английски, или больше людей, которые говорят на другом языке, кроме английского?
Покажи, откуда ты знаешь.

язык количество динамиков
Только английский 1 224 539
Испанский 127 352
Другие индоевропейские 6 750
Азиатская 364

ПЛК: Урок 22, Упражнение 1, Создание баннера класса

Расчетное количество дней: 24–25

Модуль 7: Углы и измерение углов

Модуль Цели обучения
  • Учащиеся учатся рисовать и определять точки, лучи, отрезки, углы и линии, включая параллельные и перпендикулярные линии.Студенты также узнают, как использовать транспортир для измерения углов и построения углов заданных измерений, а также для определения острых, тупых, прямых и прямых углов в двухмерных фигурах.

В этом разделе учащиеся углубляют и совершенствуют свое понимание геометрических фигур и измерений.

В младших классах учащиеся узнали о двухмерных формах и их атрибутах, которые они описали неформально на раннем этапе, но со временем все более точно. Здесь учащиеся формализуют свои интуитивные знания о геометрических элементах и ​​рисуют их.Они идентифицируют и определяют некоторые строительные блоки геометрии (точки, линии, лучи и линейные отрезки), а также разрабатывают концепции и язык для более точного описания и рассуждений о других геометрических фигурах.

Джада говорит, что на фигуре А показан угол,
, а на фигуре В нет.
Вы согласны?

Учащиеся анализируют случаи, когда прямые пересекаются, а когда нет, как в случае с параллельными прямыми. Они узнают, что угол представляет собой фигуру, состоящую из двух лучей, имеющих общую конечную точку.

Позже учащиеся сравнивают величину углов и рассматривают способы ее количественной оценки. Они узнают, что углы могут быть измерены с точки зрения количества поворотов, которые делает один луч относительно другого луча, имеющего ту же вершину.

Учащиеся приходят к выводу, что угол в 1 градус равен \(\frac{1}{360}\) полному обороту или полному кругу и может использоваться для измерения углов. Они используют транспортир для измерения углов в целых градусах.

Студенты также узнают, что углы складываются.Когда угол состоит из нескольких непересекающихся частей, мера целого равна сумме угловых величин частей. Эти идеи позволяют учащимся классифицировать углы (как острые, тупые, прямые или прямые) и решать проблемы с отсутствующими угловыми измерениями в конкретных и абстрактных контекстах.

Сколько градусов составляет каждый отмеченный угол на часах? Покажите свои рассуждения.


Раздел A: точки, линии, сегменты, лучи и углы
Согласование стандартов
Адресация 4.G.A.1, 4.MD.C.5, 4.NBT.B.4, 4.NBT.B.5
Раздел Цели обучения
  • Рисовать и определять точки, прямые, лучи, отрезки, параллельные и пересекающиеся прямые в геометрических фигурах.
  • Знайте, что углы образуются там, где два луча имеют общую конечную точку, и идентифицируйте углы в двухмерных фигурах.

Этот раздел знакомит учащихся с некоторыми строительными блоками геометрических фигур и языком их описания. Учащиеся начинают с описания изображений, содержащих линии, которые могут рисовать другие, и рисуют изображения, полагаясь только на описания других.Этот опыт мотивирует потребность в более точном словарном запасе для описания геометрических частей. Они учатся различать точки как местоположения в пространстве, лучи как линии, ограниченные одной точкой, и отрезки прямых как линии, ограниченные двумя точками.

Учащиеся знакомы с линиями, которые пересекаются или пересекаются. Здесь они определяют, а затем рисуют параллельные линии, линии, которые никогда не пересекаются.

Учащиеся также узнают, что угол — это фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общую конечную точку, называемую вершиной угла.Затем они практикуются в определении углов, замечая, что углы повсюду вокруг нас и могут иметь разные размеры.

Определите, изображен ли на каждой фигуре хотя бы один угол.

ПЛК: Урок 3, Упражнение 2, Пересекать или не пересекать


Раздел B: Размер углов
Согласование стандартов
Адресация 4.GA1, 4.MD.C.5, 4.MD.C.5.a, 4.MD.C.5.b, 4.MD.C.6, 4.MD.C.7, 4.НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6
Раздел Цели обучения
  • Знать, что углы можно измерять в градусах и находить с помощью сложения и вычитания.\circ\)) как единицу измерения, и что углы могут быть составлены и разложены, и поэтому являются аддитивными. Они также учатся пользоваться транспортиром для измерения и рисования углов.

    Учащиеся начинают с визуального сравнения углов и изучения способов описания их размеров. Затем они пытаются описать углы, образуемые часовой и минутной стрелками аналоговых часов, используя цифры и деления на часах или единицы времени для количественной оценки размера углов. Этот опыт подкрепляет представление об угле как о фигуре, образующейся при вращении луча вокруг вершины, общей с другим лучом.\circ\) как единица измерения и рисования углов всех размеров.

    Сколько градусов составляет этот угол?
    Объясни, откуда ты знаешь.

    Угол состоит из тридцати углов по 1°, как показано на рисунке.
    Сколько градусов составляет этот угол?

    На протяжении всего раздела учащиеся формируют свое представление об углах разных размеров, используя тактильные инструменты, такие как вырезки из бумаги и лепешки, а также складывая, вырезая, размечая и собирая листы бумаги.

    Раздел C: Угловой анализ
    Согласование стандартов
    Адресация 4.G.A.1, 4.G.A.2, 4.MD.C.6, 4.MD.C.7
    Раздел Цели обучения
    • Нарисуйте и определите острые, тупые, прямые и прямые углы на двухмерных фигурах.
    • Напишите уравнения для представления угловых соотношений, рассчитайте и найдите неизвестные измерения.

    В этом разделе учащиеся продолжают рисовать и анализировать углы и рассуждать об их измерениях.

    Сначала они классифицируют углы по их величине и выделяют острые, тупые и прямые углы. Затем они развивают идею о том, что угол является аддитивным, путем составления и разложения углов, использования тактильных инструментов и рисунков, а также написания выражений или уравнений для поддержки своих рассуждений.

    Учащиеся решают задачи об углах в различных контекстах, как конкретных, так и абстрактных. Они используют свое понимание прямого угла и прямого угла, чтобы рассуждать о неизвестных измерениях угла.

    Найдите величину каждого заштрихованного угла. Покажи, как ты знаешь.

    Описание: 4 угла. А. Прямой угол, разделенный на два угла. Один заштрихован зеленым, другой помечен как 62 градуса. B. Прямой угол, разделенный на 3 угла. Один помечен как 71 градус, один заштрихован желтым цветом, один отмечен символом прямого угла. C. Горизонтальная прямая, разделенная лучом на 2 угла сверху и другим лучом на 2 угла снизу. Сверху левый угол заштрихован синим цветом, правый угол обозначен 108 градусами.Внизу левый угол обозначен 1 сотней 54 градусов, правый угол заштрихован красным. D. Две прямые пересекаются и делятся на 2 угла сверху и 2 угла снизу. Вверху меньший угол слева заштрихован зеленым, а больший угол справа не обозначен. Внизу больший угол слева заштрихован желтым, меньший угол справа обозначен как 43 градуса.

    ПЛК: Урок 14, Упражнение 2, Тик-Так

    Расчетное количество дней: 15–16

    Модуль 8: Свойства двумерных фигур

    Модуль Цели обучения
    • Учащиеся классифицируют треугольники и четырехугольники на основе свойств длин их сторон и углов, а также узнают о линиях симметрии в двумерных фигурах.Они используют свое понимание этих атрибутов для решения проблем, в том числе задач, связанных с периметром и площадью.

    В этом разделе учащиеся углубят свое понимание атрибутов и измерений двухмерных форм.

    До этого раздела учащиеся узнали о некоторых строительных блоках геометрии — точках, линиях, лучах, отрезках и углах. Они идентифицировали параллельные и пересекающиеся линии, измеряли углы и классифицировали углы на основе их измерения. Здесь они применяют эти идеи, чтобы описывать и рассуждать о характеристиках форм.

    В первой половине раздела учащиеся анализируют и классифицируют двумерные фигуры — треугольники и четырехугольники — по их свойствам. Они классифицируют двумерные формы на основе наличия или отсутствия параллельных или перпендикулярных линий или наличия или отсутствия углов заданного размера. Студенты также узнают о симметрии. Они определяют линейно-симметричные фигуры и проводят линии симметрии.

    Четырехугольники N, U и Z являются параллелограммами.

    Четырехугольники AA, EE и JJ являются ромбами.

    Напишите 4–5 утверждений о сторонах и углах четырехугольников в каждом наборе.
    Каждое утверждение должно быть истинным для всех фигур в наборе.


    Вторая половина модуля дает учащимся возможность применить свое понимание геометрических атрибутов для решения задач на измерения (длины сторон, периметры и углы).

    В этот модуль включены три дополнительных урока, которые дают учащимся возможность укрепить и расширить свое понимание симметрии и других атрибутов двумерных форм.


    Секция A: Длины сторон, углы и линии симметрии
    Согласование стандартов
    Адресация 4.G.A.1, 4.G.A.2, 4.G.A.3, 4.MD.C, 4.NBT.B.5, 4.NF.B.3.c, 4.NF.B.4
    Раздел Цели обучения
    • Классифицировать треугольники (включая прямоугольные), параллелограммы, прямоугольники, ромбы и квадраты на основе свойств длин их сторон и углов.
    • Найдите и нарисуйте линии симметрии в двухмерных фигурах.

    Этот раздел предлагает учащимся рассмотреть различные способы рассмотрения двумерных фигур: по количеству сторон, длине сторон, размеру углов, наличию параллельных или перпендикулярных линий и симметрии. Учащиеся изучают эти атрибуты в фигурах, классифицируют фигуры по атрибутам и объясняют их классификации. Например, они идентифицируют четырехугольники как параллелограммы, если у них две пары параллельных сторон, как квадраты, если у них четыре равные стороны и четыре прямых угла, и так далее.

    При изучении симметрии учащиеся характеризуют фигуры на основе того, можно ли их сложить на две равные половинки, которые точно совпадают, проводят линии симметрии и завершают рисунки фигур, разделенных пополам линией симметрии.

    Лин складывает листы бумаги различной формы.
    Она сортирует их на две категории по линиям сгиба.

    Изучите формы в каждой категории. Как вы думаете, что означает «линия симметрии»?

    Раздел включает один необязательный урок, на котором учащиеся применяют свое понимание двумерных фигур для выполнения или создания рисунков фигур с заданными атрибутами.

    ПЛК: Урок 3, Упражнение 1, Четырехсторонний поиск


    Раздел B: Причина атрибутов для решения проблем
    Согласование стандартов
    Адресация 4.GA1, 4.GA2, 4.GA3, 4.MD.A, 4.MD.A.3, 4.MD.C.7, 4.NF.B.3.c, 4. NF.B.4, 4.NF.B.4.b
    Раздел Цели обучения
    • Решать задачи с неизвестными длинами сторон, периметром, площадью и углами, используя известные атрибуты и свойства двумерных фигур.

    В этом разделе учащиеся применяют свои знания о геометрических атрибутах, чтобы рассуждать об измерениях различных двумерных форм. Они находят периметры фигур по всем длинам сторон. Затем они переходят к случаям, когда длины сторон не указаны явно, но могут быть выведены на основе информации о формах.

    Позже учащимся дается периметр и некоторая информация о форме, и они находят все неизвестные длины сторон. Занятия также позволяют учащимся практиковаться в выполнении операций с целыми числами и дробями.

    Вот четыре фигуры, каждая с периметром 64 дюйма.
    Фигуры P, Q и R имеют по одной оси симметрии. Фигура Q имеет 4 линии симметрии.

    Проведите линии симметрии каждой фигуры и найдите неизвестную длину стороны.

    На последних двух уроках учащиеся используют полученные знания о симметрии для решения задач, связанных с измерением периметра и неизвестных углов в двумерных фигурах.Эта работа углубляет понимание учащимися понятий из этого модуля и дает возможность попрактиковаться в рассуждениях об измерении углов, но это не требуется стандартами для 4 класса. Поэтому эти уроки необязательны.

    ПЛК

    : Урок 8, Упражнение 2, Дизайн Лин

    Расчетное количество дней: 7–10

    Модуль 9: Собираем все вместе

    Модуль Цели обучения
    • Учащиеся закрепляют и укрепляют свое понимание различных концепций и навыков, связанных с основной работой класса.Они также продолжают работать над достижением целей по беглости в классе.

    В этом разделе учащиеся возвращаются к основным заданиям и целям по беглости речи, применяя полученные за год знания.

    В разделе A учащиеся закрепляют полученные знания о сравнении дробей, сложении и вычитании дробей, а также умножении дробей и целых чисел. В разделе B они улучшают свои навыки сложения и вычитания многозначных чисел, используя стандартный алгоритм. Они также умножают и делят числа, рассуждая о разрядности, и делают это стратегически.
     

    Вот результаты бегунов двух команд.
    Какая команда выиграла эстафету?

    направляющая Команда Диего, время (секунды) Команда Джады, время (секунды)
    1 \(10\фрак{25}{100}\) \(11\фрак{9}{10}\)
    2 \(11\frac{40}{100}\) \(9\разрыв{8}{10}\)
    3 \(9\разрыв{7}{10}\) \(9\фрак{84}{100}\)
    4 \(10\фрак{5}{100}\) \(10\фрак{60}{100}\)

    В разделе C учащиеся учатся понимать ситуации и решать задачи, связанные с рассуждениями на умножение и деление, включая мультипликативное сравнение и интерпретацию остатков.В заключительном разделе учащиеся анализируют основную работу своего класса, создавая задания в формате разминки, с которой они сталкивались в течение года («Исследование оценок», «Разговор о числах» и «Какой из них не принадлежит?»).

    Разделы в этом блоке являются автономными разделами, необязательно заполнять их по порядку. Внутри раздела уроки также можно проходить выборочно и без конкуренции с предыдущими уроками. Цель состоит в том, чтобы предоставить учащимся широкие возможности для интеграции полученных знаний и отработки навыков, связанных с ожидаемой беглостью в классе.


    Раздел A: Причина с дробями
    Согласование стандартов
    Адресация 4.NF.A.1, 4.NF.A.2, 4.NF.B.3, 4.NF.B.3.a, 4.NF.B.3.b, 4.NF.B .3.c, 4.NF.B.3.d, 4.NF.B.4, 4.NF.C.5, 4.NF.C.6, 4.NF.C.7
    Раздел Цели обучения
    • Решение задач на эквивалентность дробей и работу с дробями.

    В этом разделе учащиеся решают задачи на умножение дробей на целые числа, а также на сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

    Они применяют стратегии рассуждений, разработанные в ходе курса, и свое понимание дробей и эквивалентности, чтобы сравнивать дроби, складывать и вычитать целые числа и дроби (включая смешанные числа), а также находить суммы и разности десятых и сотых долей.

    Уроки также побуждают учащихся рассуждать о дробных количествах в различных контекстах, что побуждает их делиться своим культурным опытом и узнавать об опыте других.
     

    Джада и Лин делают головные уборы из ткани с африканским воском.

    Джада сшивает вместе 5 кусков ткани, каждый из которых имеет длину \(\frac{2}{6}\) ярдов.

    Лин сшила вместе 3 куска ткани, каждый из которых имеет длину \(\frac{2}{3}\) ярдов.

    Кто израсходовал больше ткани?

    ПЛК: Урок 1, Задание 1, Давайте сделаем головные уборы!


    Раздел B: Операции с целыми числами
    Согласование стандартов
    Адресация 4.НБТ.Б, 4.НБТ.Б.4, 4.НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6
    Раздел Цели обучения
    • Сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел с использованием понимания разрядности.

    В этом разделе учащиеся углубят свое понимание разрядного значения и научатся бегло выполнять операции с многозначными числами.

    Учащиеся начинают с применения стандартного алгоритма сложения и вычитания. Они также обращают внимание на потенциальные ошибки при использовании алгоритма, особенно когда необходимо несколько раз разложить или составить десятичную единицу, как в случае вычитания из числа с нулями.Учащиеся рассматривают различные стратегии подхода к многозначному вычитанию, в том числе путем использования взаимосвязи между сложением и вычитанием.
     

    Чтобы найти значение \(20,\!000 — 472\), Прия и Хан по-разному настроили свои вычисления.

    Используйте оба метода, чтобы найти разницу между 20 000 и 472.


    Затем они практикуются в умножении и делении многозначных чисел, используя алгоритмы, включающие частичные произведения и частичные частные.В обоих случаях учащиеся анализируют и устанавливают связи между различными методами записи процесса умножения и деления. Данная работа подготавливает учащихся к более тщательному изучению стандартного алгоритма умножения и деления в 5 классе.
     

    Вот два способа найти \(34 \times 21\).

    Откуда в методе А берутся числа 4, 30, 80 и 600?

    Какие два числа нужно перемножить в методе B, чтобы получить 34? 680?

    ПЛК: Урок 4, Упражнение 1, Много нулей


    Раздел C: Решение задач на умножение и деление
    Согласование стандартов
    Адресация 4.НБТ.Б, 4.НБТ.Б.4, 4.НБТ.Б.5, 4.НБТ.Б.6, 4.ОА.А.2, 4.ОА.А.3
    Раздел Цели обучения
    • Решение задач на сравнение измерений.

    В этом разделе учащиеся практикуются в решении реальных задач с использованием умножения и деления. На протяжении всего раздела учащиеся рассуждают с математикой по-разному. Они ищут способы сравнить количества сложением или умножением. Они делают оценки, чтобы упростить проблему или оценить обоснованность утверждения или значения до и после выполнения вычислений.Они также продолжают рассуждать с помощью диаграмм и уравнений, связывая эти представления и решение проблемы с контекстом проблемы.

    Атрибуция: Автор: Bilingual2000. СС BY-SA 4.0. Википедия. Источник.

    Описание: Стол. 6 рядов, 4 столбца. Первый ряд. пустой, Бермудские острова, стоимость на Бермудских островах пустая, как в Индии, Индии.  Второй ряд. еда с напитком, 1 человек в скобках, пробел, в 12 раз больше, 2 доллара.Третий ряд. Бензин, 1 галлон в скобках, 8 долларов, в 2 раза больше, пусто. Четвертый ряд. Фирменные джинсы, пустые, в 2,5 раза дороже, 31 доллар. Пятый ряд. Мужские кожаные туфли, 1 сотня 43 доллара, в 4 раза больше, пусто. Шестой ряд. Интернет-соединение, пустое, в 14 раз больше, 13 долларов.

    Учащиеся сталкиваются с задачами на деление и умножение больших чисел, но не должны делить на многозначные делители. Все проблемы могут быть решены и оценены путем умножения, округления и соотнесения величин с ближайшими числами, кратными 10 или 100.На одном уроке учащиеся имеют возможность сформулировать свои собственные проблемы с учетом контекста и некоторых параметров ситуации.

    ПЛК: Урок 7, Занятие 1, Самый и наименее дорогой


    Раздел D: Создание и дизайн
    Согласование стандартов
    Адресация 4.ГА1, 4.НБТ.А, 4.НБТ.А.1, 4.НБТ.Б, 4.НБТ.Б.5, 4.НФ.Б, 4.НФ.Б.4, 4. OA, 4.OA.A, 4.OA.A.3, 4.OA.B.4, 4.OA.C, 4.OA.C.5
    Раздел Цели обучения
    • Проанализируйте основную работу класса, создав и разработав учебные программы.

    На протяжении всего курса учащиеся выполняли упражнения для разминки, такие как «Сколько вы видите», «Исследовательская оценка», «Какой из них не принадлежит», «Правда или ложь» и «Разговор о числах». Этот раздел позволяет им применить изученную математику для разработки разминки, включающей некоторые из этих упражнений

    .

    Каждое занятие посвящено определенному упражнению. Учащиеся начинают с выполнения как минимум двух частично созданных заданий, в каждом из которых нужно выполнить больше недостающих частей, чем в предыдущем.Они практикуются в предвидении ответов, которые другие могут дать на подсказки, которые они излагают.


    а. Найдите хотя бы одну причину того, что все элементы входят в набор.

    б. Найдите хотя бы одну причину, по которой каждый предмет не принадлежит.

    г. Добавьте элемент, чтобы завершить каждый набор. Убедитесь, что есть по крайней мере одна причина, по которой он подходит, и одна причина, по которой он не подходит.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.